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%\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}

\synctex=1
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\begin{document}
%\maketitle
\begin{center}
Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques
\end{center}
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
\fi

Dans ce chapitre, sauf mention du contraire, $k$ désigne un
\emph{corps} et les anneaux sont \emph{commutatifs} unitaires.

\section{Algèbres finies sur un corps}

\subsection{Généralités et théorème de structure}\label{consequences lemme chinois}

\begin{définition2}\label{définition algèbre finie sur corps}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre de dimension finie
en tant que $k$-espace vectoriel est dite \emph{finie} \index{algèbre finie} sur $k$.
\end{définition2}

On note également $[A:k]$ sa dimension $\dim_k(A)$.

Le théorème suivant est l'ingrédient clef qui mène à la structure
des $k$-algèbres finies.

\begin{proposition2}\label{Spec=Specmax-cas-part}
Tout idéal premier d'une $k$-algèbre finie est maximal.
\end{proposition2}

En d'autres termes, si $𝔭$ est un idéal premier d'une $k$-algèbre $A$,
l'anneau quotient $A/𝔭$, \emph{a priori} seulement intègre, est un \emph{corps}.
Il est d'usage de noter $\Spec(A)$ (resp. $\Specmax(A)$)
l'ensemble des idéaux premiers (resp. maximaux) de $A$ (\refext{Spec}{spectre}).
Le théorème affirme donc que, pour une $k$-algèbre finie,
l'inclusion \emph{a priori} $\Specmax(A)⊆\Spec(A)$ est une bijection.

\begin{démo}
Soit $𝔭$ un idéal premier d'une $k$-algèbre finie $A$.
Le quotient $A/𝔭$ est un $k$-espace vectoriel de dimension
finie, intègre par hypothèse. Il suffit de démontrer le corollaire suivant.
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{fini integre=corps}
Toute $k$-algèbre de dimension finie \emph{intègre} est un corps.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Soient $A$ une telle $k$-algèbre et $a∈A-\{0\}$ ; on souhaite montrer que $a$ est inversible.
Considérons l'application $k$-linéaire « multiplication par $a$ », $m_a:A→A$.
Elle est injective car $A$ est intègre donc \emph{bijective} car $A$ est
de dimension finie sur $k$. En particulier, il existe un $a'∈A$ tel que
$m_a(a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD.
\end{démo}

\subsubsection{Quotients isomorphes à un produit de corps}
\label{quotients corporels}
Considérons une $k$-algèbre finie $A$.
Pour chaque $𝔭∈\Spec(A)=\Specmax(A)$ notons $κ(𝔭)$ le corps $A/𝔭$.
Les idéaux $𝔭∈\Spec(A)$ étant maximaux donc premiers entre eux
deux-à-deux, il résulte du lemme chinois, rappelé en
(\refext{Spec}{lemme chinois}), que pour toute famille
$(𝔭₁,\dots,𝔭_n)$ d'idéaux premiers distincts de $A$,
le morphisme $A→∏_{i=1}^n κ(𝔭_i)$ est \emph{surjectif}.
En conséquence, on a les inégalités $[A:k]≥∑_{i=1}^n [κ(𝔭_i):k]≥n$. La seconde inégalité provient du fait que
chaque $κ(𝔭_i)$, étant un corps, est un $k$-espace vectoriel non nul.
En conséquence, $\Spec(A)$ est \emph{fini}, de cardinal au plus
$[A:k]$. Il résulte à nouveau du lemme chinois, appliqué cette fois à $\Spec(A)$ tout
entier, que l'application canonique est une \emph{surjection}
\begin{equation}
A↠∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭) \tag{$\star$}
\end{equation}
de noyau l'idéal $⋂_{𝔭∈\Spec(A)}𝔭$. D'après \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}, 
cet idéal est l'ensemble $\Nilp(A)$ des éléments nilpotents de $A$.
(Seule l'inclusion $⋂𝔭⊆\Nilp(A)$ est non triviale.)
La surjection ci-dessus est donc un isomorphisme \ssi
$\Nilp(A)=\{0\}$ — on dit alors que $A$ est \emph{réduit} —
ou encore \ssi $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$.

D'autre part, on a un morphisme de projection
\begin{equation}
∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭)↠ ∏_{𝔭∈\Spec(A)\atop \text{t.q. } k⭇κ(𝔭)} k \tag{$\star\star$},
\end{equation}
donné par la restriction de l'ensemble des facteurs.
Le second ensemble d'indexation du produit est l'ensemble
des idéaux premiers $𝔭$ de $A$ tels que le morphisme composé
$k→A↠A/𝔭=κ(𝔭)$ soit un isomorphisme. De tels idéaux premiers
sont dits \emph{rationnels} sur $k$. Comme observé
en \refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux},
l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$
associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$,
aussi noté $A^{\japmath{田}}(k)$ ou $\japmath{田}A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
des idéaux premiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
\ssi l'injection d'ensembles $\japmath{田}A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.

\subsubsection{Morphisme d'évaluation}
\label{morphisme évaluation}
Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
démonstration) que l'application composée de $(\star)$ et
$(\star\star)$, réécrite sous la forme
\[
A↠k^{\japmath{田}A(k)},
\]
coïncide avec l'application d'évaluation
$a↦\big(f∈\japmath{田}A(k)↦f(a)\big)$.
D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit et
chaque idéal premier est rationnel.

\subsubsection{Composantes connexes}
Une $k$-algèbre finie est un anneau nœthérien
(resp. artinien (\refext{Spec}{définition artinien-noethérien}))
car toute suite croissante (resp. décroissante) de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori}
d'idéaux — est stationnaire. Nous verrons d'ailleurs en \refext{AC}{}
que tout anneau artinien est nœthérien.
Il résulte donc de \refext{Spec}{artinien=produit anneaux locaux}
et \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp} que $A$ est un produit
indexé par l'ensemble $π₀(A)$ des composantes connexes
de $k$-algèbres locales d'idéaux maximaux nilpotents.

\subsubsection{}Pour toute $k$-algèbre $A$,
les ensembles introduits ci-dessus s'inscrivent dans le diagramme
suivant, fonctoriel (de façon contravariante) en $A$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{
|(points)| \japmath{田}A(k) & & \\ |(specmax)| \Specmax(A) & |(spec)| \Spec(A) & |(pi0)| π₀(A) \\};
\draw[->>] (spec) -- (pi0);
\draw[right hook->] (points) -- (specmax);
\draw[right hook->] (specmax) -- (spec);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Les flèches horizontales sont des bijections lorsque $A$ est
\emph{finies} sur $k$. Pour référence ultérieure, consignons une
partie de ces observations dans le théorème suivant.

\begin{théorème2}\label{k-algebres-finies}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
\begin{enumerate}
\item Les trois ensembles $\japmath{田}A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
finis ; ils satisfont la condition suivante :
\[♯ \japmath{田}A(k) ≤ ♯ π₀(A)= ♯ \Spec(A) ≤ [A:k].\]
\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$.
Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et
reçoit naturellement $\japmath{田}A(k)$.
\item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵
∈ π₀(A)} A_𝔵$ de $k$-algèbres locales d'idéal maximal nilpotent.
\item Le morphisme chinois $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$, où $κ(𝔭)=A/𝔭$, est
surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi $A$ est réduit.
\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{\japmath{田}A(k)}$ est
surjectif ; c'est un isomorphisme \ssi on a égalité :
\[♯  \japmath{田}A(k)=[A:k].\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

En conséquence, une $k$-algèbre finie \emph{réduite} est
isomorphe à un produit fini de corps.

%\begin{remarque2}
%La surjection canonique $A↠A_{\red}=A/\Nilp(A)$ induit
%un isomorphisme sur les spectres et les corps résiduels
%(cf. \refext{Spec}{red=homeo}). On vérifie sans peine que
%le diagramme
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[auto]
%\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
%A& ∏_𝔭 κ(𝔭) \\ & A_{\red} \\};
%\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
%\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-2);
%\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{∼} (diag-1-2);
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%déduit des épimorphismes chinois pour $A$ et $A_{\red}$
%et des isomorphismes susmentionnés est commutatif.
%\end{remarque2}

\begin{définition2}
\label{définition hensélien}
Un anneau local $k$ est dit \emph{hensélien}\index{hensélien, anneau hensélien}
si toute $k$-algèbre $A$ finie en tant que $k$-module est un
produit d'anneaux locaux.
\end{définition2}

D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), un corps est un anneau
hensélien. Nous verrons d'autres exemples, comme l'anneau
des séries formelles sur un corps, dans des chapitres ultérieurs.

\subsection{Algèbres diagonalisables}

%On rappelle que dans ce chapitre, on note $k$ un corps.

\begin{proposition2}\label{critere diagonalisabilite}
Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{\japmath{田}A(k)}$ est un isomorphisme ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $♯\japmath{田}A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $♯ π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
\item la famille d'applications linéaires $m_a=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
\item l'injection $\japmath{田}A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
et $A$ est réduit.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) ⇔ (ii) est évident et déjà signalé en \ref{k-algebres-finies} (v).
(ii) ⇒ (iii). Résulte de \ref{k-algebres-finies} (iii).
(iii) ⇒ (iv). Si $A=∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$, on a $[A:k]=∑_𝔵 [A_𝔵:k]$,
où chaque entier $[A_𝔵:k]$ est supérieur ou égal à un.
L'égalité $♯ π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est
isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
est au moins égal à $[k^X:k]=♯X$. Ceci résulte de l'existence des projections
$\mathrm{pr}_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v).
La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
(v) ⇒ (iv). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
propres des endomorphismes de multiplication par les éléments $a$ d'une
$k$-algèbre $A$, le morphisme $A → k^X$, $a ↦ (λ_x(a))_x$,
où $a e_x=λ_x(a) e_x$, est un isomorphisme.
(vi) ⇔ (i). N'est mis que pour mémoire : cf. fin du
paragraphe \ref{morphisme évaluation}.
\end{démo}

\begin{définition2}\label{diagonalisable}
Une $k$-algèbre finie $A$ est dite \emph{diagonalisable} ou \emph{diagonale}
si elle satisfait les conditions équivalentes de la proposition précédente.
\end{définition2}

Le choix d'un isomorphisme comme en (ii) est parfois appelé une
\emph{diagonalisation} de $A$ sur $k$.

Notons que si $A$ est une algèbre diagonalisable, les trois
ensembles finis $\japmath{田}A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
naturellement en bijection.


\subsubsection{Sous-quotients et endomorphismes d'une algèbre diagonalisable}

Soient $k$ un corps, $X$ un ensemble fini et $A=k^X$.
On a donné en \refext{Spec}{SpecPX et ideaux-k-X}.(ii.b)
une description explicite des idéaux de $A$ : ils
sont en bijection naturelle avec l'ensemble $𝔓(X)$
des parties de $X$ et l'ensemble $X$ est naturellement en bijection
avec $π₀(A)$ (\refext{Spec}{pi0 produit}). D'autre part, le quotient de $A$
par l'idéal correspondant par cette bijection
à une partie $Y ⊆ X$ est isomorphe à l'algèbre diagonale $k^Y$.
Il en résulte que toute algèbre $B$ quotient
de $A$ est diagonalisable. Ceci peut également se vérifier de la façon suivante.
D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), on peut
supposer que $B$ est une $k$-algèbre finie \emph{connexe},
car un quotient d'un quotient est un quotient et un produit fini
d'algèbres diagonalisables est diagonalisable. Or, sous
cette hypothèse de connexité, il résulte du lemme \refext{Spec}{produit=somme} (i) que
le morphisme $A → B$ se factorise à travers un morphisme
de projection $k^X ↠k$ sur l'un des facteurs. Le morphisme
induit $k → B$ étant surjectif, c'est un isomorphisme.
L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable.

Considérons maintenant un morphisme de $k$-algèbres $f:B → A$.
Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{\japmath{田}A(k)}$
de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{\japmath{田}B(k)}$ de $B$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{\japmath{田}B(k)} & |(Ad)| k^{\japmath{田}A(k)} \\};
\draw[->>] (B) -- node[swap]{$\ev_B$} (Bd);
\draw[right hook->>] (A) -- node{$\ev_A$} (Ad);
\draw[->] (B) -- node{$f$} (A);
\draw[->] (Bd) -- node{$k^{\japmath{田}f}$} (Ad);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est
également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la
sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable.
D'autre part, le morphisme $k^{\japmath{田}f}$ étant injectif,
l'application $\japmath{田}f:\japmath{田}A(k) → \japmath{田}B(k)$
est \emph{surjective}. L'image de $k^{\japmath{田}f}$ est
l'ensemble des applications de $\japmath{田}A(k)$ vers $k$ constantes
sur les fibres de $\japmath{田}f$.
Ces fibres forment une partition de $\japmath{田}A(k)$.
Réciproquement, toute partition de $\japmath{田}A(k)$ définit une
sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition.

\item Si l'on ne suppose plus $f$ injectif mais que l'on suppose $B$
diagonalisable, la commutativité du diagramme ci-dessus — dont
les flèches verticales sont des isomorphismes —
montre que la donnée de $f$ est équivalente à la donnée
du morphisme d'ensembles $\japmath{田}f: \japmath{田}B(k) → \japmath{田}A(k)$.
Rappelons que ces ensembles sont respectivement canoniquement isomorphes à $π₀(B)$ et $π₀(A)$
et d'autre part que $\japmath{田}f$ correspond à $π₀(f)$ par ces
isomorphismes.
\end{itemize}


Résumons les résultats obtenus.

\begin{théorème2}
\label{sous-quotient-diag=diag}
Soit $A$ une algèbre diagonalisable sur un corps $k$.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des d'idéaux de $A$ est en bijection
avec l'ensemble fini des parties de $π₀(A)$ et toute algèbre quotient de $A$ est également diagonalisable.
\item L'ensemble des sous-algèbres de $A$ est
en bijection avec l'ensemble fini des partitions de $π₀(A)$
et toute sous-algèbre de $A$ est également diagonalisable.
\item L'application $\End_k(A) → \End_\Ens(π₀(A))^{\op}$, $f ↦ π₀(f)$
est un isomorphisme d'anneaux non nécessairement commutatifs.
Si $B$ est une seconde $k$-algèbre diagonalisable, $\Hom_k(B,A)
→ \Hom_\Ens(π₀(A),π₀(B))$, $f ↦ π₀(f)$ est une bijection.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Le lecteur vérifiera sans peine, à l'aide des techniques et énoncés de [Spec]
que $\End_k(k^X)$ est isomorphe à $\End_\Ens(X)^{\op}$ dès lors que $k$ est un anneau connexe.
Voir également l'exercice \refext{Spec}{dévissage Hom(A,produit connexes)} pour une généralisation.
%cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.

\subsection{Produit tensoriel de deux $k$-algèbres}\label{section définition restreinte produit tensoriel}

La notion de produit tensoriel d'algèbres et de modules joue un rôle central dans ce livre.
Pour la commodité du lecteur nous en donnons ici une définition
\emph{ad hoc} dans le cas particulier de deux algèbres sur un corps.
La définition générale, ainsi que les démonstrations
détaillées de ses propriétés essentielles se trouvent également
en appendice, \refext{Tens}{}.

\begin{lemme2}\label{pdt tens indépendant des bases}
Soient $E$ et $F$ deux $k$-\emph{espaces vectoriels} et $φ:E×F→G$
une application bilinéaire. On note $x\dessusdessous{φ}{⊗} y$ pour $φ(x,y)$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item Il existe des bases $(e_i)_{i∈I}$ et $(f_j)_{j∈J}$ 
de $E$ et $F$ respectivement telles que la famille 
$(e_i\dessusdessous{φ}{⊗} f_j)_{(i,j)∈I×J}$ soit une base de $G$.
\item Pour tout choix de bases $(e_i)_{i∈I}$ et $(f_j)_{j∈J}$ 
de $E$ et $F$ respectivement, la famille 
$(e_i\dessusdessous{φ}{⊗} f_j)_{(i,j)∈I×J}$ est une base de $G$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
(i)⇒(ii). (Pour alléger les notations, nous omettons parfois 
ci-dessous la description des ensembles d'indices, en notant $(e_i)$ ou $e$
pour $(e_i)_{i∈I}$, etc.)
Soient $e$ et $f$ comme en (i) 
et considérons deux bases $(e'_{i})_{i∈I}$ et $(f'_j)_{j∈J}$ de
$E$ et $F$. Soient $λ$ et $μ$ les matrices de passage,
éventuellement infinies, de la base $e'$ à $e$ 
et de la base $f'$ à $f$ respectivement. Pour tout $i∈I$ (resp. $j∈J$) 
on a donc $e_{i}=∑_{i'∈I} λ_{i,i'}e'_{i'}$ (resp. $f_{j}=∑_{j'∈J} μ_{j,j'}f'_{j'}$).
Par bilinéarité de $φ$, pour tout couple $(i,j)∈I×J$, on a l'égalité
$$
e_i\dessusdessous{φ}{⊗}f_j=
∑_{(i',j')∈I×J} λ_{i,i'} μ_{j,j'}(e'_{i'}\dessusdessous{φ}{⊗}f'_{j'})
=∑_{(i',j')} ν_{(i,j),(i',j')}(e'_{i'}\dessusdessous{φ}{⊗}f'_{j'}),
$$
où $ν$ est le \emph{produit de Kronecker} $λ⊗μ$ de $λ$ et $μ$,
défini par $(λ⊗μ)_{(i,j),(i',j')}=λ_{i,i'}μ_{j,j'}$.
Il nous suffit de montrer que si $λ$ et $μ$ sont inversibles,
il en est de même de $λ⊗μ$. Ceci résulte de l'égalité
$(λ₁⊗μ₁)(λ₂⊗μ₂)=(λ₁λ₂)⊗(μ₁μ₂)$, dont la vérification — pédestre —
est laissée au lecteur. (ii)⇒(i). Résulte de l'existence de bases (corollaire du lemme de
Zorn).
\end{démo}

Remarquons que dans la démonstration ci-dessus, on pourrait
supposer que $e=e'$ ou bien $f=f'$, \cad $λ=\Id$ ou $μ=\Id$,
de sorte qu'il suffit d'établir le cas particulier $(λ₁⊗\Id)(λ₂⊗\Id)=(λ₁λ₂⊗\Id)$
de la formule précédente.


\subsubsection{}\label{définition restreinte produit tensoriel}
Deux $k$-espaces vectoriels $E$ et $F$ étant donnés, l'existence d'un $k$-espace vectoriel $G$ et d'une application
bilinéaire $φ$ satisfaisant la condition (i) du lemme ci-dessus
est claire : il suffit de considérer $G=k^{(I×J)}$, de base canonique
notée $(g_{(i,j)})$, et poser : $φ(∑λ_i e_i,∑μ_j f_j)=∑ λ_iμ_j g_{(i,j)}$.
D'autre part, il résulte de ce même lemme que si $φ:E×F→G$
et $φ':E×F→G'$ sont deux applications bilinéaires satisfaisant
les conditions équivalentes (i) et (ii), il existe un unique isomorphisme
$k$-linéaire $G⥲G'$ envoyant $x\dessusdessous{φ}{⊗}y$ sur
$x\dessusdessous{φ'}{⊗}y$ : si $(e_i)$ et $(f_j)$ sont des bases
de $E$ et $F$, c'est l'unique application linéaire
envoyant chaque $e_i\dessusdessous{φ}{⊗}f_j∈G$ sur 
$e_i\dessusdessous{φ'}{⊗}f_j∈G'$.

\begin{quote}
Dorénavant, on note $E⊗_k F$ et $(x,y)↦x⊗y$ l'une quelconque
de ces paires $(G,φ)$, et on l'appelle « le » \emph{produit tensoriel
des $k$-espaces vectoriels $E$ et $F$}. Les éléments de $E⊗_k F$ de la forme
$x⊗y$ sont appelés \emph{tenseurs purs} ; ils engendrent 
le produit tensoriel.
\end{quote}


\begin{lemme2}
Soient $A$ et $B$ deux $k$-\emph{algèbres} et
$C$ le $k$-espace vectoriel $A⊗_k B$.
Il existe une unique application bilinéaire
$m:C×C→C$ associative telle que 
$m(a⊗b,a'⊗b')=(aa')⊗(bb')$ pour tous $a,a'∈A$
et $b,b'∈B$. De plus, pour tout $λ∈k$,
on a l'égalité $λ⊗1=1⊗λ$. Enfin, si l'on munit
$C$ de la structure de $k$-algèbre $k→C$, $λ↦λ⊗1=1⊗λ$, 
les morphismes $A→C$, $a↦a⊗1$ et $B→C$, $b↦1⊗b$ sont des 
morphismes injectifs de $k$-algèbres.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Existence.
Choisissons $(e_i)_{i∈I}$ et $(f_j)_{j∈J}$ des bases
de $A$ et $B$ respectivement, et définissons $m$ par bilinéarité
à partir des égalités
\[
m(e_i⊗f_j,e_{i'}⊗f_{j'})=(e_i e_j)⊗(f_j f_{j'}).
\]
On veut montrer que $m(a⊗b,a'⊗b')=(aa')⊗(bb')$ pour tous $a,a'∈A$
et $b,b'∈B$. Par construction, les deux termes sont quadrilinéaires
de $A×B×A×B$ dans $C$. On peut donc supposer $a=e_i$,
$a'=e_{i'}$, $b=f_j$ et $b'=f_{j'}$, auquel cas c'est immédiat
par définition de $m$. Dorénavant, si $x,y∈C$,
notons $xy$ pour $m(x,y)$.
Unicité : évident.
Associativité. Les deux termes de l'égalité
$(xy)z=x(yz)$ sont trilinéaires de $C³$ dans $C$.
Il suffit donc de vérifier l'égalité sur les éléments
de la base $(e_i⊗f_j)$ de $C$,
ce qui est immédiat.
Identité $λ⊗1=1⊗λ$. Résulte de la formule générale $(λe)⊗f=e⊗(λf)$ 
où $e$ et $f$ font partie d'une base de $A$ et $B$,
jointe au fait que l'on peut compléter l'élément 
$1_A$ (resp. $1_B$) en une base de $A$ (resp. $B$), de sorte
que l'on peut prendre $e=1$ ou $f=1$. 
Enfin, les applications $k$-linéaires $A→C$ et $B→C$ sont injectives
car elles envoient toute base sur une famille libre. Elles respectent
les structures de $k$-algèbres par construction.
\end{démo}

La $k$-algèbre ainsi obtenue est appelée le \emph{produit tensoriel des $k$-algèbres $A$ et $B$}. 
On la note également $A⊗_k B$.

\begin{remarque2}\label{constantes structure produit tensoriel}
Si les \emph{scalaires} $a_{i,i'}^{i''}$ et $b_{jj'}^{j''}$
sont les constantes de structure des $k$-algèbres $A$ et $B$ définies par
les relations
$$e_i\cdot e_{i'}=∑_{i''∈I} a_{i,i'}^{i''} e_{i''}$$
et
$$f_j\cdot f_{j'}=∑_{j''∈J} b_{j,j'}^{j''} f_{j''},$$
il résulte de la formule $(e_i⊗f_j)(e_{i'}⊗f_{j'})=(e_i e_{i'})⊗(f_j
f_{j'})$ ci-dessus que les constantes de structure
de $A⊗_k B$ relativement à la base constituée des $e_i⊗f_j$
sont les $c_{(i,j),(i',j')}^{(i'',j'')}=a_{i,i'}^{i''}b_{j,j'}^{j''}$.
Il aurait été possible de définir directement le produit tensoriel
de deux $k$-algèbres de cette façon — c'est la définition la plus
« économique » — mais cela aurait laissé ouverte la question de la 
dépendance en le choix des bases.
\end{remarque2}


\subsubsection{Extension des scalaires}\label{changement de base k-algèbre}
Soient $V$ un $k$-espace vectoriel et $k'$ une $k$-algèbre.
Il existe une unique extension de la structure de $k$-espace vectoriel
naturelle sur $V'=V⊗_k k'$ en une structure de $k'$-module
telle que pour tout $v∈V$ et tout $λ'∈k'$, on ait $λ'(v⊗1)=v⊗λ'$.
%[Àjouter détails ?\XXX]
On dit que le $k'$-module $V'$ est obtenu à partir du $k$-espace vectoriel $V$
par \emph{extension des scalaires} de $k$ à $k'$. On le note souvent
$V_{k'}$. Si $(e_i)$ est une $k$-base de $V$, les éléments $e'_i=e_i⊗1$ 
forment une base du $k'$-module $V'$. Ils sont \emph{générateurs}
d'après la formule $λ' e'_i=e_i⊗λ'$ et le fait que les tenseurs purs
sont des générateurs sur $k$. Ils
sont \emph{libres} sur $k'$ car si $∑_i λ'_i e'_i=0$,
on a $∑_i e_i⊗λ_i=0$ et finalement $λ_i=0$ comme on le voit
en décomposant $λ_i$ suivant une $k$-base de $k'$.

Si maintenant $V$ est une $k$-\emph{algèbre} $A$, 
la structure de $k'$-module ci-dessus provient de la structure de $k'$-algèbre 
déduite du morphisme canonique $k'→A'$, $λ'↦1⊗λ'$. Il résulte de la remarque 
\ref{constantes structure produit tensoriel} ci-dessus
que les constantes de structure de la $k'$-algèbre $A'$ et
de la $k$-algèbre $A$ relativement à ces bases sont les mêmes. 
L'algèbre $A'$ « est » donc l'algèbre $A$, considérée
avec d'autres coefficients (plus gros).

Signalons enfin pour référence ultérieure que si $f:W→V$ (resp. $f:B→A$)
est une application $k$-linéaire (resp. un morphisme de $k$-algèbres), l'application 
$W_{k'}→V_{k'}$ (resp. $B_{k'}→A_{k'}$), caractérisée par $x⊗λ'↦f(x)⊗λ'$, est 
une application $k'$-linéaire (resp. un morphisme de $k'$-algèbres).
Comme on le voit immédiatement en choisissant des bases adaptées,
ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) \ssi $f$ l'est.

\begin{exemple2}\label{kXtenskY}
Soient $X,Y$ deux ensembles finis.
Le produit tensoriel $k^X⊗_k k^Y$ des algèbres de fonctions
sur $X$ et $Y$ à valeurs dans $k$ est $k$-isomorphe à l'algèbre
$k^{X×Y}$ des fonctions sur $X×Y$.
En effet, si l'on prend pour bases de $A=k^X$ et $B=k^Y$ les fonctions
de Dirac définies par $e_x(x)=1$ et $e_x(x')=0$ si $x'≠x$
(resp. $f_y(y)=1$ et $f_y(y')=0$ si $y'≠y$), les constantes
de structures $a_{x,x'}^{x''}$ (resp. $b_{yy'}^{y''}$) valent un
si $x=x'=x''$ (resp. $y=y'=y''$) et zéro sinon.
Les constantes de structure $c_{(x,y),(x',y')}^{(x'',y'')}=a_{x,x'}^{x''}b_{y,y'}^{y''}$
de $A⊗_k B$ sont donc non nulles \ssi $(x,y)=(x',y')=(x'',y'')$ auquel cas elles valent
un. Cette propriété caractérise la $k$-algèbre $k^{X×Y}$.
\end{exemple2}

\begin{proposition2}\label{pdt tens diag=diag}
Soient $A$ et $B$ deux $k$-algèbres diagonalisables. La $k$-algèbre $A⊗_k B$ est diagonalisable.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cela résulte du calcul fait en \ref{kXtenskY} ci-dessus.
\end{démo}


\section{Extensions algébriques}

On rappelle que, dans ce chapitre, on note $k$ un corps.

\subsection{Premières définitions et propriétés}
Les résultats de cette section sont pour une grande part des cas
particuliers de résultats de \refext{AC}{}. Pour la commodité
du lecteur, nous présentons une partie des résultats de
\emph{loc. cit.} dans le cadre moins général de ce chapitre. 

\begin{définition2}\label{définition extension}
Soit $k$ un corps. On dit d'une $k$-algèbre
$K$ qui est un \emph{corps} qu'elle est une
\emph{extension} de $k$. On note alors $K\bo k$ la donnée du morphisme
injectif $k→K$. Si $K$ est de dimension finie sur $k$, la dimension
$[K:k]=\dim_k(K)$ est appelée \emph{degré} de l'extension
$K\bo k$.
\end{définition2}

\begin{définitionrestreinte2}\label{entiers cas corps}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre. On dit
qu'un élément $a∈A$ est \emph{entier}, ou \emph{algébrique}, sur $k$ si la sous-$k$-algèbre
$k[a]=\{P(a):P∈k[X]\}$ de $A$ est finie sur $k$. Une extension $K\bo
k$ est dite \emph{algébrique} si tout élément de $K$ est
algébrique sur $k$. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{entière}
si tout élément de $A$ est entier sur $k$. 
\end{définitionrestreinte2}

(Comparer avec \refext{AC}{element-entier}.)

\begin{proposition2}\label{polynome-minimal}
\begin{enumerate}
\item Soient $A$ une $k$-algèbre et $a$ un élément de $A$ entier sur $k$.
Il existe un \emph{unique} polynôme unitaire de degré minimal $μ_a(X)$
à coeffients dans $k$ s'annulant en $a$.
Le $k$-morphisme $k[X]→A$ envoyant $X$ sur $a$
induit par passage au quotient un isomorphisme
$k[X]/(μ_a)⥲k[a]$.
\item Réciproquement, si un élément $a$ d'une $k$-algèbre $A$
est racine d'un polynôme non nul à coefficients dans $k$,
il est entier sur $k$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Rappelons qu'un polynôme est dit \emph{unitaire}
s'il est non nul et de coefficient dominant égal
à un.

On dit que le polynôme $μ_a$ est le \emph{polynôme minimal}
\index{polynôme minimal} de l'élément $a$. Il est irréductible \ssi $k[a]$
est un corps, que l'on note alors
souvent $k(a)$. Dans tous les cas, on a
$[k[a]:k]=\deg\,μ_a$.

\begin{démo}
(i) Soit $a$ comme dans l'énoncé. L'image du morphisme $k[X]→A$
est $k$-espace vectoriel de dimension finie $k[a]$.
Son noyau $N$ est donc non nul, ce qui prouve d'ores et déjà
qu'il existe un polynôme non nul $P∈k[X]$ tel que 
$P(a)=0$. D'autre part, l'anneau $k$ étant un corps, 
l'anneau $k[X]$ est euclidien donc principal. L'idéal
$N$ est donc principal de générateur bien défini
à multiplication par un élément non nul de $k$ près.
En particulier, il existe un unique générateur unitaire.
Enfin, l'isomorphisme $k[X]/N⥲k[a]$, où $N=(μ_a)$, est un cas particulier
du fait général que l'image d'un morphisme d'anneaux
est isomorphe au quotient de la source par le noyau.
(ii) Réciproquement, si $P(a)=0$, la surjection
$k[X]↠k[a]$ induit une surjection $k[X]/(P)↠k[a]$.
Le quotient $k[X]/(P)$ est de dimension finie si $P$ est 
non nul.


\end{démo}

\begin{proposition2}\label{multiplicativité degré}
Soient $K\bo k$ et $L\bo K$ deux extensions finies.
L'extension $L\bo k$ est alors finie, de degré
\[[L:k]=[L:K][K:k].\]
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soient $e₁,\dots,e_n$ une base de $K$ sur $k$ et 
$f_1,\dots,f_m$ une base de $L$ sur $K$.
Chaque élément $x$ de $L$ s'écrit de façon unique
$∑_{j=1}^m λ_j f_j$, où les $λ_j$ sont dans $K$
et s'écrivent à leur tour de façon unique
$λ_j=∑_{i=1}^n ν_{i,j} e_i$ avec $ν_{i,j}∈k$ de sorte que, finalement,
$x=∑_{i,j} ν_{i,j}e_if_j$ s'écrit de façon unique comme combinaison $k$-linéaire des $e_if_j$
où $(i,j)$ parcourt $\{1,\dots,n\}×\{1,\dots,m\}$.
\end{démo}

On remarquera qu'en particulier $[K:k]$ \emph{divise} $[L:k]$.

\begin{corollaire2}\label{entiers sur corps=sous-corps}
Soit $K\bo k$ une extension.
L'ensemble des éléments de $K$ algébriques sur $k$ est un sous-corps $K$.
\end{corollaire2}

On l'appelle parfois \emph{clôture algébrique de $k$ dans $K$}.

\begin{démo}
En effet, si $x$ et $y$ sont algébriques sur $k$, les extensions
$k(x)\bo k$ et $k(x)(y) \bo k(x)$ sont finies.
Pour la seconde extension, cela résulte du fait que
$y$ est entier sur $k$ donc \emph{a fortiori} sur le sous-corps
$k(x)$ de $K$. D'après la proposition précédente,
l'extension $k(x)(y)\bo k$ est finie. Or, le corps $k(x)(y)$
contient $x$ et $y$ de sorte que $xy$, $x+y$ et, lorsque $x$ est non nul, $x^{-1}$, 
qui appartiennent à $k(x)(y)$, sont donc algébriques sur $k$.
Voir aussi l'exercice \ref{utilisation matrices compagnons}.
\end{démo}

Donnons une application « numérique » de la proposition et du
corollaire précédents.

\subsubsection{Exemple numérique}\label{exemple somme algébriques=algébrique}Soient
$√{3}$ et $√[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$
et $T³-2$ respectivement. Ces polynômes de petit degré étant sans racine dans $𝐐$, 
ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(√{3}):𝐐]=2$ 
et $[𝐐(√[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
engendrés par ces racines : $K=𝐐(√{3})$ et $L=K(√[3]{2})$. 
Comme $√[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité \ssi $T³-2$ est irréductible dans $K$.
De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au
plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients
rationnels en $√{3}$ et $√[3]{2}$, par exemple $α=√{3}+√[3]{2}$, 
appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique
sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur
non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme.
Soit $V$ le $𝐐$-espace vectoriel de dimension $6$ de base des éléments
notés, à des fins mnémotechniques, $e,X,X^2,Y,XY$ et $X^2Y$. Notons $x$ (resp. $y$) l'endomorphisme de $V$
défini par $x(e)=X$, $x(X)=X²$, $x(X²)=2e$, $x(Y)=XY$, $x(XY)=X²Y$
et $x(X²Y)=3Y$ (resp. $y(e)=Y$, $y(X)=XY$, $y(X²)=X²Y$, $y(Y)=3e$,
$y(XY)=3X$ et $y(X²Y)=3X²$). 
De toute évidence, les polynômes $T³-2$ et $T²-3$ 
sont les polynômes annulateurs de ces endomorphismes.
(Il suffit pour l'argument qui suit de savoir qu'ils
annulent $x$ et $y$.) Observons que la matrice $x$ (resp. $y$)
est le produit de Kronecker (\ref{pdt tens indépendant des bases}, démonstration)
de la matrice compagnon du polynôme $T³-2$ et de la matrice identité $2×2$
(resp. de la matrice identité $3×3$ et de la matrice compagnon du polynôme  $T²-3$).

Dans la base ci-dessus, la matrice de l'endomorphisme $x+y$
est 
$$
\left( \begin {array}{cccccc} 0&0&2&3&0&0\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&3&0\\\noalign{\medskip}0&1&0&0&0&3\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&0&2\\\noalign{\medskip}0&1&0
&1&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0&1&0\end {array} \right).
$$

On vérifie par le calcul que son polynôme caractéristique 
$\det\big(T\Id_V-(x+y)\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$.
Par construction, $√{3}$ (resp. $√[3]{2}$) est une valeur
propre de $x$ (resp. $y$). Ces endomorphismes commutent,
de sorte qu'ils sont codiagonalisables sur $𝐂$. La somme
$α=√{3}+√[3]{2}$ est donc une valeur propre de l'endomorphisme
somme $x+y$, et est donc une racine du polynôme ci-dessus.
La réduction modulo $7$ de ce polynôme étant irréductible
(cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}),
il est irréductible sur $𝐐$.
Il en résulte que $[𝐐(√{3}+√[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(√{3}):𝐐][𝐐(√[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général
en ce sens, cf. \ref{application-de-Galois-deg(x+y)=produit-si-premiers-entre-eux}.)

De la même façon, on vérifie par le calcul que
$√{3}√[3]{2}$, ou plus généralement 
tout élément de $𝐐[√{3},√[3]{2}]=\{P(√{3},√[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$,
est algébrique sur $𝐐$.


\begin{proposition2}\label{entier sur corps stable par cb}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{entière}.
Pour toute extension $K\bo k$, la $K$-algèbre $A_K=A⊗_k K$
est entière.
\end{proposition2}

Ce résultat est un cas particulier de 
\refext{AC}{cb-entier}. Nous nous contentons
donc ici d'une simple

\begin{démo}[Esquisse de démonstration]
Soit $x∈A_K$. Il faut montrer que la sous-$K$-algèbre
$K[x]$ de $A_K$ engendrée par $x$ est de dimension finie 
sur $K$. L'existence d'une décomposition
$x=∑_1^n a_i⊗λ_i$ en somme de tenseurs purs,
montre que $x$ appartient à la sous-algèbre $K[a₁,…,a_n]$ de $A_K$, où les $a_i$, dans $A$
donc entiers sur $k$, sont — \emph{a fortiori} — entiers sur $K$.
Les calculs ci-dessus montrent en toute généralité
que la somme et le produit de deux éléments
entiers d'une algèbre sur un corps sont également
entiers. (Pour les détails, cf. \refext{AC}{entiers=sous-algebre}, 
première démonstration).
\end{démo}



\begin{conventionrestreinte2}
Pour toute $k$-algèbre $A$ et toute partie $S$ de $A$,
on note $k[S]$ la plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant $S$,
\cad l'image de l'unique morphisme de $k$-algèbres $k[x_s :s∈S]→A$, 
envoyant $x_s$ sur $s∈A$. Si $A$ est un anneau intègre, on note
$k(S)$ le corps des fractions de son sous-anneau $k[S]$.
\end{conventionrestreinte2}

Avec cette convention, le corps $k(x)(y)$ de la démonstration
de \ref{entiers sur corps=sous-corps} ci-dessus n'est autre que $k(x,y)$ (ou encore $k[x,y]$ qui est ici
un corps).

\begin{corollaire2}\label{algébrique sur algébrique=algébrique}
Soient $K\bo k$ et $L\bo K$ deux extensions algébriques.
L'extension $L\bo k$ est également algébrique.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Soit $x∈L$. Par hypothèse, il existe $P=X^d+a₁X^{d-1}+\cdots+a_d∈K[X]$ 
tel que $P(x)=0$. Posons $K₀=k(a₁,\dots,a_d)$. L'extension $K\bo k$ 
étant algébrique, il résulte de \ref{multiplicativité degré} que 
l'extension $K₀$ est finie sur $k$, de degré au plus $∏[k(a_i):k]$.
Par construction $x$ est algébrique sur $K₀$. L'extension $K₀(x)\bo k$
est donc finie (cf. \emph{loc. cit.}) de sorte que $k(x)⊆K₀(x)$ est de
dimension finie sur $k$. CQFD.
\end{démo}

\subsection{Extensions composées}

\begin{définition2}\label{extension-composee}
Soient $K\bo k$ et $K'\bo k$ deux extensions d'un corps $k$.
On dit qu'un triplet $(E,u,u')$, où $E$ est un corps
et $u$ (resp. $v$) est un plongement $k$-linéaire $u:K↪E$
(resp. $u ′ :K'↪E$), est une \emph{extension composée}
de $K$ et $K'$ sur $k$ si l'on a l'égalité $E=k(u(K)∪u'(K'))$.
\end{définition2}

Le corps $E$ est donc une $k$-extension commune de $K$ et $K ′$, minimale
pour cette propriété \emph{relativement aux plongements que l'on s'est donné}.

Par la suite, lorsque nous considérerons $E$ comme une $K$-algèbre (resp. $K ′$-algèbre),
le morphisme structural sera, sauf mention expresse du contraire, le plongement $u:K → E$
(resp. $u ′ : K ′ → E$).

\begin{miseengarde2}\label{extension-composee=corps-engendre}
Si $E$ est une extension
composée comme ci-dessus, la sous-$k$-\emph{algèbre} $k[u(K)∪u'(K')]$ de 
$E$ engendrée par $u(K)$ et $u'(K')$ diffère en général du sous-\emph{corps} engendré,
noté $k\big(u(K)∪u'(K')\big)$, qui coïncide par hypothèse avec $E$.
\end{miseengarde2}


\begin{proposition2}\label{existence-extension-composee}
Pour toute paire d'extensions $K\bo k$ et $K'\bo k$, il existe une extension composée.
 \end{proposition2}

\begin{démo}
Considérons la $k$-algèbre « produit tensoriel » $A=K⊗_k K'$ 
définie en \ref{définition restreinte produit tensoriel} ;
rappelons que cette $k$-algèbre a pour $k$-espace vectoriel sous-jacent $K⊗_k K'$,
muni du produit caractérisé par les identités $(λ⊗λ')(μ⊗μ')=(λμ)⊗(λ'μ')$.
Par construction, elle est non nulle et possède donc, 
d'après le théorème de Krull (\refext{Spec}{Krull}), un idéal
maximal $𝔪$. Soit $E=A/𝔪$ le corps résiduel correspondant
et notons $u:K→ E$ (resp. $u':K'→ E$) 
le morphisme de $k$-algèbres $λ↦ λ⊗1 \mod{} 𝔪$ (resp. $λ'↦
1⊗λ' \mod{} 𝔪$) ; ce sont des $k$-plongements des corps $K$ et $K'$ dans $E$.
Il reste à vérifier que $u(K)∪u'(K')$ engendre $E$ sur $k$, comme corps.
Plus précisément, nous allons vérifier que la partie $u(K)∪u'(K')$ engendre $E$ comme
$k$-algèbre\footnote{Ceci n'est \emph{pas} en contraction avec
\ref{extension-composee=corps-engendre} car le corps $E$ construit
ici n'est pas une extension composée absolument quelconque.}.
Ceci résulte du fait que la $k$-algèbre $A$ est engendrée par $K⊗1$ et $1⊗K'$. En effet, 
le produit $(λ⊗1)(1⊗λ')$ est égal au tenseur pur $λ⊗λ'$ et,
comme on l'a observé après la définition \ref{définition restreinte
produit tensoriel}, ces tenseurs engendrent linéairement le produit
tensoriel. (Voir aussi \refext{Tens}{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}.)
\end{démo}

\begin{miseengarde2}\label{Kk'-pas-can}
\begin{enumerate}
\item Si $(E,u,v)$ est une extension composée quelconque de $K\bo k$ et
$K'\bo k$, le noyau du morphisme de $k$-algèbres $u\star u':K⊗_k K'→ E$, $λ⊗λ'\mapsto
u(λ)u'(λ')$ est un idéal \emph{premier}, car $E$ est intègre, mais non
nécessairement maximal. Cela est lié au fait que l'image de $u\star u'$ n'est
\emph{a priori} qu'une sous-$k$-\emph{algèbre} (cf. \ref{extension-composee=corps-engendre}).
\item Deux extensions composées ne sont pas nécessairement isomorphes.
Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[√[3]{2}]⊂𝐂$ de degré
$3$ de $𝐐$, l'anneau $K⊗_𝐐 K$ se
surjecte sur $K$, par l'application évidente $λ⊗μ\mapsto λμ$,
mais aussi sur l'extension $𝐐[√[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par 
l'application envoyant $√[3]{2}⊗1$ sur $√[3]{2}$ et 
$1⊗√[3]{2}$ sur $j√[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice
\ref{non unicite composition} ci-dessous.)
En particulier, la notation $K K'$ pour une extension composée
de $K\bo k$ et $K'\bo k$ n'est raisonnable que si l'on s'est auparavant
donné un sur-corps de $K$ et $K'$ et des plongements de
ces corps dans celui-ci ou bien éventuellement si des hypothèses
supplémentaires nous assurent que tous les corps composés sont
isomorphes (cf. \refext{CG}{cb-extension-normale}).
\end{enumerate}
\end{miseengarde2}

Observons que si $K$ et $K'$ sont des sous-corps d'un corps $C$,
pour tout choix de générateurs sur $k$, \mbox{$K=k(\alpha_i,i\in I)$} et $K'=k(\beta_j, j\in J)$, 
la sous-extension $E=k(\alpha_i,\beta_j, (i,j)∈ I\times J)$ de $C$
(muni des plongements évidents $K↪E$ et $K'↪E$) est une extension composée de
$K$ et $K'$. Signalons la variante suivante, de démonstration immédiate.

\begin{lemme2}\label{extension-composee=colimite}
Soient $L\bo k$ et $L'\bo k$ deux extensions 
algébriques et $(E,u,v)$ une extension composée sur $k$.
Alors, $E$ est la réunion de ses sous-corps $k\big(u(K),v(K')\big)$,
où $K$ (resp. $K'$) parcourt l'ensemble des sous-$k$-extensions finies de $L$
(resp. $L'$).
\end{lemme2}

\begin{lemme2}\label{composee algebrique}
Si $K\bo k$ est une extension algébrique et $K'\bo k$ est une extension
quelconque, toute extension composée de $K\bo k$ et $K'\bo k$ est algébrique sur $K'$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $(E,u,u ′)$ une extension composée. On a par définition on a
$E=u ′(K′)\big(u(λ): λ ∈ K\big)$. Chaque $λ$ étant algébrique sur $k$,
il en est de même de chaque $u(λ)$ sur $k$ et, \emph{a fortiori},
des $u(λ)$ sur $u ′(K ′)$. D'après, \ref{entiers sur corps=sous-corps},
l'ensemble des éléments de $E$ algébriques sur $K ′$ est un sous-corps. Comme il
contient les $u(λ)$, c'est $E$ tout entier.
Ce lemme est également un corollaire de \ref{entier sur
corps stable par cb} et \refext{AC}{cb-entier}.
\end{démo}


\subsection{Corps de rupture et de décomposition d'un polynôme}

\begin{convention2}\label{k-f}
Soit $k$ un corps et soit $f$ un polynôme à coefficients dans $k$.
On note $k_f$ l'anneau quotient $k[X]/(f(X))$ et $x$ l'image
de $X$ dans $k_f$ par la surjection canonique $k[X]↠k_f$.
\end{convention2}

Cet anneau « représente », au sens du lemme ci-dessous,
les racines de $f$.

\begin{lemme2}\label{points k-f}
Soient $f∈k[X]$ et $A$ une $k$-algèbre.
Le morphisme d'évaluation en $x$
\[
(φ:k_f→A)↦φ(x)
\]
\[
\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,A)→\{a∈A:P(a)=0\}
\]
est une bijection.
\end{lemme2}

La démonstration est immédiate.

%C'est un cas particulier, de démonstration immédiate, du lemme \refext{Spec}{points-quotient}.

Observons que si $f$ est non nul, $k_f$ est une $k$-algèbre \emph{finie}.

\begin{proposition2}\label{corps-de-rupture}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme non constant.
\begin{enumerate}
\item Il existe une extension finie $K\bo k$ telle que $f$ ait une racine dans $K$ et que
$K\bo k$ soit engendrée par cette racine.
\item Toute telle extension $K\bo k$ est isomorphe à un quotient de $k_f$. En
particulier, si $f$ est \emph{irréductible}, elles sont isomorphes à $k_f$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) On peut supposer $f$ unitaire. Par construction, $f(x)=0$ dans la
$k$-algèbre $k_f$. Cette algèbre possède un idéal maximal donc se surjecte sur un corps,
que nous noterons $K$. Si $α$ est l'image de $x$ dans $K$, on a bien $f(α)=0$. Puisque la $k$-algèbre $k_f$ est
engendrée par $x$, l'extension $K\bo k$ est engendré par $α$.
(ii) Soit $α$ une racine de $f$ dans $K$ telle que $K=k(α)$. Le noyau du
morphisme $k[X] ↠ K$, $X\mapsto \alpha$ d'évaluation en $α$ contient $f$.
Il en résulte que ce morphisme se factorise en une surjection $k_f ↠  K$.
Si $f$ est irréductible, $k_f$ est un corps si bien que ce morphisme est également injectif.
\end{démo}

\begin{définition2}
Une extension $K\bo k$ satisfaisant la condition (i) ci-dessus est appelée extension, ou
corps, de \emph{rupture} de $f$ sur $k$.
\end{définition2}

\begin{proposition2}\label{dec-deg-inf-fact-n}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme non constant de degré $d$.
\begin{enumerate}
\item Il existe une extension $K\bo k$ telle le polynôme $f$
se factorise dans $K[X]$ sous la forme $c\prod_{i=1}^{\deg f} (X-\alpha_i)$,
où $c ∈ k, α_i ∈ K$, et que $K$ soit engendrée par les $\alpha_i$ sur $k$.
\item Deux telles extensions sont isomorphes, de degré au plus $d!$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Lorsque $f$ se factorise comme en (i), on dit alors que $f$ est \emph{scindé} sur $K$.

\begin{définition2}\label{définition corps de décomposition}
Une extension $K\bo k$ satisfaisant la condition (i)
de la proposition précédente est appelée extension, ou corps, de \emph{décomposition} de
$f$. On note parfois $\mathrm{d\acute{e}c}_k(f)$.
\end{définition2}

\begin{démo}[Démonstration de la proposition]
Existence et majoration du degré. Procédons par récurrence sur le degré $d$ de $f$. Si $d=1$, il n'y a rien à démontrer.
D'après la proposition précédente, il existe une extension $K$ de $k$ dans laquelle
$f$ s'écrit $f=(X-α)g$. Le corps $K$ est un quotient de $k_f$ si bien que
l'extension $K\bo k$ est de degré au plus $d$.
Par hypothèse de récurrence, il existe une extension finie $L$
de $K$, de degré au plus $(d-1)!$ telle que le polynôme $g$, de degré
$d-1$, soit scindé sur $L$.
Le polynôme $f$ est alors scindé sur $L$ et $[L:k]=[L:K][K:k]≤d!$.
La sous-$k$-extension de $L$ engendrée par les racines de $f$ dans $L$ est un corps de décomposition de $f$,
de degré au plus celui de $L$.

Unicité. Soient $K₁$ et $K₂$ deux corps de décomposition pour $f$.
Considérons une extension composée $(E,u₁,u₂)$ de $K₁$ et $K₂$ sur $k$.
Soit $R$ (resp. $R_i$) l'ensemble des racines de $f$ dans $E$
(resp. $u_i(K)$). Le polynôme $f$ étant scindé sur les corps $K_i$,
il l'est également sur les sous-corps $u_i(K_i)$ de $E$. Il 
en résulte que les inclusions \emph{a priori} $R_i⊆R$ sont des
égalités. D'autre part, $u_i(K_i)=k(R_i)⊆E$ 
de sorte que $E=k(R)$ et les inclusions $u_i(K_i)=k(R_i)⊆E$
sont des isomorphismes. Comme $u_i$ induit un isomorphisme $K_i⥲u_i(K_i)$, on a
un diagramme d'isomorphismes $K₁⭇E⭉K₂$.
\end{démo}


\subsection{Corps de décomposition d'une famille de polynômes}

Expliquons maintenant comment généraliser la construction précédente
au cas d'une famille quelconque (non nécessairement finie) de polynômes.

Nous ferons usage de la généralisation suivante des
définitions et résultats de \ref{section définition restreinte produit tensoriel}, qui est aussi un cas
particulier de \refext{Tens}{existence-produit-tensoriel-commutatif}.

\begin{définitionrestreinte2}\label{définition restreinte produit tensoriel infini}
Soient $k$ un corps, $I$ un ensemble éventuellement infini 
et $(A_i)_{i∈I}$ une famille de $k$-algèbres. Choisissons pour chaque $i∈I$, une $k$-base
$(e^{i}_j)_{j∈J_i}$ de $A_i$. On note $⨂_{i∈I} A_i$ la
$k$-\emph{algèbre} dont l'espace vectoriel sous-jacent
est libre de base des éléments notés $ε^{I'}_{J'}$,
où $I'$ est une partie finie de $I$ et $J'$
une partie finie de $∐_{i∈I}J_i$ contenant
un unique élément $j_{i'}$ de $J_{i'}$ pour chaque $i'∈I'$.
On note également $e^{i₁}_{j₁}⊗\cdots⊗e^{i_n}_{j_n}$
(dans un ordre quelconque) l'élément
$ε^{\{i₁,\dots,i_n\}}_{\{j₁,\dots,j_n\}}$.
La structure multiplicative est définie par $k$-linéarité à partir
des formules suivantes :
\begin{enumerate}
\item si $I'∩I''=∅$, 
\begin{equation}
ε^{I'}_{J'}\cdot ε^{I''}_{J''}=ε^{I'∪I''}_{J'∪J''} ; \tag{$\star$}
\end{equation}
\item si $I'∩I''=\{i\}$, 
\begin{equation}
ε^{I'}_{J'}\cdot ε^{I''}_{J''}=∑_{j∈J_i} a^j_{j_i,j'_i}\,
ε^{I'∪I''}_{(J'-\{j_i\})∪(J''-\{j'_i\})∪\{j\}}, \tag{$\star\star$}
\end{equation}
où les scalaires $a^∙_{∙,∙}$ sont les constantes de structure (\ref{constantes
structure produit tensoriel}) de la $k$-algèbre $A_i$.
\end{enumerate}
\end{définitionrestreinte2}

Remarquons que si $i∈I'∩I''$,
les formules $ε^{I'}_{J'}=ε^{I'-\{i\}}_{J'-\{j'_i\}}ε^{\{i\}}_{j'_i}$
et $ε^{I''}_{J''}=ε^{I''-\{i\}}_{J''-\{j''_i\}}ε^{\{i\}}_{j''_i}$, 
qui découlent de $(\star)$, permettent de calculer
$ε^{I'}_{J'}\cdot ε^{I''}_{J''}$ à partir de $(\star\star)$
par récurrence sur le cardinal de l'intersection $I'∩I''$.

Il est aisé de vérifier, par réduction au cas où $I$ est fini
et suivant la même méthode qu'en \ref{section définition restreinte
produit tensoriel}, que le produit ainsi défini est associatif, commutatif, 
indépendant à $k$-isomorphisme près du choix des bases, et
que les applications
\[∑_{j∈J_ι} λ_je^ι_j∈A_ι↦∑_{j∈J_ι}λ_j ε^{\{ι\}}_{\{j\}}∈⨂_{i∈I}A_i\]
sont des morphismes injectifs de $k$-algèbres, dits « canoniques », dont les images engendrent le produit tensoriel.
Nous renvoyons le lecteur à l'appendice \refext{Tens}{} pour une approche plus
conceptuelle, présentée en détail.

\subsubsection{}Soit $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes non constants.
Pour chaque $i∈I$, considérons une extension de décomposition $k_i$ de $f_i$
sur $k$ ; il en existe d'après les résultats du paragraphe précédent
(\ref{dec-deg-inf-fact-n}). Soit $A$ la $k$-algèbre produit tensoriel de la famille des $k$-algèbres \emph{non
nulles} $k_i$.
Elle est non nulle donc — d'après le lemme Krull —  se surjecte sur un corps $K$, 
qui est naturellement une extension de $k$ ainsi que de chacun
des corps $k_i$, via les morphismes composés $u_i:k_i→A↠K$, où la première flèche
est le morphisme canonique.

\begin{lemme2}
Pour tout $i∈I$, le polynôme $f_i$ est scindé dans $K$ et $K$ est engendré sur $k$ par les
racines des $f_i$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Chaque $f_i$ est scindé dans $k_i$ donc dans $A$ et $K$
car une décomposition en produit $f_i=g₁\cdots g_{d_i}$ dans $k_i[X]$ 
induit une décomposition semblable dans $B[X]$ pour toute
$k_i$-algèbre $B$, comme $A$ ou $K$. 
Ceci prouve le premier point.
Pour le second point, on observera que d'une part chaque $u_i(k_i)⊆K$ est engendré
sur $k$ par $R_i=\{α ∈ K:f_i(α)=0\}$ et que d'autre part $A$, donc $K$, est engendré sur $k$ par 
les images des $k_i$ dans $A$, comme cela a été observé brièvement plus haut.
\end{démo}

Tout comme dans le cas d'une famille réduite à un élément, on dit que $K$ est une
\emph{extension de décomposition} de la famille $(f_i)_{i∈I}$.

Remarquons que si l'ensemble d'indexation $I$ est fini, une extension 
de décomposition de la famille $(f_i)_{i∈I}$ est une extension de 
décomposition de $f=∏_i f_i$.

\begin{proposition2}\label{unicite-extension-decomposition}
Deux $k$-extensions de décomposition d'une famille de polynômes dans $k[X]$
sont $k$-isomorphes.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soient $K$ et $K'$ deux telles extensions et $E$ une extension composée.
L'image de $K$ (resp. $K'$) dans $E$ coïncide
avec le sous-corps $k(R)$ où $R$ est l'ensemble des racines des polynômes
considérés. Ainsi les corps $K$ et $K'$ sont tous deux $k$-isomorphes à $k(R)$
(cf. \ref{dec-deg-inf-fact-n} (ii)).
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{cb-corps-decomposition}
Soient $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes non constants 
à coefficients dans $k$ et $K$ un corps de décomposition. Pour toute extension $k'\bo k$,
toute extension composée de $K$ et $k'$ sur $k$ est un corps de décomposition sur $k'$
des $f_i$, vus dans $k'[X]$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soient $k'\bo k$ comme dans l'énoncé et $(K',u,v)$ une extension composée de $K$ et $k'$.
Si $R$ désigne l'ensemble des racines des $f_i$ dans $K$, on a $K=k(R)$
et $K'=k'(R)$, où l'on note abusivement $k'$ et $R$ leurs images dans $K'$ par les applications
$v$ et $u$ respectivement. Cette égalité est équivalente à la conclusion désirée.
\end{démo}

\subsection{Clôture algébrique}

\begin{proposition2}
Soit $k$ un corps. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item tout polynôme non constant de $k[X]$ a une racine dans $k$ ;
\item tout polynôme non constant de $k[X]$ est scindé sur $k$ ;
\item toute extension algébrique de $k$ est de degré un.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Montrons que (i) entraîne (ii). On procède par récurrence sur le degré du
polynôme, le cas du degré un étant trivial. Soit donc $f∈k[X]$ de degré $>1$.
D'après (i), il existe une racine $α∈k$ de $f$ de sorte que $f$ 
se factorise en $f=(X-α)g$, pour un $g∈k[X]$. Puisque $\deg(g)<\deg(f)$,
l'hypothèse de récurrence assure que $g$ est scindé sur $k$. Il en est donc de
même de $f$. L'implication (ii) entraîne (i) est évidente.
Montrons maintenant que (ii) entraîne (iii). Soit $K\bo k$ une extension algébrique.
On veut montrer que $K=k$. Il suffit pour cela de considérer le cas où $K$ est
monogène, car $K=⋃k(a)$, où $a$ parcourt $K$. Dans ce cas, $K$ est isomorphe à un quotient
de $k_f$, pour un $f∈k[X]$ convenable. Le polynôme $f$ étant scindé, ce quotient n'est un corps
que si $f$ est de degré un. Dans ce cas, l'inclusion $k→K$ est un
isomorphisme : $[K:k]=1$.
Vérifions que (iii) entraîne (ii). Soient $f∈k[X]$ est un polynôme non constant
et $K\bo k$ un corps de décomposition de $f$ sur $k$ ; c'est une extension algébrique de $k$.
D'après (iii), $k=K$ de sorte que $f$ est scindé sur $k$, d'où (ii).
\end{démo}

Il résulte de la démonstration que la condition
(iii') : « toute extension algébrique monogène de $k$ est de degré un »
est équivalente à (iii).

\begin{définition2}
Un corps satisfaisant les conditions équivalentes précédentes est dit
\emph{algébriquement clos}. 
On appelle \emph{clôture algébrique} d'un corps $k$ toute extension algébrique de $k$ qui est
un corps algébriquement clos. 
\end{définition2}

\begin{proposition2}[Steinitz]
Tout corps admet une clôture algébrique.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $k$ un corps. D'après ce qui précède, il existe un corps
de décomposition $K$ de la famille de tous les polynômes unitaires non constants
à coefficients dans $k$. C'est une extension algébrique de $k$ dans laquelle tout polynôme non constant de $k$ 
est scindé. Vérifions qu'elle est algébriquement close en utilisant le critère (iii) ci-dessus.
Soit $K'\bo k$ une extension algébrique de $K$ ; elle est algébrique
sur $k$ (\ref{algébrique sur algébrique=algébrique}). En d'autres termes,
tout élément $α∈K'$ est racine d'un polynôme unitaire $f_α∈k[X]$.
Or, par construction, les racines de $f_α$ sont toutes dans $K$.
Finalement $α∈K$ et $K'=K$.
\end{démo}

\begin{remarque2}\label{caracterisation-cloture-algebrique}
Il résulte de la démonstration qu'une clôture algébrique $Ω$ d'un corps $k$
est un corps de décomposition de l'ensemble des polynômes non constants
de $k$. En effet, $Ω$ contient un tel corps de décomposition $D$
et puisque ce dernier est algébriquement clos avec $Ω/D$ algébrique, on a bien $Ω=D$.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}
Tout corps algébriquement clos est infini.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

La proposition suivante nous sera très utile dans le chapitre
[Gal]. 

\begin{proposition2}\label{plongement-dans-cloture-algebrique}
Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $k'\bo k$ une extension
algébrique. Il existe un $k$-plongement $k'→Ω$.
\end{proposition2}

L'expression « $k$-plongement », synonyme de $k$-morphisme,
permet d'insister sur le fait qu'un tel morphisme
est nécessairement injectif.

\begin{démo}
Soit $Ω'$ une extension composée de $k'\bo k$ et $Ω\bo k$. L'extension $Ω'/Ω$
est algébrique (cf. par exemple \ref{cb-entier} ou
\ref{composee algebrique}), de sorte que l'injection $Ω→Ω'$  
est un isomorphisme, dont nous noterons $τ$ l'inverse. Le morphisme
composé $k'→Ω'\dessusdessous{τ}{→} Ω$ répond à la question.
\end{démo}

\begin{proposition2}
Deux clôtures algébriques d'un même corps $k$ sont $k$-isomorphes.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Il suffit d'utiliser la remarque ci-dessus et l'unicité 
du corps de décomposition d'une famille de polynôme (cf.
\ref{unicite-extension-decomposition}).
\end{démo}

\begin{remarque2}
L'isomorphisme précédent n'étant pas unique en général, 
on parlera — conformément à \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel} —
d'\emph{une} clôture algébrique d'un corps.
\end{remarque2}

\section{Trace et norme}\label{trace-et-norme}

Dans ce paragraphe, contrairement à la convention de ce chapitre, $k$ 
n'est pas nécessairement un corps.

\subsection{Définition et premières propriétés}
\begin{définition2}
Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre
admettant une base finie.
Pour tout élément $a∈A$, on note $m_a:A→A$
l'endomorphisme $k$-linéaire $x\mapsto ax$ de multiplication par $a$ dans $A$. 
Sa trace $\Tr(m_a)$, son déterminant $\det(m_a)$ et son polynôme caractéristique unitaire
$\det(X\Id-m_a)$ sont appelés respectivement la \emph{trace}, la \emph{norme}
\index{trace} \index{norme} et le \emph{polynôme caractéristique}
\index{polynôme caractéristique} de $a$. On note $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A\bo k}(a)$
les deux premiers, qui sont des éléments de $k$, et $χ_{A\bo k}(a,X)∈k[X]$ le
dernier.
\end{définition2}

\subsubsection{}Explicitement, si $(e_i)_{i=1,\dots,n}$ est une base de $A$ sur $k$, de base
duale $(e^\vee_i)_i$, on a pour tout $a∈A$, $\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a^{(i)}$ et
$\N_{A\bo k}(a)=∏_i a^{(i)}$, où $a^{(i)}=⟨ae_i,e^\vee_i⟩$.

\subsubsection{}\label{trivialités sur trace et norme}Il résulte immédiatement de l'additivité (resp. la multiplicativité)
de la trace (resp. du déterminant) que l'on a les
égalités suivantes dans $k$ :
\[
\Tr_{A\bo k}(a+a')=\Tr_{A\bo k}(a)+\Tr_{A\bo k}(a'),
\]
et
\[
\N_{A\bo k}(aa')=\N_{A\bo k}(a)\N_{A\bo k}(a')
\]
pour chaque paire $(a,a ′) ∈ A²$.
Pour tout $λ∈k$, on a $\Tr_{A\bo k}(λ)=nλ$ et $\N_{A\bo k}(λ)=λ^n$, 
où $n=\dim_k(A)$.


\begin{lemme2}\label{Norme=pol-car}
Soient $k$ un anneau et $A$ une $k$-algèbre admettant une base finie de
cardinal $n$.
\begin{enumerate}
\item L'algèbre $A[X]$ admet une base finie sur $k[X]$, de cardinal $n$.
\item Pour tout $a∈A$,
$\N_{A[X]\bo k[X]}(1+aX)=1+\Tr_{A\bo k}(a)X+\cdots+\N_{A\bo k}(a)X^n$.
\item Pour tout $a∈A$, $χ_{A\bo k}(a,X)=\N_{A[X]\bo k[X]}(X-a)$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $(e_i)_i$ est une base de $A$ sur $k$ ; c'est également une base de $A[X]$ sur $k[X]$.
Relativement à cette base, on a : $$(1+aX)^{(i)}=1+a^{(i)}X.$$
Ainsi, $$\N_{A[X]\bo k[X]}(1+aX)=∏_i (1+aX)^{(i)}=∏_i (1+a^{(i)}X)=1+(∑_i
a^{(i)})X+\cdots+(∏_i a^{(i)})X^n.$$
Le dernier point est évident.
\end{démo}

Observons que $\N_{A\bo k}(a)=(-1)^n χ_{A\bo k}(a,0)$ et
$\Tr_{A\bo k}(a)=-{χ_{A\bo k}}'(a,0)$. Cela permet de ramener 
certains énoncés sur la trace (resp. la norme) à des énoncés
sur le polynôme caractéristique. (La réciproque étant également vraie d'après le lemme
ci-dessus.)

\begin{proposition2}\label{trace-produit}
Soient $k$ un anneau et $A=A₁×\cdots×A_r$ un produit fini de $k$-algèbres admettant des bases finies.
Pour tout $a=(a₁,\dots,a_r)∈A$, on a 
$$\Tr_{A\bo k}(a)=∑_{i=1}^r \Tr_{A_i\bo k}(a_i),$$
$$\N_{A\bo k}(a)=∏_{i=1}^r \N_{A_i\bo k}(a_i),$$
et 
$$
χ_{A\bo k}(a,X)=∏_{i=1}^r χ_{A_i\bo k}(a_i,X).
$$
\end{proposition2}

\begin{démo}
Comme noté ci-dessus, il suffit de démontrer la dernière formule, qui est
évidente : le déterminant d'une somme directe d'endomorphismes agissant
sur une somme directe est égal au produit des déterminants.
\end{démo}

\subsection{Fonctorialité}

\begin{proposition2}\label{cb-trace}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie.
Soit $k'$ une $k$-algèbre et notons $A'=A ⊗_k {k ′}$ la $k'$-algèbre
déduite de $A$ par extension des scalaires.
\begin{enumerate}
\item $[A':k ′]=[A:k]$.
\item Pour tout $a∈A$, on a :
\[\Tr_{A'\bo k'}(a⊗1)=\Tr_{A\bo k}(a)\cdot 1_{k'},\]
\[\N_{A'\bo k'}(a⊗1)=\N_{A\bo k}(a)\cdot 1_{k'},\]
et
\[χ_{A'\bo k'}(a⊗1,X)=χ_{A\bo k}(a,X)\cdot 1_{k'[X]}.\]
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Dans cet énoncé, on a noté $λ\cdot 1_{k'}$ l'image
d'un élément $λ∈k$ dans $k'$ par le morphisme $k→k'$. Il correspond
naturellement à l'élément $λ⊗1$ de $k⊗_k k'$ par l'isomorphisme
(dit « canonique ») $k⊗_k k'⭇k'$ envoyant $λ ⊗ x$ sur $λ x$.

\begin{démo}
Le premier point n'est mis que pour mémoire (cf. \ref{changement de
base k-algèbre}).
Soient $(e_i)_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$
et $a∈A$. Notons $a_{ij}$ la matrice de l'endomorphisme
$m_a:A→A$ dans la base $e_i$. Par définition,
$\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a_{ii}$. 
Pour chaque $a∈A$, l'endomorphisme $m_{a⊗1}:A'→A'$ 
a pour matrice dans la base $(e_i⊗1)_{1≤i≤n}$ l'image de celle de $m_a$
(relativement à la base $(e_i)_{1≤i≤n}$) par l'application $M_n(k)→M_n(k')$.
Sa trace est donc égale à $\Tr_{A\bo k}(a)$. On procède de même pour
la norme et le polynôme caractéristique.
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{composition-trace-norme}
Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre admettant une base finie
et $B$ une $A$-algèbre admettant une base finie.
Alors, $B$ admet une base finie sur $k$ et pour tout $b∈B$, on a :
$$
\Tr_{B\bo k}(b)=\Tr_{A\bo k}\big(\Tr_{B\bo A}(b)\big),
$$
$$
\N_{B\bo k}(b)=\N_{A\bo k}\big(\N_{B\bo A}(b)\big),
$$
et 
$$
χ_{B\bo k}(b,X)=\N_{A[X]\bo k[X]}\big(χ_{B\bo A}(b,X)\big).
$$
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soient $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$, 
$(e_{i}^{\vee})_{i=1,\dots,n}$ la base duale et $(f_{j})_{j=1,\dots,m}$ une base de $B$ sur $A$.
L'ensemble des éléments $f_{j}e_{i}$ constitue une base de $B$ sur $k$.
Considérons $b∈B$ et notons $(b_{j'j})$ la matrice à coefficients dans $A$ de
l'application $A$-linéaire $m_b$ dans la base $(f_{j})_j$.
Un calcul immédiat montre que chaque
$b(f_{j}e_{i})$ est la somme de $b_{jj}^{(i)}f_{j}e_{i}$ et d'une
combinaison linéaire des $f_{j'}e_{i'}$ pour $(i ′,j ′)≠(i,j)$.
Comme plus haut, on a noté pour tout élément $a$ de $A$,
$a^{(i)}$ l'élément de $k$ égal au produit scalaire
$⟨ae_{i}|e_{i}^{\vee}⟩$, aussi noté $a_{ii}$ dans la démonstration de la
proposition précédente. Avec cette convention, $\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a^{(i)}$ et $\N_{A\bo k}(a)=∏_i a^{(i)}$.
Ainsi, la trace $\Tr_{B\bo k}(b)$ est égale à
la somme :
\[
\Tr_{B\bo k}(b)=∑_{(i,j)} b_{jj}^{(i)}=∑_i\big( ∑_j b_{jj}\big)^{(i)}=∑_i
\Tr_{B\bo A}(b)^{(i)}=\Tr_{A\bo k}\big(\Tr_{B\bo A}(b)\big).
\]

De même,
\[
\N_{B\bo k}(b)=∏_{(i,j)} b_{jj}^{(i)}=∏_i\big( ∏_j b_{jj}\big)^{(i)}=∏_i
\N_{B\bo A}(b)^{(i)}=\N_{A\bo k}\big(\N_{B\bo A}(b)\big).
\]

Ceci démontre les deux premières formules.
La troisième se ramène à la seconde par \ref{Norme=pol-car}.
\end{démo}

\subsection{Trace et norme d'éléments nilpotents}

\begin{proposition2}\label{Nilp-dans-Ker-trace}
Soient $k$ un anneau et $A$ une $k$-algèbre ayant une base finie.
Si un élément $a$ de $A$ nilpotent, les éléments $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A\bo k}(a)$
de $k$ sont également nilpotents. 
\end{proposition2}

Il en résulte que si $k$ est \emph{réduit} (\cad $\Nilp(k)=\{0\}$), 
l'application $k$-linéaire $\Tr_{A\bo k}:A→k$ se factorise
à travers le quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$
où, rappelons-le, $\Nilp(A)=\{a∈A:∃n∈𝐍,a^n=0\}$.

\begin{démo}
Soit $a∈\Nilp(A)$. L'élément $t=aX$ de $A[X]$ est également nilpotent
de sorte que $1+t=1+aX$ est inversible dans $A[X]$ (cf. par
exemple \refext{Spec}{caracterisation-polynomiale-nilpotents}).
Par multiplicativité de la norme, l'image d'un inversible est un inversible donc
\[
\N_{A[X]\bo k[X]}(1+aX)∈k[X]^×.
\]
D'autre part il résulte de la proposition \ref{cb-trace}
— commutation de la trace avec la réduction modulo $X$ — que cet élément appartient à $1+Xk[X]$.
La généralisation suivante de \refext{Spec}{caracterisation-polynomiale-nilpotents}
montre qu'un tel polynôme est de la forme $1+XP(X)$ où $P(X)$ est un polynôme à coefficients nilpotents.
En particulier, le coefficient de $X$, qui coïncide avec la trace
(cf. \ref{Norme=pol-car}) est nilpotent. Le fait que la norme
d'un nilpotent soit nilpotent résulte immédiatement de la
formule $\N(a^n)=\N(a)^n$ et de l'égalité $\N(0)=0$.
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soient $k$ un anneau et $Q ∈ k[X]$ un polynôme.
Le polynôme $1+XQ(X)$ est inversible dans $k[X]$ \ssi
les coefficients de $Q$ sont nilpotents.
\end{lemme2}

\begin{démo}
On procède par récurrence sur le degré $n ≥ 1$ de $P=1+XQ(X)=1+a₁X + \cdots + a_n X^n$.
Supposons également que l'on ait dans $k[X]$ une identité :
\[
(1+a₁X+a₂X²+\cdots+a_nX^n)(1+b₁X+b₂X²+\cdots+b_rX^r)=1.
\]
On en déduit les égalités : 
$a_nb_r=0$, $a_n b_{r-1}+a_{n-1} b_r=0$,
..., $a_n+a_{n-1}b₁+\cdots=0$. On pose $a₀=b₀=1$.
Multipliant la seconde égalité par $a_n$ et utilisant la relation
$a_nb_r=0$, on en tire : $a_n²b_{r-1}=0$ (avec la convention $b₀=1$). 
Plus généralement, on montre par récurrence que $a_n^{i+1}b_{r-i}=0$.
Finalement, pour $i=r$, on obtient $a_n^{r+1}=0$.
Ainsi, le coefficient de plus haut degré de $P$ est nilpotent.
Puisque $P-a_nX^n$ est une unité moins un nilpotent, ce polynôme
est également inversible de sorte que d'après
l'hypothèse de récurrence, ses coefficients non constants
sont nilpotents.
\end{démo}

\section{Algèbres étales sur un corps, extensions algébriques séparables}

Jusqu'à la fin de ce chapitre, sauf mention du contraire, $k$ désigne
à nouveau un \emph{corps} commutatif.

Avant d'introduire la notion fondamentale d'algèbre étale sur $k$,
nous allons considérer quelques classes de $k$-algèbres. 
Nous établirons enfin l'équivalence d'une grande part des conditions introduites 
(cf. \ref{pot-diag=geom-red=f-net}).

\subsection{$k$-algèbres potentiellement diagonalisables}

\begin{définition2}\label{algèbre trivialisée}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{potentiellement diagonalisable} s'il
existe une extension \emph{finie} $k'\bo k$ telle que $A_{k'}=A⊗_k k'$
soit diagonalisable. On dit dans ce cas que $A$ est \emph{diagonalisée},
ou \emph{trivialisée}, par l'extension $k'\bo k$ ou encore que $k'\bo k$
\emph{diagonalise}, ou \emph{trivialise}, $A$.
\end{définition2}

En particulier, une $k$-algèbre potentiellement diagonalisable est finie sur $k$.

\begin{remarque2}\label{diagonalisable implique sous-truc}
Lorsque $A$ est un corps $K$, l'existence d'une extension $k ′ \bo k$
trivialisant $A$ entraîne l'existence d'un $k$-plongement — en général non
unique — de $K$ dans $k ′$.
En effet, la $k′$-algèbre $K⊗_k k ′$, étant isomorphe
à ${k ′}^[K:k]$, elle se surjecte sur $k ′$ et le morphisme composé $k→K⊗_k
k ′↠k ′$ est un $k$-plongement. Si $A$ n'est pas un corps, on obtient seulement
par cette méthode l'existence d'un $k ′$-point de $A\bo k$.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}\label{critere-numerique-diagonalisable}
Soient $A$ une $k$-algèbre et $K\bo k$ une extension.
\begin{enumerate}
\item L'application $k$-linéaire canonique $A→A⊗_k K=A_K$,
$a↦a⊗1$, induit une bijection
\[
\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)⥲\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K).
\]
\item
Le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$
est majoré par $[A:k]$, avec égalité \ssi $A$ est diagonalisée par $K\bo k$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) Montrons que plus généralement, pour toute $K$-algèbre $B$,
l'application canonique $r:\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)$,
envoyant chaque morphisme de $K$-algèbres $φ:A_K→B$
sur sa restriction $k$-linéaire $r(φ):a↦φ(a⊗1)$ est une bijection.
Il suffit de vérifier que l'application $e:\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)→\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)$,
envoyant $ψ:A→B$ sur $e(ψ):A_K→B$, caractérisé par $a⊗λ↦λψ(a)$, satisfait
$re=\Id$ et $er=\Id$.
Cela résulte de la définition. (Ce résultat est un cas particulier
de la propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, cf.
\refext{Tens}{}.)
(ii) résulte de (i), l'égalité $[A_K:K]=[A:k]$ et du critère \ref{critere diagonalisabilite} (iii).
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{sorites-pot-diagonalisable}
Soient $A$ une $k$-algèbre et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item il existe une extension $K$ de $k$ telle que $A_K$ soit
diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
\item $♯\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
\item $♯ π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
$u(A) ⊆ K$.
\end{proposition2}

Remarquons que dans (i), on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ algébrique.

\begin{démo}
(i)⇒(ii).
D'après la proposition précédente, $\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)$
est de cardinal $[A_K:K]=[A:k]=:d$. D'autre part, 
l'application de restriction $\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$
est une bijection. Soit $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$. Puisque $A$ est de dimension finie sur $k$,
il en est de même de l'image $φ(A)⊆K$ de $φ$. D'autre part,
puisque $φ$ est un morphisme de $k$-algèbres, $φ(A)$ est une sous-$k$-algèbre
de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (cf.
\ref{fini integre=corps}). Soit $k_A$ le sous-corps de $K$ engendré
par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie}
de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
\emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection.
Ainsi, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
$A$ est diagonalisable sur $k_A$. 
(ii)⇒(iii).
Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
%En effet, si $♯ \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $♯ \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=♯\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
(iii) ⇔ (iv) : résulte de \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii) ⇔ (v) : résulte de \ref{critere diagonalisabilite} (iii).
\end{démo}

\subsection{Algèbres monogènes ; polynômes et extensions algébriques séparables}

%[Vérifier si des conditions $f$ non nul/constant n'ont pas été
%oubliées. \XXX]

\begin{definition2}\label{algebre-monogene}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{monogène}
s'il existe une surjection de $k[X]$ sur $A$. L'image de $X$ par un tel
morphisme est appelé un \emph{générateur} de l'algèbre $A$ sur $k$.
\end{definition2}

Rappelons (cf. \ref{polynome-minimal} et \ref{k-f})
la conséquence suivante de la principalité de l'anneau $k[X]$.

\begin{lemme2}
Toute $k$-algèbre monogène finie
est isomorphe à une $k$-algèbre $k_f=k[X]/(f(x))$,
où $f$ est un polynôme unitaire à coefficient dans $k$.
\end{lemme2}

Le polynôme $f$ n'est bien sûr pas uniquement déterminé par l'algèbre :
il dépend du choix d'un générateur, dont il est le polynôme
minimal (\ref{polynome-minimal}).

\subsubsection{}Écrivons $f=∏_{i=1}^r f_i$ où les polynômes $f_i∈k[X]$ sont 
\emph{premiers entre eux}. Il résulte du lemme chinois
(\refext{Spec}{lemme chinois}) que l'application canonique $k_f → ∏_1^r k_{f_i}$
est un \emph{isomorphisme}.
Appliquant ceci à une décomposition en puissances
de facteurs irréductibles $f_i=P_i^{n_i}$ ($n_i>0$), où les
$P_i$ sont irréductibles dans $k[X]$ et premiers entre eux deux à deux,
on obtient une décomposition :
\[
k_f ⥲  ∏_{i=1}^r k_{P_i^{n_i}},
\]
qui est un cas particulier explicite de \ref{k-algebres-finies} (iii).

\begin{lemme2}\label{structure k-f}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme unitaire. La $k$-algèbre $k_f$ est :
\begin{enumerate}
\item \emph{connexe} \ssi $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ;
\item \emph{intègre} \ssi $f$ est \emph{irréductible} ;
\item \emph{réduite} \ssi $f$ est \emph{sans facteur carré} ;
\item \emph{diagonalisable} \ssi $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
(i) Si $f$ n'est pas une puissance d'un polynôme irréductible,
l'anneau $k_f$ n'est pas connexe car il se décompose en un produit non trivial d'anneaux.
Réciproquement, si $f=P^n$, $k_f$ est local, car $(P)$ est maximal
(\refext{Spec}{exemple anneau local}),
donc connexe (\refext{Spec}{local implique connexe}).
Le second point est évident ; il n'est mis que pour mémoire.
Vérifions (iii). D'après la décomposition précédente et compte tenu
du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit \ssi chaque facteur l'est,
il suffit de vérifier que si $P$ est un polynôme irréductible,
l'anneau $k_{P^n}$ est réduit \ssi $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$,
la classe de $P$ dans $k_{P^n}$ est un nilpotent non trivial. (L'implication
réciproque est un corollaire de (ii).)
Vérifions (iv). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable},
et \ref{points k-f}, $k_f$ est diagonalisable
\ssi $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD.
\end{démo}

\begin{lemme2}\label{changement-base-k-f}
Soient $f∈k[X]$ et $k'\bo k$ une extension.
Le morphisme $k_f⊗_k k'→ k'_f$ envoyant
$(X^i\mod f)⊗λ$ sur $(λX^i\mod f)$ est un isomorphisme.
\end{lemme2}

\begin{démo}
En effet, on vérifie sans peine que l'application $(λ X^i\mod f)↦(X^i \mod f)⊗λ$ 
en est un inverse.
Alternativement, on pourrait utiliser l'isomorphisme
$A/I⊗_A M ⥲ M/I$ de \refext{Tens}{}, où $I$ est un idéal d'un anneau $A$
et $M$ un $A$-module.
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{pot-diag-reduit}
Soit $f∈k[X]$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item la $k$-algèbre $k_f$ est potentiellement diagonalisable ;
\item l'anneau $(k_f)_{k'}$ est réduit pour toute extension finie $k'\bo k$ ;
\item le polynôme $f$ est scindé à racines \emph{simples} dans une clôture algébrique
de $k$.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

\begin{démo}
(i)⇒(ii). Puisqu'une $k$-algèbre potentiellement diagonalisable
le reste après extension des scalaires, il suffit de démontrer
que $k_f$ est réduit. Or, si $K\bo k$ diagonalise $k_f$,
le morphisme canonique $k_f→(k_f)_K$ étant injectif,
l'algèbre $k_f$ est réduite car $(k_f)_K$, étant diagonalisable,
l'est. (ii)⇒(iii) Supposons que $f$ ait une racine multiple dans une
clôture algébrique $Ω$ de $k$ et considérons $k'$ le corps de
décomposition de $f$ dans $Ω$. Le polynôme $f$ a un facteur
carré dans $k'$, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse,
d'après le lemme précédent et \ref{structure k-f} (ii).
(iii)⇒(i). Si $f$ est scindé à racines simples sur un corps $k'$,
$(k_f)_{k'}$ est diagonalisable d'après le
lemme précédent et \ref{structure k-f} (iii). 
\end{démo}

\begin{définition2}\label{polynome-separable}
Soit $k$ un corps. Un polynôme $f∈k[X]$ est dit \emph{séparable}
s'il satisfait les conditions équivalentes (i)--(iii) de l'énoncé précédent.
\end{définition2}

\begin{définitionrestreinte2}\label{element-extension-separable}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre.
On dit qu'un élément $a∈A$ est \emph{séparable sur $k$}
si son polynôme minimal (\ref{polynome-minimal}) est séparable.
Une extension \emph{algébrique} $k'\bo k$ est dite \emph{séparable} si
tout élément de $k'$ est séparable sur $k$.
\end{définitionrestreinte2}

On verra plus bas qu'une extension algébrique engendrée par des éléments
séparables est séparable.

Il est clair qu'une extension algébrique $k'\bo k$ est séparable
\ssi toute sous-$k$-extension \emph{finie} de $k$ est séparable.

\begin{proposition2}\label{critère différentiel de séparabilité polynôme}
Soit $f∈k[X]$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f$ est séparable ;
\item $(f,f')=1$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le cas où $k$ est algébriquement clos est clair. Vérifions
que l'on peut se ramener à ce cas. Soient $k$ comme dans l'énoncé
et $Ω$ une clôture algébrique de $k$. D'après \ref{pot-diag-reduit} (iii),
le polynôme $f$ est séparable si et seulement si son image dans $Ω[X]$
l'est. D'autre part, la condition (ii) est également invariante
par extension des scalaires. En effet, l'algorithme d'Euclide
montre que l'idéal engendré par $f$ et $f'$ dans
$Ω[X]$ est engendré par un polynôme à coefficients dans $k$, qui
n'est autre que le pgcd, calculé dans $k[X]$. (Ceci
est un fait général valable pour toute $k$-algèbre et toute
paire de polynômes.)
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{separable-irreductible}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme \emph{irréductible}. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f$ est séparable ;
\item $f'≠0$ ;
\item $f∉k[X^p]$, où $p≥0$ est la \emph{caractéristique} du corps $k$.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

(Observons que la dernière condition est automatiquement satisfaite
si $p=0$.)


\subsection{Algèbres géométriquement réduites}

\begin{proposition2}
Soit $A$ une $k$-algèbre et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est réduit ;
\item l'anneau $A_Ω$ est réduit ;
%\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A → Ω$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
(ii) ⇒ (i). Soit $k ′ \bo k$ une extension finie et soit $σ: k ′ ↪ Ω$ un
$k$-plongement. Le morphisme $A_{k ′} → A_Ω$ déduit de $σ$ est une
injection (cf. \ref{changement de base k-algèbre}). On utilise alors
le fait qu'un sous-anneau d'un anneau réduit est réduit.
(i) ⇒ (ii). Soit $x ∈ A_Ω$. Décomposant $x$ en somme de tenseurs
purs, $x=∑_1^n a_i ⊗ λ_i$, on constate que cet élément
appartient à l'image de $A_{k ′}$ dans $A_Ω$, où
$k ′=k(λ₁,…,λ_n)$ est une sous-extension de $Ω$,
finie sur $k$ (\ref{multiplicativité degré}). Si $x$ est nilpotent dans $A_Ω$,
il l'est dans $A_{k ′}$. Ceci suffit pour conclure.
% cf. Grothendieck projet pour Bourbaki, p. 18.
\end{démo}

\begin{définition2}\label{geometriquement-reduit}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{géométriquement réduite}
si pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est \emph{réduit}.
\end{définition2}

On dit également que le \emph{morphisme} $k → A$, aussi noté $A\bo k$, est \emph{géométriquement réduit}.

\begin{exemple2}\label{geom-red-separable}
Une algèbre monogène $k_f$ est géométriquement réduite \ssi $f$ est séparable.
(cf. \ref{pot-diag-reduit}).
\end{exemple2}

\begin{lemme2}\label{sous algebre geometriquement reduite}
Soient $B$ une $k$-algèbre géométriquement réduite
et $A$ une sous-$k$-algèbre de $B$. Alors,
$A\bo k$ est géométriquement réduite.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Un sous-anneau d'un anneau réduit étant réduit, il suffit
de démontrer que si $ι:A↪B$ est une injection entre deux $k$-algèbres,
le morphisme canonique $A_{k'}→B_{k'}$, caractérisé par le fait
d'envoyer $a⊗λ$ sur $ι(a)⊗λ$, est injectif pour toute extension $k'\bo k$.
C'est une question d'algèbre linéaire,
qui résulte de la définition. (Considérer une $k$-base de $A$,
complétée en une $k$-base de $B$.)
\end{démo}

(Voir \refext{Tens}{} pour une généralisation.)

\subsubsection{}\label{géométriquement réduite implique séparable}Observons que si $A$ est une $k$-algèbre entière
géométriquement réduite, ses éléments sont séparables
sur $k$. En effet la sous-$k$-algèbre $k[a]$ de $A$ engendrée par un élément
$a$ de $A$ est isomorphe à $k_{μ_a}$ où $μ_a$ est le polynôme minimal de $a$.
La $k$-algèbre $k[a]$ étant géométriquement réduite d'après le lemme
précédent, le polynôme $μ_a$  est donc séparable. Ceci signifie que
l'élément $a$ est séparable sur $k$. Réciproquement,
on peut montrer (\ref{pot-diag=geom-red=f-net} ci-dessous)
qu'une algèbre dont les éléments sont algébriques séparables
sur $k$ est géométriquement réduite.

\subsection{Algèbres formellement nettes}

\begin{définition2}
Soient $k$ un \emph{anneau}, $A$ une $k$-algèbre et $M$ un $A$-module.
On appelle \emph{$k$-dérivation}\index{dérivation} de $A$ dans $M$ toute application
\emph{$k$-linéaire} $d:A→M$ satisfaisant la règle de Leibniz :
$$
d(ab)=ad(b)+bd(a),
$$
pour tous $a,b∈A$.
Les $k$-dérivations forment un groupe abélien que l'on note $\Der_k(A,M)$.
\end{définition2}

La $k$-linéarité entraîne que $d(λ)=0$ pour tout $λ∈k$.

\begin{définition2}
Soit $k$ un \emph{anneau}. Une $k$-algèbre $A$ est dite
\emph{formellement nette}\index{formellement nette, algèbre} si pour tout
$A$-module $M$, l'ensemble $\Der_k(A,M)=0$.
\end{définition2}

On dit aussi que le morphisme $k → A$, également noté $A\bo k$, est
\emph{formellement net}.

On verra en \refext{Om}{} une reformulation
de cette propriété dans le langage des \emph{formes différentielles}.

\subsubsection{}Soient $φ:A→B$ un morphisme de $k$-algèbres, $M$ un $B$-module.
Notons $M_{[A]}$ désigne le $A$-module déduit de $M$ par $φ$ :
$a ⋅ m=φ(a)m$. Si $d:B → M$ est une $k$-dérivation,
le morphisme composé $d∘φ$ est une $k$-dérivation de $A$ dans $M_{[A]}$.
Si $φ$ est surjectif, l'égalité $d ∘ φ=0$ entraîne l'égalité
$d=0$. En d'autres termes, nous avons démontré le lemme suivant.

\begin{lemme2}
\label{injectivité Dér si surjectivité morphismes}
Soient $A → B$ un morphisme surjectif de $k$-algèbres
et $M$ un $B$-module.
Le morphisme $\Der_k(B,M)→\Der_k(A,M_{[A]})$ est \emph{injectif}.
\end{lemme2}

\begin{corollaire2}
\label{quotient formellement net=formellement net}
Si $A$ est une $k$-algèbre formellement nette, il
en est de même de ses quotients.
\end{corollaire2}

En particulier, tout morphisme surjectif $k ↠ A$ est formellement net.

\begin{exemple2}%[Algèbre des nombres « duaux »]
\label{nombres duaux pas nets}
Soit $k$ un anneau. La $k$-algèbre $k[ε]:=k[X]/(X²)$ des « nombres duaux »
n'est \emph{pas} formellement nette : l'application $k[ε]→k$, $a+bε\mapsto b$
est une $k$-dérivation non triviale.
\end{exemple2}

\begin{lemme2}%[Extension des scalaires]
\label{cb-nets}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre formellement nette.
Pour toute $k$-algèbre $k'$, l'algèbre $A_{k'}=A ⊗_k k ′$ est formellement
nette sur $k'$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soient $M'$ un $A_{k'}$-module et $d':A_{k'}→M'$ une $k'$-dérivation.
Notons $d$ la $k$-dérivation $A→M'_{[A]}$ déduite du morphisme canonique
$A→A_{k'}$ ; elle est nulle par hypothèse sur $A\bo k$. L'anneau $A_{k'}$ étant engendré
en tant que $k'$-module par $A$ et $d'$ étant $k'$-linéaire, on a
également $d'=0$.
\end{démo}

L'hypothèse que $k$ est un corps n'est là que pour
nous permettre de faire référence à la définition élémentaire 
du produit tensoriel donnée dans ce chapitre (\ref{définition
restreinte produit tensoriel}).
La démonstration ci-dessus est valable pour $k$ un anneau
quelconque, si $A_{k'}=A⊗_k k'$ est pris au sens
de \refext{Tens}{}.

\begin{lemme2}%[Transitivité]
\label{composes-nets}
Soient $k$ un \emph{anneau} et $k → A$, $A → B$ deux morphismes
formellement nets. Le morphisme composé $k → B$ est formellement net.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soient $M$ un $B$-module et $d∈\Der_k(B,M)$. On veut montrer que
$d=0$. La restriction de $d$ à $A$ appartient à $\Der_k(A,M_{[A]})$, qui
est nul par hypothèse. Ainsi $d(A)=\{0\}$ : la dérivation est $A$-linéaire.
Par hypothèse, $\Der_A(B,M)=\{0\}$ donc $d=0$.
\end{démo}

\begin{lemme2}%[Passage à la limite]
\label{colim-nettes}
Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre.
Supposons que $A$ soit la réunion de sous-$k$-algèbres $A_i$ formellement
nettes. Alors, $A$ est formellement net sur $k$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Si les restrictions aux $A_i$ d'une $k$-dérivation $d$ de $A$ 
sont toutes nulles, il en est de même de $d$.
\end{démo}

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps et $f∈k[X]$.
La $k$-algèbre $k_f$ est formellement nette \ssi le polynôme $f$ est séparable.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Supposons $f$ séparable et considérons une $k$-dérivation $d:k_f→M$.
Puisque $f(x)=0$ dans $k_f$, on a $d(f(x))=0$ dans $M$. Il résulte
de la formule de Leibniz que $d(f(x))=f'(x)d(x)$. Par hypothèse $f'(x)$ est
une unité de $k_f$ (cf. \ref{critère différentiel de séparabilité polynôme})
de sorte que l'égalité $f'(x)d(x)=0$ entraîne $d(x)=0$.
Ainsi, pour tout $g∈k[X]$, $d(g(x))=g'(x)d(x)=0$ de sorte que $d=0$. CQFD.
Réciproquement, supposons $k_f$ formellement net sur $k$ ; il
en est donc de même de $Ω_f$ où $Ω$ est une clôture algébrique
de $k$. Supposons par l'absurde que $f$ ne soit pas à racines simples dans $Ω$,
de sorte que $Ω_f$ se surjecte (non canoniquement) sur la $Ω$-algèbre $Ω[ε]=Ω[X]/(X²)$.
Or, d'après \ref{quotient formellement net=formellement net}, $Ω[ε]$ serait
alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas nets}).
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{mono geom red ssi f-nette}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre finie monogène est géométriquement réduite
\ssi elle est formellement nette.
\end{corollaire2}

\begin{proposition2}\label{net-implique-reduit}
Soient $k$ un corps algébriquement clos et $A$ une $k$-algèbre finie formellement
nette. Alors, $A$ est réduite.
\end{proposition2}

Cela résulte des deux lemmes ci-dessous. (Rappelons que
les idéaux premiers $A$ sont tous maximaux, cf.
\ref{Spec=Specmax-cas-part}.)

\begin{lemme2}
Soient $k$ un corps algébriquement clos, $A$ une $k$-algèbre finie et $𝔪$ un
idéal maximal. Le morphisme canonique $k→A/𝔪$ est un isomorphisme et si l'on
note $s_𝔪:A→k1_A⊂A$ l'unique application telle que pour tout $a∈A$, on
ait $a-s_𝔪(a)∈𝔪$, l'application $d_𝔪:A→𝔪/𝔪²$, $a\mapsto a-s_𝔪(a)
\mod 𝔪²$ est une $k$-dérivation et est surjective.
\end{lemme2}

\begin{démo}
La $k$-linéarité de $d_𝔪$ est manifeste, de même que 
la surjectivité (car $s_𝔪(m)=0$ pour $m∈𝔪$). Calculons $d_𝔪(aa')$
pour $a$ et $a'$ dans $A$. Puisque 
$$
\big(a-s_𝔪(a)\big)\big(a'-s_𝔪(a')\big)=aa'-\big(as_𝔪(a')+a's_𝔪(a)\big)+s_𝔪(a)s_𝔪(a')
$$
appartient à $𝔪²$, on a
$d_𝔪\Big(aa'-\big(as_𝔪(a')+a's_𝔪(a)\big)+s_𝔪(a)s_𝔪(a')\Big)=0$.
Utilisant le fait que $d_𝔪(k)=0$ et ,
on en tire 
$$
d_𝔪(aa')=d_𝔪\big(as_𝔪(a')\big)+d_𝔪\big(a's_𝔪(a)\big)=s_𝔪(a')d_𝔪(a)+s_𝔪(a)d_𝔪(a').
$$
Ceci est équivalent à la formule de Leibniz car si $x∈𝔪/𝔪²$,
$ax=s_𝔪(a)x$.
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie telle que pour tout idéal premier $𝔭∈\Spec(A)$
on ait $𝔭²=𝔭$. Alors, $A$ est réduit.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $B$ un quotient de $A$. Tout idéal premier $𝔮$ de $B$
satisfait l'égalité $𝔮²=𝔮$ : cela résulte du fait que l'idéal
premier $𝔮$ se relève dans $A$ (\refext{Spec}{ideaux-quotients}).
D'après \ref{k-algebres-finies} (iii), l'algèbre $A$ est isomorphe
à un produit d'anneaux locaux, qui en sont des quotients.
Un produit d'anneaux réduit étant réduit, on peut donc
supposer $A$ \emph{local}. Or, d'après \emph{loc. cit.}
l'idéal maximal d'une $k$-algèbre finie locale est nilpotent.
S'il est de plus idempotent, comme on le suppose ici,
il est donc nul ; une telle algèbre est donc un corps, réduit.
\end{démo}

%Regarder démonstration du théorème de l'élément primitif dans Raynaud, Anneaux locaux
%hensélien, p.38 dans le cas d'un corps infini.

\subsection{Algèbres étales}

Dans ce paragraphe, on note $k$ un corps.

\begin{théorème2}\label{pot-diag=geom-red=f-net}
Soit $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est géométriquement réduite ;
\item la $k$-algèbre $A$ est formellement nette ;
\item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ;
\item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme
$A ⥲ A^{\vee}$ ;
\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

On remarquera que les trois premières conditions sont très semblables
aux conditions du corollaire \ref{pot-diag-reduit},
dont elles sont une extension au cas non monogène.

\begin{définition2}\label{etale}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre finie $A$ satisfaisant les conditions
du théorème précédent est dite \emph{étale}.
\end{définition2}

On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale.

\begin{définition2}\label{degre separable}
On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre
finie $A$ l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
\end{définition2}

Le fait que l'entier $♯ \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
est étale \ssi $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).

\begin{remarque2}[terminologique]
Il résulte du théorème précédent qu'une extension $k'\bo k$
qui est étale est séparable au sens de la définition \ref{element-extension-separable}. 
La réciproque est fausse car une extension algébrique séparable n'est pas
nécessairement finie. Ceci, joint au fait que
nous étendrons dans un chapitre ultérieur la notion
d'extension séparable au cas d'extensions non algébriques,
explique en partie pourquoi, contrairement à l'usage
le plus courant, nous préférons parler d'extension
étale plutôt que d'extension finie séparable.
\end{remarque2}


\begin{démo}
(i)⇒(ii) : évident. (ii)⇒(i). D'après \ref{sorites-pot-diagonalisable}, on peut supposer $k$ algébriquement
clos. Or, sur un tel corps, une algèbre finie réduite est diagonalisable (\ref{k-algebres-finies}).
(ii) ⇒ (iv) : cf. \ref{géométriquement réduite implique séparable}.
(iv)⇒(iii) : toute sous-algèbre monogène de $A$ est géométriquement
réduite donc (\ref{mono geom red ssi f-nette}) formellement nette.
On conclut par \ref{colim-nettes}. (iii)⇒(ii) :
cf. \ref{cb-nets} (réduction au cas d'un corps algébriquement clos) et \ref{net-implique-reduit}.
Démontrons enfin l'équivalence de (v) avec (i)-(iv). La condition (v) est invariante par extension
des scalaires : l'application $k$-linéaire $A→A^{\vee}$ déduite
de la trace $\Tr_{A\bo k}$ induit, par extension des scalaires de $k$ à $Ω$,
l'application $Ω$-linéaire $A_Ω→A_Ω^{\vee}$ déduit de la trace $\Tr_{A_Ω/Ω}$ (cf.
\ref{cb-trace}) ; cette correspondance préserve les isomorphismes
de sorte que l'on peut supposer $k$ algébriquement clos. Faisons dorénavant
cette hypothèse.
(i)⇒(v) : puisque $A$ est isomorphe à $k^n$, où $n=[A:k]$, la trace induit un isomorphisme
(cf. aussi \ref{trace-produit}). (v)⇒(i), puisque
la trace d'un endomorphisme nilpotent est nulle, on a
l'inclusion $\Nilp(A)⊆\Ker(A→A^\vee)$ de sorte que $A$ est réduite si
$A→A^{\vee}$ est un isomorphisme.
(vi) ⇔ (i) : mis pour mémoire (cf. \ref{sorites-pot-diagonalisable}).
\end{démo}

\begin{remarque2}
À titre d'illustration de l'intérêt d'un tel théorème,
signalons le fait suivant — qui sera généralisé en \ref{k(sep)=sep} —, qui n'est 
pas évident à partir de la définition d'un élément séparable : 
\begin{quote}
Soit $K\bo k$ une extension et soit $x∈K$ un élément algébrique, séparable sur $k$.
Alors l'\emph{extension} $k(x)$ est séparable : tout élément $y∈k(x)$ — \cad
tout polynôme en $x$ à coefficients dans $k$ — est racine d'un polynôme séparable
à coefficients dans $k$.
\end{quote}
En effet, par définition, la $k$-algèbre $k(x)≅k_{μ_{x,k}}$ est géométriquement
réduite, de sorte que d'après (ii)⇒(iv), tout élément de $k(x)$ est 
séparable sur $k$. (Le point clef est qu'une sous-$k$-algèbre
d'une $k$-algèbre géométriquement réduite est géométriquement 
réduite.)
\end{remarque2}

\begin{proposition2}\label{etale stable par sous-quotient etc.}
La propriété pour une $k$-algèbre sur un corps 
d'être étale est transitive et stable par quotient, 
sous-algèbre, produit tensoriel et extension des scalaires.
\end{proposition2}

On dit parfois que la propriété d'être une algèbre étale
est stable par « passage au \emph{sous-quotient} ». Cette expression,
bien commode, signifie que l'énoncé est vrai si l'on remplace 
« sous-quotient » par « sous-objet » ou « quotient ».

\begin{démo}
Transitivité : si $k$ un corps, $K\bo k$ une extension étale et $A\bo K$ une
algèbre étale, il résulte de \ref{composes-nets} et du théorème précédent
(critère (iii)) que $A\bo k$ est étale.

Stabilité par :
\begin{enumerate}
\item quotient : si une $B$ est un quotient
d'une $k$-algèbre $A$, le morphisme induit $A_Ω → B_Ω$ 
est également surjectif, comme il résulte immédiatement
de la définition \ref{définition restreinte produit tensoriel}.
La stabilité résulte de \ref{quotient diagonalisable}
et du critère (i) du théorème ci-dessus.
\item extension des scalaires : cf. \ref{cb-nets} et critère (iii).
\item sous-objet : cf. \ref{sous algebre geometriquement reduite} et
critère (ii) ou bien \ref{sous-quotient-diag=diag} (ii) et critère (i).
\item produit tensoriel : si $A$ et $B$ sont deux $k$-algèbres,
la $Ω$-algèbre $(A⊗_k B)⊗_k Ω$ est isomorphe à $A_Ω⊗_Ω B_Ω$.
(Ceci peut se voir par exemple sur les constantes de structure
de ces algèbres, relativement aux bases introduites
en \ref{constantes structure produit tensoriel} et
\ref{changement de base k-algèbre}, ou bien comme un cas
particulier de la distributivité du produit tensoriel,
cf. \refext{Tens}{distributivite-produit-tensoriel}).
On peut donc appliquer \ref{pdt tens diag=diag} et le critère (i)
du théorème précédent.
\end{enumerate}
\end{démo}

Enfin, par passage à la limite, la proposition précédente
a des conséquences en terme d'extensions algébriques (non
nécessairement finies) séparables.

\subsection{Sorites sur les extensions algébriques séparables}

\begin{proposition2}\label{sous-extension-etale}
Soient $k'\bo k$ et $k''\bo k'$ des extensions telles que
$k''\bo k$ soit algébrique séparable.
Alors $k''\bo k'$ et $k'\bo k$ sont algébriques séparables.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le fait que $k'\bo k$ soit séparable est trivial : tout élément
de $k'$ appartient à $k''$ donc est séparable sur $k$.
Soit $x∈k''$. Il est séparable sur $k$ donc sur $k'$
car si le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est sans facteur carré, le polynôme
$μ_{x,k'}$ --- qui le divise --- est également sans facteur carré.
\end{démo}

Réciproquement.

\begin{proposition2}
Si $k'\bo k$ et $k'' \bo k'$ sont deux extensions algébriques séparables.
l'extension $k''\bo k$ est également algébrique séparable.
\end{proposition2}

\begin{démo}
D'après \ref{algébrique sur algébrique=algébrique}, l'extension $k''\bo k$ est
algébrique. Il s'agit de vérifier que tout $x''∈k''$ est séparable sur $k$.
Soit $k'₀$ le sous-corps de $k ″$ engendrée sur $k ′$ par les coefficients
du polynôme séparable $f=μ_{x'',k'}∈k'[X]$.
Le polynôme $f$ est séparable de sorte que le corps $k'₀(x'')$,
isomorphe à ${k'₀}_{f}$, est étale sur $k'₀$.
D'autre part, $k'₀\bo k$ est également étale car elle est finie
et séparable d'après la proposition précédente. (Toute sous-extension d'une extension séparable
est séparable). D'après la proposition \ref{etale stable par sous-quotient etc.},
$k'₀(x'')\bo k$ est étale. En particulier, $x''$ est séparable sur $k$.
\end{démo}

À titre de curiosité, le lecteur pourra essayer de donner
une démonstration de ce fait directement à partir
de la définition \ref{element-extension-separable}.

Une extension composée étant un quotient du produit tensoriel,
la proposition \ref{etale stable par sous-quotient etc.}
a pour corollaire, dans le cas étale, le résultat suivant.

\begin{corollaire2}\label{compose-etale}
Soient $K₁\bo k$ et $K₂\bo k$ deux extensions étales (resp.
algébriques séparables).
Toute extension composée $K₁K₂\bo k$ est étale (resp. algébrique séparable). 
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Le cas algébrique séparable (non nécessairement fini)
résulte du cas général en observant que $K₁K₂$ est la réunion
des sous-corps $k₁k₂⊂K₁K₂$ où $k₁$ (resp. $k₂$) parcourt l'ensemble
des sous-$k$-extensions finies de $K₁$ (cf. \ref{extension-composee=colimite}).
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{k(sep)=sep}
Soit $K\bo k$ une extension engendrée par des éléments algébriques séparables sur
$k$. Alors $K\bo k$ est algébrique séparable sur $k$ : tout élément $x$ de $K$
est séparable sur $k$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
On peut supposer $K=k(y₁,…,y_n)$ où les éléments $y_i$ sont algébriques
séparables sur $k$. L'extension $K\bo k$ est alors une extension composée
de ses sous-$k$-extensions monogènes étales $k(y_i)$. 
La conclusion découle d'une récurrence immédiate s'appuyant sur le corollaire
précédent.
\end{démo}

Dans le langage des corps de décomposition, cela se traduit ainsi :

\begin{corollaire2}\label{dec-poly-sep=sep}
Soient $k$ un corps et $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes séparables.
Alors $\dec_k\big((f_i)_{i∈I})\big)\bo k$ est algébrique séparable.
\end{corollaire2}

Signalons la réciproque partielle :

\begin{lemme2}\label{dec(f)-sep=>f-red-separable}
Soient $k$ un corps et $f∈k[X]$ un polynôme sans facteur carré.
Si $\dec(f)\bo k$ est séparable, le polynôme $f$ est séparable.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Il faut montrer que chaque facteur irréductible $g$ de $f$ est séparable.
Comme $\dec(f)\bo k$ contient un corps de décomposition de $g$
et qu'une sous-extension d'une extension séparable est séparable,
on peut supposer $f$ irréductible.
La $k$-algèbre $k_f=k[X]/f$ est alors un corps, $k$-isomorphe à
un sous-corps de $\dec(f)$ (de façon non unique). Il en résulte que $k_f\bo k$
est étale (\ref{etale stable par sous-quotient etc.}) donc potentiellement diagonalisable.
Par définition (\ref{pot-diag-reduit}), $f$ est donc séparable.
\end{démo}

\subsection{Clôture séparable}

\begin{proposition2}\label{extension-algebrique-separable-maximale}
Soit $K\bo k$ une extension algébrique de corps.  L'ensemble $K_0$ des
éléments de $K$ séparables sur $k$ est une extension algébrique
séparable de $k$ : c'est la plus grande extension séparable de $k$
contenue dans $K$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soient $x,y∈K$ séparables sur $k$. L'extension composée $k(x,y)$ de
$k(x)$ et $k(y)$ dans $K$ est algébrique séparable sur $k$ d'après
\ref{compose-etale} de sorte que $x+y$, $xy$, et $x^{-1}$ si $x≠0$,
sont également séparables sur $k$. L'ensemble $K_0$ est donc un corps,
contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$, et toute extension
algébrique séparable de $k$ contenue dans $K$ est par définition
contenue dans $K_0$, de sorte que c'est bien la plus grande.
\end{proof}

\begin{définition2}
Un corps $K$ est dit \emph{séparablement clos} 
si toute extension étale de $K$ est triviale.
\end{définition2}

De façon équivalente, cela revient à supposer que tout polynôme 
\emph{séparable} à coefficient dans $K$ est scindé.

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
L'ensemble $Ω₀$ des éléments de $Ω$ séparables sur $k$ est 
un corps séparablement clos. De plus, c'est le seul 
sous-corps séparablement clos de $Ω$ contenant $k$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
D'après \ref{extension-algebrique-separable-maximale}, on sait que
$Ω₀$ est un corps contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$.
Si $z∈Ω$ est séparable sur $Ω₀$, il est séparable sur une sous-$k$-extension
\emph{étale} $k'$ de $Ω₀$, par exemple le corps
engendré sur $k$ par les coefficients du polynôme
$μ_{z,Ω₀}$. Les extensions $k'\bo k$ et $k'(z)\bo k'$
étant étales, il en est de même de l'extension
$k'(z)\bo k$ (\ref{etale stable par sous-quotient etc.}, transitivité).
Ainsi, $z∈k'(z)$ est séparable sur $k$ donc $z∈Ω₀$.
Ceci achève la démonstration du premier point.
Enfin, si $Ω₀'$ est un sous-corps séparablement clos
de $Ω$ contenant $k$, il contient tous les éléments séparables
sur $k$, donc $Ω₀$. L'extension $Ω₀'\bo Ω₀$ étant algébrique
séparable (\ref{sous-extension-etale}), 
on a donc $Ω₀'=Ω₀$. 
\end{démo}

\begin{definition2}
On appelle \emph{clôture séparable} d'un corps $k$
toute extension algébrique séparable $K\bo k$ 
telle que $K$ soit séparablement clos.
\end{definition2}

\begin{corollaire2}
Tout corps a une clôture séparable. Deux clôtures
séparables d'un corps $k$ sont $k$-isomorphes.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Existence. Elle résulte de la proposition précédente
et du théorème de Steinitz.
Unicité. Soient $K$ et $K'$ deux clôtures 
séparables d'un corps $k$. Si $Ω$ est une clôture
algébrique de $k$, il existe des $k$-plongements
$u$ et $v$ de $K$ et $K'$ dans $Ω$ car ces extensions
sont algébriques (lemme de prolongement
des plongements, \ref{plongement-dans-cloture-algebrique}). 
D'autre part, leurs images dans $Ω$ sont séparablement closes et contiennent $k$ :
elles coïncident donc avec l'unique clôture séparable
$Ω₀$ de $k$ dans $Ω$. L'existence de $k$-isomorphismes
$u:K ⥲  Ω₀$ et $v:K' ⥲ Ω₀$ permet de conclure.
\end{démo}

\begin{remarque2}
On aurait également pu observer qu'une clôture séparable
est un corps de décomposition de l'ensemble
des polynômes séparables — ce qui démontre
l'existence d'une clôture séparable —
et utiliser l'unicité à $k$-isomorphisme
près de tels corps de décomposition 
(\ref{unicite-extension-decomposition}).
\end{remarque2}

\begin{convention2}
Étant donné un corps $k$, nous noterons
parfois $k\alg$ une clôture algébrique
et $k\sep$ une clôture séparable.
Cette notation, quoique commode, tend à faire
oublier qu'un \emph{choix} qui a été fait.
Pour cette raison, nous noterons aussi souvent
$Ω$ l'un ou l'autre de tels sur-corps, en précisant
à chaque fois l'hypothèse faite sur $Ω$.
\end{convention2}

\subsection{Corps parfait}

\begin{définition2}\label{corps-parfait}
Un corps $k$ est dit \emph{parfait} si toute extension
finie de $k$ est étale.
\end{définition2}

Comme on l'a vu, cela revient à supposer que tout polynôme
irréductible de $k[X]$ est séparable.

On rappelle que l'\emph{exposant caractéristique} d'un corps $k$
est l'entier supérieur ou égal à un, valant $1$ si $\car k= 0$
et $\car k$ sinon.

\begin{proposition2}\label{sorite-parfait}
Soit $k$ un corps d'exposant caractéristique $p$. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $k$ est parfait ;
\item $k=k^p$.
\end{enumerate}
En particulier, les corps de caractéristique nulle et les corps finis
sont parfaits.
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i)⇒(ii). On peut supposer $p>1$, c'est-à-dire $k$ de caractéristique non nulle
sans quoi il n'y a rien à démontrer. Supposons par l'absurde qu'il existe un élément $a∈k-k^p$.
Le polynôme $f=X^p-a$ est alors irréductible sur $k$ :
si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $p$-ième de $a$ dans $Ω$,
on a $f=(X-α)^p$ dans $Ω[X]$. Ses diviseurs unitaires dans $k[X]$ sont donc de la forme
$(X-α)^i$ pour un entier $i$ convenable. Le coefficient sous-dominant,
c'est-à-dire le coefficient de $X^{i-1}$, d'un tel polynôme est égal à $-iα$,
qui n'appartient à $k$ que pour $i=0$ et $i=p$. Ce démontre que $f$ est
irréductible. D'autre part, puisque $f'=0$, $f$ n'est pas séparable et
le corps $k_f=k[α]$ n'est pas étale sur $k$. Contradiction.
(ii)⇒(i). On a déjà vu en \ref{separable-irreductible} que
tout polynôme irréductible est séparable lorsque $k$ est de caractéristique
nulle, c'est-à-dire lorsque $p=1$. Supposons donc $p>1$ premier, c'est-à-dire
$k$ de caractéristique strictement positive.
La condition $k=k^p$ entraîne l'égalité $k[X^p]=(k[X])^p$
de sorte que la condition $f∉k[X^p]$ de \ref{separable-irreductible}
est satisfaite pour tout polynôme irréductible de $k[X]$.

Il résulte du critère (ii) que tout corps fini est parfait : le morphisme
de Frobenius $x\mapsto x^p$ d'un corps de caractéristique $p$ étant injectif,
il est bijectif si ce corps est fini.
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{caractérisation extension radicielle}
Soient $k$ un corps d'exposant caractéristique $p$ et $K\bo k$
une extension algébrique. Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item toute sous-extension séparable $k'\bo k$ de $K\bo k$ est triviale.
\item pour tout $x∈K$, il existe un entier $e≥1$ tel que $x^{p^e}∈k$.
\item pour toute clôture algébrique $Ω$ de $k$, l'ensemble $\Hom_k(K,Ω)$
est un singleton.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

On dit alors que l'extension $K \bo k$ est \emph{radicielle}\index{radicielle}
ou bien \emph{purement inséparable}. Ces extensions seront étudiées plus en
détail dans le chapitre \refext{RT}{}.

Lorsque $K\bo k$ est finie, la condition (iii) signifie que
le degré séparable $[K:k]_s$ est égal à un.

\begin{démo}
Nous avons vu ci-dessus qu'en caractéristique nulle toute extension
algébrique est séparable. La proposition est donc triviale dans ce cas.
Supposons donc $k$ de caractéristique non nulle, c'est-à-dire $p=\car k>1$.

(i) ⇒ (ii). Soit $x$ un élément de $K$ et soit $μ$ son polynôme minimal
sur $k$. Il existe un plus grand entier $e ≥ 0$ tel que $μ$ appartienne
à $k[X^{p^e}]$. En d'autres termes, $μ=f(X^{p^e})$ où $f$ n'appartient
pas à $k[X^p]$. Le polynôme $μ$ étant irréductible, il en est de même de $f$.
D'après \ref{separable-irreductible}, le polynôme $f$ est même séparable.
L'élément $x^{p^e}$ de $K$, en étant une racine, est donc séparable sur $k$.
L'hypothèse montre que $x^{p^e}$ appartient alors à $k$. CQFD.

(ii) ⇒ (i). Soit $x ∈ K$ un élément séparable sur $k$. On souhaite montrer qu'il
appartient à $k$. Par hypothèse, il existe un entier $e$
tel que $x^{p^e}$ appartienne à $k$ ou, de façon équivalente,
le polynôme $f_e=X^{p^e}-x^{p^e}$ appartienne à $k$. Le polynôme minimal
$μ$ de $x$ sur $k$ divise donc le polynôme $f_e$. La décomposition $f_e=(X-x)^{p^e}$ dans
$K[X]$ montre que $μ$ est une puissance $X-x$ appartenant à $k[X]$. En
conséquence, le polynôme $μ$ n'est à racines simples dans $K$ — condition qui est nécessaire
à sa séparabilité — que s'il est égal à $X-x$, c'est-à-dire si $x$ appartient
à $k$. CQFD.
(ii) ⇒ (iii). On sait qu'il existe au moins un $k$-morphisme de $K$ dans $Ω$.
Montrons qu'il est unique. Soit $x$ un élément de $K$ et soit $ι:K ↪ Ω$ un $k$-plongement.
L'image de $x$ par $ι$ est l'unique racine $p^e$-ième de l'élément $x^{p^e}$
de $k$ dans $Ω$. L'unicité en résulte.
(iii) ⇒ (i). Supposons par l'absurde qu'il existe une sous-extension étale $k ′\bo k$ de $K\bo k$
et fixons une clôture algébrique $Ω$ de $k$. L'égalité entre le cardinal
de $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ et la dimension $[k ′ : k]$ montre
que l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ n'est pas réduit à un
singleton. D'après le lemme de prolongement des plongements,
l'application de restriction $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω) → \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$
est surjective. En particulier $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω)$ n'est pas un
singleton. Contradiction.
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{extension-finie-parfait}
Soit $k$ un corps parfait. Toute extension finie de $k$ est
un corps parfait.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cela résulte immédiatement de \ref{sous-extension-etale}.
(Voir \refext{RT}{invariance-p-rang} pour 
une généralisation de cet énoncé.)
\end{démo}

\begin{remarque2}
Dans un chapitre ultérieur, nous verrons que tout corps est contenu
dans un corps parfait algébrique sur $k$ minimal 
pour cette propriété et que deux tels corps sont $k$-isomorphes
(existence et unicité de la « clôture parfaite »).
\end{remarque2}

\section{Le théorème de l'élément primitif}

\subsection{Un résultat de finitude}

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre étale. L'ensemble
des sous-$k$-algèbres de $A$ est \emph{fini}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Il résulte du lemme ci-dessous, appliqué à une clôture algébrique
$Ω$ de $k$, que si $B$ et $B'$ sont deux sous-$k$-algèbres
de $A$ dont les images respectives $B_Ω$ et $B'_Ω$ dans $A_Ω$ coïncident, alors $B=B'$.
(Rappelons que les applications $B_Ω→A_Ω$ et $B'_Ω→A_Ω$ sont injectives, cf.
\ref{changement de base k-algèbre}.)
On peut alors utiliser \ref{sous-quotient-diag=diag} (ii).
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soient $V$ un $k$-espace vectoriel et $K\bo k$ une extension.
Pour tout sous-$k$-espace vectoriel $W$ de $V$, l'inclusion
\emph{a priori} $W⊆W_K∩(V⊗1)$ dans $V_K$ est une égalité.
\end{lemme2}

Il est d'usage de noter $V$ plutôt que $V⊗1$ l'image de $V$
dans $V_K=V⊗_k K$ par l'application $k$-linéaire $v↦v⊗1$.

\begin{démo}
Soient $(e_i)_{i∈I}$ une $k$-base de $V$ telle que $(e_j)_{j∈J}$,
où $J$ est une partie de $I$, soit une $k$-base de $W$.
Notons $e'_i=e_i⊗1$ la $K$-base de $V$ qui s'en déduit
(\ref{changement de base k-algèbre}).
Tout élément $w'$ de $W_K$ s'écrit de façon unique
comme une combinaison linéaire $∑_{j∈J} λ'_j e'_j$, où les $λ'_j$ appartiennent à $k'$,
et tout élément $v$ de $V⊗1$ s'écrit de façon unique
comme une combinaison linéaire $∑_{i∈I} λ_i e'_i$, où les $λ_i$ appartiennent à $k$.
Si $w'=v$, il résulte du fait que $(e'_i)_i$ soit une $k'$-base
que :

(1) $λ_i=0$ pour $i∉I$

(2) $λ'_j=λ_i∈k$ pour $j∈J$.

En d'autres termes, $w'$ appartient à $W$. CQFD.
\end{démo}

%\begin{facultatif}
\begin{remarque2}On peut obtenir une seconde
démonstration de l'implication « $B_Ω=B'_Ω$ entraîne $B=B'$ »
utilisée ci-dessus de la façon suivante.
Quitte à considérer la sous-$k$-algèbre de $A$ engendrée par $B$ et $B'$,
on peut supposer que l'on a une inclusion $B⊆B'$. (On suppose
bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte
immédiatement de la définition donnée en \ref{section définition restreinte
produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$
est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}).
Il est donc nul \ssi $B'/B$ l'est, \cad si $B=B'$.
\end{remarque2}
%\end{facultatif}

En particulier, si $K\bo k$ est une étale,
elle n'a qu'un nombre fini de sous-extensions.

\subsection{Énoncé et démonstration du théorème}

\begin{theoreme2}\label{element-primitif}
Soit $K\bo k$ une extension de corps. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item le corps $K$ est une $k$-algèbre monogène ;
\item il n'existe qu'un nombre fini de sous-extensions de $K\bo k$.
\end{enumerate}
Ces conditions sont satisfaites si $K\bo k$ est étale, donc en particulier si $K\bo k$
est finie et $k$ parfait.
\end{theoreme2}

Remarquons que dans l'énoncé ne suppose pas l'extension $K\bo k$ finie \emph{a priori}.
Cependant, si $K$ est monogène sur $k$, \cad $K=k[x]$ pour un $x∈K$,
$x$ est nécessairement algébrique sur $k$ car dans le cas contraire $K$ serait
isomorphe à l'anneau de polynômes $k[X]$ qui n'est pas un corps.

\begin{démo}
(ii) entraîne (i).
Remarquons que l'extension $K\bo k$ est nécessairement algébrique : si $t$ était
un élément transcendant sur $k$, c'est-à-dire non algébrique sur $k$,
les sous-extensions $k(t^n)$, $n∈𝐍$ seraient toutes distinctes.

Si $k$ est infini, l'ensemble \emph{fini} des sous-$k$-extensions strictes
de $K$ ne recouvre pas $K$, d'après un lemme général
d'algèbre linéaire : un espace vectoriel sur un corps infini
n'est pas réunion finie de sous-espaces vectoriels stricts (cf. p. ex. \ref{} \XXX). 
Il existe donc un élément $x$ de $K$ n'appartenant
à aucune sous-$k$-extension stricte : on a donc $k[x]=K$.

Si $k$ est fini, $K$ est également fini sans quoi on pourrait produire une suite 
strictement croissante de sous-extensions. Dans ce cas, $K^×$ est
cyclique (\refext{Fin}{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}) ce qui 
force $K$ à être monogène sur le corps premier donc \emph{a fortiori} sur $k$.

(i) entraîne (ii)
Soit $x∈K$ tel que $k(x)=K$ et notons $f$ son polynôme minimal sur $k$.
Considérons une sous-$k$-extension $k'$ de $K$. On a donc l'égalité $k'(x)=K$.
Notons $g=μ_{x,k'}$ le polynôme minimal de $x$ sur $k'$ ;
c'est un diviseur de $f$ dans $k'[X]$ donc dans $K[X]$.
Soit $c$ le sous-corps engendré par les coefficients de $g$ ; il
est contenu dans $k'$. Comme $g(x)=0$ et
$K=c[x]$, on a l'inégalité $[K:c]≤\deg g$. Comme d'autre part
on a l'égalité $[K:k']=\deg g$, on a nécessairement $k'=c$. En particulier,
le corps $k ′$ est caractérisé par le polynôme $g$ : c'est le corps
engendré sur $k$ par ses coefficients. Les polynômes unitaires
diviseurs de $f∈K[X]$ étant en nombre fini, le résultat en découle.
\end{démo}

\begin{remarques2}
Dans l'esprit de ce chapitre, il est tentant d'essayer de donner une
démonstration du théorème par « extension des scalaires », \cad par tensorisation avec une
clôture algébrique de $k$.
On observera cependant que la $k$-algèbre \emph{monogène} $k[X]/X^4$ possède
de nombreuses sous-$k$-algèbres ; par exemple les $k+k(X²+α X³)$ pour
$α∈k$.

Enfin, si $p$ est un nombre premier, on vérifie dans difficulté
que l'extension $\FF_p(X^{\frac{1}{p}},Y^{\frac{1}{p}})$ de $\FF_p(X,Y)$
n'est pas monogène : elle est de degré $p²$ (exercice)
mais pour tout élément $f∈\FF_p(X^{\frac{1}{p}},Y^{\frac{1}{p}})$, $f^p∈\FF_p(X,Y)$
de sorte que toute sous-extension monogène est de degré divisant $p$.
\end{remarques2}

\begin{remarque2}\label{element-primitif-corps-infini}
Si $k$ est infini, on peut être plus précis dans la démonstration
de (ii)⇒(i) : si $K=k(x,y)$ est une extension algébrique de $k$ satisfaisant
à l'hypothèse (ii) ci-dessus, il existe deux scalaires $λ≠μ$ dans $k$ tels que l'on ait l'égalité
des sous-corps $k(x+λ y)$ et $k(x+μ y)$. Notons $k ′ $ ce corps. Par
construction l'élément $(λ-μ)y$ ainsi donc que $y$ et
$x$, que l'on peut écrire sous la forme $(x+λ y)-λ y$.
Ainsi on a l'égalité $k'=K$ et $K$ est monogène.
Par récurrence on en tire que si $k$ est infini, et que
$x₀,\dots,x_n$ engendrent une extension $K$ \emph{étale} sur $k$,
il existe des éléments $α₁,\cdots,α_n∈ k$ tels que $K=k(x₀+α₁ x₁+\cdots+α_n x_n)$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}Seconde démonstration du théorème par la méthode de Kronecker
dans le cas d'un corps infini. (Zariski-Samuel, vol. I, p. 84). [peut-être intéressant d'un point
de vue algorithmique] \XXX

\section{Notes}
Si l'usage systématique du produit tensoriel dans l'étude des extensions de corps
s'est avéré extrêmement fécond depuis le début du XXe siècle, seuls Bourbaki []
et Douady-Douady [] l'exposent dans un ouvrage didactique. S'il est vrai
que cette approche suppose du lecteur un plus grand effort initial, elle est
d'une grande souplesse et s'avère être un guide utile pour l'étude générale
des anneaux commutatifs. Depuis Alexandre Grothendieck, la propriété « $A\bo k$ est
étale » est vue comme un analogue algébrique de la propriété
topologique d'être un \emph{revêtement} :
dans un cas une algèbre $A$ contenant $k$ devient, en tensorisant avec $Ω$, une somme directe
de copies de $Ω$ ; dans l'autre, un espace topologique $X$ au-dessus de $Y$ 
devient, en se restreignant à un ouvert $V$ de $Y$ suffisamment petit,
une union disjointe de copies de $V$. 

C'est dans le cadre des \emph{topos} que Grothendieck,
élargissant considérablement la notion de topologie, fait 
de cette analogie formelle les deux facettes d'un procédé
général dit de \emph{localisation}. 

%Géo diff aussi (jacobienne etc.) : cf. (f,f')

\section{Exercices}

\begin{exercice}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $3$ classes d'isomorphisme
de $𝐑$-algèbres de rang $2$.
\item Montrer qu'il existe $5$ classes d'isomorphisme
de $𝐑$-algèbres de rang $2$
\item Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de
dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en
dimension quatre.
\end{exercice}

% esquisse solution en rang $3$ sur $𝐑$.
%Comme une telle algèbre·$A$ est un produit d'algèbres locales,
%OPS·$A$ locale. Si le corps résiduel est·$𝐂$, $A=𝐂$ car
%elle contient un sous-corps isomorphe à son corps résiduel
%(Bourbaki, AC·Ⅸ). Si le corps résiduel est·$𝐑$ et·$𝔪$ est l'idéal
%maximal (supposé non nul sans quoi $A=𝐑$),
%on a soit $\dim(A)=2$ soit $\dim(A)=3$. 
%Le premier cas est trivial·: $A=𝐑[X]/(X²)$ (par
%exemple parce que·$A$ est monogène). Dans le second
%cas on a $𝔪 ∕ 𝔪²$ de dimension·$2$ ou·$1$. Dans le premier
%cas, $𝔪²=0$ et si $x,y$ engendrent·$𝔪$ modulo·$𝔪²$,
%on a $A=𝐑 ⊕ 𝐑x ⊕ 𝐑y$ avec $xy=x²=y²=0$ d'où 
%$A=𝐑[X,Y]/(X,Y)²$. Dans le second cas, si·$x$
%engendre·$𝔪$ modulo $𝔪²$, tout·$y$ est de
%la forme $a + bx + (𝔪²)$ et finalement
%$A=𝐑 ⊕ 𝐑x ⊕ 𝐑x²$ d'où $A=𝐑[X]/(X³)$.
%Les cinq classes d'isomorphisme
%sont donc
%\[𝐑³,𝐑[X]/X² × 𝐑, 𝐑× 𝐂, 𝐑[X]/X³, 𝐑[X,Y]/(X,Y)².\]

\begin{exercice}
Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une
infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$.
\end{exercice}

\begin{démo}
Cf. Poonen \XXX
\end{démo}

\begin{exercice}%\label{structure-algebres-finies}
Soit $k$ un corps. Dans cet exercice, on démontre
sans faire appel à la notion d'anneau connexe que
toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales},
dont l'idéal maximal est nilpotent. Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
\begin{enumerate}
\item Soient $𝔪₁,\dots,𝔪_n$ les idéaux maximaux de $A$.
Montrer que le nilradical $\Nilp(A)=𝔪₁∩\dots∩𝔪_n$ de $A$
coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$.
\item Montrer qu'il existe $N ∈ 𝐍$ tel que $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$.
\item En déduire que le morphisme canonique $A→∏_i A/𝔪_i^N$ est un isomorphisme.
\item Vérifier que chaque anneau $A/𝔪_i^N$ est local.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}\label{algebres finies via idempotents}
Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable
(\refext{Spec}{idempotent indécomposable}) $e$ de $A$
associe l'idéal annulateur $𝔭_e=\Ann(e)$ induit une bijection
entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$.
(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker(m_e:A→A)$.)
\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$,
$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et
$μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$.
\end{exercice}

\begin{exercice}\label{utilisation matrices compagnons}
Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps}
inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}.
On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux
adéquats.
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$.
\item Soit $L=\QQ[X]/(P)$ l'extension de degré $3$ de $𝐐$ correspondante.
Montrer que si $x$ désigne la classe de $X$ dans $L$, on a l'égalité $𝐐(x)=𝐐(x²)$
dans $L$ et exprimer $x$ comme un polynôme en $x²$.
\item Montrer que $P$ possède une unique racine réelle,
qui est un \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
\footnote{On appelle \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} \index{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers
dont les autres racines sont des nombres complexes de module
strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle
\[
√[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}+
√[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}√{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
\]
(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
nombre de Pisot.}.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que
l'anneau $K⊗_k K$ est un corps \ssi $k=K$.
\end{exercice}

\begin{exercice}\label{non unicite composition}
Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme
irréductible. À quelle condition sur $f$
les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles
toutes $k$-isomorphes ?
(On verra plus tard une caractérisation des extensions finies $K\bo k$
pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est 
$k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale},
(v)).)
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation
de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ? 
\end{exercice}

\begin{exercice}%Difficile à ce niveau là.
Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que
tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$
est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de
$k$.)
% OPS $k$ parfait. Soit $f$ polynôme à coefficients dans $k$, $R$ ses racines
% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$.
% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$.
\end{exercice}

\begin{exercice}[Théorème de d'Alembert-Gauß]
\begin{enumerate}
\item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$.
Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$
tels que $|f(z)|<1$.
\item Montrer que $|f(z)|→+∞$ quand $|z|→+∞$.
\item En déduire que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet
un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est 
nul.)
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles.
\end{exercice}

\begin{exercice}[Analogue algébrique de la notion d'immersion]
\begin{enumerate}
\item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que
$A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$
de $T$ et tout $k$-morphisme $A→T₀=T/I$, il existe au plus un $k$-relèvement
$A→T$.

\item Soient $k$ un anneau et $f∈k[X₁,\dots,X_n]$. Posons
$k_f=k[X₁,\dots,X_n]/f$.
Montrer que le carré

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
\overline{φ} & φ \\
\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k)& \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k[ε])\\
\{x=(x₁,\dots,x_n)∈k^n:f(x)=0\} & \{(x,v)∈k^n×k^n:f(x+vε)=f(x)+⟨v,∇_x f⟩=0\}\\
x & (x,v)
 \\};
\draw[<-|] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
\draw[<-] (diag-2-1) --  (diag-2-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{∼} (diag-3-1);
\draw[->] (diag-2-2) -- node{∼} (diag-3-2);
\draw[<-] (diag-3-1) --  (diag-3-2);
\draw[<-|] (diag-4-1) --  (diag-4-2);
%\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\in$} (diag-2-1);
\end{tikzpicture}
\end{center}
où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$, est commutatif.
\item En déduire que si $k_f$ est formellement nette
sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$, 
nécessairement $f'(x)∈k^×$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module.
Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre 
suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$.
L'unité de $M[ε]$ est $1_A⊕0_M$. On a un morphisme
naturel, dit d'\emph{augmentation}, $M[ε]→A$
de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$.
\begin{enumerate}
\item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées
vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$.
\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire
$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
\end{enumerate}
\end{exercice}





\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi