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\title{Ensembles simpliciaux et cohomologie des groupes}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Ensembles simpliciaux et cohomologie des groupes}
\fi

\section{Ensembles simpliciaux et leur cohomologie}

\section{Cohomologie des groupes finis}

Il faut au moins qu'il y ait les résultats suivants,
copiés-collés depuis le livre de Serre.

ection{Extensions}

\begin{defi}
Soient $A$ et $G$ deux groupes. On dit que $E$ est une
\emph{extension} de $G$ par $A$ si l'on a une suite exacte
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r] & G \ar[r] &
\{1\}}$$
avec $A$ normal dans $E$.
\end{defi}
\rmq Dans ce \S, on suppose $A$ commutatif.

\bigskip Toute extension $E$ de $G$ par $A$ d\'{e}finit une
action de
$G$ sur $A$ de la mani\`{e}re suivante: remarquons d'abord
que $E$
agit sur $A$ par automorphismes int\'{e}rieurs (puisque $A$
est
normal dans $E$); on a un homomorphisme
$$\left\{\!\!\begin{array}{rcl}
E & \longrightarrow & \Aut(A)\\
e & \longmapsto & \Int(e)_{|A},\\
\end{array}\right.$$
qui passe au quotient $G$: en effet, si $s\in G$, on choisit
$e\in
E$ qui rel\`{e}ve $s$; alors $\Int(e)$ ne d\'{e}pend pas du
choix du
rel\`{e}vement de $s$; changer $e$ en $e'$ au dessus de $s$
revient
en effet \`{a} le multiplier par un \'{e}l\'{e}ment $a$ de
$A$, or
$a$ agit trivialement sur $A$ par automorphismes
int\'{e}rieurs
puisque $A$ est ab\'{e}lien. Donc $G$ agit sur $A$:
$$\xymatrix{ E
\ar[rr] \ar[rd] && \Aut(A) \\ & G \ar[ur]}$$

On va donc consid\'{e}rer $A$ comme un $G$-module; les lois
de
groupe \'{e}tant \'{e}crites multiplicativement, la loi
d'action de
$G$ sur $A$ sera \'{e}crite ${}^s\!a$ pour $a\in A$ et $s\in
G$. On
va associer \`{a} toute extension de $G$ par $A$ une classe
de
cohomologie de $H^2(G,A)$ qui d\'{e}termine cette extension
\`{a}
isomorphisme pr\`{e}s. Et l'on verra que tout
\'{e}l\'{e}ment de
$H^2(G,A)$ peut \^{e}tre obtenu ainsi, cf. th. \ref{th4.3}.

Soit $E$ une extension de $G$ par $A$; on a une surjection
$\pi$
de $E$ sur $G$.

\begin{defi}
Une \emph{section} $h$ de $\pi$ est une application de $G$
dans
$E$ telle que $\pi\circ h=\Id_G$.
$$\xymatrix{E \ar[d]_\pi \\ G \ar@/_0.5cm/[u]_h}$$
\end{defi}\label{section}

Au-dessus de $s\in G$, on choisit un point dans la fibre
$\pi^{-1}(s)$. Tout \'{e}l\'{e}ment $e\in E$ s'\'{e}crit
alors de
mani\`{e}re unique $ah(x)$, avec $a\in A$ et $x\in G$ (en
fait
$x=\pi(e)$).

Cherchons \`{a} mettre sous la forme $ch(z)$
l'\'{e}l\'{e}ment
$ah(x)bh(y)$. On a
$$ah(x)bh(y)=ah(x)bh(x)^{-1}h(x)h(y).$$
L'action de $x\in G$ sur $A$ est donn\'{e}e par l'action de
l'automorphisme int\'{e}rieur d'un \'{e}l\'{e}ment de $E$
au-dessus
de $x$, par exemple $h(x)$. Donc $h(x)bh(x)^{-1}={}^xb$ (qui
est
dans $A$, puisque $A$ est normal). Posons
$$h(x)h(y)=f_h(x,y)h(xy).$$ On a
$f_h(x,y)\in A$ puisque $h(x)h(y)$ et $h(xy)$ ont m\^{e}me
image
dans $G$ par $\pi$. On a finalement obtenu:
$$ah(x)bh(y)=a\,{}^xbf_h(x,y)h(xy)$$ avec
$a\,{}^xbf_h(x,y)\in A$.

\bigskip Nous allons maintenant voir comment $f_h$ varie
avec $h$.
Soient donc $h$ et $h'$ deux sections de $\pi$
($h,h':G\rightarrow
E$). Alors $h(s)$ et $h'(s)$ diff\`{e}rent par un
\'{e}l\'{e}ment de
$A$. Posons $h'(s)=l(s)h(s)$; l'application $l$ est une
$1$-cocha\^{i}ne de $G$ \`{a} valeurs dans $A$. Calculons
$f_{h'}$
\`{a} l'aide de $l$ et de $f_h$. On a
$$h'(s)h'(t)=f_{h'}(s,t)h'(st)=f_{h'}(s,t)l(st)h(st),$$
mais
\begin{eqnarray*}
h'(s)h'(t) & = & l(s)h(s)l(t)h(t)\\
{} & = & l(s)h(s)l(t)h(s)^{-1}h(s)h(t)\\
{} & = & l(s)\,{}^sl(t)f_h(s,t)h(st),
\end{eqnarray*}
d'o\`{u} l'on tire
\begin{eqnarray*}
f_{h'}(s,t) & = & l(s)\,{}^sl(t)f_h(s,t)l(st)^{-1}\\
{} & = & f_h(s,t)\,{}^sl(t)l(s)l(st)^{-1},
\end{eqnarray*}
car $A$ est commutatif. Or, en notation multiplicative, on a
$$dl(s,t)={}^sl(t)l(s)l(st)^{-1}.$$
D'o\`{u}
$$f_{h'}=f_h\,dl.$$
Donc, quand $h$ varie, $f_h$ ne change que par
multiplication par un
cobord. On peut donc associer \`{a} $E$ la classe de
cohomologie de
$f_h$ dans $H^2(G,A)$; appelons $e$ cette classe. Quand
trouve-t-on
$e=0$? Cela signifie (en notation multiplicative) qu'il
existe une
section $h$ telle que $f_h(s,t)=1$ pour tous $s,t\in G$,
i.e. que
$h$ est un homomorphisme.

\begin{defi}
Une extension $E$ de $G$ par $A$ est dite \emph{triviale}
s'il
existe un homomorphisme $h:G\rightarrow E$ telle que
$\pi\circ
h=\Id_G$ (ou, de fa\c{c}on \'{e}quivalente, si $e=0$).
\end{defi}

Examinons une telle extension: tout \'{e}l\'{e}ment de $E$
s'\'{e}crit $ah(s)$ de mani\`{e}re unique et
$ah(s)bh(t)=a\,{}^sbh(st)$. Donc on conna\^{i}t $E$ d\`{e}s
qu'on
conna\^{i}t $A$, $G$ et l'action de $G$ sur $A$. Le groupe
$E$ est
isomorphe au groupe des couples $(a,s)$ avec $a\in A$ et
$s\in G$,
muni de la loi
$$(a,s)(b,t)=(a\,{}^sb,st).$$

On appelle un tel $E$ un \emph{produit
semi-direct}\label{semidirect1} de $G$ par $A$. On vient de
voir: la
classe nulle de $H^2(G,A)$ correspond \`{a} l'extension
triviale de
$G$ par $A$, qui est le produit semi-direct de $G$ par $A$
d\'{e}fini par l'action de $G$ sur $A$.

\begin{thm}
L'application $f_h$ est un $2$-cocycle de $G$ \`{a} valeurs
dans
$A$.
\end{thm}

Il faut v\'{e}rifier que $f_h$ appartient au noyau de $d$,
l'homomorphisme de cobord. L'\'{e}criture est ici
multiplicative; il
faut donc voir que
$$df_h(u,v,w)=1$$ pour tous $u,v,w\in G$; or $df_h$
s'\'{e}crit
$$df_h(u,v,w)={}^u\!f_h(v,w)f_h(u,vw)f_h(uv,w)^{-1}f_h(u,v)^{-1}.$$
Nous allons \'{e}crire $h(u)h(v)h(w)$ sous la forme
$ah(uvw)$ avec
$a\in A$ de deux mani\`{e}res diff\'{e}rentes en utilisant
l'associativit\'{e}
de la loi de groupe dans $E$.\\
On a $$\big(h(u)h(v)\big)h(w)=f_h(u,v)f_h(uv,w)h(uvw)$$ et
$$h(u)\big(h(v)h(w)\big)={}^u\!f_h(v,w)f_h(u,vw)h(uvw)$$
d'o\`{u}
$${}^u\!f_h(v,w)f_h(u,vw)=f_h(u,v)f_h(uv,w)$$
ce qui est bien
$$df_h(u,v,w)=1.\eqno\square$$

Nous allons enfin voir:

\begin{thm}\label{th4.3}
Toute classe de cohomologie de $H^2(G,A)$ correspond \`{a}
une
extension de $G$ par $A$.
\end{thm}

On va reconstruire la situation pr\'{e}c\'{e}dente: soit
$f\in
Z^2(G,A)$. D\'{e}finissons $E$ ensemblistement par
$E=A\times G$. On
d\'{e}finit la loi de $E$ par
$$(a,s)(b,t)=\big(a\,{}^sbf(s,t),st\big).$$
Tout d'abord $E$ est un groupe:\\
$\bullet$ La loi est associative: le calcul fait ci-dessus
pour voir
que $f_h$ est un $2$-cocycle \`{a} partir de
l'associativit\'{e} de
la loi de $E$ se reprend \`{a} l'envers.\\
$\bullet$ Si $\varepsilon=f(1,1)^{-1}$, alors
l'\'{e}l\'{e}ment
$(\varepsilon,1)$ est \'{e}l\'{e}ment neutre. En effet,
$$(a,s)(\varepsilon,1)=\big(a{}^s\!\varepsilon
f(s,1),s\big)$$
or $f$ est un $2$-cocycle donc $df=1$ et
$$df(s,1,1)={}^s\!f(1,1)f(s,1)^{-1}f(s,1)f(s,1)$$
donc
$$1=df(s,1,1)={}^s\!\varepsilon^{-1}f(s,1)^{-1}$$
et $(\varepsilon,1)$ est bien \'{e}l\'{e}ment neutre.\\
$\bullet$ On fait de m\^{e}me le calcul de l'inverse.\\
On a un homomorphisme surjectif \'{e}vident de $E$ dans $G$:
$$\left\{\!\!
\begin{array}{rcl}
E & \longrightarrow & G\\
(a,s) & \longmapsto & s
\end{array}\right.$$
et l'application
$$\left\{\!\!
\begin{array}{rcl}
A & \longrightarrow & E\\
a & \longmapsto & (a\varepsilon ,1)
\end{array}\right.$$
est un homorphisme (car $A$ est ab\'{e}lien) \'{e}videmment
injectif.

Finalement on a bien:
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r] & G \ar[r] &
\{1\}.}\eqno\square$$

\bigskip{\it Interpr\'{e}tation de $H^1(G,A)$ en termes
d'extensions.} Soit $E$ une extension triviale de $G$ par
$A$.
Choisissons une section $h:G\rightarrow E$ qui soit un
homomorphisme
(ce qui identifie $E$ au produit semi-direct $G.A$). Soit
$h'$ une
autre section; on peut \'{e}crire $h'$ de fa\c{c}on unique
comme
$h'=l.h$, o\`{u} $l$ est une $1$-cocha\^{i}ne $G\rightarrow
A$. On a
$f_{h'}=f_h.dl=dl$ puisque $f_h=1$. Pour que $h'$ soit un
homomorphisme, il faut et il suffit que $f_{h'}=1$, i.e. que
$dl=1$,
autrement dit que $l$ soit un $1$-cocycle.

D'autre part, si on conjugue $h$ par un \'{e}l\'{e}ment $a$
de $A$,
on obtient une section qui est un homomorphisme. Soit $h'$
cette
section. A quoi cela correspond-il en termes de $l$? On a
$$h'(x)=ah(x)a^{-1}=l(x)h(x)$$
avec $l(x)=a{}^x\!a^{-1}$. Donc $l=df_a$ (o\`{u} $f_a$ est
l'\'{e}l\'{e}ment de $C^0(G,A)$ correspondant \`{a} $a$).
Donc $l$
doit \^{e}tre un cobord. D'o\`{u}:

\begin{thm}
Les classes de conjugaison (par les \'{e}l\'{e}ments de $A$,
ou de
$G$) des sections de $E$ qui sont des homomorphismes
correspondent
bijectivement aux \'{e}l\'{e}ments du groupe de cohomologie
$H^1(G,A)$.
\end{thm}

[Noter que cette correspondance \emph{d\'{e}pend} du choix
de $h$.
Une fa\c{c}on plus intrins\`{e}que de s'exprimer consiste
\`{a} dire
que l'ensemble des classes de sections-homomorphismes est un
espace
principal homog\`{e}ne (\og torseur\fg) sous l'action de
$H^1(G,A)$.]

\begin{coro}
Pour que les sections de $\pi$ qui sont des homomorphismes
soient
conjugu\'{e}es, il faut et il suffit que $H^1(G,A)=\{0\}$.
\end{coro}

\section{Groupes finis: un crit\`{e}re de
nullit\'{e}}\label{4.3}

Soit $G$ un groupe \`{a} $m$ \'{e}l\'{e}ments et soit $A$ un
$G$-module.

\begin{thm}
Soient $n\geqslant 1$ et $x\in H^n(G,A)$. On a $mx=0$.
\end{thm}

Soit $f\in Z^n(G,A)$ un $n$-cocycle repr\'{e}sentant $x$. Il
faut
construire $F\in
C^{n-1}(G,A)$ tel que $dF=mf$.\\
Prenons $F_1(s_1,\dots,s_{n-1})=\sum_{s\in
G}{f(s_1,\dots,s_{n-1},s)}$. Comme $f\in Z^n(G,A)$, on a
$df=0$.
Or
$$\begin{array}{rcl}
df(s_1,\dots,s_{n+1}) & = &
\displaystyle
s_1f(s_2,\dots,s_{n+1})-f(s_1s_2,s_3,\dots,s_{n+1})+\cdots\\
{} & {} & {}\\
{} & {} &
\hfill{{}
+(-1)^nf(s_1,\dots,s_ns_{n+1})+(-1)^{n+1}f(s_1,\dots,s_n)}
\\
{} & = & 0.
\end{array}$$
Donc
$$\begin{array}{rcl}
\displaystyle \sum_{s_{n+1}\in G}{df(s_1,\dots,s_{n+1})} & =
&
s_1F_1(s_2,\dots,s_n)-F_1(s_1s_2,\dots,s_n)+\cdots\\
{} & {} & \hfill{{}
+(-1)^nF_1(s_1,\dots,s_{n-1})+(-1)^{n+1}mf(s_1,\dots,s_n).}
\end{array}$$

On a utilis\'{e} le fait que si $s_{n+1}$ parcourt $G$,
$s_ns_{n+1}$
aussi ($s_n$ \'{e}tant fix\'{e}). On a ainsi obtenu
$$(-1)^nmf(s_1,\dots,s_n)=dF_1(s_1,\dots,s_n).$$
On pose donc $F=(-1)^n F_1$ qui v\'{e}rifie $dF=mf$,
d'o\`{u} le
r\'{e}sultat.~\findem

\begin{coro}
Si l'application $a\mapsto ma$ est un automorphisme de $A$
($m$
\'{e}tant l'ordre de $G$) alors $H^n(G,A)=\{0\}$ pour tout
$n\geqslant 1$.
\end{coro}

En effet, $x\mapsto mx$ est alors un automorphisme de
$C^n(G,A)$ qui
commute \`{a} $d$. Donc c'est un automorphisme de $H^n(G,A)$
par
passage au quotient. Or c'est dans ce cas l'application
nulle
d'o\`{u} $H^n(G,A)=\{0\}$.~\findem

\begin{coro}
Si $G$ et $A$ sont finis d'ordres premiers entre eux alors
$H^n(G,A)=\{0\}$ pour tout $n\geqslant 1$.
\end{coro}

En effet $a\mapsto ma$ est alors un automorphisme de
$A$.~\findem

\begin{coro}
Si $G$ et $A$ sont finis d'ordres premiers entre eux alors:
\begin{enumerate}
\item[(1)] Toute extension $E$ de $G$ par $A$ est triviale.

\item[(2)] Deux homomorphismes sections de $G\rightarrow E$
sont
conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$.
\end{enumerate}
\end{coro}

On a $H^n(G,A)=\{0\}$ si $n\geqslant 1$. Le cas $n=2$ donne
$(1)$ et
le cas $n=1$ donne $(2)$ d'apr\`{e}s l'\'{e}tude faite en
\ref{extensions}.~\findem

\section{Extensions de groupes d'ordres premiers entre
eux}\label{4.4}

Nous allons \'{e}tendre certains r\'{e}sultats sur les
extensions
d'un groupe $G$ par un groupe $A$ commutatif au cas o\`{u}
$A$ est
r\'{e}soluble ou m\^{e}me quelconque.

\begin{thm}[Zassenhaus]\label{Zassen}
Soient $A$ et $G$ deux groupes finis d'ordres premiers entre
eux et
consid\'{e}rons une extension $\{1\}\rightarrow A\rightarrow
E\rightarrow G\rightarrow \{1\}$. Alors:
\begin{enumerate}
\item[(1)] Il existe un sous-groupe de $E$
(\emph{suppl\'{e}mentaire
de $A$}) qui se projette isomorphiquement sur $G$ ($E$ est
produit
semi-direct).

\item[(2)] Si $A$ ou $G$ est r\'{e}soluble, deux tels
sous-groupes
sont conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$ (ou de $E$,
cela
revient au m\^{e}me).
\end{enumerate}
\end{thm}

On raisonne par r\'{e}currence sur $|E|$; on peut supposer
$A$ et
$G$ distincts de $\{1\}$.

{\it Premier cas: $A$ est r\'{e}soluble.} On d\'{e}montre
d'abord le

\begin{lemme}\label{4.4.2}
Soit $X$ un groupe r\'{e}soluble non r\'{e}duit \`{a}
$\{1\}$. Il
existe un nombre premier $p$ et un $p$-sous-groupe $Y$ de
$X$
distinct de $\{1\}$ tel que $Y$ soit ab\'{e}lien
\'{e}l\'{e}mentaire
et caract\'{e}ristique.
\end{lemme}

On rappelle qu'un $p$-groupe ab\'{e}lien est dit
\emph{\'{e}l\'{e}mentaire} si ses \'{e}l\'{e}ments distincts
de $1$
sont d'ordre $p$ et qu'un sous-groupe d'un groupe $X$ est
caract\'{e}ristique s'il est stable par tout automorphisme
de $X$.

\bigskip {\it D\'{e}monstration du lemme. } Soient $D^i(X)$
les d\'{e}riv\'{e}s successifs de $X$. Comme $X$ est
r\'{e}soluble,
il existe $i$ tel que $D^i(X)$ est distinct de $\{1\}$ et
$D^{i+1}(X)$ est r\'{e}duit \`{a} $\{1\}$. Alors $D^i(X)$
est un
sous-groupe de $X$ ab\'{e}lien et diff\'{e}rent de $\{1\}$.
De plus,
il est caract\'{e}ristique. Soit alors $p$ divisant l'ordre
de
$D^i(X)$ et soit $Y$ le groupe des \'{e}l\'{e}ments de
$D^i(X)$
d'ordre divisant $p$. Alors $Y$ est ab\'{e}lien,
diff\'{e}rent de
$\{1\}$, caract\'{e}ristique (un automorphisme de $X$
transforme un
\'{e}l\'{e}ment d'ordre $p$ en un autre de m\^{e}me ordre)
et est un
$p$-groupe \'{e}l\'{e}mentaire.~\findem

\bigskip {\it Retour \`{a} la d\'{e}monstration du
th\'{e}or\`{e}me. }
Appliquons le lemme avec $X=A$ et $Y=A'$ et remarquons que
$A'$ est
normal dans $E$: un automorphisme int\'{e}rieur de $E$
restreint
\`{a} $A$ est un automorphisme de $A$ (car $A$ est normal
dans $E$)
et
laisse donc $A'$, qui est caract\'{e}ristique, invariant.\\
Si $A=A'$, alors $A$ est ab\'{e}lien et le th\'{e}or\`{e}me
est
connu. Sinon, comme $A'$ est normal dans $E$, on peut passer
au
quotient par $A'$ et on obtient la suite exacte
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A/A' \ar[r] & E/A' \ar[r] & G
\ar[r] & \{1\}}.$$
La situation se d\'{e}crit par le diagramme suivant:
$$\xymatrix{& E \ar[d]\\ & E/A' \ar[d]\\ G \ar@{.>}[uur]
\ar@{.>}[ur] \ar[r] & E/A}$$
Comme $E/A'$ est de cardinal strictement inf\'{e}rieur \`{a}
celui
de $E$, l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence entra\^{i}ne que
$G$ se
rel\`{e}ve en un sous-groupe $G'$ de $E/A'$. Soit $E'$
l'image
r\'{e}ciproque de $G'$ par la projection $E\rightarrow
E/A'$. Alors
on a la suite exacte
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A' \ar[r] & E' \ar[r] & G' \ar[r]
& \{1\}}.$$
Or $A'$ est ab\'{e}lien. D'apr\`{e}s le \S\ \ref{4.3}, on
peut donc
relever $G'$ en un sous-groupe de $E'$. On obtient ainsi un
rel\`{e}vement de $G$ dans $E$.

Montrons que deux tels rel\`{e}vements $G'$ et $G''$ sont
conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$. On a
$$E=A.G'\;\mbox{ et }\; E=A.G''.$$
L'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence, appliqu\'{e}e \`{a}
$E/A'$,
montre qu'il existe $a\in A$ tel que $aG'a^{-1}$ et $G''$
aient
m\^{e}me image dans $E/A'$. Quitte \`{a} remplacer $G'$ par
$aG'a^{-1}$, on peut donc supposer que $A'.G'=A'.G''$. La
conjugaison par un \'{e}l\'{e}ment de $A$ de $G'$ et $G''$
r\'{e}sulte alors du cas ab\'{e}lien (cf. \S\ \ref{4.3}),
appliqu\'{e} \`{a} $A'.G'=A'.G''$.

\bigskip
{\it Deuxi\`{e}me cas: assertion $(1)$ dans le cas
g\'{e}n\'{e}ral.}
Soit $p$ premier divisant l'ordre de $A$ et soit $S$ un
$p$-Sylow de
$A$ (cf. \S\ \ref{2.2}). Soit $E'$ le normalisateur dans $E$
de $S$.
D'apr\`{e}s le \S\ \ref{2.3}, on a $E=A.E'$. Soit $A'=E'\cap
A$;
$A'$ est normal dans $E'$ et l'on a la suite exacte
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A' \ar[r] & E' \ar[r] & G \ar[r]
& \{1\}}.$$
Distinguons deux cas:\\
$\bullet$ Si $|E'|<|E|$, l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence
permet de
relever $G$ dans $E'$, donc dans $E$.\\
$\bullet$ Si $|E'|=|E|$ alors $S$ est normal dans $E$ donc
aussi
dans $A$. On passe au quotient:
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A/S \ar[r] & E/S \ar[r] & G
\ar[r] & \{1\}}$$
avec $E/S$ de cardinal strictement inf\'{e}rieur \`{a} celui
de $E$.
Par l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence, $G$ se rel\`{e}ve en
$G_1$ de
$E/S$. Soit $E_1$ l'image r\'{e}ciproque de $G_1$ par la
projection
$E\rightarrow E/S$. On a la suite exacte
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & S \ar[r] & E_1 \ar[r] & G \ar[r]
&\{1\}.}$$
Or $S$ est un $p$-groupe donc est r\'{e}soluble et l'on est
ramen\'{e} au premier cas.

\bigskip
{\it Troisi\`{e}me cas: assertion $(2)$ lorsque $G$ est
r\'{e}soluble.} Soient $G$ et $G'$ deux rel\`{e}vements de
$G$ dans
$E$. On a
$$E=A.G'\;\mbox{ et }\; E=A.G''.$$
Soient $p$ un nombre premier et $I$ un sous-groupe
ab\'{e}lien
normal diff\'{e}rent de $\{1\}$ de $G$ (cf. lemme
\ref{4.4.2}) et
soit $\widetilde{I}$ son image r\'{e}ciproque dans $E$ par
la
projection $E\rightarrow G$. Soient $I'=\widetilde{I}\cap
G'$ et
$I''=\widetilde{I}\cap G''$. On a
$$A.I'=A.I''\; (=\widetilde{I}).$$
Les groupes $I'$ et $I''$ sont des $p$-Sylow de
$\widetilde{I}$; il
existe donc $x\in \widetilde{I}$ tel que $I''=xI'x^{-1}$; si
on
\'{e}crit $x$ sous la forme $ay$ avec $a\in A$ et $y\in I'$,
on a
$I''=aI'a^{-1}$. Quitte \`{a} remplacer $I'$ par
$aI'a^{-1}$, on
peut
donc supposer $I''=I'$.\\
Soit $N$ le normalisateur de $I'=I''$ dans $E$. On a
$G'\subset N$
et $G''\subset N$. Si $N$ est distinct de $E$,
l'hypoth\`{e}se de
r\'{e}currence appliqu\'{e}e \`{a} $N$ montre que $G'$ et
$G''$ sont
conjugu\'{e}s. Si $N=E$, autrement dit si $I'$ est normal
dans $E$,
l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence appliqu\'{e}e \`{a} $E/I'$
montre
qu'il existe $a\in A$ tel que $I'.aG'a^{-1}=I'.G''$. Puisque
$I'$
est normal et contenu \`{a} la fois dans $G'$ et $G''$, cela
entra\^{i}ne
$$aG'a^{-1}=G'',$$
d'o\`{u} le r\'{e}sultat.~\findem

\bigskip\rmq L'hypoth\`{e}se \og $A$ ou $G$ est
r\'{e}soluble\fg\ faite
dans $(2)$ est automatiquement satisfaite d'apr\`{e}s le
th\'{e}or\`{e}me de Feit-Thompson (cf. \S\ \ref{grpe resol})
disant
que tout groupe d'ordre impair est r\'{e}soluble.

\section{Rel\`{e}vements d'homomorphismes}\label{4.5}\label{obstruction relèvement morphisme}

Soient $\{1\}\rightarrow A\rightarrow
E\stackrel{\pi}{\rightarrow}
\Phi\rightarrow\{1\}$ une suite exacte , $G$ un groupe et
$\varphi$
un homomorphisme de $G$ dans $\Phi$. Peut-on relever
$\varphi$ en un
homomorphisme $\psi$ de $G$ dans $E$?
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E \ar[r]^{\pi} & \Phi
\ar[r] & \{1\}\\
{} & {} & {} & G \ar[u]_\varphi \ar@{.>}[ul]^\psi}$$ La
question
\'{e}quivaut \`{a} celle du rel\`{e}vement de $G$ dans une
extension
$E_\varphi$ de $G$ par $A$ associ\'{e}e \`{a} $\varphi$,
d\'{e}finie
de la fa\c{c}on suivante:
$$E_\varphi=\{(g,e)\in G\times E\ |\
\varphi(g)=\pi(e)\}$$ muni de la loi de groupe habituelle
pour le
produit cart\'{e}sien. Alors $A$ se plonge dans $E_\varphi$
par
$a\mapsto (1,a)$ et $E_\varphi$ se projette sur $G$ par
$(g,e)\mapsto g$.
$$\xymatrix{E_\varphi \ar[r] \ar[d] & E \ar[d]^\pi\\ G
\ar[r]^\varphi & \Phi}$$
On a la suite exacte
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] & E_\varphi \ar[r] & G
\ar[r] & \{1\}}.$$
(on dit parfois que $E_\varphi$ est \emph{l'image
r\'{e}ciproque}
(\og pull-back\fg) de l'extension $E$ par l'homomorphisme
$\varphi$).

Voyons l'\'{e}quivalence des deux probl\`{e}mes. Soit $\psi$
un
rel\`{e}vement de $\varphi$. Alors l'ensemble
$G_\psi=\{(g,\psi(g)),\ g\in G\}$
est un sous-groupe de $E_\varphi$ qui est un rel\`{e}vement
de $G$.\\
Soit maintenant $G'$ un rel\`{e}vement de $G$. Alors $G'$
est
form\'{e} de couples $(g,e)$ avec $g\in G$ et $e\in E$,
chaque $g\in
G$ apparaissant dans un et un seul couple. Alors $\psi$
d\'{e}fini
par $\psi(g)=e$ est un homomorphisme
qui rel\`{e}ve $\varphi$.\\
De plus, deux rel\`{e}vements $\psi'$ et $\psi''$ sont
conjugu\'{e}s
par $a\in A$ si et seulement si $G_{\psi'}$ et $G_{\psi''}$
sont
conjugu\'{e}s par $(1,a)\in E_\varphi$. Le \S\ \ref{4.4}
donne alors
le

\begin{thm}
Soit $\{1\}\rightarrow A\rightarrow E \rightarrow
\Phi\rightarrow\{1\}$ une suite exacte et soit $\varphi$ un
homomorphisme d'un groupe $G$ dans le groupe $\Phi$.
Supposons $G$
et $A$ finis d'ordres premiers entre eux. Alors:
\begin{enumerate}
\item[(1)] Il existe un homomorphisme $\psi$ de $G$ dans $E$
qui
rel\`{e}ve $\varphi$.

\item[(2)] Si $G$ ou $A$ est r\'{e}soluble, deux tels
homomorphismes
sont conjugu\'{e}s par un \'{e}l\'{e}ment de $A$.
\end{enumerate}
\end{thm}

\App On se donne un homomorphisme $\varphi: G\rightarrow
\mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)$ o\`{u} $p$ ne divise pas l'ordre de
$G$. On
va voir qu'\emph{on peut relever $\varphi$ en
$\varphi_\alpha:
G\rightarrow \mathbf{GL}_n(\ZM/p^\alpha\ZM)$ pour tout
$\alpha
\geqslant 1$}.

Commen\c{c}ons par relever $\varphi$ en $\varphi_2$. On a la
suite
exacte
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] &
\mathbf{GL}_n(\ZM/p^2\ZM) \ar[r] & \mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)
\ar[r] & \{1\}}$$
o\`{u} $A$ est form\'{e} des matrices de la forme $1+pX$
avec $X$
matrice $n\times n$ modulo $p$ et o\`{u} l'application de
$\mathbf{GL}_n(\ZM/p^2\ZM)$ dans $\mathbf{GL}_n(\ZM/p\ZM)$
est la
r\'{e}duction modulo $p$. Le groupe $A$ est alors isomorphe
\`{a}
$\MM_n(\ZM/p\ZM)$ qui est un $p$-groupe ab\'{e}lien. On peut
donc
appliquer le th\'{e}or\`{e}me pr\'{e}c\'{e}dent et relever
$\varphi$
en
$\varphi_2$ de mani\`{e}re essentiellement unique.\\
Le m\^{e}me argument permet de relever $\varphi_\alpha$ en
$\varphi_{\alpha+1}$. On a la suite exacte
$$\xymatrix{\{1\} \ar[r] & A \ar[r] &
\mathbf{GL}_n(\ZM/p^{\alpha +1}\ZM) \ar[r] &
\mathbf{GL}_n(\ZM/p^{\alpha}\ZM) \ar[r] & \{1\}\\
&& G \ar[u]^{\varphi_{\alpha +1}}
\ar[ur]_{\varphi_{\alpha}}}.$$ On
peut passer \`{a} la limite projective: comme $\varprojlim
{(\ZM/p^\alpha\ZM)}=\ZM_p$, on obtient une
repr\'{e}sentation
$$\varphi_\infty: \xymatrix{G \ar[r] & \mathbf{GL}_n(\ZM_p)\
\ar@{^{(}->}[r] & \mathbf{GL}_n(\QM_p)}.$$
Or $\QM_p$ est de caract\'{e}ristique $0$: ainsi, \`{a}
partir d'une
repr\'{e}sentation en caract\'{e}ristique $p$, on en obtient
une en
caract\'{e}risque $0$.





\section{Cohomologie continue des groupes profinis}

\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi