From bdf2a92f9d6be16f31f198ab5a5ce8a821bac7e0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Fri, 29 Apr 2011 16:26:25 +0200 Subject: =?UTF-8?q?[calculs]=20Encore=20une=20condition=20sans=20int=C3=A9?= =?UTF-8?q?r=C3=AAt.?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Je m'embourbe complètement. --- chapitres/calculs-galois.tex | 14 ++++++++++---- 1 file changed, 10 insertions(+), 4 deletions(-) (limited to 'chapitres') diff --git a/chapitres/calculs-galois.tex b/chapitres/calculs-galois.tex index 6103b78..69cf35c 100644 --- a/chapitres/calculs-galois.tex +++ b/chapitres/calculs-galois.tex @@ -1073,6 +1073,9 @@ engendrée par $d$ éléments $\xi_1,\ldots,\xi_d$. Alors, pour $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} +\item pour toute orbite $\Omega$ de $H$ agissant sur les monômes en + les variables $Z_1,\ldots,Z_d$, on a $\sum_{M\in\Omega} + M(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$ ; \item pour tout polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $H$ (c'est-à-dire tel que $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)$ dès que $\sigma\in H$) on a @@ -1085,8 +1088,11 @@ sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$, les affirmations suivantes sont \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{proof} -Le fait que (ii) implique (i) est trivial. Montrons que (i) implique -(ii) : soit $R = P/Q$ avec $P,Q \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ sans facteur +Le fait que (ii) implique (i) est trivial, et l'implication réciproque +résulte de la remarque \ref{base-des-polynomes-invariants}. + +Le fait que (iii) implique (ii) est trivial. Montrons que (ii) implique +(iii) : soit $R = P/Q$ avec $P,Q \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ sans facteur commun (on rappelle que $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est factoriel, ce qui donne un sens à cette affirmation), où $Q$ ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ et où $R$ est invariante par $H$. Pour chaque @@ -1100,7 +1106,7 @@ $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$. Si on introduit $Q^* = \prod_{\sigma\in H} \prod_{\sigma\in H} \sigma(P) = (\prod_{\sigma\in H} c_\sigma^{-1}) P$, on a $P^*/Q^* = P/Q = R$, le polynôme $Q^*$ ne s'annule pas en $(\xi_1,\ldots,\xi_d)$, et comme $P^*$ et $Q^*$ sont tous deux -invariants par $H$, la conclusion du (i) permet d'affirmer que +invariants par $H$, la conclusion du (ii) permet d'affirmer que $R(\xi_1,\ldots,\xi_d) = P^*(\xi_1,\ldots,\xi_d)/Q^*(\xi_1,\ldots,\xi_d) \in K$. \end{proof} @@ -1128,7 +1134,7 @@ proposition ci-dessus.) \end{question2} \begin{remarque2} -Il est tentant, pour répondre à la question, de comparer le (ii) de la +Il est tentant, pour répondre à la question, de comparer le (iii) de la proposition \ref{action-sur-les-racines-polynomes-et-fractions-rationnelles} avec \ref{polynomes-invariants-de-sous-groupes}. Notamment, on sait qu'il existe des polynômes $P$ tels que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = -- cgit v1.2.1