summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/entiers.tex
blob: 0b08b9aee6e73397e3f687a39bc8d1dba137e157 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
\input{../configuration/commun}
\input{../configuration/smf}
\input{../configuration/adresse}
\input{../configuration/gadgets}
\input{../configuration/francais}
\input{../configuration/numerotation}
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{srcltx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
\usetikzlibrary{calc}
\synctex=1

% À faire :
% — changer la profondeur de la numérotation par endroit
\title{Éléments entiers sur un anneau}

\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{RT}
\externaldocument{produit-tensoriel}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Éléments entiers sur un anneau}
\fi


\section{Définitions et premières propriétés}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
Pour tout élément $b$ de $B$, notons
$A[b]$ le sous-ensemble
$$
\{∑_{i=0}^r a_i b^i; a_i∈ A, r∈ 𝐍\}
$$ 
de $B$, que l'on peut également définir comme l'image de 
l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X]→B$ envoyant $X$ sur $b$
ou bien comme la plus petite sous-$A$-algèbre de $B$ contenant l'élément $b$. 
Plus généralement, pour toute partie $S$ de $B$ on note $A[S]$ l'image
de l'unique morphisme de $A$-algèbres $A[X_s, s∈S]→B$ envoyant $X_s$
sur $s$, qui est aussi l'intersection dans $B$ de toutes les $A$-algèbres contenant $S$.

\begin{définition}\label{element-entier}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $b\in B$
est \emph{entier} sur $A$ si $A[b]$ est un $A$-module de type fini.
\end{définition}

\begin{exemples}
Tout élément $b∈B$ de la forme $a\cdot 1_B$, \cad 
dans l'image du morphisme structural $A→B$, est entier sur $A$. 
Moins trivialement, il résulte de la proposition
\ref{caracterisation-entiers} ci-dessous que le nombre
complexe $\sqrt{2}$ est entier sur $𝐙$.
\end{exemples}


Il est naturel de compléter cette définition par la suivante.

\begin{définition}\label{morphisme-fini}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. On dit que $B$
est une \emph{$A$-algèbre finie} si $B$ est un $A$-module \emph{de type fini}. \end{définition}

On dit aussi, indifféremment, que $B$ est « finie sur $A$ », ou encore que « le
morphisme $A→B$ est fini ». D'autre part, lorsque cela ne semble pas prêter à
confusion, on dira parfois que la $A$-algèbre $B$ est \emph{finie} (sous-entendu :  sur $A$).
Ainsi, un élément $b$ d'une $A$-algèbre $B$ est entier sur $A$ \ssi
l'anneau $A[b]$ est fini sur $A$ au sens de la définition précédente.

\begin{lemme}\label{composé de finis=fini}
Le composé de deux morphismes finis est fini.
Plus généralement, si $A$ est un anneau, $B$ une $A$-algèbre \emph{finie}
et $M$ un $B$-module de type fini, le $A$-module $M$ est de type fini.
\end{lemme}

\begin{démo}
Par hypothèse, il existe deux entiers $r,r'$ et
des surjections $A^r↠B$ ($A$-linéaire) et $B^{r'}↠M$ ($B$-linéaire).
Par composition, on en déduit une surjection $A$-linéaire
$(A^r)^{r'}↠M$. Puisque $(A^r)^{r'}$ est $A$-isomorphe à
$A^{rr'}$, la conclusion en résulte. 
\end{démo}

\begin{proposition}\label{caracterisation-entiers} 
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
Considérons un élément $b∈B$.
Les conditions suivantes sont équivalentes : 
\begin{enumerate}
\item \label{1} $b$ est entier sur $A$ ;
\item \label{2} il existe un polynôme \emph{unitaire} $P∈ A[X]$ tel
que $P(b)=0$ ;
\item \label{3} il existe un sous-$A$-\emph{algèbre} de $B$ \emph{finie} sur $A$, contenant $b$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

En particulier, si $B$ est finie sur $A$, tout élément de $B$ est entier sur
$A$. 

Une relation $P(b)=0$, pour $P$ comme en \ref{2}, est appelée 
une \emph{relation de dépendance intégrale} à coefficients
dans $A$.

\begin{miseengarde}
L'hypothèse \ref{3} ne peut en général pas être affaiblie en l'existence
d'un sous-$A$-\emph{module} de $B$ fini sur $A$ et contenant $b$.
C'est cependant vrai si $A$ est \emph{nœthérien}.

Considérons la sous-$𝐐$-algèbre $A$ de $𝐐[X,Y]$
engendrée par les monômes $X^nY^{n+1}=Y(XY)^n$ pour $n≥0$. 
La sous-$A$-algèbre $B=𝐐[XY,Y]$ de $𝐐[X,Y]$
est contenue dans le $A$-\emph{module} de type fini $A+A\cdot X$.
Cependant, l'élément $XY$ n'est \emph{pas} entier
sur $A$ : si $P$ est un polynôme unitaire à coefficients dans 
$A$ de degré $n$, $P(XY)$ ne contient qu'un seul monôme $X^n Y^n$ 
de sorte que $P(XY)≠0$.
% = cas particulier de ZS, volume I p. 255 (qui nécessite valuation rang $>1$).
\end{miseengarde}

\XXX La démonstration ci-dessous est moche.

\begin{démo}
Montrons que \ref{1} implique \ref{2}. Sous l'hypothèse \ref{1},
il existe des polynômes $P₁,\dots,P_n∈A[X]$ tels que les 
$P_i(b)$ ($1≤i≤n$) engendrent $A[b]$ comme $A$-module. Si $N$ est un
entier strictement supérieur aux degrés de ces polynômes, l'inclusion
évidente $∑_{i≤n} A\,P_i(b)⊆∑_{α<N} A\,b^α$ entraîne
l'égalité $A[b]=∑_{α<N} Ab^α$. En particulier, $b^N∈∑_{α<N} Ab^α$.
Il existe donc un polynôme unitaire de degré $N$ à coefficients dans
$A$ s'annulant en $b$.
Montrons que \ref{2} implique \ref{1}. Soit $P$ comme dans l'énoncé ; 
notons $d$ son degré. Soit $x=f(b)∈A[b]$ où $f∈A[X]$. Le polynôme $P$
étant unitaire, on peut faire la division euclidienne de $f$ par $P$ : 
il existe une unique paire $(Q,R)∈A[X]²$ telle que $\deg(R)<d$ et 
$f=PQ+R$. Ainsi $x=P(b)Q(b)+R(b)=R(b)$. Il en résulte que $x∈∑_{i<d} A\,b^i$.
Finalement, $A[b]=∑_{i<d} A\,b^i$ est finie sur $A$. 
Il est tautologique que \ref{1} entraîne \ref{3}. Il nous
suffit donc pour conclure de vérifier que \ref{3} entraîne 
\ref{2}. Soit $C$ une sous-$A$-algèbre de $B$ contenant $b$, finie sur $A$.
Par hypothèse, il existe une surjection $A$-linéaire $s:A^n↠C$.
Observons que l'endomorphisme $A$-linéaire de $C$
défini par la multiplication par $b$ se \emph{relève}, non canoniquement, en 
un morphisme $u:A^n→A^n$ tel que le diagramme suivant soit commutatif :
$$
\xymatrix{
A^n \ar[d]^{s} \ar[r]^{u} & A^n \ar[d]^{s} \\
C \ar[r]^{b} & C 
}
$$
En effet, si l'on note $e_i$ ($1≤i≤n$) la base canonique de $A^n$ et
que l'on pose $c_i=s(e_i)$, il existe des éléments $a_{ij}∈A$
tels que, pour tout $i$, $bc_i=∑_{j≤n}a_{ij}c_j$. Il suffit de définir
$u$ par la matrice $(a_{ij})$. Soit $χ_u(X)=\det(\mathrm{Id}-Xu)∈A[X]$.
C'est un polynôme \emph{unitaire}, tel que — par Cayley-Hamilton — 
l'endomorphisme $χ_u(u)$ de $A^n$ soit identiquement nul.
La commutativité du diagramme ci-dessus entraîne que $χ_u(b)=0$. CQFD.
\end{démo}

\begin{corollaire}
Tout élément de $𝐐$ entier sur $𝐙$ appartient à $𝐙$.
\end{corollaire}

\begin{démo}
En effet, si $r=x/y\in \QQ$, où $x,y\in \ZZ-\{0\}$ sont premiers
entre eux, satisfait la relation
$$
(\frac{x}{y})^n+a_{n-1}(\frac{x}{y})^{n-1}+\cdots+a_1 \frac{x}{y}+a_0=0,
$$
où les coefficients sont entiers, on voit par multiplication par $y^{n}$
que $y$ divise $x$. Compte tenu de l'hypothèse faite, on a $y=±1$
et finalement $r∈𝐙$.
\end{démo}

\begin{proposition}\label{entiers=sous-algebre}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre. 
L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est une sous-$A$-algèbre.
\end{proposition}

En d'autres termes, si $b$ et $b'$ sont deux éléments de $B$ entiers
sur $A$, les éléments $b+b'$, $bb'$, et les $ab$ pour tout
$a∈A$, sont également entiers sur $A$.

\begin{démo}[Première démonstration]
(La démonstration qui suit est une généralisation des calculs
\refext{Ext}{exemple somme algébriques=algébrique}.)
Soient $b$ et $b'$ comme dans l'énoncé, et 
$P=T^n-∑_{0}^{n-1}β_i T^i$ et $Q=T^m-∑_{0}^{m-1}β'_j T^j$ 
des polynômes unitaires s'annulant respectivement 
en $b$ et $b'$. Considérons les endomorphismes $u$ et $v$  
du sous-$A$-module libre de $A[X,Y]$ de base les mônomes
$X^iY^j$ où $0≤i≤n-1$ et $0≤j≤m-1$, définis par :
$u(X^i Y^j)=X^{i+1}Y^j$ si $i≠n-1$ et 
$u(X^{n-1}Y^j)=∑_0^{n-1} β_i X^i Y^i$
(resp. $v(X^i Y^j)=X^{i}Y^{j+1}$ si $j≠m-1$
et $v(X^{i}Y^{m-1})=∑_0^{m-1} β'_j X^i Y^j$).
Ces endomorphismes commutent.
Soit $R∈A[X,Y]$. Par construction, le diagramme 
d'application $A$-linéaires
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
X^iY^j & A^{nm} & A^{nm} \\ b^i {b'}^j & A[b,b'] & A[b,b'] \\};
\draw[|->]  (diag-1-1) -- (diag-2-1);
\draw[->] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
\draw[->] (diag-1-2) -- node{$R(u,v)$} (diag-1-3); 
\draw[->] (diag-1-3) -- (diag-2-3);
\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{$×R(b,b')$} (diag-2-3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
est commutatif. (Il suffit de le vérifier pour $R(X,Y)=X$ et
$R(X,Y)=Y$.) De ce fait joint au fait que l'unité
de $B$ appartienne à l'image de $A^{nm}→A[b,b']$,
il suit que toute relation $R(u,v)=0$ entraîne $R(b,b')=0$.
Il résulte alors du théorème de Cayley-Hamilton
que le polynôme caractéristique de $u+v$ (resp. $uv$),
unitaire à coefficients dans $A$, s'annule en $b+b'$ (resp. $bb'$). 
(Comparer avec \ref{caracterisation-entiers}, démonstration,
(iii)⇒(ii).)
\end{démo}

En utilisant le produit tensoriel d'algèbres sur 
un anneau quelconque (\refext{Tens}{Tens-produit tensoriel algèbres}),
il est possible de donner une version « abstraite »
de la démonstration précédente.

\begin{démo}[Seconde démonstration]
Soient $b$ et $b'$ comme dans l'énoncé. La multiplication
dans $B$ induit un morphisme de $A$-algèbres
$$
A[b]⊗_A A[b'] → B,
$$
dont l'image est la sous-$A$-algèbre $A[b,b']$ de $B$. Les $A$-algèbres
$A[b]$ et $A[b']$ étant finies, il en est de même de leur produit tensoriel
$A[b]⊗_A A[b']$ (\refext{Tens}{produit tensoriel fini=fini}), et du quotient $A[b,b']$ de ce
dernier. (Tout quotient d'un module de type fini est de type fini.)
Finalement, $b+b'$, $bb'$ et les $ab$, qui appartiennent à $A[b,b']$,
sont donc entiers sur $A$ en vertu de \ref{caracterisation-entiers}, \ref{3}.
\end{démo}


\begin{remarque}
La définition \ref{element-entier} et la proposition
\ref{caracterisation-entiers} s'étendent 
au cas où $B$ n'est pas nécessairement commutative.
Cependant, la démonstration montre seulement
que la somme (resp. le produit)
de deux éléments entiers \emph{permutables} est entier.
\end{remarque}

\begin{définition}\label{entiere}
Soient $A$ un anneau et $B$ une $A$-algèbre.
Si tout élément de $B$ est entier sur $A$, on dit que $B$ est une 
\emph{$A$-algèbre entière} ou encore que le morphisme $A→B$ est
\emph{entier}. \index{morphisme entier}
\end{définition}

\begin{proposition}\label{entier-sur-entier}
Le composé de deux morphismes entiers est entier.
\end{proposition}

En d'autres termes, si $B$ est une $A$-algèbre entière et $C$ 
une $B$-algèbre entière, alors $C$ est entier 
sur $A$ (pour la structure d'algèbre définie par composition).
 
%De la proposition triviale \ref{epi=fini} on tire le corollaire suivant.
%\begin{corollaire}\label{quotient-fini=fini}
%Tout quotient d'une algèbre entière (resp. finie) est entière (resp. finie).
%\end{corollaire}

\begin{démo}
Soient $A,B$ et $C$ comme dans la glose suivant l'énoncé.
Soit $c∈C$ ; on veut montrer qu'il est entier sur $A$.
Par hypothèse $c$ est racine d'un polynôme unitaire
$P=X^n+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots+b₀∈B[X]$. Considérons
la sous-$A$-algèbre $B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$ de $B$.
Elle est finie sur $A$ d'après \ref{composé de finis=fini}
car chacun des morphismes $A→A[b₀]$, $A[b₀]→A[b₀,b₁]$,
..., $A[b₀,\dots,b_{n-2}]→B'=A[b₀,\dots,b_{n-1}]$
sont finis. (Ils sont en effet de la forme
$D→D[d]$ où $d$ est entier sur $D$.)
Puisque $P∈B'[X]$, on voit que
la sous-$A$-algèbre $B'[c]$ de $C$ est finie sur $B'$. Il résulte
de \emph{loc. cit.} que $B'[c]$ est 
finie sur $A$ et finalement (d'après \ref{caracterisation-entiers}, (iii)) que
$c$ est entier sur $A$.
\end{démo}

\subsection{Morphismes de type fini}

Rappelons la définition suivante.

\begin{définition2}\label{algèbre de type fini}
Soit $A$ un anneau. Une $A$-\emph{algèbre} $B$ est dite \emph{de type fini} s'il existe un
entier $r$ et un épimorphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]↠B$.
\end{définition2}

On prendra garde de ne pas confondre cette notion avec celle
de $A$-\emph{module} de type fini, correspondant à la notion
de $A$-algèbre finie.

\begin{proposition2}\label{composé-type-fini}
Le composé de deux morphismes de type fini est de type fini :
si $A→B$ et $B→C$ sont de type fini, le composé $A→C$ est de type fini.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Notons $A→B$ et $B→C$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé. 
Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ ($X_i↦x_i$) et $B[Y₁,\dots,Y_s]↠C$ ($Y_j↦y_j$) sont les épimorphismes dont on suppose
l'existence, le morphisme de $A$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r,Y₁,\dots,Y_s]→C$
défini par $X_i↦x_i$, $Y_j↦y_j$ est également surjectif : le morphisme composé
$A→C$ est donc de type fini.
\end{démo}

On a vu ci-dessus qu'une $A$-algèbre finie est entière.
Réciproquement :

\begin{proposition}\label{fini=entier+tf}
Un morphisme d'anneaux est fini \ssi il est entier et de type fini.
\end{proposition}


\begin{démo}[Première démonstration]
Un morphisme fini est entier et de type fini car une $A$-algèbre
finie en tant que $A$-module l'est \emph{a fortiori} en tant
qu'algèbre. Démontrons la réciproque. Soient $B$ une $A$-algèbre entière
et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres. Notons $b_i$
les images des $X_i$ par ce morphisme, de sorte que
$B=A[b_1,\dots,b_r]$. Le morphisme $A→B$ est donc
fini (cf. \ref{entier-sur-entier}, démonstration). 
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration]
Soient $B$ une $A$-algèbre entière et $A[X₁,\dots,X_r]↠B$ un épimorphisme de $A$-algèbres.
Montrons que $B$ est finie sur $A$. Notons $b_i$ 
les images des $X_i$ par ce morphisme, qui se factorise donc à travers
un épimorphisme $A[b₁]⊗_A\cdots⊗_A A[b_r]↠B$ car
$A[X₁,\dots,X_r]≃A[X₁]⊗_A\cdots⊗_A A[X_r]$ (\refext{Tens}{}).
Chaque $A[b_i]$ est un $A$-\emph{module} de type fini ; il en
est de même de leur produit tensoriel.
\end{démo}

\begin{proposition}\label{localisation-entier=entier}
Soient $A→B$ un morphisme entier (resp. fini) et $S$ une partie
de $A$. Le morphisme induit $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$
entre les anneaux de fractions associés
(\refext{Spec}{Spec-localisation})
est entier (resp. fini).
\end{proposition}

Cette proposition est un cas particulier de 
\ref{cb-entier}.

\begin{démo}
Quitte à remplacer $S$ par la partie multiplicative
engendrée, on peut supposer $S$ multiplicative.
Supposons $A→B$ entier et considérons $b/s∈B[S^{-1}]$.
On veut montrer qu'il est entier sur $A[S^{-1}]$.
Par hypothèse, il existe une relation de dépendance
intégrale $b^n+a₁ b^{n-1}+\cdots+a_n=0$. En multipliant
l'image de cette relation dans $B[S^{-1}]$ par $1/s^n$,
on en tire :
\[
(b/s)^n+(a₀/s)(b/s)^{n-1}+\cdots+(a_n/s^n)=0.
\]
En d'autres termes, $b/s$ est entier sur $A[S^{-1}]$.
Pour traiter le cas des morphismes finis, il suffit de vérifier
que si $A→B$ est de type fini, il en est de même de
$A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$. Or, si $b₁,\dots,b_n$ sont des générateurs
de $B$ comme $A$-module, il résulte immédiatement
de l'égalité $(∑_1^n a_i b_i)/s=∑_1^n (a_i/s)(b_i/1)$
pour tout $n$-uplet $(a_i)$ de $A$ que les éléments 
$b₁/1,\dots,b_n/1$ de $B[S^{-1}]$
sont générateurs sur $A[S^{-1}]$.
\end{démo}


\begin{facultatif}

\section{Intégrité et changement de base}

Les résultats de cette section ne seront pas utilisé dans la 
suite de ce chapitre.

\begin{proposition}\label{stabilite-type-fini}
\begin{enumerate}
\item Le produit tensoriel de deux morphismes de type fini est de type fini : 
si $A→B₁$ et $A→B₂$ sont de type fini, le morphisme canonique $A→B₁⊗_A B₂$
est de type fini.
\item Un morphisme de type fini reste après changement de base : si $A→B$ est de
type fini et $A→A'$ est un morphisme, le morphisme canonique $A'→B⊗_A A'$ est de
type fini.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{démo}
(i) Soient $A→B₁$ et $A→B₂$ les deux morphismes de type fini de l'énoncé.
Si $A[X₁,\dots,X_r]↠B₁$ est un épimorphisme, le morphisme $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A B₂↠B₁⊗_A B₂$
obtenu par changement de base l'est également
(\refext{Tens}{produit-tens-exact-a-droite}). Puisqu'un quotient d'une $A$-algèbre de
type finie est de type fini, on peut supposer que $B₁$ est une algèbre de
polynômes en un nombre fini de variables. De même pour $B₂$. Le résultat est
alors trivial car $A[X₁,\cdots,X_r]⊗_A A[Y₁,\dots,Y_s]$ est $A$-isomorphe
à $A[Z₁,\dots,Z_{rs}]$ (\refext{Tens}{}).
(ii) Même démonstration, où l'on utilise cette fois-ci l'isomorphisme
de $A'$-algèbres $A[X₁,\dots,X_r]⊗_A A'⭇A'[X₁,\dots,X_r]$.
\end{démo}


\begin{proposition}\label{cb-entier}
Soit $A→B$ un morphisme entier (resp. fini). Alors, pour toute $A$-algèbre $A'$,
la $A'$-algèbre $B⊗_A A'$ est entière (resp. finie).
\end{proposition}

\begin{démo}
D'après \ref{stabilite-type-fini} et \ref{fini=entier+tf}, il suffit de
démontrer la proposition dans le cas des morphismes entiers.
Pour toute sous-$A$-algèbre finie $C$ de $B$, notons $\gtilde{C}$ l'image de $C⊗_A A'$ dans $B'=B⊗_A A'$.
Observons que $B'=⋃\gtilde{C}$ où $C$ parcourt l'ensemble des sous-$A$-algèbres
finies de $B$. En effet, tout élément $b'$ de $B'$ est somme (finie) de tenseurs
purs :  $b'=∑_{i∈I} b_i⊗a'_i$, où $b_i∈B$ et $a'_i∈A'$
de sorte que $b'$ appartient $\gtilde{C}$ où $C$ est 
la sous-$A$-algèbre finie $C=A[(b_i)_{i∈I}]$ de $B$. Pour conclure,
il suffit de montrer que chaque $\gtilde{C}$ est entier sur $A'$. 
Une telle sous-$A'$-algèbre de $B'$ est même finie : 
$\gtilde{C}$ est un quotient de $C'=C⊗_A A'$ qui est fini sur $A'$ (comme
module) car $C$ l'est sur $A$.
\end{démo}

\begin{corollaire}\label{pdt-tens-entiers}
Soient $A$ un anneau et $B₁,B₂$ deux $A$-algèbres entières (resp. finies).
Le produit tensoriel $B₁⊗_A B₂$ est entier (resp. fini) sur $A$.
\end{corollaire}

\begin{démo}
Cela résulte de \ref{cb-entier} et \ref{entier-sur-entier}.
\end{démo}

La généralisation suivante du corollaire précédent est également 
utile.

\begin{corollaire}\label{produit-tensoriel-d-entiers}
Soient $k$ un anneau, $A₁$ et $A₂$ deux $k$-algèbres.
Si $A₁→B₁$ et $A₂→B₂$ sont deux morphismes entiers (resp. finis), le morphisme
$A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k B₂$ qui s'en déduit est également entier (resp. fini).
\end{corollaire}

\begin{démo}
D'après \ref{cb-entier}, les morphismes $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k A₂$ et $B₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
B₂$ sont entiers ; d'après \ref{entier-sur-entier} le composé $A₁⊗_k A₂→B₁⊗_k
B₂$ l'est aussi.
\end{démo}

\end{facultatif}


\section{Clôture intégrale, anneaux normaux}

\begin{définition}\label{normalisation,normal}
Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions. La sous-$A$-algèbre
$A^\japmath{正}$ de $K$ constitué des éléments de $K$ entiers sur $A$ est appelé \emph{clôture
intégrale} \index{clôture intégrale} ou \emph{normalisation} \index{normalisation} 
de $A$ dans $K$. Si l'inclusion naturelle,
entière, $A→A^\japmath{正}$ est un isomorphisme, on dit que $A$ est un anneau
\emph{intégralement clos} \index{intégralement clos} ou \emph{normal}\index{normal}.
\end{définition}

\begin{définition}\label{fermeture-integrale}
L'ensemble des éléments de $B$ entiers sur $A$ est appelé \emph{fermeture
intégrale de $A$ dans $B$}\index{fermeture intégrale}.
\end{définition}

\begin{lemme2}
\label{intégralement clos préserve irréductibilité}
Soit $A ⊆ B$ une inclusion d'anneaux intègres. On suppose
que $A$ est intégralement clos dans $B$.
Alors, tout polynôme $P ∈ A[X]$ irréductible unitaire
reste irréductible dans $B[X]$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

\XXX

\subsection{Normalisation dans une extension séparable}

Contre-exemple non japonais.




\section{Relèvements des idéaux premiers}

\begin{théorème}\label{relèvement idéaux}
Soit $A↪B$ un morphisme \emph{injectif} entier. L'application
canonique $\Spec(B)→\Spec(A)$, $𝔮↦𝔮∩A$, est surjective.
\end{théorème}

\begin{corollaire}
Soit $A→B$ un morphisme entier. L'image du morphisme 
$\Spec(B)→\Spec(A)$ est l'ensemble des idéaux premiers de $A$
contenant $\Ker(A→B)$.
\end{corollaire}

\begin{démo}[Démonstration du corollaire]
En effet, le morphisme $A'=A/\Ker(A→B)→B$ déduit 
de $A→B$ par passage au quotient est entier, injectif 
et $\Spec(A')$ est le sous-ensemble de $\Spec(A)$ décrit
dans l'énoncé.
\end{démo}

\begin{démo}[Démonstration du théorème]
(Le lecteur qui le souhaite pourra supposer pour simplifier que les
anneaux $A$ et $B$ sont intègres.)
Soit $𝔭∈\Spec(A)$. Rappelons que l'on note $A_𝔭$
l'anneau des fractions $A[(A-𝔭)^{-1}]$ (cf.
\refext{Spec}{Spec-localisation}).
Si $A$ est intègre, c'est le sous-anneau
du corps des fractions $\Frac(A)$ constitué
des éléments pouvant s'écrire avec
un dénominateur n'appartenant pas à $𝔭$.
D'après \ref{localisation-entier=entier} (resp.
\refext{Spec}{Spec-cas particulier platitude localisation}),
le morphisme  $A_𝔭→B_𝔭=B[(A-𝔭)^{-1}]$ est entier (resp. injectif).
D'autre part, $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$ (resp. $\Spec(B_𝔭)→\Spec(B)$)
s'identifie à l'inclusion $\{𝔭'∈\Spec(A):𝔭'⊆𝔭\}↪\Spec(A)$
(resp. $\{𝔮∈\Spec(B):𝔮∩A⊆𝔭\}↪\Spec(B)$), cf. \refext{Spec}{Spec-spectre du
localisé}.
Le diagramme 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
\Spec(B) & \Spec(A)\\ \Spec(B_𝔭) & \Spec(A_𝔭)\\};
\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- (diag-2-2);
\draw[<-] (diag-1-1) -- (diag-2-1);
\draw[<-] (diag-1-2) -- (diag-2-2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
étant commutatif, et $𝔭∈\Spec(A)$ appartenant à l'image 
de l'application $\Spec(A_𝔭)→\Spec(A)$,
on peut remplacer $A$ par $A_𝔭$ et $B$ par $B_𝔭$.
En d'autre termes, on peut supposer $A$ \emph{local},
\cad ne possédant qu'un idéal maximal, que nous noterons $𝔪$.
Soit $𝔮∈\Specmax(B)$ arbitraire et $𝔭=A∩𝔮$ 
son image réciproque dans $\Spec(A)$. Le morphisme composé $A↪B↠B/𝔮$ induit une
injection entière $A/𝔭↪B/𝔮$ de but un corps. Il résulte du lemme
ci-dessous que $A/𝔭$ est un corps, \cad que $𝔭=𝔪$. CQFD.
\end{démo}

\begin{lemme}
Soit $A↪B$ un morphisme injectif entier entre anneaux intègres.
L'anneau $A$ est un corps \ssi $B$ est un corps.
\end{lemme}

\begin{démo}
Le fait que $B$ soit un corps si $A$ l'est est
une reformulation de \refext{Alg}{Spec=Specmax-cas-part}.
Réciproquement, si $B$ est un corps et $a∈A-\{0\}$,
l'inverse $b$ de $a$ dans $B$ est entier sur $A$ :
$b^n+a₀b^{n-1}+\cdots+a_n=0$ pour un choix convenable
d'éléments $a_i$ de $A$. Multipliant cette égalité
par $a^{n-1}$, on obtient $b∈A$. L'élément
$a$ est donc inversible \emph{dans $A$}.
\end{démo}

\begin{définition}\label{idéal dessus-dessous}
Soient $A→B$ un morphisme d'anneaux et $𝔞$ un idéal de $A$.
On dit qu'un idéal $𝔟$ de $B$ est \emph{au-dessus} de $𝔞$ ou
encore est un \emph{relèvement} de $𝔞$ si l'image inverse 
$𝔟∩A$ de $𝔟$ dans $A$ est égale à $𝔞$ (cf.
\refext{Spec}{convention image inverse idéal}). 
Si cette relation est satisfaite, on dit également
que $𝔞$ est \emph{en-dessous} de $𝔟$.
\end{définition}

\begin{corollaire}\label{cas égalité relèvement idéaux premiers}
Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔮$ un idéal premier de $B$ et
$𝔭=𝔮∩A$ son image inverse dans $A$. L'idéal premier $𝔭$ est maximal
\ssi $𝔮$ est maximal. D'autre part, si $𝔮'$ est un autre idéal premier
de $B$ au-dessus de $𝔭$ et \emph{contenant} $𝔮$, on a $𝔮=𝔮'$.
\end{corollaire}

\begin{démo}
Le premier point résulte du fait que le morphisme $A'=A/𝔭→B'=B/𝔮$ est entier et 
injectif. Démontrons que l'égalité $𝔭=𝔮∩A=𝔮'∩A$ jointe à l'inclusion
$𝔮⊆𝔮'$ force l'égalité $𝔮=𝔮'$. Les applications de localisation
$A→A_𝔭$ et $B→B_𝔭$ induisant des injections croissantes sur les spectres, on peut
supposer $A$ local. Il résulte du premier point que $𝔮$ et $𝔮'$ sont
alors maximaux donc égaux.
\end{démo}

\begin{corollaire}[Cohen-Seidenberg]\label{relèvement de paires}
Soient $A→B$ un morphisme entier, $𝔞⊆𝔭$ deux idéaux de $A$
et $𝔟$ un idéal de $B$ au-dessus de $𝔞$. Si $𝔭$ est premier,
il existe un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$ et au-dessus de $𝔭$.
\end{corollaire}

\begin{démo}
Le morphisme $A/𝔞→B/𝔟$ étant entier et injectif, il résulte de 
\ref{relèvement idéaux} qu'il existe un idéal premier de $B/𝔟$
relevant l'idéal premier $\sur{𝔭}=𝔭/𝔞$ de $A/𝔞$. Un tel idéal
correspond à un idéal premier $𝔮$ de $B$ contenant $𝔟$,
au-dessus de $𝔭$ (cf. \refext{Spec}{ideaux-quotient}). 
\end{démo}

\section{Anneau des invariants sous l'action d'un groupe fini}

Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant 
sur $B$ par automorphismes, et $A=\Fix_G(B)$ le sous-anneau de
$B$ constitué des invariants.
Dans ce paragraphe, on s'intéresse aux propriétés du morphisme
$A→B$ ainsi qu'à celles de l'application $Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$
associée. Nous verrons en particulier que, sous certaines hypothèses,
l'ensemble $X$ s'identifie à l'ensemble des $G$-orbites de $Y$,
\cad au \emph{quotient} $Y/G$ de $Y$ sous l'action de $G$.

\subsection{Intégralité et finitude}

\begin{proposition2}\label{quotient par groupe fini est entier}
Soient $B$ un anneau et $G$ un groupe fini agissant 
sur $B$ par automorphismes.
Le morphisme $A=\Fix_G(B)→B$ est \emph{entier}.
\end{proposition2} 

Il résulte du théorème \ref{relèvement idéaux} que l'application 
$Y=\Spec(B)→X=\Spec(A)$ est \emph{surjective}. 
Observons que l'action de $G$ sur $B$  
induit une action sur $Y$ 
et que l'application ci-dessus est $G$-équivariante,
l'ensemble $X$ étant muni, tout comme $A$, de l'action triviale
de $G$.

\begin{démo}
Soit $b∈B$ et considérons le polynôme \emph{unitaire}
$P_b(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)$. Il s'annule en $b$
et ses coefficients sont $G$-invariants donc dans $A$.
L'élément $b$ est donc entier sur $A$. CQFD.
\end{démo}

Nous allons maintenant énoncer un théorème
de finitude, fondamental pour la théorie des invariants.

Nous verrons dans un chapitre ultérieur
un autre résultat de cette nature, mais de démonstration plus
délicate (\refext{}{second théorème quotient fini}).

\begin{théorème2}\label{premier théorème quotient fini}
Soient $k$ un anneau, $B$ une $k$-algèbre de type fini, 
$G$ un groupe fini agissant sur $B$ par $k$-automorphismes
et $A=\Fix_G(B)$. Le morphisme $A→B$ est \emph{fini}. De plus, si $k$ est
\emph{nœthérien}, $A$ est une $k$-algèbre de type fini.
\end{théorème2}

\begin{démo}
Soient $b₁,\dots,b_n$ des générateurs de $B$ en tant que $k$-algèbre :
$B=k[b₁,\dots,b_n]$. Considérons la sous-$k$-algèbre $C$ de $B$
engendrée par les coefficients des polynômes $P_{b_i}$, $1≤i≤n$,
(cf. \ref{quotient par groupe fini est entier}, démonstration). 
Il résulte de \emph{loc. cit.} que $C$ est contenu dans $A$ et que chaque $b_i$ est
entier sur $C$. Il en résulte que $B$ est \emph{fini} sur $C$
(\ref{fini=entier+tf}) donc sur $A$.
Enfin, $A$ étant une sous-$k$-algèbre 
de la $k$-algèbre de type fini $C$, elle est de type fini
sur $k$ si $k$ est nœthérien.
\end{démo}

\subsection{Localisation}\label{Spec-localisation}

\subsubsection{}Soit $A$ un anneau. Une partie $S$ de $A$ est dite « multiplicative »
si tout produit fini d'élément de $S$ appartient à $S$ ou,
de façon équivalente, si $1∈S$ et pour tous $s,s'∈S$, $ss'∈S$.
Étant donnée une partie quelconque $S$ de $A$, il existe une
plus petite partie, notée $S_{\mathrm{mult}}$, de $A$
contenant $S$ et multiplicative.

Si $S$ est une partie multiplicative, 
la relation $ℛ$ sur $A×S$ définie par
$(a,s)ℛ(a',s')$ \ssi il existe $t∈S$
tel que $t(s'a)=t(sa')$ est une relation d'équivalence. On note
$A[S^{-1}]$ son quotient et $a/s$ la classe de l'élément $(a,s)$.
On vérifie immédiatement que les opérations
\[(a/s)+(a'/s'):=(as'+a's)/(ss')\] et
\[a/s)×(a'/s')=(aa')/(ss')\] munissent l'ensemble $A[S^{-1}]$
d'une structure d'anneau commutatif pour laquelle l'application
$A→A[S^{-1}]$, $a↦(a/1)$ (dite « canonique ») est un \emph{morphisme}.
Si $S$ est une partie quelconque de $A$, on pose
$A[S^{-1}]:=A[S_{\mathrm{mult}}^{-1}]$. On appelle cet anneau l'
\emph{anneau de fractions de $A$ défini par $S$}. C'est la
$A$-algèbre « universelle » dans lequelle tout élément
de $S$ devient inversible (cf. \refext{Tens}{propriété universelle
localisation}). Si $𝔭$ est un idéal \emph{premier} de $A$, l'ensemble
$A-𝔭$ est une partie multiplicative et on note plutôt
$A_𝔭$ l'anneau $A[(A-𝔭)^{-1}]$, appelé \emph{localisé
de $A$ en $𝔭$}. On vérifie immédiatement que si $A$ est un anneau intègre,
le localisé $A_{(0)}$ est le \emph{corps des fractions} de $A$.

\begin{proposition2}\label{Spec-spectre du localisé}
Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
Le morphisme canonique $A→A[S^{-1}]$ induit
une \emph{injection} $\Spec(A[S^{-1}])→\Spec(A)$
d'image
\[
\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}.
\]
\end{proposition2}

En particulier, pour tout idéal premier $𝔭'$ de $A$,
le spectre $\Spec(A_𝔭)$ s'identifie à $\{𝔭:𝔭⊆𝔭'\}$
car la condition $𝔭∩(A-𝔭')=∅$ se $𝔭⊆𝔭'$.
L'anneau $A_𝔭$ est donc \emph{local} : il ne possède qu'un idéal
maximal.

\begin{démo}
On peut supposer $S=S_{\mathrm{mult}}$ car
$𝔭∩S=∅$ \ssi $𝔭∩S_{\mathrm{mult}}=∅$.
Soit $𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$. Son image
réciproque $𝔭=𝔮∩A∈\Spec(A)$ ne rencontre pas $S$
car tout élément de $S$ est envoyé
par $A→A[S^{-1}]$ sur un élément inversible
et $𝔮$ ne contient pas de tels éléments.
Montrons que l'application $c:\Spec(A[S^{-1}])→
\{𝔭∈\Spec(A):𝔭∩S=∅\}$, $𝔮↦𝔮∩A$, est une bijection.
Nous allons vérifier ci-dessous que l'application
envoyant $𝔭∈\Spec(A)$ tel que $𝔭∩S=∅$ sur
l'idéal $𝔮=𝔭A[S^{-1}]$ de $A[S^{-1}]$
en est l'inverse. Fixons $𝔭$.
Commençons par observer que tout élément de $𝔮$ 
est de la forme $x/s$ où $x∈𝔭$ et $s∈S$. 
(Toute somme finie $∑_i x_i/s_i$ où $x_i∈𝔭$ et $s_i∈S$
se met au même dénominateur.)
Vérifions maintenant que l'idéal $𝔮$ est premier.
Soient $a/s$ et $a'/s'$ tels que $(a/s)(a'/s')=x/{s''}∈𝔮$,
où $x∈𝔭$. Par définition de l'anneau
des fractions, il existe $t∈S$ tel que 
\[(ts'')(aa')=(tss')x.\]
Le terme de droite appartient à l'idéal premier $𝔭$.
Comme le facteur $ts''$ du terme de gauche n'appartient pas à 
$𝔭$ (car $𝔭∩S=∅$) on a finalement $a∈𝔭$ ou $a'∈𝔭$.
Vérifions que $𝔮∩A=𝔭$, \cad que l'application
$𝔭↦𝔭A[S^{-1}]$ est un inverse à droite
de l'application $c$. Soit $a∈A$ tel que $a/1∈𝔮$.
D'après ce qui précède, il existe $(x,s)∈𝔭×S$ tel
que $a/1=x/s$. On en tire $(ts)a=tx$ pour un $t∈S$ convenable
et, finalement, $a∈𝔭$.
Pour conclure, il nous reste à vérifier que pour tout 
$𝔮∈\Spec(A[S^{-1}])$, l'inclusion \emph{a priori}
$(𝔮∩A)A[S^{-1}]⊆𝔮$ est une égalité. Soit $x=a/s∈𝔮$, où $a∈A$
et $s∈S$. L'élément $a/1=(s/1)(a/s)$ appartient également à 
l'idéal $𝔮$ de sorte que $a∈𝔮∩A$. L'égalité $x=(a/1)(1/s)$ montre
que $x∈(𝔮∩A)A[S^{-1}]$.
\end{démo}

Si $B$ est une $A$-algèbre et $S$ une partie de $A$,
on note $B[S^{-1}]$ l'anneau des fractions de $B$ 
défini par l'\emph{image} de $S$ dans $B$.

Nous ferons régulièrement usage du lemme suivant,
qui est un cas particulier d'un résultat de \emph{platitude}
(cf. \refext{Tens}{platitude localisation}).

\begin{proposition2}\label{Spec-cas particulier platitude localisation}
Soient $A$ un anneau et $S$ une partie de $A$.
Si $f:A→B$ est un morphisme \emph{injectif} d'anneau, 
le morphisme $A[S^{-1}]→B[S^{-1}]$, $a/s↦f(a)/f(s)$,
est également injectif.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $a/s$, où $a∈A$ et $s∈S_{\mathrm{mult}}$, dans le noyau. 
Observons que l'on a $f(S_{\mathrm{mult}})=f(S)_{\mathrm{mult}}$.
Par hypothèse, il existe $t∈S_{\mathrm{mult}}$ tel que
$f(t)f(a)=f(ta)=0$. Comme $f$ est injective, $ta=0$ et,
finalement $a/1=0$ dans $A[S^{-1}]$. \emph{A fortiori},
son multiple $a/s=(a/1)(1/s)$ est également nul.
\end{démo}

\subsection{Commutation à la localisation}

Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe agissant par automorphismes
sur $B$ et $T$ une partie multiplicative de $B$ stable par l'action de
$G$. L'anneau localisé $B[T^{-1}]$ (\refext{Spec}{Spec-localisation})
est naturellement muni d'une action de $G$ de sorte que le morphisme
canonique $B→B[T^{-1}]$ soit $G$-équivariant : on pose
$g(b/t)=g(b)/g(t)$. Posons $A=\Fix_G(B)$ ;
le sous-ensemble $S=\Fix_G(T)$ de $A$ est une partie multiplicative.

\begin{proposition2}\label{invariants et localisation}
Supposons $G$ fini.
Le morphisme canonique $A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ est injectif 
et induit un isomorphisme
\[A[S^{-1}]→\Fix_G(B[T^{-1}]).\]
\end{proposition2}

En d'autres termes, le passage aux invariants commute à la
localisation.

\begin{démo}
Il est clair que l'image de $A[S^{-1}]$ dans $B[T^{-1}]$
est fixe sous l'action de $G$. Vérifions l'injectivité.
Si $a/s$ est d'image nulle dans $B[T^{-1}]$,
il existe $t∈T$ tel que $ta=0$. Quitte à symétriser
$t$, \cad considérer le multiple $∏_{g∈G}g(t)$ de $t$, on peut supposer
$t∈S$. Ainsi, $a/s=0$ dans $A[S^{-1}]$.
Vérifions la surjectivité. Soit $y∈\Fix_G(B[T^{-1}])$ ;
on veut montrer qu'il existe $s∈S$ et $a∈A$ tels que
$y=a/s$. Quitte à multiplier $y$ par le symétrisé 
d'un de ses dénominateurs, on peut supposer que
$y=b/1$ pour un élément $b∈B$. Puisqu'il est fixe sous 
l'action de $G$, il existe pour tout $g∈G$ un élément $t_g$ de $T$
tel que $t_g(g(b)-b)=0$. Soit $s$ le symétrisé du produit
$t=∏_{g} t_g∈T$. Pour tout $g∈G$, on a $g(sb)-sb=s(g(b)-b)=0$.
Ainsi $a=sb$ appartient à $A$ et $y=a/s$.
\end{démo}

\begin{exercice2}
Trouver un triplet $(B,T,G)$ pour lequel l'application
$A[S^{-1}]→B[T^{-1}]$ de la proposition \ref{invariants et localisation} 
n'est pas pas injective. \XXX.
\end{exercice2}


\subsection{Groupes de décomposition et d'inertie ; action de $G$
sur les fibres de $\Spec(B)→\Spec(A)$}\label{décomposition-inertie et quotient}

\begin{théorème2}
Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par
automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. L'action de $G$ est transitive sur les fibres
de l'application $\Spec(B)→\Spec(A)$ : pour toute paire idéaux
premiers $𝔮$ et $𝔮'$ de $B$ au-dessus d'un même idéal premier
$𝔭$ de $A$, il existe $g∈G$ tel que $g.𝔮=𝔮'$.
\end{théorème2}

Rappelons que par définition, $𝔮∩A=𝔭=𝔮'∩A$ et que $g.𝔮$
désigne l'idéal $g^{-1}(𝔮)$ (cf. \refext{Spec}{fonctorialite-spectre}).

\begin{démo}
Soit $y∈𝔮$ et soit $x∈A$ son multiple $∏_{g∈G}g(y)$. Puisque $x∈𝔮∩A=𝔮'∩A$,
il appartient en particulier à l'idéal $𝔮'$. Celui-ci étant un idéal
\emph{premier}, il existe un $g∈G$ tel que $g(y)∈𝔮'$ ou encore
$y∈g.𝔮'$. On donc démontré l'inclusion $𝔮⊆⋃_g g.𝔮'$.
Chacun des idéaux $g.𝔮'$ étant premier, il résulte du lemme ci-dessous
que l'on a $𝔮⊆g.𝔮'$ pour un $g∈G$ convenable.
Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers} que
$𝔮=g.𝔮'$. CQFD.
\end{démo}

\begin{lemme2}\label{idéal dans réunion de premiers}
Soient $C$ un anneau, $𝔞$ un idéal et $𝔭₁,\dots,𝔭_r$ des idéaux
premiers tels que $𝔞⊆⋃_1^r 𝔭_i$. Il existe alors un indice
$i$ tel que $𝔞⊆𝔭_i$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
On raisonne par récurrence sur $r$, le cas $r=1$ étant
trivial. Supposons $r≥2$. S'il existe un indice
$j$ tel que $𝔞∩𝔭_j⊆⋃_{i≠j} 𝔭_i$, il résulte
de l'égalité $𝔞=⋃_i (𝔞∩𝔭_i)$ que l'idéal 
$𝔞$ est alors contenu dans la réunion $⋃_{i≠j} 𝔭_i$,
auquel cas l'hypothèse de récurrence permet de conclure.
Supposons donc par l'absurde que pour chaque indice $j$, il existe un élément
$x_j∈(𝔞∩𝔭_j)-⋃_{i≠j} 𝔭_i$. Posons $\chap{x_j}=∏_{i≠j} x_j$ et
considérons l'élément $y=∑_j \chap{x_j}$ de $𝔞$.
Soit $i$ tel que $y∈𝔭_i$. Pour chaque $j≠i$, $\chap{x_j}∈𝔭_i$
de sorte que finalement $\chap{x_i}$ appartient également
à $𝔭_i$. Il en est donc ainsi d'au moins un de ses facteurs
$x_j$ ($j≠i$), ce qui est absurde.
\end{démo}

\begin{remarque2}Il résulte du théorème précédent
qu'à conjugaison près, les sous-groupes $D(𝔮)$ et
$I(𝔮)$ de $G$ définis en \refext{CG}{décomposition-inertie}
ne dépendent que de $𝔭=𝔮∩A$. En effet, si
$g∈G$, on a $D(g.𝔮)=gD(𝔮)g^{-1}$ (resp. $I(g.𝔮)=gI(𝔮)g^{-1}$). On note
parfois $D(𝔭)$ (resp. $I(𝔭)$) une telle classe de conjugaison
de sous-groupes.
\end{remarque2}

Par construction l'action de $G$ sur $B$ induit une action
$A/𝔮$-linéaire de $D(𝔮)$ sur $B/𝔮$, qui se factorise
à travers le quotient $D(𝔮)/I(𝔮)$. (Le morphisme $A/𝔭→B/𝔮$ est
injectif car $𝔭=𝔮∩A$.)

\begin{miseengarde2}
L'inclusion $A/𝔭⊆\Fix_{D(𝔮)/I(𝔮)}(B/𝔮)$ n'est pas en général
une égalité. Exemple \XXX.
\end{miseengarde2}

Le théorème ci-dessous est un substitut utile à ce défaut
de commutation des invariants par passage au quotient.

\begin{théorème2}\label{specialisation galois cas general}
Soient $B$ un anneau, $G$ un groupe fini agissant par
automorphismes et $A=\Fix_G(B)$. Soit $𝔮$ un idéal premier de $B$
au-dessus de l'idéal premier $𝔭$ de $A$.
L'extension $κ(𝔮)\bo κ(𝔭)$ est \emph{normale}
et le morphisme canonique 
\[D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{κ(𝔭)}(κ(𝔮)),\]
\[gI(𝔮)↦\big(x \mod 𝔮↦g(x) \mod 𝔮\big)\]
est un \emph{isomorphisme}.
\end{théorème2}

\begin{démo}
Réductions.
Il résulte de \ref{invariants et localisation} que 
$\Fix_G(B_𝔭)=A_𝔭$. D'autre part l'idéal premier $𝔮$ de $B$
est l'image d'un (unique) idéal premier $𝔮_𝔭$ de $B_𝔮$ 
par l'application $\Spec(B_𝔭)↪\Spec(B)$ et les corps résiduels
$k=κ(𝔭)$ et $l=κ(𝔮)$ sont inchangés (\cad : les morphismes
canoniques $κ(𝔭)→κ(𝔭_𝔭)$ et $κ(𝔮)→κ(𝔮_𝔭)$, où
$𝔭_𝔭$ est l'idéal maximal de $A_𝔭$, sont des isomorphismes). 
Enfin l'action de $D(𝔮)$ sur $\Spec(B)$
laisse invariant $\Spec(B_𝔭)$, sur lequel il agit comme 
$D(𝔮_𝔭)$. On peut donc supposer $A$ local d'idéal maximal
$𝔭$. Il résulte de \ref{cas égalité relèvement idéaux premiers}
que $𝔮$ est alors maximal également.

Montrons que l'extension $l\bo k$ est normale, \cad que pour tout
$β∈l=B/𝔮$, il existe un polynôme à coefficients dans $k$, scindé sur
$l$ et s'annulant en $β$. (Cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale}, (iv)).
Soit $b$ un relèvement de $β$ dans $B$ et considérons
$P(X)=∏_{g∈G}\big(X-g(b)\big)∈A[X]$. Il est scindé dans $B[X]$ 
et s'annule en $b$. Son image $p∈k[X]$ déduite de la projection $A↠k$ 
est un polynôme scindé dans $l[X]$ s'annulant en $β$.

Vérifions maintenant que le morphisme $ρ:D(𝔮)/I(𝔮)→\Aut_{k}(l)$
est un isomorphisme. Il est injectif par définition de $I(𝔮)$. 

Cas particulier où l'extension $l\bo k$ est séparable.
Elle est finie. \XXX
Soit $β$ un élément primitif \refext{Alg}{element-primitif}.
Tout élément $σ$ de $\Aut_k(l)$ est donc caractérisé par l'image
$σ(β)$ de $β$. Par définition du morphisme $ρ$, il nous faut montrer
que pour tout $σ$, il existe $g∈D(𝔮)$ et un relèvement $b$ de $β$
tel que $g(b)-b∈𝔮$. 
Les idéaux $g.𝔮$ pour $g∉D(𝔮)$ étant maximaux et différents
de $𝔮$, il résulte du lemme de Bézout qu'il existe un élément
$b∈B$ tel que $b≡β\,\mod𝔮$ et $b∈g.𝔮=g^{-1}(𝔮)$ pour $g∉D(𝔮)$.
Pour un tel élément, considérons $P(X)=∏_{g∈D(𝔮)}
\big(X-g(b)\big)∈A[X]$ et $p∈k[X]$ sa réduction modulo $𝔮$.
Au vu de notre choix de $b$, le polynôme $p$, vu dans $l[X]$, 
se factorise sous la forme 
\[
p=X^{\# G-D(𝔮)}∏_{g∈D(𝔮)}\big(X-(g(b)\,\mod 𝔮)\big).
\]
Le second facteur appartient donc à $k[X]$ et s'annule
en $β$. L'élément $σ(β)$ est donc l'une de ses racines.
CQFD.

Cas général. Soit $l\bo k$ comme dans l'énoncé et $σ∈\Aut_k(l)$.
Elle est algébrique. \XXX
Considérons la plus grand sous-$k$-extension séparable
$k'$ de $k$ ; elle est stable par tout automorphisme
de $l$ sur $k$. La démonstration ci-dessus montre que 
$k'\bo k$ est nécessairement finie, donc admet un élément primitif,
et que si $σ'∈\Aut_k(k')$ est la restriction de $σ$ à $k'$, 
il existe $g∈D(𝔮)/I(𝔮)$ induisant l'automorphisme $σ'$ sur $k'$.
Il résulte du lemme ci-dessous que $g$ induit l'automorphisme $σ$ sur
$l$ tout entier.
\end{démo}

\begin{lemme3}
Deux automorphismes d'une extension algébrique coïncident
\ssi ils agissent de la même manière sur les éléments séparables.
\end{lemme3}

Ce lemme est un cas particulier de \refext{RT}{}.

\begin{démo}
Soient $L\bo K$ l'extension et $σ,τ∈\Aut_K(L)$ les automorphismes.
Supposons que pour tout élément $x∈L$ séparable sur $K$, on ait
l'égalité $σ(x)=τ(x)$. Montrons que $σ=τ$. Soit $K'$ la clôture
séparable de $K$ dans $L$, c'est-à-dire le sous-corps (cf. \XXX)
de $L$ consituté des éléments séparables. On va montrer par récurrence
sur le degré inséparable $[K'[x]:K']$ de $x$ que $σ(x)=τ(x)$ 
pour tout $x∈L$. Si $[K'[x]:K']=1$, c'est hypothèse.
Supposons $[K'[x]:K']=n>1$. Le polynôme minimal de $x$ sur $K'$
n'étant pas séparable, il est donc de la forme 
$f(T^p)$ où $p$ est la caractéristique de $K$,
nécessairement non nulle (cf. \refext{Alg}{separable-irreductible}).
Ainsi, $x^p$ est racine du polynôme $f(T)$, irréductible sur
$K'$. Il en résulte que $[K'[x^p]:K']=n/p<n$ donc, par hypothèse
de récurrence, $σ(x^p)=τ(x^p)$. En conséquence, $σ(x)^p=τ(x)^p$
et, finalement, $σ(x)=τ(x)$ car l'élévation à la puissance $p$
est injective en caractéristique $p>0$.
\end{démo}

\begin{remarque3}
On montrera plus tard que pour toute $A$-algèbre $A'$,
le morphisme $A'→\Fix_G(B⊗_A A')$ est un isomorphisme
si $A→A'$ est \emph{plat} et même dans les cas
où ce morphisme n'est pas un isomorphisme,
l'application induite sur les spectres
$\Spec(\Fix_G(B⊗_A A'))⥲\Spec(A')$ est néanmoins
une bijection.
%Voir aussi Liu, « Quotient maps and base change ».
\end{remarque3}


\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi