summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/brauer.tex
blob: 47eb669fdf3f0f0f1080b9e83f333caf9b3e4a02 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
1129
1130
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
1144
1145
1146
1147
1148
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
1221
1222
1223
1224
1225
1226
1227
1228
1229
1230
1231
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1240
1241
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1249
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
1397
1398
1399
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
1412
1413
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450
1451
1452
1453
1454
1455
1456
1457
1458
1459
1460
1461
1462
1463
1464
1465
1466
1467
1468
1469
1470
1471
1472
1473
1474
1475
1476
1477
1478
1479
1480
1481
1482
1483
1484
1485
1486
1487
1488
1489
1490
1491
1492
1493
1494
1495
1496
1497
1498
1499
1500
1501
1502
1503
1504
1505
1506
1507
1508
1509
1510
1511
1512
1513
1514
1515
1516
1517
1518
1519
1520
1521
1522
1523
1524
1525
1526
1527
1528
1529
1530
1531
1532
1533
1534
1535
1536
1537
1538
1539
1540
1541
1542
1543
1544
1545
1546
1547
1548
1549
1550
1551
1552
1553
1554
1555
1556
1557
1558
1559
1560
1561
1562
1563
1564
1565
1566
1567
1568
1569
1570
1571
1572
1573
1574
1575
1576
1577
1578
1579
1580
1581
1582
1583
1584
1585
1586
1587
1588
1589
1590
1591
1592
1593
1594
1595
1596
1597
1598
1599
1600
1601
1602
1603
1604
1605
1606
1607
1608
1609
1610
1611
1612
1613
1614
1615
1616
1617
1618
1619
1620
1621
1622
1623
1624
1625
1626
1627
1628
1629
1630
1631
1632
1633
1634
1635
1636
1637
1638
1639
1640
1641
1642
1643
1644
1645
1646
1647
1648
1649
1650
1651
1652
1653
1654
1655
1656
1657
1658
1659
1660
1661
1662
1663
1664
1665
1666
1667
1668
1669
1670
1671
1672
1673
1674
1675
1676
1677
1678
1679
1680
1681
1682
1683
1684
1685
1686
1687
1688
1689
1690
1691
1692
1693
1694
1695
1696
1697
1698
1699
1700
1701
1702
1703
1704
1705
1706
1707
1708
1709
1710
1711
1712
1713
1714
1715
1716
1717
1718
1719
1720
1721
1722
1723
1724
1725
1726
1727
1728
1729
1730
1731
1732
1733
1734
1735
1736
1737
1738
1739
1740
1741
1742
1743
1744
1745
1746
1747
1748
1749
1750
1751
1752
1753
1754
1755
1756
1757
1758
1759
1760
1761
1762
1763
1764
1765
1766
1767
1768
1769
1770
1771
1772
1773
1774
1775
1776
1777
1778
1779
1780
1781
1782
1783
1784
1785
1786
1787
1788
1789
1790
1791
1792
1793
1794
1795
1796
1797
1798
1799
1800
1801
1802
1803
1804
1805
1806
1807
1808
1809
1810
1811
1812
1813
1814
1815
1816
1817
1818
1819
1820
1821
1822
1823
1824
1825
1826
1827
1828
1829
1830
1831
1832
1833
1834
1835
1836
1837
1838
1839
1840
1841
1842
1843
1844
1845
1846
1847
1848
1849
1850
1851
1852
1853
1854
1855
1856
1857
1858
1859
1860
1861
1862
1863
1864
1865
1866
1867
1868
1869
1870
1871
1872
1873
1874
1875
1876
1877
1878
1879
1880
1881
1882
1883
1884
1885
1886
1887
1888
1889
1890
1891
1892
1893
1894
1895
1896
1897
1898
1899
1900
1901
1902
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
1910
1911
1912
1913
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
1923
1924
1925
1926
1927
1928
1929
1930
1931
1932
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
2026
2027
2028
2029
2030
2031
2032
2033
2034
2035
2036
2037
2038
2039
2040
2041
2042
2043
2044
2045
2046
2047
2048
2049
2050
2051
2052
2053
2054
2055
2056
2057
2058
2059
2060
2061
2062
2063
2064
2065
2066
2067
2068
2069
2070
2071
2072
2073
2074
2075
2076
2077
2078
2079
2080
2081
2082
2083
2084
2085
2086
2087
2088
2089
2090
2091
2092
2093
2094
2095
2096
2097
2098
2099
2100
2101
2102
2103
2104
2105
2106
2107
2108
2109
2110
2111
2112
2113
2114
2115
2116
2117
2118
2119
2120
2121
2122
2123
2124
2125
2126
2127
2128
2129
2130
2131
2132
2133
2134
2135
2136
2137
2138
2139
2140
2141
2142
2143
2144
2145
2146
2147
2148
2149
2150
2151
2152
2153
2154
2155
2156
2157
2158
2159
2160
2161
2162
2163
2164
2165
2166
2167
2168
2169
2170
2171
2172
2173
2174
2175
2176
2177
2178
2179
2180
2181
2182
2183
2184
2185
2186
2187
2188
2189
2190
2191
2192
2193
2194
2195
2196
2197
2198
2199
2200
2201
2202
2203
2204
2205
2206
2207
2208
2209
2210
2211
2212
2213
2214
2215
2216
2217
2218
2219
2220
2221
2222
2223
2224
2225
2226
2227
2228
2229
2230
2231
2232
2233
2234
2235
2236
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
\input{../config/preambule}
\input{../config/macros}
\title{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{KAS}
\externaldocument{descente}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{corps-c1}
\externaldocument{spectre}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres d'Azumaya et groupe de Brauer}
\fi

\newcommand{\deuxdeux}[4]{\left(\begin{matrix}#1&#3\\#2&#4\end{matrix}\right)}
\newcommand\troistrois[9]{\left(\begin{matrix}#1&#4&#7\\#2&#5&#8\\#3&#6&#9\end{matrix}\right)}

\section{Algèbres d'Azumaya}

\subsection{Définition et interprétation cohomologique}

\begin{définition2}\label{definition Azumaya}\index{algèbre
d'Azumaya}
Soit $k$ un corps. Une \emph{algèbre
d'Azumaya}\footnote{D'après le mathématicien japonais
AZUMAYA Gorô {\IPAMincho 東屋 五郎}.} sur $k$ est une $k$-algèbre de dimension finie $A$,
non nécessairement commutative, telle qu'il existe
une extension finie $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme d'algèbres entre $A_K=A⊗_k K$ 
et une algèbre de matrices carrées sur $K$. L'entier
$\sqrt{\dim_k A}$ est le \emph{degré} de $A$
et on dit que l'extension $K\bo k$ \emph{trivialise} $A$. 
\end{définition2}

En d'autres termes, une $k$-algèbre d'Azumaya de degré $n$
trivialitée par $K\bo k$ est, au sens de \refext{formes}{formes}, une
$K\bo k$-forme de la $k$-algèbre $𝐌_n(k)$.

Il résulte immédiatement de la définition que si 
$A$ est une $k$-algèbre d'Azumaya et $k'\bo k$
est une extension, $A_{k'}=A⊗_k k'$ est une $k'$-algèbre
d'Azumaya. (Ces conditions sont d'ailleurs équivalentes.)

\begin{lemme2}\label{trivialisation Azu descend au niveau fini}
Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture algébrique de $k$,
$r ≥ 0$ un entier et $A$ une $k$-algèbre. Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item la $k$-algèbre $A$ est d'Azumaya, de degré $r$ ;
\item il existe un isomorphisme de $Ω$-algèbres $A_Ω ≃ 𝐌_r(Ω)$ ;
\item il existe une extension $K\bo k$ et un $K$-isomorphisme $A_K ≃ 𝐌_r(K)$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
Les faits non triviaux résultent de \refext{Formes}{formes définies sur kalg}.
\end{démo}

\subsubsection{}Pour tout entier $n≥1$ et toute extension
$K\bo k$, notons $\Azu(n,k)$ (resp. $\Azu(n,K\bo k)$)
l'ensemble des classes de $k$-\emph{isomorphisme} d'algèbres d'Azumaya de degré $n$
(resp. de degré $n$ et trivialisées par $K\bo k$). 
En vue d'obtenir une description cohomologique des
\emph{ensembles} $\Azu(n,K\bo k)$, commençons par étudier
$\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$.

\begin{theoreme2}[Skolem-Nœther]\label{Skolem-Noether sur corps}
Soient $K$ un corps et $n≥1$ un entier.
Le morphisme $\GL_n(K)→\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K))$,
$g↦\mathrm{Int}(g)=(m↦gmg^{-1})$
induit un isomorphisme
\[
\PGL_n(K)=\GL_n(K)/K^× ⥲\Aut_{K\traitdunion\Alg}(𝐌_n(K)).
\]
\end{theoreme2}

\begin{démo}
Le centre de $𝐌_n(K)$ étant constitué des matrices scalaires
l'injectivité est évidente. Il suffit donc de démontrer
la surjectivité. Notons $e=(e₁,…,e_n)$ la base canonique de $K^n$
et, pour chaque paire d'indices $1≤i,j≤n$,
$E_{i,j}$ l'endomorphisme envoyant $e_k$ sur $e_i$ si $j=k$
ou sur $0$ sinon. On a $E_{i,j}E_{k,l}=δ_j^k E_{i,l}$,
où $δ$ est le symbole de Kronecker,
et $∑_i E_{i,i}=\Id_{K^n}$. Fixons un automorphisme $φ ∈ \Aut(\End_K(K^n))$
et considérons pour chaque $i∈\{1,…,n\}$ les sous-$K$-espaces vectoriels $L_i⊆K^n$ images
des idempotents orthogonaux $φ(E_{i,i})$. L'application
$v↦\big(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{n,n})v\big)$ est un isomorphisme
de $K^n$ sur $L₁ ⊕ \cdots ⊕ L_n$,
d'inverse $(l₁,…,l_n)↦∑_i φ(E_{i,i})l_i$. D'autre part,
pour toute paire $(i,j)$, l'endomorphisme
$φ(E_{j,i})$ de $K^n$ induit une application linéaire $ν_{j,i}:L_i → L_j$.
Ces applications vérifient les relations 
$ν_{k,j}ν_{j,i}=ν_{k,i}$ et $ν_{i,i}=\Id_{L_i}$. 
Il en résulte que les $ν_{j,i}$
sont des isomorphismes et que — écrivant $L_φ$ pour $L_1$ —
l'application $K^n→L_φ^n$, $v ↦ \big(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{1,n})v\big)$,
est un isomorphisme de $K$-espaces vectoriels,
d'inverse $ι_φ:(x₁,…,x_n)∈L_φ^n↦∑_i φ(E_{i,1})x_i∈K^n$.
Pour tout $K$-espace vectoriel $V$,
et tout endomorphisme $f∈\End_K(K^n)$, notons
$f_{V,n}$ l'endomorphisme de $V^n$ 
\[
(v₁,…,v_n)↦(a_{11}v₁+a_{12}v₂+\cdots+a_{1n}v_n,…,a_{n1}v₁+a_{n2}v₂+\cdots+a_{nn}v_n)
\]
où $(a_{ij})$ est la matrice de $f$ dans la base canonique.
(C'est l'endomorphisme déduit de l'endomorphisme $\Id_V ⊗_K f$ de
$V⊗_K K^n$ par l'isomorphisme canonique $V⊗_K K^n ⥲ V^n$,
$v⊗(λ₁,…,λ_n)↦(λ₁v,…,λ_n v)$.)
Avec cette notation on a, par construction, 
\[
φ(f)=ι_φ ∘ f_{L_φ,n}∘ ι_φ^{-1}
\]
si $f=E_{i,j}$.
Il en résulte, par linéarité, que
cette égalité est valable pour tout $f∈\End_K(K^n)$.
La conclusion résulte du fait que $L_φ$ est (non canoniquement) isomorphe à $K$
si bien que $f_{L_φ,n}$ est conjugé à $f$.
[Écrire un diagramme commutatif à deux carrés ?\XXX]
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{Brn=H1PGLn}
Soient $K\bo k$ une extension \emph{finie galoisienne} et $n≥1$ un
entier.
L'application \refext{Formes}{formes vers H1} induit une bijection
\[\Azu(n,K\bo k)⥲H¹(K\bo k,\PGL_n(K)).\]
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Par définition, $\Azu(n,K\bo
k)=\mathrm{Formes}(\text{algèbre }𝐌_n,K\bo k)$.
La donnée d'une structure de $k$-algèbre sur un $k$-espace
vectoriel
$A$ de rang $n²$ correspond à la donnée d'une application
$k$-bilinéaire $A×A→A$, dite
« multiplication » (supposée associative).
Une telle application correspondant une application
$k$-linéaire $A⊗_k A→A$,
c'est-à-dire à un tenseur de type $(1,2)$.
On peut donc appliquer le théorème général \refext{formes}{formes des
tenseurs=CG} et le corollaire précédent pour conclure.
\end{démo}

\begin{remarque2}\label{rang projecteur}
Si $φ$ est un automorphisme de $𝐌_n(K)$, il résulte du théorème précédent
que chaque $p_i=φ(E_{i,i})$ est un projecteur de rang un. Cela peut se voir
directement de la façon suivante. Pour tout projecteur $p$ dans $𝐌_n(K)$,
posons \[P_p(X)=\det\big(1_{𝐌_n(K)}+(X-1)p\big) ∈ K[X].\] Il est immédiat
que $P_p(X)=X^r$ où $r$ est le rang de $p$. D'autre part, si $p$ et $p'$ sont
deux projecteurs orthogonaux (c'est-à-dire $p²={p'}²=1_{𝐌_n(K)}$ et $p
p'=p'p=0_{𝐌_n(K)}$), on a $P_p P_{p'}=P_{p+p'}$ : cela résulte de la multiplicativité du déterminant.
D'autre part, les matrices $E_{i,i}$ étant conjuguées dans $𝐌_n(K)$,
il en est de même des $p_i$. Il en résulte que les $P_{p_i}$ sont tous égaux
à un même polynôme $P$. Les $p_i$ étant orthogonaux deux-à-deux
et de somme $1_{𝐌_n(K)}$, on a $P^n=P_{p₁+p₂+\cdots+p_{n}}=P_{1_{𝐌_n(K)}}=X^n$.
Comme d'autre part $P(1)=1$, on a nécessairement $P(X)=X$. Les projecteurs $φ(E_{i,i})$
sont de rang un. Insistons sur le fait que l'égalité $\Tr(p)=1_K$ ne suffit pas
à garantir que le rang de $p$ soit un ; considérer par exemple l'identité
de $𝐌_3(𝐅₂)$.
\end{remarque2}

Comme nous le verrons dans l'addendum (§\ref{Addendum Skolem-Noether}),
une extension du théorème de Skolem-Nœther au cas d'une $k$-algèbre
$K$ n'étant pas nécessairement un corps, jointe au théorème général
\refext{Formes}{critère forme étale} permettent de démontrer le théorème
suivant, dont on trouvera une autre démonstration, plus élémentaire,
en \ref{seconde démonstration Azumaya étale}.

\begin{théorème2}\label{trivialisation Azumaya étale}
Toute algèbre d'Azumaya sur un corps $k$ est trivialisée par une extension
étale.
\end{théorème2}


\begin{remarque2}

Nous verrons en \refext{descente}{dérivations Mn sont intérieures} que
l'énoncé \ref{Skolem-Noether sur corps} admet un analogue 
différentiel : toute $k$-dérivation de $𝐌_n(k)$
est intérieure. En d'autres termes, toute application $k$-linéaire
$δ:𝐌_n(k)→𝐌_n(k)$ satisfaisant les relations $δ(xy)=x δ(y)+y δ(x)$
est de la forme $m ↦ xm-mx=[x,m]$ pour une matrice $x ∈ 𝐌_n(k)$
(bien définie à translation par une homothétie près).
Ceci nous permettra de donner au chapitre \refext{descente}{}
une description « cohomologique » des $K\bo k$-formes de $𝐌_n$
quand on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ séparable
mais de la forme $K=k(\sqrt[p]{a₁},…,\sqrt[p]{a_n})$
où $p>0$ est la caractéristique
de $k$ et les $a_i$ appartiennent à $k$. (Une telle
extension est dite « radicielle de hauteur $1$ », \refext{RT}{}.)
Observons d'ores et déjà que s'il est tentant
« déduire » du corollaire précédent et de
l'égalité $k\sep ∩ K=k$ (dans une clôture algébrique commune)
qu'une $k$-algèbre devenant isomorphe à $𝐌_n$
après extension (radicielle) des scalaires de $k$ à $K$ est $k$-isomorphe à $𝐌_n$, il n'en est rien.
On vérifie en effet sans peine que si $k$ est un corps de caractéristique $2$,
l'algèbre (de quaternions, cf. \ref{})
$k⊕ ki ⊕ kj ⊕ kij$ où $i²-i=a ∈ k$, $j²=b ∈ k$ et
$jij^{-1}=i+1$ est isomorphe à $M₂$ dès que $b$ est un carré
dans $k$. Pourtant si par exemple $k=𝐅₂(t)$, $a=t^{-1}$ et $b=t$
elle n'est pas $k$-isomorphe à $𝐌₂(k)$. \XXX
\end{remarque2}

\subsection{$2$-cocycle associé à une algèbre d'Azumaya}\label{Brauer et H2}
Afin de décrire par des méthodes cohomologiques
et « collectivement », c'est-à-dire indépendamment du degré, 
les algèbres d'Azumaya sur $k$ trivialisées par une
extension 
finie galoisienne $K\bo k$ nous allons associer à toute
classe de $1$-cocycle dans $H¹(K\bo k,\PGL_n(K))$
une classe de « $2$-cocycle » à valeurs dans le groupe
\emph{abélien} $K^×$.

\subsubsection{}Considérons la suite exacte de groupes
\[
1→K^×→\GL_n(K)→\PGL_n(K)→1,
\]
que nous réécrivons $1→A→E\dessusdessous{p}{→}G→1$ pour
alléger les notations, et un $1$-cocycle $c$ de $Π=\Gal(K\bo
k)$ à valeurs dans $G$.
Soit un $C$ un relèvement de $c$ c'est-à-dire une
application $Π→E$
satisfaisant $p∘C=c$. Pour toute paire $(σ,τ)∈Π²$, posons
\begin{equation}\label{construction 2-cobord}
ΔC(σ,τ)=C(σ)⋅{^ σ C(τ)}⋅C(στ)^{-1}∈E.
\end{equation}
Il résulte de l'égalité $c(στ)=c(σ)⋅{^ σ c(τ)}$
(cf. \refext{formes}{généralités 1-cocycles}) 
et du fait que la suite exacte ci-dessus est
$Π$-équivariante (de sorte que
$p({^σ e})={^σ p(e)}$ pour tout $e∈E$) que la fonction
$ΔC:Π²→E$ est à valeur
dans $A=\Ker(p)$. On vérifie par de simples calculs,
effectués en détail en \refext{Coho}{}\XXX, les faits
suivants :
\begin{enumerate}
\item La fonction $f=ΔC$ satisfait les relations
(en notation additive)
\begin{equation}\label{condition 2-cocycle}
{^σ f(τ,υ)}-f(στ,υ)+f(σ,τυ)-f(σ,τ)=0
\end{equation}
pour tout triplet $(σ,τ,υ)$ d'éléments de $Π$ : cela résulte
du fait que $E$ est une extension \emph{centrale} de $G$ par
$A$
(càd $A$ contenu dans le centre du groupe $E$).
\item Si $c'$ est un $1$-cocycle cohomologue à $c$,
c'est-à-dire de la forme $c'(σ)=g^{-1}⋅c(σ)⋅{^σ g}$ pour un
$g$ dans $G$,
et $e$ est un relèvement de $g$ dans $E$, on a l'égalité
$ΔC=ΔC'$ où $C'(σ)=e^{-1}⋅C(σ)⋅{^σ e}$.
\item Soient $C$ et $C'$ deux relèvements de $c$ à $E$. 
\begin{itemize}
\item Il existe pour chaque $σ∈Π$ un unique
$a_σ∈A$ tel que $C'(σ)=a_σ C(σ)$.
\item Il résulte du fait que l'extension est centrale que
l'on a, 
pour toute paire $(σ,τ)$ d'éléments de $Π$ (en notation
multiplicative)
\begin{equation}\label{2-cocycles cohomologues}
f'(σ,τ)=a_σ⋅{^σ a_τ}⋅a_{στ}^{-1}⋅f(σ,τ),
\end{equation}
où $f'=ΔC'$ et $f= ΔC$.\end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{définition2}\label{définition 2-cocycle}
Soit $A$ un $Π$-module, c'est-à-dire un groupe abélien muni
d'une action de $Π$ respectant l'addition.
Une fonction $f:Π²→A$ satisfaisant les relations
\ref{condition 2-cocycle}
est appelée un \emph{$2$-cocycle} à valeurs dans $A$. (Les
relations ci-dessus
sont appelées « relations de $2$-cocycle ».) On note
$Z²(Π,A)$ leur ensemble,
naturellement muni d'une structure de groupe abélien.
Deux $2$-cocycles $f$ et $f'$ sont dit \emph{cohomologues}
s'il existe
une fonction $a:Π→A$ telle que les relations \ref{2-cocycles
cohomologues}
soient satisfaites. C'est une relation d'équivalence
compatible
à l'addition des $2$-cocycles, et l'on note $H²(Π,A)$ 
le groupe quotient de $Z²(Π,A)$ correspondant.
\end{définition2}

\subsubsection{}\label{notation H(K/k)}Conformément à l'usage et afin d'alléger les notations, 
nous écrirons souvent $\Gm$ pour désigner le groupe
multiplicatif $\GL₁$
ainsi que $H¹(K\bo k,\PGL_n)$ (resp. $H¹(K\bo
k,\GL_n)$, $H²(K\bo k,\Gm)$) pour désigner l'ensemble
$H¹(K\bo k,\PGL_n(K))$ (resp.
$H¹(K\bo k,\GL_n(K))$, le groupe $H²(K\bo k,K^×)$).

\subsubsection{}\label{cobord Brauer}D'après ce qui précède, si $x∈H¹(K\bo k,\PGL_n)$ est la
classe d'un $1$-cocycle
$c$, et $C$ est un relèvement de $c$ à $\GL_n(K)$, la classe
du $2$-cocycle $ΔC$
dans $H²(K\bo k,\Gm)$ ne dépend ni du choix de $c$, ni du
choix de $C$.
En d'autres termes, on a construit une application
dite « cobord »
\[
H¹(K\bo k,\PGL_n)→H²(K\bo k,\Gm),
\]
dont on déduit, par \ref{Brn=H1PGLn}, une application
$δ_{n,K\bo k}:\Azu(n,K\bo k)→H²(K\bo k,\Gm)$.
C'est une application d'ensembles pointés : $δ$ envoie la
classe d'isomorphisme de $𝐌_n(k)$ sur la classe d'équivalence du
$2$-cocycle trivial.

En faisant varier $n$, on obtient une application
\[
δ^{\Azu}_{K\bo k}:\Azu(K\bo k)=∐_n \Azu(n,K\bo k)→H²(K\bo
k,\Gm).
\]
Le terme de droite est un groupe (la somme et la différence
de deux $2$-cocycles à
valeurs dans un groupe abélien sont des $2$-cocycles). Quant
au terme
de gauche, il peut-être muni d'une structure de monoïde
commutatif en
posant $[A_n]⋅[B_m]=[A_n⊗_k B_m]∈\Azu(nm,K\bo k)$ où $A_n$
et $B_m$ sont des
algèbres d'Azumaya de rang respectivement $n$ et $m$, de
classes
d'isomorphisme notées entre crochets.
Le fait que $A_n⊗B_m$ soit une algèbre d'Azumaya
résulte des isomorphismes d'algèbres :
\begin{enumerate}
\item $𝐌_n(K)⊗_K 𝐌_m(K)⥲𝐌_{nm}(K)$ donné par le 
produit de Kronecker (cf. \refext{Alg}{pdt tens indépendant
des bases}, démonstration)
qui est une variante matricielle de l'isomorphisme
$\End_K(V)⊗_K \End_K(W)⥲\End_K(V⊗W)$, 
caractérisé par $f⊗g↦\big(v⊗w↦f(v)⊗g(w)\big)$ où $V$ et $W$
sont deux $K$-espaces vectoriels de dimensions finies ;
\item $(A⊗_k B)⊗_k K⥲A_K ⊗_K B_K$, caractérisé par
$(a⊗b)⊗λ↦(a⊗λ)⊗(b⊗1)=(a⊗1)⊗(b⊗λ)$ (cf. \refext{Tens}{}).
\end{enumerate}

\begin{proposition2}\label{multiplicativité cobord Azu}
L'application $δ_{K\bo k}$ est un morphisme de monoïdes :
si $A$ et $B$ sont deux algèbres d'Azumaya de rangs
$n$ et $m$ respectivement, on a l'égalité
dans $H²(K\bo k,\Gm)$
\[δ_{nm,K\bo k}([A⊗B])=δ_{n,K\bo k}([A])+δ_{m,K\bo k}([B]).\]
\end{proposition2}

La démonstration est formelle — il suffit simplement
de mettre bout à bout les définitions — mais fastidieuse.
Nous encourageons le lecteur à en omettre la lecture.

\begin{démo}
{\renewcommand{\Int}{\mathrm{Int}}
Commençons par rappeler que pour toute $k$-algèbre $C$,
le groupe $Π$ agit naturellement sur $C_K=C⊗_k K$ par son action sur
le second facteur. Nous noterons $σ↦σ_C$, $Π→\Aut_K(C_K)$
cette action. Fixons des isomorphismes $φ:𝐌_n(K)⥲A_K$ et $ψ:𝐌_m(K)⥲B_K$.
Pour tout $σ∈Π$, notons $a_A(σ)$ (resp. $a_B(σ)$) l'automorphisme
$φ^{-1}∘σ_A∘φ∘σ_{𝐌_n}^{-1}$ (resp. $ψ^{-1}∘σ_B∘ψ∘σ_{𝐌_m}^{-1}$)
de $𝐌_n(K)$ (resp. $𝐌_m(K)$). D'après \ref{Skolem-Noether},
il existe des matrices inversibles $C_A(σ)∈\GL_n(K)$ et $C_B(σ)∈\GL_m(K)$
telles que $a_A(σ)=\Int(C_A(σ))$ et $a_B(σ)=\Int(C_B(σ))$, où
$\Int(g)$ désigne la conjugaison $m↦gmg^{-1}$.
Par définition (\refext{formes}{definition cocycle forme}),
$C_A$ (resp. $C_B$) est un relèvement à $\GL_n(K)$ (resp. $\GL_m(K)$)
d'un $1$-cocycle à valeurs dans $\PGL_n(K)$ (resp. $\PGL_m(K)$)
de classe $[A]$ (resp. $[B]$) dans $H¹(Π,\GL_n)$ (resp. $H¹(Π,\GL_m)$).
Posons $C=A⊗_k B$ et notons $ξ:𝐌_{nm}(K)→C_K$ l'inverse de l'isomorphisme
composé 
\[C_K=(A⊗_k B)_K⥲A_K⊗_K B_K⥲𝐌_n(K)⊗_K 𝐌_m(K) ⥲ 𝐌_{nm}(K),\]
déduit de (i) et (ii) ci-dessus.
Le premier isomorphisme est $Π$-équivariant si l'on fait
agir chaque $σ∈Π$ diagonalement sur $A_K⊗_K B_K$, 
c'est-à-dire via $σ_A⊗σ_B$. En d'autres termes, $σ_C$ « correspond » à $σ_A⊗σ_B$.
Il en résulte que pour chaque $σ∈Π$, l'automorphisme
$a_C(σ)=ξ^{-1}∘σ_C∘ξ∘σ_{𝐌_{nm}}^{-1}$ est $\Int(C_C(σ))$,
où $C_C(σ)$ est le produit de Kronecker $C_A(σ)⊗C_B(σ)$ des matrices
inversibles $C_A(σ)$ et $C_B(σ)$.
Il résulte de la compatibilité $(g⊗g')(h⊗h')=(gh)⊗(g'h')$ entre produit
de Kronecker et produit matriciel que l'on a 
\[
ΔC_C(σ,τ)=ΔC_A(σ,τ)⊗ΔC_B(σ,τ),
\]  
où $ΔC$ est défini comme en \ref{construction 2-cobord}.
Les matrices $ΔC_A(σ,τ)$ et $ΔC_B(σ,τ)$ sont ici des matrices scalaires ;
la matrice $ΔC_C(σ,τ)$ est donc la matrice scalaire dont 
le facteur d'homothétie est le produit des facteurs d'homothétie.
(En effet, l'isomorphisme (i) ci-dessus
envoie la matrice $λ\Id_n⊗μ\Id_m$ sur la matrice $λμ\Id_{nm}$.)
Puisque, par définition, $ΔC_C$ représente le $2$-cocycle associé à $[C]$, on a bien
l'égalité $[C]=[A]+[B]$, en notation additive.}
\end{démo}

Cette proposition est un ingrédient essentiel
qui nous permettra ci-après d'obtenir 
une description cohomologique du \emph{groupe de Brauer}, 
que nous allons maintenant définir.

\section{Groupe de Brauer}\label{définition équivalence algèbres
Azumaya}
\subsection{Définition}
\subsubsection{}Soient $k$ un corps et $K\bo k$ une extension.
Notons $\Br(k)$ (resp. $\Br(K\bo k)$) 
le quotient du monoïde $\Azu(k)$ des classes d'isomorphismes
de $k$-algèbres d'Azumaya
(resp. du monoïde $\Azu(K\bo k)$ des classes d'isomorphismes
de $k$-algèbres 
d'Azumaya trivialisées par $K\bo k$) par la relation
d'équivalence : 
$A≈B$ s'il existe des entiers $m,n$ et des isomorphismes
$A⊗_k 𝐌_m(k)≃B⊗_k 𝐌_n(k)$.
Il résulte de la proposition ci-dessous que les monoïdes
commutatifs $\Br(k)$ et $\Br(K\bo k)$ sont des
\emph{groupes}.
D'autre part, il est évident que $\Br(K\bo k)$
est le noyau du morphisme d'extension des scalaires
$\Br(k)→\Br(K)$, $A↦A_K$.

\begin{définition2}\label{définition  groupe de Brauer}
Le groupe $\Br(k)$ est appelé \emph{groupe de
Brauer}\index{groupe de Brauer}
de $k$.
\end{définition2}

\subsection{Structure de groupe et description cohomologique}

\begin{proposition2}
Soit $A$ une algèbre d'Azumaya sur $k$.
L'application $k$-bilinéaire
$A×A→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$,
$(a,b)↦\big(x↦axb\big)$ induit un isomorphisme de
\emph{$k$-algèbres}
\[
A⊗_k A\op⥲\End_{k\traitdunion\ev}(A),
\]
où $A⊗_k A\op$ est la $k$-algèbre dont l'espace vectoriel
sous-jacent
est $A⊗_k A$ et dont la structure d'algèbre est définie par
les relations $(a⊗b)(a'⊗b')=(aa')⊗(b'b)$ pour tout
quadruplet $a,b,a',b'$
d'éléments de $A$.
\end{proposition2}

Remarquons que le morphisme $A⊗_k
A\op→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$
correspond à la structure naturelle de $(A,A)$-bimodule
sur $A$ (cf. \refext{Tens}{}) et que
$\End_{k\traitdunion\ev}(A)≃𝐌_n(k)$, où $n=\dim_k(A)$,
s'envoie
sur l'unité de $\Br(k)$.

\begin{démo}
Par construction, l'application $k$-linéaire $f^A:A⊗_k
A→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$
déduite de $A×A→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$ induit un
morphisme d'algèbres
$A⊗_k A\op→\End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où la structure
d'anneau sur $\End_{k\traitdunion\ev}(A)$
est bien entendu donnée par la composition des
endomorphismes.
Soit $d$ la dimension de $A$ sur $k$. Puisque 
$\dim_k(A⊗_k A)=d²=\dim_k \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, 
il suffit de démontrer que l'application
linéaire $f^A$ est injective. Soit $K\bo k$ une extension
trivialisant
$A$. L'application linéaire ${f^A}_K$ obtenue par extension
des scalaires s'identifie
à l'application $f^{A_K}:A_K⊗_K
A_K→\End_{K\traitdunion\ev}(A_K)$ et $f^A$ est bijective
si et seulement si ${f^A}_K$ l'est. On se ramène donc
à démontrer la proposition dans le cas particulier où
$A=𝐌_n(k)$.
Le $k$-espace vectoriel $𝐌_n(k)⊗𝐌_n(k)$ est libre de base
les
$E_{i,j}⊗E_{s,t}$ ($1≤i,j,s,t≤n$). Considérons des
coefficients $λ_{i,j}^{s,t}$
tels que
$f^{𝐌_n(k)}(∑_{(i,j,s,t)}λ_{i,j}^{s,t}E_{i,j}⊗E_{s,t})=0$
c'est-à-dire, pour toute matrice $m∈𝐌_n(k)$ :
\[
∑_{(i,j,s,t)} λ_{i,j}^{s,t}E_{i,j}mE_{s,t}=0.
\]
Si $m=E_{p,q}$, cette relation devient
$∑_{(i,t)}λ_{i,p}^{q,t}E_{i,t}=0$,
ou encore $λ_{i,p}^{q,t}=0$ pour toute paire d'indices
$(i,t)$ car les matrices $E_{i,t}$ sont libres
sur $k$. Le noyau de $f^{𝐌_n(k)}$ est donc trivial ; 
$f^{𝐌_n(k)}$ est un isomorphisme. 
\end{démo}

\subsubsection{}\label{notations Azu-Brauer}Il résulte de la proposition \ref{multiplicativité cobord
Azu}
que l'application $δ^{\Azu}_{K\bo k}$ induit par passage au
quotient
un morphisme de groupes $δ^{\Br}_{K\bo k}:\Br(K\bo
k)→H²(K\bo k,\Gm)$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row
sep=5ex]{
& A \text{ mod. isom.} & A \text{ mod. équiv.}\\
∐_n H¹(K\bo k,\PGL_n) & \Azu(K\bo k)=∐_n \Azu(n,K\bo k) &
\Br(K\bo k)\\
&H²(K\bo k,\Gm)& \\};
\draw[|->] (diag-1-2) -- (diag-1-3);
\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-3-2);
\draw[->] (diag-2-2) -- node{$δ^{\Azu}_{K\bo k}$}
(diag-3-2);
\draw[->] (diag-2-3) -- node{$δ^{\Br}_{K\bo k}$} (diag-3-2);
\draw[<-] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
\draw[<<-] (diag-2-3) -- (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{théorème2}\label{description cohomologique Brauer extension finie}
Le morphisme $δ^{\Br}_{K\bo k}$ est un \emph{isomorphisme}.
\end{théorème2}

\begin{démo}
Injectivité. Soit $b∈\Br(K\bo k)$ dans le noyau de
$δ^{\Br}_{K\bo k}$.
Considérons une algèbre d'Azumaya $A$ donc la classe
d'équivalence
(au sens de \ref{définition équivalence algèbres Azumaya})
est $b$ et
notons $n$ son rang. Par définition de $δ^{\Br}$, on
a $δ^{\Br}_{K\bo k}(b)=δ_{n,K\bo k}([A])$, qui est donc nul,
où 
$[A]∈\Azu(n,K\bo k)$ est la classe d'\emph{isomorphisme} de
$A$.
Par construction de $δ_{n,K\bo k}$, la nullité de la classe
de cohomologie
$δ_{n,K\bo k}([A])$ signifie que si $c:Π→\PGL_n(K)$ un
$1$-cocycle
représentant l'image de $[A]$ dans $H¹(K\bo k,\PGL_n)$, et
$C$ un
relèvement quelconque dans $\GL_n$, il existe une fonction
$λ:Π→K^×$
telle que $ΔC(σ,τ)=λ_σ⋅{^σ λ_τ}⋅λ_{στ}^{-1}$
(\ref{2-cocycles cohomologues}), 
où $ΔC(σ,τ)=C(σ)⋅{^ σ C(τ)}⋅C(στ)^{-1}∈K^×$
(\ref{construction
2-cobord}). Ces deux égalités, valables pour toute paire
$(σ,τ)$,
ont pour conséquence que $C':σ↦λ_σ^{-1}C(σ)$, qui est un
autre relèvement
de $c$, est un $1$-cocycle à valeurs dans $\GL_n(K)$.
D'après
\ref{Hilbert 90}, $C'$ est nécessairement cohomologue au
cocycle
trivial. Il en est donc de même de son image $c$ par
composition
avec l'application $\GL_n(K)↠\PGL_n(K)$. La classe de $c$
dans
$H¹(K\bo k,\PGL_n(K))$ étant triviale, $A$ est $k$-isomorphe
à $𝐌_n(k)$ (cf. \ref{Brn=H1PGLn}). La classe d'équivalence
$b$ de $A$ dans $\Br(K\bo k)$ est donc triviale ; puisque
$δ^{\Br}_{K\bo k}$ est un morphisme de groupes, cela suffit
pour
démontrer l'injectivité.

Surjectivité. Soit $n=\# Π=[K:k]$. On va montrer, plus
précisément, 
que l'application $δ_{n,K\bo k}^{\Azu}:\Azu(n,K\bo
k)→H²(K\bo k,\Gm)$
est surjective ou encore, de façon équivalente, que
l'application 
$δ_{n,K\bo k}:H¹(K\bo k,\PGL_n)→H²(K\bo k,\Gm)$ l'est.
Par construction (\ref{construction 2-cobord}), cela revient
à vérifier que tout $2$-cocycle $f:Π→K^×$
peut s'écrire sous la forme $f(σ,τ)=C(σ)⋅{^σ
C(τ)}⋅C(στ)^{-1}$
où $C$ est à valeurs dans $\GL_n(K)$.
Fixons $f$ ainsi qu'un $K$-espace vectoriel $V$ ayant une
base $e$ indicée par les éléments de $Π$. Pour tout $σ∈Π$, 
considérons l'automorphisme $C(σ)∈\GL(V)$
envoyant chaque $e_τ$ sur $f(σ,τ)e_{στ}$.
Par construction, on a
\[\big(C(σ)⋅{^σ C(τ)}\big)(e_υ)=C(σ)\big(σ(f(τ,υ))e_{τυ}\big)=\big(f(σ,τυ)⋅σ(f(τ,υ))\big)e_{στυ}. \]
D'autre part, calculons :
\[\big(f(σ,τ)C(στ)\big)(e_υ)=\big(f(σ,τ)f(στ,υ)\big)e_{στυ}.\]
L'application $f$ étant un $2$-cocycle, on a $f(σ,τ)f(στ,υ)=f(σ,τυ)⋅σ(f(τ,υ))$
(forme multiplicative de \ref{condition 2-cocycle})
de sorte que $C(σ)⋅{^σ C(τ)}=f(σ,τ)C(στ)$. CQFD.
\end{démo}

\begin{remarque2}\label{premier bout suite exacte longue}
Le lecteur remarquera que la démonstration de l'injectivité
est formelle : avec les notations de \ref{Brauer et H2}, on
a vérifié
que la suite $H¹(Π,E)→H¹(Π,G)\dessusdessous{δ}{→}H²(Π,A)$
est exacte
au sens où $c∈H¹(Π,G)$ satisfait $δ(c)=0∈H²(Π,A)$ si et
seulement
si $c$ est dans l'image de $H¹(Π,E)→H¹(Π,G)$. (Cf.
\refext{Coho}{}.)
\end{remarque2}

\begin{remarques2}
Le théorème précédent peut-être vu comme l'analogue
abstrait de la description autrefois classique du groupe
de Brauer $\Br(K\bo k)$, où $K\bo k$ est finie galoisienne
de groupe $Π$, en termes de « produits croisés ».
Si $f$ est un $2$-cocycle $Π → K^×$, on munit l'espace vectoriel
$⨁_{σ∈Π} Ke_σ$ de la structure de $k$-algèbre suivante :
$e_σ⋅e_τ=f(σ,τ)e_{στ}$ et $e_σ⋅λ=σ(λ)⋅e_σ$, où $σ,τ∈Π$ et
$λ∈K$. On vérifie sans peine qu'une telle algèbre est
associative — cela résulte des
équations \ref{condition 2-cocycle}
parfois dites « de Nœther » —, \emph{simple}
(\ref{définition artinien simple primitif}), de centre $k$ et de rang $[K:k]²$.
Prendre garde au fait que cette description est seulement valable
dans le groupe de Brauer, c'est-à-dire après passage au quotient
par la relation d'équivalence (§\ref{définition équivalence algèbres Azumaya}) :
il existe des algèbres d'Azumaya qui ne sont pas \emph{isomorphes}
à des produits croisés. Voir \cite{central@Amitsur} pour le premier
exemple construit ou \cite{BHN@Roquette} (spécialement §7.2) pour une mise en perspective
historique de ces questions. Enfin, on pourra observer que la construction
d'une algèbre d'Azumaya produit croisé associé à un $2$-cocycle est très
semblable à la description générale \refext{Formes}{formes algèbres et cocycles}
(cf. \cite[29.11]{Involutions@KMRT} pour des détails).
\end{remarques2}

\begin{exercice2}
Vérifier la simplicité du produit croisé.
\end{exercice2}

\section{Algèbres de quaternions}

\subsection{Définition et premières propriétés}

{
\def\i{\mathsf{i}}
\def\j{\mathsf{j}}
\def\k{\mathsf{k}}

\subsubsection{}\label{définition quaternions}Soit $K$ un corps de
caractéristique différente de deux. Pour toute paire $(a,b)∈K^× × K^×$, considérons
la $K$-algèbre
\[
\quater{a,b}{K}=K⊕K\i⊕K\j⊕K\k
\]
caractérisée par les relations
\[
\i²=a,\j²=b,\k²=-ab
\]
et
\[
\i\j=\k=-\j\i.
\]
Une telle algèbre est une \emph{algèbre de quaternions}\index{algèbre de
quaternions} sur $K$. Cette définition généralise celle
du corps non commutatif $𝐇:=\quater{-1,-1}{𝐑}$ des quaternions de Hamilton.
Remarquons également que la construction précédente a un sens
dès que $K$ est un anneau commutatif.

\begin{remarque2}
La définition précédente n'est la « bonne » que si $K$ est supposé
de caractéristique différente de deux. Donner la définition dans ce cas
et modifier les énoncés ci-dessous. \XXX
\end{remarque2}

Par construction, le sous-anneau $K[\i]$
d'une $K$-algèbre de quaternions $\quater{a,b}{K}$ 
est isomorphe au quotient $K[X]/(X²-a)$. Si $a ∉K²$, cette $K$-algèbre
de dimension deux est un corps ; dans le cas contraire, elle est isomorphe à $K²$ et
$\quater{a,b}{K}$ n'est donc pas intègre. De même pour $K[\j]$ et $b$.
Plus précisément :

\begin{lemme2}\label{critère trivialité algèbre quaternions}
Si l'un des éléments $a,b$ est un carré dans $K$,
la $K$-algèbre $\quater{a,b}{K}$ est isomorphe à $𝐌₂(K)$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Supposons $a=α²$ où $α∈K^×$.
Considérons l'application $K$-linéaire
envoyant $\i$ sur $\deuxdeux{α}{0}{0}{-α}$,
$\j$ sur $\deuxdeux{0}{b}{1}{0}$ et $\k$ sur $\deuxdeux{0}{-bα}{α}{0}$.
C'est un isomorphisme de $K$-espaces vectoriels ; on vérifie par le calcul
que c'est un morphisme de $K$-algèbres. Le cas $b∈(K^×)²$ est semblable.
\end{démo}

\subsubsection{}\label{1-cocycle quaternionique}Soit $\quater{a,b}{K}$ une algèbre de quaternions sur $K$.
Pour toute extension $K'\bo K$, la $K'$-algèbre $\quater{a,b}{K}⊗_K K'$ est naturellement isomorphe
à $\quater{a,b}{K'}$ : envoyer $μx⊗λ$, où $μ∈K$ et $x∈\{\i,\j,\k\}$ sur $(μλ)x∈K'x$.
Il résulte donc du lemme précédent qu'une algèbre de quaternions est une algèbre d'Azumaya de
rang deux : quitte à extraire une racine carrée, elle devient triviale.
Supposons pour fixer les idées que $a$ ne soit pas un carré et
que $K$ soit de caractéristique différente de deux. Le corps
$K_a=K(\sqrt{a})$ est une extension étale quadratique de $K$
et l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ définit donc un élément de
$H¹(K_a \bo K,\PGL₂(K_a))$ que nous allons maintenant expliciter.
Soit $φ: 𝐌_2(K_a) ⥲ \quater{a,b}{K}⊗_K K_a$ l'inverse de l'isomorphisme
défini ci-dessus (\ref{critère trivialité algèbre quaternions}, démonstration).
La théorie générale des formes nous permet d'associer à $φ$ un $1$-cocycle
— dont la classe caractérise $\quater{a,b}{K}$ à $K$-isomorphisme près —
de $Π_a=\Gal(K_a\bo K)$ à valeurs dans le groupe $\PGL₂(K_a)$, ce dernier étant
muni de l'action évidente de $\Gal(K_a\bo K)$ (cf. \refext{formes}{1.2.4} \emph{sqq.}).
Notons $τ_a∈ Π_a$ l'unique élément non trivial : $τ_a(α)=-α$ et $τ_a(x)=x$ pour
$x ∈ K$. Par construction, le $K_a$-automorphisme $c_φ(τ_a)$ de $𝐌₂(K_a)$ envoie les matrices
$\deuxdeux{1}{0}{0}{-1}$ et $\deuxdeux{0}{-b}{1}{0}$ sur leurs opposées
et laisse invariantes les matrices $\deuxdeux{1}{0}{0}{1}$ et
$\deuxdeux{0}{b}{1}{0}$. D'après le théorème de Skolem-Nœther
(\ref{Skolem-Noether sur corps}), il existe une matrice
$g=\deuxdeux{x}{y}{z}{w}∈\GL₂(K_a)$, bien définie à un scalaire multiplicatif
près, telle que $c_φ(τ_a)=g\tiret g^{-1}$.
Les conditions
\[
\deuxdeux{x}{y}{z}{w}⋅\deuxdeux{1}{0}{0}{-1}=-\deuxdeux{1}{0}{0}{-1}⋅\deuxdeux{x}{y}{z}{w}
\]
et
\[
\deuxdeux{x}{y}{z}{w}⋅\deuxdeux{0}{b}{1}{0}=\deuxdeux{0}{b}{1}{0}⋅\deuxdeux{x}{y}{z}{w}
\]
se traduisent respectivement en : $x=w=0$ et $y=bz$.
Le cocycle $c_φ: Π_a =⟨τ_a⟩→\PGL₂(K_a)$ est donc $τ_a↦\deuxdeux{0}{b}{1}{0}$.
(L'image de l'identité étant l'identité, par construction.)

Ce cocycle est cohomologue au cocycle trivial si et seulement si
il existe une matrice $m=\deuxdeux{x}{y}{z}{w}∈\GL₂(K)$ et un scalaire
$λ ∈ K_a^×$ tels que
\[
m \deuxdeux{0}{b}{1}{0}=λ ⋅{^{τ_a} m}.
\]
Cette condition se réécrit : $bz=λτ_a(x)$, $λ τ_a(z)=x$, $bw=λ τ_a(y)$, et $λ τ_a(w)=y$.
En multipliant ces égalités, on obtient $b\N_a(z)=λ\N_a(x)$ et $b\N_a(w)=λ\N_a(z)$, où
$\N_a$ désigne la norme $t ↦ t ⋅ τ_a(t)$ de $K_a$ à $K$.
Puisque $z$ et $w$ ne peuvent pas être simultanément nuls ($\det(m)=xw-yz≠0$),
on a donc nécessairement $b∈\N_a(K_a)$. Réciproquement, si $b=\N_a(β)$, poser
par exemple $z=1$, $λ=β$, $x=β$, $w=α$ et $y=βτ_a(α)$.

Il résulte du corollaire \ref{Brn=H1PGLn} que l'on a démontré
la proposition suivante.

\begin{proposition2}\label{caractérisation algèbres quaternions triviales}
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
non nuls. Si $a$ n'est pas un carré, l'algèbre $\quater{a,b}{K}$ est triviale,
c'est-à-dire $K$-isomorphe à l'algèbre $𝐌₂(K)$ des matrices $2×2$,
si et seulement si $b∈\N_{K(\sqrt{a})\bo K}\left(K(\sqrt{a})\right)$.
\end{proposition2}

On renvoie le lecteur à \cite[2.2]{seisuuron@Saito} pour une démonstration plus
élémentaire.

\begin{corollaire2}
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
non nuls de $K$. Les algèbres de quaternions $\quater{a,-a}{K}$ et $\quater{a,1-a}{K}$
sont triviales.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
En effet, si $a∈{K^×}²$ et $s=x+y\sqrt{a} ∈ K_a=K(\sqrt{a})$, $\N_a(s)=x²-ay²$
de sorte que $-a$ et $1-a$ appartiennent à $\N_a(K_a)$.
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{algèbre quaternions finie est triviale}
Soit $𝐅$ un corps fini de caractéristique $p≠2$. Toute algèbre de quaternions
sur $𝐅$ est triviale.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
En effet, on a vu en \refext{Fin}{trace-et-norme-corps-finis} que pour toute extension finie $𝐅'\bo 𝐅$,
la norme $\N_{𝐅'\bo 𝐅}$ est surjective.
\end{démo}

Pour une généralisation, cf. \ref{corps gauche fini est commutatif}.

\begin{remarque2}
On vérifie comme ci-dessus que deux cocycles $τ_a ↦ \deuxdeux{0}{b}{1}{0}$ et
$τ_a ↦ \deuxdeux{0}{b'}{1}{0}$ sont cohomologues (\refext{formes}{généralités
1-cocycles}) lorsque $b{b'}^{-1}∈\N_a(K_a)$.
Il en résulte que, pour tout $λ∈K_a^×$, les $K$-algèbres $\quater{a,b}{K}$
et $\quater{a,b\N_a(λ)}{K}$ sont isomorphes. En particulier,
$\quater{a,b}{K}≃\quater{a,bc²}{K}$ pour tout $c∈K^×$. On en déduit
aisément que la seule $𝐑$-algèbre de quaternions non-triviale
est $𝐇=\quater{-1,-1}{𝐑}$. Pour une généralisation au cas des corps $p$-adiques,
cf. \refext{p-adiques}{}. \XXX
\end{remarque2}

\begin{corollaire2}\label{critère quadratique de trivialité quaternionique}
Soit $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b$ deux éléments
non nuls de $K$. L'algèbre de quaternions $\quater{a,b}{K}$ est triviale
si et seulement si la forme quadratique $aX²+bY²-Z²$ a un zéro non trivial.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
L'équivalence dans le cas où $a$ est un carré dans $K$ est évidente : l'algèbre de quaternion
est triviale et la forme a un zéro non trivial.
Supposons donc $a$ non carré. D'après \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales},
il faut montrer l'équivalence entre l'existence d'une solution à l'équation
$z²-ax²=b$ et l'existence d'un zéro non trivial à l'équation $ax²+by²-z²=0$.
Or, sous l'hypothèse que $a$ n'est pas un carré, toute solution
de la seconde équation satisfait l'inégalité $y≠0$. L'équivalence
est alors claire en divisant par $y$.
\end{démo}

Tout corps fini étant $C₁$ (\refext{C1}{theoreme-chevalley-warning}), ce critère
donne une seconde démonstration du corollaire (\ref{algèbre quaternions finie est triviale}) précédent.

\subsubsection{}\label{2-cocycle quaternionique}Il résulte immédiatement
des calculs de \ref{1-cocycle quaternionique} et de la définition
du cobord (\ref{cobord Brauer}) que la classe de $\quater{a,b}{K}$
dans $\Br(K_a \bo K)$ est représentée par le $2$-cocycle
$c_{a,b}:Π_a → K_a^×$, envoyant $(τ_a,τ_a)$ sur $b$ et les trois autres couples de $Π_a²$
sur $1$.

\begin{corollaire2}\label{produit tensoriel algèbres quaternions}
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de deux et $a,b,b ′$ trois éléments
non nuls de $K$. Dans le groupe de Brauer $\Br(K(\sqrt{a})\bo K)$, on a
l'égalité :
\[
[\quater{a,b}{K}] ⋅ [\quater{a,b ′}{K}]=[\quater{a,b b ′}{K}].
\]
En particulier, $\quater{a,b}{K} ⊗_K \quater{a,b}{K}$ est isomorphe
à $𝐌₄(K)$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Le premier point résulte de \ref{multiplicativité cobord Azu} :
la classe du produit tensoriel est représentée par le $2$-cocycle
$Π_a → K_a^×$ envoyant $(τ_a,τ_a)$ sur $b ⋅ b ′$ et trivial ailleurs.
On a vu que ce cocycle représente l'algèbre de quaternion $\quater{a,b b ′}{K}$.
Enfin, si $b b ′=b²$, il résulte du critère \ref{critère trivialité algèbre
quaternions} que $\quater{a,b b ′}{K}$ est triviale. Pour des raisons
de rang, le produit tensoriel des algèbres de quaternions de l'énoncé est alors
isomorphe à $𝐌₄(K)$.
\end{démo}

\subsubsection{}\label{notations quaternions=H2mu2}L'argument ci-dessus et le fait que le noyau
de l'élévation au carré $K_a^× → K_a^×$ soit le sous-groupe $\{±1\} ⊆ K^×$
pourrait conduire le lecteur à penser que le cocycle $c_{a,b}$ introduit
ci-dessus, dont la classe est d'ordre (au plus) deux, est cohomologue à un cocycle
à valeurs dans $\{±1\}$, autrement dit que sa classe
$[c_{a,b}] ∈ H²(K_a\bo K, K_a^×)$ appartiendrait à l'image
de l'application naturelle $H²(K_a\bo K, \{±1\}) → H²(K_a\bo K, K_a^×)$.
Il n'en est rien en général mais signalons dès maintenant que ce
résultat est vrai « à la limite », c'est-à-dire après passage
à une extension galoisienne suffisamment grande\footnote{Plus précisément,
son image dans $H²(K,\Gm):=\colim H²(K_α \bo K,K_α^×)$
appartient à l'image de $H²(K,μ₂):=\colim H²(K_α\bo K, \{±1\})$. Cette image
coïncide avec la $2$-torsion de $H²(K,\Gm)$. Cf. \emph{infra}.\XXX}.

Nous allons donner ici une démonstration \emph{ad hoc} de ce fait
dans le cas particulier qui nous occupe ; un énoncé général sera donné
en \ref{H2mun=Brn}. Supposons que $b²$ n'appartient pas à $K_a$ sans quoi il n'y a rien
à démontrer (cf. \ref{caractérisation algèbres quaternions triviales}).
L'extension $K_{a,b}=K(\sqrt{a},\sqrt{b})$ de $K$ est alors galoisienne
de groupe $Π_{a,b}$ isomorphe au groupe de Klein\footnote{Cf. \ref{groupe de Klein et quaternions} \emph{infra}
pour d'autres liens entre les quaternions et ce groupe.}
$V₄=𝐙/2× 𝐙/2$. Nous notons $τ_a$ et $τ_b$ les générateurs définis
par les conditions $τ_a(\sqrt{a})=-\sqrt{a}$
(resp. $τ_b(\sqrt{b})=-\sqrt{b}$) et $τ_a(\sqrt{b})=\sqrt{b}$ (resp.
$τ_b(\sqrt{a})=\sqrt{a}$) et posons $τ_c=τ_a τ_b$.

Notons également $c ′_{a,b}$ le $2$-cocycle de $Π_{a,b}$ à valeurs dans $K_{a,b}^×$
déduit de $c_{a,b}$ par composition avec la surjection canonique $Π_{a,b} ↠ Π_a$.
Explicitement, $c ′_{a,b}$ est la fonction de $Π²_{a,b}$ dans $K_{a,b}^×$
valant $b$ en $(τ_a,τ_a),(τ_a,τ_c),(τ_c,τ_a)$ et $(τ_c,τ_c)$
et $1$ sinon. Enfin, considérons la fonction $c^∪_{a,b}:Π²_{a,b} → \{±1\}$
valant $-1$ en $(τ_a,τ_b),(τ_a,τ_c),(τ_c,τ_b)$ et $(τ_c,τ_c)$
et $1$ sinon. On vérifie immédiatement par le calcul que c'est un $2$-cocycle.

Donnons brièvement une interprétation moins \emph{ad hoc} de ce cocycle.

\subsubsection{digression : (cup-)produit}\label{cup-produit I}

Soient $Π$ un groupe et $A$,$B$ deux $Π$-modules, c'est-à-dire deux groupes
abéliens munis d'une action respectant l'addition de $Π$. Supposons également donné
un « accouplement » $Π$-équivariant $A ⊗_𝐙 B → C$, où $C$ est un troisième
$Π$-module. En d'autres termes, on se donne une application bilinéaire $φ:A×B → C$
telle que $φ(g(a),g(b))=g(φ(a,b))$ pour tous $(a,b,g) ∈ A×B×G$.
Étant donné deux classes de $1$-cocycles $c₁ ∈ H¹(Π,A)$ et $c₂ ∈ H¹(Π,B)$
on note $c₁ ∪_φ c₂$, ou bien $c₁ ∪ c₂$, $c₁ ⋅ c₂$,
la classe de $2$-cocycles à valeurs dans $C$,
\[
c₁ ∪_φ c₂=\Big[(g₁,g₂) ↦ φ \big(-γ₁(g₁) ⊗ g₁ γ₂(g₂)\big)\Big]
\]
où $c₁=[γ₁]$ et $c₂=[γ₂]$. Cette notation n'a de sens qu'après avoir
vérifié, comme il est aisé de le faire, que la classe ainsi définie
ne dépend pas du choix des représentants $γ₁$ et $γ₂$.

Reprenons les notations de \ref{notations quaternions=H2mu2} et posons
de plus $μ₂=\{±1\}$. Notons $(a) ∈ H¹(Π_{a,b}, μ₂)=\Hom(Π_{a,b}, μ₂)$
(resp. $(b)$) le morphisme défini par $(a)(σ)=\frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}$
(resp. $(b)(σ)=\frac{σ(\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$).
Le $2$-cocycle $c^∪_{a,b}$ n'est autre que le produit $(a) ∪ (b)$.

\begin{lemme2}\label{quaternions=H2mu2}
Les $2$-cocycles $c ′_{a,b}$ et $c^∪_{a,b}$, considérés comme
étant à valeurs dans $K_{a,b}^×$, sont \emph{cohomologues}.
En d'autres termes, la classe de l'algèbre $\quater{a,b}{K}$
dans $\Br(K_{a,b}\bo K) ⥲ H²(K_{a,b}\bo K,\Gm)$ est le produit
$(a)(b) ∈ H²(K_{a,b}\bo K, μ₂)$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Par définition (\ref{2-cocycles cohomologues}), il faut vérifier qu'il existe
une fonction $λ: Π_{a,b} → K_{a,b}^×$ telle $c ′_{a,b}(σ,τ)=λ_σ ⋅ {^τ λ_τ} ⋅ λ_{σ τ}^{-1} ⋅ c^∪_{a,b}(σ,τ)$.
Écrivons pour simplifier $λ_a$ pour $λ_{τ_a}$, $\N_a$ pour $\tiret ⋅ {^{τ_a} (\tiret)}$, etc.
On vérifie immédiatement en les écrivant que ces seize équations se
réécrivent : $λ_1=1$, $\N_a(λ_a)=b$, $\N_b(λ_b)=1$, $λ_c=-λ_a ⋅ {^{τ_a} λ_b}=λ_b ⋅ {^{τ_b} λ_a}$.
Il suffit de poser $λ_a=\sqrt{b}$ et $λ_b=1$.
\end{démo}

\begin{exercice2}
Sous les hypothèses de \ref{produit tensoriel algèbres quaternions},
construire un isomorphisme explicite
\[\quater{a,b}{K} ⊗_K \quater{a,b ′}{K} ⥲ \quater{a,b b ′}{K} ⊗_K 𝐌₂(K).\]
(Voir \cite[1.5.2]{Gille-Szamuely}.)
\end{exercice2}

\subsection{Quaternions inversibles, norme spinorielle}\label{quaternions inversibles}

Dans ce paragraphe, $A$ désigne un anneau commutatif dans lequel
$2$ est inversible.

\subsubsection{Quaternions inversibles, groupe de Klein et groupe
quaternionique}\label{groupe de Klein et quaternions}

Notons $𝐇^×(A)$ le groupe des \emph{quaternions inversibles}
à coefficients dans $A$, c'est-à-dire l'ensembles des éléments 
inversibles pour la multiplication de la $A$-algèbre non nécessairement commutative
\[𝐇(A)=A⊕A\i⊕A\j⊕A\k\] où $\i²=\j²=\k²=-1$ et $\i\j=\k=-\j\i$.
Si $A$ est un corps, on a donc $𝐇(A)=\quater{-1,-1}{A}$ (cf. \ref{définition quaternions}).
Notons $N: 𝐇(A) → A$ l'application « norme »
— ou plus précisément « norme \emph{réduite} », cf. \emph{infra} 
\ref{définition norme et trace réduites} dans le cas où
$A$ est un corps — envoyant un quaternion 
$q=x+y\i+z\j+w\k$ sur $q⋅\sur{q}=x²+y²+z²+w²$, où $\sur{q}$ est le \emph{quaternion
conjugué} $x-y\i-z\j-w\k$.
Un calcul immédiat montre que la norme est multiplicative
si bien que $𝐇^×(A)$ est l'ensemble des éléments de $𝐇(A)$ de norme
inversible dans $A$. Considérons le cas $A=𝐙$ ; comme
$𝐙^×=\{±1\}$ et les solutions dans $𝐙⁴$ de l'équation $x²+y²+z²+w²=1$
sont les huit solutions évidentes, le groupe $𝐇^×(𝐙)$ 
est isomorphe au groupe \emph{quaternionique} d'ordre huit, que nous noterons $Q₈$.
Notons $\{1,s_\i,s_\j,s_\k,t,ts_\i,ts_\j,ts_\k\}$
ses éléments,  correspondant respectivement aux
éléments $\{1,\i,\j,\k,-1,-\i,-\j,-\k\}$ de $𝐇^×(𝐙)$.
Observons que $t$ est central et que les relations
$t²=1$, $s²_\i=s²_\j=s²_\k=s_\i s_\j s_\k=t$
sont satisfaites.
Rappelons que l'on appelle \emph{groupe de Klein}, noté $V_4$,
le groupe $\{±1\}²$ dont nous écrirons $\{1,v_\i,v_\j,v_\k\}$ les éléments.
Ils satisfont les relations $v_\i²=v_\j²=v_\k²=1=v_\i v_\j v_\k$,
qui permettent de voir $V₄$ soit comme le quotient $\{±1\}³$ par la droite
$⟨(-1,-1,-1)⟩$ soit comme le sous-groupe de $\{±1\}³$ constitué des éléments
dont le produit des coordonnées est égal à $1$.
Le groupe $Q₈$ est une \emph{extension} de ce groupe par $⟨t⟩≃\{±1\}$ : on a une suite exacte
\[1→⟨t⟩→Q₈→V₄→1,\]
où $s_μ∈Q₈$ ($μ∈\{\i,\j,\k\}$) est envoyé sur $v_μ∈V₄$ et $t$
sur $\Id$. (« Suite exacte » : le morphisme $Q₈→V₄$ est surjectif et
que $\Ker(Q₈→V₄)=⟨t⟩$.).


\subsubsection{Quaternions et groupe orthogonal}\label{quaternions et SO3}

Soit $q$ un quaternion \emph{imaginaire}, c'est-à-dire de la forme
$a\i+b\j+c\k$ de sorte que $\sur{q}=-q$, et réciproquement. 
Considérons un quaternion inversible $r$. Il résulte du fait
que $r^{-1}$ et $\sur{r}$ différent par multiplication d'un élément du centre
de $𝐇^×(A)$ (spécifiquement : la norme de $r$ ou son inverse) et de la formule $\sur{xy}=\sur{y}\sur{x}$ 
— on dit que l'involution $x ↦ \sur{x}$ est un « anti-automorphisme » —
que l'on a $\sur{rqr^{-1}}=-rqr^{-1}$ : l'action de $𝐇^×(A)$
par conjugaison sur $𝐇(A)$ préserve le $A$-module $\Im 𝐇(A)$ libre de rang $3$
des quaternions imaginaires. On en déduit un morphisme
$𝐇^×(A) → \GL₃(A)$. Comme d'autre part on a l'égalité $N(rqr^{-1})=N(q)$,
cette action préserve la forme quadratique euclidienne naturelle sur $\Im 𝐇(A)$,
$q=a\i+b\j+c\k ↦ N(q)=a²+b²+c²$, si bien que le morphisme précédent
se factorise à travers un morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$.

Le noyau de ce morphisme est $\Gm(A)=A^×$, plongé 
dans $𝐇^×(A)$ par $a↦a⋅1$, car le centre de $𝐇(A)$ est $A$.

\begin{proposition2}\label{H vers special orthogonal}
L'image du morphisme $𝐇^×(A) → \mathrm{O}₃(A)$ est contenue 
dans $\mathrm{SO}₃(A)$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Il suffit de vérifier  l'égalité $\det(q ↦ rqr^{-1})=1$,
ou encore $\det(q ↦ rq\sur{r})=N(r)³$. Pour cela on peut par exemple
écrire explicitement la matrice de $q ↦ \frac{1}{N(r)}rq\sur{r}$ dans la base
$\{\i,\j,\k\}$ de $\Im 𝐇(A)$ et en calculer le déterminant.
Si $r=x₁+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k$, on trouve
\[
\frac{1}{x₁²+x_\i²+x_\j²+x_\k²}\troistrois{x₁²+x_\i²-x_\j²-x_\k²}{2x₁x_\k+2 x_\i x_\j}{-2x₁ x_\j+2 x_\i x_\k}
{-2x₁ x_\k+2 x_\i x_\j}{x₁²-x_\i²+x_\j²-x_\k²}{2x₁x_\i+2 x_\j x_\k}
{2x₁x_\j+2 x_\i x_\k}{-2x₁ x_\i+2 x_\j x_\k}{x₁²-x_\i²-x_\j²+x_\k²}
\]
pour la matrice, de déterminant un. Remarquons en passant que
la trace de cette matrice vaut $\frac{4x₁²}{x₁²+x_\i²+x_\j²+x_\k²}-1$.

Alternativement on peut constater que si l'on écrit 
$r=a+b\i+c\j+d\k$, l'égalité à démontrer est une égalité entre
deux fonctions polynômiales \emph{à coefficients dans $𝐙$}.
Il suffit donc de vérifier l'égalité pour des paramètres réels (cas $A=𝐑$), c'est-à-dire
dans le cas des quaternions usuels. Dans ce cas, $𝐇^×(𝐑)≃𝐑^4-\{0\}$ est 
un espace topologique connexe si bien que son image par l'application continue 
« action par conjugaison » est un sous-groupe connexe de $\Orth₃(𝐑)$. Un
tel groupe est nécessairement contenu dans $\SOrth₃(𝐑)$.
\end{démo}

Nous utiliserons en \refext{versel}{} le théorème suivant.

\begin{théorème2}\label{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley}
Soit $K$ est un \emph{anneau} dans lequel $2$ est inversible.
Le morphisme $c:𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$ est \emph{surjectif}.
Si de plus toute somme de quatre carrés de $K$ est un carré,
le morphisme $𝐇^{N=1}(K) → \SOrth₃(K)$ est également surjectif.
\end{théorème2}

Le groupe $𝐇^{N=1}$ est aussi appelé \emph{groupe spin},
noté $\mathrm{Spin}₃$ ; c'est un revêtement double de $\SOrth₃$.

Dans les deux paragraphes suivants nous allons donner deux démonstrations,
radicalement différentes, de ce théorème.

\subsubsection{Paramétrisation d'Euler, transformation de Cayley et norme spinorielle}\label{norme
spinorielle}

Supposons un instant $K=𝐑$.
Le théorème \ref{parametrisation Euler-Hamilton-Cayley},
qui est paramétrisation rationnelle du groupe spécial orthogonal
$\mathrm{SO}₃(𝐑)$, est dans ce cas dû à Euler (cf. \cite{Problema@Euler}).
Elle généralise la paramétrisation rationnelle de $\SOrth₂(𝐑) ≃ S¹$
par $𝐑$, envoyant $t ∈ 𝐑$ sur
\[
\frac{1-it}{1+it}=\frac{1-t²}{1+t²}+i\frac{2t}{1+t²}.
\]
L'analogue de la suite $\Gm → 𝐇^× → \SOrth₃$ est ici
$1 → 𝐑^× → 𝐂^× → \mathbf{U} → 1$, où $𝐂^× → \mathbf{U}=\{z:|z|=1\}$
est $x ↦ \frac{x}{\sur{x}}$. La surjectivité de cette flèche est évidente mais
il est intéressant de constater qu'il existe une section « rationnelle »,
envoyant $z ∈ \mathbf{U}$ sur $x=1+z$.

Considérons en effet une matrice $3×3$ à coefficients dans $K$, notée $A$, antisymétrique
($\transpose{A}=-A$). La matrice $1+A$ est alors inversible et commute
à $1-A$ ; un calcul immédiat montre que le quotient
\[
\frac{1-A}{1+A}
\]
appartient à $\Orth₃(K)$. Cette application des matrices antisymétriques
vers le groupe orthogonal est appelée \emph{transformation de
Cayley}\index{transformation de Cayley}, introduite
dans \cite{determinants@Cayley}.
Réciproquement, si $m$ appartient à $\SOrth₃(K)$, l'équation
$\frac{1-A}{1+A}=m$ est résoluble dès lors que $1+m$ est inversible :
$A=(1+m)^{-1}(1-m)$.
Remarquons que $m$ étant spéciale orthogonale, on a l'égalité 
\[
\det(X-m)=X³-\Tr(m)X²+\Tr(m)X-1
\]
d'où, en considérant $X=-1$,
\[
\det(m+1)=-2\big(\Tr(m)+1\big).
\]
Écrivons $A$ sous la forme
\[
A=\troistrois{0}{-x_\k}{x_\j}{x_\k}{0}{-x_\i}{-x_\j}{x_\i}{0}.
\]
Calculons la transformée de Cayley de $A$ :
on a 
\[
(1+A)^{-1}=\frac{1}{1+x_\i²+x_\j²+x_\k²}
\left( \begin {array}{ccc} 
1+x_\i^{2} & -x_\k+x_\j x_\i & x_\k x_\i+x_\j\\
x_\k+ x_\j x_\i& 1 + x_\j² &-x_\i+x_\j x_\k\\
x_\k x_\i-x_\j & x_\j x_\k +x_\i& 1+x_\k²
\end {array}
\right),
\]
expression que l'on peut obtenir en appliquant par exemple la formule de Cramer,
exprimant l'inverse d'une matrice en terme du déterminant et de la transposée de
sa comatrice ; en multipliant cette matrice par $1-A$,
on obtient la matrice $c(1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k)$
(cf. \ref{H vers special orthogonal}, démonstration).

Il n'est maintenant pas difficile d'achever la démonstration du théorème.
Commençons par quelques notations : pour chaque $μ∈\{1,\i,\j,\k\}$, notons $V_μ(K)$
(resp. $V′_μ(K)$) le sous-ensemble de $𝐇^×(K)$ constitué des quaternions 
inversibles $q=x_1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k$ tels que $x_μ$ soit non nul
(resp. égal à un).  Les quatre ensembles $V_μ$ recouvrent $𝐇^×(K)$. Posons $g_1=\diag(1,1,1)$, $g_\i=\diag(1,-1,-1)$ $g_\j=\diag(-1,1,-1)$ 
et $g_\k=\diag(-1,-1,1)$ (cf. \refext{verselles}{notations
Witt non 2} pour une interprétation géométrique).
Pour chaque $μ$, considérons la fonction 
$u_μ:m ↦ \Tr(g_μ ⋅ m) +1=-½\det(m+g_μ)$. 
Remarquons que $g_1+g_\i+g_\j+g_\k=0$ de sorte que 
$u_1+u_\i+u_\j+u_\k$ est la fonction constante de valeur $4 ≠ 0$.
En particulier, les quatre sous-ensembles $U_μ=\{m:u_μ(m)≠0\}$ recouvrent
$\mathrm{SO}₃$ où, pour alléger les notations, nous ne précisons plus le corps $K$.
Comme observé ci-dessus dans le cas particulier
$μ=1$, on a :
\[
u_μ(c(x_1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k))=\frac{4{x_μ}²}{{x_1}²+{x_\i}²+{x_\j}²+{x_\k}²}
\]
de sorte que $c(V_μ)$ est contenu dans $U_μ$.
La commutativité du diagramme
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
V₁′& 𝔄₁ \\ U₁& \\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$c$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$A ↦ \frac{1-A}{1+A}$} node[sloped,swap]{$∼$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k ↦ 
\troistrois{0}{-x_\k}{x_\j}{x_\k}{0}{-x_\i}{-x_\j}{x_\i}{0}$} node{$∼$} (diag-1-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
où $𝔄₁$ est l'ensemble  matrices antisymétriques
$A$ telles que $\det(1+A)≠0$ montre que $V₁′$ se \emph{surjecte}
sur $U₁$. Le même argument, obtenu en remplaçant $1=g₁$ par $g_μ$, permet
de montrer que l'image de $V ′ _μ$ par $c$ est exactement $U_μ$.

Ceci achève la démonstration de la surjectivité du morphisme $𝐇^× → \SOrth₃$.
Si l'inclusion ${K^×}²⊆ N(𝐇^×(K))$ est une égalité, il existe pour chaque
$q ∈ 𝐇^×(K)$ un scalaire $λ ∈ K^×$ tel que $q/λ ∈ 𝐇^{N=1}$.
La surjectivité du morphisme $𝐇^{N=1} → \SOrth₃$ dans ce cas en découle.

\subsubsection{Norme spinorielle}
Soit $m ∈ \SOrth₃(K)$. D'après ce qui précède, cette matrice possède
un relèvement $q$ dans $𝐇^×(K)$, bien défini à multiplication par un scalaire près.
La norme de ce relèvement est donc bien définie à multiplication par un carré près.
La classe dans $K^×/{K^×}²$ ainsi obtenue s'appelle la \emph{norme
spinorielle}\index{norme spinorielle} de $m$, notée $\NSpin(m)$.
Il résulte des calculs précédents et du fait que si $x_μ ∈ K$ est non nul 
la classe de $\frac{4{x_μ}²}{{x_1}²+{x_\i}²+{x_\j}²+{x_\k}²}$
dans $K^×/{K^×}²$ coïncide avec la classe du dénominateur 
${x_1}²+{x_\i}²+{x_\j}²+{x_\k}²=N(x_1+x_\i \i + x_\j \j + x_\k \k)$
que si $m∈U_μ(K)$, on a l'égalité
\[
\NSpin(m)=u_μ(m).
\]

Il n'est pas difficile de vérifier que la norme spinorielle
n'est autre que le morphisme $\SOrth₃(K)=H⁰(K,\SOrth₃) → H¹(K,μ₂)=K^×/{K^×}²$
déduit de la suite exacte $1 → μ₂ → \mathrm{Spin}₃=𝐇^{N=1} → \SOrth₃ → 1$.
\XXX

\begin{exercice2}
Montrer que si $m ∈ \SOrth₃(K)$, $\det\big((1+g_μm)(1+m)^{-1}\big)$ est un carré
en utilisant la transformation de Cayley.
\end{exercice2}

\begin{exercice2}
Soit $𝒫$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de rang $1$
de $K^{\{1,\i,\j,\k\}}$. Montrer que $𝒫 ⥲ \SOrth₃(K)$. 
(cf. matrice de la transformation de Cayley ou, mieux,
interprétation conceptuelle). Montrer
que l'application $𝐇^× → 𝒫$, $(x₁,x_\i,x_\j,x_\k) ↦ \frac{1}{∑
x_μ²}\big(x_μ x_ν \big)$ a $4$ sections sur les ouverts
[...]. En déduire une nouvelle démonstration de la surjection
de $𝐇^×(K) → \SOrth₃(K)$. \XXX
\end{exercice2}

\subsubsection{Seconde démonstration du théorème \ref{parametrisation
Euler-Hamilton-Cayley} par décomposition en réflexions}
Nous supposons maintenant que $K$ est un \emph{corps}.
Il est bien connu (\cite{}) que tout élément du groupe
$\mathrm{SO}₃(K)=\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$, et plus généralement
du groupe spécial orthogonal d'une forme quadratique non dégénérée, 
est produit d'un nombre \emph{pair} de réflexions, c'est-à-dire d'éléments $s_r$ de la forme
$q↦q-\frac{2⟨r,q⟩}{⟨r,r⟩}r$ où $⟨\tiret,\tiret⟩$ est le produit scalaire $⟨x,y⟩=½(x\sur{y}+y\sur{x})$ associé
à la forme quadratique $x↦N(x)=x \sur{x}$ sur $\Im 𝐇(K)$.
Il résulte de la formule dite du « produit triple »
\[
⟨r,r⟩q-2⟨r,q⟩r=-r\sur{q}r,
\]
valable pour toute paire d'éléments $q,r$ de $𝐇(K)$,
et dont la vérification est triviale,
que 
\[
s_r(q)=-r ⋅ \sur{q} ⋅ \frac{r}{N(r)}=-r ⋅ \sur{q} ⋅ \sur{r}^{-1}.\]
Si $q$ est un quaternion imaginaire on a donc
\[
s_r(q)=rq\sur{r}^{-1}.
\]
Tout élément de $\mathrm{SO}₃(K)$, composé de tels éléments, s'écrit donc sous la forme
$q↦rqr′$ où $r,r′$ appartiennent à $𝐇^×(K)$ :
\[
s_{r₁} ∘ \cdots ∘ s_{r_n}=\left(q↦(r₁\cdots
r_n)q (\sur{r_n \cdots r₁})^{-1}\right).\]

Considérons maintenant le plongement naturel
de $\mathrm{O}₃(K)=\mathrm{O}(\Im 𝐇(K))$ dans $\mathrm{O}₄(K)=\mathrm{O}(𝐇(K))$,
envoyant une isométrie de $\Im 𝐇(K)$ sur l'unique isométrie de $𝐇(K)$
la prolongeant agissant trivialement sur le centre $K⋅1$ de $𝐇(K)$.
(Remarquons que $𝐇(K)=\Im 𝐇(K) ⊥ \mbox{$K⋅1$}$.) Ce plongement préserve le
déterminant. Une variante immédiate de l'argument précédent montre que
tout élément de $\mathrm{SO}(𝐇(K))$ est également de la forme
$q↦rqr′$ avec $r,r ′ ∈𝐇^×(K)$. Ne pouvant utiliser l'égalité $-\sur{q}=q$, on utilise l'identité 
\[
(q↦-r₁\sur{q}r₁) ∘ (q↦-r₂\sur{q}r₂)=(q↦r₁qr₁) ∘ (q↦\sur{r₂}q\sur{r₂}).
\]
Il en résulte qu'un élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
est la restriction d'une isométrie $f:q↦rqr'$ de $𝐇(K)$ avec $f(1)=1$.
On a donc $rr'=1$, c'est-à-dire $r'=r^{-1}$ : tout élément de $\mathrm{SO}(\Im 𝐇(K))$
est bien une conjugaison par un quaternion.

\section{Torsion du groupe de Brauer « absolu », cohomologie profinie}

% un lemme H⁰ ↠ H⁰ avait été rédigé en b634263c9e1abc045e808288f2d926cb7082b19f
% mais devrait être absorbé par considérations générales.

\subsection{Motivation}Nous souhaitons donner ici une description cohomologique du groupe
de Brauer généralisant le théorème \ref{description cohomologique Brauer
extension finie} au cas d'une extension galoisienne non nécessairement finie.
Ceci nous permettra également de formaliser le « passage à la limite »
évoqué en \ref{notations quaternions=H2mu2} et d'obtenir une description
cohomologique de la torsion du groupe de Brauer d'un corps.

\subsection{Généralités}

\subsubsection{Colimites}Il s'agit de cas particuliers de la théorie
générale, exposée en \refext{Cat}{definition-systeme-inductif} \emph{et seq}.

Soit $I$ un \emph{ensemble ordonné filtrant}\index{ensemble ordonné filtrant}, c'est-à-dire un ensemble partiellement
ordonné tel que pour toute paire $i,j ∈ I$, il existe $k ∈ I$ tel que
$i ≤ k$ et $j ≤ k$. L'exemple essentiel dans ce chapitre
est l'ensemble $I_{K\bo k}$ des sous-extensions \emph{finies
galoisiennes} $k ′ \bo k$, ordonnées par l'inclusion, d'une extension
galoisienne $K\bo k$ non nécessairement finie.

Un \emph{système inductif}\index{système inductif} en groupes abéliens indicé par $I$ est la donnée :
\begin{itemize}
\item pour chaque $i ∈ I$ d'un groupe abélien $M_i$ ;
\item pour chaque couple $i ≤ j$ d'un morphisme $φ_{ij}:M_i → M_j$ tel
que, pour tout triplet $i ≤ j ≤ k$, on ait :
\[
φ_{jk}∘ φ_{ij}=φ_{ik}.
\]
\end{itemize}

On appelle \emph{colimite} du système inductif, ou encore \emph{limite
inductive}, l'ensemble quotient noté $\colim_I (M_i)$ de
$∐_{i ∈ I} M_i$ par la relation d'équivalence : $m_i ∼ m_j$
si il existe $k ≥i,j$ tel que $φ_{ik}(m_i)=φ_{jk}(m_j)$.
C'est naturellement un groupe abélien si l'on munit $\colim_I (M_i)$
de l'addition suivante : la somme de la classe de $m_i ∈ M_i$
et de la classe de $m_j ∈ M_j$ est la classe de la somme
$φ_{ik}(m_i)+φ_{jk}(m_j)$ où $k$ est l'un quelconque
des indices supérieurs à $i$ et $j$.
On remarque immédiatement que $\colim_I (M_i)$ reçoit naturellement
les groupes $M_i$. À titre d'exercice, le lecteur pourra vérifier
que la colimite ainsi définie est universelle pour cette propriété,
en un sens qu'il lui faudra trouver (\refext{Cat}{}). Il pourra également
vérifier que $\colim_I (M_i)$ est isomorphe au quotient
de la somme directe $⨁_{i ∈ I} M_i$ par le sous-groupe engendré
par les éléments de la forme $m_j-φ_{ij}(m_i)$.

\subsubsection{Cas particuliers et l'exemple du groupe de Brauer}
Les faits suivants sont immédiats :
\begin{enumerate}
\item Si $I$ a un plus grand élément $ι$, la colimite est naturellement isomorphe à $M_ι$.
\item Soit $M$ un groupe et $(M_i)$ une collection de sous-groupes tels
que $M_i ⊆ M_j$ lorsque $i ≤ j$. La colimite du système inductif
associé — les flèches de transition $φ_{ij}$ étant les inclusions —
est naturellement en bijection avec la réunion $⋃_i M_i ⊆ M$.
En particulier, si $(M_i)$ est un système inductif constant de valeur $M$ et à flèches
de transitions égales à l'identité de $M$, la colimite s'identifie
naturellement à $M$.
\end{enumerate}

Soit maintenant $K\bo k$ une extension galoisienne non nécessairement finie.
Rappelons que l'on note $\Br(K\bo k)$ le noyau $\Br(k) → \Br(K)$.
Pour $k ′ ∈ I_{K\bo k}$ variable, les sous-groupes $\Br(k ′\bo k)$
de $\Br(K\bo k)$ définissent naturellement un système inductif.

\begin{lemme2}
Le morphisme canonique $\colim_{k ′ ∈ I_{K \bo k}} \Br(k ′ \bo k) → \Br(K\bo k)$
est un isomorphisme.
\end{lemme2}

\begin{démo}
D'après le cas particulier (ii) ci-dessus, il suffit de vérifier que $⋃_{k ′} \Br(k ′ \bo k)=\Br(K\bo k)$.
Rappelons qu'un élément de $\Br(K\bo k)$ est la classe d'équivalence
d'une algèbre d'Azumaya trivialisée par l'extension des scalaires $\tiret ⊗_k K$.
D'après \ref{trivialisation Azu descend au niveau fini}, une telle
trivialisation se descend à une extension finie, que l'on peut bien sûr supposer
galoisienne.
\end{démo}

\subsubsection{Cohomologie}\label{cohomologie profinie}
Soit $K\bo k$ une extension galoisienne non nécessairement finie de groupe de
Galois noté $Π_{k}$. Pour $k ′ ∈ I_{K\bo k}$, son sous-groupe
$Π_{k ′}=\Gal(K\bo k ′)$ est d'indice fini. Considérons un groupe abélien $A$ muni d'une action de $Π_{k}$.
Pour chaque $k ′$, notons $A_{k ′}$ l'ensemble
des points fixes $\Fix_{Π_{k ′}}(A)$, naturellement muni d'une action du groupe \emph{fini}
$Π_{k ′\bo k}=Π_K/Π_{k ′}$. Nous dirons que l'action de $Π_k$ sur $A$ est \emph{admissible} si on a
l'égalité :
\[
A=⋃_{k ′ } A_{k ′}.
\]
(Pour une interprétation de cette condition en termes topologiques, cf. \refext{Krull}{}.)
Nous avons défini en \refext{Formes}{généralités 1-cocycles}
(resp. \ref{définition 2-cocycle}) les zéroïème et premier (resp. second)
groupes de cohomologie $H⁰(Π_{k′\bo k},A_{k ′})$ et $H¹(Π_{k ′\bo k},A_{k ′})$
(resp. $H²(Π_{k ′\bo k},A_{k ′})$). Comme indiqué dans \emph{loc. cit.},
il s'agit de cas particuliers de constructions générales présentées
dans l'appendice \refext{Coho}{}. Lorsque le corps $k'$ est contenu dans $k ″$,
le morphisme de restriction $Π_{k ″\bo k} ↠ Π_{k ′ \bo k}$
et l'inclusion $A_{k ′} ⊆ A_{k ″}$ induit des morphismes
dits d'\emph{inflation} $ H^i(Π_{k ′ \bo k},A_{k ′}) →  H^i(Π_{k ″\bo k},A_{k ″})$
pour chaque $i$ : si $c ′:Π_{k ′ \bo k}^i → A_{k ′}$ est un $i$-cocycle,
le morphisme composé $c ″ : Π_{k ″  \bo k}^i ↠ Π_{k ′ \bo k}^i
\dessusdessous{c}{→} A_{k ′} ↪  A_{k ″}$ est également un $i$-cocycle
et sa classe ne dépend que de la classe de $c ′$.
Les groupes de cohomologies forment alors un ensemble inductif. On pose :
\[
H^i(K \bo k,A):=\colim_{k ′ ∈ I_{K\bo k}} H^i(Π_{k ′\bo k},A_{k ′}).
\]

Si $K\bo k$ est \emph{finie}, on a $H^i(K\bo k,A)=H^i(\Gal(K\bo k),A)$
car $I_{K\bo k}$ a un plus grand élément. Ceci est conforme
à la convention de notation \ref{notation H(K/k)}. Lorsque $K$ est une clôture
séparable de $k$, on note plutôt $H^i(k,A)$ ces groupes. (Le choix de deux clôtures
séparables mène à des groupes isomorphes.)

Considérons maintenant le cas du groupe multiplicatif $\Gm$, c'est-à-dire $A=K^×$.
On a $A_{k ′}={k ′}^×$ de sorte que la condition d'admissibilité est satisfaite.
\begin{lemme2}
Les isomorphismes $δ^{\Br}_{k ′ \bo k}:\Br(k ′\bo k) ⥲ H²(k ′\bo k,\Gm)$, pour $k ′
∈ I_{K\bo k}$ sont compatibles avec les morphismes des systèmes inductifs.
En conséquence, ils induisent un \emph{isomorphisme}
\[
\Br(K\bo k) ⥲ H²(K\bo k,\Gm).
\]
\end{lemme2}

\begin{démo}
Par construction (\ref{notations Azu-Brauer}), il suffit de vérifier deux compatibilités :
celle des cobords $H¹(k ′ \bo k,\PGL_n) → H²(k ′\bo k,\Gm)$
et celle des isomorphismes $\Azu(n,k ′\bo k)⥲H¹(k ′\bo k,\PGL_n)$. La première est un fait général
qui résulte immédiatement de la construction \ref{construction 2-cobord}.
et de la définition ci-dessus des morphismes d'inflation.
Considérons maintenant la seconde compatibilité.
Fixons une algèbre d'Azumaya $A$ sur $k$ de rang $n$ et un isomorphisme
$φ ′: 𝐌_n(k ′) ⥲ A_{k ′}$. Notons $φ ″$ l'unique isomorphisme faisant
commuter le diagramme
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
𝐌_n(k ′) ⊗_{k ′} k ″ & A_{k ′} ⊗_{k ′} k ″ \\
𝐌_n(k ″) &  A_{k ″} \\};
\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$φ ′ ⊗_{k ′} k ″$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$φ ″$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
dont les flèches verticales sont les isomorphismes canoniques.
D'après \refext{Formes}{definition cocycle forme}, la classe de
$A$ dans $H¹(k ′ \bo k,\Aut(𝐌_n))$ (resp. $H¹(k ″ \bo k,\Aut(𝐌_n))$)
est représentée par le $1$-cocycle
$c ′_{φ ′}: σ ′ ↦ {φ ′}^{-1} σ ′ φ {σ ′}^{-1}$
(resp.
$c ″_{φ ″}: σ ″ ↦ {φ ″}^{-1} σ ″ φ {σ ″}^{-1}$).
Pour conclure, il faut vérifier que si $σ ″ ∈ Π_{k ″\bo k}$
est d'image $σ ′$ dans $Π_{k ′ \bo k}$ et que
${φ ′}^{-1} σ ′ φ {σ ′}^{-1}$ est la conjugaison par une matrice
inversible $g$, alors ${φ ″}^{-1} σ ″ φ {σ ″}^{-1}$ est également la conjugaison
par la matrice $g$. Cela résulte du fait qu'un $k ″$-automorphisme de $𝐌_n(k ″)$
est caractérisé par son action sur $𝐌_n(k ′)$.
\end{démo}

\subsection{Suites exactes}

Conservons les notations de \ref{cohomologie profinie}.
Soit
\[
0 → A → B → C → 0
\]
une suite exacte de $Π_k$-modules admissibles.
Comme nous l'avons signalé au cours de la démonstration précédente,
les morphismes $1$-cobords $H¹(k ′ \bo k,C_{k ′}) → H²(k ′ \bo k,A_{k ′})$
sont compatibles aux morphismes d'inflation de sorte qu'ils induisent
un morphisme, également appelé $1$-cobord,
\[
δ¹_{K\bo k}:H¹(K \bo k,C) → H²(K \bo k,A).
\]

\begin{proposition2}
La suite
\[
H¹(K \bo k,C) \dessusdessous{δ¹_{K\bo k}}{→} H²(K \bo k,A) → H²(K \bo k,B)
→ H²(K \bo k,C)
\]
est \emph{exacte}.
\end{proposition2}

Si $K\bo k$ est fini, un énoncé de même nature a été
démontré et utilisé en \ref{description cohomologique Brauer extension finie} ;
cf. \ref{premier bout suite exacte longue}.

\begin{démo}
Cas où $K\bo k$ est finie. Nous ne traitons que le cas de l'exactitude
en $H²(K\bo k,B)$, les autres cas étant semblables. (Voir aussi
\refext{Coho}{} pour la démonstration complète d'un énoncé plus général.)
Soit $c$ un $2$-cocycle à valeurs dans $B$. Notons $\sur{c}$ le $2$-cocycle
qui s'en déduit par composition à droite avec la surjection $B ↠ C$.
Il faut montrer que si la classe $[\sur{c}] ∈ H²(K\bo k,C)$ est triviale,
$c$ est cohomologue à un cocycle à valeurs dans $A$. Par hypothèse
(cf. \ref{2-cocycles cohomologues}), il existe une famille $(γ_σ)_{σ}$ d'éléments de $C$ tels que
pour chaque paire $(σ,τ)∈ Π_{K\bo k}²$, on ait $\sur{c}(σ,τ)=γ_σ+{^σ  γ_τ} - γ_{σ τ}$.
Soit $(β_σ)_{σ}$ un relèvement arbitraire de la famille $γ$ dans $B$.
Par construction le $2$-cocycle $(σ,τ) ↦ c(σ,τ)-\big(β_σ+{^σ β_τ} - β_{σ
τ}\big)$ est à valeurs dans $A=\Ker(B → C)$. Il est cohomologue à $c$. CQFD.

Cas général : passage à la limite.
Signalons immédiatement une difficulté : \emph{le passage aux points fixes ne préserve pas nécessairement
les surjections.} En d'autres termes, pour $k ′ ∈ I_{K\bo k}$, il n'est pas vrai en général
que le morphisme $B_{k ′} → C_{k ′}$ déduit de la \emph{surjection} $B ↠ C$ soit également surjectif.
Soit $x$ un élément de la colimite $H²(K\bo k,B)$ dont l'image est nulle dans
$H²(K\bo k,C)$. Soit $x_{k ′} ∈ H²(k ′\bo k,B_{k ′})$ d'image $x$. L'image de
$x_{k ′}$ dans $H²(k ′\bo k,C_{k ′})$ n'est pas nécessairement nulle mais le
devient après application d'un morphisme d'inflation $H²(k ′\bo k,C_{k ′}) → H²(k ″\bo k,C_{k ″})$
pour $k ″$ assez grand. Quitte à remplacer $x_{k ′}$ par son image dans
$H²(k″\bo k,B_{k ″})$, on peut supposer que l'image de $x_{k ′}$ dans $H²(k ′ \bo k,C_{k ′})$ est nulle.
Notons $c_{k ′}$ un $2$-cocycle représentant cette classe. Comme précédemment,
il existe une famille ${γ_σ}_{σ ∈ Π_{k ′ \bo k}} ∈ C_{k ′}$ telle
que $\sur{c_{k ′}}(σ,τ)=γ_σ+{^σ  γ_τ} - γ_{σ τ}$. Bien que $B$ se surjecte
sur $C$, on ne peut \emph{a priori} pas relever $γ$ dans $B_{k ′}$. Cependant,
la famille $γ$ étant \emph{finie} et on a l'égalité $B=⋃ B_{k ″}$, où $k ″$ parcourt
les extensions galoisiennes de $k$ contenant $k$. Il en résulte qu'il existe
un corps $k ″$ comme précédemment tel que les $γ_σ$ appartient à l'image de
$B_{k ″}$. Quitte à remplacer à nouveau $k ′$ par $k ″$, on constate donc
que l'on peut supposer l'existe d'un relèvement dans $B_{k ′}$ des $γ_σ$.
On conclut alors comme dans le cas fini.
\end{démo}

\subsection{Description cohomologique de la $n$-torsion du groupe $\Br(k)$}

Soient $k$ un corps, $k\sep$ une clôture séparable de $k$ et $n$ un entier
inversible sur $k$. Sous cette hypothèse, l'élévation à la puissance $n$,
$x ↦ x^n$, ${k\sep}^× → {k\sep}^×$, est \emph{surjective}. Son noyau est l'ensemble
$μ_n(k\sep)$, de cardinal $n$, des racines de l'unité.
La proposition précédente montre que l'injection
naturelle $H²(k, μ_n) → \Ker(H²(k,\Gm) \dessusdessous{[n]}{→} H²(k,\Gm))$
est un isomorphisme. D'après \ref{description cohomologique Brauer extension finie},
le terme de droite s'identifie naturellement à la $n$-torsion $\Br_n(k)$
du groupe de Brauer.

On a donc démontré le théorème ci-dessous.

\begin{théorème2}\label{H2mun=Brn}
Soient $k$ un corps et $n$ un entier inversible sur $k$.
Le morphisme cobord induit un isomorphisme
\[
H²(k, μ_n) ⥲ \Br_n(k),
\]
\end{théorème2}

\section{Algèbres simples centrales, corps gauches}

\subsection{Conventions}Dans ce paragraphe, on entendra par « anneau »
un anneau unitaire non nécessairement commutatif, et par
« corps » (resp. « corps gauche ») un anneau commutatif (resp.
non nécessairement commutatif) unitaire dans lequel tout
élément non nul est inversible. Sauf mention du contraire,
les modules sur un anneau le sont à gauche. En particulier, si $D$ est un corps gauche,
un « $D$-espace vectoriel » est un $D$-module à gauche.
Enfin, si $A$ est un anneau, $M$ un $A$-module (à gauche)
et $x∈M$, on note $\Ann_A(M)$ (resp. $\Ann_A(m)$)
l'ensemble $\{a ∈ A: am=0 \text{ pour tout }m ∈ M\}$
(resp. $\{a ∈ A: ax=0\}$). C'est un idéal bilatère (resp. à gauche) de $A$,
appelé \emph{annulateur} de $M$ (resp. de $x$).

\subsection{Lemme de Schur, théorème de densité de Jacobson-Chevalley}

\begin{définition2}
Soit $A$ un anneau. Un $A$-module $M$ est dit \emph{simple}\index{module
simple} s'il est non nul et ne possède pas de sous-module non trivial, c'est-à-dire
différent de $\{0\}$ et de $M$.
\end{définition2}

On dit aussi parfois que $M$ est \emph{irréductible}.

\begin{théorème2}[Lemme de Schur]\label{lemme de Schur}
Soient $A$ un anneau et $M$ un $A$-module simple. L'anneau
$D=\End_{A\traitdunion\categ{Mod}}(M)$ est un \emph{corps gauche}.
\end{théorème2}

\begin{démo}
Soit $φ ∈ D$ un élément non nul. L'ensemble $\Im(φ)$ est un sous-$A$-module de
$M$, non nul. Par simplicité de $M$ on a nécessairement $\Im(φ)=M$ : $φ$
est surjectif. De même, $\Ker(φ)≠M$ donc $\Ker(φ)=\{0\}$ : $φ$ est injectif.
Finalement $φ$ est une application $A$-linéaire bijective donc inversible.
\end{démo}

Un tel module $M$ est naturellement muni d'une structure de $D$-espace
vectoriel : pour tout $φ ∈ D$ et tout $m ∈ M$, on pose $φ⋅m=φ(m)$.
Par définition, cette action de $D$ commute à l'action de $A$ par homothéties.
Prendre garde au fait que les homothéties sont pas nécessairement
$A$-linéaires car $A$ n'est pas supposé commutatif : $A$ s'envoie
dans $\End_D(M)$ mais en général pas dans $\End_A(M)$. 

\begin{théorème2}\label{densité Jacobson-Chevalley}
Soient $A$ un anneau, $M$ un $A$-module simple,
$D=\End_A(M)$ le corps gauche des endomorphismes de $M$
et $n≥1$ un entier. Pour toute famille \emph{libre sur $D$} d'éléments $x₁,…,x_n$ 
de $M$ et tout choix d'éléments $y₁,…,y_n$ dans $M$, 
il existe un $a∈A$ tel que $a⋅x_i=y_i$ pour chaque $i∈\{1,…,n\}$.
\end{théorème2}

On dit parfois que l'image du morphisme
$A → \End_D(M)$ est « dense ». Si $M$ est de dimension finie sur $D$,
cela revient à dire qu'elle est surjective. D'autre part, son noyau est
$\Ann_A(M)$. Cela nous permettra ci-après de montrer 
dans des cas particuliers importants que le morphisme 
$A → \End_D(M)$ est un isomorphisme.

Commençons par deux lemmes.

\begin{lemme2}
Soient $M$ un $A$-module simple et $x₁,x₂$ deux éléments
tels que $\Ann_A(x₁)$ soit contenu dans $\Ann_A(x₂)$. Alors,
$x₂∈Dx₁$.
\end{lemme2}

Remarquons que la réciproque est trivialement vraie.

\begin{démo}
Commençons par observer que si $x₁=0$, $\Ann_A(x₁)=A$ si bien que
$\Ann_A(x₂)=0$, ce qui est équivalent à la nullité de $x₂$. Or le résultat
est trivial si $x₂=0$. On peut donc supposer $x₁$ et $x₂$ non nuls.
Le module $M$ étant simple on a alors $Ax₁=M$ et $Ax₂=M$.
Il résulte de l'hypothèse que l'application ensembliste $φ$ envoyant 
chaque $ax₁$ sur $ax₂$, et en particulier $x₁$ sur
$x₂$, est bien définie : si $ax₁=a'x₁$,
on a $a-a'∈\Ann_A(x₁)⊆\Ann_A(x₂)$ de sorte que $(a-a')x₂=0$, c'est-à-dire
$ax₂=a'x₂$. Cette application est trivialement $A$-linéaire ; elle appartient
donc à $D$ et $x₂=φ⋅x₁$.
\end{démo}

Plus généralement :

\begin{lemme2}
Soient $M$ un $A$-module simple, $n≥2$ un entier et
$x₁,…,x_n$ des éléments de $M$. Les conditions suivantes sont
équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $\Ann_A(x₁)∩ \cdots ∩ \Ann_A(x_{n-1}) ⊆ \Ann_A(x_n)$ ;
\item $x_n∈Dx₁+\cdots+Dx_{n-1}$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
Si $n=2$, c'est l'énoncé précédent.
Dans le cas général, on procède par récurrence.
Supposons $n>2$ et considérons $J=⋂_1^{n-2}\Ann_A(x_i)$. C'est un idéal (à
gauche) de $A$. Si $Jx_{n-1}=\{0\}$, c'est-à-dire $J⊆\Ann_A(x_{n-1})$, l'hypothèse
(i) se réécrit $J⊆\Ann_A(x_n)$ de sorte que l'on peut appliquer l'hypothèse
de récurrence à la famille $x₁,…,x_{n-2},x_n$. De façon semblable, 
si $Jx_n=\{0\}$, on a $J⊆\Ann_A(x_n)$ et l'on peut conclure par récurrence,
sans même utiliser l'hypothèse (i). 
On peut donc supposer, par simplicité de $M$, que l'on a $Jx_{n-1}=M=Jx_{n}$.
(Remarquons que pour tout idéal $K$ de $A$ et tout élément $m$ de $M$,
$Km=\{km:k∈K\}$ est un sous-$A$-module de $M$.)
L'application $φ:M → M$, \mbox{$j⋅x_{n-1} ↦ j⋅x_n$} ($j∈J$) est bien définie par
hypothèse et appartient à $D$ par construction. L'annulateur de 
l'élément $x_n-φ(x_{n-1})$ contient $J=⋂_1^{n-2} \Ann_A(x_i)$. Par récurrence,
on a donc $x_n-φ(x_{n-1})∈Dx₁+\cdots+Dx_{n-2}$. Ceci montre l'implication (i)⇒(ii). 
L'implication réciproque est triviale.
\end{démo}

\begin{démo}[Démonstration du théorème \ref{densité Jacobson-Chevalley}]
On procède par récurrence sur $n$. Si $n=1$ le résultat est trivial
car $Ax₁=M$. Supposons $n≥2$. Par hypothèse de récurrence, il existe $b∈A$
tel que $bx₁=y₁$, $bx₂=y₂$,…, $bx_{n-1}=y_{n-1}$. Puisque $x_n$ n'est pas
combinaison linéaire à coefficients dans $D$ des $x₁,…,x_{n-1}$, il résulte
du lemme précédent que l'intersection $⋂_1^{n-1}\Ann_A(x_i)$ n'est pas contenue 
dans $\Ann_A(x_{n})$ : le sous-$A$-module $\left(⋂_1^{n-1}\Ann_A(x_i)\right)x_n$
de $M$ est non nul. Puisqu'il est alors égal à $M$, il existe un élément $j$ de
cette intersection tel que $jx_n=y_n$. L'élément $a=b+j$ répond à la question.
\end{démo}

\subsection{Le théorème de Wedderburn}

\begin{définition2}\label{définition artinien simple primitif} Un anneau $A$ est dit :
\begin{enumerate}
\item \emph{artinien} (à gauche) si toute suite décroissante d'idéaux (à gauche) est stationnaire ;
\item \emph{simple} s'il ne possède pas d'idéaux bilatères non triviaux ;
\item \emph{primitif} (à gauche) s'il existe un $A$-module simple $M$ tel que
$\Ann_A(M)=\{0\}$. (Un tel module est dit \emph{fidèle simple}.)
\end{enumerate}
\end{définition2}

% primitif, cf. Lam, p. 172.

Par exemple, $A$ une algèbre de dimension finie sur un corps
(non nécessairement commutatif) est un anneau artinien. 
Cela résulte du fait que les idéaux à gauche
de $A$ sont naturellement des espaces vectoriels sur ce corps, 
de dimension finie.

Soient $k$ un corps commutatif et $V$ un $k$-espace vectoriel 
de dimension finie. On vérifie aisément que les idéaux à droite
(resp. gauche) de $A=\End_k(V)$ sont les endomorphismes d'image contenue 
dans (resp. de noyau contenant) un sous-espace fixé de $V$.
Il en résulte que les idéaux bilatères de $A$ sont triviaux.
Cet énoncé ce généralise au cas non commutatif, dont nous donnons
une démonstration \emph{ad hoc} calculatoire.

\begin{proposition2}\label{simplicité Mn}
Soient $D$ un corps gauche et $n≥1$ un entier.
L'anneau $𝐌_n(D)$ est artinien simple.
\end{proposition2}

\begin{démo}
L'anneau $A=M_n(D)$ étant naturellement un $D$-espace vectoriel de dimension
finie, égale à $n²$, il est artinien. Montrons qu'il est simple. Soit $I$ un
idéal bilatère non nul de $A$. Pour toute matrice $m=(a_{ij})∈A$, et tout
quadruplet d'indices $α,β,α′,β′$, on a 
\[
E_{α,β′}⋅m⋅E_{α′,β}=m_{β′,α′} E_{α,β}.
\]
Si $m$ est non nulle et dans $I$, il en résulte que $I$ contient
une matrice de la forme $λ E_{α,β}$ où $λ ∈D-\{0\}$. L'anneau
$D$ étant un corps gauche, un tel $λ$ est inversible : $I$ contient une matrice
$E_{α,β}$. Il résulte de l'égalité 
\[λ_{i,j}E_{i,j}=(λ_{i,j}E_{i,α})⋅E_{α,β}⋅E_{β,j}\]
que l'idéal bilatère engendré par une telle matrice est $A$ tout entier. CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}[Artin-Wedderburn]\label{Artin-Wedderbun}
Soit $A$ un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $A$ est artinien (à gauche) simple.
\item $A$ est artinien (à gauche) primitif.
\item $A$ est isomorphe à $\End_D(M)$ où $D$ est un corps gauche et $M$ un
$D$-espace vectoriel de dimension finie.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

On peut paraphraser (iii) en disant que $A$ est isomorphe à une algèbre de
matrices sur un corps gauche.

Il résulte de ce théorème qu'un anneau simple artinien à gauche est artinien
à droite.

\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). $A$ étant artinien (à gauche), il existe un idéal à gauche non nul minimal $I$. Le $A$-module $I$ est, par
construction, irréductible. L'annulateur de $I$, comme de tout $A$-module,
étant un idéal bilatère, on a donc $\Ann_A(I)=\{0\}$.
(ii) ⇒ (iii). Il résulte du théorème \ref{densité Jacobson-Chevalley} que
l'application injective $A → \End_D(M)$, car $\Ann_A(M)=0$, où $D$ est le
corps gauche $\End_A(M)$, est surjective. (iii) ⇒ (i) C'est l'objet 
de la proposition précédente.
\end{démo}

Signalons la variante suivante, qui s'incrit naturellement dans
le thème azumayen. 

\begin{théorème2}[Wedderburn]\label{Wedderburn}
Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre simple de dimension finie est $k$-isomorphe à une algèbre
de matrices sur un corps gauche $D$ de dimension finie sur $k$.
De plus, si $k$ est algébriquement clos, $D=k$. 
\end{théorème2}

\begin{démo}
Soit $M$ un $A$-module fidèle simple. Le corps gauche $D=\End_A(M)$ est naturellement
une $k$-algèbre — qui plus est de dimension finie — : 
on envoie $λ ∈ k$ sur l'homothétie de $M$ correspondante.
Il résulte comme ci-dessus de \ref{densité Jacobson-Chevalley} que l'application
naturelle $A → \End_D(M)$ est un isomorphisme d'anneaux ; il est $k$-linéaire
par construction. D'autre part $\End_D(M)$ est isomorphe à $𝐌_n(D)$ où
$n=\dim_D (M)$. Enfin, on remarque que tout corps gauche de dimension finie contenant $k$ est égal à $k$ :
si $d∈D$, les $d^i$ ($i∈𝐍$) sont $k$-linéairement dépendants de sorte que la
sous-$k$-algèbre \emph{commutative} $k[d]$ de $D$ est une \emph{extension} finie de
$k$. On a donc $k[d]=k$, c'est-à-dire $d∈k$, et, finalement, $D=k$. CQFD.
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{Azumaya=Mn(corps gauche)}
Soit $k$ un corps. Toute $k$-algèbre d'Azumaya est
isomorphe à une algèbre de matrices $𝐌_r(D)$ où $D$ est un corps gauche sur $k$.
De plus, le centre de $D$ est $k$.
\end{proposition2}

Rappelons que le \emph{centre} d'un anneau $B$ est l'ensemble 
\[Z(B)=\{b∈B:b'b=bb' \text{pour tout }b'∈B\}.\]

\begin{démo}
Montrons le premier point. Compte tenu du théorème précédent, il suffit de démontrer qu'une $k$-algèbre
d'Azumaya est un anneau simple. Soient $A$ une telle algèbre, $I$ un idéal
bilatère et $k' \bo k$ une extension trivialisant $A$, c'est-à-dire telle
que $A_{k'}≃ 𝐌_n(k')$. L'anneau $𝐌_n(k')$ étant simple (\ref{simplicité Mn}),
il en est de même de $A_{k'}=A⊗_k k'$, qui lui est isomorphe. L'idéal
image de $I_{k'}$ par l'application \emph{injective} (cf. p. ex. \refext{Alg}{changement de base k-algèbre}) 
$I_{k'}→ A_{k'}$, est donc égal à $\{0\}$ ou $A_{k'}$.
Ceci ne peut se produire que si $I=\{0\}$ ou $I=A$, par exemple pour des raisons
de dimension, celle-ci étant préservée par extension des scalaires. 
(Voir aussi \emph{op. cit.}, §5 pour un argument semblable.)

La démonstration du second point est semblable :
on remplace $I$ par le centre $Z(A)$ de $A$
et utilise fait que le centre de $A_{k'}$, isomorphe à une algèbre de matrices
sur $k'$, est égal à $k'$. Remarquons que l'on utilise simplement le fait
que $Z(A)$ s'envoie dans $Z(A_{k'})$ mais pas un éventuel isomorphisme
entre $Z(A)_{k'}$ et $Z(A_{k'})$.
\end{démo}

Réciproquement :

\begin{proposition2}\label{corps gauche central est Azumaya}
Un corps gauche fini sur son centre $k$ est une $k$-algèbre
d'Azumaya.
\end{proposition2}

Il en résulte que $\dim_k D$ est un carré.

\begin{démo}
Soit $D$ un corps gauche de centre $k$ et soit $k'\bo k$ une extension.
Nous allons montrer que l'anneau $D_{k'}=D⊗_k k'$ est un anneau simple.
Considérant alors le cas particulier où $k'$ est une
clôture algébrique de $k$ et où $\dim_k D=\dim_{k'} D_{k'}$ est fini,
l'existence d'un $k'$-isomorphisme $D_{k'}≃𝐌_r(k')$ est conséquence
du théorème \ref{Wedderburn}.

Soit $𝒥$ un idéal bilatère de $D_{k'}$. Choisissons une base $(e_i)_{i∈I}$ de
$k'$ sur $k$. La famille $e′_i=1⊗e_i$ ($i∈I$) est une base du $D$-espace
vectoriel (à gauche) $D_{k'}$. Nous dirons qu'un élément $x$ du $D$-espace vectoriel
(à gauche) $𝒥$ est \emph{primordial} (relativement à cette base)
si, écrivant $x=∑_i d_i⋅e′_i$, l'ensemble $S(x)=\{i∈I:d_i≠0\}$ est minimal parmi les
$S(y)$, pour $y∈𝒥-\{0\}$, et s'il existe un indice $i$ tel que
$d_i=1$. On vérifie facilement les deux faits suivants :
\begin{enumerate}
\item $𝒥$ est engendré en tant que $D$-espace
vectoriel par ses éléments primitifs ;
\item deux éléments $x,y∈𝒥$ tels que $S(x)=S(y)$ sont proportionnels : il existe
$d∈D^×$ tel que $y=dx$.
\end{enumerate}
Supposons $𝒥$ non nul et considérons en un élément primordial $x=∑_i d_i ⋅
e′_i$. Pour tout $d∈D$, l'élément $x'=x⋅d$ appartient à l'idéal \emph{bilatère}
$𝒥$ de $D_{k'}$. Dans la base $(e′_i)$, il s'écrit $x'=∑_i (d_i d)⋅e′_i$.
Si $d$ est non nul, $S(x')=S(x)$ de sorte qu'il existe d'après (ii) un 
élément $d'∈D$ tel que $x'=d′⋅x=∑_i (d'd_i)⋅e′_i$. L'indépendance $D$-linéaire des 
$e′_i$ force les égalités $d'd_i=d_i d$. Comme on a supposé d'autre part que
l'un des coefficients de $x$ est égal à l'unité $1$ de $D$, on a $d=d'$ et $d d_i=d_i d$ pour
tout $i$. Ceci étant vrai pour chaque $d∈D-\{0\}$, les coefficients $d_i$
appartiennent au centre de $D$, supposé réduit à $k$.
Ainsi, $x=1 ⊗ (∑_i d_i e_i)=1 ⊗ λ′$ où $λ′$ appartient
à $k'$ : l'élément $x$ appartient à $k'$ (vu dans $D_{k'}$). 
D'après (i), l'idéal $𝒥$ est donc engendré sur $D$ par son intersection avec $k'$ ;
celle-ci est soit $\{0\}$ soit $k'$. Dans le premier cas $𝒥$ est nul ; dans le
second $𝒥=D_{k'}$. CQFD.
\end{démo}

Les propositions relient le groupe de Brauer d'un corps $k$ aux corps gauches
finis de centre $k$. Il en résulte par exemple que si tout tel corps gauche
est égal à $k$, le groupe de Braueur de $k$ est trivial. Cette remarque est à la base du critère
\ref{} ci-dessous.

\subsection{Existence d'une trivialisation étale}\label{seconde démonstration Azumaya étale}
À titre d'application des résultats précédents, nous donnons ici une
démonstration du fait que toute algèbre d'Azumaya est trivalisée par une extension étale
(\ref{trivialisation Azumaya étale}).

Le résultat clef est le suivant.

\begin{proposition2}
Soit $D$ un corps gauche fini sur son centre $k$.
Si $D≠k$, il existe un sous-corps commutatif $k'$ de $D$ tel que l'extension
$k' \bo k$ soit étale et non triviale.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Raisonnons par l'absurde et supposons $k$ infini sans quoi le résultat est
trivial. (Toute extension finie d'un corps fini est étale.) Pour tout $x∈D$, l'extension $k(x)\bo k$ est
radicielle ; il existe $e∈𝐍$ tel que $x^{p^e}∈k$ où $p$ est l'exposant
caractéristique de $k$ (cf. \refext{Alg}{caractérisation extension radicielle}).
La dimension de $D$ sur $k$ étant finie et l'élévation
à la puissance $p$ étant additive, il existe un exposant $e$ tel que
la condition précédente soit satisfaite pour tout $x∈D$.
Soit $(d_i)_{1≤i≤s}$ une base de $D$ sur $k$ telle que $d₁=1$.
Il existe une famille de polynômes $P_i$ à coefficients dans $k$
tels que si $x=∑₁^s x_i d_i∈D$, on ait
\[
x^{p^e}=∑_i P_i(x₁,…,x_s)d_i.
\]
Par hypothèse, on a $P_i(x₁,…,x_s)=0$ pour tout $s$-uplet
de $k$ et tout indice $i>1$. Puisque $k$ est supposé infini, la nullité des \emph{fonctions}
$P_{i}$ ($i>1$) entraîne la nullité des \emph{polynômes} $P_{i}$ ($i>1$).

D'autre par les polynômes précédents sont « universels » au sens où
si l'on étend les scalaires de $k$ à $k'$ et que l'on considère la base $d'_i=d_i ⊗_k
k'$ de $D_{k'}$, l'égalité  $(∑_i x_i' d'_i)^{p^e}=∑_i P_i(x'₁,…,x'_s)d'_i$
reste vraie. D'après ce qui précède on a donc ${x'}^{p^e}∈k'$ pour tout
$x'∈D_{k'}$. Or $D$ est une algèbre d'Azumaya (\ref{corps gauche central est
Azumaya}) donc il existe $k'\bo k$
tel que $D_{k'}$ soit isomorphe à $𝐌_r(k')$ pour un $r$ convenable.
Dans $𝐌_r(k')$, où $r>1$, il existe quantité d'idempotents hors du centre, par exemple
la matrice $x'=E_{1,1}$ ; ils ne satisfont pas la condition ${x'}^{p^e}∈k'$.
\end{démo}

Cette démonstration est due à Emil Artin.

\begin{corollaire2}
Une algèbre d'Azumaya sur un corps séparablement clos
est triviale.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Soit $k$ le corps en question. Toute $k$-algèbre d'Azumaya
est isomorphe à une algèbre $𝐌_r(D)$ où $D$ est un corps gauche
de centre $k$. D'après ce qui précède, $D=k$.
\end{démo}

\section{Trivialité du groupe de Brauer d'un corps $C₁$}

\subsection{Norme et trace réduites}
\subsubsection{}
Soient $A$ une algèbre d'Azumaya de rang $n≥1$ et
$K\bo k$ une extension étale la trivialisant.
À tout $K$-isomorphisme $φ:A_K⥲𝐌_n(K)$, on peut
associer des applications composées 
$A↪A_K\dessusdessous{φ}{→}𝐌_n(K)\dessusdessous{\det}{→}K$
et $A↪A_K\dessusdessous{φ}{→}𝐌_n(K)\dessusdessous{\Tr}{→}K$.
Il résulte du théorème de Skolem-Nœther et de l'invariance
du déterminant et de la trace par conjugaison, que ces applications
— multiplicative et additive respectivement — ne dépendent
pas du choix de l'isomorphisme $φ$ mais seulement de l'extension
$K\bo k$. Nous les noterons momentanément $\Nrd_{A}^{K\bo k}$ 
et $\Trd_{A}^{K\bo k}$ respectivement. 

\begin{lemme2}
Soit $ι:K→K'$ une extension. On a
$\Nrd_{A}^{K'\bo k}=ι∘\Nrd_{A}^{K\bo k}$ et $\Trd_{A}^{K'\bo k}=ι∘\Trd_{A}^{K\bo k}$
\end{lemme2}

\begin{démo}
Choisissons un $K$-isomorphisme $φ:A_K⥲𝐌_n(K)$ 
et considérons le $K'$-isomorphisme $φ':A_{K'}⥲𝐌_n(K')$ qui s'en déduit 
par extension des scalaires de $K$ à $K'$ et des isomorphismes
canoniques $A_K⊗_K K'⥲A_{K'}$ et $𝐌_n(K)⊗_K K'⥲𝐌_n(K')$.
La première formule résulte du fait que les composés $ι∘\det:𝐌_n(K)→K'$
et $𝐌_n(K)→𝐌_n(K)⊗_K K'→𝐌_n(K')\dessusdessous{\det}{→}K'$ coïncident.
De même pour la trace.
\end{démo}

\subsubsection{}Soit maintenant $L$ une extension de $K$, finie galoisienne
sur $k$. D'après le lemme précédent, on a pour tout 
$σ∈\Gal(L\bo k)$ l'égalité $\Nrd_A^{L\bo k}=σ∘\Nrd_A^{L\bo k}$,
de même pour la trace. Il en résulte que les applications 
$\Nrd_A^{L\bo k}$ et $\Trd_A^{L\bo k}$ sont à valeurs
dans le corps de base $k=\Fix_{\Gal(L\bo k)}(L)$. D'autre part, il résulte 
de ce même lemme que $\Nrd_A^{L\bo k}=ι∘\Nrd_A^{K\bo k}$ et
$\Trd_A^{L\bo k}=ι∘\Trd_A^{K\bo k}$ — où $ι$ est l'inclusion de $K$ dans $L$ —
si bien que ces applications sont également à valeurs dans $k$ et indépendantes
du choix de l'extension étale trivialisant $A$.

\begin{définition2}\label{définition norme et trace réduites}
Pour toute algèbre d'Azumaya $A$ sur $k$, on note $\Nrd_A$ et $\Trd_A$
ces applications, appelées respectivement \emph{norme réduite}\index{norme
réduite} et \emph{trace réduite}\index{trace réduite}.
\end{définition2}

Remarquons que si $A=𝐌_n$ ces applications ne sont autres que
le déterminant et la trace usuels.

Pour mémoire :

\begin{lemme2}
Pour toute paire $a,b∈A$, on a :
\[
\Nrd_A(ab)=\Nrd_A(a)\Nrd_A(b)
\]
et
\[
\Trd_A(a+b)=\Trd_A(a)+\Trd_A(b).
\]
\end{lemme2}

\begin{démo}
Résulte des formules analogues pour les algèbres de matrices.
\end{démo}

Le lemme suivant est le point clef pour établir un lien entre
la possibilité pour $A$ d'être un corps (non nécessairement commutatif)
et les propriétés arithmétiques de $k$.

\begin{lemme2}\label{norme réduite de degré n carré en n variables}
Soient $A$ une $k$-algèbre d'Azumaya de degré $n$ et $e₁,…,e_{n²}$ une base
de $A$ comme $k$-espace vectoriel.
L'application
\[f_e:k^{n²}→k,\]
\[(λ₁,…,λ_{n²})↦\Nrd_A(λ₁e₁+\cdots+λ_{n²}e_{n²})\]
est polynomiale, homogène de degré $n$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soient $K\bo k$ une extension étale trivialisant $A$ et $φ:A_K⥲𝐌_n(K)$
un $K$-isomorphisme. Notons $e'₁,…,e'_{n²}$ l'image de la base $e$ de $A$
dans $𝐌_n(K)$. L'application $(λ₁,…,λ_{n²})↦\det(λ₁e'₁+\cdots+λ_{n²}e'_{n²})$ est polynomiale,
homogène de degré $n$. Ceci entraîne le résultat annoncé.
\end{démo}

\begin{remarque2}
On laisse le soin au lecteur de définir, pour tout $a∈A$, un « polynôme caractéristique
réduit » $\mathrm{Prd}_A(a,X)=X^n-\Trd_A(a)X^{n-1}+\cdots+(-1)^n\Nrd_A(a)$.
Cf. Bourbaki, VIII, §12.
\end{remarque2}

\subsection{Formes normiques sur un corps gauche}

\subsubsection{}Soit $D$ un corps gauche fini sur son centre $k$. Il résulte de
la proposition \ref{corps gauche central est Azumaya} que $D$ est une
$k$-algèbre d'Azumaya. Notons $d$ son rang, en tant qu'algèbre d'Azumaya,
de sorte que $\dim_k D=d²$. On peut donc utiliser les résultats du paragraphe
précédent et considérer la norme réduite $\N_D:D → k$. C'est un morphisme
multiplicatif ; elle envoie donc $D^×=D-\{0\}$ dans $k^×$. En effet, si $x∈D-\{0\}$,
il existe $y∈D$ tel que $xy=1=yx$. En appliquant la norme réduite, on obtient
l'égalité dans $k$ : $\N_D(x)\N_D(y)=1$. En d'autres termes, $\N_D(x)$ n'est
nul que si $x=0$. On a vu en \ref{norme réduite de degré n carré en n variables}
que la norme réduite « est », modulo le choix d'une base de $D$ sur $k$,
un polynôme homogène en $n=d²$ variables de degré $d$. 
Supposons un instant que $D≠k$, c'est-à-dire que l'on a l'inégalité
stricte $d>1$ ; on a alors $n>d$. L'absence de zéro
non trivial de la norme réduite sur $D$ montre que le
corps $k$ n'est pas un corps $C₁$ (\refext{C1}{definition-corps-c-r}). 
De cette constatation et du théorème \ref{Azumaya=Mn(corps gauche)},
on tire le théorème suivant.

\begin{théorème2}\label{Br(C1)=trivial}
Le groupe de Brauer d'un corps $C₁$ est trivial.
\end{théorème2}

\begin{remarque2}\label{remarque Gille-Szamuely}
On utilise ici de manière cruciale la théorie d'Artin-Wedderburn
qui ramène l'étude du groupe de Brauer d'un corps, tel qu'on l'a défini,
aux corps gauches sur ce corps. Dans le même esprit, il est possible 
de donner une démonstration légèrement différente
du théorème \ref{trivialisation Azumaya étale}
qui ne s'appuie pas sur le théorème de Skolem-Nœther général
mais uniquement sur une variante du fait — utilisé en
\refext{Formes}{critère formes étales} — qu'une $k$-algèbre de type finie non nulle géométriquement réduite a un point
dans une extension étale. Nous renvoyons le lecteur à
\cite{Gille-Szamuely}, 2.2.5 pour une telle démonstration
ainsi d'ailleurs que de passionants développements sur les thèmes
entrelacés des algèbres d'Azumaya et de la cohomologie galoisienne. 
\end{remarque2}

\begin{corollaire2}\label{corps gauche fini est commutatif}
Tout corps gauche fini est commutatif.
\end{corollaire2}

Cet énoncé généralise le corollaire \ref{algèbre quaternions finie est
triviale}

\begin{démo}
En effet, tout corps fini est $C₁$ (\refext{C1}{theoreme-chevalley-warning}).
\end{démo}


\section{Addendum : Skolem-Nœther sur un anneau commutatif quelconque et
une application}\label{Addendum Skolem-Noether}

Dans ce paragraphe, on fait usage du produit tensoriel
de modules sur un anneau qui n'est pas nécessairement un corps.
En cas de besoin, le lecteur pourra se reporter à \refext{Tens}{}.

\subsection{Skolem-Nœther (II)}

\subsubsection{}Soient $A$ un anneau commutatif, $n≥1$ un entier
et $φ$ un automorphisme de la $A$-algèbre
$𝐌_n(A)$.
La démonstration du théorème \ref{Skolem-Noether sur corps}
s'applique \emph{mutatis mutandis} (remplacer « $K$-espace vectoriel »
par « $A$-module ») au présent cadre : on
a construit un isomorphisme explicite $L_φ^n ⥲ A^n$,
où $L_φ$ est le sous-$A$-module image du projecteur (endomorphisme
idempotent) $φ(E_{1,1})$ de $A^n$,
de telle sorte que l'on ait égalité
$φ(f)=ι_φ ∘ f_{L_φ,n} ∘ ι_φ^{-1}$
pour tout $f ∈ 𝐌_n(A)$. Réciproquement, pour tout $A$-module $L$
muni d'un isomorphisme $ι:L^n ⥲ A^n$, l'application
$f ↦ ι ∘ f_{L,n} ∘ ι^{-1}$ est un automorphisme $φ_{L,ι}$
de $𝐌_n(A)$. Observons au passage que si $A$ est un anneau principal,
$L_φ$ est alors nécessairement libre de rang $1$ si bien
que tout automorphisme de $𝐌_n(A)$ est intérieur.

Résumons :

\begin{théorème2}
Pour tout anneau commutatif $A$ et tout entier $n$, notons
$ℒ_n(A)$ l'ensemble des paires $(L,ι)$ où $L$ est un sous-$A$-module
de $A^n$ et $ι$ un isomorphisme $L^n ⥲ A^n$ prolongeant l'inclusion $L⊆A^n$
du premier facteur. Les applications $Φ_A:\Aut_A(𝐌_n(A))→ℒ_n(A)$, $φ↦(L_φ,ι_φ)$
et $ℒ_A:ℒ_n(A) → \Aut_A(𝐌_n(A))$, $(L,ι)↦\big(f ↦ ι ∘ f_{L,n} ∘ ι^{-1}\big)$
sont des bijections inverses l'une de l'autre.
\end{théorème2}

En termes plus abtraits, on a construit des isomorphismes
naturels (\refext{Categ}{definition-isomorphisme-naturel})
inverses l'un de l'autre entre les \emph{foncteurs}
$\Aut(𝐌_n)$ et $ℒ_n$.

\subsubsection{}Afin de lier cette description
de $\Aut(𝐌_n)$ à « $\GL_n/\Gm$ » — expression à laquelle
nous ne donnerons pas de sens précis —
nous allons réécrire la donnée $(L_φ⊆A^n, ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)$ 
en terme d'un seul module.
À cette fin, considérons le sous-$A$-module $M_φ$ de $𝐌_n(A)$ constitué
des matrices de vecteurs colonnes 
$(φ(E_{1,1})v,…,φ(E_{n,1})v)$ où $v$ parcourt $A^n$,
ou bien $L_φ$, le résultat étant le même%\footnote{On vérifie
%sans peine que pour tout $A$-module $L$, l'application
%naturelle $\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(L^n,A^n) →
%\Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(L,𝐌_n(A))$
%associant à $ι$ l'application linéaire $λ:l ↦ 
%\big(ι(l₁),ι(l₂),…,ι(l_n)\big)$, 
%où $l_i ∈ L^n$ a une unique composante non nulle égale à $l$ en position $i$,
%est un isomorphisme. Si $ι=ι_φ$,
%on vérifie immédiatement que l'application $λ$ est 
%d'image $M_φ$.}
.
De façon équivalente, $M_φ$ est l'image du projecteur $p_φ:𝐌_n(A)→𝐌_n(A)$,
$\big(v₁,…,v_n\big)↦\big(φ(E_{1,1})v₁,…,φ(E_{n,1})v₁\big)$.
Il en résulte que $M_φ$ est un facteur
direct du $A$-module $𝐌_n(A)$, libre de rang $n²$.
Dans la base canonique $E_{i,j}$ de $𝐌_n(A)$, convenablement
ordonnée, la matrice de $p_φ$
est triangulaire par blocs, avec pour diagonale
la matrice $φ(E_{1,1})$ de taille $n×n$ et la matrice nulle de taille
$(n²-n)×(n²-n)$. Il en résulte que le polynôme
$P_{p_φ}(X)=\det\big(\Id_{𝐌_{n}(A)}+(X-1)p_φ\big)$
est égal à $P_{φ(E_{1,1})}(X)=\det(\Id_{A^n}+(X-1)φ(E_{1,1}))$. 
D'autre part, il résulte de \ref{rang projecteur} que $P_{φ(E_{1,1})}=X$ :
l'argument donné n'utilisait pas l'hypothèse que l'anneau des coefficients
soit un corps. Nous dirons donc que $p_φ$ est un \emph{projecteur de
rang un}.

\subsubsection{}Soient $\pr_i$ les applications « $i$-ième vecteur colonne »
de $𝐌_n(A)$ dans $A^n$ et $\pr_{i|M_φ}$ leurs restrictions
à $M_φ$. L'application $\pr_{1|M_φ}$
induit un isomorphisme sur son image $L_φ$ dont l'inverse est
l'application $L_φ →  M_φ$ envoyant $l$ sur $(φ(E_{1,1})l,…,φ(E_{n,1})l)$.
On peut donc reconstruire $L_φ$ à partir de $M_φ$ ; l'égalité
\[
(ι_φ:L_φ^n ⥲ A^n)=∑_i \pr_{i|M_φ} ∘ {\pr_{1|M_φ}}^{-1}
\]
montre comment reconstruire $ι_φ$. (Par construction,
le terme de droite prolonge l'inclusion $L⊆A^n$.)

Pour tout anneau $A$, notons $𝐏⁰(𝐌_n)(A)$,
l'ensemble des sous-$A$-modules $M$ de $𝐌_n(A)$
tels que l'application « image » (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}
\emph{infra} pour une justification de cette terminologie)
\[I_M := ∑_i \pr_{i|M}:M^n → A^n\] soit un isomorphisme.
L'application \[M↦(L_M=\Im \pr_{1|M}, ι_M=∑_i \pr_{i|M} ∘
{\pr_{1|M}}^{-1})\] est une bijection entre 
$\mathbf{P}⁰(𝐌_n)(A)$ et $ℒ_n(A)$. Il en résulte que les foncteurs
$\Aut(𝐌_n)$ et $𝐏⁰(𝐌_n)$ sont isomorphes. (Si $A → B$ un morphisme de
$k$-algèbres, l'application $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(B)$ envoie $M⊆𝐌_n(A)$ 
sur l'image de $M_B=M ⊗_A A$ dans $𝐌_n(B)$ par l'application canonique.)

\subsubsection{}\label{Skolem-Noether abstrait cas corps}Supposons un instant que $A$ soit un corps, que nous noterons plutôt $K$.
Un sous-$K$-module de $𝐌_n(K)$ tel que $I_M$ soit un isomorphisme
n'est autre qu'une droite de $𝐌_n(K)$ engendrée par une matrice
\emph{inversible}, c'est-à-dire un élément de $\PGL_n(K)=\GL_n(K)/K^×$. 
En effet, $M$ est nécessairement de dimension un
car $M^n≃K^n$, et, si $M=\{λm:λ ∈ K\}$, où $m$ est une matrice $n×n$
de vecteurs colonnes $(v₁,…,v_n)$, l'application $I_M$ 
envoie $(λ₁m,λ₂m,…,λ_nm)$ sur $∑_i λ_i v_i$. C'est un isomorphisme
si et seulement si les $v_i$ forment une base de $K^n$.
On retrouve donc le théorème de Skolem-Nœther sous sa forme usuelle.

\subsection{Seconde démonstration du théorème \ref{trivialisation Azumaya étale} (esquisse)}

Fixons un entier $n$.
Le foncteur $𝐏⁰(𝐌_n):k\traitdunion\Alg → \Ens$ étant isomorphe au foncteur $\Aut(𝐌_n)$,
il est représentable par une $k$-algèbre (\refext{formes}{foncteur des
automorphismes tenseur}), que nous noterons $R$.
D'après le théorème général \refext{formes}{critère forme étale},
il suffit de démontrer que la $k$-algèbre $R$ est géométriquement réduite.
Nous allons pour cela exhiber d'une part une $k$-algèbre $R'$, 
géométriquement réduite pour des raisons évidentes, et d'autre part
un $k$-plongement de $R$ dans $R'$.
(En termes géométriques, nous allons « recouvrir » $𝐏⁰(𝐌_n)$ par 
des ouverts d'un espace affine.)
Pour toute paire d'indices $(i,j)∈\{1,…,n\}²$,
et tout anneau $A$, posons 
\[𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)=\{M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A): \pr_{ij|M}:M ⥲ A\},\]
où $\pr_{ij}$ est l'application  $𝐌_n(A) ↠ A$ 
« coefficient $(i,j)$ de la matrice » et
$\pr_{ij|M}$ sa restriction à $M$.
Si $A$ est un corps, cela revient à regarder les droites comme ci-dessus
dont un élément a sa coordonnée en position $(i,j)$ inversible.

Le point clef est que la collection des morphismes de foncteurs $\{𝐏⁰_{ij}(𝐌_n) → 𝐏⁰(𝐌_n)\}$ 
est \emph{Zariski-couvrante}
au sens suivant : pour toute $k$-algèbre $A$, et tout $M∈𝐏⁰(𝐌_n)(A)$,
il existe des éléments $a₁,…,a_r$ de $A$ tels que
\begin{enumerate}
\item $(a₁,…,a_r)=A$ ;
\item pour chaque $\alpha$, le sous-module
$M_α⊆𝐌_n(A[a_α^{-1}])$, image de $M$ par l'application
canonique $𝐏⁰(𝐌_n)(A) → 𝐏⁰(𝐌_n)(A[a_α^{-1}])$,
appartient à l'image de l'application 
\[∐_{i,j} 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A[a_α^{-1}]) → 𝐏⁰(𝐌_n)(A[a_α^{-1}]).\]
\end{enumerate}

Si $A$ est un anneau commutatif et $a$ un élément
de $A$, on note $A[a^{-1}]$ la $A$-algèbre $A[X]/(1-aX)$
dans laquelle $a$ devient tautologiquement inversible.
(Voir \refext{AC}{Spec-localisation} pour une discussion
générale de ce procédé dit de \emph{localisation}.)

Fixons $M$ et vérifions l'assertion précédente.
Il résulte de la proposition \ref{image projecteur est localement libre} ci-dessous
et du fait expliqué plus haut que $M$ est l'image d'un projecteur
de rang un, que l'on peut supposer $M$ \emph{libre}. (On utilise implicitement
le fait que si $(a₁,…,a_r)=A$ et $(a'₁,…,a'_s)=A$, alors $(a₁a'₁,…,a_r
a'_s)=A$.) Dans le cas libre, on a $M=Am$ où $m ∈ 𝐌_n(A)$.
La matrice $m$ est nécessairement inversible (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait
cas corps}). On ne peut pas en déduire que l'un des coefficients de $m$ est
inversible mais il en résulte cependant que les coefficients d'une colonne
quelconque (par exemple la première) engendre l'idéal unité de $A$.
(Calculer le déterminant en développant le long de cette colonne.)
Si l'on inverse l'un quelconque de ces coefficients, disons $a_{i1}$,
l'application $\pr_{i1|M}:M → A$ est un isomorphisme. 
Ceci achève la démonstration du fait que les sous-foncteurs
$𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)$ recouvrent $𝐏⁰(𝐌_n)$  .

Chacun d'eux est représentable : si l'on pose 
\[
R_{ij}=k[t,x_{αβ}:1≤ α,β ≤n]/(x_{ij}-1,\det(x_{αβ})t-1),
\]
pour toute $k$-algèbre $A$, l'application $R_{ij}^田(A) → 𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)(A)$
envoyant $f:R_{ij}→A$ sur la droite $A⋅(f(x_{αβ}))⊆𝐌_n(A)$
est une bijection fonctorielle (cf. \ref{Skolem-Noether abstrait cas corps}).
D'après le lemme de Yoneda, l'inclusion $𝐏⁰_{ij}(𝐌_n)↪𝐏⁰(𝐌_n)$
correspond à un morphisme de $k$-algèbres $R → R_{ij}$.
Faisant varier les indices, on en déduit un morphisme
$R→R'=∏_{1≤i,j≤n}R_{ij}$. Pour montrer que la $k$-algèbre
$R'$ est géométriquement réduite, il est suffisant (et nécessaire) 
de le vérifier pour chacun des facteurs. Comme pour toute extension $K\bo k$,
l'anneau $R_{ij} ⊗_k K$ est isomorphe à l'anneau
$K[t,x_{αβ}:1≤ α,β ≤n]/(x_{ij}-1,\det(x_{αβ})t-1)$, 
il suffit de démontrer que $R_{i,j}$
est réduit. Notons $c$ le polynôme $\det(x_{αβ})$ évalué en $x_{ij}=1$.
C'est un élément \emph{non nul} de l'anneau $C$
des polynômes en les $n²-1$ variables restantes. 
Or, on vérifie immédiatement, par exemple à l'aide de l'algorithme de division
euclidienne, que l'application $C[t]/(t⋅c-1) → \Frac(C)$
envoyant $t$ sur $c^{-1}$ est une injection.
Ainsi, $R_{ij} ≃ C[t]/(t⋅c-1)$ est intègre donc en particulier réduit.

Pour conclure, il nous suffit de montrer que l'application $R→R'$
déduite du lemme Yoneda est injective. C'est un résultat général,
qui fait l'objet de la proposition \ref{famille Z-couvrante et injectivité} ci-dessous.

\begin{proposition2}\label{image projecteur est localement libre}
Soient $A$ un anneau, $N$ un entier et $p=(a_{i,j}) ∈ 𝐌_N(A)$ un projecteur de rang un
c'est-à-dire tel que $\det(\Id_{A^N}+(X-1)p)=X$. 
Notons $M⊆A^N$ l'image de $p$.
\begin{enumerate}
\item On a $∑_{i=1}^N a_{i,i}=1_A$ et donc $(a_{1,1},a_{2,2},…,a_{N,N})=A$.
\item Pour chaque $i$, l'image de la matrice $p$ vue dans $𝐌_N(A[a_{i,i}^{-1}])$
est un $A[a_{i,i}^{-1}]$-module libre de rang un.
\item Cet image coïncide avec l'image de $M ⊗_A A[a_{i,i}^{-1}]$ dans
$A[a_{i,i}^{-1}]^N$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le premier point n'est autre que l'égalité $\Tr(p)=1_A$, qui découle
de l'égalité $\det(X\Id_{A^N}-p)=X^{N-1}(X-1)$ (réécriture
de $\det(\Id_{A^N}+(X-1)p)=X$). Le troisième point est évident.
Pour le second, on se ramène à vérifier que si $p$ est un projecteur de rang un
tel que $a_{1,1}$ soit inversible, alors $p(A)=A⋅p(e₁)$. 
Le coefficient $a_{1,1}$ étant inversible, les vecteurs $p(e₁),e₂,…,e_N$
forment une base de $A^N$. Dans cette base, la matrice de $p$ est triangulaire
supérieure avec un bloc $1×1$ égal à $1$ sur la diagonale
et un autre bloc diagonal, noté $q$, de taille $(n-1)×(n-1)$,
qui est une matrice idempotente. Son polynôme caractéristique est $X^{n-1}$.
Des égalités $q²=q$ et $q^{N-1}=0$ (Cayley-Hamilton) on tire $q=0$ et, finalement,
le fait que la matrice de $p$ dans cette nouvelle base ait ses
toutes ses lignes sauf la première nulles. Il en résulte que $p(A)=A⋅p(e₁)$.
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{famille Z-couvrante et injectivité}
Soit $A → A_i$ ($1≤i≤N$) une famille finie de $k$-algèbre
telle que les foncteurs $A_i^田 → A^田$ correspondants soient Zariski-couvrants.
Alors, l'application $A → ∏_i A_i$ est \emph{injective}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Considérons l'identité $\Id∈\Hom_k(A,A)=A^田(A)$.
Par hypothèse, il existe une famille d'éléments $(a₁,…,a_r)$
engendrant l'idéal unité de $A$ tels que pour chaque $α∈\{1,…,r\}$
l'application canonique $A → A[a_α^{-1}]$ — qui n'est autre que l'image de l'identité
par l'application $A^田(A) →A^田(A[a_α^{-1}])$ —
se factorise à travers $A → A_{i_α}$ pour un indice $i_α ∈ \{1,…,N\}$
convenable. Soit maintenant $a$ dans le noyau de $A → ∏_i A_i$.
Il résulte de ce qui précède que $a$ appartient également
au noyau de l'application canonique $A → ∏_α A[a_α^{-1}]$.
Or, si $(a₁,…,a_r)=A$, cette application est injective.
Ainsi $a=0$ et $A → ∏_i A_i$ est injective (cf. \refext{Spec}{} \XXX).
CQFD.
\end{démo}

\begin{remarque2}
Pour une démonstration de même nature du théorème \ref{trivialisation Azumaya étale}
reposant sur la théorie de Wedderburn cf. \cite[2.2.5]{Gille-Szamuely} (voir
également \ref{remarque Gille-Szamuely} \emph{supra}).
\end{remarque2}

\section{Références bibliographiques}

Skolem-Nœther : Jean Lannes  Bourbaki AC, II, §5, ex. 21. Voir aussi A, VIII,
§1, ex. 9.
 
\cite{BNT@Weil}, chap. IX, etc.
Applications algébriques de la cohomologie des groupes II : théorie
des algèbres simples. (Serre, sém. Cartan 1950).

Arithmétique des algèbres de quaternions (LNM 800), M.-F. Vignéras.

Norme spinorielle : cf. Jean Lannes.

« Halmilton's quaternions » [en allemand] de Koecher, Remmert dans « Numbers ».

« The book of involution » p. 25—.

\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi