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\title{Platitude et descente}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Platitude et descente}
\fi

\section{Modules localement libres}

[À mettre plutôt dans [Tens] \XXX]

\begin{proposition2}\label{projectivité par décomposition identité}
Soit $A$ un anneau. Un $A$-module $M$ est \emph{projectif
de type fini} si et seulement si il existe des familles
finies $(m_i)_{1 ≤ i ≤ n}$ d'éléments de $M$ et
$(f_i)_{1 ≤ i ≤ n}$ d'éléments de $M^∨$ telles
que $m=∑_{i=1}^n f_i(m)m_i$ pour chaque $m ∈ M$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{Hom=produit tensoriel si projectif}
Soit $A$·un anneau et $M$ un $A$-module·$M$ projectif
de type fini. Pour chaque $A$-module $N$,
le morphisme $M^∨ ⊗_A N → \Hom_A(M,N)$, $f ⊗ n ↦ (m ↦
f(m)n)$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

\section{Descente radicielle}

\begin{proposition2}\label{dérivations Mn sont intérieures}
Toute $k$-\emph{dérivation} de $M_n(k)$ est
\emph{intérieure} :
toute application $k$-linéaire $δ:M_n(k)→M_n(k)$
satisfaisant les relations $δ(xy)=xδ(y)+yδ(x)$ pour toute
paire $(x,y)∈M_n(k)²$ est de la forme
$m↦\mathrm{Int}_x(m)=xm-mx$ pour un (unique)
$x∈M_n(k)$.
\end{proposition2}

\ifx\danslelivre\undefined
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\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi