\ifx\danslelivre\undefined \documentclass[9pt]{../configuration/smfart} \input{../configuration/commun} \input{../configuration/smf} \input{../configuration/adresse} \input{../configuration/gadgets} \input{../configuration/francais} \input{../configuration/numerotation} \input{../configuration/formules} \input{../configuration/encoredesmacros} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{srcltx} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix} \usetikzlibrary{calc} \usepackage{palatino,euler} \title{Notions d'algèbre commutative} \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{formes-tordues} \externaldocument{spectre} \externaldocument{verselles} \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} %\textwidth16cm %\hoffset-1.5cm \usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry} \begin{document} \begin{center} Notions d'algèbre commutative \end{center} \tableofcontents \else \chapter{Notions d'algèbre commutative} \fi \newcommand{\Top}{\mathop{\mathrm{Top}}} %%% À faire·: \section{Localisation} \subsection{Localisation}\label{Spec-localisation} \subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative » si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou, de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$. Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$ contenant $S$ et multiplicative. Si $S$ est une partie multiplicative, la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par $(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$ tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note $A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$. On vérifie immédiatement que les opérations \[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et \[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$ d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application $A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}. Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose $A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l' \emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la $A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble $A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt $A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre, le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$. \begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé} Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$. Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$ d'image \[ \{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}. \] \end{proposition2} En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$, le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$ car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$. L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal maximal. \begin{démo} On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car $𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$. Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$ car tout élément de $S$ est envoyé par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments. Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→ \{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection. Nous allons vérifier ci-dessous que l'application envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$ en est l'inverse. Fixons $𝔭$. Commençons par observer que tout élément de $𝔮$ est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$. (Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$ se met au même dénominateur.) Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier. Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$, où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau des fractions, il existe $t∈S$ tel que \[(ts'')(aa')=(tss')x.\] Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$. Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à $𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$. Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application $𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$. D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable et, finalement, $a∈𝔭$. Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori} $(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$ et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$. \end{démo} Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$, on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$ défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$. Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant, qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude} (cf. \refext{Tens}{platitude localisation}). \begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation} Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$. Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau, le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$, est également injectif. \end{proposition2} \begin{démo} Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau. Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$. Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que $f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et, finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori}, son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul. \end{démo} \subsection{Conditions locales sur les modules} \begin{proposition2} Un module localement nul est nul. \end{proposition2} \begin{définition2} Module localement libre. \end{définition2} \begin{proposition2} Groupe de Picard ; lien avec les idéaux fractionnaires [à déplacer sans doute]. \end{proposition2} \begin{proposition2} Passage à la limites : si $A$ intègre, corps des fractions $K$ et $M ⊗ K ≃ N ⊗ K$ avec $M,N$ de type fini, il existe $a$ tel que $M ⊗ A[a^{-1}] ≃ N ⊗ A[a^{-1}]$. \end{proposition2} \section{L'espace topologique $\Spec(A)$} \label{espace-topologique-SpecA} \subsection{Premières propriétés} Notation $V(𝔞)$ ; $D(f)$ (ouvert affine spécial) ; topologie (non séparée en général ; cf. infra). \begin{proposition2} $\Spec(A)$ est quasi-compact. \end{proposition2} \begin{définition2} Radical de Jacobson $\rad(𝔞)$. \end{définition2} \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents} entraîne : \begin{proposition2} $V(𝔞) ⊆ V(𝔟)$ ⇔ $𝔟 ⊆ \rad(𝔞)$. \end{proposition2} \begin{proposition2} Ouvert-fermé de $\Spec(A)$ est de la forme $D(e)$, $e$ idempotent. \end{proposition2} \begin{proposition2} Composante connexe de $\Spec(A)$ est de la forme $V(I)$ où $I$ est engendré par des idempotents (et tel que tout idempotent de $A$ est congru à $0$ ou $1$ modulo $I$). \end{proposition2} \begin{proposition2} $\Spec(A)$ est nœthérien si $A$ l'est. \end{proposition2} \subsection{Topologie constructible, théorème de Chevalley} \begin{définition2} inverse ponctuel. \end{définition2} \begin{proposition2} existence pour chaque $S⊆A$ d'un localisé « ponctuel » satisfaisant propriété universelle. $\Spec(S^{-1}A) → \Spec(A)$ bijection. \end{proposition2} \begin{proposition2} Conditions équivalentes : \begin{enumerate} \item existence inverse ponctuel ; \item tout $A$-module est plat ; \item tout idéal principal est idempotent ; \item tout idéal de type fini est facteur direct ; % Atiyah-MacDonald, chap. 2, exercice 27 \item $\Spec(A)$ séparé et $A$ est réduit ; \item pour tout $𝔭$, $A_𝔭$ est un corps. \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{définition2} anneau absolument plat. \end{définition2} Exemple : algèbre de Boole. \begin{exercice2} Si $A$ est absolument plat, $\Spec(A)$ et $\Spec(\Idem(A))$ sont naturellement isomorphes (cf. Popescu, Vraciu 1976). \XXX \end{exercice2} \begin{théorème2}[Chevalley] Soit $A$ un anneau nœthérien et $B$ une $A$-algèbre de type fini. Alors l'image de $\Spec(B)$ dans $\Spec(A)$ est \emph{constructible}. \end{théorème2} Encore vrai sans hypothèse de nœthérianité si $B$ est de présentation finie. \begin{démo} L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes et les parties constructibles, Olivier (1978). \end{démo} \begin{corollaire2} Image d'un morphisme plat de type fini (sur nœthérien) est ouverte. \end{corollaire2} \section{Quelques conditions de finitude} fini, type fini, présentation finie, longueur finie. nœthérien, artinien, Jordan-Hölder. \begin{proposition2} Un anneau est artinien si et seulement si il est nœthérien de dimension nulle (càd ...). \end{proposition2} \section{Éléments et morphismes entiers} \subsection{Définitions et premières propriétés} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Pour tout élément $b$ de $B$, notons $A[b]$ le sous-ensemble $$ \{∑_{i=0}^r a_i b^i; a_i∈ A, r∈ 𝐍\} $$ de $B$, que l'on peut également définir comme l'image de l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X]→B$ envoyant $X$ sur $b$ ou bien comme la plus petite sous-$A$-algèbre de $B$ contenant l'élément $b$. Plus généralement, pour toute partie $S$ de $B$ on note $A[S]$ l'image de l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X_s, s∈S]→B$ envoyant $X_s$ sur $s$, qui est aussi l'intersection dans $B$ de toutes les $A$-algèbres contenant $S$. \begin{définition2}\label{element-entier} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$ est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini. \end{définition2} \begin{exemples} Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad dans l'image du morphisme structural $A→B$, est entier sur $A$. Moins trivialement, il résulte de la proposition \ref{caracterisation-entiers} ci-dessous que le nombre complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$. \end{exemples} Il est naturel de compléter cette définition par la suivante. \begin{définition2}\label{morphisme-fini} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $B$ est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition2} On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu : sur $A$). Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente. \begin{lemme2}\label{composé de finis=fini} Le composé de deux morphismes finis est fini. Plus généralement, si $A$ est un anneau, $B$ une $A$-algèbre \emph{finie} et $M$ un $B$-module de type fini, le $A$-module $M$ est de type fini. \end{lemme2} \begin{démo} Par hypothèse, il existe deux entiers $r,r'$ et des surjections $A^r↠B$ ($A$-linéaire) et $B^{r'}↠M$ ($B$-linéaire). Par composition, on en déduit une surjection $A$-linéaire $(A^r)^{r'}↠M$. Puisque $(A^r)^{r'}$ est $A$-isomorphe à $A^{rr'}$, la conclusion en résulte. \end{démo} \begin{proposition2}\label{caracterisation-entiers} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Considérons un élément $b∈B$. Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item \label{1} $b$ est entier sur $A$ ; \item \label{2} il existe un polynôme \emph{unitaire} $P∈ A[X]$ tel que $P(b)=0$ ; \item \label{3} il existe un sous-$A$-\emph{algèbre} de $B$ \emph{finie} sur $A$, contenant $b$. \end{enumerate} \end{proposition2} En particulier, si $B$ est finie sur $A$, tout élément de $B$ est entier sur $A$. Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients dans $A$. \begin{miseengarde} L'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$. C'est cependant vrai si $A$ est \emph{nœthérien}. Considérons la sous-$𝐐$-algèbre $A$ de $𝐐[X,Y]$ engendrée par les monômes $X^nY^{n+1}=Y(XY)^n$ pour $n≥0$. La sous-$A$-algèbre $B=𝐐[XY,Y]$ de $𝐐[X,Y]$ est contenue dans le $A$-\emph{module} de type fini $A+A\cdot X$. Cependant, l'élément $XY$ n'est \emph{pas} entier sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans $A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$ de sorte que $P(XY)≠0$. % = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$). \end{miseengarde} \XXX La démonstration ci-dessous est moche. \begin{démo} Montrons que \ref{1} implique \ref{2}. Sous l'hypothèse \ref{1}, il existe des polynômes $P₁,\dots,P_n∈A[X]$ tels que les $P_i(b)$ ($1≤i≤n$) engendrent $A[b]$ comme $A$-module. Si $N$ est un entier strictement supérieur aux degrés de ces polynômes, l'inclusion évidente $∑_{i≤n} A\,P_i(b)⊆∑_{α] (diag-1-1) -- (diag-2-1); \draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2); \draw[->] (diag-1-2) -- node{$R(u,v)$} (diag-1-3); \draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3); \draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$×R(b,b')$} (diag-2-3); \end{tikzpicture} \end{center} est commutatif. (Il suffit de le vérifier pour $R(X,Y)=X$ et $R(X,Y)=Y$.) De ce fait joint au fait que l'unité de $B$ appartienne à l'image de $A^{nm}→A[b,b']$, il suit que toute relation $R(u,v)=0$ entraîne $R(b,b')=0$. Il résulte alors du théorème de Cayley-Hamilton que le polynôme caractéristique de $u+v$ (resp. $uv$), unitaire à coefficients dans $A$, s'annule en $b+b'$ (resp. $bb'$). (Comparer avec \ref{caracterisation-entiers}, démonstration, (iii)⇒(ii).) \end{démo} En utilisant le produit tensoriel d'algèbres sur un anneau quelconque (\refext{Tens}{Tens-produit tensoriel algèbres}), il est possible de donner une version « abstraite » de la démonstration précédente. \begin{démo}[Seconde démonstration] Soient $b$ et $b'$ comme dans l'énoncé. La multiplication dans $B$ induit un morphisme de $A$-algèbres $$ A[b]⊗_A A[b'] → B, $$ dont l'image est la sous-$A$-algèbre $A[b,b']$ de $B$. Les $A$-algèbres $A[b]$ et $A[b']$ étant finies, il en est de même de leur produit tensoriel $A[b]⊗_A A[b']$ (\refext{Tens}{produit tensoriel fini=fini}), et du quotient $A[b,b']$ de ce dernier. (Tout quotient d'un module de type fini est de type fini.) Finalement, $b+b'$, $bb'$ et les $ab$, qui appartiennent à $A[b,b']$, sont donc entiers sur $A$ en vertu de \ref{caracterisation-entiers}, \ref{3}. \end{démo} \begin{remarque2} La définition \ref{element-entier} et la proposition \ref{caracterisation-entiers} s'étendent au cas où $B$ n'est pas nécessairement commutative. Cependant, la démonstration montre seulement que la somme (resp. le produit) de deux éléments entiers \emph{permutables} est entier. \end{remarque2} \begin{définition2}\label{entiere} Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. Si tout élément de $B$ est entier sur $A$, on dit que $B$ est une \emph{$A$-algèbre entière} ou encore que le morphisme $A→B$ est \emph{entier}. \index{morphisme entier} \end{définition2} \begin{proposition2}\label{entier-sur-entier} Le composé de deux morphismes entiers est entier. \end{proposition2} En d'autres termes, si $B$ est une $A$-algèbre entière et $C$ une $B$-algèbre entière, alors $C$ est entier sur $A$ (pour la structure d'algèbre définie par composition). %De la proposition triviale \ref{epi=fini} on tire le corollaire suivant. %\begin{corollaire2}\label{quotient-fini=fini} %Tout quotient d'une algèbre entière (resp. finie) est entière (resp. finie). %\end{corollaire2} \begin{démo} Soient $A,B$ et $C$ comme dans la glose suivant l'énoncé. Soit $c∈C$ ; on veut montrer qu'il est entier sur $A$. Par hypothèse $c$ est racine d'un polynôme unitaire $P=X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots+b₀∈B[X]$. Considérons la sous-$A$-algèbre $B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$ de $B$. Elle est finie sur $A$ d'après \ref{composé de finis=fini} car chacun des morphismes $A→A[b₀]$, $A[b₀]→A[b₀,b₁]$, ..., $A[b₀,\dots,b_{n-2}]→B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$ sont finis. (Ils sont en effet de la forme $D→D[d]$ où $d$ est entier sur $D$.) Puisque $P∈B'[X]$, on voit que la sous-$A$-algèbre $B'[c]$ de $C$ est finie sur $B'$. Il résulte de \emph{loc. cit.} que $B'[c]$ est finie sur $A$ et finalement (d'après \ref{caracterisation-entiers}, (iii)) que $c$ est entier sur $A$. \end{démo} \subsection{Morphismes de type fini} Rappelons la définition suivante. \begin{définition2}\label{algèbre de type fini} Soit $A$ un anneau. Une $A$-\emph{algèbre} $B$ est dite \emph{de type fini} s'il existe un entier $r$ et un épimorphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]↠B$. \end{définition2} On prendra garde de ne pas confondre cette notion avec celle de $A$-\emph{module} de type fini, correspondant à la notion de $A$-algèbre finie. \begin{proposition2}\label{composé-type-fini} Le composé de deux morphismes de type fini est de type fini : si $A→B$ et $B→C$ sont de type fini, le composé $A→C$ est de type fini. \end{proposition2} \begin{démo} Notons $A→B$ et $B→C$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé. Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ ($X_i↦x_i$) et $B[Y₁,\dots,Y_s]↠C$ ($Y_j↦y_j$) sont les épimorphismes dont on suppose l'existence, le morphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r,Y₁,\dots,Y_s]→C$ défini par $X_i↦x_i$, $Y_j↦y_j$ est également surjectif : le morphisme composé $A→C$ est donc de type fini. \end{démo} On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière. Réciproquement : \begin{proposition2}\label{fini=entier+tf} Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini. \end{proposition2} \begin{démo}[Première démonstration] Un morphisme fini est entier et de type fini car une $A$-algèbre finie en tant que $A$-module l'est \emph{a fortiori} en tant qu'algèbre. Démontrons la réciproque. Soient $B$ une $A$-algèbre entière et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres. Notons $b_i$ les images des $X_i$ par ce morphisme, de sorte que $B=A[b_1,\dots,b_r]$. Le morphisme $A→B$ est donc fini (cf. \ref{entier-sur-entier}, démonstration). \end{démo} \begin{démo}[Seconde démonstration] Soient $B$ une $A$-algèbre entière et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres. Montrons que $B$ est finie sur $A$. Notons $b_i$ les images des $X_i$ par ce morphisme, qui se factorise donc à travers un épimorphisme $A[b₁]⊗_A\cdots⊗_A A[b_r]↠B$ car $A[X₁,\dots,X_r]≃A[X₁]⊗_A\cdots⊗_A A[X_r]$ (\refext{Tens}{}). Chaque $A[b_i]$ est un $A$-\emph{module} de type fini ; il en est de même de leur produit tensoriel. \end{démo} \begin{proposition2}\label{localisation-entier=entier} Soient $A→B$ un morphisme entier (resp. fini) et $S$ une partie de $A$. Le morphisme induit $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$ entre les anneaux de fractions associés (\refext{Spec}{Spec-localisation}) est entier (resp. fini). \end{proposition2} Cette proposition est un cas particulier de \ref{cb-entier}. \begin{démo} Quitte à remplacer $S$ par la partie multiplicative engendrée, on peut supposer $S$ multiplicative. Supposons $A→B$ entier et considérons $b/s∈B[S^{-1}]$. On veut montrer qu'il est entier sur $A[S^{-1}]$. Par hypothèse, il existe une relation de dépendance intégrale $b^n+a₁ b^{n-1}+\cdots+a_n=0$. En multipliant l'image de cette relation dans $B[S^{-1}]$ par $1/s^n$, on en tire : \[ (b/s)^n+(a₀/s)(b/s)^{n-1}+\cdots+(a_n/s^n)=0. \] En d'autres termes, $b/s$ est entier sur $A[S^{-1}]$. Pour traiter le cas des morphismes finis, il suffit de vérifier que si $A→B$ est de type fini, il en est de même de $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$. Or, si $b₁,\dots,b_n$ sont des générateurs de $B$ comme $A$-module, il résulte immédiatement de l'égalité $(∑_1^n a_i b_i)/s=∑_1^n (a_i/s)(b_i/1)$ pour tout $n$-uplet $(a_i)$ de $A$ que les éléments $b₁/1,\dots,b_n/1$ de $B[S^{-1}]$ sont générateurs sur $A[S^{-1}]$. \end{démo} \subsection{Intégrité et changement de base} Les résultats de cette section ne seront pas utilisé dans la suite de ce chapitre. \begin{proposition2}\label{stabilite-type-fini} \begin{enumerate} \item Le produit tensoriel de deux morphismes de type fini est de type fini : si $A→B₁$ et $A→B₂$ sont de type fini, le morphisme canonique $A→B₁⊗_A B₂$ est de type fini. \item Un morphisme de type fini reste après changement de base : si $A→B$ est de type fini et $A→A'$ est un morphisme, le morphisme canonique $A'→B⊗_A A'$ est de type fini. \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{démo} (i) Soient $A→B₁$ et $A→B₂$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé. Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B₁$ est un épimorphisme, le morphisme $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A B₂↠B₁⊗_A B₂$ obtenu par changement de base l'est également (\refext{Tens}{produit-tens-exact-a-droite}). Puisqu'un quotient d'une $A$-algèbre de type finie est de type fini, on peut supposer que $B₁$ est une algèbre de polynômes en un nombre fini de variables. De même pour $B₂$. Le résultat est alors trivial car $A[X₁,\cdots,X_r]⊗_A A[Y₁,\dots,Y_s]$ est $A$-isomorphe à $A[Z₁,\dots,Z_{rs}]$ (\refext{Tens}{}). (ii) Même démonstration, où l'on utilise cette fois-ci l'isomorphisme de $A'$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A A'⭇A'[X₁,\dots,X_r]$. \end{démo} \begin{proposition2}\label{cb-entier} Soit $A→B$ un morphisme entier (resp. fini). Alors, pour toute $A$-algèbre $A'$, la $A'$-algèbre $B⊗_A A'$ est entière (resp. finie). \end{proposition2} \begin{démo} D'après \ref{stabilite-type-fini} et \ref{fini=entier+tf}, il suffit de démontrer la proposition dans le cas des morphismes entiers. Pour toute sous-$A$-algèbre finie $C$ de $B$, notons $\gtilde{C}$ l'image de $C⊗_A A'$ dans $B'=B⊗_A A'$. Observons que $B'=⋃\gtilde{C}$ où $C$ parcourt l'ensemble des sous-$A$-algèbres finies de $B$. En effet, tout élément $b'$ de $B'$ est somme (finie) de tenseurs purs : $b'=∑_{i∈I} b_i⊗a'_i$, où $b_i∈B$ et $a'_i∈A'$ de sorte que $b'$ appartient $\gtilde{C}$ où $C$ est la sous-$A$-algèbre finie $C=A[(b_i)_{i∈I}]$ de $B$. Pour conclure, il suffit de montrer que chaque $\gtilde{C}$ est entier sur $A'$. Une telle sous-$A'$-algèbre de $B'$ est même finie : $\gtilde{C}$ est un quotient de $C'=C⊗_A A'$ qui est fini sur $A'$ (comme module) car $C$ l'est sur $A$. \end{démo} \begin{corollaire2}\label{pdt-tens-entiers} Soient $A$ un anneau et $B₁,B₂$ deux $A$-algèbres entières (resp. finies). Le produit tensoriel $B₁⊗_A B₂$ est entier (resp. fini) sur $A$. \end{corollaire2} \begin{démo} Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}. \end{démo} La généralisation suivante du corollaire précédent est également utile. \begin{corollaire2}\label{produit-tensoriel-d-entiers} Soient $k$ un anneau, $A₁$ et $A₂$ deux $k$-algèbres. Si $A₁→B₁$ et $A₂→B₂$ sont deux morphismes entiers (resp. finis), le morphisme $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ qui s'en déduit est également entier (resp. fini). \end{corollaire2} \begin{démo} D'après \ref{cb-entier}, les morphismes $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k A₂$ et $B₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ sont entiers ; d'après \ref{entier-sur-entier} le composé $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ l'est aussi. \end{démo} \subsection{Clôture intégrale, anneaux normaux} \begin{définition2}\label{normalisation,normal} Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre $A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation} de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle, entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau \emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}. \end{définition2} \begin{définition2}\label{fermeture-integrale} L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est appelé \emph{fermeture intégrale de $A$ dans $B$}\index{fermeture intégrale}. \end{définition2} \begin{lemme2} \label{intégralement clos préserve irréductibilité} Soit $A ⊆ B$ une inclusion d'anneaux intègres. On suppose que $A$ est intégralement clos dans $B$. Alors, tout polynôme $P ∈ A[X]$ irréductible unitaire reste irréductible dans $B[X]$. \end{lemme2} \begin{démo} \XXX \end{démo} \XXX \begin{proposition2} \label{clôture intégrale commute à localisation} Clôture intégrale commute à la localisation. En particulier, si $A$ intègre de corps des fractions $K$, $L\bo K$ extension alors la clôture intégrale de $A$ dans $L$ est de corps des fractions $L$. \end{proposition2} \subsection{Normalisation dans une extension séparable} \label{normalisation dans extension séparable} Contre-exemple non japonais. \subsection{Lemme de normalisation} \subsection{Normalisation d'une $k$-algèbre de type fini} \begin{théorème2} \label{k-algèbre-tf-est-japonaise} Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre de type fini intègre. Pour toute extension finie $K′ \bo K$ de son corps des fractions, la clôture intégrale $A′$ de $A$ dans $K′$ est un $A$-module de type fini et une $k$-algèbre de type fini. \end{théorème2} % AC, V, §3.2 (p. 59). % Utilise le théorème de normalisation de Nœther. \subsection{Relèvements des idéaux premiers} \begin{théorème2}\label{relèvement idéaux} Soit $A↪B$ un morphisme \emph{injectif} entier. L'application canonique $\Spec(B)→\Spec(A)$, $𝔮↦𝔮∩A$, est surjective. \end{théorème2} \begin{corollaire2} Soit $A→B$ un morphisme entier. L'image du morphisme $\Spec(B)→\Spec(A)$ est l'ensemble des idéaux premiers de $A$ contenant $\Ker(A→B)$. \end{corollaire2} \begin{démo}[Démonstration du corollaire] En effet, le morphisme $A'=A/\Ker(A→B)→B$ déduit de $A→B$ par passage au quotient est entier, injectif et $\Spec(A')$ est le sous-ensemble de $\Spec(A)$ décrit dans l'énoncé. \end{démo} \begin{démo}[Démonstration du théorème] (Le lecteur qui le souhaite pourra supposer pour simplifier que les anneaux $A$ et $B$ sont intègres.) Soit $𝔭∈\Spec(A)$. Rappelons que l'on note $A_𝔭$ l'anneau des fractions $A[(A-𝔭)^{-1}]$ (cf. \refext{Spec}{Spec-localisation}). Si $A$ est intègre, c'est le sous-anneau du corps des fractions $\Frac(A)$ constitué des éléments pouvant s'écrire avec un dénominateur n'appartenant pas à $𝔭$. D'après \ref{localisation-entier=entier} (resp. \refext{Spec}{Spec-cas particulier platitude localisation}), le morphisme $A_𝔭→B_𝔭=B[(A-𝔭)^{-1}]$ est entier (resp. injectif). D'autre part, $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$ (resp. $\Spec(B_𝔭)→\Spec(B)$) s'identifie à l'inclusion $\{𝔭'∈\Spec(A):𝔭'⊆𝔭\}↪\Spec(A)$ (resp. $\{𝔮∈\Spec(B):𝔮∩A⊆𝔭\}↪\Spec(B)$), cf. \refext{Spec}{Spec-spectre du localisé}. Le diagramme \begin{center} \begin{tikzpicture}[auto] \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{ \Spec(B) & \Spec(A)\\ \Spec(B_𝔭) & \Spec(A_𝔭)\\}; \draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2); \draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2); \draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1); \draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2); \end{tikzpicture} \end{center} étant commutatif, et $𝔭∈\Spec(A)$ appartenant à l'image de l'application $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$, on peut remplacer $A$ par $A_𝔭$ et $B$ par $B_𝔭$. En d'autre termes, on peut supposer $A$ \emph{local}, \cad ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$. Soit $𝔮∈\Specmax(B)$ arbitraire et $𝔭=A∩𝔮$ son image réciproque dans $\Spec(A)$. Le morphisme composé $A↪B↠B/𝔮$ induit une injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD. \end{démo} \begin{lemme2} Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres. L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps. \end{lemme2} \begin{démo} Le fait que $B$ soit un corps si $A$ l'est est une reformulation de \refext{Alg}{Spec=Specmax-cas-part}. Réciproquement, si $B$ est un corps et $a∈A-\{0\}$, l'inverse $b$ de $a$ dans $B$ est entier sur $A$ : $b^n+a₀b^{n-1}+\cdots+a_n=0$ pour un choix convenable d'éléments $a_i$ de $A$. Multipliant cette égalité par $a^{n-1}$, on obtient $b∈A$. L'élément $a$ est donc inversible \emph{dans $A$}. \end{démo} \begin{définition2}\label{idéal dessus-dessous} Soient $A→B$ un morphisme d'anneaux et $𝔞$ un idéal de $A$. On dit qu'un idéal $𝔟$ de $B$ est \emph{au-dessus} de $𝔞$ ou encore est un \emph{relèvement} de $𝔞$ si l'image inverse $𝔟∩A$ de $𝔟$ dans $A$ est égale à $𝔞$ (cf. \refext{Spec}{convention image inverse idéal}). Si cette relation est satisfaite, on dit également que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$. \end{définition2} \begin{corollaire2}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers} Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et $𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal \ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$. \end{corollaire2} \begin{démo} Le premier point résulte du fait que le morphisme $A'=A/𝔭→B'=B/𝔮$ est entier et injectif. Démontrons que l'égalité $𝔭=𝔮∩A=𝔮'∩A$ jointe à l'inclusion $𝔮⊆𝔮'$ force l'égalité $𝔮=𝔮'$. Les applications de localisation $A→A_𝔭$ et $B→B_𝔭$ induisant des injections croissantes sur les spectres, on peut supposer $A$ local. Il résulte du premier point que $𝔮$ et $𝔮'$ sont alors maximaux donc égaux. \end{démo} \begin{corollaire2}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires} Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔞⊆𝔭$ deux idéaux de $A$ et $𝔟$ un idéal de $B$ au-dessus de $𝔞$. Si $𝔭$ est premier, il existe un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$ et au-dessus de $𝔭$. \end{corollaire2} \begin{démo} Le morphisme $A/𝔞→B/𝔟$ étant entier et injectif, il résulte de \ref{relèvement idéaux} qu'il existe un idéal premier de $B/𝔟$ relevant l'idéal premier $\sur{𝔭}=𝔭/𝔞$ de $A/𝔞$. Un tel idéal correspond à un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$, au-dessus de $𝔭$ (cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient}). \end{démo} \subsection{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini} Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant sur $B$ par automorphismes, et $A=\Fix_G(B)$ le sous-anneau de $B$ constitué des invariants. Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux propriétés du morphisme $A→B$ ainsi qu'à celles de l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$ associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses, l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$, \cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$. \subsubsection{Intégralité et finitude} \begin{proposition2}\label{quotient par groupe fini est entier} Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant sur $B$ par automorphismes. Le morphisme $A=\Fix_G(B)→B$ est \emph{entier}. \end{proposition2} Il résulte du théorème \ref{relèvement idéaux} que l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$ est \emph{surjective}. Observons que l'action de $G$ sur $B$ induit une action sur $Y$ et que l'application ci-dessus est $G$-équivariante, l'ensemble $X$ étant muni, tout comme $A$, de l'action triviale de $G$. \begin{démo} Soit $b∈B$ et considérons le polynôme \emph{unitaire} $P_b(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)$. Il s'annule en $b$ et ses coefficients sont $G$-invariants donc dans $A$. L'élément $b$ est donc entier sur $A$. CQFD. \end{démo} Nous allons maintenant énoncer un théorème de finitude, fondamental pour la théorie des invariants. Nous verrons dans un chapitre ultérieur un autre résultat de cette nature, mais de démonstration plus délicate (\refext{}{second théorème quotient fini}). \begin{théorème2}\label{premier théorème quotient fini} Soient $k$ un anneau, $B$ une $k$-algèbre de type fini, $G$ un groupe fini agissant sur $B$ par $k$-automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. Le morphisme $A→B$ est \emph{fini}. De plus, si $k$ est \emph{nœthérien}, $A$ est une $k$-algèbre de type fini. \end{théorème2} \begin{démo} Soient $b₁,\dots,b_n$ des générateurs de $B$ en tant que $k$-algèbre : $B=k[b₁,\dots,b_n]$. Considérons la sous-$k$-algèbre $C$ de $B$ engendrée par les coefficients des polynômes $P_{b_i}$, $1≤i≤n$, (cf. \ref{quotient par groupe fini est entier}, démonstration). Il résulte de \emph{loc. cit.} que $C$ est contenu dans $A$ et que chaque $b_i$ est entier sur $C$. Il en résulte que $B$ est \emph{fini} sur $C$ (\ref{fini=entier+tf}) donc sur $A$. Enfin, $A$ étant une sous-$k$-algèbre de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini sur $k$ si $k$ est nœthérien. \end{démo} \subsubsection{Commutation à la localisation} Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe agissant par automorphismes sur $B$ et $T$ une partie multiplicative de $B$ stable par l'action de $G$. L'anneau localisé $B[T^{-1}]$ (\refext{Spec}{Spec-localisation}) est naturellement muni d'une action de $G$ de sorte que le morphisme canonique $B→B[T^{-1}]$ soit $G$-équivariant : on pose $g(b/t)=g(b)/g(t)$. Posons $A=\Fix_G(B)$ ; le sous-ensemble $S=\Fix_G(T)$ de $A$ est une partie multiplicative. \begin{proposition2}\label{invariants et localisation} Supposons $G$ fini. Le morphisme canonique $A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ est injectif et induit un isomorphisme \[A[S^{-1}]→\Fix_G(B[T^{-1}]).\] \end{proposition2} En d'autres termes, le passage aux invariants commute à la localisation. \begin{démo} Il est clair que l'image de $A[S^{-1}]$ dans $B[T^{-1}]$ est fixe sous l'action de $G$. Vérifions l'injectivité. Si $a/s$ est d'image nulle dans $B[T^{-1}]$, il existe $t∈T$ tel que $ta=0$. Quitte à symétriser $t$, \cad considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer $t∈S$. Ainsi, $a/s=0$ dans $A[S^{-1}]$. Vérifions la surjectivité. Soit $y∈\Fix_G(B[T^{-1}])$ ; on veut montrer qu'il existe $s∈S$ et $a∈A$ tels que $y=a/s$. Quitte à multiplier $y$ par le symétrisé d'un de ses dénominateurs, on peut supposer que $y=b/1$ pour un élément $b∈B$. Puisqu'il est fixe sous l'action de $G$, il existe pour tout $g∈G$ un élément $t_g$ de $T$ tel que $t_g(g(b)-b)=0$. Soit $s$ le symétrisé du produit $t=∏_{g} t_g∈T$. Pour tout $g∈G$, on a $g(sb)-sb=s(g(b)-b)=0$. Ainsi $a=sb$ appartient à $A$ et $y=a/s$. \end{démo} \begin{exercice2} Trouver un triplet $(B,T,G)$ pour lequel l'application $A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ de la proposition \ref{invariants et localisation} n'est pas pas injective. \XXX. \end{exercice2} \subsection{Groupes de décomposition et d'inertie ; action de $G$ sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(A)$}\label{décomposition-inertie et quotient} \begin{théorème2} Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. L'action de $G$ est transitive sur les fibres de l'application $\Spec(B)→\Spec(A)$ : pour toute paire idéaux premiers $𝔮$ et $𝔮'$ de $B$ au-dessus d'un même idéal premier $𝔭$ de $A$, il existe $g∈G$ tel que $g.𝔮=𝔮'$. \end{théorème2} Rappelons que par définition, $𝔮∩A=𝔭=𝔮'∩A$ et que $g.𝔮$ désigne l'idéal $g^{-1}(𝔮)$ (cf. \refext{Spec}{fonctorialite-spectre}). \begin{démo} Soit $y∈𝔮$ et soit $x∈A$ son multiple $∏_{g∈G}g(y)$. Puisque $x∈𝔮∩A=𝔮'∩A$, il appartient en particulier à l'idéal $𝔮'$. Celui-ci étant un idéal \emph{premier}, il existe un $g∈G$ tel que $g(y)∈𝔮'$ ou encore $y∈g.𝔮'$. On donc démontré l'inclusion $𝔮⊆⋃_g g.𝔮'$. Chacun des idéaux $g.𝔮'$ étant premier, il résulte du lemme ci-dessous que l'on a $𝔮⊆g.𝔮'$ pour un $g∈G$ convenable. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers} que $𝔮=g.𝔮'$. CQFD. \end{démo} \begin{lemme2}\label{idéal dans réunion de premiers} Soient $C$ un anneau, $𝔞$ un idéal et $𝔭₁,\dots,𝔭_r$ des idéaux premiers tels que $𝔞⊆⋃_1^r 𝔭_i$. Il existe alors un indice $i$ tel que $𝔞⊆𝔭_i$. \end{lemme2} \begin{démo} On raisonne par récurrence sur $r$, le cas $r=1$ étant trivial. Supposons $r≥2$. S'il existe un indice $j$ tel que $𝔞∩𝔭_j⊆⋃_{i≠j} 𝔭_i$, il résulte de l'égalité $𝔞=⋃_i (𝔞∩𝔭_i)$ que l'idéal $𝔞$ est alors contenu dans la réunion $⋃_{i≠j} 𝔭_i$, auquel cas l'hypothèse de récurrence permet de conclure. Supposons donc par l'absurde que pour chaque indice $j$, il existe un élément $x_j∈(𝔞∩𝔭_j)-⋃_{i≠j} 𝔭_i$. Posons $\chap{x_j}=∏_{i≠j} x_j$ et considérons l'élément $y=∑_j \chap{x_j}$ de $𝔞$. Soit $i$ tel que $y∈𝔭_i$. Pour chaque $j≠i$, $\chap{x_j}∈𝔭_i$ de sorte que finalement $\chap{x_i}$ appartient également à $𝔭_i$. Il en est donc ainsi d'au moins un de ses facteurs $x_j$ ($j≠i$), ce qui est absurde. \end{démo} \begin{remarque2}Il résulte du théorème précédent qu'à conjugaison près, les sous-groupes $D(𝔮)$ et $I(𝔮)$ de $G$ définis en \refext{CG}{décomposition-inertie} ne dépendent que de $𝔭=𝔮∩A$. En effet, si $g∈G$, on a $D(g.𝔮)=gD(𝔮)g^{-1}$ (resp. $I(g.𝔮)=gI(𝔮)g^{-1}$). On note parfois $D(𝔭)$ (resp. $I(𝔭)$) une telle classe de conjugaison de sous-groupes. \end{remarque2} Par construction l'action de $G$ sur $B$ induit une action $A/𝔮$-linéaire de $D(𝔮)$ sur $B/𝔮$, qui se factorise à travers le quotient $D(𝔮)/I(𝔮)$. (Le morphisme $A/𝔭→B/𝔮$ est injectif car $𝔭=𝔮∩A$.) \begin{miseengarde2} L'inclusion $A/𝔭⊆\Fix_{D(𝔮)/I(𝔮)}(B/𝔮)$ n'est pas en général une égalité. Exemple \XXX. \end{miseengarde2} Le théorème ci-dessous est un substitut utile à ce défaut de commutation des invariants par passage au quotient. \begin{théorème2}\label{specialisation galois cas general} Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. Soit $𝔮$ un idéal premier de $B$ au-dessus de l'idéal premier $𝔭$ de $A$. L'extension $κ(𝔮)\bo κ(𝔭)$ est \emph{normale} et le morphisme canonique \[D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{κ(𝔭)}(κ(𝔮)),\] \[gI(𝔮)↦\big(x \mod 𝔮↦g(x) \mod 𝔮\big)\] est un \emph{isomorphisme}. \end{théorème2} \begin{démo} Réductions. Il résulte de \ref{invariants et localisation} que $\Fix_G(B_𝔭)=A_𝔭$. D'autre part l'idéal premier $𝔮$ de $B$ est l'image d'un (unique) idéal premier $𝔮_𝔭$ de $B_𝔮$ par l'application $\Spec(B_𝔭)↪\Spec(B)$ et les corps résiduels $k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (\cad : les morphismes canoniques $κ(𝔭)→κ(𝔭_𝔭)$ et $κ(𝔮)→κ(𝔮_𝔭)$, où $𝔭_𝔭$ est l'idéal maximal de $A_𝔭$, sont des isomorphismes). Enfin l'action de $D(𝔮)$ sur $\Spec(B)$ laisse invariant $\Spec(B_𝔭)$, sur lequel il agit comme $D(𝔮_𝔭)$. On peut donc supposer $A$ local d'idéal maximal $𝔭$. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers} que $𝔮$ est alors maximal également. Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, \cad que pour tout $β∈l=B/𝔮$, il existe un polynôme à coefficients dans $k$, scindé sur $l$ et s'annulant en $β$. (Cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (iv)). Soit $b$ un relèvement de $β$ dans $B$ et considérons $P(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)∈A[X]$. Il est scindé dans $B[X]$ et s'annule en $b$. Son image $p∈k[X]$ déduite de la projection $A↠k$ est un polynôme scindé dans $l[X]$ s'annulant en $β$. Vérifions maintenant que le morphisme $ρ:D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{k}(l)$ est un isomorphisme. Il est injectif par définition de $I(𝔮)$. Cas particulier où l'extension $l\bo k$ est séparable. Elle est finie. \XXX Soit $β$ un élément primitif \refext{Alg}{element-primitif}. Tout élément $σ$ de $\Aut_k(l)$ est donc caractérisé par l'image $σ(β)$ de $β$. Par définition du morphisme $ρ$, il nous faut montrer que pour tout $σ$, il existe $g∈D(𝔮)$ et un relèvement $b$ de $β$ tel que $g(b)-b∈𝔮$. Les idéaux $g.𝔮$ pour $g∉D(𝔮)$ étant maximaux et différents de $𝔮$, il résulte du lemme de Bézout qu'il existe un élément $b∈B$ tel que $b≡β\,\mod𝔮$ et $b∈g.𝔮=g^{-1}(𝔮)$ pour $g∉D(𝔮)$. Pour un tel élément, considérons $P(X)=∏_{g∈D(𝔮)} \big(X-g(b)\big)∈A[X]$ et $p∈k[X]$ sa réduction modulo $𝔮$. Au vu de notre choix de $b$, le polynôme $p$, vu dans $l[X]$, se factorise sous la forme \[ p=X^{\# G-D(𝔮)}∏_{g∈D(𝔮)}\big(X-(g(b)\,\mod 𝔮)\big). \] Le second facteur appartient donc à $k[X]$ et s'annule en $β$. L'élément $σ(β)$ est donc l'une de ses racines. CQFD. Cas général. Soit $l\bo k$ comme dans l'énoncé et $σ∈\Aut_k(l)$. Elle est algébrique. \XXX Considérons la plus grand sous-$k$-extension séparable $k'$ de $k$ ; elle est stable par tout automorphisme de $l$ sur $k$. La démonstration ci-dessus montre que $k'\bo k$ est nécessairement finie, donc admet un élément primitif, et que si $σ'∈\Aut_k(k')$ est la restriction de $σ$ à $k'$, il existe $g∈D(𝔮)/I(𝔮)$ induisant l'automorphisme $σ'$ sur $k'$. Il résulte du lemme ci-dessous que $g$ induit l'automorphisme $σ$ sur $l$ tout entier. \end{démo} \begin{lemme2} Deux automorphismes d'une extension algébrique coïncident \ssi ils agissent de la même manière sur les éléments séparables. \end{lemme2} Ce lemme est un cas particulier de \refext{RT}{}. \begin{démo} Soient $L\bo K$ l'extension et $σ,τ∈\Aut_K(L)$ les automorphismes. Supposons que pour tout élément $x∈L$ séparable sur $K$, on ait l'égalité $σ(x)=τ(x)$. Montrons que $σ=τ$. Soit $K'$ la clôture séparable de $K$ dans $L$, c'est-à-dire le sous-corps (cf. \XXX) de $L$ consituté des éléments séparables. On va montrer par récurrence sur le degré inséparable $[K'[x]:K']$ de $x$ que $σ(x)=τ(x)$ pour tout $x∈L$. Si $[K'[x]:K']=1$, c'est hypothèse. Supposons $[K'[x]:K']=n>1$. Le polynôme minimal de $x$ sur $K'$ n'étant pas séparable, il est donc de la forme $f(T^p)$ où $p$ est la caractéristique de $K$, nécessairement non nulle (cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}). Ainsi, $x^p$ est racine du polynôme $f(T)$, irréductible sur $K'$. Il en résulte que $[K'[x^p]:K']=n/p0$. \end{démo} \begin{remarque3} On montrera plus tard que pour toute $A$-algèbre $A'$, le morphisme $A'→\Fix_G(B⊗_A A')$ est un isomorphisme si $A→A'$ est \emph{plat} et même dans les cas où ce morphisme n'est pas un isomorphisme, l'application induite sur les spectres $\Spec(\Fix_G(B⊗_A A'))⥲\Spec(A')$ est néanmoins une bijection. %Voir aussi Liu, « Quotient maps and base change ». \end{remarque3} \section{Théorie de la dimension} \subsection{Généralités} \begin{définition2} Dimension d'un anneau. \end{définition2} Corollaires Cohen-Seidenberg. Exemple : anneaux de polynômes. \subsection{Nullstellensatz} + méthode ad hoc dans le cas d'un corps indénombrable. \subsection{Applications} \begin{proposition2} Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre de type fini intègre. $\dim(A)=\deg.tr(\Frac(A)$. \end{proposition2} \begin{proposition2} Finitude de la normalisation dans le cas d'algèbres sur un corps. \end{proposition2} \begin{proposition2} Soit $A$ un anneau intègre, $K=\Frac(A)$ et $f ∈ A[X₁,…,X_n]$ où $n ≥ 1$. Si $f$ est irréductible sur une clôture algébrique $\sur{K}$ de $K$, il existe un élément $a$ de $A$, non nul, tel que pour tout corps quotient $A ↠ k$ tel que l'image de $a$ soit non nulle, le polynôme $f_k ∈ k[X₁,…,X_n]$ est irréductible. % et même géométriquement irréductible \end{proposition2} %\begin{démo} %Écrivons $f=∑ a_α X^α$ et notons $d$ le degré total de $f$. %Fixons deux entiers $p,q$ tels que $p+q=d$. Regarder %l'idéal de $A[b,c]$ engendré par les équations $a_α=∑_{β+γ=α} b_β c_γ$ %et appliquer le Nullstellensatz. \XXX %\end{démo} \subsection{Anneaux de Jacobson} \section{Complétion} % référence : de Jong. \begin{définition2} $A$ anneau $I$ idéal $M$ module. $\chap{A}$, $\chap{M}$. \end{définition2} \begin{définition2} Complet si $M ⥲ \chap{M}$. \end{définition2} \begin{miseengarde2} Il existe un anneau $A$ et un idéal maximal $𝔪$ de $A$ tel que la limite projective $\chap{A}=\lim A/𝔪^n$ ne soit pas complète. \end{miseengarde2} \begin{proposition2} \label{Nakayama} Lemme de Nakayama \end{proposition2} \begin{corollaire2} $\chap{M}$ est séparé pour la topologie $𝔪$-adique si $A$ est nœthérien, $M$ de type fini. \end{corollaire2} \begin{proposition2} Artin-Rees. \end{proposition2} \begin{proposition2} Exactitude dans le cas nœthérien. Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini). \end{proposition2} \begin{proposition2} Lemme de Hensel. \end{proposition2} \begin{proposition2} Les conditions suivantes sont équivalentes : [...] \end{proposition2} \begin{définition2} Anneau hensélien. \end{définition2} \begin{proposition2} Équivalence de catégories $k$-algèbre étale, $A$-algèbres étales. \end{proposition2} \begin{démo} Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens. \end{démo} \subsection{Hensélisation} \section{Fonctions $ζ$} \begin{définition2} \label{définition fonction zêta Hasse} \XXX $A$ $𝐙$-algèbre de type fini. \[ ζ_A^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{x ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1-♯κ(x)^{-s}}. \] \end{définition2} \section{¶ Un théorème de comparaison} \subsection{}Soit $A$ une $𝐂$-algèbre de type fini. \begin{définition2} $\Top(A)$ espace topologique. \end{définition2} \begin{proposition2}[Théorème de comparaison de Riemann] Soit $P ∈ 𝐂[X,Y]$ un polynôme irréductible. Le fermé $𝒵=\{(x,y) ∈ 𝐂²: P(x,y)=0\}$ de $𝐂²$ est \emph{connexe}. \end{proposition2} %\begin{démo} % tirée d'un TD de Gaëtan %Soit $S$ un ensemble fini de points de $𝐂$. On note $H_S$ l'anneau %des fonctions méromorphes sur $𝐂$ sans pôles hors de $S$. C'est un %anneau intègre. Le sous-anneau $F_S$ des fractions rationnelles dans $H_S$ %est intégralement clos dans $H_S$. (En effet, si $f^n=∑_0^{n-1} a_i f^i$, %et $z ∉ S$, $|f(z) ≤ 1+∑ |a_i(z)|$.) %Quitte à faire un changement de variables linéaire $(x,y) ↦ (x,λ x %+y)$, on peut supposer que $P$ est unitaire vu comme élément %de $𝐂(Y)[X]$ ; on note $d$ son degré. La projection $π : 𝒵 → 𝐂$, %$(x,y) ↦ y$ est un revêtement à $d$ feuillets au-dessus d'un ouvert %de Zariski non vide $U=𝐂-S$. Soit $𝒲$ une composante connexe de %$π^{-1}(U)$. La fonction $𝐂-S → 𝐂[T]$, $x ↦ ∏_{z ∈ 𝒲_x} (T-z)$ %appartient à $H_S[T]$. %On utilise alors \ref{intégralement clos préserve irréductibilité}. \XXX %\end{démo} Plus généralement : \begin{théorème2} $A$ est connexe ssi $\Top(A)$ est connexe. \end{théorème2} %\begin{démo}[Esquisse] %\begin{enumerate} %\item On a déjà vu que si $A ≠ 0$, $\Top(A)$ est non vide %(Nullstellensatz). Comme $\Top(A×B) = \Top(A) ∐ \Top(B)$ %et $A ↠ B$ induit $\Top(B) ↪ \Top(A)$ [immersion fermée], %on a l'implication $\Top(A)$ connexe ⇒ $A$ connexe. % %\item Soit $A$ intègre de type fini sur $𝐂$ et $a ≠ 0$ dans $A$. %Alors, $\Top(A)$ est connexe si et seulement si $\Top(A[a^{-1}])$ %l'est. Variante : $\Top(A/a)$ est partout rare. Cf. Red book, §10, %recopié ici. %\begin{itemize} %\item On peut supposer $X$ normal car si $A\norm$=normalisation de $A$, %et $X\norm=\Spec(A\norm)$, %$π:X\norm→X$ est %surjectif donc si $∃$ $D⊂Z^{an}$ boule %ouverte, $π^{-1}(D)$ est ouvert et dans ${Z\norm}^{an}=π^{-1}(Z^{an})$. %D'autre part, $A\norm$ est une $𝐂$-algèbre de type fini (cf. \ref{}). %\item D'après le lemme de normalisation (\ref{}), il existe $A₀=𝐂[X₁,…,X_d]⊆A$ %tel que $A₀→A$ soit fini. Puisque $A$ est normal (et $A₀$ aussi), %il existe $a₀∈A₀$ tel que $a|a₀$. En effet, $a₀:=∏_σ σ(a)=N_K/K₀(a)$ %est entier sur $A₀$ (car chaque $σ(a)$ l'est) et appartient à %$K₀$. D'autre part, $a|a₀$ car chaque $σ(a)∈A$ ($A$ est normal). On %peut donc supposer que $a=a₀∈A₀$. (Remplacer $a$ par un multiple %$a₀$ grossit $Z^{an}$.) %\item Soit $z∈\Top(A)$ tel que $a(z)=0$. Soit $z₀$ son image %dans $\Top(A₀)=𝐂^d$. On a $a(z)=a₀(z₀)=0$. %Rappel : $A=𝐂[X₁,…,X_d,Y₁,…,Y_r]/(g_1,…,g_e)$ donc %$\Top(A)=\{(x₁,…,x_d,y₁,…,y_r)∈𝐂^(d+r), g_i(x,y)=0\}$. La %fonction $a$ est un polynôme sur $𝐂^{d+r}$ qui ne dépend que %de $x₁,…,x_d$. (La fonction $a₀$ est la même fonction, %vue sur $𝐂^d$.) [On note $a$ pour $\Top(a)$ etc.] Soit $w$ tel que %$a₀(w)≠0$. Soit $f(t):=a₀((1-t)z₀+tw)$. Puisque $f(1)≠0$, %il existe un nombre fini de $t$ tels que $f(t)=0(=f(0))$. Il existe %donc une suite $z₀(ε)$ telle que $z₀(ε)→z₀$ quand $ε→0$ %mais $a₀(z₀(ε))≠0$ (càd $z₀(ε)∉\Top(A₀/a₀)$). %\item On veut relever les $z₀(ε)$ en des $z(ε)$ qui tendent vers $z$. %(Les relèvements n'appartiennent pas à $\Top(A/a)$ par construction.) %Soient $\{z,p₁,…,p_m\}$ les relèvements de $z₀$ dans $\Top(A)$. (Les %fibres sont finies.) Il existe une fonction $b∈A$ telle que $b(z)=0$ %mais $b(p_i)≠0$. (Fait général sur un ensemble fini de points dans %$𝐂^{d+r}$.) Posons $A₀'=A₀[b]$ ; c'est un sous-anneau de $A$, fini %sur $A₀$. Soit $F∈𝐂[X₁,…,X_d,W]=W^n+…+α_n(X₁,…,X_d)$ %l'équation polynômial irréductible satisfaite par les $X$ et $b$. %Puisque $b(z)=0$, on a $α_n(z₀)=F(z₀,b(z))=0$. On a $A₀'≃A₀[W]/F(X,W)$. %On a donc $\Top(A)→\Top(A₀')→\Top(A₀)$, càd : %$\{(x,y)∈𝐂^{d+r},g(x,y)=0\}→\{(x,w)∈𝐂^{d+1}, F(x,w)=0\}→\{x∈𝐂^d\}$. %Ces applications sont continues, *surjectives* (Cohen-Seidenberg) %[à fibres finies]. Puisque $α_n(z₀)=0$ et donc $α_n(z₀(ε))→0$, %et puisque $α_n(z₀(ε))$ est le produit des racines de l'équation %en $W$, $F(z₀(ε),W)=0$, il existe une suite $w(ε)$ telle que $w(ε)→0$ %et $F(z₀(ε),w(ε))=0$. On a donc relevé la suite $z₀(ε)$ au %niveau de $\Top(A₀')$. %\item Soit $z(ε)$ un relèvement quelconque de $(z₀(ε),w(ε))$. %L'application $\Top(A)→\Top(A'₀)$ est relativement compacte %(fait général à tout morphisme fini) : les fonctions %$y∈A$ sont entières sur $A₀'$ ; si les coefficients $α'$ d'une %équation de dépendance intégrale $y^N+α'₁y^{N-1}+…+α'_N=0$ %sont bornés, il en est de même de $y$. %Puisque l'image $(z₀(ε),w(ε))$ de $z(ε)$ converge, il existe une %sous-suite de $z(ε)$ convergeant également. Une telle sous-suite %converge nécessairement vers $z$ car si elle converge vers %$p_i≠z∈π^{-1}(z₀)$, on aurait $0≠b(p_i)=\lim w(ε)=0$. Absurde. %\end{itemize} %\item Soit $K=\Frac(A)$ et $d$ son degré de transcendance. Il existe %$t₁, …,t_d$ dans $A$, algébriquement indépendants dans $K$, tels que %$K/𝐂(t₁,…,t_d)$ soit algébrique séparable. Posons %$B=𝐂[t₁,…,t_{d-1}]⊆A$. Il existe $x$ entier sur $B[t_d]$ tel %que $K=𝐂(t₁,…,t_d)(x)$. Posons $T=t_d$ et $f$ le polynôme minimal %de $x$ dans $L[T,X$]. On peut supposer $f$ dans $B[X,T]$, quitte %à remplacer $B$ par $B[b^{-1}]$. Faits : %\begin{itemize} %\item OPS $A=B[X,T]/f$, $B$ intègre, $f$ irréductible dans $B[X,T]$. %\item OPS $f$ géométriquement irréductible sur $L=\Frac(B)$. %\end{itemize} %On utilise également le fait suivant : si $A → A ′$ est fini, injectif %alors $\Top(A ′) → \Top(A)$ est surjectif (variante de Nakayama). %\item OPS $\Top(A) → \Top(B)$ submersif donc application ouverte (th. Chevalley ?). %Les fibres étant de dimension $1$, on se ramène au cas suivant : %\item Soit $A$ intègre, de dimension $1$. Alors, $\Top(A)$ est %connexe. Cf. infra. %\end{enumerate} %\end{démo} \section{Divers} \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} \bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} \end{document} \fi