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\title{Corps locaux, corps globaux}

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\begin{document}
\begin{center}
Corps locaux, corps globaux
\end{center}
\version
\tableofcontents
\else
\chapter{corps locaux, corps globaux}
\fi

\renewcommand{\mod}{\mathrm{mod}}

\section{Corps locaux}

\subsection{Premières définitions, notations}

\subsubsection{}On appelle \textbf{corps local
non-archimédien}, ou \textbf{ultramétrique},
le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
complet à corps résiduel fini, muni de la topologie
induite par la valuation. On appelle \emph{corps local archimédien} tout corps
topologique isomorphe au corps $𝐑$ des nombres réels ou bien au corps $𝐂$ des nombres complexes.
Enfin, un \textbf{corps local} est un corps d'un des deux types
précédents.

\subsubsection{}Il résulte de
\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
qu'un corps local ultramétrique de caractéristique résiduel $p>0$ est fini sur un sous-corps
fermé $K₀$ isomorphe au corps des nombres $p$-adiques $𝐐_p$
ou bien au corps des séries de Laurent formelles $𝐅_p((t))$.
Un tel sous-corps $K₀$ est unique lorsque $K$ est de
caractéristique nulle — il coïncide alors avec l'adhérence
de $𝐐$ dans $K$ — mais il n'est pas unique lorsque $K$ est
de caractéristique $p$. En effet, si $K₀$ est comme
précédemment, le sous-corps $K₀^p=𝐅_p((t^p))$ de $K$
satisfait les mêmes conditions. (Que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p((t))$
résulte par exemple du fait que la dérivation par rapport à $t$
est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)

\subsubsection{}Lorsque $K$ est un corps local
ultramétrique, on notera en général $𝒪$ son anneau des entiers,
$𝔪$ l'idéal maximal de $𝒪$, $ϖ$ une uniformisante ($𝔪=(ϖ)$), $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$
et enfin $q$ le cardinal de $k$. On a vu en \refext{AVD-D}{topologie et anneau des entiers} que $𝒪,𝔪$
et $k$ ne dépendent que de la topologie de $K$.
L'uniformisante est bien définie à multiplication par une unité $u ∈ 𝒪^×$ près.
On appelle \emph{valeur absolue normalisée}, notée $|⋅|_K$ l'unique valeur
absolue $K → 𝐑_{+}$ telle que $|ϖ|_K=\frac{1}{q}$.
Lorsque $K=𝐑$ (resp. $𝐂$), la valeur absolue normalisée $|⋅|_K$ est la valeur absolue usuelle
(resp. $z ↦ z \sur{z}$, c'est-à-dire le carré de la norme usuelle).
On note également $|⋅|_p$ la valeur absolue normalisée $|⋅|_{𝐐_p}$ ;
cette convention est étendue au cas où $p=∞$ en posant $𝐐_∞=𝐑$.

\subsubsection{}
\label{locale compacité corps locaux}
Tout corps local est \emph{localement compact}. Dans le
cas archimédien, c'est bien connu. Dans le cas
non-archimédien, il suffit de vérifier que l'anneau des
entiers $𝒪$ est compact. Or, étant séparé et complet
pour la topologie $𝔪$-adique, c'est naturellement
un fermé du produit $∏_{n ≥ 1} 𝒪/𝔪^n$, où chaque anneau
quotient $𝒪/𝔪^n$ est muni de la topologie discrète.
Ces anneaux sont finis donc compacts ; il en est de même
de leur produit.

\subsubsection{}Réciproquement, on peut montrer (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil},
ou Bourbaki, AC, VI.§9) %[Ramakrishnan]
qu'un corps est local si et seulement si il peut être muni d'une topologie
non discrète qui en fait un corps topologique localement
compact. Puisque nous ne ferons pas usage de ce résultat
esquissons simplement une démonstration dans le cas
particulier où $K$ est un corps valué non archimédien, localement compact.
Soient $C$ un voisinage compact de l'origine $0 ∈ K$,
$𝒪=\{x ∈ K:|x| ≤ 1\}$ et $ϖ$ un élément non nul de l'idéal
maximal $𝔭=\{x ∈ K:|x|<1\}$. Il existe un entier $n$ tel que
$ϖ^n 𝒪$ soit contenu dans $C$ ; le fermé $ϖ^n 𝒪$ est donc
également compact. Il en résulte
que $𝒪=ϖ^{-n} (ϖ^n 𝒪)$ est séquentiellement compact et, finalement, que $K$ est
complet. Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
de $k=𝒪/𝔭$. L'ensemble $𝒪$ est recouvert par les ouverts
disjoints $\{x ∈ K:|x-x_i|<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
fini : le corps résiduel $k=𝒪/𝔭$ est donc fini. Le quotient $k$ étant
fini, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝒪$ donc
compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
$\{x:|x|<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
tel que $𝔭=\{x:|x|<1-1/n\}$ : la valuation est discrète.
% voir aussi Bourbaki, AC, VI.§5, prop. 2
La construction d'une valeur absolue sur un corps
topologique localement compact repose sur la théorie de
l'intégration. Cf. Bourbaki, \emph{op. cit.} et les rappels
\emph{infra}.


\subsection{Mesures}
\label{généralités sur mesures}
On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
de théorie de l'intégration. Le niveau de généralité de ces
rappels est justifié par l'usage qui en sera fait dans la
théorie des corps globaux (analyse sur les adèles).

\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique localement
compact et soit $𝐊$ le corps $𝐑$ ou $𝐂$. Pour tout
compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C;𝐊)$ l'ensemble des fonctions continues
sur $X$ à valeurs dans $𝐊$ et à support contenu dans $C$. C'est un
espace topologique normé par $‖ f ‖_C =\sup_{x ∈ C} |f(x)|$.
L'ensemble $𝒞_c(X;𝐊)=⋃_C 𝒞_c(X,C;𝐊)$ — où l'union
est prise dans l'ensemble des fonctions continues à
valeurs dans $𝐊$ sur $X$ — des fonctions à support compact
est donc naturellement muni de la topologie colimite (ou
union). Explicitement : $f_n → f$ si et seulement si il existe un compact $C$
et un entier $N>0$ tel que les fonctions $f$ et $f_n$ pour $n ≥ N$ appartiennent à $𝒞_c(X,C;𝐊)$
et que la suite $(f_n)_{n ≥ N}$ tende vers $f$ dans $𝒞_c(X,C;𝐊)$.

\subsubsection{}On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
une forme linéaire continue $μ:𝒞_c(X;𝐂) → 𝐂$. La continuité
de $μ$ revient à supposer l'existence, pour chaque
compact $C$ de $X$ d'une constante $M_C$ telle que pour
chaque $f ∈𝒞_c(X;𝐂)$ à support dans $C$ on ait : $|μ(f)| ≤ M_C ‖f ‖_C$.
Le nombre $μ(f)$ est appelé « intégrale de $f$ par rapport à $μ$ »
et est également noté $∫ f d μ$, $∫_X f(x) d μ(x)$, etc.
Une telle mesure est dite \textbf{positive}, si $μ(f)$ est réel dès lors que $f$ est à valeurs
réelles et si ce nombre est positif ou nul lorsqu'il en est de même
des valeurs de $f$ ; cette dernière condition étant notée : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.
(On peut montrer qu'une forme linéaire positive sur $𝒞_c(X;𝐑)$
est automatiquement continue.)
Suivant le procédé usuel, on étend une telle mesure :
à l'ensemble $ℐ_+(X)$ des fonctions réelles positives,
semi-continues inférieurement, sur $X$ en posant $μ^*(f)=\sup_{g ≤ f}
μ(g) ∈ \sur{𝐑}_+$, où $g ∈ 𝒞_c(X)_+$ et $\sur{𝐑}_+=𝐑_+ ∪ \{+∞\}$ ; puis à l'ensemble des fonctions
positives sur $X$ en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ(g) ∈ \sur{𝐑}_+$, où $g ∈ ℐ_+(X)$.
Cette dernière quantité est également notée $∫^* f d μ$.
Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$,
on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d μ$. Il résulte de l'inégalité
de Minkowski qu'on obtient ainsi une semi-norme
— donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne
d'ordre $s$) — sur l'espace des fonctions $f:X → 𝐂$ telles que $|f|_s<+∞$.
L'adhérence de $𝒞_c(X;𝐂)$ dans cet espace est notée $ℒ^s(X)$.
On note $L^s(X)$ l'espace séparé (normé) associé.
L'inégalité $|μ(f)| ≤ |f|₁$, valable pour $f ∈ 𝒞_c(X)$,
permet d'étendre $μ$ par continuité en une forme linéaire continue,
également notée $μ$ ou $∫_X d μ$, sur $ℒ¹(X)$. Pour les fonctions
intégrables, c'est-à-dire dans $ℒ¹(X)$, cette extension coïncide
bien sûr avec $μ^*$.

\subsubsection{}On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
de la mesure ($σ$-algèbres, tribus, etc.) en posant,
pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(\mathbf{1}_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
où $\mathbf{1}_E$ désigne
la fonction caractéristique de $E$. C'est la \emph{mesure extérieure}
de l'ensemble $E$. Tout ensemble relativement compact, c'est-à-dire
d'adhérence compacte, est de mesure extérieure finie.

\subsubsection{}Considérons maintenant un \emph{groupe topologique} $G$,
localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$
est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout
$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$, et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
\[
∫_G f d μ= ∫_G f_h d μ,
\]
où $f_h(g)=f(hg)$.
Une mesure de Haar sur $G$ est donc une forme linéaire non
nulle sur $𝒞_c(G;𝐂)$, positive sur les fonctions positives ;
réciproquement toute telle forme linéaire est une mesure
de Haar.

\subsubsection{}Tout groupe topologique localement
compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar ; elle est
unique à un facteur multiplicatif non nul près.
(Cf. Bourbaki, INT, VII.§1.№2 ; la démonstration ne fait que
quelques pages. \XXX) Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
invariante à droite, en un sens évident.

\subsubsection{}Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_g f ∘ φ^{-1} d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
réel $\mod(φ)>0$, appelé \emph{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$. Par construction,
pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module unité.

\subsubsection{Exemples : mesure de Tamagawa locales}
\label{mesures Tamagawa locales}
Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc} de mesures
de Haar dans le cas où $G$ est le groupe additif d'un corps local.

\begin{enumerate}
\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}([0,1])=1$.
L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
topologique $K=𝐑$.
\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[non arch.] Soit $K$ un corps local non archimédien et
soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ étant localement
constante [expliquer \XXX] à support compact, il existe un entier $n ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^n}.
\]
On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^n})=q^{-n}$.
On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
à multiplication par une constante non nulle près. \XXX Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
\end{enumerate}

La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
précédents.

\begin{proposition2}
\label{module=module}
Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
termes, $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
c'est-à-dire
\[
|a| ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x)  dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
\]
pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
\end{proposition2}

Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
voir \cite[II. §1, prop. 2]{CL@Serre}.

\subsection{Caractères additifs d'un corps local}

\begin{définition2}
On appelle \emph{caractère additif} d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ψ:K → 𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
\end{définition2}

Si $K$ est ultramétrique, l'hypothèse de continuité
revient à supposer le noyau de $ψ$ \emph{ouvert}.
% [Bushnell-Henniart] p. 10.
On note $\chap{K}$ l'ensemble des caractères additif d'un
corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.

\begin{définition2}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus petit
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
et $-∞$ sinon.
\end{définition2}

Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.

\subsubsection{}On suppose choisie une fois pour toute une orientation
sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 i π x)=e^{2 i π x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
De même, $p>0$ étant implicitement fixé, on note $ψ₀$
le caractère additif du corps fini $𝐅_p$ défini par $x ↦
𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.

\subsubsection{Exemples de caractères additifs des corps locaux}
Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}),\] où $\{x\}$ désigne un élément de $𝐐$
tel que $x-\{x\} ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x),\] resp.
\[𝐞_{p,t}:x ↦ 𝐞(\frac{1}{p} \Res_t(x dt)),\]
où $\Res_t(∑_{-n}^{+∞} a_i t^i dt)=a_{-1}$) est un caractère
additif du corps $K$, de niveau nul.

\begin{proposition2}
\label{caractère corps local}
Soit $K$ un corps local.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $𝐐_p$ ($p$
premier ou $p=∞$) est l'adhérence de $𝐐$ dans $K$, le
caractère additif $𝐞_{p,K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
le caractère additif $ψ_ω: x ↦ ψ₀(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
— où $\Res$ est le résidu défini en \refext{AVD-D}{résidu
forme différentielle formelle} — est non trivial.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i). L'extension $K\bo 𝐐_p$ étant séparable, la
trace $\Tr_{K\bo 𝐐_p}$ est surjective. Le caractère $𝐞_p$
étant non trivial, il en est de même de $𝐞_{p,K}$.
(ii). Même argument, joint au fait (\refext{AVD-D}{non nullité du résidu}) que
l'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
\end{démo}

On observe ici une différence fondamentale entre la caractéristique
nulle et la caractéristique positive : dans ce dernier cas,
il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.

\begin{proposition2}
\label{dual corps local}
Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
\[x ↦ \big([×x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
est un isomorphisme de groupes.
\end{proposition2}

\begin{démo}
L'égalité $[×(x + x ′)]^*ψ=[×x]^*ψ × [×x ′]^* ψ$ résulte immédiatement
du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
évidente car $ψ$ est supposé non trivial ; si l'on suppose $ψ$ de
niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
par $λ ⋅ y = y + ι(λ)$, où $ι : k ⥲ 𝔪^{n+1}/𝔪^n$
est l'isomorphisme défini par le choix de $ϖ$.
De même, pour chaque $n ≥ 0$ et chaque
caractère additif $θ_n$ de $𝔪^{-n}$,
l'ensemble des prolongements de $θ_n$ en un
caractère de $𝔪^{-(n+1)}$ est naturellement
un torseur sous le groupe $\chap{k}$ :
on fait agir $χ ∈ \chap{k}$ sur $θ$
par $χ ⋅ θ = θ × \chap{ι}(χ)$ où $\chap{ι}: \chap{k} ⥲
\chap{𝔪^{-(n+1)}/ 𝔪^{-n}}$ est un isomorphisme.
Soit maintenant $ψ ′$ un caractère additif de $k$
et montrons qu'il appartient à l'image du morphisme
considéré dans l'énoncé. On peut le supposer de niveau nul.
D'après ce qui précède, et le fait que $k$ et $\chap{k}$
ait même cardinal (fini), il existe pour chaque $n ≥ 0$
un élément $x_n ∈ 𝒪$, unique modulo $𝔪^n$,
tel que $[× x_n]^* ψ$ et $ψ ′$ coïncident sur $𝔪^{-n}$.
La suite $(x_n)$ converge dans $𝒪$ vers un élément $x$ pour lequel $[× x]^* ψ = ψ ′$,
comme on le voit immédiatement par restriction aux sous-groupes
$𝔪^{-n}$ ($n ≥ 1$), qui recouvrent $K$.
% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
% voir aussi \jap{井草}, « An introduction to the theory of
% local zeta functions », chap. 8.
\end{démo}

\begin{remarque2}
L'existence d'un caractère non trivial a été établie
ci-dessus ; pour une autre démonstration de ce fait,
cf. \cite[8.1.1]{introduction@Igusa}.
Signalons que la non-trivialité de $\chap{K}$ est également
un corollaire de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}
Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
et de caractéristique résiduelle $p>0$.
On a l'égalité
\[
n(e_{p,K})=-v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
\]
entre le niveau du caractère additif non trivial
$e_{p,K}$ défini en \ref{caractère corps local}
et l'opposé de la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}

Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème de Riemann-Roch.

\begin{démo}
Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}

\subsection{Transformation de Fourier}

\subsubsection{Espace de Schwartz}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
décroissante à l'infini suivante. Lorsque $K$ est
archimédien, donc isomorphe à $𝐑^n$ pour un entier $n ∈ \{1,2\}$,
on demande que $f$ soit $𝒞^∞$ (en tant que fonction de $n$
variables) et que pour tout polynôme $P ∈ 𝐂[X_i,∂_{X_i}: 1 ≤ i ≤ n]$
la fonction $P ⋅ f$ soit bornée. Lorsque $K$ est ultramétrique, on
pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
de \emph{Bruhat-Schwartz}.

%Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
%et variantes uniquement dans cas archimédien).

\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}
\[
∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}( (f ψ_x)^{-1}(λ)),\]
où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
localement constante à support compact $f ψ_x$.
Si $K=𝐑$, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ est la transformation de Fourier usuelle — au choix de la
normalisation près — de $f$ : $x ↦ ∫ f(t)\exp(-2i π tx) dt$.
\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
\end{enumerate}
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}}.
\]
En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([+a]^*f)=ψ_{-a} ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$,
où $[+a]^*f$ désigne la fonction $y ↦ f(y+a)$ ;
\item $ψ_a f$ appartient à $𝒮(K)$ et $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(ψ_a f)=[+a]^* ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$.
\end{enumerate}
\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [×(-1)]^*,
\]
où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \emph{auto-duale}
(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $μ_{ψ_a}=|a|^{½} μ_ψ$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.

\begin{démo}
Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
par exemple \cite[chap. VII, §6]{distributions@Schwartz}
ou \cite[chap. VII, §1]{analysisI@Hormander}. La détermination
des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une gaussienne.
Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})(x)=∫_{𝔪^r} ψ(xy) d
μ^{\mbox{\minus $+$}}(y).
\]
Si $x 𝔪^r$ est contenu dans $𝔪^{n(ψ)}$, l'intégrande
est constante égale à $1$ de sorte que l'intégrale
vaut $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝔪^r)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)/q^r$.
(Voir p. ex. \ref{module=module} pour cette dernière égalité.)
Dans le cas contraire, l'intégrale est nulle. En effet,
on a la généralisation suivante de
\refext{Fin}{variante-orthogonalite-caracteres} :
pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
sus-mentionné.)
(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
est un cas particulier du fait général suivant : le produit
d'une fonction localement constante par une fonction localement
constante à support compact est localement constante à support
compact.
(i) On a vu en \ref{mesures Tamagawa locales} que l'espace vectoriel $𝒮(K)$
est engendré par les fonctions caractéristiques $𝟭_{a + 𝔪^r}=[+a]^*[× ϖ^r] 𝟭_{𝒪}$, $a ∈ K, r ∈ 𝐙$.
La stabilité de l'espace de Bruhat-Schwartz par la transformation de
Fourier résulte immédiatement du calcul explicite (ii), de la formule (iii.b)
et du fait que $𝒮(K)$ est stable par multiplication $ψ_{-a}$ (iii.c).
(iv). Notons $ℱ$ pour $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$. D'après ce qui
précède on a les égalités :
\[
ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r}))=[-a]^*ℱ
ℱ(𝟭_{𝔪^r})=[-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r}
𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}[-a]^*
𝟭_{𝔪^r}=c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
\]
où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus
$+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
La conclusion en résulte par linéarité des endomorphismes $ℱ²$ et $[×(-1)]^*$.
(v) D'après ce qui précède, un mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
auto-duale relativement à un caractère additif non trivial $ψ$
si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{n(ψ)}{2}}$.
L'existence et l'unicité en découle.
(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=-v(a)+n(ψ)$ et de (v).
\end{démo}

Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.

\begin{exemple2}
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙$
et on étend $χ$ à $𝐙/p 𝐙$ en la prolongeant par zéro.
On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
\[
ℱ_{𝐞_p}(f_χ)=\frac{G(χ)}{p} [×p]^* f_{\sur{χ}},
\]
où $G(χ)$ est la somme de Gauß
\[
∑_{x ∈ 𝐙/p^×} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
\]
Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez}.
\end{exemple2}

%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
%près par une unité.

Abordons maintenant la théorie multiplicative.

\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps local}

\subsubsection{Structure de $K^×$}
\label{structure de Kétoile}
Soit $K$ un corps local.
S'il est ultramétrique, on fixe une uniformisante $ϖ$.
Tout élément $x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
\[
x=x₁ ρ,
\]
où $x₁ ∈ U=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$
est archimédien (resp. ultramétrique). De plus, $x ↦ x₁$
est un épimorphisme continu, qui coïncide avec l'identité
sur $U$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
est isomorphe au produit direct $U × K^×_{>0}$,
où l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$
(resp $ϖ^𝐙$) de $K^×$. (Notons que dans le cas
ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$ et $U$
égal à $𝒪^×$.)

\begin{définition2}
\label{quasi-caractère}
On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \emph{non
ramifié} ou \emph{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
$U_K=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}

\begin{définition2}
\label{définition conducteur}
Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
ultramétrique $K$. On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
\end{définition2}

En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
si il est de conducteur nul. Traditionnellement, on note
aussi $𝔣_χ$ l'\emph{idéal conducteur} $𝔪^{a(χ)}$ d'un
quasi-caractère $χ$.

Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné} ; si $K^×$ était compact, tout
quasi-caractère serait un caractère.

\subsubsection{}Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
multiplicatif net.

\begin{proposition2}
\label{description quasi-caractères}
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local
est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
où $χ₁$ est un caractère de $U_K$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
(resp. archimédien). Si $K$ est archimédien (resp.
ultramétrique), le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^n$,
où $n ∈ 𝐙$, unique si $K=𝐂$ et unique modulo $2$ si $K=𝐑$
(resp. se factorise de façon unique à travers un caractère du groupe
fini $U_K/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal conducteur de $χ$).
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|U_K}$ ; c'est un
caractère de $U_K$ et, par construction, le quasi-caractère
multiplicatif $x ↦ χ(x) χ₁(x₁)^{-1}$ est net. Il suffit
donc de démontrer que tout quasi-caractère net $χ$ est de la
forme $ω_s$. Par définition, $χ$ se factorise
à travers le quotient $K^× ↠ K^×_{>0}$.
Si $K$ est ultramétrique, ce dernier groupe
est isomorphe à $𝐙$ et $χ=ω_s$ dès lors
que le nombre complexe non nul $χ(ϖ)$
est égal à $|ϖ|^s=q^{-s}$.
Si $K$ est archimédien, il faut vérifier que tout morphisme
continu $f:𝐑^×_{>0} → 𝐂^×$ est de la forme $ρ ↦ ρ^s$ pour un
unique $s ∈ 𝐂$. Si $f$ est à valeurs réelles positives
(resp. de module unité) cela résulte par passage au logarithme du fait que
toute fonction additive continue $𝐑 → 𝐑$
(resp. $𝐑 → 𝐑/𝐙$) est une homothétie (resp. se relève en une
homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage
immédiat.
% références ?
\end{démo}

\begin{définition2}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \emph{partie
réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}


\subsection{Transformée de Mellin}

\subsubsection{Mesures multiplicatives}
\label{sorites mesures multiplicatives locales}
Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive sur
un corps local $K$. Rappelons que l'on note $q$ le cardinal du corps résiduel
lorsque $K$ est ultramétrique ; convenons ici de poser $q=∞$
si $K$ est archimédien.
La mesure sur $K^×$ définie par
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
où l'on convient que $∞^{-1}=0$, est une mesure de Haar (cf.
§\ref{généralités sur mesures}) : si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
la fonction $f ω_{-1}$, ou plutôt son prolongement
$\gtilde{f ω_{-1}}$ par $0$ en zéro,
appartient à $𝒞_c(K,𝐂)$ et la forme linéaire
\[
f ↦  \frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(\gtilde{f ω_{-1}})=
\frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}} f(x)|x|^{-1} d μ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
\]
est une mesure de Radon positive, invariante par
multiplication (cf. \ref{module=module}).

On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ la mesure de Haar
multiplicative associée à la mesure de Tamagawa $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{mesures Tamagawa locales}).

\begin{proposition2}
Si $K$ est ultramétrique, on a
l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒪^×)=1$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
En effet, le terme de gauche est, par construction, égal à
$\frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)$.
Or, $𝒪^×$ est extension du groupe $k^×$ (de
cardinal $q-1$) par le groupe $1+𝔪=1+ϖ 𝒪$. On a donc
$μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)=(q-1) μ^{\mbox{\minus
$+$}}(1+𝔪)$. D'autre part, $μ^{\mbox{\minus $+$}}(1+𝔪)=μ^{\mbox{\minus
$+$}}(𝔪)=q^{-1} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)$, où
la dernière égalité résulte de \ref{module=module}.
\end{lemme2}

\begin{proposition2}
\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
ultramétrique $K$, de partie réelle $\Re(χ)>0$. Alors, pour tout $x ∈ K$ et tout $e ∈ 𝐙$
la fonction $𝟭_{x+𝔪^e} χ ∈ L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$
et l'on a l'égalité :
\[
∫_{x+𝔪^e} χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=
\begin{cases}
\frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)} & \text{si $v(x) ≥ e$ et $χ₁=1$ (c.-à-d. $χ$ net)} ;\\
χ(x) \frac{q^{e-v(x)}}{1-q^{-1}} & \text{si $v(x)< e$ et ${χ₁}_{|1 + 𝔪^{e-v(x)}}=1$} ;\\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
\end{proposition2}

\begin{démo}
Supposons $x ∈ 𝔪^e$. Pour chaque $r ≥ e$, on a l'égalité
\[
∑_{i=e}^r ∫_{𝔪^i U} χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=(∑_e^r
χ(ϖ)^i) ⋅ ∫_U χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁.
\]
Si $χ₁$ est non-trivial, cette somme est nulle
(cf. \ref{Fourier et mesure locaux}, démonstration) ;
sinon, elle vaut $∑_e^r χ(ϖ)^i$, où $|χ(ϖ)|<1$ par
hypothèse sur $\Re(χ)$. L'intégrabilité
de la fonction $𝟭_{x+𝔪^e} χ$ ainsi que le calcul de
l'intégrale sont maintenant évident. (Noter que
$\Re(|χ|)=\Re(χ)$.) Si $x ∉ 𝔪^e$, tout élément de $x + 𝔪^e$ s'écrit de façon
unique $x ⋅ u ′$ où $u ′$ appartient au sous-groupe $U ′ =1
+ 𝔪^{e-v(x)}$ de $U_K$. La conclusion résulte alors
immédiatement de l'égalité $χ(x u ′)=χ(x) χ₁(u ′)$,
du fait que $∫_{U ′} χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=0$
si la restriction de $χ₁$ à $U′$ est non-triviale (orthogonalité
des caractères) et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(U
′) = \frac{q^{e - v(x)}}{1-q^{-1}}$.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
Soient $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et $f ∈ 𝒮(K)$.
\begin{enumerate}
\item La fonction $f_{|K^×} ⋅ χ$ appartient à
$L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$ dès lors que $\Re(χ)>0$.
\item La fonction $s ↦ ∫_{K^×} f χ ω_s   dμ^{\mbox{\minus $×$}}$
est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>\Re(χ^{-1})$.
\item Si $K$ est ultramétrique, la fonction précédente appartient à $𝐂[q^s,q^{-s}]$.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

Notons que $\Re(χ^{-1})=-\Re(χ)$ pour tout quasi-caractère
multiplicatif $χ$.

\begin{démo}
(i) L'intégrabilité de la fonction sur l'ouvert $|x|>1$ résulte
immédiatement du fait que $f$ est à décroissance rapide en
l'infini. Pour démontrer l'intégrabilité sur le fermé $|x| ≤ 1$,
il suffit de vérifier la convergence de l'intégrale
\[
∫_{|x|<1} ω_σ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}
\]
pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. Ce résultat est classique dans
le cas archimédien et résulte du calcul précédent dans le
cas ultramétrique. On rappelle que, dans ce dernier cas, l'ensemble
$\{x ∈ K: |x|<1\}$ est l'idéal maximal $𝔪$.

(ii) Si $K$ est archimédien, l'holomorphie est classique ;
cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}.
Si $K$ est ultramétrique, il suffit de démontrer (iii).

(iii). La fonction $f$ ne prenant qu'un nombre fini de
valeurs, cela résulte des formules explicites de \ref{calcul explicite
intégrale quasi-caractère} et de la formule triviale :
$(χ ω_s)(y)=χ(y) |y|^{-s}$ pour $y ∈ K^×$,
où, rappelons-le, $|y| ∈ q^𝐙$.
\end{démo}

\subsubsection{Fonction zêta locale}
\label{fonction zêta locale}
Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$, et soit $ψ$ un caractère additif de $K$.
Pour toute fonction $f$ sur $K$ telle que $f_{|K^×} ⋅ χ$ soit
intégrable, on pose :
\[
ζ_ψ(χ,f)= ∫_{K^×} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
\]
où l'on rappelle que la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$
n'est autre que la mesure de Haar associée (selon
le procédé expliqué en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
On a vu précédemment que $ζ_ψ(χ,f)$ à un sens dès lors que $\Re(s)>0$ et $f ∈ 𝒮(K)$.

La dépendance en $ψ$ est triviale : si $ψ ′$ est un autre
caractère additif non trivial, il existe une constante non
nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ (cf.
\emph{loc. cit.}).

Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces fonctions zêta,
on introduit la notation : $ζ_ψ(s,χ,f)=ζ_ψ(χ ω_s,f)$.
Alternativement, on pourrait — à l'aide de la proposition
\ref{description quasi-caractères} — munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
de variété analytique (cf. p. ex. \cite[chap. Ⅱ]{Weil2@Deligne}, \cite{Tate}).
Nous ne le ferons pas.

\begin{proposition2}
\label{zêta local dans cas net}
Soit $ψ$ un caractère additif non trivial de niveau nul d'un
corps ultramétrique $K$.
\begin{enumerate}
\item Si $χ$ est un quasi-caractère multiplicatif net,
\[
ζ_ψ(χ,𝟭_𝒪)=\frac{1}{1-χ(ϖ)}.
\]
\item Si $χ$ est un caractère ramifié (non net), on a
\[
ζ_ψ(χ,𝟭_𝒪)=0.
\]
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Cela résulte immédiatement de \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$.
Compte tenu de l'égalité $(χ ω_s)(ϖ)=χ(ϖ)q^{-s}$,
on peut réécrire la formule (i) sous la forme : $ζ_ψ(s,χ,𝟭_{𝒪})=(1-χ(ϖ)q^{-s})^{-1}$.
% [Bushnell-Henniart] 23.4
\end{démo}

La formule (i), qui rappelle sans équivoque un facteur
eulérien, est généralement attribuée à Margaret
Matchett (thèse, 1946), est le point de départ de la méthode de Iwasawa Kenkiti et John Tate pour
l'étude des fonctions zêta \emph{globales}.

\begin{proposition2}
Soient $ψ$ un caractère additif non trivial d'un corps local $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
\begin{enumerate}
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, la fonction  $s ↦
ζ_ψ(s,χ,f)$ définie \emph{a priori} sur le demi-plan $\Re(s) > \Re(χ^{-1})$ admet un
prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Il existe une fonction méromorphe $s ↦ γ(s,χ,ψ)$ telle que,
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'équation fonctionnelle
suivante soit satisfaite :
\[
γ(s,χ,ψ)ζ_ψ(s,χ,f)=ζ_ψ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
\]
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration
plus jolie.
\end{démo}

Pour un autre démonstration dans le cas ultramétrique, plus
algébrique, voir par exemple \cite[§23]{Bushnell-Henniart}.

\begin{exemples2}
Exemples de $γ$.
\end{exemples2}

\subsection{Fonctorialité}

$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.

\section{Corps globaux}

\subsection{Définitions}

\begin{définition2}
Corps global premier : $𝐅_q(t)$, $𝐐$, $𝐑$.
\end{définition2}

\begin{définition2}
\XXX
Corps global : extension finie d'un corps global premier.
\end{définition2}

On note $Σ(K)$, ou simplement $Σ$, l'ensemble des places
de $K$. On note $Σ_f(K)$ (resp. $Σ_∞(K)$) l'ensemble
des places finies, c'est-à-dire ultramétriques (resp.
infinies, c'est-à-dire archimédiennes). Pour toute partie
cofinie $U ⊆ Σ_f(U)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $x$
de $K$ tels que $v(x) ≥ 0$ pour tout $v ∈ U$. $\Frac 𝒪_K(U)=K$. [...]
$\colim_U 𝒪_K(U)=K$.

\begin{définition2}
Corps des constantes : clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$
ou plus grand sous-corps fini.
\end{définition2}

\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme
géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
\begin{enumerate}
\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
\item $Σ(K_f) ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble fini près).
Plus précisément, il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ(K)$ et
un élément non nul $a ∈ X_f$ tels que $𝒪_K(U)$ soit
$k$-isomorphe à $X_f[a^{-1}]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\section{Adèles, idèles}

\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}

\begin{proposition2}
\begin{enumerate}
\item compact et discret implique fini.
\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé).
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est dit être un
quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes
compacts.
\end{définition2}
(Cf. [Katô-Saitô-...], à la terminologie près.)

\begin{proposition2}
Sorites.
\end{proposition2}

\subsection{Mesures}

Mesures produits/colimites : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minimum* ; cf.
[Saitô], pp. 239--240).

\subsection{Adèles}

\subsubsection{}Soit $U ⊆ Σ_f(K)$ un ensemble \emph{cofini} de places finies.
On note $A_K(U)$ l'anneau
\[
∏_{v ∉ U} k_v × ∏_{v ∈ U} 𝔬_v,
\]
muni de la topologie produit.

\[
A_K=\colim_S A_K(U).
\]
Description de la topologie.

\XXX Notation concurrente (peut-être préférable) : $K_𝐀$
etc. (Cf. groupes algébriques et changement de base.)


\subsubsection{Mesure}

\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]

\begin{proposition2}
$[×a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
\end{proposition2}


\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
$L\bo K$ finie.
Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
dans $A_K$ est discrète et le quotient $A_K / K$ est compact.
\item Si $U ⊆ P_K$ est cofini et contient $P_K^∞$, l'inclusion canonique
$𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$, où $𝒪_S$ est muni de la topologie discrète, est
continu et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236.
(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238).
Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
\end{démo}

\begin{proposition2}
$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
Formule du produit.
\end{théorème2}

\begin{démo}[Première démonstration]
Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration]
Via module et compacité du quotient [Saitô], p.239--240 ou [Weil].
\end{démo}



\subsection{Idèles}

\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$ ; $I_K¹$ ; $C_K=I_K/K^×$ ; $C¹_K=I¹_K/K^×$.
$I^∞_K=∏_{v ∤  ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
☡ $C_K$ n'est *pas* compact.

☡ La topologie de $I_K$ est n'est pas topologie induite par
l'inclusion $I_K ⊆ A_K$. Par exemple ([Saitô]p241),
la suite d'éléments $x_n$ de $I_𝐐$ dont les coordonnées
sont $1$ en la place réelle et $n!+1$ ailleurs tend
vers $1$ dans $A_𝐐$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
Variante : considérer les idèles $x_p$ ($p$ variable) valant $p$ en $p$ et $1$ ailleurs.

\begin{proposition2}
\label{topologies induites coïncident}
Les topologies induites sur $I¹_K$ par les inclusions
$I¹_K ⊆ I_K$ et $I¹_K ⊆ A_K$ coïncident. Plus précisément, …
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. [Saitô], 6.106 (p. 241).
\end{démo}

\subsubsection{}Mesure.

\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K^× → I¹_K$, où $K^×$ est muni de la
topologie discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
\item Si $U ⊆ Σ_f(K)$ est cofini et contient les places infinies,
l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nulle], $x ↦
(\log(|x|_v))$ est continue et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). [Saitô] p. 236.
(i). $K^×$ est discret dans $I¹_K$ car $K$ est discret dans $A_K$ et
la topologie de $I¹_K$ induite
$A^×_K ⊆ A_K$ est continu. Il « suffit » de montrer
que $μ(I_K/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
de $A_K/K$ et le lemme \ref{topologies induites coïncident}.
Voir aussi [Weil, BNT] IV.§4. Dans [Rosen] lemme 5.6, la démonstration
repose sur RR.
\end{démo}

corollaire :

\begin{théorème2}
Sous l'hypothèse de (ii),
\[
𝒪_U^× ≃ 𝐙^r ⊕ (\text{groupe fini}),
\]
où $r=♯U-1$.
\end{théorème2}


\begin{démo}
Point clef : si $𝐑^n/Γ$ est compact et $Γ$ discret,
alors $Γ$ est un réseau.
\end{démo}

En particulier :

\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}

\subsection{Théorème des unités de Dirichlet : démonstration directe}
\XXX

Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude)
de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin
Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.

Commençons par observer le fait suivant :

\begin{lemme2}
\XXX
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
\end{lemme2}

\begin{démo}
On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
\end{démo}

\begin{lemme2}
\XXX
Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}}$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
Le morphisme
$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
est de la forme
$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
Passer de la matrice ayant ces colonnes à
$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
La formule en résulte.
\end{démo}

\subsubsection{}\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃  \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
$$
\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
$$
Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.


Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
$$
\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
$$
Cela résulte de l'égalité
$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.

Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
de toute partie bornée est \emph{finie}.
Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
est bornée.
Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
pour $e\in 𝒪_K$.

Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.

Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.

Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.

\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
\end{quote}

Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.

\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$
telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
$$\left\{ \begin{array}{l}
\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
\end{array}\right.$$
\end{quote}

Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Supposons donnés des nombres réels positifs
satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
\CC^{r_\CC},\
\left\{ \begin{array}{l}
|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
\end{array}\right.\}
$$
(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)

On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
le produit est muni de la mesure produit.
L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
à l'origine et convexe. Son volume est
$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
conditions du lemme.

Démontrons le «~lemme chinois~».
Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.

\begin{quote}
Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
sur une ligne soit nulle.
Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
\end{quote}

\begin{remarque2}
Dans le cas des corps de fonctions, c'est un théorème de
F.K Schmidt : $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $♯S-1$.
Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non adéliques.
\end{remarque2}

\subsection{Groupes de Picard}
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}

\subsubsection{}Soit $K$ un corps global. Notons
$\Div(K)$ le groupe abélien $⨁_{x ∈ Σ_f(K)} 𝐙$ des
\emph{diviseurs} de $K$.

\begin{lemme2}
Pour chaque fonction non nulle $f ∈ K^×$,
la famille des $x(f) ∈ 𝐙$, pour $x ∈  Σ_f(K)$, est presque
partout nulle.
\end{lemme2}

On note
\[
\div(f)=∑_{x ∈ } x(f) ⋅ x ∈ ⨁_{x ∈ Σ(K)} 𝐙 ;
\]
l'image de $\div$ est constituée des \emph{diviseurs principaux} de $K$.

Diviseurs effectifs $\Div_+(K)$ ; relation d'ordre.

Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps des
constantes $k$, considérons également l'application
\[
\deg:\Div(K) → 𝐙
\]
\[
∑_x n_x ⋅ x ↦ ∑_x n_x [κ(x):k].
\]

On a la formule des résidus suivante.

\begin{lemme2}
\[\deg ∘ \div =0.\]
\end{lemme2}

C'est un cas particulier de la formule du produit d'Artin.

\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$.
Comme $I_K/I^∞_K=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
isomorphisme canonique
\[
C_K/\sur{I}^∞_K ⥲ \Pic_K
\]
où $\sur{I}^∞_K$ désigne l'image de ${I}^∞_K$ dans $C_K$.
[notation : $K^×_{𝐀}(∞)$ ? \XXX]
Définir $\div(\text{idèle})$.

\begin{proposition2}
Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à $\Pic(𝒪_K)$.
\end{proposition2}

Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$.

\subsubsection{}Dans le cas des corps de fonctions,
on a $\Pic_K → 𝐙$ [qui se trouve être surjectif] (bien définie
par une variante de la formule des résidus), et on note $\Pic⁰_K$ le noyau.
Il est isomorphe à $C¹_K/\sur{I}^∞_K= I^∞_K∖I¹_K/K^×$.

Remarque. Dans le cas des corps de nombres, on peut définir
un groupe de Picard d'Arakelov, noté $\sur{\Pic}_K$, et muni
d'un morphisme vers $𝐑^×$. Cf. Neukirch, p. 190 environ.

Plus généralement, si $U$ est un ouvert non vide de $P_K$,
on note $𝒪_U$ l'anneau …, $\Pic(U)$ son groupe de Picard
et $\Pic⁰(U)$ (plus généralement $\Pic^n(U)$) …

\begin{théorème2}
\XXX
\[\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ I^1_K/K^×\]
et
\[\Pic⁰_K ≃ K^× ∖ I¹_K / I^∞_K.\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
Énoncé dans Weil 2.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
$\Pic⁰_K$ est fini.
\end{corollaire2}

\begin{démo}[Seconde démonstration directe dans le cas des corps de nombres]
\XXX
Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
du lemme \ref{déterminant-norme}.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
\end{quote}
Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que
$$
m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}

\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}

\subsection{Transformée de Fourier}

\subsubsection{$𝒮(A_K)$}

\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke}

\begin{théorème2}
\label{Pontrâgin pour adèles}
\begin{enumerate}
\item $K ⥲ \chap{A_K / K}$.
\item $A_K ⥲ \chap{A_K}$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Corollaire : dualité de Pontrâgin dans ce cas.
(Peut-être utiliser $A_K^∨$ pour dualité (cf. complétion). \XXX)

\begin{démo}
Cf. [Saitô] p. 245 ou [Weil, Adèles] II.2.1.1
\end{démo}

\begin{théorème2}
\label{Fourier adélique}
\XXX
Soit $ψ=(ψ_v)$ un caractère non trivial de $A_K/K$.
\begin{enumerate}
\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $A_K$ associées
aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$.
\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
\item  Pour $f ∈ 𝒮(A_K)$,
\[
∑_{x ∈ K} f(x)=∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

En particulier $μ_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ (par opposition
à $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$). C'est la mesure de Tamagawa.
Cela est lié à l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux},
\ref{Pontrâgin} (i) et la formule du produit.

Cf. Goldstein, p. 150.

\subsection{Théorème de Riemann-Roch}

\begin{théorème2}
\label{Poisson-Riemann-Roch}
Pour tout idèle $a$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
on a :
\[
∑_{λ ∈ K} f( λ a )=\frac{1}{|a|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /a).
\]
\end{théorème2}

\subsection{Premières applications}

\subsubsection{}
\label{Poisson implique RR}
Soient $K$ un corps global de
caractéristique $p>0$, $k$ son corps des constantes,
de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x o(ψ_x) ⋅ x$,
où $o(ψ_x)$ désigne l'ordre d'un caractère (\ref{}).
Il résulte de \ref{Fourier adélique} que la classe
de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle
\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
notera $𝔠$. Nous allons appliquer la formule
\ref{Poisson-Riemann-Roch} à la fonction
caractéristique $\mathbf{1}$ du sous-anneau compact maximal $𝒪_𝐀=∏_x 𝒪_x$ de $K_𝐀$. Avec
les notations de \ref{}, $\mathbf{1} = ⨂_x \mathbf{1}_{𝒪_x}$.
Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que
la transformée de Fourier $ℱ_ψ(\mathbf{1})$
est égale à la fonction
\[
⨂_x q_x^{-o(ψ_x)/2} \mathbf{1}_{𝔪_x^{o(ψ_x)}} =
q^{-\deg(𝔠)/2} ⨂_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{o(ψ_x)}}.
\]
Pour tout $a ∈ K^×_𝐀$, le terme de gauche de la formule
\ref{Poisson-Riemann-Roch} est
\[
♯ \big( K ∩ a^{-1}𝒪_𝐀\big)
\]

L'intersection $K ∩ a^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ 𝔞=\div(a)$
c'est-à-dire telles que les pôles soient d'ordres minorés
par le diviseur $𝔞$. On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$
sa dimension sur $k$, de sorte que $♯ L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
Le terme de droite de la formule est $q^{\deg(a)-\deg(𝔠)/2} l(𝔠-𝔞)$
car $|a|=q^{-\deg(a)}$ et …

\begin{théorème2}
RR pour les courbes :
\[
l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-(g-1),
\]
où $g=½\deg(𝔠)+1=l(𝔠)$ est un entier appelé \emph{genre} de $K$.
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
Extension au cas d'un corps des constantes quelconques :
cf. Lang, [Introduction to…] ou Weil, [BNT], remarque p. 101.
\end{remarque2}

Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.

\begin{théorème2}
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{|𝔡_K|} \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=√{q^{2g-2}} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
Cf. p. ex. [Weil, Adèles] ; [BNT] pp. 90--92 et [BNT] pp. 100.
Corps des fonctions. Reprenons les notations de \ref{Poisson
implique RR}. On a vu (\ref{Fourier et mesure locaux}) que,
pour chaque $x ∈ Σ(K)$, la mesure auto-duale locale
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ est égale à $q_x^{±o(ψ_x)/2} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$.
Comme $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(K_𝐀/K)=1$, on a donc
$μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(K_𝐀/K)=∏_x
q_x^{±o(ψ_x)/2}=q^{\deg(𝔠)/2}$. CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
Si $K$ est un corps de nombres,
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(I¹_K/K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
\]
sinon
\[
\frac{h}{w=q-1}
\]
\end{théorème2}

Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé) ou
[Tate, cours à Harvard 2006]. (Il manque peut-être une
puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)

\section{Fonctions zêta}

\subsection{Fonctions zêta de Dedekind}

\begin{définition2}
\[
ζ_K= ∏_{v ∤ ∞} \frac{1}{1-N(v)^{-s}},
\]
où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$.
\end{définition2}

Si $K$ est un corps de nombre, $ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s}$.

\begin{définition2}
\begin{itemize}
\item[nombres]
\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
où $Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
\item[fonctions]
\[\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s).\]
\end{itemize}
\end{définition2}

\begin{exemples2}
\begin{enumerate}
\item $ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
\item $ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
\end{enumerate}
\end{exemples2}

Objectif.


\begin{théorème2}
Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$
et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction,
$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$=….
\end{théorème2}

Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
[BNT], pp. 120--130.

Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.

\begin{corollaire2}[Pôle simple en $1$]
\label{pôle simple en 1 cdn}
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}

Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
Le lecteur pourra être intéressé par la démonstration relativement
directe et élémentaire de ce fait, qui n'utilise aucune technique
adélique ni analyse harmonique.

\begin{démo}[Esquisse de démonstration directe du corollaire \ref{pôle simple en 1 cdn}]
Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
La correspondance
$$
\got{a} \mapsto  (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
$$
établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
$$
\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
$$
Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
la norme  $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
se factorise.
Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
$$
\{ x \in  P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
$$
Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
$$
\xymatrix{
\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] &  P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] &  K_{\RR}
}
$$
Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
arbitraire.
On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
de  domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.

\begin{quote}
Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
Alors, si $\vol(Y)>0$,
$$
\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
$$
\end{quote}


Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod
\{\infty\}$
et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
Ainsi, le logarithme induit une injection :
$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.

Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
[FIGURE]
Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul.
\end{démo}

\subsection{$ζ(s,χ,f)$}

\begin{théorème2}
Théorème de (Iwasawa?)-Tate.
\end{théorème2}

Cf. p. ex. [Bump], p. 267.

\subsection{Fonctions $L$ de Hecke}

\begin{théorème2}
Théorème de Hecke.
\end{théorème2}

Cf. p. ex. [Bump], p. 270.

\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}

\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}

\subsection{Le théorème de Minkowski}
Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃  𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la
$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.

\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
√{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}

\begin{corollaire2}
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
connexe alors $\ZZ⥲ A$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
%groupe de Picard.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
Soit
$$
A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
$$
le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d  \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
 \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.

Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n  f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
$$
on trouve :
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
& = 2\pi g_{r-1}(1)
\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
& = ... \\
& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
\end{array}
$$
Finalement,
$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
comme annoncé.
\end{démo}

\subsection{Le théorème de Riemann-Hurwitz}

\begin{théorème2}
Riemann-Hurwitz.
\end{théorème2}

(Cf. Lang ; Weil, VIII.§4.)

\begin{corollaire2}
\XXX
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée.
\end{corollaire2}

\subsection{Un théorème de Selmer}

\begin{proposition2}[Selmer]
\XXX
Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
$$
S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
$$
et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.

Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
qui n'est pas le cas.
Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$
est $𝔖_n$ tout entier.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
des entiers. Supposons que le nombre premier
$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors
ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
est le composé de tels corps.
Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$
est soit trivial soit engendré par une transposition.
Ainsi, le  groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif
de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
[facile].
\end{démo}

\section{Hypothèse de Riemann pour les courbes}

Cf. Katz, « Lectures on Deligne's pfoof of the RH for
varieties over finite fields » (1973-74) et
\cite{Counting@Bombieri}.

\subsubsection{}[Blabla à déplacer]
$g$ mesure la complexité de la courbe :
$Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les $g$ premières
valeurs.

\subsubsection{}Extension des scalaires. Si $K\bo k$,
on note $k_d$ l'unique extension de degré $d$ de $k$
dans une clôture algébrique fixée et $K_{k_d}$ le \emph{corps}
$K ⊗_k k_d$ \XXX.

\begin{lemme2}
\[
Z(K_{k_d}\bo k_d,T)= ∏_{ζ ∈ μ_d(𝐂)} Z(K\bo k, ζT).
\]
\end{lemme2}

Il suffit donc de démontrer le théorème après extension
des scalaires.

\begin{lemme2}
Il suffit de démontrer l'existence de $A,B,N$
tels que
\[
|X(k_d)-(1+q^d)| ≤ A + B q^{d/2}.
\]
pour $d ≫ 0$ divisible par $N$.
\end{lemme2}

\subsubsection{}Réduction au cas où il existe un sous-corps $k(t)$
au-dessus duquel $K$ est galoisien.

[Élémentaire ; n'utilise *pas* astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$,
où $\Frob ′$ l'est pour une nouvelle structure. Voir
cependant Katz, pp. 31--34.]

\begin{théorème2}[Bombieri]
Soit $g ∈ \Aut(K\bo k)$, $φ=g^{-1} ∘ \Frob_q$.
Si $q=p^α$, $α$ paire et $q>(g+1)⁴$, alors
\[
♯ \Fix(φ) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}.
\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
Cf. [Katz]. Trois petites pages manuscrites de Riemann-Roch
[pour la courbe sur $\sur{𝐅_q}$] (un peu) + calculs + cas courbe = $𝐏¹$ + sorites sur $X → Y$ galoisien de groupe $G$.
Idée clef : produire une fonction qui va s'annuler à un ordre élevé (explicite) sur les racines (=points fixes
ici) et dont le degré sera borné explicitement. On utilise
pour cela de façon cruciale le Frobenius. La construction
d'une telle fonction repose sur le théorème de Riemann-Roch.
\end{démo}

\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}

\begin{théorème2}
\XXX
Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$.
Alors :
\[
\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s).
\]
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
\XXX
Courbe elliptique à multiplication complexe.
\end{remarque2}

Cf. cours à Hyères (2008).

Utilise :

— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;

— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;

— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle.

\section{Notes}

Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ;
[Colmez, appendice F].


\ifx\danslelivre\undefined
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\end{document}
\fi