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\title{Algèbres de Boole et idempotents}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres de Boole et idempotents}
\fi

Tous les anneaux considérés dans ce chapitre sont unitaires commutatifs.

Références : Bourbaki ou Olivier, « L'anneau absolument plat
universel, les épimorphismes et les parties constructibles »
pour des compléments.

\XXX Inclure lemme 2.17 de Liu (sous $k$-algèbre étale maximale
d'une $k$-algèbre de type fini et lien avec π₀).

\begin{exercice2}
\begin{enumerate}
\item Soit $A$ un anneau et $I$ un idéal.
Montrer que l'ensemble $\sqrt{I}=\{a∈A,\,∃n\,a^n∈I\}$ est un idéal
de $A$. On l'appelle la \emph{racine} de $I$.
\item Soient $e$ et $f$ deux idempotents d'un anneau $A$, tels que
$\sqrt{Ae}=\sqrt{Af}$. Montrer que $e=f$. %c'est BBK, AC, 2, §4, lemme 1
(Indication : calculer $ef$ de deux façons différentes.)
\end{enumerate}
En particulier, deux idempotents engendrant le même idéal sont égaux.
\end{exercice2}

\begin{exercice2}\label{exercice-inverse-ponctuel}
Soient $A$ un anneau et $a∈A$. Montrer que s'il existe un élément
$x∈A$ tel que $axa=a$, il existe alors un \emph{unique} élément
$a^{(-1)}∈A$ tel que $aa^{(-1)}a=a$ et $a^{(-1)}aa^{(-1)}=a^{(-1)}$.
(Indication : pour l'existence, considérer $a^{(-1)}=xax$. Pour l'unicité,
constater que l'idéal $(a)$ est engendré par l'idempotent $ax$ 
et utiliser la remarque à la fin de l'exercice précédent.)
On dit que $a^{(-1)}$ est l'\emph{inverse ponctuel} de $a$.
\end{exercice2}


L'exercice suivant est une réciproque au \ref{decomposition-idempotents-orthogonaux}, (ii).
\begin{exercice2}\label{famille-orthogonale-d-idempotents}\label{Hom(prod,integre)}
Soit $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit fini d'anneaux. Pour chaque $i∈I$, soit
$e_i$ l'élément dont la $i$-ème coordonnées est l'unité de $B_i$ et dont 
les autres coordonnées sont nulles : les $e_i$
constituent une famille orthogonale d'idempotents de somme un.
Vérifier que la surjection canonique $B→B_i$ s'identifie canoniquement au
morphisme $B→Be_i$, via l'isomorphisme évident 
$$Be_i=\{0\}×\cdots×\{0\}×B_i×\{0\}×\cdots×\{0\} ⥲ B_i.$$
\end{exercice2}

%\begin{démo}
%L'égalité $(ae)\cdot (be)=(ab)e$ (pour $a$ et $b$ dans $A$) entraîne la première
%assertion. Pour la seconde, on observera que si $a'∈Ae⊂A$ et $b'∈A(1-e)⊂A$, on a $a'b'=0$ dans
%$A$.
%\end{démo}

\begin{exercice2}\label{factorisation-vers-integre}
\begin{enumerate}
\item Soient $B=∏_{i∈I} B_i$ un produit \emph{fini} d'anneaux et $f:B→C$ un morphisme vers
un anneau \emph{intègre}. Montrer que le morphisme $f$ se factorise de façon unique
à travers l'un des $B_i$, c'est-à-dire qu'il existe un unique entier $i'∈I$
et un unique morphisme $f_{i'}:B_{i'}→C$ tel que $f$ soit 
le composé $B↠B_{i'}\dessusdessous{f_{i'}}{→}C$.
\item Est-ce encore vrai si $I$ est infini ?
(Cf. \ref{ultraproduits}.) 
\end{enumerate}
\end{exercice2}

%\begin{démo}
%Soient $e_i$ comme dans le lemme précédent. Notons
%$c_i=f(e_i)$. Les $c_i$ constituent également
%une famille orthogonale d'idempotents de somme un
%dans $C$. Puisque $C$ est intègre, pour tout $i$, $c_i∈\{0,1\}$ ; 
%par orthogonalité au plus un des $c_i$ est égal à un.
%Leur somme étant égale à un, il existe donc un unique $i'∈I$
%tel que $c_{i'}=1$. Ainsi, $f(b)=f(∑_i be_i)=∑_i f(b)c_i=f(be_{i'})$.
%Il se factorise donc à travers $B→B_{i'}≅Be_{i'}$.
%\end{démo}

\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../biblio/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../biblio/style-bib-livre}
\end{document}
\fi