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\title{Théorie de Galois infinie}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Théorie de Galois infinie}
\fi

\section{Théorie de Galois infinie}

\subsection{Topologie de Krull sur le groupe de Galois}

\subsubsection{}Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de
groupe $G$.
Pour toute sous-$k$-extension \emph{finie galoisienne}
$k'$ de $K$, le morphisme $G→G_{k'\bo k}$ est
\emph{surjectif} (prolongement
des plongements, \refext{CG}{prolongement-plongement}) et son noyau
$G_{K\bo k'}$ est donc 
un sous-groupe distingué d'indice fini $[k':k]$ de $G$.
Si $k'$ est maintenant une sous-extension finie non
nécessairement
galoisienne, le groupe $G_{K\bo k'}$ est également
d'indice fini dans $G$ car il contient $G_{K\bo k''}$, 
où $k''$ est la clôture normale de $k'$ dans $K$.
Les sous-groupes de $G$ d'indice fini de ce type
seront momentanément dits « algébriques ».
Il résulte de la formule $G_{K\bo k₁}∩G_{K\bo k₂}=G_{K\bo
k₁k₂}$,
où $k₁k₂$ désigne l'extension composée dans $K$, que
l'intersection
de deux sous-groupes d'indice fini algébriques est 
d'indice fini (c'est un fait général) et algébrique.

\begin{lemme2}\label{rajoute-rien}
\begin{enumerate}
\item Tout sous-groupe contenant un sous-groupe d'indice
fini
algébrique est algébrique.
\item Tout sous-groupe d'indice fini algébrique contient un
sous-groupe
distingué d'indice fini algébrique.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
(i) Soit $H⊆G$ contenant $H'=G_{K\bo k'}$ où $k'\bo k$ est
finie. Quitte à agrandir $k'$ (\cad rétrécir $G_{K\bo k'}$),
on peut
supposer que $k'\bo k$ est finie galoisienne. L'application
composée $H/H'↪G/H' ⥲ \Gal(k'\bo k)$
identifie $H/H'$ à un sous-groupe de $\Gal(k'\bo k)$,
nécessairement de la forme
$\Gal(k'/k'')$ pour une unique sous-$k$-extension $k''$ de
$k'$.
Il en résulte que $H$ coïncide avec l'image inverse dans $G$
de $\Gal(k'\bo k'')$ par le morphisme
$G↠\Gal(k'\bo k)$. Cette image inverse est l'ensemble
$\Gal(K\bo k'')$ des éléments de $G$
qui sont $k''$-linéaires.

(ii) Soit $k'\bo k$ une extension finie galoisienne et
$H=G_{K\bo k'}$ le
sous-groupe d'indice fini algébrique correspondant. Si $k''$
est la clôture
galoisienne de $k'$ dans $k'$, le sous-groupe $H'=G_{K\bo
k''}$ de $H$ est également
d'indice fini algébrique par construction ; il est distingué
dans $G$ 
car $k''\bo k$ est galoisienne.
\end{démo}

 
Nous allons maintenant munir $G$ de la structure de groupe
topologique la moins fine pour laquelle
les sous-groupes d'indice fini algébriques soient ouverts.

\begin{définition2}
On appelle \emph{topologie de Krull} sur $G$ la topologie
pour laquelle un sous-ensemble $U$ de $G$ est ouvert  \ssi
pour tout $u∈U$ il existe un sous-groupe 
d'indice fini \emph{algébrique} $H_{u,U}$ de $G$ tel 
que $uH_{u,U}$ soit contenu dans $U$.
\end{définition2}

Pour s'assurer que cette collection de sous-ensembles
définit bien
une topologie le seul point non trivial à vérifier
est que l'intersection de deux ouverts $U$ et $U'$ est
ouverte.
Or, si $u∈U∩U'$, $U$ (resp. $U'$) contient par hypothèse
le translaté  $uH_{u,U}$ (resp. $uH_{u,U'})$
d'un sous-groupe d'indice fini algébrique. 
Le sous-groupe $H_{u,U∩U'}:=H_{u,U}∩H_{u,U'}$ étant d'indice
fini algébrique, l'inclusion $uH_{u,U∩U'}⊆U∩U'$ montre bien
que $U∩U'$ est ouvert.

Enfin, remarquons qu'il n'y a pas de « nouveaux »
sous-groupes ouverts : 
un sous-groupe de $G$ est ouvert \ssi il est d'indice fini
algébrique. 
Cela résulte immédiatement de la définition de la topologie
et
de \ref{rajoute-rien} (i).

D'après \ref{rajoute-rien} (ii), on obtiendrait la même
topologie en se
restreignant aux sous-groupes \emph{distingués} d'indice
fini algébriques.

\begin{remarque2}\label{action-admissible}
Considérant naturellement $K$ comme un $G$-ensemble,
pour tout $x∈K$, le stabilisateur $\Stab_G(x)$ d'un élément
$x∈K$ coïncide avec le sous-groupe $G_{K\bo k(x)}$.
D'après le théorème de l'élément primitif,
les sous-groupes ouverts de $G$ pour la topologie de Krull 
sont donc exactement les stabilisateurs d'éléments de $K$. 
Il n'est pas difficile d'en déduire que la topologie de
Krull est 
la moins fine sur $G$ pour laquelle le morphisme $G×K→K$
déduit de l'action de 
$G$ soit continue, si l'on munit $K$ de la topologie
discrète. (Cf.
aussi \ref{compacite-Galois}, démonstration.)
\end{remarque2}

\begin{miseengarde2}\label{exemple-Kummerien}
Il n'est pas vrai en général que tout sous-groupe
d'indice fini d'un groupe de Galois soit ouvert.

Considérons par exemple le corps des fractions
$k=𝐐(x_i,i∈𝐍)$ de l'anneau des polynômes en une infinité
dénombrable de variables et 
$K$ un corps de décomposition sur $k$ de la famille de
polynômes $X²-x_i$. 
Si pour chaque $i∈𝐍$ on note $y_i$ l'une quelconque des
racines carrées de $x_i$ dans $K$, 
on a $K=k(y_i,i∈𝐍)=𝐐(y_i,i∈𝐍)$. Un élément de $G=\Gal_{K\bo
k}$ étant caractérisé par son action sur les $y_i$,
le morphisme $G→\{±1\}^𝐍$, $g\mapsto (\frac{g(y_i)}{y_i})$
est
injectif. D'autre part, pour tout $i∈𝐍$, le polynôme
$X²-y_i$ est irréductible (\cad : n'a pas de racine) sur
$k(y_j, j≠i)$ (exercice).
Il en résulte que pour toute partie finie $I⊆𝐍$, le corps
$k(y_i,i∈I)$ est isomorphe
au produit tensoriel sur $k$ des corps $k(y_i)$ et que 
le morphisme $G→\{±1\}^𝐍$ est surjectif : pour tout choix
de signes $ε∈\{±1\}^𝐍$, l'application $k$-linéaire $g_ε$
définie par $g_ε(y_i)=ε_i y_i$ est un élément de $G$. 
Ainsi, $G$ est naturellement
isomorphe à $\{±1\}^𝐍≅\FF₂^𝐍$.
L'ensemble des sous-groupes d'indice $2$ de $G$ est donc en
bijection
avec l'ensemble \emph{indénombrable} des formes linéaires
non nulles
$\FF₂^𝐍↠\FF₂$. (Rappelons que $\FF₂^𝐍$ est indénombrable
donc de dimension
indénombrable sur le corps fini $\FF₂$.) D'autre part,
l'ensemble
des sous-extensions finies de $K\bo k$ est dénombrable
car toute telle extension est monogène sur $k$ et $K$ est
dénombrable.
Il en résulte que l'ensemble des sous-groupes ouverts est
dénombrable.
\end{miseengarde2}

\begin{lemme2}
Les applications $G→G$, $g\mapsto g^{-1}$ (inverse) et
$G×G→G$,
$(g,g')\mapsto gg'$ (produit) sont
continues.
\end{lemme2}

En d'autres termes, muni de la topologie de Krull, $G$ est
un \emph{groupe
topologique}.

\begin{démo}
Soit $U$ un ouvert de $G$. Montrons que $U^{-1}=\{u^{-1},
u∈U\}$ est également ouvert.
Si $u^{-1}∈U^{-1}$, il existe $H_{u,U}$ \emph{distingué}
d'indice fini
tel que $uH_{u,U}⊆U$. On a donc $H_{u,U}u^{-1}⊆U^{-1}$
($H_{u,U}$ est un sous-groupe).
Puisque $H_{u,U}u^{-1}=u^{-1}uH_{u,U}u^{-1}=u^{-1}H_{u,U}$
($H_{u,U}$ est distingué),
on a $u^{-1}H_{u^{-1},U^{-1}}⊆U^{-1}$ où
$H_{u^{-1},U^{-1}}=H_{u,U}$.
La continuité du produit ne présente pas plus de difficulté.
\end{démo}


\begin{proposition2}\label{compacite-Galois}
Le groupe $G$ est un groupe compact.
\end{proposition2}

Rappelons qu'un espace topologique est dit
\emph{quasi-compact}
si tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini
et qu'un espace topologique est dit \emph{compact}
s'il est séparé et quasi-compact.


\begin{démo}Considérons l'ensemble $K^K=∏_{λ∈K} K$ des
applications
de $K$ dans $K$ et munissons-le de la topologie produit
où chaque facteur $K$ est muni de la topologie discrète.
Montrons que l'injection canonique $G→K^K$, $g\mapsto
(g(λ))_{λ∈K}$, est
continue, \cad que pour tout indice $λ∈K$, l'application
composée
$G→K^K\dessusdessous{\ev_λ}{→}K_λ$ est continue, où on note $\ev_λ$
l'« évaluation en $λ$ », projection
sur le facteur d'indice $λ$. Cette application n'est autre
que $g\mapsto g(λ)$, 
qui est bien continue car elle se factorise à travers
$G/G_{K\bo k'}$ où
$k'$ est une extension finie galoisienne de $k$ contenant
$λ$.
D'après le théorème de Tikhonov, l'espace topologique
$K^K$ est compact. 
D'autre part, pour tout triplet d'indices $(x,y,z)∈K³$,
l'application
de projection $K^K→K³=K_x×K_y×K_z$ est continue. Puisque
\emph{toute} application
entre les espaces topologiques discrets $K³→K$ est continue,
il en est en particulier ainsi des applications $∑:K_x × K_y
× K_z → K$, $(λ,μ,ν)\mapsto 
ν-(λ+μ)$ et $∏:(λ,μ,ν)\mapsto ν-λμ$. On en déduit que
l'ensemble des
applications $f∈K^K$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ (resp.
$f(xy)=f(x)f(y)$)
est \emph{fermé} dans $K^K$. Il coïncide en effet avec
l'image inverse
de $0∈K$ par l'application continue
$K^K→K_x×K_y×K_{x+y}\dessusdessous{∑}{→}K$
(resp. $K^K→K_x×K_y×K_{xy}\dessusdessous{∏}{→}K$).
De même, pour tout $λ∈K$, l'ensemble des $f∈K^K$ telles que
$f(λ)=λ$
est fermé : c'est l'image inverse de $0∈K$ par le morphisme
$K^K→K_λ\dessusdessous{Δ_λ}{→}K$,
où $Δ_λ(μ)=μ-λ$. Il en résulte que le sous-ensemble 
de $K^K$ constitué des morphismes de \emph{$k$-algèbres} est 
une intersection de fermés donc fermé.
Ainsi, tout élément $f$ de $K^K$ adhérent à l'image de $G$
est un \emph{morphisme de $k$-algèbres} $K→K$. D'après
\refext{CG}{Hom=Aut},
$f$ est un automorphisme : $f∈G=\Aut_k(K)$.
Le groupe $G$ s'identifie donc à un \emph{fermé} du compact
$K^K$. CQFD.
\end{démo}

\begin{remarque2}\label{separation-Galois}
Observons que la propriété de séparation de $G$ est plus
élémentaire que la
quasi-compacité.
Utilisant le fait que dans un groupe topologique
les translations, à droite ou à gauche,
sont des homéomorphismes, il suffit de montrer que pour tout
élément $g≠1$ de $G$,
il existe un voisinage ouvert de l'unité ne contenant pas
$g$.
Cela revient à montrer qu'il existe une extension finie
$k'$ telle que $g∉G_{K\bo k'}$. Or, $g$ étant non trivial,
il existe $x∈K$ tel que $g(x)≠x$ et, finalement, $g∉G_{K\bo
k(x)}$.
(Cf. \ref{action-admissible}.)
\end{remarque2}


\begin{lemme2}\label{ouvert-contient-distingue-indice-fini}
Soit $G$ un groupe topologique.
\begin{enumerate}
\item Tout sous-groupe ouvert de $G$ est fermé.
\item Tout sous-groupe fermé d'indice fini $G$ est ouvert.
\item Si $G$ est quasi-compact, tout sous-groupe ouvert est
d'indice fini.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $H$ un sous-groupe de $G$. L'ensemble $G$ (resp. $G-H$)
est la
réunion \emph{disjointe} des classes à gauche (ou à droite)
de $H$ dans $G$ 
(resp. des classes à gauche différentes de $H$). Puisque les
translations sont des homéomorphismes,
chaque classe est ouverte (resp. fermée) \ssi $H$ l'est. 
Les énoncés (i—iii) résultent immédiatement de cette
observation.
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{Galois-totalement-discontinu}
Le groupe groupe de Galois d'une extension est
\emph{totalement discontinu} : pour toute
paire d'éléments distincts $x,y$ de $G$, il existe un 
ensemble \emph{ouvert-fermé} $U$ tel que $x∈U$ et $y∉U$.
\end{proposition2}

De façon équivalente : la composante connexe de chacun de
ses
points est réduite à ce point.

\begin{démo}
On peut supposer $x=e$. Puisque tout \emph{sous-groupe}
ouvert
est fermé, il suffit de montrer qu'il existe
un \emph{sous-groupe}, \emph{ouvert}, $H$ de $G$ tel que
$y∉H$.
On l'a vu en \ref{separation-Galois} ci-dessus.
\end{démo}

\subsection{Généralités sur les limites
projectives}\label{limites-projectives-espaces-topologiques}

\subsubsection{Définitions} Soit $I$ un ensemble ordonné (ou
plus généralement
préordonné). On appelle \emph{système projectif} 
d'ensembles (resp. de groupes, anneaux, espaces
topologiques) \emph{indexé par $I$} la donnée d'une famille
$(E_i)_{i∈I}$ d'ensembles (resp. groupes, anneaux, espaces
topologiques) 
et, pour toute paire $(i,i')$ d'indices telle que $i≤i'$,
d'une application (resp. d'un morphisme de groupes, d'un
morphisme
d'anneaux, d'une application continue)
$π_{i,i'}:E_{i'}→E_{i}$ (souvent notée $π_{ii'}$) telles que
les conditions
suivantes soient satisfaites :
\begin{enumerate}
\item pour tout $i∈I$, $π_{i,i}=\Id_{E_i}$ ;
\item pour tout triplet $(i,j,k)$ de $I$ tel que $i≤j≤k$,
on a $π_{i,j}π_{j,k}=π_{i,k}$.
\end{enumerate}

On notera souvent $(E_i)_{i∈I}$ une telle donnée, les
morphismes $π_{i,i'}$
étant sous-entendus.

La \emph{limite projective} (ou simplement \emph{limite}) du
système projectif
$(E_i,π_{ij})$ est le sous-ensemble (resp. sous-groupe,
sous-anneau, sous-espace
topologique) de l'ensemble (resp. groupe, anneau, espace
topologique) produit $∏_{i∈I} E_i$ 
constitué des familles $(e_i∈E_i)_{i∈I}$ d'éléments
compatibles au sens suivant : si $i≤j$, $e_i=π_{ij}(e_j)$. 
On note $\lim_{i∈I} E_i$ cet ensemble (resp. groupe, anneau,
espace
topologique).
Remarquons que la condition $π_{ij}π_{jk}=π_{ik}$ n'apparaît
pas dans la définition de $\lim_i E_i$. 

On vérifie sans peine que $\lim E_i$ est une limite au sens
de
\refext{Cat}{limite-indices-ensemble-preordonne} :
pour tout ensemble (resp. groupe, anneau, espace
topologique) test $T$, on
a 
$$
\Hom(T,\lim_i E_i) ⥲ \lim_i \Hom(T,E_i),
$$
où le terme de droite est la limite des \emph{ensembles}
d'applications
(resp. morphismes de groupes, morphismes d'anneaux,
applications continues) 
$\Hom(T,E_i)$.

\begin{lemme2}
Soit $(X_i)_{i∈I}$ un système projectif d'espaces
topologiques séparés.
Le sous-espace $\lim_{i∈I} X_i$ est \emph{fermé} dans $∏_i
X_i$. 
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $x=(x_i)_{i∈I}$ n'appartenant pas à $\lim_i X_i$ :
il existe deux indices $α≤β$ tels que $x_α≠π_{αβ}(x_β)$.
Soit $U_{αβ}=X_β×X_α-\{(x'_β,π_{αβ}(x'_β)) : x'_β∈X_β\}$ le
complémentaire
du graphe de $π_{αβ}$ dans $X_β×X_α$. 
Rappelons que l'espace topologique $X_β$ étant séparé,
sa diagonale $Δ_β$ est fermée dans $X_β×X_β$ 
(cf. p. ex. Bourbaki, TG, I §8). Il en résulte que le graphe
de $π_{αβ}$, qui est l'image inverse de $Δ_β$ par
l'application
continue $X_β×X_α→X_β×X_β$, $(x'_β,x'_α)\mapsto
(x'_β,π_{αβ}(x'_α))$,
est également fermé.
Son complémentaire $U_{αβ}$ étant par conséquent ouvert, il
en est de 
même de l'image inverse $U$ de $U_{αβ}$ par
la projection \emph{continue} $∏_i X_i → X_β×X_α$. L'ouvert
$U⊆∏_{i∈I} X_i$
contient $x$ et ne rencontre pas $\lim_i X_i$. CQFD.
\end{démo}

Du lemme précédent et du théorème de Tikhonov, on déduit
le corollaire suivant.

\begin{corollaire2}\label{limite-compacts=compact}
Une limite projective d'espaces topologiques compacts est
compacte.
\end{corollaire2}

\begin{définition2}
Un espace topologique $X$ (resp. groupe topologique $G$) est
dit \emph{profini} \index{profini} 
s'il est isomorphe à la limite d'un système projectif
d'espaces topologiques
(resp. groupes) finis munis de la topologie discrète.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
Un espace topologique profini est compact et totalement
discontinu.
\end{proposition2}

On peut montrer que la réciproque est vraie.

\begin{démo}
La compacité n'est mise que pour mémoire (cf.
\ref{limite-compacts=compact}).
Puisque d'un fermé d'un espace topologique totalement
discontinu
est totalement discontinu, il suffit de vérifier qu'un
produit
d'espaces topologiques discrets a cette propriété.
Si $x≠y$ sont deux éléments de $∏_i X_i$, où les $X_i$ sont
discrets,
il existe un indice $i$ tel que $x_i≠y_i$. L'ouvert-fermé
$U=∏_{j≠i} X_j × \{x_i\}$
contient $x$ mais pas $y$.
\end{démo}

\begin{miseengarde2}
Un morphisme entre groupes profinis n'est pas nécessairement
continu :
on a vu en \ref{exemple-Kummerien} qu'il existe des
morphismes
non continus entre $\FF₂^𝐍$ --- muni de la topologie
produit, profinie ---
et $\FF₂$ --- muni de la topologie discrète, profinie.
De même, un groupe abstrait peut-être le groupe sous-jacent
à des groupes topologiques profinis non homéomorphes, cf.
exercice \refext{CG}{isom-non-cont}.
\end{miseengarde2}

\begin{remarque2}
D'après un théorème de Nikolov et Segal,
tout sous-groupe d'indice fini d'un groupe profini de type fini
(c'est-à-dire ayant un nombre fini de générateurs topologiques)
est \emph{ouvert}. \XXX
\end{remarque2}

\subsubsection{Spectre de l'anneau des fonctions localement
constantes}\label{Spec(Hom(X,k))}

Soient $X$ un espace topologique, $k$ un corps muni de la
topologie discrète et 
$A$ l'anneau des fonctions \emph{continues} (\cad localement
constantes) 
de $X$ dans $k$. Le morphisme d'évaluation
en $x$, $\ev_x:f↦f(x)$, est une surjection de $A$ sur $k$.
Son noyau
$\{f∈A: f(x)=0\}$ est donc un idéal maximal de $A$, que nous
noterons $\MM_x$.

\begin{proposition3}\label{Spec(Hom(X,k))}
Si l'espace topologique $X$ est quasi-compact et totalement
discontinu,
l'application $X→\Spec(A)$, $x↦\MM_x$, est une bijection.
\end{proposition3}

\begin{démo}
Puisque $X$ est totalement discontinu, l'application
$x↦\MM_x$ est
\emph{injective} : si $x≠y∈X$, et $U$ est un ouvert-fermé
contenant $y$ mais pas $x$, la fonction
indicatrice $\mathbf{1}_U$ de $U$ appartient à $\MM_x$ mais
pas à $\MM_y$.

Montrons que sous l'hypothèse de compacité de $X$, tout
idéal maximal $\MM$ de $A$ est de
cette forme. Observons tout d'abord que les fonctions $f∈A$
ne prennent qu'un
nombre fini de valeurs car elles sont localement constantes
sur un espace
quasi-compact. Il en résulte que l'ouvert ${y∈X:f(y)≠0}$,
support de $f$, est 
\emph{fermé}.
Supposons par l'absurde qu'il existe pour tout $x∈X$, une
fonction $f_x∈\MM$ 
telle que $f_x(x)≠0$. Quitte à remplacer $f_x$ par
le produit $f_x\cdot ∏\limits_{λ∈f_x(X)-\{f_x(x)\}}
(f_x-λ)$, on peut supposer
qu'elle ne prend qu'une seule valeur non nulle, que l'on
peut supposer égale à un.
Ainsi, pour tout $x∈X$, $\MM_x$ contient la fonction 
caractéristique d'un ouvert-fermé $U_x$ contenant $x$.
Par quasi-compacité de $X$, il existe des points
$x₁,…,x_n∈X$ tels
que $⋃ U_{x_i}=X$. D'après le principe du crible, l'unité de
$A$,
qui est la fonction indicatrice de $X$, est une somme
alternée de produits des fonctions
$\mathbf{1}_{U_{x_i}}$ qui appartiennent à $\MM$. C'est
absurde.

Enfin, vérifions que tout idéal premier de $A$ est maximal.
Soit $𝔭∈\Spec(A)$ et
$x∈X$ tel que $𝔭⊆\MM_x$. Supposons par l'absurde qu'il
existe une fonction
$f∈\MM_x-𝔭$. Procédant comme ci-dessus, on se ramène au cas
où 
$f$ est la fonction caractéristique d'un ouvert-fermé $U$
(son support) ne contenant pas $x$.
(On utilise le fait que les fonctions $f-λ$ pour $λ≠f(x)$
n'appartiennent pas à $\MM_x$
donc, \emph{a fortiori}, pas à $𝔭$.)
La fonction $f\cdot \mathbf{1}_{X-U}$ est identiquement
nulle donc appartient
à $𝔭$ mais ni $f$ (par hypothèse) ni $\mathbf{1}_{X-U}$ (qui
n'appartient pas à
$\MM_x$) n'appartiennent à $𝔭$.
\end{démo}

%\begin{définition2}
%Soit $G$ un groupe profini. Un $G$-ensemble $X$ est dit
%\emph{admissible}
%\index{admissible} si le stabilisateur de tout point de $X$
%est ouvert.
%\end{définition2}

%Cela revient à supposer que l'on a :
%$$
%X=⋃_{H≤G \atop \textrm{ouvert}} \Fix_H(X).
%$$

%\begin{proposition2}
%Soient $G$ un groupe profini, $A$ un anneau,
%et $G→\Aut_{\categ{Ann}}(A)$ une action \emph{admissible}.
%Alors, $G$ agit \emph{transitivement} sur les fibres
%des morphismes $\Spec(A)→\Spec(\Fix_G(A))$.
%\end{proposition2}

%Ce proposition est déjà intéressante dans le cas
%particulier
%où $G$ est \emph{fini}.

%\begin{démo}
%Réduction au cas où $G$ est fini.
%Cas où $G$ est fini.
%Soient $𝔭,𝔭'$ deux idéaux de $A$ ayant même image dans
%$B=\Fix_G(A)$, \cad
%tels que $𝔭⋂B=𝔭'⋂B=p$. Soit $x∈𝔭$ et considérons $y=∏_{g∈G}
%g(x)$. Il est
%$G$-invariant et appartient à $𝔭$ donc à $𝔭⋂B=𝔭'⋂B⊆𝔭'$.
%L'idéal
%$𝔭'$ étant premier, il existe $g_x∈G$ tel que $g_x(x)∈𝔭'$,
%soit
%$x∈g_x^{-1}(𝔭')$. Faisant varier $x$, on en déduit
%l'inclusion :
%$𝔭⊆⋃_{g∈G} g(𝔭')$. Il résulte du lemme ci-dessous qu'il
%existe $g∈G$ 
%tel que $𝔭⊆g(𝔭')$. Ces deux idéaux étant au-dessus de $p$,
%on a $𝔭=g(𝔭')$.
%\end{démo}


%\begin{lemme2}
%idéal premier contenu dans une union finie.
%\end{lemme2}

\subsection{Le groupe de Galois, muni de la topologie de
Krull, est profini}\label{galois=profini}
Considérons une famille $\mc{E}$ 
de sous-$k$-extensions galoisiennes $E\bo k$
(finies ou non) \emph{exhaustive}, \cad telle que
$⋃_{E∈\mc{E}} E=K$.
Supposons que, munie de la relation d'ordre définie
par la relation d'inclusion des corps,
cette famille soit \emph{filtrante à droite} :
pour toute paire d'extensions $E₁,E₂∈\mc{E}$,
il existe $E∈\mc{E}$ telle que $E₁⊆E$ et $E₂⊆E$.

Si $E$ et $E'$ sont dans $\mc{E}$, avec $E⊆E'$, la
restriction à $E$ induit un morphisme surjectif
$π_{E,E'}:G_{E'\bo k}↠G_{E\bo k}$. Notons $\lim_E G_{E\bo
k}$ la limite de ce
système projectif.
La famille des morphismes $G=G_{K\bo k}→G_{E\bo k}$
induit un morphisme de groupes $G→\lim_E G_{E\bo k}$.
Ce morphisme est :
\begin{itemize}
\item injectif car tout élément non trivial
de $G$ agit non trivialement sur un élément de $K$,
et en particulier sur toute extension galoisienne $E∈\mc{E}$
qui le contient ; 
\item surjectif car toute famille compatible
d'éléments $(g_E∈G_{E\bo k})$ se « recolle » 
en un automorphisme $g∈G_{K\bo k}$.
\end{itemize}
Ainsi, on a un isomorphisme de groupes abstraits :
$$
G ⥲ \lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}.
$$

Supposons maintenant que les extensions $E∈ℰ$ soient
\emph{finies} sur $k$.
On va voir que l'isomorphisme précédent est alors un
\emph{homéomorphisme}. Il en résulte que la topologie de
Krull sur $G$ coïncide avec la topologie de 
la limite projective (des groupes de Galois des extensions
sous-extensions
finie galoisiennes de $K\bo k$).

Puisque $G$ est compact et $\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$
séparé (car compact, cf. \ref{limite-compacts=compact}),
la bijection $G→\lim_{E∈\mc{E}} G_{E\bo k}$ est un
homéomorphisme
\ssi elle est continue (\cite{TG@Bourbaki}, I.63, cor. 2).
Par définition de la topologie de la limite, 
il suffit de vérifier que pour chaque $E'∈\mc{E}$ le
morphisme composé $G→\lim_E G_{E\bo k}→G_{E'\bo k}$
est continu. Puisque c'est un morphisme de groupes et que le
but
est muni de la topologie discrète, cela revient à démontrer
que
le noyau de $G→G_{E'\bo k}$ est ouvert. La topologie de
Krull
est précisément caractérisée par cette propriété. 

Nous sommes maintenant en mesure de généraliser
l'énoncé \refext{CG}{galois=autodiag} au cas d'une
extension infinie.

\subsection{Correspondance de Galois profinie}

\begin{proposition2}\label{KtensK-cas-infini}
Soient $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$
et $K'\bo K$ une extension quelconque.
Le morphisme $K⊗_k K'→∏_{g∈G} K'=\Hom_{\Ens}(G,K')$,
$a⊗b\mapsto \big(g∈G\mapsto
g(a)b∈K'\big)$
induit un isomorphisme de $K'$-algèbres
$$
K⊗_k K' ⥲ \Hom_{\cont}(G,K'),
$$
où $\Hom_{\cont}(G,K')$ désigne l'ensemble des applications
\emph{continues}
de $G$ dans $K'$, $G$ étant muni de la topologie de Krull et
$K'$ de la topologie
discrète. 

Cet isomorphisme est $G$-équivariant si l'on fait agir $g∈G$
sur $K⊗K'$ par
$g⊗\Id$ et sur $\Hom$ par translation à droite : $g\cdot
f(g')=f(g'g)$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Vérifions que l'image de $K⊗_k K'→\Hom(G,K')$ est contenue
dans l'ensemble des applications continues de $G$ dans $K'$.
Puisque
tout élément de $K⊗_k K'$ est somme d'un nombre \emph{fini}
de tenseurs purs, il suffit de vérifier que pour toute
paire $(a,b)∈K×K'$, l'application $g\mapsto g(a)b$ est
continue.
Ceci résulte du fait qu'elle est $G_{K\bo k(a)}$-invariante
par translation à droite donc localement constante, et par
conséquent continue car l'espace
but est discret.

Notons $\mc{E}$ l'ensemble des sous-$k$-extensions
\emph{finies
galoisiennes} de $K$. La démonstration se fait par « passage
à la limite »
sur $E∈ℰ$.

Commençons par démontrer l'affirmation suivante, qui est une
variante 
de \refext{CG}{galois=autodiag} : pour tout $E∈\mc{E}$,
l'application $f_{E,K}:E⊗_k
K'→\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$
envoyant $e⊗b$ sur $\big(g\mapsto g(e)b\big)$ est un
isomorphisme de
$K$-algèbres. D'après \emph{loc. cit.}, le morphisme
$f_{E,E}:E⊗_k E→\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)$
envoyant $e⊗e'$ sur $g\mapsto g(e)e'$ est un isomorphisme de
$E$-algèbres, où la structure de $E$-algèbre sur $E⊗_k E$
est celle du \refext{CG}{KtensK=K-algebre}.
Tensorisons à droite les deux termes de cet isomorphisme
par $K'$ sur $E$.
À gauche, on obtient la $K'$-algèbre $(E⊗_k E)⊗_E K'$ qui
est $K'$-isomorphe
à $E⊗_k K'$ par l'application $α:(e⊗e')⊗b\mapsto e⊗(e'b)$
(\refext{Cat}{}).
À droite, on obtient $\Hom(G_{E\bo k},E)⊗_E K'$
qui est $K'$-isomorphe à $\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ par
l'application
$β:φ⊗b\mapsto (g\mapsto φ(g)b)$.
La conclusion résulte de la commutativité du diagramme
$$
\xymatrix{
(E⊗_k E)⊗_E K' \ar[r]^{f_{E,E}⊗_E K'} \ar[d]^{\alpha} &
\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},E)⊗_E K'
\ar[d]^{\beta} \\
E⊗_k K' \ar[r]^{f_{E,F}} & \Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')
}
$$

Pour tout $E∈\mc{E}$, l'application $E⊗_k K'→ K ⊗_k K'$
déduite de l'inclusion
$E⊆K$ est injective (cf. \refext{Cat}{}). De plus,
identifiant
$E⊗_k K'$ à son image dans $K ⊗_k K'$, on a (cf.
\refext{Cat}{}) :
$$K⊗_k K'=⋃_{E∈\mc{E}} E⊗_k K'.$$

D'autre part, pour tout $E∈\mc{E}$, l'application
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')→
\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$ déduite du morphisme de
restriction $r_E:G→G_{E\bo k}$
est injective car $r_E$ est surjectif. Identifiant
$\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K')$ à son image dans
$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')$,
on a :
$$\Hom_{\mathrm{cont}}(G,K')=⋃_{E∈\mc{E}}
\Hom_{\Ens}(G_{E\bo k},K').$$
Soit en effet $f:G→K'$ une application continue ; on
souhaite
montrer qu'elle se factorise à travers un quotient par un
sous-groupe
distingué ouvert de $G$.
Comme remarqué plus haut, puisque $K'$ est discret, 
une application de but $K'$ est continue \ssi elle est
localement
constante \cad si pour tout $g∈G$, il existe un ouvert $U_g$
de $G$ contenant
$g$ tel que $f(U_g)=\{f(g)\}$. Puisque $G$ est un groupe
topologique, on peut 
supposer $U_g$ de la forme $U_g=gH_g$ où $H_g$ est un
\emph{sous-groupe} ouvert
de $G$. D'autre part, puisque $G$ est compact, il est
recouvert par un nombre
fini d'ouverts $g₁H_{g₁},\dots,g_nH_{g_n}$ du type
précédent. Posons $H'=⋂_1^n H_{g_i}$ ; c'est un
sous-groupe ouvert. Par construction, la fonction $f$ est
$H'$-invariante 
à droite. Soit $H$ un sous-groupe ouvert distingué d'indice
fini contenu dans
$H'$, dont l'existence est assurée par
\ref{rajoute-rien} (ii). 
La fonction $f$ est également $H$-invariante à droite et se
factorise
donc par le groupe quotient $G/H$. CQFD.

La conclusion résulte de la commutativité des diagrammes
$$
\xymatrix{
K⊗_k K' \ar[r] & \Hom_{\cont}(G,K') \\
E⊗_k K' \ar[u] \ar[r] & \Hom(G_{E\bo k},K') \ar[u]
}
$$
pour chaque $E∈\mc{E}$.

Le fait que cet isomorphisme soit $G$-équivariant est
conséquence immédiate des définitions.
\end{démo}


L'espace topologique sous-jacent à $G$ étant compact,
il résulte du résultat de \ref{Spec(Hom(X,k))} que le
spectre de 
$\Hom_{\cont}(G,K')$ est en bijection naturelle avec
$G$, par l'application naturelle $g↦\Ker(\ev_g)$.
On retrouve le résultat de \refext{CG}{points-KtensK}, pour $K'=K$, 
puisque l'application $\ev_g:\Hom_{\cont}(G,K')→K'$
correspond
par l'isomorphisme de la proposition à l'application
$a⊗b↦g(a)b$,
$K⊗_k K'→K'$.

\begin{théorème2}[Wolfgang Krull, 1927
\cite{unendlichen@Krull}]
Soit $K\bo k$ une extension galoisienne de groupe $G$. 
Les applications $H \mapsto \Fix_H(K)$ et
$k'\mapsto \Gal(K\bo k')$ sont des bijections inverses l'une
de l'autre, et décroissantes pour l'inclusion, entre
l'ensemble
des sous-groupes \emph{fermés} de $G$ et l'ensemble
des sous-$k$-extensions de $K$.
\end{théorème2}

\begin{miseengarde2}
Comme on l'a vu en \ref{compacite-Galois} (démonstration) si
$H$ est un sous-groupe de $G$, et $k'=\Fix_H(K)$,
tout élément $g$ dans l'adhérence de $H$ est également
$k'$-linéaire
de sorte que l'inclusion \emph{a priori}
$\Fix_{\sur{H}}(K)⊆\Fix_{H}(K)$ est une bijection.
Il en résulte qu'un sous-groupe de $G$ n'est en général pas 
caractérisé par l'ensemble de ses points fixes\footnote{Par
exemple, si $p$ est 
un nombre premier, $k=\FF_p$ et $K$ est une clôture
algébrique de $k$, $G$
contient strictement le sous-groupe $H$ engendré par le
Frobenius $φ:x\mapsto x^p$
(cf. \ref{exemple-gal-corps-fini}) mais
$\Fix_H(K)=k=\Fix_G(K)$.}. 
D'autre part, on verra ci-dessous
(\ref{sous-groupe-non-ferme}) 
que tout groupe de Galois infini possède un sous-groupe non
fermé,
de sorte que l'application $H\mapsto \Fix_H(K)$, de
l'ensemble
de \emph{tous} les sous-groupes de $G_{K\bo k}$ vers les
sous-corps de $K$ n'est injective
que si $G=\Gal(K\bo k)$ est fini, \cad si l'extension $K\bo
k$ est finie.
\end{miseengarde2}

La démonstration se fait en deux temps.
\begin{lemme2}
Soit $k'$ une sous-extension de $K\bo k$. Alors $K\bo k'$
est galoisienne
et le sous-groupe $G_{K\bo k'}$ de $G=G_{K\bo k}$ est fermé. 
En particulier, $k'=\Fix_{G_{K\bo k'}}(K)$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
L'extension $K\bo k'$ est normale et algébrique séparable
donc
galoisienne. Son groupe de Galois $G_{K\bo k'}$ est
l'ensemble
des éléments $k'$-linéaires de $G$. On a vu en
\ref{compacite-Galois} (démonstration) 
qu'il est fermé pour la topologie de Krull.
(Alternativement,
on peut écrire $G_{K\bo k'}=⋂_{x∈k'} G_{K\bo k(x)}$, et
observer
que les $G_{K\bo k(x)}$ sont ouverts donc fermés dans $G$.)
\end{démo}
Réciproquement, on a le résultat plus précis suivant.
\begin{lemme2}
Soit $H⊆G$ un sous-groupe de $G$ et posons 
$k'=\Fix_H(K)$. L'extension $K\bo k'$ est galoisienne
et l'inclusion naturelle $H→\Gal(K\bo k')$ induit
une bijection entre l'adhérence de $H$ et $\Gal(K\bo k')$.
\end{lemme2}
\begin{démo}
Le fait que $K\bo k'$ soit galoisienne n'est mis que pour
mémoire.
Soit $g$ un élément du sous-groupe \emph{fermé} $\Gal(K\bo
k')$.
On veut montrer que $g$ est adhérent à $H$, \cad que pour
tout sous-groupe ouvert
$U$ de $G$, l'intersection $H∩gU$ est non vide. Il suffit de
le vérifier
pour $U$ distingué dans $G$. Soit $l$ une sous-extension
finie galoisienne de $K\bo k$ et $U=\Gal(K\bo l)$ le
sous-groupe distingué ouvert correspondant. 
Notons $H_l=HU/U$ l'image de $H$ dans le groupe fini
$G/U=\Gal(l\bo k)$. 
D'après le lemme précédent, $l$ est l'ensemble des éléments
de $K$ fixes par $U$.
D'autre part, $k'$ est l'ensemble des éléments de $K$ fixes
par $H$. Il 
en résulte que $k'∩l=\Fix_{UH}(K)$. De l'égalité formelle
$\Fix_{UH}(K)=\Fix_{UH/U}(\Fix_{U}(K))$,
on tire : $k'∩l=\Fix_{H_l}(l)$. D'après la théorie de Galois
finie, on
a donc $H_l=\Gal(l\bo k'∩l)$ de sorte que $g_{|l}∈H_l$. Cette
condition
équivaut à $gU∩H≠∅$.
\end{démo}

Au cours de la démonstration du lemme précédent, nous avons
établi
le résultat suivant.

\begin{proposition2}\label{description-adherence-sous-groupe}
Soient $G=\lim_{i∈I} G_i$ un groupe profini et 
pour tout $i∈I$ désignons par $π_i$ l'application canonique
$G→G_i$. Si $H$ est un sous-groupe de $G$, son adhérence
$\sur{H}$ 
coïncide avec le sous-groupe $\lim_{i∈I} π_i(H)$ de $G$.
Si $G_i=G/U_i$, cette égalité s'écrit :
$$
\sur{H}=\lim_{i∈I} HU_i/U_i.
$$
\end{proposition2}

\begin{proposition2}[Krull, \emph{op. cit.}]
Le groupe de Galois d'une extension galoisienne infinie est
indénombrable.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $K\bo k$ une extension galoisienne infinie. Il existe
une suite
\emph{strictement croissante}
$k=k₀⊊k₁⊊\cdots⊊k_i⊊k_{i+1}⊊\cdots$
de sous-$k$-extensions de $K$ finies galoisiennes.
Puisque le morphisme de restriction $G=\Gal(K\bo
k)→\Gal\big((⋃_i k_i)\bo k\big)$ est
surjectif, on peut supposer $K=⋃k_i$.
Les morphismes de restrictions $G_{i+1}=\Gal(k_{i+1}\bo
k)→G_i=\Gal(k_i\bo k)$
sont surjectifs, de noyaux $\Gal(k_{i+1}\bo k_i)$ tous non
triviaux car $k_{i+1}≠k_i$.
D'autre part, on a $G ⥲ \lim_{i∈𝐍} G_i$ (cf.
\ref{galois=profini}).
La conclusion résulte donc du lemme ci-dessous.
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soit $(G_i)_{i∈𝐍}$ un système projectif de groupes
à morphismes de transitions surjectifs mais \emph{non
injectifs}.
Alors $G=\lim_{i∈𝐍} G_i$ est \emph{indénombrable}.
\end{lemme2}

\begin{démo}
C'est intuitivement clair : chaque élément $g_i∈G_i$ ayant
au moins deux antécédents
dans $G_{i+1}$, le cardinal de $G$ est « au moins » celui de
$2^𝐍$, qui est indénombrable.
Vérifions-le en détail. Pour chaque $i∈𝐍$ l'application
$G_{i+1}→G_i$ est
surjective de sorte qu'il lui existe une section
(ensembliste) $τ_i:G_i→G_{i+1}$.
Soit $h=(h_i)_{i≥1}$ un élément de $H=∏_i \Ker(G_i→G_{i-1})$
à composantes toutes non
triviales. Pour tout $ε$ appartenant à l'ensemble
\emph{indénombrable}
$\{0,1\}^{𝐍_{>0}}$ 
considérons l'élément $h^ε$ de $H$ défini par 
$h^ε_i=e$ si $ε(i)=0$ et $h^ε_i=h_i$ si $ε(i)=1$.
Enfin, définissons par récurrence la suite
$g_ε=(g_{ε,i})∈∏_i G_i$
par la règle suivante : $g_{ε,0}=e$ et
$g_{ε,n}=τ_{n-1}(g_{ε,n-1})\cdot h^ε_n$
pour $n≥1$.
Par construction c'est un élément de $G=\prlim_i G_i$.
D'autre part,
l'application $ε↦g_ε$ est \emph{injective}: si $n$ est le
plus petit
entier tel que $ε(n)≠ε'(n)$, on a $g_{ε,n}=g_{ε',n}
h_n^{±1}$ donc
$g_ε≠g_{ε'}$.
\end{démo}

Puisqu'un sous-groupe fermé d'un profini
est profini (cf. p. ex.
\ref{description-adherence-sous-groupe}),
tout sous-groupe \emph{fermé} infini d'un groupe profini
infini
est indénombrable.
Puisque tout groupe indénombrable possède un sous-groupe
dénombrable,
on en déduit le corollaire :

\begin{corollaire2}\label{sous-groupe-non-ferme}
Tout groupe de Galois infini possède un sous-groupe non
fermé.
\end{corollaire2}

\subsection{Une autre équivalence de catégories}

Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $k\sep$ une
clôture séparable
de $k$ et $G_k=\Gal(k\sep\bo k)$ le groupe de Galois absolu.

\begin{définition2}
Un $𝐅_p$-espace vectoriel de dimension finie $V$
muni d'une action linéaire de $G_k$ se factorisant à travers
un
quotient fini est appelé une \emph{$𝐅_p$-représentation
continue de $G_k$}.
\end{définition2}

L'adjectif « continu » est justifié par les définitions de
la section suivante.

Pour toute telle représentation, le $k\sep$-espace
vectoriel $V⊗_{𝐅_p} k\sep$ est naturellement muni d'une
action
\emph{$k$-linéaire} de $G_k$ caractérisée par
$g(v⊗λ)=(g\cdot v)⊗g(λ)$,
où $g∈G_k$, $v∈V$ et $λ∈k\sep$. On note $D(V)$ l'ensemble
$\Fix_{G_k}(V⊗_{𝐅_p} k\sep)$ des points fixes ; c'est un
$k$-espace
vectoriel. L'application $𝐅_p$-linéaire 
$\Id⊗\Frob_p:V⊗_{𝐅_p} k\sep→V⊗_{𝐅_p} k\sep$, $v⊗λ↦v⊗λ^p$ 
est $G_k$-équivariante ; elle induit un endomorphisme
$\Frob_p$-semi-linéaire
$φ$ sur le $k$-espace vectoriel $D(V)$ :
$φ(λx)=\Frob(λ)φ(x)$ pour tout $λ∈k$
et tout $x∈D(V)$.

\begin{définition2}
Un $k$-espace vectoriel muni d'une application additive
$\Frob$-semi-linéaire
est appelé un $φ$-module sur $k$. Il est dit \emph{étale} si
$φ$ est injectif.
\end{définition2}

\begin{théorème2}\label{Fp representations continues et phi
modules}
Le foncteur $V↦D(V)$ induit une équivalence de catégories
entre la catégorie
des $𝐅_p$-représentations continues de dimension finie de
$G_k$ et la catégorie
de $φ$-modules étales de dimension finie sur $k$. Le
foncteur $M↦M^{φ=1}$
est un quasi-inverse.
\end{théorème2}

\begin{démo}
Cf. p. ex., Fontaine, cours à Orsay. \XXX
On montre par Hilbert 90 que $\dim_k D(V)=\dim_{𝐅_p} V$.
Pour la réciproque, on utilise le·:

\begin{lemme3} Soient $K$ un corps de caractéristique $p>0$
et
$(a_{ij})∈\GL_d(K)$. Posons $P_i=X_i^p+∑_j a_{ij}X_j$
et $A=K[X₁,…,X_d]/(P₁,…,P_d)$. Alors, le $𝐅_p$-sous-espace
vectoriel $A(K)$ de $K^d$ est de dimension finie $d$.
\end{lemme3}
\end{démo}

Amplification. [Katz, «·p-adic properties of modular schemes
and modular forms·» (Anvers), 1972]

Soit $S$ un $𝐅_p$-schéma normal connexe. La catégorie
des $𝐅_p$-représentations (continues, de dimension finie)
de $π₁(S)$ et la catégorie des paires $(ℳ,F)$, où
$ℳ$ est un $𝒪_S$-module localement libre de rang fini
et $F$ un isomorphisme $\Frob^*ℳ⥲ℳ$, sont équivalentes.



\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi