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\title{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt}
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\chapter{Théories de Kummer, Artin-Schreier et Artin-Schreier-Witt}
\begingroup
\fi

%%% À faire :
% — séries formelles : produits et sommes infinies.


\section{Théorie de Kummer}

\subsection{Introduction}Nous allons
étudier les extensions galoisiennes cycliques d'ordre $n$
d'un corps $k$, sous l'hypothèse que ce dernier contienne
exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité. Quatre méthodes au moins
permettent de démontrer le point clef :
\begin{enumerate}
\item (algèbre linéaire) utiliser la diagonalisabilité
d'un automorphisme d'ordre $n$ agissant sur un $k$-espace vectoriel de
dimension finie ;
\item (géométrique) utiliser le théorème de la base normale
(\refext{Versel}{theoreme base normale}) et l'existence d'un isomorphisme
(\refext{Versel}{KAS I})
\[ k[x_{i ∈ 𝐙/n}][\det(x_{i+j})^{-1}] ≃ k[t_{i ∈ 𝐙/n}^{±1}] ;
\]
\item (Lagrange) utiliser les \emph{sommes de
  Lagrange}\footnote{Cette somme est souvent appelée « résolvante » de
Lagrange dans la littérature : nous avons préféré éviter cette
terminologie puisqu'il ne s'agit pas de résolvantes au sens qui sera
introduit au chapitre \refext{Calculs}{}.} ;
\item (cohomologique) utiliser la notion de $𝐙/n$-torseur,
leur description comme groupe de cohomologie (\refext{Formes}{H1G=TorsG})
et enfin le calcul de ce groupe via le théorème $90$ de Hilbert
(\refext{Formes}{Hilbert 90}).
\end{enumerate}

Afin de donner la possibilité au lecteur d'aborder ce chapitre
après la seule lecture des chapitres [Alg] et [CG] (cf. \emph{leitfaden})
nous utiliserons ici les méthodes (i) et (iii), la première
étant, loin s'en faut, la plus rapide de toutes. La seconde (iii),
également assez courte, introduit un concept important dans les
calculs (cf. \refext{Calculs}{}).
L'approche reposant sur (ii) étant traitée en détail
dans \refext{Versel}{KAS I} nous n'en parlerons pas dans ce chapitre.
Le lecteur curieux pourra cependant essayer de comprendre sa parenté avec (i).
Nous ferons en temps utile quelques remarques — que le lecteur pressé pourra
passer — sur la méthode cohomologique qui, d'en d'autres contextes,
s'avère la plus féconde.

\subsection{Extension de groupe $𝐙/n$ : énoncés}

\begin{théorème2}\label{extension cyclique=Kummer}
Soient $n$ un entier et $k$ un corps contenant $n$ racines
$n$-ièmes de l'unité. Soit $K\bo k$ une extension galoisienne
de groupe cyclique d'ordre $n$.
\begin{enumerate}
\item Il existe un élément $a ∈ k^×$ tel que $K$ soit un corps de décomposition du polynôme $X^n-a$.
\item Si $b$ est un autre élément jouissant de la même propriété,
les sous-groupes $A=⟨a⟩$ et $B=⟨b⟩$ de $k^× ∩ {K^×}^n$ ont même image
dans le quotient $(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}


\begin{remarques2}
\begin{itemize}
\item L'hypothèse faite sur $k$ entraîne que $n$ est premier
à son exposant caractéristique.
\item Sans hypothèse sur $k$, on peut donner une description des extensions de groupes
$𝐙/n$ pour $2 ≤ n ≤ 4$ (cf. \refext{Versel}{equation verselle C2},
\ref{equation verselle C3} et \ref{equation verselle C4}).
\item Le critère d'égalité $⟨\sur{a}⟩=⟨\sur{b}⟩$ dans le quotient $(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n$
équivaut à l'existence d'un entier $r$ premier à $n$ et
d'un élément $x ∈ k^×$ tels que $a=b^r x^n$.
\end{itemize}
\end{remarques2}

Ce théorème admet la réciproque suivante.

\begin{proposition2}\label{extension Kummerienne est de groupe cyclique}
Soient $n$ un entier, $k$ un corps contenant $n$ racines
$n$-ièmes de l'unité, $a$ un élément de $k^×$
et enfin $f=X^n-a ∈ k[X]$.
\begin{enumerate}
\item Le polynôme $f$ est \emph{séparable}.
\item Soit $α$ une racine de $f$ dans un corps de décomposition $K$ de $f$.
Pour tout élément $σ$ de $\Gal(K\bo k)$, l'élément $σ(α)/α$ appartient à $μ_n(k)$ et est indépendant du choix
de $α$. L'application $\Gal(K\bo k) → μ_n(k)$, $σ ↦ σ(α)/α$, est un morphisme injectif, appelé
\emph{caractère de Kummer}\index{caractère de Kummer}. En particulier, $K\bo k$ est galoisienne
de groupe cyclique d'ordre divisant $n$.
\item Le groupe $\Gal(K\bo k)$ est d'ordre exactement $n$ lorsque $f$
est irréductible, ce qui se produit si et seulement si
$a$ n'est une puissance $ℓ$-ième dans $k$ pour aucun diviseur premier
de $n$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\subsection{Démonstrations}

\subsubsection{Démonstration de la proposition \ref{extension Kummerienne est de groupe cyclique}}
Commençons par vérifier la séparabilité du polynôme $f$. Une manière
de procéder est d'utiliser le critère \refext{Alg}{critère
différentiel de séparabilité polynôme}. La dérivée
de $f$ est $nX^{n-1}$ ; l'entier $n$ étant inversible, le pgcd
de $f$ et $f ′$ est donc $1$.
Soit $K$ un corps de décomposition de $f$. Notons $Π$ son groupe
de Galois et fixons une racine $α$ de $f$ dans $K$, c'est-à-dire
une racine $n$-ième de $a$. Le polynôme $f$ se décompose alors
dans $K[X]$ en un produit
\[
f(X)=∏_{ζ ∈ μ_n(k)} (X-ζ α)
\]
ce qui revient à dire que l'ensemble
des racines $n$-ièmes de $a$ est $\{ ζ α\}_{ζ}$.
Soit $σ ∈ Π$. Il résulte de l'observation précédente
qu'il existe une (unique) racine de l'unité $ζ_{σ}$ telle
que
\[
σ(α)=ζ_σ α.
\]
Comme $τ(ζ)=ζ$ pour chaque $τ ∈ Π$ et chaque $ζ ∈ μ_n(k) ⊆k$,
on a
\[
ζ_{τ σ}α = τ σ(α)=ζ_σ ζ_τ α :
\]
l'application $σ ∈ Π ↦ ζ_σ
∈ μ_n(k)$ est un morphisme de \emph{groupes}. Ce morphisme
est indépendant du choix de $α$ car si $β=ζ α$ est une autre racine,
$σ(β)/β=σ(ζ)/ζ ⋅ σ(α)/α=σ(α)/α$ car $ζ$ appartient à $k$.
D'autre part, le groupe $μ_n(k)$ est cyclique
(\refext{Fin}{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}), d'ordre $n$
par hypothèse. Montrons que le caractère de Kummer est \emph{injectif} ;
cela démontrera que $Π$, étant isomorphe à un sous-groupe
de $μ_n(k)$, est cyclique d'ordre divisant $n$. Il suffit
de démontrer que si $σ(α)=τ(α)$, alors $σ=τ$. Or
$k(\{ζ α\}_ζ)=k(α)$ de sorte que $K$ est en fait
engendré sur $k$ par $α$. Les $k$-automorphismes de $K$ sont
donc caractérisés par l'image de $α$. Ceci achève la démonstration
de (i) et (ii).

Étudions maintenant à quelle condition l'extension $K\bo k$
est de degré exactement $n$. L'égalité $K=k(α)$ montre
que $[K:k]$ est le degré du polynôme minimal de $α$
sur $k$. Celui-ci divise $f=X^n-a$ ; il est donc de degré $n$
si et seulement si il est égal à $f$ c'est-à-dire
si et seulement si $f$ est irréductible sur $k$.
Soit $σ$ un \emph{générateur} de $Π$. Il résulte
de l'isomorphisme $Π=⟨σ⟩ ⥲ ⟨ζ_σ⟩⊆μ_n(k)$
que $f$ est réductible si et seulement si
$ζ_σ$ est d'ordre $r$ divisant strictement $n$.
La chaîne d'égalités $σ(α^r)=σ(α)^r=ζ_σ^r α^r=α^r$
montre que $α^r$ appartient alors à $k^×$. Comme
$a=(α^r)^{\frac{n}{r}}$, $a$ est dans ce cas une puissance
$\frac{n}{r}$-ième. À plus forte raison, c'est une puissance
$ℓ$-ième pour un diviseur premier $ℓ$ de $n$.
Réciproquement, si $a=b^ℓ$ pour $ℓ$ divisant $n$,
il est clair que l'image $Π$ dans $μ_n(k)$ est contenu
dans $μ_n(k)^ℓ$ ; c'est un sous-groupe strict de $μ_n(k)$.

\begin{exercice2}
Donner une seconde démonstration du critère d'irréductibilité
de $f$ en décomposant $f$ en produit de polynômes irréductibles
dans $k[X]$ et en considérant les coefficients constants de ces
polynômes.
\end{exercice2}

Nous allons maintenant donner quatre démonstration
de l'énoncé \ref{extension cyclique=Kummer} (i), présentées
par degré croissant de technicité.

\subsubsection{Première démonstration de \ref{extension
cyclique=Kummer} (i)}

Soient $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
le groupe de Galois de $K\bo k$, supposé cyclique d'ordre $n$,
et fixons un générateur $σ$. Considéré comme
endomorphisme $k$-linéaire de $K$ dans $K$,
son polynôme minimal est $X^n-1$. Cela résulte
du fait que $σ^n=\Id_K$ et que $n$ est minimal pour
cette propriété. Les racines de $X^n-1$
étant simples et contenues dans $k$, l'endomorphisme
$σ$ est \emph{diagonalisable}. Ses valeurs propres
sont des racines $n$-ièmes de l'unité, dont au moins
l'une d'entre elles est primitive, sans quoi $σ$ serait
d'ordre divisant strictement $n$. Soit $ζ$ une telle
valeur propre et $α ∈ K-\{0\}=K^×$ un vecteur propre.
Par définition $σ(α)=ζα$. L'orbite de $α$ sous $Π=⟨σ⟩$
est d'ordre $n$ de sorte que $K=k(α)$. D'autre part,
$σ(α^n)=α^n$ si bien que $a:=α^n$ appartient à $k^×$.

\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{extension
cyclique=Kummer} (i)}

Soit $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
et fixons un générateur $σ$.
Pour chaque élément $x$ de $K$ on notera $x_i$ l'élément $σ^i(x)$,
où $i$ est un entier relatif quelconque. Suivant Lagrange
\cite[§54-]{Reflexions@Lagrange}\footnote{Les résultats de ce grand mémoire,
exposant la théorie de Galois « avant la lettre », montrent
que les extensions considérées dans ce chapitre sont appelées
« kummériennes » à tort. Voir par exemple \cite{cyclotomie@Weil}.}
introduisons, pour chaque $ζ ∈ μ_n(k)$, les \emph{sommes de Lagrange}
\[
(ζ,x)=∑_{0 ≤ i <n} ζ^i x_i.
\]
Nous connaissons déjà l'une d'entre elles : $(1,x)=\Tr_{K\bo k}(x)$ ;
elle appartient à $k$.
Par construction $σ ⋅ (ζ,x)=ζ^{-1}(ζ,x)$. Il en résulte
que $(ζ,x)^n$ est invariant par $σ$ et appartient donc à $k$.
Fixons dorénavant une racine primitive $n$-ième $ζ$ de l'unité.
Si $x ∈ K$ est tel que $α=(ζ,x)$ soit non nul, on a alors $K=k(α)$
— car $α$ a une orbite d'ordre $n$ sous l'action de $σ$ —  et $α^n ∈ k$.
L'existence d'un tel $x$ résulte de l'indépendance linéaire
des automorphismes $σ^i$, $0 ≤ i <n$, cf. \refext{CG}{indépendance linéaire des automorphismes}.

Lorsque $n$ est premier, on peut même s'affranchir de la référence
à \emph{loc. cit.} En effet, lorsque $x$ appartient à $K-k$,
l'égalité
\[
∑_{ζ ∈ μ_n(k)} (ζ,x)=n ⋅ x,
\]
dont le terme de droite n'appartient pas à $k$,
montre qu'il existe une racine de l'unité $ζ$, nécessairement
différente de $1$, telle que la somme de Lagrange $(ζ,x)$ n'appartienne
pas à $k$. Elle est en particulier non nulle et $ζ$
est une racine primitive car $n$ est supposé premier.

\subsubsection{Troisième démonstration de \ref{extension
cyclique=Kummer} (i)}\label{Kummer 3}

Soit $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
et fixons un générateur $σ$. Fixons également
une racine primitive $n$-ième $ζ$ de l'unité dans $k$.
Soit $c:Π → μ_n(k)$ l'unique (iso)morphisme de groupes
envoyant $σ$ sur $ζ$. C'est en particulier un
$1$-cocycle à valeurs dans le groupe multiplicatif de $K^×$
(\refext{Formes}{généralités 1-cocycles}).
D'après le théorème de Hilbert $90$ (\ref{Hilbert 90}),
un tel cocycle est \emph{trivial} : il existe $α ∈ K^×$
tel que $c(τ)=α^{-1} ⋅ {^τ α}$. En particulier $σ(α)=ζ ⋅ α$.
On a alors $α^n ∈ k^×$ et $K=k(α)$. CQFD.

\begin{remarque2}
On remarquera que le lemme \refext{CG}{indépendance linéaire des
automorphismes}, qui apparaît de façon cruciale dans la seconde
démonstration, intervient également
dans la première démonstration du théorème de Hilbert 90
(\refext{Formes}{H90 via Poincaré}).
\end{remarque2}

\subsubsection{Quatrième démonstration de \ref{extension
cyclique=Kummer} (i) (esquisse)}\label{Kummer 4}

Soit $K\bo k$ et $n$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
et fixons un générateur $σ$. Fixons également un générateur $ζ$ de $μ_n(k)$.
L'isomorphisme $ι:Π ⥲ μ_n(k)$, $σ ↦ ζ$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
font de $K$ un $μ_n(k)$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼$
des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
de cohomologie $H¹(K\bo k,μ_n(k))=\Hom(Π,μ_n(k))$ ;
cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
Le point clef est que l'on peut \emph{calculer} le groupe
$H¹(K\bo k,μ_n(k))$. En effet, la suite exacte de $Π$-modules abéliens
\[
1 → μ_n(k) → K^× \dessusdessous{x ↦ x^n}{→} {K^×}^n → 1
\]
induit une suite exacte
\[
H⁰(K\bo k,K^×) → H⁰(K\bo k,{K^×}^n) \dessusdessous{δ}{→} H¹(K\bo k,μ_n(k)) → H¹(K\bo k,K^×).
\]
D'après le théorème de Hilbert $90$ (\refext{Formes}{Hilbert 90}),
le groupe $H¹(K\bo k,K^×)$ est trivial. D'autre part,
$H⁰(K\bo k,K^×)$ est, par définition, $\Fix_Π(K^×)$, lui-même égal
à $k^×$ et $H⁰(K\bo k,{K^×}^n)=k^× ∩ {K^×}^n$ pour la même raison.
Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
\[
(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n ⥲ H¹(K\bo k,μ_n(k)) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼.
\]
Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
la classe d'un élément $a$ de $k^× ∩ {K^×}^n$
sur le caractère de Kummer $χ_a: σ ↦ \frac{σ(a^{1/n})}{a^{1/n}}$
appartenant à $\Hom(Π,μ_n(k))$. Ainsi, il existe $a$ tel que
$ι$ soit égal au caractère de Kummer $χ_a$.
Ceci signifie que $ι(σ)=ζ$ est égal à $\frac{σ(α)}{α}$
où $α$ est une racine $n$-ième quelconque de $a$ dans $K$.
CQFD.

\begin{remarques2}
\begin{itemize}
\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
une démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii).
\item On peut vérifier que le morphisme composé
\[(k^× ∩ {K^×}^n)/{k^×}^n → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,μ_n(k))/∼\]
envoie la classe de $a$ sur la classe du $μ_n(k)$-torseur
$k[X]/(X^n-a)$. % \XXX à faire
\end{itemize}
\end{remarques2}

\subsubsection{Démonstration de \ref{extension cyclique=Kummer} (ii)}

Soit $K\bo k$, $n$, $a$ et $b$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $n$,
et fixons un générateur $σ$. Choisissons également des racines
$n$-ièmes $α$ et $β$ de $a$ et $b$ dans $K$ respectivement.
Ces éléments étant primitifs pour l'extension $K\bo k$,
il existe deux racines \emph{primitives} $n$-ièmes de l'unité
$ζ_a$ et $ζ_b$ telles que $σ(α)=ζ_a ⋅ α$ et $σ(β)=ζ_b ⋅ β$.
Soit $r ∈ 𝐍$, nécessairement premier à $n$, tel que $ζ_β=ζ_α^r$. On
a donc $σ(β^r)=ζ_a β^r$ et, par conséquent, $σ(\frac{α}{β^r})=\frac{α}{β^r}$.
Ainsi, $x=\frac{α}{β^r}$ appartient à $k$. Sa puissance $n$-ième
vaut $a/b^r$ et appartient à ${k^×}^n$. CQFD.

\subsection{Amplification : extension abéliennes d'exposant divisant $n$}

Une extension $K\bo k$ est dite abélienne d'exposant divisant $n$
si elle est galoisienne de groupe abélien tué par $n$.
La généralisation suivante de \ref{extension Kummerienne est de groupe cyclique}
permet de construire de telles extensions.

\begin{lemme2}
Soient $n$ un entier et $k$ un corps contenant $n$ racines
$n$-ièmes de l'unité. Soit $A$ une partie $k^×$.
Tout corps de décomposition de la famille de polynômes
$X^n-a$, $a ∈ A$, est une extension abélienne de $k$ d'exposant
divisant $n$.
\end{lemme2}

On note habituellement $k(A^{1/n})$ un tel corps de décomposition
et $A^{1/n}$ l'ensemble de ses éléments $α$ tels que $α^n$ appartienne à $A$.

\begin{démo}
Comme on l'a vu en \emph{loc. cit.}, les polynômes $X^n-a$ sont
séparables de sorte que l'extension $k(A^{1/n})\bo k$ est galoisienne.
Notons $Π$ son groupe de Galois. Fixons $α ∈ A^{1/n}$.
Pour chaque $σ$ dans $Π$, il existe $ζ_{σ,α}$ dans $μ_n(k)$ tel que $σ(α)=ζ_{σ,α} α$.
La chaîne d'égalités
\[
τ σ (α)=τ(ζ_{σ,α} α)=ζ_{σ,α} τ(α)=ζ_{σ,α} ζ_{τ,α} α =ζ_{τ,α} ζ_{σ,α} α,
\]
valable pour chaque $α$, montre que $σ$ et $τ$ commutent.
D'autre part les égalités $σ^n(α)=ζ_{σ,α}^n α=α$, valables
pour chaque $α$, montrent que $σ^n=1$. CQFD.
\end{démo}

Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions
abéliennes d'exposant divisant $n$ sont obtenues ainsi.

\begin{théorème2}\label{Kummer général}
Soient $n$ un entier, $k$ un corps contenant $n$ racines
$n$-ièmes de l'unité et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item L'application $A ↦ K_A=k(A^{1/n})$ est une bijection
croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k^×$
contenant ${k^×}^n$ et l'ensemble des sous-extensions
abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $n$. La bijection
réciproque est donnée par $K ↦ A_K={K^×}^n ∩ k^×$.
\item Soit $A$ un sous-groupe de $k^×$ contenant ${k^×}^n$.
Le morphisme
\[
\Gal(k(A^{1/n})\bo k) → \Hom(A/{k^×}^n,μ_n(k))
\]
\[
σ ↦ \big( a \mod{} {k^×}^n ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n}\big)
\]
est un isomorphisme. En particulier
\[
[k(A^{1/n}):k]=(A:{k^×}^n).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\subsection{Digression : dualité des $𝐙/n$-modules}

Soit $n ≥ 1$ un entier. Pour tout $𝐙/n$-module $M$, notons
$D(M)$ le $𝐙/n$-module \emph{dual} $\Hom_{𝐙/n}(M,𝐙/n)$.

\begin{lemme2}\label{Zsurn dual nul implique nul}
Un $𝐙/n$-module $M$ de dual nul est nul.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Si $M$ est monogène, c'est évident. Considérons le cas général.
Supposons $M$ non nul et considérons les paires $(N, φ)$
où $N$ est un sous-module non nul de $M$ et $φ:N → 𝐙/n$ est un morphisme
non nul. De telles paires existent (cas monogène non nul). Il en existe une maximale
pour l'inclusion des modules et le prolongement des formes linéaires.
Notons-la $(M ′,φ ′)$. Si $M=M ′$, on a construit un élément non nul
du dual et la conclusion est assurée. Supposons par l'absurde
qu'il existe un élément $m$ de $M - M ′$. Soit $r ≥ 2$ le plus petit
entier tel que $r m $ appartienne à $M ′$ ; il divise $n$. Posons $x=φ(rm) ∈ 𝐙/n$.
Comme $(n/r) (rm)=0$, on a $(n/r)x=0$ d'où $x ∈ r 𝐙/n$. Soit $y ∈
𝐙/n$ tel que $x=ry$. On peut étendre $φ ′$ en $φ:M ′ + 𝐙/n ⋅ m → 𝐙/n$
en posant $φ(m ′ + s m)=φ(m ') + s y$. Absurde.
\end{démo}

\begin{lemme2}\label{bidualité Zsurn modules finis}
Soit $M$ un $𝐙/n$-module \emph{fini}.
\begin{enumerate}
\item $ \# D(M) = \# M$.
\item Le morphisme d'évaluation (ou « bidualité ») $M → D(D(M))$
est un isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
On se ramène au cas où $M$ est cyclique car la dualité
commute aux sommes directes finies. Le résultat est évident dans
ce cas : si $r$ divise $n$, $D(𝐙/r)$ est naturellement isomorphe à la
$r$-torsion de $𝐙/n$, elle-même isomorphe à $𝐙/r$.
\end{démo}

\begin{remarque2}
Nous n'utiliserons le premier lemme que dans le cas particulier où $M$ est
\emph{fini}. Dans ce cas, il résulte du second lemme.
Notons cependant qu'une démonstration possible
du théorème de structure des groupes abéliens finis repose
de façon cruciale sur une variante du lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul}.
\end{remarque2}

\subsection{Démonstration}Nous allons démontrer ici le théorème \ref{Kummer
général}. Commençons par le cas des extensions finies. Soit $K$ une sous-extension de
$Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant divisant $n$.
Considérons le morphisme $A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$
envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère de Kummer correspondant :
$σ ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n}$. Ce morphisme est injectif car
si $σ(a^{1/n})=a^{1/n}$ pour tout $σ$, on a $a^{1/n} ∈ k$,
c'est-à-dire $a ∈ {k^×}^n$. Ce morphisme est également \emph{surjectif}.
En effet, si $χ$ est un caractère du groupe de Galois,
il existe un $α ∈ K^×$ tel que $χ(σ)=σ(α)/α$ (cf. \ref{Kummer 3}).
Sa puissance $n$-ième $α^n$ appartient nécessairement à $k^×$,
d'où $α ∈ A_K$. (L'isomorphisme
$A_K \bo {k^×}^n → \Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ est également
démontré en \ref{Kummer 4}, si l'on se souvient de
l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),μ_n)$ et $H¹(K\bo k,μ_n)$.)
Notons en particulier que les groupes $A_K \bo {k^×}^n$ et $\Gal(K\bo k)$
ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).

\commentaire{On peut probablement faire plus simple en
diagonalisant l'action et en constant que chaque caractère
apparaît une fois seulement. [cf. invariants=...].}

Soit $K ′=k(A_{K}^{1/n})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
$A_K \bo {k^×}^n$ —, on a également $K = K ′$.
Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $n$ de
$Ω$ est de la forme $k(A^{1/n})$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
Notons $D_μ=\Hom(\tiret,μ)$. L'isomorphisme $A_K \bo {k^×}^n ⥲ D_μ(\Gal(K\bo k))$
induit un isomorphisme $D_μD_μ(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_μ(A_K \bo {k^×}^n)$.
On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
$\Gal(K\bo k) ⥲ D_μD_μ(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_μ(A_K \bo {k^×}^n)$
n'est autre que l'application $σ ↦ (a \mod {{k^×}}^n ↦ σ(a^{1/n})/a^{1/n})$.
Pour achever la démonstration du théorème dans le cas fini,
il faut vérifier que si $A$ est comme en (i) et $K_A:=k(A^{1/n})$,
on a l'égalité entre $A$ et $A_{K_A}:={K_A^×}^n ∩ k^×$.
L'inclusion $A ⊆ A_{K_A}$ est claire. Considérons la suite exacte \[
1 → A/{k^×}^n → A_{K_A}/{k^×}^n → A_{K_A}/A → 1
\]
ainsi que la suite exacte induite par dualité
\[
1 → D_μ(A_{K_A}/A) → D_μ(A_{K_A}/{k^×}^n) →  D_μ(A/{k^×}^n)
\]
où la seconde flèche est le morphisme de restriction.
Le morphisme composé $\Gal(K_A\bo k) ⥲  D_μ(A_{K_A}/{k^×}^n) → D_μ(A/{k^×}^n)$
a pour noyau l'ensemble des automorphismes agissant trivialement sur $A^{1/n}$,
c'est-à-dire l'identité de $K_A$. Il en résulte que $D_μ(A_{K_A}/{k^×}^n) →
D_μ(A/{k^×}^n)$ est injectif et, finalement, $D_μ(A_{K_A}/A)=\{1\}$.
D'après \ref{Zsurn dual nul implique nul} ci-dessus, on a donc
$A=A_{K_A}$. CQFD.

Cas général. Soit $K\bo k$ comme en (i). Le morphisme $\Gal(K\bo k) → D_μ(A_K
\bo {k^×}^n)$ est un isomorphisme : cela résulte d'un passage à la limite
sur les sous-extensions finies de $K$. L'inclusion \emph{a priori} $k(A_K
^{1/n}) ⊆ K$ est une égalité ; cela résulte du fait que le corps $k(A_K ^{1/n})$
contient, d'après ce qui précède, toutes les sous-$k$-extensions finies de $K$.
Enfin, la démonstration ci-dessus de l'égalité $A = A_{K_A}$ s'étend
au cas général, lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul} étant valable
sans hypothèse de finitude.

\subsection{Cas où les racines de l'unité ne sont pas dans $k$}

Commençons par les deux lemmes élémentaires suivants.

\begin{lemme2}\label{Xl-a irréductible}
Soient $k$ un corps, $ℓ$ un nombre premier et $a$ un
élément de $k$. Si le polynôme $X^ℓ-a$ est réductible
sur $k$, il existe un élément $b$ de $k$ tel
que $a=b^ℓ$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $ℓ$-ième
de $a$ dans $Ω$. Les racines dans $Ω$ d'un diviseur $g$ de $f$ dans $k[X]$
s'écrivant sous la forme $ζ α$, où $ζ$ parcourt une partie
$S⊆μ_ℓ(Ω)$ de cardinal $\deg(g)$, son coefficient $g(0)$
est égal — au signe près — au produit $ξ α^{\deg(g)}$,
où $ξ=∏_{ζ ∈ S} ζ$ appartient à $μ_ℓ(Ω)$. Par élévation à
la puissance $ℓ$, on voit que $a^{\deg(g)}$ appartient à ${k^×}^ℓ$.
La conclusion résulte alors du fait que si $g$ est un diviseur strict de $f$,
on a $\deg(g)< ℓ$ de sorte que $d=\deg(g)$ et $ℓ$ sont premiers entre eux
si bien que, pour chaque élément  $x$ de $k^×$, les conditions
$x^d ∈ {k^×}^ℓ$ et $x ∈ {k^×}^ℓ$ sont équivalentes.
\end{démo}

\begin{lemme2}\label{y=x puissance r fois lambda}
Soient $k$ un corps, $ℓ$ un nombre premier inversible
sur $k$ et $K=k(x)$ une extension monogène de $k$ de degré $ℓ$ telle
que $x^ℓ$ appartienne à $k$.
Si $y$ est un autre élément de $K$ tel que $y^ℓ$ appartienne à $k$, il
existe un unique entier $r ∈ [0,ℓ-1]$ tel que $y/x^r$ appartienne à $k$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soient $Ω$ une clôture algébrique de $K$, $ζ$ une racine \emph{primitive}
$ℓ$-ième de l'unité dans $Ω$ et $σ:K → Ω$ l'unique $k$-plongement
envoyant $x$ sur $ζx$. Considérons maintenant $σ(y)$. Puisque $σ(y^ℓ)=y^ℓ$ — car
$y^ℓ$ est un élément de $k$ —, on peut écrire $σ(y)$ sous la forme $ξ y$,
où $ξ$ est une racine $ℓ$-ième de l'unité. Cette racine s'écrit donc
sous la forme $ξ=ζ^r$ pour un unique $r ∈ [0,ℓ-1]$. Il en résulte
que l'élément $y/x^r$ est laissé invariant par $σ$. Or
le sous-corps $\{z ∈ K: σ(z)=z\}$ de $K$ ne contient pas $x$
donc est égal à $k$ pour des raisons de degré, $[K:k]$
ayant pour seuls diviseurs $1$ et $ℓ$. Ainsi
le quotient $y/x^r$, qui appartient à ce sous-corps, est un élément de $k$.
\end{démo}

\begin{théorème2}[Martin Kneser \cite{Lineare@Kneser}]\label{théorème Kneser}
Soient $K\bo k$ une extension algébrique séparable et $A$ un sous-groupe de $K^×$
tel que l'indice $(k^×⟨A⟩:k^×)$ de $k^×$ dans le sous-groupe
de $K^×$ engendré par $k^×$ et $A$ soit fini.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'inégalité \emph{a priori} $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩:k^×)$ est une
\emph{égalité} ;
\item
\begin{enumerate}
\item pour tout nombre premier $ℓ$, toute racine $ℓ$-ième
de l'unité dans $k^×⟨A⟩$ est en fait dans $k^×$ et,
\item toute racine primitive quatrième de l'unité $\sqrt{-1}$
dans $K$ telle que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$
est en fait dans $k^×$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{corollaire2}[Capelli]\label{théorème Capelli}
Soient $k$ un corps et $n ≥ 2$ un entier. Un polynôme $X^n-a$ dans $k[X]$
est irréductible si et seulement l'élément $a$ appartient à $k^×$
mais à aucun des sous-groupes ${k^×}^ℓ$ pour $ℓ$ premier divisant $n$,
ni à $-4 {k^×}⁴$ si $n$ est divisible par quatre.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Les conditions sont nécessaires car $X^{ℓm}-b^ℓ$ (resp.
$X^{4m}+4b⁴$) est divisible par $X^m-b$ (resp. $X^{2m}-2bX^m+2b²$).
Démontrons la suffisance. Soient $K$ un corps de rupture
de $X^n-a$, $α$ une racine $n$-ième de $a$ dans $K$ et $A=⟨ α ⟩$
le sous-groupe multiplicatif engendré, de sorte que $K=k(A)$.
D'après le théorème précédent, l'irréductibilité de $X^n-a$
— qui est équivalente à l'égalité $[K:k]=n$ — a lieu
si et seulement si les critères (a) et (b) sont satisfaits
et si de plus l'inégalité \emph{a priori} $(k^×⟨A⟩:k^×) ≤ n$ (cf. ci-après) est une
égalité. Le groupe $A$ étant monogène engendré par $α$, l'indice
$(k^×⟨A⟩:k^×)$ est l'ordre de la classe de $α$ dans $K^×/k^×$.
Cet ordre divise $n$ et s'il en était un diviseur strict,
il existerait un diviseur premier $ℓ$ de $n$ tel que $α^{n/ℓ}$ appartienne
à $k^×$ ; ceci contredit l'hypothèse. Il nous reste à vérifier les critères (a)
et (b). Soient $ℓ$ un nombre premier et $ζ_ℓ$ une racine $ℓ$-ième de l'unité
appartenant au groupe $k^×⟨A⟩$ de sorte que l'on a une égalité $ζ_ℓ=λ α^r$ pour certains $λ ∈ k^×$ et $r ∈ [0,n-1]$.
Supposons que le nombre premier $ℓ$ divise $n$ mais pas $r$ ; il
divise donc l'entier $m=n/(n,r)$ où $(n,r)$ est le pgcd de $n$ et $r$. En élevant
l'égalité $ζ_ℓ=λ α^r$ à la puissance $m$, on obtient $1=λ^m a^{r/(n,r)}$ d'où en
particulier $a^{r/(n,r)} ∈ {k^×}^ℓ$ car ${k^×}^m$ est contenu dans ${k^×}^ℓ$.
Puisque $ℓ$ est premier à $r/(n,r)$, on en
tire $a ∈ {k^×}^ℓ$, ce qui est contraire à l'hypothèse. Ainsi $ℓ$ ne divise pas
$m$ et l'égalité $ζ_ℓ^m=λ^m a^{r/(n,r)} ∈ k^×$ entraîne l'appartenance
de $ζ_ℓ$ à $k^×$. Vérifions maintenant le critère (b) en supposant
que $1+\sqrt{-1}$ appartienne à $k^×⟨A⟩$. (On suppose en particulier
que la caractéristique de $k$ est différente de deux, sans quoi il n'y a rien à
démontrer.) Écrivons comme précédemment
\[1+\sqrt{-1}=λ α^r\] et posons $m=n/(n,r)$.

\begin{itemize}
\item [Cas où quatre divise $m$.] On obtient par élévation à la puissance $m$ l'égalité
\[
(-4)^{m/4}λ^{-m}= a^{r/(n,r)}.
\]
\begin{itemize}
\item [Cas où $m/4$ est pair.] Le terme de gauche est un carré. Comme $r/(n,r)$ est
impair, on a $a ∈ {k^×}²$ et une contradiction.
\item [Cas où $m/4=2k+1$.] L'égalité $(-4)^{m/4}=-4 ⋅ (2^k)^4$
jointe à l'égalité ci-dessus montre que $a^{r/(n,r)}$ appartient à $-4 {k^×}⁴$.
Or, il résulte de notre hypothèse que si $s$ est un entier tel que
$4|ns$ et $a^s ∈ -4 {k^×}⁴$ alors $4|s$. En effet on aurait
dans le cas contraire soit $4|n$ et $a ∈ -4 {k^×}⁴$ (ce qui est exclu)
soit $2|n$ et $a² ∈ -4 {k^×}⁴$. Cette dernière possibilité est
également exclue car on aurait alors $\sqrt{-1} ∈ k$ et enfin $a ∈ {k^×}²$.
Appliquant cette observation à $s=r/(n,r)$, on constate que
l'élément $a^{r/(n,r)}$ ne peut appartenir à l'ensemble $-4 {k^×}⁴$
si quatre ne divise pas $r/(n,r)$. Contradiction.
\end{itemize}
\item [Cas où quatre ne divise pas $m$.]
Puisque $(1+\sqrt{-1})^m=λ^m a^{r/(n,r)}$ appartient à $k$,
il en est de même de $\sqrt{-1}$ compte tenu du fait que
$2^{-[m/2]}(1+\sqrt{-1})^m$ appartient à l'ensemble
$\{±\sqrt{-1},±1±\sqrt{-1}\}$.
\end{itemize}
\end{démo}

%La démonstration suivante est tirée de \cite[chap. 2]{Polynomials@Schinzel}.
%La démonstration originale est identique.

\begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{théorème Kneser}]
(i) ⇒ (ii). Commençons par observer que $A$ étant un groupe et \emph{a fortiori}
un monoïde, le corps $k(A)$ est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments
de $A$. Il en résulte que la dimension $[k(A):k]$ est le nombre maximal d'éléments
de $A$ linéairement indépendants sur $k$. D'autre part, il est clair
que des éléments de $A$ linéairement indépendants sur $k$ ne sont pas
homothétiques deux-à-deux donc appartiennent à des classes modulo $k^×$
distinctes. En conséquence, on a l'inégalité
\[
[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×).
\]
Soit $x$ un élément $K^×$ appartenant au sous-groupe $k^×⟨A⟩$.
En factorisant les deux termes de l'égalité $[k(A):k]=(k^×⟨A⟩:k^×)$
on obtient l'égalité :
\[
[k(A):k(x)]⋅[k(x):k]=\big(k^×⟨A⟩:k^×⟨⟨x⟩⟩\big) ⋅ \big(k^×⟨⟨x⟩⟩:k^×\big).
\]
L'inégalité ci-dessus, appliquée au corps $k(x)$ engendré par $x$, montre que l'on a la
majoration $[k(A):k(x)] ≤  \big(k^×⟨A⟩:k(x)^×\big)$. Comme d'autre part
on a l'inclusion $k^×⟨⟨x⟩⟩ ⊆ k(x)^×$, on en déduit l'inégalité
\[
[k(A):k(x] ≤ \big(k^×⟨A⟩:k^×⟨⟨x⟩⟩\big).
\]
Pour que l'égalité ci-dessus soit satisfaite, il est donc nécessaire
que l'inégalité \emph{a priori}
\[
[k(x):k] ≤ \big(k^×⟨⟨x⟩⟩:k^×\big)
\]
soit une égalité. Le terme de droite
coïncide avec l'ordre de $x \mod k^×$ dans $K^×/k^×$.

(a) Supposons maintenant que $x$ soit une racine $ℓ$-ième
de l'unité. Le terme de droite de l'inégalité ci-dessus est donc un diviseur du nombre premier $ℓ$
tandis que le terme de gauche est majoré par $ℓ-1$. Il en résulte que ces entiers sont égaux à un,
c'est-à-dire que la racine de l'unité $x$ appartient à $k^×$.

(b) Supposons maintenant que $x-1$ soit une racine quatrième
de l'unité. Observons que ce cas ne peut se produire que lorsque le corps $k$
est de caractéristique différente de deux. Si la racine en question
n'est pas primitive, $x=2$ et il n'y a rien à démontrer.
Dans le cas contraire, on a $x²=2(x-1)$ et $x⁴=-4$.
L'indice $\big(k^×⟨⟨x⟩⟩:k^×\big)$ est donc égal à $1$ ou $4$ suivant
que $x$, ou $x-1$ — cela revient au même —, appartiennent à $k$ ou non.
D'autre part, $[k(x):k]$ est égal à $1$ ou $2$ suivant que $x$,
ou $x-1$ — cela revient au même —, appartiennent à $k$ ou non.
Le cas d'égalité se produit donc si et seulement si la racine primitive
quatrième de l'unité $x-1$ appartient à $k$.

(ii) ⇒ (i). Commençons par constater que l'on peut supposer l'indice
$(k^×⟨A⟩:k^×)$ être une puissance d'un nombre premier $ℓ$.
En effet, si l'on considère pour chaque $ℓ$ l'image inverse $T_ℓ$
du $ℓ$-Sylow $S_ℓ$ de $k^×⟨A⟩/k^×$ dans $k^×⟨A⟩$, et que l'on démontre
l'égalité $[k(T_ℓ):k]=(k^×⟨T_ℓ⟩:k^×)\,(=\#S_ℓ)$, on aura
la divisibilité $\# S_ℓ | [k(A):k]$ pour chaque nombre premier $ℓ$ et finalement
la relation $(k^×⟨A⟩ : k^×) | [k(A):k]$. On peut alors conclure
en utilisant la majoration $[k(A):k] ≤ (k^×⟨A⟩ : k^×)$ démontrée ci-dessus.

Plaçons nous dorénavant dans le cas où $(k^×⟨A⟩:k^×)$ est une puissance
d'un nombre premier $ℓ$. Considérons une filtration
\[
k^×=G₀ ⊆ G₁ ⊆ … ⊆ G_r=k^×⟨A⟩
\]
à quotients d'ordre $ℓ$ et posons $k_n=k(G_n)$ pour $n ∈ [0,r]$.

Nous allons démontrer par récurrence sur l'entier $n ∈ [0,r]$ les faits suivants :
\begin{itemize}
\item [$(C_n)$ :] $[k_n:k_{n-1}]=ℓ$ si $n>0$ ;
\item [$(D_n)$ :] un élément $x$ de $k_n$ appartient à $G_n$ lorsque les
conditions suivantes sont satisfaites :
\begin{itemize}
\item [si $ℓ≠2$ :] $x^ℓ$ appartient à $G_n$ ;
\item [si $ℓ=2$ :] $x²$ appartient à $G_n$ et, d'autre part, soit
$x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ soit $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_n$.
\end{itemize}
\end{itemize}
Les énoncés $C₀$ et $D₀$ sont trivialement vrais. Supposons donc $n>0$.

Démonstration de l'implication : $(D_{n-1})$ entraîne $(C_n)$.
Soit $g_n ∈ G_n$ tel que $G_n=G_{n-1}⟨g_n⟩$. Par construction $g_n^ℓ$ appartient
au groupe $G_{n-1}$.  Les corps $k_n$ et $k_{n-1}(g_n)$ étant
égaux, il en résulte que le degré du corps $k_n$ sur $k_{n-1}$ est
inférieur ou égal à $ℓ$, avec inégalité si et seulement si
le polynôme $X^ℓ -g_n^ℓ$ est réductible sur $k_{n-1}$. On vérifie immédiatement
(cf. lemme \ref{Xl-a irréductible} supra) que cela force l'existence
d'un élément $x$ de $k_{n-1}$ tel que $x^ℓ=g_n^ℓ$.

\begin{itemize}
\item [Supposons $ℓ≠2$.] Étant égal à $g_n^ℓ$, l'élément $x^ℓ$ appartient à $G_{n-1}$.
D'après $(D_{n-1})$, l'élément $x$ appartient également à $G_{n-1}$.
D'autre part, le quotient $g_n/x$ est une racine $ℓ$-ième de l'unité appartenant
à $G_n$ donc, par l'hypothèse (i), à $k^×$. En conséquence, $g_n$ appartient à
$G_{n-1}$. Absurde.

\item [Supposons $ℓ=2$.] Dans ce cas, $x²$ appartient à $G_{n-1}$, $x=±g_n$ donc
appartient à $k^×⟨A⟩$ donc, par $(D_{n-1})$, $x$ appartient également
à $G_{n-1}$. Comme $g_n=±x$ et $\{±1\}$ est contenu dans $k^× =G₀$,
on a $g_n ∈ G_{n-1}$. Absurde.
\end{itemize}

Démonstration de l'implication : $(D_{n-1})$ et $(C_n)$ entraînent $(D_n)$.

\begin{itemize}
\item [Supposons $ℓ≠2$.]
Considérons un élément $x$ de $k_n$ tel que
$x^ℓ$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ [0,ℓ-1]$
et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x^ℓ=g_n^s h$.

\begin{itemize}
\item [Cas $s=0$.] On peut conclure en utilisant le lemme \ref{y=x puissance r fois lambda}.
En effet, comme $x^ℓ$ appartient à $k_{n-1}$ et $x$ appartient à
$k_n=k_{n-1}(g_n)$, il existe un entier $r$ tel que $x g_n^{-r}$
appartienne à $k_{n-1}$. D'autre part $(x g_n^{-r})^ℓ=h (g_n^ℓ)^{-r}$ appartient
à $G_{n-1}$, il résulte de $(D_{n-1})$ que $x g_n^{-r}$ appartient à $G_{n-1}$.
CQFD.
\item [Cas $s≠0$.] Nous allons montrer que ce cas ne se produit pas.
Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà
que $N(g_n)=g_{n}^ℓ$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est
$X^ℓ-g_n^{ℓ}$, de degré impair. L'égalité $x^ℓ=g_n^s h$ devient donc, par application de $N$
et réécriture immédiate : ${g_{n}^ℓ}^s=(N(x)/h)^ℓ$. Le terme de droite
est un élément de ${k_{n-1}^{×}}^ℓ$. Si $s$ est non nul, il est premier à $ℓ$,
de sorte que l'on a également $g_{n}^ℓ =y^ℓ$ pour un $y$ dans $k_{n-1}^{×}$.
Comme $y^ℓ$ appartient à $G_{n-1}$ il résulte de $(D_{n-1})$
que $y$ appartient à $G_{n-1}$. Comme $g_n/y$ est une racine $ℓ$-ième
de l'unité appartenant à $G_n$ elle appartient à $k^×=G₀$ d'après
l'hypothèse (a). Finalement $g_n$ appartient $G_{n-1}$. Absurde.
\end{itemize}

\item[Supposons $ℓ=2$.] Considérons un élément $x$ de $k_n$ tel que
$x²$ appartienne à $G_n$. Il existe donc un entier $s ∈ \{0,1\}$
et un élément $h ∈ G_{n-1}$ tels que $x²=g_n^s h$.
\begin{itemize}
\item[Cas $s=0$.] Même démonstration que ci-dessus. Observer
que si $x$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
pas à $k_n$), alors $xg_n^{-1}$ appartient à $k^×⟨A⟩$ (resp. $\sqrt{-1}$ n'appartient
pas à $k_{n-1}$).
% changer l'étude de cas.
\item[Cas $s=1$.] Notons $N$ la norme de $k_n$ à $k_{n-1}$ et observons d'ores et déjà
que $N(g_n)=-g_{n}²$ car le polynôme minimal de $g_n$ sur $k_{n-1}$ est
$X²-g_n²$, de degré pair.  L'égalité $x²=g_n h$ devient donc $N(x)²=-g_n² h²$ par application
de $N$, d'où $g_n h=(±N(x))\sqrt{-1}$.
Les deux éléments $h,N(x)$ appartenant à $k_{n-1}$ et $g_n$ à $k_n-k_{n-1}$,
il en résulte que $\sqrt{-1}$ appartient à $k_n-k_{n-1}$. En conséquence,
l'extension quadratique $k_n \bo k_{n-1}$ est engendrée par $\sqrt{-1}$.
On peut donc écrire l'élément $x$ de $k_n$ sous la forme $λ+μ \sqrt{-1}$
où $λ$ et $μ$ appartiennent à $k_{n-1}$. Par élévation au carré,
on obtient $x²=(λ²-μ²)+(2 λ μ) \sqrt{-1}$. Comme d'autre part $x²=g_n h$
appartient à la droite $k_{n-1} ⋅ \sqrt{-1}$ (cf. \emph{supra}),
on a $λ=± μ$, c'est-à-dire :
\[
x=λ(1±\sqrt{-1}).
\]
En élevant à la puissance quatrième, on obtient $x⁴=(-4) ⋅ λ ⁴$. Comme $x²$
appartient à $G_n$, son carré $x^4$ appartient à $G_{n-1}$, de même que $λ⁴$.
(Rappelons que $-4 ∈ k^×=G₀$.)
En appliquant l'hypothèse de récurrence $(D_{n-1})$ à l'élément $λ²$,
et en se souvenant que $\sqrt{-1}$ n'appartient pas à $k_{n-1}$,
on en déduit que $λ²$ appartient au groupe $G_{n-1}$. Une nouvelle
application de l'hypothèse de récurrence montre que $λ$ appartient également
à $G_{n-1}$. Si $x=λ(1±\sqrt{-1})$ appartient à $k^×⟨A⟩$, on a donc
$1±\sqrt{-1}$ dans $k^×⟨A⟩$. D'après l'hypothèse (b), on a alors
$\sqrt{-1}$ dans $k^×$ et finalement $x$ dans $G_{n-1}$. CQFD.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{démo}

\section{Théorie d'Artin-Schreier}

\subsection{Introduction}
Nous allons étudier les extensions galoisiennes cycliques d'ordre $p$
d'un corps $k$ de caractéristique le nombre premier $p$.
Ici encore, différentes méthodes permettent de démontrer le point clef :
\begin{enumerate}
\item (algèbre linéaire) trigonaliser un endomorphisme
unipotent d'ordre $p$ agissant sur un $k$-espace vectoriel
de dimension finie ;
\item (géométrique) utiliser le théorème de la base normale
(\refext{Versel}{theoreme base normale}) et l'existence d'un morphisme
$𝐙/p$-équivariant (\refext{Versel}{KAS I})
\[ k[x_{i ∈ 𝐙/p}][\det(x_{i+j})^{-1}] → k[y]
\]
où $𝐙/p$ agit sur $y$ (resp. les $x_i$) par translation (resp. translation
des indices) ;
\item (cohomologique) utiliser la notion de $𝐙/p$-torseur,
leur description comme groupe de cohomologie (\refext{Formes}{H1G=TorsG})
et enfin le calcul de ce groupe reposant sur \refext{Formes}{H1Ga=0}.
\end{enumerate}

\begin{remarque2}
Les résultats qui vont suivre peuvent être vus comme des analogues
« additifs » partiels de la théorie de Kummer. (« Partiels »
car l'étude des extensions abélienne d'ordre $p^r$ d'un corps de
caractéristique $p$ ne sera faite que dans une section ultérieure.)
Ceci est manifeste à la lecture des énoncés \ref{extension cyclique=Kummer}
et \ref{extension Z sur p-AS}.
Cela transparaît également ainsi. Si l'on note $σ$ un générateur du groupe de Galois, la méthode (i)
exposée ci-dessous prend pour point de départ la réécriture de l'équation $σ^p=1$
en $σ=1+𝔫$ où $𝔫^p=0$ : on ne considère plus une matrice \emph{diagonalisable}
inversible, dont les puissances $i$-ièmes se calculent par élévation
à la puissance $i$ des coefficients diagonaux dans une base adaptée,
mais une matrice \emph{unipotente} $1+𝔫$,
dont les puissances $i$-ièmes se calculent via la multiplication
par l'entier $i$ d'une matrice nilpotente $N$ telle
que $1+𝔫=e^N$ (cf. exercice \ref{explog=identité} \emph{infra}).
De même, les méthodes (ii) et (iv) font intervenir
non plus le groupe multiplicatif $\Gm$ (représenté
par l'algèbre $k[t,t^{-1}]$) mais le groupe additif $\Ga$ (représenté
par l'algèbre $k[y]$).
\end{remarque2}

\begin{exercice2}\label{explog=identité}
Soient $p$ un nombre premier et $k$ un corps de caractéristique $p$.
Vérifier que l'exponentielle tronquée $\exp_{<p}(x)=∑_{i=0}^{p-1} \frac{x^i}{i!}$
et le logarithme tronqué $\log_{<p}(x)=-∑_{i=1}^{p-1}\frac{(1-x)^i}{i}$
définissent des bijections réciproques entre l'ensemble des matrices
nilpotentes et l'ensemble des matrices unipotentes de $𝐌_p(k)$.
\end{exercice2}

\subsubsection{}Afin de donner la possibilité au lecteur d'aborder ce chapitre
après la seule lecture des chapitres [Alg] et [CG] (cf. \emph{leitfaden})
nous commencerons par exposer la méthode (i) ainsi que l'argument
original de Emil Artin et Otto Schreier, qui sont aussi, loin s'en faut,
les plus rapides de toutes. L'approche reposant sur (ii) étant traitée en détail
dans \refext{Versel}{KAS I} et étendue au cas des extensions
de groupe $𝐙/p^r$ lorsque $r$ est un entier quelconque dans la section
suivante, nous n'en parlerons pas dans cette section-ci.
Le lecteur curieux pourra cependant essayer de comprendre sa parenté avec (i).
Nous ferons en temps utile quelques remarques — que le lecteur pressé pourra
passer — sur la méthode cohomologique qui, d'en d'autres contextes,
s'avère la plus féconde.

\subsection{Extensions de groupe $𝐙/p$ ; énoncés}
\begin{théorème2}[\cite{Kennzeichnung@AS}, théorème 1]\label{extension Z sur p-AS}
Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $K\bo k$
une extension galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p$.
\begin{enumerate}
\item Il existe un élément $a$ de $k$ tel que $K$ soit un corps
de décomposition du polynôme $X^p-X-a$.
\item Si $b$ est un autre élément jouissant de la même propriété,
les sous-groupes (additifs) $A=⟨a⟩$ et $B=⟨b⟩$ de $k ∩ ℘(K)$ ont même image
dans le quotient $k ∩ ℘(K) / ℘(k)$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

On rappelle \XXX qu'une algèbre de caractéristique $p$ étant donnée, on note
$℘$ l'application $𝐅_p$-linéaire $x ↦ x^p-x$ (morphisme
d'Artin-Schreier).

Ce théorème admet la réciproque suivante.

\begin{proposition2}\label{extension AS est de groupe Z sur p}
Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a$ un élément de $k$,
$f=X^p-X-a ∈ k[X]$ et $K$ un corps de décomposition de $f$ sur $k$.
\begin{enumerate}
\item Le polynôme $f$ est \emph{séparable}.
\item Soit $α$ une racine de $f$ dans $K$
Pour tout élément $σ$ de $\Gal(K\bo k)$, l'élément
$σ(α)-α$ appartient au sous-corps $𝐅_p$ de $k$ et est indépendant
du choix de $α$. L'application $\Gal(K\bo k) → 𝐅_p$, $σ ↦ σ(α)-α$
est un morphisme \emph{injectif}, appelé \emph{caractère
d'Artin-Schreier}\index{caractère d'Artin-Schreier}. En particulier,
l'extension $K\bo k$ est galoisienne de groupe trivial ou cyclique d'ordre $p$.
\item Le groupe $\Gal(K\bo k)$ est d'ordre $p$ si et seulement si
$f$ est irréductible, ce qui se produit si et seulement si
$a$ n'appartient pas au sous-$𝐅_p$-espace vectoriel $℘(k)$ de $k$.
Dans ce cas, si $α$ est une racine de $f$, tout autre élément primitif
$β ∈ K$ également racine d'un polynôme de la forme $X^p-X-b$, où $b ∈ k$,
s'écrit $β=i α + λ$ où $i$ est un entier non nul inférieur à $p$ et
$λ$ appartient à $k$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Comme nous l'avons déjà fait dans le chapitre \XXX nous
noterons parfois $\root ℘ \of a$ une racine quelconque de l'équation
$X^p-X=a$.

\begin{lemme2}\label{trace dans AS}
$\Tr_{K\bo k}(α^i)=0$ pour $0 ≤ i <p-1$ et $\Tr_{K\bo k}(α^{p-1})=-1$
\end{lemme2}

\begin{démo}
En effet, $\Tr_{K\bo k}(α^i)=∑_{λ ∈ 𝐅_p}(α + λ)^i$ et
$∑_{λ ∈ 𝐅_p} λ^i=0$ si $0 ≤ i < p-1$ et $-1$ si $i=p-1$. (On utilise
le fait que le groupe multiplicatif $𝐅_p^×$ est cyclique d'ordre $p-1$.)
\end{démo}

\subsection{Démonstrations}
\subsubsection{Démonstration de la proposition \ref{extension AS est de groupe Z sur p}}
La séparabilité du polynôme $f$ résulte du fait
que sa dérivée est $-1$, trivialement première à $f$.
Soit $K$ un corps de décomposition de $f$. Notons $Π$ son groupe
de Galois et fixons une racine $α$ de $f$ dans $K$ de sorte
que $℘(α)=a$.
L'application $℘$ étant additive de noyau $𝐅_p$,
le polynôme $f$ se décompose alors dans $K[X]$ en un produit
\[
f(X)=∏_{β ∈ \root℘\of a} (X-β)= ∏_{ζ ∈ 𝐅_p} (X-(ζ + α)).
\]
Soit $σ ∈ Π$. Il résulte de l'observation précédente
qu'il existe un (unique) élément $ζ_σ$ de $𝐅_p ⊆ k$ tel
que
\[
σ(α)=ζ_σ + α.
\]
Comme $τ(ζ)=ζ$ pour chaque $τ ∈ Π$ et chaque $ζ ∈ 𝐅_p ⊆k$,
on a
\[
ζ_{τ σ}α = τ σ(α)=ζ_σ + ζ_τ + α :
\]
l'application $σ ∈ Π ↦ ζ_σ
∈ 𝐅_p$ est un morphisme de \emph{groupes}. Ce morphisme
est indépendant du choix de $α$ car si $β=ζ + α$ est une autre racine,
$σ(β)-β=(σ(ζ)-ζ) + (σ(α)-α)=σ(α)-α$ car $ζ$ appartient à $k$.
Montrons que le caractère d'Artin-Schreier est \emph{injectif} ;
cela démontrera que $Π$, étant isomorphe à un sous-groupe
de $𝐅_p$, est soit trivial soit cyclique d'ordre $p$. Il suffit
de démontrer que si $σ(α)=τ(α)$, alors $σ=τ$. Or
$k(\{ζ + α\}_{ζ ∈ 𝐅_p})=k(α)$ de sorte que $K$ est en fait
engendré sur $k$ par $α$. Les $k$-automorphismes de $K$ sont
donc caractérisés par l'image de $α$. Ceci achève la démonstration
de (i) et (ii). Considérons maintenant le troisième point.
La première partie de l'énoncé est conséquence immédiate du fait
que $f$ est scindé dans tout corps de rupture.
Soit maintenant $β$ un élément primitif racine d'un polynôme d'Artin-Schreier
comme dans l'énoncé et soit $σ$ un générateur de $Π$. Il existe un entier $i$ tel que
$σ(β)=β+i$. Il en résulte que $β-i α$ est $σ$-invariant donc dans $k$. CQFD.

\subsubsection{Première démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i)}
Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé, de groupe
de Galois noté $Π$, supposé cyclique d'ordre $p$.
Fixons un générateur $σ$. Considéré comme
endomorphisme $k$-linéaire de $K$ dans $K$,
son polynôme minimal est $X^p-1$. Cela résulte
du fait que $σ^p=\Id_K$ et que $p$ est minimal pour
cette propriété. L'égalité $X^p-1=(X-1)^p$ dans l'anneau
$k[X]$ de caractéristique $p$ montre que $𝔫=σ-\Id_K$ est un endomorphisme
nilpotent du $k$-espace vectoriel $K$ de dimension $p$.
Le noyau de $𝔫$ n'est autre que $\Ker(σ-\Id_K)=\Fix_Π(K)=k$ : c'est une
droite\footnote{On peut en déduire que l'indice de nilpotence de $n$ est exactement $p$.
Ceci résulte également du fait qu'une relation
$0=(σ-\Id_K)^r=∑₀^r \binom{r}{i} σ^i $ (où $r<p$) contredirait
l'indépendance linéaire des éléments de $Π$ (\refext{CG}{indépendance linéaire
des automorphismes}).}. La dimension de $K$ sur $k$ étant $p ≥ 2$,
il en résulte qu'il existe un élément $α$ de $K$ tel que $𝔫²(α)$
soit nul mais pas $𝔫(α)$. En d'autres termes, $𝔫(α)=σ(α)-α$
appartient à $k=\Ker(𝔫)-\{0\}$. Quitte à multiplier $α$ par
un scalaire de $k$, on a donc démontré l'existence d'un
élément $α$ de $K$ tel que $σ(α)=1+α$.
L'orbite de $α$ sous $Π=⟨σ⟩$ est d'ordre $p$ de sorte que $K=k(α)$.
Enfin, $σ(α^p-α)=(1+α)^p-(1+α)=0$ de sorte que $a:=℘(α)$ appartient
à $k$. CQFD.

\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i)}\label{AS 2}
Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé et soit
$σ$ un générateur de son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $p$.
Soit $x ∈ K$ tel que $K=k(x)$ et posons pour chaque $i ∈ [0,p-1]$,
$x_i :=σ^i(x)$. Les $x_i$ étant deux-à-deux distincts, il résulte
du théorème de Vandermonde que le déterminant $\det(x_i^j)_{0 ≤ i,j ≤ p-1}$
est non nul. En particulier, il existe un entier $r ∈ [0,p-1]$ tel
que la somme $s=∑_{0 ≤ i ≤ p-1} x_i^r$ soit non nulle.
Posons $α=\frac{-1}{s} ∑_{0 ≤ i ≤ p-1} i x_i^r$. On vérifie immédiatement
que $σ(α)=α+1$. On conclut comme ci-dessus. Cet argument
est l'argument original de E. Artin et O. Schreier.

\subsubsection{Troisième démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i)}\label{AS 3}

Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
son groupe de Galois, supposé cyclique d'ordre $p$,
et fixons un générateur $σ$.
Soit $c:Π → 𝐅_p$ l'unique (iso)morphisme de groupes
envoyant $σ$ sur $1$. C'est en particulier un
$1$-cocycle à valeurs dans le groupe additif de $K$
(\refext{Formes}{généralités 1-cocycles}).
D'après \refext{Formes}{H1Ga=0}, un tel cocycle est \emph{trivial} : (en
notations additives) il existe $α ∈ K$
tel que $c(τ)=-α + {^τ α}$. En particulier $σ(α)=1+α$.
On a alors $℘(α)∈ k$ et $K=k(α)$. CQFD.

\subsubsection{Quatrième démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (i) (esquisse)}\label{AS 4}

Soit $K\bo k$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$ son groupe de Galois, supposé
cyclique d'ordre $p$, et fixons un générateur $σ$.
L'isomorphisme $ι:Π ⥲ 𝐙/p$, $σ ↦ 1$ (ou plutôt son inverse) et l'action naturelle de $Π$
font de $K$ un $𝐙/p$-torseur sur $k$, trivialisé par $K\bo k$
(\refext{Formes}{extension galoisienne groupe G est un
G-torseur}). L'ensemble $\mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼$
des classes d'isomorphismes de tels torseurs est naturellement isomorphe au groupe
de cohomologie $H¹(K\bo k,𝐙/p)=\Hom(Π,𝐙/p)$ ;
cet isomorphisme envoyant $[K]$ sur $ι$.
Le point clef est que l'on peut \emph{calculer} le groupe
$H¹(K\bo k,𝐙/p)$. En effet, la suite exacte de $Π$-modules abéliens
\[
0 → 𝐙/p → K \dessusdessous{x \dessusdessous{℘}{↦} x^p-x}{→} ℘(K) → 0
\]
induit une suite exacte
\[
H⁰(K\bo k,K) → H⁰(K\bo k,℘(K)) \dessusdessous{δ}{→} H¹(K\bo k,𝐙/p) → H¹(K\bo k,K).
\]
D'après \refext{Formes}{H1Ga=0}, le groupe $H¹(K\bo k,K)$ est trivial. D'autre part,
$H⁰(K\bo k,K)$ est, par définition, $\Fix_Π(K)$, lui-même égal
à $k$ et $H⁰(K\bo k,℘(K))=k ∩ ℘(K)$ pour la même raison.
Le morphisme cobord induit donc un isomorphisme
\[
(k ∩ ℘(K))/℘(k) ⥲ H¹(K\bo k,𝐙/p) ≃ \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼.
\]
Par définition du cobord (\refext{formes}{}), il envoie
la classe d'un élément $a$ de $k ∩ ℘(K)$
sur le caractère d'Artin-Schreier $χ_a: σ ↦ σ(\root ℘\of a)-\root ℘\of a$
(où $\root ℘\of a$ est une racine quelconque de $℘(X)=a$) appartenant à
$\Hom(Π,𝐙/p)$. Ainsi, il existe $a$ tel que
$ι$ soit égal au caractère d'Artin-Schreier $χ_a$.
Ceci signifie que $ι(σ)=1$ est égal à $σ(α)-α$
où $α=\root ℘\of a$.
CQFD.

\begin{remarques2}
\begin{itemize}
\item Le lecteur constatera que cette méthode donne aussi
une démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii).
\item On peut vérifier que le morphisme composé
\[(k ∩ ℘(K))/℘(k) → \mathtextrm{Tors}(K\bo k,𝐙/p)/∼\]
envoie la classe de $a$ sur la classe du $𝐙/p$-torseur
$k[X]/(X^p-X-a)$. % \XXX à faire
\end{itemize}
\end{remarques2}

\subsubsection{Démonstration de \ref{extension Z sur p-AS} (ii)}
Soient $K\bo k$, $a$ et $b$ comme dans l'énoncé. Notons $Π$
le groupe de Galois de l'extension $K\bo k$, supposé cyclique d'ordre $p$.
Choisissons également des racines $℘$-ièmes $α$ et $β$ de $a$ et $b$ dans $K$ respectivement.
Ces éléments étant primitifs pour l'extension $K\bo k$,
il existe deux éléments non nuls $ζ_a$ et $ζ_b$ de
du sous-corps premier $𝐅_p$ tels que $σ(α)=ζ_a + α$ et $σ(β)=ζ_b + β$.
Soit $r ∈ 𝐍$, nécessairement premier à $p$, tel que $ζ_β=r ζ_α$. On
a donc $σ(rβ)=ζ_a + rβ$ et, par conséquent, $σ(α - β^r)=α - β^r$.
Ainsi, $x=α-rβ$ appartient à $k$. En appliquant le morphisme
$℘$ à cette identité, on obtient $℘(x)=a-rb ∈ ℘(k)$ où $r$ est inversible
dans $k$. La conclusion en résulte aussitôt.

\subsection{Amplification : extensions abéliennes d'exposant $p$}

Rappelons qu'une extension $K\bo k$ est dite abélienne d'exposant divisant $p$
si elle est galoisienne de groupe abélien tué par $p$.
La généralisation suivante de \ref{extension AS est de groupe Z sur p}
permet de construire de telles extensions.

\begin{lemme2}
Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et $A$ une partie $k$.
Tout corps de décomposition de la famille de polynômes
$X^p-X-a$, $a ∈ A$, est une extension abélienne de $k$ d'exposant
divisant $p$.
\end{lemme2}

On note habituellement $k(\root ℘ \of A)$ un tel corps de décomposition
et $\root ℘ \of A$ l'ensemble de ses éléments $α$ tels que $α^p-α$ appartienne à $A$.

\begin{démo}
Comme on l'a vu en \emph{loc. cit.}, les polynômes $X^p-X-a$ sont
séparables de sorte que l'extension $k(\root ℘ \of A)\bo k$ est galoisienne.
Notons $Π$ son groupe de Galois. Fixons $α ∈ \root ℘ \of A$.
Pour chaque $σ$ dans $Π$, il existe $ζ_{σ,α}$ tel que $σ(α)=ζ_{σ,α} + α$.
La chaîne d'égalités
\[
τ σ (α)=τ(ζ_{σ,α} + α)=ζ_{σ,α} + τ(α)=ζ_{σ,α} +  ζ_{τ,α} + α =ζ_{τ,α} + ζ_{σ,α} + α,
\]
valable pour chaque $α$, montre que $σ$ et $τ$ commutent.
D'autre part les égalités $σ^p(α)=pζ_{σ,α}+α=α$, valables
pour chaque $α$, montrent que $σ^p=1$. CQFD.
\end{démo}

Ici encore, le fait remarquable est que toutes les extensions
abéliennes d'exposant divisant $p$ sont obtenues ainsi.

\begin{théorème2}\label{AS général}
Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$ et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item L'application $A ↦ K_A=k(\root ℘ \of A)$ est une bijection
croissante entre l'ensemble des sous-groupes de $k$
contenant $℘(k)$ et l'ensemble des sous-extensions
abéliennes de $Ω$ d'exposant divisant $p$. La bijection
réciproque est donnée par $K ↦ A_K=℘(K) ∩ k$.
\item Soit $A$ un sous-groupe de $k$ contenant $℘(k)$.
Le morphisme
\[
\Gal(k(\root ℘ \of A)\bo k) → \Hom(A/℘(k),𝐙/p)
\]
\[
σ ↦ \big( a \mod{} ℘(k) ↦ σ(\root ℘ \of a) - \root ℘ \of a\big)
\]
est un isomorphisme. En particulier
\[
[k(\root ℘ \of A):k]=(A: ℘(k)).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\subsubsection{Démonstration du théorème \ref{AS général}}
(\emph{Mutatis mutandis}, la démonstration est identique à celle
de \ref{Kummer général}.)
Soit $K$ une sous-extension de $Ω \bo k$, abélienne \emph{finie} d'exposant
divisant $p$. Considérons le morphisme $A_K \bo ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$
envoyant la classe de $a ∈ A_K$ sur le caractère
d'Artin-Schreier correspondant :
$σ ↦ σ(\root ℘ \of a) - \root ℘ \of a$. Ce morphisme est
injectif car si $σ(\root ℘ \of a)=\root ℘ \of a$ pour tout $σ$, on a
$\root ℘ \of a ∈ k$, c'est-à-dire $a ∈ ℘(k)$. Ce morphisme est également
\emph{surjectif}. En effet, si $χ$ est un caractère du groupe de Galois
à valeurs dans $𝐅_p$, il existe d'après \ref{AS 3} un $α ∈ K$ tel que $χ(σ)=σ(α)-α$.
Sa puissance $℘$-ième appartient nécessairement à
$k$, d'où $α ∈ A_K$. (L'isomorphisme
$A_K \bo  ℘(k) → \Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ est également
démontré en \ref{AS 4}, si l'on se souvient de
l'identification entre $\Hom(\Gal(K\bo k),𝐙/p)$ et $H¹(K\bo k,𝐙/p)$.)
Notons en particulier que les groupes $A_K \bo  ℘(k)$ et $\Gal(K\bo k)$
ont même cardinal ; on utilise ici l'égalité $\# \Gal(K\bo k) = \# D\big(\Gal(K\bo k)\big)$
(\ref{bidualité Zsurn modules finis}).

Soit $K ′=k(\root ℘ \of A_{K})$. On a trivialement $K ′ ⊆ K$ et par conséquent $A_{K ′} ⊆ A_K$.
Cette dernière inclusion est une égalité car $A_{K ′}$ contient visiblement $A_K$.
Les groupes $\Gal(K\bo k)$ et $\Gal(K ′ \bo k)$ ayant même cardinal — celui de
$A_K \bo ℘(k)$ —, on a également $K = K ′$.
Ceci montre que toute sous-extension abélienne finie d'exposant divisant $p$ de
$Ω$ est de la forme $k(\root ℘ \of A)$, où $A$ est comme dans l'énoncé.
Notons $D_p=\Hom(\tiret,𝐙/p)$. L'isomorphisme $A_K \bo ℘(k)  ⥲ D_p(\Gal(K\bo k))$
induit un isomorphisme $D_pD_p(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_p(A_K \bo ℘(k) )$.
On vérifie immédiatement que l'isomorphisme composé
$\Gal(K\bo k) ⥲ D_pD_p(\Gal(K\bo k)) ⥲ D_p(A_K \bo ℘(k))$
n'est autre que l'application $σ ↦ (a \mod ℘(k) ↦ σ(\root ℘ \of a) - \root ℘ \of a)$.
Pour achever la démonstration du théorème dans le cas fini,
il faut vérifier que si $A$ est comme en (i) et $K_A:=k(\root ℘ \of A)$,
on a l'égalité entre $A$ et $A_{K_A}:=℘(K_A) ∩ k$.
L'inclusion $A ⊆ A_{K_A}$ est claire. Considérons la suite exacte \[
1 → A/℘(k)  → A_{K_A}/℘(k) → A_{K_A}/A → 1
\]
ainsi que la suite exacte induite par dualité
\[
1 → D_p(A_{K_A}/A) → D_p(A_{K_A}/℘(k)) →  D_p(A/℘(k))
\]
où la seconde flèche est le morphisme de restriction.
Le morphisme composé $\Gal(K_A\bo k) ⥲  D_p(A_{K_A}/℘(k)) → D_p(A/℘(k))$
a pour noyau l'ensemble des automorphismes agissant trivialement sur $\root ℘ \of A$,
c'est-à-dire l'identité de $K_A$. Il en résulte que $D_p(A_{K_A}/℘(k)) →
D_p(A/℘(k))$ est injectif et, finalement, $D_p(A_{K_A}/A)=\{0\}$.
D'après \ref{Zsurn dual nul implique nul} ci-dessus, on a donc
$A=A_{K_A}$. CQFD.

Cas général. Soit $K\bo k$ comme en (i). Le morphisme $\Gal(K\bo k) → D_p(A_K
\bo ℘(k))$ est un isomorphisme : cela résulte d'un passage à la limite
sur les sous-extensions finies de $K$. L'inclusion \emph{a priori} $k(\root ℘
\of A_K ) ⊆ K$ est une égalité ; cela résulte du fait que le corps $k(\root ℘
\of A_K)$ contient, d'après ce qui précède, toutes les sous-$k$-extensions finies de $K$.
Enfin, la démonstration ci-dessus de l'égalité $A = A_{K_A}$ s'étend
au cas général, lemme \ref{Zsurn dual nul implique nul} étant valable
sans hypothèse de finitude.

\subsection{Amplification : extension de groupe $𝐙/p²$}

\subsubsection{}Soit $p$ un nombre premier et soit $K \bo k$ une extension
galoisienne de groupe de Galois $Π$ cyclique d'ordre $p²$. Ce groupe
possède un unique sous-groupe d'ordre $p$. La sous-extension
correspondante de $K\bo k$ est de la forme $k(x)$ où
$x$ est racine d'une équation $x^p-x=a$ où $a$ appartient à $k$.
De même, l'extension $K\bo k(x)$, étant
galoisienne d'ordre $p$, est engendrée par un élément
$y$ satisfaisant une équation $y^p-y=b$ où $b$
est un élément de $k(x)$, que l'on peut donc écrire
sous la forme $b=q(x)$ pour un unique polynôme $q$
à coefficients dans $k$ de degré inférieur ou égal à $p-1$.

Soit $σ$ un générateur de $Π$. Le groupe de Galois
de $k(x)\bo k$ est constitué des restrictions à
$k(x)$ des éléments $\Id,σ,σ², … ,σ^{p-1}$ de $Π$.
La racine conjuguée $σ(x)$ de $x$ est égale à $x+ζ$ où $ζ ∈ 𝐅_p-\{0\}$.
Quitte à remplacer $σ$ par une puissance d'ordre premier à $p$
(un autre générateur de $Π$) on peut supposer que $σ(x)=x+1$.
Appliquant $σ$ à l'équation $y^p-y=q(x)$, on obtient
donc $σ(y)^p-σ(y)=q(x+1)$. D'après \ref{extension AS est de groupe Z sur
p} (iii), il existe un élément $ψ ∈ 𝐅_p-\{0\}$ et un polynôme $s ∈ k[X]$
de degré strictement inférieur à $p$ tels que $σ(y)=ψ ⋅ y + s(x)$.
Il en résulte par récurrence sur $i$ que l'on a l'égalité
\[
σ^i(y)=ψ^i y + ψ^{i-1} s(x) + ψ^{i-2} s(x+1) + \cdots + s(x+i-1).
\]
D'autre part, $σ^p$ fixe $k(x)$ donc appartient au groupe
de Galois de l'extension d'Artin-Schreier $k(y)\bo k(x)$ si bien
qu'il existe un $φ ∈ 𝐅_p-\{0\}$ pour lequel $σ^p(y)=y+φ$.
En comparant cette égalité avec l'égalité
précédente pour $i=p$, on trouve :
\[
ψ^p y + ψ^{p-1} s(x) + \cdots + s(x+p-1)=y+φ.
\]
On en tire $ψ^p=1$, d'où $ψ=1$, et $s(x) + \cdots + s(x+p-1)=φ$.
Prenant la trace de $k(x)$ à $k$ et utilisant les égalités
$\Tr_{k(x)\bo k}(x^i)=0$ pour $0 ≤ i <p-1$ et $\Tr_{k(x)\bo k}(x^{p-1})=-1$
(cf. \ref{trace dans AS} \emph{supra}),
on en déduit que $s(x)=-φ x^{p-1} + (\textrm{termes de plus bas degré})$.
Quitte à remplacer $y$ par $-y/φ$, on peut donc supposer :
\begin{enumerate}
\item $σ(y)=y+x^{p-1}+t(x)$, où $t ∈ k[X]$ est de degré strictement inférieur
à $p-1$ ;
\item $σ^p(y)=y-1$.
\end{enumerate}

Soit $u ∈ k[X]$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$
tel que $u(X+1)-u(X)=t(X)$. (Un tel polynôme existe et est unique
à une constante additive près.) Il résulte de l'égalité $σ(u(x))=u(x+1)$
que l'on peut supposer, en remplaçant $y$ par $y+u(x)$, que l'on a $t=0$, c'est-à-dire :
\[
σ(y)=y+x^{p-1}.
\]
Appliquons $σ$ à l'équation $y^p-y=q(x)$. On en tire :
\[
q(x+1)=(y+x^{p-1})^p-(y+x^{p-1})=q(x)+(x+a)^{p-1}-x^{p-1},
\]
soit : $q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}$.
On a donc montré que toute extension de $k$ de groupe $𝐙/p²$
est obtenue par extensions successives d'Artin-Schreier d'un type
particulier : $x^p-x=a$ puis $y^p-y=q(x)$ où $q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}$.

\subsubsection{Réciproque} Soit $k$ un corps de caractéristique $p$ et soit $Ω$
une clôture algébrique de $k$. Considérons :
\begin{enumerate}
\item $a ∈ k-℘(k)$ ;
\item $x ∈ Ω$ une racine du polynôme irréductible $X^p-X-a ∈ k[X]$ ;
\item $q ∈ k[X]$ un polynôme de degré inférieur ou égal à $p-1$
satisfaisant l'équation aux différences
\[
q(x+1)-q(x)=(x+a)^{p-1}-x^{p-1}.
\]
\end{enumerate}

Posons
\[
P(Y)=∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q(x+ζ)\big) ∈ Ω[X].
\]

\begin{lemme2}
Le polynôme $P$ est séparable, appartient à $k[X]$ et y est irréductible.
\end{lemme2}

\begin{démo}
L'appartenance de $P$ à $k[X]$ est claire : ses coefficients sont visiblement
dans $k(x)$ et $P$ est invariant par $\Gal(k(x)\bo k)=⟨ σ:x ↦ x+1 ⟩$.
Soit $y$ une racine de $P$ et soit $b=y^p-y$. Les polynômes
$Y^p-Y-b$ étant séparables (pour chaque $b$), il suffit
de vérifier que les coefficients constants $q(x+ζ)$
des facteurs de $P$ sont deux-à-deux distincts.
Or, l'ensemble des $q(x+ζ)$ est l'orbite sous $\Gal(k(x)\bo k)$
de l'élément $q(x)$. Cet élément n'appartient pas à $k$ car $q$ n'est pas
constant ($a≠0$). Démontrons enfin l'irréductibilité de $P$ sur $k$.
Soit $y$ une racine de $Y^p-Y-q(x)$. Par construction $q(x)$ appartient
à $k(y)$. Or, puisque $q(x)$ n'est pas dans $k$, $k(q(x))=k(x)$
pour des raisons de degré. Il en résulte que $k(x)$ est contenu dans $k(y)$.
Montrons que cette inclusion est \emph{stricte}. Supposons
$y=r(x)$ où $r$ est un polynôme de $k[X]$ de degré inférieur
ou égal à $p-1$. Il résulte de l'égalité $x^p=x+a$
que $y^p=r^{(p)}(x+a)$ où $r^{(p)}$ est le polynôme obtenu à partir
de $r$ par élévation des coefficients à la puissance $p$.
Considérons le coefficient de $x^{p-1}$ des termes extrêmes
de la double égalité $q(x)=y^p-y=r^{(p)}(x+a)-r(x)$.
On obtient $a$ à gauche (cela résulte de l'équation aux différences
satisfaite par $q$) et $c^p-c$ à droite, où $c$ est le coefficient
de $x^{p-1}$ dans $r(x)$. C'est absurde car $a$ n'appartient par hypothèse
pas à $℘(k)$. Ainsi, l'inclusion $k(x) ⊆ k(y)$ est stricte et $y$ est donc de
degré $p²$ sur $k$. CQFD.
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soit $y ∈ Ω$ une racine du polynôme $P$ dans $Ω$.
L'extension $k(y)\bo k$ est galoisienne de groupe cyclique d'ordre $p²$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Commençons par observer que si pour chaque $ζ ∈ 𝐅_p$,
on note $y_ζ$ une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ)$ dans $Ω$,
l'ensemble des racines de $P$ est le sous-ensemble
$\{y_ζ + ψ : (ζ,ψ) ∈ (𝐅_p)²\}$ de $Ω$. On veut montrer
qu'il est contenu dans $k(y₀)$. (On peut supposer $y=y₀$.)
Or, il résulte de l'identité $(x+ζ)^{p(p-1)}=(x+a+ζ)^{p-1}$ et
de l'équation aux différences satisfaite par $q$ que si $y_ζ$ est une racine
comme ci-dessus, $y_ζ + (x+ζ)^{p-1}$ est une racine de $Y^p-Y-q(x+ζ+1)$.
Il est donc clair que l'ensemble des racines de $P$ est contenu dans $k(y₀)$.

Comme on vient de le voir, $y+x^{p-1}$ est une racine de $P$.
Notons $σ$ l'unique $k$-automorphisme de $K=k(y)$ envoyant $y$ sur $y+x^{p-1}$.
Le groupe de Galois $Π$ de $K$ sur $k$ étant d'ordre $p²$, il nous suffit
de montrer que $σ^p$ est non trivial pour s'assurer que $Π$ est cyclique.
Calculons : $σ(y)^p=(y+x^{p-1})^p=y^p+(x^p)^{p-1}=y^p+(x+a)^{p-1}$.
Il en résulte que $σ(q(x))=σ(y^p-y)$ est égal à $q(x)+(x+a)^{p-1}-x^{p-1}=q(x+1)$.
Comme $k(q(x))=k(x)$, on en déduit que $σ(x)=x+1$.
Ceci nous permet de vérifier par récurrence les égalités :
\[
σ^i(y)=y+x^{p-1}+(x+1)^{p-1}+\cdots+(x+i-1)^{p-1}.
\]
En particulier, $σ^p(y)=y+\Tr_{k(x)\bo k}(x^{p-1})=y-1≠y$.
CQFD.
\end{démo}

En résumé, nous avons démontré le théorème suivant.

\begin{théorème2}[\cite{Kennzeichnung@AS}, théorème 3]\label{AS Z sur p carré}
Soient $k$ un corps de caractéristique $p>0$, $a ∈ k- ℘(k)$,
$Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $x$ une racine du polynôme
$X^p-X-a$ dans $Ω$. Pour tout polynôme $q_{AS} ∈ k[X]$
tel que $q_{AS}(X+1)-q_{AS}(X)=(X+a)^{p-1}-X^{p-1}$, et toute
racine $y_{AS}$ du polynôme $Y^p-Y-q_{AS}(x)$, la sous-extension
$k(y_{AS})$ de $Ω$ contient $k(x)$ et est galoisienne de groupe
cyclique d'ordre $p²$ sur $k$. Réciproquement toute telle extension est obtenue
de cette manière. De plus, $σ(x)=x+1$ et $σ(y_{AS})=y_{AS}+x^{p-1}$. \XXX
\end{théorème2}

Ces résultats ont été généralisés dans \cite{Cyclic@Albert}
au cas des extensions de groupe $𝐙/p^n$ avec $n ≥ 1$ quelconque.
Peu après (1937), la construction A. Adrian Albert fut grandement simplifiée
par Ernst Witt, qui introduisit les vecteurs portant désormais son
nom et faisant l'objet de la section suivante.

\begin{corollaire2}
Toute extension galoisienne de groupe $𝐙/p$ d'un corps de caractéristique $p>0$
est contenue dans extension de groupe $𝐙/p²$.
\end{corollaire2}

\begin{remarque2}
Ce fait — remarquable — est un cas particulier de la nullité
des $H^i(G_k,𝐙/p)$ pour $i>1$ cf. \refext{versel}{démo cohomologique extensions
quaternioniques}, particulièrement \refext{versel}{obstruction cohomologique
relèvement} et \refext{versel}{lemme relèvement et cohomologie}). \XXX
\end{remarque2}

\begin{corollaire2}
Le groupe de Galois absolu d'un corps de caractéristique positive
est sans torsion. En particulier, il est infini dès lors qu'il est non trivial.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}



\section{¶ Vecteurs de Witt et théorie d'Artin-Schreier-Witt}\label{vecteurs Witt et ASW}

Nous avons donné en \refext{Versel}{KAS I} une démonstration
du théorème d'Artin-Schreier s'appuyant d'une part
sur le théorème de la base normale et, d'autre part, sur la structure
des unités des anneaux $A[X]/X^p$, où $A$ est une $𝐅_p$-algèbre
variable. Cet argument étant de nature générale, on se convainc aisément
du fait — dont on trouvera tous les détails ci-dessous —
que l'étude de la structure des groupes $U_{p^r}(A)=(A[X]/{X^{p^r}})^×$
est la clef de voute d'une méthode menant à la description
des extensions galoisiennes de groupe $𝐙/p^r$ ($r ≥ 1$ quelconque)
d'un corps de caractéristique $p>0$.

Oubliant momentanément notre motivation initiale, nous allons commencer par
introduire les (gros) vecteurs de Witt sans référence à un nombre premier $p$.
Nous reviendrons ensuite progressivement au thème central de ce chapitre.
Au prix d'une certaine longueur, nous avons essayé de rendre la présentation aussi naturelle que possible
et d'éviter le recourt à des définitions ou constructions \emph{ad hoc}.

\subsection{(Gros) vecteurs de Witt : définitions et premières propriétés}\label{gros Witt}
\subsubsection{Notations}
Pour chaque entier $n ≥ 0$ et chaque anneau $A$, notons $A_n$
le quotient $A[X]/X^{n+1}$ de l'anneau de polynômes $A[X]$.
On s'intéresse à la structure des unités de $A_n$, pour $A$ variable,
c'est-à-dire à la structure du \emph{foncteur en groupes abéliens} $U_n$, envoyant
un anneau $A$ sur le groupe multiplicatif $A_n^×$ des unités de $A_n$
et un morphisme d'anneaux $A → B$ sur le morphisme induit $A_n^× → B_n^×$.
Un premier « dévissage » est aisé : le foncteur $U_n$
est isomorphe au foncteur $W_n × \Gm$, où $W_n$ (resp. $\Gm$) envoie un anneau $A$ sur le groupe abélien
$\Ker(A_n^× → A^×)=1+X A_n$ (resp. $A^×$). En effet, pour chaque anneau $A$,
on dispose d'un isomorphisme canonique
\[A_n^× → (1+XA_n) × A^×\]
\[f ↦ (f/f(0),f(0)).\]
\begin{remarque2}
Plus généralement, si $F$ est un \emph{foncteur} des anneaux
vers les groupes commutatifs, on pourrait considérer les « courbes de longueurs
$n$ sur $F$ » définies par la formule $C_nF(A)=\Ker(F(A_n)→ F(A))$. Le cas
considéré ici est celui du foncteur « groupe multiplicatif » $\Gm$.
Pour $n=1$, on obtient l'« espace tangent » à $F$ en l'identité,
qui est une généralisation de la construction de l'algèbre de Lie
d'un groupe algébrique.
\end{remarque2}
Il est également commode de « passer à la limite sur $n$ » c'est-à-dire de considérer les anneaux de \emph{séries
formelles}\index{séries formelles} \[A_∞=A[[X]]=\{a₀+a₁X+a₂X²+\cdots \}\]
et le foncteur
\[
W_∞:A ↦ 1+X A[[X]]=\Ker(A_∞^× → A^×)
\]
correspondant.

\subsubsection{Digression sur les séries formelles}

Topologie, convergence de sommes et de produits infinis.

\XXX 

\begin{définition2}
On appelle \emph{foncteur des vecteurs de Witt} (resp. des \emph{vecteurs
de Witt tronqués à l'ordre $n$}) le foncteur $W_∞$ (resp. $W_n$).
\end{définition2}

Soit $n ∈ 𝐍 ∪ \{∞\}$. Les groupes $W_n(A)$ étant abéliens, et également
amenés à être munis (cf. \emph{infra}) d'une structure d'anneau, nous noterons
$⊕$ leur loi de groupe. Ainsi, nous appellerons par exemple
« multiplication par un entier $r$ » le morphisme $[r]:(W_n(A),⊕) → (W_n(A),⊕)$, $f ↦ f^r$
(pour $A$ variable).

\subsubsection{}Considérons la filtration descendante $(\mathtextrm{Fil}^iW_n)_{0 < i ≤ n+1}$ ($i
∈ 𝐍$) de $W_n$ définie par les sous-groupes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A)=1+X^i A_n$.
On a $\mathtextrm{Fil}^1W_n=W_n$ et $⋂_i \mathtextrm{Fil}^iW_n=\{1\}$.
Pour chaque $i>0$, les applications évidentes $\mathtextrm{Fil}^iW_n(A) → A$, $1+a X^i+\cdots
↦ a$ induisent un isomorphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n
→ \Ga$, où l'on rappelle que l'on note $\Ga$ le foncteur
envoyant un anneau $A$ sur le groupe additif $(A,+)$.
Le foncteur en groupes commutatifs $W_n$ est donc extension successive
du groupe additif $\Ga$. On dit que $W_n$ est (un foncteur en groupes) « unipotent ».
Bien entendu, les extensions ne sont \emph{a priori} pas
nécessairement triviales de sorte qu'il se pourrait
que $W_n$ ne soit pas isomorphe, comme foncteur en groupes, à $\Ga^n$.
Notons cependant qu'il en est ensemblistement ainsi :
l'application envoyant $1+a₁X+a₂X²+\cdots ∈ W_n(A)$ sur $(a₁,a₂,
\cdots) ∈ A^n$ est bijective pour chaque $A$.
La remarque suivante fournit, à $A$ fixé, quantité
d'autres bijections entre $W_n$ vu comme foncteur en \emph{ensembles}
et le foncteurs en ensembles $𝐀^n:A ↦ A^n$. En caractéristique nulle, il en existe
qui sont des \emph{isomorphismes} de groupes (cf. \ref{Wn en caractéristique
nulle}).

\begin{remarque2}\label{groupe unipotent est ensemblistement trivial}
Soit $W$ un groupe abstrait et $(\mathtextrm{Fil}^iW)_{0 ≤ i < r}$ une filtration décroissante finie
sur $W$ telle que $F⁰W=W$ et $\mathtextrm{Fil}^rW=\{1\}$, à gradués
$\mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)=\mathtextrm{Fil}^iW/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W$ isomorphes à un
même groupe $G$. Chaque choix de sections \emph{ensemblistes} $s_i$ aux morphismes
$\mathtextrm{Fil}^i(W) ↠ \mathtextrm{gr}^{\mathtextrm{Fil}}_i(W)⥲ G$ induit une bijection $G^r ⥲ W$,
$(g₀, …,g_{r-1}) ↦ s₀(g₀)\cdots s_{r-1}(g_{r-1})$.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}\label{Wn en caractéristique nulle}
La restriction $W_{n|𝐐}$ du foncteur en groupes $W_n$ aux $𝐐$-algèbres est isomorphe
au foncteur $\Ga^n$. En particulier, il existe pour chaque $𝐐$-algèbre $A$ un
isomorphisme de groupes $(W_n(A), ⊕) ⥲ (A^n,+)$.
\end{proposition2}

(Pour une généralisation, cf. \ref{structure Wn sur Z(p)}.)
C'est là un fait général\footnote{« Tout groupe algébrique
unipotent sur un corps de caractéristique nulle est isomorphe
à une puissance du groupe additif ».} dont nous allons donner
ici une démonstration \emph{ad hoc}, reposant sur un lemme
qui sera utile pour notre étude. (Rappelons
que l'on s'intéresse particulièrement aux $W_n(A)$ lorsque
$A$ est une \emph{$𝐅_p$-algèbre}.)

\begin{lemme2}\label{bijections entre Wn et An}
Soit $n ∈ 𝐍 ∪ \{∞\}$.
\begin{enumerate}
\item Tout élément $f=1+∑_{i=1}^{n} a_i x^i$ de $W_n(A)$ s'écrit
de manière unique sous la forme $∏_{i=1}^{n}(1-α_i x^i)$
où chaque $α_i$ est un élément de $A$ obtenu
en évaluant en $(a₁, …,a_i)$ des polynômes à coefficients entiers
indépendants de l'anneau $A$.
\item Soient $k$ un anneau, $u ∈ k^×$ et $E=1+uX+\cdots ∈ k[[X]]$ une série
formelle. Pour toute $k$-algèbre $A$, chaque élément $f=1+∑_{i=1}^{n} a_i x^i$ de $W_n(A)$
s'écrit de manière unique sous la forme $∏_{i=1}^{n}E(α_i x^i)$
où chaque $α_i$ est un élément de $A$ obtenu en évaluant en $(a₁, …,a_i)$ des polynômes à coefficients
dans $k$ indépendants de la $k$-algèbre $A$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

Remarquons que les applications $α ↦ E(\frac{α}{u} x^i)$ sont des sections
(fonctorielles, ensemblistes) du morphisme $\mathtextrm{Fil}^iW_n/\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_n → \Ga$.
L'énoncé (ii), dont (i) est le cas particulier $k=𝐙$ et $E(X)=1-X$, est
donc une variante de la remarque \ref{groupe unipotent est
ensemblistement trivial}.

\begin{démo}
(i) Supposons $n$ fini.
L'égalité $1+a₁x+a₂x²+ \cdots + a_n x^n=(1-α₁x)(1-α₂x²)\cdots(1+α_n x^n)$
se réécrit sous la forme
\[
a_r=∑_{\substack{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s ≤ r \\  i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r}} (-1)^s α_{i₁}
\cdots α_{i_s}.
\]
L'unique solution est donnée par les formules (récursives) :
\[
α_r=a_r - ∑_{\substack{1 ≤i₁<i₂< \cdots < i_s<r \\ i₁+2 i₂ + \cdots s i_s=r}} (-1)^s α_{i₁}
\cdots α_{i_s}.
\]
Le cas $n=∞$ se démontre de même. (ii)
Supposons $n$ fini.
On suffit de montrer par récurrence sur $r ≤ n$ que
tout élément $f ∈ W_n(A)$ s'écrit $E(α₁X) \cdots E(α_r X^r) g_r$
où $g_r ∈ \mathtextrm{Fil}^{r+1}W_n(A)$, et les $α_i$ sont comme dans l'énoncé.
Cela résulte du fait que pour chaque $α ∈ A$, le quotient
d'une série $g=1+αX^{r+1}+ β X^{r+2}+\cdots $ par $E(\frac{α}{u} X^{r+1})$ appartient
à $ \mathtextrm{Fil}^{r+2}W_n(A)$ et que son coefficient en $X^{r+2}$
est un polynôme en $α$ et $β$ à coefficients dans $k$. (Ce polynôme
ne dépend que de $r$ et des coefficients de $E$.) Le cas $n=∞$ se démontre de même.
\end{démo}

\begin{démo}[Démonstration de la proposition \ref{Wn en
caractéristique nulle}]
On applique le lemme à $k=𝐐$ et $E(X)=\exp(X)$
en observant que $\exp(α_i X^i) ⊕ \exp(β_i X^i)=\exp((α_i+β_i) X^i)$.
\end{démo}

Si l'on ne restreint plus $W_n$ aux $𝐐$-algèbres
la structure du groupe $W_n$ est plus compliquée. Nous allons maintenant l'étudier
pour une classe d'anneaux contenant les $𝐅_p$-algèbres.

\begin{exercice2}
Montrer qu'en caractéristique $p>0$, il n'existe
pas de série $E(X)=1+uX+\cdots$ telle que $E(aX)E(bX)=E((a+b)X)$.
\end{exercice2}

\subsection{Verschiebung, Frobenius, séries $p$-typiques et
exponentielle de Artin-Hasse}
\subsubsection{}Considérons maintenant le foncteur $W_∞$, qui est la limite des
tronqués $W_n$. On souhaite en comprendre la structure, en tant que foncteur
en groupes abéliens ; il est donc naturel de considérer le groupe (non commutatif)
de ses endomorphismes. Si l'on parvient par exemple à construire
un idempotent non trivial $e$ de $\End(W_∞)$, on en déduira
une décomposition non triviale $W_∞=\Ker(e)×\Im(e)$. (Réciproquement,
toute décomposition non triviale de $W_n$ est obtenue ainsi.)
À cette fin, considérons, pour chaque entier $r ≥ 1$ et chaque anneau $A$,
le morphisme d'anneaux $φ_{r,A}:A[[X]] → A[[X]]$ défini par $X ↦ X^r$. Ce morphisme fait que $A[[X]]$
un module libre de rang $r$ sur lui-même. (Il n'en est pas ainsi
des morphismes semblables de $A_n$ dans $A_n$ lorsque $n≠∞$.)
On en déduit des endomorphismes $V_r:W_∞ → W_∞$
(V pour « Verschiebung »\footnote{Mot allemand signifiant « décalage ».}), envoyant $f =1+a₁X+a₂X²+\cdots ∈ W_∞(A)$ sur $φ_{r,A}(f)=f(X^r)$ et $F_r:W_∞ → W_∞$
(F pour « Frobenius », cf. \emph{infra}),
envoyant $f$ sur $\N(f(X))$, où $\N:A[[X]]^× → A[[X]]^×$ désigne la norme
déduite de $φ_{r,A}$ (cf. \refext{Alg}{trace-et-norme}).
Le fait que le terme constant de $\N(f(X))$ soit un, c'est-à-dire
que $\N(f(X))$ — \emph{a priori} dans $A[[X]]^×$ — soit dans
$1+XA[[X]]=W_∞(A)$ résulte de l'égalité $\N(f(X))(0)=\N(f(0))$
où le terme de droite est la norme de $A[[X]]/(X^r)$ à $A$
de l'élément $f(0)=1$ de $A[[X]]/(X^r)$ (cf. \refext{Alg}{cb-trace}).

La proposition ci-dessus établit des relations entre ces endomorphismes ;
elle nous permettra de construire un idempotent non trivial de $\End(W_∞)$.

\begin{proposition2}\label{relations V et F}
Soient $r$ et $s$ des entiers non nuls. Les identités suivantes sont valables dans $W_∞$ :
\begin{enumerate}
\item $F_r V_r=[r]$ ;
\item $F_s F_t =F_{st}$ ;
\item $V_s V_t =V_{st}$ ;
\item $F_r V_s=V_s F_r$ si $r$ et $s$ sont premiers entre eux.
\item $V_r F_r (\mathtextrm{Fil}^s) ⊆ \mathtextrm{Fil}^s$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) C'est un cas particulier de la dernière formule de \refext{Alg}{trivialités sur trace et norme}.
(ii) C'est une cas particulier de la transitivité de la norme (\refext{Alg}{composition-trace-norme}).
(iii) Résulte de la formule $(X^s)^t=X^{st}$.
(iv) Résulte des deux formules :
\[
V_s (1-α X^n)= 1-α  X^{ns}
\]
et
\[
F_r (1-α  X^n) = (1- α ^{r/(r,n)} X^{n/(r,n)})^{(r,n)}
\]
où $(r,n)$ désigne le pgcd de $r$ et $n$.
La première formule est évidente. La seconde se ramène, d'après (ii) et (i), au cas particulier où
$r$ et $n$ sont premiers entre eux : on veut montrer l'égalité
\[
N_{A[[X]]\bo A[[X^r]]}(1-α X^r)=(1-α^r X^{rn}),
\]
où $A[[X^r]] → A[[X]]$ est l'inclusion.
Pour chaque entier $0 ≤ i ≤ r$ notons $n_i$ le reste de la division euclidienne
de $in$ par $r$ et $e_i=X^{n_i}$. Les entiers $n$ et $r$ étant premiers
entre eux, la famille $e₀, …,e_{r-1}$ est une base de $A[[X]]$ sur $A[[X^r]]$.
D'autre part, la multiplication par $1- α X^n$ envoie $e_i$ sur $e_i - α x^{β_i}
e_{i+1}$ où $β_i=n+(n_i - n_{i+1})$. On vérifie sans peine que le déterminant
d'une telle application $A[[X^r]]$-linéaire est $1+(-1)^{r-1}∏_{i=0}^{r-1}
(-αX^{β_i})=1-α^r X^{rn}$. CQFD.
(v). Résulte du lemme \ref{bijections entre Wn et An} et des formules
ci-dessus. [À un passage à la limite près.] \XXX
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{Frobenius sur Witt en caractéristique p}
Soient $p$ un nombre premier et $f=1+∑_{i>0} a_i X^i ∈ W_∞(A)$ où
$A$ est une $𝐅_p$-algèbre. Alors,
\[
F_p(f)=1+∑_{i>0} a_i^p X^i :
\]
le morphisme de Frobenius d'indice $p$ agit par élévation
à la puissance $p$ des coefficients.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Il résulte de \ref{bijections entre Wn et An} qu'il suffit de démontrer que
pour chaque entier $n ≥ 1$, on a $F_p(1-α X^n)=1-α^p X^n$. Or,
d'après la formule $F_r (1-α  X^n) = (1- α ^{r/(r,n)} X^{n/(r,n)})^{(r,n)}$
démontrée ci-dessus, on a $F_p(1-α X^n)=(1-α^p X^n)$ si $p$ ne divise pas $n$
et $F_p(1-α X^n)=(1-α X^{n/p})^p$ si $p$ divise $n$. On observe
alors qu'en caractéristique $p>0$, on a $(1-α X^{n/p})^p=1-α^p X^n$.
\end{démo}

\subsubsection{}Soit $n ∈ A^×$. Le groupe $W_∞(A)$ n'a pas de $n$-torsion car
l'égalité $(1+f)^n=1$ se réécrit $nf+\binom{n}{2}f²+\cdots=0$ d'où $f=0$
(regarder le terme de plus bas degré de $f$.
D'autre part, le groupe $W(A)$ est $n$-divisible : tout élément
$1+f$ de $W_∞(A)$ s'écrit — de manière unique d'après ce qui précède —
sous la forme $(1+g)^n$. Il suffit en effet de poser
$g=∑_{i>0} \binom{1/n}{i} f^i$. Ainsi, la structure de groupe abélien,
c'est-à-dire de $𝐙$-module sur $W_∞(A)$ s'étend (de façon unique) en
une structure de $𝐙[1/n]$-module. Soit $p$ un nombre premier ou bien égal
à un. Notons $𝐙_{(p)}$ le sous-anneau $𝐙[1/n:(n,p)=1]$ de $𝐐$. (Par exemple,
$𝐙_{(1)}=𝐐$). Un anneau commutatif dans lequel chaque entier premier à $p$
est inversible est naturellement une $𝐙_{(p)}$-algèbre, et réciproquement.

Il résulte immédiatement de la formule \ref{relations V et F} (i)
que pour chaque nombre $ℓ$ inversible
sur les algèbres considérées, l'opérateur $ε_ℓ=[ℓ]^{-1}V_ℓ F_ℓ $ est un
endomorphisme idempotent et des formules (ii--iv) que $ε_ℓ ε_{ℓ ′}=ε_{ℓ ℓ ′}=ε_{ℓ ′}ε_ℓ $ lorsque
$ℓ$ et $ℓ ′$ sont premiers entre eux. Soit $p$ un nombre
premier ou bien égal à un et soit $L$ un ensemble fini de nombres premiers $ℓ$ différents
de $p$. Le produit fini $e_L=∏_{ℓ ∈ L} (1-ε_ℓ)$ des
idempotents $1-ε_ℓ$ est un idempotent de $\End(W_{∞|𝐙_{(p)}})$.
Développant le produit, on trouve :
\[
e_L=∑_{\mathtextrm{supp}(r) ⊆ L} μ(r) ε_r,
\]
où le support $\mathtextrm{supp}(r)$ d'un entier $r$ est l'ensemble
des nombres premiers le divisant et où $μ$ est la fonction de Möbius
(cf. \refext{CF}{definition-fonction-de-Moebius}).
Faisant tendre l'ensemble fini $L$ vers l'ensemble infini $𝒫-\{p\}$
des nombres premiers différents de $p$, on est naturellement conduit
à considérer l'idempotent $e_p$ de la proposition suivante.

\begin{proposition2}\label{construction idempotents de EndWinfini}
Soit $p$ un nombre premier ou bien égal à un. Considérons le foncteur
$W_{∞|𝐙_{(p)}}$, restriction de $W_∞$ aux $𝐙_{(p)}$-algèbres.
\begin{enumerate}
\item La somme
\[e_p=∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} V_r F_r,\] où $μ$ est la fonction
de Möbius, est bien définie et est un projecteur de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$, d'image $W_∞^{(p)}$
égale à $\displaystyle ⋂_{\substack{(r,p)=1 \\ r>1}} \Ker F_r$ et de noyau
le sous-groupe $\displaystyle \widehat{∑}_{\substack{(r,p)=1 \\ r>1}} \Im V_r$ des
sommes éventuellement infinies d'éléments dans les images des $V_r$ ($(r,p)=1$,
$r>1$).
\item Pour $n$ parcourant l'ensemble des entiers premiers à $p$,
les endomorphismes $e_{p,n}=\frac{1}{n}V_n e_p F_n$ constituent
une famille totale de projecteurs orthogonaux de $W_∞$.
\item Les opérateurs $V_p$ et $F_p$ commutent à $e_p$ et induisent
des opérateurs sur $W_∞^{(p)}$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\subsubsection{}\label{p-typiques}Les éléments de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$ dans $⋂_{(r,p)=1}\Ker
F_r=W_∞^{(p)}$ sont dit « $p$-typiques »\index{$p$-typique}.
Il résulte de la proposition précédente que l'étude de la structure du groupe $A[[X]]^×$, où $A$
est une $𝐙_{(p)}$-algèbre, se ramène à l'étude du groupe
$W_∞^{(p)}(A)$ des éléments $p$-typiques.

La démonstration qui suit est une conséquence formelle des résultats de la
proposition \ref{relations V et F} et de l'identité $∑_{d|n} μ(d)=0$ si $n>1$.

\begin{démo}[Démonstration de \ref{construction idempotents de EndWinfini}]
(i) Le fait que la somme $e_p$ soit bien définie résulte de
l'inclusion \ref{relations V et F} (v).
Soit $s>1$ un entier premier à $p$. Calculons $F_s e_p$.
Par définition et découpage de l'ensemble de sommation, on a :
\[F_s e_p = ∑_{(r,p)=1} \frac{μ(r)}{r} F_s V_r F_r=
∑_{(d,p)=1} ∑_{\substack{(r,s)=d \\ (r,p)=1}}  \frac{μ(r)}{r} F_{s/d} F_d V_d V_{r/d}
F_r.\]
En appliquant la formule $F_d V_d=[d]$, on obtient :
\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{\substack{(r,s)=d \\ (r,p)=1}}  \frac{μ(r)}{r/d} F_{s/d} V_{r/d} F_r.\]
Utilisant la relation de commutation $F_{s/d} V_{r/d}=V_{r/d} F_{s/d}$ (car $r/d$ et $s/d$ sont
premiers entre eux) et l'identité $F_{s/d} F_r=F_{sr/d}$, on trouve :
\[ F_s e_p= ∑_{(d,p)=1} ∑_{\substack{(r,s)=d \\ (r,p)=1}}  \frac{μ(r)}{r/d} V_{r/d} F_{sr/d}.\]
Enfin, une réécriture de la somme, où l'on pose $t=r/d$, donne
\[ F_s e_p = ∑_{\substack{(t,s)=1 \\ (t,p)=1}} \frac{1}{t} V_s F_{st} \big(\underbrace{∑_{u|s}
μ(tu)}_{=0}\big)=0.\]
L'endomorphisme $e_p$ s'écrivant $1+e_p ′$ où $e_p ′$ est une somme
de multiples à gauche de $F_s$ ($s>1$, premier à $p$), on en déduit immédiatement l'égalité
$e_p²=e_p$ et l'égalité $W_∞^{(p)}=⋂_{(r,p)=1}\Ker F_r$.
On vérifie comme ci-dessus que, dualement, on a $e_p V_{s}=0$
pour chaque $s>1$. Il en résulte que $\widehat{∑}_{\substack{(r,p)=1 \\ r>1}} \Im V_r$ est contenu
dans le noyau de $e_p$. Réciproquement, le fait que $e ′_p$ soit
une somme de multiples à droite de $V_s$ ($s>1$, premier à $p$),
montre que tout élément du noyau est une somme (éventuellement infinie)
d'élément dans les images des endomorphismes $V_r$.
(ii) Les égalités $e_{p,n}²=e_{p,n}$ résultent de $\frac{1}{n²}F_n
V_n=\frac{1}{n}$. Soient $n,m$ deux entiers premiers à $p$ et calculons
$e_{p,n}e_{p,m}$. Notons $d$ le pgcd de $n$ et $m$ et $n ′ =n/d$ (resp.
$m ′ =m/d$. On a alors $e_{p,n}e_{p,m}=V_n e_p V_{m ′} F_{n ′} e_p F_m$.
Or, on a vu que si $n ′>1$, $F_{n ′} e_p$. De même $e_p V_{m ′}=0$ si $m ′ >1$.
Ainsi, $e_{p,n}e_{p,m}=0$ à moins que $n=m$.
Pour conclure, il nous faut vérifier que $∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=\Id$.
Or,
\[ ∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_{\substack{(n,p)=1 \\ (r,p)=1}} \frac{μ(r)}{rn} V_n V_r F_r F_n,\]
que l'on peut réécrire, compte-tenu des égalités $V_n V_r=V_{nr}$ et $F_r
F_n=F_{rn}$, sous la forme :
\[
∑_{(n,p)=1} e_{p,n}=∑_m \frac{1}{m} V_m F_m \big( ∑_{d|m} μ(d)\big)=\frac{1}{1}V₁ F₁=\Id.
\]
(iii) Résulte de \ref{relations V et F} (iv).
\end{démo}

\begin{définition2}
La série formelle $e_p\big((1-X)^{-1}\big)= ∏_{(r,p)=1} (1-X^r)^{-μ(r)/r}$
est appelée $p$-\emph{exponentielle de Artin-Hasse}\index{exponentielle de
Artin-Hasse}, ou simplement \emph{exponentielle de Artin-Hasse}. On la note $E_p$.
\end{définition2}

Cette fonction (ou plutôt son inverse) fut introduite
par les mathématiciens allemands Emil Artin et Helmut Hasse, en 1928
dans leur article « Die beiden Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz der
$ℓ^n$-ten Potenzreste im Körper der $ℓ^n$-ten Einheitswurzeln »\footnote{…\XXX}.
Il résulte de la formule d'inversion de Möbius,
$∑_d μ(d)=1$ (resp. $∑_d μ(d)=0$) lorsque $n$ est une puissance de $p$
(resp. lorsque $n$ n'est pas une puissance de $p$), où $d$ parcourt les diviseurs de
$n$ premiers à $p$, que l'on a
\[
E_p(X)=\exp(∑_{n ∈ p^𝐍} \frac{X^n}{n}) ∈ 𝐙_{(p)}[[X]].
\]

En particulier, $E_1(X)=\exp(X)$, ce qui justifie la terminologie.
(Pour $p>1$, la formule ci-dessus se réécrit :
$E_p(X)=\exp(X+X^p/p+X^{p²}/p²+\cdots\big)$.

On dispose de l'analogue suivant du lemme \ref{bijections entre Wn et An}
pour les images des idempotents $e_{p,n}$, qui s'applique
en particulier à $W_∞^{(p)}$.

\begin{proposition2}
Soient $p$ un nombre premier ou bien égal à un et $n$ un nombre entier premier à $p$.
Pour toute $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$,
l'application
\[A^{p^𝐍} → W_∞(A)\]
\[(α_r)_{r ∈ p^𝐍} ↦ ∏_{r ∈ p^𝐍} E_p(α_r X^{n ⋅ r})\]
induit une injection d'image le sous-groupe $e_{p,n}(W_∞)$.
\end{proposition2}

Utilisant \ref{construction idempotents de EndWinfini} (ii),
on retrouve le fait (\ref{bijections entre Wn et An} (ii))
que tout élément de $W_∞(A)$ — où $A$ est une $𝐙_{(p)}$-algèbre — s'écrit de manière unique
sous la forme $∏_{n ≥ 1} E_p(α_n X^n)$. Le fait nouveau,
remarquable pour $p>1$, lié au choix de $E_p$ (exponentielle
de Artin-Hasse), est que les séries formelles de la forme $∏_{r ∈ p^𝐍}
E_p(α_r X^{n ⋅ r})$ ($n$ fixé) sont stables par produit (la somme $⊕$ dans $W_∞$).
(Si $p=1$ c'est clair : $E_1(αX^n) E_1(β X^n)=E_1\big((α+β)X^n\big)$.)
\begin{démo}
L'injectivité est un cas particulier de \ref{bijections entre Wn et An} (ii).

Cas $n=1$. Soient $α ∈ A$ et $m ≥ 1$. Calculons $e_p(f)$ où $f=1- α X^m$. Si $m$
n'appartient pas à $p^𝐍$, $f ∈ \Im V_{m ′}$ pour un diviseur $m ′>1$ de $m$
premier à $p$. En conséquence $e_p(f) ∈ \Im (e_p V_{m ′})=\{0\}$ (notations
additives) d'après la démonstration de la proposition précédente. Dans le cas
contraire, $m=p^r$ et $f=V_p^r(1- αX)$ de sorte que $e_p(f)=V_p^r e_p(1-αX)=V_p^r
E_p(αX)=E_p(αX^{p^r})$. Ceci suffit pour conclure.

Cas $n ≥ 1$. L'image de $e_{p,n}$ est contenu dans $\Im V_n$. Il suffit
donc de calculer $e_{p,n}(1-α X^{nm})$ pour $m ≥ 1$. On a
$\frac{1}{n}F_n(1-α X^{nm})=(1-α X^m)$ (cf. \ref{relations V et F}, démonstration
de (iii)) de sorte que $e_{p,n}((1-α X^{nm})=V_n e_p(1-α X^m)$.
On s'est ramené au calcul précédent.
\end{démo}

Il résulte de la proposition que le foncteur $e_{p,1}(W_{∞|𝐙_{(p)}})=W_∞^{(p)}$
des éléments $p$-typiques est ensemblistement isomorphe au foncteur
en ensembles $𝐀^𝐍$ lorsque $p>1$ et à $𝐀¹$ lorsque $p=1$.


\begin{remarque2}
Nous verrons ci-après qu'il existe une structure d'anneau sur $W_∞$ vérifiant
les propriétés suivantes : $(1-X)^{-1}$ est l'unité
de la multiplication (que nous noterons $⊙$) ;
l'application $e_p$ est un endomorphisme de \emph{anneau} $(W_∞, ⊕,⊙)$
(restreint aux $𝐙_{(p)}$-algèbres). L'exponentielle de Artin-Hasse
est donc l'idempotent correspondant
à $e_p$ : $W_∞^{(p)}=W_{∞|𝐙_{(p)}} ⊙ E_p ⊆ W_{∞|𝐙_{(p)}}$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}\label{p-coordonnées de Witt}
Lorsque $p>1$, on appelle \emph{$p$-coordonnées de Witt}\index{$p$-coordonnées de Witt}
d'une série formelle $p$-typique $f$ à coefficients
dans une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$ les coefficients $(α_{p^r})_r ∈ A^𝐍$ tels que
\[
f=∏_{r ≥ 0} E_p(α_{p^r} X^{p^r}).
\]
Lorsque $p=1$, on peut également définir la notion de $1$-coordonnée de Witt
d'une série formelle $1$-typique $f$ : c'est l'unique coefficient
$α ∈ A$ tel que $f=\exp(aX)$. Notons la formule : $αX=X \frac{f ′}{f}$.
Lorsque $p>1$, le lien entre les $p$-coordonnées de Witt et la dérivée
logarithmique est moins transparent. Il fait l'objet du paragraphe
\ref{composantes fantômes}. Signalons cependant que l'on a constaté
ci-dessus que chaque $p$-coordonnée est un polynôme universel à coefficients
dans $𝐙_{(p)}$ en les coefficients de la série $f$.

\subsubsection{}

Fixons un entier $n ∈ 𝐍 $ et $p$ un nombre premier ou égal à un.
Pour tout entier $i$ premier à $p$ et inférieur ou égal à $n$,
notons $q_i$ le plus grand entier de $p^𝐍$ tel que $i q_i ≤  n$.
Il résulte de \ref{bijections entre Wn et An} (ii)
que pour toute $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$, tout élément
$f_n ∈ W_n(A)$ s'écrit de manière unique sous la forme
\[
f_n= ∏_{\substack{i ≤ n \\ (i,p)=1}} ∏_{\substack{q ∈ p^𝐍 \\ q ≤ q_i}} E_p(α_{i,q} X^{i q}),
\]
où les $α_{i,q}$ sont obtenus en évaluant
des polynômes à coefficients dans $𝐙_{(p)}$ en les coefficients (usuels)
de $f_n$, et où $E_p(α_{i,q} X^{i q})$ désigne abusivement
son image dans $W_n(A)$. Comme déjà signalé ci-dessus le fait remarquable est que
pour chaque $i$ l'ensemble des polynômes de la forme $∏_q E_p(α_{i,q} X^{i q})$,
où $q$ partout l'ensemble des éléments de $p^𝐍$ inférieurs ou égaux à $q_i$,
est un \emph{sous-groupe} — momentanément noté $W_{n,p,i}$ —  de $W_n(A)$ :
c'est l'image de $e_{p,i}(W_{∞|𝐙_{(p)}})$ dans le quotient $W_{n|𝐙_{(p)}}$
de $W_{∞|𝐙_{(p)}}$.

\begin{lemme2}
La classe d'isomorphisme de $W_{n,p,i}$ ne dépend que de $q_i$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Commençons par observer que l'application de réduction modulo $X^{i q_i +1}$,
$W_{n,p,i} → W_{i q_i,p,i}$ est un isomorphisme. Elle est clairement
surjective ; elle est injective par unicité des paramètres $α_{i,q}$.
Enfin la substitution $X ↦ X^i$ induit un isomorphisme
$W_{q_i,p,1} ⥲ W_{i q_i,p,i}$.
\end{démo}

Soit $q$ une puissance de $p$. On note $W_{[q]}$ le groupe
$W_{q,p,1}$ des séries $p$-typiques tronquées à l'ordre $q$.
C'est un sous-groupe de $W_{q|𝐙_{(p)}}$. (Notons que
$W_{[1]}=\Ga$\footnote{Aussi bien dans le cas $1=1^1$ que dans le
cas $1=p^0$ avec $p>1$.}) Nous sommes maintenant enfin en mesure d'énoncer
une généralisation de la proposition \ref{Wn en caractéristique nulle}.

\begin{théorème2}[\cite{GACC@Serre}, chap. V, §16]\label{structure Wn sur Z(p)}
Soient $n ≥ 1$ un entier et $p$ un nombre premier ou égal à un.
Le foncteur en groupes abéliens $U_{n|𝐙_{(p)}}$, envoyant
une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$ sur le groupe des unités de l'anneau $A[X]/X^{n+1}$,
est isomorphe au produit de $\Gm$ par les $W_{[q_i]}$
où $i$ parcourt l'ensemble des entiers inférieurs ou égaux à $n$ et premiers à $p$
et où $q_i$ désigne le plus grand élément de $p^𝐍$ tel que $i q_i ≤  n$.
\end{théorème2}

Rappelons (\ref{vecteurs Witt et ASW}, introduction) que l'on souhaite comprendre
la structure des unités des anneaux $A[X]/X^{p^r}$ lorsque $A$ est une
$𝐅_p$-algèbre. On peut expliciter le théorème précédent
de la façon suivante.

\begin{corollaire2}\label{structure Un sur Fp}
Soient $r ≥ 1$ un entier et $p$ un nombre premier.
Le foncteur envoyant une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$
sur le groupe des unités de $A[X]/X^{p^r}$ est isomorphe
au produit
\[
∏_{q|p^{r-1}} \big(W_{[q]|𝐙_{(p)}}\big)^{n_{r,q}} × \Gm,
\]
où :
\begin{enumerate}
\item le foncteur $W_{[q]|𝐙_{(p)}}$ envoie une $𝐙_{(p)}$-algèbre $A$
sur le groupe multiplicatif des éléments $f ∈ A[X]/X^{q+1}$
de la forme
\[E_p\big((α₁,α_p, α_{p²},… ,α_q).X):=∏_{q ′ | q} E_p(α_{q ′} X^{q ′ }) \mod
X^{q+1}\] où les $α_{q ′}$ sont dans $A$ ;
\item la multiplicité $n_{r,q}$ vaut $p-1$ si $q=p^{r-1}$
et $\frac{p^r}{q}+\frac{p^{r-2}}{q}$ si $q$ divise strictement $p^{r-1}$.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Cela résulte du théorème précédent et du fait
que le cardinal de l'ensemble des entiers $i$ premiers à $p$
tels que $\frac{p^{r-1}}{q} ≤ i ≤ \frac{{p^r}}{q}$ est égal
à $n_{r,q}$.
\end{démo}

Insistons sur le fait que tout $𝐅_p$-algèbre peut être munie
d'une structure de $𝐙_{(p)}$-algèbre et ce de manière unique.
Le champ d'application du corollaire précédent est donc plus vaste
que nous n'en avons besoin.

\begin{proposition2}
Il existe des polynômes à coefficients dans $𝐙_{(p)}$
et tels que $+_W$ définie par $α +_W β = ...$
satisfasse $E_p(α.X) ⊕ E_p(β.X)=E_p((α +_W β).X)$. \XXX
\end{proposition2}

[pas nécessaire]

\begin{remarque2}
En fait les polynômes sont à coefficients dans $𝐙$ (car dans
$𝐙[1/p]$). \XXX
\end{remarque2}




\subsection{Exemple : $p$-vecteurs de Witt tronqués à l'ordre deux}\label{exemple W2}
\subsubsection{}Soit $p>0$ un nombre premier. Calculons le produit de deux polynômes tronqués
$E_p((α₁,α_p).X)$ et $E_p((β₁,β_p).X)$ dans $W_{[p]}(𝐐[α₁,α_p,β₁,β_p])$.
Modulo $X^{p+1}$, la série
\[
E_p\big((α₁,α_p).X\big)×E_p\big((β₁,β_p).X\big)=\exp\Big((α₁+β₁)X+(α_p+β_p+\frac{α_1^p+β_1^p}{p})X^p
+ \cdots\Big)
\]
est congrue à $\exp(γ₁X+\frac{γ_p}{p}X^p+\cdots)$,
où $γ₁=α₁+β₁$ et $γ_p=α_p+β_p+\frac{α_1^p+β_1^p-(α₁+β₁)^p}{p}$.
Notons que le terme de droite est un polynôme à coefficients
\emph{entiers} (donc \emph{a fortiori} dans $𝐙_{(p)}$) en les variables $α₁,α_p,β₁,β_p$.
La formule précédente décrit la loi de groupe du foncteur $W_{[p]|𝐙_{(p)}}$.
En réduisant modulo $p$ cette identité, on en déduit que la restriction
de ce même foncteur aux $𝐅_p$-algèbres
est isomorphe au foncteur en groupes $A ↦ (A²,⊕_{[p]})$
où l'addition $⊕_{[p]}$ est définie par la formule :
\[
(a,a ′) ⊕_{[p]} (b, b ′)=\big(a+b,a ′ + b ′ - ∑_{i=1}^{p-1}
\frac{(-1)^i}{i} a^i b^{p-i}\big).
\]
Lorsque $a$ est inversible, la seconde coordonnée se réécrit $a ′ + b ′ + a^p
\log_{<p}(\frac{a+b}{a})$, où
\[\log_{<p}(x)=-∑_{i=1}^{p-1}\frac{(1-x)^i}{i} \text{ (cf. \ref{explog=identité}).} \]
On en déduit immédiatement que l'opposé de l'élément $(a,b)$ pour
l'addition $⊕_{[p]}$ est $(-a,-b-a^p\log_{<p}(0))=(-a,-b)$.
Le morphisme $F_p$ est $(a, a ′) ↦ (a^p,{a ′}^p)$ et la translation
par $(1,0)$ est $τ:(a,b) ↦ (a,b) ⊕ (1,0)=(a+1,b+\log_{<p}(a+1))$.

\subsubsection{}
Comme attendu, on observe que pour chaque $𝐅_p$-algèbre
$A$, le groupe $W_{[p]}(A)$ est extension du groupe additif $(A,+)$ par
lui-même : la projection $(a,a ′) ↦ a$ est un morphisme surjectif
de groupes, de noyau le sous-groupe $\{(0,a ′):a ′ ∈ A\}$ de $(A²,⊕_{[p]})$,
naturellement isomorphe à $(A,+)$ par le morphisme $a ′ ↦ (0,a ′)$.

\subsubsection{}
Soient $(a,b)$ deux éléments de $k$ de caractéristique $p>0$
et soit $Ω$ une clôture séparable de $k$.
L'équation $℘(x,y)=(a,b)$ en les inconnues $(x,y)$,
où $℘=F_p \ominus \Id$, est équivalente aux deux équations :
\[
℘(x)=a
\]
et
\[
℘(y)=(-1)^{p+1} x^p \log_{<p}(-\frac{a}{x}) + b.
\]
Ces équations ont des solutions dans $Ω$ car elles
sont séparables. Notons $q_W$ — $W$ pour \emph{Witt} — le terme
de droite de la seconde équation. C'est un polynôme
en $x$ de terme constant $b$ de degré visiblement
inférieur ou égal à $p$. Si le couple $(x_W,y_W) ∈ Ω²$ est une solution de
ces équations, le couple $τ(x_W,y_W)=(x_W+1,y_W+\log_{<p}(x_W+1))$
est également solution : cela résulte du fait
que $℘$ est additif, de noyau contenant $(1,0)$.
Ceci se traduit par l'égalité dans $Ω$
\[
℘\big(\log_{<p}(x_W+1))=q_W(x_W+1)-q_W(x_W),
\]
ou encore, dans $k[x]$,
\[
∑_{i=1}^{p-1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} ⋅ \big((x+a)^i-x^i\big)
= Δ \Big( (-1)^{p} ∑_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i} x^{p-i}(x+a)^i  \Big)
\]
% p=13
% R.<x,a>=GF(p)['x','a']
% q = (-1)^(p)*sum([x^(p-k) * (x+a)^k / k for k in range(1,p)])
% Dq=q.subs({x:x+1})-q
% plog = sum([((x+a)^k-x^k) * (-1)^(k+1) / k for k in range(1,p)])
qu'il serait laborieux de vérifier par un calcul direct.
(On note $Δ:k[x] → k[x]$ l'opérateur $P(x) ↦ P(x+1)-P(x)$.)
Le terme dominant du polynôme de gauche est visiblement
$(-1)^p a x^{p-2}=-a x^{p-2}$. Il en résulte que
$q_W$ est un polynôme de degré $p-1$ de coefficient
dominant $a$. En recopiant la démonstration du
théorème \ref{AS Z sur p carré}, on vérifierait
les faits suivants :

— le polynôme $∏_{ζ ∈ 𝐅_p} \big(Y^p-Y-q_W(x+ζ)\big)$ est irréductible
sur $k$ ;

— l'extension $k(℘^{-1}(a,b)\bo k)$ est galoisienne
de groupe cyclique d'ordre $p²$,
engendré par l'automorphisme $y_W ↦ y_W + \log_{<p}(x_W+1)=
y_W+x^{p-1}+t(x)$ où $x_W$ et $y_W$ sont comme ci-dessus, $y_W$
étant nécessairement un élément primitif de l'extension,
et $t$ est un polynôme de degré strictement inférieur
à $p-1$ ;

— si $u ∈ k[x]$ satisfait $Δu=t$, $y_{AS}:=y_W+u(x)$
est racine d'une équation $℘(y_{AS})=q_{AS}(x)$, où
$q_{AS}$ est comme en \ref{AS Z sur p carré}. Et réciproquement.

On constate donc que l'équation d'Artin-Schreier $℘(x,y)=(a,b)$
permet de décrire toutes les équations de degré $p²$
d'un corps de caractéristique $p>0$.
Nous allons voir dans la section suivante que ceci
est un fait général dont il est possible
de donner une démonstration conceptuelle.

\begin{exercice2}
Montrer que pour chaque nombre premier $p$,
le groupe $W_{[p]}(𝐅_p)$ est isomorphe à $𝐙/p²$.
\end{exercice2}

\subsection{Vecteurs de Witt tronqués à coefficients dans une $𝐅_p$-algèbre}

Dans ce paragraphe et le suivant, on fixe un nombre premier $p>0$,
$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ une puissance de $p$.
On note $W$ la restriction du foncteur $W_{[q]}$ aux $𝐅_p$-algèbres.

\subsubsection{}Les endomorphismes $F_p$ et $V_p$ de $W_∞^{(p)}$
induisent des endomorphismes de $W$ \XXX. Si
$f ∈ W(A)$ a pour coordonnées de Witt $α=(α₁,α_p, …,α_q)$
— c'est-à-dire si $f$ est représenté par la série $E_p(α.X)$ —
les coordonnées de $F_p(f)$ (resp. $V_p(f)$) sont $\Frob_p(α)=(α_1^p,α_p^p, …,α_q^p)$
(resp. $v_p(α)=(0,α₁,α_p, …,α_{q/p})$).


\begin{proposition2}\label{calcul W(Fp)}
Le groupe $W(𝐅_p)$ est isomorphe au groupe cyclique $𝐙/p^{r+1}$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le groupe $W(𝐅_p)$ est de cardinal $pq=p^{r+1}$. Pour
montrer qu'il est cyclique, il suffit
de démontrer que la classe de $E_p(X)$ dans
$W(𝐅_p)$ n'est pas de $q$-torsion.
Or, la série $E_p(X)^q=E_p(X^q)$ est non triviale
modulo $X^{q+1}$. CQFD.
\end{démo}

\subsubsection{}Soit $K$ une $𝐅_p$-algèbre.
Le noyau de l'endomorphisme $℘_W=F_p \ominus \Id$ de $W(K)$
est l'ensemble des éléments de coordonnées de Witt
$α ∈ K^{r+1}$ satisfaisant l'équation $\Frob_p(α)=α$ (cf. \emph{supra}).
Il contient donc le sous-groupe $W(𝐅_p)≃𝐙/p^{r+1}$
car $\Frob_p$ agit trivialement sur $𝐅_p$.
Réciproquement, si $K$ est intègre,
$\Ker\,℘_W(K)=W(𝐅_p)$ car les seules racines dans $K$ de l'équation $X^p=X$
sont les éléments du sous-corps $𝐅_p$ de $K$.
Nous avons démontré la première moitié de la proposition suivante.

\begin{proposition2}\label{noyau p-Weierstrass-Witt}
Soit $K$ une $𝐅_p$-algèbre.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est intègre, le noyau $\Ker\,℘_W(K)$ de $℘_W:W(K) → W(K)$ est le sous-groupe
cyclique $W(𝐅_p)$ de $W(K)$.
\item Le foncteur
$A ↦ \Ker\,℘_W(A)$ est représentable
par une $K$-algèbre diagonale de rang $p^{r+1}$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(ii) Le foncteur $ \Ker\,℘_W$ est isomorphe
au foncteur $A ↦ \Hom_{K\traitdunion\Alg}(K[X]/(X^p-X),A)^{r+1}$
Ce dernier est représentable par la $K$-algèbre
diagonale $K[X]/(X^p-X)^{r+1} ≃ (K^p)^{r+1}$.
(Il résulte de cet argument, que la conclusion
de (i) est également valable sous la seule
hypothèse que $A$ est \emph{connexe},
cf. \refext{Spec}{produit=somme}.)
\end{démo}

\subsubsection{}Nous allons maintenant considérer l'image de $℘_W$.
Auparavant, introduisons quelques notations.
Comme on l'a vu, le foncteur $W$ est (ensemblistement)
représentable par la $𝐅_p$-algèbre $M=𝐅_p[X_{q ′|q}]$,
la bijection étant donnée par les coordonnées de Witt :
à $f ∈ W(K)$ de coordonnées de Witt $(α₁, …,α_q)$
on associe le morphisme $φ_f:M → K$ envoyant $X_{q ′}$
sur $α_{q ′}$. D'autre part, il résulte du lemme de Yoneda
(\refext{Cat}{lemme-de-yoneda}) que l'endomorphisme $℘_W$ du foncteur $W → W$
correspond à un endomorphisme $℘^M$ de l'algèbre $M$.
Soient $f ∈ W(K)$ et $A$ une $K$-algèbre. La fibre $℘_W^{-1}(f)(A)$ du morphisme
$℘_W:W(A) → W(A)$ au-dessus de l'image de $f$ dans $W(A)$ est naturellement
en bijection avec l'ensemble des $A$-points
de la $K$-algèbre $M(f):=M ⊗_{℘^M,M,φ_f} K$ (\refext{Tens}{}). En d'autres termes,
le foncteur $A ↦ ℘_W^{-1}(f)(A)$ est représentable
par la $K$-algèbre $M(f)$.

\begin{proposition2}\label{séparabilité p-Weierstrass-Witt}
Soit $K$ un \emph{corps} de caractéristique $p>0$.
Pour tout $f ∈ W(K)$ la $K$-algèbre $M(f)$ est \emph{étale}
de rang $p^{r+1}$. En particulier, si $K$ est séparablement
clos, le morphisme $℘_W:W(K) → W(K)$ est \emph{surjectif}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Commençons par montrer la surjectivité de $℘_W:W(K) → W(K)$ lorsque $K$
est séparablement clos. Il suffit de démontrer la surjectivité du morphisme
$F_p \ominus \Id : W_∞(K) → W_∞(K)$ sous cette hypothèse ; l'énoncé désiré
s'en déduisant par passage au quotient \XXX.
Par récurrence et d'après \ref{bijections entre Wn et An},
il suffit de démontrer que pour chaque $α ∈ K$ et chaque entier $i ≥ 1$,
il existe $β ∈ K$ tel que le quotient $(1-α X^i)/℘(1-β X^i)$
appartienne à $\mathtextrm{Fil}^{i+1}W_∞(K)$. Cela résulte
de l'égalité
\[
\frac{(1-α X^i)(1-β X^i)}{1-β^p X^i}=1+(β^p-β-α)X^i+ \cdots.
\]
On observera que les coefficients $β$ sont obtenus par résolutions
successives d'équations d'Artin-Schreier.

Soit maintenant $f ∈ W(K)$, où $K$ n'est plus supposé
séparablement clos. Soit $Ω$ une clôture séparable de $K$
et soit $f_Ω$ l'image de $f$ dans le sur-groupe $W(Ω)$ de $W(K)$.
Les $Ω$-algèbres $M(f_Ω)$ et $M(f) ⊗_K Ω$ sont canoniquement
isomorphes. Le caractère étale d'une algèbre sur un corps
se testant après extension algébrique séparable, et
le rang étant invariant par une telle extension,
on peut supposer $K$ séparablement clos.
D'après ce qui précède, il existe alors un
élément $g ∈ W(K)$ tel que $℘(g)=f$. La translation $t_g:W → W$, $x ↦ x + g$,
induit un isomorphisme de foncteurs entre $℘^{-1}(0)$ et $℘^{-1}(f)$
d'où un $K$-isomorphisme entre $M(0)$ et $M(f)$. La conclusion
résulte de la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt}.
\end{démo}

Plus généralement, on peut démontrer la proposition suivante.

\begin{proposition2}\label{revêtement ASW}
L'extension $M_{[q]} → M_{[q]}$ définie par $℘^{M_{[q]}}$ est
\emph{galoisienne de groupe $W_{[q]}(𝐅_p)$}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

\begin{exercice2}
Pour tout $r+1$-uplet $α$ de $𝐅_p^{r+1}$, notons $\gtilde{α}$
l'unique relèvement de $α$ dans $[0,p-1]^{r+1} ⊆ 𝐙^{r+1}$.
Montrer que l'application $W(𝐅_p) → 𝐙/p^{r+1}$,
$E_p(α.X) ↦ ∑_{i=0}^{r} \gtilde{α_{p^i}}p^i \mod p^{r+1}$, est un isomorphisme de groupes.
\XXX % pas clair
\end{exercice2}

\subsection{Extensions galoisiennes de groupe $𝐙/p^{r+1}$}

\begin{théorème2}\label{ASW}
Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$,
$r ≥ 0$ un entier et $q=p^r$ la puissance de $p$
correspondante. Soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
\begin{enumerate}
\item Pour toute extension galoisienne $K\bo k$ de groupe
cyclique d'ordre $p^{r+1}$, il existe un
élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ tel que
$K$ soit $k$-isomorphe au plus petit sous-corps
$k(\sqrt[℘]{f})$ de $Ω$ tel que les
solutions de l'équation $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ appartiennent
à $W_{[q]}(k(\sqrt[℘]{f}))$.
\item Soit $f ∈ W_{[q]}(k)$. L'extension $k(\sqrt[℘]{f}) \bo k$
est galoisienne cyclique d'ordre divisant $p^{r+1}$
avec égalité si et seulement si le premier coefficient
de Witt de $f$ n'appartient pas à $℘(k)$. D'autre
part, $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps de $Ω$ engendré
par les coefficients de Witt d'un élément
quelconque $g$ de $W_{[q]}(Ω)$ satisfaisant l'équation $℘(g)=f$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\subsubsection{Démonstration de \ref{ASW} (ii)}

Soit $f$ comme dans l'énoncé. Notons $k\sep$ la clôture
séparable de $k$ dans $Ω$. D'après \ref{séparabilité p-Weierstrass-Witt},
il existe $g₀ ∈ ℘^{-1}(f)(k\sep)$. Pour chaque $ζ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$,
posons $g_ζ:=g₀ ⊕ ζ ∈ W_{[q]}(k\sep)$. D'après \ref{noyau p-Weierstrass-Witt},
les solutions de $℘(g)=f$ dans $W_{[q]}(Ω)$ sont les $(g_ζ)_ζ$.
(Ici, comme dans l'énoncé, on note abusivement $f$ l'image
de l'élément $f ∈ W_{[q]}(k)$ par l'injection canonique
$W_{[q]}(k) ↪ W_{[q]}(Ω)$.) Il en résulte que $k(\sqrt[℘]{f})$ est le sous-corps
de $Ω$ engendré par les coefficients de Witt de $g₀$ (par exemple)
et d'autre part que le corps $k(\sqrt[℘]{f})$ est contenu dans $k\sep$ :
l'extension $k(\sqrt[℘]{f})\bo k$ est donc
algébrique \emph{séparable}. Montrons qu'elle est \emph{normale}.
Soit $σ : Ω → Ω$ un $k$-automorphisme. En appliquant
$σ$ à l'égalité $℘(g₀)=f$ on obtient, par commutation
évidente de $σ$ avec $℘$, l'égalité $℘\big(σ (g₀)\big)=f$
d'où $σ (g₀)=g_{ζ_σ}$ pour un unique $ζ_σ ∈ W(𝐅_p)$.
Il en résulte que $σ (g_ζ)=g_ζ ⊕ ζ_σ$ pour tout $ζ$ car $σ$ commute
à l'addition dans les vecteurs de Witt tronqués et
agit trivialement sur $W_{[q]}(𝐅_p)$.
Ainsi, $σ$ préserve $K=k(\sqrt[℘]{f})$, de sorte
que l'extension $K \bo k$ est galoisienne,
et $σ ∈ G=\Gal(K\bo k) ↦ ζ_σ ∈ W_{[q]}(𝐅_p)$
est une injection. D'après \ref{calcul W(Fp)},
$G$ est donc cyclique de cardinal divisant $p^{r+1}$.

Soit $f ′$ (resp. $g₀ ′$) l'image de $f$ (resp. $g₀$) dans $W_{[1]}(k) = k$
($W_{[1]}(K) = K$) par la surjection canonique $W_{[q]} ↠W_{[1]}$.
Le morphisme $℘$ commute à cette projection de sorte que
$℘_{W_{[1]}}(g₀ ′)=f ′ $. Le corps $K$ contient donc le sous-corps
$K ′ =k(\sqrt[℘]{f ′})$, galoisien sur $k$. D'autre part,
l'action d'un élément $σ ∈ G$ sur $K ′$ se factorise
à travers le quotient $W_{[q]}(𝐅_p) ↠ W_{[1]}(𝐅_p)=𝐅_p$ :
la réduction de l'égalité $σ(g₀)= g₀ ⊕_{W_{[q]}(K)} ζ_σ$
dans $W_{[1]}(K)$ se réécrit : $σ(g ′₀)=g ′₀ + ζ_σ ′$
où $ζ_σ ′$ est l'image de $ζ_σ$ dans $𝐅_p$.
Ainsi, l'image de $G$ dans l'unique quotient
d'ordre $p$ de $W_{[q]}(𝐅_p) ≃ 𝐙/p^{r+1}$
coïncide avec l'image du groupe de Galois de l'extension
d'Artin-Schreier $K ′ \bo k$. Ce groupe est trivial
si et seulement si $f ′ ∈ ℘(k)$, cf. \ref{extension AS est de groupe Z
sur p}. On achève la démonstration
en observant qu'un sous-groupe de $𝐙/p^{r+1}$ est strict
si et seulement si son image dans $𝐙/p$ est triviale.

\subsubsection{Première démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode verselle}

Nous allons utiliser la même méthode qu'en \refext{Versel}{AS via
groupes algébriques}, qui repose de façon cruciale sur
\emph{op. cit.}, \ref{base normale géométrique}
et la proposition \ref{noyau p-Weierstrass-Witt} ci-dessus.
Notons respectivement $E_{[q]}$ et $B_{[q]}$ les $𝐅_p$-algèbres
$E(𝐙/p^{r+1})$ et $B(𝐙/p^{r+1})$ de \refext{Versel}{notations base
normale géométrique}. Soit $K\bo k$ une extension galoisienne
de groupe cyclique d'ordre $p^{r+1}$. D'après
\refext{Versel}{base normale géométrique}, il existe un $k$-morphisme
$B_{[q]} → k$ tel que $K$ soit $k$-isomorphe au produit tensoriel
$E_{[q]} ⊗_{B_{[q]}} k$. Comme on l'a vu, cela est équivalent
à l'existence (\emph{a priori} plus faible) d'un carré
commutatif

\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
 \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
{ K \pgfmatrixnextcell E_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell B_{[q]}\\};
 \draw[<-] (diag-1-1) --  (diag-2-1);
 \draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
 \draw[<-] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
 \draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}

Il résulte de \refext{Versel}{unités algèbre
de groupe et EG} et du fait que l'on est en caractéristique $p>0$
que l'algèbre $E_{[q]}$ représente le foncteur $A ↦
(A[X]/X^{p^{r+1}})^×$, l'action naturelle de $𝐙/p^{r+1}$
sur $E_{[q]}$ correspondant à la multiplication par $1+X$.
D'après \ref{structure Un sur Fp}, $E_{[q]}^{田}$
se surjecte sur le foncteur $W_{[q]}$ par \XXX.

Admettons un instant qu'il existe un morphisme
$B_{[q]}^{田} → W_{[q]}$ faisant commuter
le diagramme ci-dessous.

\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
 \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
{ E_{[q]}^{田} \pgfmatrixnextcell W_{[q]} \\ B_{[q]}^{田} \pgfmatrixnextcell W_{[q]}\\};
 \draw[->] (diag-1-1) --  (diag-2-1);
 \draw[->] (diag-1-2) -- node{$℘_{W_{[q]}}$} (diag-2-2);
 \draw[->>] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
 \draw[->,dotted] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}

En retournant les flèches — c'est-à-dire en passant aux $𝐅_p$-algèbres
représentant ces foncteurs — et en recollant ce diagramme avec le
précédent, on en déduit l'existence d'un carré commutatif :

\begin{center}\begin{tikzpicture}[auto]
 \matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]
{ K \pgfmatrixnextcell M_{[q]} \\ k \pgfmatrixnextcell M_{[q]}\\};
 \draw[<-] (diag-1-1) --  (diag-2-1);
 \draw[<-] (diag-1-2) -- node{$℘^{M_{[q]}}$} (diag-2-2);
 \draw[<-] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
 \draw[<-] (diag-2-1) -- node{$f$} (diag-2-2);
 \end{tikzpicture}
 \end{center}

On en déduit un morphisme de $k$-algèbres $M(f) →
K$ ; d'après \ref{revêtement ASW} et \refext{Versel}{Gal-G est un
groupoide} le morphisme $M(f) → K$ est un isomorphisme.

\begin{proposition2}
On a $F_p(E_p(-X)f)=E_p(-X)F_p(f)$ et la multiplication
par $E_p(-X)$ correspond à l'action d'un générateur
de $𝐙/p^r$ sur $E(𝐙/p^r)$. En conséquence, on a
un carré commutatif avec $B(𝐙/p^r) → E(𝐙/p^r)$ (morphisme
canonique) et $℘=F_p \ominus \Id : W_{[q]} → W_{[q]}$.
\end{proposition2}

\subsubsection{Seconde démonstration de \ref{ASW} (i) : méthode cohomologique}


\subsection{Composantes fantômes, structure d'anneau}\label{composantes fantômes}

\subsubsection{}Bien que l'exponentielle d'une série formelle $f ∈ W_∞(A)$ ne
soit pas définie en général — à cause des divisions par $n!$ —, on peut malgré
tout considérer sa dérivée logarithmique  On appelle \emph{morphisme fantôme} le morphisme
\[鬼: W_∞ → \Ga^∞\]
\[f ↦ X \frac{f ′}{f}.\]

\begin{proposition2}
morphisme ; injectif si sans $𝐙$-torsion, bijectif si $𝐐$-algèbre. Si
$𝐙_{(p)}$-algèbre $e_p$ « correspond » à $(a₁,a₂, …) ↦ (a_1,0, …,a_p,0,
…,a_{p²}, …)$.
\[鬼\big(∏(1-α_i t^i)\big)=\big(∑_{d|n} d α_{n/d}\big).\]
\end{proposition2}

\subsection{Algèbres simples-centrales de degré $p^r$}

\XXX

\begin{center}
Note bibliographique % cf. Serre, « Groupes algébriques et corps de classe »
\end{center}

Références : Serre, Groupes algébriques et corps de classe (chap. V,
§14--16) ; Demazure, Lectures on $p$-divisible groups (chap. III) ;
Hazewinkel, Witt vectors (Handbook of algebra, vol. 6) ;
Witt, Vektorkalkül und Endomorphismen der Einspotenzreihengruppe (Œuvres, № 24),
Bourbaki, Algèbre commutative (exercices), et surtout :
S. Bloch, Algebraic K-theory and crystalline cohomology (PMIHÉS 47).
Pour des vecteurs de Witt non-commutatifs, cf. Goerss, Lannes et Morel,
« Vecteurs de Witt non commutatifs et représentabilité de l'homologie modulo $p$ »

Voir aussi les articles de Witt, très bien écrits.

\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../biblio/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../biblio/style-bib-livre}
Git: \showgitstatus
\end{document}
\else
\endgroup
\fi