summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/descente.tex
blob: 919c96f24349f062cf44a750a76f9a9629f57fa0 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
\input{../configuration/commun}
\input{../configuration/smf}
\input{../configuration/adresse}
\input{../configuration/gadgets}
\input{../configuration/francais}
\input{../configuration/numerotation}
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}

\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
%\usepackage{pxfonts}

\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{KAS}
%\makeindex

\title{Platitude et descente}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Platitude et descente}
\fi

\section{Modules localement libres}

[À mettre plutôt dans [Tens] \XXX]

\begin{proposition2}\label{projectivité par décomposition identité}
Soit $A$ un anneau. Un $A$-module $M$ est \emph{projectif
de type fini} si et seulement si il existe des familles
finies $(m_i)_{1 ≤ i ≤ n}$ d'éléments de $M$ et
$(f_i)_{1 ≤ i ≤ n}$ d'éléments de $M^∨$ telles
que $m=∑_{i=1}^n f_i(m)m_i$ pour chaque $m ∈ M$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{Hom=produit tensoriel si projectif}
Soit $A$·un anneau et $M$ un $A$-module·$M$ projectif
de type fini. Pour chaque $A$-module $N$,
le morphisme $M^∨ ⊗_A N → \Hom_A(M,N)$, $f ⊗ n ↦ (m ↦
f(m)n)$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

\section{Descente radicielle}

\begin{proposition2}\label{dérivations Mn sont intérieures}
Toute $k$-\emph{dérivation} de $M_n(k)$ est
\emph{intérieure} :
toute application $k$-linéaire $δ:M_n(k)→M_n(k)$
satisfaisant les relations $δ(xy)=xδ(y)+yδ(x)$ pour toute
paire $(x,y)∈M_n(k)²$ est de la forme
$m↦\mathrm{Int}_x(m)=xm-mx$ pour un (unique)
$x∈M_n(k)$.
\end{proposition2}

\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuratoin/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi