\ifx\danslelivre\undefined \documentclass[9pt]{../configuration/smfart} \input{../configuration/commun} \input{../configuration/smf} \input{../configuration/adresse} \input{../configuration/gadgets} \input{../configuration/francais} \input{../configuration/numerotation} \input{../configuration/formules} \input{../configuration/encoredesmacros} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} %\usepackage{makeidx} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix} \usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant %\usepackage{pxfonts} \synctex=1 \begin{document} \begin{center} Algèbres de Boole et idempotents \end{center} \tableofcontents \else \chapter{Algèbres de Boole et idempotents} \fi Tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont unitaires commutatifs. Références : Bourbaki ou Olivier, « L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes et les parties constructibles » pour des compléments. \XXX Inclure lemme 2.17 de Liu (sous $k$-algèbre étale maximale d'une $k$-algèbre de type fini et lien avec π₀). \begin{exercice3} \begin{enumerate} \item Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal. Montrer que l'ensemble $\sqrt{I}=\{a∈A,\,∃n\,a^n∈I\}$ est un idéal de $A$. On l'appelle la \emph{racine} de $I$. \item Soient $e$ et $f$ deux idempotents d'un anneau $A$, tels que $\sqrt{Ae}=\sqrt{Af}$. Montrer que $e=f$. %c'est BBK, AC, 2, §4, lemme 1 (Indication : calculer $ef$ de deux façons différentes.) \end{enumerate} En particulier, deux idempotents engendrant le même idéal sont égaux. \end{exercice3} \begin{exercice3}\label{exercice-inverse-ponctuel} Soient $A$ un anneau et $a∈A$. Montrer que s'il existe un élément $x∈A$ tel que $axa=a$, il existe alors un \emph{unique} élément $a^{(-1)}∈A$ tel que $aa^{(-1)}a=a$ et $a^{(-1)}aa^{(-1)}=a^{(-1)}$. (Indication : pour l'existence, considérer $a^{(-1)}=xax$. Pour l'unicité, constater que l'idéal $(a)$ est engendré par l'idempotent $ax$ et utiliser la remarque à la fin de l'exercice précédent.) On dit que $a^{(-1)}$ est l'\emph{inverse ponctuel} de $a$. \end{exercice3} L'exercice suivant est une réciproque au \ref{decomposition-idempotents-orthogonaux}, (ii). \begin{exercice3}\label{famille-orthogonale-d-idempotents}\label{Hom(prod,integre)} Soit $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit fini d'anneaux. Pour chaque $i∈I$, soit $e_i$ l'élément dont la $i$-ème coordonnées est l'unité de $B_i$ et dont les autres coordonnées sont nulles : les $e_i$ constituent une famille orthogonale d'idempotents de somme un. Vérifier que la surjection canonique $B→B_i$ s'identifie canoniquement au morphisme $B→Be_i$, via l'isomorphisme évident $$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\} ⥲ B_i.$$ \end{exercice3} %\begin{démo} %L'égalité $(ae)\cdot (be)=(ab)e$ (pour $a$ et $b$ dans $A$) entraîne la première %assertion. Pour la seconde, on observera que si $a'∈Ae⊂A$ et $b'∈A(1-e)⊂A$, on a $a'b'=0$ dans %$A$. %\end{démo} \begin{exercice3}\label{factorisation-vers-integre} \begin{enumerate} \item Soient $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit \emph{fini} d'anneaux et $f:B→C$ un morphisme vers un anneau \emph{intègre}. Montrer que le morphisme $f$ se factorise de façon unique à travers l'un des $B_i$, \cad qu'il existe un unique entier $i'∈I$ et un unique morphisme $f_{i'}:B_{i'}→C$ tel que $f$ soit le composé $B↠B_{i'}\dessusdessous{f_{i'}}{→}C$. \item Est-ce encore vrai si $I$ est infini ? (Cf. \ref{ultraproduits}.) \end{enumerate} \end{exercice3} %\begin{démo} %Soient $e_i$ comme dans le lemme précédent. Notons %$c_i=f(e_i)$. Les $c_i$ constituent également %une famille orthogonale d'idempotents de somme un %dans $C$. Puisque $C$ est intègre, pour tout $i$, $c_i∈\{0,1\}$ ; %par orthogonalité au plus un des $c_i$ est égal à un. %Leur somme étant égale à un, il existe donc un unique $i'∈I$ %tel que $c_{i'}=1$. Ainsi, $f(b)=f(∑_i be_i)=∑_i f(b)c_i=f(be_{i'})$. %Il se factorise donc à travers $B→B_{i'}≅Be_{i'}$. %\end{démo} \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../configuration/bibliographie-livre} \bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre} \end{document} \fi