\ifx\danslelivre\undefined \documentclass[9pt]{../configuration/smfart} \input{../configuration/commun} \input{../configuration/smf} \input{../configuration/adresse} \input{../configuration/gadgets} \input{../configuration/francais} \input{../configuration/numerotation} \input{../configuration/formules} \input{../configuration/encoredesmacros} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{wasysym} \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{srcltx} \title{Corps $C_1$} \externaldocument{extensions-algebriques} \externaldocument{corps-finis} \externaldocument{correspondance-galois} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \else \chapter{Corps $C_1$} \fi \section{Généralités} \subsection{Corps $C_r$ et $C'_r$} \begin{definition2}\label{definition-corps-c-r} Un corps $k$ est dit $C_r$ lorsqu'il vérifie la propriété suivante : si $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ est un polynôme homogène de degré $d>0$ en $n$ variables à coefficients dans $k$ et que $n > d^r$, alors $P$ a un zéro non trivial (dans $k$), c'est-à-dire qu'il existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $k$, non tous nuls, tels que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$. Un corps $k$ est dit $C'_r$ lorsqu'il vérifie la propriété suivante : si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes de degrés respectivement $d_1,\ldots,d_s>0$ en $n$ variables (communes) sur $k$, et que $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$), c'est-à-dire qu'il existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $k$, non tous nuls, tels que $P_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$ pour tout $i$. \end{definition2} \begin{remarques2} \begin{itemize} \item Il est trivial que la propriété $C'_r$ implique la propriété $C_r$ (la réciproque est vraie sous une hypothèse technique, voir \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r} ci-dessous). Par ailleurs, la propriété $C_r$ est d'autant plus forte que $r$ est petit. \item Les corps $C_0$ sont les corps algébriquement clos : cela résulte du fait que, pour $a_d\neq 0$, le polynôme $a_0 X_0^d + a_1 X_0^{d-1} X_1 + \cdots + a_d X_1^d \in k[X_0,X_1]$ (homogène de degré $d$) a un zéro non trivial si et seulement si le polynôme $a_0 + a_1 X + \cdots + a_d X^d \in k[X]$ a un zéro. On va voir en \ref{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0} que les corps algébriquement clos sont même $C'_0$, c'est-à-dire que les propriétés $C_0$ et $C'_0$ sont en fait équivalentes. \item Tous les corps vérifient les deux propriétés ci-dessus (même pour $r=0$) si les polynômes intervenant sont de degré $1$, c'est-à-dire, sont des formes linéaires (car l'intersection des noyaux des $P_i$ est de dimension $> n-s \geq 0$). \end{itemize} \end{remarques2} \begin{definition2}\label{definition-forme-normique} On dit qu'un polynôme homogène $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ de degré $d$ en $n$ variables est une \emph{forme normique d'ordre $r$} (et de degré $d$) lorsque le nombre $n$ de variables vaut exactement $d^r$ et que $P$ n'a pas de zéro non trivial (sur $k$). \end{definition2} Autrement dit, une forme normique d'ordre $r$ est un polynôme homogène dont le nombre de variables est le plus grand possible pour ne pas réfuter le fait que $k$ soit $C_r$. La notion de forme normique d'ordre $r$ n'est intéressante que lorsque $k$ est un corps $C_r$. La proposition suivante explique le choix du mot « normique » : \begin{proposition2}\label{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1} Soit $K$ une extension de degré $d$ fini d'un corps $k$, et $a_1,\ldots,a_d$ une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel. Alors la fonction $x_1,\ldots,x_d \mapsto \N_{K\bo k}(x_1 a_1 + \cdots + x_d a_d)$ est une forme normique d'ordre $1$ et de degré $d$ sur $k$. \end{proposition2} \begin{proof} La fonction $x_1,\ldots,x_d \mapsto \N_{K\bo k}(x_1 a_1 + \cdots + x_d a_d)$ s'écrit comme (la fonction associée à) un polynôme de degré $d$ en $d$ variables en l'explicitant comme un déterminant. Si $c\in K$ vérifie $\N_{K\bo k}(c) = 0$, alors $c=0$ : ceci prouve qu'on a bien affaire à une forme normique d'ordre $1$. \end{proof} Introduisons temporairement la notation suivante : si $f$ est un polynôme homogène de degré $d$ en $n$ variables et $g$ un polynôme homogène de degré $e$ en $m$ variables, on note $f(g|g|g|\ldots|g)$ le polynôme de degré $de$ en $mn$ variables (non spécifiées) obtenu en substituant à chacune des $n$ variables de $f$ le polynôme $g$ appliqué à un nouveau jeu de $m$ variables (parmi $mn$ au total) ; la barre « $|$ » signifie donc qu'on introduit de nouvelles variables. Plus généralement, si $f$ est un polynôme homogène de degré $d$ en $n$ variables et $g_1,\ldots,g_s$ (avec $s\leq n$) des polynômes homogènes chacun de degré $e$ en $m$ variables (communes), on note $f(g_1,\ldots,g_s\,|\, g_1,\ldots,g_s\,| \ldots |\, g_1,\ldots,g_s \,|\, 0,\ldots,0)$ le polynôme de degré $de$ en $m\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$ variables (où $\lfloor\tiret\rfloor$ désigne la fonction partie entière) obtenu en substituant à chacun des $\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$ premiers blocs de $s$ variables de $f$ les polynômes $g_1,\ldots,g_s$ appliqués à un nouveau jeu de $m$ variables, et $0$ aux variables restantes (au nombre de $n-s\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$, soit le reste de la division euclidienne de $n$ par $s$) : formellement, il s'agit donc du polynôme $f (g_1(Z_{1,1},\ldots,Z_{1,n}),\ldots,\penalty500 g_s(Z_{1,1},\ldots,Z_{1,n}),\penalty-100 g_1(Z_{2,1},\ldots,Z_{2,n}),\ldots,\penalty500 g_s(Z_{\lfloor \frac{n}{s}\rfloor,1},\ldots,Z_{\lfloor \frac{n}{s}\rfloor,n}), \penalty-100 0,\ldots,0)$ en des variables $Z_{i,j}$ pour $1 \leq i \leq \lfloor \frac{n}{s}\rfloor$ et $1 \leq j \leq m$. Cette notation permet de démontrer très facilement le lemme suivant : \begin{lemme2}\label{grandissement-degres-formes-normiques} Soit $k$ un corps admettant une forme normique d'ordre $r$ et de degré $d>1$ (en $d^r$ variables). Alors $k$ admet des formes normiques d'ordre $r$ et de degrés arbitrairement grands. \end{lemme2} \begin{proof} Si $f$ est une forme normique d'ordre $r$ et de degré $d$, alors en définissant $f^{(1)} = f$ et par récurrence $f^{(\ell+1)} = f^{(\ell)}(f|f|\ldots|f)$, on voit que $f^{(\ell)}$ est un polynôme homogène de degré $d^\ell$ en $d^{r\ell}$ variables et il est clair (par récurrence sur $\ell$) que $f^{(\ell)}$ ne peut s'annuler que lorsque toutes ses variables s'annulent. \end{proof} \begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r} Soit $k$ un corps $C_r$. Si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes \emph{de même degré} $d>0$ en $n$ variables (communes) sur $k$, et que $n > s d^r$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$). \end{proposition2} \begin{proof} Si $k$ est algébriquement clos, le résultat découle de \ref{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0} ci-dessous. Sinon, la proposition \ref{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1} assure que $k$ admet une forme normique $\Phi^{(0)}$ d'ordre $1$ et de degré disons $N_0 = D_0$. D'après le lemme \ref{grandissement-degres-formes-normiques}, on peut supposer $N_0 \geq s$ (on imposera éventuellement d'autres contraintes sur $N_0$ ci-dessous). Définissons alors par récurrence sur $\ell$ des polynômes homogènes $\Phi^{(\ell)}$ de degré $D_\ell$ en $N_\ell$ variables, en posant $\Phi^{(\ell+1)} = \Phi^{(\ell)}(P_1,\ldots,P_s\,|\, P_1,\ldots,P_s\,| \ldots |\, P_1,\ldots,P_s \,|\, 0,\ldots,0)$ (avec la notation expliquée plus haut). Ainsi, $N_{\ell+1} = n\lfloor\frac{N_\ell}{s}\rfloor$ et $D_\ell = D_0 d^\ell$. Si l'on parvient à prouver que $N_\ell > D_\ell^r$ pour un certain $\ell$, le fait que $k$ soit $C_r$ entraînera que $\Phi^{(\ell)}$ a un zéro non trivial, or il est clair par récurrence sur $\ell$ que ceci entraîne que $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial. Il suffit donc pour conclure d'établir, à partir de l'hypothèse $n > s d^r$, que $\frac{N_\ell}{D_\ell^r}$ tend vers $+\infty$ (quand $\ell\to+\infty$). Posons $\alpha = \frac{n}{sd^r}$, de sorte que $\alpha>1$. Remarquons d'abord que la suite $N_\ell$ est strictement croissante, au moins si $N_0$ est choisi assez grand (par exemple, si $N_\ell > \frac{n}{\frac{n}{s}-1}$, alors $\lfloor x\rfloor > x-1$ donne $N_{\ell+1} - N_\ell > (\frac{n}{s}-1) N_\ell - n > 0$, donc en choisissant $N_0 > \frac{n}{\frac{n}{s}-1}$ on a $N_\ell$ strictement croissante et vérifiant toujours cette égalité) ; puisqu'il s'agit d'une suite d'entiers naturels, on a $N_\ell \to +\infty$. Posant $u_\ell = \frac{N_\ell}{D_\ell^r} = \frac{N_\ell}{D_0 d^{r \ell}}$, on a donc montré $d^{r\ell} u_\ell \to +\infty$. Or $u_{\ell+1} > \alpha (u_\ell - \frac{s}{D_0 d^{r\ell}})$ (toujours en appliquant $\lfloor x\rfloor > x-1$), donc $u_{\ell+1} > \alpha (1- \frac{s}{D_0 d^{r\ell} u_\ell}) u_\ell$ ; et on vient de voir que le terme entre parenthèses tend vers $1$, de sorte que si on choisit $1<\alpha'<\alpha$, on a $u_{\ell+1} > \alpha' u_\ell$ à partir d'un certain rang. Ceci montre $u_\ell \to +\infty$ comme souhaité. \end{proof} \begin{proposition2}\label{extension-finie-de-corps-c-r} Soit $k$ un corps $C_r$ (resp. $C'_r$), et $K$ une extension finie de $k$. Alors $K$ est un corps $C_r$ (resp. $C'_r$). \end{proposition2} \begin{proof} Soit $t$ le degré de $K$ sur $k$, et $a_1,\ldots,a_t$ une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel. Considérons d'abord le cas $C_r$ : soit $P \in K[X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme homogène de degré $d$ en $n > d^r$ variables. On définit $t$ polynômes $Q_1,\ldots,Q_t$ homogènes à coefficients dans $k$, tous de degré $d$, en $nt$ variables communes $X_{j,v}$ (pour $j$ allant de $1$ à $n$ et $v$ de $1$ à $t$), par $P(x_{1,1} a_1 + \cdots + x_{1,d} a_d,\,\ldots\penalty-100\,, x_{n,1} a_1 + \cdots + x_{n,d} a_d) = Q_1(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_1 + \cdots + Q_t(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_t$. Puisque $nt > d^r\,t$, la proposition \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r} garantit que les $Q_v$ ont un zéro commun non trivial, qui fournit un zéro non trivial de $P$. La démonstration dans le cas $C'_r$ est semblable en utilisant directement la définition : soient $P_1,\ldots,P_s \in K[X_1,\ldots,X_n]$ des polynômes homogènes de degrés $d_1,\ldots,d_s$ en $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$ variables. On définit $st$ polynômes $Q_{1,1},\ldots,Q_{s,t}$ homogènes à coefficients dans $k$, avec $Q_{i,v}$ de degré $d_i$, en $nt$ variables communes $X_{j,v}$ (pour $j$ allant de $1$ à $n$ et $v$ de $1$ à $t$), par $P_i(x_{1,1} a_1 + \cdots + x_{1,d} a_d,\,\ldots\penalty-100\,, x_{n,1} a_1 + \cdots + x_{n,d} a_d) = Q_{i,1}(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_1 + \cdots + Q_{i,t}(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_t$. Puisque $nt > \sum_i d_i^r\,t$, la définition d'un corps $C'_r$ garantit que les $Q_{i,v}$ ont un zéro commun non trivial, qui fournit un zéro non trivial des $P_i$. \end{proof} \begin{proposition2}\label{extension-algebrique-de-corps-c-r} Soit $k$ un corps $C_r$ (resp. $C'_r$), et $K$ une extension algébrique de $k$. Alors $K$ est un corps $C_r$ (resp. $C'_r$). \end{proposition2} \begin{proof} Soit $P \in K[X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme homogène de degré $d>0$ en $n > d^r$ variables. Soit $K_0$ le sous-corps de $K$ engendré par $k$ et par les coefficients de $P$ : étant engendré par un nombre fini d'éléments algébriques sur $k$, il est de degré fini sur lui (cf. \ref{Alg}{multiplicativité degré}). La proposition \ref{extension-finie-de-corps-c-r} s'applique donc, et il existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $K_0$, et \textit{a fortiori} dans $K$, tels que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$. Le cas $C'_r$ est tout à fait analogue. \end{proof} \begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r} Soit $k$ un corps $C_r$. On fait l'hypothèse qu'il existe sur $k$ des formes normiques d'ordre $r$ et de tout degré $d>0$. Si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes de degrés $d_1,\ldots,d_s>0$ en $n$ variables (communes) sur $k$, et que $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$) : autrement dit, $k$ est $C'_r$. \end{proposition2} \begin{proof} Dans ce qui suit, la variable $i$ parcourra les entiers de $1$ à $s$, la variable $j$ les entiers de $1$ à $n$, et les variables $u_i$ (pour $1\leq i \leq s$) les entiers de $1$ à $d_i^r$. Soit $D = d_1 d_2 \cdots d_s$, et pour chaque $i$ soit $f_i$ une forme normique d'ordre $r$ et de degré $D/d_i$ donc en $D^r/d_i^r$ variables. On considère d'abord, pour chaque $i$, des variables $Z_{i,j,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s}$ (où $\widehat{u_i}$ signifie que l'indice $u_i$ a été omis) au nombre de $n D^r/d_i^r$ et, en ces variables, le polynôme homogène $g_i = f_i(P_i|P_i|\ldots|P_i)$ de degré $D$ : on rappelle qu'il est explicitement défini comme $g_i(Z_{i,\ldots}) = f_i(p_{i,\ldots})$ où $p_{i,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s}$ s'obtient en appliquant $P_i$ aux $n$ variables $Z_{i,j,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s}$ (ici seul $j$ varie), et où $f_i$ est ensuite appliqué aux $D^r/d_i^r$ variables $p_{i,\ldots}$. Soient maintenant $n D^r$ nouvelles variables $Z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$ (cette fois l'indice $u_i$ est présent mais l'indice $i$ ne l'est plus), et pour chaque $i$ soient $h_{i,u_i}$ les $d_i^r$ polynômes obtenus en appliquant $g_i$ aux $D^r/d_i^r$ variables $Z_{i,j,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s} = Z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$ (la valeur de $u_i$ est précisée dans l'indice sur $h_{i,u_i}$ et prend $d_i^r$ valeurs possibles). On obtient ainsi au total $\sum_{i=1}^s d_i^r$ polynômes $h_{i,u_i}$, tous de degré $D$, en $n D^r$ variables communes $Z'_{\ldots}$. Puisque $n D^r > (\sum_i d_i^r) D^r$, la proposition \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r} assure que les $h_{i,u_i}$ ont un zéro commun non trivial $z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$. En fixant arbitrairement les valeurs $u_1,\ldots,u_s$, les $n$ valeurs $z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$ définissent un zéro commun des $g_i$ donc des $P_i$, et il existe $u_1,\ldots,u_s$ tels que toutes les valeurs $z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$ ne soient pas simultanément nulles. Ceci fournit le zéro commun recherché des $P_i$. \end{proof} \begin{corollaire2} Un corps $C_1$ admettant une extension algébrique de chaque degré $d>0$ est $C'_1$. \end{corollaire2} \begin{proof} Cela découle immédiatement de \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}, compte tenu de la proposition \ref{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1}. \end{proof} \subsubsection{Corps fortement $C_r$}\label{corps-fortement-c-r} Dans tout ce qui précède, nous avons utilisé les polynômes homogènes de degré $>0$. Si on remplace ceux-ci par les polynômes sans terme constant, on obtient une théorie analogue à celle des corps $C_r$, celle des corps \emph{fortement} $C_r$ : \begin{definition2}\label{definition-corps-fortement-c-r} Un corps $k$ est dit fortement $C_r$ (resp. fortement $C'_r$) lorsqu'il vérifie la propriété suivante : si $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ est un polynôme de degré au plus $d$ sans terme constant en $n$ variables (resp. si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes de degrés au plus respectivement $d_1,\ldots,d_s$ sans termes constants en $n$ variables communes) et que $n > d^r$ (resp. $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$), alors $P$ a un zéro non trivial (resp. $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial). On dit qu'un polynôme sans terme constant $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ de degré $d$ (\XXX exactement ?) en $n$ variables est une \emph{faible forme normique d'ordre $r$} (et de degré $d$) lorsque le nombre $n$ de variables vaut exactement $d^r$ et que $P$ n'a pas de zéro non trivial. \end{definition2} Les résultats suivants admettent des démonstrations rigoureusement parallèles dans la théorie des corps fortement $C_r$ que dans celle des corps $C_r$, et nous nous contentons donc de les énoncer : \begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-fortement-c-r} Soit $k$ un corps fortement $C_r$. Si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes sans termes constants de degrés majorés par un \emph{même} $d$ en $n$ variables communes sur $k$, et si $n > s d^r$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$). \end{proposition2} \begin{proof} Cf. \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r}. \end{proof} \begin{proposition2} Soit $k$ un corps fortement $C_r$ (resp. fortement $C'_r$), et $K$ une extension finie de $k$. Alors $K$ est un corps fortement $C_r$ (resp. fortement $C'_r$). (\XXX Ce résultat est peut-être faux --- Lang est obscur dans sa façon de dire les choses --- mais je ne comprends pas où la démonstration échoue. À vérifier soigneusement, donc.) \end{proposition2} \begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-fortement-c-r} Soit $k$ un corps fortement $C_r$. On fait l'hypothèse qu'il existe sur $k$ des faibles formes normiques d'ordre $r$ et de tout degré $d>0$. Si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes sans termes constants de degrés au plus $d_1,\ldots,d_s$ en $n$ variables (communes) sur $k$, et si $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$) : autrement dit, $k$ est fortement $C'_r$. \end{proposition2} \begin{proof} Cf. \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}. \end{proof} \begin{corollaire2} Un corps fortement $C_1$ admettant une extension algébrique de chaque degré $d>0$ est fortement $C'_1$. \end{corollaire2} \subsection{Les corps algébriquement clos} Nous montrons à présent que les corps algébriquement clos sont $C'_0$ (et même fortement $C'_0$ \XXX), c'est-à-dire l'énoncé suivant : \begin{proposition2}\label{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0} Si $k$ est algébriquement clos et si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes de degrés non nuls (ou simplement sans termes constants \XXX) en $n$ variables (communes) sur $k$, et que $n > s$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$). \end{proposition2} Pour cela, on admettra provisoirement les deux lemmes suivants, dont la démonstration utilise des résultats qui seront démontrés ultérieurement (le Nullstellensatz et la théorie du degré de transcendance) : \begin{lemme2}\label{nullstellensatz-faible-provisoire} Si $k$ est algébriquement clos et si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sans termes constants sont tels que $P_1,\ldots,P_s$ n'aient pas de zéro commun non trivial (dans $k$), alors pour tout $1 \leq j \leq n$ il existe $r_j$ tel que $X_j^{r_j}$ appartienne à l'idéal de $k[X_1,\ldots,X_n]$ engendré par $P_1,\ldots,P_s$. \end{lemme2} \begin{proof} L'hypothèse que $P_1,\ldots,P_s$ n'aient pas de zéro commun non trivial donne $x_j = 0$ pour tout $(x_1,\ldots,x_s)$ tel que $P_i(x_1,\ldots,x_s) = 0$ pour tout $i$. Le Nullstellensatz \XXX{} permet alors de conclure que $X_j$ est dans le radical de l'idéal engendré par les $P_1,\ldots,P_s$, c'est-à-dire précisément qu'il existe $r_j$ tel que $X_j^{r_j}$ appartienne à cet idéal. \end{proof} \begin{lemme2}\label{degre-transcendance-enonce-provisoire} Si $k$ est un corps et si $P_1,\ldots,P_s \in k(X_1,\ldots,X_n)$ sont tels que $k(X_1,\ldots,X_n)$ soit un $k(P_1,\ldots,P_s)$-espace vectoriel de dimension finie, alors $s \geq n$. \end{lemme2} \begin{proof} L'hypothèse entraîne \XXX{} que $\degtr_k k(P_1,\ldots,P_s) = \degtr_k k(X_1,\ldots,X_n) = n$. On en déduit $s \geq n$. \end{proof} \begin{lemme2}\label{dimension-enonce-provisoire} Si $k$ est un corps et si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont tels que $k[X_1,\ldots,X_n]$ soit un $k[P_1,\ldots,P_s]$-module de type fini, alors $s \geq n$. \end{lemme2} \begin{proof} Appelons $A = k[P_1,\ldots,P_s]$ et $K = k(P_1,\ldots,P_s)$ le sous-anneau de $k[X_1,\ldots,X_n]$ et le sous-corps de $k(X_1,\ldots,X_n)$ respectivement engendrés par les $P_i$. L'hypothèse que $k[X_1,\ldots,X_n]$ soit engendré linéairement sur $A$ par un nombre fini d'éléments assure à plus forte raison que ces mêmes éléments engendrent $K[X_1,\ldots,X_n]$ linéairement sur $K$ (où $K[X_1,\ldots,X_n]$ désigne le sous-anneau de $k(X_1,\ldots,X_n)$ engendrée par $K$ et par $X_1,\ldots,X_n$). Autrement dit, $K[X_1,\ldots,X_n]$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Or c'est également un anneau intègre (puisque c'est un sous-anneau du corps $k(X_1,\ldots,X_n)$) : et un anneau intègre de dimension finie sur un corps est lui-même un corps (\refext{Alg}{fini integre=corps}). Ainsi, $K[X_1,\ldots,X_n]$ est le corps $K(X_1,\ldots,X_n)$, qui coïncide donc avec $k(X_1,\ldots,X_n)$ (étant contenu dedans). On a donc prouvé que $k(X_1,\ldots,X_n)$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie. Le lemme \ref{degre-transcendance-enonce-provisoire} donne la conclusion souhaitée. \end{proof} \begin{proof}[Démonstration de la proposition \ref{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0}] Posons $A = k[P_1,\ldots,P_s]$. Le lemme \ref{nullstellensatz-faible-provisoire} assure que pour chaque $j$ il existe $r_j$ tel que $X_j^{r_j}$ appartienne à l'idéal engendré par $P_1,\ldots,P_s$ dans $k[X_1,\ldots,X_n]$. Si on appelle $r$ la somme des $r_j$, alors tout monôme $q$ de degré total au moins $r$ comporte nécessairement un facteur $X_j^{r_j}$ pour un certain $j$, et appartient donc à l'idéal engendré par les $P_i$, c'est-à-dire s'écrit $q = h_1 P_1 + \cdots + h_s P_s$ pour certains $h_1,\ldots,h_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$. Dans une telle écriture, si on remplace chaque $h_i$ par sa composante homogène de degré total $\deg q - \deg P_j$ (définie comme la somme des monômes ayant ce degré total), alors on a toujours $q = h_1 P_1 + \cdots + h_s P_s$ (puisque les monômes de degré $\deg q$ sont inchangés), et on a $\deg h_i < \deg q$. Cette égalité peut se voir comme $q = g(X_1,\ldots,X_n)$ où $g \in A[T_1,\ldots,T_n]$ et $\deg g < \deg q$ (où par $\deg g$ on désigne son degré total en les indéterminées $T_1,\ldots,T_n$). On peut itérer ce procédé : tant qu'il subsiste dans $g$ des monômes de degré $\geq r$, on peut les réécrire comme combinaison linéaire sur $A$ des monômes de degré strictement plus petit qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le degré de $g$ décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à $r$), on finit par arriver à $\deg g < r$. On a donc prouvé que $q = g(X_1,\ldots,X_n)$ où $g \in A[T_1,\ldots,T_n]$ et $\deg g < r$. On vient de voir que tout monôme en les $X_1,\ldots,X_n$ s'écrit comme combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de degré $0$ en $n$ variables sur un corps fini $\FF$, et on suppose $n > d$. Alors $P$ a un zéro non trivial, c'est-à-dire qu'il existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $\FF$, non tous nuls, tels que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$. Autrement dit : les corps finis sont $C_1$ (et même fortement $C_1$). \end{theoreme2} \begin{proof} Soit $q = \#\FF$, de sorte que $\FF = \FF_q$, et soit $p$ la caractéristique de $\FF$. Considérons la somme $S = \sum_{(x_0,\ldots,x_n) \in \FF^{n+1}} P(x_0,\ldots,x_n)^{q-1}$. Puisque $t^{q-1}$ (pour $t \in \FF$) vaut $0$ ou $1$ selon que $t$ est nul ou non, cette somme est égale (modulo $p$) au nombre de $(x_0,\ldots,x_n) \in \FF^{n+1}$ tels que $P(x_0,\ldots,x_n) \neq 0$. Si on montre que $S = 0$ (dans $\FF$), cela prouvera que ce nombre est multiple de $p$, donc que le nombre de $(x_0,\ldots,x_n)$ tels que $P(x_0,\ldots,x_n) = 0$ est lui aussi multiple de $p$ ; comme $P(0,\ldots,0) = 0$, ceci montrera l'existence de $(x_0,\ldots,x_n) \neq 0$ tels que $P(x_0,\ldots,x_n) = 0$, la conclusion souhaitée. Le polynôme $P(X_0,\ldots,X_n)^{q-1}$ est de degré $d(q-1)$. Pour montrer que $S=0$ il suffit de montrer que $\sum_{(x_0,\ldots,x_n) \in \FF^{n+1}} X_0^{s_0} \cdots X_n^{s_n} = 0$ pour $c_{s_0,\ldots,s_n}\, X_0^{s_0} \cdots X_n^{s_n}$ (avec $s_0+\cdots+s_n \leq d(q-1)$) parcourant les monômes apparaissant dans ce polynôme. Or ceci s'écrit encore $(\sum_{x\in\FF} x^{s_0})\cdots (\sum_{x\in\FF} x^{s_n})$ : il suffit de montrer qu'un des facteurs est nul. Mais $s_0+\cdots+s_n \leq d(q-1) < (n+1)(q-1)$ entraîne qu'un des $s_i$ doit être $0$ en $n$ variables sur un corps fini $\FF$, et on suppose $n > d_1 + \cdots + d_s$. Alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro non trivial commun. Autrement dit, les corps finis sont (fortement ? \XXX) $C'_1$. \end{corollaire2} \begin{proof} Cela découle immédiatement de \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}, compte tenu de la proposition \ref{existence-forme-normique-corps-finis}. \end{proof} \subsection{Géométries finies et coniques} Rappelons d'abord quelques généralités sur la géométrie projective plane (dans un premier temps, le corps $\FF$ sera quelconque). \begin{definition2} Si $\FF$ est un corps, on appelle \emph{plan projectif} sur $\FF$ et on note $\PP^2(\FF)$ la donnée combinatoire suivante : \begin{itemize} \item les \emph{points} de $\PP^2(\FF)$ sont les triplets $(x,y,z)$ d'éléments de $\FF$ modulo la relation d'équivalence $(x,y,z) \sim (x',y',z')$ lorsqu'il existe $t \in \FF^\times$ tel que $x'=tx, y'=ty, z'=tz$ (on note parfois $(x:y:z)$ la classe d'équivalence de $(x,y,z)$ pour $\sim$, et on dit que $x,y,z$ sont des coordonnés projectives, ou homogènes, du point en question) ; \item les \emph{droites} de $\PP^2(\FF)$ sont des données (identiques) de triplets $(u,v,z)$ d'éléments de $\FF$ modulo la relation d'équivalence $(u,v,w) \sim (u',v',w')$ lorsqu'il existe $t \in \FF^\times$ tel que $u'=tu, v'=tv, w'=tw$ (la classe d'équivalence de $(u,v,w)$ sera souvent appelée « droite d'équation $uX+vY+wZ=0$ ») ; \item la relation d'\emph{incidence} relie un point $(x:y:z)$ à une droite définie par le triplet $(u,v,w)$ lorsque $ux+vy+wz=0$ (on dit souvent que le point est \emph{sur} la droite, ou que cette dernière \emph{passe} par le point). \end{itemize} On dit que des points $P_i$ de $\PP^2(\FF)$ sont \emph{alignés} (sur une droite $d$) lorsque les $P_i$ sont tous incidents à $d$ ; on dit que des droites $d_i$ de $\PP^2(\FF)$ sont \emph{concourantes} (en un point $P$) lorsque les $d_i$ sont toutes incidentes à $P$ (on dit encore que $P$ est l'intersection des droites $d_i$). \end{definition2} \begin{remarques2} \begin{itemize} \item Le plan projectif $\PP^2(\FF)$ ainsi défini est évidemment isomorphe (en tant qu'objet combinatoire, c'est-à-dire qu'il existe une bijection entre points et points et entre droites et droites préservant la relation d'incidence) avec l'espace projectif $\PP(E)$ sur un quelconque espace vectoriel $E$ de dimension $3$ sur $\FF$, les points de $\PP(E)$ étant définis comme les droites vectorielles (sous-espaces vectoriels de dimension $1$) de $E$ et les droites de $\PP(E)$ comme les plans vectoriels (sous-espaces vectoriels de dimension $2$) de $E$, la relation d'incidence étant donnée par l'inclusion d'une droite vectorielle dans un plan vectoriel. Plus précisément, si $e_x,e_y,e_z$ est une base de $E$, on peut identifier le point $(x:y:z)$ de $\PP^2(\FF)$ avec la droite vectorielle engendrée par $x e_x + y e_y + z e_z$ dans $E$, et la droite d'équation $ux+vy+wz = 0$ de $\PP^2(\FF)$ avec le plan vectoriel noyau de la forme linéaire $x e_x + y e_y + z e_z \mapsto ux+vy+wz$. \item De cette remarque il résulte que toute bijection linéaire de $\FF^3$ sur lui-même définit un automorphisme de $\PP^2(\FF)$ (c'est-à-dire une bijection de points sur points et droites sur droites préservant la relation d'incidence) : on les appelle \emph{transformations projectives} sur $\FF$ (planes, ou de $\PP^2(\FF)$). Ce ne sont généralement pas les seules : si $\FF$ est un corps fini ayant $q$ éléments, alors $(x:y:z) \mapsto (x^q:y^q:z^q)$ est un automorphisme de $\PP^2(\FF)$ qui n'est pas une transformation projective sur $\FF$. \item Lorsque $P,Q,R$ sont trois points de $\PP^2(\FF)$ non alignés, il existe une transformation projective envoyant $P,Q,R$ sur $(1:0:0)$, $(0:1:0)$ et $(0:0:1)$ respectivement (en effet, des coordonnées projectives quelconques de $P,Q,R$ définissent une base de $\FF^3$, et on peut la ramener à la base canonique par une bijection linéaire). De façon moins évidente, si $P,Q,R,S$ sont quatre points dont trois quelconques ne sont jamais alignés, on peut les ramener à $(1:0:0)$, $(0:1:0)$, $(0:0:1)$ et $(1:1:1)$ respectivement (en effet, une fois ramenés $P,Q,R$ aux coordonnées prescrites, si des coordonnées projectives de $S$ sont $(x_S:y_S:z_S)$, toutes non nulles par l'hypothèse sur les alignements, on peut appliquer la transformation projective $(x:y:z) \mapsto (x/x_S : y/y_S : z/z_S)$ donnée par une application linéaire diagonale). \item Les droites de $\PP(E)$, si $E$ est un espace vectoriel de dimension $3$, peuvent se voir comme les points de $\PP(E^\vee)$ où $E^\vee$ est l'espace vectoriel dual de $E$ (en voyant une droite de $\PP(E)$ comme un plan vectoriel de $E$ ou comme la droite vectorielle des formes linéaires ayant ce plan pour noyau, ce qui définit un point de $\PP(E^\vee)$), et de même les points de $\PP(E^\vee)$ peuvent se voir comme des droites de $\PP(E)$ : le fait que cette identification préserve la relation d'incidence s'appelle \emph{principe de dualité projective}. Lorsque $E$ est $\FF^3$, espace vectoriel pour lequel on dispose d'un isomorphisme standard avec son dual, la dualité projective correspondante envoie le point $(u:v:w)$ sur la droite d'équation $uX+vY+wZ = 0$. \item Il résulte par exemple des formules de Cramer que la droite passant par les points $(x_1:y_1:z_1)$ et $(x_2:y_2:z_2)$ peut être définie par l'équation $ux+vy+wz=0$ avec $u = y_1z_2 - z_1y_2$, $v = z_1x_2 - x_1z_2$ et $w = x_1y_2 - y_1x_2$ (la condition que ces trois nombres ne soient pas tous nuls étant justement celle que les points donnés ne soient pas confondus). La condition que trois points $(x_1:y_1:z_1)$, $(x_2:y_2:z_2)$ et $(x_3:y_3:z_3)$ soient alignés équivaut au fait que le déterminant $\left|\begin{matrix}x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3\\\end{matrix}\right|$ soit nul. On a des formules duales pour l'intersection de deux droites distinctes et la concurrence de trois droites. \item Si $\FF$ est un corps fini ayant $q$ éléments, le nombre de points de $\PP^2(\FF)$ est $q^2+q+1$, et c'est aussi le nombre de droites. Le nombre de points sur une droite quelconque est $q+1$, et c'est aussi le nombre de droites par un point quelconque. \end{itemize} \end{remarques2} \begin{proposition2} Les points et droites de $\PP^2(\FF)$ vérifient les axiomes suivants : \begin{enumerate} \item Il existe une unique droite passant par deux points distincts donnés. \item Il existe un unique point d'intersection à deux droites distinctes données. \item Il existe au moins quatre points tels que trois quelconques d'entre eux ne soient jamais alignés. \item Si $A,B,C$ sont trois points alignés, et $A',B',C'$ trois autres points alignés, et si on note $A''$ (resp. $B''$, resp. $C''$) l'intersection des droites $BC'$ et $CB'$ (resp. $AC'$ et $CA'$, resp. $AB'$ et $BA'$) --- ce qui sous-entend que $B$ est distinct de $C'$ et $C$ de $B'$ et que la droite $BC'$ est distincte de la droite $CB'$ (resp...) --- alors les points $A'',B'',C''$ sont alignés. \emph{(Théorème de Pappus.)} \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{proof} La première affirmation est claire, ainsi que la seconde (qui en est la duale). La troisième est mise en évidence par les points $(1:0:0)$, $(0:1:0)$, $(0:0:1)$ et $(1:1:1)$. Reste à montrer le théorème de Pappus. Les droites $ABC$ et $A'B'C'$ ne peuvent pas être identiques : on peut donc supposer, pour simplfier les calculs, que la première s'écrit $x=0$ et la seconde $y=0$. Si l'un des points $A',B',C'$ est situé sur la droite $ABC$, ou un des points $A,B,C$ sur la droite $A'B'C'$, alors le théorème est clair (si $A'$ est sur $ABC$ alors $B''=C''=A$) : on peut donc supposer ce cas exclu. Écrivant alors $A=(0:1:a)$, $B=(0:1:b)$, $C=(0:1:c)$ et $A'=(1:0:a')$, $B'=(1:0:b')$, $C'=(1:0:c')$, on obtient les coordonnées $A''=(b-c:b'-c':bb'-cc')$, $B''=(c-a:c'-a':cc'-aa')$ et $C''=(a-b:a'-b':aa'-bb')$. Le théorème de Pappus énonce alors l'annulation du déterminant \[ \left| \begin{matrix} b-c&b'-c'&bb'-cc'\\ c-a&c'-a'&cc'-aa'\\ a-b&a'-b'&aa'-bb'\\ \end{matrix} \right| \] --- qui se vérifie aisément. \end{proof} \begin{definition2} On appelle \emph{conique} d'équation $Q=0$ de $\PP^2(\FF)$ la donnée d'une certaine forme quadratique non nulle $Q$ sur $\FF^3$ (c'est-à-dire un polynôme homogène de degré $2$), où on identifie les coniques d'équation $Q=0$ et $cQ=0$ pour $c \in \FF^\times$ ; on appelle ensemble des points de la conique (noté $C(\FF)$) l'ensemble des points $(x:y:z)$ vérifiant $Q(x,y,z) = 0$ ; la conique d'équation $Q=0$ est dite \emph{intègre} lorsque le polynôme $Q$ (vu dans $\FF[X,Y,Z]$) est irréductible, et \emph{géométriquement intègre} (ou \emph{lisse}, cf. \ref{coniques-lisses} plus bas) lorsque $Q$ est irréductible vu sur la clôture algébrique de $\FF$. Si $(x_0:y_0:z_0)$ est un point de la conique $Q=0$, on dit qu'il s'agit d'un point \emph{lisse} (ou \emph{régulier}) sur celle-ci lorsque les trois quantités $u = \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)$, $v = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)$ et $w = \frac{\partial Q}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)$ ne sont pas toutes nulles : dans ce cas, la droite d'équation $ux+vy+wz = 0$ est appelée \emph{droite tangente} à la conique par le point considéré. (Si le point $(x_0:y_0:z_0)$ n'est pas lisse, toute droite pourra être considérée comme tangente.) \end{definition2} En général, la donnée de l'ensemble de ses points ne détermine pas la conique, c'est-à-dire la forme quadratique $Q$ même à multiplication près par une constante (ainsi, sur $\RR$, les coniques d'équation $X^2 + Y^2 + Z^2 = 0$ et $X^2 + Y^2 + 2 Z^2 = 0$ ne sont pas égales bien qu'elles aient le même ensemble de points, à savoir l'ensemble vide). \begin{proposition2}\label{coniques-lisses} Tout point d'une conique géométriquement intègre est lisse sur celle-ci. Réciproquement, si tout point d'une conique est lisse sur un corps algébriquement clos, alors cette conique est (géométriquement) intègre. S'il existe un point $P$ d'une conique $C$ tel que $C$ soit lisse en $C$ et que la droite $d$ tangente à $C$ en $P$ ne soit pas contenue dans $C$, alors $C$ est lisse. \end{proposition2} \begin{proof} Pour la première affirmation, on peut se ramener au cas où le point est $(0:0:1)$, auquel cas l'équation de la conique doit s'écrire $a X^2 + b Y^2 + c' XY + b' XZ + a' YZ = 0$ (il n'y a pas de terme en $Z^2$). Si le point n'est pas lisse, l'hypothèse d'annulation des dérivées partielles signifie que $b'=0$ et $a'=0$ : l'équation de la conique s'écrit donc $a X^2 + b Y^2 + c' XY = 0$. Le polynôme $a T^2 + c' T + b$ (de degré $\leq 2$) se factorise dans $\FF\alg[T]$ en deux facteurs de degré $\leq 1$, donc quitte à ré-homogénéiser, le polynôme homogène $Q = a X^2 + c' X Y + b Y^2$ de degré $2$ se factorise dans $\FF\alg[X,Y]$ en deux facteurs homogènes de degré $1$. Ceci montre que la conique n'est pas géométriquement irréductible. Pour ce qui est de la deuxième affirmation, si l'équation de la conique est $Q=0$ et que $Q$ est réductible comme produit de deux facteurs de degré $1$, ces facteurs définissent deux droites (non nécessairement distinctes). Considérant un point d'intersection de ces deux droites, qu'on peut supposer être $(0:0:1)$, les deux droites doivent s'écrire $uX + vY = 0$ et $u'X + v'Y = 0$ (pour $u$ et $v$ non tous deux nuls, et de même pour $u'$ et $v'$), auquel cas la conique s'écrit $uu' X^2 + (uv'+u'v) XY + vv' Y^2 = 0$, et le point $(0:0:1)$ n'est pas lisse. Si $C$ est une conique qui n'est pas lisse, on vient de voir que, quitte à remplacer le corps $\FF$ par sa clôture algébrique $\FF\alg$, l'équation $Q=0$ de la conique se factorise comme $Q = \ell_1 \ell_2$ avec $\ell_1,\ell_2$ deux formes linéaires dans les variables $X,Y,Z$. Si $\ell_1,\ell_2$ sont proportionnelles (on peut supposer qu'il s'agit de $X$ et que la conique est alors d'équation $X^2 = 0$), la conique n'a aucun point lisse ; si elle ne le sont pas (on peut supposer qu'il s'agit de $X$ et $Y$, et la conique est alors d'équation $XY = 0$), les points lisses de $C$ sont exactement ceux qui sont sur une des deux droites d'équation $\ell_1 = 0$ et $\ell_2 = 0$ mais pas sur l'autre, et la tangente en un tel point est la droite sur laquelle il se trouve, qui est contenue dans $C$ (et la définition de la tangente assure qu'elle est définie sur $\FF$ si $P$ l'est). Il s'ensuit que si une conique a un point lisse $P$ dont la tangente $d$ \emph{n'est pas} contenue dans $C$, alors $C$ est lisse, ce qu'on voulait prouver. \end{proof} \begin{proposition2} La conique d'équation $Q=0$, où $Q$ est une forme quadratique (en trois variables) sur un corps $\FF$ de caractéristique $\neq 2$, est lisse si et seulement si la forme bilinéaire associée à $Q$ est non-dégénérée (c'est-à-dire, de rang $3$). \end{proposition2} \begin{proof} Soit $\varphi$ la forme bilinéaire associée à $Q$. Si $Q$ se factorise comme un produit $\ell_1 \ell_2$ de formes linéaires, alors on a $\varphi(v,v') = \frac{1}{2}(\ell_1(v)\,\ell_2(v') + \ell_1(v')\,\ell_2(v))$ pour tous $v,v' \in \FF^3$ : donc tout vecteur situé dans le noyau de $\ell_1$ et de $\ell_2$ est dans celui de $\varphi$, et la forme $\varphi$ a pour rang au plus $2$. Réciproquement, si $v \neq 0$ est tel que $\varphi(v,v') = 0$ pour tout $v'$, alors on a $Q(v+v') = Q(v')$ pour tout $v'$, donc les dérivées partielles de $Q$ s'annulent en $v$, et $v$ représente un point de $C$ qui n'est pas lisse. \end{proof} \begin{exemples2} \item La conique d'équation $X^2 = 0$ (sur un corps quelconque) est réductible (car $X^2 = X\times X$), et n'est lisse en aucun de ces points. On qualifiera cette conique de \emph{droite double}. \item La conique d'équation $XY = 0$ (sur un corps quelconque) est réductible, et n'est pas lisse au point $(0:0:1)$ tandis qu'elle est lisse en n'importe quel autre point ($(1:0:z)$ ou $(0:1:z)$). On qualifiera cette conique de \emph{réunion de deux droites rationnelles distinctes} (à savoir $X=0$ et $Y=0$). \item La conique d'équation $X^2 - Y^2 = 0$ est réductible (comme $(X-Y)(X+Y)$) et n'est pas lisse au point $(0:0:1)$, tandis qu'elle est lisse en tout autre point ($(1:1:z)$ ou $(1:-1:z)$) en caractéristique $\neq 2$. En caractéristique $\neq 2$, il s'agit de nouveau de la réunion de deux droites rationnelles distinctes, tandis qu'en caractéristique $2$ il s'agit d'une droite double (pour la droite d'équation $X=Y$). \item La conique d'équation $X^2 + Y^2 = 0$ sur un corps tel que $-1$ ne soit pas un carré (par exemple $\RR$) est irréductible, mais elle est géométriquement réductible (car $X^2+Y^2 = (X+iY)(X-iY)$ si $i$ est une racine carrée de $-1$). Elle n'est pas lisse au point $(0:0:1)$, qui est son seul point sur le corps considéré. On qualifiera cette conique de \emph{réunion de deux droites conjuguées}. \item La conique d'équation $Y^2 - t X^2$ sur le corps $\FF_2(t)$ est irréductible mais géométriquement réductible. Elle ne possède aucun point sur le corps $\FF_2(t)$. \item La conique d'équation $X^2 + Y^2 - Z^2 = 0$ est une conique lisse sur tout corps de caractéristique $\neq 2$ puisque la forme bilinéaire associée n'est pas dégénérée (en caractéristique $2$, il s'agit d'une droite double). \end{exemples2} \begin{proposition2}\label{intersection-droite-conique} \begin{itemize} \item Trois points situés sur une même conique lisse ne sont jamais alignés. \item Une droite $d$ rencontre une conique lisse $C$ en un unique point si et seulement si elle lui est tangente à ce point. \end{itemize} Autrement dit, une droite $d$ rencontre une conique lisse $C$ en zéro, un ou deux points, la possibilité « un » se produisant exactement lorsque la droite est tangente à la conique au point en question. \end{proposition2} \begin{proof} Si $\ell$ est une forme linéaire (sur $\FF^3$, où $\FF$ est le corps sur lequel $C$ est définie), les points d'intersection de $C$ avec la droite $\ell=0$ sont les points vérifiant $\ell=0$ et $Q=0$ où $Q$ est l'équation de $C$. On peut supposer que $\ell$ est la forme linéaire $Z$, auquel cas ces points sont ceux vérifiant $\tilde Q = 0$ où $\tilde Q$ est la forme quadratique dans les variables $X$ et $Y$ obtenue en substituant $0$ à la variable $Z$ dans $Q$. Si $\tilde Q = a X^2 + c' XY + b Y^2$, comme le polynôme $a T^2 + c' T + b$ a au plus deux racines distinctes dans $\FF$, l'intersection considérée a au plus deux éléments. De plus, en supposant que $P = (0:1:0)$ soit dans l'intersection considérée, c'est-à-dire $b=0$, il s'agit de l'unique point d'intersection si et seulement si la racine est double, c'est-à-dire qu'on a aussi $c'=0$, ce qui signifie justement que la droite $d$ d'équation $Z=0$ est la tangente en $P = (0:1:0)$ à la conique d'équation $a X^2 + c Z^2 + c' XY + b' XZ + a' YZ = 0$. \end{proof} \begin{proposition2}\label{parametrage-conique} Soit $P$ un point sur une conique lisse $C$ sur un corps $\FF$. Alors il y a une bijection entre les points de $C$ et les droites de $\PP^2(\FF)$ passant par $P$, associant à un point $Q$ de $C$ la droite $PQ$ si $Q \neq P$, ou bien la tangente à $C$ en $P$ si $Q=P$. \end{proposition2} \begin{proof} C'est une conséquence immédiate de la proposition \ref{intersection-droite-conique}. \end{proof} \begin{corollaire2}\label{denombrement-coniques-corps-finis} Si $C$ est une conique lisse sur un corps $\FF$ \emph{fini} ayant $q$ éléments, alors $\#C(\FF) = q+1$. Dualement, il existe $q+1$ droites tangentes à $C$. \end{corollaire2} \begin{proof} Le théorème \ref{theoreme-chevalley-warning} montre que $C(\FF)$ n'est pas vide : soit $P$ un de ses points. La proposition \ref{parametrage-conique} montre alors que $C(\FF)$ est en bijection avec l'ensemble des droites passant par $P$ dans $\PP^2(\FF)$. Ces dernières sont au nombre de $q+1$ (par exemple parce qu'elles sont en bijection, de la même façon, avec les points de n'importe quelle droite ne passant pas par $P$). La seconde affirmation est évidente puisque chaque point de $C$ définit une unique tangente, et que toute tangente à $C$ est tangente en un unique point. \end{proof} \begin{exemple2} Sur $\FF_7$, les solutions non triviales de l'équation $X^2 + Y^2 + Z^2 = 0$ sont, à proportionalité près, l'une des huit solutions $(1:2:3)$, $(1:2:4)$, $(1:3:2)$, $(1:3:5)$, $(1:4:2)$, $(1:4:5)$, $(1:5:3)$ et $(1:5:4)$. \end{exemple2} \subsubsection{}\label{points-interieurs-coniques} Les droites tangentes à une conique lisse $C$ donnée de $\PP^2(\FF)$, où $\FF$ est un corps de caractéristique $\neq 2$, forment elles-mêmes une conique lisse, notée $C^\vee$, dans $\PP^{2\vee}(\FF)$. Ceci peut se voir avec des coordonnées : si $C$ a pour équation $a X^2 + b Y^2 + c Z^2 = 0$ (ce qu'on peut toujours faire, quitte à diagonaliser la forme quadratique qui donne son équation), dire que la droite $UX + VY + WZ = 0$ lui est tangente signifie que $U,V,W$ vérifient $\frac{1}{a} U^2 + \frac{1}{b} V^2 + \frac{1}{c} W^2 = 0$, qui définit alors l'équation de $C^\vee$. Si $P$ est un point de $\PP^2(\FF)$ (toujours avec $\FF$ de caractéristique $\neq 2$) non situé sur une conique lisse $C$, les tangentes à $C$ passant par $P$ peuvent se voir comme l'intersection de la conique $C^\vee$ et de la droite $P^\vee$ dans $\PP^{2\vee}(\FF)$ : il y en a donc (sur $\FF$) soit $2$ soit $0$ selon que le polynôme de degré $2$ définissant cette intersection a $2$ ou $0$ racines sur $\FF$ (le cas d'une racine double correspondant à la situation où $P$ est sur $C$, ce qu'on a exclu). On dira que $P$ est \emph{extérieur} ou \emph{intérieur} à la conique $C$ selon qu'il existe $2$ ou $0$ tangentes à $C$ passant par $P$. (Sur le corps $\RR$ des réels, la notion ainsi définie est bien celle qu'on a l'habitude de désigner par là, au moins dans le cas où on pense à une ellipse --- c'est-à-dire que la conique ne croise pas la droite à l'infini. La terminologie est cependant désagréable en général : ainsi, sur un corps algébriquement clos, une conique n'a jamais d'intérieur. On se contentera de l'utiliser ci-dessous dans le cas d'un corps fini.) \begin{corollaire2}\label{denombrement-points-interieurs-coniques-corps-finis} Si $C$ est une conique lisse sur un corps $\FF$ \emph{fini} ayant $q$ éléments, avec $q$ \emph{impair}, alors il existe $\frac{1}{2}(q^2-q)$ points intérieurs à $C$ (au sens de \ref{points-interieurs-coniques}, c'est-à-dire par lesquels ne passe aucune tangente à $C$), et $\frac{1}{2}(q^2+q)$ points extérieurs. Dualement, et sans hypothèse sur $q$, sur les $q^2 + q + 1$ droites de $\PP^2(\FF_q)$, outre les $q+1$ qui sont tangentes à $C$, il en existe $\frac{1}{2}(q^2-q)$ qui ne rencontrent pas $C$, et $\frac{1}{2}(q^2+q)$ qui la rencontrent en deux points distincts. \end{corollaire2} \begin{proof} La conique $C$ a $q+1$ tangentes (cf. \ref{denombrement-coniques-corps-finis}). Chacune de ces tangentes comporte, outre le point de tangence, $q$ points extérieurs à $C$. De cette manière, chaque point extérieur à $C$ a été compté deux fois puisqu'il est situé sur $2$ tangentes distinctes. On a donc $\frac{1}{2}q(q+1)$ points extérieurs, et comme il y a $q^2$ points non situés sur $C$ (soit $q^2+q+1$ points au total dont $q+1$ sont sur $C$), on en déduit le nombre de points intérieurs annoncé. L'énoncé dual se montre soit de même : par chaque point de $C$ passent $q$ droites outre la tangente au point en question, chacune de ces $q$ droites coupe $C$ en deux points distincts, et chaque droite coupant $C$ en deux points distincts a ainsi été comptée deux fois. Si $q$ est impair, on peut aussi obtenir ce résultat en appliquant ce qui précède à la conique $C^\vee$. \end{proof} Sur un corps fini de caractéristique $2$, la situation est très différente : on va voir en \ref{ovales-et-hyperovales} ci-dessous que par tout point non situé sur une conique lisse passe exactement \emph{une} tangente à celle-ci, exceptée pour un point par lequel passent \emph{toutes} les tangentes. (Il faut imaginer que la conique duale de n'importe quelle conique lisse serait une droite double.) \begin{definition2}\label{definition-ovale-hyperovale} On appelle \emph{ovale} (resp. \emph{hyperovale}) de $\PP^2(\FF_q)$ un ensemble de $q+1$ (resp. $q+2$) points de $\PP^2(\FF_q)$ dont trois quelconques ne sont jamais alignés. On appelle \emph{tangente} à un ovale (en un point $P$ de celui-ci) une droite qui ne rencontre l'ovale qu'en un seul point (à savoir $P$). \end{definition2} On a vu en \ref{intersection-droite-conique}, \ref{denombrement-coniques-corps-finis} que les coniques lisses sont des ovales, et que la notion de tangence qu'on vient de définir recouvre bien la notion de tangence à une conique. On verra en \ref{segre-ovale-est-conique} une réciproque de cette affirmation en caractéristique impaire. \begin{proposition2}\label{tangente-ovale} Si $E$ est un ovale de $\PP^2(\FF_q)$, il existe une unique tangente à $E$ par chaque point de $E$. Si $E$ est un hyperovale, toute droite rencontre $E$ en exactement $0$ ou $2$ points. \end{proposition2} \begin{proof} Soit $P$ un point de $E$. Pour chacun des $q$ points $Q$ de $E$ distinct de $P$, la droite $PQ$ rencontre $E$ en exactement deux points, $P$ et $Q$, et ces droites $PQ$ sont deux à deux distinctes. Il passe $q+1$ droites par $P$, donc la dernière droite $d$ passant par $P$ dans $\PP^2(\FF_q)$ ne rencontre $E$ qu'en $P$ et est donc l'unique tangente à $E$ en $P$. Le raisonnement de la seconde partie est analogue : si $P$ est sur $E$, pour chacun des $q+1$ points $Q$ de $E$ distinct de $P$, la droite $PQ$ rencontre $E$ en exactement deux points, $P$ et $Q$, et ces droites $PQ$ sont deux à deux distinctes. Il passe $q+1$ droites par $P$, donc chacune rencontre $E$ en exactement un point autre que $P$. Ainsi, toute droite de $\PP^2(\FF_q)$ qui rencontre $E$ le rencontre en exactement deux points. \end{proof} \begin{proposition2}\label{ovales-et-hyperovales} Si $q$ est pair, et $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$, alors toutes les tangentes à $E$ se coupent en un unique point. Si $N$ est point en question, alors $E \cup \{N\}$ est un hyperovale. (Et si $A'$ est un hyperovale et $N$ un point quelconque de $A'$, alors $E = A'\setminus\{N\}$ définit un ovale dont toutes les tangentes se coupent en $N$.) Si $q$ est impair, il n'existe pas d'hyperovale dans $\PP^2(\FF_q)$. \end{proposition2} \begin{proof} Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ : notons $n_i$ le nombre de points non situés sur $E$ qui appartiennent à exactement $i$ tangentes à $E$ (cf. \ref{tangente-ovale}). Comme il y a $q^2$ points non situés sur $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} n_i = q^2$. Comme chacune des $q+1$ tangentes à $E$ contient $q+1$ points dont $q$ ne sont pas situés sur $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} i\, n_i = q(q+1)$. Comme chaque paire de tangentes distinctes définit un unique point d'intersection situé en-dehors de $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} {i \choose 2} \, n_i = {q+1 \choose 2}$. En combinant linéairement ces formules, on a $\sum_{i=0}^{q+1} (i-1) (q+1-i) \, n_i = 0$. Puisque $q$ est pair, $\#E$ est impair, donc, si $R$ est un point non situé sur $E$, il doit exister une droite passant par $R$ ne contenant qu'un seul point de $E$, c'est-à-dire une tangente à $E$ : ceci prouve $n_0 = 0$. La somme $\sum_{i=0}^{q+1} (i-1) (q+1-i) \, n_i$ est donc une somme de nombres positifs, donc tous les termes sont nuls, et seuls $n_1$ et $n_{q+1}$ peuvent être non nuls. Comme $n_1 + n_{q+1} = q^2$ et $n_1 + (q+1) n_{q+1} = q^2+q$ d'après ce qu'on a vu, on a $n_1 = q^2-1$ et $n_{q+1} = 1$ : il existe bien un unique point situé à l'intersection de toutes les tangentes à $E$. Il est alors évident qu'en ajoutant ce point $N$ à l'ovale, trois points ne seront jamais alignés, c'est-à-dire que $E \cup \{N\}$ est un hyperovale. La remarque entre parenthèses est également évidente. Si $q$ est impair, en revanche, s'il existait un hyperovale $E$, alors pour $R$ un point non situé sur $E$, chacune des $q+1$ droites passant par $R$ doit rencontrer $E$ en $0$ ou $2$ points d'après \ref{tangente-ovale} : ceci montre que le cardinal de $E$ est pair, une contradiction. \end{proof} \begin{proposition2}\label{centre-de-l-ovale-inscrit} Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ avec $q$ impair, et $P,Q,R$ trois points distincts de $E$, et soient $A,B,C$ les intersections respectives des tangentes à $E$ en $Q,R$, en $P,R$ et en $P,Q$ (c'est-à-dire que $BC,AC,AB$ sont les tangentes à $E$ en $P,Q,R$ respectivement). Alors les droites $AP$, $BQ$ et $CR$ sont concourantes en un point $S$. \end{proposition2} \begin{proof} On peut supposer $P=(1:0:0)$, $Q=(0:1:0)$ et $R=(0:0:1)$. Les équations des droites $BC$, $AC$ et $AB$ (dont aucune ne coïncide avec une des droites $QR$, $PR$ ni $PQ$) peuvent alors s'écrire respectivement $Y+aZ=0$, $Z+bX=0$ et $X+cY=0$, où les nombres $a,b,c$ sont dans $\FF_q^\times$. On a alors $A=(-c:1:bc)$, $B=(ac:-a:1)$ et $C=(1:ab:-b)$. Soit $T=(x:y:z)$ un point de l'ovale $E$ distinct de $P,Q,R$ (de sorte que $x,y,z$ sont tous les trois non nuls), et considérons les trois produits $\xi = \prod_{T \in E \setminus\{P,Q,R\}} (z/y)$, $\eta = \prod_{T \in E \setminus\{P,Q,R\}} (x/z)$ et $\zeta = \prod_{T \in E \setminus\{P,Q,R\}} (y/x)$ (les rapports $z/y$, $x/z$ et $y/x$ sont bien définis et ne dépendent que de $T$ et non des coordonnées le représentant). On a visiblement $\xi\eta\zeta = \prod_{T \in E \setminus\{P,Q,R\}} 1 = 1$. Cependant, le rapport $z/y$ est déterminé par la droite $TP$ (d'équation $zY-yZ=0$), et quand $T$ parcourt $E \setminus\{P,Q,R\}$, la droite $TP$ d'équation parcourt toutes les droites passant par $P$ exceptée la tangente $BC$ à $E$ par $P$ (pour laquelle ce rapport $z/y$ vaudrait $-\frac{1}{a}$) et les droites $PQ$ et $PR$ (pour lesquelles ce rapport $z/y$ vaudrait $0$ et $\infty$). Autrement dit, $\xi$ est le produit de tous les éléments de $\FF_q^\times$ différents de $-\frac{1}{a}$, c'est-à-dire $a$ (le produit de tous les éléments de $\FF_q^\times$ est $-1$ car chaque $t \in \FF_q^\times$ vérifie $t \cdot t^{-1} = 1$, avec $t \neq t^{-1}$ sauf si $t = -1$). De même, $\eta = b$ et $\zeta = c$. On a donc prouvé $abc = 1$. Les droites $AP,BQ,CR$ concourent alors en $(c:1:bc) = (ac:a:1) = (1:ab:b)$. \end{proof} \begin{lemme2}\label{comparaison-ovale-conique-trois-points-deux-tangentes} Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ avec $q$ impair, et $P,Q,R$ trois points distincts de $E$. Si une conique $D$ passe par $P,Q,R$ et a les mêmes droites tangentes que $E$ en $P,Q$, alors elle a aussi la même tangente que $E$ en $R$. \end{lemme2} \begin{proof} On reprend les notations de la démonstration de la proposition \ref{centre-de-l-ovale-inscrit} : comme $D$ passe par $P,Q,R$, son équation s'écrit $c' XY + b' XZ + a' YZ = 0$ pour certaines constantes $a',b',c'$. Les tangentes à $D$ par $P,Q,R$ ont alors pour équations $c'Y + b'Z = 0$, $a'Z + c'X = 0$ et $b'X + a'Y = 0$ respectivement : les quantités $a,b,c$ introduites dans la démonstration précédente vérifient alors $a = b'/c'$ et $b = c'/a'$ d'après l'égalité des tangentes à $E$ et $D$ en $P$ et $Q$ : du fait que $abc = 1$ on déduit $c = a'/b'$, ce qui démontre l'égalité des tangentes en $R$. \end{proof} \begin{proposition2}[B. Segre]\label{segre-ovale-est-conique} Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ avec $q$ impair : alors $E$ est (l'ensemble des points sur $\FF_q$ d')une conique lisse. \end{proposition2} \begin{proof} On reprend les notations de la démonstration de la proposition \ref{centre-de-l-ovale-inscrit} ; pour simplifier les calculs, on peut encore choisir $(1:1:1)$ comme coordonnées pour le point $S$ intersection commune de $AP$, $BQ$ et $CR$. Alors on a $a=b=c=1$, et les tangentes à $E$ par $P$, $Q$ et $R$ ont respectivement pour équations $Y+Z=0$ et $Z+X=0$ et $X+Y=0$. On veut montrer que $E$ coïncide avec la conique $D$ d'équation $XY+XZ+YZ=0$. Soit $T = (x:y:z)$ un point quelconque de $E$ distinct de $P,Q,R$. La conique $D'_s$ d'équation $XY+XZ+YZ + sZ^2 = 0$ passe par $P$ et $Q$ et y a les même tangentes que $E$. En choisissant $s$ de sorte que la conique $D'_s$ passe par $T$, on déduit du lemme \ref{comparaison-ovale-conique-trois-points-deux-tangentes} que $D'_s$ et $E$ ont même tangente en $T$. Cette tangente est $(y+z)X + (x+z)Y + (y+x+2sz)Z = 0$. La conique $D''_t$ d'équation $XY+XZ+YZ + tX^2 = 0$ passe par $Q$ et $R$ et y a les mêmes tangentes que $E$. En choisissant $t$ de sorte que $D''_t$ passe par $T$ on déduit de même que $D''_t$ et $E$ ont même tangente en $T$. Cette tangente est $(y+z+2tx)X + (x+z)Y + (y+x)Z = 0$. En comparant les deux équations trouvées pour la même tangente à $E$ en $T$, on trouve $s=t=0$ : donc $D'_s = D''_t = D$, et le point $T$ est situé sur $D$, ce qu'on voulait prouver. \end{proof} \begin{remarque2} On peut se demander s'il existe un résultat analogue en caractéristique $2$ qui affirmerait que tout hyperovale s'obtient comme réunion d'une conique et de l'unique point d'intersection de toutes ses tangentes (cf. \ref{ovales-et-hyperovales}). Il n'en est rien : il existe des hyperovales « irréguliers » : l'exemple le plus simple connu (hyperovale de Lunelli-Sce) est celui de l'ensemble des points de $\PP^2(\FF_{16})$ de la forme $(0:1:0)$ ou $(1:0:0)$ ou bien $(x:f(x):1)$ avec $x\in \FF_{16}$ et $f(x) = x^{12} + x^{10} + \gamma^{11} x^8 + x^6 + \gamma^2 x^4 + \gamma^9 x^2$, où $\gamma$ (élément primitif) est solution de $\gamma^4 = \gamma + 1$. \end{remarque2} \section{Polynômes sur les fractions rationnelles} \subsection{Le théorème de Tsen} \begin{theoreme2}\label{theoreme-tsen} Soit $k$ un corps $C_r$. Alors le corps $k(T)$ des fractions rationnelles en une indéterminée sur $k$ est $C_{r+1}$. (Marche aussi fortement ? Oui, si j'en crois Nagata. Marche aussi avec $C'$ ? \XXX) \end{theoreme2} \begin{proof} Soit $P \in k(T)[X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme homogène de degré $d$ en $n$ variables avec $n > d^{r+1}$. Quitte à chasser les dénominateurs, on peut supposer $P \in k[T,X_1,\ldots,X_n]$, c'est-à-dire que les coefficients de $P$ sont dans $k[T]$. Soit $M$ un majorant des degrés de ces éléments de $k[T]$ (disons, le degré de $P$ en $T$), et soit $N$ un entier naturel qui sera choisi suffisamment grand : on introduit $n(N+1)$ variables $Y_{j\ell}$ avec $1\leq j \leq n$ et $0\leq\ell\leq N$, et on pose $x_j = \sum_{\ell=0}^N Y_{j\ell} T^\ell$. Alors $f(x_1,\ldots,x_n)$ s'écrit comme un polynôme de degré $Nd+M$ en $T$, dont les coefficients, qu'on appellera $f_\ell(Y_{\cdots})$, sont des polynômes homogènes de degré $d$. L'annulation de $f(x_1,\ldots,x_n)$ revient donc à un système de $Nd+M+1$ équations $f_\ell(Y_{\cdots}) = 0$, toutes homogènes de degré $d$, en les $n(N+1)$ variables $Y_{j\ell}$ : lorsque $n(N+1) > d^r (Nd+M+1)$, ce qui compte tenu de $n > d^{r+1}$ se produit bien pour $N$ assez grand, la propriété $C_r$ assure que ce système a une solution non triviale. \end{proof} La réciproque suivante montre que le théorème précédent en un certain sens optimal : \begin{proposition2}\label{reciproque-tsen} Soit $k$ tel que le corps $k(T)$ soit $C_{r+1}$. Alors $k$ est $C_r$. \end{proposition2} \begin{proof} Soit $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ homogène de degré $d>0$ tel que $n > d^r$. Définissons un polynôme homogène de degré $d$ en $dn$ variables par $Q = f(P|P|\cdots|P)$, où $f(U_0,\ldots,U_{d-1}) = U_0 + U_1 T + \cdots + U_{d-1} T^{d-1}$, c'est-à-dire $Q = P(Z_{0,1},\ldots,Z_{0,n}) + P(Z_{1,1},\ldots,Z_{1,n})\,T + \cdots + P(Z_{d-1,1},\ldots,Z_{d-1,n})\, T^{d-1}$ (en les variables $Z_{\ell,j}$). Puisque $dn > d^{r+1}$, la condition $C_{r+1}$ signifie que $Q$ a un zéro non trivial $(z_{\ell,j})$. Quitte à chasser les dénominateurs, on peut supposer $(z_{\ell,j}) \in k[T]$, et quitte à diviser par $T$ on peut supposer que tous ne sont pas multiples de $T$. En évaluant $Q(z_{\cdots})$ en $T=0$, on trouve $P(z_{0,1}(0),\ldots,z_{0,n}(0)) = 0$ : si tous les $Z_{0,\ell}(0)$ sont nuls, alors $P(z_{0,1},\ldots,z_{0,})$ est multiple de $T^d$, et en en divisant $Q(z_{\cdots})$ par $T$ et en l'évaluant en $T=0$, on trouve ensuite $P(z_{1,1}(0),\ldots,z_{1,n}(0)) = 0$, et ainsi de suite. Comme tous les $z_{\ell,j}(0)$ ne peuvent pas être nuls, il doit exister $\ell$ tel que $P(z_{\ell,1}(0),\ldots,z_{\ell,n}(0)) = 0$ avec $z_{\ell,1}(0),\ldots,z_{\ell,n}(0)$ non tous nuls. Ceci montre que $k$ est $C_r$. \end{proof} En admettant la notion de degré de transcendance (une extension $K$ d'un corps $k$ est de degré de transcendance $\delta$, notée $\degtr_k K = \delta$, lorsque $K$ est algébrique sur un sous-corps $k(t_1,\ldots,t_\delta)$, où $t_1,\ldots,t_\delta$ sont algébriquement indépendants sur $k$ c'est-à-dire que $k(t_1,\ldots,t_\delta)$ est isomorphe au corps $k(T_1,\ldots,T_\delta)$ des fractions rationnelles en autant d'indéterminées par un isomorphisme envoyant $t_\iota$ sur $T_\iota$), on peut énoncer : \begin{corollaire2} Soit $k$ un corps $C_r$, et $K$ un corps tel que $\degtr_k K = \delta$. Alors $K$ est $C_{r+\delta}$. \end{corollaire2} \begin{proof} Soient $t_1,\ldots,t_\delta$ algébriquement indépendants dans $K$ tels que $K$ soit algébrique sur $k(t_1,\ldots,t_\delta)$. Le théorème \ref{theoreme-tsen} appliqué $\delta$ fois successivement assure que $k(t_1,\ldots,t_\delta)$ est $C_{r+\delta}$, et la proposition \ref{extension-algebrique-de-corps-c-r} permet de conclure que $K$ l'est. \end{proof} \ifx\danslelivre\undefined \end{document} \fi