From 911625917238cb77fb180aa8fdd9b6ca16e3e10a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Wed, 23 Mar 2011 16:39:35 +0100 Subject: =?UTF-8?q?[Alg]=20Extension=20s=C3=A9parable=20maximale=20dans=20?= =?UTF-8?q?une=20extension=20alg=C3=A9brique=20donn=C3=A9e.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- chapitres/extensions-algebriques.tex | 23 ++++++++++++++++++----- 1 file changed, 18 insertions(+), 5 deletions(-) (limited to 'chapitres') diff --git a/chapitres/extensions-algebriques.tex b/chapitres/extensions-algebriques.tex index 00e4eeb..b246206 100644 --- a/chapitres/extensions-algebriques.tex +++ b/chapitres/extensions-algebriques.tex @@ -2170,6 +2170,22 @@ Par définition (\ref{pot-diag-reduit}), $f$ est donc séparable. \subsection{Clôture séparable} +\begin{proposition2}\label{extension-algebrique-separable-maximale} +Soit $K\bo k$ une extension algébrique de corps. L'ensemble $K_0$ des +éléments de $K$ séparables sur $k$ est une extension algébrique +séparable de $k$ : c'est la plus grande extension séparable de $k$ +contenue dans $K$. +\end{proposition2} +\begin{proof} +Soient $x,y∈K$ séparables sur $k$. L'extension composée $k(x,y)$ de +$k(x)$ et $k(y)$ dans $K$ est algébrique séparable sur $k$ d'après +\ref{compose-etale} de sorte que $x+y$, $xy$, et $x^{-1}$ si $x≠0$, +sont également séparables sur $k$. L'ensemble $K_0$ est donc un corps, +contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$, et toute extension +algébrique séparable de $k$ contenue dans $K$ est par définition +contenue dans $K_0$, de sorte que c'est bien la plus grande. +\end{proof} + \begin{définition2} Un corps $K$ est dit \emph{séparablement clos} si toute extension étale de $K$ est triviale. @@ -2186,11 +2202,8 @@ sous-corps séparablement clos de $Ω$ contenant $k$. \end{proposition2} \begin{démo} -Soient $x,y∈Ω$ séparables sur $k$. L'extension -composée $k(x,y)$ de $k(x)$ et $k(y)$ dans $Ω$ est algébrique séparable sur $k$ d'après -\ref{compose-etale} de sorte que $x+y$, $xy$, et -$x^{-1}$ si $x≠0$, sont également séparables sur $k$. L'ensemble -$Ω₀$ est donc un corps, contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$. +D'après \ref{extension-algebrique-separable-maximale}, on sait que +$Ω₀$ est un corps contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$. Si $z∈Ω$ est séparable sur $Ω₀$, il est séparable sur une sous-$k$-extension \emph{étale} $k'$ de $Ω₀$, par exemple le corps engendré sur $k$ par les coefficients du polynôme -- cgit v1.2.1