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\title{titre}

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\begin{document}
\begin{center}
titre
\end{center}
\tableofcontents
\else
\chapter{titre}
\fi

\section{}

\subsection{}

\begin{proposition2}
\XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de
valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes]
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
\XXX Deux AVD de même corps des fractions sont égaux.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète. Un $A$-module
de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion.
\end{proposition2}

\subsection{Valeurs absolues}


\subsection{Prolongements}

\begin{théorème2}
\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des
fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}.
La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
\end{théorème}

\begin{définition2}
indice de ramification
\end{définition2}

\begin{proposition2}
\XXX Si $L\bo K$ est galoisienne, $v ∘ σ = v$.
\end{proposition2}

\begin{définition2}
Extension totalement ramifiée ; extension non ramifiée.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
Équivalence de catégories $k$-algèbre étale, $A$-algèbres étales.
\end{proposition2}

[variante : énoncé général à mettre dans [AC].]

\begin{démo}
Cf. [CL], III. §5 ou Raynaud, Anneaux locaux henséliens.
\end{démo}

\begin{définition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
$$
G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
$$
Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
une filtration décroissante de $G$.
\end{définition2}

[généralisation : cas extension résiduelle séparable.]

\begin{exercice2}
Interprétation géométrique dans le cas d'une courbe affine
et d'un automorphisme : la longueur du lieu des points
fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$.
\end{exercice2}

\begin{proposition2}
\XXX
Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
\begin{enumerate}
\item $G_0\iso G$,
\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
\item L'application
$$\left\{\begin{array}{l}G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
$$
G_i/G_{i+1}\hra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
$$
\item On a des isomorphismes canoniques :
$$
\begin{array}{l}
 U^{(0)}_L/U^{(1)}_L\iso k_L^{\times}\\
 U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\iso \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
\end{array}
$$
pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}\isononcan k_L$, non canoniquement.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
\begin{proof}
1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0\iso G$.
Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.

2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité
$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
$$
où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.

3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de
l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
$$
\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
$$
jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et  donc
$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est
bien indépendante du choix de l'unité $u$.

Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
que pour chaque $\sigma'\in G_i$,
$$
\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
$$
Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
l'égalité
$$
\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
$$
entraîne que $G_i\ra U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
noyau est par définition $G_{i+1}$.

4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B\surj k_L$ induit
un isomorphisme $B^{\times}\ra 1+\MM_B\ra k_L^{\times}$.
Enfin,
$$
\begin{array}{l}
U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\ra \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
1+x\mapsto x
\end{array}
$$
est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite).
Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
vectoriel de dimension $1$.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\XXX
Sous les hypothèses précédentes :
\begin{enumerate}
\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
et d'ordre premier à la caractéristique.

Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L\isononcan k_L$ n'a pas de sous-groupe
fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
\end{démo}


\section{Puiseux-Newton}

\subsection{Polygone de Newton}
\begin{definition2}[Polygone de Newton]
\XXX Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus
des couples $(i,v(a_i))$, $0\leq i \leq n$.
\end{definition2}


\begin{theoreme2}[Factorisation et pentes du polygone de Newton]
\XXX Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets
du polygone de Newton, qui a donc $r$ pentes [...]. Alors,
$$
f=g_1\cdots g_r
$$
où :
\begin{enumerate}
\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
\item Les racines $\alpha$ de $g_i$ sont toutes de valeur absolue :
$$
v_L(\alpha)=-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}.
$$
\end{enumerate}
\end{theoreme2}

\begin{corollaire2}[Eisenstein]
\end{corollaire2}

Réciproque.

\begin{proposition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
\item $$\begin{array}{l}A[X]/f\ra B\\ X\mapsto x\end{array}$$
est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
\end{itemize}
\end{proposition2}

\begin{proof}
\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
et dans $K$. Comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$,
le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}).
Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que
$v(a_i)\geq 1$.
Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions
$L$.
\end{proof}

\subsection{Théorème de Puiseux et structure de l'inertie modérée}

\begin{theoreme2}
\XXX Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
Alors, $$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
$\Gal_{k((t))} ≃ \chap{𝐙}$.
\end{theoreme2}

[généralisation : variante modérée et caractéristique mixte. Cf. p.
ex. Hasse, chap. 16.]

\begin{démo}
\XXX
Soit $L$ une extension finie galoisienne de $K=k((t))=\mathrm{Frac}(k\[t\])$ où
$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
précédent que $G=\ga(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
de groupe $\mu_n(k)$.
Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
$$
\xymatrix{
L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
}
$$
L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
\end{démo}

\section{Extensions cyclotomiques}

À titre d'exemple.


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\end{document}
\fi