From 3f5d4685250400d61b7dc88e0fefc6e287895b10 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Fabrice (Polytechnique)" Date: Thu, 24 Mar 2011 10:56:42 +0100 Subject: [ucs,KASW,Azu,Alg,versel] unicodification de la racine ;) --- chapitres/extensions-algebriques.tex | 34 +++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 17 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'chapitres/extensions-algebriques.tex') diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index b246206..4b26512 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -668,16 +668,16 @@ Donnons une application « numérique » de la proposition et du corollaire précédents. \subsubsection{Exemple numérique}\label{exemple somme algébriques=algébrique}Soient -$\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$ +$√{3}$ et $√[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$ et $T³-2$ respectivement. Ces polynômes de petit degré étant sans racine dans $𝐐$, -ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(\sqrt{3}):𝐐]=2$ -et $[𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$ -engendrés par ces racines : $K=𝐐(\sqrt{3})$ et $L=K(\sqrt[3]{2})$. -Comme $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans +ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(√{3}):𝐐]=2$ +et $[𝐐(√[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$ +engendrés par ces racines : $K=𝐐(√{3})$ et $L=K(√[3]{2})$. +Comme $√[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans $K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité \ssi $T³-2$ est irréductible dans $K$. De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients -rationnels en $\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$, par exemple $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$, +rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$, appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme. @@ -703,20 +703,20 @@ $$ On vérifie par le calcul que son polynôme caractéristique $\det\big(T\Id_V-(x+y)\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$. -Par construction, $\sqrt{3}$ (resp. $\sqrt[3]{2}$) est une valeur +Par construction, $√{3}$ (resp. $√[3]{2}$) est une valeur propre de $x$ (resp. $y$). Ces endomorphismes commutent, de sorte qu'ils sont codiagonalisables sur $𝐂$. La somme -$α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme +$α=√{3}+√[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme somme $x+y$, et est donc une racine du polynôme ci-dessus. La réduction modulo $7$ de ce polynôme étant irréductible (cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}), il est irréductible sur $𝐐$. -Il en résulte que $[𝐐(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(\sqrt{3}):𝐐][𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général +Il en résulte que $[𝐐(√{3}+√[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(√{3}):𝐐][𝐐(√[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général en ce sens, cf. \ref{application-de-Galois-deg(x+y)=produit-si-premiers-entre-eux}.) De la même façon, on vérifie par le calcul que -$\sqrt{3}\sqrt[3]{2}$, ou plus généralement -tout élément de $𝐐[\sqrt{3},\sqrt[3]{2}]=\{P(\sqrt{3},\sqrt[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$, +$√{3}√[3]{2}$, ou plus généralement +tout élément de $𝐐[√{3},√[3]{2}]=\{P(√{3},√[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$, est algébrique sur $𝐐$. @@ -833,12 +833,12 @@ u(λ)u'(λ')$ est un idéal \emph{premier}, car $E$ est intègre, mais non nécessairement maximal. Cela est lié au fait que l'image de $u\star u'$ n'est \emph{a priori} qu'une sous-$k$-\emph{algèbre} (cf. \ref{extension-composee=corps-engendre}). \item Deux extensions composées ne sont pas nécessairement isomorphes. -Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2}]⊂𝐂$ de degré +Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[√[3]{2}]⊂𝐂$ de degré $3$ de $𝐐$, l'anneau $K⊗_𝐐 K$ se surjecte sur $K$, par l'application évidente $λ⊗μ\mapsto λμ$, -mais aussi sur l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par -l'application envoyant $\sqrt[3]{2}⊗1$ sur $\sqrt[3]{2}$ et -$1⊗\sqrt[3]{2}$ sur $j\sqrt[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice +mais aussi sur l'extension $𝐐[√[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par +l'application envoyant $√[3]{2}⊗1$ sur $√[3]{2}$ et +$1⊗√[3]{2}$ sur $j√[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice \ref{non unicite composition} ci-dessous.) En particulier, la notation $K K'$ pour une extension composée de $K\bo k$ et $K'\bo k$ n'est raisonnable que si l'on s'est auparavant @@ -2625,8 +2625,8 @@ toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers dont les autres racines sont des nombres complexes de module strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle \[ -\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+ -\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960 +√[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}+ +√[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960 \] (cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit nombre de Pisot.}. -- cgit v1.2.1