From 8e413dfd65b006fade00c2ebd007564961cc90c5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Fabrice (Polytechnique)" Date: Wed, 7 Mar 2012 15:45:03 +0100 Subject: =?UTF-8?q?[ExG]=20relecture=20tout=20d=C3=A9but=C2=A0:=20quelques?= =?UTF-8?q?=20mini-commentaires=20et=20corrections=20de=20coquilles?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit relecture jusqu'à exemple-galois-biquadratique-generique --- chapitres/exemples-galois.tex | 28 ++++++++++++++++++---------- 1 file changed, 18 insertions(+), 10 deletions(-) (limited to 'chapitres/exemples-galois.tex') diff --git a/chapitres/exemples-galois.tex b/chapitres/exemples-galois.tex index 8f86e74..bc6871c 100644 --- a/chapitres/exemples-galois.tex +++ b/chapitres/exemples-galois.tex @@ -60,8 +60,9 @@ cf. \refext{CG}{extensions-complexes-sur-reels}, qui fournit pour un polynôme $f$ de degré $d=r+2s$ ayant $r$ racines réelles et $s$ paires de racines complexes conjuguées, un automorphisme d'ordre $2$ de $\dec(f)$ dont la décomposition en cycles est le produit de $s$ -transpositions disjointes). Une façon plus générale est de réduire le -polynôme $f$ considéré modulo différents nombres premiers $p$ et +transpositions disjointes). Une façon plus générale +\commentaire{« plus générale » un peu abusif ($p=∞$) non ?} +est de réduire le polynôme $f$ considéré modulo différents nombres premiers $p$ et d'appliquer un théorème de spécialisation tel que \refext{CG}{specialisation-groupe-de-Galois-elementaire} : ceci fournit, comme l'explique le @@ -112,6 +113,7 @@ engendrer $\mathfrak{S}_d$. Lorsque ce n'est pas le cas, en revanche, il faut également trouver des méthodes pour \emph{majorer} le groupe de Galois. Quelques unes sont évidentes : lorsque $f$ n'est pas irréductible, par exemple, son groupe de Galois est égal au produit de +\commentaire{au produit des \emph{groupes de Galois} de ses …} ses facteurs irréductibles (qu'on a supposés étrangers entre eux deux à deux), c'est-à-dire qu'il est inclus dans le groupe des permutations préservant la partition des racines de $f$ en celles de ses différents @@ -161,9 +163,10 @@ affirmations qui demandent vérification sont d'une part le fait que le polynôme $f$ est irréductible sur $\QQ$, c'est-à-dire que $i \not\in \QQ$, ce qui résulte du fait que $i \not\in \RR$, et d'autre part le fait que $f$ est séparable, c'est-à-dire que $i \neq --i$, ce qui résulte du fait que $\QQ$ est de caractéritique $0$ donc +-i$, ce qui résulte du fait que $\QQ$ est de caractéristique $0$ donc +\commentaire{de caractéristique $0$ donc $1 ≠ -1$ (parfait n'est pas vraiment nécessaire)} parfait. Dans cette perspective, l'automorphisme $i \mapsto -i$ est -vu comme la restrictiction à $\QQ(i)$ de la conjugaison complexe +vu comme la restriction à $\QQ(i)$ de la conjugaison complexe (automorphisme de $\CC$ sur $\RR$, cf. \refext{CG}{extensions-complexes-sur-reels}) : cet exemple illustre donc le fait que la conjugaison complexe peut fournir un @@ -210,7 +213,9 @@ $(-j-1)\root3\of2$. Reste à voir que $\root3\of2 \not\in \QQ$, ce qui assurera que $\Gal(f)$ opère transitivement sur $R_f$, donc $\Gal(f) \cong \mathfrak{S}_3$ (puisque le seul sous-groupe de $\mathfrak{S}_3$ contenant une transposition et opérant transitivement -est $\mathfrak{S}_3$) et en particulier l'irréductibilité de $f$ : de +est $\mathfrak{S}_3$) et +\commentaire{et \emph{entraînera} (ou variante) en particulier} +en particulier l'irréductibilité de $f$ : de nouveau il s'agit de voir $\root3\of2 \not\in \ZZ$, et pour cela on peut utiliser un encadrement ou remarquer que $f_7 = X^3 - 2$ est irréductible dans $\FF_7[X]$. @@ -246,7 +251,7 @@ proposition \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne} assure que $\Gal(g) \subseteq \mathfrak{A}_3 = \ZZ/3\ZZ$. \begin{remarque2} -La différence entre les polynômes $f = X^2 - 2$ et $g = X^3 + X^2 - 2 +La différence entre les polynômes $f = X^3 - 2$ et $g = X^3 + X^2 - 2 X - 1$ que nous venons d'expliquer peut se constater à leur réduction modulo divers nombres premiers : quel que soit le nombre premier $p$ modulo lequel on réduit $g$, le polynôme $g_p$ ainsi réduit ne peut @@ -276,7 +281,9 @@ notera $2 + \sqrt{3}$ et $2 - \sqrt{3}$ les racines, a pour groupe de Galois $\ZZ/2\ZZ$ (dont l'élément non trivial échange $\sqrt{3}$ et $-\sqrt{3}$). Notons $\pm\sqrt{2+\sqrt{3}}$ et $\pm\sqrt{2-\sqrt{3}}$ les quatre racines de $f$ sans pour le moment préciser si ou comment -les signes sont liés. Le corps de décomposition $\dec(h) +les signes sont liés. +\commentaire{Je ne comprends pas le « sans préciser si … ». Les quatre signes sont possibles. Itou dans les exemples ci-dessous (2 fois)} +Le corps de décomposition $\dec(h) = \QQ(\sqrt{3})$ de $h$ est une sous-extension du corps de décomposition $\dec(f) = \QQ(\sqrt{2\pm\sqrt{3}})$ de $f$ : ainsi, $\Gal(h)$ est un quotient de $\Gal(f)$, ce qui garantit que $\Gal(f)$ @@ -521,7 +528,7 @@ ce sous-groupe n'est pas distingué dans $G = \Gal(f)$, l'extension $\QQ(\sqrt{2+\sqrt{5}}) \bo \QQ$ n'est pas galoisienne). Pour continuer cet exemple, on peut de nouveau chercher les -sous-extensions de $\QQ(\sqrt{2\bo\sqrt{5}}) \bo \QQ$ associées aux +sous-extensions de $\QQ(\sqrt{2\pm\sqrt{5}}) \bo \QQ$ associées aux différents sous-groupes de $G$ par la correspondance de Galois. Outre les cas triviaux de $\QQ$ (qui correspond à $G$) et $\QQ(\sqrt{2\pm\sqrt{5}})$ (qui correspond à $\{1\}$), on a vu que @@ -765,8 +772,9 @@ d'un groupe $\mathfrak{G}$ naturellement relié à $Q = \Gal(h)$. Pour fixer les idées, on appellera $\vartheta_i$ les racines de $h$ (indicées par $i\in I$, et on aura tendance à identifier tacitement -$i$ à $\vartheta_i$) et $L = \QQ(\vartheta_i)$ le corps $\dec(h)$ de -décomposition de $h$ dans un corps de décomposition $E = \dec(f)$ +$i$ à $\vartheta_i$) et $L = \QQ(\vartheta_i)$ +\commentaire{$\QQ(\vartheta_i)$ ⤳ $𝐐(θ_i,i ∈ I)$ plus clair ?} +le corps $\dec(h)$ de décomposition de $h$ dans un corps de décomposition $E = \dec(f)$ fixé : pour chaque $i$ on choisit $\xi_i$ une racine carrée de $\vartheta_i$, de sorte que $R_f = \{\pm\xi_i\}$ est l'ensemble des racines de $f$ et $E = \QQ(\xi_i)$ en est le corps de décomposition. -- cgit v1.2.1