From 73338f20ed08800ccd3869a2b6cae7d6a8ae83c4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Fabrice (eramangarria)" Date: Fri, 19 Oct 2012 16:20:09 +0200 Subject: =?UTF-8?q?[LG]=20formule=20g=C3=A9n=C3=A9rale=20de=20Poisson-Riem?= =?UTF-8?q?ann-Roch=C2=A0:=20fin=20de=20la=20d=C3=A9monstration?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapitres/locaux-globaux.tex | 91 ++++++++++++++++++++++++-------------------- 1 file changed, 49 insertions(+), 42 deletions(-) (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex') diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 87a3ab1..a870a9b 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4040,71 +4040,78 @@ sur tout compact de $𝐑^N$. La définition \ref{BS-local} nous ramène à la convergence de la série $∑_{k ∈ 𝐙^N} \frac{1}{1+|k|^{s}}$ un $s$ suffisamment grand ; chaque $s>N$ convient. -\subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin} +\subsubsection{Formule de Poisson : démonstration} Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$ et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$. Munissons $G$ d'une mesure -de Haar et $X$ de la mesure quotient $\dot{μ}$ associée (\ref{mesure quotient}, \ref{domaine fondamental}). -Soient $f$ comme dans l'énoncé et $F : X → 𝐂$ la fonction continue -déduite de +de Haar $μ_G$ et $X$ de la mesure quotient $μ_X$ associée (\ref{module et mesure quotients}). +Fixons $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et considérons sa périodisée $F : X → 𝐂$, déduite de la +fonction (continue) \[ -g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ) +g ∈ G ↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ) \] -par passage au quotient. Posons $v_μ=\dot{μ}(X)$ -Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée (\ref{} \XXX) -de l'espace de Hilbert $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$. +par passage au quotient $G ↠ X=G ∕ Γ$. Notons $v_μ$ le volume $μ_{X}(X)$ +de $X$ et $μ′_X=v_μ^{-1} μ_X$ la mesure de probabilité sur $X$ déduite de $μ_X$. +Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée +de l'espace de Hilbert $L²(X,μ′_X)$ (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii), démonstration). Il résulte d'autre part de \ref{caractères séparent les points} et du théorème de densité de Stone-Weierstraß (\BourbakiTG{X.§4, th. 3}) -que toute fonction de $𝒞(X,𝐂)$ peut être uniformément approchée -par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$ : -la famille des caractères (continus) de $X$ est donc une -\emph{base hilbertienne} de $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$. +que toute fonction continue sur $X$ à valeurs complexes peut être uniformément approchée +par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$. +La famille des caractères (continus) de $X$ est donc une +\emph{base hilbertienne} de $L²(X,μ′_X)$. On peut donc écrire, dans cet espace, \[ F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x}, \] -où $(c_∙(F)) ∈ ℓ²(\chap{X})$. -Nous allons montrer que cette famille de coefficients appartient +où $\chap{X}$ désigne l'ensemble des caractères continus $\{\chap{x}\}$ de $X$ +(à valeurs dans $𝐔$) et la famille des coefficients $c_{\chap{x}}(F)$ +appartient à $ℓ²(\chap{X})$. +Nous allons montrer que cette famille appartient à $ℓ¹(\chap{X})$, de sorte que la décomposition précédente -est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$ -et, en évaluant en l'identité $0$ de $X$, +de $F$ est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$ +et que l'on a, en évaluant en l'identité $0$ de $X$, +l'égalité \[ -∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F). +∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F), \] -Calculons. +qui s'avère être l'égalité désirée (\emph{a priori} à une constante multiplicative près). +Calculons : \[ -c_{\chap{x}}(F) -=v_μ ^{-1} ∫_X F(\dot{g}) \sur{\chap{x}(\dot{g})} d \dot{μ}(\dot{g}) -=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ(g) -=v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}), +c_{\chap{x}}(F) := ⟨F,\chap{x}⟩_{L²(X,μ′_X)} +=∫_X F(x) \sur{\chap{x}(x)} d μ′_X(x) +=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ_G(g) +=:v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}), \] -où la dernière égalité est une définition du terme de droite. - -Considérons maintenant le cas où $μ=μ_ψ$ et reprenons les notations de l'énoncé. -Rappelons que d'après \ref{dual des classes de adèles}, +où l'avant-dernière égalité est conséquence +de \ref{module et mesure quotients} — car on a choisi la mesure de comptage +sur $Γ$ —, et la dernière est une définition du terme de droite. +Appliquons ce qui précède lorsque $μ$ est la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ associée +à un caractère non trivial $ψ$. D'après d'après \ref{dual des classes de adèles}, chaque caractère $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour -un unique $λ ∈ K$. Par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a -\[ -ℱ_μ(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ) -\] -Comme on l'a vu \emph{loc. cit.}, $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$ -de sorte que, d'après \ref{lemme de convergence normale sur compacts}, -$λ↦ ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$. +un unique $λ ∈ K$ et, par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a +$ℱ_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)$. +Comme on l'a vu précédemment (\ref{définition Fourier adélique} et +\ref{lemme de convergence normale sur compacts}), $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$ +et $λ↦ ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$. On a donc montré l'égalité \[ -∑_λ f(λ) = v_μ ^{-1} ℱ_ψ(f)(λ) +∑_{λ ∈ K} f(λ) =c ⋅ ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ) \] -pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. +pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où $c$ %=v_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ} ^{-1}$ +est une constante positive. Il résulte immédiatement de la formule d'inversion (ii) -et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $v_μ ^{-2} =1$ d'où $v_μ=1$ -car $v_μ$ est positif. Ceci démontre la formule de Poisson et (i). - -(iv) Résulte immédiatement de (iii) et des formules -$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX +et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $c²=1$, d'où $c=1$. +CQFD. +\subsubsection{Formule de Poisson-Riemann-Roch} +La formule (iv) résulte de la formule de Poisson que l'on vient +d'établir, appliquée à la fonction $[×ι]^*f$, +et de l'égalité $ℱ_ψ([×ι]^*f)=|ι|^{-1}[× ι^{-1}]^* ℱ_ψ(f)$, +elle-même conséquence immédiate de \ref{Fourier et mesure locaux}, (iii.a). \begin{remarque2} -Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II}. -\XXX +Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II} ; cf. +notes à la fin. \XXX \end{remarque2} \subsection{Le théorème de Riemann-Roch} -- cgit v1.2.1