\ifx\danslelivre\undefined \documentclass[9pt]{smfart-moi} \input{commun} \input{smf} \input{adresse} \input{gadgets} \input{francais} \input{numerotation} \input{formules} \input{encoredesmacros} \usepackage{stmaryrd} \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} %\usepackage{makeidx} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix} \usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant %\usepackage{pxfonts} \textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys} %\makeindex \title{Bouts à déplacer} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \else \chapter{Bouts à déplacer} \fi \begin{théorème2}\label{second théorème quotient fini} Soient $B$ un anneau nœthérien réduit et $G$ un groupe fini agissant sur $B$ par automorphismes. Si $\# G$ est inversible sur $B$, l'anneau $A=\Fix_G(B)$ est nœthérien et le morphisme $A→B$ est \emph{fini}. \end{théorème2} L'hypothèse que $B$ est réduit n'est là que pour simplifier légèrement la démonstration : le résultat ci-dessus est vrai sans cette hypothèse. \begin{démo} Commençons par montrer que $A$ est nœthérien. Considérons le morphisme $A$-linéaire $\Tr:B→A$, $x\mapsto \frac{1}{|G|}∑_{g∈G} g(x)$, parfois appelé « opérateur de Reynolds ». Soient $I$ un idéal de $A$ et $x∈IB∩A$. De l'égalité $x=\Tr(x)$ on tire immédiatement que $x∈I\Fix_G(B)=I$. Ainsi, $IB∩A=I$, pour tout idéal $I⊆A$, l'inclusion opposée étant en effet triviale. On en déduit que l'anneau $A$ est nœthérien. Démontrons maintenant que $A→B$ est un morphisme fini. \begin{enumerate} \item (Réduction au cas d'un produit de corps.) Considérons l'ensemble fini $\{𝔭_i\}_{i∈I}$ des idéaux premiers minimaux de $B$. Pour chaque $i$, $𝔭_i^G$ est un idéal premier \emph{minimal} de $B^G$. En effet, si $𝔮\subsetneq 𝔭^G$ est un idéal premier, le morphisme $B/B^G$ étant entier, il existe d'après \ref{relèvement de paires} une paire d'idéaux premiers de $B$, $𝔮'⊂𝔭'$ au-dessus de $𝔮⊂𝔭^G$. On peut supposer $𝔭'=𝔭$ car $G$ agit transitivement sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(B^G)$ (\emph{op. cit.}, n°2, th. 2). Soit $\Frac{\,B}$ (resp. $\Frac{\,B^G}$) l'anneau total des fractions de $B$ (resp. $B^G$)·; c'est un produit de corps dans lequel $B$ (resp. $B^G$) s'injecte, isomorphe au semi-localisé de $B$ en les $\{𝔭_i\}_{i∈I}$ (resp. $\{𝔭_i^G\}_{i∈I}$). Soit $S=B-⋃𝔭_i$ ; on a donc $\Frac{\,B}=S^{-1}B$. D'après (\emph{op. cit.}, §1, n°1, prop. 23), on a $(S^{-1}B)^G=(S^G)^{-1}B^G$, de sorte que $(\Frac{\,B})^G=\Frac{\,B^G}$ et $B⊗_{B^G} \Frac{\,B^G}≅\Frac{\,B}$. Supposons $\Frac{\,B}$ fini sur $\Frac{\,B^G}$, de sorte qu'il existe d'après l'isomorphisme précédent un nombre fini $n$ \emph{d'éléments de $B$}, qui engendrent $\Frac{\,B}$ sur $\Frac{\,B^G}$. Observons que l'opérateur $\tr:B→B^G$ définit, par composition avec le produit, un accouplement $B⊗_{B^G} B→ B^G$ qui est parfait sur les anneaux de fractions : on se ramène à montrer que si $e_i$ est un idempotent correspondant au facteur $K_i=\Frac{\,B/𝔭_i}$ de $\Frac{\,B}$, l'élément $\tr(e_i)$ est non nul ; il est en effet égal à $\frac{|G_i|}{|G|}$, où $G_i$ est le stabilisateur de $e_i$. Les $n$ éléments ci-dessus définissent donc un \emph{plongement} $B^G$-linéaire de $B$ dans $(B^G)^n$. On peut conclure par nœthérianité. \item (Réduction au cas, connu, d'un corps.) Soit donc $B=∏_i K_i$ un produit fini de corps et posons $X=\Spec(B)=∐_i η_i$. Si $X=X₁∐X₂$, où $X₁$ et $X₂$ sont $G$-stables, $X/G=(X₁/G)∐(X₂/G)$ de sorte que l'on se ramène immédiatement au cas où $X/G$ est connexe, \cad où l'action de $G$ est \emph{transitive}. Pour tout $i$, notons $G_i$ le groupe de décomposition correspondant. D'après le cas classique (cas d'un corps), $η_i → η_i/G_i$ est fini étale. Il en résulte que le morphisme $X→ ∐ η_i / G_i$ est fini. Enfin, puisque pour tout $i$, $η_i/G_i\iso X/G$ (\emph{loc. cit.}, §2, n°2, prop. 4), le résultat en découle. \end{enumerate} \end{démo} \begin{miseengarde2} Il n'est pas vrai en général que si $B$ est nœthérien et $G$ fini d'ordre arbitraire, $A=\Fix_G(B)$ est nœthérien. \XXX \end{miseengarde2} \ifx\danslelivre\undefined \end{document} \fi