%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined \documentclass[a4paper,9pt]{amsart} \input{../config/preambule} \input{../config/macros} \title{Notions sur les groupes de permutations} \externaldocument{correspondance-galois} \externaldocument{exemples-galois} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \else \chapter{Notions sur les groupes de permutations} \begingroup \fi \section{Étude des sous-groupes primitifs de $\mathfrak{S}_n$} \subsection{Généralités} \begin{definition2} On appelle \emph{groupe de permutations} sur $n$ objets (ou \emph{de degré $n$}) un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ sur $n$ objets, considéré à conjugaison près dans $\mathfrak{S}_n$. De façon équivalente, un groupe de permutations sur $n$ objets est un groupe muni d'une action fidèle sur un ensemble de $n$ objets (généralement identifiés à $\{1,\ldots,n\}$), la notion d'isomorphisme considéré étant celle des ensembles munis d'une action de groupe. \end{definition2} \begin{definition2}\label{definitions-groupes-de-permutations} Un groupe de permutation $G$ de degré $n$ est dit : \begin{itemize} \item\emph{transitif} lorsque l'action sur les $n$ objets est transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il existe $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$) ; \item\emph{régulier} lorsque les $n$ objets forment un espace principal homogène, c'est-à-dire lorsque l'action est simplement transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il existe un unique $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$, ou de façon équivalente, lorsque $G$ est transitif et que le stabilisateur d'un point est trivial) ; \item\emph{primitif} lorsque $G$ est transitif et que les seules partitions $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservées par $G$ (au sens que si $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma \in G$ alors $\sigma(B) \in \mathscr{B}$) sont $\mathscr{B} = \{\{1,\ldots,n\}\}$ et $\mathscr{B} = \{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ ; \item\emph{$k$-transitif} (pour $1 \leq k \leq n$) lorsque l'action sur les $k$-uplets d'éléments deux-à-deux distincts de $\{1,\ldots,n\}$ est transitive, autrement dit si $(i_1,\ldots,i_k)$ sont deux-à-deux distincts et $(j_1,\ldots,j_k)$ de même, alors il existe $\sigma\in G$ tel que $j_t = \sigma(i_t)$ pour tout $t$. \end{itemize} Une partition $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservée par $G$ (dans le sens précisé après la définition de « primitif » ci-dessus) s'appelle un \emph{système de blocs} pour $G$, et il est dit trivial lorsque $\mathscr{B}$ est $ \{\{1,\ldots,n\}\}$ ou $\{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ : ainsi, un groupe de permutations transitif est dit primitif lorsqu'il n'admet pas de système de blocs non-trivial. \end{definition2} Toutes ces définitions sont faites pour un groupe de permutations, mais on se permettra, bien sûr, de les appliquer à une action de groupe (au moins une action fidèle, et parfois même quand elle ne l'est pas) pour dire que le groupe de permutations que cette action définit a la propriété correspondante : par exemple, on dit qu'un groupe $G$ opère primitivement sur un ensemble fini $X$ lorsque le sous-groupe de $\mathfrak{S}(X)$ image de $G$ par l'action en question est primitif, autrement dit lorsque $X$ n'admet pas de système de blocs non-trivial pour cette action. \begin{remarques2}\label{remarques-idiotes-groupes-de-permutations} \begin{itemize} \item Un groupe de permutations $k$-transitif est $\ell$-transitif pour tout $\ell\leq k$ (et « transitif » signifie « $1$-transitif »). \item Un groupe de permutations ne préservant aucune partition de $\{1,\ldots,n\}$ est nécessairement transitif, donc primitif (car la décomposition en orbites forme un système de blocs, qui n'est trivial que pour une action transitive ou bien une action triviale), à la seule exception de l'action triviale sur $n=2$ éléments, qui ne préserve aucune partition non triviale mais n'est néanmoins pas primitive par convention. \item Les blocs (c'est-à-dire les éléments de $\mathscr{B}$) d'un système de blocs pour un groupe de permutations $G$ forment eux-mêmes un $G$-ensemble sous l'action de $G$ (en définissant pour $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma\in G$ l'action $\sigma B$ comme l'image $\sigma(B)$ de $B$ par $\sigma$). Lorsque $G$ opère transitivement sur les objets, il opère aussi transitivement sur les blocs, qui sont donc tous de même cardinal. \item Si $n$ est premier, tout groupe de permutations transitif de degré $n$ est primitif (puisqu'on vient d'expliquer que les blocs d'un système de blocs sont tous de même cardinal). C'est-à-dire que, dans ce cas, « transitif » et « primitif » sont équivalents. \item On rappelle que si $G$ est un groupe de permutations transitif, alors les stabilisateurs des éléments de $\{1,\ldots,n\}$ sont conjugués dans $G$. Si $U$ est le stabilisateur d'un point $i$, alors le $G$-ensemble $\{1,\ldots,n\}$ est isomorphe au $G$-ensemble $G/U$ des classes à gauche de $U$ dans $G$ (sur lequel $G$ opère par multiplication à gauche), en particulier $U$ est d'indice $n$ dans $G$. Par ailleurs, $G$ est $k$-transitif (pour $k\geq 2$) lorsque $U$ est $(k-1)$-transitif sur les $n-1$ points restants $\{1,\ldots,n\}\setminus\{i\}$. \item En particulier, dire qu'un groupe de permutations $G$ est régulier signifie que l'action de $G$ sur les objets est isomorphe à l'action de $G$ sur lui-même par multiplication à gauche. En particulier, dans ce cas, le degré $n$ (le nombre d'objets) est égal à l'ordre $\#G$ du groupe. \end{itemize} \end{remarques2} \begin{proposition2} Un groupe de permutations $2$-transitif est primitif. \end{proposition2} \begin{proof} Supposons par l'absurde qu'il existe un système de blocs $\mathscr{B}$ non-trivial pour $G$. Alors il existe dans $\mathscr{B}$ deux blocs $B,B' \in \mathscr{B}$ distincts, et les blocs (qui ont tous le même cardinal) ne peuvent pas être des singletons donc il existe $x,x''\in B$. Si $x' \in B'$, l'action de $G$ ne peut pas envoyer le couple $(x,x'')$ sur $(x,x')$ (car $x,x''$ appartiennent au même bloc $B$, ce qui n'est pas le cas de $x,x'$). \end{proof} \begin{exemples2}\label{exemples-groupes-de-permutations} \begin{itemize} \item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ tout entier est un groupe de permutations de degré $n$ : il est $n$-transitif (et c'est manifestement le seul groupe de permutations $n$-transitif de degré $n$) et, en particulier, primitif. Il n'est pas régulier (dès que $n \geq 3$). \item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est un groupe de permutations de degré $n$ : il est $(n-2)$-transitif si $n\geq 3$ et, en particulier, primitif si $n\geq 4$. Il n'est pas régulier (dès que $n \geq 4$). \item L'action à gauche d'un groupe fini $G$ sur lui-même définit un groupe de permutations régulier (de degré $\#G$, donc). Dès que $G$ admet un sous-groupe $U$ non-trivial (autrement dit, dès que $G$ n'est pas cyclique d'ordre premier), le système de blocs $\mathscr{B} = \{gU : g\in G\}$ montre que ce groupe de permutations n'est pas primitif (et réciproquement, si $G$ est cyclique d'ordre premier, il est clair que l'action régulière est primitive). \item Si $U$ est un sous-groupe d'un groupe fini $G$, l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $G$, sous l'action de $G$ par multiplication à gauche, définit un groupe de permutations transitif dont le degré est l'indice de $U$ dans $G$, dès lors que le cœur normal de $U$, c'est-à-dire l'intersection $N = \bigcap_{\sigma\in G} \sigma U \sigma^{-1}$ des conjugués de $U$, est trivial (lorsque ce n'est pas le cas, $N$ est le noyau de l'action sur les clases à gauche, et alors $G/N$ sera un groupe de permutations transitif en opérant sur les classes à gauche de $U/N$). Autrement dit, la donnée d'un groupe de permutations transitif équivaut à celle de la donnée d'un groupe fini $G$ et d'une classe de conjugaison de sous-groupes ne contenant aucun sous-groupe distingué de $G$. \item Si $\FF$ est un corps fini, l'action du groupe $\PGL_2(\FF)$ sur $\PP^1(\FF)$ est $3$-transitive (et, en particulier, primitive), car trois points distincts quelconques de $\PP^1(\FF)$ peuvent être envoyés sur $0,\infty,1$ par l'action d'un élément de $\PGL_2(\FF)$ (qui est alors uniquement déterminé). Par ailleurs, pour tout $n \geq 2$, l'action de $\PGL_n(\FF)$ sur $\PP^{n-1}(\FF)$ est $2$-transitive (car deux points distincts quelconques de $\PP^{n-1}(\FF)$ peuvent être complétés en une base projective de ce dernier, et $\PGL_n(\FF)$ opère de façon simplement transitive sur ces dernières). \XXX donner une référence pour les définitions. \end{itemize} \end{exemples2} \begin{definition2} Si $\mathscr{B}$ est un système de blocs pour un groupe de permutations transitif $G$, l'action de $G$ sur $\mathscr{B}$ donnée par $\sigma B = \sigma(B)$ (cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}) est appelée l'\emph{action sur les blocs}, le noyau $N = \bigcap_{\sigma\in G} \sigma U \sigma^{-1}$, où $U = \Stab_G(B)$ est le stabilisateur d'un bloc quelconque, est appelé le \emph{groupe de base} de $G$ pour le système de blocs $\mathscr{B}$, et si $N = \{1\}$, on dit que le groupe de permutations $G$ est une \emph{inflation} du groupe de permutations (isomorphe à $G$ comme groupe abstrait) défini par l'action sur les blocs (l'hypothèse $N=\{1\}$ signifiant justement que cette action est fidèle). \end{definition2} \begin{proposition2} Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $U$ le stabilisateur d'un point. Si $V$ est un sous-groupe quelconque de $U$, alors l'action de $G$ par multiplication à gauche sur les classes à gauche de $V$ est fidèle et transitive, et admet le système de blocs $\mathscr{B} = \{\{guV : u\in U\} : g\in G\}$ ; le groupe de permutations ainsi défini est une inflation de $G$. \end{proposition2} \begin{proof} Le fait que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ soit transitive est trivial, et le fait qu'elle soit fidèle résulte du fait qu'elle l'est déjà pour $U$ (on a $\bigcap_{\sigma\in G} \sigma V \sigma^{-1} \subseteq \bigcap_{\sigma\in G} \sigma U \sigma^{-1}$). Si les ensembles $\{guV : u\in U\}$ et $\{g'uV : u\in U\}$ s'intersectent, alors $guV = g'u'V$ pour certains $u,u'\in U$, auquel cas $gU = g'U$, et réciproquement lorsque $gU = g'U$ alors $\{guV : u\in U\} = \{g'uV : u\in U\}$ : l'ensemble $\mathscr{B}$ forme donc bien une partition de $G/V$, qui est visiblement un système de blocs, et le stabilisateur du bloc $\{uV : u\in U\}$ est $U$, ce qui montre tout ce qui était annoncé. \end{proof} \begin{proposition2}\label{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal} Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $V$ le stabilisateur d'un point. Alors $G$ est primitif si et seulement si $V$ est un sous-groupe maximal de $G$ (c'est-à-dire, qu'il n'existe pas de sous-groupe strictement compris entre $V$ et $G$ pour l'inclusion). \end{proposition2} \begin{proof} Pour simplifier les notations, on peut supposer qu'on a affaire à l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$. Si $V$ n'est pas maximal et si $U$ est un sous-groupe strictement compris entre $V$ et $G$, alors $\mathscr{B} = \{\{guV : u \in U\} : g\in G\}$ définit un système de blocs non-trivial (cf. la proposition précédente) qui montre que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ n'est pas primitive. Réciproquement, si $V$ est maximal et si $\mathscr{B}$ est un système de blocs, en appelant $U$ le stabilisateur du bloc contenant $V$, le sous-groupe $U$ contient $V$, donc doit être égal soit à $G$ soit à $V$, ce qui montre que le système de blocs est trivial (dans le premier cas $\#\mathscr{B} = 1$ et dans le second le bloc contenant $V$ ne contient que $V$). \end{proof} \begin{remarques2} Le groupe de Galois $\Gal(f)$ d'un polynôme séparable irréductible $f$ (sur un corps $K$) opère transitivement sur les racines de $f$ (\refext{CG}{action transitive de Galois si poly irréductible}), donc définit un groupe de permutations transitif de degré $\deg f$. Dans cette situation, la proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal} montre que $\Gal(f)$ est primitif (comme groupe de permutation des racines de $f$) si et seulement si l'extension de rupture $K(x) \bo K$ définie par une racine $x$ quelconque de $f$ ne contient aucun corps intermédiaire entre $K$ et $K(x)$ (puisque la correspondance de Galois fait correspondre ce corps $K(x)$ au stabilisateur d'un point dans $\Gal(f)$). Dans le cas contraire, si $E$ est un corps intermédiaire entre $K$ et $K(x)$, le système de blocs défini par $E$ est tel que le bloc contenant $x$ est $\{\sigma(x) : \sigma \in \Gal(\dec(f)/E)\}$. \end{remarques2} \begin{proposition2}\label{critere-primitivite-par-connexite} Soit $G$ un groupe de permutations transitif de degré $n$ et $X$ l'ensemble des $n$ objets sur lesquels il opère. Alors $G$ est primitif si et seulement si pour chaque orbite $R$ de $G$ agissant sur l'ensemble $\mathscr{P}_2(X)$ des parties à deux éléments de $X$, le graphe $(X,R)$ (dont l'ensemble des sommets est $X$, deux sommets $x,y$ étant adjacents lorsque $\{x,y\} \in R$) est connexe. \end{proposition2} \begin{proof} Si $R$ est une orbite de $\mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$, considérons l'ensemble $\mathscr{B}$ des composantes connexes de $X$. Tout élément $\sigma \in G$ définit un automorphisme du graphe $(X,R)$ (c'est-à-dire une permutation de $X$ préservant la relation d'adjacence) puisque si $\{x,y\} \in R$ on a $\{\sigma(x),\sigma(y)\} \in R$ vu que $R$ est une orbite : par conséquent, l'image par $\sigma$ d'une composante connexe de $(X,R)$ est encore une composante connexe de $(X,R)$ : ceci montre que $\mathscr{B}$ est un système de blocs pour $G$ (opérant sur $X$). Comme $R$ contient au moins une paire $\{x,y\}$, les blocs ne sont pas des singletons : ainsi, si $(X,R)$ a au moins deux composantes connexes, $G$ admet un système de blocs non trivial, et n'est donc pas primitif. Réciproquement, supposons maintenant qu'il existe un système de blocs $\mathscr{B}$ non trivial pour $G$. Soient $x,y \in X$ appartenant à un même bloc $B$ pour $\mathscr{B}$, et soit $R$ l'orbite de $\{x,y\} \in \mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$. Alors $R$ ne contient aucune paire $\{x,z\}$ avec $x\in B$ et $z\not\in B$ : c'est-à-dire que dans le graphe $(X,R)$, les sommets appartenant à $B$ ne sont jamais reliés aux autres sommets (et il en existe, vu que $B$ n'est pas le seul bloc) : ce graphe n'est donc pas trivial. \end{proof} Ce critère de primitivité est pratique car il s'avère souvent plus simple à appliquer que la définition ou la proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}. \begin{exemple2} Le groupe $\mathfrak{S}_m$ opère primitivement sur les parties à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$, sauf si $m=2k$ auquel cas il admet le système de blocs non trivial formé de toutes les façons de partitionner $m$ éléments en deux ensembles de $k$, mais il opère primitivement sur ces objets (blocs). En revanche, l'action de $\mathfrak{S}_m$ sur les $k$-uplets d'éléments distincts de $\{1,\ldots,m\}$, bien que transitive, n'est pas primitive : elle admet pour système de blocs non trivial la partition de $\{1,\ldots,m\}^k$ définie par la relation d'équivalence qui identifie deux $k$-uplets lorsque les ensembles à $k$ éléments qu'ils définissent sont les mêmes. (Cette action de $\mathfrak{S}_m$ est donc une inflation de son action sur les parties à $k$ éléments.) \end{exemple2} \begin{proof} Si $x,y,x',y'$ sont des parties à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$, la condition pour qu'il existe $\sigma\in\mathfrak{S}_m$ tel que $\sigma(x)=x'$ et $\sigma(y)=y'$ est simplement que $\#(x\cap y) = \#(x'\cap y')$ (condition évidemment nécessaire, et suffisante car lorsque c'est le cas on peut choisir arbitrairement l'image des éléments de $x\cap y$, de $x\setminus y$, de $y\setminus x$ et de $\{1,\ldots,m\}\setminus(x\cup y)$ pour construire $\sigma$). Ainsi, les différents graphes considérés dans la proposition \ref{critere-primitivite-par-connexite} sont les graphes sur l'ensemble $\mathscr{P}_k(\{1,\ldots,m\})$ des parties à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$ dans lesquels on a relié deux parties lorsque leur intersection est de cardinal $\ell$ (un paramètre du graphe, prenant les valeurs entre $0$ et $k-1$ incluses). On veut donc prouver que pour $k<\frac{1}{2}m$ (le cas $k>\frac{1}{2}m$ s'en déduisant par passage au complémentaire des parties considérées), ce graphe est connexe. Si $x \subset \{1,\ldots,m\}$ est une partie à $k$ éléments, et $i \in x$ et $j \not\in x$, on montre que $x$ est reliée à $x' := (x\setminus \{i\}) \cup \{j\}$ : en effet, en choisissant $\ell$ des $k-1$ éléments de $x\setminus\{i\}$ et en les complétant arbitrairement avec $k-\ell$ éléments de l'ensemble $\{1,\ldots,m\} \setminus (x\cup\{j\})$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car $m-2k-1 \geq 0$, on obtient une partie $y$ de $\{1,\ldots,m\}$ qui est d'intersection $\ell$ avec $x$ aussi bien qu'avec $x'$, ce qui montre que $x$ et $x'$ sont reliés dans le graphe considéré. Il est alors évident qu'en remplaçant un par un tous les éléments de $x$ souhaités par d'autres, on peut relier deux parties quelconques. Pour $m=2k$, un raisonnement analogue amène à considérer les graphes dont les sommets sont l'ensemble des manières de partitionner $\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de cardinal $k$, deux telles partitions $\{u,\hat u\}$ et $\{v,\hat v\}$ étant reliées par une arête lorsque $\#(u\cap v) \in \{\ell,k-\ell\}$ (où $\ell$ est, de nouveau, un paramètre du graphe, prenant les valeurs entre $1$ et $k-1$ incluses). Si $\{u,\hat u\}$ est une telle partition et $i \in u$ et $j \in \hat u$, on veut montrer que $\{u,\hat u\}$ est relié à $\{u',\hat u'\}$ où $u' = (u\setminus\{i\})\cup\{j\}$ et $\hat u' = (\hat u\setminus\{j\})\cup\{i\}$ est son complémentaire ; en choisissant $\ell$ des $k-1$ éléments de $u\setminus\{i\}$ et en les complétant arbitrairement avec $k-\ell$ éléments de l'ensemble $\hat u\setminus\{j\}$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car $m-2k+\ell-1 = \ell-1 \geq 0$, on obtient une partie $v$ de $\{1,\ldots,m\}$ qui est d'intersection $\ell$ avec $u$ aussi bien qu'avec $u'$, ce qui montre que $\{u,\hat u\}$ et $\{u',\hat u'\}$ sont reliés dans le graphe considéré, et de nouveau il est alors clair que le graphe est connexe. \end{proof} \begin{remarques2} Ceci signifie (compte tenu de \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}) que pour tout $k$, le stabilisateur d'une partie à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_m$, sauf lorsque $k = \frac{1}{2}m$ auquel cas il faut le remplacer par le stabilisateur d'une partition de $\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de $k$ éléments. Il faut se garder de croire qu'on a ainsi construit tous les sous-groupes maximaux de $\mathfrak{S}_m$ (autres que $\mathfrak{A}_m$) : par exemple, pour $m=5$, les sous-groupes maximaux de $\mathfrak{S}_5$ sont, outre $\mathfrak{A}_5$, le stabilisateur d'un point (définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$ naturelle sur cinq objets) et celui d'une partie à deux éléments (définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$ les parties à deux éléments des cinq objets naturels), mais aussi les conjugués du sous-groupe à $20$ éléments donné par toutes les applications affines $t \mapsto at+b$ (pour $a \in (\ZZ/5\ZZ)^\times$ et $b \in \ZZ/5\ZZ$) de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ — ceci définissant l'action de $\mathfrak{S}_5$ sur les $6$ façons de considérer $\{1,\ldots,5\}$ comme une droite affine sur $\FF_5$. \end{remarques2} \subsection{Groupes de permutations primitifs} Dans cette section, $G$ désignera généralement un groupe de permutations primitif (cf. \ref{definitions-groupes-de-permutations}), et $U$ le stabilisateur d'un point (d'après \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}, il s'agit donc d'un sous-groupe maximal de $G$ ne contenant aucun sous-groupe distingué de $G$). Commençons par éclaircir certaines propriétés générales des groupes de permutations : \begin{proposition2}\label{sous-groupe-distingue-d-un-primitif-est-transitif} Si $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, alors $N$ est transitif (comme groupe de permutations), et $NU = G$ où on a noté $U$ le stabilisateur d'un point dans $G$ (et $NU = \{nu : n \in N, u\in U\}$). \end{proposition2} \begin{proof} Notons $U$ le stabilisateur d'un point dans $G$ : comme $G$ est primitif, il s'agit d'un sous-groupe maximal. Il s'agit de montrer que pour tout $g$, la classe à gauche $gU$ peut aussi s'écrire $nU$ avec $n \in N$. Remarquons que $NU = UN$ (en effet, si $n \in N$ et $u \in U$ alors $un \in uN = Nu$ peut aussi s'écrire $un'$ pour un certain $n'\in N$, ce qui montre $NU = UN$), et ceci est donc un sous-groupe de $G$ (le sous-groupe engendré par $U$ et $N$). Par maximalité de $U$, on a donc soit $NU \leq U$ soit $NU = G$. Le premier cas signifie $N \leq U$, ce qui ne peut pas se produire car $U$ ne contient aucun sous-groupe distingué (puisqu'il s'agit du stabilisateur d'un point dans une action fidèle). Le second cas permet d'écrire tout $g \in G$ comme $g = nu$ avec $n \in N$ et $u \in U$, auquel cas $gU = nuU = nU$, comme on le voulait. \end{proof} \begin{proposition2}\label{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif} Soit $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un sous-groupe distingué autre que $\{1\}$ : alors son centralisateur $C_G(N) := \{g\in G : (\forall n\in N) gng^{-1} = n\}$ vérifie soit $C_G(N) = \{1\}$ soit $C_G(N)$ est régulier (comme groupe de permutations). En particulier, $\#C_G(N)$ est égal au nombre de points sur lesquels $G$ opère (c'est-à-dire $(G:U)$ si $U$ est le stabilisateur d'un point). \end{proposition2} \begin{proof} Le sous-groupe $C_G(N)$ est lui-même distingué. Supposons $C_G(N) \neq \{1\}$. Alors la proposition précédente montre que $N$ et $C_G(N)$ sont transitifs. L'ensemble des points fixes d'un élément de $C_G(N)$ est stable par $N$ : mais comme $N$ est transitif, ceci ne peut se produire que si cet ensemble est vide ou plein. On a donc prouvé que $C_G(N)$ opère transitivement et sans point fixe non-trivial, c'est-à-dire qu'il est régulier. \end{proof} \begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif} Soit $G$ un groupe de permutations primitif, et soient $N_1,N_2 \unlhd G$ deux sous-groupes distingués de $G$ autres que $\{1\}$ tels que tout élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$ (soit $N_2 \leq C_G(N_1)$). Alors $N_2$ est exactement le centralisateur $C_G(N_1)$ de $N_1$ (et vice versa). \end{proposition2} \begin{proof} Les deux propositions précédentes montrent que $N_2$ est transitif et que $C_G(N_1)$ est régulier. Mais $N_2 \leq C_G(N_1)$, et le seul d'un groupe de permutations régulier qui soit transitif est le groupe tout entier, donc $N_2 = C_G(N_1)$. \end{proof} Pour aller plus loin dans l'analyse, on va examiner certaines des propriétés des sous-groupes distingués minimaux d'un groupe fini $G$ : autrement dit, les sous-groupes distingués autres que $\{1\}$ et qui ne contiennent pas d'autre sous-groupe distingué (du groupe $G$ tout entier) que $\{1\}$ et eux-mêmes. Dans les quelques énoncés suivants, $G$ n'est plus nécessairement un groupe de permutations. \begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent} Soit $G$ un groupe fini et $N_1$ et $N_2$ deux sous-groupes distingués minimaux distincts de $G$. Alors $N_1 \cap N_2 = \{1\}$ et tout élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$. \end{proposition2} \begin{proof} Le sous-groupe $N_1 \cap N_2$ est distingué dans $G$, et par minimalité de $N_1$ ou de $N_2$ il doit donc être égal à $\{1\}$. Mais tout commutateur $n_1 n_2 n_1^{-1} n_2^{-1}$ d'un élément $n_1$ de $N_1$ et d'un élément $n_2$ de $N_2$ appartient à $N_1 \cap N_2$, donc vaut $1$, ce qu'on voulait prouver. \end{proof} En particulier, dans le contexte de cette proposition, on a $N_1 N_2 = N_1 \times N_2$. Plus généralement : \begin{lemme2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct} Soient $N_1,\ldots,N_\ell$ des sous-groupes distingués minimaux d'un groupe fini $G$. Alors il existe $i_1,\ldots,i_r \in \{1,\ldots,\ell\}$ (et on peut choisir $i_1$ arbitrairement et $i_2$ arbitrairement dès que $N_{i_2} \neq N_{i_1}$) tels que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct dans $G$ (c'est-à-dire que le groupe qu'ils engendrent soit le produit direct) et que chacun des $N_i$ soit inclus dans ce produit direct. \end{lemme2} \begin{proof} On construit par récurrence une suite $i_1, i_2, \ldots, i_r$, de sorte que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct de la façon suivante. On peut choisir $i_1$ arbitrairement, et $i_2$ de sorte que $N_{i_1}$ et $N_{i_2}$ soient distincts. Supposant les $n_j$ pour $j 2$ et que $S$ n'est pas primitif sur $\{1,\ldots,r\}$, alors $G$ ne l'est pas sur $\Omega$. Soit $\mathscr{S}$ un système de blocs non-trivial pour $S$, qu'on considérera comme une relation d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$ sur $\{1,\ldots,r\}$. Considérons la relation d'équivalence $\equiv_{\mathscr{B}}$ sur $\Omega$ définie par $(v_1,\ldots,v_r)\Delta \mathrel{\equiv_{\mathscr{B}}} (v'_1,\ldots,v'_r)\Delta$ si et seulement si $v_i v_j^{-1} = v'_i {v'_j}^{-1}$ pour tous $i,j$ tels que $i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}} j$ (il est clair que cette relation est bien définie, c'est-à-dire que $v_i v_j^{-1}$ ne dépend que de $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$). Cette relation d'équivalence est préservée par (a) l'action de $T^r$ par translation à gauche, (b) l'action de $S$ par permutation des coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ opérant de la même façon sur toutes les coordonnées : elle est donc préservée par $G$. Il est clair que $\equiv_{\mathscr{B}}$ est non-triviale car $\equiv_{\mathscr{S}}$ l'est. L'ensemble $\mathscr{B}$ des classes d'équivalences définit un système de blocs pour $G$ (dans $\Omega$), ce qui montre que $G$ n'est pas primitif. Supposons réciproquement que $G$ n'est pas primitif, et soit $\mathscr{B}$ un système de blocs non-trivial pour $G$ agissant sur $\Omega$. Considérons l'ensemble des $r$-uplets $(v_1,\ldots,v_r)$ tels que $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ appartienne au même bloc de $\mathscr{B}$ que $\Delta$ (autrement dit, le stabilisateur du bloc de $\Delta$ pour l'action de $T^r$) : il s'agit d'un sous-groupe $M$ de $T^r$, contenant la diagonale. Pour chaque $i$, soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments $(v_1,\ldots,v_r)$ de $M$ tels que $v_i = 1$. On définit une relation d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$ sur $\{1,\ldots,r\}$ par $i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}} j$ lorsque $M_i = M_j$ (en tant que sous-groupes de $M$). Montrons que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$. Si $\sigma \in S$, il existe $\lambda \in \Aut(T)$ tel que $(\sigma,\lambda)$ appartienne à l'image réciproque $\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Out(T)$ de $G$ ; c'est encore dire que la permutation $(v_1,\ldots,v_r)\Delta \mapsto (\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots, \lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))\Delta$ de $\Omega$ appartient à $G$. Supposons $M_i = M_j$. Si $(v_1,\ldots,v_r) \in M$ appartient à $M_{\sigma^{-1}(i)}$, c'est-à-dire $v_{\sigma^{-1}(i)} = 1$, alors $(\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots, \lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))$ appartient à $M_i$, c'est-à-dire à $M_j$, donc $v_{\sigma^{-1}(j)} = 1$, autrement dit $(v_1,\ldots,v_r) \in M_{\sigma^{-1}(j)}$. On a donc prouvé $M_{\sigma^{-1}(i)} = M_{\sigma^{-1}(j)}$ : ceci montre bien que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$. Reste à vérifier que $\equiv_{\mathscr{S}}$ n'est pas triviale. Si tous les $M_i$ sont égaux, cela signifie que lorsque $(v_1,\ldots,v_r) \in M$ on a $v_i = 1$ pour un $i$ exactement lorsque $v_i = 1$ pour tout $i$ : mais quitte à diviser à droite par l'élément diagonal $(v_i,\ldots,v_i)$ (on rappelle que $M$ contient la diagonale), on voit que cela implique que $M$ est réduit à la diagonale, et les blocs de $\mathscr{B}$ sont des singletons. À l'inverse, si tous les $M_i$ sont distincts, le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits} permet de conclure que $M = T^r$ et l'unique bloc de $\mathscr{B}$ est $\Omega$ tout entier. Reste la dernière affirmation. Si $N$ est un sous-groupe distingué minimal de $G$, alors en particulier $N$ est distingué dans $T^r$, et le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits} montre qu'on peut l'écrire $N_1\times \cdots \times N_r$, où chaque $N_i$ vaut soit $1$ soit $T$ : si $S$ est transitif (notamment si $S$ est primitif), on doit avoir $N_1=\ldots=N_r$, ce qui montre que $T^r$ est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$ ; si $S$ est trivial, en revanche (et automatiquement $r=2$), $T\times 1$ et $1\times T$ sont les sous-groupes distingués minimaux de $G$. \end{proof} \begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits} Soit $T$ un groupe simple fini non abélien. Alors tout sous-groupe distingué $N$ de $T^r$ est de la forme $N_1\times \cdots \times N_r$, où chaque $N_i$ vaut soit $1$ soit $T$. En particulier, les sous-groupes distingués minimaux de $T^r$ sont les $T_i := 1\times\cdots\times 1 \times T \times 1 \times \cdots \times 1$, et les seuls sous-groupes distingués maximaux sont les $T\times\cdots\times T \times 1 \times T \times\cdots\times T$. \end{lemme2} \begin{proof} On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $\pi_r(N)$ de $N$ par la projection $\pi_r$ sur la dernière coordonnée : si $\pi_r(N) = 1$, on peut identifier $N$ à son image dans $T^{r-1}$ (par la projection sur les $r-1$ premières coordonnées) et l'hypothèse récurrence permet immédiatement de conclure. Dans le second cas, il existe $(t_1,\ldots,t_r) \in N$ tel que $t_r \neq 1$. On a alors aussi $(t_1,\ldots,xt_r x^{-1}) \in N$ pour tout $x \in T$ puisque $N$ est distingué, donc $(1,\ldots,1, xt_r x^{-1}t_r^{-1}) \in N$. Comme $T$ n'est pas abélien, ceci prouve qu'il existe $z\in T$ différent de $1$ tel que $(1,\ldots,1,z) \in N$. L'ensemble des $z \in T$ tels que $(1,\ldots,1,z) \in N$ est un sous-groupe de $T$, manifestement distingué, dont on vient de voir qu'il n'est pas réduit à $1$ : c'est donc $T$ tout entier, et on vient de prouver que $(1,\ldots,1,z) \in N$ pour tout $z \in T$. Ceci prouve que le morphisme $\pi_r \colon N \to T$ a une section ; et si on note $N' = \{(t_1,\ldots,t_r)\in N : t_r = 1\}$ le noyau de $\pi_r$, qui est manifestement distingué dans $T^r$ et peut s'identifier à un sous-groupe distingué de $T^{r-1}$, l'hypothèse de récurrence montre que $N'$ s'écrit sous la forme $N_1\times \cdots \times N_{r-1}$ avec chaque $N_i$ valant $1$ ou $T$. Comme la suite exacte courte $1\to N' \to N \buildrel\pi_r\over\to T \to 1$ est scindée d'après ce qu'on a dit, on a $N = N_1\times \cdots \times N_{r-1} \times T$, ce qui conclut. \end{proof} \begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits} Soit $T$ un groupe simple fini non abélien, et $M$ un sous-groupe de $T^r$, contenant le sous-groupe diagonal $\{(t,\ldots,t) : t\in T\}$. Soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments $(t_1,\ldots,t_r)$ de $M$ tels que $t_i = 1$. Si les $M_i$ sont deux à deux distincts, alors $M = T^r$. \end{lemme2} \begin{proof} On procède par récurrence sur $r$. Considérons l'image $M^*$ de $M$ par la projection sur les $r-1$ premières coordonnées (identifiée à un sous-groupe de $T^{r-1}$) : manifestement, $M^*$ contient le sous-groupe diagonal de $T^{r-1}$, et si $M_i^*$ (pour $1\leq i\leq r-1$) désigne le sous-groupe de $M^*$ formé des éléments $(t_1,\ldots,t_{r-1})$ de $M^*$ tels que $t_i = 1$, il s'agit bien de l'image de $M_i$ sur $T^{r-1}$ par les premières coordonnées. De plus, si on avait $M_i^* = M_j^*$ alors on aurait $M_i = M_j$ (car tout $(t_1,\ldots,t_r) \in M$ tel que $t_i = 1$ vérifierait $(t_1,\ldots,t_{r-1}) \in M_i^* = M_j^*$ donc $t_j = 1$). L'hypothèse de récurrence s'applique donc et assure $M^* = T^{r-1}$. Par ailleurs, la projection $M \to M^* = T^{r-1}$ sur les $r-1$ premières coordonnées ne peut pas être un isomorphisme car le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits} ci-dessus appliqué à l'image de $M_r$ (sous-groupe distingué de $M$) par cet isomorphisme aboutirait à une contradiction. Il existe donc un élément non trivial de $M$ dans le noyau $K$ de $M \to M^*$, c'est-à-dire de la forme $(1,\ldots,1,z)$ avec $z\neq 1$. Puisque $M$ contient la diagonale, on a $(x,\ldots,x,xz) \in M$ pour tout $x \in T$, donc $(1,\ldots,1,xzx^{-1}) \in K$, et comme $T$ est simple, les $xzx^{-1}$ pour $x\in T$ engendrent $T$. Ainsi, en fait, $(1,\ldots,1,z) \in M$ pour tout $z\in T$, et comme on sait déjà que l'image $M^*$ de $M$ sur les $r-1$ premières coordonnées vaut $T^{r-1}$, il est désormais clair que $M = T^r$. \end{proof} \begin{remarque2}\label{holomorphe-d-un-groupe-simple} Le cas particulier des groupes de permutation de type diagonal où $r=2$ et où il n'y a pas de permutation des composantes (avec les notations précédentes, l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$ est triviale) est assez spécifique, puisque c'est le seul cas de ce type où il y a deux sous-groupes distingués minimaux distincts : expliquons comment on peut le présenter différemment. Si $T$ est un groupe fini, on appelle parfois \emph{holomorphe} de $T$ le produit semi-direct $H$ de $T$ par $\Aut(T)$ opérant naturellement sur $T$, et on voit ce produit semidirect comme opérant lui-même sur $\Omega := T$ (où $\Aut(T)$ opère naturellement et $T$ opère par translation à gauche) : cette action est fidèle, et on peut encore définir l'holomorphe comme le sous-groupe du groupe $\mathscr{S}(T)$ des permutations qui est engendré par les translations à gauche et les automorphismes de $T$. Lorsque $T$ est un groupe simple fini, en identifiant $\Omega=T$ à l'ensemble des classes à gauche de la diagonale dans $T^2$, par $(v_1,v_2) \mapsto v_1 v_2^{-1}$, on voit que l'holomorphe $H$ de $T$ est un cas particulier (en tant que groupe de permutation) de la construction des actions diagonales où $r=2$, où il n'y a pas de permutation des coordonnées et où on a inclus tous les automorphismes de $T$. Les deux sous-groupes distingués minimaux de $H$ sont l'ensemble des translations à gauche sur $T$ (vu naturellement comme $T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$), et l'ensemble des translations à droite sur $T$ (vu comme l'ensemble des $(t, (x\mapsto t^{-1}xt))$ pour $t\in T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$). Comme on l'a expliqué, le socle de $H$ est le produit $T^2$ de ces deux sous-groupes (et $H = T^2 \cdot \Out(T)$). Plus généralement, un groupe de permutation de type diagonal avec $r=2$ et action triviale sur les composantes se décrit comme un sous-groupe $G$ de l'holomorphe $H$ de $T$ contenant $T^2$ (c'est-à-dire, contenant les translations à gauche et les translations à droite). \end{remarque2} \subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$ un groupe simple. Un groupe $G$ tel que $T = \Int(T) \leq G \leq \Aut(T)$ est dit \emph{presque simple}. La donnée d'un sous-groupe maximal $U$ de $G$ permet (cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations} et \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}) de considérer $G$ comme un groupe de permutations primitif (en opérant sur les classes à gauche de $U$) : un tel groupe de permutations est dit \emph{presque simple}. Son socle est alors $T$, et il n'est pas régulier. \subsubsection{Produits en couronne}\label{produit-couronne} Si $K$ est un groupe fini, et $S$ un groupe de permutations dont on notera $\Gamma$ l'ensemble sur lequel il opère, on définit le \emph{produit en couronne} $K \wr_\Gamma S$ (ou parfois $K \wr S$ lorsque $\Gamma$ est évident) de la façon suivante : il s'agit du produit semi-direct $K^\Gamma \rtimes S$, où $K^\Gamma$ désigne le groupe des fonctions $\Gamma \to K$ (muni de la multiplication point par point) et $S$ opère sur $K^\Gamma$ par $(\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma^{-1}(i))$ pour $\sigma \in S$, $f\in K^\Gamma$ et $i \in \Gamma$. La définition précédente construit $K \wr_\Gamma S$ comme un groupe abstrait. Si $K$ est lui-même un groupe de permutation sur un ensemble $\Delta$, on peut considérer l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Delta \times \Gamma$ définie par $(f,\sigma)\cdot (x,i) = (f(i)(x), \sigma(i))$ lorsque $f\in K^\Gamma$ et $\sigma \in S$ : cette action possède un système de blocs évident donné par $\{\{(x,i) : x \in \Delta\} : i \in \Gamma\}$, qui s'identifie à $\Gamma$, l'action de $K \wr_\Gamma S$ étant alors celle de $S$ : on dit qu'il s'agit de l'\emph{action imprimitive} (ou parfois de l'\emph{action standard}) du produit en couronne. On va définir maintenant une autre action de $K \wr_\Gamma S$ qui sera souvent primitive. Pour cela, soit $\Omega = \Delta^\Gamma$ l'ensemble des fonctions $\Gamma \to \Delta$. On construit une action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega$ en définissant $(f,\sigma)\cdot w$ comme la fonction $i \mapsto f(\sigma^{-1}(i)) (w(\sigma^{-1}(i)))$. Cette action est appelée l'\emph{action produit} du produit en couronne. \begin{proposition2} Soit $K$ un groupe de permutations sur un ensemble $\Delta$ et $S$ un groupe de permutations sur un ensemble $\Gamma$. Alors le produit en couronne $K \wr_\Gamma S$, muni de son action produit sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ (définie plus haut) est primitif si et seulement si : \begin{itemize} \item $S$ est transitif (sur $\Gamma$), \item $K$ est primitif (sur $\Delta$), et \item $K$ n'est pas régulier (sur $\Delta$). \end{itemize} \end{proposition2} \begin{proof} Montrons que les trois conditions énumérées sont nécessaires pour que l'action produit du produit en couronne soit primitive. Si $S$ n'est pas transitif sur $\Gamma$, soit $\Gamma_0 \subsetneq \Gamma$ une orbite de $S$ : on considère la relation d'équivalence $\equiv$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ définie par $w \equiv w'$ lorsque $w(i) = w'(i)$ pour tout $i \in \Gamma_0$ : lorsque c'est le cas, on a manifestement $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$, ce qui montre que l'ensemble $\mathscr{B}$ des classes d'équivalence pour $\equiv$ constitue un système de blocs pour $K \wr_\Gamma S$, qui est non-trivial car $\Gamma_0$ n'est ni $\varnothing$ ni $\Gamma$. Si $K$ n'est pas primitif sur $\Delta$, soit $\mathscr{K}$ un système de blocs non-trivial pour celui-ci (ou la décomposition en orbites si $K$ n'est même pas transitif) : on définit une relation d'équivalence $\equiv$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant $w \equiv w'$ lorsque $w(i) \mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} w'(i)$ pour tout $i$ (où $x \mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} x'$ signifie que $x,x' \in \Delta$ appartiennent au même $\mathscr{K}$-bloc) ; de nouveau, on a $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$. Enfin, si $K$ est régulier sur $\Delta$ (de sorte qu'une fois fixé $x_0 \in \Delta$, tout $x\in \Delta$ peut s'écrire $k\cdot x_0$ pour un unique $k\in K$), on définit une relation d'équivalence $\equiv$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant $w \equiv w'$ lorsqu'il existe $x_0,x'_0 \in \Delta$ et $g\in K^\Gamma$ tels que $w(i) = g(i)\cdot x_0$ et $w'(i) = g(i)\cdot x'_0$ pour tout $i\in\Gamma$ (autrement dit, $w'$ se déduit de $w$ par une « translation à droite »\footnote{Si $\Delta$ est un espace principal homogène sous $K$, on appelle \emph{translation à droite} envoyant $x_0 \in\Delta$ sur $x_1 \in\Delta$ l'application $k\cdot x_0 \mapsto k\cdot x_1$. Le groupe des translations à droite de $\Delta$ est isomorphe à $K$ mais de façon non canonique (le choix d'une origine $x_0$ dans $\Delta$ permet d'identifier la translation envoyant $x_0$ sur $x_1$ à la multiplication à droite par $x_0^{-1} x_1$, mais le changement de choix de $x_0$ change cette identification par un automorphisme intérieur de $K$).}) : de nouveau, on a $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$. Réciproquement, supposons vérifiées ces trois conditions, et montrons que l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ est primitive. La transitivité ne faisant aucun doute (puisque déjà $K^\Gamma$ est transitif sur $\Delta^\Gamma$), on veut montrer que le stabilisateur $U$ dans $K \wr_\Gamma S$ d'un élément (quelconque) de $\Omega$ est un sous-groupe maximal de $K \wr_\Gamma S$. Choisissons l'élément constant de valeur $x_0$, où $x_0 \in\Delta$. Le stabilisateur $U$ est donc l'ensemble des $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$ tels que $f(i) \in V$ pour tout $i$, où $V$ est le (sous-groupe maximal de $K$) stabilisateur de $x_0$ dans $\Delta$. Soit $H$ un sous-groupe de $K \wr_\Gamma S$ contenant strictement $U$ : on veut montrer que $H = K \wr_\Gamma S$. Tout d'abord, $H$ contient un élément $(f,\sigma)$ non contenu dans $U$, et, comme $\sigma$ (c'est-à-dire $(1,\sigma)$) appartient à $U$, l'élément $f \in K^\Gamma$ lui-même (c'est-à-dire $(f,\sigma)$) appartient à $H$ et non à $V^\Gamma$. Il existe donc $i_0$ tel que $f(i_0) \not\in V$. Le sous-groupe $V$ de $K$ est égal à son normalisateur $N_K(V)$ : en effet, $V \trianglelefteq N_K(V)$, et comme $V$ est maximal on doit avoir $N_K(V) = V$ ou $N_K(V) = K$. Or la seconde possibilité impliquerait $V \trianglelefteq K$, mais on sait (\ref{exemples-groupes-de-permutations}) que $V$ ne peut pas contenir de sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, donc on aurait $V=\{1\}$, c'est-à-dire que $K$ serait régulier, ce qu'on a exclu. Reste donc $N_K(V) = V$. On a donc $f(i_0) \not\in N_K(V)$, c'est-à-dire qu'il existe $v \in V$ tel que $f(i_0)\, v\, f(i_0)^{-1} \not\in V$. Définissons $g \colon \Gamma \to K$ par $g(i_0) = v$ et $g(i) = 1$ pour tout $i\neq i_0$ : ainsi, $g \in V^\Gamma \leq U \leq H$. Le commutateur $h = f g f^{-1} g^{-1}$ appartient à $H$ et vaut $1$ en tout $i \neq i_0$ tandis qu'en $i_0$ on a $h(i_0) \not\in V$. Comme $V$ est maximal, $h(i_0)$ et $V$ engendrent $K$, donc $H$ contient toute fonction $h\colon \Gamma \to K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_0$. Comme $S$ est (qui est contenu dans $U$ donc dans $H$) est transitif sur $\Gamma$, pour tout $i_1 \in \Gamma$, il est encore vrai que $H$ contient toute fonction $h\colon \Gamma \to K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_1$. Or ces fonctions engendrent manifestement $K^\Gamma$, et comme $H$ contient aussi $S$, on a prouvé $H = K \wr_\Gamma S$. \end{proof} \subsubsection{Produits en couronne tordus}\label{produit-couronne-tordu} Considérons maintenant la situation suivante : soit $U$ un sous-groupe d'un groupe fini $S$, et soit $K$ un groupe fini ; on suppose de plus donné un morphisme $\varphi\colon U \to \Aut(K)$ du groupe $U$ vers les automorphismes du groupe $K$, permettant de considérer que $U$ opère sur $K$ : on notera $u \mathbin{\bullet_{\varphi}} k := \varphi(u)(k)$ l'action en question. On considère l'ensemble $\mathscr{F}$ des applications $f\colon S \to K$ vérifiant la condition suivante : pour tout $s\in S$ et tout $u\in U$ on a $f(su) = u^{-1} \mathbin{\bullet_{\varphi}} f(s)$ ; il s'agit d'un sous-groupe de $K^S$ pour la multiplication point par point. Remarquons que si $\Gamma$ est une section ensembliste de l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$, c'est-à-dire un choix d'un élément de chaque $sU \in K/U$, alors on peut considérer $\mathscr{F}$ comme le groupe $K^\Gamma$, puisque la valeur de $f\in \mathscr{F}$ sur toute la classe $sU$ est déterminée par sa valeur sur l'unique élément $s$. Néanmoins, la description de $\mathscr{F}$ comme sous-ensemble de $K^S$ permet de rendre plus claire l'action de $S$ sur $\mathscr{F}$ définie comme suit : si $f\in \mathscr{F}$ et $\sigma\in S$, on définit $\sigma\cdot f$ par $(\sigma\cdot f)(s) = f(\sigma^{-1}s)$ (pour tout $s\in S$). Le produit semi-direct $\mathscr{F} \rtimes S$ défini par cette action s'appelle \emph{produit en couronne tordu} défini par les données de $K$ de $U \leq S$, et du morphisme $\varphi\colon U \to \Aut(K)$ ; on le notera $G$ dans la fin de cette section. La terminologie de produit en couronne tordu se justifie par le fait que le produit en couronne usuel (défini en \ref{produit-couronne}) s'obtient comme le cas particulier où $\varphi$ est le morphisme trivial (tout élément de $U$ s'envoyant sur l'identité de $K$) et $U$ est le stabilisateur d'un point dans le $S$-ensemble $\Gamma$, lequel peut alors être identifié à l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$, où à un choix arbitraire d'une section pour cet ensemble. Notons par ailleurs que si $U=S$, alors le produit en couronne tordu que nous avons défini n'est autre que le produit semi-direct $K \rtimes S$ pour l'action donnée par $\varphi$ (en effet, si on identifie $f\in\mathscr{F}$ avec $f(1)\in K$, alors $(\sigma\cdot f)(1) = f(\sigma^{-1}) = \varphi(\sigma)(f(1))$). Revenant à la situation plus générale, on fera agir $G$ sur $\mathscr{F}$ en décrétant que $S$ opère sur $\mathscr{F}$ comme on l'a déjà dit et que $\mathscr{F}$ opère sur lui-même par translation à gauche. (Dans le cas d'un produit en couronne non-tordu, ceci correspond à l'action produit où $K$ est vu comme opérant sur lui-même par translation à gauche ; il y aurait sans doute moyen de définir une action généralisant l'action produit dans tous les cas, mais ceci ne nous intéressera pas.) Le stabilisateur pour cette action de la fonction constante $1 \in \mathscr{F}$ est le sous-groupe $S$ de $G$, ce qui permet de considérer qu'on a affaire à l'action de $G$ sur les classes à gauche de $S$ dans $G$. Cette action peut très bien ne pas être fidèle : penser au cas où $U=S$ et $\varphi$ est trivial, par exemple (auquel cas $G$ est le produit direct $K \times S$) ; il ne semble pas facile de trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur les données pour que l'action qu'on vient de décrire soit fidèle et primitive : on peut néanmoins montrer que c'est le cas si $K$ est simple fini non-abélien et que $\Im\varphi$ contient les automorphismes intérieurs de $K$ et n'est pas l'image de $S$ par un morphisme. \begin{remarque2}\label{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe} Si on a choisi une section ensembliste $\Gamma$ des classes à gauche de $U$ dans $S$, et si on note $\varpi\colon S\to\Gamma$ la fonction associant à $s\in S$ le représentant $\varpi(s)$ de la classe $sU$, alors en identifiant $\mathscr{F}$ à $K^\Gamma$, l'action de $S$ sur $\mathscr{F}$ est donnée par : $(\sigma\cdot f)(x) = (x^{-1}\sigma \varpi(\sigma^{-1}x)) \mathbin{\bullet_\varphi} f(\varpi(\sigma^{-1}x))$ (pour $\sigma\in S$ et $x\in \Gamma$). Si $H = K \rtimes\Aut(K)$ désigne l'holomorphe du groupe $K$ (cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), cette formule conduit à définir un morphisme $S \to H^\Gamma \rtimes \mathfrak{S}(\Gamma)$ qui à $\sigma \in S$ asssocie $((\dot\varphi(x^{-1}\sigma \varpi(\sigma^{-1}x)))_{x\in\Gamma}, \penalty-100 (x \mapsto \varpi(\sigma^{-1}x)))$ (où $\dot\varphi$ est la composée de $S \to\Aut(K)$ avec le morphisme évident $\Aut(K) \to H$). En combinant ce morphisme avec le morphisme $\mathscr{F} \to H^\Gamma$ obtenu à partir de l'application de $K \to H$ (correspondant à la translation à gauche, i.e., la première composante de $H = K \rtimes\Aut(K)$) sur chaque composante de $\mathscr{F} = K^\Gamma$, on obtient un morphisme de $G = \mathscr{F} \rtimes S$ vers $H^\Gamma \rtimes \mathfrak{S}(\Gamma) = H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$ compatible avec l'action de ces deux groupes sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$ (dans le cas de $H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$, il s'agit de l'action produit du produit en couronne). Notamment, si $G$ opère fidèlement sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$, le morphisme $G \to H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$ que nous venons de définir est injectif. \end{remarque2} \subsection{Le théorème de O'Nan-Scott} Cette section fait suite à la précédente. Le théorème de O'Nan-Scott établit une sorte de classification des groupes de permutations primitifs. Nous nous contenterons dans cet ouvrage d'énoncer et de discuter ce théorème, pour la démonstration duquel nous renvoyons le lecteur à \cite[chap. 4]{Dixon-Mortimer}. \begin{theoreme2}\label{o-nan-scott} Soit $G$ un groupe de permutations primitif dont on note $\Omega$ l'ensemble sur lequel il opère. Alors l'une des affirmations suivantes est vraie : \begin{itemize} \item $G$ est un groupe de permutations de type affine, tel que décrit à la section \ref{groupe-de-permutations-type-affine}. Ceci se produit si et seulement si le socle de $G$ est abélien, et dans ce cas le socle est régulier. \item $G$ est presque simple (cf. \ref{groupe-de-permutations-type-presque-simple}), c'est-à-dire qu'on a $T \leq G \leq \Aut(T)$ pour un certain groupe simple fini non-abélien $T$ (sans affirmation particulière sur la façon dont $G$ opère). Dans ce cas, le socle de $G$ est $T$, et il n'est pas régulier. \item $G$ est un groupe de permutation de type diagonal, tel que décrit à la section \ref{groupe-de-permutations-type-diagonal} (avec $r\geq 2$ dans les notations de cette section). Dans ce cas, le socle de $G$ est $T^r$ (avec les notations en question) où $T$ est un groupe simple fini non-abélien et $r\geq 2$, et le degré $\#\Omega$ de $G$ est $(\#T)^{r-1}$. Si $r\geq 3$ alors $G$ a un unique sous-groupe distingué minimal qui est son socle. \item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit (\ref{produit-couronne}) sur $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif sur $\Delta$ d'un des deux types précédents, et le socle de $G$ est $H^\Gamma$ où $H$ est le socle de $K$. Dans ce cas, le socle en question n'est pas régulier. \item $G$ est un produit en couronne tordu (\ref{produit-couronne-tordu}) défini par la donnée d'un groupe fini $S$, d'un sous-groupe $U$ de celui-ci, d'un groupe \emph{simple} non-abélien $K$, et d'un morphisme $\varphi \colon U \to \Aut(K)$ dont l'image contient le sous-groupe $\Int(K)$ des automorphismes intérieurs de $K$ ; le groupe $G$ est alors isomorphe, comme groupe de permutations (cf. \ref{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe}) à un sous-groupe du produit en couronne $H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$, où $H$ est l'holomorphe de $K$ (cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), et où $\Gamma$ est l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$. Dans ce cas, le socle de $G$ est isomorphe à $K^{\#\Gamma}$ (soit à $\mathscr{F}$ avec la notation de \ref{produit-couronne-tordu}), et il est régulier. Ce cas se produit si et seulement si le socle de $G$ est régulier mais non abélien. \end{itemize} \end{theoreme2} \XXX — Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux... \begin{corollaire2}\label{o-nan-scott-sous-groupes-maximaux-de-s-n} Un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$ est d'un des types suivants : \begin{itemize} \item un sous-groupe intransitif de la forme $\mathfrak{S}_{n_1} \times \mathfrak{S}_{n_2}$ avec $n_1 + n_2 = n$ (et $n_1,n_2 > 1$), muni de l'action donnée par l'union disjointe, \item un sous-groupe transitif mais non primitif $\mathfrak{S}_k \wr_{\{1,\ldots,r\}} \mathfrak{S}_r$ avec $kr = n$ (et $k,r > 1$), muni de l'action imprimitive du produit en couronne, \item un groupe primitif, qui est alors d'un des types suivants : \begin{itemize} \item un produit en couronne $\mathfrak{S}_k \wr_{\{1,\ldots,r\}} \mathfrak{S}_r$ avec $k^r = n$ (et $k,r > 1$), muni de l'action produit du produit en couronne, \item un groupe affine $\AGL(\FF_p^r)$ avec $p^r = n$, \item un groupe de type diagonal $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ où $T$ est simple fini non-abélien et son ordre vérifie $(\#T)^{r-1} = n$, \item un groupe presque simple. \end{itemize} \end{itemize} \end{corollaire2} Ceci découle immédiatement du théorème précédent. Soulignons qu'il n'est pas affirmé que chacun des types décrits ci-dessus construit effectivement un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$. \subsection{Un théorème de Jordan} On veut démontrer : \begin{theoreme2}\label{Jordan} Soit $G$ un sous-groupe transitif de $𝔖_n$ qui contient un $p$-cycle pour un nombre premier $p$ strictement compris entre $\frac{n}{2}$ et $n-2$. Alors $G$ contient $𝔄_n$. \end{theoreme2} Nous ferons usage de la terminologie suivante : \begin{définition2} Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles $Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\varnothing,Y\}$ sont $\varnothing,X$, et les singletons. \end{définition2} De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de partition\footnote{En particulier, par définition, chaque constituant est non vide.} $\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$). Établissons quelques lemmes généraux. \begin{lemme2} Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif. \end{lemme2} \begin{lemme2} Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$, $H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$ agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors, $G$ agit également transitivement sur $X$. \end{lemme2} Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe primitif de $𝔖_n$ contenant un $p$-cycle. \begin{lemme2} Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $𝔖_X$, $C$ un sous-groupe de $G$ tel que le cardinal de $F=\Fix(C)\subset X$ soit égal à $f$. Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué \emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement sur $F$. \end{lemme2} \begin{lemme2} Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$. Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $𝔖_X$ tel que $G_F$ agisse transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive. (C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit transitivement sur $X-x$.) \end{lemme2} \begin{proof} Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique. \begin{itemize} \item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$, il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$. En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \varnothing$, alors $g'(E)=E$. (Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.) \item Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$ agit transitivement sur $P\cup g(P)$. (Rappel : $2\#P>\#X$.) \item Soit $F'=F\cap g(F)$, c'est-à-dire l'ensemble des éléments qui sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence. \end{itemize} \end{proof} \begin{theoreme2}[Camille Jordan, 1870] Soit $G$ un sous-groupe primitif de $𝔖_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$ contient $𝔄_n$. \end{theoreme2} \begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.] La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes : $G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $𝔄_n$. Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que nous supposons satisfaite. En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$ dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ; on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$). Notons $G_F=G\cap 𝔖_F\subset 𝔖_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\ Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\ Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants : \begin{itemize} \item Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N ↠ 𝔖_F$, via le morphisme de restriction, bien défini ici. \item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\Stab_N(\pi)$ satisfait $N_{\pi}↠ 𝔖_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$. \item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $𝔖_{P}$ est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne. \item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image de $D→ 𝔖_P$ est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$. \end{itemize} \end{proof} \section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre} \subsection{\XXX} Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme irréductible séparable. Soient $Ω$ une clôture séparable et $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois $G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de $𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes. D'autre part, il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité si et seulement si $G$ n'est contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$. \begin{proposition2}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4} \begin{enumerate} \item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$ (isomorphes au groupe diédral $D₄$). \item Les sous-groupes transitifs de $𝔖₄$ sont $𝔖₄$, $𝔄₄$, les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$. \end{enumerate} \end{proposition2} \begin{démo} \begin{enumerate} \item Le cardinal $d$ d'un sous-groupe strict $H$ de $𝔖₄$ appartient à l'ensemble $\{12,8,6,4,3,2,1\}$. Étudions les différentes possibilités. \begin{itemize} \item [$d=12$.] $H$ est d'indice deux, donc distingué dans $𝔖₄$ ; $H=𝔄₄$. \item [$d=8$.] $H$ est un $2$-Sylow. Pour chaque énumération des côtés d'un carré, le groupe des isométries du carré, plongé dans $𝔖₄$, est un sous-groupe d'ordre huit, maximal car non contenu dans $𝔄₄$. Tous les $2$-Sylow étant conjugués, $H$ est l'un de ces groupes. \item [$d=6$.] Un groupe d'ordre $6$ n'agit pas transitivement. Ses orbites ne peuvent être de cardinal $2$ (sans quoi $H$ serait contenu dans un sous-groupe isomorphe à $𝔖₂×𝔖₂$ de $𝔖₄$, de cardinal $4$). Il existe donc une orbite ponctuelle : $H$ est le stabilisateur d'un point. \item [$d∈\{4,3,2,1\}$.] Un sous-groupe d'ordre deux ou quatre est contenu dans un $2$-Sylow donc non maximal. Un sous-groupe cyclique d'ordre trois est engendré par un $3$-cycle, contenu dans $𝔄₄$, donc non maximal également. \end{itemize} \item Un sous-groupe transitif $H$ de $𝔖₄$ est de cardinal $d$ divisible par $4$ ; on a donc $d∈\{24,12,8,4\}$. On vérifie immédiatement que les différentes possibilités sont celles de l'énoncé. \end{enumerate} \end{démo} Le théorème suivant est une généralisation de la proposition \ref{Gal(deg 3)=cyclique}. \begin{théorème2} Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et $G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant. \begin{enumerate} \item $G⊆𝔄_R$ si et seulement si $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et $Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ; \item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine si et seulement si $f$ a une racine dans $k$ ; \item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ si et seulement si la \emph{résolvante cubique} \[ g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)= Y³-c₂Y²+(c₁c₃-4c₄)Y-(c₃²-4c₂c₄+c₁²c₄) \] a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les pseudo-discriminants coïncident également. \end{enumerate} \end{théorème2} \begin{démo} (i) Mis que pour mémoire (cf. \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}). (ii) Évident. (iii) L'égalité des discriminants résulte de la formule \[ (x_ix_j+x_k x_l)-(x_ix_k+x_j x_l)=(x_i-x_l)(x_j-x_k). \] L'égalité des pseudo-discriminants en caractéristique deux résulte immédiatement de \refext{CG}{exemples discriminants} ou bien d'un calcul direct comme dans le cas du discriminant. Les expressions $X₁X₃+X₂X₄$, $X₁X₂+X₃X₄$ et $X₁X₄+X₂X₃$ forment une orbite sous l'action de $𝔖₄$ sur $𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ dont les stabilisateurs sont précisément les $2$-Sylow (diédraux) de $𝔖₄$. Considérons le $2$-Sylow $D=⟨(1234),(12)(34)⟩$, correspondant à la numérotation $(1,2,3,4)$ des côtés d'un carré. Si $G⊆D$ (où l'on identifie $𝔖_R$ et $𝔖₄$), il agit trivialement sur $x₁x₃+x₂x₄$ qui appartient donc à $k$ et est une racine de $g$. Réciproquement, si $G$ n'est contenu dans aucun $2$-Sylow, il agit sans point fixe donc transitivement sur le sous-ensemble à trois éléments $\{X₁X₃+X₂X₄,X₁X₂+X₃X₄,X₁X₄+X₂X₃\}$ de $𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ et, \emph{a fortiori}, sur le sous-ensemble (à trois éléments par séparabilité de $g$) $\{x₁x₃+x₂x₄,x₁x₂+x₃x₄,x₁x₄+x₂x₃\}$ de $Ω$. Le polynôme $g$ n'a donc pas de racine dans $k$. \end{démo} Pour un complément, cf. \cite{Generic@JLY}, th. 2.2.3. \subsection{Exercices} \begin{exercice2} Soient $L=k(R)$ le corps de décomposition de $f$ et $K$ le corps de décomposition de $g$ contenu dans $L$. Montrer que \[ G≃\left\{ \begin{array}{ll} 𝔖₄ & \textrm{si } [K:k]=6 \\ 𝔄₄ & \textrm{si } [K:k]=3 \\ D₄ \textrm{ ou } 𝐙/4 & \textrm{si } [K:k]=2\\ V₄ & \textrm{si } [K:k]=1 \\ \end{array} \right. \] \end{exercice2} \begin{exercice2} Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tel que le polynôme $f_n=X⁴-nX-1$ soit irréductible et que le corps $𝐐_{f_n}=𝐐[X]/(f_n)$ n'ait pas de sous-extension non-triviale. (Indication : il suffit de vérifier que $G_f≃𝔖₄$.) \end{exercice2} \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../biblio/bibliographie-livre} \bibliographystyle{../biblio/style-bib-livre} \end{document} \else \endgroup \fi