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\title{Notions d'algèbre commutative}

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\begin{document}
\begin{center}
Notions d'algèbre commutative
\end{center}
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\chapter{Notions d'algèbre commutative}
\fi

\newcommand{\Top}{\mathop{\mathrm{Top}}}


%%% À faire·:

\section{L'espace topologique $\Spec(A)$}

\subsection{Premières propriétés}

Notation $V(𝔞)$ ; $D(f)$ (ouvert affine spécial) ; topologie (non séparée en
général ; cf. infra).

\begin{proposition2}
$\Spec(A)$ est quasi-compact.
\end{proposition2}

\begin{définition2}
Radical de Jacobson $\rad(𝔞)$.
\end{définition2}

\refext{Spec}{caracterisation-nilpotents} entraîne :

\begin{proposition2}
$V(𝔞) ⊆ V(𝔟)$ ⇔ $𝔟 ⊆ \rad(𝔞)$.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Ouvert-fermé de $\Spec(A)$ est de la forme
$D(e)$, $e$ idempotent.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Composante connexe de $\Spec(A)$ est de la forme
$V(I)$ où $I$ est engendré par des idempotents
(et tel que tout idempotent de $A$ est congru
à $0$ ou $1$ modulo $I$).
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
$\Spec(A)$ est nœthérien si $A$ l'est.
\end{proposition2}

\subsection{Topologie constructible, théorème de Chevalley}

\begin{définition2}
inverse ponctuel.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
existence pour chaque $S⊆A$ d'un localisé « ponctuel »
satisfaisant propriété universelle. $\Spec(S^{-1}A) → \Spec(A)$ bijection.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Conditions équivalentes :
\begin{enumerate}
\item existence inverse ponctuel ;
\item tout $A$-module est plat ;
\item $\Spec(A)$ séparé et $A$ est réduit ;
\item pour tout $𝔭$, $A_𝔭$ est un corps.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{définition2}
anneau absolument plat.
\end{définition2}

\begin{théorème2}[Chevalley]
Soit $A$ un anneau nœthérien et $B$ une $A$-algèbre
de type fini. Alors l'image de $\Spec(B)$ dans $\Spec(A)$
est \emph{constructible}.
\end{théorème2}

Encore vrai sans hypothèse de nœthérianité si $B$ est de
présentation finie.

\begin{démo}
L'anneau absolument plat universel, les épimorphismes et les parties constructibles,
Olivier (1978).
\end{démo}

\begin{corollaire2}
Image d'un morphisme plat de type fini (sur nœthérien)
est ouverte.
\end{corollaire2}

\section{Théorie de la dimension}

\subsection{Généralités}

\begin{définition2}
Dimension d'un anneau.
\end{définition2}

Rappel Cohen-Seidenberg.

\subsection{Lemme de normalisation}

Exemple : anneaux de polynômes.

\subsection{Nullstellensatz}

+ méthode ad hoc dans le cas d'un corps indénombrable.

\subsection{Applications}

\begin{proposition2}
Soit $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre de type fini
intègre. $\dim(A)=\deg.tr(\Frac(A)$.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Finitude de la normalisation dans le cas d'algèbres
sur un corps.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Soit $A$ un anneau intègre, $K=\Frac(A)$ et $f ∈ A[X₁,…,X_n]$ où $n ≥ 1$.
Si $f$ est irréductible sur une clôture algébrique $\sur{K}$ de $K$,
il existe un élément $a$ de $A$, non nul, tel que pour tout corps
quotient $A ↠ k$ tel que l'image de $a$ soit non nulle,
le polynôme $f_k ∈ k[X₁,…,X_n]$ est irréductible. % et même géométriquement irréductible
\end{proposition2}

%\begin{démo}
%Écrivons $f=∑ a_α X^α$ et notons $d$ le degré total de $f$.
%Fixons deux entiers $p,q$ tels que $p+q=d$. Regarder
%l'idéal de $A[b,c]$ engendré par les équations $a_α=∑_{β+γ=α} b_β c_γ$
%et appliquer le Nullstellensatz. \XXX
%\end{démo}

\subsection{Anneaux de Jacobson}

\section{Complétion}
% référence : de Jong.

\begin{définition2}
$A$ anneau $I$ idéal $M$ module. $\chap{A}$, $\chap{M}$.
\end{définition2}

\begin{définition2}
Complet si $M ⥲ \chap{M}$.
\end{définition2}

\begin{miseengarde2}
Il existe un anneau $A$ et un idéal maximal $𝔪$ de $A$
tel que la limite projective $\chap{A}=\lim A/𝔪^n$ ne soit
pas complète.
\end{miseengarde2}

\begin{proposition2}
\label{Nakayama}
Lemme de Nakayama
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Artin-Rees.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Exactitude dans le cas nœthérien.
Complétion est complète dans cas nœthérien (idéal de type fini).
\end{proposition2}


\section{Fonctions $ζ$}



\section{¶ Un théorème de comparaison}

\subsection{}Soit $A$ une $𝐂$-algèbre de type fini.

\begin{définition2}
$\Top(A)$ espace topologique.
\end{définition2}


\begin{proposition2}[Théorème de comparaison de Riemann]
Soit $P ∈ 𝐂[X,Y]$ un polynôme irréductible. Le fermé $𝒵=\{(x,y)
∈ 𝐂²: P(x,y)=0\}$ de $𝐂²$ est \emph{connexe}.
\end{proposition2}

%\begin{démo}
% tirée d'un TD de Gaëtan
%Soit $S$ un ensemble fini de points de $𝐂$. On note $H_S$ l'anneau
%des fonctions méromorphes sur $𝐂$ sans pôles hors de $S$. C'est un
%anneau intègre. Le sous-anneau $F_S$ des fractions rationnelles dans $H_S$
%est intégralement clos dans $H_S$. (En effet, si $f^n=∑_0^{n-1} a_i f^i$,
%et $z ∉ S$, $|f(z) ≤ 1+∑ |a_i(z)|$.)
%Quitte à faire un changement de variables linéaire $(x,y) ↦ (x,λ x
%+y)$, on peut supposer que $P$ est unitaire vu comme élément
%de $𝐂(Y)[X]$ ; on note $d$ son degré. La projection $π : 𝒵 → 𝐂$,
%$(x,y) ↦ y$ est un revêtement à $d$ feuillets au-dessus d'un ouvert
%de Zariski non vide $U=𝐂-S$. Soit $𝒲$ une composante connexe de
%$π^{-1}(U)$. La fonction $𝐂-S → 𝐂[T]$, $x ↦ ∏_{z ∈ 𝒲_x} (T-z)$
%appartient à $H_S[T]$.
%On utilise alors \refext{Ent}{intégralement clos préserve
%irréductibilité}. \XXX
%\end{démo}

Plus généralement :

\begin{théorème2}
$A$ est connexe ssi $\Top(A)$ est connexe.
\end{théorème2}

%\begin{démo}[Esquisse]
%\begin{enumerate}
%\item On a déjà vu que si $A ≠ 0$, $\Top(A)$ est non vide
%(Nullstellensatz). Comme $\Top(A×B) = \Top(A) ∐ \Top(B)$
%et $A ↠ B$ induit $\Top(B) ↪ \Top(A)$ [immersion fermée],
%on a l'implication $\Top(A)$ connexe ⇒ $A$ connexe.
%
%\item Soit $A$ intègre de type fini sur $𝐂$ et $a ≠ 0$ dans $A$.
%Alors, $\Top(A)$ est connexe si et seulement si $\Top(A[a^{-1}])$
%l'est. Variante : $\Top(A/a)$ est partout rare. Cf. Red book, §10,
%recopié ici.
%\begin{itemize}
%\item On peut supposer $X$ normal car si $A\norm$=normalisation de $A$, 
%et $X\norm=\Spec(A\norm)$,
%$π:X\norm→X$ est 
%surjectif donc si $∃$ $D⊂Z^{an}$ boule 
%ouverte, $π^{-1}(D)$ est ouvert et dans ${Z\norm}^{an}=π^{-1}(Z^{an})$.
%D'autre part, $A\norm$ est une $𝐂$-algèbre de type fini (cf. \ref{}).
%\item D'après le lemme de normalisation (\ref{}), il existe $A₀=𝐂[X₁,…,X_d]⊆A$
%tel que $A₀→A$ soit fini. Puisque $A$ est normal (et $A₀$ aussi), 
%il existe $a₀∈A₀$ tel que $a|a₀$.  En effet, $a₀:=∏_σ σ(a)=N_K/K₀(a)$
%est entier sur $A₀$ (car chaque $σ(a)$ l'est) et appartient à
%$K₀$. D'autre part, $a|a₀$ car chaque $σ(a)∈A$ ($A$ est normal). On
%peut donc supposer que $a=a₀∈A₀$.  (Remplacer $a$ par un multiple
%$a₀$ grossit $Z^{an}$.)
%\item Soit $z∈\Top(A)$ tel que $a(z)=0$. Soit $z₀$ son image 
%dans $\Top(A₀)=𝐂^d$. On a $a(z)=a₀(z₀)=0$.
%Rappel : $A=𝐂[X₁,…,X_d,Y₁,…,Y_r]/(g_1,…,g_e)$ donc
%$\Top(A)=\{(x₁,…,x_d,y₁,…,y_r)∈𝐂^(d+r), g_i(x,y)=0\}$. La
%fonction $a$ est un polynôme sur $𝐂^{d+r}$ qui ne dépend que
%de $x₁,…,x_d$. (La fonction $a₀$ est la même fonction,
%vue sur $𝐂^d$.) [On note $a$ pour $\Top(a)$ etc.]  Soit $w$ tel que
%$a₀(w)≠0$. Soit $f(t):=a₀((1-t)z₀+tw)$. Puisque $f(1)≠0$,
%il existe un nombre fini de $t$ tels que $f(t)=0(=f(0))$. Il existe
%donc une suite $z₀(ε)$ telle que $z₀(ε)→z₀$ quand $ε→0$
%mais $a₀(z₀(ε))≠0$ (càd $z₀(ε)∉\Top(A₀/a₀)$).
%\item On veut relever les $z₀(ε)$ en des $z(ε)$ qui tendent vers $z$. 
%(Les relèvements n'appartiennent pas à $\Top(A/a)$ par construction.)
%Soient $\{z,p₁,…,p_m\}$ les relèvements de $z₀$ dans $\Top(A)$. (Les
%fibres sont finies.)  Il existe une fonction $b∈A$ telle que $b(z)=0$
%mais $b(p_i)≠0$. (Fait général sur un ensemble fini de points dans
%$𝐂^{d+r}$.)  Posons $A₀'=A₀[b]$ ; c'est un sous-anneau de $A$, fini
%sur $A₀$.  Soit $F∈𝐂[X₁,…,X_d,W]=W^n+…+α_n(X₁,…,X_d)$
%l'équation polynômial irréductible satisfaite par les $X$ et $b$.
%Puisque $b(z)=0$, on a $α_n(z₀)=F(z₀,b(z))=0$. On a $A₀'≃A₀[W]/F(X,W)$.
%On a donc $\Top(A)→\Top(A₀')→\Top(A₀)$, càd :
%$\{(x,y)∈𝐂^{d+r},g(x,y)=0\}→\{(x,w)∈𝐂^{d+1}, F(x,w)=0\}→\{x∈𝐂^d\}$.
%Ces applications sont continues, *surjectives* (Cohen-Seidenberg)
%[à fibres finies].  Puisque $α_n(z₀)=0$ et donc $α_n(z₀(ε))→0$,
%et puisque $α_n(z₀(ε))$ est le produit des racines de l'équation
%en $W$, $F(z₀(ε),W)=0$, il existe une suite $w(ε)$ telle que $w(ε)→0$
%et $F(z₀(ε),w(ε))=0$. On a donc relevé la suite $z₀(ε)$ au
%niveau de $\Top(A₀')$.
 
%\item Soit $z(ε)$ un relèvement quelconque de $(z₀(ε),w(ε))$.
%L'application $\Top(A)→\Top(A'₀)$ est relativement compacte 
%(fait général à tout morphisme fini) : les fonctions
%$y∈A$ sont entières sur $A₀'$ ; si les coefficients $α'$ d'une
%équation de dépendance intégrale $y^N+α'₁y^{N-1}+…+α'_N=0$
%sont bornés, il en est de même de $y$.
%Puisque l'image $(z₀(ε),w(ε))$ de $z(ε)$ converge, il existe une 
%sous-suite de $z(ε)$ convergeant également. Une telle sous-suite
%converge nécessairement vers $z$ car si elle converge vers 
%$p_i≠z∈π^{-1}(z₀)$, on aurait $0≠b(p_i)=\lim w(ε)=0$. Absurde.
%\end{itemize}
%\item Soit $K=\Frac(A)$ et $d$ son degré de transcendance. Il existe
%$t₁, …,t_d$ dans $A$, algébriquement indépendants dans $K$, tels que
%$K/𝐂(t₁,…,t_d)$ soit algébrique séparable. Posons
%$B=𝐂[t₁,…,t_{d-1}]⊆A$. Il existe $x$ entier sur $B[t_d]$ tel
%que $K=𝐂(t₁,…,t_d)(x)$. Posons $T=t_d$ et $f$ le polynôme minimal
%de $x$ dans $L[T,X$]. On peut supposer $f$ dans $B[X,T]$, quitte
%à remplacer $B$ par $B[b^{-1}]$. Faits :
%\begin{itemize}
%\item OPS $A=B[X,T]/f$, $B$ intègre, $f$ irréductible dans $B[X,T]$.
%\item OPS $f$ géométriquement irréductible sur $L=\Frac(B)$.
%\end{itemize}
%On utilise également le fait suivant : si $A → A ′$ est fini, injectif
%alors $\Top(A ′) → \Top(A)$ est surjectif (variante de Nakayama).
%\item OPS $\Top(A) → \Top(B)$ submersif donc application ouverte (th. Chevalley ?).
%Les fibres étant de dimension $1$, on se ramène au cas suivant :
%\item Soit $A$ intègre, de dimension $1$. Alors, $\Top(A)$ est
%connexe. Cf. infra.
%\end{enumerate}
%\end{démo}


\section{Divers}


\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
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\end{document}
\fi