summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/Cebotarev.tex
blob: 91d855142d131ac3bd751a5261904cbfd19647c1 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
\input{../config/preambule}
\input{../config/macros}
\title{Réduction modulo $p$}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{calculs-galois}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{verselles}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Réduction modulo $p$}
\begingroup
\fi

\section{Généralités}

\subsection{Le théorème de spécialisation du groupe de
Galois par réduction modulo $p$}

L'objectif principal de ce chapitre est d'établir une réciproque
au théorème \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles},
dont nous commençons par rappeler l'énoncé :

\begin{théorème2}
Soit $f \in \QQ[X]$ un polynôme unitaire à coefficients rationnels et
$p$ un nombre premier, ne divisant le dénominateur d'aucun coefficient
de $f$, tel que la réduction $f_p \in \FF_p[X]$ de $f$ modulo $p$ soit
séparable, et soient $d_1,\ldots,d_r$ (avec $d_1 + \cdots + d_r
= \deg(f)$) les degrés des facteurs irréductibles de $f_p$.  Alors le
groupe de Galois $G_f$ de $f$ contient un élément qui, vu comme
élément de $\mathfrak{S}_{\deg(f)}$ par son action sur les racines
de $f$ (nécessairement distinctes), se décompose comme produit de $r$
cycles de longueurs $(d_1,\ldots,d_r)$.
\end{théorème2}

\subsubsection{}Nous allons maintenant donner une
seconde démonstration de ce théorème. Soient $f$ et $p$
comme dans l'énoncé. On suppose pour simplifier $f$
à coefficients entiers et unitaire.
Notons $𝐐\alg$ une clôture algébrique de $𝐐$,
et $𝐙\alg$ la clôture intégrale de $𝐙$ correspondante.
Soient $ξ₁,…,ξ_d$ les racines de $f$ dans $𝐙\alg$.
Considérons la combinaison linéaire « générique » $c=ξ₁Y₁+\cdots+ ξ_d Y_d$
dans le corps $M=𝐐\alg(Y₁,…,Y_d)$ sur lequel $𝔖_d$
agit : trivialement sur $𝐐\alg$ et par permutation des
variables $Y_i$. On a vu en \refext{calculs}{methode-Kronecker-calcul-Galois}
que le groupe de Galois $G$ de $f$, identifié
à un sous-groupe de $𝔖_d$, est le stabilisateur
du polynôme minimal $F$ de $c$ sur $𝐐(Y₁,…,Y_d)$
ou, plus concrètement peut-être,  l'ensemble des $σ ∈ 𝔖_d$ tels que $F(σ(c))=0$.
Comme le polynôme $F$ appartient à $𝐙[Y₁,…,Y_d][X]$, on peut
considérer sa réduction $\sur{F}$ modulo $p$, qui est un
polynôme annulateur de $c′=ξ₁′ Y₁+\cdots+ ξ_d′ Y_d$, où les $ξ_i′$
sont les images des $ξ_i$ dans $𝐅_p$-algèbre $A=𝐙\alg/p$.
Cette algèbre est non nulle car si $1=p x$ avec $x
∈ 𝐙\alg$, on obtiendrait $1=p^r n$ avec $r,n ∈ 𝐍$ en prenant
la norme. (Voir aussi \refext{CG}{Zalg-sur-p-non-nul}.)
Soit $𝔪$ un idéal maximal de $A$ ; le quotient $k=A ∕ 𝔪$
est un corps (une extension de $𝐅_p$), sur lequel la réduction $\sur{f}$ de $f$
modulo $p$ est scindé. (On vérifierait sans peine que $k$ est une clôture algébrique
de $𝐅_p$ mais cela n'est pas utile ici.)
Par construction, le polynôme $\sur{F}$ annule
la combinaison linéaire générique modulo $p$, soit
$\sur{c}=\sur{ξ₁} Y₁+\cdots+ \sur{ξ_d} Y_d ∈ k(Y₁,…,Y_d)$ ;
le polynôme minimal $F_p ∈ 𝐅_p[Y₁,…,Y_d][X]$
de $\sur{c}$ sur $𝐅_p(Y₁,…,Y_d)$ divise donc $F$.
Notons que la surjection $𝐙\alg ↠ k$ induit une bijection entre les racines de $f$
et celles de $\sur{f}$ donc entre celles de $F$ et
de $\sur{F}$, ces dernières étant de la forme $σ(c)$ et
$σ(\sur{c})$ respectivement, pour des permutations
convenables (c'est-à-dire : dans les groupes de Galois
de $f$ et $\sur{f}$ respectivement).
En conséquence, si $F_p(σ(\sur{c}))=0$ (c'est-à-dire $σ$
dans le groupe de Galois de $\sur{f}$), donc
\emph{a fortiori} $\sur{F}(σ(\sur{c}))=0$, on a aussi $F(σ(c))=0$
(c'est-à-dire $σ$ dans le groupe de Galois de $f$).
On a montré que le groupe de Galois de $\sur{f}$ s'identifie
à un sous-groupe de celui de $f$.
Le théorème ci-dessus résulte alors du fait que le groupe
de Galois d'un corps fini est cyclique, engendré
par la substitution de Frobenius.

\subsection{Abondance des polynômes de groupe de Galois maximal}

\begin{proposition2}
\label{polynomes-presque-tous-irreductibles}
Soit $d ≥ 1$ un entier. Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$
unitaires de degré $d$ à coefficients dans un intervalle
$[-N,N]$, la proportion de ceux qui sont
\emph{réductibles} tend vers $0$ lorsque $N$ tend
vers $+∞$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $ε>0$ ; il existe un entier $r ≥ 1$ tel que
$2^d(1-\frac{1}{2d})^r ≤ ε$.
Soit $P=p₁…p_r$ un produit de nombres premiers distincts
et supérieurs ou égaux à $3$ (par exemple, $P=3 ⋅ 5 ⋅ 7
\cdots$). Vérifions que si $N ≥ P$, la proportion
des polynômes comme dans l'énoncé est au plus $ε$.
L'application envoyant un polynôme $f ∈ 𝐙[X]$ à coefficients
dans $[-N,N]$, unitaire de degré $d$, sur sa réduction $f \mod P ∈ 𝐙/P[X]$
est à fibres de cardinal au plus $(\frac{2N+1}{P}+1)^d$.
Elle envoie un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$)
sur un polynôme réductible (unitaire, de degré $d$).
D'autre part, il résulte du lemme chinois que l'application
de réduction modulo chacun des $p_i$, $𝐙/P[X] → 𝐅_{p₁}[X]×…×
𝐅_{p_r}[X]$, est un isomorphisme d'anneaux.
Il en résulte que la proportion des
polynômes \emph{réductibles} parmi les
polynômes de $𝐙/P[X]$ unitaires de degré $d$ est majorée
par $(1-\frac{1}{2d})^r$.
Ainsi le nombre de polynômes réductibles comme
dans l'énoncé est majoré par
\[
(1-\frac{1}{2d})^r × P^d × (\frac{2N+1}{P}+1)^d   ≤ ε (2N+1)^d
\]
car $2N+1+P ≤ 2(2N+1)$, $N$ étant supérieur ou égal à $P$.
\end{démo}

On laisse le soin au lecteur de vérifier qu'il en est de
même des polynômes de degré au plus $d$, non nécessairement
unitaires.

\begin{remarque2}
Plus précisément, on peut montrer que le nombre de polynômes
unitaires réductibles est un $O(N^{d-⅓}\log(N)^{⅔})$,
cf. \cite[4.3.2]{Cojocaru-RamMurty}.
\end{remarque2}

\begin{exercice2}
Soit $d$ un entier et $𝐑_d[X]$ l'ensemble des polynômes
de $𝐑[X]$ de degré au plus $d$. Montrer que le sous-ensemble
des polynômes à coefficients rationnels et irréductibles
sur $𝐐$ est \emph{dense}. (On munit $𝐑_d[X]$ de la topologie
d'espace vectoriel normé.)
Indication : si $P ∈ 𝐙[X]$, on pourra montrer
l'irréductibilité du polynôme $ℓP+1$ lorsque $ℓ$
est un grand nombre premier en utilisant le critère
d'Eisenstein.
\end{exercice2}

\begin{proposition2}
\label{Sd-par-2-3-l}
Pour tout $d\geq 1$, il existe un polynôme unitaire de degré $f\in \ZZ[X]$
de degré $d$ et de groupe de Galois le groupe symétrique
$\mathfrak{S}_d$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $ℓ ≥ d-2$ un nombre premier différent de $2$ et $3$.
Soit $f₂ ∈ 𝐅₂[X]$ (resp. $f₃ ∈ 𝐅₃[X]$, $f_ℓ ∈ 𝐅_ℓ[X]$)
un polynôme unitaire séparable de degré $d$ qui
est irréductible (resp. produit d'un facteur linéaire
et d'un facteur irréductible de degré $d-1$, resp. produit
d'un facteur quadratique irréductible et de facteurs
linéaires).
L'existence de ces polynômes est assurée par \refext{Fin}{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}
et, dans le cas de $f_ℓ$, on utilise également l'inégalité $\#𝐅_ℓ ≥ d-2$
garantissant l'existence de suffisamment de facteurs linéaires distincts.
Soit $f ∈ 𝐙[X]$ unitaire de degré $d$ relevant $f₂,f₃$
et $f_ℓ$, dont l'existence résulte du lemme chinois.
Il est irréductible car $f₂$ l'est.
Son groupe de Galois $G$ agit donc transitivement sur
l'ensemble de ses racines dans un corps de
décomposition. Il contient un $d-1$-cycle (resp. une
transposition) car il en est ainsi du groupe de Galois de $f₃$
(resp. de $f_ℓ$) : cela résulte du
théorème de Dedekind \commentaire{Dedekind et un certain Bauer (cf.
van der Waerden) ?} \refext{CG}{specialisation-elementaire-et-cycles}.
Or, tout sous-groupe transitif de $𝔖_d$ contenant
une transposition et un $d-1$-cycle est le groupe $𝔖_d$ tout
entier. En effet, on peut supposer que le $d-1$-cycle est
$c=(1,2,…,d-1)$ et, par transitivité de l'action que
la transposition est $τ=(i,d)$ pour un $1 ≤ i ≤ d-1$. Par
conjugaison par les puissances de $c$, on obtient
toutes les transpositions $(j,d)$. Il est bien connu
qu'elles engendrent $𝔖_d$ : l'arbre naturellement associé est
connexe.
\end{démo}

\begin{remarque2}
Utilisant les techniques des deux propositions précédentes,
on peut démontrer le résultat probabiliste suivant, initialement
démontré par des méthodes analytiques, reposant
notamment sur le théorème d'irréductibilité de Hilbert \refext{}{}.
\end{remarque2}

\begin{exercice2}
Soient $p$ un nombre premier impair, $m$ un entier naturel
non nul et $(n₁,…,n_{p−2})$ un $p − 2$-uplet d'entiers relatifs distincts.
On pose $f = (X² + m) ∏_{i=1}^{p−2} (X − n_i )$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $ε$ de valeur absolue suffisamment
petite, le polynôme $f + ε ∈ R[X]$ admet $p − 2$ racines réelles simples et deux racines
complexes conjuguées.
\item Pour tout nombre premier $ℓ$, on considère le polynôme $P = ℓ^p
f ( X/ℓ) + ℓ$. Montrer que pour $ℓ$ assez grand,
le polynôme $P ∈ 𝐐[X]$ est un polynôme irréductible ayant $p − 2$ racines réelles
simples et deux racines complexes conjuguées.
\item En déduire que le groupe de Galois de $P$ est isomorphe
au groupe symétrique $𝔖_p$.
\item En déduire que l'ensemble des classes d'isomorphismes
d'extensions de $𝐐$ de groupe de Galois $𝔖_p$ est infini.
\end{enumerate}
\end{exercice2}
% tiré d'une feuille d'exercices de Joël Riou.

\begin{théorème2}[\cite{Seltenheit@Dorge},\cite{Seltenheit-I@vdWaerden}]
Soit $d ≥ 1$ un entier.
Parmi les polynômes $f ∈ 𝐙[X]$ unitaires de degré $d$
à coefficients dans un intervalle $[-N,N]$, la proportion
de ceux qui sont irréductibles et dont le groupe de Galois
est isomorphe à $𝔖_d$ tend vers $1$ lorsque $N$ tend
vers $+∞$.
\end{théorème2}

\begin{démo}
%Ci-dessous, on ne considère que des polynômes unitaires de degré $d$.
On suppose $d ≥ 4$ pour simplifier la discussion ;
les cas particuliers $d=2$ et $d=3$ sont plus simples
et les modifications à apporter à l'argument sont immédiates.
Pour chaque $p ≥ 3$, la proportion des polynômes
unitaires, de degré $d$ dans $𝐅_p[X]$
qui sont :
\begin{itemize}
\item « de type $1$ », c'est-à-dire \emph{irréductibles}, est au moins égale à $\frac{1}{2d}$
(\refext{Fin}{estimation-uniforme-proportion-polynomes-irreductibles-dans-Fp}) ;
\item « de type $2$ », c'est-à-dire \emph{produits d'un facteur linéaire et d'un facteur irréductible}
(nécessairement de degré $d-1$) est au moins
$\frac{1}{1}×\frac{1}{2(d-1)}$ (puisque tout polynôme de
degré $1$ est irréductible) ;
\item « de type $3$ », c'est-à-dire \emph{produits
d'un facteur quadratique irréductible et un ou deux facteurs irréductibles distincts de degrés impairs}
est au moins $\frac{1}{8(d-3)}$ : si $d$ est impair,
on peut minorer cette proportion par $\frac{1}{2×2} ×
\frac{1}{2(d-2)}$ — correspondant à la partition
$d=2+(d-2)$ — et, si $d$ est pair,
on peut la minorer par $\frac{1}{2×2} ×
\frac{1}{2(d-3)} × \frac{1}{1}$
— correspondant à la partition $d=2+(d-3)+1$ —.
\end{itemize}
Ainsi, il existe un réel $0<δ<1$, \emph{indépendant de $p$},
tel que la proportion des polynômes modulo $p$
(unitaires, de degré $d$) ayant un des trois types de décomposition précédent
est supérieure ou égale à $δ$.
Notons que tout polynôme (unitaire, de degré $d$)
à coefficients entiers ayant ses trois types de décomposition
modulo trois nombres premiers distincts a pour groupe de Galois $𝔖_d$.
La démonstration est la même que ci-dessus, si ce n'est que
l'on doit éventuellement élever à une puissance impaire un
cycle pour obtenir une transposition.
Soit $P=p₁…p_r$ un produit de nombres premiers distincts $≠2$.
Il résulte du lemme chinois et de ce qui précède que pour chaque $t ∈ \{1,2,3\}$,
la proportion des polynômes unitaires de degré $d$ de $𝐙/P[X]$
dont aucune des réductions modulo $p₁,…,p_r$ n'est de
type $t$ est au plus $(1-δ)^r$. En conséquence,
le nombre de polynômes unitaires $f$ de degré $d$ de $𝐙/P[X]$
tel que pour chaque $t ∈ \{1,2,3\}$, il existe un $p_t | P$
tel que $f \mod p_t$ soit de type $t$ est \emph{au moins}
$(1-3(1-δ)^r) P^d$. Soit maintenant $ε >0$ et $r$
tel que $2^d ⋅ 3(1-δ)^r< ε$.
Alors, la proportion des polynômes unitaires de degré $d$
à coefficients dans $[-N,N]$ dont les réductions
modulo $p₁,…,p_r$ réalisent les trois types considérés
est supérieure ou égale à $1-ε$ : voir
la fin de la démonstration de \ref{polynomes-presque-tous-irreductibles}
ci-dessus.
De tels polynômes ont pour groupe de Galois $𝔖_d$ (cf. \ref{Sd-par-2-3-l}).
\end{démo}


\section{Le théorème de Frobenius-Čebotarëv}

\subsection{Énoncé du théorème}

\begin{définition2}
Un ensemble $\mathscr{P}$ de nombre premiers a pour densité (analytique)
$\delta$ si 
$$
\frac{\sum_{p\in \mathscr{P}} p^{-s}}{\log(\frac{1}{s-1})} → δ
$$
en $s=1$.
\end{définition2}

On utilisera de façon essentielle dans la démonstration du théorème,
que comme on s'y attend, l'ensemble des nombres premiers a pour densité $1$,
c'est-à-dire que $\sum_{p} p^{-s}\sim \log(\frac{1}{s-1})$, pour $s→ 1+$.
Cf. chapitre précédent \refext{}{}.

\begin{théorème2}[Frobenius, 1880]\label{thm Frobenius}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Soit $G_f=\Gal(\QQ(X_f)/\QQ)\leq \mathfrak{S}_{X_f}$ son groupe de Galois.
Soit $\lambda$ une classe de conjugaison de $\mathfrak{S}_{X_f}$ c'est-à-dire
une partition de $d$.
Alors, pour $s>1$ tendant vers $1$,
$$
\sum_{\begin{array}{l} p\ \textrm{tel que}\,f \mod p\\ \textrm{soit de type}\ \lambda \end{array}}
p^{-s} = \frac{g_\lambda}{g}\log(\frac{1}{s-1})+\mathsf{O}(1),
$$
où $g_f=\# G_f$ et $g_{\lambda}$ est le nombre d'élément de $G_f$ de type $\lambda$.
\end{théorème2}

Bien que nous n'en ferons que fort peu usage, voici une définition
naturelle :

\begin{remarque2}
Il existe une version plus fine du théorème de Frobenius ci-dessus : le théorème
de Čebotarëv. Dans ce cas, on étudie les classes de conjugaison de la substitution
de Frobenius non pas dans $\mathfrak{S}_{X_f}$ mais dans $G_f$ ce qui est en général 
plus précis. Cette version raffinée distingue les classes $3,7$ ci-dessus.
Elle sera démontrée plus loin dans ce chapitre. \XXX
%[DÉTAILLER]
\end{remarque2}

La démonstration occupe le reste de ce paragraphe.

\begin{proposition2}\label{point clé Frob}
Soit $F\in \ZZ[X]$. Notons $n_p(F)$ le nombre de racines de $F$ modulo $p$,
comptés avec multiplicités.
Alors, 
$$
\sum_p n_p(F)p^{-s}\dessusdessous{s>1}{=} \big(\# \textrm{facteurs irr\'eductibles de}\ F \textrm{dans}
\ \QQ[X] \big)
\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}(1).
$$
\end{proposition2}

Ce que l'on résume en :
\begin{quote}
« le nombre moyen de racines est égal au nombre de facteurs irréductibles ».
\end{quote}

\begin{proof}
Les racines étant comptées avec multiplicités, les termes de gauche et de droite
sont additifs vis-à-vis d'une décomposition de $F$ en produit. On peut donc
supposer $F$ irréductible. Enfin, quitte à multiplier $F$ par une constante et changer
de variable, ce qui ne change $n_p(F)$ que pour un nombre fini de nombres premiers,
on peut supposer $F$ unitaire (cf. démonstration de \ref{Dedekind}), de degré noté $d$.
Posons $A_F=\ZZ[X]/F$, et $K=\Frac(A_F)$.
L'application $\Spec(A_F)→ \Spec(\ZZ)$ : $\wp\mapsto \wp\cap \ZZ$ envoie un 
idéal maximal sur un idéal maximal et le cardinal de ses fibres est 
au plus $d$ (cf. \ref{going-up}). Si $p=\wp\cap \ZZ$, on dit que $p$ divise 
$\wp$, noté $p|\wp$. Revenons à notre problème.


Les racines de $F$ modulo $p$ sont en bijection avec les morphismes
$A_F↠ \FF_p$, c'est-à-dire les idéaux maximaux $\wp$ de $A_F$ tel que $N\wp$
soit un nombre premier $p$. De tels idéaux maximaux sont dit « de degré $1$ »
car en général, $A_F/\wp$ est une extension finie de $\FF_p$ (de degré $\leq d$).
Ainsi, 
$$
Z_F(s):=\sum_p n_p(F)p^{-s}=\sum_{p} \#\{\wp\in \Specmax.A_F, p|\wp\ \textrm{ et } 
N(\wp)=p\}p^{-s},
$$
où $N\wp:=\# A_F/\wp$.
Cette série est  convergente pour $s>1$ : comme
$n_p(F)\leq d$, elle est majorée par $d\zeta_{\ZZ}(s)$,  où 
$\zeta_{\ZZ}=\zeta$ est la fonction de Euler-Riemann qui converge pour $s>1$.
De plus, comme $\zeta(2s)$ est bornée au voisinage de $1$, 
on a 
$$
Z_F(s)=\sum_{\wp\in  \Specmax.A_F} \frac{1}{N\wp^s}+\mathsf{O}(1).
$$ 
En effet, les idéaux premiers de degré $\geq 2$ contribuent au maximum à hauteur
de $d\zeta(2s)$.
En particulier,
le produit
$$
\zeta_{A_F}(s):=\prod_{(0)\neq \wp \in \Spec(A_F)} \frac{1}{1-(N\wp)^{-s}}=
\prod_{\wp} \big( 1+(N\wp)^{-s}+(N\wp)^{-2s}+\cdots\big)
$$
est également convergeant pour $s>1$
%\footnote{On rappelle
%que si $a_i\in \RR_{+}-\{1\}$, $i\in \NN$, le produit $\prod_{i\geq 0} \frac{1}{1-a_i}$
%converge vers un nombre réel non nul si
%la série $\sum a_i$ est convergeante.} 
%DONNER RÉFÉRENCE !!! Watson ?
et l'on a :
$$
\log \zeta_{A_F}(s) = Z_F(s)+\mathsf{O}(1).
$$
Soit $\mathscr{O}_K$ l'ensemble des éléments de $K$ entiers sur $\ZZ$ ; 
c'est un $\ZZ$-module de type fini (\ref{normalisation finie}).
L'inclusion $A_F→ \mathscr{O}_K$ induit un isomorphisme par tensorisation par $\QQ$ sur $\ZZ$.
Ainsi (cf. \ref{spectre générique}), à un nombre \emph{fini} de facteurs près, 
$\zeta_{A_F}$ coïncide
avec $\zeta_{𝒪_K}(s)=:\zeta_K(s)$, la fonction zêta de Dedekind.
En particulier, 
$$
\log \zeta_{𝒪_K}=\log \zeta_{A_F} + \mathsf{O}(1).
$$
La conclusion résulte alors du fait que les fonctions zêta de Dedekind
ont un pôle simple en $1$, cf. \ref{pôle en 1 de Dedekind}.
\end{proof}

La démonstration procède en plusieurs étapes ; partant du polynôme $f$ qui nous 
intéresse, on construit de nombreux polynômes intermédiaires $F$ auxquels
on appliquera finalement la proposition précédente et un peu de théorie des groupes.

\begin{lemme2}\label{Frob_1}
Soit $f$ comme en \ref{thm Frobenius}. Choisissons un ordre sur les racines :
$X_f=\{\alpha_1,\dots,\alpha_d\}$ ; on pose $\sous{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in
\sur{\QQ}^d$. Pour tout sous-groupe  $S\leq \mathfrak{S}_d$,
il existe un polynôme $\Psi_{S}\in \ZZ[X_1,\dots,X_d]$ satisfaisant les conditions
suivantes :
\begin{enumerate}
\item Pour $s\in \mathfrak{S}_d$, on a l'égalité $s\Psi_S=\Psi_d$ si et seulement si $s\in S$. 
\item $s\Psi_S(\sous{\alpha})\neq s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ si $s S\neq
 s' S$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{proof}
Le premier point n'est mis que pour mémoire : d'après le théorème de l'élément
primitif, il existe $\Psi_S$ tel que $\QQ(X_1,\dots,X_d)^{S}=
\QQ(\sigma_1,\dots,\sigma_d)(\Psi_S)$. 
Cherchons $\Psi_S$ de la forme :
$$
\Psi_S(X_1,\dots,X_d)=\prod_{s\in S}(u_0+u_1X_{s(1)}+\cdots+u_d X_{s(d)}),
$$
où les variables $u_i$ seront choisies plus tard dans $\ZZ$. 
Un tel polynôme est bien $S$-invariant.
Le second point entraîne donc le second.
\begin{sslmm2}
Si $sS\neq s'S$, le polynôme $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$,
vu comme élément de $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$, est non nul.
\end{sslmm2}
\begin{proof}
L'anneau $\sur{\QQ}[u_0,\dots,u_d]$ est factoriel et le 
polynômes $u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}$ sont irréductibles.
L'égalité $s\Psi_S(\sous{\alpha})=s'\Psi_S(\sous{\alpha})$ entraînerait
$u_0+u_1\alpha_{s(1)}+\cdots+u_d \alpha_{s(d)}=u_0+u_1\alpha_{s'\sigma(1)}+\cdots+u_d 
\alpha_{s'\sigma(d)}$ pour un $\sigma\in S$. Comme les racines sont toutes distinctes,
cela force l'égalité $s=s'\sigma$ c'est-à-dire $sS=s'S$.
\end{proof}
Les polynômes en $\sous{u}$ $(s\Psi_S)(\sous{\alpha})-(s'\Psi_S)(\sous{\alpha})$ étant non nuls
pour $sS\neq s'S$, et en nombre fini, il existe un élément $\sous{u}\in \ZZ^{d+1}$,
tel que le polynôme $\Psi_S$ correspondant satisfasse la seconde condition du lemme.
\end{proof}

\subsubsection{}Pour chaque $S\leq \mathfrak{S}_d$ choisissons un tel $\Psi_S$ et posons :
$$
f_S:=\prod_{\sigma\in \mathfrak{S}_d}\big(X-(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha})\big)\in \ZZ[X].
$$
C'est un polynôme de degré $d!$, qui est la puissance $\# S$-ième de $\tilde{f}_S$,
défini par le même produit mais restreint aux $\sigma$ parcourant 
les représentants de $\mathfrak{S}_d/S$ (classes à gauche).
Soient $\Delta=\mathtextrm{disc}(f)$ et $\Delta_S=\mathtextrm{disc}(\tilde{f}_S)$ 
leurs discriminants respectifs.
Ils appartienent tous deux à $\ZZ-\{0\}$. Soit $\Sigma_S$ l'ensemble des nombres premiers
divisant $\Delta\Delta_S$. 

Soit $p\notin \Sigma_S$ ;  $f\mod p$ et $\tilde{f}_S \mod p$
sont donc à racines simples dans $\sur{𝐅_p}$. Choisissons un morphisme $\ZZ[X_f]→ \sur{𝐅_p}$
et notons $\{\alpha_{1,p},\alpha_{2,p},\dots,\alpha_{d,p}\}$ 
les images des racines de $f$ par ce morphisme ; ce sont les
racines de $f \mod p$ ; les racines du second sont alors
les $\{(\sigma \Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\}$, pour $\sigma\in \mathfrak{S}_d/S$.
Le morphisme de Frobenius $\Frob_p\in \Gal(\sur{𝐅_p}/𝐅_p)$ agit sur les racines de
ces deux polynômes par $\alpha_{i,p}\mapsto \alpha_{i,p}^p$ et correspond à 
une permutation des indices $F_p\in \mathfrak{S}_d$. Une racine de $f_S \mod p$ est 
dans $𝐅_p$ si et seulement si elle est stable par l'action de $\Frob_p$, ce que l'on réécrit :
$$
\begin{array}{ll}
(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\in 𝐅_p &\Longleftrightarrow 
\Frob_p\big((\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\big)=(\sigma\Psi_S)(\sous{\alpha}_p)\\
& \Longleftrightarrow (F_p\sigma)\Psi_S(\sous{\alpha}_p)=\sigma\Psi_S(\sous{\alpha}_p)\\
& \Longleftrightarrow \sigma^{-1}F_p \sigma \in S
\end{array}
$$
On en tire :
$$
N_p(f_S)=\{\sigma\in \mathfrak{S}_d, \sigma^{-1}F_p\sigma\in S\}.
$$
Prendre garde que ce n'est \emph{pas} le cardinal
de l'intersection $\big\{\textrm{classe de conjugaison de }F_p\big\}\cap S$. Rappelons également
que $f_S$ n'est pas séparable si $S\neq \{1\}$ et 
que les racines ci-dessus sont comptées avec multiplicités.

Notons $\lambda$ le \emph{type} de la permutation $F_p$, $s_\lambda$ le nombre d'éléments
de type $\lambda$ dans $S$, $d!_{\lambda}$ le nombre de tels éléments dans 
$\mathfrak{S}_d$ et enfin $s=\# S$. Avec ces notations, l'égalité précédente
se réécrit :
$$
(\star)\ N_p(f_S)=s_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}.
$$

\subsubsection{}Soit $g_f$ le cardinal du groupe de Galois $G_f$ de $\QQ(\sous{\alpha})/\QQ$.
Pour tout $S\leq \mathfrak{S}_d$, on a un diagramme :
\textcolor{red}{xymatrix à remplacer par du TikZ!}
%$$
%\xymatrix{
%\QQ(\sous{\alpha}) \ar@{-}[dd] & \\
%&  \QQ(\Psi_S(\sous{\alpha})) \ar@{-}[ul] \ar@/_3ex/[ul]_{G_f\cap S} \\
%\QQ \ar@/^3ex/[uu]^{G_f} \ar@{-}[ur] & 
%}
%$$
En effet, un élément $g\in G_f$ fixe les $\Psi_S(\sous{\alpha})$ si et seulement si 
il appartient à $S$. Ainsi le degré de l'extension $\QQ(\Psi_S(\sous{\alpha}))/\QQ$
est 
$$
c_S:=\frac{g_f}{\#(G_f\cap S)}.
$$
%Rappelons qu'\emph{a priori}, l'inclusion $G_f\hra \mathfrak{S}_d$ peut-être stricte : 
%un élément quelconque de $\mathfrak{S}_d$ ne correspond pas nécessairement à un automorphisme
%de corps.
Pour $S$ donné, les conjugués (sur $\QQ$) de 
$\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont donc au nombre de $c_S$ ; ce sont
des racines de $f_S$ : 
$\sigma_1\Psi_S(\sous{\alpha}),\dots,\sigma_{c_S}\Psi_S(\sous{\alpha})$,
pour des $\sigma_i\in \mathfrak{S}_d$ convenables. Pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
la fonction polynomiale $\sigma\Psi_{S}$ satisfait aux conditions du lemme \ref{Frob_1},
pour le sous-groupe $S_{\sigma}:=\sigma S \sigma^{-1}$ de $\mathfrak{S}$.
Notons $$g_{\sigma,S}=\# G_f\cap S_{\sigma}$$ le cardinal de cette intersection.
En vertu de la formule précédente, 
les $\sigma_i\Psi_S(\sous{\alpha})$ sont de degré $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}$
sur $\QQ$. Comme ils sont tous conjugués, on a : $\frac{g_f}{g_{\sigma,S}}=c_S=
\frac{g_f}{g_{e,S}}$.
Finalement, $$g_f=c_S g_{e,S}=\sum_{i=1}^{c_S}g_{\sigma_i,S}.$$
Si l'on somme sur tous les $\sigma\in \mathfrak{S}_d$ cette égalité,
on obtient :
$$
\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_d} g_{\sigma,S}=m_S g_f,
$$
où $m_S$ est le nombre de facteurs irréductibles de $f_S$.
En regroupant par type :
$$
\sum_{\lambda} 
\underbrace{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}\big(\textrm{nombre d'éléments de }S_{\sigma}\cap G_f
\textrm{ de type }\lambda\big)}_{=s_{\lambda} g_{\lambda}\frac{d!}{d!_{\lambda}}}.
$$
où l'égalité sous l'accolade résulte de ce que, si $s_1,\cdots,s_{s_{\lambda}}$ sont
les éléments de $S$ de type $\lambda$ et $g_1,\dots,g_{g_{\lambda}}$
ceux de $G$, pour chaque $\sigma\in \mathfrak{S}_d$,
les $\sigma s_i \sigma^{-1}$ sont les éléments de type $\lambda$ dans $S_{\sigma}$
et $\# \{\sigma,\ \sigma s_i \sigma^{-1}=g_j \}=\frac{d!}{d!_{\lambda}}$.

Les égalités précédentes se combinent pour donner :
$$
(\star\star)\ m_S=\frac{d!}{g_f}\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}.
$$

On a alors les égalités, utilisant \ref{point clé Frob} (« $\zeta(1)=+\infty$ ») :
$$
\begin{array}{ll}
\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s}& \dessusdessous{(\star)}{=} 
\sum_{\lambda} s_\lambda \frac{d!}{d!_\lambda}
\big( \sum_p p_{\lambda}^{-s}\big),\\
\sum_{p\notin \Sigma_S} n_p(f_S)p^{-s} & \dessusdessous{\zeta(1)=+\infty \& (\star\star)}{=} 
\frac{d!}{g_f} \big(\sum_{\lambda} \frac{s_\lambda g_{\lambda}}{d!_{\lambda}}\big) 
\log(\frac{1}{s-1}) + \mathsf{O}_S(1),
\end{array}
$$
où $\sum_p p_{\lambda}^{-s}$ est la somme sur les $p$ tel que $f\mod p$ soit
de type $\lambda$.
Posons :
$$
\sum_p p_{\lambda}^{-s}=\frac{g_{\lambda}}{g_f}\log(\frac{1}{s-1})+R_{\lambda}(s).
$$
On veut montrer que $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ c'est-à-dire reste bornée
quand $s→ 1+$.
Avec ces notations, les égalités précédentes deviennent :
$$
(\star\star\star)_S\ \sum_{\lambda} \frac{s_\lambda}{d!_{\lambda}}R_{\lambda}=\mathsf{O}_S(1).
$$

\subsubsection{} Jusqu'à présent, le sous-groupe $S$ était fixe. On va utiliser des groupes
variables pour démontrer $R_{\lambda}=\mathsf{O}(1)$ par récurrence.
Introduisons l'ordre partiel suivant sur les types d'éléments de $\mathfrak{S}_d$ :
$$
\lambda'<\lambda \textrm{ si et seulement si les nombres d'orbites correspondants vérifient 
l'inégalité opposée}.
$$
Par exemple, l'élément minimal est le type de l'identité et l'élément
maximal le type d'un $d$-cycle.
Soient $s\in\mathfrak{S}_d$ un élément de type $\lambda$ et $S=\langle s →ngle$
le sous-groupe engendré. Compte tenu du fait que $S$ n'a aucun élément
de type $\lambda'>\lambda$ (le nombre d'orbites augmente en élevant à une puissance),
l'égalité $(\star\star\star)_S$ se devient :
$$
\frac{s_\lambda}{d!_\lambda}R_{\lambda}+\sum_{\lambda'<\lambda}(\textrm{idem})=\mathsf{O}_S(1).
$$
Ainsi, grâce à l'hypothèse de récurrence, $R_{\lambda}$ est une combinaison linéaire
de fonctions bornées au voisinage de $1+$. Il ne reste plus qu'à remarquer
que, pour $\lambda_0$ le type de l'identité, $R_{\lambda_0}=\mathsf{O}_{e}(1)$ ; la récurrence
est donc amorcée.
Cela achève la démonstration de \ref{thm Frobenius}, modulo la démonstration 
du pôle simple $1$ des fonctions $\zeta$ de Dedekind, donnée en \ref{pôle en 1 de Dedekind}.



\subsection{Applications}

\begin{corollaire2}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Il existe une infinité de nombre premiers $p$ tel que $f$ modulo $p$ n'a pas
de racine dans $𝐅_p$.
\end{corollaire2}

On peut également montrer que cet ensemble a une densité  $\geq \frac{1}{d}$,
cf. \cite{Jordan@Serre}.

\begin{proof}
Le polynôme $f$ a une racine dans $𝐅_p$ si et seulement si, 
la substitution de Frobenius agissant sur les racines dans $\sur{𝐅_p}$ a un point
fixe. Grâce au théorème, il s'agit de démontrer que $G$ possède un élément agissant
sans point fixe (c'est-à-dire qui ne soit pas de type $(1,\dots)$).
La formule 
$$
\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\Fix(\sigma)=\# \mathtextrm{Orbites},=1\ 
\textrm{par transitivit\'e}
$$
entraîne que $\#\Fix(\sigma)$ ne peut être systématiquement $\geq 1$. En effet,
la contribution égale à $d\geq 2$ de l'identité jointe à ces inégalités larges
entraînerait $\frac{1}{g}\sum_{\sigma\in G} \#\Fix(\sigma)>1$.
\end{proof}

\begin{corollaire2}
Soit $f=X^d+\cdots+a_0\in \ZZ[X]$ un polynôme irréductible de degré $d\geq 2$.
Le polynôme $f \mod p$ se décompose totalement pour une infinité de nombre premiers $p$,
de densité $\frac{1}{\# G_f}$.
\end{corollaire2}

Pour un énoncé plus concret, voici :

\begin{corollaire2}
Soit $a\in \ZZ$ un nombre entier qui est un carré modulo $p$ pour tout $p$.
Alors, $a$ est un carré.
\end{corollaire2}

\begin{proof}
Si $X^2-a$ était irréductible (c'est-à-dire $a$ non carré), $a \mod p$ ne serait
pas un carré pour une infinité de $p$.
\end{proof}

\section{Exemples}

\begin{enumerate}
\item $f=X^2+1$. $f$ a une racine modulo $p$ si et seulement si $p\equiv 1\mod 4$.
D'après le théorème c'est le cas pour « la moitié » des nombres premiers. 
(C'est un cas particulier du théorème de Dirichlet.)
\item $f_d=X^d-1$. Son discriminant est $(-1)^{\binom{d}{2}}d^d$.
Voici le type de décomposition de $f_{12}$ modulo $p$, pour $(p,12)=1$.
On note $a^b$ pour signifier qu'il y a $b$ facteurs irréductibles
de degré $a$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline
$p\mod 12$ & type de d\'ecomposition \\
\hline
$1$ & $1^{12}$\\
\hline
$5$ & $1^4\cdot 2^4$\\
\hline
$7$ & $1^6\cdot 2^3$\\
\hline
$11$ & $1^2\cdot 2^5$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
On obtient cette table en écrivant $f_{12}=\prod_{d|12} \Phi_d$ ; on sait
que si $o$ est l'ordre de $p$ dans $\ZZ/d^{\times}$, 
chaque $\Phi_d$ modulo $p$ est le produit de $\varphi(d)/o$ polynômes irréductibles
sur $\FF_p$ de degré $o$.

De même, pour $d=10$, la décomposition de $f_{10}=X^{10}-1$ est :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline
$p\mod 11$ & type de d\'ecomposition \\
\hline
$1$ & $1^{10}$\\
\hline
$3$ ou $7$ & $1^2\cdot 4^2$\\
\hline
$9$ & $1^2\cdot 2^4$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

En particulier, on remarque que le type de décomposition de $f_d$ modulo $p$ ne permet pas
toujours de retrouver la classe de $p$ modulo $d$. C'est pour cette raison que
le théorème de Frobenius ci-dessus n'entraîne pas le théorème 
de Dirichlet sur les nombres premiers en progression arithmétique.
\end{enumerate}


\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../biblio/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../biblio/style-bib-livre}
Git: \showgitstatus
\end{document}
\else
\endgroup
\fi