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\title{Corps $C_1$}
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\chapter{Corps $C_1$}
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\section{Généralités}

\subsection{Corps $C_r$ et $C'_r$}

\begin{definition2}\label{definition-corps-c-r}
Un corps $k$ est dit $C_r$ lorsqu'il vérifie la propriété suivante :
si $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ est un polynôme homogène de degré $d>0$
en $n$ variables à coefficients dans $k$ et que $n > d^r$, alors $P$ a
un zéro non trivial (dans $k$), c'est-à-dire qu'il existe
$x_1,\ldots,x_n$ dans $k$, non tous nuls, tels que $P(x_1,\ldots,x_n)
= 0$.

Un corps $k$ est dit $C'_r$ lorsqu'il vérifie la propriété suivante :
si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes
de degrés respectivement $d_1,\ldots,d_s>0$ en $n$ variables
(communes) sur $k$, et que $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$, alors
$P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$),
c'est-à-dire qu'il existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $k$, non tous nuls,
tels que $P_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$ pour tout $i$.
\end{definition2}

\begin{remarques2}
\begin{itemize}
\item Il est trivial que la propriété $C'_r$ implique la
propriété $C_r$ (la réciproque est vraie sous une hypothèse technique,
voir \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}
ci-dessous).  Par ailleurs, la propriété $C_r$ est d'autant plus forte
que $r$ est petit.
\item Les corps $C_0$ sont les corps algébriquement clos : cela
résulte du fait que, pour $a_d\neq 0$, le polynôme $a_0 X_0^d + a_1
X_0^{d-1} X_1 + \cdots + a_d X_1^d \in k[X_0,X_1]$ (homogène de
degré $d$) a un zéro non trivial si et seulement si le polynôme $a_0 +
a_1 X + \cdots + a_d X^d \in k[X]$ a un zéro.  On va voir
en \ref{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0} que les corps
algébriquement clos sont même $C'_0$, c'est-à-dire que les propriétés
$C_0$ et $C'_0$ sont en fait équivalentes.
\item Tous les corps vérifient les deux propriétés ci-dessus (même
pour $r=0$) si les polynômes intervenant sont de degré $1$,
c'est-à-dire, sont des formes linéaires (car l'intersection des noyaux
des $P_i$ est de dimension $> n-s \geq 0$).
\end{itemize}
\end{remarques2}

\begin{definition2}\label{definition-forme-normique}
On dit qu'un polynôme homogène $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ de degré $d$
en $n$ variables est une \emph{forme normique d'ordre $r$} (et de
degré $d$) lorsque le nombre $n$ de variables vaut exactement $d^r$ et
que $P$ n'a pas de zéro non trivial (sur $k$).
\end{definition2}

Autrement dit, une forme normique d'ordre $r$ est un polynôme homogène
dont le nombre de variables est le plus grand possible pour ne pas
réfuter le fait que $k$ soit $C_r$.  La notion de forme normique
d'ordre $r$ n'est intéressante que lorsque $k$ est un corps $C_r$.

La proposition suivante explique le choix du mot « normique » :

\begin{proposition2}\label{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1}
Soit $K$ une extension de degré $d$ fini d'un corps $k$, et
$a_1,\ldots,a_d$ une base de $K$ comme $k$-espace vectoriel.  Alors la
fonction $x_1,\ldots,x_d \mapsto \N_{K\bo k}(x_1 a_1 + \cdots + x_d
a_d)$ est une forme normique d'ordre $1$ et de degré $d$ sur $k$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
La fonction $x_1,\ldots,x_d \mapsto \N_{K\bo k}(x_1 a_1 + \cdots + x_d
a_d)$ s'écrit comme (la fonction associée à) un polynôme de degré $d$
en $d$ variables en l'explicitant comme un déterminant.  Si $c\in K$
vérifie $\N_{K\bo k}(c) = 0$, alors $c=0$ : ceci prouve qu'on a bien
affaire à une forme normique d'ordre $1$.
\end{proof}

Introduisons temporairement la notation suivante : si $f$ est un
polynôme homogène de degré $d$ en $n$ variables et $g$ un polynôme
homogène de degré $e$ en $m$ variables, on note $f(g|g|g|\ldots|g)$ le
polynôme de degré $de$ en $mn$ variables (non spécifiées) obtenu en
substituant à chacune des $n$ variables de $f$ le polynôme $g$
appliqué à un nouveau jeu de $m$ variables (parmi $mn$ au total) ; la
barre « $|$ » signifie donc qu'on introduit de nouvelles variables.

Plus généralement, si $f$ est un polynôme homogène de degré $d$ en $n$
variables et $g_1,\ldots,g_s$ (avec $s\leq n$) des polynômes homogènes
chacun de degré $e$ en $m$ variables (communes), on note
$f(g_1,\ldots,g_s\,|\, g_1,\ldots,g_s\,| \ldots |\,
g_1,\ldots,g_s \,|\, 0,\ldots,0)$ le polynôme de degré $de$ en
$m\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$ variables (où $\lfloor\tiret\rfloor$
désigne la fonction partie entière) obtenu en substituant à chacun des
$\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$ premiers blocs de $s$ variables de $f$
les polynômes $g_1,\ldots,g_s$ appliqués à un nouveau jeu de $m$
variables, et $0$ aux variables restantes (au nombre de
$n-s\lfloor \frac{n}{s}\rfloor$, soit le reste de la division
euclidienne de $n$ par $s$) : formellement, il s'agit donc du polynôme
$f (g_1(Z_{1,1},\ldots,Z_{1,n}),\ldots,\penalty500
g_s(Z_{1,1},\ldots,Z_{1,n}),\penalty-100
g_1(Z_{2,1},\ldots,Z_{2,n}),\ldots,\penalty500 g_s(Z_{\lfloor
\frac{n}{s}\rfloor,1},\ldots,Z_{\lfloor \frac{n}{s}\rfloor,n}), \penalty-100
0,\ldots,0)$ en des variables $Z_{i,j}$ pour $1 \leq i \leq \lfloor
\frac{n}{s}\rfloor$ et $1 \leq j \leq m$.

Cette notation permet de démontrer très facilement le lemme suivant :
\begin{lemme2}\label{grandissement-degres-formes-normiques}
Soit $k$ un corps admettant une forme normique d'ordre $r$ et de degré
$d>1$ (en $d^r$ variables).  Alors $k$ admet des formes normiques
d'ordre $r$ et de degrés arbitrairement grands.
\end{lemme2}
\begin{proof}
Si $f$ est une forme normique d'ordre $r$ et de degré $d$, alors en
définissant $f^{(1)} = f$ et par récurrence $f^{(\ell+1)} =
f^{(\ell)}(f|f|\ldots|f)$, on voit que $f^{(\ell)}$ est un polynôme
homogène de degré $d^\ell$ en $d^{r\ell}$ variables et il est clair
(par récurrence sur $\ell$) que $f^{(\ell)}$ ne peut s'annuler que
lorsque toutes ses variables s'annulent.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r}
Soit $k$ un corps $C_r$.  Si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$
sont des polynômes homogènes \emph{de même degré} $d>0$ en $n$
variables (communes) sur $k$, et que $n > s d^r$, alors
$P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $k$ est algébriquement clos, le résultat découle
de \ref{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0} ci-dessous.

Sinon, la
proposition \ref{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1}
assure que $k$ admet une forme normique $\Phi^{(0)}$ d'ordre $1$ et de
degré disons $N_0 = D_0$.  D'après le
lemme \ref{grandissement-degres-formes-normiques}, on peut supposer
$N_0 \geq s$ (on imposera éventuellement d'autres contraintes sur
$N_0$ ci-dessous).

Définissons alors par récurrence sur $\ell$ des polynômes homogènes
$\Phi^{(\ell)}$ de degré $D_\ell$ en $N_\ell$ variables, en posant
$\Phi^{(\ell+1)} = \Phi^{(\ell)}(P_1,\ldots,P_s\,|\,
P_1,\ldots,P_s\,| \ldots |\, P_1,\ldots,P_s \,|\, 0,\ldots,0)$ (avec
la notation expliquée plus haut).  Ainsi, $N_{\ell+1} =
n\lfloor\frac{N_\ell}{s}\rfloor$ et $D_\ell = D_0 d^\ell$.  Si l'on
parvient à prouver que $N_\ell > D_\ell^r$ pour un certain $\ell$, le
fait que $k$ soit $C_r$ entraînera que $\Phi^{(\ell)}$ a un zéro non
trivial, or il est clair par récurrence sur $\ell$ que ceci entraîne
que $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial.

Il suffit donc pour conclure d'établir, à partir de l'hypothèse $n > s
d^r$, que $\frac{N_\ell}{D_\ell^r}$ tend vers $+\infty$
(quand $\ell\to+\infty$).  Posons $\alpha = \frac{n}{sd^r}$, de sorte
que $\alpha>1$.  Remarquons d'abord que la suite $N_\ell$ est
strictement croissante, au moins si $N_0$ est choisi assez grand (par
exemple, si $N_\ell > \frac{n}{\frac{n}{s}-1}$, alors $\lfloor
x\rfloor > x-1$ donne $N_{\ell+1} - N_\ell > (\frac{n}{s}-1) N_\ell -
n > 0$, donc en choisissant $N_0 > \frac{n}{\frac{n}{s}-1}$ on a
$N_\ell$ strictement croissante et vérifiant toujours cette égalité) ;
puisqu'il s'agit d'une suite d'entiers naturels, on a $N_\ell \to
+\infty$.  Posant $u_\ell = \frac{N_\ell}{D_\ell^r}
= \frac{N_\ell}{D_0 d^{r \ell}}$, on a donc montré $d^{r\ell}
u_\ell \to +\infty$.  Or $u_{\ell+1} > \alpha (u_\ell - \frac{s}{D_0
d^{r\ell}})$ (toujours en appliquant $\lfloor x\rfloor > x-1$), donc
$u_{\ell+1} > \alpha (1- \frac{s}{D_0 d^{r\ell} u_\ell}) u_\ell$ ; et
on vient de voir que le terme entre parenthèses tend vers $1$, de
sorte que si on choisit $1<\alpha'<\alpha$, on a $u_{\ell+1} > \alpha'
u_\ell$ à partir d'un certain rang.  Ceci montre $u_\ell \to +\infty$
comme souhaité.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{extension-finie-de-corps-c-r}
Soit $k$ un corps $C_r$ (resp. $C'_r$), et $K$ une extension finie
de $k$.  Alors $K$ est un corps $C_r$ (resp. $C'_r$).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $t$ le degré de $K$ sur $k$, et $a_1,\ldots,a_t$ une base de $K$
comme $k$-espace vectoriel.

Considérons d'abord le cas $C_r$ : soit $P \in K[X_1,\ldots,X_n]$ un
polynôme homogène de degré $d$ en $n > d^r$ variables.  On définit $t$
polynômes $Q_1,\ldots,Q_t$ homogènes à coefficients dans $k$, tous de
degré $d$, en $nt$ variables communes $X_{j,v}$ (pour $j$ allant de
$1$ à $n$ et $v$ de $1$ à $t$), par $P(x_{1,1} a_1 + \cdots + x_{1,d}
a_d,\,\ldots\penalty-100\,, x_{n,1} a_1 + \cdots + x_{n,d} a_d) =
Q_1(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_1 + \cdots +
Q_t(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_t$.  Puisque $nt > d^r\,t$, la
proposition \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r}
garantit que les $Q_v$ ont un zéro commun non trivial, qui fournit un
zéro non trivial de $P$.

La démonstration dans le cas $C'_r$ est semblable en utilisant
directement la définition : soient $P_1,\ldots,P_s \in
K[X_1,\ldots,X_n]$ des polynômes homogènes de degrés $d_1,\ldots,d_s$
en $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$ variables.  On définit $st$ polynômes
$Q_{1,1},\ldots,Q_{s,t}$ homogènes à coefficients dans $k$, avec
$Q_{i,v}$ de degré $d_i$, en $nt$ variables communes $X_{j,v}$ (pour
$j$ allant de $1$ à $n$ et $v$ de $1$ à $t$), par $P_i(x_{1,1} a_1
+ \cdots + x_{1,d} a_d,\,\ldots\penalty-100\,, x_{n,1} a_1 + \cdots +
x_{n,d} a_d) = Q_{i,1}(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_1 + \cdots +
Q_{i,t}(x_{1,1},\ldots,x_{n,d}) \, a_t$.  Puisque $nt > \sum_i
d_i^r\,t$, la définition d'un corps $C'_r$ garantit que les $Q_{i,v}$
ont un zéro commun non trivial, qui fournit un zéro non trivial
des $P_i$.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{extension-algebrique-de-corps-c-r}
Soit $k$ un corps $C_r$ (resp. $C'_r$), et $K$ une extension
algébrique de $k$.  Alors $K$ est un corps $C_r$ (resp. $C'_r$).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $P \in K[X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme homogène de degré $d>0$ en
$n > d^r$ variables.  Soit $K_0$ le sous-corps de $K$ engendré par $k$
et par les coefficients de $P$ : étant engendré par un nombre fini
d'éléments algébriques sur $k$, il est de degré fini sur lui
(cf. \ref{Alg}{multiplicativité degré}).  La
proposition \ref{extension-finie-de-corps-c-r} s'applique donc, et il
existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $K_0$, et \textit{a fortiori} dans $K$,
tels que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$.  Le cas $C'_r$ est tout à fait
analogue.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}
Soit $k$ un corps $C_r$.  On fait l'hypothèse qu'il existe sur $k$ des
formes normiques d'ordre $r$ et de tout degré $d>0$.  Si
$P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes de
degrés $d_1,\ldots,d_s>0$ en $n$ variables (communes) sur $k$, et que
$n > d_1^r + \cdots + d_s^r$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro
commun non trivial (dans $k$) : autrement dit, $k$ est $C'_r$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Dans ce qui suit, la variable $i$ parcourra les entiers de $1$ à $s$,
la variable $j$ les entiers de $1$ à $n$, et les variables $u_i$ (pour
$1\leq i \leq s$) les entiers de $1$ à $d_i^r$.

Soit $D = d_1 d_2 \cdots d_s$, et pour chaque $i$ soit $f_i$ une forme
normique d'ordre $r$ et de degré $D/d_i$ donc en $D^r/d_i^r$
variables.  On considère d'abord, pour chaque $i$, des variables
$Z_{i,j,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s}$ (où $\widehat{u_i}$
signifie que l'indice $u_i$ a été omis) au nombre de $n D^r/d_i^r$ et,
en ces variables, le polynôme homogène $g_i = f_i(P_i|P_i|\ldots|P_i)$
de degré $D$ : on rappelle qu'il est explicitement défini comme
$g_i(Z_{i,\ldots}) = f_i(p_{i,\ldots})$ où
$p_{i,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s}$ s'obtient en appliquant
$P_i$ aux $n$ variables $Z_{i,j,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s}$
(ici seul $j$ varie), et où $f_i$ est ensuite appliqué aux $D^r/d_i^r$
variables $p_{i,\ldots}$.

Soient maintenant $n D^r$ nouvelles variables $Z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$
(cette fois l'indice $u_i$ est présent mais l'indice $i$ ne l'est
plus), et pour chaque $i$ soient $h_{i,u_i}$ les $d_i^r$ polynômes
obtenus en appliquant $g_i$ aux $D^r/d_i^r$ variables
$Z_{i,j,u_1,\ldots,\widehat{u_i},\ldots,u_s} = Z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$
(la valeur de $u_i$ est précisée dans l'indice sur $h_{i,u_i}$ et
prend $d_i^r$ valeurs possibles).  On obtient ainsi au total
$\sum_{i=1}^s d_i^r$ polynômes $h_{i,u_i}$, tous de degré $D$, en $n
D^r$ variables communes $Z'_{\ldots}$.  Puisque $n D^r > (\sum_i
d_i^r) D^r$, la
proposition \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r} assure
que les $h_{i,u_i}$ ont un zéro commun non trivial
$z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$.  En fixant arbitrairement les valeurs
$u_1,\ldots,u_s$, les $n$ valeurs $z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$ définissent
un zéro commun des $g_i$ donc des $P_i$, et il existe $u_1,\ldots,u_s$
tels que toutes les valeurs $z'_{j,u_1,\ldots,u_s}$ ne soient pas
simultanément nulles.  Ceci fournit le zéro commun recherché
des $P_i$.
\end{proof}

\begin{corollaire2}
Un corps $C_1$ admettant une extension algébrique de chaque degré
$d>0$ est $C'_1$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
Cela découle immédiatement
de \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}, compte
tenu de la
proposition \ref{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1}.
\end{proof}

\subsubsection{Corps fortement $C_r$}\label{corps-fortement-c-r} Dans
tout ce qui précède, nous avons utilisé les polynômes homogènes de
degré $>0$.  Si on remplace ceux-ci par les polynômes sans terme
constant, on obtient une théorie analogue à celle des corps $C_r$,
celle des corps \emph{fortement} $C_r$ :

\begin{definition2}\label{definition-corps-fortement-c-r}
Un corps $k$ est dit fortement $C_r$ (resp. fortement $C'_r$)
lorsqu'il vérifie la propriété suivante : si $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$
est un polynôme de degré au plus $d$ sans terme constant en $n$
variables (resp. si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des
polynômes de degrés au plus respectivement $d_1,\ldots,d_s$ sans
termes constants en $n$ variables communes) et que $n > d^r$ (resp. $n
> d_1^r + \cdots + d_s^r$), alors $P$ a un zéro non trivial
(resp. $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial).

On dit qu'un polynôme sans terme constant $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ de
degré $d$ (\XXX exactement ?) en $n$ variables est une \emph{faible
forme normique d'ordre $r$} (et de degré $d$) lorsque le nombre $n$ de
variables vaut exactement $d^r$ et que $P$ n'a pas de zéro non
trivial.
\end{definition2}

Les résultats suivants admettent des démonstrations rigoureusement
parallèles dans la théorie des corps fortement $C_r$ que dans celle
des corps $C_r$, et nous nous contentons donc de les énoncer :

\begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-fortement-c-r}
Soit $k$ un corps fortement $C_r$.  Si $P_1,\ldots,P_s \in
k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes sans termes constants de degrés
majorés par un \emph{même} $d$ en $n$ variables communes sur $k$, et
si $n > s d^r$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial
(dans $k$).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Cf. \ref{plusieurs-polynomes-meme-degre-sur-corps-c-r}.
\end{proof}

\begin{proposition2}
Soit $k$ un corps fortement $C_r$ (resp. fortement $C'_r$), et $K$ une
extension finie de $k$.  Alors $K$ est un corps fortement $C_r$
(resp. fortement $C'_r$). (\XXX Ce résultat est peut-être faux —
Lang est obscur dans sa façon de dire les choses — mais je ne
comprends pas où la démonstration échoue.  À vérifier soigneusement,
donc.)
\end{proposition2}

\begin{proposition2}\label{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-fortement-c-r}
Soit $k$ un corps fortement $C_r$.  On fait l'hypothèse qu'il existe
sur $k$ des faibles formes normiques d'ordre $r$ et de tout degré
$d>0$.  Si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes
sans termes constants de degrés au plus $d_1,\ldots,d_s$ en $n$
variables (communes) sur $k$, et si $n > d_1^r + \cdots + d_s^r$,
alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non trivial (dans $k$) :
autrement dit, $k$ est fortement $C'_r$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Cf. \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}.
\end{proof}

\begin{corollaire2}
Un corps fortement $C_1$ admettant une extension algébrique de chaque
degré $d>0$ est fortement $C'_1$.
\end{corollaire2}

\subsection{Les corps algébriquement clos}

Nous montrons à présent que les corps algébriquement clos sont $C'_0$
(et même fortement $C'_0$ \XXX), c'est-à-dire l'énoncé suivant :

\begin{proposition2}\label{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0}
Si $k$ est algébriquement clos et si $P_1,\ldots,P_s \in
k[X_1,\ldots,X_n]$ sont des polynômes homogènes de degrés non nuls (ou
simplement sans termes constants \XXX) en $n$ variables (communes)
sur $k$, et que $n > s$, alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro commun non
trivial (dans $k$).
\end{proposition2}

Pour cela, on admettra provisoirement les deux lemmes suivants, dont
la démonstration utilise des résultats qui seront démontrés
ultérieurement (le Nullstellensatz et la théorie du degré de transcendance) :

\begin{lemme2}\label{nullstellensatz-faible-provisoire}
Si $k$ est algébriquement clos et si $P_1,\ldots,P_s \in
k[X_1,\ldots,X_n]$ sans termes constants sont tels que
$P_1,\ldots,P_s$ n'aient pas de zéro commun non trivial (dans $k$),
alors pour tout $1 \leq j \leq n$ il existe $r_j$ tel que $X_j^{r_j}$
appartienne à l'idéal de $k[X_1,\ldots,X_n]$ engendré par
$P_1,\ldots,P_s$.
\end{lemme2}
\begin{proof}
L'hypothèse que $P_1,\ldots,P_s$ n'aient pas de zéro commun non
trivial donne $x_j = 0$ pour tout $(x_1,\ldots,x_s)$ tel que
$P_i(x_1,\ldots,x_s) = 0$ pour tout $i$.  Le Nullstellensatz \XXX{}
permet alors de conclure que $X_j$ est dans le radical de l'idéal
engendré par les $P_1,\ldots,P_s$, c'est-à-dire précisément qu'il
existe $r_j$ tel que $X_j^{r_j}$ appartienne à cet idéal.
\end{proof}

\begin{lemme2}\label{degre-transcendance-enonce-provisoire}
Si $k$ est un corps et si $P_1,\ldots,P_s \in k(X_1,\ldots,X_n)$ sont
tels que $k(X_1,\ldots,X_n)$ soit un $k(P_1,\ldots,P_s)$-espace
vectoriel de dimension finie, alors $s \geq n$.
\end{lemme2}
\begin{proof}
L'hypothèse entraîne \XXX{} que $\degtr_k k(P_1,\ldots,P_s) = \degtr_k
k(X_1,\ldots,X_n) = n$.  On en déduit $s \geq n$.
\end{proof}

\begin{lemme2}\label{dimension-enonce-provisoire}
Si $k$ est un corps et si $P_1,\ldots,P_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$ sont
tels que $k[X_1,\ldots,X_n]$ soit un $k[P_1,\ldots,P_s]$-module de
type fini, alors $s \geq n$.
\end{lemme2}
\begin{proof}
Appelons $A = k[P_1,\ldots,P_s]$ et $K = k(P_1,\ldots,P_s)$ le
sous-anneau de $k[X_1,\ldots,X_n]$ et le sous-corps de
$k(X_1,\ldots,X_n)$ respectivement engendrés par les $P_i$.

L'hypothèse que $k[X_1,\ldots,X_n]$ soit engendré linéairement sur $A$
par un nombre fini d'éléments assure à plus forte raison que ces mêmes
éléments engendrent $K[X_1,\ldots,X_n]$ linéairement sur $K$ (où
$K[X_1,\ldots,X_n]$ désigne le sous-anneau de $k(X_1,\ldots,X_n)$
engendrée par $K$ et par $X_1,\ldots,X_n$).  Autrement dit,
$K[X_1,\ldots,X_n]$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie.
Or c'est également un anneau intègre (puisque c'est un sous-anneau du
corps $k(X_1,\ldots,X_n)$) : et un anneau intègre de dimension finie
sur un corps est lui-même un corps (\refext{Alg}{fini integre=corps}).  Ainsi,
$K[X_1,\ldots,X_n]$ est le corps $K(X_1,\ldots,X_n)$, qui coïncide
donc avec $k(X_1,\ldots,X_n)$ (étant contenu dedans).  On a donc
prouvé que $k(X_1,\ldots,X_n)$ est un $K$-espace vectoriel de
dimension finie.  Le lemme \ref{degre-transcendance-enonce-provisoire}
donne la conclusion souhaitée.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la proposition \ref{les-corps-algebriquement-clos-sont-c-prime-0}]
Posons $A = k[P_1,\ldots,P_s]$.

Le lemme \ref{nullstellensatz-faible-provisoire} assure que pour
chaque $j$ il existe $r_j$ tel que $X_j^{r_j}$ appartienne à l'idéal
engendré par $P_1,\ldots,P_s$ dans $k[X_1,\ldots,X_n]$.  Si on appelle
$r$ la somme des $r_j$, alors tout monôme $q$ de degré total au moins
$r$ comporte nécessairement un facteur $X_j^{r_j}$ pour un certain
$j$, et appartient donc à l'idéal engendré par les $P_i$, c'est-à-dire
s'écrit $q = h_1 P_1 + \cdots + h_s P_s$ pour certains
$h_1,\ldots,h_s \in k[X_1,\ldots,X_n]$.  Dans une telle écriture, si
on remplace chaque $h_i$ par sa composante homogène de degré total
$\deg q - \deg P_j$ (définie comme la somme des monômes ayant ce degré
total), alors on a toujours $q = h_1 P_1 + \cdots + h_s P_s$ (puisque
les monômes de degré $\deg q$ sont inchangés), et on a $\deg h_i
< \deg q$.  Cette égalité peut se voir comme $q = g(X_1,\ldots,X_n)$
où $g \in A[T_1,\ldots,T_n]$ et $\deg g < \deg q$ (où par $\deg g$ on
désigne son degré total en les indéterminées $T_1,\ldots,T_n$).

On peut itérer ce procédé : tant qu'il subsiste dans $g$ des monômes
de degré $\geq r$, on peut les réécrire comme combinaison linéaire
sur $A$ des monômes de degré strictement plus petit qu'eux, et en
itérant ce processus (qui termine vu que le degré de $g$ décroît
strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à $r$), on
finit par arriver à $\deg g < r$.  On a donc prouvé que $q =
g(X_1,\ldots,X_n)$ où $g \in A[T_1,\ldots,T_n]$ et $\deg g < r$.

On vient de voir que tout monôme en les $X_1,\ldots,X_n$ s'écrit comme
combinaison linéaire à coefficients dans $A$ des monômes de degré
$<r$.  Comme il n'y a qu'un nombre fini de monômes de degré $<r$, le
$A$-module $k[X_1,\ldots,X_n]$ est de type fini.  Le
lemme \ref{dimension-enonce-provisoire} permet de conclure.
\end{proof}


\section{Polynômes sur les corps finis}

\subsection{Le théorème de Chevalley-Warning}

Les corps finis possèdent la propriété qu'un polynôme homogène dont le
degré est strictement plus grand que le nombre de variables a un zéro
non trivial :
\begin{theoreme2}[Chevalley-Warning]\label{theoreme-chevalley-warning}
Soit $P \in \FF[X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme homogène (ou même
seulement sans terme constant) de degré $d>0$ en $n$ variables sur un
corps fini $\FF$, et on suppose $n > d$.  Alors $P$ a un zéro non
trivial, c'est-à-dire qu'il existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $\FF$, non
tous nuls, tels que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$.

Autrement dit : les corps finis sont $C_1$ (et même fortement $C_1$).
\end{theoreme2}
\begin{proof}
Soit $q = \#\FF$, de sorte que $\FF = \FF_q$, et soit $p$ la
caractéristique de $\FF$.

Considérons la somme $S = \sum_{(x_0,\ldots,x_n) \in \FF^{n+1}}
P(x_0,\ldots,x_n)^{q-1}$.  Puisque $t^{q-1}$ (pour $t \in \FF$) vaut
$0$ ou $1$ selon que $t$ est nul ou non, cette somme est égale
(modulo $p$) au nombre de $(x_0,\ldots,x_n) \in \FF^{n+1}$ tels que
$P(x_0,\ldots,x_n) \neq 0$.  Si on montre que $S = 0$ (dans $\FF$),
cela prouvera que ce nombre est multiple de $p$, donc que le nombre de
$(x_0,\ldots,x_n)$ tels que $P(x_0,\ldots,x_n) = 0$ est lui aussi
multiple de $p$ ; comme $P(0,\ldots,0) = 0$, ceci montrera l'existence
de $(x_0,\ldots,x_n) \neq 0$ tels que $P(x_0,\ldots,x_n) = 0$, la
conclusion souhaitée.

Le polynôme $P(X_0,\ldots,X_n)^{q-1}$ est de degré $d(q-1)$.  Pour
montrer que $S=0$ il suffit de montrer que
$\sum_{(x_0,\ldots,x_n) \in \FF^{n+1}} X_0^{s_0} \cdots X_n^{s_n} = 0$
pour $c_{s_0,\ldots,s_n}\, X_0^{s_0} \cdots X_n^{s_n}$ (avec
$s_0+\cdots+s_n \leq d(q-1)$) parcourant les monômes apparaissant dans
ce polynôme.  Or ceci s'écrit encore $(\sum_{x\in\FF} x^{s_0})\cdots
(\sum_{x\in\FF} x^{s_n})$ : il suffit de montrer qu'un des facteurs
est nul.  Mais $s_0+\cdots+s_n \leq d(q-1) < (n+1)(q-1)$ entraîne
qu'un des $s_i$ doit être $<q-1$, auquel cas $\sum_{x\in\FF} x^{s_i} =
0$ d'après le lemme \refext{Fin}{somme-x-s-dans-f-q}.
\end{proof}

La borne fournie par le théorème \ref{theoreme-chevalley-warning} est
optimale :
\begin{proposition2}\label{existence-forme-normique-corps-finis}
Soit $\FF$ un corps fini.  Alors, pour tout $d$, il existe un polynôme
homogène de degré $d$ en $d$ variables ne s'annulant qu'en
$(0,\ldots,0) \in \FF^d$, c'est-à-dire une forme normique d'ordre $1$
et de degré $d$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
On sait que $\FF$ a une extension $\FF'$ de degré $d$
(cf. \refext{Fin}{existence-polynome-irreductible-tout-degre-corps-finis}) :
on applique
alors \ref{extension-non-triviale-donne-forme-normique-d-ordre-1}.
\end{proof}

\begin{corollaire2}
Soient $P_1,\ldots,P_s \in \FF[X_1,\ldots,X_n]$ des polynômes
homogènes de degrés respectivement $d_1,\ldots,d_s>0$ en $n$ variables
sur un corps fini $\FF$, et on suppose $n > d_1 + \cdots + d_s$.
Alors $P_1,\ldots,P_s$ ont un zéro non trivial commun.

Autrement dit, les corps finis sont (fortement ? \XXX) $C'_1$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
Cela découle immédiatement
de \ref{plusieurs-polynomes-degres-differents-sur-corps-c-r}, compte
tenu de la proposition \ref{existence-forme-normique-corps-finis}.
\end{proof}

\begin{remarque2}
La démonstration de \ref{theoreme-chevalley-warning} donne
un peu mieux : si $P₁,…,P_s$ sont des polynômes non nuls
et $n> ∑_i \deg(P_i)$, le nombre de zéros communs est
divisible par $p$. On retrouve le résultat précédent car
l'origine est toujours zéro d'un polynôme homogène.
\end{remarque2}

\commentaire{mettre directement cet énoncé pour
Chevalley-Warning ?}

\subsection{Géométries finies et coniques}

Rappelons d'abord quelques généralités sur la géométrie projective
plane (dans un premier temps, le corps $\FF$ sera quelconque).

\begin{definition2}
Si $\FF$ est un corps, on appelle \emph{plan projectif} sur $\FF$ et
on note $\PP^2(\FF)$ la donnée combinatoire suivante :
\begin{itemize}
\item les \emph{points} de $\PP^2(\FF)$ sont les triplets $(x,y,z)$
d'éléments de $\FF$ modulo la relation d'équivalence $(x,y,z) \sim
(x',y',z')$ lorsqu'il existe $t \in \FF^\times$ tel que $x'=tx, y'=ty,
z'=tz$ (on note parfois $(x:y:z)$ la classe d'équivalence de $(x,y,z)$
pour $\sim$, et on dit que $x,y,z$ sont des coordonnés projectives, ou
homogènes, du point en question) ;
\item les \emph{droites} de $\PP^2(\FF)$ sont des données (identiques)
de triplets $(u,v,z)$ d'éléments de $\FF$ modulo la relation
d'équivalence $(u,v,w) \sim (u',v',w')$ lorsqu'il existe
$t \in \FF^\times$ tel que $u'=tu, v'=tv, w'=tw$ (la classe
d'équivalence de $(u,v,w)$ sera souvent appelée « droite d'équation
$uX+vY+wZ=0$ ») ;
\item la relation d'\emph{incidence} relie un point $(x:y:z)$ à une
droite définie par le triplet $(u,v,w)$ lorsque $ux+vy+wz=0$ (on dit
souvent que le point est \emph{sur} la droite, ou que cette
dernière \emph{passe} par le point).
\end{itemize}
On dit que des points $P_i$ de $\PP^2(\FF)$ sont \emph{alignés} (sur
une droite $d$) lorsque les $P_i$ sont tous incidents à $d$ ; on dit
que des droites $d_i$ de $\PP^2(\FF)$ sont \emph{concourantes} (en un
point $P$) lorsque les $d_i$ sont toutes incidentes à $P$ (on dit
encore que $P$ est l'intersection des droites $d_i$).
\end{definition2}

\begin{remarques2}
\begin{itemize}
\item Le plan projectif $\PP^2(\FF)$ ainsi défini est évidemment isomorphe
(en tant qu'objet combinatoire, c'est-à-dire qu'il existe une
bijection entre points et points et entre droites et droites
préservant la relation d'incidence) avec l'espace projectif $\PP(E)$
sur un quelconque espace vectoriel $E$ de dimension $3$ sur $\FF$, les
points de $\PP(E)$ étant définis comme les droites vectorielles
(sous-espaces vectoriels de dimension $1$) de $E$ et les droites de
$\PP(E)$ comme les plans vectoriels (sous-espaces vectoriels de
dimension $2$) de $E$, la relation d'incidence étant donnée par
l'inclusion d'une droite vectorielle dans un plan vectoriel.  Plus
précisément, si $e_x,e_y,e_z$ est une base de $E$, on peut identifier
le point $(x:y:z)$ de $\PP^2(\FF)$ avec la droite vectorielle
engendrée par $x e_x + y e_y + z e_z$ dans $E$, et la droite
d'équation $ux+vy+wz = 0$ de $\PP^2(\FF)$ avec le plan vectoriel noyau
de la forme linéaire $x e_x + y e_y + z e_z \mapsto ux+vy+wz$.
\item De cette remarque il résulte que toute bijection linéaire de
$\FF^3$ sur lui-même définit un automorphisme de $\PP^2(\FF)$
(c'est-à-dire une bijection de points sur points et droites sur
droites préservant la relation d'incidence) : on les
appelle \emph{transformations projectives} sur $\FF$ (planes, ou de
$\PP^2(\FF)$).  Ce ne sont généralement pas les seules : si $\FF$ est
un corps fini ayant $q$ éléments, alors $(x:y:z) \mapsto
(x^q:y^q:z^q)$ est un automorphisme de $\PP^2(\FF)$ qui n'est pas une
transformation projective sur $\FF$.
\item Lorsque $P,Q,R$ sont trois points de $\PP^2(\FF)$ non alignés,
il existe une transformation projective envoyant $P,Q,R$ sur
$(1:0:0)$, $(0:1:0)$ et $(0:0:1)$ respectivement (en effet, des
coordonnées projectives quelconques de $P,Q,R$ définissent une base
de $\FF^3$, et on peut la ramener à la base canonique par une
bijection linéaire).  De façon moins évidente, si $P,Q,R,S$ sont
quatre points dont trois quelconques ne sont jamais alignés, on peut
les ramener à $(1:0:0)$, $(0:1:0)$, $(0:0:1)$ et $(1:1:1)$
respectivement (en effet, une fois ramenés $P,Q,R$ aux coordonnées
prescrites, si des coordonnées projectives de $S$ sont
$(x_S:y_S:z_S)$, toutes non nulles par l'hypothèse sur les
alignements, on peut appliquer la transformation projective
$(x:y:z) \mapsto (x/x_S : y/y_S : z/z_S)$ donnée par une application
linéaire diagonale).
\item Les droites de $\PP(E)$, si $E$ est un espace vectoriel de
dimension $3$, peuvent se voir comme les points de $\PP(E^\vee)$ où
$E^\vee$ est l'espace vectoriel dual de $E$ (en voyant une droite de
$\PP(E)$ comme un plan vectoriel de $E$ ou comme la droite vectorielle
des formes linéaires ayant ce plan pour noyau, ce qui définit un point
de $\PP(E^\vee)$), et de même les points de $\PP(E^\vee)$ peuvent se
voir comme des droites de $\PP(E)$ : le fait que cette identification
préserve la relation d'incidence s'appelle \emph{principe de dualité
projective}.  Lorsque $E$ est $\FF^3$, espace vectoriel pour lequel on
dispose d'un isomorphisme standard avec son dual, la dualité
projective correspondante envoie le point $(u:v:w)$ sur la droite
d'équation $uX+vY+wZ = 0$.
\item Il résulte par exemple des formules de Cramer que
la droite passant par les points $(x_1:y_1:z_1)$ et $(x_2:y_2:z_2)$
peut être définie par l'équation $ux+vy+wz=0$ avec $u = y_1z_2 -
z_1y_2$, $v = z_1x_2 - x_1z_2$ et $w = x_1y_2 - y_1x_2$ (la condition
que ces trois nombres ne soient pas tous nuls étant justement celle
que les points donnés ne soient pas confondus).  La condition que
trois points $(x_1:y_1:z_1)$, $(x_2:y_2:z_2)$ et $(x_3:y_3:z_3)$
soient alignés équivaut au fait que le déterminant
$\left|\begin{matrix}x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\
x_3&y_3&z_3\\\end{matrix}\right|$ soit nul.  On a des formules duales
pour l'intersection de deux droites distinctes et la concurrence de
trois droites.
\item Si $\FF$ est un corps fini ayant $q$ éléments, le nombre
de points de $\PP^2(\FF)$ est $q^2+q+1$, et c'est aussi le nombre de
droites.  Le nombre de points sur une droite quelconque est $q+1$, et
c'est aussi le nombre de droites par un point quelconque.
\end{itemize}
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
Les points et droites de $\PP^2(\FF)$ vérifient les axiomes suivants :
\begin{enumerate}
\item Il existe une unique droite passant par deux points distincts donnés.
\item Il existe un unique point d'intersection à deux droites
distinctes données.
\item Il existe au moins quatre points tels que trois quelconques
d'entre eux ne soient jamais alignés.
\item Si $A,B,C$ sont trois points alignés, et $A',B',C'$ trois autres
points alignés, et si on note $A''$ (resp. $B''$, resp. $C''$)
l'intersection des droites $BC'$ et $CB'$ (resp. $AC'$ et $CA'$,
resp. $AB'$ et $BA'$) — ce qui sous-entend que $B$ est distinct de
$C'$ et $C$ de $B'$ et que la droite $BC'$ est distincte de la droite
$CB'$ (resp...) — alors les points $A'',B'',C''$ sont
alignés.  \emph{(Théorème de Pappus.)}
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{proof}
La première affirmation est claire, ainsi que la seconde (qui en est
la duale).  La troisième est mise en évidence par les points
$(1:0:0)$, $(0:1:0)$, $(0:0:1)$ et $(1:1:1)$.  Reste à montrer le
théorème de Pappus.

Les droites $ABC$ et $A'B'C'$ ne peuvent pas être identiques : on peut
donc supposer, pour simplfier les calculs, que la première s'écrit
$x=0$ et la seconde $y=0$.  Si l'un des points $A',B',C'$ est situé
sur la droite $ABC$, ou un des points $A,B,C$ sur la droite $A'B'C'$,
alors le théorème est clair (si $A'$ est sur $ABC$ alors
$B''=C''=A$) : on peut donc supposer ce cas exclu.  Écrivant alors
$A=(0:1:a)$, $B=(0:1:b)$, $C=(0:1:c)$ et $A'=(1:0:a')$, $B'=(1:0:b')$,
$C'=(1:0:c')$, on obtient les coordonnées $A''=(b-c:b'-c':bb'-cc')$,
$B''=(c-a:c'-a':cc'-aa')$ et $C''=(a-b:a'-b':aa'-bb')$.  Le théorème
de Pappus énonce alors l'annulation du déterminant
\[
\left|
\begin{matrix}
b-c&b'-c'&bb'-cc'\\
c-a&c'-a'&cc'-aa'\\
a-b&a'-b'&aa'-bb'\\
\end{matrix}
\right|
\]
— qui se vérifie aisément.
\end{proof}

\begin{definition2}
On appelle \emph{conique} d'équation $Q=0$ de $\PP^2(\FF)$ la donnée
d'une certaine forme quadratique non nulle $Q$ sur $\FF^3$
(c'est-à-dire un polynôme homogène de degré $2$), où on identifie les
coniques d'équation $Q=0$ et $cQ=0$ pour $c \in \FF^\times$ ; on
appelle ensemble des points de la conique (noté $C(\FF)$) l'ensemble
des points $(x:y:z)$ vérifiant $Q(x,y,z) = 0$ ; la conique d'équation
$Q=0$ est dite \emph{intègre} lorsque le polynôme $Q$ (vu dans
$\FF[X,Y,Z]$) est irréductible, et \emph{géométriquement intègre}
(ou \emph{lisse}, cf. \ref{coniques-lisses} plus bas) lorsque $Q$ est
irréductible vu sur la clôture algébrique de $\FF$.

Si $(x_0:y_0:z_0)$ est un point de la conique $Q=0$, on dit qu'il
s'agit d'un point \emph{lisse} (ou \emph{régulier}) sur celle-ci
lorsque les trois quantités $u = \frac{\partial Q}{\partial
x}(x_0,y_0,z_0)$, $v = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)$ et
$w = \frac{\partial Q}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)$ ne sont pas toutes
nulles : dans ce cas, la droite d'équation $ux+vy+wz = 0$ est
appelée \emph{droite tangente} à la conique par le point considéré.
(Si le point $(x_0:y_0:z_0)$ n'est pas lisse, toute droite pourra être
considérée comme tangente.)
\end{definition2}

En général, la donnée de l'ensemble de ses points ne détermine pas la
conique, c'est-à-dire la forme quadratique $Q$ même à multiplication
près par une constante (ainsi, sur $\RR$, les coniques d'équation $X^2
+ Y^2 + Z^2 = 0$ et $X^2 + Y^2 + 2 Z^2 = 0$ ne sont pas égales bien
qu'elles aient le même ensemble de points, à savoir l'ensemble vide).

\begin{proposition2}\label{coniques-lisses}
Tout point d'une conique géométriquement intègre est lisse sur
celle-ci.

Réciproquement, si tout point d'une conique est lisse sur un corps
algébriquement clos, alors cette conique est (géométriquement)
intègre.

S'il existe un point $P$ d'une conique $C$ tel que $C$ soit lisse en
$C$ et que la droite $d$ tangente à $C$ en $P$ ne soit pas contenue
dans $C$, alors $C$ est lisse.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour la première affirmation, on peut se ramener au cas où le point
est $(0:0:1)$, auquel cas l'équation de la conique doit s'écrire $a
X^2 + b Y^2 + c' XY + b' XZ + a' YZ = 0$ (il n'y a pas de terme
en $Z^2$).  Si le point n'est pas lisse, l'hypothèse d'annulation des
dérivées partielles signifie que $b'=0$ et $a'=0$ : l'équation de la
conique s'écrit donc $a X^2 + b Y^2 + c' XY = 0$.  Le polynôme $a T^2
+ c' T + b$ (de degré $\leq 2$) se factorise dans $\FF\alg[T]$ en deux
facteurs de degré $\leq 1$, donc quitte à ré-homogénéiser, le polynôme
homogène $Q = a X^2 + c' X Y + b Y^2$ de degré $2$ se factorise
dans $\FF\alg[X,Y]$ en deux facteurs homogènes de degré $1$.  Ceci
montre que la conique n'est pas géométriquement irréductible.

Pour ce qui est de la deuxième affirmation, si l'équation de la
conique est $Q=0$ et que $Q$ est réductible comme produit de deux
facteurs de degré $1$, ces facteurs définissent deux droites (non
nécessairement distinctes).  Considérant un point d'intersection de
ces deux droites, qu'on peut supposer être $(0:0:1)$, les deux droites
doivent s'écrire $uX + vY = 0$ et $u'X + v'Y = 0$ (pour $u$ et $v$ non
tous deux nuls, et de même pour $u'$ et $v'$), auquel cas la conique
s'écrit $uu' X^2 + (uv'+u'v) XY + vv' Y^2 = 0$, et le point $(0:0:1)$
n'est pas lisse.

Si $C$ est une conique qui n'est pas lisse, on vient de voir que,
quitte à remplacer le corps $\FF$ par sa clôture
algébrique $\FF\alg$, l'équation $Q=0$ de la conique se factorise
comme $Q = \ell_1 \ell_2$ avec $\ell_1,\ell_2$ deux formes linéaires
dans les variables $X,Y,Z$.  Si $\ell_1,\ell_2$ sont proportionnelles
(on peut supposer qu'il s'agit de $X$ et que la conique est alors
d'équation $X^2 = 0$), la conique n'a aucun point lisse ; si elle ne
le sont pas (on peut supposer qu'il s'agit de $X$ et $Y$, et la
conique est alors d'équation $XY = 0$), les points lisses de $C$ sont
exactement ceux qui sont sur une des deux droites d'équation $\ell_1 =
0$ et $\ell_2 = 0$ mais pas sur l'autre, et la tangente en un tel
point est la droite sur laquelle il se trouve, qui est contenue
dans $C$ (et la définition de la tangente assure qu'elle est définie
sur $\FF$ si $P$ l'est).  Il s'ensuit que si une conique a un point
lisse $P$ dont la tangente $d$ \emph{n'est pas} contenue dans $C$,
alors $C$ est lisse, ce qu'on voulait prouver.
\end{proof}

\begin{proposition2}
La conique d'équation $Q=0$, où $Q$ est une forme quadratique (en
trois variables) sur un corps $\FF$ de caractéristique $\neq 2$, est
lisse si et seulement si la forme bilinéaire associée à $Q$ est
non-dégénérée (c'est-à-dire, de rang $3$).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $\varphi$ la forme bilinéaire associée à $Q$.  Si $Q$ se
factorise comme un produit $\ell_1 \ell_2$ de formes linéaires, alors
on a $\varphi(v,v') = \frac{1}{2}(\ell_1(v)\,\ell_2(v')
+ \ell_1(v')\,\ell_2(v))$ pour tous $v,v' \in \FF^3$ : donc tout
vecteur situé dans le noyau de $\ell_1$ et de $\ell_2$ est dans celui
de $\varphi$, et la forme $\varphi$ a pour rang au plus $2$.
Réciproquement, si $v \neq 0$ est tel que $\varphi(v,v') = 0$ pour
tout $v'$, alors on a $Q(v+v') = Q(v')$ pour tout $v'$, donc les
dérivées partielles de $Q$ s'annulent en $v$, et $v$ représente un
point de $C$ qui n'est pas lisse.
\end{proof}

\begin{exemples2}
\item La conique d'équation $X^2 = 0$ (sur un corps quelconque) est
réductible (car $X^2 = X\times X$), et n'est lisse en aucun de ces
points.  On qualifiera cette conique de \emph{droite double}.
\item La conique d'équation $XY = 0$ (sur un corps quelconque) est
réductible, et n'est pas lisse au point $(0:0:1)$ tandis qu'elle est
lisse en n'importe quel autre point ($(1:0:z)$ ou $(0:1:z)$).  On
qualifiera cette conique de \emph{réunion de deux droites rationnelles
distinctes} (à savoir $X=0$ et $Y=0$).
\item La conique d'équation $X^2 - Y^2 = 0$ est réductible (comme
$(X-Y)(X+Y)$) et n'est pas lisse au point $(0:0:1)$, tandis qu'elle
est lisse en tout autre point ($(1:1:z)$ ou $(1:-1:z)$) en
caractéristique $\neq 2$.  En caractéristique $\neq 2$, il s'agit de
nouveau de la réunion de deux droites rationnelles distinctes, tandis
qu'en caractéristique $2$ il s'agit d'une droite double (pour la
droite d'équation $X=Y$).
\item La conique d'équation $X^2 + Y^2 = 0$ sur un corps tel que $-1$
ne soit pas un carré (par exemple $\RR$) est irréductible, mais elle
est géométriquement réductible (car $X^2+Y^2 = (X+iY)(X-iY)$ si $i$
est une racine carrée de $-1$).  Elle n'est pas lisse au point
$(0:0:1)$, qui est son seul point sur le corps considéré.  On
qualifiera cette conique de \emph{réunion de deux droites conjuguées}.
\item La conique d'équation $Y^2 - t X^2$ sur le corps $\FF_2(t)$ est
irréductible mais géométriquement réductible.  Elle ne possède aucun
point sur le corps $\FF_2(t)$.
\item La conique d'équation $X^2 + Y^2 - Z^2 = 0$ est une conique
lisse sur tout corps de caractéristique $\neq 2$ puisque la forme
bilinéaire associée n'est pas dégénérée (en caractéristique $2$, il
s'agit d'une droite double).
\end{exemples2}

\begin{proposition2}\label{intersection-droite-conique}
\begin{itemize}
\item Trois points situés sur une même conique lisse ne sont jamais
alignés.
\item Une droite $d$ rencontre une conique lisse $C$ en un unique point
si et seulement si elle lui est tangente à ce point.
\end{itemize}
Autrement dit, une droite $d$ rencontre une conique lisse $C$ en zéro,
un ou deux points, la possibilité « un » se produisant exactement
lorsque la droite est tangente à la conique au point en question.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $\ell$ est une forme linéaire (sur $\FF^3$, où $\FF$ est le corps
sur lequel $C$ est définie), les points d'intersection de $C$ avec la
droite $\ell=0$ sont les points vérifiant $\ell=0$ et $Q=0$ où $Q$ est
l'équation de $C$.  On peut supposer que $\ell$ est la forme
linéaire $Z$, auquel cas ces points sont ceux vérifiant $\tilde Q =
0$ où $\tilde Q$ est la forme quadratique dans les variables $X$ et
$Y$ obtenue en substituant $0$ à la variable $Z$ dans $Q$.  Si $\tilde
Q = a X^2 + c' XY + b Y^2$, comme le polynôme $a T^2 + c' T + b$ a au
plus deux racines distinctes dans $\FF$, l'intersection considérée a
au plus deux éléments.  De plus, en supposant que $P = (0:1:0)$ soit
dans l'intersection considérée, c'est-à-dire $b=0$, il s'agit de
l'unique point d'intersection si et seulement si la racine est double,
c'est-à-dire qu'on a aussi $c'=0$, ce qui signifie justement que la
droite $d$ d'équation $Z=0$ est la tangente en $P = (0:1:0)$ à la
conique d'équation $a X^2 + c Z^2 + c' XY + b' XZ + a' YZ = 0$.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{parametrage-conique}
Soit $P$ un point sur une conique lisse $C$ sur un corps $\FF$.  Alors
il y a une bijection entre les points de $C$ et les droites
de $\PP^2(\FF)$ passant par $P$, associant à un point $Q$ de $C$ la
droite $PQ$ si $Q \neq P$, ou bien la tangente à $C$ en $P$ si $Q=P$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
C'est une conséquence immédiate de la
proposition \ref{intersection-droite-conique}.
\end{proof}

\begin{corollaire2}\label{denombrement-coniques-corps-finis}
Si $C$ est une conique lisse sur un corps $\FF$ \emph{fini} ayant $q$
éléments, alors $\#C(\FF) = q+1$.  Dualement, il existe $q+1$ droites
tangentes à $C$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
Le théorème \ref{theoreme-chevalley-warning} montre que $C(\FF)$ n'est
pas vide : soit $P$ un de ses points.  La
proposition \ref{parametrage-conique} montre alors que $C(\FF)$ est en
bijection avec l'ensemble des droites passant par $P$ dans
$\PP^2(\FF)$.  Ces dernières sont au nombre de $q+1$ (par exemple
parce qu'elles sont en bijection, de la même façon, avec les points de
n'importe quelle droite ne passant pas par $P$).

La seconde affirmation est évidente puisque chaque point de $C$
définit une unique tangente, et que toute tangente à $C$ est tangente
en un unique point.
\end{proof}

\begin{exemple2}
Sur $\FF_7$, les solutions non triviales de l'équation $X^2 + Y^2 +
Z^2 = 0$ sont, à proportionalité près, l'une des huit solutions
$(1:2:3)$, $(1:2:4)$, $(1:3:2)$, $(1:3:5)$, $(1:4:2)$, $(1:4:5)$,
$(1:5:3)$ et $(1:5:4)$.
\end{exemple2}

\subsubsection{}\label{points-interieurs-coniques} Les droites
tangentes à une conique lisse $C$ donnée de
$\PP^2(\FF)$, où $\FF$ est un corps de caractéristique $\neq 2$,
forment elles-mêmes une conique lisse, notée $C^\vee$, dans
$\PP^{2\vee}(\FF)$.  Ceci peut se voir avec des coordonnées : si $C$ a
pour équation $a X^2 + b Y^2 + c Z^2 = 0$ (ce qu'on peut toujours
faire, quitte à diagonaliser la forme quadratique qui donne son
équation), dire que la droite $UX + VY + WZ = 0$ lui est tangente
signifie que $U,V,W$ vérifient $\frac{1}{a} U^2 + \frac{1}{b} V^2
+ \frac{1}{c} W^2 = 0$, qui définit alors l'équation de $C^\vee$.

Si $P$ est un point de $\PP^2(\FF)$ (toujours avec $\FF$ de
caractéristique $\neq 2$) non situé sur une conique lisse $C$, les
tangentes à $C$ passant par $P$ peuvent se voir comme l'intersection
de la conique $C^\vee$ et de la droite $P^\vee$
dans $\PP^{2\vee}(\FF)$ : il y en a donc (sur $\FF$) soit $2$ soit $0$
selon que le polynôme de degré $2$ définissant cette intersection a
$2$ ou $0$ racines sur $\FF$ (le cas d'une racine double correspondant
à la situation où $P$ est sur $C$, ce qu'on a exclu).  On dira que $P$
est \emph{extérieur} ou \emph{intérieur} à la conique $C$ selon qu'il
existe $2$ ou $0$ tangentes à $C$ passant par $P$.  (Sur le corps
$\RR$ des réels, la notion ainsi définie est bien celle qu'on a
l'habitude de désigner par là, au moins dans le cas où on pense à une
ellipse — c'est-à-dire que la conique ne croise pas la droite à
l'infini.  La terminologie est cependant désagréable en général :
ainsi, sur un corps algébriquement clos, une conique n'a jamais
d'intérieur.  On se contentera de l'utiliser ci-dessous dans le cas
d'un corps fini.)

\begin{corollaire2}\label{denombrement-points-interieurs-coniques-corps-finis}
Si $C$ est une conique lisse sur un corps $\FF$ \emph{fini} ayant $q$
éléments, avec $q$ \emph{impair}, alors il existe $\frac{1}{2}(q^2-q)$
points intérieurs à $C$ (au sens de \ref{points-interieurs-coniques},
c'est-à-dire par lesquels ne passe aucune tangente à $C$), et
$\frac{1}{2}(q^2+q)$ points extérieurs.

Dualement, et sans hypothèse sur $q$, sur les $q^2 + q + 1$ droites
de $\PP^2(\FF_q)$, outre les $q+1$ qui sont tangentes à $C$, il en
existe $\frac{1}{2}(q^2-q)$ qui ne rencontrent pas $C$, et
$\frac{1}{2}(q^2+q)$ qui la rencontrent en deux points distincts.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
La conique $C$ a $q+1$ tangentes
(cf. \ref{denombrement-coniques-corps-finis}).  Chacune de ces
tangentes comporte, outre le point de tangence, $q$ points extérieurs
à $C$.  De cette manière, chaque point extérieur à $C$ a été compté
deux fois puisqu'il est situé sur $2$ tangentes distinctes.  On a donc
$\frac{1}{2}q(q+1)$ points extérieurs, et comme il y a $q^2$ points
non situés sur $C$ (soit $q^2+q+1$ points au total dont $q+1$ sont
sur $C$), on en déduit le nombre de points intérieurs annoncé.

L'énoncé dual se montre soit de même : par chaque point de $C$ passent
$q$ droites outre la tangente au point en question, chacune de ces $q$
droites coupe $C$ en deux points distincts, et chaque droite coupant
$C$ en deux points distincts a ainsi été comptée deux fois.  Si $q$
est impair, on peut aussi obtenir ce résultat en appliquant ce qui
précède à la conique $C^\vee$.
\end{proof}

Sur un corps fini de caractéristique $2$, la situation est très
différente : on va voir en \ref{ovales-et-hyperovales} ci-dessous que
par tout point non situé sur une conique lisse passe
exactement \emph{une} tangente à celle-ci, exceptée pour un point par
lequel passent \emph{toutes} les tangentes.  (Il faut imaginer que la
conique duale de n'importe quelle conique lisse serait une droite
double.)

\begin{definition2}\label{definition-ovale-hyperovale}
On appelle \emph{ovale} (resp. \emph{hyperovale}) de $\PP^2(\FF_q)$ un
ensemble de $q+1$ (resp. $q+2$) points de $\PP^2(\FF_q)$ dont trois
quelconques ne sont jamais alignés.  On appelle \emph{tangente} à un
ovale (en un point $P$ de celui-ci) une droite qui ne rencontre
l'ovale qu'en un seul point (à savoir $P$).
\end{definition2}

On a vu
en \ref{intersection-droite-conique}, \ref{denombrement-coniques-corps-finis}
que les coniques lisses sont des ovales, et que la notion de tangence
qu'on vient de définir recouvre bien la notion de tangence à une
conique.  On verra en \ref{segre-ovale-est-conique} une réciproque de
cette affirmation en caractéristique impaire.

\begin{proposition2}\label{tangente-ovale}
Si $E$ est un ovale de $\PP^2(\FF_q)$, il existe une unique tangente à
$E$ par chaque point de $E$.

Si $E$ est un hyperovale, toute droite rencontre $E$ en exactement
$0$ ou $2$ points.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $P$ un point de $E$.  Pour chacun des $q$ points $Q$ de $E$
distinct de $P$, la droite $PQ$ rencontre $E$ en exactement deux
points, $P$ et $Q$, et ces droites $PQ$ sont deux à deux distinctes.
Il passe $q+1$ droites par $P$, donc la dernière droite $d$ passant
par $P$ dans $\PP^2(\FF_q)$ ne rencontre $E$ qu'en $P$ et est donc
l'unique tangente à $E$ en $P$.

Le raisonnement de la seconde partie est analogue : si $P$ est
sur $E$, pour chacun des $q+1$ points $Q$ de $E$ distinct de $P$, la
droite $PQ$ rencontre $E$ en exactement deux points, $P$ et $Q$, et
ces droites $PQ$ sont deux à deux distinctes.  Il passe $q+1$ droites
par $P$, donc chacune rencontre $E$ en exactement un point autre
que $P$.  Ainsi, toute droite de $\PP^2(\FF_q)$ qui rencontre $E$ le
rencontre en exactement deux points.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{ovales-et-hyperovales}
Si $q$ est pair, et $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$, alors toutes les
tangentes à $E$ se coupent en un unique point.  Si $N$ est point en
question, alors $E \cup \{N\}$ est un hyperovale.  (Et si $A'$ est un
hyperovale et $N$ un point quelconque de $A'$, alors $E =
A'\setminus\{N\}$ définit un ovale dont toutes les tangentes se
coupent en $N$.)

Si $q$ est impair, il n'existe pas d'hyperovale dans $\PP^2(\FF_q)$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ : notons $n_i$ le nombre de points
non situés sur $E$ qui appartiennent à exactement $i$ tangentes à $E$
(cf. \ref{tangente-ovale}).  Comme il y a $q^2$ points non situés
sur $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} n_i = q^2$.  Comme chacune des $q+1$
tangentes à $E$ contient $q+1$ points dont $q$ ne sont pas situés
sur $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} i\, n_i = q(q+1)$.  Comme chaque paire
de tangentes distinctes définit un unique point d'intersection situé
en-dehors de $E$, on a $\sum_{i=0}^{q+1} \binom{i}{2} \, n_i =
\binom{q+1}{2}$.  En combinant linéairement ces formules, on a
$\sum_{i=0}^{q+1} (i-1) (q+1-i) \, n_i = 0$.  Puisque $q$ est pair,
$\#E$ est impair, donc, si $R$ est un point non situé sur $E$, il doit
exister une droite passant par $R$ ne contenant qu'un seul point
de $E$, c'est-à-dire une tangente à $E$ : ceci prouve $n_0 = 0$.  La
somme $\sum_{i=0}^{q+1} (i-1) (q+1-i) \, n_i$ est donc une somme de
nombres positifs, donc tous les termes sont nuls, et seuls $n_1$ et
$n_{q+1}$ peuvent être non nuls.  Comme $n_1 + n_{q+1} = q^2$ et $n_1
+ (q+1) n_{q+1} = q^2+q$ d'après ce qu'on a vu, on a $n_1 = q^2-1$ et
$n_{q+1} = 1$ : il existe bien un unique point situé à l'intersection
de toutes les tangentes à $E$.  Il est alors évident qu'en ajoutant ce
point $N$ à l'ovale, trois points ne seront jamais alignés,
c'est-à-dire que $E \cup \{N\}$ est un hyperovale.  La remarque entre
parenthèses est également évidente.

Si $q$ est impair, en revanche, s'il existait un hyperovale $E$, alors
pour $R$ un point non situé sur $E$, chacune des $q+1$ droites passant
par $R$ doit rencontrer $E$ en $0$ ou $2$ points
d'après \ref{tangente-ovale} : ceci montre que le cardinal de $E$ est
pair, une contradiction.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{centre-de-l-ovale-inscrit}
Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ avec $q$ impair, et $P,Q,R$ trois
points distincts de $E$, et soient $A,B,C$ les intersections
respectives des tangentes à $E$ en $Q,R$, en $P,R$ et en $P,Q$
(c'est-à-dire que $BC,AC,AB$ sont les tangentes à $E$ en $P,Q,R$
respectivement).  Alors les droites $AP$, $BQ$ et $CR$ sont
concourantes en un point $S$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
On peut supposer $P=(1:0:0)$, $Q=(0:1:0)$ et $R=(0:0:1)$.  Les
équations des droites $BC$, $AC$ et $AB$ (dont aucune ne coïncide avec
une des droites $QR$, $PR$ ni $PQ$) peuvent alors s'écrire
respectivement $Y+aZ=0$, $Z+bX=0$ et $X+cY=0$, où les nombres $a,b,c$
sont dans $\FF_q^\times$.  On a alors $A=(-c:1:bc)$, $B=(ac:-a:1)$ et
$C=(1:ab:-b)$.

Soit $T=(x:y:z)$ un point de l'ovale $E$ distinct de $P,Q,R$ (de sorte
que $x,y,z$ sont tous les trois non nuls), et considérons les trois
produits $\xi = \prod_{T \in E \setminus\{P,Q,R\}} (z/y)$, $\eta
= \prod_{T \in E \setminus\{P,Q,R\}} (x/z)$ et $\zeta = \prod_{T \in
E \setminus\{P,Q,R\}} (y/x)$ (les rapports $z/y$, $x/z$ et $y/x$ sont
bien définis et ne dépendent que de $T$ et non des coordonnées le
représentant).  On a visiblement $\xi\eta\zeta = \prod_{T \in
E \setminus\{P,Q,R\}} 1 = 1$.  Cependant, le rapport $z/y$ est
déterminé par la droite $TP$ (d'équation $zY-yZ=0$), et quand $T$
parcourt $E \setminus\{P,Q,R\}$, la droite $TP$ d'équation parcourt
toutes les droites passant par $P$ exceptée la tangente $BC$ à $E$
par $P$ (pour laquelle ce rapport $z/y$ vaudrait $-\frac{1}{a}$) et
les droites $PQ$ et $PR$ (pour lesquelles ce rapport $z/y$ vaudrait
$0$ et $\infty$).  Autrement dit, $\xi$ est le produit de tous les
éléments de $\FF_q^\times$ différents de $-\frac{1}{a}$,
c'est-à-dire $a$ (le produit de tous les éléments de $\FF_q^\times$
est $-1$ car chaque $t \in \FF_q^\times$ vérifie $t \cdot t^{-1} = 1$,
avec $t \neq t^{-1}$ sauf si $t = -1$).  De même, $\eta = b$ et $\zeta
= c$.  On a donc prouvé $abc = 1$.

Les droites $AP,BQ,CR$ concourent alors en $(c:1:bc) = (ac:a:1) =
(1:ab:b)$.
\end{proof}

\begin{lemme2}\label{comparaison-ovale-conique-trois-points-deux-tangentes}
Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ avec $q$ impair, et $P,Q,R$ trois
points distincts de $E$.  Si une conique $D$ passe par $P,Q,R$ et a
les mêmes droites tangentes que $E$ en $P,Q$, alors elle a aussi la
même tangente que $E$ en $R$.
\end{lemme2}
\begin{proof}
On reprend les notations de la démonstration de la
proposition \ref{centre-de-l-ovale-inscrit} : comme $D$ passe
par $P,Q,R$, son équation s'écrit $c' XY + b' XZ + a' YZ = 0$ pour
certaines constantes $a',b',c'$.  Les tangentes à $D$ par $P,Q,R$ ont
alors pour équations $c'Y + b'Z = 0$, $a'Z + c'X = 0$ et $b'X + a'Y =
0$ respectivement : les quantités $a,b,c$ introduites dans la
démonstration précédente vérifient alors $a = b'/c'$ et $b = c'/a'$
d'après l'égalité des tangentes à $E$ et $D$ en $P$ et $Q$ : du fait
que $abc = 1$ on déduit $c = a'/b'$, ce qui démontre l'égalité des
tangentes en $R$.
\end{proof}

\begin{proposition2}[B. Segre]\label{segre-ovale-est-conique}
Soit $E$ un ovale de $\PP^2(\FF_q)$ avec $q$ impair : alors $E$ est
(l'ensemble des points sur $\FF_q$ d')une conique lisse.
\end{proposition2}
\begin{proof}
On reprend les notations de la démonstration de la
proposition \ref{centre-de-l-ovale-inscrit} ; pour simplifier les
calculs, on peut encore choisir $(1:1:1)$ comme coordonnées pour le
point $S$ intersection commune de $AP$, $BQ$ et $CR$.  Alors on a
$a=b=c=1$, et les tangentes à $E$ par $P$, $Q$ et $R$ ont
respectivement pour équations $Y+Z=0$ et $Z+X=0$ et $X+Y=0$.  On veut
montrer que $E$ coïncide avec la conique $D$ d'équation $XY+XZ+YZ=0$.

Soit $T = (x:y:z)$ un point quelconque de $E$ distinct de $P,Q,R$.  La
conique $D'_s$ d'équation $XY+XZ+YZ + sZ^2 = 0$ passe par $P$ et $Q$
et y a les même tangentes que $E$.  En choisissant $s$ de sorte que la
conique $D'_s$ passe par $T$, on déduit du
lemme \ref{comparaison-ovale-conique-trois-points-deux-tangentes} que
$D'_s$ et $E$ ont même tangente en $T$.  Cette tangente est $(y+z)X +
(x+z)Y + (y+x+2sz)Z = 0$.  La conique $D''_t$ d'équation $XY+XZ+YZ +
tX^2 = 0$ passe par $Q$ et $R$ et y a les mêmes tangentes que $E$.  En
choisissant $t$ de sorte que $D''_t$ passe par $T$ on déduit de même
que $D''_t$ et $E$ ont même tangente en $T$.  Cette tangente est
$(y+z+2tx)X + (x+z)Y + (y+x)Z = 0$.  En comparant les deux équations
trouvées pour la même tangente à $E$ en $T$, on trouve $s=t=0$ : donc
$D'_s = D''_t = D$, et le point $T$ est situé sur $D$, ce qu'on
voulait prouver.
\end{proof}

\begin{remarque2}
On peut se demander s'il existe un résultat analogue en
caractéristique $2$ qui affirmerait que tout hyperovale s'obtient
comme réunion d'une conique et de l'unique point d'intersection de
toutes ses tangentes (cf. \ref{ovales-et-hyperovales}).  Il n'en est
rien : il existe des hyperovales « irréguliers » : l'exemple le plus
simple connu (hyperovale de Lunelli-Sce) est celui de l'ensemble des
points de $\PP^2(\FF_{16})$ de la forme $(0:1:0)$ ou $(1:0:0)$ ou bien
$(x:f(x):1)$ avec $x\in \FF_{16}$ et $f(x) = x^{12} + x^{10}
+ \gamma^{11} x^8 + x^6 + \gamma^2 x^4 + \gamma^9 x^2$, où $\gamma$
(élément primitif) est solution de $\gamma^4 = \gamma + 1$.
\end{remarque2}


\section{Polynômes sur les fractions rationnelles}

\subsection{Le théorème de Tsen}

\begin{theoreme2}\label{theoreme-tsen}
Soit $k$ un corps $C_r$.  Alors le corps $k(T)$ des fractions
rationnelles en une indéterminée sur $k$ est $C_{r+1}$.  (Marche aussi
fortement ?  Oui, si j'en crois Nagata.  Marche aussi
avec $C'$ ? \XXX)
\end{theoreme2}
\begin{proof}
Soit $P \in k(T)[X_1,\ldots,X_n]$ un polynôme homogène de degré $d$ en
$n$ variables avec $n > d^{r+1}$.  Quitte à chasser les dénominateurs,
on peut supposer $P \in k[T,X_1,\ldots,X_n]$, c'est-à-dire que les
coefficients de $P$ sont dans $k[T]$.  Soit $M$ un majorant des degrés
de ces éléments de $k[T]$ (disons, le degré de $P$ en $T$), et soit
$N$ un entier naturel qui sera choisi suffisamment grand : on
introduit $n(N+1)$ variables $Y_{j\ell}$ avec $1\leq j \leq n$ et
$0\leq\ell\leq N$, et on pose $x_j = \sum_{\ell=0}^N Y_{j\ell}
T^\ell$.  Alors $f(x_1,\ldots,x_n)$ s'écrit comme un polynôme de degré
$Nd+M$ en $T$, dont les coefficients, qu'on appellera
$f_\ell(Y_{\cdots})$, sont des polynômes homogènes de degré $d$.
L'annulation de $f(x_1,\ldots,x_n)$ revient donc à un système de
$Nd+M+1$ équations $f_\ell(Y_{\cdots}) = 0$, toutes homogènes de
degré $d$, en les $n(N+1)$ variables $Y_{j\ell}$ : lorsque $n(N+1) >
d^r (Nd+M+1)$, ce qui compte tenu de $n > d^{r+1}$ se produit bien
pour $N$ assez grand, la propriété $C_r$ assure que ce système a une
solution non triviale.
\end{proof}

La réciproque suivante montre que le théorème précédent en un
certain sens optimal :
\begin{proposition2}\label{reciproque-tsen}
Soit $k$ tel que le corps $k(T)$ soit $C_{r+1}$.  Alors $k$ est $C_r$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $P \in k[X_1,\ldots,X_n]$ homogène de degré $d>0$ tel que $n >
d^r$.  Définissons un polynôme homogène de degré $d$ en $dn$ variables
par $Q = f(P|P|\cdots|P)$, où $f(U_0,\ldots,U_{d-1}) = U_0 + U_1 T
+ \cdots + U_{d-1} T^{d-1}$, c'est-à-dire $Q =
P(Z_{0,1},\ldots,Z_{0,n}) + P(Z_{1,1},\ldots,Z_{1,n})\,T + \cdots +
P(Z_{d-1,1},\ldots,Z_{d-1,n})\, T^{d-1}$ (en les variables
$Z_{\ell,j}$).  Puisque $dn > d^{r+1}$, la condition $C_{r+1}$
signifie que $Q$ a un zéro non trivial $(z_{\ell,j})$.  Quitte à
chasser les dénominateurs, on peut supposer $(z_{\ell,j}) \in k[T]$,
et quitte à diviser par $T$ on peut supposer que tous ne sont pas
multiples de $T$.  En évaluant $Q(z_{\cdots})$ en $T=0$, on trouve
$P(z_{0,1}(0),\ldots,z_{0,n}(0)) = 0$ : si tous les $Z_{0,\ell}(0)$
sont nuls, alors $P(z_{0,1},\ldots,z_{0,})$ est multiple de $T^d$, et
en en divisant $Q(z_{\cdots})$ par $T$ et en l'évaluant en $T=0$, on
trouve ensuite $P(z_{1,1}(0),\ldots,z_{1,n}(0)) = 0$, et ainsi de
suite.  Comme tous les $z_{\ell,j}(0)$ ne peuvent pas être nuls, il
doit exister $\ell$ tel que $P(z_{\ell,1}(0),\ldots,z_{\ell,n}(0)) =
0$ avec $z_{\ell,1}(0),\ldots,z_{\ell,n}(0)$ non tous nuls.  Ceci
montre que $k$ est $C_r$.
\end{proof}

En admettant la notion de degré de transcendance (une extension $K$
d'un corps $k$ est de degré de transcendance $\delta$, notée $\degtr_k
K = \delta$, lorsque $K$ est algébrique sur un sous-corps
$k(t_1,\ldots,t_\delta)$, où $t_1,\ldots,t_\delta$ sont algébriquement
indépendants sur $k$ c'est-à-dire que $k(t_1,\ldots,t_\delta)$ est
isomorphe au corps $k(T_1,\ldots,T_\delta)$ des fractions rationnelles
en autant d'indéterminées par un isomorphisme envoyant $t_\iota$ sur
$T_\iota$), on peut énoncer :
\begin{corollaire2}
Soit $k$ un corps $C_r$, et $K$ un corps tel que $\degtr_k K
= \delta$.  Alors $K$ est $C_{r+\delta}$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
Soient $t_1,\ldots,t_\delta$ algébriquement indépendants dans $K$ tels
que $K$ soit algébrique sur $k(t_1,\ldots,t_\delta)$.  Le
théorème \ref{theoreme-tsen} appliqué $\delta$ fois successivement
assure que $k(t_1,\ldots,t_\delta)$ est $C_{r+\delta}$, et la
proposition \ref{extension-algebrique-de-corps-c-r} permet de conclure
que $K$ l'est.
\end{proof}


\ifx\danslelivre\undefined
\end{document}
\else
\endgroup
\fi