summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/AC.tex
blob: 46d68a290ec258794b2a8e33a9d59faa4bbeca71 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
\input{../configuration/commun}
\input{../configuration/smf}
\input{../configuration/adresse}
\input{../configuration/gadgets}
\input{../configuration/francais}
\input{../configuration/numerotation}
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}
\synctex=1
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}

\title{Notions d'algèbre commutative}

\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{verselles}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}

%\textwidth16cm
%\hoffset-1.5cm
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}

\begin{document}
\begin{center}
Notions d'algèbre commutative
\end{center}
\tableofcontents
\else
\chapter{Notions d'algèbre commutative}
\fi

%%% À faire·:

\section{L'espace topologique $\Spec(A)$}

\subsection{Premières propriétés}

Notation $V(𝔞)$ ; $D(f)$ (ouvert affine spécial) ; topologie (non séparée en
général ; cf. infra).

\begin{proposition2}
$\Spec(A)$ est quasi-compact.
\end{proposition2}

\begin{définition2}
Radical de Jacobson $\rad(𝔞)$.
\end{définition2}

\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents} entraîne :

\begin{proposition2}
$V(𝔞) ⊆ V(𝔟)$ ⇔ $𝔟 ⊆ \rad(𝔞)$.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Ouvert-fermé de $\Spec(A)$ est de la forme
$D(e)$, $e$ idempotent.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Composante connexe de $\Spec(A)$ est de la forme
$V(I)$ où $I$ est engendré par des idempotents
(et tel que tout idempotent de $A$ est congru
à $0$ ou $1$ modulo $I$).
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
$\Spec(A)$ est nœthérien si $A$ l'est.
\end{proposition2}

\subsection{Topologie constructible, théorème de Chevalley}

\begin{définition2}
inverse ponctuel.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
existence pour chaque $S⊆A$ d'un localisé « ponctuel »
satisfaisant propriété universelle. $\Spec(S^{-1}A) → \Spec(A)$ bijection.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Conditions équivalentes :
\begin{enumerate}
\item existence inverse ponctuel ;
\item tout $A$-module est plat ;
\item $\Spec(A)$ séparé et $A$ est réduit ;
\item pour tout $𝔭$, $A_𝔭$ est un corps.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{définition2}
anneau absolument plat.
\end{définition2}

\begin{théorème2}[Chevalley]
Soit $A$ un anneau nœthérien et $B$ une $A$-algèbre
de type fini. Alors l'image de $\Spec(B)$ dans $\Spec(A)$
est \emph{constructible}.
\end{théorème2}

Encore vrai sans hypothèse de nœthérianité si $B$ est de
présentation finie.

\begin{démo}
L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes et les parties constructibles,
Olivier (1978).
\end{démo}

\begin{corollaire2}
Image d'un morphisme plat de type fini (sur nœthérien)
est ouverte.
\end{corollaire2}

\section{Théorie de la dimension}

\subsection{Généralités}

\begin{définition2}
Dimension d'un anneau.
\end{définition2}

Rappel Cohen-Seidenberg.

\subsection{Lemme de normalisation}

Exemple : anneaux de polynômes.

\subsection{Nullstellensatz}

+ méthode ad hoc dans le cas d'un corps indénombrable.

\subsection{Applications}

\begin{proposition2}
Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre de type fini
intègre. $\dim(A)=\deg.tr(\Frac(A)$.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Finitude de la normalisation dans le cas d'algèbres
sur un corps.
\end{proposition2}

\subsection{Anneaux de Jacobson}

\section{Fonctions $ζ$}



\section{¶ Un théorème de comparaison}

\subsection{}Soit $A$ une $𝐂$-algèbre de type fini.

\begin{définition2}
$Top(A)$ espace topologique.
\end{définition2}

\begin{théorème2}
$A$ est connexe ssi $Top(A)$ est connexe.
\end{théorème2}

\begin{démo}[Esquisse]

\end{démo}


\section{Divers}

\begin{proposition2}
\label{Nakayama}
Lemme de Nakayama
\end{proposition2}




\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi