From e47372bf507c21ba62cd82799aeaa82486b16def Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david@procyon.(none)>
Date: Thu, 7 Apr 2011 17:43:22 +0200
Subject: =?UTF-8?q?[calculs]=20Un=20lemme=20d=C3=A9pendant=20d'un=20sous-l?=
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MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
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 chapitres/calculs-galois.tex | 47 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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(limited to 'chapitres')

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index 6e1bbdd..2094169 100644
--- a/chapitres/calculs-galois.tex
+++ b/chapitres/calculs-galois.tex
@@ -1048,7 +1048,7 @@ Sous les conditions de la
 proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
 supposons en outre que $K$ est de caractéristique $p$ et $f =
 X^{p^e}-a$, c'est-à-dire que $\xi_1,\ldots,\xi_d$ (avec $d=p^e$) sont
-tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$.  Alors les deux affirmations de
+tous égaux à $\xi := \root p^e\of a$.  Alors les affirmations de
 la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$ opère
 transitivement sur $\{1,\ldots,p^e\}$.
 \end{lemme2}
@@ -1077,6 +1077,51 @@ $(\xi,\ldots,\xi)$ vaut $\xi^{\#O}$ qui n'appartient pas à $K$ car le
 polynôme minimal $f = X^{p^e}-a$ de $\xi$ est de degré $p^e$.
 \end{proof}
 
+\begin{sslemme2}
+Soient $\xi_1,\ldots,\xi_d$ des éléments distincts d'une extension $L$
+quelconque d'un corps $K$, et soit $\mathfrak{G}$ un sous-groupe de
+$\mathfrak{S}_d$.  Alors il existe un polynôme $P \in
+K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que pour $\sigma \in \mathfrak{S}_d$ les trois
+affirmations suivantes soient équivalentes :
+\begin{itemize}
+\item $\sigma \in \mathfrak{G}$,
+\item $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}) = P(Z_1,\ldots,Z_d)$, et
+\item $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) =
+  P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$.
+\end{itemize}
+\end{sslemme2}
+\begin{proof}
+\XXX
+\end{proof}
+
+\begin{lemme2}
+Sous les conditions de la
+proposition \ref{action-sur-les-racines-pas-forcement-separable},
+supposons en outre que $f$ soit séparable sur $K$.  Alors les
+affirmations de la proposition sont équivalentes à : $\mathfrak{G}$
+contient le groupe de Galois de $f$ (vu comme sous-groupe de
+$\mathfrak{S}_d$ en opérant sur les racines $\xi_1,\ldots,\xi_d$
+de $f$).
+\end{lemme2}
+\begin{proof}
+Si $\mathfrak{G}$ contient le groupe de Galois $G$ de $f$, alors tout
+polynôme $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ invariant par $\mathfrak{G}$ l'est
+en particulier par $G$ opérant sur les $Z_i$, ce qui implique que
+$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) = P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$
+pour tout $\sigma\in G$, c'est-à-dire que $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ est
+invariant par $G$ opérant comme groupe d'automorphismes sur le corps
+de décomposition $L = K(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ de $f$, donc
+$P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ appartient bien au corps fixe $K$ de $G$.
+
+Réciproquement, si $\mathfrak{G}$ ne contient pas le groupe de Galois
+$G$ de $f$, considérons un polynôme $P$ tel que donné par le
+sous-lemme précédent : le polynôme $P$ est invariant
+par $\mathfrak{G}$.  Si $\sigma$ appartient à $G$ mais non à
+$\mathfrak{G}$, on a alors $P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})
+\neq P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ d'après la conclusion du sous-lemme (comme
+$\sigma \in \mathfrak{G}$), donc $P(\xi_1,\ldots,\xi_d) \not\in K$.
+\end{proof}
+
 \subsection{Résolvantes}
 
 \begin{definition2}\label{definition-resolvante}
-- 
cgit v1.2.1