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\title{Extensions radicielles et transcendantes}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Extensions radicielles et transcendantes}
\fi


\section{Degré de transcendance}

\begin{proposition2}
Une extension est de type fini si et seulement si
elle est finie sur une extension transcendante
pure « finie ».
\end{proposition2}

\begin{corollaire2}
\label{finitude clôture algébrique dans tf}
Soit $K \bo k$ une extension de type fini.
La clôture algébrique de $k$ dans $K$ est finie
sur $k$.
\end{corollaire2}

\begin{corollaire2}
\label{sous-extension de tf est tf}
Toute sous-extension d'une extension de type fini est
de type fini.
\end{corollaire2}

% cf. p. ex A.VI.§16.nº7.

\section{Extensions radicielles. $p$-bases}

\subsection{Extensions linéairement disjointes}

La démonstration de \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii), et particulièrement le lemme
\ref{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}, motivent la définition suivante (voir aussi
\ref{produit-tens-infini=corps} ci-dessous).

\begin{définition2}
Soient $k$ un corps et $I$ un ensemble. Une famille d'extensions $(k_i\bo k)_{i∈I}$ 
est dite \emph{linéairement disjointe} \index{extensions linéairement disjointes} 
si le produit tensoriel infini $⨂_{i∈I,\,\bo k} k_i$,
défini en \refext{Tens}{produit tensoriel infini} est un anneau intègre. S'il en est ainsi, on appelle \emph{extension composée générique}
\index{extension composée générique} de cette famille d'extensions
le corps des fractions de l'anneau $⨂_{i,\,\bo k} k_i$, noté
$\bigodot_{i,\,\bo k} \, k_i$, ou simplement
$\bigodot_i\,k_i$ si cela ne prête pas à confusion.
\end{définition2}

On dit aussi que les extensions $k_i\bo k$, $i∈I$, sont \emph{linéairement disjointes}.

\subsubsection{}\label{generalite-compose-generique}Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille d'extension. Pour tout
sous-ensemble \emph{fini} $J$ de $I$, notons $A_J$ le produit tensoriel $⨂_{j∈J,\, \bo k}
k_j$. Pour $J⊆J'$, les morphismes de $k$-algèbres $π_{J,J'}:A_J→A_{J'}$, $⨂_{j∈J}
λ_j↦⨂_{j∈J}λ_j⊗⨂_{j'∈J'\setminus J} 1$,
font des $A_J$ un \emph{système inductif}, indicé par l'ensemble ordonné filtrant (à
droite) des parties finies de $I$, dont on rappelle que $A:=⨂_{i∈I,\,\bo k} k_i$
est la colimite (cf. \ref{definition ou proposition produit tensoriel infini}).

Puisque $k$ est un corps, les $k_i$ sont fidèlement plats sur $k$, de sorte que les
morphismes $π_{J,J'}$ sont \emph{injectifs} (\ref{fidele platitude}). 
Une colimite filtrante d'injections est une injection (\ref{colimite filtrante mono=mono}) que, pour toute partie finie
$J$ de $I$, l'application canonique $s_J:A_J→A$, $⨂_j λ_j↦ (⨂_j λ_j)⊗⨂_{i∉J} 1$ 
est \emph{injective}. (C'est également vrai pour un sous-ensemble quelconque $J$.) 
En d'autres termes, $A$ est la \emph{réunion} des sous-$k$-algèbres $A_J$ ($J⊆I$, fini), 
identifiées à leurs images dans $A$ par les applications $s_J$.
Puisque chaque $A_J$ est engendré, en tant que $k$-algèbre, par les images de
$k_j=A_{\{j\}}$ pour $j∈J$, il en résulte que, si $A$ est intègre, son corps des fractions $\bigodot_{i,\,\bo k} \, k_i$
est engendré, en tant qu'\emph{extension} de $k$, par les (images des) $k_i$. C'est aussi
la réunion filtrante des corps des fractions des anneaux intègres $\Frac(A_J)$ ($J⊆I$ fini).

Remarquons que si $I=\{1,2\}$ est un ensemble à deux éléments et les extensions $k₁\bo k$, $k₂\bo k$ sont
linéairement disjointes sur $k$, l'extension composée générique $\bigodot_{i∈\{1,2\},\,
k}\,k_i$ (munie des inclusions naturelles) est une extension composée de $k₁$ et $k₂$ sur $k$ au sens de
\ref{extension-composee}.

Le terme « générique » fait référence au fait que le corps
des fractions d'un anneau intègre $A$ n'est autre que le corps résiduel 
de son localisé en son idéal premier $(0)$, appelé « point générique » de $\Spec(A)$.
(Comparer avec \ref{existence-extension-composee}.)


\begin{lemme2}\label{tens-infini-entier-et-plat}
Soient $k$, $(k_i\bo k)_{i∈I}$ et $A$ comme ci-dessus.
Considérons une famille $(K_i\bo k_i)_{i∈I}$ d'extensions,
et $B$ le produit tensoriel infini $⨂_{i∈I,\,\bo k}\,K_i$, muni de sa structure de
$A$-algèbre évidente. Notons ${K_i}_{A}$ la $A$-algèbre déduite de $K_i$
par le changement de base $k_i→A$.
\begin{enumerate}
\item Le morphisme $A→B$ est \emph{plat} ; il est \emph{entier} si les extensions
$K_i\bo k_i$ sont \emph{algébriques}.
\item Le morphisme $⨂_{i∈I,\,\bo k}\,K_i→⨂_{i∈I,\,\bo A}\,{K_i}_A$
déduit des inclusions $k$-linéaires $K_i→{K_i}_A$ est un
\emph{isomorphisme}.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
(i) Pour toute partie finie $J⊆I$, l'anneau $B_J$ est plat sur $A_J$ :
cela résulte de \ref{produit-tensoriel-plats}. Comme une colimite de morphismes plats
est plat, cf. \ref{colimite de plats}, on a le résultat souhaité. Le fait que
$A→B$ soit entier se démontre de même en utilisant \refext{AC}{produit-tensoriel-d-entiers} 
et la proposition \ref{union-entiers=entier} ci-dessous.

(ii) Cela résulte de \ref{chapitre produit tensoriel}.
\end{démo}

 \begin{proposition}\label{union-entiers=entier}
Soient $A$ un anneau, $(A_i)_{i∈I}$ une famille de sous-anneaux telle que
$A=⋃_{i∈I} A_i$ et $B$ une $A$-algèbre telle que $B=⋃_{i∈I}B_i$
où chaque $B_i$ est une sous-$A_i$-algèbre \emph{entière} de $B$.
Alors, $B$ est entier sur $A$. Plus généralement, si $(A_i,π_{ij})_{i∈I}$ et
$(B_i,π'_{ij})_{i∈I}$ sont des systèmes inductifs d'anneaux, et $(f_i)_{i∈I}$ est un
morphisme entre ces deux systèmes tel que chaque $f_i$ soit \emph{entier}, le
morphisme $f=\colim_{i∈I} f_i:\colim_{i∈I} A_i→ \colim_{i∈I} B_i$ qui s'en déduit est également
entier.
\end{proposition}

Observons que ce résultat généralise \refext{AC}{pdt-tens-entiers}.

\XXX La démonstration ci-dessous est moche.

\begin{démo}
Cas particulier où $(A_i)_{i∈I}$ est le système inductif constant de valeur $A$
et $B=A[(B_i)_{i∈I}]$, où chaque $B_i$ est une sous-$A$-algèbre de $B$.
Soit $b∈B$. Il existe une partie finie $I(b)⊆I$ telle que 
$b∈A[(B_j)_{j∈I(b)}]$. Puisque $A[(B_j)_{j∈I(b)}]$ est un quotient de la
$A$-algèbre entière $⨂_{j∈I(b)} B_j$ (\ref{pdt-tens-entiers}), c'est une algèbre
entière sur $A$.  

Réduction au cas particulier où le système inductif $(A_i)$ est constant.
Pour chaque indice $i$, les deux morphismes $A→B$ et $B_i→B$ induisent, par propriété universelle 
du produit tensoriel, un morphisme de $A$-algèbres $B'_i=B_i⊗_{A_i} A→B$. 
Chaque $B'_i$ est entière sur $A$ (cf. \ref{cb-entier}). D'autre part,
le morphisme canonique de $A$-algèbres
$\colim_{\Ann} B_i→\colim_{\textrm{$A$-$\Alg$}} B'_i$ est un isomorphisme. Il suffit 
en effet de vérifier que pour toute $A$-algèbre $T$, l'application ensembliste
$c:\Hom_A(\colim_{\Ann}
B_i,T)=\prlim\Hom_{A_i}(B_i,T)←\Hom_A(\colim_{\textrm{$A$-$\Alg$}}
B'_i,T)=\prlim \Hom_A(B'_i,T)$ qui s'en déduit est une bijection. Définissons l'application
inverse. Soit $φ=(φ_i)$ un système compatible
de morphismes de $A_i$-algèbres $B_i→T$ et notons $φ'=(φ'_i)$ la famille
des morphismes $B'_i=B_i⊗_{A_i} A→T$ qui s'en déduisent. C'est un système compatible
et l'application $φ↦φ'$, $\Hom_A(\colim B_i,T)→\Hom_A(\colim_A B'_i,T)$, ainsi définie est l'inverse de
l'application $c$.

Réduction au cas particulier où le système inductif $A_i$ est constant et où
$B=A[(B_i)_{i∈I}]$. D'après ce qui précède, on peut supposer $A_i$ constant de valeur $A$.
Soit $\gtilde{B_i}⊆B$ l'image du morphisme $B_i→B=\colim_{j∈I} B_j$ et montrons
que l'injection $B'=A[(\gtilde{B_i})_{i∈I}]↪B$ est un isomorphisme.
Pour tout $i$, $B'$ reçoit naturellement $B_i$ de sorte que l'on peut définir,
par propriété universelle de la colimite, un morphisme $B→B'$ de $A$-algèbres.
Comme le morphisme composé $B_i→B'→B$ est le morphisme canonique $B_i→B$, le
composé $B→B'→B$ est l'identité. Le morphisme $B'→B$ est donc surjectif. CQFD.
\end{démo}

\begin{lemme2}\label{sorites-compose-generique}
\begin{enumerate}
\item Une famille d'extensions est linéairement disjointe \ssi toute
sous-famille finie est linéairement disjointe.
\item L'extension composée générique d'une famille d'extensions linéairement disjointes
est la réunion filtrante des extensions composées génériques de ses sous-familles finies.
\item Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$, $(k'_i\bo k_i)_{i∈I}$ deux familles
d'extensions. Si les $(k'_i\bo k)_{i∈I}$ sont linéairement disjointes, il en est de même
des sous-extensions $(k_i\bo k)_{i∈I}$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

Le (i) affirme que la propriété d'être linéairement disjointes est de « caractère fini ».

\begin{démo}
(i) La condition est évidemment nécessaire : un sous-anneau d'un anneau intègre est
intègre. Elle est suffisante car une réunion filtrante d'anneaux intègres est intègre.
(ii) Cf. \ref{generalite-compose-generique}. (iii) Pour toute partie finie $J⊆I$,
le morphisme canonique $A_J=⨂_{j∈J,\,\bo k}\, k_j→A'_J=⨂_{j∈J,\,\bo k}\, k'_j$ est
injectif par platitude. Il en résulte que le morphisme colimite $A=⨂_i\,k_i→A'=⨂_i\, k'_i$
est également injectif. Si $A'$ est intègre, $A$ l'est aussi.
\end{démo}

\begin{lemme2}\label{produit-tens-infini=corps}
Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille d'extensions \emph{algébriques}.
Elle est linéairement disjointe \ssi le produit tensoriel 
$⨂_{i∈I,\,\bo k}\, k_i$ est un \emph{corps}.
\end{lemme2}

\begin{démo}
La condition est évidemment suffisante. 
Réciproquement, si les $k_i\bo k$ sont algébriques, chaque produit
tensoriel \emph{fini} $A_J=⨂_{j∈J}\,k_j$ est entier sur $k$ (cf. \ref{pdt-tens-entiers}).
D'autre part, $A:=⨂_i\, k_i$ est la réunion des $k$-algèbres entières $A_J$ donc
est entier sur $k$ (\ref{union-entiers=entier}).
La conclusion résulte du fait qu'un anneau \emph{intègre} entier sur un corps est 
un corps (\ref{entier-integre=corps}).
\end{démo}


\begin{corollaire2}\label{stabilite-compose-generique}
Soient $k$ un corps et $(k_i\bo k)_{i∈I}$ une famille linéairement disjointe
d'extensions. Si chaque extension $k_i\bo k$ est normale (resp. algébrique séparable,
resp. galoisienne), l'extension composée générique $\bigodot_i\,k_i\,\bo k$ est normale (resp. séparable,
resp. galoisienne).
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Puisqu'une réunion filtrante d'extensions normales (resp. algébrique séparable,
resp. galoisienne) est normale (resp. algébrique séparable, resp. galoisienne), on peut
supposer $I$ fini, et finalement $\# I=2$, auquel cas cela résulte
de \ref{cb-extension-normale} (pour la normalité) et de \ref{corollaire-compose-etale} (pour la séparabilité).
\end{démo}

Avant de donner l'exemple particulièrement important des extensions
transcendantes pures, voici un critère utile.

\begin{lemme2}
Soient $k$ un corps, et $(A_i)_{i∈I}$ une famille de $k$-algèbres intègres telle
le produit tensoriel infini $⨂_{i∈I,\,\bo k}\, A_i$ soit intègre. Alors, les
extensions $\Frac(A_i)\bo k$ sont linéairement disjointes.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Puisque les applications $A_J→A$ ($J⊆I$) sont injectives (par platitude), 
la propriété d'être intègre « passe à la sous-famille ».
On peut donc supposer $I$ fini, auquel cas cela résulte du fait que $⨂_i\, K_i$ 
est un \emph{localisé} de l'anneau intègre $⨂_i\,A_i$ (cf. \ref{produit
tensoriel et localisation}). 
\end{démo}

\begin{exemple2}\label{transcendantes-pures=lin-disjointes}
Soient $k$ un corps, $I$ un ensemble et $(A_i)_{i∈I}$ une famille d'ensembles.
Les extensions $k(X_α,\,α∈A_i)\bo k$ sont linéairement disjointes.
\end{exemple2}

D'après le critère précédent, il suffit en effet de vérifier que le produit
tensoriel $⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i]$ est intègre.
dans le cas particulier où $I$ est fini. 
Ceci résulte de l'existence d'un isomorphisme (donné par le produit des polynômes) 
$⨂_{i∈I} k[X_α, \,α∈A_i] ⥲  k[X_α,\,α∈\coprod_{i∈I} A_i]$ (\ref{produit
tensoriel d'anneaux de polynômes}).
(On vérifie sans peine que l'application produit induit un isomorphisme même si $I$
est infini.)

\begin{remarque2}
On montrera plus tard (\ref{}) que les extensions $𝐐(ζ_{p^∞})\bo 𝐐$, pour $p$ premier, sont linéairement disjointes.
\end{remarque2}

\begin{théorème2}\label{Gal-prod-tens-infini=produit-infini}
Soient $k$ un corps, et $I$ un ensemble d'indices. 
Considérons une famille d'extensions $(L_i\bo k)_{i∈I}$ \emph{linéairement disjointes} et,
pour chaque $i$, une sous-$k$-extension $K_i$ de $L_i$ telle que
$L_i\bo K_i$ soit galoisienne, de groupe noté $G_i$.
Notons $L=\bigodot_{i∈I,\,\bo k}\, L_i$ et $K=\bigodot_{i∈I,\,\bo k}\,
K_i$ (cf. \ref{sorites-compose-generique} (iii)).
Alors, l'extension $L\bo K$ est \emph{galoisienne} et le morphisme $∏_i G_i→G_{L\bo K}$,
déduit de l'application $∏_i G_i→\Aut_k(⨂_i L_i)$, $(g_i)_{i∈I}↦\big(⨂_i x_i↦⨂_i g_i(x_i)\big)$ par passage au
corps des fractions, est un isomorphisme, d'image inverse l'application 
produit des morphismes de restriction $G_{L\bo K}→∏_i G_{L_i\bo K_i}$.
\end{théorème2}

En d'autres termes, le foncteur $\Gal$ transforme $\bigodot$ en produit.

Commençons par énoncer et démontrer le corollaire suivant
(obtenu en posant $K_i=k$ pour tout $i$),
qui généralise l'énoncé \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii) au cas
d'un nombre éventuellement infini d'extensions de corps.

\begin{corollaire2}
Soient $K$ un corps et $(L_i\bo K)_{i∈I}$ une famille \emph{linéairement
disjointe} d'extensions galoisiennes. Notons $L$ le \emph{corps}
$⨂_{i∈I,\, \bo K}\, L_i$ (cf. \ref{produit-tens-infini=corps}). L'extension $L \bo K$ est galoisienne et 
le morphisme canonique $δ:∏_i G_{L_i \bo K}→G_{L\bo K}$, 
$(g_i)_{i∈I}↦\big(⨂_i x_i↦⨂_i g_i(x_i)\big)$ est un isomorphisme, 
d'image inverse l'application $ρ:G_{L\bo K}→∏_i G_{L_i\bo K}$, produit des morphismes de
restriction $G_{L\bo K}→G_{L_i\bo K}$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}[Démonstration du corollaire]
D'après \ref{stabilite-compose-generique}, l'extension $L\bo K$ est galoisienne.
Notons $G$ le produit $∏_i G_{L_i\bo K}$. 
Il est évident que le composé $ρ∘δ$ est l'identité car le plongement $L_i↪L$ est donné par
l'application $λ_i↦λ_i⊗⨂_{j≠i} 1$. Il en résulte que $δ$ est injectif et $ρ$ surjectif. 
D'autre part, puisque $L$ est engendré sur $K$ par ses sous-corps $L_i$, 
l'application $ρ$ est nécessairement injective donc bijective. CQFD.
\end{démo}

\begin{démo}[Démonstration du théorème]
Soient $A=⨂_{i∈I,\,\bo k}\,K_i$ et $B=⨂_{i∈I,\,\bo k}\,L_i$,
de corps des fractions respectifs $K$ et $L$.
On a vu en \ref{} que le morphisme canonique $B→⨂_{i,\,\bo A}\,{L_i}_A$
est un isomorphisme. D'autre part, le morphisme $A→B$ étant plat et entier
(\emph{loc. cit.}), il résulte du lemme \ref{frac-preserve-integrite} ci-dessous
que l'application canonique $B_K→L$ est un isomorphisme.
En conséquence, $L$ est $K$-isomorphe au produit tensoriel 
$\big(⨂_{i,\,\bo A}\,{L_i}_A\big)⊗_A K$, lui-même $K$-isomorphe au produit
tensoriel infini 
$$
⨂_{i,\,\bo K}\,{L_i}_K.
$$
Il en résulte d'une part que chaque ${L_i}_K=L_i⊗_{K_i} K$ est un corps
(car intègre --- c'est un facteur d'un produit tensoriel intègre --- et entier sur $K$) 
et que ces $K$-extensions sont
linéairement disjointes. D'après \ref{premier-exemple-extensions-lineairement-disjointes}
et \ref{fonctorialite-finie-galois} (iii), l'extension ${L_i}_K\bo K$ est galoisienne de groupe $\Gal(L_i\bo K_i)$
de sorte que le cas particulier démontré dans le corollaire 
nous donne un isomorphisme $G_{L\bo K}→∏G_{L_i\bo K_i}$, dont on vérifie
sans peine que c'est celui de l'énoncé du théorème.
\end{démo}

\begin{lemme3}\label{frac-preserve-integrite}
Soient $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$ et $B$ une $A$-algèbre
intègre.
\begin{enumerate}
\item L'anneau $B_K=B⊗_A K$ est intègre.
\item Si $A→B$ est entier et plat, l'application canonique $B→B_K$ est l'inclusion de
$B$ dans son corps des fractions.
\end{enumerate}
\end{lemme3}

\begin{démo}
(i) Cf. \ref{corollaire localisation}.
(ii) La $K$-algèbre $B_K$ est intègre d'après (i) et entière sur $K$
(\ref{cb-entier}) ; c'est donc un corps (\ref{entier-integre=corps}).
Considérons la suite exacte de $A$-modules 
$$
0→A→K→K/A→0.
$$ 
Puisque $B$ est plat sur $A$ (\ref{generalite-compose-generique}) ; on obtient alors la suite exacte :
$$
0→B→B_K→(K/A)⊗_A B→0.
$$

En d'autres termes, l'application canonique $B→B_K$ est \emph{injective},
et le $B$-module $B_K/B$ est isomorphe à $(K/A)⊗_A B$, de sorte
qu'il est de \emph{torsion} car $K/A$ l'est comme $A$-module.
(Rappelons qu'un module $M$ sur un anneau intègre $A$ est dit de torsion
si pour tout $m∈M$, il existe $a∈A$ non nul tel que $am=0$.)
Sous ces conditions, la flèche $B→B_K$ est bien l'application de passage au
corps des fractions.
\end{démo}


\begin{théorème2}\label{Leptin}
Tout groupe profini est groupe de Galois d'une extension. Plus précisément, pour
tout corps $k$, il existe une extension $K\bo k$ ainsi qu'une extension $L\bo K$
galoisienne de groupe $G$. 
\end{théorème2}

\begin{démo}
Soient $G=\prlim_{i∈I} G_i$ et $k$ comme dans l'énoncé. 
Puisque $G$ est naturellement un fermé du produit $∏_i G_i$, il résulte
immédiatement de la théorie de Galois infinie que l'on peut supposer $G=∏_i G_i$. 
D'autre part, chaque $G_i$ est un sous-groupe d'un groupe symétrique $\got{S}_{n_i}$ (prendre
$n_i=\# G_i$) donc il suffit de démontrer le théorème pour un groupe
$G=∏_{i∈I} \got{S}_{n_i}$. Considérons $K_i=k(X_i,1≤i≤n_i)$ le corps
des fractions rationnelles en $n_i$ indéterminées et
$k_i=\Fix_{\got{S}_{n_i}}(K_i)$ (action par permutation des variables).
L'extension $K_i\bo k_i$ est galoisienne de groupe $\got{S}_{n_i}$
(\ref{exemple-galois-equation-generique}). D'autre part, 
d'après \ref{transcendantes-pures=lin-disjointes}, les extensions $K_i$ sont
linéairement disjointes sur $k$ de sorte que l'on peut appliquer
le théorème \ref{Gal-prod-tens-infini=produit-infini}.
\end{démo}

On trouvera dans \cite{Fried-Jarden}, §1.4 une démonstration reposant sur l'analogue
profini du lemme d'Artin (\ref{lemme-Artin-profini}).

Signalons également la 

\begin{conjecture2}
Tout groupe fini est groupe de Galois d'une extension finie de $𝐐$.
\end{conjecture2}

Nous démontrerons plus tard des cas particuliers de cette conjecture
(cas des groupes abéliens (\ref{groupe-abelien=galois-sur-Q}), \XXX à
compléter).


\begin{exercice2}
Vérifier que $\bigodot_{i∈I,\,\bo k}\, k(X_α,α∈A_i)≃k(X_α,α∈\coprod_{i∈I}
A_i)$.
\end{exercice2}



\section{Extensions séparables}

\begin{théorème2}
\label{critère de MacLane}
$L \bo K$ est séparable si et seulement si elle
est linéairement disjointe de $K^{p^{-∞}}$ sur $K$.
\end{théorème2}

\begin{corollaire2}
\label{extension corps parfait est séparable}
Toute extension d'un corps \emph{parfait} est séparable.
\end{corollaire2}



\section{Théorème de Lüroth}



\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi