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\title{Catégories}
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\chapter{Catégories}
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\fi

\section{Catégories et foncteurs}

\subsection{Catégories, objets et morphismes}

\begin{definition2}\label{definition-categorie}
Une \emph{catégorie} $\categ{C}$ est la donnée
\begin{itemize}
\item d'un ensemble $\ob\categ{C}$ appelé ensemble des \emph{objets}
  de $\categ{C}$,
\item pour tous objets $X,Y \in \ob\categ{C}$, d'un ensemble
  $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ appelé ensemble des \emph{morphismes} (ou
  \emph{flèches}) \emph{de source $X$ et de cible $Y$} (ou \emph{...de
    but $Y$}) dans $\categ{C}$,
\item pour tout objet $X \in \ob\categ{C}$, d'un morphisme $\Id_X
  \in \Hom_{\categ{C}}(X,X)$ appelé \emph{identité sur $X$},
\item pour tous objets $X,Y,Z \in \ob\categ{C}$, d'une application
  d'ensembles
\[
\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \times \Hom_{\categ{C}}(Y,Z) \to \Hom_{\categ{C}}(X,Z)
\]
notée $(u,v) \mapsto v\circ u$ et appelée \emph{composition} des morphismes,
\end{itemize}
vérifiant les deux conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item pour tous objets $X,Y \in \ob\categ{C}$ et tout morphisme $u
  \in \Hom_{\categ{C}}(X,Y)$, on a $u\circ\Id_X = u$ et $\Id_Y\circ u
  = u$,
\item pour tous objets $X,Y,Z,T \in \ob\categ{C}$ et tous
  morphismes $u,v,w$ dans $\Hom_{\categ{C}}(X,Y), \penalty-500
  \Hom_{\categ{C}}(Y,Z), \penalty-500 \Hom_{\categ{C}}(Z,T)$
  respectivement, on a $(w\circ v) \circ u = w \circ (v\circ u)$.
\end{itemize}
\end{definition2}

Lorsque $X,Y \in \ob\categ{C}$, on écrira généralement $\Hom(X,Y)$
plutôt que $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ si aucune ambiguïté ne peut en
résulter.  Par ailleurs, pour indiquer que $u$ est un morphisme de $X$
vers $Y$, plutôt que d'écrire $u \in \Hom(X,Y)$, on notera
généralement $u \colon X \to Y$.  Enfin, la composée $v \circ u$ de
deux morphismes sera souvent notée $vu$ lorsque cette écriture ne
cause pas de confusion.

\commentaire{? Observer que si l'on ne suppose pas les $\Hom$
disjoints, on ne peut pas parler « du » but et de « la »
source d'un morphisme.}

\begin{remarque2}\label{blabla-univers}
On souhaite pouvoir parler (\ref{exemples-basiques-categories}
ci-dessous) de la catégorie des ensembles, des groupes, des anneaux,
etc.  Malheureusement, avec la définition \ref{definition-categorie}
telle qu'elle est écrite, les ensembles, groupes, anneaux, etc., ne
forment pas une catégorie car la collection de tous les ensembles (ou
groupes, anneaux, etc.) ne constitue pas un ensemble.  Il existe
plusieurs manières de contourner ce problème.

L'une consiste à modifier la définition \ref{definition-categorie}
pour admettre que $\ob\categ{C}$ soit une \emph{classe} plutôt qu'un
ensemble (tout en exigeant que les $\Hom(X,Y)$, eux, soient bien des
ensembles).  Ceci implique soit de se placer dans une théorie des
ensembles telle que celle de Gödel-Bernays, dans laquelle les classes
sont des objets légitimes ; soit, dans le cadre usuel de
Zermelo-Fraenkel, de considérer que « la classe des ensembles
  vérifiant $P$ » est une convention de langage pour parler de la
propriété $P$ elle-même, auquel cas il faut considérer que toute
affirmation faisant intervenir une catégorie est un simple patron
duquel peuvent se dérouler des affirmations sur les ensembles, les
groupes, les anneaux, etc.  Lorsqu'on adopte cette solution, les
catégories $\categ{C}$ pour lesquelles $\ob\categ{C}$ est
effectivement un ensemble s'appellent \emph{petites} catégories.

Une autre solution consiste à concéder qu'on ne peut pas réellement
parler de la catégorie des ensembles, des groupes, etc., mais
seulement des ensembles, groupes, etc., appartenant à un ensemble
$\mathfrak{U}$ (dit \emph{univers}) possédant des propriétés de
clôture suffisantes pour que toutes les constructions qu'on souhaite
mener soient réalisables dans $\mathfrak{U}$ : les affirmations sur la
catégorie des groupes (par exemple) étant alors à comprendre comme des
affirmations sur la catégorie des $\mathfrak{U}$-groupes pour tout
univers $\mathfrak{U}$ (éventuellement supposé suffisamment gros pour
contenir des données précédemment choisies : par exemple, pour parler
du foncteur $\Hom \colon \categ{C}\op \times \categ{C} \to \Ens$ qui
sera défini plus bas, on a besoin de choisir un univers assez étendu
pour y mettre tous les $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ avec $X$ et $Y$ deux
objets de $\categ{C}$).  Cela implique à son tour soit de prendre une
définition d'un univers suffisamment large pour que \emph{toutes} les
constructions de la théorie des ensembles soient menables dedans, mais
alors l'existence de « suffisamment » d'univers doit faire l'objet
d'axiomes supplémentaires\footnote{Par exemple, le fait que tout
  cardinal soit majoré par un cardinal inaccessible $\kappa$, ce qui
  permet de considérer les ensembles $\mathfrak{V}_\kappa$ d'ensembles
  de rang $<\kappa$ (ou, ce qui est ici équivalent, héréditairement de
  cardinal $<\kappa$) comme des univers.}, soit de prendre une
définition plus étroite permettant d'exhiber effectivement des
univers\footnote{Par exemple, on pourrait appeler « univers »
  l'ensemble $\mathfrak{V}_\kappa$ des ensembles de rang $<\kappa$
  (ou, ce qui est ici équivalent, héréditairement de
  cardinal $<\kappa$), où $\kappa$ est un cardinal tel que $\kappa =
  \beth_\kappa$ (avec $\beth_0 = \aleph_0$, $\beth_{\alpha+1} =
  2^{\beth_\alpha}$ et $\beth_\delta = \lim_{\alpha<\delta}
  \beth_\alpha$ si $\delta$ est limite), et de cofinalité assez
  grande, disons $>2^{\aleph_0}$ : de cette façon, on peut prouver
  dans ZFC que tout ensemble est contenu dans un univers (et les
  univers sont totalement ordonnés pour l'inclusion), et toutes les
  constructions de la théorie des ensembles sont faisables dans un
  univers à l'exception de l'utilisation, complètement inexistante
  dans la pratique mathématique non-ensembliste, de l'axiome du
  remplacement sur une formule à quantificateurs non bornés
  (non $\Delta_0$) appliqué un ensemble de base de cardinal supérieur
  à $2^{\aleph_0}$.}, auquel cas on doit théoriquement vérifier que
cette définition plus étroite suffit à mener toutes les constructions
souhaitées.

On supposera dorénavant qu'une de ces solutions a été adoptée,
permettant de parler sans plus de précision de la catégorie des
ensembles, des groupes, des anneaux, etc., comme on va le faire
ci-dessous.  Eu égard à la simplicité des énoncés et des constructions
sur les catégories, toutes ces solutions conviendront autant pour ce
qui va suivre.
\end{remarque2}

\begin{exemples2}\label{exemples-basiques-categories}
La \emph{catégorie des ensembles} (notée $\Ens$) est la catégorie dont
les objets sont les ensembles, les morphismes $X \to Y$ étant les
applications d'ensembles de $X$ vers $Y$.

On définit de même la catégorie des groupes, des groupes abéliens, des
$A$-modules (pour $A$ un anneau fixé), des anneaux, etc., comme la
catégorie dont les objets sont les structures considérées, les
morphismes étant les morphismes (habituellement définis) entre ces
structures.
\end{exemples2}

\begin{exemples2}\label{exemples-debiles-categories}
La \emph{catégorie vide}, notée $\varnothing$ ou $\categ{0}$, est la
catégorie n'ayant aucun objet (et par conséquent, aucun morphisme).
La \emph{catégorie triviale}, ou \emph{catégorie singleton}, notée
$\categ{1}$, est la catégorie ayant un unique objet et pour seul
morphisme l'identité sur cet objet.

On notera encore $\vec{\categ{2}}$ pour la catégorie
$\astrosun\to\leftmoon$ ayant exactement deux objets $\astrosun$
et $\leftmoon$, et exactement trois morphismes, à savoir l'identité
sur $\astrosun$, l'identité sur $\leftmoon$, et un unique morphisme
$\astrosun\to\leftmoon$, la composition des morphismes étant définie
de l'unique manière possible.  (La notation $\vec{\categ{2}}$ est
utilisée pour différencier cette catégorie de la catégorie $\categ{2}$
ayant exactement deux objets et pour seuls morphismes les identités
sur ces objets.)
\end{exemples2}

\begin{exemples2}\label{exemple-categorie-ensemble-preordonne}
Si $I$ est un ensemble (partiellement) ordonné, ou même simplement
préordonné (c'est-à-dire muni d'une relation symétrique et transitive,
dite préordre), alors on peut faire de $I$ une catégorie dont les
objets sont les éléments de $I$, en convenant qu'il existe une unique
flèche de $i$ vers $j$ lorsque $i \leq j$, l'identité et la composée
étant définies de l'unique manière possible.

Un cas particulier de cet exemple est obtenu lorsque l'ensemble
ordonné $I$ est muni de l'ordre trivial, c'est-à-dire qu'on n'a $i
\leq j$ que lorsque $i = j$ : la catégorie ainsi construite a donc
pour objets les éléments de $I$ et pour seuls morphismes l'identité
d'un objet.  Une telle catégorie est dite \emph{discrète}, et on
identifiera parfois un ensemble avec la catégorie discrète ayant cet
ensemble pour ensemble d'objets (ceci est cohérent avec les
conventions de notations pour les
exemples \ref{exemples-debiles-categories}).
\end{exemples2}

\begin{definition2}\label{definition-categorie-connexe}
Une catégorie $\categ{C}$ non vide est dite \emph{(faiblement)
  connexe} lorsque pour tous objets $X,Y$ de $\categ{C}$, il existe
une suite finie $X_1,\ldots,X_{2n+1}$ d'objets, avec $X_1 = X$ et
$X_{2n+1} = Y$, et deux suites finies $f_1,\ldots,f_n$ et
$g_1,\ldots,g_n$ de morphismes, avec $f_k \colon X_{2k-1} \to X_{2k}$
et $g_k \colon X_{2k+1} \to X_{2k}$, c'est-à-dire
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em]{
X_1&X_2&X_3&\;\cdots\;&X_{2n-1}&X_{2n}&X_{2n+1}\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$f_1$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$g_1$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-1-3) -- node{$f_2$} (diag-1-4);
\draw[->] (diag-1-5) -- node[swap]{$g_{n-1}$} (diag-1-4);
\draw[->] (diag-1-5) -- node{$f_n$} (diag-1-6);
\draw[->] (diag-1-7) -- node[swap]{$g_n$} (diag-1-6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Une catégorie $\categ{C}$ non vide est dite \emph{fortement connexe}
lorsque pour tous objets $X,Y$ de $\categ{C}$, on a
$\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \neq \varnothing$.
\end{definition2}

\begin{definition2}
Un morphisme $u\colon X\to Y$ dans une catégorie est dit
\emph{isomorphisme} lorsqu'il existe un morphisme $v\colon Y\to X$ tel
que $v\circ u = \Id_X$ et $u\circ v = \Id_Y$ : un tel morphisme est
dit \emph{réciproque} de~$u$.  Lorsqu'il existe un isomorphisme entre
deux objets $X$ et $Y$, on dit qu'ils sont \emph{isomorphes}.  On
notera $\Isom_{\categ{C}}(X,Y)$ (ou simplement $\Isom(X,Y)$) le
sous-ensemble de $\Hom(X,Y)$ formé des isomorphismes.

Un morphisme d'un objet $X$ vers lui-même s'appelle
\emph{endomorphisme} de cet objet : lorsque ce morphisme est un
isomorphisme, on parle d'\emph{automorphisme} de l'objet.  On notera
parfois $\End(X) = \Hom(X,X)$ et $\Aut(X) = \Isom(X,X)$.
\end{definition2}

On vérifie immédiatement que, dans les conditions de cette définition,
le morphisme réciproque $v$ de~$u$ est défini uniquement, et il est
lui-même un isomorphisme, dont $u$ est la réciproque.

On remarquera également que, pour tout objet $X$ d'une catégorie
$\categ{C}$, l'ensemble $\End_{\categ{C}}(X)$ des endomorphismes
de $X$ est un monoïde (pour la loi donnée par la composition des
morphismes) dont le sous-ensemble $\Aut_{\categ{C}}(X)$ des
automorphismes est un groupe.

\begin{exemple2}\label{exemple-categorie-groupe-groupoide}
Si une catégorie $\categ{G}$ admet un unique objet $\bullet$ et que
tous les morphismes de $\categ{G}$ sont des isomorphismes, alors
$\Aut_{\categ{G}}(\bullet)$ est un groupe ; et réciproquement, pour
tout groupe $G$ on peut considérer une catégorie ayant un seul
objet $\bullet$ et pour laquelle $\Hom_{\categ{G}}(\bullet, \bullet) =
G$.

En généralisant cet exemple, on appelle \emph{groupoïde} une catégorie
dans laquelle tous les morphismes sont des isomorphismes.
\end{exemple2}

\begin{definition2}
Un morphisme $u\colon X\to Y$ dans une catégorie est dit
\emph{monomorphisme} (resp. \emph{épimorphisme}) lorsque pour tout
objet $T$ l'application $\Hom(T,X) \to \Hom(T,Y)$ (donnée par $f
\mapsto u\circ f$) de composition à gauche par $u$ est injective
(resp. l'application $\Hom(Y,T) \to \Hom(X,T)$ donnée par $f \mapsto
f\circ u$ de composition à droite par $u$ est injective).
\end{definition2}

\begin{definition2}
Un objet $\top$ d'une catégorie $\categ{C}$ est appelé \emph{objet
  terminal} (ou \emph{objet final}) de $\categ{C}$ lorsque, pour tout
objet $X$ de $\categ{C}$, il existe un \emph{unique} morphisme $X \to
\top$ (c'est-à-dire que l'ensemble $\Hom_{\categ{C}}(X, \top)$ est un
singleton).  Un objet $\bot$ de $\categ{C}$ est appelé \emph{objet
  initial} lorsque, pour tout objet $X$, il existe un \emph{unique}
morphisme $\bot \to X$ (c'est-à-dire que l'ensemble
$\Hom_{\categ{C}}(\bot, X)$ est un singleton).
\end{definition2}

Un objet terminal, ou initial, n'a notamment pas d'autre endomorphisme
que l'identité.  Deux objets initiaux, ou deux objets terminaux, dans
une catégorie, sont toujours isomorphes (puisqu'il existe un unique
morphisme de l'un vers l'autre dans chaque sens, et que la composée
dans chaque sens est l'unique endomorphisme d'un des objets,
c'est-à-dire l'identité), et cet isomorphisme est bien sûr unique ;
réciproquement, il est clair qu'un objet isomorphe à un objet terminal
(resp. initial) est lui-même terminal (resp. initial).

Dans la catégorie des ensembles, il existe un objet initial, qui est
l'ensemble vide, ainsi qu'un objet terminal, à savoir un singleton
quelconque.  Dans la catégorie des anneaux, il existe un objet
initial, à savoir l'anneau $\ZZ$ des entiers, et un objet terminal, à
savoir l'anneau nul (dans lequel $0=1$).

Un objet d'une catégorie peut être à la fois initial et terminal :
dans la catégorie des groupes, ou dans celle des groupes abéliens, le
groupe trivial (dont le seul élément est l'élément neutre) constitue à
la fois un objet initial et un objet terminal ; de même, dans la
catégorie des $A$-modules, où $A$ est un anneau quelconque, le module
nul est à la fois initial et terminal.

\begin{remarque2}\label{blabla-unicite-objet-universel}
Une catégorie peut posséder plusieurs objets terminaux : par exemple,
dans la catégorie des ensembles, tout singleton est terminal.  Il est
pourtant fréquent de parler de \emph{l}'objet terminal de la catégorie
pour désigner n'importe lequel d'entre eux : cet abus de langage est
justifié car non seulement les objets terminaux sont isomorphes mais,
de plus, l'isomorphisme entre eux est unique et, en fait, tout
morphisme entre deux objets terminaux est un isomorphisme ; ainsi,
dans n'importe quelle affirmation catégorique, ou n'importe quel
diagramme commutatif, dans lequel intervient un objet terminal, le
remplacer par un autre (et composer les flèches en provenant ou y
aboutissant par l'unique isomorphisme entre les deux objets terminaux
en question) produira une affirmation également valable ou un
diagramme également commutatif — ce qui permet bien d'ignorer la
différence entre les deux objets en question.

Ces remarques valent bien sûr également pour un objet initial ; mais,
de façon plus importante, elles valent aussi dans une certaine mesure
pour les solutions de tous les autres problèmes « universels » qu'on
sera amené à considérer plus loin (objet représentant un foncteur,
limites et colimites, foncteurs adjoints, etc.), puisque ceux-ci
peuvent se ramener à rechercher des objets terminaux (ou initiaux)
dans des catégories construites pour le problème : c'est ce qui
justifie qu'on se permette, par exemple, de parler \emph{du} produit
de deux groupes plutôt que d'\emph{un} produit, car deux produits sont
non seulement isomorphes mais même isomorphes de façon unique si l'on
impose que l'isomorphisme soit compatible aux projections sur les deux
facteurs.

Le même abus de langage fait qu'on notera parfois une égalité entre
deux objets d'une catégorie alors qu'il s'agit, en fait, d'un
isomorphisme, à condition que l'isomorphisme en question soit défini
de façon unique (compte tenu de certaines données définissant
l'objet), ce qui promet notamment qu'il ne puisse pas y avoir de doute
quant à l'isomorphisme faisant commuter un diagramme.  (Par ailleurs,
il s'agira normalement d'isomorphismes naturels entre des
constructions fonctorielles, cf. \ref{definition-isomorphisme-naturel}
plus bas, un exemple typique serait l'abus de langage d'écrire
$(X\times Y) \times Z = X \times(Y\times Z)$.)

En revanche, lorsqu'un objet (par exemple, une clôture algébrique d'un
corps $k$) n'est défini qu'à isomorphisme près, sans que cet
isomorphisme soit unique (compte tenu de certaines données, par
exemple le plongement de $k$ dans le corps lorsqu'il s'agit de définir
une clôture algébrique de $k$), on ne devrait pas, en principe,
utiliser l'article défini pour désigner l'objet en question.
\end{remarque2}

\begin{definition2}
Si $\categ{C}$ est une catégorie, une \emph{sous-catégorie}
de $\categ{C}$ est la donnée d'un ensemble d'objets de $\categ{C}$ et
d'un ensemble de morphismes de $\categ{C}$ tels que ces objets et ces
morphismes (considérés comme des morphismes de même source et de même
but que dans $\categ{C}$, et avec les mêmes identités et la même
composition) forment une catégorie.  Une sous-catégorie $\categ{D}$
d'une catégorie $\categ{C}$ telle que, pour tous objets $X$ et $Y$
de $\categ{D}$, le sous-ensemble $\Hom_{\categ{D}}(X,Y)$ de
$\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ soit $\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ tout entier, est
appelée \emph{sous-catégorie pleine} de $\categ{C}$.
\end{definition2}

Par exemple, la catégorie des groupes abéliens forme une
sous-catégorie pleine de celle des groupes.

\begin{definition2}
Si $\categ{C}$ est une catégorie, la \emph{catégorie opposée}
à $\categ{C}$, notée $\categ{C}\op$, est la catégorie dont les objets
sont les mêmes que ceux de $\categ{C}$ (soit $\ob(\categ{C}\op) =
\ob(\categ{C})$) mais dont les flèches sont inversées, c'est-à-dire
que pour $X,Y$ deux objets, $\Hom_{\categ{C}\op}(Y,X) =
\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ et, si $u\in\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$ et
$v\in\Hom_{\categ{C}}(Y,Z)$ sont deux morphismes dans $\categ{C}$,
alors la composée $u\circ v$ de $u\in\Hom_{\categ{C}\op}(Y,X)$ et
$v\in\Hom_{\categ{C}\op}(Z,Y)$ dans $\categ{C}\op$ est définie comme
la composée $v\circ u$ dans $\categ{C}$.  On identifie de façon
évidente $(\categ{C}\op)\op$ avec $\categ{C}$.
\end{definition2}

\begin{definition2}
Si $(\categ{C})_{i\in I}$ est une famille de catégories, la
\emph{catégorie produit} des $\categ{C}_i$, notée $\prod_{i\in I}
\categ{C}_i$, est la catégorie dont les objets sont les familles
$(X_i)_{i\in I}$ avec $X_i \in \ob\categ{C}_i$, autrement dit $\ob
\prod_{i\in I} \categ{C}_i = \prod_{i\in I} \ob \categ{C}_i$, et dont
les flèches $(X_i) \to (Y_i)$ sont les familles $(u_i)_{i\in I}$ avec
$u_i\colon X_i \to Y_i$ pour chaque $i$, autrement dit
$\Hom_{\prod_{i\in I} \categ{C}_i} ((X_i),(Y_i)) = \prod_{i\in I}
\Hom_{\categ{C}_i} (X_i, Y_i)$.

Lorsque $(\categ{C}_i)$ est la famille constante de valeur $\categ{C}$
(une catégorie quelconque), la catégorie produit se note $\categ{C}^I$
et s'appelle catégorie puissance, ou catégorie des familles indicées
par $I$ d'objets de $\categ{C}$.
\end{definition2}

\begin{definition2}\label{definition-categorie-au-dessus}
Si $\categ{C}$ est une catégorie et $S$ un objet de $\categ{C}$, on
appelle \emph{catégorie des objets de $\categ{C}$ au-dessus de $S$},
et on note $\categ{C}\downarrow S$, la catégorie dont les objets sont
les morphismes $X \to S$, avec $X$ un objet de $\categ{C}$, les
morphismes de $h\colon X \to S$ vers $h'\colon X' \to S$ (vus comme deux
objets de $\categ{C} \downarrow S$) étant les morphismes $u\colon X
\to X'$ dans $\categ{C}$ tels que $h = h'\circ u$.  Dualement, si $T$
est un objet de $\categ{C}$, on a la catégorie $T\uparrow\categ{C}$
des \emph{objets sous $T$} dont  les objets sont les morphismes $T \to
X$ avec $X$ un objet de $\categ{C}$.
\end{definition2}

(On verra en \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation} une
généralisation de cette définition.)

La catégorie $\categ{C}\downarrow S$ possède un objet terminal, à
savoir l'identité $S \to S$ (et si $\categ{C}$ possède un objet
initial $\top$ alors $\categ{C}\downarrow S$ en a aussi un, à savoir
l'unique flèche $\top \to S$).  Dualement, $T\uparrow\categ{C}$
possède un objet initial $\Id_T\colon T \to T$ (et a un objet terminal
si $\categ{C}$ en a un).

\begin{exemple2}
Si $I$ est un ensemble, la catégorie $\Ens\downarrow I$ des ensembles
sur $I$ peut être identifiée à la catégorie $\Ens^I$ des familles
d'ensembles indicées par $I$ en identifiant un objet $h\colon X\to I$
dans $\Ens\downarrow I$ avec la famille $(X_i)_{i \in I}$ où $X_i =
h^{-1}(\{i\})$ : en effet, la donnée d'une application $f\colon X \to
Y$ qui composée à $\psi\colon Y \to I$ égale $h\colon X\to I$ équivaut
précisément à la donnée pour chaque $i \in I$ d'une application $f_i
\colon X_i \to Y_i$ (où $Y_i = \psi^{-1}(\{i\})$ et $X_i =
h^{-1}(\{i\})$).  La formulation vague « peut être identifiée » sera
rendue plus précise plus bas (\ref{definition-equivalence-categories})
par l'introduction de la notion d'équivalence de catégories.
\end{exemple2}



\subsection{Foncteurs}

\begin{definition2}\label{definition-foncteur}
Soient $\categ{C}$ et $\categ{D}$ deux catégories : on appelle
\emph{foncteur (covariant)} de $\categ{C}$ dans $\categ{D}$, et on
note $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ la donnée d'une application
$\ob\categ{C} \to \ob\categ{D}$ (également notée $F$), et pour tous
objets $X,Y \in \ob\categ{C}$, d'une application
$\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \to \Hom_{\categ{D}}(F(X), F(Y))$ (également
notée $F$), telle que si $X$ est un objet de $\categ{C}$ alors
$F(\Id_X) = \Id_{F(X)}$, et si $X,Y,Z$ sont trois objets
de $\categ{C}$ et $u\colon X\to Y$ et $v\colon Y\to Z$ deux morphismes
dans $\categ{C}$, alors $F(v\circ u) = F(v)\circ F(u)$.
\end{definition2}

\begin{exemples2}
Si $\categ{C}$ est une catégorie de structures algébriques telle que
groupes, groupes abéliens, $A$-modules (pour $A$ un anneau fixé),
anneaux, etc., on dispose d'un foncteur $F\colon \categ{C} \to \Ens$
vers la catégorie $\Ens$ des ensembles, qui à tout objet $X$
de $\categ{C}$ associe son ensemble sous-jacent, et à tout morphisme
$X \to Y$ associe l'application en question sur les ensembles
sous-jacents.  Ce foncteur s'appelle \emph{foncteur d'oubli} (de la
structure en question vers les ensembles).  On peut également définir
des foncteurs d'oubli partiels, par exemple de la catégorie des
anneaux vers la catégorie des groupes abéliens en ne retenant que la
structure de groupe abélien pour l'addition (en oubliant la
multiplication).
\end{exemples2}

Lorsque $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ est un foncteur, si $X$ et
$Y$ sont deux objets isomorphes de $\categ{C}$ alors $F(X)$ et $F(Y)$
sont eux aussi isomorphes (puisque si $u\colon X \to Y$ et $v \colon Y
\to X$ vérifient $v\circ u = \Id_X$ et $u\circ v = \Id_Y$ alors $F(u)
\colon F(X) \to F(Y)$ et $F(v)\colon F(Y) \to F(X)$ vérifient
$F(v)\circ F(u) = \Id_{F(X)}$ et $F(u) \circ F(v) = \Id_{F(Y)}$).
Cette observation justifie l'intérêt des définitions suivantes :

\begin{definition2}
On dit qu'un foncteur $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ est
\emph{fidèle} (resp. \emph{plein}, resp. \emph{pleinement fidèle})
lorsque pour tous objets $X,Y \in \ob\categ{C}$ l'application
$\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \to \Hom_{\categ{D}}(F(X),F(Y))$ est injective
(resp. surjective, resp. bijective).
\end{definition2}

Ainsi, si $\categ{D}$ est une sous-catégorie d'une
catégorie $\categ{C}$, le foncteur d'inclusion $\categ{D} \to
\categ{C}$ (envoyant un objet de $\categ{D}$ sur le même objet vu
comme objet de $\categ{C}$, et un morphisme dans $\categ{D}$ sur le
même morphisme vu dans $\categ{C}$) est toujours fidèle ; il est plein
exactement lorsque $\categ{D}$ est une sous-catégorie pleine
de $\categ{C}$.

\commentaire{? Introduire l'ensemble $π₀(\categ{C})$ des
classes d'isomorphisme et dire que $F$ est essentiellement … si et seulement
si $π₀(F)$ est …}

\begin{definition2}
On dit qu'un foncteur $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ est
\emph{essentiellement injectif} (resp. \emph{essentiellement
  surjectif}) lorsque pour deux objets $X,Y \in \ob \categ{C}$, si
$F(X)$ et $F(Y)$ sont isomorphes alors $X$ et $Y$ le sont (resp. pour
tout objet $Y$ de $\categ{D}$, il existe $X \in \ob\categ{C}$ tel que
$Y$ soit isomorphe à $F(X)$).
\end{definition2}

\begin{proposition2}\label{pleinement-fidele-est-essentiellement-injectif}
Un foncteur pleinement fidèle est essentiellement injectif.  Plus
précisément, si $F$ est pleinement fidèle, alors $F$ établit une
bijection entre isomorphismes $X \buildrel\sim\over\to Y$ et
isomorphismes $F(X) \buildrel\sim\over\to F(Y)$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Supposons $F \colon \categ{C} \to \categ{D}$ un foncteur pleinement
fidèle.  Si, pour $X,Y \in \ob\categ{C}$ deux objets, $F(X)$ et $F(Y)$
sont isomorphes, alors il existe $u'\colon F(X) \to F(Y)$ et $v'\colon
F(Y) \to F(X)$ tels que $v'\circ u' = \Id_{F(X)}$ et $u'\circ v' =
\Id_{F(Y)}$, alors puisque $F$ est plein on peut trouver $u\colon X
\to Y$ et $v\colon Y\to X$ tels que $u' = F(u)$ et $v' = F(v)$, et
puisque $F(v\circ u) = v'\circ u' = \Id_{F(X)} = F(\Id_X)$, le
foncteur $F$ étant fidèle, on a $v\circ u = \Id_X$, et de même $u\circ
v = \Id_Y$.  Donc $X$ et $Y$ sont isomorphes.
\end{proof}

En fait, la définition de foncteur essentiellement injectif n'a
réellement d'intérêt que comme conséquence de la pleine fidélité comme
donnée par la proposition ci-dessus.  Il n'y aurait guère d'intérêt à
définir les foncteurs \emph{essentiellement bijectifs} (à la fois
essentiellement injectifs et essentiellement surjectifs).  En
revanche, d'après la proposition ci-dessus, la propriété suivante est
plus forte :

\begin{definition2}\label{definition-equivalence-categories}
Une \emph{équivalence de catégories} est un foncteur pleinement fidèle
et essentiellement surjectif.
\end{definition2}

(On verra en \ref{equivalence-categories} que cette notion donne bien
une relation d'équivalence.)

\begin{definition2}
Si $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G\colon \categ{D} \to
\categ{E}$ sont deux foncteurs (covariants), on définit leur
\emph{composée}, notée $G\circ F$ ou simplement $GF$ (ou parfois
$G\boxempty F$ pour des raisons qui apparaîtront plus loin), comme le
foncteur $\categ{C} \to \categ{E}$ envoyant un objet $X$
de $\categ{C}$ sur $G(F(X))$ et un morphisme $u\colon X\to Y$
dans $\categ{C}$ sur $G(F(u)) \colon G(F(X)) \to G(F(Y))$.

On définit également le \emph{foncteur identité} sur une
catégorie $\categ{C}$ quelconque comme le foncteur envoyant tout
objet $X \in \ob\categ{C}$ sur lui-même et toute flèche $u \colon X\to
Y$ de $\categ{C}$ sur elle-même.  On le note $\Id_{\categ{c}}$.

Enfin, si $\categ{C}$ et $\categ{D}$ sont deux catégories, et $Y$ un
objet de $\categ{D}$, on définit le \emph{foncteur constant}
$\categ{C} \to \categ{D}$ de valeur $Y$ comme le foncteur associant
$Y$ à tout objet de $\categ{C}$, et $\Id_Y$ à tout morphisme de $X$.
On peut le noter $\Delta(X)$ ou parfois simplement $X$ (dans les cas
où cette dernière notation ne peut pas prêter à confusion).
\end{definition2}

Pour généraliser la définition \ref{definition-categorie-au-dessus},
on peut poser :
\begin{definition2}\label{definition-categorie-au-dessus-generalisation}
Si $\categ{E},\categ{C},\categ{D}$ sont trois catégories, et
$T\colon\categ{E}\to\categ{C}$ et $S\colon\categ{D}\to\categ{C}$ deux
foncteurs, on définit la \emph{catégorie des objets sous $T$ et
  sur $S$}, notée $T\uparrow\categ{C}\downarrow S$, comme la catégorie
dont les objets sont des triplets $(X,Y,h)$ avec $X$ un objet
de $\categ{E}$, $Y$ un objet de $\categ{D}$, et $h\colon T(X) \to
S(Y)$ un morphisme de $\categ{C}$, les morphismes $(X,Y,h) \to
(X',Y',h')$ étant définis comme les paires de morphismes $(u,v)$ avec
$u\colon X\to X'$ (un morphisme dans $\categ{E}$) et $v\colon Y\to Y'$
(un morphisme dans $\categ{D}$) telles que $S(v)\circ h = h'\circ
T(u)$, c'est-à-dire faisant commuter le diagramme suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
T(X)&T(X')\\S(Y)&S(Y')\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$h$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$h'$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$T(u)$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$S(v)$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Lorsque $T$ ou $S$ (mais pas les deux simultanément) est le foncteur
identité sur $\categ{C}$, on pourra l'omettre dans la notation (on
écrira donc simplement $\categ{C}\downarrow S$ ou $T\uparrow
\categ{C}$ selon le cas) ; lorsque $T$ ou $S$ est un objet
de $\categ{C}$, on donnera un sens à $T \uparrow \categ{C} \downarrow
S$ en identifiant cet objet de $\categ{C}$ au foncteur constant
$\categ{1} \to \categ{C}$ (partant de la catégorie singleton) de
valeur l'objet en question.
\end{definition2}

On vérifie que ces conventions recouvrent les définitions déjà
faites : par exemple, si $S$ est un objet de $\categ{C}$, identifié au
foncteur constant $\categ{1} \to \categ{C}$ de valeur cet objet, et si
$T\colon \categ{C}\to \categ{C}$ est le foncteur identité, alors
$\categ{C} \downarrow S$ est la catégorie dont les objets sont les
morphismes $X \to S$ dans $\categ{C}$.

Lorsque $T$ et $S$ sont tous les deux le foncteur identité
sur $\categ{C}$, la catégorie
$\Id_{\categ{C}}\uparrow\categ{C}\downarrow \Id_{\categ{C}}$ s'appelle
\emph{catégorie des flèches} de $\categ{C}$ : ses objets sont les
flèches $X \to Y$ dans $\categ{C}$, un morphisme de $X\to Y$
vers $X'\to Y'$ dans la catégorie des flèches étant la donnée de deux
morphismes $u\colon X\to X'$ et $v\colon Y\to Y'$ faisant commuter le
diagramme évident.  Comme on le verra plus loin, cette catégorie des
flèches peut également se définir comme la catégorie de foncteurs
$\Hom(\vec{\categ{2}}, \categ{C})$, où $\vec{\categ{2}} =
(\astrosun\to\leftmoon)$ désigne la catégorie ayant deux objets, et
une unique flèche hors des identités sur ces objets.

Remarquons que tout foncteur $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ définit
de façon évidente un foncteur $\categ{C}\op \to \categ{D}\op$.

\begin{definition2}
Un \emph{foncteur contravariant} d'une catégorie $\categ{C}$ vers une
catégorie $\categ{D}$ est un foncteur (covariant) de la
catégorie $\categ{C}\op$ vers $\categ{D}$.

Si $G$ est un foncteur covariant de $\categ{D}$ vers $\categ{E}$ et
$F$ un foncteur contravariant de $\categ{C}$ vers $\categ{D}$, on
définit la composée $G\circ F$ comme le foncteur contravariant défini
par la composée de $F \colon \categ{C}\op \to \categ{D}$ et de $G
\colon \categ{D} \to \categ{E}$.

Si $G$ est un foncteur contravariant de $\categ{D}$ vers $\categ{E}$
et $F$ un foncteur covariant (resp. contravariant) de $\categ{C}$
vers $\categ{D}$, on définit la composée $G\circ F$ comme le foncteur
contravariant (resp. covariant) défini par la composée de
$\categ{C}\op \to \categ{D}\op$ (resp. $\categ{C} \to \categ{D}\op$)
déduit évidemment de $F$, et de $G \colon \categ{D}\op \to \categ{E}$.
\end{definition2}

Ainsi, la composée d'un foncteur covariant et d'un foncteur
contravariant constitue un foncteur contravariant, tandis que la
composée de deux foncteurs contravariant (comme évidemment de deux
foncteurs covariants) constitue un foncteur covariant.

\begin{exemple2}
Si $A$ est un anneau (commutatif), l'application qui à un $A$-module
$M$ associe son dual $M^\vee = \Hom_{A\traitdunion\categ{Mod}}(M,A)$ et
à un morphisme $u \colon M \to N$ (qu'on peut voir comme un morphisme
dans l'autre sens dans la catégorie opposée à celle des $A$-modules)
associe sa transposée $u^\vee \colon N^\vee \to M^\vee$ (définie par
$u^\vee(\lambda) = \lambda\circ u$ pour toute forme linéaire $\lambda
\in N^\vee$) constitue un foncteur contravariant de la catégorie
$A\traitdunion\categ{Mod}$ des $A$-modules vers elle-même (le
\emph{foncteur dual}).

La composée de ce foncteur contravariant avec lui-même est le
\emph{foncteur bidual}, covariant, qui à un $A$-module $M$ associe son
bidual $M^{\vee\vee}$ et à un morphisme $u \colon M\to N$ associe sa
bitransposée $u^{\vee\vee} \colon M^{\vee\vee} \to N^{\vee\vee}$.
\end{exemple2}

\begin{definition2}
Si $(\categ{C}_i)_{i\in I}$ est une famille de catégories, un
\emph{foncteur (covariant) à plusieurs variables} des catégories
$\categ{C}_i$ vers une catégorie $\categ{D}$ est un foncteur
$\prod_{i\in I} \categ{C}_i \to \categ{D}$.  On définit de façon
évidente un foncteur à plusieurs variables, covariante en certaines et
contravariantes en d'autres.

Lorsque $F$ est un foncteur à plusieurs variables (de variances
quelconques) depuis des catégories $\categ{C}_i$ (pour $i\in I$) vers
une catégorie $\categ{D}$ et que $A_i$ sont des objets
de $\categ{C}_i$ pour certains $i$ (disons pour $i\in J$ avec $J
\subseteq I$), on définit l'\emph{application partielle} de $F$ à
ces $A_i$ comme le foncteur du reste des variables (depuis les
$\categ{C}_i$ avec $i \in I\setminus J$) vers $\categ{D}$ qui envoie
une famille $(X_i)_{i\in I\setminus J}$ d'objets vers $F((A_i)_{i\in
  J},(X_i)_{i \not\in J})$ et une famille $(u_i)_{i\in I\setminus J}$
de morphismes vers $F((\Id_{A_i})_{i\in J},(u_i)_{i \not\in J})$.
\end{definition2}

\begin{exemple2}
Si $\categ{C}$ est une catégorie quelconque, le foncteur $\categ{C}\op
\times \categ{C} \to \Ens$ qui à un couple d'objets $(X,Y)$ associe
$\Hom_{\categ{C}}(X,Y)$, et à un couple de flèches $(u,v)$ avec $u \in
\Hom_{\categ{C}}(X',X)$ (qu'on peut voir comme $u \in
\Hom_{\categ{C}\op}(X,X')$) et $v \in \Hom_{\categ{C}}(Y,Y')$ associe
l'application d'ensembles $\Hom_{\categ{C}}(X,Y) \to
\Hom_{\categ{C}}(X',Y')$ donnée par $f \mapsto v\circ f \circ u$,
constitue un foncteur à deux variables, toutes deux de $\categ{C}$,
contravariant en la première et covariant en la seconde, et à valeurs
dans les ensembles.  Ce foncteur s'appelle (ou se note) le
\emph{foncteur $\Hom$} pour la catégorie $\categ{C}$.

L'application partielle de ce foncteur $\Hom$ à un objet $A$
de $\categ{C}$ en la première variable définit un foncteur
$\Hom(A,\tiret)$ covariant de $\categ{C}$ vers $\categ{C}$ envoyant un
objet $Y$ sur $\Hom(A,Y)$ et une flèche $v\colon Y\to Y'$ sur
$\Hom(A,Y) \to \Hom(A,Y')$ donné par $f \mapsto v\circ f$.
L'application partielle de $\Hom$ à un objet $B$ de $\categ{C}$ en la
seconde variable définit un foncteur $\Hom(\tiret,B)$ contravariant
de $\categ{C}$ vers $\categ{C}$ envoyant un objet $X$ sur $\Hom(X,B)$
et une flèche $u\colon X'\to X$ (dans $\categ{C}$) sur $\Hom(X,B) \to
\Hom(X',B)$ donné par $f \mapsto f\circ u$.
\end{exemple2}

\begin{remarque2}
Dans la définition du foncteur $\Hom \colon \categ{C}\op \times
\categ{C} \to \Ens$ intervient implicitement le choix d'une catégorie
d'ensembles (par exemple, si on a adopté une solution aux difficultés
ensemblistes consistant à parler d'univers, cela signifie que pour
chaque univers $\mathfrak{U}$ contenant tous les $\Hom(X,Y)$ avec
$X,Y$ objets de $\categ{C}$, on a un foncteur $\Hom_{\mathfrak{U}}
\colon \categ{C}\op \times \categ{C} \to \Ens_{\mathfrak{U}}$
aboutissant dans les ensembles appartenant à $\mathfrak{U}$) : toute
affirmation ou définition raisonnable faisant intervenir ce foncteur
ne doit, évidemment, pas dépendre du choix de cette catégorie $\Ens$.
(Par exemple, dans la
définition \ref{definition-foncteur-representable} plus bas, il est
trivial que le fait qu'un foncteur soit représentable ne change pas
lorsqu'on le considère à valeurs dans une catégorie d'ensembles plus
grosse ; de même, le lemme de Yoneda (\ref{lemme-de-yoneda}) sera
vrai pour n'importe quel choix de $\Ens$.)
\end{remarque2}


\subsection{Transformations naturelles}

\begin{definition2}\label{definition-transformation-naturelle}
Soient $F,G\colon \categ{C} \to \categ{D}$ deux foncteurs (covariants)
entre les deux mêmes catégories.  Une \emph{transformation naturelle},
ou simplement un \emph{morphisme (fonctoriel)}, $h$, de $F$ vers $G$
(noté $h\colon F \to G$) est la donnée pour tout objet $X \in
\ob\categ{C}$ d'un morphisme $h(X)$ (ou $h_X$) de source $F(X)$ et
but $G(X)$, tel que pour tout morphisme $z \colon X \to Y$
dans $\categ{C}$ le diagramme suivant commute :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
F(X)&F(Y)\\G(X)&G(Y)\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$h(X)$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$h(Y)$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$F(z)$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(z)$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
— autrement dit, $G(z)\circ h(X) = h(Y)\circ F(z)$.
\end{definition2}

\begin{exemple2}
Si $A$ est un anneau (commutatif), on a défini le foncteur bidual, qui
à un $A$-module $M$ associe son bidual $M^{\vee\vee}$ et à un
morphisme $u \colon M\to N$ associe sa bitransposée $u^{\vee\vee}
\colon M^{\vee\vee} \to N^{\vee\vee}$.  La donnée pour tout $M$ de
l'application $A$-linéaire $M \to M^{\vee\vee}$ envoyant $x \in M$ sur
$\lambda \mapsto \lambda(x)$ (application $A$-linéaire $M^\vee \to A$,
donc élément de $M^{\vee\vee}$) constitue une transformation naturelle
du foncteur identité vers ce foncteur bidual.
\end{exemple2}

Étant donné que les foncteurs contravariants, et les foncteurs à
plusieurs variables, ont été définis à l'aide des foncteurs covariants
à une seule variable, on obtient du même coup la définition de
transformations naturelles entre tels foncteurs.

\begin{exemple2}
On peut définir un foncteur $R\colon \Ens\op\times\Ens \to \Ens$, qui
à deux ensembles $X,Y$ associe l'ensemble $R(X,Y)$ des relations entre
$X$ et $Y$, c'est-à-dire les parties de $X\times Y$, et qui à deux
applications $(u,v)$ avec $u\colon X'\to X$ et $v\colon Y\to Y'$,
associe l'application $R(X,Y) \to R(X',Y')$ envoyant $\rho \subseteq
X\times Y$ sur $R(u,v)(\rho) = \{(x',y') \in X'\times Y' : (\exists y
\in Y) \, \penalty-500 ((u(x'),y)\in \rho \land y'=v(y))\}$.  Alors la
donnée, pour deux ensembles $X,Y$, de l'application $\Hom(X,Y) \to
R(X,Y)$ envoyant une application $f \colon X \to Y$ sur son graphe
$\Gamma_f \subseteq X\times Y$, constitue une transformation naturelle du
foncteur $\Hom$ (contravariant en sa première variable et covariant en
la seconde) vers le foncteur $R$.
\end{exemple2}

\begin{definition2}
Si $F,G,H\colon \categ{C} \to \categ{D}$ sont trois foncteurs et
$u\colon F \to G$ et $v\colon G \to H$ deux transformations
naturelles, on définit leur \emph{composée} (« verticale »), notée
$v\circ u\colon F \to H$ (ou simplement $vu$), comme la transformation
naturelle qui à un objet $X$ de~$\categ{C}$ associe le morphisme $v(X)
\circ u(X) \colon F(X) \to H(X)$ (dans~$\categ{D}$).

On définit également la \emph{transformation identité} du foncteur
$F\colon \categ{C} \to \categ{D}$, qu'on note $\Id_F$, comme la
transformation naturelle associant à un objet $X$ de~$\categ{C}$ le
morphisme identité $\Id_{F(X)}\colon F(X) \to F(X)$.
\end{definition2}

La terminologie de « composée verticale » fait référence à la façon
suivante de présenter les flèches impliquées dans la situation :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
\categ{C}&\categ{D}\\};
\draw[->] (diag-1-1) to [out=80,in=100] node [auto=false] (F) {} node [pos=0.45] {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
%\draw[->] (diag-1-1) to node [auto=false] (G) {} node [pos=0.25,auto=false,fill=white,draw] {$\scriptstyle G$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-1-1) to node [auto=false] (G) {} node [pos=0.25] {$\scriptstyle G$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-1-1) to [out=-80,in=-100] node [auto=false] (H) {} node [pos=0.45,swap] {$\scriptstyle H$} (diag-1-2);
\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (G);
\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (H);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le diagramme commutatif utilisé pour prouver que $v\circ u$ est une
transformation naturelle s'obtient en empilant les diagrammes de $v$
et de~$u$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
F(X)&F(Y)\\G(X)&G(Y)\\H(X)&H(Y)\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$u(X)$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$u(Y)$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$v(X)$} (diag-3-1);
\draw[->] (diag-2-2) -- node{$v(Y)$} (diag-3-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$F(z)$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(z)$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-3-1) -- node{$H(z)$} (diag-3-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
On verra plus loin une autre composition, « horizontale », sur les
transformations naturelles.

Il est évident que la composition (« verticale ») des transformations
naturelles est associative et que l'identité est neutre à gauche et à
droite, c'est-à-dire que, si $\categ{C}$ et $\categ{D}$ sont deux
catégories, on peut munir l'ensemble $\Hom(\categ{C},\categ{D})$ des
foncteurs $\categ{C}\to\categ{D}$ d'une structure de catégorie dont
les morphismes sont les transformations naturelles et la composition
et les identités celles que nous venons de définir.  En particulier,
on a la notion d'isomorphisme entre foncteurs :

\begin{definition2}\label{definition-isomorphisme-naturel}
On appelle \emph{isomorphisme naturel} (ou simplement
\emph{isomorphisme} de foncteurs) une transformation naturelle $u
\colon F\to G$ entre foncteurs $F,G\colon \categ{C} \to \categ{D}$
pour laquelle il existe une transformation naturelle $v\colon G\to F$
telle que $v\circ u = \Id_F$ et $u\circ v = \Id_G$ : la transformation
$v$ est dite \emph{réciproque} de~$u$.  Lorsqu'il existe un
isomorphisme entre deux foncteurs, on dit qu'ils sont
\emph{isomorphes}.
\end{definition2}

On vérifie immédiatement que, dans les conditions de cette définition,
la transformation réciproque $v$ de~$u$ est définie uniquement, et
elle est elle-même un isomorphisme, dont $u$ est la réciproque.

\begin{proposition2}\label{isomorphismes-naturels}
Une transformation naturelle $u\colon F \to G$ entre foncteurs
$F,G\colon \categ{C} \to \categ{D}$ est un isomorphisme naturel si et
seulement si pour tout objet $X$ de~$\categ{C}$ le morphisme $u(X)
\colon F(X) \to G(X)$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}
\begin{proof}
L'implication « seulement si » est évidente : si $v$ est la
transformation réciproque de~$u$, alors $v(X)$ définit l'isomorphisme
réciproque de~$u(X)$ pour tout~$X$.  Supposons maintenant que $u(X)$
soit un isomorphisme pour tout~$X$ : en appelant $v(X)$ sa réciproque,
il s'agit de montrer qu'on a bien défini une transformation naturelle,
c'est-à-dire que si $z\colon X\to Y$ est un morphisme dans~$\categ{C}$
alors $v(Y)\circ G(z) = F(z)\circ v(X)$.  Or cette égalité résulte de
$G(z)\circ u(X) = u(Y)\circ F(z)$ en composant par $v(Y)$ à gauche et
par $u(X)$ à droite.
\end{proof}

Les notions de composition de transformations naturelles, de
transformation naturelle identité et d'isomorphisme naturel, que nous
avons énoncées pour des foncteurs covariants d'une seule variable, se
transportent immédiatement à des foncteurs de plusieurs variables (de
variances quelconques) puisque ces derniers peuvent être considérés
comme des foncteurs depuis une catégorie produit idoine.

\begin{exemple2}
Dans la catégorie des ensembles, le foncteur $F\colon (X,Y,Z) \mapsto
\Hom(X\times Y,Z)$, contravariant en ses deux premières variables et
covariant en la troisième, qui à trois ensembles $X,Y,Z$ fait
correspondre l'ensemble des applications $X\times Y \to Z$ (et à trois
applications $u\colon X'\to X$, $v\colon Y'\to Y$ et $w\colon Z\to Z'$
fait correspondre $\Hom(X\times Y,Z) \to \Hom(X'\times Y',Z')$ donné
par $f \mapsto w\circ f\circ (u\times v)$), et le foncteur $G \colon
(X,Y,Z) \mapsto \Hom(X, \Hom(Y,Z))$, également contravariant en ses
deux premières variables et covariant en la troisième, qui à trois
ensembles $X,Y,Z$ fait correspondre l'ensemble des applications $X \to
\Hom(Y,Z)$ (et à trois applications $u\colon X'\to X$, $v\colon Y'\to
Y$ et $w\colon Z\to Z'$ fait correspondre $\Hom(X,\Hom(Y,Z)) \to
\Hom(X',\Hom(Y',Z'))$ donné par $f \mapsto (x' \mapsto w\circ f(u(x))
\circ v)$), sont isomorphes : un isomorphisme est donné par la
transformation naturelle $h$ qui à un trois ensembles $X,Y,Z$ fait
correspondre la bijection $\Hom(X\times Y,Z) \to \Hom(X,\Hom(Y,Z))$
donnée par $f \mapsto (x \mapsto f(x,\tiret))$.
\end{exemple2}

\begin{definition2}\label{composition-horizontale-transformations-naturelles}
Si $F,F'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G,G'\colon \categ{D} \to
\categ{E}$ sont des foncteurs et $u\colon F \to F'$ et $v\colon G \to
G'$ deux transformations naturelles, on définit la \emph{composée
  horizontale} de ces dernières, qu'on pourra noter $v\boxempty
u\colon G\circ F \to G'\circ F'$, comme la transformation naturelle qui
à un objet $X$ de~$\categ{C}$ associe le morphisme $G'(u(X)) \circ
v(F(X)) = v(F'(X)) \circ G(u(X)) \colon G(F(X)) \to G'(F'(X))$
(dans~$\categ{E}$).
\end{definition2}

(La notation $v\boxempty u$ est introduite pour ce chapitre : elle
sera redéfinie selon le besoin.)

L'égalité $G'(u(X)) \circ v(F(X)) = v(F'(X)) \circ G(u(X))$ affirmée dans la définition ci-dessus traduit la
commutativité du diagramme suivant qui résulte de la naturalité
de $v$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
G(F(X))&G(F'(X))\\G'(F(X))&G'(F'(X))\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$v(F(X))$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$v(F'(X))$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$G(u(X))$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G'(u(X))$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
La terminologie de « composée horizontale » fait référence à la façon
suivante de présenter les flèches impliquées dans la situation :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
\categ{C}&\categ{D}&\categ{E}\\};
\draw[->] (diag-1-1) to [out=40,in=140] node [auto=false] (F) {} node {$\scriptstyle F$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-1-1) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (F') {} node [swap] {$\scriptstyle F'$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-1-2) to [out=40,in=140] node [auto=false] (G) {} node {$\scriptstyle G$} (diag-1-3);
\draw[->] (diag-1-2) to [out=-40,in=-140] node [auto=false] (G') {} node [swap] {$\scriptstyle G'$} (diag-1-3);
\draw[->] (F) -- node{$\scriptstyle u$} (F');
\draw[->] (G) -- node{$\scriptstyle v$} (G');
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le diagramme commutatif utilisé pour prouver que $v\boxempty u$ est
une transformation naturelle s'obtient en empilant le diagramme de $v$
transformé par $G$ et celui de~$u$ appliqué à $F(z)$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
G(F(X))&G(F(Y))\\G(F'(X))&G(F'(Y))\\G'(F'(X))&G'(F'(Y))\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$G(u(X))$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$G(u(Y))$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$v(F'(X))$} (diag-3-1);
\draw[->] (diag-2-2) -- node{$v(F'(Y))$} (diag-3-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$G(F(z))$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$G(F'(z))$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-3-1) -- node{$G'(F'(z))$} (diag-3-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
(on peut également utiliser $G'(F(z))$ au lieu de $G(F'(z))$ comme
ligne médiane).

Un cas particulier important de la composition horizontale des
transformations naturelles est celui où l'une des transformations est
l'identité sur un foncteur :
\begin{itemize}
\item Si $F,F'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G\colon \categ{D}
  \to \categ{E}$ sont des foncteurs et $h\colon F \to F'$ une
  transformation naturelle, on définit $G\boxempty h = \Id_G\boxempty
  h$, également notée $Gh$ si aucune confusion ne peut en résulter (on
  trouve également la notation $G\circ h$, même si elle est peu
  souhaitable).  Il s'agit de la transformation naturelle qui à tout
  objet $X$ de $\categ{C}$ associe $G(h(X))$ (c'est-à-dire l'image du
  morphisme $h(X)$ par le foncteur $G$).
\item Si $F\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G,G'\colon \categ{D}
  \to \categ{E}$ sont des foncteurs et $h\colon G \to G'$ une
  transformation naturelle, on définit $h\boxempty F = h\boxempty
  \Id_F$, également notée $hF$ si aucune confusion nee peut en
  résulter (on trouve également la notation $h \circ F$, même si elle
  est peu souhaitable).  Il s'agit de la transformation naturelle qui
  à tout objet $X$ de $\categ{C}$ associe $h(F(X))$ (c'est-à-dire le
  morphisme associé par la transformation naturelle $h$ à
  l'objet $F(X)$).
\end{itemize}
Ces deux cas particuliers permettent de retrouver le cas général,
puisque l'égalité contenue dans la
définition \ref{composition-horizontale-transformations-naturelles}
stipule que, avec les notations de cette dernière, on a $v\boxempty u
= (G'\boxempty u) \circ (v\boxempty F) = (v\boxempty F') \circ
(G\boxempty u)$.  La proposition qui suit généralise ce fait :

\begin{proposition2}\label{composition-croisee-transformations-naturelles}
Si $F,F',F''\colon \categ{C} \to \categ{D}$ et $G,G',G''\colon
\categ{D} \to \categ{E}$ sont des foncteurs et $u\colon F \to F'$,
$u'\colon F' \to F''$ et $v\colon G \to G'$, $v'\colon G' \to G''$ des
transformations naturelles, on a $(v'\circ v) \boxempty (u'\circ u) =
(v'\boxempty u') \circ (v\boxempty u)$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour tout objet $X$ de~$\categ{C}$, on a le diagramme commutatif
suivant (dont les lignes sont obtenues en appliquant $G,G',G''$ à
$u,u'$, et les colonnes sont données par $v,v'$ en
$F(X),F'(X),F''(X)$) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
G(F(X))&G(F'(X))&G(F''(X))\\G'(F(X))&G'(F'(X))&G'(F''(X))\\
G''(F(X))&G''(F'(X))&G''(F''(X))\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-3-1);
\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-3-2);
\draw[->] (diag-2-3) -- (diag-3-3);
\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
\draw[->] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-1-3);
\draw[->] (diag-2-2) -- (diag-2-3);
\draw[->] (diag-3-2) -- (diag-3-3);
\draw[->] (diag-1-1) -- node[pos=0.3,sloped]{$\scriptstyle(v\boxempty u)(X)$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-2-2) -- node[pos=0.3,sloped]{$\scriptstyle(v'\boxempty u')(X)$} (diag-3-3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
La diagonale supérieure gauche est, par définition, $(v\boxempty
u)(X)$ et la diagonale inférieure droite est, de même, $(v'\boxempty
u')(X)$ : or la diagonale de l'ensemble du carré est $((v'\circ
v)\boxempty (u'\circ u))(X)$, qui vaut donc aussi $((v'\boxempty
u')(X)) \circ ((v\boxempty u)(X))$ : ceci montre la relation annoncée.
\end{proof}

On peut voir la proposition précédente de la façon suivante : si
$\categ{C},\categ{D},\categ{E}$ sont trois catégories, et
$\Hom(\categ{C},\categ{D})$, $\Hom(\categ{D},\categ{E})$ et
$\Hom(\categ{C},\categ{E})$ les \emph{catégories} de foncteurs entre
ces catégories (les morphismes étant les transformations naturelles),
alors on a un \emph{foncteur} $\boxempty \colon
\Hom(\categ{C},\categ{D}) \times \Hom(\categ{D},\categ{E}) \to
\Hom(\categ{C},\categ{E})$ (covariant dans ses deux variables), qui
envoie un couple $(F,G)$ de foncteurs sur le foncteur composé $G\circ
F$ (également noté $G\boxempty F$ dans ce contexte), et un couple
$(u,v)$ de transformations naturelles sur la composée horizontale
$v\boxempty u$ de celles-ci.

En particulier, si deux foncteurs $F,F'\colon \categ{C}\to\categ{D}$
sont isomorphes et que deux foncteurs $G,G'\colon
\categ{D}\to\categ{E}$ sont isomorphes, alors les composées $G\circ F$
et $G'\circ F'$ sont également isomorphes (l'isomorphisme en question
étant donné par la composée horizontale des deux isomorphismes censés
exister par hypothèse).

\begin{exemple2}
Si $T\colon\categ{E}\to\categ{C}$ et $S\colon\categ{D}\to\categ{C}$
sont deux foncteurs, en introduisant la catégorie $\categ{P} =
T\uparrow\categ{C}\downarrow S$ définie
en \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation}, on a deux
foncteurs $\Pi_{\categ{E}}\colon \categ{P} \to \categ{E}$ et
$\Pi_{\categ{D}}\colon \categ{P} \to \categ{D}$ envoyant un objet
$(X,Y,h)$ de $\categ{P}$ (avec $h\colon T(X) \to S(Y)$) sur $X$ et $Y$
respectivement, et une flèche $(u,v)\colon (X,Y,h)\to (X',Y',h')$
(avec $u\colon X\to X'$ dans $\categ{E}$ et $v\colon Y\to Y'$
dans $\categ{D}$) sur $u$ et $v$ respectivement ; on a aussi une
transformation naturelle $q\colon T\circ \Pi_{\categ{E}} \to S\circ
\Pi_{\categ{D}}$, qui à chaque objet $(X,Y,h)$ de $\categ{P}$ associe
le morphisme $h\colon T(X)\to S(Y)$.

On peut vérifier que, donnée une autre catégorie $\categ{B}$ et des
foncteurs $A_{\categ{E}}\colon \categ{B} \to \categ{E}$ et
$A_{\categ{D}} \colon \categ{B} \to \categ{D}$ ainsi qu'une
transformation naturelle $b\colon T\circ A_{\categ{E}} \to S\circ
A_{\categ{D}}$, il existe un unique foncteur $Z \colon \categ{B} \to
\categ{P}$ tel que $A_{\categ{E}} = \Pi_{\categ{E}}\circ Z$ et
$A_{\categ{D}} = \Pi_{\categ{D}}\circ Z$ et $b = h\boxempty Z$
(concrètement, $Z$ est défini en envoyant un objet $B \in
\ob\categ{B}$ sur l'objet $(A_{\categ{E}}(B), A_{\categ{D}}(B), b(B))$
de $\categ{P}$, et un morphisme $\beta\colon B \to B'$ sur
$(A_{\categ{E}}(\beta), A_{\categ{D}}(\beta'))$).
\end{exemple2}

Le lemme suivant assure, notamment, que la composition à gauche ou à
droite d'une transformation naturelle par une équivalence de catégorie
est une opération simplifiable (la composition à droite d'une
transformation naturelle par un foncteur admettant un quasi-inverse à
droite est simplifiable, comme l'est la composition à gauche par un
foncteur admettant un quasi-inverse à gauche) :

\begin{lemme2}\label{lemme-simplification-foncteurs}
\begin{enumerate}
\item Soient $\categ{B},\categ{C},\categ{D}$ des catégories,
  $F\colon\categ{D} \to\categ{C}$, $G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ et
  $B,B'\colon\categ{C}\to\categ{B}$ des foncteurs, et $z_1,z_2\colon
  B\to B'$ des transformations naturelles.  On suppose que les
  foncteurs $\Id_{\categ{C}}$ et $F\circ G$ sont isomorphes : alors
  $z_1 \boxempty F = z_2 \boxempty F$ implique $z_1 = z_2$.
\item Soient $\categ{C},\categ{D},\categ{E}$ des catégories,
  $F\colon\categ{D} \to\categ{C}$, $G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ et
  $E,E'\colon\categ{E}\to\categ{D}$ des foncteurs, et $z_1,z_2\colon
  E\to E'$ des transformations naturelles.  On suppose que les
  foncteurs $\Id_{\categ{D}}$ et $G\circ F$ sont isomorphes : alors $F
  \boxempty z_1 = F \boxempty z_2$ implique $z_1 = z_2$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}
\begin{proof}
Pour plus de clarté, on notera, dans cette démonstration, $F\boxempty
G$ plutôt que $F\circ G$, la composée des foncteurs.

Montrons la première affirmation : si $z_1 \boxempty F = z_2 \boxempty
F$ alors $z_1 \boxempty F \boxempty G = z_2 \boxempty F \boxempty G$.
En appelant $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\boxempty
G$ un isomorphisme comme on en a supposé l'existence, on a donc $(z_1
\boxempty F \boxempty G) \circ (B\boxempty e) = (z_2 \boxempty F
\boxempty G) \circ (B\boxempty e)$.  Mais $(z_i \boxempty F \boxempty
G) \circ (B\boxempty e) = z_i \boxempty e = (B'\boxempty e) \circ
z_i$.  Comme $B'\boxempty e$ est un isomorphisme (de réciproque
$B'\boxempty(e^{-1})$), on en déduit bien $z_1 = z_2$.

La seconde affirmation est tout à fait analogue : si $F\boxempty z_1 =
F\boxempty z_2$ alors $G\boxempty F\boxempty z_1 = G\boxempty
F\boxempty z_2$ donc, en appelant $h\colon \Id_{\categ{D}}
\buildrel\sim\over\to G\boxempty F$ un isomorphisme, comme on a
$(G\boxempty F\boxempty z_i) \circ (h\boxempty E) = h\boxempty z_i =
(h\boxempty E') \circ z_i$, et comme $h\boxempty E'$ est un
isomorphisme, on en déduit $z_1 = z_2$.
\end{proof}

\begin{lemme2}\label{lemme-passage-transformations-naturelles-foncteur-fidele}
Soit $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ un foncteur \emph{fidèle}, et soit
$G\colon \categ{C}\to\categ{D}$ un foncteur quelconque.  Si $e\colon
\Id_{\categ{C}} \to F\circ G$ est une transformation naturelle et que,
pour chaque objet $X$ de $\categ{D}$, on a un morphisme $h(X) \colon X
\to G(F(X))$ vérifiant $F(h(X)) = e(F(X))$, alors $h$ est une
transformation naturelle.
\end{lemme2}
\begin{proof}
Si $z\colon X\to Y$ est un morphisme dans $\categ{D}$, puisque $e$ est
une transformation naturelle, on a $F(G(F(z)))\circ e(F(X)) =
e(F(Y))\circ F(z)$, c'est-à-dire $F(G(F(z)))\circ F(h(X)) =
F(h(Y))\circ F(z)$, ce qui assure, puisque $F$ est fidèle, que
$G(F(z)) \circ h(X) = h(Y) \circ z$, ce qui permet bien d'affirmer que
$h$ est une transformation naturelle.
\end{proof}

On peut maintenant revenir sur la notion d'équivalence de catégories,
déjà introduite :
\begin{proposition2}\label{equivalence-categories}
Un foncteur $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ est une équivalence de
catégories si et seulement si il existe $G\colon
\categ{C}\to\categ{D}$ tel que $G\circ F \cong \Id_{\categ{D}}$ et
$F\circ G \cong \Id_{\categ{C}}$.
\end{proposition2}

Utilise fonction de choix sur l'univers. \XXX

\begin{proof}
Montrons d'abord l'implication « si » : supposons que $h\colon
\Id_{\categ{D}} \to \penalty1000 {G\circ F}$ et $h^{-1}\colon {G\circ
  F} \to \penalty1000 \Id_{\categ{D}}$ soient des isomorphismes
naturels réciproques et de même $e\colon \Id_{\categ{C}} \to F\circ G$
et $e^{-1}\colon F\circ G \to \Id_{\categ{C}}$.  Pour tout morphisme
$z\colon X\to Y$ dans $\categ{D}$, la naturalité de $h$ assure que
$G(F(z))\circ h(X) = h(Y)\circ z$, c'est-à-dire $G(F(z)) = h(Y) \circ
z \circ h^{-1}(X)$.  Or l'application $\Hom(X,Y) \to
\Hom(G(F(X)),G(F(Y)))$ donnée par $z \mapsto h(Y) \circ z \circ
h^{-1}(X)$ est une bijection (de réciproque $z \mapsto h^{-1}(Y) \circ
z \circ h(X)$) : on a donc montré que $G\circ F\colon \Hom(X,Y) \to
\Hom(G(F(X)),G(F(Y)))$ est une bijection.  Il s'ensuit au moins que
$F$ est fidèle ; et par symétrie de la situation, $G$ l'est également.
Pour voir que $F$ est plein, considérons un morphisme $t\colon F(X)
\to F(Y)$ : alors le morphisme $z = h^{-1}(Y)\circ G(t) \circ h(X)$
vérifie $G(F(z)) = G(t)$, et comme on vient de voir que $G$ est
fidèle, on a $t = F(z)$, ce qui montre que $F$ est plein.  Enfin, $F$
est essentiellement surjectif puisque tout objet $Y$ de $\categ{C}$
est isomorphe à $F(X)$ avec $X = G(Y)$ (par $e(Y)\colon Y
\buildrel\sim\over\to F(G(Y))$).

Montrons maintenant l'implication « seulement si » : soit donc $F$ un
foncteur pleinement fidèle et essentiellement surjectif.

Pour tout objet $X$ de $\categ{C}$, choisissons un objet $G(X)$
de $\categ{D}$ tel que $X$ soit isomorphe à $F(G(X))$, et $e(X) \colon
X \buildrel\sim\over\to F(G(X))$ un tel isomorphisme, de réciproque
notée $e(X)^{-1}$.  Pour tout morphisme $z\colon X\to Y$
dans $\categ{D}$, définissons $G(z)$ comme antécédent de $e(Y)\circ z
\circ e(X)^{-1}$ par $F\colon \Hom(G(X),G(Y)) \to \Hom(F(G(X)),
F(G(Y)))$ (on utilise le fait que $F$ est plein), de sorte qu'on a
$F(G(z)) = e(Y) \circ z \circ e(X)^{-1}$.

Pour voir que $G$ est un foncteur, on veut voir d'une part que
$G(\Id_X) = \Id_{G(X)}$ pour tout objet $X$ de $\categ{D}$ : or $e(X)
\circ \Id_X \circ e(X)^{-1} = \Id_{F(G(X))}$ donc $F(G(\Id_X)) =
F(\Id_{G(X)})$, donc (puisque $F$ est fidèle) on a bien $G(\Id_X) =
\Id_{G(X)}$.  D'autre part, on veut voir que si $z_1\colon X_0 \to
X_1$ et $z_2 \colon X_1 \to X_2$ alors $G(z_2 \circ z_1) = G(z_2)
\circ G(z_1)$ : or $e(X_2) \circ (z_2 \circ z_1) \circ e(X_0)^{-1}
\penalty-1000 = \penalty-2000 (e(X_2) \circ z_2 \circ e(X_1)^{-1})
\penalty-500 \circ \penalty-1000 (e(X_1) \circ z_1 \circ
e(X_0)^{-1})$, ce qui montre $F(G(z_2 \circ z_1)) = F(G(z_2)) \circ
F(G(z_1))$, donc (puisque $F$ est fidèle) on a bien $G(z_2 \circ z_1)
= G(z_2) \circ G(z_1)$.

Étant désormais acquis que $G$ est un foncteur, le fait que $F(G(z))
\circ e(X) = e(Y) \circ z$ pour tout morphisme $z\colon X\to Y$
de $\categ{D}$ montre que $e$ définit bien une transformation
naturelle $\Id_{\categ{D}} \to F\circ G$, qui est
(d'après \ref{isomorphismes-naturels}) un isomorphisme.

Enfin, si $X$ est un objet de $\categ{D}$, on appelle $h(X) \colon X
\to G(F(X))$ l'antécédent de $e(F(X))\colon F(X) \to F(G(F(X)))$ par
$F\colon \Hom(X,G(F(X))) \to \Hom(F(X),F(G(F(X))))$ (cet antécédent
existe puisque $F$ est plein).  D'après le
lemme \ref{lemme-passage-transformations-naturelles-foncteur-fidele},
$h$ est une transformation naturelle.  Comme chaque $h(X)$ est un
isomorphisme (puisque $F(h(X)) = e(F(X))$ l'est, et en utilisant de
nouveau le fait que $F$ est pleinement fidèle), $h$ est un
isomorphisme naturel (toujours d'après \ref{isomorphismes-naturels}).
\end{proof}

Cette démonstration prend plus de sens en remarquant que $G$ est, à
isomorphisme près, uniquement déterminé par $F$ — on dit qu'ils sont
\emph{quasi-inverses} —, et aussi que tout foncteur isomorphe à un
foncteur pleinement fidèle est lui-même pleinement fidèle.

On pourra désormais dire que deux catégories sont équivalentes quand
il existe une équivalence de catégories de l'une vers l'autre : la
proposition assure qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence.

Lorsque deux foncteurs $F\colon \categ{D} \to \categ{C}$ et $G\colon
\categ{C} \to \categ{D}$ sont quasi-inverses, il n'existe pas de
cohérence automatique particulière entre un isomorphisme $h\colon
\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to G\circ F$ et un isomorphisme
$e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$.  Cependant,
on verra plus loin en \ref{equivalence-est-adjonction-inversible}, en
réinterprétant les foncteurs quasi-inverses comme des adjoints, que
les conditions $G \boxempty e = h \boxempty G$ et $e \boxempty F = F
\boxempty h$ sont équivalentes, et que pour tout isomorphisme $h\colon
\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to G\circ F$ il existe un unique
$e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$ (\emph{dans
  la mesure où} il existe un isomorphisme $\Id_{\categ{C}}
\buildrel\sim\over\to F\circ G$, c'est-à-dire que $F$ et $G$ sont bien
quasi-inverses) vérifiant ces conditions équivalentes, et de même pour
tout $e$ il existe un unique $h$ vérifiant ces conditions.


\subsection{Foncteurs représentables, lemme de Yoneda}

\commentaire{? Introduire au préalable la notion de préfaisceau
sur $\categ{C}$ et la catégorie $\chap{\categ{C}}$. Ça
allégerait les notations.}

\begin{definition2}\label{definition-foncteur-representable}
Soit $\categ{C}$ une catégorie : un foncteur $F \colon \categ{C}\op
\to \Ens$ contravariant de la catégorie $\categ{C}$ vers la catégorie
des ensembles est dit \emph{représentable} par un objet $X$
de $\categ{C}$ lorsqu'il existe un isomorphisme $h \colon
\Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$ (pour être plus précis, on
devrait dire que $F$ est représentable par l'objet $X$ et
l'isomorphisme $h$ — ou, comme on le verra
en \ref{foncteur-representable-element}, par l'élément $h(X)(\Id_X)
\in F(X)$).  Un foncteur $F \colon \categ{C} \to \Ens$ covariant de
$\categ{C}$ vers les ensembles est dit représentable par un objet $X$
lorsqu'il existe $h \colon \Hom(X,\tiret) \buildrel\sim\over\to F$.
\end{definition2}

\begin{exemple2}
Si $A$ est un anneau (commutatif), le foncteur covariant d'oubli $F$
de la catégorie des $A$-modules vers celle des ensembles, c'est-à-dire
le foncteur qui à un $A$-module $M$ associe l'ensemble sous-jacent à
$M$ et à une application $A$-linéaire entre $A$-modules associe
l'application ensembliste sous-jacente, est représentable par le
$A$-module $A$ lui-même, l'isomorphisme $h\colon \Hom(A,\tiret) \to F$
étant (par exemple) celui qui, pour un $A$-module $M$ donné, envoie
une application linéaire $\ell\colon A\to M$ sur l'élément $h(A)(\ell)
= \ell(1)$ de (l'ensemble sous-jacent à) $M$, l'application linéaire
$\ell$ pouvant se reconstruire à partir de $s = \ell(1)$ comme
$\ell(a) = ax$.  De façon plus informelle, ceci traduit le fait que
les applications $A$-linéaires $A \to M$ correspondent bijectivement
(et \emph{naturellement}) aux éléments de $M$.
\end{exemple2}

Plus généralement, il existe de nombreuses structures algébriques
telles que le foncteur d'oubli vers la catégorie des ensembles soit
représentable : dans la catégorie des groupes ou des groupes abéliens,
il l'est par le groupe $\ZZ$, dans la catégorie des monoïdes par le
monoïde $\NN$, dans la catégorie des anneaux par l'anneau $\ZZ[s]$
(des polynômes à coefficients entiers et à une indéterminée ici
notée $s$), dans la catégorie des $k$-algèbres (pour $k$ un corps ou
plus généralement un anneau) par la $k$-algèbre $k[s]$.

\begin{proposition2}[lemme de Yoneda]\label{lemme-de-yoneda}
Soit $\categ{C}$ une catégorie :
\begin{itemize}
\item Quels que soient l'objet $X$ de $\categ{C}$ et le foncteur $F
  \colon \categ{C}\op \to \Ens$, l'application ensembliste
  $\Hom(\Hom(\tiret,X),F) \to F(X)$ envoyant une transformation
  naturelle $h\colon \Hom(\tiret, X) \to F$ sur l'élément $h(X)(\Id_X)
  \in F(X)$, est une bijection.
\item Si on note $\yone \colon \categ{C} \to \Hom(\categ{C}\op,
  \Ens)$ le foncteur covariant (de la catégorie $\categ{C}$ vers la
  catégorie des foncteurs contravariants de $\categ{C}$ vers les
  ensembles) envoyant un objet $X$ de $\categ{C}$ sur le foncteur
  (contravariant) $\Hom(\tiret,X)$ qu'il représente, et un morphisme
  $z\colon X \to Y$ dans $\categ{C}$ sur la transformation naturelle
  $\Hom(\tiret,X) \to \Hom(\tiret,Y)$ donnée (pour tout objet $T$
  de $\categ{C}$) par la composition à gauche par $z$ (soit
  $z\circ\tiret \colon \Hom(T,X) \to \Hom(T,Y)$), alors ce foncteur
  $\yone$ est pleinement fidèle.
\end{itemize}
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour prouver le premier point, nous allons exhiber la bijection
réciproque.  Si $s \in F(X)$, on définit une transformation naturelle
$h\colon \Hom(\tiret,X) \to F$ qui, pour un objet $T$ de $\categ{C}$,
envoie l'élément $z\colon T\to X$ de $\Hom(T,X)$ sur l'élément
$h(T)(z) = F(z)(s)$ de $F(T)$ ; pour vérifier que $h$ est bien une
transformation naturelle, il s'agit de voir que si $t\colon T\to T'$
et $z\colon T'\to X$ sont deux morphismes dans $\categ{C}$, alors
$F(t)(F(z)(s)) = F(z\circ t)(s)$, ce qui est bien le cas.
Manifestement, $h(X)(\Id_X) = s$ ; et réciproquement, si $h\colon
\Hom(\tiret,X) \to F$ est une transformation naturelle quelconque,
alors la naturalité de $h$ appliquée à un morphisme $z\colon T\to X$
donne $h(T)(z) = F(z)(h(\Id_X))$ pour tout objet $T$ de $\categ{C}$,
donc $h$ est bien la transformation naturelle qu'on a construite à
partir de $s \in F(X)$.

Prouvons le second point : donnés deux objets $X$ et $Y$
de $\categ{C}$, le foncteur $\yone$ envoie un morphisme $z\colon
X\to Y$ sur la transformation naturelle $z\circ\colon \Hom(\tiret,X)
\to \Hom(\tiret,Y)$ de composition à gauche par $z$.  Or le point
précédent, appliqué au foncteur $F = \Hom(\tiret,Y)$, assure que
l'application $\Hom(\Hom(\tiret,X),\Hom(\tiret,Y)) \to \Hom(X,Y)$
envoyant une transformation naturelle $h\colon \Hom(\tiret,X) \to
\Hom(\tiret,Y)$ sur $h(X)(\Id_X)$, est bijective, et cette application
envoie la transformation naturelle « composition à gauche par $z$ »
sur $z$, donc est la réciproque de l'application du
foncteur $\yone$.  Ceci prouve bien que $\yone$ est
pleinement fidèle.
\end{proof}

Le lemme de Yoneda permet donc de voir toute catégorie $\categ{C}$
comme une sous-catégorie pleine de la catégorie $\Hom(\categ{C}\op,
\Ens)$ (des foncteurs contravariants de $\categ{C}$ vers les
ensembles), à savoir justement la sous-catégorie pleine dont les
objets sont les $\yone(X) = \Hom(\tiret,X)$.  La catégorie $\categ{C}$ est donc
équivalente à celle des foncteurs représentables (i.e., ceux
isomorphes à un $\Hom(\tiret,X)$).  L'usage du lemme de Yoneda permet
par exemple d'affirmer que deux objets $X$ et $Y$ d'une catégorie sont
isomorphes lorsque les foncteurs contravariants $\yone(X) = \Hom(\tiret,X)$
et $\yone(Y) = \Hom(\tiret,Y)$ qu'ils représentent sont eux-mêmes isomorphes.

On peut évidemment aussi appliquer le lemme de Yoneda à la catégorie
opposée, c'est-à-dire « en inversant les flèches » : par exemple, ceci
permet d'affirmer que deux objets $X$ et $Y$ d'une catégorie sont
isomorphes lorsque les foncteurs covariants $\yoneDA(X) = \Hom(X,\tiret)$
et $\yoneDA(Y) = \Hom(Y,\tiret)$ qu'ils représentent sont isomorphes.  On a préféré
citer le lemme de Yoneda sous la forme de \ref{lemme-de-yoneda}
ci-dessus de façon à mettre en évidence un plongement de la catégorie
$\categ{C}$ elle-même (plutôt que sa catégorie opposée) ; en
contrepartie, on doit la plonger dans la catégorie des foncteurs
contravariants.

\begin{convention2}\label{notation-yoneda}
Lorsque $\categ{C}$ est une catégorie, on notera $\yone \colon
\categ{C} \to \Hom(\categ{C}\op,\Ens)$ le foncteur $X \mapsto
\Hom(\tiret,X)$ introduit en \ref{lemme-de-yoneda}, et $\yoneDA \colon
\categ{C}\op \to \Hom(\categ{C},\Ens)$ le foncteur $X \mapsto
\Hom(X,\tiret)$.  On notera également $X_\yone = \yone(X) =
\Hom(\tiret,X)$ et $X^\yoneDA = \yoneDA(X) = \Hom(X,\tiret)$.
\end{convention2}

\begin{corollaire2}\label{yoneda-corollaire-isomorphismes}
Si $Y,Y'$ sont deux objets d'une catégorie $\categ{D}$ tels que les
foncteurs $\Hom(\tiret,Y),\Hom(\tiret,Y')\colon \categ{D}\op\to\Ens$
soient isomorphes, alors $Y,Y'$ eux-mêmes sont isomorphes : plus
précisément, pour tout isomorphisme $\varphi\colon \Hom(\tiret,Y)
\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,Y')$ il existe un unique $h\colon Y
\buildrel\sim\over\to Y'$ tel que $\varphi = \yone(h)$.

Si $G,G'\colon \categ{C} \to \categ{D}$ sont deux foncteurs tels que
les foncteurs $\Hom(\tiret,G(\tiret)),\Hom(\tiret,G'(\tiret)) \colon
\categ{D}\op \times \categ{C} \to \Ens$ soient isomorphes, alors
$G,G'$ eux-mêmes sont isomorphes : plus précisément, pour tout
isomorphisme $\varphi\colon \Hom(\tiret,G(\tiret))
\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(\tiret))$ il existe un unique
$h\colon G \buildrel\sim\over\to G'$ tel que $\varphi(\tiret,Y) =
\yone(h(Y))$ pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
La première affirmation est une conséquence immédiate du lemme de
Yoneda (le foncteur $\yone$ étant pleinement fidèle, il établit une
bijection (cf. \ref{pleinement-fidele-est-essentiellement-injectif})
entre isomorphismes $Y \buildrel\sim\over\to Y'$ et isomorphismes
$\Hom(\tiret,Y) \buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,Y')$.

La seconde affirmation s'en déduit : si $\varphi\colon
\Hom(\tiret,G(\tiret)) \buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(\tiret))$
est un isomorphisme, alors pour chaque objet $Y$ de $\categ{C}$,
l'isomorphisme $\varphi(\tiret,Y)\colon \Hom(\tiret,G(Y))
\buildrel\sim\over\to \Hom(\tiret,G'(Y))$ (naturel en la première
variable, anonyme) provient, d'après la première partie du corollaire,
d'un (unique) isomorphisme $h(Y)\colon G(Y) \buildrel\sim\over\to
G'(Y)$ par application du foncteur $\yone$ de Yoneda.  La naturalité
de $\varphi$ en la seconde variable ($Y$) et la fidélité de $\yone$
montrent alors immédiatement que $h$ est naturel, donc on a bien un
isomorphisme naturel $h\colon G \buildrel\sim\over\to G'$, qui
visiblement était le seul possible puisque chaque $\varphi(\tiret,Y)$
détermine $h(Y)$.
\end{proof}

\subsubsection{}\label{foncteur-representable-element} Le lemme
de Yoneda a notamment comme conséquence que dans la
définition \ref{definition-foncteur-representable}, la donnée de
l'isomorphisme $h \colon \Hom(\tiret,X) \buildrel\sim\over\to F$
attestant qu'un foncteur contravariant $F$ est représentable peut se
réduire à la donnée de l'élément $s = h(X)(\Id_X) \in F(X)$.  Ainsi,
on peut dire qu'un foncteur $F$ est représentable par un objet $X$ et
un élément $s \in F(X)$ lorsque, pour tout objet $T$ de $\categ{C}$,
l'application $\Hom(T,X) \to F(T)$ envoyant $z$ sur $F(z)(s)$ est une
bijection ; c'est-à-dire encore que l'objet $X$ muni de l'élément $s
\in F(X)$ a la \emph{propriété universelle} que pour tout objet $T$ et
tout $t \in F(T)$, il existe un unique $z\colon T \to X$ tel que
$F(z)(s) = t$.

En inversant les flèches, on obtient la définition analogue pour un
foncteur covariant : le foncteur covariant $F \colon \categ{C} \to
\Ens$ est dit représentable par un objet $X$ et un élément $s \in
F(X)$ lorsque, pour tout objet $T$ et tout $t \in F(T)$, il existe un
unique $z\colon X \to T$ tel que $F(z)(s) = t$.

Avec cette définition, le foncteur d'oubli de la catégorie des groupes
(ou des groupes abéliens) vers les ensembles est représentable par le
groupe $\ZZ$ et l'élément $s = 1$ de celui-ci ; le foncteur d'oubli de
la catégorie des anneaux vers les ensembles est représentable par
l'anneau $\ZZ[s]$ et l'élément $s$ de celui-ci, etc.

\begin{proposition2}\label{unicite-objet-representant-foncteur}
Si un foncteur $F$ contravariant d'une catégorie $\categ{C}$ vers les
ensembles est représentable par un objet $X$ de $\categ{C}$ et un
élément $s \in F(X)$, et aussi par un objet $X'$ de $\categ{C}$ et un
élément $s' \in F(X')$, alors $X$ et $X'$ sont isomorphes par un
isomorphisme dont l'image par $F$ envoie $s'$ sur $s$, cet
isomorphisme étant uniquement déterminé par cette condition.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Le fait que $F$ soit représenté par $X$ et $s \in F(X)$ permet
d'affirmer qu'il existe un unique morphisme $z\colon X' \to X$ tel que
$F(z)(s) = s'$, et symétriquement il existe un unique morphisme
$z'\colon X \to X'$ tel que $F(z')(s') = s$.  On a alors $F(z\circ
z')(s) = s$ donc $z\circ z' = \Id_X$, et de même $z'\circ z =
\Id_{X'}$.  Ainsi, $z$ et $z'$ sont bien des isomorphismes réciproques
dont les images par $F$ envoient bien $s$ sur $s'$ et réciproquement,
et ils sont uniquement déterminés (même comme simples morphismes) par
ces conditions.
\end{proof}

Pour mieux mettre en lumière cette démonstration, si l'on préfère, on
peut faire intervenir, donné un foncteur $F \colon \categ{C}\op \to
\Ens$, la catégorie dont les objets sont les couples $(X,s)$ avec $X$
un objet de $\categ{C}$ et $s$ un élément de (l'ensemble) $F(X)$, un
morphisme de $(T,t)$ vers $(X,s)$ étant la donnée d'un morphisme
$z\colon T \to X$ dans $\categ{C}$ tel que $F(z)(s) = t$ (et la
composition des flèches provenant de celle de $\categ{C}$) : avec
cette définition, un objet $X$ (ou plus exactement, une
donnée $(X,s)$) représentant $F$ est un objet initial de la catégorie
en question, et l'unicité qu'on vient d'affirmer n'est autre que
l'unicité — à isomorphisme unique près — de l'objet universel.
Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
justifie qu'on parle, dans ce cas de \emph{l}'objet représentant le
foncteur $F$.  On peut évidemment faire les mêmes remarques pour la
représentation des foncteurs covariants.



\section{Limites et colimites}

\subsection{Définition de la limite}

\begin{definition2}\label{definition-systeme-projectif}
Si $\categ{I}$ est une catégorie, un \emph{système projectif indicé
  par $\categ{I}$} dans une catégorie $\categ{C}$ est un foncteur
$\categ{I} \to \categ{C}$ ; la catégorie $\categ{C}^{\categ{I}}$ des
systèmes projectifs de $\categ{C}$ indicés par $\categ{I}$ n'est autre
que la catégorie des foncteurs $\categ{I} \to \categ{C}$.  On appelle
\emph{foncteur diagonal} $\Delta \colon \categ{C} \to
\categ{C}^{\categ{I}}$ le foncteur envoyant un objet $X$
de $\categ{C}$ sur le foncteur $\Delta(X)$ constant de valeur $X$
(envoyant tout objet $i$ de $\categ{I}$ sur $X$ et tout morphisme $i
\to j$ de $\categ{I}$ sur $\Id_X$) et un morphisme $z\colon X \to Y$
de $\categ{C}$ sur la transformation naturelle $\Delta(z) \colon
\Delta(X) \to \Delta(Y)$ qui à tout objet $i$ de $\categ{I}$ associe
le morphisme $z\colon X\to Y$ lui-même.
\end{definition2}

Certains auteurs définissent les systèmes projectifs comme des
foncteurs contravariants plutôt que covariants : quitte à remplacer la
catégorie d'indices par son opposée, on voit que cela ne fait pas de
différence.

\begin{definition2}
Si $P$ est un système projectif de $\categ{C}$ indicé par $\categ{I}$,
un objet $X$ de $\categ{C}$ représentant le foncteur contravariant (de
$\categ{C}$ vers les ensembles)
$\Hom_{\categ{C}^{\categ{I}}}(\Delta(\tiret),P)$, muni de l'élément $s
\in \Hom_{\categ{C}^{\categ{I}}}(\Delta(X),P)$ (une transformation
naturelle $\Delta(X) \to P$) témoignant de ce fait, est appelé
\emph{limite} (ou \emph{limite projective}) du système projectif $P$,
et se note $\prlim P$ (ou $\prlim_{i\in\categ{I}} P(i)$).
\end{definition2}

Autrement dit, une limite du système projectif $P$ est la donnée d'un
objet $X$ de $\categ{C}$ et d'une transformation naturelle $s\colon
\Delta(X) \to P$ tels que pour tout objet $T$ de $\categ{C}$ et toute
transformation naturelle $t\colon \Delta(T) \to P$ il existe un unique
morphisme $z \colon T\to X$ pour lequel $t = s\circ \Delta(z)$.

Les transformations naturelles $t\colon \Delta(T) \to P$ s'appellent
parfois les \emph{cônes} de \emph{sommet $T$} et de \emph{base $P$} :
on peut donc dire, informellement, que la limite de $P$ est le sommet
universel d'un cône de base $P$.

Plutôt que de dire que la limite d'un système projectif $P \colon
\categ{I} \to \categ{C}$ « existe » dans la catégorie $\categ{C}$, on
préfère généralement (en pensant à
$\Hom_{\categ{C}^{\categ{I}}}(\Delta(\tiret),P)$ lui-même comme étant
la limite) dire qu'elle \emph{est représentable} dans $\categ{C}$.  Le
fait que cette terminologie soit cohérente avec la philosophie du
lemme de Yoneda sera démontré dans la
proposition \ref{limites-et-yoneda} plus bas.

On peut également souhaiter voir la limite d'un système projectif
comme un objet terminal dans une certaine catégorie : pour cela, si $P
\colon \categ{I} \to \categ{C}$ est un système projectif, on introduit
la catégorie (qu'on peut décrire comme $\Delta \uparrow
\Hom(\categ{I},\categ{C}) \downarrow P$ avec les notations
de \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation}) dont les
objets sont les cônes de base $P$, c'est-à-dire les données formées
d'un objet $X$ de $\categ{C}$ et d'une transformation
naturelle $s\colon \Delta(X) \to P$, les morphismes de $(T,t)$
vers $(X,s)$ étant les morphismes $z\colon T \to X$ dans $\categ{C}$
tels que $t = s\circ \Delta(z)$.  Alors une limite de $P$ n'est autre
qu'un objet terminal dans la catégorie en question : il s'agit du cône
terminal de base $P$.

La proposition \ref{unicite-objet-representant-foncteur} ou, compte
tenu de la description qu'on vient de faire de la limite comme un
objet terminal, l'unicité de l'objet terminal, permettent de dire que
la limite — comme toute solution de problème universel — est
unique à isomorphisme près, cet isomorphisme étant unique compte tenu
des contraintes imposées (en l'occurrence, les morphismes $P(i)$).
Les remarques faites en \ref{blabla-unicite-objet-universel} plus haut
justifie qu'on parle, donc, de \emph{la} limite d'un système projectif
(plutôt que simplement d'\emph{une} limite).

Plus concrètement, un système projectif $P$ est la donnée pour chaque
objet $i$ de $\categ{I}$ d'un objet $P(i)$ de $\categ{C}$ et pour
chaque morphisme $i \to j$ de $\categ{I}$ d'un morphisme correspondant
$P(i\to j)$ de $\categ{C}$ de façon compatible aux identités et à la
composition ; la limite d'un tel système est la donnée (« cône ») d'un
objet $X$ de $\categ{C}$ et pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$ d'un
morphisme $s(i)\colon X \to P(i)$, de façon à commuter aux morphismes
$P(i\to j)$ imposés par le système, de sorte que pour n'importe quelle
autre donnée (« cône ») d'un objet $T$ et d'une collection compatible
$t$ de morphismes $t(i)\colon T\to P(i)$ il existe un unique morphisme
$z\colon T\to X$ pour lequel on ait $t(i) = s(i) \circ z$ pour
tout $i$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
&&P(i)\\T&X&\\&&P(j)\\};
\draw[->] (diag-2-1) to [out=60,in=180] node{$\scriptstyle t(i)$} (diag-1-3);
\draw[->] (diag-2-2) -- node[auto=false,above left=-.5ex]{$\scriptstyle s(i)$} (diag-1-3);
\draw[->] (diag-2-1) to [out=300,in=180] node[swap]{$\scriptstyle t(j)$} (diag-3-3);
\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap,auto=false,below left=-.5ex]{$\scriptstyle s(j)$} (diag-3-3);
\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle P(i\to j)$} (diag-3-3);
\draw[->,dotted] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Cas particuliers de limites}

Le foncteur identité $\Id_{\categ{C}}\colon \categ{C} \to \categ{C}$
d'une catégorie $\categ{C}$ possède une limite si et seulement si la
catégorie $\categ{C}$ admet un objet initial $\bot$, auquel cas la
limite est justement cet objet $\bot$, muni de la transformation
naturelle $\Delta(\bot) \to \Id_{\categ{C}}$ qui à chaque objet $i$
de $\categ{C}$ associe l'unique morphisme $\bot \to i$.

Lorsque la catégorie d'indice $\categ{I}$ possède un objet
initial $\bot$, alors tout système projectif $P$ indicé
par $\categ{I}$ (à valeurs dans n'importe quelle catégorie) admet une
limite, à savoir $P(\bot)$, muni des morphismes $s(i) \colon P(\bot)
\to P(i)$ déduits de $\bot \to i$ (unique morphisme ayant cette source
et ce but) par application de $P$.  En effet, donné tout autre
objet $T$ et toute autre collection compatible de morphismes $t(i)
\colon T \to P(i)$, on a notamment un $z = t(\bot) \colon T \to
P(\bot)$, qui vérifie $t(i) = s(i) \circ z$ par hypothèse, et qui est
manifestement le seul à pouvoir le vérifier (puisque notamment ceci
implique $t(\bot) = z$).

\subsubsection{Limites indicées par un ensemble (pré)ordonné}\label{limite-indices-ensemble-preordonne}
Lorsque la catégorie d'indice $\categ{I}$ est un ensemble
(pré)ordonné $I$, considéré comme une catégorie en décrétant qu'il y a
une seule flèche $j \to i$ lorsque $i \leq j$ (on notera que la
convention faite ici, habituelle pour les systèmes projectifs, est
l'opposée de celle faite
en \ref{exemple-categorie-ensemble-preordonne}), on obtient la notion
de limite projective indicée par l'ensemble (pré)ordonné $I$.  La
donnée du système est donc celle d'une famille $(P_i)$ d'objets
de $\categ{C}$ et d'une famille $f_{ij} \colon P_j \to P_i$ de
flèches, indicée par les couples $(i,j)$ tels que $i \leq j$, et
vérifiant $f_{ij} \circ f_{jk} = f_{ik}$ lorsque $i\leq j \leq k$ ; la
limite d'un tel système est alors la donnée d'un objet $X$
de $\categ{C}$ ainsi que pour chaque $i$ d'un morphisme $p_i \colon X
\to P_i$ tels que $f_{ij} \circ p_j = p_i$ pour tous $i\leq j$ et tels
que pour toute autre donnée d'un objet $T$ et de morphismes $t_i
\colon T \to P_i$ vérifiant la même relation $f_{ij} \circ t_j = t_i$
il existe un unique $z \colon T \to X$ vérifiant $t_i = p_i \circ z$
pour chaque $i$.

Un cas particulier\label{limite-produit} est obtenu lorsque l'ensemble ordonné $I$ est muni
de l'ordre trivial, c'est-à-dire qu'on n'a $i \leq j$ que lorsque $i =
j$, la catégorie n'ayant donc que les morphismes identité : un système
projectif indicé par $I$ n'est alors qu'une famille indicée par $I$
d'objets $P_i$, et la limite porte dans ce cas aussi le nom de
\emph{produit}, et se note $\prod_{i \in I} P_i$.
Autrement dit, le produit d'une famille $(P_i)$
d'objets de $\categ{C}$ est la donnée d'un objet $X$ de $\categ{C}$
ainsi que pour chaque $i$ d'un morphisme $p_i \colon X \to P_i$ tels
que pour toute donnée d'un objet $T$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme
$t_i \colon T \to P_i$ pour chaque $i \in I$ il existe un unique $z
\colon T \to X$ vérifiant $t_i = p_i\circ z$ pour chaque $i$.

\begin{exemple2}
Dans la catégorie des ensembles, le produit d'une famille $(P_i)$
d'ensembles est le produit cartésien usuel $X = \prod_{i\in I} P_i$ :
les applications $s_i \colon X \to P_i$ dont il est muni étant les
projections sur les différents facteurs.

Toujours dans la catégorie des ensembles, la limite d'un système
projectif $((P_i),(f_{ij}))$ indicé par un ensemble ordonné (ou
simplement préordonné) $I$ est le sous-ensemble $X$ de $\prod_{i\in I}
P_i$ formé des $(x_i) \in \prod_{i\in I} P_i$ tels quel $f_{ij}(x_j) =
x_i$ pour tous $i\in j$.  (On verra dans la
proposition \ref{limites-ensembles} comment construire de façon plus
générale les limites dans les ensembles.)

Ces descriptions fonctionnent encore dans différentes catégories de
structures algébriques : groupes, groupes abéliens, $A$-modules,
anneaux, etc. : le produit (ou, en fait, plus généralement, toute
limite projective) dans la catégorie des groupes a pour ensemble
sous-jacent le produit (ou plus généralement la limite) des ensembles
sous-jacents des facteurs du produit (ou de la limite).  (On
expliquera plus loin une raison pour laquelle, comme on vient de le
décrire, le foncteur d'oubli de ces catégories algébriques vers la
catégorie des ensembles préserve les limites.)
\end{exemple2}

\subsubsection{Points fixes}
Lorsque la catégorie $\categ{I}$ a un unique objet $\bullet$ et que
l'ensemble des morphismes $\bullet \to \bullet$ forme un groupe $G$
(cf. exemple \ref{exemple-categorie-groupe-groupoide}), la donnée d'un
système projectif indicé par $\categ{I}$ dans une
catégorie $\categ{C}$ équivaut à celle d'un objet $P = P_\bullet$
de $\categ{C}$ ainsi que d'une \emph{action} de $G$ sur $P$,
c'est-à-dire d'un morphisme de groupe $\varphi\colon G \to
\Aut_{\categ{C}}(P)$.  La limite d'un tel système se note $\Fix_G(P)$
(certains auteurs utilisent $P^G$) et s'appelle objet des points fixes
pour l'action donnée de $G$ sur $P$ : il s'agit donc de la donnée d'un
objet $X$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme $s\colon X \to P$ tel que
$g s = s$ pour tout $g \in G$ (en notant, par abus de langage, $g s$
pour $\varphi(g)\circ s$) et tel que pour tout autre morphisme $t
\colon T \to P$ vérifiant $g t = t$ pour tout $g\in G$ il existe un
unique $z \colon T \to X$ pour lequel $t = s \circ z$.  Dans la
catégorie des ensembles, on a bien $\Fix_G(P) = \{x \in P : (\forall
g\in G) \, gx = x\}$ (sous-entendu muni de l'inclusion $s \colon
\Fix_G(P) \to P$ de cet ensemble dans l'ensemble $P$ tout entier).

\subsubsection{Égalisateurs}\label{egalisateur}
Lorsque la catégorie $\categ{I}$ est la catégorie
$\tikz[auto,baseline=(o1.base)]{\node(o1) at (0,0) {$\astrosun$};
  \node(o2) at (3.5em,0) {$\leftmoon$}; \draw[->] (o1) to
       [out=15,in=165] (o2); \draw[->] (o1) to [out=-15,in=-165]
       (o2);}$ ayant deux objets $\astrosun$ et $\leftmoon$ et
seulement deux flèches du premier vers le second, c'est-à-dire
$\Hom(\astrosun, \astrosun) = \{\Id_{\astrosun}\}$, $\Hom(\leftmoon,
\leftmoon) = \{\Id_{\leftmoon}\}$, $\Hom(\leftmoon, \astrosun) =
\varnothing$ et $\Hom(\astrosun, \leftmoon) = \{\star_1, \star_2\}$,
alors la donnée d'un système projectif indicé par $\categ{I}$ dans une
catégorie $\categ{C}$ équivaut à la donnée de deux morphismes
$f_1,f_2\colon P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ entre les deux mêmes
objets $P_{\astrosun},P_{\leftmoon}$ de $\categ{C}$.  Une limite d'un
tel système est la donnée d'un objet $X$ et d'un morphisme
$s_{\astrosun} \colon X \to P_{\astrosun}$ (ou souvent, on dira que
$s_{\astrosun}$ lui-même est l'égalisateur) vérifiant $f_1 \circ
s_{\astrosun} = f_2 \circ s_{\astrosun}$ (les deux constituant la
donnée de $s_{\leftmoon} \colon X \to P_{\leftmoon}$) tels que pour
tout objet $T$ et tout morphisme $t_{\astrosun} \colon T \to
P_{\astrosun}$ vérifiant $f_1 \circ t_{\astrosun} = f_2 \circ
t_{\astrosun}$ il existe un unique $z\colon T\to X$ vérifiant
$t_{\astrosun} = s_{\astrosun} \circ z$ : on dit alors que $X$, et le
morphisme $s_{\astrosun}\colon X\to P_{\astrosun}$ donné avec lui,
s'appelle un \emph{égalisateur} des deux morphismes $f_1,f_2$.

Plus généralement, l'égalisateur d'une famille quelconque $(f_i)_{i\in
  I}$ de morphismes $P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ dans une
catégorie $\categ{C}$ est la limite du système projectif indicé par la
catégorie $\categ{I}$ ayant deux objets $\astrosun$ et $\leftmoon$ et,
outre les identités sur ceux-ci, exactement une flèche $\star_i \colon
\astrosun \to \leftmoon$ pour chaque $i\in I$, et qui envoie
$\astrosun$ sur $P_{\astrosun}$ et $\leftmoon$ sur $P_{\leftmoon}$ et
chaque $\star_i$ sur $f_i$ ; c'est-à-dire que l'égalisateur est la
donnée d'un objet $X$ de $\categ{C}$ et d'un morphisme
$s_{\astrosun}\colon X \to P_{\astrosun}$ pour lequel $s_{\leftmoon} =
f_i \circ s_{\astrosun}$ ne dépend pas de $i$ et tel que pour toute
autre donnée d'un morphisme $t_{\astrosun} \colon T \to P_{\astrosun}$
où $f_i \circ t_{\astrosun}$ ne dépende pas de $i$, il existe un
unique $z\colon T\to X$ vérifiant $t_{\astrosun} = s_{\astrosun} \circ
z$.

\begin{exemple2}
Dans la catégorie des ensembles, l'égalisateur d'une famille
$f_i\colon P_{\astrosun} \to P_{\leftmoon}$ d'applications entre deux
mêmes ensembles n'est autre que le sous-ensemble $X$
de $P_{\astrosun}$ formé des $x \in P_{\astrosun}$ tels que $f_i(x)$
soit une fonction constante de $i$, l'application $s_{\astrosun}\colon
X \to P_{\astrosun}$ étant alors simplement l'inclusion.

De nouveau, cette construction fonctionne encore dans diverses
catégories de structures algébriques : groupes, anneaux, etc.
\end{exemple2}

\subsubsection{Produits fibrés}\label{limite-produit-fibre}

Lorsque la catégorie $\categ{I}$ est la catégorie
$\tikz[auto,baseline=(o1.base)]{\node(o1) at (0,0) {$\star_1$};
  \node(o0) at (3em,0) {$\bullet$}; \node(o2) at (6em,0) {$\star_2$};
  \draw[->] (o1) -- (o0); \draw[->] (o2) -- (o0);}$ ayant trois objets
$\star_1,\star_2,\bullet$ et, outre les identités, exactement une
flèche $\star_i \to \bullet$ pour chaque $i \in \{1,2\}$, un système
projectif indicé par $\categ{I}$ dans une catégorie $\categ{I}$ est la
donnée de trois objets $P_1,P_2,S$ de $\categ{C}$ ainsi que deux
morphismes $f_1\colon P_1\to S$ et $f_2\colon P_2\to S$.  La limite
d'un tel système est la donnée d'un objet $X$ de $\categ{C}$ ainsi que
de deux morphismes $p_1 \colon X \to P_1$ et $p_2 \colon X \to P_2$
(et, si on veut, $p_S \colon X \to S$) vérifiant $f_1\circ p_1 = p_S =
f_2\circ p_2$ et tels que pour toute donnée d'un autre objet $T$ et de
morphismes $t_1\colon T \to P_1$ et $t_2\colon T\to P_2$ vérifiant
$f_1\circ t_1 = f_2 \circ t_2$ il existe un unique $z\colon T \to X$
pour lequel $t_1 = p_1\circ z$ et $t_2 = p_2\circ z$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
T&[-2em]&\\&X&P_1\\&P_2&S\\};
\draw[->] (diag-2-2) -- node{$p_2$} (diag-3-2);
\draw[->] (diag-2-3) -- node{$f_1$} (diag-3-3);
\draw[->] (diag-2-2) -- node{$p_1$} (diag-2-3);
\draw[->] (diag-3-2) -- node{$f_2$} (diag-3-3);
\draw[->] (diag-1-1) to [out=0,in=135] node{$t_1$} (diag-2-3);
\draw[->] (diag-1-1) to [swap,out=270,in=135] node{$t_2$} (diag-3-2);
\draw[->,dotted] (diag-1-1) -- node{$z$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Dans ces conditions, l'objet $X$ muni des deux morphismes $p_1$ et
$p_2$ est appelé \emph{produit fibré} de $P_1$ et $P_2$ au-dessus
de $S$ par les morphismes $f_1$ et $f_2$ : on le note $P_1 \times_S
P_2$ ; on dit encore parfois que $p_2\colon P_1 \times_S P_2 \to P_2$
est le \emph{tiré en arrière} de $f_1\colon P_1 \to S$ par $f_2 \colon
P_2 \to S$.

On peut facilement vérifier que, si on suppose exister le produit $P_1
\times P_2$ des objets $P_1$ et $P_2$, dont on notera $\pi_1\colon P_1
\times P_2 \to P_1$ et $\pi_2\colon P_1\times P_2 \to P_2$ les
morphismes dont il est muni, alors l'unique application $e\colon P_1
\times_S P_2 \to P_1 \times P_2$ telle que $p_1 = \pi_1\circ e$ et
$p_2 = \pi_2\circ e$ est l'égalisateur des morphismes $f_1\circ \pi_1$
et $f_2\circ \pi_2$ : cette remarque permettant de comprendre le
produit fibré $P_1 \times_S P_2$ à partir du produit simple $P_1
\times P_2$ et de l'égalisateur de deux morphismes $P_1 \times P_2 \to
S$ est un cas particulier d'un résultat général qui sera démontré
en \ref{limites-par-produits-et-egalisateurs} plus bas.

On peut également vérifier que le morphisme $p_S\colon P_1\times_S P_2
\to S$ (égal à la fois à $f_1\circ p_1$ et $f_2\circ p_2$) est le
produit, dans la catégorie $\categ{C}\downarrow S$, des morphismes
$f_1$ et $f_2$ vus comme des objets de $\categ{C}\downarrow S$.

Ces résultats se généralisent aisément aux produits fibrés d'une
famille quelconque d'objets au-dessus d'un objet $S$.

\subsection{Fonctorialité des limites}

\begin{proposition2}
Soient $P,P' \colon \categ{I} \to \categ{C}$ deux systèmes projectifs
ayant mêmes catégories d'indice et de valeurs, et soit $h\colon P \to
P'$ un isomorphisme entre eux.  Alors un objet $X$ de $\categ{C}$ muni
d'un morphisme $s\colon \Delta(X) \to P$ est limite de $P$ si et
seulement si $X$ muni de $h\circ s\colon \Delta(X) \to P'$ est limite
de $P'$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Supposons que $P$ admette une limite donnée par $X$ muni de $s\colon
\Delta(X) \to P$, et on va montrer que ce même $X$ muni de $h\circ s
\colon \Delta(X) \to P'$ est limite de $P'$.  Si $t\colon \Delta(T)
\to P'$ est un morphisme, alors, en notant $h^{-1}$ la réciproque
de $h$, on a une flèche $h^{-1}\circ t \colon \Delta(T) \to P$, et
d'après la propriété universelle de $(X,s)$, il existe un unique
$z\colon T \to X$ tel que $h^{-1} \circ t = s \circ \Delta(z)$,
c'est-à-dire $t = h\circ s \circ \Delta(z)$, ce qu'on voulait
démontrer.

Pour montrer l'implication réciproque, il suffit d'utiliser la
symétrie de la situation en appliquant ce qui précède à $h^{-1}$ avec
$h\circ s$ et $h^{-1}\circ (h\circ s) = s$.
\end{proof}

\subsubsection{}\label{introduction-fonctorialite-limites-indices}
On se demande maintenant, si on dispose d'un système projectif
$P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ et d'un foncteur $V\colon
\categ{I}'\to \categ{I}$, ce qu'on peut dire des limites de $P$ et $P
\circ V$ l'une par rapport à l'autre.  Remarquons que si les deux
limites existent, disons que $X$ muni de $s\colon
\Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ soit limite de $P$ et $X'$ muni de
$s'\colon \Delta_{\categ{I}'}(X') \to P\circ V$ limite de $P\circ V$,
alors en appliquant la propriété universelle de $s'$ au morphisme
$s\boxempty V \colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\circ V$, on voit
qu'il existe un morphisme uniquement défini $\varsigma \colon X \to
X'$ tel que $s\boxempty V = s' \circ \Delta_{\categ{I}'}(\varsigma)$.
On va définir une propriété sur $V$ qui assure que (1) l'existence
d'une quelconque des limites garantit celle de l'autre et (2) lorsque
c'est le cas, le morphisme $\varsigma$ en question est un
isomorphisme.

\begin{definition2}\label{definition-foncteur-initial}
Un foncteur $V\colon \categ{I}' \to \categ{I}$ est dit \emph{initial}
lorsque, pour chaque $i \in \ob\categ{I}$, la catégorie
$V\uparrow\categ{I}\downarrow i$ (définie
en \ref{definition-categorie-au-dessus-generalisation}) est non vide
et (faiblement) connexe (cf. \ref{definition-categorie-connexe}).
Autrement dit, cela signifie que pour chaque objet $i$
de $\categ{I}$ : (a) il existe un objet $i'$ de $\categ{I}'$ et un
morphisme $V(i') \to i$ (dans $\categ{I}$), et (b) pour deux telles
données $V(i') \to i$ et $V(i'') \to i$, il est possible de les
compléter en un diagramme
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2.5em,row sep=5ex]{
V(i')&V(i'_2)&V(i'_3)&\;\vphantom{V(i')}\cdots\;&V(i'_{2n-1})&V(i'_{2n})&V(i'')\\
i&i&i&\;\vphantom{i}\cdots\;&i&i&i\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
\draw[->] (diag-1-5) -- (diag-2-5);
\draw[->] (diag-1-6) -- (diag-2-6);
\draw[->] (diag-1-7) -- (diag-2-7);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle V(\alpha_1)$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$\scriptstyle V(\beta_1)$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle V(\alpha_2)$} (diag-1-4);
\draw[->] (diag-1-5) -- node[swap]{$\scriptstyle V(\beta_{n-1})$} (diag-1-4);
\draw[->] (diag-1-5) -- node{$\scriptstyle V(\alpha_n)$} (diag-1-6);
\draw[->] (diag-1-7) -- node[swap]{$\scriptstyle V(\beta_n)$} (diag-1-6);
\draw[double] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
\draw[double] (diag-2-3) -- (diag-2-2);
\draw[double] (diag-2-3) -- (diag-2-4);
\draw[double] (diag-2-5) -- (diag-2-4);
\draw[double] (diag-2-5) -- (diag-2-6);
\draw[double] (diag-2-7) -- (diag-2-6);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{definition2}

L'intérêt des foncteurs initiaux est la propriété suivante, qui
s'exprime intuitivement en disant que les cônes sur $P\circ V$ et les
cônes sur $P$ de même sommet se correspondent bijectivement, et
surtout la propriété sur les limites qui en découlera :

\begin{proposition2}\label{prolongement-cones-foncteur-initial}
Soit $\categ{C}$ une catégorie et $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
système projectif indicé par une catégorie $\categ{I}$.  Soit $V\colon
\categ{I}' \to \categ{I}$ un foncteur initial.  Alors pour toute
transformation naturelle $t\colon \Delta_{\categ{I}'}(T) \to P\circ V$
(où $T$ est un objet de $\categ{C}$ et $\Delta_{\categ{I}'}(T)$ le
foncteur constant $\categ{I}'\to \categ{C}$ de valeur $T$), il existe
une unique transformation naturelle $\hat t \colon
\Delta_{\categ{I}}(T) \to P$ vérifiant $t = \hat t\boxempty V$.

De plus, si $\hat t_1\colon \Delta_{\categ{I}}(T_1) \to P$ et $\hat
t_2\colon \Delta_{\categ{I}}(T_2) \to P$ sont deux transformations
naturelles, et si on pose $t_1 = \hat t_1 \boxempty V$ et $t_2 = \hat
t_2 \boxempty V$, alors un morphisme $z\colon T_1 \to T_2$ de
$\categ{C}$ vérifie $t_1 = t_2 \circ \Delta_{\categ{I}'}(z)$ si et
seulement si $\hat t_1 = \hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$.

(Ces deux affirmations se résument en disant que le foncteur de la
catégorie $\Delta_{\categ{I}} \uparrow \Hom(\categ{I},\categ{C})
\downarrow P$ des cônes de base $P$ vers la catégorie
$\Delta_{\categ{I}'} \uparrow \Hom(\categ{I}',\categ{C}) \downarrow
P\circ V$ des cônes de base $P\circ V$, qui à un cône $(T,\hat t)$
(c'est-à-dire un objet $T$ de $\categ{C}$ et un morphisme $\hat
t\colon \Delta_{\categ{I}}(T) \to P$) associe $(T, \hat t\boxempty
V)$, et à un morphisme $z\colon (T_1, \hat t_1) \to (T_2, \hat t_2)$
(c'est-à-dire un morphisme $z\colon T_1 \to T_2$ tel que $\hat t_1 =
\hat t_2\circ \Delta_{\categ{I}}(z)$) associe $z\colon (T_1, \hat
t_1\boxempty V) \to (T_2, \hat t_2\boxempty V)$, est un isomorphisme
de catégories.)
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour plus de clarté, on notera, dans cette démonstration, $P\boxempty
V$ plutôt que $P\circ V$, la composée des foncteurs.

Montrons d'abord l'affirmation sur les objets $(T,t)$.

Pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$, l'hypothèse faite sur $V$ assure
qu'il existe un morphisme $V(i') \to i$ : choisissons un tel morphisme
$\gamma'$, et posons $\hat t(i) = P(\gamma')\circ t(i')$ (comme cela
est imposé par la condition recherchée).  L'hypothèse de connexité de
$V\uparrow\categ{I}\downarrow i$ assure que $\hat t(i)$ ne dépend pas
du $V(i') \to i$ choisi : si $\gamma'' \colon V(i'') \to i$ est un
autre tel choix, on a $P(\gamma'')\circ t(i'') = P(\gamma') \circ
t(i')$, comme l'atteste le diagramme suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=5em,row sep=5ex]{
T&T\\P(V(i'))&P(V(i''))\\P(i)&P(i)\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle t(i')$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$\scriptstyle P(\gamma')$} (diag-3-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle t(i'')$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-2-2) -- node{$\scriptstyle P(\gamma'')$} (diag-3-2);
\draw[double] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
\draw[draw=none] (diag-2-1) to node [pos=0.5,auto=false] (mid) {$\cdots$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- (mid);
\draw[->] (diag-2-2) -- (mid);
\draw[double] (diag-3-1) -- (diag-3-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
En particulier, lorsque $i = V(i')$ pour un certain objet $i'$
de $\categ{I}'$, on peut choisir $\gamma' = \Id_{V(i')}$ et on a $\hat
t (V(i')) = t(i')$.  Par ailleurs, si $\varphi\colon i_1 \to i_2$ est
un morphisme de $\categ{I}$, alors une fois choisi $\gamma'_1\colon
V(i') \to i_1$ comme ci-dessus, on peut considérer la composée
$\gamma'_2 \colon V(i') \buildrel{\gamma'_1}\over\to i_1
\buildrel\varphi\over\to i_2$ et la remarque faite ci-dessus assure
que $P(\varphi)\circ \hat t(i_1) = \hat t(i_2)$ : c'est-à-dire que
$\hat t$ est bien une transformation naturelle.  On a déjà remarqué
que pour tout $i'$ on a $t(V(i')) = t(i')$, c'est-à-dire $\hat t
\boxempty V = t$.  Enfin, comme la condition $\hat t(i) =
P(\gamma')\circ t(i')$ (lorsque $\gamma'\colon V(i') \to i$ est un
morphisme), était imposée par le fait que $\hat t$ soit une
transformation naturelle $\Delta_{\categ{I}}(T) \to P$ vérifiant
$t(i') = \hat t(V(i'))$, le $\hat t$ qu'on vient de construire était
le seul possible.

Montrons maintenant l'affirmation sur les morphismes $(T_1,t_1) \to
(T_2,t_2)$.  Avec les notations de l'énoncé, si $z$ vérifie $\hat t_1
= \hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$, on a évidemment $(\hat
t_1\boxempty V) = (\hat t_2 \boxempty V) \, \circ \,
(\Delta_{\categ{I}}(z) \boxempty V)$, c'est-à-dire $t_1 = t_2 \circ
\Delta_{\categ{I}'}(z)$.  Réciproquement, si cette dernière égalité
est vraie, alors $\hat t_1$ et $\hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$
sont deux transformations naturelles $\Delta_{\categ{I}}(T) \to P$
dont la $\boxempty$-composition à droite par $V$ donne le même $t_1 =
t_2 \circ \Delta_{\categ{I}'}(z) \colon \Delta_{\categ{I}'}(T) \to
P\boxempty V$, et d'après ce qu'on vient de prouver, cela implique
$\hat t_1 = \hat t_2 \circ \Delta_{\categ{I}}(z)$.
\end{proof}

\begin{corollaire2}\label{limites-indices-foncteur-initial}
Soit $\categ{C}$ une catégorie et $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
système projectif indicé par une catégorie $\categ{I}$.  Soit $V\colon
\categ{I}' \to \categ{I}$ un foncteur
initial (cf. \ref{definition-foncteur-initial}).  Alors :
\begin{itemize}
\item le système projectif $P$ a une limite si et seulement si $P\circ
  V$ en a une,
\item lorsque c'est le cas, si $X$ muni de $s \colon
  \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ est limite de $P$ et $X'$ muni de $s'
  \colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P \circ V$ est limite de $P\circ
  V$, alors l'unique morphisme $\varsigma \colon X \to X'$ tel que
  $s\boxempty V = s' \circ \Delta_{\categ{I}'}(\varsigma)$
  (cf. \ref{introduction-fonctorialite-limites-indices}) est un
  isomorphisme ;
\item plus précisément, un objet $X$ de $\categ{C}$ muni d'un
  morphisme $s\colon \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ est limite de $P$ si
  et seulement si ce même $X$ muni de $s\boxempty V\colon
  \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\circ V$ est limite de $P\circ V$,
\item de façon équivalente, un objet $X$ de $\categ{C}$ muni d'un
  morphisme $s'\colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\circ V$ est limite
  de $P\circ V$ si et seulement si ce même $X$ muni de l'unique $\hat
  s'\colon \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ tel que $s' = \hat s'\boxempty
  V$ (dont l'existence est garantie par la
  proposition \ref{prolongement-cones-foncteur-initial}) est limite
  de $P\circ V$.
\end{itemize}
\end{corollaire2}
\begin{proof}
Le lemme \ref{prolongement-cones-foncteur-initial} assure que la
catégorie des cônes $\hat t\colon \Delta_{\categ{I}}(X) \to P$ sur $P$
et celle des cônes $t\colon \Delta_{\categ{I}'}(X) \to P\boxempty V$
sont isomorphes par le foncteur envoyant $\hat t$ sur $t = \hat t
\boxempty V$.  Comme la limite de $P$ et celle de $P\circ V$ sont
définies comme les objets terminaux de ces deux catégories, toutes les
affirmations énoncées sont claires.
\end{proof}

Une façon de prouver qu'un foncteur est initial est d'utiliser la
proposition suivante :

\begin{proposition2}\label{foncteur-presque-quasi-inverse-initial}
Soient $V\colon \categ{I}\to\categ{I}'$ et $V'\colon
\categ{I}\to\categ{I}'$ deux foncteurs et soit $k\colon V\circ V' \to
\Id_{\categ{I}}$ une transformation naturelle : alors $V$ est un
foncteur initial.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $i$ est un objet de $\categ{I}$, on dispose d'une flèche $k(i)
\colon V(i') \to i$ où $i' = V'(i)$.  Si $\lambda\colon V(i'') \to i$
est un autre morphisme avec $i''$ un objet de $\categ{I}'$, la
naturalité de $k$ montre $k(i)\circ V(V'(\lambda)) = \lambda\circ
k(V(i''))$.  Autrement dit, le diagramme suivant commute :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
V(i'')&V(V'(V(i'')))&V(i')\\
i&i&i\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \lambda$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle k(i)$} (diag-2-3);
\draw[->] (diag-1-2) -- node[swap]{$\scriptstyle k(V(i''))$} (diag-1-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle V(V'(\lambda))$} (diag-1-3);
\draw[double] (diag-2-2) -- (diag-2-1);
\draw[double] (diag-2-2) -- (diag-2-3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{proof}

En particulier, une équivalence de catégories est un foncteur initial
(cf. la proposition \ref{equivalence-categories} et les commentaires
qui suivent sa démonstration).

\subsection{Existence de limites}

Il n'est évidemment pas vrai que tout foncteur $P \colon \categ{I} \to
\categ{C}$ admette une limite : par exemple, dans toute catégorie
n'admettant pas d'objet initial (et il est facile d'en donner : celle
des ensembles non vides par exemple), le foncteur identité n'admet pas
de limite.

Dans la catégorie des ensembles, cependant, toutes les limites
existent, à ceci près qu'il faut tenir compte des difficultés sur la
taille des objets signalées plus haut en \ref{blabla-univers} :

\begin{proposition2}\label{limites-ensembles}
Soit $\Ens$ la catégorie des ensembles, et $\categ{I}$ une catégorie
« petite » en ce sens qu'elle appartient à $\ob\Ens$ en tant
qu'ensemble\footnote{Selon la solution adoptée pour les problèmes
  ensemblistes, cela peut signifier que $\categ{I}$ est un ensemble
  plutôt qu'une classe propre, ou bien que $\categ{I}$ appartient à
  l'univers $\mathfrak{U}$ sous-entendu par $\Ens$.  Concrètement, on
  a besoin de pouvoir former $\prod_i P_i$ pour toute famille $P_i$
  d'objets de $\Ens$ indicée par les objets ou par les flèches
  de $\categ{I}$.}, ou même simplement équivalente à une catégorie
« petite » : alors tout système projectif $P\colon \categ{I} \to
\categ{Ens}$ admet une limite.

Plus précisément, si $\categ{I}$ est une catégorie « petite » et
$P\colon\categ{I} \to\Ens$ un foncteur, alors $\prlim P$ peut être
décrit comme l'ensemble des familles $(x_i)$, indicées par les
objets $i$ de $\categ{I}$, d'éléments de $P(i)$, « compatibles » au
sens que si $u\colon j \to i$ est une flèche dans $\categ{I}$, alors
$P(u)(x_j) = x_i$, muni du morphisme $s\colon \Delta_{\categ{I}}(X)
\to P$ envoyant, pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$, la famille
$(x_j)_{j \in \ob\categ{I}}$ sur $x_i$.
\end{proposition2}

\begin{proof}
En supposant que $\categ{I}$ est petite, soit $Q = \prod_{i \in
  \ob\categ{I}} P(i)$ le produit des $P(i)$ pour tout objet $i$
de $\categ{I}$, et $X$ le sous-ensemble de $Q$ formé des familles
$(x_i) \in Q$ telles que pour toute flèche $u\colon j \to i$
de $\categ{I}$ on ait $x_i = P(u)(x_j)$.  Enfin, appelons $s(i)\colon X
\to P(i)$ l'application envoyant $(x_i) \in X$ sur $x_i \in P(i)$.  La
définition de $X$ (comme sous-ensemble de $Q$) fait que $s$ est bien
une transformation naturelle $\Delta(X) \to P$.  Si $t \colon
\Delta(T) \to P$ est une autre transformation naturelle, alors on peut
définir une application $T \to Q$ par $\tau \mapsto (t(i)(\tau))_{i
  \in \ob\categ{I}}$ pour tout $\tau \in T$ : le fait que $t$ soit
naturelle garantit précisément que la famille $(t(i)(\tau))$ tombe en
fait dans $X$, c'est-à-dire qu'on a défini une application $z\colon T
\to X$, qui vérifie $t = s \circ \Delta(z)$ par construction, et qui
était la seule à pouvoir vérifier cette relation.  Ceci prouve bien
que $X$ est la limite recherchée.

Si $\categ{I}$ est seulement supposée équivalente à une petite
catégorie $\categ{I}_0$, le
corollaire \ref{limites-indices-foncteur-initial}
(cf. \ref{foncteur-presque-quasi-inverse-initial} et la remarque qui
suit) permet de conclure.
\end{proof}

L'hypothèse que $\categ{I}$ soit petite ne peut évidemment pas être
omise dans cette proposition : si $I$ est une catégorie qui n'est pas
petite et qui n'a pas d'autre morphismes que les identités sur les
objets (c'est-à-dire, selon les conventions ensemblistes faites, une
classe propre vue comme une catégorie, ou bien un ensemble
n'appartenant pas à l'univers provisoirement choisi), alors le produit
du système projectif défini par le foncteur constant $\categ{I} \to
\Ens$ envoyant chaque élément sur l'ensemble à deux éléments serait en
bijection avec l'ensemble des parties (des objets) de $\categ{I}$.

\begin{proposition2}\label{limites-point-par-point}
Soient $\categ{H}$ et $\categ{C}$ deux catégories, et $\Hom(\categ{H},
\categ{C})$ la catégorie des foncteurs $\categ{H} \to \categ{C}$.
Soit enfin $\categ{I}$ une catégorie d'indices et soit $P \colon
\categ{I} \to \Hom(\categ{H}, \categ{C})$ un système projectif indicé
par $\categ{I}$ à valeurs dans $\Hom(\categ{H}, \categ{C})$.  On
suppose que, pour tout objet $a$ de $\categ{H}$, le système projectif
$P(a) \colon \categ{I} \to \categ{C}$ (obtenu par application
partielle à $a$ de $P$ vu comme foncteur de deux variables $\categ{I}
\times \categ{H} \to \categ{C}$) admet une limite $L(a)$, munie d'un
morphisme $s(a)\colon \Delta(L(a)) \to P(a)$ (de foncteurs $\categ{I}
\to \categ{C}$) : alors il existe une unique façon de faire de $L$ un
foncteur $\categ{H} \to \categ{C}$ de façon que les morphismes
$s(a)\colon \Delta(L(a)) \to P(a)$ donnés avec les limites $L(a)$
constituent une transformation naturelle $s\colon \Delta(L) \to P$, et
le foncteur $L$ ainsi constitué (et muni de la transformation
naturelle $s$) est la limite du système projectif $P$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
À tout morphisme $\varphi\colon a \to b$ dans $\categ{H}$, on doit
associer un morphisme $L(\varphi)\colon L(a) \to L(b)$ de façon à
faire commuter le diagramme (traduisant la naturalité de $s$) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
\Delta(L(a))&\Delta(L(b))\\P(a)&P(b)\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$s(a)$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$s(b)$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\Delta(L(\varphi))$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$P(\varphi)$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le morphisme diagonal de ce diagramme est déterminé comme $P(\varphi)
\circ s(a)$, et d'après la propriété universelle de $L(b)$ comme
limite de $P(b)$, il existe un unique morphisme, qu'on peut noter
$L(\varphi)$, tel que $s(b) \circ \Delta(L(\varphi)) = P(\varphi)
\circ s(a)$, c'est-à-dire que ce diagramme commute.  La fonctorialité
de $L$ est alors facile : le fait que $L(\Id_a) = \Id_{L(a)}$ pour
tout objet $a$ de $\categ{H}$ est évident, et si $\varphi\colon a\to
b$ et $\psi\colon b\to c$ sont deux morphismes de $\categ{H}$, on a
$P(\psi\circ\varphi) \circ s(a) = P(\psi)\circ P(\varphi) \circ s(a)$,
et d'après l'unicité dans la propriété universelle de $L(c)$, on en
déduit $L(\psi\circ\varphi) = L(\psi) \circ L(\varphi)$.

Montrons à présent que $L$ ainsi construit, muni du $s\colon \Delta(L)
\to P$ qui l'accompagne, est bien la limite de $P$.  Pour cela, soit
$T \colon \categ{H} \to \categ{C}$ et $t\colon \Delta(T) \to P$ : on
veut montrer qu'il existe un unique $z\colon L \to T$ tel que $t =
s\circ \Delta(z)$.  En particulier, on devra avoir $t(a) = s(a)\circ
\Delta(z(a))$ pour tout objet $a$ de $\categ{H}$ : or la propriété
universelle de $L(a)$ assure qu'il existe bien un unique $z(a)\colon
T(a) \to L(a)$ pour laquelle cette égalité vaut.  Il reste simplement
à vérifier que ces morphismes $z(a)$ définissent bien une
transformation naturelle $T \to L$ : si $\varphi\colon a\to b$ est un
morphisme dans $\categ{H}$, dans le diagramme suivant
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
\Delta(T(a))&\Delta(T(b))\\\Delta(L(a))&\Delta(L(b))\\P(a)&P(b)\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\Delta(z(a))$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\Delta(z(b))$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node[swap]{$s(a)$} (diag-3-1);
\draw[->] (diag-2-2) -- node{$s(b)$} (diag-3-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\Delta(T(\varphi))$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\Delta(L(\varphi))$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-3-1) -- node{$P(\varphi)$} (diag-3-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
le carré d'en bas est commutatif par construction, le rectangle
omettant la ligne du milieu est commutatif par naturalité de $t$, et
comme il y a unicité dans la définition de $z$, le carré d'en haut
commute, donc $z$ est bien naturelle.
\end{proof}

Pour paraphraser ce résultat, si $P\colon \categ{I} \times \categ{H}
\to \categ{C}$ est un foncteur, et si $\prlim_{i \in \categ{I}}
P(i,a)$ existe pour tout objet $a$ de $\categ{H}$, alors $\prlim_{i
  \in \categ{I}} P(i,\tiret)$ existe et vaut $a \mapsto \prlim_{i \in
  \categ{I}} P(i,a)$ sur les objets de $\categ{H}$.  On résume souvent
ce fait en affirmant que « les limites dans les catégories de foncteur
  se calculent point par point » (ou « ...commutent à l'évaluation »).
(\XXX Il n'est probablement pas vrai que la seule existence de
$\prlim_{i \in \categ{I}} P(i,\tiret)$ suffise à entraîner celle des
$\prlim_{i \in \categ{I}} P(i,a)$ ou quelque chose comme ça : trouver
un contre-exemple éclairant !)

\begin{proposition2}\label{limites-et-yoneda}
Soient $\categ{I}$ et $\categ{C}$ deux catégories, la
catégorie $\categ{I}$ étant « petite » au sens
de \ref{limites-ensembles}, et $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
système projectif.  Alors :
\begin{itemize}
\item le foncteur $\yone\circ P\colon \categ{I} \to
  \Hom(\categ{C}\op, \Ens)$ qui à un objet $i$ de $\categ{I}$ associe
  $\Hom(\tiret, P(i))$, admet une limite $L$ dans $\Hom(\categ{C}\op,
  \Ens)$,
\item le foncteur $L$ est représentable si et seulement si la limite
  de $P$ existe dans $\categ{C}$, et
\item lorsque c'est le cas, si $X$, muni de $s\colon \Delta(X) \to P$,
  est cette limite, alors $\yone(X) = \Hom(\tiret,X)$, muni de
  $\yone\boxempty s \colon \Delta(\yone(X)) \to \yone\circ P$,
  est limite de $\yone\circ P$ (dans $\Hom(\categ{C}\op, \Ens)$).
\end{itemize}
\end{proposition2}
\begin{proof}
La première affirmation résulte de la
proposition \ref{limites-point-par-point}, la
proposition \ref{limites-ensembles} assurant que chacun des systèmes
$\Hom(A, P(i))\colon \categ{I} \to \Ens$ admettent une limite $L(A)$.

Montrons de même la troisième affirmation : plus exactement, si $X$
muni de $s\colon \Delta(X) \to P$ est limite de $P$, on veut voir que
$L = \yone(X)$ muni de $\yone\boxempty s$ est limite
de $\yone\circ P$.  Toujours
d'après \ref{limites-point-par-point}, il suffit pour cela de montrer
que pour tout objet $A$ de $\categ{C}$ (tantôt vu comme un objet
de $\categ{C}\op$), l'ensemble $\yone(X)(A) = \Hom(A,X)$, muni de
$(\yone\boxempty s)(A)$ (c'est-à-dire la transformation naturelle
$\Delta_I(\yone(X)(A)) \to (\yone\circ P)(A)$ qui à chaque
objet $i$ de $\categ{I}$ associe l'application $\Hom(A,X) \to
\Hom(A,P(i))$ envoyant $z\colon A\to X$ sur $s(i)\circ z$), est limite
de $(\yone\circ P)(A)$.  D'après \ref{limites-ensembles}, ceci
signifie que $(\yone\boxempty s)(A)$ devrait identifier l'ensemble des
morphismes $A\to X$ avec l'ensemble des familles compatibles de
morphismes $A \to P(i)$ ; mais de telles familles compatibles sont
précisément la donnée d'une transformation naturelle $\Delta(A) \to
P$, et la transformation naturelle $\Delta(A) \to P$ résultant de
l'application de $(\yone\boxempty s)(A)$ à un $z\colon A\to X$ s'écrit
encore comme $s\circ \Delta(z)$ : l'affirmation est donc équivalente
au fait que $X$ muni de $s$ soit limite de $P$.

Le paragraphe précédent prouve le « seulement si » de la seconde
affirmation (puisque si $L$ est isomorphe à $\yone(X)$, comme on
vient de voir que $\yone(X)$ est une limite, $L$ en est aussi
une).

Réciproquement, on souhaite montrer, donné un objet $X$ de $\categ{C}$
et un morphisme $s\colon \Delta(X) \to P$, que si $L = \yone(X)$
muni de $\yone\boxempty s$ est limite de $\yone\circ P$,
alors $X$ muni de $s$ est limite de $P$.  Mais si $t\colon \Delta(T)
\to P$ est un autre morphisme, alors on peut appliquer la définition
de la limite à $\yone\boxempty t \colon \Delta(\yone(T)) \to
\yone\circ P$ : il existe un unique $\hat z\colon \yone(T)
\to \yone(X)$ tel que $\yone\boxempty t =
(\yone\boxempty s) \circ \Delta(z)$ ; or le lemme de Yoneda
\ref{lemme-de-yoneda} assure que les morphismes $\hat z\colon
\yone(T) \to \yone(X)$ s'identifient (par le
foncteur $\yone$) aux morphismes $z\colon T \to X$, la condition
$\yone\boxempty t = (\yone\boxempty s) \circ \Delta(\hat z)$
devenant alors $t = s \circ \Delta(z)$ : on voit qu'il existe bien un
unique telle $z$, et on a ainsi prouvé que $X$ muni de $s$ est limite
de $P$.

Le paragraphe précédent prouve le « si » de la seconde affirmation
(puisque $L$ et $\yone(X)$ sont isomorphes).
\end{proof}

La proposition précédente se résume généralement par l'affirmation
(quelque peu elliptique) : $\yone(\prlim_{i\in \categ{I}} P(i)) =
\prlim_{i\in \categ{I}} \yone(P(i))$ — tout en retenant que,
d'après \ref{limites-point-par-point}, on a aussi $(\prlim_{i\in
  \categ{I}} \yone(P(i)))(T) = \prlim_{i\in \categ{I}}
(\yone(P(i))(T))$.

L'énoncé suivant, qui explique comment les coproduits et les
égalisateurs de deux flèches permettent de construire toutes les
limites, est moins intéressant pour lui-même que parce qu'il illustre
la manière dont les résultats précédents permettent de ramener des
affirmations au cas des ensembles.

\begin{proposition2}\label{limites-par-produits-et-egalisateurs}
Soit $P\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un système projectif.  Si les
produits indicés par l'ensemble des objets ou l'ensemble des flèches
de $\categ{I}$ sont représentables dans $\categ{C}$, ainsi que
l'égalisateur de deux morphismes quelconques (cf. \ref{egalisateur}),
alors la limite de $P$ est représentable dans $\categ{C}$.

Plus précisément, si l'objet $Q$ de $\categ{C}$, muni des morphismes
$q_i\colon Q \to P(i)$ est le produit des $P(i)$ pour $i\in
\ob\categ{I}$ et que $R$ muni des morphismes $r_{i\to j}\colon R \to
P(i)$ est le produit des $P(i)$ pour $i\to j$ parcourant les flèches
de $\categ{I}$, et si $f,g$ désignent les deux morphismes $Q \to R$
uniquement définies par les conditions $r_{i\to j} \circ f = q_i$ et
$r_{i\to j} \circ g = P(i\to j) \circ q_j$, alors l'égalisateur de
$f,g$ est représentable dans $\categ{C}$ si et seulement si la limite
de $P$ l'est : si $e\colon X \to Q$ est l'égalisateur de $f,g$, alors
la donnée pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$ de la flèche $s_i = q_i
\circ e$ constitue une transformation naturelle $s\colon \Delta(X) \to
P$, et $X$ muni de ce $s$ est limite de $P$, et réciproquement, si un
objet $X$ muni de $s\colon \Delta(X) \to P$ est limite de $P$, alors
ce même $X$ muni de l'unique $e\colon X \to Q$ tel que $s_i = q_i\circ
e$ pour tout $i$ est l'égalisateur de $f,g$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
On va montrer la seconde affirmation.  Supposons dans un premier temps
que $\categ{I}$ soit « petite ».

Pour tout objet $T$ de $\categ{C}$, on a une bijection entre
$\Hom(T,Q)$ et $\prod_{i\in\ob\categ{I}} \Hom(T,P(i))$, naturelle
en $T$, en envoyant $t \colon T \to Q$ sur la famille $(q_i\circ
t)_{i\in \ob\categ{I}}$, et de même entre $\Hom(T,R)$ et $\prod_{i \to
  j} \Hom(T,P(i))$ en envoyant $t \colon T \to R$ sur $(r_{i\to j}
\circ t)_{i \to j}$.  Pour tout objet $T$ de $\categ{C}$, la limite
$L(T)$ de $\Hom(T,P(\tiret))\colon \categ{I} \to \Ens$ (munie de $\hat
s(T)\colon \Delta(L(T)) \to \Hom(T, P(\tiret))$) existe et peut être
décrite d'après \ref{limites-ensembles} comme le sous-ensemble de
$\prod_{i\in\ob\categ{I}} \Hom(T,P(i))$ formé des familles
$(x_i)_{i\in \ob\categ{I}}$ (avec $x_i\colon T \to P(i)$) qui
vérifient $P(i\to j) \circ x_i = x_j$ pour tout morphisme $i\to j$
dans $\categ{I}$ (et où $\hat s(T)_i$ envoie chaque telle famille
$(x_j)_{j \in\ob\categ{I}}$ sur $x_i$).  En composant avec les
bijections qu'on vient d'expliciter, on voit que $L(T)$ peut aussi se
définir comme la partie de $\Hom(T,Q)$ formée des $t \colon T\to Q$
tels que $P(i\to j) \circ q_i\circ t = q_j \circ t$ pour tout $i\to
j$, c'est-à-dire que $r_{i\to j}\circ g \circ t = r_{i\to j} \circ f
\circ t$ pour tous $i\to j$, ou encore simplement que $g\circ t =
f\circ t$ : autrement dit, $L(T)$, muni de son inclusion $\hat e(T)
\colon L(T) \to \Hom(T,Q)$ (qui vérifie $\hat s(T)_i = q_i \circ \hat
e(T)$), est l'égalisateur de ${f\circ}, {g\circ} \colon \Hom(T,Q) \to
\Hom(T,R)$.

D'après \ref{limites-point-par-point}, il existe une unique façon de
faire de $L$ un foncteur $\categ{C}\op \to \Ens$ de façon que $\hat e$
soit une transformation naturelle, et alors $\hat s_i = q_i \circ \hat
e$ en est aussi une (par rapport à la variable $T$
dans $\categ{C}\op$, la naturalité par rapport à $i$ dans $\categ{I}$
étant déjà connue) ; et $L$ muni de $\hat s \colon \Delta(L) \to
\yone \circ P$ est limite de $\yone\circ P$, et $L$ muni de
$\hat e \colon L \to \yone(Q)$ est égalisateur de
$\yone(f),\yone(g)$.  D'après \ref{limites-et-yoneda}, ce
foncteur $L$ est représentable exactement lorsque $P$ a une limite
dans $\categ{C}$, ou exactement lorsque $f,g$ ont un égalisateur
dans $\categ{C}$, donc toutes ces conditions sont équivalentes ; si
$e\colon X \to Q$ est l'égalisateur de $f,g$, alors, quitte à
identifier $L$ à $\yone(X)$ (en composant par un isomorphisme),
on a $\yone(e) = \hat e$, et la collection de morphismes $s_i$
définie par $\yone(s_i) = \hat s_i$ vérifie $s_i = q_i \circ e$
et $X$ muni de ces $s_i$ est limite de $P$ ; réciproquement, si
$s_i\colon X \to P(i)$ témoignent du fait que $X$ est limite
des $P(i)$, alors, quitte à identifier $L$ à $\yone(X)$, on a
$\yone(s)_i = \hat s_i$, et le $e\colon X\to Q$ défini par
$\yone(e) = \hat e$ vérifie $s_i = q_i \circ e$ pour tout $i$, et
ce $e\colon X\to Q$ est l'égalisateur de $f,g$.

L'hypothèse que $\categ{I}$ soit « petite » n'est pas essentielle.
Pour le voir, et si les choix faits pour résoudre les difficultés
ensemblistes le permettent (il suffit de trouver un univers
suffisamment gros), on peut par exemple supposer la catégorie $\Ens$
suffisamment grosse pour qu'elle le devienne (or la catégorie $\Ens$
n'intervient pas dans la conclusion).  On peut aussi faire comme si
une telle catégorie suffisamment grosse existait et constater en
déroulant la démonstration que celle-ci ne dépend pas vraiment, en
fait, de son existence en tant qu'ensemble.  Enfin, on peut examiner
plus finement l'utilisation des propositions
\ref{limites-ensembles} et \ref{limites-et-yoneda} dans ce qu'on vient
de dire : puisque $\prod_{i\in\ob\categ{I}} \Hom(T,P(i))$ existe dans
les ensembles (c'est $\Hom(T,Q)$, qui est supposé exister) et de même
$\prod_{i \to j} \Hom(T,P(i))$, on n'a pas besoin de supposer
$\categ{I}$ petite dans \ref{limites-ensembles} pour voir que
$\Hom(T,P(\tiret))$ a une limite ; et la démonstration faite de la
partie utilisée de \ref{limites-et-yoneda} (à savoir que si un
foncteur représentable est une limite de foncteurs représentables,
alors les objets représentés sont aussi un cône limite) n'utilise pas
d'hypothèse de petitesse (puisque tous les foncteurs impliqués sont
déjà représentés et que les limites d'ensembles déjà supposées
exister).
\end{proof}

Cette démonstration, décrite ici de façon fastidieuse, peut être
résumée en disant que « la proposition \ref{limites-ensembles} décrit
  les limites dans les ensembles comme un égalisateur de deux flèches,
  par conséquent ceci vaut encore d'après
  \ref{limites-point-par-point} pour une limite de foncteurs
  représentables, et d'après \ref{limites-et-yoneda} ceci s'applique à
  n'importe quelle catégorie ».

L'intérêt des considérations ensemblistes à la fin de la démonstration
ci-dessus est très douteux puisque, si tant est que les limites non
« petites » présentent une utilité, l'hypothèse d'existence du produit
des $P(i)$ suffit généralement à imposer que $\categ{I}$ soit
petite...

\subsection{Colimites}

\begin{definition2}\label{definition-systeme-inductif}
Si $\categ{I}$ est une catégorie, un \emph{système inductif indicé
  par $\categ{I}$} dans une catégorie $\categ{C}$ est un foncteur
$\categ{I} \to \categ{C}$.  La \emph{colimite} (ou \emph{limite
  inductive}) d'un tel système $F \colon \categ{I} \to \categ{C}$
n'est autre que la limite, si elle existe, du système projectif
$F\op\colon \categ{I}\op \to \categ{C}\op$ qui s'en déduit en
inversant le sens des flèches : elle se note $\colim F$ (ou
$\colim_{i\in\categ{I}} F(i)$).
\end{definition2}

Autrement dit, une colimite du système inductif $F$ est la donnée d'un
objet $X$ de $\categ{C}$ et d'une transformation naturelle $s\colon F
\to \Delta(X)$ tels que pour tout objet $T$ de $\categ{C}$ et toute
transformation naturelle $t\colon F \to \Delta(T)$ il existe un unique
morphisme $z \colon X\to T$ pour lequel $t = \Delta(z) \circ s$.  Les
transformations naturelles $t\colon F \to \Delta(T)$ s'appellent
parfois les \emph{cocônes} de \emph{(co)sommet $T$} et de
\emph{(co)base $F$} : la colimite est donc l'objet initial dans la
catégorie des cocônes de base $F$.

Plus concrètement, un système inductif $F$ est la donnée pour chaque
objet $i$ de $\categ{I}$ d'un objet $F(i)$ de $\categ{C}$ et pour
chaque morphisme $i \to j$ de $\categ{I}$ d'un morphisme correspondant
$F(i\to j)$ de $\categ{C}$ de façon compatible aux identités et à la
composition ; la colimite d'un tel système est la donnée (« cocône »)
d'un objet $X$ de $\categ{C}$ et pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$
d'un morphisme $s(i)\colon F(i) \to X$, de façon à commuter aux
morphismes $F(i\to j)$ imposés par le système, de sorte que pour
n'importe quelle autre donnée (« cocône ») d'un objet $T$ et d'une
collection compatible $t$ de morphismes $t(i)\colon F(i) \to T$ il
existe un unique morphisme $z\colon X\to T$ pour lequel on ait $t(i) =
z \circ s(i)$ pour tout $i$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
F(i)&&\\&X&T\\F(j)&&\\};
\draw[->] (diag-1-1) to [out=0,in=120] node{$\scriptstyle t(i)$} (diag-2-3);
\draw[->] (diag-1-1) -- node[auto=false,above right=-.5ex]{$\scriptstyle s(i)$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-3-1) to [out=0,in=240] node[swap]{$\scriptstyle t(j)$} (diag-2-3);
\draw[->] (diag-3-1) -- node[swap,auto=false,below right=-.5ex]{$\scriptstyle s(j)$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle F(i\to j)$} (diag-3-1);
\draw[->,dotted] (diag-2-2) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-2-3);
\end{tikzpicture}
\end{center}

(De même que pour les systèmes projectifs, on pourrait définir les
systèmes inductifs comme des foncteurs contravariants plutôt que
covariants : de nouveau, quitte à remplacer la catégorie d'indices par
son opposée, on voit que cela ne fait pas de différence.)

Les résultats concernant les limites se traduisent, en passant à la
catégorie opposée, en des résultats duaux sur les limites.  Il faut
toutefois prendre garde à quelques subtilités d'ordre mathématique ou
simplement terminologique :

\subsubsection{} La notion duale de celle de produit d'une famille
d'objets (définie en \ref{limite-produit}) est celle de
\emph{coproduit} d'une famille $F_i$, qui se note $\coprod_{i \in I}
F_i$ : concrètement, le coproduit des $F_i$ est donc un objet $X$ muni
d'un morphisme $s_i\colon F_i \to X$ pour chaque $i$ et tel que pour
toute autre donnée d'un objet $T$ et d'un morphisme $t_i \colon F_i
\to T$ pour chaque $i$ il existe un unique morphisme $z\colon X \to T$
vérifiant $t_i = z \circ s_i$ pour chaque $i$.  On peut aussi définit
la notion duale de celle de produit
fibré (\ref{limite-produit-fibre}), qui est celle de \emph{somme
  amalgamée} (ou \emph{coproduit amalgamé}), notée $F_1 \amalg_G F_2$
pour le cas de deux morphismes $G \to F_1$ et $G \to F_2$.

La notion duale de la notion d'égalisateur (\ref{egalisateur}) est
celle de coégalisateur : le coégalisateur d'une famille de morphismes
$f_i\colon F_{\astrosun} \to F_{\leftmoon}$ est un morphisme
$s_{\leftmoon}\colon F_{\leftmoon} \to X$ (ou l'objet $X$ muni de ce
morphisme) tel que tous les $s_{\leftmoon}\circ f_i$ soient égaux et
que pour toute donnée d'un autre morphisme $t_{\leftmoon}\colon
F_{\leftmoon} \to T$ tel que tous les $t_{\leftmoon}\circ f_i$ soient
égaux il existe un unique $z\colon X \to T$ vérifiant $t_{\leftmoon} =
z \circ s_{\leftmoon}$.

\subsubsection{} Lorsque $I$ est un ensemble (pré)ordonné, on définit
la notion de système inductif indicé par $I$ comme indicé par la
catégorie $\categ{I}$ dont les objets sont les éléments de $I$ et où
on convient qu'il y a une seule flèche $i \to j$ lorsque $i \leq j$ :
il s'agit ici de la même convention que faite
en \ref{exemple-categorie-ensemble-preordonne}, qui est l'opposée de
celle faite en \ref{limite-indices-ensemble-preordonne} pour les
limites projectives.  La raison de ce choix, qui permet de le retenir,
est qu'on souhaite obtenir des limites et colimites intéressantes
indicées par l'ensemble $\NN$ des entiers naturels, muni de son ordre
usuel (il s'agit donc que la catégorie par laquelle on indice ces
limites et colimites — puisqu'on a choisi de parler de limites et
colimites pour des foncteurs covariants — n'ait pas d'objet initial
dans le cas des limites, et n'ait pas d'objet terminal dans le cas des
colimites ; ainsi, on doit inverser l'ordre dans un cas par rapport à
l'autre) ; dans tous les cas, on tâchera de rappeler la convention
utilisée pour éviter toute confusion.

\subsubsection{} La notion duale de celle de foncteur initial (donnée
en \ref{definition-foncteur-initial}) est celle, sans doute plus
utilisée, de foncteur \emph{final}.  Autrement dit, un foncteur
$V\colon \categ{I}' \to \categ{I}$ est dit final lorsque, pour chaque
$i \in \ob\categ{I}$, la catégorie $i\uparrow\categ{I}\downarrow V$
est non vide et (faiblement) connexe
(cf. \ref{definition-categorie-connexe}).  Autrement dit, cela
signifie que pour chaque objet $i$ de $\categ{I}$ : (a) il existe un
objet $i'$ de $\categ{I}'$ et un morphisme $i \to V(i')$
(dans $\categ{I}$), et (b) pour deux telles données $i \to V(i')$ et
$i \to V(i'')$, il est possible de les compléter par une succession de
flèches $V(i') \rightarrow \leftarrow V(i'')$ au-dessous de l'identité
sur $i$.  L'énoncé dual de \ref{limites-indices-foncteur-initial}
affirme alors essentiellement que si $V$ est un foncteur final, un
système projectif $F$ possède une limite inductive si et seulement si
$F \circ V$ en possède une, auquel cas ces limites sont isomorphes.

\subsubsection{} Les colimites « petites » dans la catégorie des
ensembles existent au même titre que les limites
(proposition \ref{limites-ensembles}), et elles admettent une
description comme le quotient de la réunion disjointe des ensembles
$F(i)$ par la relation d'équivalence engendrée par tous les couples
$(x, F(i \to j)(x))$ (où $i \to j$ est un morphisme de $\categ{I}$ et
$x$ un élément de l'ensemble $F(i)$).  On peut déduire cette
description du dual de la
proposition \ref{limites-par-produits-et-egalisateurs} et d'une
description des coproduits dans la catégorie des ensembles (qui sont
les sommes disjointes) ainsi que des coégalisateurs (le coégalisateur
d'une famille d'applications $f_i\colon F_{\astrosun} \to
F_{\leftmoon}$ entre ensembles est le quotient de $F_{\leftmoon}$ par
la relation d'équivalence engendrée par tous les couples $(f_i(x),
f_j(x))$).

Néanmoins, cette description, et de façon générale les colimites
d'ensembles, ne possède que beaucoup moins d'intérêt que la
description duale des limites.  La raison en est que si les limites
dans les ensembles permettent de décrire les limites dans n'importe
quelle catégorie par le moyen des propositions
\ref{limites-point-par-point} et \ref{limites-et-yoneda}, il n'en va
pas de même des colimites : s'il est vrai que le résultat dual de
\ref{limites-point-par-point} permet essentiellement d'identifier
$(\colim_{i\in \categ{I}} \yone(F(i)))(T)$ avec $\colim_{i\in
  \categ{I}} (\yone(F(i))(T))$ si $F\colon \categ{I} \to \categ{C}$
est un système inductif (et plus généralement pour $F\colon \categ{I}
\times \categ{H} \to \categ{C}$, d'identifier $\colim_{i\in \categ{I}}
F(i,\tiret)$ avec $a \mapsto \colim_{i\in \categ{I}} F(i,a)$ si le
second existe), en revanche il n'est généralement pas vrai que
$\colim_{i\in \categ{I}} \yone(F(i))$ coïncide avec
$\yone(\colim_{i\in \categ{I}} F(i))$, même lorsque les deux ont un
sens.  Même dans le cas très simple du coproduit $F_1 \amalg F_2$
(c'est-à-dire, de la réunion disjointe) de deux ensembles $F_1$ et
$F_2$ (qu'on pourra imaginer réduits à un singleton), l'ensemble
$\Hom(T,F_1\amalg F_2)$ des applications de $T$ vers $F_1 \amalg F_2$
n'est pas (pour tout ensemble $T$) la réunion disjointe des ensembles
$\Hom(T,F_1)$ et $\Hom(T,F_2)$.  En revanche, il est vrai (par la
définition même du coproduit) que $\Hom(F_1\amalg F_2, T)$ peut être
(naturellement en $T$) identifié avec le produit de $\Hom(F_1,T)$ et
$\Hom(F_2,T)$, c'est-à-dire que $\yoneDA(F_1\amalg F_2) =
\Hom(F_1\amalg F_2,\tiret)$ est produit de $\yoneDA(F_1) =
\Hom(F_1,\tiret)$ et de $\yoneDA(F_2) = \Hom(F_2,\tiret)$.  Plus
généralement l'utilisation du lemme de Yoneda permet de décrire les
colimites dans une catégorie quelconque au moyen des \emph{limites}
dans la catégorie des ensembles (puisque les colimites sont des
limites dans la catégorie opposée et que la
proposition \ref{limites-et-yoneda} décrit les limites de n'importe
quelle catégorie au moyen des limites dans les ensembles) : le
résultat suivant est dual de \ref{limites-et-yoneda} :

\begin{proposition2}\label{colimites-et-yoneda}
Soient $\categ{I}$ et $\categ{C}$ deux catégories, la
catégorie $\categ{I}$ étant « petite » au sens
de \ref{limites-ensembles}, et $F\colon \categ{I} \to \categ{C}$ un
système inductif.  Alors :
\begin{itemize}
\item le foncteur $\yoneDA\circ F\op\colon \categ{I}\op \to
  \Hom(\categ{C}, \Ens)$ qui à un objet $i$ de $\categ{I}$ associe
  $\Hom(F(i), \tiret)$, admet une limite $L$ dans $\Hom(\categ{C},
  \Ens)$,
\item le foncteur $L$ est représentable si et seulement si la colimite
  de $F$ existe dans $\categ{C}$, et
\item lorsque c'est le cas, si $X$, muni de $s\colon F \to
  \Delta_{\categ{I}}(X)$, est cette colimite, alors $\yoneDA(X) =
  \Hom(X,\tiret)$, muni de $\yoneDA\boxempty s \colon
  \Delta_{\categ{I}\op}(\yoneDA(X)) \to \yoneDA\circ F\op$, est limite
  de $\yoneDA\circ F\op$ (dans $\Hom(\categ{C}, \Ens)$).
\end{itemize}
\end{proposition2}

\subsection{Colimites filtrantes}

\begin{definition2}\label{definition-categorie-filtrante}
Une catégorie $\categ{I}$ est dite \emph{filtrante} lorsqu'elle
vérifie les trois conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item $\categ{I}$ est non vide,
\item pour tous objets $i,j$ de $\categ{I}$, il existe un objet $k$ et
  des morphismes $i\to k$ et $j\to k$,
\item pour tous morphismes $u,v\colon i \to j$ de $\categ{I}$ ayant
  même source et même but, il existe un morphisme $w\colon j\to k$
  de $\categ{I}$ tel que $w\circ u = w\circ v$.
\end{itemize}
\end{definition2}

\begin{proposition2}
Une catégorie $\categ{I}$ est filtrante si et seulement si tout
système inductif $F\colon \categ{D} \to \categ{I}$ fini (c'est-à-dire,
indicé par une catégorie $\categ{D}$ finie) est la base d'un cocône $F
\to \Delta(k)$ (cf. les remarques suivant la
définition \ref{definition-systeme-inductif}).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Les conditions trois de la
définition \ref{definition-categorie-filtrante} traduisent précisément
le fait que tout système inductif $F\colon \categ{D} \to \categ{I}$
soit la base d'un cocône lorsque $\categ{D}$ vaut respectivement l'une
des catégories : $\varnothing$, $\categ{2}$ et $\vec{\categ{2}}$.  Il
est donc clair que si tout système inductif fini à valeurs
dans $\categ{I}$ est la base d'un cocône, alors $\categ{I}$ est
filtrante.

Réciproquement, supposons $\categ{I}$ filtrante, et soit $F\colon
\categ{D} \to \categ{I}$ un système inductif fini.  Si $\ob\categ{D} =
\{d_1,\ldots,d_m\}$ alors en appliquant plusieurs fois la seconde
condition de \ref{definition-categorie-filtrante} (ou bien la première
si $m=0$), on voit qu'il existe un objet $k_0$ de $\categ{I}$ et des
morphismes $u_{0,i}\colon F(d_i) \to k_0$ (auxquels on ne demande
aucune relation de compatibilité particulière sinon qu'ils aient la
même cible $k_0$).  Supposons maintenant que
$\delta_1,\ldots,\delta_n$ soient les morphismes de $\categ{D}$ : on
construit par récurrence des objets $k_1,\ldots,k_r$ de $\categ{I}$,
chacun muni de morphismes $u_{j,i}\colon F(d_i) \to k_i$ vérifiant
$u_{j',i'} \circ F(\delta_{j}) = u_{j',i}$, pour tous $j'\geq j$, si
$\delta_j \colon d_i \to d_{i'}$.  Si $k_{j-1}$ et les $u_{j-1,i}$
sont déjà construits, alors en appliquant la troisième condition
de \ref{definition-categorie-filtrante} aux morphismes
$u_{j-1,i}\colon F(d_i) \to k_{j-1}$ et $u_{j-1,i'}\circ
F(\delta_j)\colon F(d_i) \to k_{j-1}$ où $\delta_j\colon d_i \to
d_{i'}$, on obtient un morphisme $w\colon k_{j-1} \to k_j$ tel que si
on pose $u_{j,i} = w\circ u_{j-1,i}$ alors on a $u_{j,i'} \circ
F(\delta_j) = u_{j,i}$, et en fait $u_{j',i'} \circ F(\delta_j) =
u_{j',i}$ pour tous $j'\geq j$.  Les $u_{r,i}\colon F(d_i) \to k_r$
constituent bien un cocône comme recherché.
\end{proof}



\section{Foncteurs adjoints}

\subsection{Définition, unité et coünité}

\begin{definition2}\label{definition-foncteurs-adjoints}
Soient $\categ{C}$ et $\categ{D}$ deux catégories.  Une
\emph{adjonction de foncteur} entre $\categ{C}$ et $\categ{D}$ est la
donnée d'un foncteur $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ (appelé membre
gauche de l'adjonction, ou \emph{adjoint à gauche} de $G$), d'un
foncteur $G\colon \categ{C}\to\categ{D}$ (appelé membre droit de
l'adjonction, ou \emph{adjoint à droite} de $F$) et d'un isomorphisme
naturel (l'adjonction proprement dite) $\theta\colon
\Hom_{\categ{C}}(F \tiret, \tiret) \buildrel\sim\over\to
\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G\tiret)$ entre les foncteurs
(contravariants en $X$ et covariants en $Y$, et à valeurs dans $\Ens$)
$(X,Y) \mapsto \Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $(X,Y) \mapsto
\Hom_{\categ{D}}(X, G(Y))$.

On note $F\dashv G$ et on dit que $F$ et $G$ sont des foncteurs
adjoints (respectivement à gauche et à droite) l'un de l'autre : pour
spécifier la transformation naturelle $\theta$ on peut noter $F
\buildrel\theta\over\dashv G$ ou $\theta\colon F\dashv G$.
\end{definition2}

Le corollaire \ref{yoneda-corollaire-isomorphismes} justifie qu'on
parle parfois de \emph{l}'adjoint — à gauche ou à droite — d'un
foncteur : par exemple, si $F$ et $F'$ sont deux adjoints à gauche
d'un même foncteur $G$, alors $\Hom(F\tiret,\tiret)$ et
$\Hom(F'\tiret,\tiret)$ sont isomorphes (tous deux étant isomorphes à
$\Hom(\tiret,G\tiret)$), par conséquent $F$ et $F'$ eux-mêmes le sont
en vertu du corollaire cité.

L'exemple d'adjonction suivant est archétypique et illustre le slogan
« l'adjoint à gauche d'un foncteur d'oubli est un foncteur ``objet
  libre'' » :

\begin{exemple2}\label{exemple-adjonction-groupe-abelien-libre}
Soit $\ZZ\traitdunion\categ{Mod}$ la catégorie des groupes abéliens et
$\Ens$ la catégorie des ensembles.  Soit $G\colon
\ZZ\traitdunion\categ{Mod} \to \Ens$ le foncteur d'oubli (qui envoie
un groupe abélien sur son ensemble sous-jacent et un morphisme de
groupes abéliens sur l'application d'ensembles sous-jacente), et soit
$F\colon \Ens \to \ZZ\traitdunion\categ{Mod}$ le foncteur qui à un
ensemble $X$ associe le groupe abélien $\ZZ^{(X)}$ (groupe abélien
libre sur $X$) des applications $X \to \ZZ$ à support fini
(c'est-à-dire, nulles sauf sur un nombre fini d'éléments de $X$) et à
une application ensembliste $h\colon X' \to X$ associe le morphisme
$F(h)\colon \ZZ^{(X')} \to \ZZ^{(X)}$ envoyant $\alpha\colon X'\to\ZZ$
à support fini sur $x \mapsto \sum_{x'\buildrel h\over\mapsto x}
\alpha(x')$ (la somme étant prise sur l'ensemble des $x' \in X'$ tels
que $h(x')=x$).  Soit enfin, si $X$ est un ensemble et $Y$ un groupe
abélien, $\theta(X,Y) \colon
\Hom_{\ZZ\traitdunion\categ{Mod}}(\ZZ^{(X)}, Y) \to \Hom_{\Ens}(X, Y)$
l'application ensembliste qui à une application un morphisme $u\colon
\ZZ^{(X)}\to Y$ de groupes abéliens associe l'application $x\mapsto
u(\delta_x)$ où $\delta_x \colon X \to \ZZ$ vaut $1$ en $x$ et $0$
ailleurs.  L'application $\theta(X,Y)$ est bijective, c'est-à-dire que
la donnée d'un morphisme $u\colon \ZZ^{(X)}\to Y$ est déterminée
uniquement par sa valeur sur les $\delta_x$, valeurs qui peuvent être
arbitraires (ou, si $v\colon X\to G(Y)$ est une application ensembliste
quelconque, on peut construire un morphisme $u\colon \ZZ^{(X)} \to Y$
de groupes abéliens par $u(\alpha) = \sum_{x\in X} \alpha(x) \, v(x)$,
qui vérifie $u(\delta_x) = v(x)$, et qui est le seul possible).  La
naturalité de $\theta$ par rapport à la variable $Y$ est évidente ;
par rapport à la variable $X$ elle découle de ce que si $h\colon X'\to
X$ est une application ensembliste, alors $F(h)(\delta_x) =
\delta_{h(x)}$.  On peut donc dire que le foncteur « groupe abélien
  libre » $F$ est adjoint à gauche du foncteur d'oubli $G$.
\end{exemple2}

\begin{definition2}\label{definition-unite-adjonction}
Avec les notations de la
définition \ref{definition-foncteurs-adjoints}, la transformation
naturelle $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$ définie par les
morphismes $\eta(X) = \theta(X,F(X))(\Id_{F(X)}) \colon X \to
G(F(X))$, s'appelle l'\emph{unité} de l'adjonction $\theta\colon F
\dashv G$.  La transformation naturelle $\varepsilon\colon F\circ G
\to \Id_{\categ{C}}$ définie par $\varepsilon(Y) = \theta(G(Y),Y)^{-1}
(\Id_{G(Y)}) \colon F(G(Y)) \to Y$ s'appelle \emph{coünité} de
l'adjonction.
\end{definition2}

Pour se convaincre que $\eta$ défini comme ci-dessus est effectivement
une transformation naturelle, on vérifie que le diagramme requis
(cf. \ref{definition-transformation-naturelle}) est commutatif si
$z\colon X \to X'$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
X&X'\\G(F(X))&G(F(X'))\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \eta(X) = \theta(X,F(X))(\Id_{F(X)})$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle \eta(X') = \theta(X',F(X'))(\Id_{F(X')})$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle z$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle G(F(z))$} (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
or ceci vient de la commutativité du diagramme suivant (qui traduit
une partie de la naturalité de $\theta$) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto,
  elem/.style={rectangle,draw=black!50,text height=1.5ex,text depth=.5ex},
  isin/.style={pos=0.5,auto=false,sloped,allow upside down}]
  % Le "allow upside down" est essentiel pour ne pas que les signes ∈ se
  % retrouvent dans le mauvais sens !
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
\Hom(F(X),F(X))&\Hom(F(X),F(X'))&\Hom(F(X'),F(X'))\\
\Hom(X,G(F(X)))&\Hom(X,G(F(X')))&\Hom(X',G(F(X')))\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- node[swap]{$\scriptstyle \theta(X,F(X))$} (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$\scriptstyle \theta(X,F(X'))$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-3) -- node{$\scriptstyle \theta(X',F(X''))$} (diag-2-3);
\draw[->] (diag-1-1) -- node{$\scriptstyle F(z)\circ\tiret$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-1-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ F(z)$} (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{$\scriptstyle G(F(z))\circ\tiret$} (diag-2-2);
\draw[->] (diag-2-3) -- node[swap]{$\scriptstyle \tiret\circ z$} (diag-2-2);
\node[elem](elem-1-1) at ($ (diag-1-1)+(2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X)}$};
\node[elem](elem-1-2) at ($ (diag-1-2)+(0,4ex) $) {$\scriptstyle F(z)$};
\node[elem](elem-1-3) at ($ (diag-1-3)+(-2em,4ex) $) {$\scriptstyle\Id_{F(X')}$};
\draw[draw=none] (elem-1-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-1);
\draw[draw=none] (elem-1-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-2);
\draw[draw=none] (elem-1-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-1-3);
\node[elem](elem-2-1) at ($ (diag-2-1)+(2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X)$};
\node[elem](elem-2-2) at ($ (diag-2-2)+(0,-4ex) $) {$\scriptstyle G(F(z))\circ \eta(X) = \eta(X') \circ z$};
\node[elem](elem-2-3) at ($ (diag-2-3)+(-2em,-4ex) $) {$\scriptstyle\eta(X')$};
\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-1);
\draw[draw=none] (elem-2-2) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-2);
\draw[draw=none] (elem-2-3) to node [isin] {$\scriptscriptstyle\in$} (diag-2-3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
La naturalité de $\varepsilon$ se démontre de façon analogue.

\begin{proposition2}\label{propriete-universelle-unite-adjonction}
Avec les notations des définitions
\ref{definition-foncteurs-adjoints} et \ref{definition-unite-adjonction},
pour chaque objet $X$ de $\categ{D}$, le morphisme $\eta(X)$ possède
la propriété universelle suivante : pour tout morphisme $v\colon X \to
G(Y)$ (avec $Y$ un objet de $\categ{C}$), il existe un \emph{unique}
morphisme $u \colon F(X) \to Y$ tel que $v = G(u) \circ \eta(X)$.  Ce
$u$ est donné explicitement par $u = \theta(X,Y)^{-1}(v)$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour tout morphisme $u \colon F(X) \to Y$, la relation de naturalité
de $\theta$ par rapport à la seconde variable, soit $\theta(X,Y)
(u\circ \tiret) = G(u) \circ \theta(X,F(X))(\tiret)$, donne en
particulier $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ \eta(X)$.  Autrement dit,
$\theta(X,Y)(u) = v$ équivaut à $v = G(u) \circ \eta(X)$, ce qui
prouve l'énoncé souhaité.
\end{proof}

\begin{lemme2}\label{lemme-naturalite-adjonction-partielle}
Soient $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et
$G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ deux foncteurs, et $\eta\colon
\Id_{\categ{D}} \to G\circ F$ une transformation naturelle.  Si pour
tous objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$ respectivement, et tout
morphisme $u\colon F(X)\to Y$, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
\eta(X)$, alors $\theta$ constitue une transformation naturelle (dans
les deux variables $X$ et $Y$) entre les foncteurs $(X,Y) \mapsto
\Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $(X,Y) \mapsto \Hom_{\categ{D}}(X,
G(Y))$ (vus comme des foncteurs $\categ{D} \times \categ{C}\op \to
\Ens$).
\end{lemme2}
\begin{proof}
Le fait que $\theta$ soit naturel en sa seconde variable $Y$ est clair
puisque $G$ est un foncteur (si $z\colon Y\to Y'$ alors $G(z\circ u)
\circ \eta(X) = G(z) \circ G(u) \circ \eta(X)$).  Pour montrer la
naturalité en la première variable, il s'agit de voir que si $z \colon
X' \to X$ est un morphisme, alors $G(u\circ F(z)) \circ \eta(X') =
G(u) \circ \eta(X) \circ z$ : or on a $G(F(z))\circ \eta(X') = \eta(X)
\circ z$ d'après la naturalité de $\eta$.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{adjonction-determinee-par-unite}
Les foncteurs $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et
$G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ étant fixés, la donnée d'une adjonction
$\theta\colon F\dashv G$ équivaut à celle de son unité $\eta\colon
\Id_{\categ{D}} \to G\circ F$.  Et pour qu'un foncteur $F \colon
\categ{D}\to\categ{C}$ soit adjoint à gauche d'un foncteur $G \colon
\categ{C}\to\categ{D}$, il faut et il suffit qu'il existe une
transformation naturelle $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$
(l'unité de l'adjonction)
telle que pour chaque objet $X$ de $\categ{C}$, le morphisme $\eta(X)$
possède la propriété universelle exprimée dans la
proposition \ref{propriete-universelle-unite-adjonction} (l'adjonction
elle-même étant donnée par la formule du
lemme \ref{lemme-naturalite-adjonction-partielle}).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Le fait que $\theta$ détermine $\eta$ résulte de sa définition
($\eta(X) = \theta(X,F(X))(\Id_{F(X)})$ pour tout objet
$X$ de $\categ{D}$).  Le fait que $\eta$ détermine $\theta$ résulte de
ce que, d'après \ref{propriete-universelle-unite-adjonction} (ou
cf. également sa démonstration), on a $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
\eta(X)$ (pour tous objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$
respectivement, et tout morphisme $u\colon F(X)\to Y$).

Supposons maintenant donnés deux foncteurs $F \colon
\categ{D}\to\categ{C}$ et $G \colon \categ{C}\to\categ{D}$, et une
transformation naturelle $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$
vérifiant la propriété
universelle \ref{propriete-universelle-unite-adjonction}.  Pour tous
objets $X,Y$ de $\categ{D},\categ{C}$ respectivement, et tout
morphisme $u\colon F(X)\to Y$, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u) \circ
\eta(X)$ : il s'agit de montrer que ceci définit bien un isomorphisme
naturel $\theta\colon \Hom_{\categ{C}}(F \tiret, \tiret)
\buildrel\sim\over\to \Hom_{\categ{D}}(\tiret, G\tiret)$.  Le fait que
$\theta(X,Y)$ soit (pour $X,Y$ fixés) une bijection entre
$\Hom_{\categ{C}}(F(X), Y)$ et $\Hom_{\categ{D}}(X, G(Y))$ est
précisément la propriété universelle qui a été supposée de $\eta$.  Et
le fait que $\theta$ soit une transformation naturelle est justement
le contenu du lemme \ref{lemme-naturalite-adjonction-partielle}.
\end{proof}

Les propositions
\ref{propriete-universelle-unite-adjonction} et \ref{adjonction-determinee-par-unite},
portant sur l'unité $\eta$ d'une adjonction, ont évidemment des
analogues portant sur la coünité.  Plus précisément, la donnée d'une
adjonction $\theta\colon F\dashv G$ équivaut à la donnée d'une
transformation naturelle $\varepsilon \colon F\circ G \to
\Id_{\categ{C}}$ vérifiant la propriété universelle suivante : pour
tout morphisme $u\colon F(X) \to Y$ (avec $X$ un objet
de $\categ{D}$), il existe un \emph{unique} morphisme $v \colon X \to
G(Y)$ tel que $u = \varepsilon(Y) \circ F(v)$.

\begin{exemple2}
Dans l'exemple
d'adjonction \ref{exemple-adjonction-groupe-abelien-libre} donné plus
haut, l'unité $\eta$ est la donnée, pour chaque ensemble $X$, de
l'application ensembliste $\eta_X\colon x \mapsto \delta_x$ de $X$
vers l'ensemble sous-jacent $G(F(X))$ au groupe abélien libre $F(X) =
\ZZ^{(X)}$ de base $X$, qui à chaque élément $x \in X$ associe
l'élément de base $\delta_x$ correspondant de $\ZZ^{(X)}$.  La
propriété universelle \ref{propriete-universelle-unite-adjonction}
affirme alors que toute application ensembliste $v \colon X \to G(Y)$
(où $G(Y)$ est l'ensemble sous-jacent à un groupe abélien $Y$) se
factorise de façon unique comme $G(u) \circ \eta_X$.  Il s'agit de la
propriété universelle du groupe abélien libre.

Dans ce même exemple, la coünité $\varepsilon$ est la donnée, pour
chaque groupe abélien $Y$, du morphisme $\varepsilon_Y \colon F(G(Y))
\to Y$ de groupes abéliens envoyant une somme formelle $\alpha =
\sum_{y\in Y} \alpha(y)\,\delta_y$ d'éléments de $Y$ sur la somme
$\sum_{y\in Y} \alpha(y)\,y$ dans $Y$.
\end{exemple2}

\begin{proposition2}\label{identites-triangulaires-adjonction}
Étant donnée une adjonction $F\dashv G$ entre foncteurs
$F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon\categ{C}\to\categ{D}$,
l'unité $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\boxempty F$ et la coünité
$\varepsilon \colon F\boxempty G \to \Id_{\categ{C}}$ (où on a noté
par $\boxempty$ la composition des foncteurs) sont reliées par
$(G\boxempty\varepsilon) \circ (\eta\boxempty G) = \Id_G$
(c'est-à-dire, pour tout objet $Y$ de $\categ{C}$, que
$G(\varepsilon(Y)) \circ \eta(G(Y)) = \Id_{G(Y)}$) ; sous l'hypothèse
que $\eta$ est bien l'unité d'une adjonction $F\dashv G$, cette
égalité caractérise la coünité $\varepsilon$ (\XXX — mais
caractérise-t-elle l'unité si on sait que $\varepsilon$ est la coünité
d'une adjonction ?).  On a aussi $(\varepsilon\boxempty F) \circ
(F\boxempty\eta) = \Id_F$, et sous l'hypothèse que $\varepsilon$ est
la coünité d'une adjonction, cette égalité caractérise l'unité.

Enfin, étant donnés deux foncteurs $F\colon\categ{D}\to\categ{C}$ et
$G\colon\categ{C}\to\categ{D}$ (dont on ne suppose pas \emph{a priori}
qu'ils sont adjoints), les identités $(G\boxempty\varepsilon) \circ
(\eta\boxempty G) = \Id_G$ et $(\varepsilon\boxempty F) \circ
(F\boxempty\eta) = \Id_F$ conjointement garantissent de deux
transformations naturelles $\eta\colon \Id_{\categ{D}} \to G\boxempty
F$ et $\varepsilon \colon F\boxempty G \to \Id_{\categ{C}}$ qu'elles
forment l'unité et la coünité d'une adjonction $F \dashv G$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour montrer la première affirmation, il suffit d'appliquer la
proposition \ref{propriete-universelle-unite-adjonction} avec $v =
\Id_{G(Y)}$ : on voit alors que $u = \theta(G(Y),Y)^{-1}(\Id_{G(Y)}) =
\varepsilon(Y)$ vérifie $G(\varepsilon(Y)) \circ \eta(G(Y)) =
\Id_{G(Y)}$.  Comme la proposition citée garantit l'unicité de $u$
sous ces conditions, l'identité $(\varepsilon\boxempty F) \circ
(F\boxempty\eta) = \Id_F$ caractérise bien $\varepsilon$.  Le cas de
l'identité $(\varepsilon\boxempty F) \circ (F\boxempty\eta) = \Id_F$
est dual.

Supposons maintenant que deux transformations naturelles $\eta\colon
\Id_{\categ{D}} \to G\boxempty F$ et $\varepsilon \colon F\boxempty G
\to \Id_{\categ{C}}$ vérifient $(G\boxempty\varepsilon) \circ
(\eta\boxempty G) = \Id_G$ et $(\varepsilon\boxempty F) \circ
(F\boxempty\eta) = \Id_F$.  Pour tous objets $X,Y$ de
$\categ{D},\categ{C}$ respectivement, on pose $\theta(X,Y)(u) = G(u)
\circ \eta(X)$ pour tout morphisme $u\colon F(X)\to Y$, et
$\theta^\$(X,Y)(v) = \varepsilon(Y) \circ F(v)$ : alors le
lemme \ref{lemme-naturalite-adjonction-partielle} assure que $\theta$
est une transformation naturelle $\Hom_{\categ{C}}(F(\tiret), \tiret)
\to \Hom_{\categ{D}}(\tiret, G(\tiret))$, et dualement $\theta^\$$ en
est une $\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G(\tiret)) \to
\Hom_{\categ{C}}(F(\tiret), \tiret)$.  Si $u \colon F(X) \to Y$, alors
on a $(\theta^\$(X,Y) \circ \theta(X,Y))(u) = \varepsilon(Y) \circ
F(G(u)) \circ F(\eta(X))$ et par la naturalité de $\varepsilon$ ceci
vaut encore $u \circ \varepsilon_{F(X)} \circ F(\eta(X))$, ce qui par
hypothèse égale $u$ : on a donc prouvé $\theta^\$ \circ \theta =
\Id_{\Hom_{\categ{C}}(F(\tiret), \tiret)}$, et dualement $\theta \circ
\theta^\$ = \Id_{\Hom_{\categ{D}}(\tiret, G(\tiret))}$.  Ainsi,
$\theta$ et $\theta^\$$ sont bien des isomorphismes naturels
réciproques, et $\theta$ définit bien une adjonction (dont
$\eta$ et $\varepsilon$ sont respectivement l'unité et la coünité).
\end{proof}

En particulier, on voit que si une adjonction $F \dashv G$ possède la
propriété que sa coünité (disons) $\varepsilon$ soit un isomorphisme
naturel, alors on peut dire de son unité $\eta$ que $\eta\boxempty G$
et $F\boxempty\eta$ sont des isomorphismes (réciproques de
$G\boxempty\varepsilon$ et $\varepsilon\boxempty F$ respectivement).

Il se peut très bien que la coünité ou l'unité d'une adjonction soit
un isomorphisme sans que l'autre le soit : par exemple, si $G$ est le
foncteur (pleinement fidèle) d'inclusion de la catégorie des groupes
dans la catégorie des groupes abéliens, alors $G$ admet pour adjoint à
gauche le foncteur $F$ qui envoie un groupe $\Gamma$ sur son
abélianisé $\Gamma/\Gamma'$ (c'est-à-dire le quotient de $\Gamma$ par
le sous-groupe distingué $\Gamma'$ engendré par les commutateurs
$xyx^{-1}y^{-1}$) avec pour unité le morphisme $\eta(\Gamma)$
surjection canonique de $\Gamma$ sur $\Gamma/\Gamma'$, la coünité
$\varepsilon$ étant alors l'isomorphisme $\Gamma/\Gamma'
\buildrel\sim\over\to \Gamma$ si $\Gamma$ est un groupe abélien, alors
que l'unité $\eta$ n'est un isomorphisme que sur les groupes abéliens.

En revanche, si $\eta$ \emph{et} $\varepsilon$ sont des isomorphismes,
on a affaire à des foncteurs quasi-inverses
(cf. \ref{equivalence-categories} et la remarque qui suit), et on
obtient une seconde adjonction de sens réciproque à partir de la
première :
\begin{proposition2}\label{adjonction-inversible-est-equivalence}
Soit $\theta\colon F \dashv G$ une adjonction de foncteurs (avec $F
\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G \colon \categ{C}\to\categ{D}$)
dont l'unité $\eta \colon \Id_{\categ{D}} \to G\circ F$ et la coünité
$\varepsilon\colon F\circ G \to \Id_{\categ{C}}$ sont toutes deux des
isomorphismes.  Alors il existe une adjonction $\xi\colon G \dashv F$
dont l'unité est l'isomorphisme $\varepsilon^{-1}$ réciproque de
$\varepsilon$ et la coünité l'isomorphisme $\eta^{-1}$ réciproque
de $\eta$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
D'après la proposition \ref{identites-triangulaires-adjonction}, on a
$(G\boxempty\varepsilon) \circ (\eta\boxempty G) = \Id_G$ et
$(\varepsilon\boxempty F) \circ (F\boxempty\eta) = \Id_F$ ce qui,
compte tenu du fait que tous les facteurs sont des isomorphismes,
équivaut à $ (\eta^{-1} \boxempty G) \circ
(G\boxempty\varepsilon^{-1}) = \Id_G$ et $(F\boxempty\eta^{-1}) \circ
(\varepsilon^{-1}\boxempty F) = \Id_F$ : toujours d'après la même
proposition, ceci permet d'affirmer que les transformations naturelles
$\varepsilon^{-1} \colon G\circ F \to \Id_{\categ{D}}$ et $\eta^{-1}
\colon \Id_{\categ{C}} \to F\circ G$ sont respectivement l'unité et la
coünité d'une adjonction $\xi\colon G \dashv F$.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{equivalence-est-adjonction-inversible}
Soient $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon
\categ{C}\to\categ{D}$ deux foncteurs quasi-inverses.  Alors $F$ est
adjoint à gauche et à droite de $G$.

Plus précisément, si $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to
F\circ G$ est un isomorphisme naturel (et qu'on suppose toujours qu'il
existe un isomorphisme naturel $\Id_{\categ{D}} \buildrel\sim\over\to
G\circ F$), alors $e$ est l'unité d'une adjonction $\xi \colon G
\dashv F$, tandis que $e^{-1}$ est la coünité d'une adjonction $\theta
\colon F \dashv G$.

De plus, dans ces conditions et avec ces notations, les conditions
suivantes sur une transformation naturelle $h\colon \Id_{\categ{D}}
\to G\circ F$ sont équivalentes :
\begin{itemize}
\item $h \boxempty G = G \boxempty e$,
\item $F \boxempty h = e \boxempty F$,
\item $h$ est l'unité de l'adjonction $\theta$ (dont $e^{-1}$ est la coünité),
\item $h$ est la réciproque de la coünité de l'adjonction $\xi$ (dont
  $e$ est l'unité) ;
\end{itemize}
il existe un unique $h$ vérifiant ces conditions, et il s'agit d'un
isomorphisme naturel.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $e\colon \Id_{\categ{C}} \buildrel\sim\over\to F\circ G$ est un
isomorphisme naturel, où $F\colon \categ{D}\to\categ{C}$ et $G\colon
\categ{C}\to\categ{D}$ sont deux foncteurs quasi-inverses, alors si on
appelle (pour $X$ un objet quelconque de $\categ{D}$) $h(X) \colon X
\to G(F(X))$ l'antécédent de $e(F(X))\colon F(X) \to F(G(F(X)))$ par
$F\colon \Hom(X,G(F(X))) \to \Hom(F(X),F(G(F(X))))$ (cet antécédent
existe puisque $F$ est plein), le
lemme \ref{lemme-passage-transformations-naturelles-foncteur-fidele}
montre que $h$ est une transformation naturelle : cette transformation
naturelle vérifie $h \boxempty G = G \boxempty e$.  Comme chaque
$h(X)$ est un isomorphisme (puisque $F(h(X)) = e(F(X))$ l'est, et en
utilisant le fait que $F$ est pleinement fidèle), $h$ est un
isomorphisme naturel.  Pour tout morphisme $v \colon X \to G(Y)$, il
existe un unique $u\colon F(X) \to Y$ (à savoir l'unique antécédent
par $G$ de $v\circ h(X)^{-1}\colon G(F(X)) \to G(Y)$) tel que $v =
G(u) \circ h(X)$ : on a donc prouvé sur $h$ la propriété universelle
de l'unité d'une adjonction (cf. la
proposition \ref{propriete-universelle-unite-adjonction}), et d'après
la proposition \ref{adjonction-determinee-par-unite}, $h$ est l'unité
d'une adjonction $\theta\colon F\vdash G$, dont l'égalité $h \boxempty
G = G \boxempty e$ (soit $ (G \boxempty e^{-1}) \circ (h \boxempty G)
= \Id_G$) assure alors d'après la
proposition \ref{identites-triangulaires-adjonction} que $e^{-1}$ est
la coünité, donc vérifie $(e^{-1}\boxempty F) \circ (F\boxempty h) =
\Id_F$ c'est-à-dire $F\boxempty h = e \boxempty F$.  Les deux égalités
$(h^{-1} \boxempty G) \circ (G \boxempty e) = \Id_G$ et $(F\boxempty
h^{-1}) \circ (e\boxempty F) \circ = \Id_F$ montrent alors (toujours
d'après \ref{identites-triangulaires-adjonction}) qu'il existe une
adjonction $\xi\colon G\dashv F$ dont $e$ est l'unité et $h^{-1}$ la
coünité.

Il reste enfin à démontrer que toute transformation naturelle $h'$
vérifiant l'une des quatre conditions dont on veut prouver
l'équivalence est, en fait, la transformation naturelle $h$ qu'on a
construite (et qui vérifie les quatre).  Pour ce qui est des deux
premières, on utilise le lemme \ref{lemme-simplification-foncteurs} :
si on a $h\boxempty G = h'\boxempty G$ ou bien $F\boxempty h =
F\boxempty h'$ alors $h = h'$.  Pour ce qui est des deux
dernières\footnote{Notons que l'énoncé de ces conditions sous-entend
  que $\theta,\xi$ sont bien définies, ce qui est justifié par la
  proposition \ref{adjonction-determinee-par-unite}.}, l'une ou
l'autre implique trivialement que $h' = h$ puisque $h$ est bien
l'unité de $\theta$ et aussi la réciproque de la coünité de $\xi$.
\end{proof}


\tableofcontents
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