From d9b463f8d452f692205bee39eabff6ec0cfd5de7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "Fabrice (Darwin)" Date: Fri, 26 Oct 2012 11:59:44 +0200 Subject: =?UTF-8?q?[LG]=20style=20(suppression=20de=20=C2=AB=C2=A0d=C3=A9j?= =?UTF-8?q?=C3=A0=C2=A0=C2=BB=20inutiles)=20+=20=CE=B5?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapitres/locaux-globaux.tex | 31 ++++++++++++++----------------- 1 file changed, 14 insertions(+), 17 deletions(-) (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex') diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 7912ef9..486367a 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -111,7 +111,7 @@ de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$ Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes démo}, où l'on fait usage des résultats des paragraphes qui -vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats déjà établis +vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats établis dans le chapitre précédent, la principale difficulté est de munir un corps localement compact d'une valeur absolue. Celle-ci sera construire via la théorie de l'intégration @@ -2065,7 +2065,7 @@ comme il est loisible d'après \ref{epsilon par translation et produit}, (ii). Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est à support dans $𝒪$. D'autre part, par définition, c'est la fonction $x↦ ∫_{𝒪^×} χ^{-1}(y) ψ(xy)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$. À moins que $χ_{|𝒪^×}$ ne soit trivial (c'est-à-dire $χ$ net, ou encore $a=0$). -on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant déjà été traité, supposons maintenant $a>0$. +on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant été traité, supposons maintenant $a>0$. Pour $x ∈ 𝒪-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$ et la formule \ref{module=module} entraîne : $ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} 𝒪^×} χ^{-1}(z) ψ(z)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$. @@ -2984,7 +2984,7 @@ où le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$, et $C^∘$ le voisinage ouvert Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel dont l'image dans chaque $𝐐_p$ appartient à $𝐙_p$ est entier, c'est-à-dire dans $𝐙$. D'autre part, le seul entier dans $]-½,½[$ est l'entier nul. -Ceci prouve déjà que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également +Ceci prouve que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également fermé — car discret dans un espace séparé — de sorte que le groupe topologique quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐$ est séparé (\ref{discrétion et séparation quotient}). Pour montrer la compacité du quotient, @@ -3010,7 +3010,7 @@ de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\} fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$ appartient à $𝒪_{𝐅_p(t),P}$ est un polynôme, c'est-à-dire dans $𝐅_p[t]$. D'autre part, le seul polynôme dans $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))$ est le polynôme nul. -Ceci prouve déjà que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$. +Ceci prouve que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Pour montrer que le quotient (séparé) $𝐅_p(t)_𝐀/𝐅_p(t)$ est compact, il suffit de vérifier l'égalité $C+𝐅_p(t)=𝐅_p(t)_𝐀$, c'est-à-dire que le groupe additif quotient $𝐅_p(t)_𝐀 / 𝐅_p(t)_𝐀(Σ-\{∞\})$ @@ -4179,7 +4179,7 @@ l'égalité : Fixons un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(ι)$. Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$ (dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts}, -a déjà été observée en \ref{finitude K inter O sur a}), +a été observée en \ref{finitude K inter O sur a}), n'est autre que l'ensemble \[ L(𝔞):=\{f ∈ K: \div(f) ≥ - 𝔞\}, @@ -4317,22 +4317,19 @@ De plus, $\Spec(𝒪_K(U))=U ∪ \{(0)\}$. Cf. [Rosen, p. 247] \XXX -\begin{remarques2} -\begin{enumerate} -\item Munissons l'ensemble $Σ$ de la topologie suivante, -dite de Zariski (cf. \refext{AC}{}) : un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou vide. -Le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire -$(Σ,𝒪_K)$ (« espace annelé ») est un \emph{schéma}. C'est une courbe projective lisse -sur $𝐅_p$. +\subsubsection{}Si l'on muni l'ensemble $Σ$ de la topologie +de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}), +en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou +vide, le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire +$(Σ,𝒪_K)$ est \textbf{espace annelé} d'un type particulier, appelé \textbf{schéma}. +Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$. \XXX -\item Observons que les résultats de la proposition précédente ont -déjà été obtenus en \ref{sections globales droite projective} -dans le cas particulier d'un corps de fonctions rationnelles $𝐅_p(t)$. +\item Les résultats de la proposition précédente ont +été établis en \ref{sections globales droite projective} +lorsque $K=𝐅_p(t)$. \item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.) %(Cf. Joël Riou, forum 2007.) -\end{enumerate} -\end{remarques2} \begin{proposition2} Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme -- cgit v1.2.1