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\subsection{Points d'une $k$-algèbre}\label{points-algebre}

\begin{lemme2}\label{points-quotient}
Si $A=k[X₁,\dots,X_n]/(f₁,\dots,f_e)$, et $B$ est une $k$-algèbre, l'application 
$$
A^\japmath{田}(B)=\Hom_k(A,B)→\{(b₁,\dots,b_n)∈B^n:f₁(b₁,\dots,b_n)=\cdots=f_e(b₁,\dots,b_n)=0\}
$$
$$
\big(φ:A→B\big)↦\big(φ(x₁),\dots,φ(x_n)\big),
$$
où les $x_i$ sont les images dans $A$ des variables $X_i$,
est une bijection.
\end{lemme2}

En d'autres termes (\refext{Cat}{definition-foncteur-representable}), 
l'anneau $A$ représente le foncteur covariant « solutions dans $B$ »
des équations $f₁,\dots,f_e$. Il résulte de la démonstration
(ci-dessous) que ce lemme est également, avec les modifications
évidentes, pour les quotients d'un anneau de polynômes
ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini d'indéterminées
par un idéal ayant un ensemble quelconque non nécessairement fini 
de générateurs.

Dans cet énoncé, on a implicitement fait usage de la convention
d'écriture suivante.

\begin{convention2}\label{changement-de-base-polynome}
Soient $k$ un anneau, $C$ une $k$-algèbre et $P∈k[X]$.
Si aucune confusion ne semble pouvoir en résulter,
on notera encore $P$ l'image dans $C[X]$ du polynôme $P$ par le morphisme
canonique $k[X]→C[X]$.
\end{convention2}

\begin{démo}
Observons que d'une part l'application $\Hom_k(k[X₁,\dots,X_n],B)→B^n$,
$ψ↦\big(ψ(X_i)=:b_i\big)_{1≤i≤n}$ est une bijection et que d'autre part, par définition du quotient, un tel morphisme $ψ$
se factorise à travers le quotient $k[X₁,\dots,X_n]↠A$ en un morphisme $φ:A→B$ 
\ssi $ψ(f_j)=0$ pour chaque $1≤j≤e$. La conclusion résulte du fait que
$ψ(f_j)=f_j(b₁,\dots,b_n)$.
\end{démo}

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