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\title{Anneaux de valuation discrète}

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\begin{document}
\begin{center}
Anneaux de valuation discrète
\end{center}
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\else
\chapter{Anneaux de valuation discrète}
\fi

\section{Anneaux de valuation, places et valeurs absolues : généralités}

\subsection{Anneaux de valuation}

\subsubsection{}Relation de domination\index{domination, relation de} entre anneaux locaux

\begin{théorème2}
Soient $K$ un corps et $A$ un sous-anneau de $K$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $A$ est maximal pour la relation d'ordre de domination ;
\item pour tout $x ∈ K-\{0\}$, ou bien $x ∈ A$ ou bien $1/x ∈ A$ ;
\item $K=\Frac(A)$ et l'ensemble des idéaux de $A$ est totalement
ordonné pour l'inclusion.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{définition2}
\XXX
Anneau de valuation \index{anneau de valuation} si
intègre et [...]
\end{définition2}

\begin{proposition2}
\XXX
Un anneau de valuation est local, intégralement clos
dont tout idéal de type fini est principal.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Si $L\bo K$ est une extension. La clôture intégrale
de $A$ dans $L$ est l'intersection des anneaux de valuation
de $L$ contenant $A$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
[AC Ch.VI, §1, n.3, Cor.3]
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX
Tout $A$-module de type fini sans torsion est libre.
Tout $A$-module sans torsion est plat.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
[AC. Ch.VI, §3, n.6, Lemme 1]
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX
Tout $A$-module de présentation fini de torsion
est isomorphe à un $A$-module de la forme
\[
A/a₁ ⊕ \cdots ⊕ A/a_n.
\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Gabber-Ramero, Almost, 6.1.14.
\end{démo}

\subsection{Places}

\subsubsection{Droite projective}\XXX Si $k$ est un corps,
$\gtilde{k}=k ∪ \{∞\}$ et [...]

\begin{définition2}
\XXX
Place : $K → \gtilde{k}$.
\end{définition2}

En conflit avec Weil [BNT].

critère d'intégralité en terme de places.

\subsection{Valuations}
\XXX
Groupe abélien totalement ordonné $Γ$.
Valuation\index{valuation} : $v:A → Γ ∪\{∞\}$.

\begin{proposition2}
\XXX
Anneau de valuation=place (modulo isom.)=valuation (modulo isom).
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
\XXX
\[\dim(A)=\text{rang convexe}(Γ) ≤ \rang(Γ ⊗ 𝐐).\]
(Bijection explicite.)
\end{proposition2}

Le rang convexe est appelé hauteur par Bourbaki.

\begin{démo}
Gabber-Ramero, 6.1.20—6.1.23.
\end{démo}

\begin{définition2}
\XXX
Rang\index{rang d'une valuation} d'une valuation.
\end{définition2}

\subsection{Anneaux de valuation discrète}

\begin{proposition2}
\XXX Un anneau local nœthérien normal de dimension $1$ est un anneau de
valuation discrète. [à énoncer sous forme de conditions équivalentes]
\end{proposition2}

Deux AVD de même corps des fractions sont égaux.
Un $A$-module de type fini est libre si et seulement si il est sans torsion.
(Cas particulier des résultats précédents.)

\begin{proposition2}
\XXX
Si $K$ est complet à corps résiduel parfait $k$ et d'égale
caractéristique, $K=k((t))$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Relèvement de Teichmüller ; cf. p. ex. [ANAF] chap. 10, th. 1.
\end{démo}

Cas d'égale caractéristique.

\begin{proposition2}
Si corps résiduel fini, c'est une extension finie de $𝐐_p$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
[ANAF], chap. 10, fin §1.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX
Cas général (Witt).
\end{théorème2}

\begin{démo}
Utiliser si possible les constructions du chapitre sur KASW.
\end{démo}

\subsection{Valeurs absolues}\XXX
Valeurs absolues\index{valeur absolue}. Corps valué\index{corps valué}
Cas ultramétrique.

\begin{proposition2}
Toute valeur absolue est équivalente à un valeur absolue
satisfaisant l'inégalité triangulaire.
\end{proposition2}

La définition n'est pas parfaitement standardisée. % ☡

Lien avec valuation de rang $1$ (cas ultramétrique).

\begin{théorème2}
\XXX
Le théorème d'approximation.
\end{théorème2}

Cf. Artin [ANAF].

\subsection{Exemples}

Exemple : valuation de Gauß sur $k[X]$.

\begin{proposition2}
\XXX
Ostrowski.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
\XXX
$k(X)$.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
\XXX
Formule du produit
\end{proposition2}


\section{Théorie élémentaire de la ramification}

Artin [theory of algebraic numbers], §3. Bourbaki, AC. Voir aussi Gabber-Ramero (Almost ring theory).

\subsection{Prolongement des valuations}

\subsection{Hensélisation et complétion}

\subsection{Indice de ramification}

\begin{définition2}
indice de ramification
\end{définition2}

\begin{théorème2}
\XXX
$L\bo K$ extension finie, $K$ valué, $B$ clôture
intégrale de $A=K^+$ dans $L$.
Alors,
\[
∑_{𝔭 ∈ \Specmax(B)} (Γ_𝔭 : Γ)[κ(𝔭) : κ] ≤ [L:K].
\]
\end{théorème2}

\begin{proposition2}
\XXX
Cas galoisien :
\[
efn ≤ [L:K].
\].
Cas hensélien :
\[
ef ≤ [L:K]
\]
\end{proposition2}


\begin{proposition2}
\XXX
Cas d'égalité : valuation discrète et extension séparable.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
AC, ch.VI, §8, n.5, Cor.1

\end{démo}

\begin{exemple2}
\XXX
Cas inséparable : cf. Gabber-Ramero 6.2.7 (iii).
\end{exemple2}

\begin{définition2}
\XXX
Extension totalement ramifiée ; extension non ramifiée.
\end{définition2}

Voir Artin, [ANAF] chap. IV.

\begin{proposition2}
\XXX
Extension d'Eisenstein.
\end{proposition2}

Notamment :

\begin{proposition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet, $K$ son corps des fractions,
et $L/K$ une extension séparable de degré $n$. Soit $B$ la normalisation de $A$ dans
$K$ ; on suppose que l'indice de ramification $e=n$ \cad que l'extension
est \emph{totalement ramifiée}. Alors, si $x$ est une uniformisante
de $B$, et $f=\mathrm{Irr}_K(x)$ on a :
\begin{itemize}
\item $f$ est d'Eisenstein \cad unitaire $a_i\in \MM_A$ et le terme constant $a_0\notin \MM_A^2$,
\item $$\begin{array}{l}A[X]/f→ B\\ X\mapsto x\end{array}$$
est un isomorphisme. En particulier $A[X]/f$ est local.
\end{itemize}
\end{proposition2}

\begin{proof}
\XXX Écrivons $f=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_n$. Ses coefficients sont entiers sur $A$
et dans $K$. [...]
Autre argument : comme la valuation $\MM_A$-adique étendue de $x$ est $1/n$,
le polygone de Newton a pour unique pente $-\frac{1}{n}$ (cf. \ref{Newton}).
Il en résulte que $v(a_0)=1$ et que $v(a_i)\geq 1$.
Enfin, $A[X]/f$ est local (cf. $A[X]/f\otimes_A A/\MM_A$) et de corps des fractions
$L$.
\end{proof}

\subsection{Lemme de Krasner et applications}

\begin{proposition2}
\XXX
Lemme de Krasner (dans cas valué complet).
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
\XXX
Formule de masse de Krasner-Serre (1978) :
\[
∑_{L\bo K \text{tot. ramif. deg } n} 1/q^{c(L)}=n.
\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
Serre, Œuvres 115.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
$𝐂_p$ est algébriquement clos.
(Énoncé général.)
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
\end{démo}

\begin{proposition2}
\XXX
Ax-Sen
\end{proposition2}

\begin{démo}
Fontaine-\jap{欧阳}, §3.1
\end{démo}


\subsection{Sorites}

\begin{proposition2}
\XXX
Extension composée de deux extensions nr (modérée) est nr (modérée).
\end{proposition2}

\subsection{Structure du groupe de Galois}

\subsubsection{}Supposons $A$ hensélien, $L\bo K$ finie.
On a un accouplement $I× ( Γ_E \bo Γ_K) → μ(λ)$,
où $λ$ est le corps résiduel de $L^+$.

\begin{théorème2}
Si $κ$ est séparablement clos, $I=\Gal(L\bo K)$
et $I → \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$ est surjectif,
de noyau un $p$-groupe.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Gabber-Ramero, 6.2.12.
\end{démo}

Théorie de Kummer :

\begin{corollaire2}
Si $(p,[L:K])=1$, on a $\Gal(L\bo K) ≃ \Hom_𝐙(Γ_E \bo Γ_K, μ(κ))$.
De plus, si $Γ_E \bo Γ_K=⨁ 𝐙/n_i$, il existe des $a_i ∈ K^×$
tels que $L=K[a_i^{1/n_i}]$.
\end{corollaire2}

\subsection{Cas d'un anneau de valuation discrète}

\begin{théorème2}
\XXX Soit $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des
fractions $K$ et $L\bo K$ une extension finie \emph{séparable}.
La clôture intégrale $B$ de $A$ dans $K$ est un $A$-module
libre de rang $[L:K]$ et est un anneau de valuation discrète
complet. Il existe un entier $e ≥ 1$, divisant $[L:K]$,
tel que la restriction de $v_B$ à $A$ soit égale à $\frac{1}{e}v_A$.
\end{théorème2}


\begin{définition2}
\XXX Soient $A$ un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions $K$,
$L/K$ une extension galoisienne totalement ramifiée de groupe $G$
et $B$ le normalisé de $A$ dans $L$.
Soit $\pi_L$ une uniformisante de $B$. On pose, pour $i\ge -1$,
$$
G_i:=\{\sigma\in G,\ v_L(\sigma(\pi_L)-\pi_L)\geq i+1\}
$$
Ce sont les sous-groupes de \emph{ramification} de $G$. Ils forment
une filtration décroissante de $G$.
\end{définition2}

[généralisation : cas extension résiduelle séparable.]

\begin{exercice2}
Interprétation géométrique dans le cas d'une courbe affine
et d'un automorphisme : la longueur du lieu des points
fixes (supposés isolés) est la somme des $v_x(g π - π)$.
\end{exercice2}

\begin{proposition2}
\XXX
Introduisons une filtration décroissante du groupe des unités de $B$,
$B^{\times}=:U^{(0)}_L$, notée $U^{(i)}_L:=1+\MM_B^i$ pour $i\geq 1$.
\begin{enumerate}
\item $G_0⥲ G$,
\item Chaque $G_i$ est un sous-groupe de $G$, indépendant du choix de $\pi_L$,
\item L'application
$$\left\{\begin{array}{l}G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L\\ \sigma\mapsto
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\end{array}\right.$$ est indépendante du
choix de $\pi_L$, et induit une injection canonique
$$
G_i/G_{i+1}↪ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L.
$$
\item On a des isomorphismes canoniques :
$$
\begin{array}{l}
 U^{(0)}_L/U^{(1)}_L⥲ k_L^{\times}\\
 U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L⥲ \MM_B^i/\MM_B^{i+1}
\end{array}
$$
pour tout $i\geq 1$. De plus, $\MM_B^i/\MM_B^{i+1}≃ k_L$, non canoniquement.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
1) Montrons que l'extension étant totalement ramifiée, $G_0⥲ G$.
Soit $\sigma\in G$. Comme $B$ est local, $\sigma(\MM_B)=\MM_B$ et $\sigma$
induit donc un automorphisme de $k_L$ sur $k_K$, nécessairement trivial (car
$k_L=k_K$). Ainsi $\sigma(x)=x \mod \MM_B$ pour tout $x$, \cad
$v_L(\sigma(x)-x)\geq 1$ et, en prenant $x=\pi_L$, $\sigma\in G_0$.
Remarquons que comme, d'après la proposition précédente, $B=A[\pi_L]$,
réciproquement, si $\sigma\in G_i$,
pour tout $x\in B$, on a $v_L(\sigma(x)-x)\geq i+1$.

2) Pour $\sigma,\sigma'\in G_i$, l'égalité
$$\sigma'\sigma(\pi_L)-\pi_L=\sigma'\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big)+\big(\sigma(\pi_L)-\pi_L\big),
$$
où deux termes de droite appartiennent à $\MM_L^{i+1}$, suffit à montrer
que $G_i\subset G$ est un sous-groupe.

3) Montrons que pour chaque $\sigma\in G_i$, la quantité
$\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\in U^{(i)}_L$ est, modulo $U_L^{(i+1)}$, indépendante du choix de
l'uniformisante $\pi_L$. Soit $u\in B^{\times}$ une unité. L'égalité
$$
\frac{\sigma(u\pi_L)}{u\pi_L}=\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}\frac{\sigma(u)}{u}.
$$
jointe au fait que pour un tel $\sigma$, $\sigma(u)-u\in \MM_L^{i+1}$, et  donc
$\frac{\sigma(u)}{u}\in 1+ \MM_L^{i+1}$, montre que modulo $U_L^{(i+1)}$ cette image est
bien indépendante du choix de l'unité $u$.

Pour tout $\sigma\in G$, $\sigma(\pi_L)$ est une uniformisante. Il en résulte
que pour chaque $\sigma'\in G_i$,
$$
\frac{\sigma'\big(\sigma(\pi_L)\big)}{\sigma(\pi_L)}=
\frac{\sigma'(\pi_L)}{\pi_L} \mod U^{(i+1)}_L.
$$
Ainsi, pour $\sigma,\sigma'\in G_i$,
l'égalité
$$
\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\pi_L}=\frac{\sigma'\sigma(\pi_L)}{\sigma(\pi_L)}
\frac{\sigma(\pi_L)}{\pi_L}
$$
entraîne que $G_i→ U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L$ est un morphisme de groupe ; son
noyau est par définition $G_{i+1}$.

4) L'anneau $B$ étant local, la surjection canonique $B↠ k_L$ induit
un isomorphisme $B^{\times}→ 1+\MM_B→ k_L^{\times}$.
Enfin,
$$
\begin{array}{l}
U^{(i)}_L/U^{(i+1)}_L→ \MM_B^{i}/\MM_B^{i+1}\\
1+x\mapsto x
\end{array}
$$
est un isomorphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite).
Comme $\MM_B$ est principal, le terme de droite est un $k_L$-espace
vectoriel de dimension $1$.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\XXX
Sous les hypothèses précédentes :
\begin{enumerate}
\item $G_0/G_1$ est cyclique d'ordre premier à la caractéristique de $k_K$,
\item si $\mathrm{car}(k_K)=0$, $G_1=\{1\}$ et $G_0$ est cyclique.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
Comme $G_0/G_1$ est isomorphe à un sous-groupe fini de $k^{\times}$, il est cyclique
et d'ordre premier à la caractéristique.

Enfin, pour $i\geq 1$, $U^{(i)}_L / U^{(i+1)}_L≃ k_L$ n'a pas de sous-groupe
fini si $k_L$ est de caractéristique nulle. En particulier $G_i/G_{i+1}=\{1\}$,
pour tout $i>0$. Comme $G_i=\{1\}$ pour $i\geq N:=\max_{\sigma\in G-\{e\}} v_L(\sigma(\pi_L)-
\pi_L)$, on a bien $G_1=G_2=\cdots = G_N=\{1\}$.
\end{démo}

\section{Discriminant et différente }

\begin{définition2}
\XXX
Différente $𝔇_{L\bo K}$.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
\XXX
$𝔇_{L\bo K}=B$ si et seulement si $L\bo K$ est non ramifiée.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Artin [ANAF] chap. V.
\end{démo}

\begin{proposition2}
Formule de transitivité : $𝔇_{M\bo K}=𝔇_{M\bo L} 𝔇_{L\bo K}$.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}[Euler]
\XXX
$\Tr(x^i/f ′(x))=0$ si $i<n-1$, $=1$ si $i=n-1$.
(À énoncer sous une forme générale.)
\end{proposition2}

Cf. Serre [CL], p. 65.

\begin{corollaire2}
\XXX
\begin{enumerate}
\item $𝔇$ divise $(f ′(x))$.
\item si extension résiduelle séparable, …
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

[ANAF] chap. V.

\begin{proposition2}
\XXX
Structure extensions finies résiduellement
séparable : extension non ramifiée puis extension
totalement ramifiée (Eisenstein).
\end{proposition2}

[ANAF] chap. V, th. 8.


\section{Puiseux-Newton}

\subsection{Polygone de Newton}
\begin{definition2}[Polygone de Newton]
\XXX Soient $K$ un corps muni d'une valuation discrète et $f=a_nX^n+\cdots+a_0$
un polynôme à coefficients dans $K$. On appelle \emph{polygone de Newton}
l'enveloppe convexe de l'ensemble des points de $\RR^2$ au-dessus
des couples $(i,v(a_i))$, $0\leq i \leq n$.
\end{definition2}


\begin{theoreme2}[Factorisation et pentes du polygone de Newton]
\XXX Soient $K$ le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
complet et $f=a_nX^n+\cdots+a_0\in K[X]$ un polynôme séparable de degré $n$.
Soient $L$ un corps de décomposition de $f$ et $v_L$ la valuation de $L$ prolongeant
celle de $K$. Soient $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,r$ les sommets
du polygone de Newton, qui a donc $r$ pentes [...]. Alors,
$$
f=g_1\cdots g_r
$$
où :
\begin{enumerate}
\item Chaque polynôme $g_i\in K[X]$ est de degré $x_i-x_{i-1}$,
\item Les racines $\alpha$ de $g_i$ sont toutes de valeur absolue :
$$
v_L(\alpha)=-\frac{y_i-y_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}.
$$
\end{enumerate}
\end{theoreme2}

Remarque : on retrouve le critère d'Eisenstein.


\subsection{Théorème de Puiseux et structure de l'inertie modérée}

On explicite ici une conséquence du théorème général
de structure de $π₁$ modéré (cf. supra).

\begin{theoreme2}
\XXX Soit $k$ un corps algébriquement clos de caractéristique nulle.
Alors, $$k((t))\sep=\cup_{n\geq 1} k((t^{1/n})).$$
$\Gal_{k((t))} ≃ \chap{𝐙}$.
\end{theoreme2}

[généralisation : variante modérée et caractéristique mixte. Cf. p.
ex. Hasse, chap. 16.]

\begin{démo}
Cf. th. général.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration]
\XXX
Soit $L$ une extension finie galoisienne de
$K=k((t))=\mathrm{Frac}(k[[t]])$ où
$k$ est algébriquement clos de caractéristique nulle. En particulier
$L/K$ est totalement ramifiée. Il résulte du corollaire
précédent que $G=\Gal(L/K)$ est cyclique d'ordre $[L:K]$.
Comme $k$ est algébriquement clos et contient donc $n$ racines
de l'unité, l'extension (de Kummer) $K_n:=K(\sqrt[n]{t})/K$ est galoisienne
de groupe $\mu_n(k)$.
Considérons une extension composée $L_n=L K_n$ :
$$
\xymatrix{
L \ar@{-}[d] \ar@{-}[r] & L_n \\
K=k((t)) \ar@{-}[r] & K_n=k((t^{1/n})) \ar@{-}[u]
}
$$
L'extension $L_n/K$ est elle aussi galoisienne, de groupe cyclique.
Son groupe de Galois étant cyclique, il n'a donc qu'un seul quotient isomorphe à $\ZZ/n$.
Cela se traduit par l'égalité $L=K_n$
et finalement $K\sep=\cup_n K_n$.
\end{démo}

\section{Extensions cyclotomiques}

\begin{théorème2}
\XXX
$𝐐_p(μ_n)\bo 𝐐_p$ est totalement ramifiée et $π=1-ζ$
est une uniformisante ; $𝒪=𝐐_p[ζ]$.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Serre [CL] p. 85.
\end{démo}


\section{Différentielles}

\begin{théorème2}
$K=k((t))$.
$\Res_t(y)=\Res_u(y dt/du)$.
Généralisation (avec la trace) [Lang, prop. 4.2].
\end{théorème2}

\begin{démo}
[ANAF] chap. 10, th. 3 (première formule).
Lang, Introduction to algebraic and abelian functions pour
la généralisation.
\end{démo}

\begin{définition2}
Définition du résidu $Ω¹_{K\bo k} → k$.
\end{définition2}



\section{Anneaux de valuation discrète tronqués}

Résultats de Deligne (cf. aussi Hiranouti, Taguti).


\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi