1) Lili et Lulu.
Soit un pentagone régulier dan le plan, centré en l'origine.
On lui fait subir des réflexions le long de ses arêtes. 
Étant donné sa nouvelle position, trouver une méthode pour le ramener
à sa position initiale.

Une réponse.
On regarde (non pas la conjugaison complexe mais)
l'automorphisme ζ_5 → ζ_5^3 [3 est d'ordre 4 dans ℤ/5^×], qui donne (dans ℂ) un autre pentagone
(« Lulu » ; le premier étant « Lili »). Il suffit
de faire en sorte que Lili *et* Lulu se rapproche de l'origine.
On utilise la discrétude de l'image de ℤ[ζ_5] par (Id,autom) dans
ℂ². (j'ai pas vérifié)

2) Soit k'/k extension finie de corps de car. p>0. Supposons
leur p-rang fini. Alors, pour toute extension finie K de k, il existe
une extension finie *étale* K'/K où K' est isomorphe (comme corps)
à une extension finie de k'.
[c'est utile]

3) algèbres artiniennes : si k=k^alg, il existe
un nombre infini de classes d'isom de k-algèbres
de rang n pour n≥7 [facile], fini si n≤6 [calculatoire]
(cf. court article élémentaire de Poonen)

4) [chapitre 9, Nullstellensatz]
a) démo du théorème dans le cas d'un corps
algébriquement clos indénombrable
b) application aux questions d'irréductibilité :
si A est intègre, corps des fractions K,
f∈A[X.] non constant, géométriquement irréductible sur K
alors, il existe a∈A non nul tel que si a∉℘,
f irréductible modulo ℘.
(cf. ÉGA IV, 9.7.5. L'usage de Chevalley n'est *pas*
nécessaire)
[À mettre en application sans doute, plutôt qu'en exercice]

5) extensions biquadratiques et quaternioniques.
Démontrer le théorème suivant : 
 Soit k de car. ≠2, K=k(a^½,b^½) biquadratique.
 K est contenue dans une extension quaternionique sur k
ssi la forme quadratique ax²+by²+abz² est équivalente (sur k) à x²+y²+z².

Exemple : Q(2^½,3^½)⊂Q((6+3.2^½+2.3½+2.2^½.3^½)^½) 
(cf. 2x²+3y²+6z² ~ x²+y²+z²).

6) Extensions de groupe D_10. (cf. chapitre d'exemples,
extension universelle pour ℤ/3 etc.)
[2009-4-17 (vendredi)]

Soit k=ℚ(X,Y) et c:k→k l'automorphisme défini par
c(X)=Y et c(Y)=(X+1)/(XY-1).

Fait : c^5=Id.
Avec t défini par t(X)=Y et t(Y)=X, on plonge donc D_10
dans le groupe de Cremona.

Fait : k^D_10=ℚ(a,b,(a-3)^-1),
où a,b définis par ∏_i=0^4(T-c^i(X))=T^5-aT^4+bT^2+...

(valable sur ℤ d'après Gaëtan)

On a discr(polynôme)=((a-3)R(a,b))².

D'un autre côté, si P=T^5-5T^2+12 on montre
que la résolvante ∏_{α,β}(T-(α+β))=QR où
deg(Q)=deg(R)=5. Ainsi, Gal(P)=D_10.
(C'est pas ℤ/5, comme on le voit par exemple par
réduction modulo p.)
Or, comme l'a observé Jean Lannes, si α et β sont des
racines, on a souvent αβ-1 également racine. Ceci
s'explique en partie par le calcul général ci-dessus.
Enfin, il a également observé que souvent (condition
sur a,b à déterminer), l'extension K=ℚ(racines)/ℚ(racine
du discriminant)=K₀, de groupe ℤ/5 si discr≠carré est non
ramifiée. D'après Gaëtan, c'est lié au fait que 
si l'extension O_K₀⊂O_K était ramifié, on aurait
Inertie→D_10 surjective. (En effet, I↠±1 et si
extension ramifiée, on a élément d'ordre 5). Or, dans
le cas modéré, l'inertie ne peut pas se surjecter sur
le groupe D_10 (l'inertie est pro-cyclique).

7) Soit K un corps algébriquement clos de caractéristique p.
Expliquer que le foncteur V↦V⊗K des Fq-ev de dimension finie,
vers les K-ev de dimension finie munis d'un isom. (Id×Frob)^*V≃V 
[càd un isomorphisme q-linéaire] est une équivalence de catégories.

C'est utilisé par Drinfel'd dans « Variétés des modules de
F-faisceaux (prop. 1.1) et c'est utile.

8)
On the 12th of May 2004, Bhargav Bhatt wrote:

> Hello,

> Say we have two algebraic numbers x,y such that
> [Q(x):Q] = m, [Q(y):Q] = n, (m,n) = 1.

> Is it true that Q(x,y) = Q(x+y)?

> I've been stuck on this seemingly innocuous looking problem for a while.

My crummy newsreader doesn't remember this far back so apologies
for starting a new thread.

The news is that in fact it is true. Thanks to Hendrik Lenstra
for pointing me to

MR0258803 (41 #3449)
Isaacs, I. M.
Degrees of sums in a separable field extension.
Proc. Amer. Math. Soc. 25 1970 638--641.

which in fact essentially solves the problem with Q replaced
by any field. It's always true in characteristic zero, but there
are some cases in characteristic p where one has to be careful
(it's not always true in the char p case).

I'll sketch the proof in the characteristic zero case (which is much
simpler than the more delicate characteristic p arguments in the paper).
Let E be the Galois closure of Q(x,y) and let G=Gal(E/Q). Let H be the subgroup
of G corresponding to Q(x) and let K be the subgroup corresponding
to Q(y). Then [G:H]=m and [G:K]=n so G:H intersect K]=mn and the
conjugates of x+y are precisely x_i+y_j as x_i runs through the
conjugates of x and y_j through the conjugates of y. As we had
already established in the thread, we now have to rule out the possibility
that x+y=x_i+y_j for some conjugates x_i \not=x of x and y_j \not=y of y.
This equation implies that x-x_i=y_j-y=u is a non-zero element of E.

Now here's the trick in Isaac's paper. Let V be the sub-Q-vector
space of E generated by the conjugates of x, and let W be the sub-Q-vector
space generated by the conjugates of y. Then u is in both V and W,
and hence V, W, and V intersect W are all non-zero Q-vector spaces with a
G-action. Now what can be we say about V intersect W? Well, G acts on the x_i
via permutations and H is the stabiliser of x, so (as a representation
of G) V is a subquotient of Ind_H^G(1). Similarly W is a subquotient of
Ind_K^G(1), and one checks that (Ind_H^G(1),Ind_K^G(1))=1 e.g. by
Mackey's decomposition theorem, because G=HK. Moreover the common
irreducible representation giving rise to this 1 is easily seen to
be the trivial representation. Hence
G acts trivially on V intersect W! But this is a contradiction because
it implies that x-x_i is a non-zero rational number t, so x is conjugate
to x+t and hence to x+2t, x+3t,... .

A delicate argument but I'm certainly convinced by it. Again thanks to
Lenstra for pointing me to the paper of Isaacs.

Kevin Buzzard 

9) Montrer que les polynômes symétriques en deux variables à
coefficients dans $𝐅_p$ satisfaisant la relation de
cocycle :
f(y,z)-f(x+y,z)+f(x,y+z)-f(x,y)=0
sont les $λ(x^q+y^q-(x+y)^q)/p$.

Ceci « explique » la formule d'addition pour les vecteurs de
Witt tronqué à l'ordre deux : c'est la seule extension de
$\Ga$ par $\Ga$.
Pour le calcul (que je n'ai pas fait), cf. Lazard,
« Sur les groupes de Lie formels à un paramètre », Ⅲ.