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\title{Algorithmes de calcul}
 
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\chapter{Algorithmes de calcul}
\fi


\section{Algorithmes généraux}

Nous nous attachons dans ce chapitre à présenter certaines des
techniques permettant de calculer, de façon effective, le groupe de
Galois d'un polynôme.  Dans un premier temps, nous exposerons
certaines techniques complètement générales prouvant que le problème
(de déterminer le groupe de Galois d'un polynôme, disons, sur $\QQ$)
est au moins théoriquement algorithmique (c'est-à-dire, décidable au
sens de Church-Turing), même si ces algorithmes tout à fait généraux
sont inutilisables dans la pratique en raison de leur complexité.

\subsection{La méthode de Kronecker}

Le résultat suivant, dû à Kronecker, ramène la détermination d'un
groupe de Galois à la factorisation d'un polynôme.

\begin{proposition2}
Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$,
et $\xi_1,\ldots,\xi_d$ ses racines dans son corps de décomposition
noté $L$ (de sorte que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$).  On définit
la \emph{résolvante de Kronecker} de $f$ comme
\[
s = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}
\Big(X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_{\sigma(i)}\Big)
\in L[X, Y_1,\ldots,Y_d]
\]
Ce polynôme $s$ est, en fait, à coefficients dans $K$, et il est
invariant par $\mathfrak{S}_d$ agissant par permutation sur les
variables $Y_1,\ldots,Y_d$.  Soit $h$ un facteur irréductible
quelconque de $s$ dans $K[X, Y_1,\ldots,Y_d]$, choisi unitaire comme
polynôme en $X$ ; et soit $S_h$ le sous-groupe $S_h$ de
$\mathfrak{S}_d$ formé des permutations $\sigma\in\mathfrak{S}_d$
(permutant les $Y_i$) qui laissent $h$ invariant.  Alors $S_h$ est
conjugué, dans $\mathfrak{S}_d$, au groupe de Galois $G = \Gal(L/K)$
de $f$ sur $K$ vu comme un groupe de permutations sur $\{\xi_i\}$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Remarquons tout d'abord que les facteurs $X-\sum_{i=1}^d Y_i
\xi_{\sigma(i)}$, étant linéaires, sont irréductibles dans
$L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, donc l'expression définissant $s$ donne
exactement sa décomposition en facteurs irréductibles dans
$L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$.  La même chose vaudra pour n'importe quel
produit de tels facteurs (et en particulier pour le polynôme $g$
défini ci-dessous).

Le polynôme $s$ est, par construction, totalement invariant par
n'importe quelle permutation $\sigma\in\mathfrak{S}_d$ des $\xi_i$, et
notamment par l'action du groupe de Galois $G \leq \mathfrak{S}_d$
de $f$.  Il s'ensuit que $s$ est à coefficients dans le corps fixe par
$G$ dans $L$, c'est-à-dire $K$ ; cette même remarque prouve aussi que
le polynôme $g$ défini par $g = \prod_{\sigma\in G}
\big(X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_{\sigma(i)}\big)$ est aussi à coefficients
dans $K$ (et c'est manifestement un facteur de $s$).  Ici, on a
identifié $G$ à un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ au moyen de la
numérotation choisie pour les racines, c'est-à-dire en posant
$\xi_{\sigma(i)} = \sigma(\xi_i)$.

Comme $\sum_{i=1}^d Y_i \xi_{\sigma(i)} = \sum_{i=1}^d
Y_{\sigma^{-1}(i)} \xi_i$, on peut encore réécrire $s$ comme $s =
\prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d} \big(X-\sum_{i=1}^d Y_{\sigma(i)}
\xi_{i}\big)$, donc $s$ est bien invariant par l'action
de $\mathfrak{S}_d$ qui permute les variables $Y_1,\ldots,Y_d$.  Pour
ce qui est de $g$, il est pour la même raison fixé au moins par
l'action de $G$ sur les $Y_i$ (soulignons on a identifié $G$ à un
sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$).  Pour montrer qu'il n'est pas fixé
par plus (c'est-à-dire que $S_g = G$ exactement), on observe que si un
$\tau\in \mathfrak{S}_d$ laisse $g$ invariant (en agissant par
permutation sur les $Y_i$), il doit permuter les facteurs
irréductibles de $g$ dans $L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, et notamment il
envoie $X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_i$ sur $X-\sum_{i=1}^d Y_i
\xi_{\tau^{-1}(i)}$ ce qui prouve que $\tau \in G$.

Dans $L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, on a signalé que les facteurs
irréductibles de $s$ sont donnés exactement par les $X-\sum_{i=1}^d
Y_i \xi_{\sigma(i)}$.  En particulier, la factorisation de $h$ doit
être donnée par un sous-ensemble de ces facteurs ; quitte à permuter
les variables $Y_i$ (ce qui revient à conjuguer le sous-groupe $S_h$ à
l'intérieur de $\mathfrak{S}_d$), on peut supposer que $h$ comporte le
facteur $X-\sum_{i=1}^d Y_i \xi_i$ (correspondant à $\sigma = \Id$).
On cherche alors à prouver que $S_h = G$.  Étant donné que $h$ est à
coefficients dans $K$, il est invariant par l'action de $G$ agissant
sur les $\xi_i$ : puisque $h$ comporte le facteur $X-\sum_{i=1}^d Y_i
\xi_i$, il est aussi divisible par tous les facteurs $X-\sum_{i=1}^d
Y_i \xi_{\sigma(i)}$ avec $\sigma \in G$, c'est-à-dire que $g$ divise
$h$ (dans $L[X,Y_1,\ldots,Y_d]$ mais donc aussi dans
$K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, où ces deux polynômes vivent).  Or $h$ était
supposé irréductible (dans $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$), et tous deux sont
unitaires, donc $g=h$ et $S_h=S_g=G$.
\end{proof}

\begin{remarques2}
\begin{itemize}
\item La démonstration ci-dessus décrit exactement la décomposition en
  facteurs irréductibles de $s$ dans $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$ : ce sont
  les $\tau(g) = \prod_{\sigma\in G\tau^{-1}} \big(X-\sum_{i=1}^d Y_i
  \xi_{\sigma(i)}\big)$, où $G\tau^{-1}$ parcourt les classes à gauche
  de $G$ dans $\mathfrak{S}_d$.
\item Si on sait déjà que le groupe de Galois de $G$ est contenu dans
  un certain sous-groupe $\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, l'énoncé
  reste vrai en utilisant la résolvante $s_{\mathfrak{G}} =
  \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}} \Big(X-\sum_{i=1}^d Y_i
  \xi_{\sigma(i)}\Big) \in L[X, Y_1,\ldots,Y_d]$ au lieu de $s$ (ceci
  ne possède d'intérêt algorithmique, toutefois, que si on sait
  exprimer comme éléments de $K$ les polynômes
  $\mathfrak{G}$-invariants des $\xi_i$, cf. ci-dessous).

  Toutefois, il faut se garder de croire que le fait que le
  $s_{\mathfrak{G}}$ défini ci-dessus soit dans $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$
  suffise à impliquer que $\mathfrak{G}$ contienne le (ou un conjugué
  du) groupe de Galois de $G$.  En effet, si $\mathfrak{G}$ est
  l'intersection de tous les conjugués $\sigma G \sigma^{-1}$ de $G$
  dans $\mathfrak{S}_d$, alors $s_{\mathfrak{G}}$ est le pgcd des
  $s_{\sigma G \sigma^{-1}}$ qui appartiennent tous à
  $K[X,Y_1,\ldots,Y_d]$, donc il est bien à coefficients dans $K$, et
  pourtant ce $\mathfrak{G}$ peut être strictement plus petit que tout
  conjugué $\sigma G \sigma^{-1}$ de $G$. \XXX (Je ne dis pas des
  bêtises, là ?)
\item Le calcul explicite de $s$ est, au moins en principe,
  algorithmique à partir de la connaissance de $f$ : on peut, par
  exemple, calculer le polynôme « universel »
\[
\Upsilon := \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d}
\Big(X-\sum_{i=1}^d Y_i Z_{\sigma(i)}\Big)
\in \ZZ[X,Y_1,\ldots,Y_d,Z_1,\ldots,Z_d]
\]
qui est totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$ et
s'écrit donc, et de façon algorithmique, comme polynôme (à
coefficients dans $\ZZ[X,Y_1,\ldots,Y_d]$) dans les fonctions
symétriques élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ (soit
$\sigma_1=Z_1+\cdots+Z_d$, $\sigma_2=\sum_{\alpha<\beta} Z_\alpha
Z_\beta$, ..., $\sigma_d=Z_1\cdots Z_n$) ; en substituant $(-1)^i a_i$
(les coefficients de $f$, au signe près) à $\sigma_i$ dans $\Upsilon$
on obtient précisément le polynôme $s$.
\end{itemize}
\end{remarques2}

\begin{exemple2}
Soit $f = X^3 + X^2 - 2 X - 1$
(cf. \refext{ExG}{exemple-galois-cubique-cyclique}).  On peut alors
vérifier que
\[
\begin{array}{r@{}l}
s =& \phantom{\cdot}\Big(X^3 + (Y_1+Y_2+Y_3) X^2\\
& \mskip25mu + \big(-2(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2) + 3(Y_1Y_2 + Y_2Y_3 + Y_3Y_1)\big) X\\
& \mskip25mu + \big(-(Y_1^3+Y_2^3+Y_3^3) - 3(Y_1^2 Y_2 + Y_2^2 Y_3 + Y_3^1 Y_1)\\
& \mskip50mu + 4(Y_1 Y_2^2 + Y_2 Y_3^2 + Y_3 Y_1^2) + Y_1 Y_2 Y_3\big)\Big)\\
& \cdot\Big(X^3 + (Y_1+Y_2+Y_3) X^2\\
& \mskip25mu + \big(-2(Y_1^2+Y_2^2+Y_3^2) + 3(Y_1Y_2 + Y_2Y_3 + Y_3Y_1)\big) X\\
& \mskip25mu + \big(-(Y_1^3+Y_2^3+Y_3^3) + 4(Y_1^2 Y_2 + Y_2^2 Y_3 + Y_3^1 Y_1)\\
& \mskip50mu - 3(Y_1 Y_2^2 + Y_2 Y_3^2 + Y_3 Y_1^2) + Y_1 Y_2 Y_3\big)\Big)\\
\end{array}
\]
L'existence de cette factorisation prouve que le groupe de Galois
de $f$ est contenu dans $\ZZ/3\ZZ$ opérant cycliquement sur les
racines ; et le fait que ces deux facteurs soient irréductibles est
équivalent au fait que le groupe de Galois de $f$ n'est pas
strictement plus petit (c'est-à-dire, que $f$ n'est pas scindé).
\end{exemple2}

Il résulte de ce qui précède que, dès lors que le corps $K$ est tel
qu'on sache algorithmiquement faire des calculs dans $K$ et factoriser
en irréductibles les polynômes à plusieurs variables à coefficients
dans $K$, il est également possible algorithmiquement de calculer le
groupe de Galois d'un polynôme à coefficients dans $K$.  La
proposition suivante justifie que c'est le cas pour $\QQ$ ainsi que
pour tout corps pour lequel on sait (faire des calculs et) factoriser
les polynômes à une seule indéterminée.

\begin{proposition2}
Les problèmes suivants sont résolubles algorithmiquement (i.e.,
décidables au sens de Church-Turing) :
\begin{itemize}
\item Décomposer un élément de $\QQ[X]$ en facteurs irréductibles.
\item Décomposer un élément de $K[T_1,\ldots,T_n]$ en facteurs
  irréductibles, en supposant algorithmiques les opérations dans $K$
  et le fait de décomposer un élément de $K[X]$ en facteurs
  irréductibles.
\end{itemize}
\end{proposition2}
\begin{proof}
Commençons par considérer le problème de la factorisation dans
$\ZZ[X]$.  On peut supposer que le polynôme $f$ à factoriser est
primitif (c'est-à-dire de contenu $1$, le contenu étant le pgcd de ses
coefficients), ce qui écarte les facteurs constants.  Il s'agit alors,
pour chaque $k > 0$ inférieur au degré de $f$, de décider si $f$
possède un facteur de degré $k$ et le cas échéant de le calculer.  On
calcule $f(0),\ldots,f(k)$ et, pour chaque choix $(d_0,\ldots,d_k)$ de
diviseurs des entiers $(f(0),\ldots,f(k))$, on calcule l'unique
polynôme $g \in \QQ[X]$ de degré $k$ tel que $g(0) = d_0$, ..., $g(k)
= d_k$ (polynôme interpolateur de Lagrange), et, si $g \in \ZZ[X]$, on
teste si $g$ divise $f$.  Si un diviseur de $f$ existe, il sera
nécessairement trouvé par cet algorithme.

Le cas de $\QQ[X]$ découle de $\ZZ[X]$ : si $f \in \QQ[X]$, on peut
écrire $f = c f_1$ où $c \in \QQ$ et $f_1 \in\ZZ[X]$ est primitif.
Les facteurs irréductibles de $f$ sont alors ceux de $f_1$. \XXX

Montrons maintenant que la connaissance d'un algorithme de
factorisation pour une seule variable permet, en principe, de
factoriser les polynômes à plusieurs variables.  Donné $f \in
K[T_1,\ldots,T_n]$, on choisit $e$ un entier strictement supérieur au
degré de $f$ dans n'importe laquelle des variables $T_i$ et on calcule
$S_e(f) := f(X,X^e,X^{e^2},\ldots,X^{e^{n-1}}) \in K[X]$.  Si $f$
possède un facteur $g$ non-trivial, alors manifestement $S_e(g)$
divise $S_e(f)$.  Supposant qu'on sait factoriser le polynôme univarié
$S_e(f)$, on peut vérifier pour chacun de ses facteurs s'il est
susceptible de s'écrire sous la forme $S_e(g)$ avec $g$ de degré
inférieur à $e$ en chaque variable : le polynôme $g$ se retrouve de
façon unique en remplaçant chaque monôme $X^{i_0 + i_1 e + i_2 e^2 +
  \cdots + i_{n-1} e^{n-1}}$ (l'exposant étant écrit en base $e$) par
$T_1^{i_0} \cdots T_n^{i_{n-1}}$ ; on teste alors si $g$ divise $f$.
Si un diviseur de $f$ existe, il sera nécessairement trouvé par cet
algorithme.
\end{proof}

\XXX --- Faut-il mentionner ici le fait qu'une extension algébrique
finie séparable (par un polynôme explicite) d'un corps dans lequel on
sait algorithmiquement factoriser les polynômes possède la même
propriété ?  (Cf.  Fried \& Jarden, lemme 19.2.2.)  En revanche, sans
supposer l'extension séparable, ce n'est pas vrai en général :
cf. Fröhlich \& Shepherdson, « Effective Procedures in Field Theory »,
\textit{Phil. Trans. R. Soc. A} \textbf{248} (1956) 407--432,
théorème 7.27.

\subsection{Factorisations successives}

\XXX À écrire : on peut calculer le groupe de Galois d'un polynôme en
factorisant successivement dans tous les corps de rupture possibles.


