%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*- \ifx\danslelivre\undefined \documentclass[a4paper,9pt]{amsart} \input{../config/preambule} \input{../config/macros} \title{Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie} \externaldocument{KASW} \externaldocument{calculs-galois} \externaldocument{bases-groebner} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \else \chapter{Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie} \begingroup \fi \makeatletter \newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathtextrm{résol}}\else^{\mathtextrm{résol}\,#1}\fi} \makeatother \section{Extensions résolubles} \subsection{Clôture par radicaux} \begin{convention2} Si $k$ est un corps et $m$ un entier \commentaire{$>0$ ?} non multiple de la caractéristique de $k$, on dit que $k$ \emph{contient les racines $m$-ièmes de l'unité} lorsque le polynôme $X^m-1$, ou, de façon équivalente, le polynôme cyclotomique $\Phi_m$, est scindé sur $k$. Lorsque c'est le cas, on notera $\bimu_m(k)$, ou simplement $\bimu_m$, le groupe multiplicatif des racines $m$-ièmes de l'unité dans $k$. \end{convention2} Remarquons que si $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité, pour tout $a \in k$, le polynôme $X^m - a$ admet une racine $\alpha$ dans $k$ si et seulement s'il est scindé (il s'écrit $\prod_{i=0}^{m-1} (X - \zeta^i \alpha)$ où $\zeta$ est une racine primitive $m$-ième de l'unité). On rappelle de même que, si $k$ est de caractéristique $p>0$, le polynôme $X^p - X - a$ admet une racine $\alpha$ dans $k$ si et seulement si il est scindé (il s'écrit $\prod_{i=0}^{p-1} (X - \alpha - i)$). \begin{proposition2}\label{groupe-de-galois-cyclotomique} Soit $k$ un corps et $m$ un entier non multiple de la caractéristique de $k$. Soit $F = k(\zeta)$ le corps extension de $k$ par l'ajout d'une racine primitive $m$-ième de l'unité $\zeta$ (c'est-à-dire le corps de décomposition de $\Phi_m$ sur $k$) : alors $F$ est galoisienne sur $k$ et son groupe de Galois est un sous-groupe du groupe $(\ZZ/m\ZZ)^\times$ des éléments inversibles de $\ZZ/m\ZZ$. \end{proposition2} \begin{proof} Le fait que $F$ soit galoisienne sur $k$ est clair puisque c'est le corps de décomposition du polynôme séparable $\Phi_m$. Si $\sigma \in \Gal(F\bo k)$, alors $\sigma(\zeta)$ est une racine $m$-ième de l'unité, donc s'écrit $\zeta^i$ pour un certain $i \in \ZZ/m\ZZ$, lequel est inversible puisque $\zeta^i$ est aussi racine de $\Phi_m$. Ceci définit un morphisme $\Gal(F\bo k) \to (\ZZ/m\ZZ)^\times$, qui est injectif puisque $F = k(\zeta)$ (ce qui assure qu'un élément $\sigma \in \Gal(F\bo k)$ est déterminé par son image sur $\zeta$). \end{proof} \XXX — Elle n'était pas déjà quelque part, cette proposition ? Sinon, il faut peut-être la déplacer ailleurs. \begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux} Soit $k$ un corps. On dit que $k$ est \emph{clos par radicaux}, resp. \commentaire{problème espacement} \emph{clos par radicaux $\leq N$-ièmes}, lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées : \begin{itemize} \item si $m$ (resp. $m \leq N$) est un entier non multiple de la caractéristique de $k$ et que $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité, et si $a \in k$, alors le polynôme $X^m - a$ est scindé sur $k$, \item dans le cas où $k$ est de caractéristique $p>0$ (resp. et que $p \leq N$), si $a \in k$, alors le polynôme $X^p - X - a$ est scindé sur $k$. \end{itemize} Si $k$ est un corps dont on fixe une clôture séparable $k\sep$, il est évident que $k\sep$ est clos par radicaux au sens ci-dessus et que l'intersection de toute famille de corps intermédiaires entre $k$ et $k\sep$ qui sont clos par radicaux (resp. clos par radicaux $\leq N$-ièmes) est encore un corps clos par radicaux (resp. clos par radicaux $\leq N$-ièmes) : ceci permet de définir la \emph{clôture par radicaux} (resp. clôture par radicaux $\leq N$-ièmes) de $k$, dite encore \emph{corps des expressions en radicaux} (resp. corps des expressions en radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$, et notée $k\resol$ (resp. $k\resol[\leq N]$). \end{definition2} \commentaire{« la » ⤳ « une » clôture par radicaux ? Parler d'unicité à isom. près ?} Autrement dit, on dit qu'un corps est clos par radicaux lorsqu'il contient les racines $m$-ièmes de tous ses éléments, pour les $m$ pour lesquels il contient les racines $m$-ièmes de l'unité, ainsi que les « racines $\wp$-ièmes » en caractéristique $p>0$, en notant comme d'habitude $\wp(x) = x^p - x$. \commentaire{Si $N=2$, c'est la « clôture quadratique ». Cf. exo sur $𝐅₂$ et chapitre \XXX.} Il existe différentes variations sur cette définition : la plupart des auteurs demandent plutôt \emph{a priori} que $k$ contienne toutes les racines de l'unité, ou au moins qu'on puisse extraire une racine $m$-ième de tout élément sans demander spécialement que les racines $m$-ièmes de l'unité soient déjà dans $k$ ; on verra que cela ne change rien car, avec la définition ci-dessus, $k\resol$ contiendra forcément toutes les racines de l'unité. La définition ci-dessus nous a paru meilleure car elle permet d'affirmer de façon non-triviale (en \ref{racines-de-l-unite-sont-exprimables-par-radicaux}) que les racines $m$-ièmes de l'unité s'expriment elles-mêmes par radicaux ! \begin{remarque2}\label{remarque-cloture-par-radicaux-est-galoisienne} Soit $k$ un corps et $\sigma$ un automorphisme d'une clôture séparable $k\sep$ de $k$. Alors $k\resol$ est stable par $\sigma$ : en effet, $\sigma(k\resol)$ est clos par radicaux et par minimalité on doit donc avoir $\sigma(k\resol) = k\resol$ ; la même remarque vaut pour $k\resol[\leq N]$. \end{remarque2} \begin{definition2} Soit $k$ un corps. On appelle \emph{tour d'extensions par radicaux} (resp. tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$ une suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ de corps tels que, pour chaque $i$, le corps $k_{i+1}$ soit engendré sur $k_i$ par un unique \commentaire{sens unicité ?} élément $\alpha_i$ vérifiant l'une des propriétés suivantes : \begin{itemize} \item il existe $m_i \geq 1$ entier (resp. avec $m_i \leq N$), non multiple de la caractéristique de $k$, tel que $k_i$ contienne les racines $m_i$-ièmes de l'unité et que $\alpha_i^{m_i} \in k_i$, \emph{ou bien} \item $k$ est de caractéristique $p>0$ (resp. et $p \leq N$), et $\wp(\alpha_i) \in k_i$. \end{itemize} \end{definition2} \begin{proposition2}\label{composition-tours-extensions-par-radicaux} Soient $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ et $k \subseteq \cdots \subseteq k''$ deux tours d'extensions par radicaux d'un même corps $k$. Alors il existe une tour d'extensions $k \subseteq \cdots \subseteq k' k''$ aboutissant à la composée $k' k''$ (cette composée étant prise dans une extension commune quelconque). Le même résultat vaut pour les tours d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes. \end{proposition2} \begin{proof} Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r = k'$ est la tour dans laquelle s'inscrit $k'$, on en déduit une tour $k'' = k_0 k'' \subseteq k_1 k'' \subseteq \cdots \subseteq k_r k'' = k' k''$ (toutes ces compositions étant entendues dans une extension commune fixée) où toutes les étapes sont soit triviales soit une étape de tour d'extensions par radicaux ; en mettant bout à bout cette tour $k'' \subseteq \cdots \subseteq k' k''$ avec celle $k \subseteq \cdots \subseteq k''$ dans laquelle s'inscrit $k''$, on a inscrit $k'k''$ dans une tour d'extensions par radicaux comme souhaité. La démonstration pour les tours d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes est analogue. \end{proof} \begin{proposition2}\label{trivialite-cloture-par-radicaux} Soit $k$ un corps, dont on fixe une clôture séparable $k\sep$. Alors la clôture par radicaux $k\resol$ de $k$ (à l'intérieur de $k\sep$) est précisément la réunion de tous les corps intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ et incluse dans $k\sep$. La clôture par radicaux $\leq N$-ièmes, $k\resol[\leq N]$, est de même la réunion de tous les corps intervenant dans une tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes sur $k$ et incluse dans $k\sep$. \end{proposition2} \begin{proof} Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ est une tour d'extensions par radicaux incluse dans $k\sep$, on veut prouver que chaque $k_i$ est inclus dans $k\resol$. Par récurrence sur $i$, on peut supposer que $k_i$ l'est, et on veut prouver que $k_{i+1} = k_i(\alpha_i)$ l'est, où $\alpha_i$ est soit la racine $m_i$-ième d'un élément de $k_i$ où $k_i$ contient les racines $m_i$-ièmes de l'unité soit la « racine $\wp$-ième » d'un élément de $k_i$ si la caractéristique est positive. Dans les deux cas, les propriétés de clôture par radicaux de $k\resol$ montrent que $\alpha_i \in k\resol$ donc $k_{i+1} \subseteq k\resol$. Réciproquement, considérons la réunion $E$ de tous les corps intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ : on veut vérifier que $E$ est un corps, qui sera alors évidemment clos par radicaux donc contenu dans $k\resol$. Pour montrer que $E$ est un corps, il suffit de montrer que si $k'$ et $k''$ sont deux corps intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ incluse dans $k\sep$, on peut trouver une tour d'extensions par radicaux faisant intervenir une extension commune à $k'$ et $k''$ (cette extension commune permettant alors de faire la somme ou le produit d'un élément de $k'$ et d'un élément de $k''$). Or on a prouvé ci-dessus que si $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ est la tour dans laquelle s'inscrit $k'$ (on peut évidemment l'arrêter là), et $k \subseteq \cdots \subseteq k''$ de même pour $k''$, on dispose d'une tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots \subseteq k' k''$. La démonstration pour les radicaux $\leq N$-ièmes est analogue. \end{proof} \subsection{Rappels sur les groupes résolubles} \begin{definition2} On dit qu'un groupe fini $G$ est \emph{résoluble} lorsqu'il vérifie les conditions équivalentes suivantes : \begin{itemize} \item il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ (mais non nécessairement dans $G$) et que le quotient $G_i / G_{i+1}$ soit \emph{cyclique d'ordre premier} ; \item (la même condition, en omettant les mots « d'ordre premier ») ; \item (la même condition, en remplaçant « cyclique d'ordre premier » par « abélien ») ; \item la même condition que l'une des trois précédentes, mais en imposant que chaque $G_i$ soit distingué dans $G$ (et pas seulement dans le précédent) ; \item si on note $G'$ le sous-groupe, dit \emph{groupe dérivé} engendré par les commutateurs (éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$) des éléments de $G$, qui est également le plus grand sous-groupe distingué de $G$ tel que le quotient soit abélien, alors la suite $G \geq G' \geq G'' \geq G''' \geq \cdots$ termine en $1$ (i.e., elle ne stationne pas avant). \end{itemize} \end{definition2} \begin{proposition2}\label{enonces-standards-groupes-resolubles} Un sous-groupe et un quotient d'un groupe résoluble sont résolubles. Un groupe dont un quotient par un sous-groupe distingué résoluble est résoluble est lui-même résoluble. \end{proposition2} On renvoie par exemple à \cite[théorèmes 5.15 à 5.23]{Rotman} pour une démonstration ces différentes affirmations (y compris de l'équivalence entre les différents énoncés de la définition). On aura également besoin, pour traiter les extensions par racines $\leq N$-ièmes, de la proposition suivante : \begin{proposition2}\label{trivialite-groupes-resolubles-facteurs-bornes} Si $N$ est un entier naturel, les conditions suivantes sur un groupe fini $G$ sont équivalentes : \begin{itemize} \item $G$ est résoluble et tous les facteurs premiers de son ordre $\#G$ sont $\leq N$, \item il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient $G_i / G_{i+1}$ soit cyclique d'ordre premier $\leq N$. \end{itemize} \end{proposition2} \begin{proof} On a expliqué que $G$ est résoluble si et seulement si il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ telle que pour chaque $i$ le sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient $G_i / G_{i+1}$ soit cyclique d'ordre premier. Or $\#G$ est alors le produit des $\#(G_i/G_{i+1})$, de sorte que ceux-ci sont précisément les facteurs premiers de $\#G$, ce qui prouve l'équivalence annoncée. \end{proof} \subsection{Extensions par radicaux et groupes de Galois résolubles} \begin{proposition2}\label{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} Soit $K\bo k$ une extension de corps finie séparable, et $N$ un entier naturel. Il y a équivalence entre : \begin{itemize} \item il existe une tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ telle que $K \subseteq k'$, \item le corps $K$ est inclus dans $k\resol[\leq N]$ (à l'intérieur d'une clôture séparable $k\sep$ de $K$), \item le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ sur $k$ est résoluble et tous les facteurs premiers de son ordre sont $\leq N$. \end{itemize} En particulier, il y a équivalence entre : \begin{itemize} \item il existe une tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ telle que $K \subseteq k'$, \item le corps $K$ est inclus dans $k\resol$ (à l'intérieur d'une clôture séparable $k\sep$ de $K$), \item le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ sur $k$ est résoluble. \end{itemize} \end{proposition2} \begin{proof} L'équivalence entre les deux premières affirmations a déjà été prouvée en \ref{trivialite-cloture-par-radicaux}. Supposons maintenant la première propriété vérifiée, et on veut montrer la troisième. L'hypothèse garantit qu'il existe une tour $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes telle que $K \subseteq k'$. Pour chacun des conjugués $\sigma(k')$ de $k'$, avec $\sigma$ parcourant les différents automorphismes de $k\sep$ sur $k$, on a une tour $k \subseteq \cdots \subseteq \sigma(k')$ d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes, et en composant ces différentes tours d'après \ref{composition-tours-extensions-par-radicaux} (notons que les $\sigma(k')$ sont en nombre fini), on peut supposer qu'on a une unique tour $k = k_0 \subseteq \cdots \subseteq k_r = k'$ d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes, avec $k'$ galoisien sur $k$ et contenant $K$, donc contenant aussi la clôture galoisienne de $K$. Il nous suffira de montrer que le groupe de Galois de $k'\bo k$ est résoluble et que tous les facteurs premiers de son ordre sont $\leq N$ (puisque le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ en est un quotient, cf. \ref{enonces-standards-groupes-resolubles}). Appelons maintenant $G = \Gal(k'\bo k)$ et $G_i = \Gal(k'\bo k_i)$. On a ainsi $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ et les suppositions faites sur l'extension $k_{i+1}\bo k_i$ garantissent que $G_i/G_{i+1}$ est cyclique d'après \refext{KASW}{extension Kummerienne est de groupe cyclique} et \refext{KASW}{extension AS est de groupe Z sur p}. Ceci montre que $G$ est résoluble. Par ailleurs, chacun des $\#(G_i/G_{i+1})$ est $\leq N$, donc en particulier tous ses facteurs premiers le sont, donc tous les facteurs premiers de $\#G$ le sont. On va maintenant montrer que la troisième propriété implique la première, et pour cela, on va procéder par récurrence sur $N$. Le cas $N=1$ est trivial. Supposons par récurrence l'énoncé connu pour $N-1$ (pour toute extension $K\bo k$) afin de le démontrer pour $N$. On peut évidemment supposer que $K$ est galoisienne sur $k$. Soit $M$ le produit de tous les nombres premiers $\leq N$ et distincts de la caractéristique $p$ de $k$ si celle-ci est non nulle, et soit $F$ le corps obtenu en ajoutant une racine primitive $M$-ième de l'unité à $k$ si elle n'y est pas déjà. D'après \ref{groupe-de-galois-cyclotomique}, $\Gal(F\bo k)$ est inclus dans $(\ZZ/M\ZZ)^\times$. Ce groupe $(\ZZ/M\ZZ)^\times$ est abélien, donc résoluble, et il est d'ordre $\varphi(M)$ avec $\varphi$ la fonction indicatrice d'Euler, c'est-à-dire $\prod_{\ell \leq N} (\ell-1)$ où $\ell$ parcourt les nombres premiers $\leq N$, et tous les facteurs premiers de chaque $\ell-1$, donc de $\varphi(M)$, sont $\leq N-1$. L'hypothèse de récurrence garantit donc qu'il existe une tour d'extensions par radicaux $\leq (N-1)$-ièmes $k \subseteq \cdots \subseteq k^\sharp$ telle que $F \subseteq k^\sharp$. L'extension $K^\sharp = k^\sharp K$ de $k^\sharp$ est galoisienne sur $k^\sharp$ et son groupe de Galois $G^\sharp = \Gal(K^\sharp\bo k^\sharp)$ est un sous-groupe de celui $\Gal(K\bo k)$ de $K$ sur $k$, donc il est lui aussi résoluble et tous les facteurs premiers de son ordre sont $\leq N$. Bref, on est ramené au cas où le corps de base (qui s'appelle maintenant $k^\sharp$) contient les racines $\ell$-ièmes de l'unité pour tout nombre premier $\leq N$. Soit $G^\sharp = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ une chaîne de sous-groupes de $G^\sharp$ telle que pour chaque $i$ le sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient $G_i / G_{i+1}$ soit cyclique d'ordre premier $\leq N$. Appelons $k^\sharp_i$ le corps fixe de $G_i$ dans $K^\sharp$. L'extension $k^\sharp_{i+1} \bo k^\sharp_i$ est ainsi galoisienne de groupe de Galois cyclique d'ordre premier $\ell \leq N$ où $k^\sharp_i$ contient les racines $\ell$-ièmes de l'unité : d'après \refext{KASW}{extension cyclique=Kummer} et \refext{KASW}{extension Z sur p-AS}, on a bien affaire à l'adjonction d'une racine $\ell$-ième ou d'une « racine $\wp$-ième », c'est-à-dire que $k^\sharp = k^\sharp_0 \subseteq \cdots \subseteq k_r^\sharp = K^\sharp$ est une tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes. En mettant cette tour bout à bout avec la tour $k \subseteq \cdots \subseteq k^\sharp$, on obtient bien la conclusion souhaitée. \end{proof} \begin{corollaire2}\label{racines-de-l-unite-sont-exprimables-par-radicaux} Pour tout $m$ non multiple de la caractéristique de $k$, les racines $m$-ièmes de l'unité sont dans $k\resol$. Plus précisément, elles sont dans $k\resol[\leq \ell]$ où $\ell$ est le plus grand facteur premier de $\varphi(m)$. \end{corollaire2} \begin{proof} Ceci découle immédiatement de \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} et \ref{groupe-de-galois-cyclotomique} (mais en fait, on a déjà dû démontrer ce résultat dans le cours de la démonstration précédente). \end{proof} \begin{remarque2} Comme on l'a déjà signalé, la définition que nous avons prise en \ref{definition-corps-clos-par-radicaux} fait que cet énoncé n'était pas trivial : on n'autorise pas une « expression par radicaux » telle que $\root m\of 1$ puisqu'on ne peut, avec nos règles, prendre les racines $n$-ièmes qu'à condition d'avoir déjà les racines $n$-ièmes de l'unité (de sorte qu'un élément de $k\resol$ peut être écrit comme une expression en radicaux quelle que soit la détermination choisie pour les racines $n$-ièmes). Mais une fois cette observation faite, la définition d'expression par radicaux que nous avons donnée est heureusement la même que toutes les autres trouvées dans la littérature (au moins en caractéristique $0$, des petites variantes pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes, ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables). \end{remarque2} \subsubsection{Remarque algorithmique}\label{remarque-algorithmique-expressions-radicaux} Même si ce n'est pas immédiatement apparemment, la proposition \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} est constructive, au sens où elle permet (en principe) de calculer une expression par radicaux explicite pour un élément d'une extension de corps dont la clôture galoisienne a un groupe de Galois résoluble. La clé provient du théorème \refext{KASW}{extension cyclique=Kummer}. De façon sommaire, l'algorithme ressemble à ceci (en se plaçant en caractéristique $0$ pour simplifier) : \begin{itemize} \item Si $\gamma \in K$ avec $K \bo k$ galoisienne de groupe de Galois cyclique d'ordre $m$ engendré par un élément $\sigma$ et que $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité dont on note $\zeta$ une racine primitive, alors la « somme de Lagrange » $\alpha_j := \sum_{i=0}^{m-1} \zeta^{ij} \sigma^i(\gamma)$ (introduite dans une des démonstrations de \refext{KASW}{extension cyclique=Kummer}) vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$ donc $a_j := \alpha_j^m$ appartient à $k$. On peut calculer $a_j$ (pour $0\leq j \leq m-1$), puis exprimer $\alpha_j$ comme $\root m \of a_j$ (ou peut-être comme $\zeta^{t_j} \root m\of a_j$ avec un $t_j$ à déterminer selon le choix de convention qui aurait été fait de la détermination de $\root m\of a_j$), et enfin retrouver $\gamma$ en inversant la matrice de Vandermonde $\zeta^{ij}$, c'est-à-dire $\gamma = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j$). Les calculs des $a_j$ (puis des $\alpha_j$) pour différents $j$ peuvent souvent se mener de façon commune lorsque le groupe de Galois des racines $m$-ièmes de l'unité opère de façon agréable sur la situation. \item Si le groupe de Galois de $K \bo k$ est résoluble mais non cyclique, on commence par en trouver une suite de chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$, on appelle $k_i$ le corps fixe de $G_i$ dans $K$, et on exprime un générateur de chaque extension $k_{i+1}\bo k_i$ au moyen de la méthode précédente. \item Si toutes les racines de l'unité pertinentes ne sont pas dans $k$, on commence par les y ajouter, c'est-à-dire par les exprimer elles-mêmes avec des radicaux, en utilisant la même méthode (sachant que pour exprimer les racines $m$-ièmes on n'aura besoin que de racines $\ell$-ièmes avec $\ell$ parcourant les facteurs premiers de $\varphi(m)$). \end{itemize} Comme on le voit, l'expression des racines de l'unité en radicaux est un point crucial pour l'écriture par radicaux de n'importe quelle autre quantité. Nous allons maintenant nous pencher plus précisément sur ce problème. \section{Expression explicite des racines de l'unité} \subsection{Généralités}\label{generalites-calcul-expressions-racines-de-1} \subsubsection{} On se propose dans cette section d'expliquer comment calculer explicitement des expressions en radicaux des racines $n$-ièmes de l'unité (en utilisant la détermination standard, dite « principale » des racines $m$-ièmes, cf. ci-dessous). Afin d'uniformiser les notations, on appellera toujours $\omega$ une racine primitive $n$-ième de l'unité (qu'on cherche à exprimer en radicaux), tandis que $\zeta$ désignera une racine $m$-ième de l'unité pour un autre $m$ (divisant $\varphi(n)$) qui sera utilisée dans le calcul. On introduira aussi fréquemment $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$. Afin de fixer le choix des racines $m$-ièmes, on plongera $\QQ\resol$ dans le corps $\CC$ des complexes. On utilise alors la notation $\root m \of x$ pour la « détermination principale » de la racine $m$-ième de $x$, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus grande et, en cas d'égalité (qui se produit uniquement si $x$ est réel négatif), celle qui a la partie imaginaire positive. De même, la racine $n$-ième de l'unité $\omega$ qu'on cherche à exprimer sera $e^{2i\pi/n}$, c'est-à-dire la racine primitive $n$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie imaginaire positive (et une racine primitive $m$-ième de l'unité $\zeta$ qui interviendrait dans les calculs intermédiaires sera de même $e^{2i\pi/m}$) ; le nombre $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ s'écrit $\cos\frac{2\pi}{n}$, et on introduit parfois aussi $\sin\frac{2\pi}{n}$ avec $e^{2i\pi/n} = \cos\frac{2\pi}{n} + \sqrt{-1}\, \sin\frac{2\pi}{n}$. Nous n'aborderons pas les questions éventuellement subtiles de trouver une expression plus ou moins canonique ou plus agréable qu'une autre. \subsubsection{} Le problème de l'écriture en radicaux des racines $n$-ièmes de l'unité ne se pose réellement que pour $n$ premier impair. En effet, si $n = n_1 n_2$, et si on sait déjà exprimer les racines $n_1$-ièmes et $n_2$-ièmes de l'unité par radicaux, alors les racines $n$-ièmes de l'unité s'écrivent comme racines $n_1$-ièmes des racines $n_2$-ièmes de l'unité (fois une éventuelle racine $n_1$-ième de l'unité pour fixer la détermination). En fait, si $n_1$ et $n_2$ sont premiers entre eux, le théorème chinois permet d'obtenir une expression plus agréable, puisqu'il garantit que toute racine primitive $n$-ième de l'unité est produit d'une racine primitive $n_1$-ième et d'une racine primitive $n_2$-ième (par exemple, $e^{2i\pi/15} = e^{-2i\pi/3} \cdot e^{4i\pi/5}$). \subsubsection{} Supposons donc $n$ premier impair. On a alors $\varphi(n) = n-1$, et le groupe $(\ZZ/n\ZZ)^\times$ est cyclique : on en notera $g$ un générateur, c'est-à-dire un élément primitif modulo $n$. On note $\omega$ la racine $n$-ième de l'unité qu'on cherche à exprimer, et $\zeta$ une racine primitive $(n-1)$-ième de l'unité, dont on suppose déjà connue une expression en radicaux. Selon la stratégie générale exposée en \ref{remarque-algorithmique-expressions-radicaux}, on va poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ : on a alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$, et il s'agit de voir que $\alpha_j$ est racine $m$-ième (pour un certain $m$, par exemple $n-1$) d'un élément de $\QQ(\zeta)$ à calculer explicitement. Pour justifier ce fait, il est naturel d'invoquer le fait que $\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX — référence ?), avec pour générateur $\sigma \colon \omega\mapsto \omega^g$, de sorte que $\sigma(\alpha_j) = \zeta^{-j} \alpha_j$, et $\sigma(a_j) = a_j$ si $a_j = (\alpha_j)^{n-1}$. En vérité, on n'a pas vraiment besoin d'utiliser ce résultat : en effet, on peut travailler dans l'anneau $R := \QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$, où on note $\mathring\omega$ la classe de $X$ : il est alors évident que $\sigma \colon \mathring\omega \to \mathring\omega^g$ constitue un automorphisme de $R$ (vu que $\Phi_n(\mathring\omega^g) = 0$), et une fois calculée une égalité dans $R$ (entre une puissance $m$-ième de $\alpha_j$ et un élément de $\QQ(\zeta)$), on peut l'appliquer à $\omega$ puisque $\Phi_n(\omega) = 0$. Cette observation indique également la manière dont on peut mener les calculs : travailler dans $\QQ(\zeta)[X]$ modulo $\Phi_n$ (ou encore dans $\QQ[X]$ modulo $\Phi_{n(n-1)} = \Phi_n \Phi_{n-1}$). En fait, il n'est pas nécessaire de monter jusqu'à la puissance $(n-1)$-ième de $\alpha_j$ : si $d$ désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$ est invariant par $\sigma$ dont appartient à $\QQ(\zeta)$, et en fait, comme il s'agit d'une somme ne faisant intervenir que $\zeta^d$ (et $\omega$) et que toutes les remarques du paragraphe précédent s'appliquent aussi bien à $\QQ(\zeta^d)$, on a même $(\alpha_j)^{(n-1)/d} \in \QQ(\zeta^d)$. (Par exemple, on a $\alpha_0 \in \QQ$, et de fait, $\alpha_0 = \sum_{i=0}^{n-2} \omega^{g^i} = \sum_{t \in (\ZZ/n\ZZ)^\times} \omega^t$ est la somme des racines primitives $n$-ièmes de l'unité, donc l'opposé du coefficient sous-dominant de $\Phi_n = X^{n-1} + X^{n-2} + \cdots + 1$, c'est-à-dire $-1$. Quant à $\alpha_{(n-1)/2} = \sum_{t \in (\ZZ/n\ZZ)^\times} \Legendre{t}{n} \omega^t$, son carré et rationnel, et on peut montrer, toujours sous l'hypothèse que $n$ soit premier impair, que $\alpha_{(n-1)/2}$ vaut $\sqrt{n}$ ou $\sqrt{-n}$ selon que $n\equiv 1\pmod{4}$ ou $n\equiv 3\pmod{4}$. \XXX) \subsubsection{}\label{remarque-groupe-de-galois-sur-zeta-dans-calcul-de-omega} Pour une même valeur de $d := \pgcd(j,n-1)$, les différents $\alpha_j$ sont reliés entre eux par l'action du groupe de Galois de $\QQ(\zeta,\omega)$ au-dessus de $\QQ(\omega)$ cette fois, ce qui signifie qu'une fois calculé l'un d'entre eux on peut en déduire tous les autres (c'est sans doute plus utile au niveau du $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$, qui appartient à $\QQ(\zeta)$, qu'au niveau de $\alpha_j$ puisque celui-ci fait intervenir une racine $\frac{n-1}{d}$-ième dont la détermination risque de ne pas bien se comporter par rapport au groupe de Galois qu'on vient d'évoquer). Ceci n'est pas forcément d'une grande utilité dans les calculs (qu'il est aussi simple de refaire $\varphi(\frac{n-1}{d})$ fois), mais cela explique au moins la raison pour laquelle les expressions dans les radicaux de chacune des sommes qu'on va calculer ci-dessous sont très semblables les unes aux autres. \subsubsection{}\label{generalites-calcul-expressions-cos-2pi-sur-n} Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse souvent à l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$, c'est-à-dire $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour le choix usuel des déterminations complexes. Remarquons que $\omega^{-1} = \omega^{g^{(n-1)/2}}$, de sorte que $\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{-g^i}$ vaut $(-1)^j \alpha_j$ (toujours avec $\alpha_j = \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ défini plus haut). La somme $\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} (\omega^j + \omega^{-j})$ qui sert, dans l'algorithme considéré ici, à calculer $\gamma$, vaut donc $\alpha_j$ ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les choses différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des $\alpha_j$ avec $j$ pair uniquement (et notamment, qu'on peut se contenter des racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité, et que les racines qui interviendront seront au plus des racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes) : on a précisément $\gamma = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$. Une fois calculé $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ (en radicaux), on peut éventuellement en déduire une expression (toujours en radicaux) de $\omega$ de la façon suivante : si on pose $\delta := \frac{1}{2} \sqrt{-1} (-\omega + \omega^{-1})$ en notant $\sqrt{-1}$ une racine carrée de $-1$ (disons $\zeta^{(n-1)/4}$ si $n\equiv 1\pmod{4}$), c'est-à-dire en fait $\delta = \sin\frac{2\pi}{n}$ pour le bon choix de $\omega$, alors on vérifie facilement que $\gamma^2 + \delta^2 = 1$, ce qui permet de calculer $\delta$ connaissant $\gamma$ (il n'y a qu'à retrouver son signe), et du coup $\omega = \gamma + \sqrt{-1} \delta$. Cette remarque revient en fait à calculer $\omega$ comme élément de degré $2$ au-dessus de l'extension engendrée par $\gamma$ et appliquer la technique générale. \subsubsection{} Il faut encore dire quelques mots au sujet du choix des déterminations. Lorsqu'on a calculé $a := \alpha^m \in \QQ(\zeta)$ pour une certaine quantité $\alpha$ et pour un $m$ divisant $n-1$ (ici, $\zeta$ est une racine $(n-1)$-ième de l'unité), on peut affirmer que $\alpha = \zeta^t\,\root m\of{a}$ en notant $\root m\of{a}$ la détermination principale complexe de la racine $m$-ième de $a$ : il reste alors à savoir ce que vaut $t$ (modulo $m$). Exception faite de cas très particulier (pour $\alpha_{(n-1)/2}$ on a signalé que c'est toujours $\sqrt{n}$ ou $\sqrt{-n}$, i.e., $t=0$), il n'y a pas de technique plus intelligente que simplement calculer numériquement $\alpha$ et $\root m\of{a}$ avec une précision garantie suffisante pour obtenir l'argument du quotient à $2\pi/m$ près. \subsection{Expressions en radicaux de quelques \texorpdfstring{$\cos\frac{2\pi}{n}$}{cos(2π/n)} et \texorpdfstring{$\sin\frac{2\pi}{n}$}{sin(2π/n)}} Nous nous proposons maintenant de calculer explicitement les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour les petites valeurs de $n$, en utilisant la stratégie exposée en \ref{generalites-calcul-expressions-racines-de-1}, dont nous reprenons les notations. En particulier, la notation $\root n \of x$ désigne la « détermination principale » de la racine $n$-ième de $x$ dans les complexes, c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus grande et, en cas d'égalité (qui se produit uniquement si $x$ est réel négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on cherche à exprimer, avec cette notation, le nombre $\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n + \omega_n^{-1})$, voire le nombre $e^{2 i \pi/n} = \omega_n = \cos\frac{2\pi}{n} + \sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{n}$, où $\omega_n$ est la racine primitive $n$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie imaginaire positive. (Nous avons fait le choix de toujours préférer la quantité $\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{n}$ à $\sin\frac{2\pi}{n}$, puisque l'objet fondamental est $e^{2 i \pi/n}$, et que $\sqrt{-1}$ n'appartient pas forcément à $\QQ(\zeta,\omega)$ : il faut donc considérer $\sqrt{-1}\,\sin$ comme un seul symbole.) \subsubsection{$n=3$}\label{racine-3e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine cubique primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X + 1$, alors en calculant modulo $\Phi_3$ on voit que $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité $\alpha_1 := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $(\alpha_1)^2 = \omega^2 - 2 + \omega^{-1} = -3$. Une fois vérifiée la détermination, on peut écrire $\alpha_1 = \sqrt{-3}$, de sorte que $\omega = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ : \[ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\hbox{\quad et\quad } \sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2}\sqrt{-3} \] \subsubsection{$n=4$}\label{racine-4e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_4 = X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$. Avec nos conventions sur la détermination, on peut écrire $\omega = \sqrt{-1}$ : \[ e^{i\pi/2} = \sqrt{-1} \] \subsubsection{$n=5$}\label{racine-5e-de-1} Si $\omega$ désigne une racine primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_5 = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$ (ici, $\zeta = \sqrt{-1}$ intervient en tant que racine $4$-ième de l'unité), c'est-à-dire : $\alpha_0 = \omega + \omega^2 + \omega^4 + \omega^3$ et $\alpha_1 = \omega + \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 - \sqrt{-1}\, \omega^3$ et $\alpha_2 = \omega - \omega^2 + \omega^4 - \omega^3$ et $\alpha_3 = \omega - \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 + \sqrt{-1}\, \omega^3$. Il est clair que $\alpha_0 = -1$. D'autre part, $(\alpha_2)^2 = 5$ comme on le calcule en développant, et compte tenus des choix de déterminations, $\alpha_2 = \sqrt{5}$. Ceci permet déjà d'exprimer $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{5}$, puisque $\gamma = \frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_2)$, on a donc $\gamma = \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})$ : \[ \cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5}) \] Pour obtenir l'expression de $\omega$ lui-même, on peut bien sûr calculer $\sin\frac{2\pi}{5} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{5}} = \frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$, c'est-à-dire \[ \sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \] Ou bien on peut, de façon plus systématique mais moins commode, calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1 = \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}}$, et de même $\alpha_3 = \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}}$. On a alors $\omega = \frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$. Dans ce cas, on trouve \[ \sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} \big) \] Ici, cette expression est moins plaisante que celle calculée ci-dessus, mais pour de plus grandes valeurs de $n$ ce ne sera pas forcément le cas. \XXX — Y a-t-il moyen plus intelligent d'« expliquer » le fait que $\root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$ ? \subsubsection{$n=6$}\label{racine-6e-de-1} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes de l'unité sont $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$. (Citées dans cet ordre car avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine sixième principale est $-\zeta^2$.) \subsubsection{$n=7$}\label{racine-7e-de-1} Pour exprimer les racines $7$-ièmes de l'unité, on commence par choisir une base des racines $6$-ièmes : comme le paragraphe précédent l'explique, celles-ci seront notées $1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$ avec $\zeta = e^{2i\pi/3}$ une racine primitive cubique de l'unité, et on choisira la $\QQ$-base $1,\sqrt{-3}$ de $\QQ(\zeta) = \QQ(-\zeta^2)$ pour exprimer les résultats (on a vu que $\zeta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}$). Si $\omega$ désigne une racine primitive $7$-ième de l'unité, alors vu que $3$ est primitif modulo $7$ on considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ (ici, $-\zeta^2 = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{-3})$ est une racine primitive $6$-ième de l'unité). On a bien sûr $\alpha_0 = -1$. Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$. Comme on l'a expliqué (cf. notamment \ref{generalites-calcul-expressions-cos-2pi-sur-n}), on a $\gamma = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4)$ : on va donc calculer $(\alpha_2)^3$ et $(\alpha_4)^3$ en travaillant modulo $\Phi_7$. On trouve $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta = \frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(1-3\sqrt{-3})$ et $(\alpha_4)^3 = 14 + 21\zeta = \frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(1+3\sqrt{-3})$ (soit en faisant un nouveau calcul, soit en appliquant la conjugaison complexe c'est-à-dire en faisant agir le groupe de Galois de $\QQ(\zeta)\bo\QQ$, cf. \ref{remarque-groupe-de-galois-sur-zeta-dans-calcul-de-omega}). Il faut ensuite vérifier les déterminations pour pouvoir écrire $\alpha_2 = \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$ et $\alpha_4 = \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$. Ceci conduit déjà à l'expression suivante pour $\gamma = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4)$ : \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\cos\frac{2\pi}{7} &\displaystyle= \frac{1}{6}\Big( -1 + \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}} + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}} \Big)\\ &\displaystyle= -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\root3\of{\frac{7}{2}} \Big(\root3\of{1 - 3\sqrt{-3}} + \root3\of{1 + 3\sqrt{-3}} \Big)\\ \end{array} \] Pour le sinus, on calcule d'abord $(\alpha_3)^2 = -7$ ce qui donne (une fois vérifiée la détermination) $\alpha_3 = \sqrt{-7}$. Puis $(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta = -\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(-71 - 39\sqrt{-3})$ d'où $\alpha_1 = -\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même, ou en faisant agir la conjugaison complexe, $(\alpha_5)^6 = -112 - 273\zeta = -\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3} = \frac{7}{2}(-71 + 39\sqrt{-3})$ d'où $\alpha_6 = \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$. Au final \commentaire{ → finalement ?}, on obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \cdots + \alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \, \sin\frac{2\pi}{7}$ où : \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7} &\displaystyle= \frac{1}{6}\Big( \sqrt{-7} - \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}} + \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}} \Big)\\ &\displaystyle= \frac{1}{6}\sqrt{-7} + \frac{1}{6}\root6\of{\frac{7}{2}}\Big( - \root6\of{-71 - 39\sqrt{-3}} + \root6\of{-71 + 39\sqrt{-3}} \Big)\\ \end{array} \] Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne semble pas plus agréable que celle reproduite ci-dessus. \subsubsection{$n=11$}\label{racine-11e-de-1} De nouveau, on doit commencer par choisir une base raisonnable des racines $(n-1)$-ièmes, c'est-à-dire $10$-ièmes, de l'unité : on choisit $1, \sqrt{5}, \penalty-100 \sqrt{-10-2\sqrt{5}}, \penalty-100 \sqrt{-10+2\sqrt{5}}$, on rappelle (\ref{racine-5e-de-1}) que $\zeta := e^{2i\pi/5}$ est donnée par $-\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{5} + \frac{1}{4} \sqrt{-10-2\sqrt{5}}$ (et la racine primitive $10$-ième de l'unité $-\zeta^3 = e^{i\pi/5}$ vaut $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{5} + \frac{1}{4} \sqrt{-10+2\sqrt{5}}$). Maintenant $\omega$ désigne une racine primitive $11$-ième de l'unité. On considère les quantités $\alpha_j := \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij} \omega^{2^i}$ où $\zeta = e^{2i\pi/5}$ et $-\zeta^3 = e^{i\pi/5}$, et on a utilisé le fait que $2$ est primitif modulo $11$. On a bien sûr $\alpha_0 = -1$. Pour calculer $\cos\frac{2\pi}{11}$, on calculera d'abord $(\alpha_2)^5 = -286 - 220 \zeta + 165 \zeta^2 - 110 \zeta^3 = \frac{11}{4}(-89 - 25\sqrt{5} - \penalty-100 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + \penalty-100 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}})$ : en cherchant la bonne puissance de $\zeta$ à multiplier par la valuation principale, on peut écrire $\alpha_2 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$. Des calculs analogues, ou l'application soigneuse du groupe de Galois de $\QQ(\zeta)\bo\QQ$ (cyclique d'ordre $4$), donnent : $\alpha_4 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$, $\alpha_6 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$, et $\alpha_8 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}$. Finalement, pour $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{11} = \frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_8 + \alpha_4 + \alpha_6)$, on trouve : \[ \begin{array}{rl} \rlap{$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; -\frac{1}{10} \;\;\; + \;\;\; \frac{1}{40} \, \root5\of{\frac{11}{4}} \;\; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\ &\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}}} \rlap{\;\;\Bigg)} \end{array} \] Le calcul du reste de $\omega = e^{2i\pi/11}$ peut se faire de façon analogue : on calcule par exemple $(\alpha_1)^{10} = \frac{11}{4}(51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - \penalty-100 6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + \penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}})$, ce qui permet d'écrire $\alpha_1 = \frac{1}{4} \big( 1-\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root {10}\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root{10}\of{\Big(} 51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - \penalty-100 6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + \penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} \overline{\Big)}$. Les cas de $\alpha_3,\alpha_7,\alpha_9$ sont analogues. Quant à $\alpha_5$, il vaut $\sqrt{-11}$. On obtient finalement : \[\footnotesize \begin{array}{rl} \rlap{$\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; \frac{\sqrt{-11}}{10} \;\;\; +\;\; \frac{1}{40}\, \root{10}\of{\frac{11}{4}} \; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\ &\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \hphantom{-}\Big( 1-\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) \root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big) \root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} + 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \hphantom{-}\Big( 1+\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big) \root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} - 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}} - 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}}}\\ + &\displaystyle \Big( -1-\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big) \root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} + 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}} + 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}}} \rlap{\;\;\Bigg)}\\ \end{array} \] \subsubsection{$n=9$}\label{racine-9e-de-1} Si $\omega = e^{2i\pi/9}$, on peut bien sûr simplement écrire $\omega = \root3\of\zeta$ où $\zeta = e^{2i\pi/3}$, c'est-à-dire, puisque $\zeta = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}$, qu'on a $\omega = \root3\of{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$. Ceci conduit aux écritures \[ \cos\frac{2\pi}{9} = \frac{1}{2} \root3\of{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}} + \frac{1}{2} \root3\of{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-3}} \] \[ \sqrt{-1}\sin\frac{2\pi}{9} = \frac{1}{2} \root3\of{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}} - \frac{1}{2} \root3\of{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-3}} \] Remarquons pour plus tard qu'une base de $\QQ(\omega)$ sur $\QQ$ est donnée par $1,1+2\zeta,\omega,\omega^{-1},-\omega^5,-\omega^{-5}$, c'est-à-dire par $1$, $\sqrt{-3}$, $\root3\of{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$, $\root3\of{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$, $\root3\of{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$, $\root3\of{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$. \subsubsection{$n=13$}\label{racine-13e-de-1} Cette fois nous nous contenterons d'une expression du cosinus : pour ça, on n'aura donc pas besoin des racines $12$-ièmes de l'unité, mais seulement des racines $6$-ièmes (cf. \ref{generalites-calcul-expressions-cos-2pi-sur-n}). On fait le même choix de base qu'en \ref{racine-7e-de-1}, c'est-à-dire qu'on note $\zeta = e^{2i\pi/3}$ et on choisit d'utiliser la $\QQ$-base $1,\sqrt{-3}$ de $\QQ(\zeta) = \QQ(-\zeta^2)$ pour exprimer les résultats (on a vu que $\zeta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}$). Maintenant $\omega$ désigne une racine primitive $13$-ième de l'unité, et comme d'habitude $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$. On considère les quantités $\alpha_{2j} := \sum_{i=0}^9 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{2^i}$ où $\zeta = e^{2i\pi/3}$ et $-\zeta^2 = e^{i\pi/3}$, et on a utilisé le fait que $2$ est primitif modulo $13$. On a bien sûr $\alpha_0 = -1$. En calculant modulo $\Phi_{13}$, on trouve $(\alpha_2)^6 = -2288 -195\zeta = -\frac{4\,381}{2} -\frac{195}{2} \sqrt{-3} = \frac{13}{2}(-337 - 15\sqrt{-3})$, et de même (ou par conjugaison complexe) $(\alpha_{10})^6 = -2093 +195\zeta = -\frac{4\,381}{2} +\frac{195}{2} \sqrt{-3} = \frac{13}{2}(-337 + 15\sqrt{-3})$. Les autres termes sont plus simples : $(\alpha_4)^3 = -52 - 39\zeta = -\frac{65}{2} -\frac{39}{2} \sqrt{-3} = \frac{13}{2}(-5 - 3\sqrt{-3})$ et $(\alpha_8)^3 = -13 + 39\zeta = -\frac{65}{2} +\frac{39}{2} \sqrt{-3} = \frac{13}{2}(-5 + 3\sqrt{-3})$, et enfin $(\alpha_6)^2 = 13$. En prenant les bonnes racines, une fois vérifiée la détermination, on obtient finalement : \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\cos\frac{2\pi}{13} &\displaystyle= - \frac{1}{12} + \frac{1}{12} \, \sqrt{13}\\ &\displaystyle + \frac{1}{24} \root3\of{\frac{13}{2}} \Big( (-1 + \sqrt{-3}) \, \root3\of{-5 - 3 \, \sqrt{-3}} + (-1 - \sqrt{-3}) \, \root3\of{-5 + 3 \, \sqrt{-3}} \Big)\\ &\displaystyle + \frac{1}{24} \root6\of{\frac{13}{2}} \Big( (1 + \sqrt{-3}) \, \root6\of{-337 - 15 \, \sqrt{-3}} + (1 - \sqrt{-3}) \, \root6\of{-337 + 15 \, \sqrt{-3}} \Big)\\ \end{array} \] \subsubsection{$n=17$}\label{racine-17e-de-1} Pour calculer $\cos\frac{2\pi}{17}$, nous allons procéder d'une manière légèrement différente de la méthode usuelle. Celle-ci aura pour avantage de fournir une expression purement réelle (on verra en \XXX à quelle condition il est possible de trouver une telle expression), et par ailleurs plus simple. Plutôt que d'attaquer directement (en utilisant les racines $16$-ièmes de l'unité) l'extension $\QQ(\omega)\bo \QQ$ (où $\omega = e^{2i\pi/17}$), ou même $\QQ(\gamma) \bo \QQ$ (avec $\gamma = \cos\frac{2\pi}{17}$), qui ont pour groupes de Galois respectifs $(\ZZ/17\ZZ)^\times \cong \ZZ/16\ZZ$ et $\ZZ/8\ZZ$, on va introduire les extensions intermédiaires $\QQ = E_0 \subseteq E_1 \subseteq E_2 \subseteq E_3 = \QQ(\gamma) \subseteq E_4 = \QQ(\omega)$ corps fixes de $G = G_0 \geq G_1 \geq G_2 \geq G_3 \geq G_4 = \{1\}$ avec $G_i$ l'unique sous-groupe d'indice $2^i$ de $G$, engendré par l'élément $3^{2^i}$ de $G = (\ZZ/17\ZZ)^\times$. Notons $\sigma$ l'automorphisme $\omega \mapsto \omega^3$ de $\QQ(\omega) \bo \QQ$, qui, comme $3$ est primitif modulo $17$, engendre le groupe de Galois $G$, cyclique d'ordre $16$, de cette extension. (De même que précédemment, on peut si on le souhaite feindre d'ignorer que $\QQ(\omega) \bo \QQ$ ait $(\ZZ/17\ZZ)^\times$ pour groupe de Galois, c'est-à-dire que $\sigma$ ait un sens comme morphisme de corps, en considérant ce dernier comme un morphisme de $R = \QQ[X]/(\Phi_{17})$, mais nous ne développerons pas plus.) Le sous-groupe $G_i$ d'indice $2^i$ de $G$ est engendré par $\sigma^{2^i} \colon \omega \mapsto \omega^{3^{2^i}}$. Pour $1\leq i \leq 4$, introduisons l'élément $\beta_i = \sum_{j=0}^{(2^{5-i}-1)}\, (-1)^j \, \omega^{3^{(2^{i-1}\times j)}}$, c'est-à-dire concrètement $\beta_1 = \omega - \omega^3 + \omega^9 - \omega^{10} + \omega^{13} - \omega^5 + \omega^{15} - \omega^{11} + \omega^{16} - \omega^{14} + \omega^8 - \omega^7 + \omega^4 - \omega^{12} + \omega^2 - \omega^6$ et $\beta_2 = \omega - \omega^9 + \omega^{13} - \omega^{15} + \omega^{16} - \omega^8 + \omega^4 - \omega^2$ et $\beta_3 = \omega - \omega^{13} + \omega^{16} - \omega^4$ et enfin $\beta_4 = \omega - \omega^{16}$. On a manifestement $\sigma^{2^i} (\beta_i) = -\beta_i$, donc $(\beta_i)^2$ est stable par $G_i$ tandis que les deux images de $\beta_i$ par $G_i = \langle \sigma^{2^i} \rangle$ sont $\pm\beta_i$ : ainsi, $\beta_i$ engendre l'extension $E_i \bo E_{i-1}$ où $E_i$ est le corps fixe de $G_i$. En travaillant modulo $\Phi_{17}$, on calcule $(\beta_1)^2 = 17$, et une fois vérifié que $\beta_1$ est positif on en conclut $\beta_1 = \sqrt{17}$ : ainsi, $E_1 = \QQ(\sqrt{17})$. Puis on calcule $(\beta_2)^2 = \frac{17}{2} - \frac{1}{2}\,\sqrt{17}$ pour conclure que $\beta_2 = \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$ : ainsi, $E_2 = \QQ(\sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}})$, mais on peut calculer aussi $\sigma(\beta_2) = \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$ et on pourrait tout aussi bien écrire $E_2 = \QQ(\sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}})$ (cette extension de $\QQ$ est galoisienne de groupe de Galois $\ZZ/4\ZZ$ : on est dans la même situation qu'en \refext{ExG}{exemple-galois-biquadratique-cyclique}), et une $\QQ$-base de $E_2$ est donnée par $1, \sqrt{17}, \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}, \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$. Puis on calcule $(\beta_3)^2 = \frac{17}{4} + \frac{3}{4} \, \sqrt{17} - \frac{1}{2} \, \sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}$, pour conclure que $\beta_3 = \sqrt{\frac{17}{4} + \frac{3}{4} \, \sqrt{17} - \frac{1}{2} \, \sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \sqrt{\frac{17}{2}+\frac{1}{2} \, \sqrt{17}}}$. Comme par ailleurs le nombre $\gamma = \frac{1}{2} \omega + \frac{1}{2} \omega^{16}$ vaut $-\frac{1}{16} + \frac{1}{16}\beta_1 + \frac{1}{8}\beta_2 + \frac{1}{4}\beta_3$, on trouve : \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\cos\frac{2\pi}{17} &\displaystyle= - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} \, \sqrt{17} + \frac{1}{8} \, \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}\\ &\displaystyle + \frac{1}{4} \, \sqrt{\frac{17}{4} + \frac{3}{4} \, \sqrt{17} - \frac{1}{2} \, \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}} \end{array} \] On a $E_3 = \QQ(\beta_3) = \QQ(\cos\frac{2\pi}{17})$ ; ce même corps est aussi engendré par exemple par $\sigma(\beta_3) = \sqrt{\frac{17}{4} - \frac{3}{4} \, \sqrt{17} + \sqrt{\frac{17}{2}-\frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \frac{1}{2} \, \sqrt{\frac{17}{2}+\frac{1}{2} \, \sqrt{17}}}$. Le calcul du sinus revient exactement à celui de $\beta_4 = 2\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{17}$. On peut calculer $(\beta_4)^2 = - \frac{17}{8} + \frac{1}{8} \, \sqrt{17} - \frac{1}{4} \, \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}} + \frac{1}{2} \, \sqrt{\frac{17}{4} + \frac{3}{4} \, \sqrt{17} + \frac{1}{2} \, \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}} + \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}}$ et en conclure \[ \begin{array}{rl} \displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{17} &\displaystyle= \frac{1}{2} \sqrt{\Bigg(} - \frac{17}{8} + \frac{1}{8} \, \sqrt{17} - \frac{1}{4} \, \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}\\ &\displaystyle \hphantom{\frac{1}{2} \sqrt{\Bigg(}} + \frac{1}{2} \, \sqrt{\frac{17}{4} + \frac{3}{4} \, \sqrt{17} + \frac{1}{2} \, \sqrt{\frac{17}{2} - \frac{1}{2} \, \sqrt{17}} - \sqrt{\frac{17}{2} + \frac{1}{2} \, \sqrt{17}}} \overline{\Bigg)} \end{array} \] \subsubsection{$n=19$}\label{racine-19e-de-1} Nous ne donnons pas ici les détails du calcul, qui sont extrêmement semblables au cas $n=13$. Pour base du corps engendré par les racines $9$-ièmes (ou $18$-ièmes) de l'unité dans $\QQ$, on choisit celle suggérée en \ref{racine-9e-de-1}, à savoir : $1$, $\sqrt{-3}$, $\root3\of{-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$, $\root3\of{-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$, $\root3\of{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$, $\root3\of{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{-3}}$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \node[rotate=-90]{ $\footnotesize \begin{array}{rl} \displaystyle\cos\frac{2\pi}{19} &\displaystyle= -\frac{1}{18} +\frac{1}{36}\,\root3\of{\frac{19}{2}}\,\Big( (-1+\sqrt{-3})\,\root 3\of{7-3\,\sqrt{-3}} +(-1-\sqrt{-3})\,\root 3\of{7+3\,\sqrt{-3}}\Big) +\frac{1}{18}\,\root9\of{\frac{19}{2}} \times \\ &\displaystyle \Bigg(\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}\,\root 9\of{6865+7611\,\sqrt{-3}+63072\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+16524\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-6084\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-44244\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\ &\displaystyle +\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}\,\root 9\of{6865-7611\,\sqrt{-3}-10440\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-18828\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+63072\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+16524\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\ &\displaystyle +\root 9\of{6865+7611\,\sqrt{-3}-44244\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-6084\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-10440\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-18828\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\ &\displaystyle +\root 9\of{6865-7611\,\sqrt{-3}-6084\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-44244\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-18828\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-10440\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\ &\displaystyle +\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}\,\root 9\of{6865+7611\,\sqrt{-3}-18828\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-10440\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+16524\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+63072\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\\ &\displaystyle +\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}\,\root 9\of{6865-7611\,\sqrt{-3}+16524\,\root 3\of{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}+63072\,\root 3\of{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-44244\,\root 3\of{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}-6084\,\root 3\of{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt{-3}}}\Bigg) \end{array} $ }; \end{tikzpicture} \end{center} \subsubsection{}Nous avons vu que pour $n=5,7,11,13,17,19$, il existe un signe $±$ tel que $𝐐(\sqrt{±p})$ soit contenu dans $𝐐(e^{2 π i /p})$, dont c'est nécessairement l'unique sous-corps quadratique. Le calcul fait pour $p=17$ donne une démonstration de ce fait pour $p$ premier impair quelconque : l'élément $β₁$ est la somme de Gauß $∑_i (i/p) ω^i$, où $(i/p)$ est le caractère quadratique de $𝐅_p^×$. On a vu \XXX que $g²=(-1/p)p$ ; cf. \ref{}. Alternativement, on peut constater que le discriminant du polynôme $f=X^p-1$, qui est égal à $(-1)^{\frac{p(p-1)}{2}}∏_{ζ: f(ζ)=0} f′(ζ)$, vaut $(-1)^{(p-1)/2} p^p$. La conclusion résulte du fait que c'est un carré dans $𝐐(e^{2 π i /p})$. Résumons ceci sous forme d'un théorème \commentaire{à déplacer} : \begin{théorème2} Pour tout nombre premier impair $p$, l'unique sous-extension quadratique de $𝐐(e^{2 π i /p})$ est $𝐐(\sqrt{(-1)^{(p-1)/2} p})$. Réciproquement, toute extension quadratique de $𝐐$ se plonge dans une extension cyclotomique. \end{théorème2} \commentaire{Justifier la réciproque, qui est triviale ?} \begin{remarque2}C'est un cas très particulier du théorème de Kronecker-Weber d'après lequel toute extension abélienne de $𝐐$ se plonge dans une extension cyclotomique. \end{remarque2} \section{Résolution par radicaux de certaines équations} \subsection{Généralités} \subsubsection{} Dans ce qui suit, nous allons chercher des formules « générales » permettant de résoudre en radicaux une équation $f = 0$ où $f$ est un polynôme séparable de degré $n$ petit sur un corps $k$. On notera généralement $\xi_0, \ldots, \xi_{n-1}$ les racines de $f$ (qu'on cherche à exprimer) dans un corps de décomposition. \label{remarque-expressions-racines-et-permutations}On considérera souvent des « expressions » des racines, c'est-à-dire des polynômes ou fractions rationnelles en $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$ : il faut considérer qu'une telle expression $u$ est un élément de $k[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ ou $k(Z_0,\ldots,Z_{n-1})$ et qu'on le confond abusivement avec sa \emph{valeur} qui est l'évaluation de $u$ en $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$. La raison de ce distinguo est que si $\sigma$ est une permutation de $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$, on se permettra de parler de faire agir $\sigma$ sur $u$, ce qui signifie qu'on fait agir $\sigma$ en permutant les variables $Z_0,\ldots,Z_{n-1}$ (cf. par exemple \refext{Calculs}{polynomes-invariants-de-sous-groupes}) et qu'on peut ensuite évaluer ce $\sigma(u)$ en $\xi_0,\ldots,\xi_{n-1}$ (ce qui revient à évaluer $u$ en $\sigma(\xi_0), \ldots, \sigma(\xi_{n-1})$), si tant est que l'éventuel dénominateur ne s'annule pas. Lorsque $\sigma$ appartient au groupe de Galois de $f$, vu comme groupe de permutation des racines de $f$, alors bien entendu l'action de $\sigma$ sur $u$ au sens ci-dessus coïncide avec son action comme élément du groupe de Galois (puisque $\sigma$ opère trivialement sur les coefficients et a la même action sur les $\xi_i$ avec les deux définitions données) ; cf. aussi \refext{Calculs}{critere-polynomes-invariants-cas-separable} à ce sujet. \subsubsection{Résolution des équations cycliques} Nous avons déjà vu en \ref{remarque-algorithmique-expressions-radicaux} comment on peut de façon générale exprimer par radicaux les éléments des extensions galoisiennes dont le groupe de Galois est cyclique ou même résoluble. Nous allons maintenant revisiter cette question dans l'optique de la résolution des équations. Le cas des équations cycliques est clair : \begin{proposition2}\label{resolution-equations-cycliques-cas-kummer} Soit $K$ un corps contenant une racine primitive $n$-ième de l'unité $\zeta$, où $n$ est un entier non multiple de la caractéristique de $K$. Soit $\sigma$ l'automorphisme de $K[Z_0,\ldots,Z_{n-1}]$ qui laisse invariant les coefficients et permute cycliquement les variables ($\sigma(Z_i) = Z_{i+1\pmod{n}}$). Si pour $j$ entier (défini modulo $n$) on introduit la somme de Lagrange $L_j = \sum_{i=0}^{n-1} \zeta^{ij} Z_i$, alors $\sigma(L_j) = \zeta^{-j} L_j$, de sorte que $\sigma((L_j)^{n/\delta}) = (L_j)^{n/\delta}$ où $\delta = \pgcd(j,n)$, c'est-à-dire que le polynôme $(L_j)^{n/\delta}$ est invariant par permutation cyclique de ses variables. On a de plus $Z_i = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \zeta^{-ij} L_j$. \end{proposition2} \begin{proof} C'est évident. \end{proof} \XXX — C'est une trivialité, mais où est-ce que je veux en venir, au juste ? \begin{proposition2}\label{resolution-equations-cycliques-cas-artin-schreier} Soit $K$ un corps de caractéristique $p > 0$. Soit $\sigma$ l'automorphisme de $K[Z_0,\ldots,Z_{p-1}]$ qui laisse invariant les coefficients et permute cycliquement les variables ($\sigma(Z_i) = Z_{i+1\pmod{p}}$). Si on introduit l'expression $A = \sum_{i=0}^{p-1} i Z_i$, alors $\sigma(A) = A-e_1$ où $e_1 = Z_0 + \cdots + Z_{p-1}$, de sorte que $\sigma(A^p-A {e_1}^{p-1}) = A^p-A {e_1}^{p-1}$, c'est-à-dire que le polynôme $A^p-A {e_1}^{p-1}$ est invariant par permutation cyclique des variables $Z_0,\ldots,Z_{n-1}$. En notant $\Tr(x) = \sum_{i=0}^{p-1} \sigma^i(x)$, on a $\Tr(A^\ell) = 0$ pour $0 \leq \ell \leq p-2$ ou $p \leq \ell \leq 2p-3$, et $\Tr(A^{p-1}) = -{e_1}^{p-1}$ et $\Tr(A^{2p-2}) = -{e_1}^{2p-2}$. Si $x = \sum_{i=0}^{p-1} c_i A^i$ alors $c_i = -\Tr(x A^{p-1-i})/{e_1}^{p-1}$ sauf $c_0 = -\Tr(x A^{p-1})/{e_1}^{p-1} - c_{p-1} {e_1}^{p-1}$. \end{proposition2} \begin{proof} Le premier paragraphe est évident. Pour l'affirmation concernant $\Tr(A^\ell)$, on a besoin d'un peu plus que ce qui était dans \refext{KASW}{trace dans AS} : on développe $\Tr(A^\ell) = \sum_{t=0}^{p-1} (A+te_1)^\ell = \sum_{i=0}^{\ell} \sum_{t=0}^{p-1} C_\ell^i A^{\ell-i} t^\ell {e_1}^\ell$ (en notant $C_\ell^i = \frac{\ell!}{i!(\ell-i)!}$). Or modulo $p$, la somme $\sum_{t=0}^{p-1} t^i$ vaut $0$ si $i=0$ et, si $i>0$, elle vaut $\sum_{j=0}^{p-2} g^{ij}$ avec $g$ générateur de $\FF_p^\times$, de sorte que cette somme vaut $0$ si $i$ n'est pas multiple de $p-1$ et $-1$ s'il l'est. On obtient donc $\Tr(A^\ell) = - \sum C_\ell^i A^{\ell-i} {e_1}^\ell$ où la somme est prise sur les $i$ multiples de $p-1$ entre $1$ et $\ell$ inclus. Si $0\leq \ell \leq p-2$, on obtient déjà $\Tr(A^\ell) = 0$. Pour aller plus loin, remarquons que $C_\ell^{p-1} = \frac{\ell(\ell-1)\cdots(\ell-p+2)}{(p-1)\cdots 1}$ vaut, modulo $p$, soit $1$ soit $0$ selon que $\ell \equiv p-1 \pmod{p}$ ou non (car le dénominateur est toujours le produit de tous les éléments non nuls de $\FF_p$, et le numérateur l'est si $\ell \equiv p-1$ tandis que sinon il contient un facteur nul modulo $p$). Ceci prouve bien que $\Tr(A^\ell) = 0$ si $p \leq \ell \leq 2p-3$ et $\Tr(A^{p-1}) = -{e_1}^{p-1}$, et $\Tr(A^{2p-2}) = -{e_1}^{2p-2}$. Si $x = \sum_{i=0}^{p-1} c_i A^i$, on en déduit que $\Tr(x A^{p-1-i})$ (pour $0 \leq i \leq p-1$) vaut $-c_i {e_1}^{p-1}$ sauf pour $i=0$ auquel cas $\Tr(x A^{p-1}) = -c_0 {e_1}^{p-1} - c_{p-1} {e_1}^{2p-2}$. \end{proof} \subsection{Degré $2$} \subsubsection{} Si $k$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ et $f = X^2 + bX + c$, la transformation de Tschirnhaus $U = X+\frac{b}{2}$ (cf. \refext{Calculs}{section-transformations-de-tschirnhaus}) sur $f$ transforme ce dernier en $g = X^2 - \frac{\Delta}{4}$ où $\Delta = b^2-4c$ est le discriminant de $f$. Le polynôme $f$ est donc scindé sur (une extension quelconque de) $k$ si et seulement si $\Delta$ y est un carré, auquel cas ses racines sont $\displaystyle -\frac{b}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{b^2-4c}$. \subsubsection{} Si $k$ est de caractéristique $2$ et $f = X^2 + bX + c$, on distingue deux cas selon que $b$ est ou n'est pas nul. Si $b = 0$, le polynôme $X^2 + c$ s'écrit $(X+\sqrt{c})^2$ si $c$ est un carré ; si ce n'est pas le cas, le corps de rupture de $f$ est purement inséparable : avec nos définitions on ne parle pas ici d'extension par radicaux. Si $b \neq 0$, on peut effectuer la transformation de Tschirnhaus $U = \frac{1}{b} X$, qui transforme $f$ en $g = X^2 + X + \frac{c}{b^2}$, c'est-à-dire $g = X^2 - X + \betsu_2$ où $\betsu_2 = \frac{c}{b^2}$ désigne le $2$-distinguant de $f$ (cf. \refext{CG}{exemples discriminants et 2-distinguants}). Le polynôme $f$ st donc scindé sur (une extension quelconque de) $k$ si et seulement si $\betsu_2$ y est dans l'image de $\wp\colon x \mapsto x^2 - x$, et lorsque c'est le cas ses racines sont $\displaystyle b \big(\root\wp\of{\frac{c}{b^2}} + \big\lwave\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\big\rwave\big)$ où la notation $\root\wp\of t$ désigne un antécédent de $t$ par $\wp$ et $\big\lwave\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\big\rwave$ signifie « soit $0$ soit $1$ » (ce qui permet d'obtenir l'autre antécédent). \subsection{Degré $3$} \subsubsection{} Si $k$ est de caractéristique différente de $3$ et $f = X^3 + bX^2 + cX + d$, on peut commencer par appliquer la transformation de Tschirnhaus $U = X+\frac{b}{3}$ qui transforme $f$ en $g = X^3 + pX + q$ où $p = -\frac{1}{3}b^2 + c$ et $q = \frac{2}{27} b^3 - \frac{1}{3} bc + d$. Ce polynôme $g$ est donc scindé si et seulement si le polynôme $f$ initial l'est, et on peut donc supposer avoir affaire à un polynôme de cette forme. Soient $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ les racines de $g = X^3 + pX + q$ dans une extension de $k$ contenant également une racine primitive cubique de l'unité $\zeta$. Dans le groupe $\mathfrak{S}_3$ des permutations de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ (qu'on peut imaginer comme contenant le groupe de Galois de $g$ sur $k(\zeta)$), on va utiliser la chaîne de sous-groupes $1 \leq C_3 \leq \mathfrak{S}_3$ où $C_3$ est le sous-groupe cyclique d'ordre $3$ de $\mathfrak{S}_3$ (distingué dans celui-ci) engendré par la permutation $\sigma$ de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ qui envoie chacun sur le suivant cycliquement. La somme de Lagrange $L_1 = \xi_0 + \zeta \xi_1 + \zeta^2 \xi_2$ est multipliée par $\zeta^{-1}$ sous l'effet de la permutation $\sigma$ : le cube de cette quantité (que pour des raisons essentiellement historiques on va noter $27 u$) est donc invariant par $C_3$. Une quantité conjuguée s'obtient en échangeant, disons, $\xi_1$ et $\xi_2$ (permutation représentant l'autre classe de $C_3$ dans $\mathfrak{S}_3$) : c'est tout simplement $L_2$. Bref, on introduit les quantités $u := \frac{1}{27} (\xi_0 + \zeta \xi_1 + \zeta^2 \xi_2)^3$ et $v := \frac{1}{27} (\xi_0 + \zeta \xi_2 + \zeta^2 \xi_1)^3$ : elles sont, bien sûr, invariantes par renumérotation cyclique de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$. En développant complètement $u + v = 2(\xi_0^3 + \xi_1^3 + \xi_2^3) - 3 (\xi_0^2 \xi_1 + \xi_1^2 \xi_2 + \xi_2^2 \xi_0 + \xi_0^2 \xi_2 + \xi_1^2 \xi_0 + \xi_2^2 \xi_1) + 12\xi_0 \xi_1 \xi_2$ et en remplaçant les fonctions symétriques élémentaires $\xi_0 + \xi_1 + \xi_2 = 0$, $\xi_0 \xi_1 + \xi_1 \xi_2 + \xi_2 \xi_0 = p$ et $\xi_0\xi_1\xi_2 = -q$ par leurs valeurs, on trouve $u + v = -q$, et par un calcul semblable, $uv = -\frac{1}{27}p^3$. Les quantités $u$ et $v$ sont donc solutions de l'équation quadratique $Z^2 + qZ - \frac{1}{27}p^3 = 0$. En appliquant les résultats de la section précédente pour résoudre celle-ci, on obtient une équation en radicaux de $u,v$ (excepté en caractéristique $2$ si $q=0$, ce cas étant de toute façon inintéressant), par exemple $\big\lwave\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\big\rwave = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}$ en caractéristique $\neq 2$. En notant $\root3\of{u}$ et $\root3\of{v}$ des racines cubiques quelconques de respectivement $u$ et $v$, qui sont donc égales à $\frac{1}{3} (\xi_0 + \zeta \xi_1 + \zeta^2 \xi_2)$ et $\frac{1}{3} (\xi_0 + \zeta \xi_2 + \zeta^2 \xi_1)$ respectivement, à une puissance de $\zeta$ près, ou ce qui revient au même à renumérotation cyclique de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ près. Compte tenu du fait que $\xi_0 + \xi_1 + \xi_2 = 0$, les différentes valeurs de $\root3\of{u} + \root3\of{v}$ (selon le choix de la détermination de chaque racine cubique) parcourent les $\zeta^j \xi_i$. En résumé, les racines de $X^3 + pX + q$ en caractéristique $\neq 2,3$ sont de la forme : \[ \zeta^{j} \root3\of{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \zeta^{j'} \root3\of{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} \] pour certaines combinaisons de $j,j'$. \subsubsection{} Pour $k$ de caractéristique $3$, étudions maintenant la résolution par radicaux de l'équation $X^3 + b X^2 + c X + d = 0$ avec $b\neq 0$. On notera $f$ le polynôme membre de gauche de cette équation, et $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ ses racines dans une certaine extension de $k$. Appelons $\alpha$ la quantité $\frac{1}{b}(\xi_1 - \xi_2)$ (c'est-à-dire, si on préfère, $\alpha = \frac{1}{b}\sum_{i=0}^2 i \xi_i$) : le choix de cette expression est dicté par le fait que si on appelle $\sigma$ la permutation de $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ envoyant chacun sur le suivant, alors $\sigma(\alpha) = \alpha+1$ (on renvoie à la remarque faite en \ref{remarque-expressions-racines-et-permutations} sur le sens à donner à l'application de $\sigma$ à $\alpha$). La quantité $w := \wp(\alpha) = \alpha^3 - \alpha$ (en notant comme d'habitude $\wp(x) = x^3 - x$) a pour carré $w^2 = -\frac{d}{b^3} + \frac{c^2}{b^4} - \frac{c^3}{b^6}$, comme on peut le vérifier en remplaçant $b,c,d$ par $-(\xi_0+\xi_1+\xi_2)$, $\xi_0 \xi_1 + \xi_1 \xi_2 + \xi_2 \xi_0$ et $-\xi_0 \xi_1 \xi_2$ respectivement dans les deux membres de cette égalité. On peut donc écrire $\alpha = \pm \root\wp\of{\sqrt{-\frac{d}{b^3} + \frac{c^2}{b^4} - \frac{c^3}{b^6}}} + \big\lwave0,1,2\big\rwave$ (le choix du signe devant les racines, et du terme $0,1,2$ étant lié à la détermination des racines). Reste à expliquer comment retrouver $\xi_0,\xi_1,\xi_2$ à partir de $\alpha$ : pour cela, remarquons que $b^2 \alpha^2 = \xi_1^2 + \xi_1 \xi_2 + \xi_2^2 = b^2 - c + b\xi_0$, ce qui permet d'écrire $\xi_0 = b \alpha^2 - b + \frac{c}{b}$, et on a alors facilement $\xi_1 = b \alpha^2 - b\alpha + \frac{c}{b}$ et $\xi_2 = b \alpha^2 + b\alpha + \frac{c}{b}$ (ces formules pouvaient se trouver en appliquant la proposition \ref{resolution-equations-cycliques-cas-artin-schreier}). Reste à dire un mot en caractéristique $3$ des équations $X^3 + c X + d = 0$ avec $c \neq 0$, et $X^3 + d = 0$. Lorsque $-c$ est un carré, la première se ramène, par la transformation de Tschirnhaus $U = \frac{1}{\sqrt{-c}} X$, à $g = X^3 - X + \frac{d}{(\sqrt{-c})^3}$, dont les racines sont $\root\wp\of{\frac{d}{(\sqrt{-c})^3}} + \big\lwave0,1,2\big\rwave$, et celles de $f$ sont donc égales à $\sqrt{-c}$ fois cette quantité. L'équation inséparable $X^3 + d = 0$ a bien sûr pour solution (unique) $\root 3\of{-d}$, qui n'est pas une écriture en radicaux avec nos définitions. \subsection{Degré $4$} \subsubsection{} Soit $f = X^4 + a_1 X^3 + a_2 X^2 + a_3 X + a_4$ un polynôme de degré $4$ sur un corps $k$, dont on cherche à exprimer les racines, $\xi_1,\xi_2,\xi_3,\xi_4$. Lorsque $k$ est de caractéristique $\neq 2$, on pourrait commencer par utiliser la transformation de Tschirnhaus $U = X + \frac{a_1}{4}$ (qui transforme $f$ en $X^4 + b_2 X^2 + b_3 X + b_4$ avec $b_2 = -\frac{3}{8} a_1^2 + a_2$, $b_3 = \frac{1}{8} a_1^3 - \frac{1}{2} a_1 a_2 + a_3$ et $b_4 = -\frac{3}{256} a_1^4 + \frac{1}{16} a_1^2 a_2 - \frac{1}{4} a_1 a_3 + a_4$). Cette opération permettrait de simplifier légèrement les calculs en annulant le terme sous-dominant, mais elle ne sera pas fondamentalement utile pour ce qui va suivre et nous ne l'appliquerons donc pas. On a vu en \refext{Calculs}{calcul-galois-degre-4} que la quantité $\pi = \xi_1 \xi_3 + \xi_2 \xi_4$, choisie pour stabiliser le sous-groupe $D_4 \leq \mathfrak{S}_4$, est racine du polynôme résolvant $X^3 - a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X + (- a_1 ^2 a_4 - a_3^2 + 4 a_2 a_4)$ (on parle généralement de \emph{résolvante cubique} ou de \emph{résolvante de Ferrari} pour désigner cette équation). Puisqu'il s'agit d'une équation de degré $3$, on peut supposer, d'après les résultats précédents, qu'on dispose d'une expression de $\pi$ (les différentes solutions de l'équation cubique correspondent aux différentes classes de conjugaison de $D_4$ dans $\mathfrak{S}_4$, choix qui ne nous importe pas puisque la numérotation des racines était arbitraire). En caractéristique $\neq 2$ et quitte à adjoindre éventuellement au corps $k$ une racine $4$-ième de l'unité $i$, on va introduire les quatre sommes de Lagrange : $L_0 = \xi_1 + \xi_2 + \xi_3 + \xi_4$, $L_1 = \xi_1 + i \xi_2 - \xi_3 - i \xi_4$, $L_2 = \xi_1 - \xi_2 + \xi_3 - \xi_4$ et $L_3 = \xi_1 - i \xi_2 + \xi_3 + i \xi_4$. La somme $L_0$ vaut évidemment $-a_1$ et ne pose pas de problème. Les quantités $L_1^4$, $L_3^4$ et $L_2^2$, d'après \ref{resolution-equations-cycliques-cas-kummer}, sont invariantes par le groupe $C_4$ des permutations cycliques des variables, donc vérifient des équations de degré au plus $2$ sur $k(\pi)$, et, s'agissant de $L_2^2$, en fait $1$ puisqu'il est même invariant par $D_4$. Effectivement, il est facile de vérifier que $L_2^2 = 4\pi + a_1^2 - 4a_2$ : ceci fournit déjà une manière de résoudre l'équation, consistant à calculer tous les conjugués de $L_2$, à savoir les $\pm\sqrt{4\pi + a_1^2 - 4a_2}$ où $\pi$ parcourt les trois solutions de la résolvante cubique, et les différentes sommes $\frac{1}{4}(L_0 \pm L_2 \pm L_2' \pm L_2'')$ où $L_2, L_2', L_2''$ sont obtenues de cette manière, parcourent les racines $\xi_i$ ainsi que les $-\frac{1}{2} a_1 - \xi_i$ qu'il est facile de reconnaître. Une autre approche consiste à utiliser une équation vérifiée par $L_1$, à savoir : $X^8 + (- 2 a_1^4 + 8 a_1^2 a_2 - 64 a_1 a_3 + 8 a_2^2 + 256 a_4 + ( 8 a_1^2 + 16 a_2 ) \pi - 56 \pi^2) X^4 + ( a_1^8 - 8 a_1^6 a_2 + 24 a_1^4 a_2^2 - 32 a_1^4 a_4 - 32 a_1^2 a_2^3 + 208 a_1^2 a_2 a_4 - 32 a_1^2 a_3^2 + 16 a_2^4 - 320 a_2^2 a_4 + 80 a_2 a_3^2 + (- 8 a_1^6 + 48 a_1^4 a_2 + 32 a_1^3 a_3 - 96 a_1^2 a_2^2 - 112 a_1^2 a_4 - 80 a_1 a_2 a_3 + 64 a_2^3 + 256 a_2 a_4 + 16 a_3^2 ) \pi + ( 24 a_1^4 - 128 a_1^2 a_2 - 16 a_1 a_3 + 176 a_2^2 + 64 a_4 ) \pi^2 )$ (on renvoie à \refext{Calculs}{calcul-galois-degre-4}, et spécifiquement à la discussion sur ce qui y est noté $R_{D_4,F}$ pour une explication de comment on peut calculer une telle expression, mais sa vérification est une simple et fastidieuse question de développer ce polynôme) ; comme prévu, le polynôme en question fournit une équation quadratique en $L_1^4$, dont les deux racines sont $L_1^4$ et $L_3^4$. \subsubsection{} En caractéristique $2$, toujours en partant d'une racine $\pi$ de la résolvante cubique $X^3 + a_2 X^2 + a_1 a_3 X + (a_1 ^2 a_4 + a_3^2)$, la quantité $\xi_1 + \xi_3$ vérifie l'équation $X^2 + a_1 X + a_2 + \pi = 0$, et si $\varsigma$ désigne cette quantité $\xi_1 + \xi_3$, alors $\xi_1$ est racine de $a_1 X^2 + a_1 \varsigma X + \pi\varsigma + a_3 = 0$. Lorsque $a_1 \neq 0$, ceci permet de résoudre l'équation en résolvant successivement (la résolvante cubique, puis) deux équations quadratiques. Toujours en caractéristique $2$, si $a_1 = 0$, et toujours en partant d'une racine $\pi$ de la résolvante cubique $X^3 + a_2 X^2 + a_3^2$, la quantité $\xi_1 \xi_3$ vérifie l'équation $X^2 + \pi X + a_4 = 0$ (ceci étant d'ailleurs vrai sans l'hypothèse $a_1 = 0$), et si $\varpi$ désigne cette quantité $\xi_1 \xi_3$, alors $\xi_1$ est racine de $a_3 X^2 + (a_2 \pi + \pi^2) X + a_3 \varpi = 0$. Lorsque $a_1 = 0$ mais $a_3 \neq 0$, ceci permet de résoudre l'équation en résolvant successivement (la résolvante cubique, puis) deux équations quadratiques. Enfin, dans le cas $a_1 = a_3 = 0$, l'équation $X^4 + a_2 X^2 + a_4 = 0$ est une équation quadratique en $X^2$ (et n'est pas séparable). \subsection{Un exemple en degré $5$} Considérons le polynôme $f = X^5 - 5X + 12$ sur les rationnels : on cherche à en exprimer les racines au moyen de radicaux. Pour se convaincre que c'est au moins possible, il faut tout d'abord s'assurer que son groupe de Galois $G$ est résoluble. Nous avons traité cet exemple en \refext{ExG}{exemple-galois-quintique-diedral} où nous avons vu qu'il s'agissait du groupe diédral du pentagone ; plus précisément, nous avons vu que le corps de décomposition de $f$ sur $\QQ$ s'écrit comme $K_1 = K[Y]/(Y^2 + \frac{1}{4}(-z^4-z^3-z^2+3z+4)Y + \frac{1}{4}(-z^4-z^3-z^2-5z+8))$, où $K = \QQ[X]/(f)$ est le corps de rupture de $f$ dans lequel on note $z$ ou $z_0$ la classe de $X$, et on note $z_1$ la classe de $Y$ dans $K_1$ qui est aussi une racine de $f$ : le groupe de Galois est alors le groupe des isométries d'un pentagone régulier dont les sommets seraient étiquetés $z_0,z_1,z_2,z_3,z_4$ avec $z_2 = \frac{1}{8}[(z_0^4-z_0^3+z_0^2-z_0-4)z_1 + (-z_0^4+z_0^3-z_0^2+z_0-4)]$ et $z_3 = \frac{1}{8}[(-z_0^4+z_0^3-z_0^2+z_0+4)z_1 + (-z_0^4-3z_0^3-z_0^2-3z_0+12)]$ et $z_4 = -z_1+\frac{1}{4}(z_0^4+z_0^3+z_0^2-3z_0-4)$. On notera $\varsigma$ l'élément du groupe de Galois $G$ qui envoie cycliquement chacun de $z_0,z_1,z_2,z_3,z_4$ sur le suivant, et $\tau$ celui qui échange $z_1$ et $z_4$ ainsi que $z_2$ et $z_3$. Pour spécifier le choix des déterminations des racines dans les complexes, on fixe la numérotation pour laquelle $z_0 \approx -1.842086$, $z_1 \approx 1.272897+0.719799i$, $z_2 \approx -0.351854+1.709561i$, $z_4 \approx -0.351854-1.709561i$ et $z_5 \approx 1.272897-0.719799i$ (on vérifie bien avec ce choix que $z_1^2 + \frac{1}{4}(-z_0^4-z_0^3-z_0^2+3z_0+4)z_1 + \frac{1}{4}(-z_0^4-z_0^3-z_0^2-5z_0+8) = 0$ et que $z_2,z_3,z_4$ sont donnés par les expressions ci-dessus en fonction de $z_0,z_1$). Nous aurons aussi besoin de faire intervenir une racine primitive cinquième de l'unité $\zeta$. On peut montrer que $f$ a le même groupe de Galois sur $\QQ(\zeta)$, c'est-à-dire que $K \otimes_{\QQ} \QQ(\zeta) = \QQ(\zeta)[X]/(f)$ et $K_1 \otimes_{\QQ} \QQ(\zeta)$ sont bien des corps (par exemple, on peut vérifier que le polynôme minimal $Z^{10} - 10 Z^8 - 75 Z^6 + 1500 Z^4 - 5500 Z^2 + 16000$ de l'élément primitif $z_0 - z_1$ de $K_1$ reste encore irréductible sur $\QQ(\zeta)$) ; mais en réalité, nous n'en aurons pas vraiment besoin de ce fait : nous ne calculerons pas de division dans ces anneaux, donc il nous suffit qu'ils aient un sens en tant qu'anneaux, que le groupe diédral du pentagone opère sur le second en laissant $\zeta$ fixe, et que les éléments fixes par cette action soient ceux de $\QQ(\zeta)$. On définit les sommes de Lagrange $L_j = \sum_{i=0}^4 \zeta^{ij} \varsigma^i(z_0) = \sum_{i=0}^4 \zeta^{ij} z_i$, de sorte que $\varsigma(L_j) = \zeta^j L_j$. Les éléments $L_j$ peuvent être calculés explicitement dans $K_1 \otimes_{\QQ} \QQ(\zeta)$ (dont on a une description explicite comme algèbre quotient de $\QQ[X,Y,U]$ par l'idéal engendré par $f(X)$ et $(Y^2 + \frac{1}{4}(-X^4-X^3-X^2+3X+4)Y + \frac{1}{4}(-X^4-X^3-X^2-5X+8))$ et $U^4 + U^3 + U^2 + U + 1$). On a évidemment $L_0 = 0$ ; les autres $L_j$ vérifient $\varsigma((L_j)^5) = (L_j)^5$, mais par ailleurs il est clair que $\tau(L_j) = L_{5-j}$ (on rappelle que $\tau$ opère trivialement sur $\zeta$), et en particulier $\tau((L_j)^5) = (L_{5-j})^5$. Ainsi, $(L_1)^5 + (L_4)^5$ et $(L_1 L_4)^5$, et de même $(L_2)^5 + (L_3)^5$ et $(L_2 L_3)^5$ sont stables par $\varsigma$ et $\tau$ donc éléments de $\QQ(\zeta)$, et calculables explicitement. De fait : \begin{align*} (L_1)^5 + (L_4)^5 &= - 8750 - 5000 \zeta^2 - 5000 \zeta^3\\ (L_1 L_4)^5 &= 78125 + 156250 \zeta^2 + 156250 \zeta^3\\ (L_2)^5 + (L_3)^5 &= - 3750 + 5000 \zeta^2 + 5000 \zeta^3\\ (L_2 L_3)^5 &= -78125 + 156250 \zeta^2 - 156250 \zeta^3\\ \end{align*} (Au lieu de la somme et du produit de $(L_1)^5$ et $(L_4)^5$, on aurait pu introduire de nouvelles sommes de Lagrange $M_{(1,4),j} := L_1^5 + (-1)^j (L_4)^5$, sachant qu'alors $M_{(1,4),0} = (L_1)^5 + (L_4)^5$ et de $(M_{(1,4),1})^2 = ((L_1)^5 - (L_4)^5)^2$ étaient dans $\QQ(\zeta)$ ; cela revenait essentiellement au même ; et la même chose vaut, évidemment, pour $L_2$ et $L_3$.) Ces valeurs permettent de calculer $(L_1)^5$ et $(L_4)^5$ en radicaux dans les complexes : on connaît déjà une expression en radicaux de $\zeta = e^{2i\pi/5}$, à savoir $\frac{1}{4}(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}})$, et le fait de connaître la somme et le produit de $(L_1)^5$ et $(L_4)^5$ donne ceux-ci comme solutions d'une équation quadratique donc résoluble au prix d'une racine carrée ; la même chose vaut, évidemment, pour $(L_2)^5$ et $(L_3)^5$. Pour obtenir des expressions un petit peu plus propres, et pour y voir plus clair, on peut chercher à identifier l'extension quadratique de $\QQ$ définie par le) (c'est-à-dire corps fixe du) sous-groupe engendré par $\varsigma$ dans $G$ : pour cela, on considère par exemple l'élément $q = z_0 z_1^2 + z_1 z_2^2 + z_2 z_3^2 + z_3 z_4^2 + z_4 z_0^2$ de $K_1$ : il est stable par $\varsigma$ mais non par $\tau$, et on calcule $q + \tau(q) = -10$ et $q\, \tau(q) = 275$, ce qui donne $q^2 + 10q + 275 = 0$ ou encore $q = -5(1\pm\sqrt{-10})$ ; par cohérence avec le choix des racines dans $\CC$ décrit plus haut, on écrira $q = -5(1+\sqrt{-10})$, ou plus exactement, on appellera $\sqrt{-10}$ l'élément de $K_1$ défini par $-1-\frac{1}{5}q$ : cet élément est fixé par $\varsigma$ et $\tau(\sqrt{-10}) = -\sqrt{-10}$. Puisque $(L_1)^5 - (L_4)^5$ est lui aussi fixé par $\varsigma$ et transformé par $\tau$ en son opposé, on peut chercher à écrire $(L_1)^5 - (L_4)^5$ sous la forme $c\sqrt{-10}$ avec $c \in \QQ(\zeta)$, qu'on calcule comme $((L_1)^5 - (L_4)^5)\times\sqrt{-10}/(-10)$, ce qui donne \[ (L_1)^5 - (L_4)^5 = (- 750 - 1500 \zeta + 750 \zeta^2 - 2250 \zeta^3)\,\sqrt{-10} \] et de façon analogue \[ (L_2)^5 - (L_3)^5 = (- 750 - 3000 \zeta - 2250 \zeta^2 - 750 \zeta^3)\,\sqrt{-10} \] Ceci donne une expression plus heureuse pour les $(L_j)^5$, à savoir, une fois $\zeta$ remplacé par sa propre expression complexe en radicaux : \begin{align*} (L_1)^5 &= -3125 + 1250\sqrt{5} + 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}\\ (L_2)^5 &= -3125 - 1250\sqrt{5} - \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}\\ (L_3)^5 &= -3125 - 1250\sqrt{5} + \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}\\ (L_4)^5 &= -3125 + 1250\sqrt{5} - 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}\\ \end{align*} Et pour l'expression finale de la racine réelle $z = \frac{1}{5}(L_0 + L_1 + L_2 + L_3 + L_4)$ de $f$ dans les complexes, on obtient {\footnotesize \begin{align*} & \frac{1}{20}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{-10+2\sqrt{5}}\right) \root5\of{-3125 + 1250\sqrt{5} + 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ & + \frac{1}{20}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{-10+2\sqrt{5}}\right) \root5\of{-3125 - 1250\sqrt{5} - \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ & + \frac{1}{20}\left(-1-\sqrt{5}+\sqrt{-10+2\sqrt{5}}\right) \root5\of{-3125 - 1250\sqrt{5} + \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ & + \frac{1}{5} \root5\of{-3125 + 1250\sqrt{5} - 375\sqrt{-10}\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + \frac{375}{2}\sqrt{-10}\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\ \end{align*} \par} \subsection{Une stratégie algorithmique générale} Nous proposons d'étudier dans cette section le problème suivant : on suppose que $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in k[X]$ est un polynôme unitaire séparable sur un corps $k$, dans lequel on suppose au moins qu'on sait mener des calculs et factoriser des polynômes (en produit d'irréductibles), et, en supposant que le groupe de Galois de $f$ est résoluble, on cherche à calculer de façon algorithmique une expression en radicaux des racines de $f$, dans le corps de décomposition de celui-ci. Les algorithmes que nous exposons ici sont avant tout théoriques, et ne sont pas forcément utilisables en tant que tels dans la pratique en raison de leur complexité considérable : de nombreuses améliorations et optimisations sont possibles afin de les rendre pratiques. \subsubsection{Cas de caractéristique $0$ avec assez de racines de l'unité} On suppose ici que $k$ est un corps de caractéristique $0$ et qu'il contient « assez » de racines de l'unité (où le sens de « assez » va être précisé en fonction du groupe de Galois, mais il sera en tout cas suffisant que $k$ contienne les racines $\ppcm(1,2,3,\ldots,d)$-ièmes de l'unité, où $d = \deg f$). Comme en \refext{Groebner}{section-algebre-de-decomposition-universelle}, on introduit l'algèbre de décomposition universelle $k[Z_1,\ldots,Z_d]/I$ de $f$, où $I$ est l'idéal engendré par les relations $\sigma_i = (-1)^i a_i$ où $\sigma_i$ désigne le $i$-ième polynôme symétrique élémentaire en $Z_1,\ldots,Z_d$. Le groupe $\mathfrak{S}_d$ agit par permutation sur les $Z_i$. Comme en \refext{Groebner}{section-calcul-galois-par-base-de-groebner}, où on a vu comment en calculer un algorithmiquement, on appelle $J$ un idéal premier de $k[Z_1,\ldots,Z_d]$ contenant $I$ : alors $E = k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ est le corps de décomposition de $f$, et le groupe $G$ des permutations de $Z_1,\ldots,Z_d$ laissant $J$ invariant est le groupe de Galois de $f$. On sait effectuer algorithmiquement des calculs dans $E$, et on sait naturellement faire agir $G$ sur ses éléments (puisqu'il s'agit simplement de permutations des $Z_i$). En réalité, dans ce qui suit, nous n'aurons pas besoin du fait que $G$ soit exactement le groupe de Galois de $f$, il suffira qu'il le contienne. On supposera que $k$ contient les racines $N$-ièmes de l'unité, où $N$ est tel que $g^N = 1$ pour tout $g \in G$ (et dès lors que $k$ \emph{contient} ces éléments, on sait les représenter explicitement puisque nous avons supposé savoir factoriser des polynômes sur $k$ : il suffit de factoriser le $N$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_N$ pour disposer d'une racine primitive $N$-ième). Soit $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ une suite de sous-groupes de $G$ avec $G_{u+1}$ distingué dans $G_u$ et $G_u/G_{u+1}$ cyclique d'ordre $m_u$ engendré par un élément représenté par un élément $\tau_u$ de $G_u$. Par récurrence sur $u$, nous montrons qu'on peut calculer des expressions par radicaux d'éléments du sous-corps $E_u$ de $E$ fixé par $G_u$. Pour $u=0$, un élément de $E$ fixé par $G_0 = G$ est un élément de $k$, et la représentation choisie est transparente (c'est-à-dire que dans $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$ on verra cet élément comme $c \cdot 1$ avec $c \in k$ et $1$ le monôme unité). Si maintenant le problème est de calculer une expression par radicaux de $\gamma \in E_{u+1}$ (c'est-à-dire, fixé par $G_{u+1}$), on calcule les valeurs dans $E$ des sommes de Lagrange $\alpha_j = \sum_{i=0}^{m_u-1} \zeta^{ij} {\tau_u}^i(\gamma)$, où $\zeta$ est une racine primitive $m_u$-ième de l'unité dans $k$ (par exemple $\omega^{N/m_u}$ avec $\omega$ une racine primitive $N$-ième fixée une fois pour toutes). Puisque $\tau_u$ est connu comme permutation des $Z_i$, ces $\alpha_j$ sont explicitement calculables dans $E = k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$. Comme les $(\alpha_j)^{m_u/\pgcd(j,m_u)}$ sont fixés par $G_{u+1}$ et $\tau_u$, donc par $G_u$, l'hypothèse de récurrence assure qu'on sait en calculer explicitement une expression en radicaux. On peut donc écrire $\alpha_j$ comme une racine de cette quantité, ce qui en donne une expression en radicaux (cf. la remarque suivante), et alors $\gamma = \frac{1}{m_u} \sum_{j=0}^{m_u-1} \alpha_j$ donne une expression en radicaux de $\gamma$. En appliquant ceci à n'importe lequel des $Z_i$ (modulo $J$), on a trouvé une expression en radicaux des racines de $f$. \begin{remarque2} Pour que l'expression en radicaux obtenue définisse correctement la quantité écrite, il faut fixer un choix de déterminations des racines extraites. En général, il n'y a pas de manière particulièrement intelligente de procéder. On pourrait par exemple décider qu'à chaque fois que l'algorithme veut écrire un élément $\alpha \in E$ comme racine $m$-ième d'un $a \in E$, on cherche si une racine $m$-ième de ce même $a$ a déjà été utilisée : si ce n'est pas le cas, on décide que $\alpha$ sera l'élément noté $\root m\of a$, et on enregistre le triplet $(a,m,\alpha)$ ; sinon, on appelle $\alpha_0$ la racine $m$-ième précédemment choisie pour $a$ (c'est-à-dire qu'on a enregistré le triplet $(a,m,\alpha_0)$), et on écrit $\alpha = \zeta^t \root m\of a$ où $\root m\of a$ a déjà servi à désigner $\alpha_0$, et $\zeta^t$ est la racine $m$-ième de l'unité $\alpha/\alpha_0$ (qu'on peut calculer explicitement dans $E$, cf. par exemple \refext{Gröbner}{algorithme-calcul-inverse-algebre-de-type-fini}). Si les calculs sont menés sur $\QQ$ (ou de façon générale sur un sous-corps de $\CC$), il existe bien sûr un choix standard de déterminations des racines $m$-ièmes. Pour pouvoir réaliser ce choix, il faut, lorsqu'on réalise le corps de décomposition de $f$ comme $k[Z_1,\ldots,Z_d]/J$, choisir en même temps un plongement compatible dans $\CC$, c'est-à-dire trouver une numérotation des racines complexes $\xi_1,\ldots,\xi_d$ de $f$ telles que toutes les relations engendrant $J$ soient satisfaites pour cette numérotation (ou inversement, choisir l'idéal $J$ premier contenant $I$ qui soit compatible avec la numérotation préalablement choisie des $\xi_i$). Ceci permet, à chaque étape de l'algorithme, d'obtenir une valeur complexe approchée des éléments de $E$ qui apparaissent, et donc, quand il s'agit d'extraire une racine $m$-ième de $a$, de choisir l'écriture $\zeta^t \root m\of a$ qui fait intervenir la détermination principale complexe. \end{remarque2} \subsubsection{Cas de caractéristique $0$ sans hypothèse de racines de l'unité} Supposons maintenant relaxée l'hypothèse que le corps de base $k$ possède assez de racines de l'unité. On peut se ramener au cas précédent en introduisant le corps $k' = k(\zeta)$ où $\zeta$ est une racine $N$-ième de l'unité avec $N$ choisi de sorte que $g^N = 1$ pour tout $g$ dans le groupe de Galois de $f$ sur $k$ (ou, dans le pire cas, $\ppcm(1,2,\ldots,d)$). Pour cela, on factorise le $N$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_N$ sur $k$, on en choisit un facteur irréductible $\chi$ quelconque, et on appelle $k'$ le corps de rupture (qui est aussi corps de décomposition) de $\chi$ sur $k$ : manifestement, on sait effectuer des calculs dans $k'$, et on sait aussi factoriser des polynômes sur $k'$ car \XXX \textcolor{Magenta}{[il faut décider où expliquer ce fait : pour l'instant, il est prévu dans le chapitre « Calculs », mais ce n'est pas forcément idéal]}. Soulignons que le groupe de Galois de $f$ sur $k'$ peut très bien être strictement plus petit que sur $k$ (lorsque $k'$ et $\dec_k(f)$ ne sont pas linéairement disjoints). Plutôt que de travailler sur le corps $k'$, on peut préférer travailler toujours sur $k$ : ceci peut se faire en ajoutant une nouvelle indéterminée $\Omega$ (qui représentera une racine $N$-ième de l'unité) et la relation $\Phi_N(\Omega)$ dans l'idéal $I$ : en trouvant comme précédemment un idéal $J$ premier contenant $I$, le corps $E = k[Z_1,\ldots,Z_d,\Omega]/J$ sera alors le corps de décomposition de $\Phi_N \times f$ sur $k$, c'est-à-dire le corps de décomposition de $f$ sur $k'$. Le choix de $J$ équivaut ici au calcul du groupe de Galois de $f$ sur $k'$. \subsubsection{Cas de caractéristique $p$} On se place maintenant dans le cas d'un corps de caractéristique $p > 0$. Les méthodes décrites ci-dessus fonctionnent encore, sauf lorsqu'un des groupes cycliques $G_u/G_{u+1}$ est d'ordre $m_u$ multiple de $p$. Quitte à raffiner la décomposition de $G$, on peut d'ailleurs supposer $m_u = p$ exactement, ce que nous ferons. On note $\tau = \tau_u$ un élément de $G$ qui engendre $G_u$ modulo $G_{u+1}$ (i.e., d'ordre $p$ modulo $G_{u+1}$). Il convient tout d'abord de déterminer un élément $z$ de $E_{u+1} := \Fix_{G_{u+1}}(E)$ (le corps fixe par $G_{u+1}$) dont la trace $\Tr(z) := \sum_{i=0}^{p-1} \tau^i(z)$ ne soit pas nulle. Un tel élément existe toujours (cf. \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}), et on pourra donc en trouver, par exemple, en parcourant une base de $E_{u+1}$ comme $k$-espace vectoriel et en calculant la trace de chacun de ses élément ; ou bien, si on ne connaît pas de base de $E_{u+1}$, en considérant une base de $E$ comme $k$-espace vectoriel, et en calculant la trace vers $E_u$, soit $\sum_{\sigma \in G_u} \sigma(\alpha)$, de chacun de ses éléments $\alpha$, sachant qu'il y aura nécessairement un $\alpha$ pour lequel elle sera non-nulle et alors $z := \sum_{\sigma \in G_{u+1}} \sigma(\alpha)$ sera dans $E_{u+1}$ et aura une trace $\sum_{i=0}^{p-1} \tau^i(z)$ non nulle. Quitte à diviser $z$ par sa trace (on rappelle (\XXX) qu'on sait algorithmiquement calculer des divisions dans $E$), on peut supposer que $\Tr(z) := \sum_{i=0}^{p-1} \tau^i(z) = 1$. On pose alors $y := \sum_{i=0}^{p-1} i \tau^i(z)$. Alors $\wp(y) := y^p - y$ est fixé par ($G_{u+1}$ et) par $\tau$ donc par $G_u$, donc on sait en donner une expression en radicaux (c'est l'hypothèse de récurrence), ce qui permet d'écrire $y$ comme une racine $\wp$-ième. Par ailleurs, $y$, étant de degré $p$ sur $E_u$, engendre $E_{u+1}$ sur ce dernier. Ainsi, si $x$ est un élément quelconque de $E_{u+1}$ (i.e., fixé par $G_{u+1}$), on peut l'écrire $\sum_{i=0}^{p-1} c_i y^i$, et les coefficients sont calculables (d'après \ref{resolution-equations-cycliques-cas-artin-schreier} \XXX) comme $c_i = -\Tr(x y^{p-1-i})$ sauf $c_0 = -\Tr(x y^{p-1}) + \Tr(x)$. On a donc écrit $x$ en radicaux, ce qui complète la récurrence. \section{Polynômes résolubles de degré $p$} \subsection{Sous-groupes résolubles transitifs de $\mathfrak{S}_p$} \subsubsection{} Soit $p$ un nombre premier. On identifie $\mathfrak{S}_p$ à l'ensemble des permutations de $\FF_p$ et à l'intérieur de ce groupe on note $C_p$ (isomorphe au groupe additif $\FF_p$) le groupe cyclique des translations $t \mapsto t+b$ pour $b \in \FF_p$ et $\AGL_1(\FF_p)$ (isomorphe au produit semidirect $\FF_p \rtimes \FF_p^\times$) le groupe des transformations affines $t \mapsto at+b$ pour $b \in \FF_p$ et $a \in \FF_p^\times$. Rappelons le fait bien connu (ou facile à vérifier) que $\AGL_1(\FF_p)$ est le normalisateur de $C_p$ dans $\mathfrak{S}_p$ (c'est-à-dire le groupe des permutations $\gamma \in \mathfrak{S}_p$ telles que $\gamma \tau \gamma^{-1}$ s'écrive de la forme $\tau^u$ pour un certain $u$). \begin{lemme2} Le groupe $C_p$ est l'unique sous-groupe d'ordre $p$ dans $\AGL_1(\FF_p)$. \end{lemme2} \begin{proof} Si $t \mapsto at + b$ est d'ordre $p$ alors $a^p = 1$ dans $\FF_p^\times$ donc $a=1$, et l'élément en question est bien dans $C_p$. \end{proof} \begin{proposition2}\label{sous-groupes-resolubles-transitifs-de-s-p} Soit $G \leq \mathfrak{S}_p$ un sous-groupe transitif (c'est-à-dire que son action sur $\FF_p$ est transitive). Alors il existe $\sigma \in \mathfrak{S}_p$ tel que $C_p \leq \sigma G \sigma^{-1}$. Si de plus on suppose que $G$ est résoluble, alors pour tout tel $\sigma$ on aussi $\sigma G \sigma^{-1} \leq \AGL_1(\FF_p)$ \end{proposition2} \begin{proof} Puisque $G$ est transitif, le stabilisateur $H$ d'un point quelconque vérifie $\#G/\#H = p$ et en particulier $p$ divise l'ordre de $G$ : par un théorème de Cauchy, il existe donc un élément de $G$ d'ordre $p$. Vu dans $\mathfrak{S}_p$, cet élément est un $p$-cycle, et quitte à conjuguer par une permutation $\sigma$ appropriée, on peut réétiqueter ce cycle de façon qu'il soit $(0\;1\;2\;\cdots\;(p-1))$ c'est-à-dire $\tau \mapsto t \mapsto t+1$. On a alors $C_p \leq \sigma G \sigma^{-1}$ comme annoncé. Supposons maintenant (quitte à conjuguer) qu'on ait $C_p \leq G$ avec $G$ résoluble, et on souhaite montrer $G \leq \AGL_1(\FF_p)$. Il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient $G_i/G_{i+1}$ soit cyclique d'ordre premier. Considérons d'abord le plus grand $i$ tel que $C_p \leq G_i$. Le groupe $G_i/G_{i+1}$ est nécessairement d'ordre $p$ car, dans le cas contraire, le morphisme composé $C_p ↪ G_i ↠ G_i/G_{i+1} ≃ C_ℓ$ ($ℓ ≠ p$) serait trivial, et par conséquent $C_p$ serait un sous-groupe de $G_{i+1}$, ce qui est contraire à l'hypothèse de maximalité de $i$. Montrons maintenant que $i=r-1$ c'est-à-dire que $G_{i+1}$ est trivial : si ce n'était pas le cas, il existerait un $\gamma \in G_{i+1}$ différent de l'identité, disons $\gamma(u) = v$ avec $u\neq v$ dans $\FF_p$, alors $\varrho := \tau^{u-v}\gamma$ fixe le point $u$ donc est dans un conjugué de $\mathfrak{S}_{p-1}$ donc est d'un ordre non multiple de $p$, c'est-à-dire que $\varrho$ peut s'écrire comme une puissance de $\varrho^p$ ; mais $\varrho^p \in G_{i+1}$ puisque $G_i/G_{i+1}$ est cyclique d'ordre $p$, donc $\varrho \in G_{i+1}$ donc $\tau^{u-v} \in G_{i+1}$ donc $C_p \leq G_{i+1}$, ce qui de nouveau contredit la maximalité de $i$. On sait donc que $G_{r-1} = C_p$, et en particulier $G_{r-1} \leq \AGL_1(\FF_p)$. Montrons maintenant par récurrence descendante sur $i$ que $G_i \leq \AGL_1(\FF_p)$ pour tout $i \leq r-1$. Si on a $G_{i+1} \leq \AGL_1(\FF_p)$, et si $\gamma \in G_i$, on a $\gamma\tau\gamma^{-1} \in G_{i+1}$ (car $G_{i+1}$ est distingué dans $G_i$), donc $\gamma\tau\gamma^{-1} \in \AGL_1(\FF_p)$, donc $\gamma\tau\gamma^{-1} \in C_p$ d'après le lemme qui précède ; or ceci implique $\gamma \in \AGL_1(\FF_p)$ d'après la remarque faite avant ce lemme. Ceci conclut la récurrence. \end{proof} \subsection{Un théorème de Galois} \XXX Référencer : \textit{Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux}, propositions VII et VIII. \begin{theoreme2} Soit $f \in k[X]$ un polynôme irréductible de degré $p$ premier. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{itemize} \item Les racines de $f$ sont exprimables par radicaux. \item Le groupe de Galois de $f$ est résoluble. \item Le groupe de Galois de $f$ est, à conjugaison près, un sous-groupe de $\AGL_1(\FF_p)$. \item Le corps de décomposition de $f$ est engendré par n'importe quelle paire de racines distinctes $\xi \neq \xi'$ de $f$. \item Le corps de décomposition de $f$ est engendré par une paire de racines distinctes $\xi \neq \xi'$ de $f$. \end{itemize} \end{theoreme2} \begin{proof} L'équivalence entre les deux premières conditions a déjà été prouvée en \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} et est citée ici pour mémoire. Si le groupe de Galois de $f$ est résoluble, la proposition \ref{sous-groupes-resolubles-transitifs-de-s-p} montre qu'il est un sous-groupe de $\AGL_1(\FF_p)$ ; réciproquement, comme $\AGL_1(\FF_p)$ est résoluble, ses sous-groupes le sont (cf. \ref{enonces-standards-groupes-resolubles}). Les trois premières conditions sont donc bien équivalentes. Si le groupe de Galois de $f$ est un sous-groupe de $\AGL_1(\FF_p)$ (ou, quitte à renuméroter, s'il en est un à conjugaison près), comme aucun élément de $\AGL_1(\FF_p)$ autre que l'identité ne fixe deux points, le groupe des automorphismes du corps de décomposition de $f$ fixant $\xi$ et $\xi'$ (deux racines quelconques de $f$) est trivial, donc ces racines engendrent tout le corps de décomposition. Enfin, si $\xi\neq\xi'$ sont deux racines distinctes de $f$ qui engendrent le corps de décomposition de $f$, alors comme $[k(\xi):k] = p$, on a $[k(\xi,\xi'):k] = pr$ pour un certain $r = [k(\xi,\xi'):k(\xi)]$, compris entre $1$ et $p-1$. D'après la première partie de \ref{sous-groupes-resolubles-transitifs-de-s-p} (et quitte à renuméroter les racines) on a $C_p \leq G$ où $G$ désigne le groupe de Galois de $f$. Les $p$-sous-groupes de Sylow de $G$ sont d'ordre $p$ et leur nombre doit diviser $r$ et être congru à $1$ modulo $p$, ce qui n'est possible que pour $r=1$, de sorte que $C_p$ est le seul, et il est donc distingué dans $G$. Mais alors $G$ normalise $C_p$ dans $\mathfrak{S}_p$ et, comme on l'a fait remarquer, ceci implique $G \leq \AGL_1(\FF_p)$. \end{proof} \XXX Regarder s'il n'y a pas quelque chose d'intéressant à extraire autour de la page 110 (théorème 5.29) du Rotman de théorie des groupes. Galois prétend avoir une généralisation aux puissances des nombres premiers ? \commentaire{Regarder si on peut tirer un résultat intéressant (ou des exercices) de l'article « Detecting fast solvability of equations via powerful Galois groups » [résolution par radicaux non emboîtés].} \ifx\danslelivre\undefined \bibliography{../biblio/bibliographie-livre} \bibliographystyle{../biblio/style-bib-livre} Git: \showgitstatus \end{document} \else \endgroup \fi