%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined \documentclass[a4paper,9pt]{amsart} \input{../config/preambule} \input{../config/macros} \title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind} \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{formes-tordues} \externaldocument{spectre} \externaldocument{verselles} \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{entiers} \externaldocument{categories} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \else \chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind} \begingroup \fi \section{Anneaux de valuation, places et valeurs absolues : généralités} \subsection{Anneaux de valuation} \subsubsection{}Relation de domination\index{domination, relation de} entre anneaux locaux \begin{théorème2} \label{conditions équivalentes anneau valuation} Soient $K$ un corps et $A$ un sous-anneau de $K$. Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item $A$ est maximal pour la relation d'ordre de domination ; \item pour tout $x ∈ K-\{0\}$, ou bien $x ∈ A$ ou bien $1/x ∈ A$ ; \item $K=\Frac(A)$ et l'ensemble des idéaux de $A$ est totalement ordonné pour l'inclusion. \end{enumerate} \end{théorème2} \begin{définition2} \XXX Anneau de valuation \index{anneau de valuation} si intègre et [...] \end{définition2} \begin{proposition2} \XXX Un anneau de valuation est local, intégralement clos dont tout idéal de type fini est principal. \end{proposition2} \begin{proposition2} Si $L\bo K$ est une extension. La clôture intégrale de $A$ dans $L$ est l'intersection des anneaux de valuation de $L$ contenant $A$. \end{proposition2} \begin{démo} \XXX [AC Ch.VI, §1, n.3, Cor.3] \end{démo} \begin{théorème2} \XXX Tout $A$-module de type fini sans torsion est libre. Tout $A$-module sans torsion est plat. \end{théorème2} \begin{démo} \XXX [AC. Ch.VI, §3, n.6, Lemme 1] \end{démo} \begin{théorème2} \XXX Tout $A$-module de présentation fini de torsion est isomorphe à un $A$-module de la forme \[ A/a₁ ⊕ \cdots ⊕ A/a_n. \] \end{théorème2} \begin{démo} \XXX Gabber-Ramero, Almost, 6.1.14. \end{démo} \subsection{Places} \subsubsection{Droite projective}\XXX Si $k$ est un corps, $\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...] \begin{définition2} \label{définition-place} \XXX Place : $K → \gtilde{k}$. Place sur $K₀$ : isomorphisme sur $K₀$. \end{définition2} En conflit avec Weil [BNT]. critère d'intégralité en terme de places. \subsection{Valuations} \XXX Groupe abélien totalement ordonné $Γ$. Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$. (On dit parfois « valuation additive ».) \begin{proposition2} \XXX Anneau de valuation=place (modulo isom.)=valuation (modulo isom). \end{proposition2} \begin{proposition2} \XXX \[\dim(A)=\text{rang convexe}(Γ) ≤ \rang(Γ ⊗ 𝐐).\] (Bijection explicite.) \end{proposition2} Le rang convexe est appelé hauteur par Bourbaki. \begin{démo} Gabber-Ramero, 6.1.20—6.1.23. \end{démo} \begin{définition2} \XXX Rang\index{rang d'une valuation} d'une valuation. \end{définition2} \subsection{Anneaux de valuation discrète} \begin{proposition2} \XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes] \end{proposition2} Deux AVD de même corps des fractions sont égaux. Un $A$-module de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion. (Cas particulier des résultats précédents.) \begin{proposition2} \label{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique} \XXX Si $K$ est complet à corps résiduel parfait $k$ et d'égale caractéristique, $K=k((t))$. \end{proposition2} \begin{démo} \XXX Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10, th. 1 ou [BNT] p. 20. \end{démo} Cas d'inégale caractéristique. \begin{proposition2} \label{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique} Si corps résiduel fini, c'est une extension finie de $𝐐_p$. \end{proposition2} \begin{démo} Cf. [ANAF], chap. 10, fin §1. \end{démo} \begin{théorème2} \XXX Cas général (Witt). \end{théorème2} \begin{démo} Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW. \end{démo} \subsection{Valeurs absolues}\XXX Valeurs absolues\index{valeur absolue} : $|x+y| ≤ C⋅(|x|+|y|)$ (On dit parfois « valuation multiplicative ».) Cela revient à supposer $|1+x|$ bornée sur $|x| ≤ 1$. % ☡ Cf. Bourbaki, AC, tome 2, p. 118-. La définition n'est pas parfaitement standardisée mais il semble préférable de considérer la variante (d'Artin) car sinon la « valeur absolue normalisée » de $𝐂$ n'est pas une valeur absolue… ($|x+y|² ≤ |x|²+|y|²$ est faux.) Impropre : $|x|=1$ si $x ≠ 0$, $0$ sinon. Corps valué\index{corps valué}. Corps topologique. Cas ultramétrique. \begin{proposition2} Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue satisfaisant donc l'inégalité triangulaire. \end{proposition2} Appeler une telle valeur absolue une norme ? EVN sur un corps valué (/normé)=… ? (cf. infra) \XXX Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique). valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (Ψαμμίτης) d'Archimède dans lequel il introduit un système pour nommer les grands nombres. \subsubsection{}Définir $Σ(K)$ (ensemble des classes d'équivalences de valeurs absolues). Fonctorialité. \begin{proposition2} \label{fonctorialité valeurs absolues} Soit $K\bo k$ une extension. Le morphisme de restriction $Σ(K) → Σ(k)$ est \emph{surjectif}. Si l'extension est finie, le cardinal des fibres est majoré par $[K:k]_{\sep}$. \end{proposition2} %ZS, tome 2, p. 29 par exemple. \begin{proposition2} \label{extensions valuations et norme} Soient $k$ un corps valué et $K$ une extension finie. Supposons la valeur absolue $|⋅|$ de $k$ \emph{normalisée} \XXX. Alors, $|\N_{K\bo k}(λ)|= ∏_{i} |λ|_i$, où $|⋅|_i$ parcourt les extensions normalisées de $| ⋅|$ à $K$. \end{proposition2} % cf. par exemple Cassels et Fröhlich, p. 59. % utilisé pour seconde démo formule du produit. \begin{théorème2} \XXX Le théorème d'approximation=th. restes chinois pour valeurs absolues. \end{théorème2} Cf. Artin [ANAF], Cassels, Local fields p. 22 (et p. 196). \subsubsection{} \label{topologie et anneau des entiers} Expliquer comment retrouver $𝒪$ et $𝔭$ à partir de $K$ et sa topologie (induite par la valuation/valeur absolue) : $𝔭=\{x:x^n → 0\}$, $𝒪=$ sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc. \subsection{Espaces vectoriels topologiques sur un corps valué non discret} \label{EVT sur corps valué} \subsubsection{} Soit $K$ un corps valué \emph{non discret}. Un $K$-\textbf{espace vectoriel topologique} est un $K$-espace vectoriel $E$ muni d'une topologie compatible à l'addition et la multiplication par les scalaires : les applications $E×E → E$, $(v,w) ↦ v+w$ et $K×E → E$, $(λ,v) ↦ λv$ sont continues. (Cette définition a un sens sous la seule hypothèse que $K$ soit un \emph{corps topologique}.) Exemple : si un espace vectoriel $E$ est muni d'une application (appelée \emph{norme}) $‖⋅‖: E → 𝐑_+$, telle que $‖x+y ‖ ≤ ‖x ‖ + ‖y ‖$, $‖ λ x ‖=|λ| ‖x ‖$ et $‖x‖=0$ soit équivalent à $x=0$, la topologie sur $E$ définie par la distance $d(x,y)=‖x-y ‖$ en fait un $K$-espace vectoriel topologique. (Si $E$ est de plus complet, on dit — comme dans le cas classique où $K=𝐑$ ou $𝐂$ — que c'est un \emph{espace de Banach}.) \subsubsection{}Soit $V$ un voisinage de l'origine, notée $0$, d'un espace vectoriel topologique sur un corps valué non discret $K$. Il existe un voisinage de l'origine $W$ qui soit \textbf{équilibré} : pour chaque $λ ∈ K$ tel que $|λ| ≤ 1$, $λ W ⊆ W$. En effet, il existe par continuité de la multiplication $K×E → E$ un réel $ε>0$ et un voisinage $U$ de $0$ tels que $|λ| ≤ ε$ et $v ∈ U$ entraînent $λ v ∈ U$. Soit $μ ∈ K$ tel que $0<|μ|≤ ε$. Le voisinage $W=μU$ de $0$ est contenu dans $V$ et est équilibré. \subsubsection{}Un espace vectoriel topologique est \emph{séparé} si et seulement si pour tout vecteur non nul $v$, il existe un voisinage de l'origine $0$ ne contenant pas $v$. La condition est trivialement nécessaire ; la réciproque résulte du fait que les translations sont des homéomorphismes. \subsubsection{}Soit $E$ un $K$-espace vectoriel topologique, de dimension $1$ et séparé. Vérifions que pour chaque $v ∈ E -\{0\}$, l'application $K → E$, $λ ↦ λ v$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels \emph{topologiques}. La bijectivité et la continuité ne font aucun doute ; il faut vérifier la \emph{bicontinuité} : pour tout $ε>0$, il existe un voisinage $V$ de $0$ dans $E$ tel que $λ v ∈ E$ entraîne $|λ| < ε$. La valeur absolue de $K$ étant non discrète, il existe $μ ∈ K$ tel que $0<|μ|<ε$. Par séparation de $E$, il existe un voisinage $V$ de $0$ tel que $μ v ∉ V$. D'après ce qui précède, on peut supposer $V$ \emph{équilibré}. La relation $λ v ∈ V$ entraîne $|λ| ≤ |μ|$. En effet on aurait dans le cas contraire $|μ λ^{-1}|<1$ d'où $μv=(μ λ^{-1})λv ∈ V$. Absurde. Signalons une première application de cette observation : une forme $K$-linéaire $φ:E → K$ est \emph{continue} si et seulement si l'hyperplan $H=\Ker(φ)$ est \emph{fermé}. La condition est bien entendu nécessaire. Considérons la réciproque. Le quotient $E/H$ est naturellement un espace vectoriel topologique : on le munit de la topologie quotient. La surjection canonique $E ↠ E/H$ est donc, tautologiquement, continue. Lorsque $H$ est fermé, ce quotient est séparé (et réciproquement). D'après ce qui précède, la seconde flèche de la factorisation de $φ$ en $E ↠ E/H → K$ est un homéomorphisme. CQFD. \begin{proposition2} \label{EVT sur corps valué complet} Soit $E$ un espace vectoriel topologique séparé, de dimension finie $n$ sur un corps valué \emph{complet} non discret $K$. Pour toute base $e₁,…,e_n$ de $E$ sur $K$, l'application linéaire $K^n → E$, $(λ_i) ↦ ∑_i λ_i v_i$ est un isomorphisme. \end{proposition2} Il en résulte que si $E$ est un espace vectoriel \emph{normé} sur $K$, sa topologie est indépendante du choix de la norme : toutes les normes sont équivalentes. (Voir \cite[chap. 2, §1]{ANAF@Artin} pour une autre démonstration dans ce cas particulier.) \begin{démo} On procède par récurrence, le cas $n=1$ ayant été établi ci-dessus. La continuité et la bijectivité de l'application considérée dans l'énoncé est immédiate. Pour démontrer que son inverse est continu (bicontinuité), il suffit de vérifier que pour chaque $j$, l'application $∑_i λ_i v_i ↦ λ_j$, $E → K$ est continue. Or, une telle forme linéaire est de noyau $H_j=\mathtextrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse de récurrence, ce sous-espace vectoriel topologique est isomorphe à $K^{n-1}$ donc complet donc fermé dans $E$. La forme linéaire « $j$-ième coordonnée » est donc continue. \end{démo} \begin{corollaire2} Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel topologique sur un corps valué complet non discret est complet et fermé. \end{corollaire2} Ceci a été vu au cours de la démonstration précédente. \begin{proposition2} \label{EVT localement compact sur corps valué est de dimension finie} Tout espace vectoriel topologique localement compact sur un corps valué non discret est de dimension finie. \end{proposition2} \begin{démo} Soient $V$ un voisinage compact de l'origine et $μ ∈ K$ tel que $0<|μ|<1$. Il existe un nombre \emph{fini} d'éléments $v_i ∈ V$ tels que $V$ soit contenu dans la réunion $⋃_i (v_i + μV)$. Soit $F$ le sous-$K$-espace vectoriel engendré par les $v_i$ ; il est de dimension finie donc fermé. L'espace topologique quotient $G=E/F$ est donc \emph{séparé}. L'image $W$ de $V$ dans $G$ est un voisinage compact de l'origine : l'image d'un compact est compact et l'application $E ↠ G$ est ouverte, comme il résulte immédiatement de la définition de la topologie quotient et du fait que si $U$ est ouvert dans $E$, l'ensemble $U+F$ l'est également. Par construction $W ⊆ μW$ — c'est-à-dire $μ^{-1}W ⊆ W$ — d'où, par récurrence, $μ^{-n} W ⊆ W$ pour chaque $n ≥ 1$. Soit $x ∈ G$. L'application $λ ↦ λ x$ étant continue en $λ =0$ et $μ^n$ tendant vers zéro il existe $n$ tel que $μ^n x ∈ W$ et, par conséquent, $x ∈ W$. Ainsi $W=G$ si bien que $G$ est un $K$-espace vectoriel topologique \emph{compact}. Nous allons montrer que, le corps valué $K$ étant non discret, le quotient $G$ est nécessairement trivial. Ceci suffit pour conclure. Un espace vectoriel topologique compact étant complet, c'est naturellement espace vectoriel topologique sur le complété de $K$. On peut donc supposer $K$ complet. Si $G$ est non trivial, il contient une droite, nécessairement fermée et isomorphe à $K$ (cf. \emph{supra}). Il en résulte que $K$ est compact. C'est absurde : l'application continue $λ ↦ |λ|$ est non bornée, comme le montre la suite $μ^{-n}$. CQFD. %EVT I.15 \end{démo} \subsection{Exemples} Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}). \begin{lemme2} \label{lemme clef va sur Q} Soit $f: 𝐍 → 𝐑_+$ une fonction multiplicative ($f(nm)=f(n)f(m)$) telle qu'il existe $A>0$ pour lequel $f(n+m) ≤ A \max\{f(n),f(m)\}$ pour chaque $n,m$. De deux choses l'une : soit $f(n) ≤ 1$ pour tout $n$, soit il existe $c>0$ tel que $f(n)=n^c$. \end{lemme2} \begin{théorème2} \label{Ostrowski sur Q} \XXX Valeurs absolues sur $𝐐$. \end{théorème2} \begin{théorème2} \label{Gelfand-Mazur-Ostrowski} Gelfand-Mazur : un corps qui est une $𝐑$-algèbre normée est $𝐑$ ou $𝐂$ (ou $𝐇$ dans le cas non commutatif). Application : Ostrowski. \end{théorème2} % peut-être que ce n'est pas un théorème dû à Ostrowski. \begin{proposition2} \label{k-valuations de k(X)} Soit $k$ un corps et soit $A$ un anneau de valuation de $k(X)$ contenant $k$ et différent de $k(X)$. Si l'indéterminée $X$ appartient à $A$, il existe $P ∈ k[X]$ \emph{irréductible} tel que $A=k[X]_{(P)}$ ; dans le cas contraire, $A=k[1/X]_{(1/X)}$. \end{proposition2} \begin{démo} Cf. par exemple Bourbaki, AC, tome 2, p. 91. C'est un cas particulier d'un résultat général (anneau principal etc.). \end{démo} \begin{proposition2} \XXX Formule du produit [cas particulier ?] \end{proposition2} \begin{théorème2} \label{théorème de plongement dans Qp} Soit $K$ une extension de type fini de $𝐐$ et soit $E ⊆ K^×$ un sous-ensemble fini. Il existe une infinité de nombres premiers $p$ pour lesquels il existe un plongement $ι:K ↪ 𝐐_p$, tel que pour chaque $e ∈ E$, $|ι(e)|=1$. \end{théorème2} \begin{démo} \XXX Cf. \cite[V.1.1]{Local@Cassels}. \end{démo} \section{Théorie élémentaire de la ramification} Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero (Almost ring theory). \subsection{Prolongement des valuations} \label{prolongement valuations} \begin{proposition2} \label{finitude préservée par complétion} Soient $(K, |⋅|)$ un corps valué et $L \bo K$ une extension. \begin{enumerate} \item Il existe une valuation sur $L$ qui étend $|⋅|$. \item Si $L \bo K$ est algébrique \emph{radicielle} cette extension est unique. \item Si l'extension $L\bo K$ est finie et $|⋅|′$ est un tel prolongement. Alors $e(|⋅|′/|⋅|)=\chap{e}$, $f=\chap{f}$ et $ef ≤ [\chap{L}:\chap{K}] ≤ [L:K]$. \item Si l'extension $L\bo K$ est finie, et $||$ non impropre, l'ensemble des valuations deux-à-deux indépendantes est fini et \[\chap{K} ⊗_K L ↠ ∏_i \chap{L}_{||_i}\] de noyau le radical de $\chap{K} ⊗_K L$. \end{enumerate} \end{proposition2} Attention confusion possible valuation/valeur absolue... \XXX \begin{démo} (i) AC, VI, §1, nº3, cor. 3 (p. 89). (iii) op. cit., p. 136-137. (Utilise densité pour valuations indépendantes.) \end{démo} Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}. \subsection{Hensélisation et complétion} \subsection{Indice de ramification} \begin{définition2} \label{définition indice de ramification} indice de ramification \end{définition2} En particulier si $L \bo K$ locaux (\refext{LG}{}), la restriction à $K$ de la valeur absolue normalisée de $L$ est la puissance $[L:K]$-ième de celle de $K$. \XXX % ou bien précédé de conditions équivalentes. \begin{théorème2} \XXX $L\bo K$ extension finie, $K$ valué, $B$ clôture intégrale de $A=K^+$ dans $L$. Alors, \[ ∑_{𝔭 ∈ \Specmax(B)} (Γ_𝔭 : Γ)[κ(𝔭) : κ] ≤ [L:K]. \] \end{théorème2} \begin{proposition2} \XXX Cas galoisien : \[ efn ≤ [L:K]. \]. Cas hensélien : \[ ef ≤ [L:K] \] \end{proposition2} \begin{proposition2} \XXX Cas d'égalité : valuation discrète et extension séparable. \end{proposition2} \begin{démo} \XXX AC, ch.VI, §8, n.5, Cor.1 \end{démo} \begin{exercice2} Soit $p$ un nombre premier. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un élément $u$ de $𝐅_p((t))$ transcendant sur $𝐅_p(t)$ (voir aussi \refext{RT}{degtr-Laurent-fractions-rationnelles}). \item Soit $K=𝐅_p(t,u^p)$ et $L=𝐅_p(t,u)$. Montrer que $[L:K]=p$ et qu'il existe une valuation discrète $v$ de $K$ telle que $∑_{v′↦ v} e(v′:v)f(v′:v)<[L:K]$. \end{enumerate} % cf. Lenstra, websites.math.leidenuniv.nl/algebra/exercises93s.pdf % Gabber-Ramero 6.2.7 (iii). \end{exercice2} [À mettre en remarque plutôt qu'en exercice.] \begin{définition2} \XXX Extension totalement ramifiée ; extension non ramifiée. \end{définition2} Voir Artin, [ANAF] chap. IV. \begin{proposition2} \XXX Extension d'Eisenstein. \end{proposition2} Notamment : \begin{proposition2} \XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions, et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans $K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ c'est-à-dire que l'extension est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante de $B$, et $f=\mathtextrm{Irr}_K(x)$ on a : \begin{itemize} \item $f$ est d'Eisenstein c'est-à-dire unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$, \item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$ est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local. \end{itemize} \end{proposition2} \begin{proof} \XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$ et dans $K$. [...] Autre argument : comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$, le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}). Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que $v(a_i)\geq 1$. Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions $L$. \end{proof} \subsection{Lemme de Krasner et applications} \begin{proposition2} \XXX Lemme de Krasner (dans cas valué complet). \end{proposition2} \begin{théorème2} \XXX Formule de masse de Krasner-Serre (1978) : \[ ∑_{L\bo K \text{tot. ramif. deg } n} 1/q^{c(L)}=n. \] \end{théorème2} \begin{démo} Serre, Œuvres 115. \end{démo} \begin{corollaire2} $𝐂_p$ est algébriquement clos. (Énoncé général.) \end{corollaire2} \begin{démo} Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1 \end{démo} \begin{proposition2} \XXX Ax-Sen \end{proposition2} \begin{démo} Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1 \end{démo} \subsection{Sorites} \begin{proposition2} \XXX Extension composée de deux extensions nr (modérée) est nr (modérée). \end{proposition2} \subsection{Structure du groupe de Galois} \subsubsection{}Supposons $A$ hensélien, $L\bo K$ finie. On a un accouplement $I× ( Γ_E \bo Γ_K) → μ(λ)$, où $λ$ est le corps résiduel de $L^+$. \begin{théorème2} Si $κ$ est séparablement clos, $I=\Gal(L\bo K)$ et $I → \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$ est surjectif, de noyau un $p$-groupe. \end{théorème2} \begin{démo} \XXX Gabber-Ramero, 6.2.12. \end{démo} Théorie de Kummer : \begin{corollaire2} Si $(p,[L:K])=1$, on a $\Gal(L\bo K) ≃ \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$. De plus, si $Γ_E \bo Γ_K=⨁ 𝐙/n_i$, il existe des $a_i ∈ K^×$ tels que $L=K[a_i^{1/n_i}]$. \end{corollaire2} \subsection{Cas d'un anneau de valuation discrète} \begin{théorème2} \XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}. La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$, tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$. \end{théorème2} \begin{définition2} \XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$, $L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$ et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$. Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$, $$ G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\} $$ Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment une filtration décroissante de $G$. \end{définition2} [généralisation : cas extension résiduelle séparable.] \begin{exercice2} Interprétation géométrique dans le cas d'une courbe affine et d'un automorphisme : la longueur du lieu des points fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$. \end{exercice2} \begin{proposition2} \XXX Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$, $B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$. \begin{enumerate} \item $G_0⥲ G$, \item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$, \item L'application $$\left\{\begin{array}{l}G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto \frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique $$ G_i/G_{i+1}↪ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L. $$ \item On a des isomorphismes canoniques : $$ \begin{array}{l} U^{(0)}_L/U^{(1)}_L⥲ k_L^{\times}\\ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L⥲ \MM_B^i/\MM_B^{i+1} \end{array} $$ pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement. \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{démo} \XXX 1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$. Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$ induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car $k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, c'est-à-dire $v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$. Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$, réciproquement, si $\sigma\in G_i$, pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$. 2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité $$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big), $$ où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer que $G_i\subset G$ est un sous-groupe. 3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité $\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité $$ \frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}. $$ jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et donc $\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est bien indépendante du choix de l'unité $u$. Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte que pour chaque $\sigma'\in G_i$, $$ \frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}= \frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L. $$ Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité $$ \frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)} \frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L} $$ entraîne que $G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son noyau est par définition $G_{i+1}$. 4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B↠ k_L$ induit un isomorphisme $B^{\times}→ 1+\MM_B→ k_L^{\times}$. Enfin, $$ \begin{array}{l} U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L→ \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\ 1+x\mapsto x \end{array} $$ est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite). Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace vectoriel de dimension $1$. \end{démo} \begin{corollaire2} \XXX Sous les hypothèses précédentes : \begin{enumerate} \item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$, \item si $\car(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique. \end{enumerate} \end{corollaire2} \begin{démo} \XXX Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique et d'ordre premier à la caractéristique. Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L≃ k_L$ n'a pas de sous-groupe fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$, pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)- \pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$. \end{démo} \section{Discriminant et différente} \begin{définition2} \XXX Différente $𝔇_{L\bo K}$. \end{définition2} \begin{proposition2} \XXX $𝔇_{L\bo K}=B$ si et seulement si $L\bo K$ est non ramifiée. \end{proposition2} \begin{démo} Artin [ANAF] chap. V. \end{démo} \begin{proposition2} Formule de transitivité : $𝔇_{M\bo K}=𝔇_{M\bo L} 𝔇_{L\bo K}$. \end{proposition2} \begin{proposition2}[Euler] \XXX $\Tr(x^i/f ′(x))=0$ si $i