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\title{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
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\chapter{Anneaux de valuation discrète, anneaux de Dedekind}
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\section{Anneaux de valuation, places et valeurs absolues : généralités}

\subsection{Anneaux de valuation}

\subsubsection{}Relation de domination\index{domination, relation de} entre anneaux locaux

\begin{théorème2}
\label{conditions équivalentes anneau valuation}
Soient $K$ un corps et $A$ un sous-anneau de $K$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $A$ est maximal pour la relation d'ordre de domination ;
\item pour tout $x ∈ K-\{0\}$, ou bien $x ∈ A$ ou bien $1/x ∈ A$ ;
\item $K=\Frac(A)$ et l'ensemble des idéaux de $A$ est totalement
ordonné pour l'inclusion.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{définition2}
\XXX
Anneau de valuation \index{anneau de valuation} si
intègre et [...]
\end{définition2}

\begin{proposition2}
\XXX
Un anneau de valuation est local, intégralement clos
dont tout idéal de type fini est principal.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Si $L\bo K$ est une extension. La clôture intégrale
de $A$ dans $L$ est l'intersection des anneaux de valuation
de $L$ contenant $A$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
[AC Ch.VI, §1, n.3, Cor.3]
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX
Tout $A$-module de type fini sans torsion est libre.
Tout $A$-module sans torsion est plat.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
[AC. Ch.VI, §3, n.6, Lemme 1]
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX
Tout $A$-module de présentation fini de torsion
est isomorphe à un $A$-module de la forme
\[
A/a₁ ⊕ \cdots ⊕ A/a_n.
\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Gabber-Ramero, Almost, 6.1.14.
\end{démo}

\subsection{Places}

\subsubsection{Droite projective}\XXX Si $k$ est un corps,
$\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...]

\begin{définition2}
\label{définition-place}
\XXX
Place : $K → \gtilde{k}$. Place sur $K₀$ : isomorphisme
sur $K₀$.
\end{définition2}

En conflit avec Weil [BNT].

critère d'intégralité en terme de places.

\subsection{Valuations}
\XXX
Groupe abélien totalement ordonné $Γ$.
Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$.
(On dit parfois « valuation additive ».)

\begin{proposition2}
\XXX
Anneau de valuation=place (modulo isom.)=valuation (modulo isom).
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
\XXX
\[\dim(A)=\text{rang convexe}(Γ) ≤ \rang(Γ ⊗ 𝐐).\]
(Bijection explicite.)
\end{proposition2}

Le rang convexe est appelé hauteur par Bourbaki.

\begin{démo}
Gabber-Ramero, 6.1.20—6.1.23.
\end{démo}

\begin{définition2}
\XXX
Rang\index{rang d'une valuation} d'une valuation.
\end{définition2}

\subsection{Anneaux de valuation discrète}

\begin{proposition2}
\XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de
valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes]
\end{proposition2}

Deux AVD de même corps des fractions sont égaux.
Un $A$-module de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion.
(Cas particulier des résultats précédents.)

\begin{proposition2}
\label{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
\XXX
Si $K$ est complet à corps résiduel parfait $k$ et d'égale
caractéristique, $K=k((t))$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10,
th. 1 ou [BNT] p. 20.
\end{démo}

Cas d'inégale caractéristique.

\begin{proposition2}
\label{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
Si corps résiduel fini, c'est une extension finie de $𝐐_p$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. [ANAF], chap. 10, fin §1.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX
Cas général (Witt).
\end{théorème2}

\begin{démo}
Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW.
\end{démo}

\subsection{Valeurs absolues}\XXX
Valeurs absolues\index{valeur absolue} : $|x+y| ≤ C⋅(|x|+|y|)$ (On dit parfois
« valuation multiplicative ».) Cela revient à supposer
$|1+x|$ bornée sur $|x| ≤ 1$. % ☡ Cf. Bourbaki, AC, tome 2, p. 118-.
La définition n'est pas parfaitement standardisée  mais
il semble préférable de considérer la variante (d'Artin) car
sinon la « valeur absolue normalisée » de $𝐂$ n'est pas une
valeur absolue… ($|x+y|² ≤ |x|²+|y|²$ est faux.)

Impropre : $|x|=1$ si $x ≠
0$, $0$ sinon. Corps valué\index{corps valué}. Corps topologique. Cas ultramétrique.

\begin{proposition2}
Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
satisfaisant donc l'inégalité triangulaire.
\end{proposition2}

Appeler une telle valeur absolue une norme ?
EVN sur un corps valué (/normé)=… ? (cf. infra) \XXX

Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).

valeur absolue archimédienne ↔ « L'Arénaire » (Ψαµµίτης)
d'Archimède dans lequel il introduit un système pour nommer les grands nombres.

\subsubsection{}Définir $Σ(K)$ (ensemble des classes d'équivalences de
valeurs absolues). Fonctorialité.

\begin{proposition2}
\label{fonctorialité valeurs absolues}
Soit $K\bo k$ une extension.
Le morphisme de restriction $Σ(K) → Σ(k)$ est
\emph{surjectif}. Si l'extension est finie,
le cardinal des fibres est majoré par $[K:k]_{\sep}$.
\end{proposition2}

%ZS, tome 2, p. 29 par exemple.

\begin{proposition2}
\label{extensions valuations et norme}
Soient $k$ un corps valué et $K$ une extension finie.
Supposons la valeur absolue $|⋅|$ de $k$ \emph{normalisée} \XXX.
Alors, $|\N_{K\bo k}(λ)|= ∏_{i} |λ|_i$, où $|⋅|_i$ parcourt
les extensions normalisées de $| ⋅|$ à $K$.
\end{proposition2}

% cf. par exemple Cassels et Fröhlich, p. 59.
% utilisé pour seconde démo formule du produit.

\begin{théorème2}
\XXX
Le théorème d'approximation=th. restes chinois pour valeurs absolues.
\end{théorème2}

Cf. Artin [ANAF], Cassels, Local fields p. 22 (et p. 196).

\subsubsection{}
\label{topologie et anneau des entiers}
Expliquer comment retrouver $𝒪$ et $𝔭$ à
partir de $K$ et sa topologie (induite par la
valuation/valeur absolue) : $𝔭=\{x:x^n → 0\}$, $𝒪=$
sous-anneau compact maximal (si corps résiduel fini) etc.

\subsection{Espaces vectoriels topologiques sur un corps valué non discret}
\label{EVT sur corps valué}

\subsubsection{}
Soit $K$ un corps valué \emph{non discret}. Un $K$-\textbf{espace vectoriel topologique}
est un $K$-espace vectoriel $E$ muni d'une topologie
compatible à l'addition et la multiplication par les
scalaires : les applications $E×E → E$, $(v,w) ↦ v+w$ et
$K×E → E$, $(λ,v) ↦ λv$ sont continues. (Cette définition
a un sens sous la seule hypothèse que $K$ soit
un \emph{corps topologique}.) Exemple : si un espace vectoriel $E$ est muni
d'une application (appelée \emph{norme}) $‖⋅‖: E → 𝐑_+$,
telle que $‖x+y ‖ ≤ ‖x ‖ + ‖y ‖$, $‖ λ x ‖=|λ| ‖x ‖$
et $‖x‖=0$ soit équivalent à $x=0$, la topologie sur $E$
définie par la distance $d(x,y)=‖x-y ‖$ en fait un
$K$-espace vectoriel topologique. (Si $E$ est de plus
complet, on dit — comme dans le cas classique où $K=𝐑$
ou $𝐂$ — que c'est un \emph{espace de Banach}.)

\subsubsection{}Soit $V$ un voisinage de l'origine, notée $0$,
d'un espace vectoriel topologique sur un corps
valué non discret $K$. Il existe un voisinage de
l'origine $W$ qui soit \textbf{équilibré} : pour chaque
$λ ∈ K$ tel que $|λ| ≤ 1$, $λ W ⊆ W$. En effet, il
existe par continuité de la multiplication $K×E → E$
un réel $ε>0$ et un voisinage $U$ de $0$ tels
que $|λ| ≤ ε$ et $v ∈ U$ entraînent $λ v ∈ U$.
Soit $μ ∈ K$ tel que $0<|μ|≤ ε$. Le voisinage $W=μU$
de $0$ est contenu dans $V$ et est équilibré.

\subsubsection{}Un espace vectoriel topologique est \emph{séparé}
si et seulement si pour tout vecteur non nul $v$,
il existe un voisinage de l'origine $0$ ne contenant pas $v$.
La condition est trivialement nécessaire ; la réciproque
résulte du fait que les translations sont des
homéomorphismes.

\subsubsection{}Soit $E$ un $K$-espace vectoriel
topologique, de dimension $1$ et séparé. Vérifions que
pour chaque $v ∈ E -\{0\}$, l'application $K → E$, $λ
↦ λ v$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels
\emph{topologiques}. La bijectivité et la continuité
ne font aucun doute ; il faut vérifier la
\emph{bicontinuité} : pour tout $ε>0$, il existe
un voisinage $V$ de $0$ dans $E$ tel que $λ v ∈ E$ entraîne
$|λ| < ε$. La valeur absolue de $K$ étant non discrète,
il existe $μ ∈ K$ tel que $0<|μ|<ε$. Par séparation
de $E$, il existe un voisinage $V$ de $0$ tel que
$μ v ∉ V$. D'après ce qui précède, on peut supposer $V$
\emph{équilibré}. La relation $λ v ∈ V$ entraîne $|λ| ≤ |μ|$.
En effet on aurait dans le cas contraire $|μ λ^{-1}|<1$
d'où $μv=(μ λ^{-1})λv ∈ V$. Absurde.

Signalons une première application de cette observation :
une forme $K$-linéaire $φ:E → K$ est \emph{continue}
si et seulement si l'hyperplan $H=\Ker(φ)$ est \emph{fermé}.
La condition est bien entendu nécessaire.
Considérons la réciproque. Le quotient $E/H$ est
naturellement un espace vectoriel topologique :
on le munit de la topologie quotient. La surjection
canonique $E ↠ E/H$ est donc, tautologiquement, continue.
Lorsque $H$ est fermé, ce quotient est séparé (et réciproquement).
D'après ce qui précède, la seconde flèche de la factorisation de $φ$
en $E ↠ E/H → K$ est un homéomorphisme. CQFD.

\begin{proposition2}
\label{EVT sur corps valué complet}
Soit $E$ un espace vectoriel topologique séparé, de dimension
finie $n$ sur un corps valué \emph{complet} non discret $K$.
Pour toute base $e₁,…,e_n$ de $E$ sur $K$, l'application
linéaire $K^n → E$, $(λ_i) ↦ ∑_i λ_i v_i$ est un
isomorphisme.
\end{proposition2}

Il en résulte que si $E$ est un espace vectoriel
\emph{normé} sur $K$, sa topologie est indépendante
du choix de la norme : toutes les normes sont équivalentes.
(Voir \cite[chap. 2, §1]{ANAF@Artin} pour une autre
démonstration dans ce cas particulier.)

\begin{démo}
On procède par récurrence, le cas $n=1$ ayant été établi
ci-dessus. La continuité et la bijectivité de l'application considérée
dans l'énoncé est immédiate. Pour démontrer que son inverse
est continu (bicontinuité), il suffit de vérifier que
pour chaque $j$, l'application $∑_i λ_i v_i ↦ λ_j$, $E → K$
est continue. Or, une telle forme linéaire est de noyau
$H_j=\mathrm{Vect}(e_i:i ≠ j)$. Par hypothèse
de récurrence, ce sous-espace vectoriel topologique
est isomorphe à $K^{n-1}$ donc complet donc fermé dans $E$.
La forme linéaire « $j$-ième coordonnée »
est donc continue.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel topologique
sur un corps valué complet non discret est complet et fermé.
\end{corollaire2}

Ceci a été vu au cours de la démonstration précédente.

\begin{proposition2}
\label{EVT localement compact sur corps valué est de dimension finie}
Tout espace vectoriel topologique localement compact
sur un corps valué non discret est de dimension finie.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soient $V$ un voisinage compact de l'origine et $μ
∈ K$ tel que $0<|μ|<1$. Il existe un nombre \emph{fini} d'éléments
$v_i ∈ V$ tels que $V$ soit contenu dans
la réunion $⋃_i (v_i + μV)$. Soit $F$ le sous-$K$-espace
vectoriel engendré par les $v_i$ ; il est de dimension finie
donc fermé. L'espace topologique quotient $G=E/F$
est donc \emph{séparé}. L'image $W$ de $V$ dans $G$
est un voisinage compact de l'origine : l'image d'un compact
est compact et l'application $E ↠ G$ est ouverte,
comme il résulte immédiatement de la définition
de la topologie quotient et du fait que si $U$ est
ouvert dans $E$, l'ensemble $U+F$ l'est également.
Par construction $W ⊆ μW$ — c'est-à-dire $μ^{-1}W ⊆ W$ —
d'où, par récurrence, $μ^{-n} W ⊆ W$ pour chaque $n ≥ 1$.
Soit $x ∈ G$. L'application $λ ↦ λ x$ étant
continue en $λ =0$ et $μ^n$ tendant vers zéro
il existe $n$ tel que $μ^n x ∈ W$ et, par conséquent,
$x ∈ W$. Ainsi $W=G$ si bien que $G$ est un $K$-espace
vectoriel topologique \emph{compact}. Nous allons montrer
que, le corps valué $K$ étant non discret, le quotient $G$
est nécessairement trivial. Ceci suffit pour conclure.
Un espace vectoriel topologique compact étant complet,
c'est naturellement espace vectoriel topologique sur le
complété de $K$. On peut donc supposer $K$ complet.
Si $G$ est non trivial, il contient une droite,
nécessairement fermée et isomorphe à $K$ (cf. \emph{supra}).
Il en résulte que $K$ est compact. C'est absurde :
l'application continue $λ ↦ |λ|$ est non bornée,
comme le montre la suite $μ^{-n}$.
CQFD.
%EVT I.15
\end{démo}



\subsection{Exemples}

Exemple : valuation de Gauß sur $k(X)$ (\cite[VI]{Local@Cassels}).

\begin{lemme2}
\label{lemme clef va sur Q}
Soit $f: 𝐍 → 𝐑_+$ une fonction multiplicative
($f(nm)=f(n)f(m)$) telle qu'il existe $A>0$
pour lequel $f(n+m) ≤ A \max\{f(n),f(m)\}$ pour
chaque $n,m$. De deux choses l'une : soit
$f(n) ≤ 1$ pour tout $n$, soit il existe $c>0$
tel que $f(n)=n^c$.
\end{lemme2}

\begin{théorème2}
\label{Ostrowski sur Q}
\XXX
Valeurs absolues sur $𝐐$.
\end{théorème2}

\begin{théorème2}
\label{Gelfand-Mazur-Ostrowski}
Gelfand-Mazur : un corps qui est une $𝐑$-algèbre normée est $𝐑$
ou $𝐂$ (ou $𝐇$ dans le cas non commutatif).
Application : Ostrowski.
\end{théorème2}

% peut-être que ce n'est pas un théorème dû à Ostrowski.

\begin{proposition2}
\label{k-valuations de k(X)}
Soit $k$ un corps et soit $A$ un anneau de valuation
de $k(X)$ contenant $k$ et différent de $k(X)$. Si
l'indéterminée $X$ appartient à $A$, il existe $P
∈ k[X]$ \emph{irréductible} tel que $A=k[X]_{(P)}$ ;
dans le cas contraire, $A=k[1/X]_{(1/X)}$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. par exemple Bourbaki, AC, tome 2, p. 91. C'est un cas
particulier d'un résultat général (anneau principal etc.).
\end{démo}

\begin{proposition2}
\XXX
Formule du produit [cas particulier ?]
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
\label{théorème de plongement dans Qp}
Soit $K$ une extension de type fini de $𝐐$ et soit $E ⊆ K^×$
un sous-ensemble fini. Il existe une infinité de nombres premiers $p$
pour lesquels il existe un plongement $ι:K ↪ 𝐐_p$, tel que pour chaque
$e ∈ E$, $|ι(e)|=1$.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Cf. \cite[V.1.1]{Local@Cassels}.
\end{démo}


\section{Théorie élémentaire de la ramification}

Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero (Almost ring theory).

\subsection{Prolongement des valuations}
\label{prolongement valuations}
\begin{proposition2}
\label{finitude préservée par complétion}
Soient $(K, |⋅|)$ un corps valué et $L \bo K$ une
extension.
\begin{enumerate}
\item Il existe une valuation sur $L$ qui étend $|⋅|$.
\item Si $L \bo K$ est algébrique \emph{radicielle}
cette extension est unique.
\item Si l'extension $L\bo K$ est finie et $|⋅|′$
est un tel prolongement. Alors $e(|⋅|′/|⋅|)=\chap{e}$,
$f=\chap{f}$ et $ef ≤ [\chap{L}:\chap{K}] ≤ [L:K]$.
\item Si l'extension $L\bo K$ est finie, et $||$ non impropre,
l'ensemble des valuations deux-à-deux indépendantes est fini
et
\[\chap{K} ⊗_K L ↠ ∏_i \chap{L}_{||_i}\]
de noyau le radical de $\chap{K} ⊗_K L$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Attention confusion possible valuation/valeur absolue... \XXX

\begin{démo}
(i) AC, VI, §1, nº3, cor. 3 (p. 89).
(iii) op. cit., p. 136-137.
(Utilise densité pour valuations indépendantes.)
\end{démo}

Valeurs absolues : cf. \cite[VII]{Cassels}.



\subsection{Hensélisation et complétion}

\subsection{Indice de ramification}

\begin{définition2}
\label{définition indice de ramification}
indice de ramification
\end{définition2}

En particulier si $L \bo K$ locaux (\refext{LG}{}), la restriction
à $K$ de la valeur absolue normalisée de $L$ est
la puissance $[L:K]$-ième de celle de $K$. \XXX

% ou bien précédé de conditions équivalentes.

\begin{théorème2}
\XXX
$L\bo K$ extension finie, $K$ valué, $B$ clôture
intégrale de $A=K^+$ dans $L$.
Alors,
\[
∑_{𝔭 ∈ \Specmax(B)} (Γ_𝔭 : Γ)[κ(𝔭) : κ] ≤ [L:K].
\]
\end{théorème2}

\begin{proposition2}
\XXX
Cas galoisien :
\[
efn ≤ [L:K].
\].
Cas hensélien :
\[
ef ≤ [L:K]
\]
\end{proposition2}


\begin{proposition2}
\XXX
Cas d'égalité : valuation discrète et extension séparable.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
AC, ch.VI, §8, n.5, Cor.1

\end{démo}

\begin{exercice2}
Soit $p$ un nombre premier.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un élément $u$
de $𝐅_p((t))$ transcendant sur $𝐅_p(t)$ (voir aussi \refext{RT}{degtr-Laurent-fractions-rationnelles}).
\item Soit $K=𝐅_p(t,u^p)$ et $L=𝐅_p(t,u)$. Montrer que $[L:K]=p$
et qu'il existe une valuation discrète $v$ de $K$ telle
que $∑_{v′↦ v} e(v′:v)f(v′:v)<[L:K]$.
\end{enumerate}
% cf. Lenstra, websites.math.leidenuniv.nl/algebra/exercises93s.pdf
% Gabber-Ramero 6.2.7 (iii).
\end{exercice2}

[À mettre en remarque plutôt qu'en exercice.]

\begin{définition2}
\XXX
Extension totalement ramifiée ; extension non ramifiée.
\end{définition2}

Voir Artin, [ANAF] chap. IV.

\begin{proposition2}
\XXX
Extension d'Eisenstein.
\end{proposition2}

Notamment :

\begin{proposition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ c'est-à-dire que l'extension
est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
\item $f$ est d'Eisenstein c'est-à-dire unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
\end{itemize}
\end{proposition2}

\begin{proof}
\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
et dans $K$. [...]
Autre argument : comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$,
le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}).
Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que $v(a_i)\geq 1$.
Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions
$L$.
\end{proof}


\subsection{Lemme de Krasner et applications}

\begin{proposition2}
\XXX
Lemme de Krasner (dans cas valué complet).
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
\XXX
Formule de masse de Krasner-Serre (1978) :
\[
∑_{L\bo K \text{tot. ramif. deg } n} 1/q^{c(L)}=n.
\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
Serre, Œuvres 115.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
$𝐂_p$ est algébriquement clos.
(Énoncé général.)
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1
\end{démo}

\begin{proposition2}
\XXX
Ax-Sen
\end{proposition2}

\begin{démo}
Fontaine-{\IPAMincho 欧阳}, §3.1
\end{démo}


\subsection{Sorites}

\begin{proposition2}
\XXX
Extension composée de deux extensions nr (modérée) est nr (modérée).
\end{proposition2}

\subsection{Structure du groupe de Galois}

\subsubsection{}Supposons $A$ hensélien, $L\bo K$ finie.
On a un accouplement $I× ( Γ_E \bo Γ_K) → μ(λ)$,
où $λ$ est le corps résiduel de $L^+$.

\begin{théorème2}
Si $κ$ est séparablement clos, $I=\Gal(L\bo K)$
et $I → \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$ est surjectif,
de noyau un $p$-groupe.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Gabber-Ramero, 6.2.12.
\end{démo}

Théorie de Kummer :

\begin{corollaire2}
Si $(p,[L:K])=1$, on a $\Gal(L\bo K) ≃ \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$.
De plus, si $Γ_E \bo Γ_K=⨁ 𝐙/n_i$, il existe des $a_i ∈ K^×$
tels que $L=K[a_i^{1/n_i}]$.
\end{corollaire2}

\subsection{Cas d'un anneau de valuation discrète}

\begin{théorème2}
\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des
fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}.
La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
\end{théorème2}


\begin{définition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
$$
G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
$$
Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
une filtration décroissante de $G$.
\end{définition2}

[généralisation : cas extension résiduelle séparable.]

\begin{exercice2}
Interprétation géométrique dans le cas d'une courbe affine
et d'un automorphisme : la longueur du lieu des points
fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$.
\end{exercice2}

\begin{proposition2}
\XXX
Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
\begin{enumerate}
\item $G_0⥲ G$,
\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
\item L'application
$$\left\{\begin{array}{l}G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
$$
G_i/G_{i+1}↪ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
$$
\item On a des isomorphismes canoniques :
$$
\begin{array}{l}
 U^{(0)}_L/U^{(1)}_L⥲ k_L^{\times}\\
 U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L⥲ \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
\end{array}
$$
pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$.
Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, c'est-à-dire
$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.

2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité
$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
$$
où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.

3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de
l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
$$
\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
$$
jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et  donc
$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est
bien indépendante du choix de l'unité $u$.

Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
que pour chaque $\sigma'\in G_i$,
$$
\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
$$
Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
l'égalité
$$
\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
$$
entraîne que $G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
noyau est par définition $G_{i+1}$.

4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B↠ k_L$ induit
un isomorphisme $B^{\times}→ 1+\MM_B→ k_L^{\times}$.
Enfin,
$$
\begin{array}{l}
U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L→ \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
1+x\mapsto x
\end{array}
$$
est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite).
Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
vectoriel de dimension $1$.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\XXX
Sous les hypothèses précédentes :
\begin{enumerate}
\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
et d'ordre premier à la caractéristique.

Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L≃ k_L$ n'a pas de sous-groupe
fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
\end{démo}

\section{Discriminant et différente}

\begin{définition2}
\XXX
Différente $𝔇_{L\bo K}$.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
\XXX
$𝔇_{L\bo K}=B$ si et seulement si $L\bo K$ est non ramifiée.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Artin [ANAF] chap. V.
\end{démo}

\begin{proposition2}
Formule de transitivité : $𝔇_{M\bo K}=𝔇_{M\bo L} 𝔇_{L\bo K}$.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}[Euler]
\XXX
$\Tr(x^i/f ′(x))=0$ si $i<n-1$, $=1$ si $i=n-1$.
(À énoncer sous une forme générale.)
\end{proposition2}

Cf. Serre [CL], p. 65.

\begin{corollaire2}
\XXX
\begin{enumerate}
\item $𝔇$ divise $(f ′(x))$.
\item si extension résiduelle séparable, …
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

[ANAF] chap. V.

\begin{proposition2}
\XXX
Structure extensions finies résiduellement
séparable : extension non ramifiée puis extension
totalement ramifiée (Eisenstein).
\end{proposition2}

[ANAF] chap. V, th. 8.

Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7]

Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6.

\section{Puiseux-Newton}

\subsection{Polygone de Newton}
\begin{definition2}[Polygone de Newton]
\XXX Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus
des couples $(i,v(a_i))$, $0\leq i \leq n$.
\end{definition2}


\begin{theoreme2}[Factorisation et pentes du polygone de Newton]
\XXX Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets
du polygone de Newton, qui a donc $r$ pentes [...]. Alors,
$$
f=g_1\cdots g_r
$$
où :
\begin{enumerate}
\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
\item Les racines $\alpha$ de $g_i$ sont toutes de valeur absolue :
$$
v_L(\alpha)=-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}.
$$
\end{enumerate}
\end{theoreme2}

Remarque : on retrouve le critère d'Eisenstein.


\subsection{Théorème de Puiseux et structure de l'inertie modérée}

On explicite ici une conséquence du théorème général
de structure de $π₁$ modéré (cf. supra).

\begin{theoreme2}
\XXX Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
Alors, $$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
$\Gal_{k((t))} ≃ \chap{𝐙}$.
\end{theoreme2}

[généralisation : variante modérée et caractéristique mixte. Cf. p.
ex. Hasse, chap. 16.]

\begin{démo}
Cf. th. général.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration]
\XXX
Soit $L$ une extension finie galoisienne de
$K=k((t))=\mathrm{Frac}(k[[t]])$ où
$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
précédent que $G=\Gal(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
de groupe $\mu_n(k)$.
Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
%$$
%\xymatrix{
%L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
%K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
%}
%$$
L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
\end{démo}

\section{Extensions cyclotomiques}

\begin{théorème2}
\XXX
$𝐐_p(μ_n)\bo 𝐐_p$ est totalement ramifiée et $π=1-ζ$
est une uniformisante ; $𝒪=𝐐_p[ζ]$.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Serre [CL] p. 85.
\end{démo}


\section{Différentielles}

\begin{proposition2}
$K ≃ k((T))$. Alors, $\dim_K Ω¹_K=1$.
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
$K ≃ k((T))$, $x,y$ deux uniformisantes. Alors, $\Res_x(ω)=\Res_y(ω)$.
[Généralisation (avec la trace) [Lang, prop. 4.2].]
\end{théorème2}

\XXX notation pas terrible : en conflit avec $\Res_x Ω¹_{K\bo k} → k$
où $x$ est un point fermé (place) de $K$ lorsque $K$ n'est pas local
(courbe algébrique sur $k$).

\begin{démo}
[ANAF] chap. 10, th. 3 (première formule) ; Lang, Introduction to algebraic and abelian functions pour
la généralisation ; [GAGC] p. 29— 31.
\end{démo}

\begin{définition2}
\label{résidu forme différentielle formelle}
Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$.
\end{définition2}

Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467).

\begin{proposition2}
\label{non nullité du résidu}
L'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
\end{proposition2}

\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}

Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti).
Référence : notes de Beilinson (théorie du corps de classes
local).

\section{Anneaux de Dedekind : généralités}

\subsection{}

\begin{proposition2}
Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de corps des fractions $K$.
Les conditions suivante sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $A$ est nœthérien, normal, de dimension un ;
\item tout idéal fractionnaire non nul de $A$ est inversible ;
\item $A$ est nœthérien et pour tout idéal maximal $𝔪$ de $A$,
le localisé $A_𝔪$ est un corps ou bien un anneau de valuation
discrète.
\item tout idéal non nul $I$ s'écrit
de manière unique $I=∏_𝔭 𝔭^{n_𝔭}$… [cf. infra]
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
AC, diviseurs p. 217 ou Serre, Corps locaux.
\end{démo}

\begin{definition2}
Un anneau de Dedekind \index{anneau de Dedekind}.
\end{definition2}

\begin{proposition2}
\XXX
Soit $\mathfrak{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
Il existe un unique sous-ensemble $S_{\mathfrak{a}}$ de $\Specmax(A)$
et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_{𝔭}(𝔞)$, $𝔭\in S$,
tels que $$\mathfrak{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\mathfrak{a})}.$$
De plus si $\mathfrak{a}\subset \mathfrak{a'}$ si et seulement si
$n_{𝔭}(\mathfrak{a})\leq n_{𝔭}(\mathfrak{a}')$ pour tout $𝔭\in \Specmax(A)$,
où l'on pose $n_{𝔭}(\mathfrak{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\mathfrak{a}')=0$)
pour $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\mathfrak{a}'}$).
\end{proposition2}

\begin{théorème2}[Krull-Akiduki] %秋月康夫
\label{Krull-Akiduki}
Soit $A$ un anneau nœthérien intègre de dimension $1$
et de corps des fractions $K$. Pour toute extension finie
$L\bo K$, tout sous-anneau $B$ de $L$ contenant $A$
est nœthérien, de dimension $≤ 1$.
En particulier, la normalisation de $A$ dans $L$
est un anneau de Dedekind.
\end{théorème2}

\begin{démo}[première démonstration]
p. ex. Bourbaki ou [Neukirch], chap.I., §12, p. 77.
\end{démo}

\begin{démo}[seconde démonstration]
[Zariski-Samuel, Ⅴ] (cas séparable puis radiciel).
\end{démo}

Corollaire : fermeture intégrale d'un Dedekind est de Dedekind.

\begin{théorème2}[Théorème d'approximation]
\label{theoreme-approximation-Dedekind}
Soit $A$ un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$.
Soient $\{𝔭₁,…,p_r\}$ un ensemble fini d'idéaux maximaux de $A$.
Pour tout $r$-uplet d'éléments $f₁,…,f_r$ de $K$ et tout $r$-uplet
d'entiers $n₁,…,n_r$, il existe un élément $f ∈ K$ tel que
$f-f_i ∈ 𝔭_i^{n_i}$ pour chaque indice $i$ et $f ∈ A_𝔭$ pour chaque
idéal maximal $𝔭 ∉ \{𝔭₁,…,𝔭_r\}$.
\end{théorème2}

\begin{démo}
AC, VII, §2, nº4.
\end{démo}

Question (\XXX)
Soient $A$ un anneau de Dedekind et $U ⊆ \Specmax(A)$ un ensemble
cofini. Posons $A(U)= ⋂_{𝔭 ∈ U} A_𝔭$. Est-ce en général
un anneau de Dedekind ? A-t-on $U = \Specmax(A(U))$ ?

\subsubsection{}Lien entre indices de ramification et décomposition en
produit d'idéaux premiers.

\subsection{Diviseurs}

\begin{définition2}
diviseurs, diviseurs effectifs etc.
\end{définition2}

\begin{définition2}
\label{définition groupe Picard Dedekind}
Groupe de Picard.
\end{définition2}

(Cf. \refext{AC}{}.)

\subsection{Sorites sur la ramification}

\begin{proposition2}
\XXX Le composé de deux extensions non ramifiées est non ramifiée.
\end{proposition2}

\subsection{Différente}

\begin{définition2}
\label{différente}
Différente \index{différente} $𝒟_{L\bo K}$ (via la trace).
\end{définition2}

Lien avec la définition locale.

\begin{proposition2}
Critère de ramification via division de $𝒟_{L\bo K}$.
\end{proposition2}

\begin{corollaire2}
\label{extension est presque partout nette}
Presque tous les idéaux sont non-ramifiés.
\end{corollaire2}

Méthodes de calcul.

\begin{proposition2}
\XXX
Si $B=A[X]/f$, $𝒟_{L\bo K}=\Ann Ω¹_{B\bo A}=(f′(x))$.
Plus généralement, si $L=K(x)$, $x ∈ B$ et $f$ est le polynôme
minimal, on a $𝒟$ divise $(f'(x))$ avec égalité ssi $B=K[x]$.
[Il faut peut-être sans doute supposer $B$ libre sur $A$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Formule
\[
\frac{1}{f(X)}= ∑ …
\]
\end{démo}

\begin{proposition2}
\XXX
\[
\mathrm{d\acute{e}t}(\sigma_i(x_j))^2
=|\mathrm{d\acute{e}t}(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j))|= \N(𝒟_{K\bo 𝐐}).\]
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
$\big(\Tr_{K/\QQ}(x_ix_j)\big)= {}^t\big(\sigma_i(x_j)\big) \big(\sigma_i(x_j)\big)$.
\end{démo}

\begin{définition2}
Discriminant $\mathfrak{d}_{K/\QQ}=\N_{K \bo 𝐐}(𝒟_{K\bo 𝐐})$.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
Si $𝐐(ζ_n)\bo 𝐐$, le discriminant est $n^{φ(n)}/∏_{p|n} p^{φ(n)/(p-1)}$.
\end{proposition2}



\section{Notes}



\ifx\danslelivre\undefined
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\end{document}
\fi