\section{La notion de résolvante}

\subsection{Polynômes invariants}

La proposition suivante assure que pour chaque sous-groupe $H$ de
$\mathfrak{S}_d$ on peut trouver un polynôme $P$ en $d$ variables
$Z_1,\ldots,Z_d$ tel que les permutations des variables $Z_i$ laissant
$P$ invariant soient exactement celles appartenant à $P$ :
\begin{proposition2}
Soit $H$ un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ et soit $K$ un corps : si
on fait opérer $\mathfrak{S}_d$ sur $K[Z_1,\ldots,Z_d]$ ou
$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ par $\sigma(P(Z_1,\ldots,Z_d)) =
P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$, alors il existe $P \in
K[Z_1,\ldots,Z_d]$ tel que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$.  De plus,
lorsque c'est le cas, le corps $E := \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est
engendré sur corps $F := \Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ des
fonctions rationnelles totalement symétriques par l'unique élément $P$
(autrement dit, $E = F(P)$).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour la première affirmation, on considère le polynôme
\[
P := \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d
\]
Manifestement, il comporte bien $\#H$ monômes distincts, il est
invariant par $H$, et toute permutation $\sigma$ des variables le
laissant invariant doit envoyer $Z_1 Z_2^2 \cdots Z_d^d$ sur un des
monômes $Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots Z_{\sigma(d)}^d$ de
sorte que $\sigma \in H$.

Supposons maintenant $P \in K(Z_1,\ldots,Z_d)$ tel que
$\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$.

Le lemme d'Artin (\refext{CG}{lemme-d-Artin}) assure que
$K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est une extension galoisienne de $F =
\Fix_{\mathfrak{S}_d} K(Z_1,\ldots,Z_d)$ de groupe de
Galois $\mathfrak{S}_d$, et d'après la correspondance de Galois
(\refext{CG}{correspondance Galois finie}), l'extension intermédiaire
$E = \Fix_H K(Z_1,\ldots,Z_d)$ est séparable de degré
$(\mathfrak{S}_d:H) = d!/\#H$ sur $F$.

L'hypothèse que $\Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = H$ entraîne que l'orbite
de $P$ par $\mathfrak{S}_d$ est de cardinal $d!/\#H$, c'est-à-dire,
que $P$ a $d!/\#H$ conjugués, donc ce nombre est son degré sur $F$.
Il s'ensuit que $F(P)$ est inclus dans $E$ et que leurs degrés sur $F$
sont égaux, donc $E = F(P)$.
\end{proof}

\begin{remarques2}
La démonstration donnée ci-dessus est constructive, mais le polynôme
$P = \sum_{\sigma \in H} Z_{\sigma(1)} Z_{\sigma(2)}^2 \cdots
Z_{\sigma(d)}^d$ ainsi construit est généralement très loin d'être
optimal !  Lorsqu'on cherche à trouver un polynôme tel que décrit
ci-dessus, pour construire une résolvante
(cf. \ref{definition-resolvante} plus bas), il convient généralement
d'essayer de symétriser un monôme de petit degré.

Deux cas particuliers sont fréquemment importants : d'une part,
lorsque $H$ est le stabilisateur d'une partie $A$ de cardinal $r$ de
$\{1,\ldots,d\}$ (peu importe laquelle, les sous-groupes
correspondants sont de toute façon conjugués), un polynôme $P$ évident
comme ci-dessus est donné par $\sum_{i \in A} Z_i$.  D'autre part,
lorsque $H$ est le stabilisateur d'un $r$-uplet $(i_1,\ldots,i_r)$
d'éléments de $\{1,\ldots,d\}$ (de nouveau, les sous-groupes
correspondants sont conjugués), si le corps $K$ a au moins $r+1$
éléments et que $c_1,\ldots,c_r \in K$ sont deux à deux distincts et
non nuls, alors $c_1 Z_{i_1} + \cdots + c_r Z_{i_r}$ fournit un
polynôme comme proposé.
\end{remarques2}

\subsection{Résolvantes}

\begin{definition2}\label{definition-resolvante}
Soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ un polynôme en $d$ variables à
coefficients dans un corps $K$, et soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} +
\cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme (unitaire, de degré $d$) séparable
à coefficients dans le même corps $K$ : si $\xi_1,\ldots,\xi_d$ sont
les racines de $f$ dans son corps de décomposition noté $L$ (de sorte
que $f = \prod_{i=1}^d (X-\xi_i)$).  On définit la \emph{résolvante
  relativement à $P$} de $f$ comme
\[
R_P(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}))
\in L[X]
\]
où $H = \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \{\sigma\in\mathfrak{S}_d :
F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
stabilisateur de $F$ pour l'action de $\mathfrak{S}_d$ opérant sur
$K[Z_1,\ldots,Z_d]$ par permutation des variables ; ce polynôme
$R_P(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.

Avec les notations $P,H$ du paragraphe précédent, on appelle
\emph{résolvante générale relativement à $P$} le polynôme
\[
R_P = \prod_{\sigma\in\mathfrak{S}_d/H}
(X-P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)}))
\in K[X,Z_1,\ldots,Z_d]
\]
totalement symétrique dans les variables $Z_1,\ldots,Z_d$.

Avec les notations $P,f$ introduites ci-dessus, si $\mathfrak{G}$ est
un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ contenant le groupe de Galois
$\Gal(L/K)$ de $f$ (vu comme un sous-groupe de $\mathfrak{S}_d$ par la
numérotation $\xi_1,\ldots,\xi_d$ choisie sur les racines), on définit
la \emph{résolvante dans $\mathfrak{G}$ relativement à $P$} de $f$
comme
\[
R_{\mathfrak{G},P}(f) = \prod_{\sigma\in\mathfrak{G}/H}
(X-P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})) \in L[X]
\]
où $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(F) = \{\sigma\in\mathfrak{G} :
F(Z_{\sigma(1)}, \ldots, Z_{\sigma(d)}) = F(Z_1,\ldots,Z_d)\}$ est le
stabilisateur de $F$ dans $\mathfrak{G}$ ; l'hypothèse que
$\mathfrak{G}$ contient $\Gal(L/K)$ assure ce polynôme
$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est, en fait, à coefficients dans $K$.
\end{definition2}

Le fait que $R_P(f)$ et $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sont à coefficients
dans $K$ est clair puisqu'ils sont invariants par $\Gal(L/K)$ (en
effet, $\Gal(L/K)$ opère en permutant les $\xi_i$, donc les facteurs
de $R_P(f)$, et aussi, grâce à l'hypothèse que $\Gal(L/K) \leq
\mathfrak{G}$, de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$).

Le fait que la résolvante générale $R_P$ est un polynôme totalement
symétrique dans les $Z_1,\ldots,Z_d$ n'est pas moins clair : on le
considérera donc, généralement, comme polynôme dans les fonctions
symétriques élémentaires $\sigma_j$ en les $Z_i$ ; ceci permet de
considérer $R_P(f)$ comme l'évaluation de $R_P$ en remplaçant
$\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ (et ceci démontre de nouveau que $R_P(f)
\in K[X]$).  On pourrait définir de façon évidente une résolvante
générale $R_{\mathfrak{G},P}$ dans un sous-groupe $\mathfrak{G}$
de $\mathfrak{S}_d$, mais le polynôme ainsi défini n'est pas
totalement symétrique dans les $Z_i$.

\begin{exemples2}
\begin{itemize}
\item Si $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$ est un polynôme totalement
  symétrique en $Z_1,\ldots,Z_d$, alors $H :=
  \Stab_{\mathfrak{S}_d}(P) = \mathfrak{S}_d$, si bien que $R_P$ est
  simplement le polynôme linéaire $X - P(Z_1,\ldots,Z_d)$ et, pour
  chaque $f \in K[X]$, le polynôme $R_P(f)$ vaut simplement $X-c$ où
  $c$ est la valeur $P(\xi_1,\ldots,\xi_d)$ obtenue en remplaçant
  $\sigma_i$ par $(-1)^i a_i$ dans une écriture de $P$ au moyen des
  fonctions symétriques élémentaires $\sigma_i$ des $Z_i$.
\item Si $K$ est de caractéristique $\neq 2$ et si $P = \prod_{i<j}
  (Z_i-Z_j)$ (cf. \refext{CG}{construction discriminant et
  2-distinguant}), alors $H = \mathfrak{A}_d$, et $R_P = X^2 -
  \Delta_{2'}$ avec les notations de \refext{CG}{definition
    discriminant et 2-distinguant}, c'est-à-dire que $R_P(f) = X^2 -
  \Delta(f)$ où $\Delta(f)$ est le discriminant de $f$.  En
  particulier, la proposition \refext{CG}{caracterisation groupe Gal
    alterne} assure que $f$ (un polynôme séparable quelconque) est
  inclus dans le groupe alterné $\mathfrak{A}_d$ si et seulement si
  $R_P(f)$ est scindé sur $K$.
\item Considérons (pour $d=4$) le polynôme $P = Z_1 Z_3 + Z_2 Z_4 \in
  \QQ[Z_1,\ldots,Z_4]$.  On a alors $H = \{\Id, (1\,3), (2\,4),
  (1\,3)(2\,4), \penalty-100 (1\,2)(3\,4), (1\,4)(2\,3), (1\,2\,3\,4),
  (1\,4\,3\,2)\}$ (groupe diédral du carré ont les sommets sont
  cycliquement numérotés $1,2,3,4$), et l'ensemble des classes à
  gauche $\mathfrak{S}_4/H$ a trois éléments, les deux autres images
  correspondantes de $P$ étant $P' = Z_1 Z_2 + Z_3 Z_4$ et $P'' = Z_1
  Z_4 + Z_2 Z_3$.  Le polynôme $R_P = (X-P)(X-P')(X-P'')$ s'écrit $X^3
  - \sigma_2 X^2 + (\sigma_1 \sigma_3 - 4 \sigma_4) X - \sigma_1 ^2
  \sigma_4 - \sigma_3^2 + 4 \sigma_2 \sigma_4$ : c'est-à-dire que si
  $f = X^4 + a_1 X^3 + a_2 X^2 + a_3 X + a_4$ alors $R_P(f) = X^3 -
  a_2 X^2 + (a_1 a_3 - 4 a_4) X - a_1 ^2 a_4 - a_3^2 + 4 a_2 a_4$.
  Remarquons notamment que si $f$ est de la forme $X^4 + a_2 X^2 +
  a_4$ (c'est-à-dire $a_1 = a_3 = 0$) alors $R_P(f) = X^3 - a_2 X^2 -
  4 a_4 X + 4 a_2 a_4$ se factorise comme $(X - a_2)\, (X^2 - 4 a_4)$
  dans $K[X]$.
\item Si $P = Z_1$, alors $H$ est le fixateur de $1$
  dans $\mathfrak{S}_d$, et $\mathfrak{S}_d/H$ s'identifie à
  $\{1,\ldots,d\}$, si bien que $R_P(f)$ est simplement le polynôme
  $f$ lui-même.
\end{itemize}
\end{exemples2}

La proposition suivante justifie l'intérêt porté à la notion de
résolvante pour le calcul de groupes de Galois :

\begin{proposition2}
Soit $f = X^d + a_1 X^{d-1} + \cdots + a_d \in K[X]$ un polynôme
(unitaire, de degré $d$) séparable à coefficients dans un corps $K$
dont le groupe de Galois est contenu dans un sous-groupe
$\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{S}_d$, et soit $P \in K[Z_1,\ldots,Z_d]$
dont on note $H = \Stab_{\mathfrak{G}}(P)$ le stabilisateur dans
$\mathfrak{G}$ opérant en permutant les indéterminées $Z_i$.  Alors :
\begin{itemize}
\item si le groupe de Galois $G$ de $f$ est contenu dans un conjugué
  de $H$ (à l'intérieur de $\mathfrak{G}$), alors
  $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une racine dans $K$,
\item et réciproquement, \emph{en supposant que
  $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable}, si $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
  admet une racine dans $K$, le groupe de Galois $G$ de $f$ est
  contenu dans un conjugué de $H$.
\end{itemize}
Plus précisément, en supposant $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ séparable, le
groupe de Galois de ce dernier est isomorphe à $G/(G \cap
\bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$ opérant sur
l'ensemble $\mathfrak{G}/H$ des classes à gauche de $H$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Supposons d'abord que $G$ est contenu dans un conjugué $\sigma H
\sigma^{-1}$ (pour $\sigma \in \mathfrak{G}$) de $H$.  Alors, comme le
polynôme $P(Z_{\sigma(1)},\ldots,Z_{\sigma(d)})$ est invariant par
$\sigma H \sigma^{-1}$ (opérant en permutant les variables), l'élément
$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de $L$ est invariant
par $G$, donc appartient à $K$, de sorte que $R_{\mathfrak{G},P}(f)$
admet cette racine dans $K$.

Montrons maintenant la dernière affirmation : comme les racines
$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ de
$R_{\mathfrak{G},P}(f)$, donc le corps de décomposition de ce dernier,
sont contenues dans $L$, le groupe de Galois
de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est un quotient de $G$, et il s'agit de
comprendre l'action de $G$ sur $\mathscr{R} :=
\{P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)}) : \sigma\in\mathfrak{G}\}$
(le groupe de Galois de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ sera le quotient de
$G$ par le noyau de cette action).  Posons $X = \mathfrak{G}/H$ : on
définit une application $X \to \mathscr{R}$ envoyant $\sigma H$ sur
$P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ : celle-ci est bien
définie (car si $\tau \in H$ alors
$P(\xi_{\sigma\tau(1)},\ldots,\xi_{\sigma\tau(d)}) =
P(\xi_{\sigma(1)},\ldots,\xi_{\sigma(d)})$ vu que $P$ est invariant
par $\tau$).  Cette application est une surjection par définition
de $\mathscr{R}$, et une bijection car l'hypothèse de séparabilité
de $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ assure que $\mathscr{R}$ et $X$ ont même
cardinal.  Enfin, elle transporte l'action de $G$ sur $X$ par
multiplication à gauche en l'action naturelle de $G$
sur $\mathscr{R}$.  Ceci montre bien l'affirmation recherchée : le
noyau de l'action de $G$ sur $X$ par multiplication à gauche est $G/(G
\cap \bigcap_{\sigma\in\mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1})$.

Enfin, dans le cas particulier où $R_{\mathfrak{G},P}(f)$ admet une
racine dans $K$, avec les notations ci-dessus ceci signifie que $G$
fixe un élément $\sigma H$ de $X = \mathfrak{G}/H$, c'est-à-dire que
$G \leq \sigma H\sigma^{-1}$.
\end{proof}

\XXX --- vérifier que je ne me suis pas trompé dans la latéralité des
actions des trucs les uns sur les autres.

On peut également signaler, toujours sous l'hypothèse que
$R_{\mathfrak{G},P}(f)$ est séparable, qu'il est scindé sur $K$ si et
seulement si le groupe de Galois $G$ de $f$ est inclus dans
$\bigcap_{\sigma \in \mathfrak{G}} \sigma H \sigma^{-1}$ (le plus
grand sous-groupe distingué de $\mathfrak{G}$ contenu dans $H$).



\ifx\danslelivre\undefined
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\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi