summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/Dedekind.tex
blob: 2b1683e0ba364402bb9a79ac029da63df203d14f (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
\input{../configuration/commun}
\input{../configuration/smf}
\input{../configuration/adresse}
\input{../configuration/gadgets}
\input{../configuration/francais}
\input{../configuration/numerotation}
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}
\synctex=1
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}

\title{Anneaux de Dedekind, corps globaux}

\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{verselles}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}

%\textwidth16cm
%\hoffset-1.5cm
\usepackage[a4paper,left=2cm,right=2cm,marginpar=0.2cm,marginparsep=0.6cm,vmargin=2.4cm]{geometry}

\begin{document}
\begin{center}
Anneaux de Dedekind, corps globaux
\end{center}
\tableofcontents
\else
\chapter{Anneaux de Dedekind, corps globaux}
\fi

\section{Anneaux de Dedekind}

\subsection{}

\begin{definition2}
Un anneau de Dedekind est un anneau nœthérien, intègre, normal, de dimension un.
\end{definition2}

\begin{proposition2}
\XXX
Soit $\got{a}$ un idéal non nul d'un anneau de Dedekind $A$.
Il existe un unique sous-ensemble $S_{\got{a}}$ de $\SP\max(A)$
et une unique famille d'entiers strictement positifs $n_𝔭(\got{a})$, $𝔭\in S$,
tels que $$\got{a}=\prod_{𝔭\in S} 𝔭^{n_𝔭(\got{a})}.$$
De plus si $\got{a}\subset \got{a'}$ si et seulement si
$n_{𝔭}(\got{a})\leq n_{𝔭}(\got{a}')$ pour tout $𝔭\in \SP\max(A)$,
où l'on pose $n_{𝔭}(\got{a})=0$ (resp. $n_{𝔭}(\got{a}')=0$)
pour $𝔭\notin S_{\got{a}}$ (resp. $𝔭\notin S_{\got{a}'}$).
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Tout idéal fractionnaire non nul est inversible.
\end{proposition2}

\section{Corps globaux : définitions et premiers résultats}

\section{Théorèmes de finitude}

\subsection{Finitude du groupe de Picard}

\begin{theoreme2}
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
\end{theoreme2}

[variante dans le cas d'égale caractéristique.]

\begin{démo}
\XXX
Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.

Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
\end{quote}
Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ \iso K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que
$$
m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}

\subsection{Théorème des unités}

\begin{lemme2}
\XXX
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
\end{lemme2}

\begin{proof}
\XXX
On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ\iso K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
\end{proof}

\begin{theoreme2}[Théorème des unités de Dirichlet]
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR}\isononcan_{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{thm}

\begin{proof}
\XXX
\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR\isononcan \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
$$
\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
$$
Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}\iso \RR^{r_\RR+r_\CC}$.


Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
$$
\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
$$
Cela résulte de l'égalité
$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.

Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
de toute partie bornée est \emph{finie}.
Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
est bornée.
Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
pour $e\in 𝒪_K$.

Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.

Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.

Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.

\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
\end{quote}

Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.

\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$
telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
$$\left\{ \begin{array}{l}
\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
\end{array}\right.$$
\end{quote}

Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs
satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
\CC^{r_\CC},\
\left\{ \begin{array}{l}
|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
\end{array}\right.\}
$$
(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)

On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
le produit est muni de la mesure produit.
L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
à l'origine et convexe. Son volume est
$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
conditions du lemme.

Démontrons le «~lemme chinois~».
Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.

\begin{quote}
Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
sur une ligne soit nulle.
Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
\end{quote}

\end{proof}



\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi