summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/extensions-algebriques.tex
blob: 26216ea8f261c47100f6d5b8d709df3a822fb3a8 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
1129
1130
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
1144
1145
1146
1147
1148
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
1221
1222
1223
1224
1225
1226
1227
1228
1229
1230
1231
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1240
1241
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1249
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
1397
1398
1399
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
1412
1413
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450
1451
1452
1453
1454
1455
1456
1457
1458
1459
1460
1461
1462
1463
1464
1465
1466
1467
1468
1469
1470
1471
1472
1473
1474
1475
1476
1477
1478
1479
1480
1481
1482
1483
1484
1485
1486
1487
1488
1489
1490
1491
1492
1493
1494
1495
1496
1497
1498
1499
1500
1501
1502
1503
1504
1505
1506
1507
1508
1509
1510
1511
1512
1513
1514
1515
1516
1517
1518
1519
1520
1521
1522
1523
1524
1525
1526
1527
1528
1529
1530
1531
1532
1533
1534
1535
1536
1537
1538
1539
1540
1541
1542
1543
1544
1545
1546
1547
1548
1549
1550
1551
1552
1553
1554
1555
1556
1557
1558
1559
1560
1561
1562
1563
1564
1565
1566
1567
1568
1569
1570
1571
1572
1573
1574
1575
1576
1577
1578
1579
1580
1581
1582
1583
1584
1585
1586
1587
1588
1589
1590
1591
1592
1593
1594
1595
1596
1597
1598
1599
1600
1601
1602
1603
1604
1605
1606
1607
1608
1609
1610
1611
1612
1613
1614
1615
1616
1617
1618
1619
1620
1621
1622
1623
1624
1625
1626
1627
1628
1629
1630
1631
1632
1633
1634
1635
1636
1637
1638
1639
1640
1641
1642
1643
1644
1645
1646
1647
1648
1649
1650
1651
1652
1653
1654
1655
1656
1657
1658
1659
1660
1661
1662
1663
1664
1665
1666
1667
1668
1669
1670
1671
1672
1673
1674
1675
1676
1677
1678
1679
1680
1681
1682
1683
1684
1685
1686
1687
1688
1689
1690
1691
1692
1693
1694
1695
1696
1697
1698
1699
1700
1701
1702
1703
1704
1705
1706
1707
1708
1709
1710
1711
1712
1713
1714
1715
1716
1717
1718
1719
1720
1721
1722
1723
1724
1725
1726
1727
1728
1729
1730
1731
1732
1733
1734
1735
1736
1737
1738
1739
1740
1741
1742
1743
1744
1745
1746
1747
1748
1749
1750
1751
1752
1753
1754
1755
1756
1757
1758
1759
1760
1761
1762
1763
1764
1765
1766
1767
1768
1769
1770
1771
1772
1773
1774
1775
1776
1777
1778
1779
1780
1781
1782
1783
1784
1785
1786
1787
1788
1789
1790
1791
1792
1793
1794
1795
1796
1797
1798
1799
1800
1801
1802
1803
1804
1805
1806
1807
1808
1809
1810
1811
1812
1813
1814
1815
1816
1817
1818
1819
1820
1821
1822
1823
1824
1825
1826
1827
1828
1829
1830
1831
1832
1833
1834
1835
1836
1837
1838
1839
1840
1841
1842
1843
1844
1845
1846
1847
1848
1849
1850
1851
1852
1853
1854
1855
1856
1857
1858
1859
1860
1861
1862
1863
1864
1865
1866
1867
1868
1869
1870
1871
1872
1873
1874
1875
1876
1877
1878
1879
1880
1881
1882
1883
1884
1885
1886
1887
1888
1889
1890
1891
1892
1893
1894
1895
1896
1897
1898
1899
1900
1901
1902
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
1910
1911
1912
1913
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
1923
1924
1925
1926
1927
1928
1929
1930
1931
1932
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
2026
2027
2028
2029
2030
2031
2032
2033
2034
2035
2036
2037
2038
2039
2040
2041
2042
2043
2044
2045
2046
2047
2048
2049
2050
2051
2052
2053
2054
2055
2056
2057
2058
2059
2060
2061
2062
2063
2064
2065
2066
2067
2068
2069
2070
2071
2072
2073
2074
2075
2076
2077
2078
2079
2080
2081
2082
2083
2084
2085
2086
2087
2088
2089
2090
2091
2092
2093
2094
2095
2096
2097
2098
2099
2100
2101
2102
2103
2104
2105
2106
2107
2108
2109
2110
2111
2112
2113
2114
2115
2116
2117
2118
2119
2120
2121
2122
2123
2124
2125
2126
2127
2128
2129
2130
2131
2132
2133
2134
2135
2136
2137
2138
2139
2140
2141
2142
2143
2144
2145
2146
2147
2148
2149
2150
2151
2152
2153
2154
2155
2156
2157
2158
2159
2160
2161
2162
2163
2164
2165
2166
2167
2168
2169
2170
2171
2172
2173
2174
2175
2176
2177
2178
2179
2180
2181
2182
2183
2184
2185
2186
2187
2188
2189
2190
2191
2192
2193
2194
2195
2196
2197
2198
2199
2200
2201
2202
2203
2204
2205
2206
2207
2208
2209
2210
2211
2212
2213
2214
2215
2216
2217
2218
2219
2220
2221
2222
2223
2224
2225
2226
2227
2228
2229
2230
2231
2232
2233
2234
2235
2236
2237
2238
2239
2240
2241
2242
2243
2244
2245
2246
2247
2248
2249
2250
2251
2252
2253
2254
2255
2256
2257
2258
2259
2260
2261
2262
2263
2264
2265
2266
2267
2268
2269
2270
2271
2272
2273
2274
2275
2276
2277
2278
2279
2280
2281
2282
2283
2284
2285
2286
2287
2288
2289
2290
2291
2292
2293
2294
2295
2296
2297
2298
2299
2300
2301
2302
2303
2304
2305
2306
2307
2308
2309
2310
2311
2312
2313
2314
2315
2316
2317
2318
2319
2320
2321
2322
2323
2324
2325
2326
2327
2328
2329
2330
2331
2332
2333
2334
2335
2336
2337
2338
2339
2340
2341
2342
2343
2344
2345
2346
2347
2348
2349
2350
2351
2352
2353
2354
2355
2356
2357
2358
2359
2360
2361
2362
2363
2364
2365
2366
2367
2368
2369
2370
2371
2372
2373
2374
2375
2376
2377
2378
2379
2380
2381
2382
2383
2384
2385
2386
2387
2388
2389
2390
2391
2392
2393
2394
2395
2396
2397
2398
2399
2400
2401
2402
2403
2404
2405
2406
2407
2408
2409
2410
2411
2412
2413
2414
2415
2416
2417
2418
2419
2420
2421
2422
2423
2424
2425
2426
2427
2428
2429
2430
2431
2432
2433
2434
2435
2436
2437
2438
2439
2440
2441
2442
2443
2444
2445
2446
2447
2448
2449
2450
2451
2452
2453
2454
2455
2456
2457
2458
2459
2460
2461
2462
2463
2464
2465
2466
2467
2468
2469
2470
2471
2472
2473
2474
2475
2476
2477
2478
2479
2480
2481
2482
2483
2484
2485
2486
2487
2488
2489
2490
2491
2492
2493
2494
2495
2496
2497
2498
2499
2500
2501
2502
2503
2504
2505
2506
2507
2508
2509
2510
2511
2512
2513
2514
2515
2516
2517
2518
2519
2520
2521
2522
2523
2524
2525
2526
2527
2528
2529
2530
2531
2532
2533
2534
2535
2536
2537
2538
2539
2540
2541
2542
2543
2544
2545
2546
2547
2548
2549
2550
2551
2552
2553
2554
2555
2556
2557
2558
2559
2560
2561
2562
2563
2564
2565
2566
2567
2568
2569
2570
2571
2572
2573
2574
2575
2576
2577
2578
2579
2580
2581
2582
2583
2584
2585
2586
2587
2588
2589
2590
2591
2592
2593
2594
2595
2596
2597
2598
2599
2600
2601
2602
2603
2604
2605
2606
2607
2608
2609
2610
2611
2612
2613
2614
2615
2616
2617
2618
2619
2620
2621
2622
2623
2624
2625
2626
2627
2628
2629
2630
2631
2632
2633
2634
2635
2636
2637
2638
2639
2640
2641
2642
2643
2644
2645
2646
2647
2648
2649
2650
2651
2652
2653
2654
2655
2656
2657
2658
2659
2660
2661
2662
2663
2664
2665
2666
2667
2668
2669
2670
2671
2672
2673
2674
2675
2676
2677
2678
2679
2680
2681
2682
2683
2684
2685
2686
2687
2688
2689
2690
2691
2692
2693
2694
2695
2696
2697
2698
2699
2700
2701
2702
2703
2704
2705
2706
2707
2708
2709
2710
2711
2712
2713
2714
2715
2716
2717
2718
2719
2720
2721
2722
2723
2724
2725
2726
2727
2728
2729
2730
2731
2732
2733
2734
2735
2736
2737
2738
2739
2740
2741
2742
2743
2744
2745
2746
2747
2748
2749
2750
2751
2752
2753
2754
2755
2756
2757
2758
2759
2760
2761
2762
2763
2764
2765
2766
2767
2768
2769
2770
%%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
\input{../config/preambule}
\input{../config/macros}
\title{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{produit-tensoriel}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{categories}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Algèbres finies sur un corps, extensions algébriques}
\begingroup
\fi

Dans ce chapitre, sauf mention du contraire, $k$ désigne un
\emph{corps} et les anneaux sont \emph{commutatifs} unitaires.

\section{Algèbres finies sur un corps}

\subsection{Généralités et théorème de structure}\label{consequences lemme chinois}

\begin{définition2}\label{définition algèbre finie sur corps}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre de dimension finie
en tant que $k$-espace vectoriel est dite \emph{finie} \index{algèbre finie} sur $k$.
\end{définition2}

On note également $[A:k]$ sa dimension $\dim_k(A)$.

Le théorème suivant est l'ingrédient clef qui mène à la structure
des $k$-algèbres finies.

\begin{proposition2}\label{Spec=Specmax-cas-part}
Tout idéal premier d'une $k$-algèbre finie est maximal.
\end{proposition2}

En d'autres termes, si $𝔭$ est un idéal premier d'une $k$-algèbre $A$,
l'anneau quotient $A/𝔭$, \emph{a priori} seulement intègre, est un \emph{corps}.
Il est d'usage de noter $\Spec(A)$ (resp. $\Specmax(A)$)
l'ensemble des idéaux premiers (resp. maximaux) de $A$ (\refext{Spec}{spectre}).
Le théorème affirme donc que, pour une $k$-algèbre finie,
l'inclusion \emph{a priori} $\Specmax(A)⊆\Spec(A)$ est une bijection.

\begin{démo}
Soit $𝔭$ un idéal premier d'une $k$-algèbre finie $A$.
Le quotient $A/𝔭$ est un $k$-espace vectoriel de dimension
finie, intègre par hypothèse. Il suffit de démontrer le corollaire suivant.
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{fini integre=corps}
Toute $k$-algèbre de dimension finie \emph{intègre} est un corps.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Soient $A$ une telle $k$-algèbre et $a∈A-\{0\}$ ; on souhaite montrer que $a$ est inversible.
Considérons l'application $k$-linéaire « multiplication par $a$ », $[×a]:A→A$.
Elle est injective car $A$ est intègre donc \emph{bijective} car $A$ est
de dimension finie sur $k$. En particulier, il existe un $a'∈A$ tel que
$[×a](a')=aa'=a ′ a =1$. CQFD.
\end{démo}

\subsubsection{Quotients isomorphes à un produit de corps}
\label{quotients corporels}
Considérons une $k$-algèbre finie $A$.
Pour chaque $𝔭∈\Spec(A)=\Specmax(A)$ notons $κ(𝔭)$ le corps $A/𝔭$.
Les idéaux $𝔭∈\Spec(A)$ étant maximaux donc premiers entre eux
deux-à-deux, il résulte du lemme chinois, rappelé en
(\refext{Spec}{lemme chinois}), que pour toute famille
$(𝔭₁,\dots,𝔭_n)$ d'idéaux premiers distincts de $A$,
le morphisme $A→∏_{i=1}^n κ(𝔭_i)$ est \emph{surjectif}.
En conséquence, on a les inégalités $[A:k]≥∑_{i=1}^n [κ(𝔭_i):k]≥n$. La seconde inégalité provient du fait que
chaque $κ(𝔭_i)$, étant un corps, est un $k$-espace vectoriel non nul.
En conséquence, $\Spec(A)$ est \emph{fini}, de cardinal au plus
$[A:k]$. Il résulte à nouveau du lemme chinois, appliqué cette fois à $\Spec(A)$ tout
entier, que l'application canonique est une \emph{surjection}
\begin{equation}
A↠∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭) \tag{$\star$}
\end{equation}
de noyau l'idéal $⋂_{𝔭∈\Spec(A)}𝔭$. D'après \refext{Spec}{caracterisation-nilpotents}, 
cet idéal est l'ensemble $\Nilp(A)$ des éléments nilpotents de $A$.
(Seule l'inclusion $⋂𝔭⊆\Nilp(A)$ est non triviale.)
La surjection ci-dessus est donc un isomorphisme si et seulement si
$\Nilp(A)=\{0\}$ — on dit alors que $A$ est \emph{réduit} —
ou encore si et seulement si $[A:k]=∑_{𝔭∈\Spec(A)} [κ(𝔭):k]$.

D'autre part, on a un morphisme de projection
\begin{equation}
∏_{𝔭∈\Spec(A)} κ(𝔭)↠ ∏_{\substack{𝔭∈\Spec(A) \\ \text{t.q. } k⭇κ(𝔭)}} k \tag{$\star\star$},
\end{equation}
donné par la restriction de l'ensemble des facteurs.
Le second ensemble d'indexation du produit est l'ensemble
des idéaux premiers $𝔭$ de $A$ tels que le morphisme composé
$k→A↠A/𝔭=κ(𝔭)$ soit un isomorphisme. De tels idéaux premiers
sont dits \emph{rationnels} sur $k$. Comme observé
en \refext{Spec}{points rationnels et ideaux maximaux},
l'application qui à un morphisme de $k$-algèbres $f:A→k$
associe $\Ker(f)∈\Spec(A)$ induit une bijection entre l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k)$,
aussi noté $A^{田}(k)$ ou $田A(k)$ dans ce livre, et le sous-ensemble de $\Spec(A)$
des idéaux premiers rationnels. La projection ci-dessus est donc un isomorphisme
si et seulement si l'injection d'ensembles $田A(k)→\Spec(A)$ est une bijection.

\subsubsection{Morphisme d'évaluation}
\label{morphisme évaluation}
Il résulte des définitions (voir aussi \emph{loc. cit.},
démonstration) que l'application composée de $(\star)$ et
$(\star\star)$, réécrite sous la forme
\[
A↠k^{田A(k)},
\]
coïncide avec l'application d'évaluation
$a↦\big(f∈田A(k)↦f(a)\big)$.
D'après ce qui précède, c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit et
chaque idéal premier est rationnel.

\subsubsection{Composantes connexes}
Une $k$-algèbre finie est un anneau nœthérien
(resp. artinien (\refext{Spec}{définition artinien-noethérien}))
car toute suite croissante (resp. décroissante) de sous-$k$-espaces vectoriels — et \emph{a fortiori}
d'idéaux — est stationnaire. Nous verrons d'ailleurs en \refext{AC}{}
que tout anneau artinien est nœthérien.
Il résulte donc de \refext{Spec}{artinien=produit anneaux locaux}
et \refext{Spec}{Nilradical-est-nilp} que $A$ est un produit
indexé par l'ensemble $π₀(A)$ des composantes connexes
de $k$-algèbres locales d'idéaux maximaux nilpotents.

\subsubsection{}Pour toute $k$-algèbre $A$,
les ensembles introduits ci-dessus s'inscrivent dans le diagramme
suivant, fonctoriel (de façon contravariante) en $A$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=2em,row sep=5ex]{
|(points)| 田A(k) & & \\ |(specmax)| \Specmax(A) & |(spec)| \Spec(A) & |(pi0)| π₀(A) \\};
\draw[->>] (spec) -- (pi0);
\draw[right hook->] (points) -- (specmax);
\draw[right hook->] (specmax) -- (spec);
\end{tikzpicture}
\end{center}

Les flèches horizontales sont des bijections lorsque $A$ est
\emph{finies} sur $k$. Pour référence ultérieure, consignons une
partie de ces observations dans le théorème suivant.

\begin{théorème2}\label{k-algebres-finies}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
\begin{enumerate}
\item Les trois ensembles $田A(k),\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
finis ; ils satisfont la condition suivante :
\[\# 田A(k) ≤ \# π₀(A)= \# \Spec(A) ≤ [A:k].\]
\item Le spectre $\Spec(A)$ coïncide avec le spectre maximal $\Specmax(A)$.
Il est en bijection naturelle avec $π₀(A)$ et
reçoit naturellement $田A(k)$.
\item L'anneau $A$ est canoniquement isomorphe à un produit $∏_{𝔵
∈ π₀(A)} A_𝔵$ de $k$-algèbres locales d'idéal maximal nilpotent.
\item Le morphisme chinois $A↠∏_𝔭 κ(𝔭)$, où $κ(𝔭)=A/𝔭$, est
surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si $A$ est réduit.
\item Le morphisme d'évaluation $A → k^{田A(k)}$ est
surjectif ; c'est un isomorphisme si et seulement si on a égalité :
\[\#  田A(k)=[A:k].\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

En conséquence, une $k$-algèbre finie \emph{réduite} est
isomorphe à un produit fini de corps.

%\begin{remarque2}
%La surjection canonique $A↠A_{\red}=A/\Nilp(A)$ induit
%un isomorphisme sur les spectres et les corps résiduels
%(cf. \refext{Spec}{red=homeo}). On vérifie sans peine que
%le diagramme
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[auto]
%\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
%A& ∏_𝔭 κ(𝔭) \\ & A_{\red} \\};
%\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-1-2);
%\draw[->] (diag-1-1) -- (diag-2-2);
%\draw[->] (diag-2-2) -- node[swap]{∼} (diag-1-2);
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%déduit des épimorphismes chinois pour $A$ et $A_{\red}$
%et des isomorphismes susmentionnés est commutatif.
%\end{remarque2}

\begin{définition2}
\label{définition hensélien}
Un anneau local $k$ est dit \emph{hensélien}\index{hensélien, anneau hensélien}
si toute $k$-algèbre $A$ finie en tant que $k$-module est un
produit d'anneaux locaux.
\end{définition2}

D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), un corps est un anneau
hensélien. Nous verrons d'autres exemples, comme l'anneau
des séries formelles sur un corps, dans des chapitres ultérieurs.

\subsection{Algèbres diagonalisables}

%On rappelle que dans ce chapitre, on note $k$ un corps.

\begin{proposition2}\label{critere diagonalisabilite}
Soit $A$ une $k$-algèbre finie. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
\begin{enumerate}
\item l'épimorphisme d'évaluation $A↠k^{田A(k)}$ est un isomorphisme ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $\#田A(k) ≤[A:k]$ est une égalité ;
\item l'inégalité \emph{a priori} $\# π₀(A) ≤ [A:k]$ est une égalité ;
\item il existe un ensemble fini $X$ et un $k$-isomorphisme d'algèbres $A⥲k^X$ ;
\item la famille d'applications linéaires $[×a]=(x ↦ ax) ∈ \End_{k\traitdunion\ev}(A)$, où $a$ parcourt l'anneau $A$, est \emph{codiagonalisable}.
\item l'injection $田A(k) ↪ \Specmax(A)$ est une bijection
et $A$ est réduit.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) ⇔ (ii) est évident et déjà signalé en \ref{k-algebres-finies} (v).
(ii) ⇒ (iii). Résulte de \ref{k-algebres-finies} (iii).
(iii) ⇒ (iv). Si $A=∏_{𝔵 ∈ π₀(A)} A_𝔵$, on a $[A:k]=∑_𝔵 [A_𝔵:k]$,
où chaque entier $[A_𝔵:k]$ est supérieur ou égal à un.
L'égalité $\# π₀(A)=[A:k]$ ne peut donc se produire que si chaque
algèbre $A_𝔵$ est isomorphe à $k$, de sorte que $A$ est
isomorphe à $k^{π₀(A)}$. (iv) ⇒ (ii). Il suffit de démontrer que pour chaque ensemble fini $X$,
le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k^X,k)$
est au moins égal à $[k^X:k]=\#X$. Ceci résulte de l'existence des projections
$\pr_x:k^X→k$ (évaluation en $x$), chacune d'entre elles
étant un morphisme de $k^X$ vers $k$. (iv) ⇒ (v).
La base canonique de $k^X$ est une base de vecteurs propres
des endomorphismes de multiplication par les éléments de $k^X$.
(v) ⇒ (iv). Réciproquement, si $(e_x)_{x ∈ X}$ est une base de vecteurs
propres des endomorphismes de multiplication par les éléments $a$ d'une
$k$-algèbre $A$, le morphisme $A → k^X$, $a ↦ (λ_x(a))_x$,
où $a e_x=λ_x(a) e_x$, est un isomorphisme.
(vi) ⇔ (i). N'est mis que pour mémoire : cf. fin du
paragraphe \ref{morphisme évaluation}.
\end{démo}

\begin{définition2}\label{diagonalisable}
Une $k$-algèbre finie $A$ est dite \emph{diagonalisable} ou \emph{diagonale}
si elle satisfait les conditions équivalentes de la proposition précédente.
\end{définition2}

Le choix d'un isomorphisme comme en (ii) est parfois appelé une
\emph{diagonalisation} de $A$ sur $k$.

Notons que si $A$ est une algèbre diagonalisable, les trois
ensembles finis $田A(k)$, $\Spec(A)$ et $π₀(A)$ sont
naturellement en bijection.


\subsubsection{Sous-quotients et endomorphismes d'une algèbre diagonalisable}

Soient $k$ un corps, $X$ un ensemble fini et $A=k^X$.
On a donné en \refext{Spec}{SpecPX et ideaux-k-X}.(ii.b)
une description explicite des idéaux de $A$ : ils
sont en bijection naturelle avec l'ensemble $𝔓(X)$
des parties de $X$ et l'ensemble $X$ est naturellement en bijection
avec $π₀(A)$ (\refext{Spec}{pi0 produit}). D'autre part, le quotient de $A$
par l'idéal correspondant par cette bijection
à une partie $Y ⊆ X$ est isomorphe à l'algèbre diagonale $k^Y$.
Il en résulte que toute algèbre $B$ quotient
de $A$ est diagonalisable. Ceci peut également se vérifier de la façon suivante.
D'après \ref{k-algebres-finies} (ii), on peut
supposer que $B$ est une $k$-algèbre finie \emph{connexe},
car un quotient d'un quotient est un quotient et un produit fini
d'algèbres diagonalisables est diagonalisable. Or, sous
cette hypothèse de connexité, il résulte du lemme \refext{Spec}{produit=somme} (i) que
le morphisme $A → B$ se factorise à travers un morphisme
de projection $k^X ↠k$ sur l'un des facteurs. Le morphisme
induit $k → B$ étant surjectif, c'est un isomorphisme.
L'algèbre $B$ est donc isomorphe à $k$ et, \emph{a fortiori}, diagonalisable.

Considérons maintenant un morphisme de $k$-algèbres $f:B → A$.
Le composé de $f$ avec le morphisme d'évaluation $\ev_A:A ⥲ k^{田A(k)}$
de $A$ se factorise à travers le morphisme d'évaluation $\ev_B:B ↠ k^{田B(k)}$ de $B$ :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
|(B)| B & |(A)| A \\ |(Bd)| k^{田B(k)} & |(Ad)| k^{田A(k)} \\};
\draw[->>] (B) -- node[swap]{$\ev_B$} (Bd);
\draw[right hook->>] (A) -- node{$\ev_A$} (Ad);
\draw[->] (B) -- node{$f$} (A);
\draw[->] (Bd) -- node{$k^{田f}$} (Ad);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{itemize}
\item Si le morphisme $f$ est injectif, il en résulte que $\ev_B$ est
également injectif, donc bijectif. En d'autres termes, la
sous-algèbre $B$ de $A$ est diagonalisable.
D'autre part, le morphisme $k^{田f}$ étant injectif,
l'application $田f:田A(k) → 田B(k)$
est \emph{surjective}. L'image de $k^{田f}$ est
l'ensemble des applications de $田A(k)$ vers $k$ constantes
sur les fibres de $田f$.
Ces fibres forment une partition de $田A(k)$.
Réciproquement, toute partition de $田A(k)$ définit une
sous-$k$-algèbre de $A$, à savoir l'algèbre des fonctions constantes sur les constituants de la partition.

\item Si l'on ne suppose plus $f$ injectif mais que l'on suppose $B$
diagonalisable, la commutativité du diagramme ci-dessus — dont
les flèches verticales sont des isomorphismes —
montre que la donnée de $f$ est équivalente à la donnée
du morphisme d'ensembles $田f: 田B(k) → 田A(k)$.
Rappelons que ces ensembles sont respectivement canoniquement isomorphes à $π₀(B)$ et $π₀(A)$
et d'autre part que $田f$ correspond à $π₀(f)$ par ces
isomorphismes.
\end{itemize}


Résumons les résultats obtenus.

\begin{théorème2}
\label{sous-quotient-diag=diag}
Soit $A$ une algèbre diagonalisable sur un corps $k$.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des d'idéaux de $A$ est en bijection
avec l'ensemble fini des parties de $π₀(A)$ et toute algèbre quotient de $A$ est également diagonalisable.
\item L'ensemble des sous-algèbres de $A$ est
en bijection avec l'ensemble fini des partitions de $π₀(A)$
et toute sous-algèbre de $A$ est également diagonalisable.
\item L'application $\End_k(A) → \End_\Ens(π₀(A))^{\op}$, $f ↦ π₀(f)$
est un isomorphisme d'anneaux non nécessairement commutatifs.
Si $B$ est une seconde $k$-algèbre diagonalisable, $\Hom_k(B,A)
→ \Hom_\Ens(π₀(A),π₀(B))$, $f ↦ π₀(f)$ est une bijection.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Le lecteur vérifiera sans peine, à l'aide des techniques et énoncés de [Spec]
que $\End_k(k^X)$ est isomorphe à $\End_\Ens(X)^{\op}$ dès lors que $k$ est un anneau connexe.
Voir également l'exercice \refext{Spec}{dévissage Hom(A,produit connexes)} pour une généralisation.
%cf. aussi : \refext{formes}{H1kSn début} et \refext{formes}{G-torseurs sur k}.

\subsection{Produit tensoriel de deux $k$-algèbres}\label{section définition restreinte produit tensoriel}

La notion de produit tensoriel d'algèbres et de modules joue un rôle central dans ce livre.
Pour la commodité du lecteur nous en donnons ici une définition
\emph{ad hoc} dans le cas particulier de deux algèbres sur un corps.
La définition générale, ainsi que les démonstrations
détaillées de ses propriétés essentielles se trouvent également
en appendice, \refext{Tens}{}.

\begin{lemme2}\label{pdt tens indépendant des bases}
Soient $E$ et $F$ deux $k$-\emph{espaces vectoriels} et $φ:E×F→G$
une application bilinéaire. On note $x\dessusdessous{φ}{⊗} y$ pour $φ(x,y)$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item Il existe des bases $(e_i)_{i∈I}$ et $(f_j)_{j∈J}$ 
de $E$ et $F$ respectivement telles que la famille 
$(e_i\dessusdessous{φ}{⊗} f_j)_{(i,j)∈I×J}$ soit une base de $G$.
\item Pour tout choix de bases $(e_i)_{i∈I}$ et $(f_j)_{j∈J}$ 
de $E$ et $F$ respectivement, la famille 
$(e_i\dessusdessous{φ}{⊗} f_j)_{(i,j)∈I×J}$ est une base de $G$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
(i)⇒(ii). (Pour alléger les notations, nous omettons parfois 
ci-dessous la description des ensembles d'indices, en notant $(e_i)$ ou $e$
pour $(e_i)_{i∈I}$, etc.)
Soient $e$ et $f$ comme en (i) 
et considérons deux bases $(e'_{i})_{i∈I}$ et $(f'_j)_{j∈J}$ de
$E$ et $F$. Soient $λ$ et $μ$ les matrices de passage,
éventuellement infinies, de la base $e'$ à $e$ 
et de la base $f'$ à $f$ respectivement. Pour tout $i∈I$ (resp. $j∈J$) 
on a donc $e_{i}=∑_{i'∈I} λ_{i,i'}e'_{i'}$ (resp. $f_{j}=∑_{j'∈J} μ_{j,j'}f'_{j'}$).
Par bilinéarité de $φ$, pour tout couple $(i,j)∈I×J$, on a l'égalité
$$
e_i\dessusdessous{φ}{⊗}f_j=
∑_{(i',j')∈I×J} λ_{i,i'} μ_{j,j'}(e'_{i'}\dessusdessous{φ}{⊗}f'_{j'})
=∑_{(i',j')} ν_{(i,j),(i',j')}(e'_{i'}\dessusdessous{φ}{⊗}f'_{j'}),
$$
où $ν$ est le \emph{produit de Kronecker} $λ⊗μ$ de $λ$ et $μ$,
défini par $(λ⊗μ)_{(i,j),(i',j')}=λ_{i,i'}μ_{j,j'}$.
Il nous suffit de montrer que si $λ$ et $μ$ sont inversibles,
il en est de même de $λ⊗μ$. Ceci résulte de l'égalité
$(λ₁⊗μ₁)(λ₂⊗μ₂)=(λ₁λ₂)⊗(μ₁μ₂)$, dont la vérification — pédestre —
est laissée au lecteur. (ii)⇒(i). Résulte de l'existence de bases (corollaire du lemme de
Zorn).
\end{démo}

Remarquons que dans la démonstration ci-dessus, on pourrait
supposer que $e=e'$ ou bien $f=f'$, c'est-à-dire $λ=\Id$ ou $μ=\Id$,
de sorte qu'il suffit d'établir le cas particulier $(λ₁⊗\Id)(λ₂⊗\Id)=(λ₁λ₂⊗\Id)$
de la formule précédente.


\subsubsection{}\label{définition restreinte produit tensoriel}
Deux $k$-espaces vectoriels $E$ et $F$ étant donnés, l'existence d'un $k$-espace vectoriel $G$ et d'une application
bilinéaire $φ$ satisfaisant la condition (i) du lemme ci-dessus
est claire : il suffit de considérer $G=k^{(I×J)}$, de base canonique
notée $(g_{(i,j)})$, et poser : $φ(∑λ_i e_i,∑μ_j f_j)=∑ λ_iμ_j g_{(i,j)}$.
D'autre part, il résulte de ce même lemme que si $φ:E×F→G$
et $φ':E×F→G'$ sont deux applications bilinéaires satisfaisant
les conditions équivalentes (i) et (ii), il existe un unique isomorphisme
$k$-linéaire $G⥲G'$ envoyant $x\dessusdessous{φ}{⊗}y$ sur
$x\dessusdessous{φ'}{⊗}y$ : si $(e_i)$ et $(f_j)$ sont des bases
de $E$ et $F$, c'est l'unique application linéaire
envoyant chaque $e_i\dessusdessous{φ}{⊗}f_j∈G$ sur 
$e_i\dessusdessous{φ'}{⊗}f_j∈G'$.

\begin{quote}
Dorénavant, on note $E⊗_k F$ et $(x,y)↦x⊗y$ l'une quelconque
de ces paires $(G,φ)$, et on l'appelle « le » \emph{produit tensoriel
des $k$-espaces vectoriels $E$ et $F$}. Les éléments de $E⊗_k F$ de la forme
$x⊗y$ sont appelés \emph{tenseurs purs} ; ils engendrent 
le produit tensoriel.
\end{quote}


\begin{lemme2}
Soient $A$ et $B$ deux $k$-\emph{algèbres} et
$C$ le $k$-espace vectoriel $A⊗_k B$.
Il existe une unique application bilinéaire
$m:C×C→C$ associative telle que 
$m(a⊗b,a'⊗b')=(aa')⊗(bb')$ pour tous $a,a'∈A$
et $b,b'∈B$. De plus, pour tout $λ∈k$,
on a l'égalité $λ⊗1=1⊗λ$. Enfin, si l'on munit
$C$ de la structure de $k$-algèbre $k→C$, $λ↦λ⊗1=1⊗λ$, 
les morphismes $A→C$, $a↦a⊗1$ et $B→C$, $b↦1⊗b$ sont des 
morphismes injectifs de $k$-algèbres.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Existence.
Choisissons $(e_i)_{i∈I}$ et $(f_j)_{j∈J}$ des bases
de $A$ et $B$ respectivement, et définissons $m$ par bilinéarité
à partir des égalités
\[
m(e_i⊗f_j,e_{i'}⊗f_{j'})=(e_i e_j)⊗(f_j f_{j'}).
\]
On veut montrer que $m(a⊗b,a'⊗b')=(aa')⊗(bb')$ pour tous $a,a'∈A$
et $b,b'∈B$. Par construction, les deux termes sont quadrilinéaires
de $A×B×A×B$ dans $C$. On peut donc supposer $a=e_i$,
$a'=e_{i'}$, $b=f_j$ et $b'=f_{j'}$, auquel cas c'est immédiat
par définition de $m$. Dorénavant, si $x,y∈C$,
notons $xy$ pour $m(x,y)$.
Unicité : évident.
Associativité. Les deux termes de l'égalité
$(xy)z=x(yz)$ sont trilinéaires de $C³$ dans $C$.
Il suffit donc de vérifier l'égalité sur les éléments
de la base $(e_i⊗f_j)$ de $C$,
ce qui est immédiat.
Identité $λ⊗1=1⊗λ$. Résulte de la formule générale $(λe)⊗f=e⊗(λf)$ 
où $e$ et $f$ font partie d'une base de $A$ et $B$,
jointe au fait que l'on peut compléter l'élément 
$1_A$ (resp. $1_B$) en une base de $A$ (resp. $B$), de sorte
que l'on peut prendre $e=1$ ou $f=1$. 
Enfin, les applications $k$-linéaires $A→C$ et $B→C$ sont injectives
car elles envoient toute base sur une famille libre. Elles respectent
les structures de $k$-algèbres par construction.
\end{démo}

La $k$-algèbre ainsi obtenue est appelée le \emph{produit tensoriel des $k$-algèbres $A$ et $B$}. 
On la note également $A⊗_k B$.

\begin{remarque2}\label{constantes structure produit tensoriel}
Si les \emph{scalaires} $a_{i,i'}^{i''}$ et $b_{jj'}^{j''}$
sont les constantes de structure des $k$-algèbres $A$ et $B$ définies par
les relations
$$e_i\cdot e_{i'}=∑_{i''∈I} a_{i,i'}^{i''} e_{i''}$$
et
$$f_j\cdot f_{j'}=∑_{j''∈J} b_{j,j'}^{j''} f_{j''},$$
il résulte de la formule $(e_i⊗f_j)(e_{i'}⊗f_{j'})=(e_i e_{i'})⊗(f_j
f_{j'})$ ci-dessus que les constantes de structure
de $A⊗_k B$ relativement à la base constituée des $e_i⊗f_j$
sont les $c_{(i,j),(i',j')}^{(i'',j'')}=a_{i,i'}^{i''}b_{j,j'}^{j''}$.
Il aurait été possible de définir directement le produit tensoriel
de deux $k$-algèbres de cette façon — c'est la définition la plus
« économique » — mais cela aurait laissé ouverte la question de la 
dépendance en le choix des bases.
\end{remarque2}


\subsubsection{Extension des scalaires}\label{changement de base k-algèbre}
Soient $V$ un $k$-espace vectoriel et $k'$ une $k$-algèbre.
Il existe une unique extension de la structure de $k$-espace vectoriel
naturelle sur $V'=V⊗_k k'$ en une structure de $k'$-module
telle que pour tout $v∈V$ et tout $λ'∈k'$, on ait $λ'(v⊗1)=v⊗λ'$.
%[Àjouter détails ?\XXX]
On dit que le $k'$-module $V'$ est obtenu à partir du $k$-espace vectoriel $V$
par \emph{extension des scalaires} de $k$ à $k'$. On le note souvent
$V_{k'}$. Si $(e_i)$ est une $k$-base de $V$, les éléments $e'_i=e_i⊗1$ 
forment une base du $k'$-module $V'$. Ils sont \emph{générateurs}
d'après la formule $λ' e'_i=e_i⊗λ'$ et le fait que les tenseurs purs
sont des générateurs sur $k$. Ils
sont \emph{libres} sur $k'$ car si $∑_i λ'_i e'_i=0$,
on a $∑_i e_i⊗λ_i=0$ et finalement $λ_i=0$ comme on le voit
en décomposant $λ_i$ suivant une $k$-base de $k'$.

Si maintenant $V$ est une $k$-\emph{algèbre} $A$, 
la structure de $k'$-module ci-dessus provient de la structure de $k'$-algèbre 
déduite du morphisme canonique $k'→A'$, $λ'↦1⊗λ'$. Il résulte de la remarque 
\ref{constantes structure produit tensoriel} ci-dessus
que les constantes de structure de la $k'$-algèbre $A'$ et
de la $k$-algèbre $A$ relativement à ces bases sont les mêmes. 
L'algèbre $A'$ « est » donc l'algèbre $A$, considérée
avec d'autres coefficients (plus gros).

Signalons enfin pour référence ultérieure que si $f:W→V$ (resp. $f:B→A$)
est une application $k$-linéaire (resp. un morphisme de $k$-algèbres), l'application 
$W_{k'}→V_{k'}$ (resp. $B_{k'}→A_{k'}$), caractérisée par $x⊗λ'↦f(x)⊗λ'$, est 
une application $k'$-linéaire (resp. un morphisme de $k'$-algèbres).
Comme on le voit immédiatement en choisissant des bases adaptées,
ces morphismes sont injectifs (resp. surjectifs) si et seulement si $f$ l'est.

\begin{exemple2}\label{kXtenskY}
Soient $X,Y$ deux ensembles finis.
Le produit tensoriel $k^X⊗_k k^Y$ des algèbres de fonctions
sur $X$ et $Y$ à valeurs dans $k$ est $k$-isomorphe à l'algèbre
$k^{X×Y}$ des fonctions sur $X×Y$.
En effet, si l'on prend pour bases de $A=k^X$ et $B=k^Y$ les fonctions
de Dirac définies par $e_x(x)=1$ et $e_x(x')=0$ si $x'≠x$
(resp. $f_y(y)=1$ et $f_y(y')=0$ si $y'≠y$), les constantes
de structures $a_{x,x'}^{x''}$ (resp. $b_{yy'}^{y''}$) valent un
si $x=x'=x''$ (resp. $y=y'=y''$) et zéro sinon.
Les constantes de structure $c_{(x,y),(x',y')}^{(x'',y'')}=a_{x,x'}^{x''}b_{y,y'}^{y''}$
de $A⊗_k B$ sont donc non nulles si et seulement si $(x,y)=(x',y')=(x'',y'')$ auquel cas elles valent
un. Cette propriété caractérise la $k$-algèbre $k^{X×Y}$.
\end{exemple2}

\begin{proposition2}\label{pdt tens diag=diag}
Soient $A$ et $B$ deux $k$-algèbres diagonalisables. La $k$-algèbre $A⊗_k B$ est diagonalisable.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cela résulte du calcul fait en \ref{kXtenskY} ci-dessus.
\end{démo}


\section{Extensions algébriques}

On rappelle que, dans ce chapitre, on note $k$ un corps.

\subsection{Premières définitions et propriétés}
Les résultats de cette section sont pour une grande part des cas
particuliers de résultats de \refext{AC}{}. Pour la commodité
du lecteur, nous présentons une partie des résultats de
\emph{loc. cit.} dans le cadre moins général de ce chapitre. 

\begin{définition2}\label{définition extension}
Soit $k$ un corps. On dit d'une $k$-algèbre
$K$ qui est un \emph{corps} qu'elle est une
\emph{extension} de $k$. On note alors $K\bo k$ la donnée du morphisme
injectif $k→K$. Si $K$ est de dimension finie sur $k$, la dimension
$[K:k]=\dim_k(K)$ est appelée \emph{degré} de l'extension
$K\bo k$.
\end{définition2}

\begin{définitionrestreinte2}\label{entiers cas corps}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre. On dit
qu'un élément $a∈A$ est \emph{entier}, ou \emph{algébrique}, sur $k$ si la sous-$k$-algèbre
$k[a]=\{P(a):P∈k[X]\}$ de $A$ est finie sur $k$. Une extension $K\bo
k$ est dite \emph{algébrique} si tout élément de $K$ est
algébrique sur $k$. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{entière}
si tout élément de $A$ est entier sur $k$. 
\end{définitionrestreinte2}

(Comparer avec \refext{AC}{element-entier}.)

\begin{proposition2}\label{polynome-minimal}
\begin{enumerate}
\item Soient $A$ une $k$-algèbre et $a$ un élément de $A$ entier sur $k$.
Il existe un \emph{unique} polynôme unitaire de degré minimal $μ_a(X)$
à coeffients dans $k$ s'annulant en $a$.
Le $k$-morphisme $k[X]→A$ envoyant $X$ sur $a$
induit par passage au quotient un isomorphisme
$k[X]/(μ_a)⥲k[a]$.
\item Réciproquement, si un élément $a$ d'une $k$-algèbre $A$
est racine d'un polynôme non nul à coefficients dans $k$,
il est entier sur $k$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Rappelons qu'un polynôme est dit \emph{unitaire}
s'il est non nul et de coefficient dominant égal
à un.

On dit que le polynôme $μ_a$ est le \emph{polynôme minimal}
\index{polynôme minimal} de l'élément $a$. Il est irréductible si et seulement si $k[a]$
est un corps, que l'on note alors
souvent $k(a)$. Dans tous les cas, on a
$[k[a]:k]=\deg\,μ_a$.

\begin{démo}
(i) Soit $a$ comme dans l'énoncé. L'image du morphisme $k[X]→A$
est $k$-espace vectoriel de dimension finie $k[a]$.
Son noyau $N$ est donc non nul, ce qui prouve d'ores et déjà
qu'il existe un polynôme non nul $P∈k[X]$ tel que 
$P(a)=0$. D'autre part, l'anneau $k$ étant un corps, 
l'anneau $k[X]$ est euclidien donc principal. L'idéal
$N$ est donc principal de générateur bien défini
à multiplication par un élément non nul de $k$ près.
En particulier, il existe un unique générateur unitaire.
Enfin, l'isomorphisme $k[X]/N⥲k[a]$, où $N=(μ_a)$, est un cas particulier
du fait général que l'image d'un morphisme d'anneaux
est isomorphe au quotient de la source par le noyau.
(ii) Réciproquement, si $P(a)=0$, la surjection
$k[X]↠k[a]$ induit une surjection $k[X]/(P)↠k[a]$.
Le quotient $k[X]/(P)$ est de dimension finie si $P$ est 
non nul.


\end{démo}

\begin{proposition2}\label{multiplicativité degré}
Soient $K\bo k$ et $L\bo K$ deux extensions finies.
L'extension $L\bo k$ est alors finie, de degré
\[[L:k]=[L:K][K:k].\]
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soient $e₁,\dots,e_n$ une base de $K$ sur $k$ et 
$f_1,\dots,f_m$ une base de $L$ sur $K$.
Chaque élément $x$ de $L$ s'écrit de façon unique
$∑_{j=1}^m λ_j f_j$, où les $λ_j$ sont dans $K$
et s'écrivent à leur tour de façon unique
$λ_j=∑_{i=1}^n ν_{i,j} e_i$ avec $ν_{i,j}∈k$ de sorte que, finalement,
$x=∑_{i,j} ν_{i,j}e_if_j$ s'écrit de façon unique comme combinaison $k$-linéaire des $e_if_j$
où $(i,j)$ parcourt $\{1,\dots,n\}×\{1,\dots,m\}$.
\end{démo}

On remarquera qu'en particulier $[K:k]$ \emph{divise} $[L:k]$.

\begin{corollaire2}\label{entiers sur corps=sous-corps}
Soit $K\bo k$ une extension.
L'ensemble des éléments de $K$ algébriques sur $k$ est un sous-corps $K$.
\end{corollaire2}

On l'appelle parfois \emph{clôture algébrique de $k$ dans $K$}.

\begin{démo}
En effet, si $x$ et $y$ sont algébriques sur $k$, les extensions
$k(x)\bo k$ et $k(x)(y) \bo k(x)$ sont finies.
Pour la seconde extension, cela résulte du fait que
$y$ est entier sur $k$ donc \emph{a fortiori} sur le sous-corps
$k(x)$ de $K$. D'après la proposition précédente,
l'extension $k(x)(y)\bo k$ est finie. Or, le corps $k(x)(y)$
contient $x$ et $y$ de sorte que $xy$, $x+y$ et, lorsque $x$ est non nul, $x^{-1}$, 
qui appartiennent à $k(x)(y)$, sont donc algébriques sur $k$.
Voir aussi l'exercice \ref{utilisation matrices compagnons}.
\end{démo}

Donnons une application « numérique » de la proposition et du
corollaire précédents.

\subsubsection{Exemple numérique}\label{exemple somme algébriques=algébrique}Soient
$\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$ les racines réelles positives des polynômes $T²-3$
et $T³-2$ respectivement. Ces polynômes de petit degré étant sans racine dans $𝐐$, 
ils sont irréductibles sur $𝐐$, si bien que $[𝐐(\sqrt{3}):𝐐]=2$ 
et $[𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]=3$. Considérons les sous-corps de $𝐑$
engendrés par ces racines : $K=𝐐(\sqrt{3})$ et $L=K(\sqrt[3]{2})$. 
Comme $\sqrt[3]{2}$ est racine du polynôme $T³-2$ à coefficients dans
$K$, on a trivialement $[L:K]≤3$, avec égalité si et seulement si $T³-2$ est irréductible dans $K$.
De l'égalité $[L:𝐐]=[L:K][K:𝐐]$ il résulte que l'extension $L\bo 𝐐$ est finie, de degré au
plus $6$ et, d'autre part, que toute expression polynomiale à coefficients
rationnels en $\sqrt{3}$ et $\sqrt[3]{2}$, par exemple $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$, 
appartient à $L$. En particulier l'élément $α∈𝐑$ est \emph{algébrique
sur $𝐐$}. Cependant, cet argument n'explicite pas de polynôme annulateur
non trivial. Voici une manière de procéder pour construire un tel polynôme.
Soient $A$ la $𝐐$-algèbre $Q[X,Y]/(X²-3,Y³-2)$ et $x,y$ les
classes respectives de $X$ et $Y$. C'est une algèbre de
dimension $6$ — dont on ne sait pas encore si c'est un corps — 
dont les $e_{i,j}=x^i y^j$, $0 ≤ i ≤ 1$, $0 ≤ j ≤ 2$ forment une
base. La multiplication par $x+y$ est un endomorphisme
de $V$ dont on calcule sans difficulté la matrice dans la
base $(e_{i,j})$ : la matrice de la multiplication
par $x$ (resp. $y$) est le produit de Kronecker (\ref{pdt tens indépendant des bases}, démonstration)
de la matrice compagnon du polynôme $T³-2$ et de la matrice identité $2×2$
(resp. de la matrice identité $3×3$ et de la matrice compagnon du polynôme  $T²-3$).
La matrice de l'endomorphisme est donc
$$
\left( \begin {array}{cccccc} 0&0&2&3&0&0\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&3&0\\\noalign{\medskip}0&1&0&0&0&3\\\noalign{\medskip}1&0&0&0&0&2\\\noalign{\medskip}0&1&0
&1&0&0\\\noalign{\medskip}0&0&1&0&1&0\end {array} \right).
$$
On vérifie par le calcul que son polynôme caractéristique 
$\det\big(T\Id_A-m_{(x+y)}\big)$ est ${T}^{6}-9\,{T}^{4}-4\,{T}^{3}+27\,{T}^{2}-36\,T-23$.
D'après le théorème de Cayley-Hamilton on a donc, dans $A$,
$(x+y)⁶-9(x+y)⁴+\cdots=0$. En d'autres termes,
le polynôme en deux variables $(X+Y)⁶-9(X+Y)⁴+\cdots
∈ 𝐐[X,Y]$ appartient à l'idéal $(X²-3,Y³-2)$.
En particulier, sa valeur en $α=\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$
est nulle.

Vérifions maintenant que ce polynôme est le polynôme
\emph{minimal} de $α$. Sa réduction modulo $7$ étant irréductible
(cf. \refext{Fin}{exemple-numerique-critere-rabin} ou \ref{exemple-numerique-critere-butler}),
il est irréductible sur $𝐐$.
Il en résulte que $[𝐐(\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}):𝐐]=6=[𝐐(\sqrt{3}):𝐐][𝐐(\sqrt[3]{2}):𝐐]$. (Pour un résultat général
en ce sens, cf. \ref{application-de-Galois-deg(x+y)=produit-si-premiers-entre-eux}.)

De la même façon, on vérifie par le calcul que
$\sqrt{3}\sqrt[3]{2}$, ou plus généralement 
tout élément de $𝐐[\sqrt{3},\sqrt[3]{2}]=\{P(\sqrt{3},\sqrt[3]{2}):P∈𝐐[U,V]\}$,
est algébrique sur $𝐐$.


\begin{proposition2}\label{entier sur corps stable par cb}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre \emph{entière}.
Pour toute extension $K\bo k$, la $K$-algèbre $A_K=A⊗_k K$
est entière.
\end{proposition2}

Ce résultat est un cas particulier de 
\refext{AC}{cb-entier}. Nous nous contentons
donc ici d'une simple

\begin{démo}[Esquisse de démonstration]
Soit $x∈A_K$. Il faut montrer que la sous-$K$-algèbre
$K[x]$ de $A_K$ engendrée par $x$ est de dimension finie 
sur $K$. L'existence d'une décomposition
$x=∑_1^n a_i⊗λ_i$ en somme de tenseurs purs,
montre que $x$ appartient à la sous-algèbre $K[a₁,…,a_n]$ de $A_K$, où les $a_i$, dans $A$
donc entiers sur $k$, sont — \emph{a fortiori} — entiers sur $K$.
Les calculs ci-dessus montrent en toute généralité
que la somme et le produit de deux éléments
entiers d'une algèbre sur un corps sont également
entiers. (Pour les détails, cf. \refext{AC}{entiers=sous-algebre}, 
première démonstration).
\end{démo}



\begin{conventionrestreinte2}
Pour toute $k$-algèbre $A$ et toute partie $S$ de $A$,
on note $k[S]$ la plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant $S$,
c'est-à-dire l'image de l'unique morphisme de $k$-algèbres $k[x_s :s∈S]→A$, 
envoyant $x_s$ sur $s∈A$. Si $A$ est un anneau intègre, on note
$k(S)$ le corps des fractions de son sous-anneau $k[S]$.
\end{conventionrestreinte2}

Avec cette convention, le corps $k(x)(y)$ de la démonstration
de \ref{entiers sur corps=sous-corps} ci-dessus n'est autre que $k(x,y)$ (ou encore $k[x,y]$ qui est ici
un corps).

\begin{corollaire2}\label{algébrique sur algébrique=algébrique}
Soient $K\bo k$ et $L\bo K$ deux extensions algébriques.
L'extension $L\bo k$ est également algébrique.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Soit $x∈L$. Par hypothèse, il existe $P=X^d+a₁X^{d-1}+\cdots+a_d∈K[X]$ 
tel que $P(x)=0$. Posons $K₀=k(a₁,\dots,a_d)$. L'extension $K\bo k$ 
étant algébrique, il résulte de \ref{multiplicativité degré} que 
l'extension $K₀$ est finie sur $k$, de degré au plus $∏[k(a_i):k]$.
Par construction $x$ est algébrique sur $K₀$. L'extension $K₀(x)\bo k$
est donc finie (cf. \emph{loc. cit.}) de sorte que $k(x)⊆K₀(x)$ est de
dimension finie sur $k$. CQFD.
\end{démo}

\subsection{Extensions composées}

\begin{définition2}\label{extension-composee}
Soient $K\bo k$ et $K'\bo k$ deux extensions d'un corps $k$.
On dit qu'un triplet $(E,u,u')$, où $E$ est un corps
et $u$ (resp. $v$) est un plongement $k$-linéaire $u:K↪E$
(resp. $u ′ :K'↪E$), est une \emph{extension composée}
de $K$ et $K'$ sur $k$ si l'on a l'égalité $E=k(u(K)∪u'(K'))$.
\end{définition2}

Le corps $E$ est donc une $k$-extension commune de $K$ et $K ′$, minimale
pour cette propriété \emph{relativement aux plongements que l'on s'est donné}.

Par la suite, lorsque nous considérerons $E$ comme une $K$-algèbre (resp. $K ′$-algèbre),
le morphisme structural sera, sauf mention expresse du contraire, le plongement $u:K → E$
(resp. $u ′ : K ′ → E$).

\begin{miseengarde2}\label{extension-composee=corps-engendre}
Si $E$ est une extension
composée comme ci-dessus, la sous-$k$-\emph{algèbre} $k[u(K)∪u'(K')]$ de 
$E$ engendrée par $u(K)$ et $u'(K')$ diffère en général du sous-\emph{corps} engendré,
noté $k\big(u(K)∪u'(K')\big)$, qui coïncide par hypothèse avec $E$.
\end{miseengarde2}


\begin{proposition2}\label{existence-extension-composee}
Pour toute paire d'extensions $K\bo k$ et $K'\bo k$, il existe une extension composée.
 \end{proposition2}

\begin{démo}
Considérons la $k$-algèbre « produit tensoriel » $A=K⊗_k K'$ 
définie en \ref{définition restreinte produit tensoriel} ;
rappelons que cette $k$-algèbre a pour $k$-espace vectoriel sous-jacent $K⊗_k K'$,
muni du produit caractérisé par les identités $(λ⊗λ')(μ⊗μ')=(λμ)⊗(λ'μ')$.
Par construction, elle est non nulle et possède donc, 
d'après le théorème de Krull (\refext{Spec}{Krull}), un idéal
maximal $𝔪$. Soit $E=A/𝔪$ le corps résiduel correspondant
et notons $u:K→ E$ (resp. $u':K'→ E$) 
le morphisme de $k$-algèbres $λ↦ λ⊗1 \mod{} 𝔪$ (resp. $λ'↦
1⊗λ' \mod{} 𝔪$) ; ce sont des $k$-plongements des corps $K$ et $K'$ dans $E$.
Il reste à vérifier que $u(K)∪u'(K')$ engendre $E$ sur $k$, comme corps.
Plus précisément, nous allons vérifier que la partie $u(K)∪u'(K')$ engendre $E$ comme
$k$-algèbre\footnote{Ceci n'est \emph{pas} en contraction avec
\ref{extension-composee=corps-engendre} car le corps $E$ construit
ici n'est pas une extension composée absolument quelconque.}.
Ceci résulte du fait que la $k$-algèbre $A$ est engendrée par $K⊗1$ et $1⊗K'$. En effet, 
le produit $(λ⊗1)(1⊗λ')$ est égal au tenseur pur $λ⊗λ'$ et,
comme on l'a observé après la définition \ref{définition restreinte
produit tensoriel}, ces tenseurs engendrent linéairement le produit
tensoriel. (Voir aussi \refext{Tens}{produit-tensoriel-engendre-par-tenseurs-purs}.)
\end{démo}

\begin{miseengarde2}\label{Kk'-pas-can}
\begin{enumerate}
\item Si $(E,u,v)$ est une extension composée quelconque de $K\bo k$ et
$K'\bo k$, le noyau du morphisme de $k$-algèbres $u\star u':K⊗_k K'→ E$, $λ⊗λ'\mapsto
u(λ)u'(λ')$ est un idéal \emph{premier}, car $E$ est intègre, mais non
nécessairement maximal. Cela est lié au fait que l'image de $u\star u'$ n'est
\emph{a priori} qu'une sous-$k$-\emph{algèbre} (cf. \ref{extension-composee=corps-engendre}).
\item Deux extensions composées ne sont pas nécessairement isomorphes.
Par exemple, si $K₁=K₂=K$ est l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2}]⊂𝐂$ de degré
$3$ de $𝐐$, l'anneau $K⊗_𝐐 K$ se
surjecte sur $K$, par l'application évidente $λ⊗μ\mapsto λμ$,
mais aussi sur l'extension $𝐐[\sqrt[3]{2},j]$ de degré $6$ de $𝐐$, par 
l'application envoyant $\sqrt[3]{2}⊗1$ sur $\sqrt[3]{2}$ et 
$1⊗\sqrt[3]{2}$ sur $j\sqrt[3]{2}$. (Voir aussi l'exercice
\ref{non unicite composition} ci-dessous.)
En particulier, la notation $K K'$ pour une extension composée
de $K\bo k$ et $K'\bo k$ n'est raisonnable que si l'on s'est auparavant
donné un sur-corps de $K$ et $K'$ et des plongements de
ces corps dans celui-ci ou bien éventuellement si des hypothèses
supplémentaires nous assurent que tous les corps composés sont
isomorphes (cf. \refext{CG}{cb-extension-normale}).
\end{enumerate}
\end{miseengarde2}

Observons que si $K$ et $K'$ sont des sous-corps d'un corps $C$,
pour tout choix de générateurs sur $k$, \mbox{$K=k(\alpha_i,i\in I)$} et $K'=k(\beta_j, j\in J)$, 
la sous-extension $E=k(\alpha_i,\beta_j, (i,j)∈ I\times J)$ de $C$
(muni des plongements évidents $K↪E$ et $K'↪E$) est une extension composée de
$K$ et $K'$. Signalons la variante suivante, de démonstration immédiate.

\begin{lemme2}\label{extension-composee=colimite}
Soient $L\bo k$ et $L'\bo k$ deux extensions 
algébriques et $(E,u,v)$ une extension composée sur $k$.
Alors, $E$ est la réunion de ses sous-corps $k\big(u(K),v(K')\big)$,
où $K$ (resp. $K'$) parcourt l'ensemble des sous-$k$-extensions finies de $L$
(resp. $L'$).
\end{lemme2}

\begin{lemme2}\label{composee algebrique}
Si $K\bo k$ est une extension algébrique et $K'\bo k$ est une extension
quelconque, toute extension composée de $K\bo k$ et $K'\bo k$ est algébrique sur $K'$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $(E,u,u ′)$ une extension composée. On a par définition on a
$E=u ′(K′)\big(u(λ): λ ∈ K\big)$. Chaque $λ$ étant algébrique sur $k$,
il en est de même de chaque $u(λ)$ sur $k$ et, \emph{a fortiori},
des $u(λ)$ sur $u ′(K ′)$. D'après, \ref{entiers sur corps=sous-corps},
l'ensemble des éléments de $E$ algébriques sur $K ′$ est un sous-corps. Comme il
contient les $u(λ)$, c'est $E$ tout entier.
Ce lemme est également un corollaire de \ref{entier sur
corps stable par cb} et \refext{AC}{cb-entier}.
\end{démo}


\subsection{Corps de rupture et de décomposition d'un polynôme}

\begin{convention2}\label{k-f}
Soit $k$ un corps et soit $f$ un polynôme à coefficients dans $k$.
On note $k_f$ l'anneau quotient $k[X]/(f(X))$ et $x$ l'image
de $X$ dans $k_f$ par la surjection canonique $k[X]↠k_f$.
\end{convention2}

Cet anneau « représente », au sens du lemme ci-dessous,
les racines de $f$.

\begin{lemme2}\label{points k-f}
Soient $f∈k[X]$ et $A$ une $k$-algèbre.
Le morphisme d'évaluation en $x$
\[
(φ:k_f→A)↦φ(x)
\]
\[
\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,A)→\{a∈A:P(a)=0\}
\]
est une bijection.
\end{lemme2}

La démonstration est immédiate.

%C'est un cas particulier, de démonstration immédiate, du lemme \refext{Spec}{points-quotient}.

Observons que si $f$ est non nul, $k_f$ est une $k$-algèbre \emph{finie}.

\begin{proposition2}\label{corps-de-rupture}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme non constant.
\begin{enumerate}
\item Il existe une extension finie $K\bo k$ telle que $f$ ait une racine dans $K$ et que
$K\bo k$ soit engendrée par cette racine.
\item Toute telle extension $K\bo k$ est isomorphe à un quotient de $k_f$. En
particulier, si $f$ est \emph{irréductible}, elles sont isomorphes à $k_f$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) On peut supposer $f$ unitaire. Par construction, $f(x)=0$ dans la
$k$-algèbre $k_f$. Cette algèbre possède un idéal maximal donc se surjecte sur un corps,
que nous noterons $K$. Si $α$ est l'image de $x$ dans $K$, on a bien $f(α)=0$. Puisque la $k$-algèbre $k_f$ est
engendrée par $x$, l'extension $K\bo k$ est engendré par $α$.
(ii) Soit $α$ une racine de $f$ dans $K$ telle que $K=k(α)$. Le noyau du
morphisme $k[X] ↠ K$, $X\mapsto \alpha$ d'évaluation en $α$ contient $f$.
Il en résulte que ce morphisme se factorise en une surjection $k_f ↠  K$.
Si $f$ est irréductible, $k_f$ est un corps si bien que ce morphisme est également injectif.
\end{démo}

\begin{définition2}
Une extension $K\bo k$ satisfaisant la condition (i) ci-dessus est appelée extension, ou
corps, de \emph{rupture} de $f$ sur $k$.
\end{définition2}

\begin{proposition2}\label{dec-deg-inf-fact-n}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme non constant de degré $d$.
\begin{enumerate}
\item Il existe une extension $K\bo k$ telle le polynôme $f$
se factorise dans $K[X]$ sous la forme $c\prod_{i=1}^{\deg f} (X-\alpha_i)$,
où $c ∈ k, α_i ∈ K$, et que $K$ soit engendrée par les $\alpha_i$ sur $k$.
\item Deux telles extensions sont isomorphes, de degré au plus $d!$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Lorsque $f$ se factorise comme en (i), on dit alors que $f$ est \emph{scindé} sur $K$.

\begin{définition2}\label{définition corps de décomposition}
Une extension $K\bo k$ satisfaisant la condition (i)
de la proposition précédente est appelée extension, ou corps, de \emph{décomposition} de
$f$. On note parfois $\dec_k(f)$.
\end{définition2}

\begin{démo}[Démonstration de la proposition]
Existence et majoration du degré. Procédons par récurrence sur le degré $d$ de $f$. Si $d=1$, il n'y a rien à démontrer.
D'après la proposition précédente, il existe une extension $K$ de $k$ dans laquelle
$f$ s'écrit $f=(X-α)g$. Le corps $K$ est un quotient de $k_f$ si bien que
l'extension $K\bo k$ est de degré au plus $d$.
Par hypothèse de récurrence, il existe une extension finie $L$
de $K$, de degré au plus $(d-1)!$ telle que le polynôme $g$, de degré
$d-1$, soit scindé sur $L$.
Le polynôme $f$ est alors scindé sur $L$ et $[L:k]=[L:K][K:k]≤d!$.
La sous-$k$-extension de $L$ engendrée par les racines de $f$ dans $L$ est un corps de décomposition de $f$,
de degré au plus celui de $L$.

Unicité. Soient $K₁$ et $K₂$ deux corps de décomposition pour $f$.
Considérons une extension composée $(E,u₁,u₂)$ de $K₁$ et $K₂$ sur $k$.
Soit $R$ (resp. $R_i$) l'ensemble des racines de $f$ dans $E$
(resp. $u_i(K)$). Le polynôme $f$ étant scindé sur les corps $K_i$,
il l'est également sur les sous-corps $u_i(K_i)$ de $E$. Il 
en résulte que les inclusions \emph{a priori} $R_i⊆R$ sont des
égalités. D'autre part, $u_i(K_i)=k(R_i)⊆E$ 
de sorte que $E=k(R)$ et les inclusions $u_i(K_i)=k(R_i)⊆E$
sont des isomorphismes. Comme $u_i$ induit un isomorphisme $K_i⥲u_i(K_i)$, on a
un diagramme d'isomorphismes $K₁⭇E⭉K₂$.
\end{démo}


\subsection{Corps de décomposition d'une famille de polynômes}

Expliquons maintenant comment généraliser la construction précédente
au cas d'une famille quelconque (non nécessairement finie) de polynômes.

Nous ferons usage de la généralisation suivante des
définitions et résultats de \ref{section définition restreinte produit tensoriel}, qui est aussi un cas
particulier de \refext{Tens}{existence-produit-tensoriel-commutatif}.

\begin{définitionrestreinte2}\label{définition restreinte produit tensoriel infini}
Soient $k$ un corps, $I$ un ensemble éventuellement infini 
et $(A_i)_{i∈I}$ une famille de $k$-algèbres. Choisissons pour chaque $i∈I$, une $k$-base
$(e^{i}_j)_{j∈J_i}$ de $A_i$. On note $⨂_{i∈I} A_i$ la
$k$-\emph{algèbre} dont l'espace vectoriel sous-jacent
est libre de base des éléments notés $ε^{I'}_{J'}$,
où $I'$ est une partie finie de $I$ et $J'$
une partie finie de $∐_{i∈I}J_i$ contenant
un unique élément $j_{i'}$ de $J_{i'}$ pour chaque $i'∈I'$.
On note également $e^{i₁}_{j₁}⊗\cdots⊗e^{i_n}_{j_n}$
(dans un ordre quelconque) l'élément
$ε^{\{i₁,\dots,i_n\}}_{\{j₁,\dots,j_n\}}$.
La structure multiplicative est définie par $k$-linéarité à partir
des formules suivantes :
\begin{enumerate}
\item si $I'∩I''=∅$, 
\begin{equation}
ε^{I'}_{J'}\cdot ε^{I''}_{J''}=ε^{I'∪I''}_{J'∪J''} ; \tag{$\star$}
\end{equation}
\item si $I'∩I''=\{i\}$, 
\begin{equation}
ε^{I'}_{J'}\cdot ε^{I''}_{J''}=∑_{j∈J_i} a^j_{j_i,j'_i}\,
ε^{I'∪I''}_{(J'-\{j_i\})∪(J''-\{j'_i\})∪\{j\}}, \tag{$\star\star$}
\end{equation}
où les scalaires $a^∙_{∙,∙}$ sont les constantes de structure (\ref{constantes
structure produit tensoriel}) de la $k$-algèbre $A_i$.
\end{enumerate}
\end{définitionrestreinte2}

Remarquons que si $i∈I'∩I''$,
les formules $ε^{I'}_{J'}=ε^{I'-\{i\}}_{J'-\{j'_i\}}ε^{\{i\}}_{j'_i}$
et $ε^{I''}_{J''}=ε^{I''-\{i\}}_{J''-\{j''_i\}}ε^{\{i\}}_{j''_i}$, 
qui découlent de $(\star)$, permettent de calculer
$ε^{I'}_{J'}\cdot ε^{I''}_{J''}$ à partir de $(\star\star)$
par récurrence sur le cardinal de l'intersection $I'∩I''$.

Il est aisé de vérifier, par réduction au cas où $I$ est fini
et suivant la même méthode qu'en \ref{section définition restreinte
produit tensoriel}, que le produit ainsi défini est associatif, commutatif, 
indépendant à $k$-isomorphisme près du choix des bases, et
que les applications
\[∑_{j∈J_ι} λ_je^ι_j∈A_ι↦∑_{j∈J_ι}λ_j ε^{\{ι\}}_{\{j\}}∈⨂_{i∈I}A_i\]
sont des morphismes injectifs de $k$-algèbres, dits « canoniques », dont les images engendrent le produit tensoriel.
Nous renvoyons le lecteur à l'appendice \refext{Tens}{} pour une approche plus
conceptuelle, présentée en détail.

\subsubsection{}Soit $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes non constants.
Pour chaque $i∈I$, considérons une extension de décomposition $k_i$ de $f_i$
sur $k$ ; il en existe d'après les résultats du paragraphe précédent
(\ref{dec-deg-inf-fact-n}). Soit $A$ la $k$-algèbre produit tensoriel de la famille des $k$-algèbres \emph{non
nulles} $k_i$.
Elle est non nulle donc — d'après le lemme Krull —  se surjecte sur un corps $K$, 
qui est naturellement une extension de $k$ ainsi que de chacun
des corps $k_i$, via les morphismes composés $u_i:k_i→A↠K$, où la première flèche
est le morphisme canonique.

\begin{lemme2}
Pour tout $i∈I$, le polynôme $f_i$ est scindé dans $K$ et $K$ est engendré sur $k$ par les
racines des $f_i$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Chaque $f_i$ est scindé dans $k_i$ donc dans $A$ et $K$
car une décomposition en produit $f_i=g₁\cdots g_{d_i}$ dans $k_i[X]$ 
induit une décomposition semblable dans $B[X]$ pour toute
$k_i$-algèbre $B$, comme $A$ ou $K$. 
Ceci prouve le premier point.
Pour le second point, on observera que d'une part chaque $u_i(k_i)⊆K$ est engendré
sur $k$ par $R_i=\{α ∈ K:f_i(α)=0\}$ et que d'autre part $A$, donc $K$, est engendré sur $k$ par 
les images des $k_i$ dans $A$, comme cela a été observé brièvement plus haut.
\end{démo}

Tout comme dans le cas d'une famille réduite à un élément, on dit que $K$ est une
\emph{extension de décomposition} de la famille $(f_i)_{i∈I}$.

Remarquons que si l'ensemble d'indexation $I$ est fini, une extension 
de décomposition de la famille $(f_i)_{i∈I}$ est une extension de 
décomposition de $f=∏_i f_i$.

\begin{proposition2}\label{unicite-extension-decomposition}
Deux $k$-extensions de décomposition d'une famille de polynômes dans $k[X]$
sont $k$-isomorphes.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soient $K$ et $K'$ deux telles extensions et $E$ une extension composée.
L'image de $K$ (resp. $K'$) dans $E$ coïncide
avec le sous-corps $k(R)$ où $R$ est l'ensemble des racines des polynômes
considérés. Ainsi les corps $K$ et $K'$ sont tous deux $k$-isomorphes à $k(R)$
(cf. \ref{dec-deg-inf-fact-n} (ii)).
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{cb-corps-decomposition}
Soient $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes non constants 
à coefficients dans $k$ et $K$ un corps de décomposition. Pour toute extension $k'\bo k$,
toute extension composée de $K$ et $k'$ sur $k$ est un corps de décomposition sur $k'$
des $f_i$, vus dans $k'[X]$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soient $k'\bo k$ comme dans l'énoncé et $(K',u,v)$ une extension composée de $K$ et $k'$.
Si $R$ désigne l'ensemble des racines des $f_i$ dans $K$, on a $K=k(R)$
et $K'=k'(R)$, où l'on note abusivement $k'$ et $R$ leurs images dans $K'$ par les applications
$v$ et $u$ respectivement. Cette égalité est équivalente à la conclusion désirée.
\end{démo}

\subsection{Clôture algébrique}

\begin{proposition2}
Soit $k$ un corps. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item tout polynôme non constant de $k[X]$ a une racine dans $k$ ;
\item tout polynôme non constant de $k[X]$ est scindé sur $k$ ;
\item toute extension algébrique de $k$ est de degré un.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Montrons que (i) entraîne (ii). On procède par récurrence sur le degré du
polynôme, le cas du degré un étant trivial. Soit donc $f∈k[X]$ de degré $>1$.
D'après (i), il existe une racine $α∈k$ de $f$ de sorte que $f$ 
se factorise en $f=(X-α)g$, pour un $g∈k[X]$. Puisque $\deg(g)<\deg(f)$,
l'hypothèse de récurrence assure que $g$ est scindé sur $k$. Il en est donc de
même de $f$. L'implication (ii) entraîne (i) est évidente.
Montrons maintenant que (ii) entraîne (iii). Soit $K\bo k$ une extension algébrique.
On veut montrer que $K=k$. Il suffit pour cela de considérer le cas où $K$ est
monogène, car $K=⋃k(a)$, où $a$ parcourt $K$. Dans ce cas, $K$ est isomorphe à un quotient
de $k_f$, pour un $f∈k[X]$ convenable. Le polynôme $f$ étant scindé, ce quotient n'est un corps
que si $f$ est de degré un. Dans ce cas, l'inclusion $k→K$ est un
isomorphisme : $[K:k]=1$.
Vérifions que (iii) entraîne (ii). Soient $f∈k[X]$ est un polynôme non constant
et $K\bo k$ un corps de décomposition de $f$ sur $k$ ; c'est une extension algébrique de $k$.
D'après (iii), $k=K$ de sorte que $f$ est scindé sur $k$, d'où (ii).
\end{démo}

Il résulte de la démonstration que la condition
(iii') : « toute extension algébrique monogène de $k$ est de degré un »
est équivalente à (iii).

\begin{définition2}
Un corps satisfaisant les conditions équivalentes précédentes est dit
\emph{algébriquement clos}. 
On appelle \emph{clôture algébrique} d'un corps $k$ toute extension algébrique de $k$ qui est
un corps algébriquement clos. 
\end{définition2}

\begin{proposition2}[Steinitz]
Tout corps admet une clôture algébrique.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $k$ un corps. D'après ce qui précède, il existe un corps
de décomposition $K$ de la famille de tous les polynômes unitaires non constants
à coefficients dans $k$. C'est une extension algébrique de $k$ dans laquelle tout polynôme non constant de $k$ 
est scindé. Vérifions qu'elle est algébriquement close en utilisant le critère (iii) ci-dessus.
Soit $K'\bo k$ une extension algébrique de $K$ ; elle est algébrique
sur $k$ (\ref{algébrique sur algébrique=algébrique}). En d'autres termes,
tout élément $α∈K'$ est racine d'un polynôme unitaire $f_α∈k[X]$.
Or, par construction, les racines de $f_α$ sont toutes dans $K$.
Finalement $α∈K$ et $K'=K$.
\end{démo}

\begin{remarque2}\label{caracterisation-cloture-algebrique}
Il résulte de la démonstration qu'une clôture algébrique $Ω$ d'un corps $k$
est un corps de décomposition de l'ensemble des polynômes non constants
de $k$. En effet, $Ω$ contient un tel corps de décomposition $D$
et puisque ce dernier est algébriquement clos avec $Ω/D$ algébrique, on a bien $Ω=D$.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}
Tout corps algébriquement clos est infini.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

La proposition suivante nous sera très utile dans le chapitre
[Gal]. 

\begin{proposition2}\label{plongement-dans-cloture-algebrique}
Soient $Ω$ une clôture algébrique de $k$ et $k'\bo k$ une extension
algébrique. Il existe un $k$-plongement $k'→Ω$.
\end{proposition2}

L'expression « $k$-plongement », synonyme de $k$-morphisme,
permet d'insister sur le fait qu'un tel morphisme
est nécessairement injectif.

\begin{démo}
Soit $Ω'$ une extension composée de $k'\bo k$ et $Ω\bo k$. L'extension $Ω'/Ω$
est algébrique (cf. par exemple \ref{cb-entier} ou
\ref{composee algebrique}), de sorte que l'injection $Ω→Ω'$  
est un isomorphisme, dont nous noterons $τ$ l'inverse. Le morphisme
composé $k'→Ω'\dessusdessous{τ}{→} Ω$ répond à la question.
\end{démo}

\begin{proposition2}
Deux clôtures algébriques d'un même corps $k$ sont $k$-isomorphes.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Il suffit d'utiliser la remarque ci-dessus et l'unicité 
du corps de décomposition d'une famille de polynôme (cf.
\ref{unicite-extension-decomposition}).
\end{démo}

\begin{remarque2}
L'isomorphisme précédent n'étant pas unique en général, 
on parlera — conformément à \refext{Cat}{blabla-unicite-objet-universel} —
d'\emph{une} clôture algébrique d'un corps.
\end{remarque2}

\section{Trace et norme}\label{trace-et-norme}

Dans ce paragraphe, contrairement à la convention de ce chapitre, $k$ 
n'est pas nécessairement un corps.

\subsection{Définition et premières propriétés}
\begin{définition2}
Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre
admettant une base finie.
Pour tout élément $a∈A$, on note $[×a]:A→A$
l'endomorphisme $k$-linéaire $x\mapsto ax$ de multiplication par $a$ dans $A$. 
Sa trace $\Tr([×a])$, son déterminant $\det([×a])$ et son polynôme caractéristique unitaire
$\det(X\Id-[×a])$ sont appelés respectivement la \emph{trace}, la \emph{norme}
\index{trace} \index{norme} et le \emph{polynôme caractéristique}
\index{polynôme caractéristique} de $a$. On note $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A\bo k}(a)$
les deux premiers, qui sont des éléments de $k$, et $χ_{A\bo k}(a,X)∈k[X]$ le
dernier.
\end{définition2}

\subsubsection{}Explicitement, si $(e_i)_{i=1,\dots,n}$ est une base de $A$ sur $k$, de base
duale $(e^\vee_i)_i$, on a pour tout $a∈A$, $\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a^{(i)}$ et
$\N_{A\bo k}(a)=∏_i a^{(i)}$, où $a^{(i)}=⟨ae_i,e^\vee_i⟩$.

\subsubsection{}\label{trivialités sur trace et norme}Il résulte immédiatement de l'additivité (resp. la multiplicativité)
de la trace (resp. du déterminant) que l'on a les
égalités suivantes dans $k$ :
\[
\Tr_{A\bo k}(a+a')=\Tr_{A\bo k}(a)+\Tr_{A\bo k}(a'),
\]
et
\[
\N_{A\bo k}(aa')=\N_{A\bo k}(a)\N_{A\bo k}(a')
\]
pour chaque paire $(a,a ′) ∈ A²$.
Pour tout $λ∈k$, on a $\Tr_{A\bo k}(λ)=nλ$ et $\N_{A\bo k}(λ)=λ^n$, 
où $n=\dim_k(A)$.


\begin{lemme2}\label{Norme=pol-car}
Soient $k$ un anneau et $A$ une $k$-algèbre admettant une base finie de
cardinal $n$.
\begin{enumerate}
\item L'algèbre $A[X]$ admet une base finie sur $k[X]$, de cardinal $n$.
\item Pour tout $a∈A$,
$\N_{A[X]\bo k[X]}(1+aX)=1+\Tr_{A\bo k}(a)X+\cdots+\N_{A\bo k}(a)X^n$.
\item Pour tout $a∈A$, $χ_{A\bo k}(a,X)=\N_{A[X]\bo k[X]}(X-a)$.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $(e_i)_i$ est une base de $A$ sur $k$ ; c'est également une base de $A[X]$ sur $k[X]$.
Relativement à cette base, on a : $$(1+aX)^{(i)}=1+a^{(i)}X.$$
Ainsi, $$\N_{A[X]\bo k[X]}(1+aX)=∏_i (1+aX)^{(i)}=∏_i (1+a^{(i)}X)=1+(∑_i
a^{(i)})X+\cdots+(∏_i a^{(i)})X^n.$$
Le dernier point est évident.
\end{démo}

Observons que $\N_{A\bo k}(a)=(-1)^n χ_{A\bo k}(a,0)$ et
$\Tr_{A\bo k}(a)=-{χ_{A\bo k}}'(a,0)$. Cela permet de ramener 
certains énoncés sur la trace (resp. la norme) à des énoncés
sur le polynôme caractéristique. (La réciproque étant également vraie d'après le lemme
ci-dessus.)

\begin{proposition2}\label{trace-produit}
Soient $k$ un anneau et $A=A₁×\cdots×A_r$ un produit fini de $k$-algèbres admettant des bases finies.
Pour tout $a=(a₁,\dots,a_r)∈A$, on a 
$$\Tr_{A\bo k}(a)=∑_{i=1}^r \Tr_{A_i\bo k}(a_i),$$
$$\N_{A\bo k}(a)=∏_{i=1}^r \N_{A_i\bo k}(a_i),$$
et 
$$
χ_{A\bo k}(a,X)=∏_{i=1}^r χ_{A_i\bo k}(a_i,X).
$$
\end{proposition2}

\begin{démo}
Comme noté ci-dessus, il suffit de démontrer la dernière formule, qui est
évidente : le déterminant d'une somme directe d'endomorphismes agissant
sur une somme directe est égal au produit des déterminants.
\end{démo}

\subsection{Fonctorialité}

\begin{proposition2}\label{cb-trace}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie.
Soit $k'$ une $k$-algèbre et notons $A'=A ⊗_k {k ′}$ la $k'$-algèbre
déduite de $A$ par extension des scalaires.
\begin{enumerate}
\item $[A':k ′]=[A:k]$.
\item Pour tout $a∈A$, on a :
\[\Tr_{A'\bo k'}(a⊗1)=\Tr_{A\bo k}(a)\cdot 1_{k'},\]
\[\N_{A'\bo k'}(a⊗1)=\N_{A\bo k}(a)\cdot 1_{k'},\]
et
\[χ_{A'\bo k'}(a⊗1,X)=χ_{A\bo k}(a,X)\cdot 1_{k'[X]}.\]
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Dans cet énoncé, on a noté $λ\cdot 1_{k'}$ l'image
d'un élément $λ∈k$ dans $k'$ par le morphisme $k→k'$. Il correspond
naturellement à l'élément $λ⊗1$ de $k⊗_k k'$ par l'isomorphisme
(dit « canonique ») $k⊗_k k'⭇k'$ envoyant $λ ⊗ x$ sur $λ x$.

\begin{démo}
Le premier point n'est mis que pour mémoire (cf. \ref{changement de
base k-algèbre}).
Soient $(e_i)_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$
et $a∈A$. Notons $a_{ij}$ la matrice de l'endomorphisme
$[×a]:A→A$ dans la base $e_i$. Par définition,
$\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a_{ii}$. 
Pour chaque $a∈A$, l'endomorphisme $m_{a⊗1}:A'→A'$ 
a pour matrice dans la base $(e_i⊗1)_{1≤i≤n}$ l'image de celle de $[×a]$
(relativement à la base $(e_i)_{1≤i≤n}$) par l'application $M_n(k)→M_n(k')$.
Sa trace est donc égale à $\Tr_{A\bo k}(a)$. On procède de même pour
la norme et le polynôme caractéristique.
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{composition-trace-norme}
Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre admettant une base finie
et $B$ une $A$-algèbre admettant une base finie.
Alors, $B$ admet une base finie sur $k$ et pour tout $b∈B$, on a :
$$
\Tr_{B\bo k}(b)=\Tr_{A\bo k}\big(\Tr_{B\bo A}(b)\big),
$$
$$
\N_{B\bo k}(b)=\N_{A\bo k}\big(\N_{B\bo A}(b)\big),
$$
et 
$$
χ_{B\bo k}(b,X)=\N_{A[X]\bo k[X]}\big(χ_{B\bo A}(b,X)\big).
$$
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soient $(e_{i})_{i=1,\dots,n}$ une base de $A$ sur $k$, 
$(e_{i}^{\vee})_{i=1,\dots,n}$ la base duale et $(f_{j})_{j=1,\dots,m}$ une base de $B$ sur $A$.
L'ensemble des éléments $f_{j}e_{i}$ constitue une base de $B$ sur $k$.
Considérons $b∈B$ et notons $(b_{j'j})$ la matrice à coefficients dans $A$ de
l'application $A$-linéaire $[×b]$ dans la base $(f_{j})_j$.
Un calcul immédiat montre que chaque
$b(f_{j}e_{i})$ est la somme de $b_{jj}^{(i)}f_{j}e_{i}$ et d'une
combinaison linéaire des $f_{j'}e_{i'}$ pour $(i ′,j ′)≠(i,j)$.
Comme plus haut, on a noté pour tout élément $a$ de $A$,
$a^{(i)}$ l'élément de $k$ égal au produit scalaire
$⟨ae_{i}|e_{i}^{\vee}⟩$, aussi noté $a_{ii}$ dans la démonstration de la
proposition précédente. Avec cette convention, $\Tr_{A\bo k}(a)=∑_i a^{(i)}$ et $\N_{A\bo k}(a)=∏_i a^{(i)}$.
Ainsi, la trace $\Tr_{B\bo k}(b)$ est égale à
la somme :
\[
\Tr_{B\bo k}(b)=∑_{(i,j)} b_{jj}^{(i)}=∑_i\big( ∑_j b_{jj}\big)^{(i)}=∑_i
\Tr_{B\bo A}(b)^{(i)}=\Tr_{A\bo k}\big(\Tr_{B\bo A}(b)\big).
\]

De même,
\[
\N_{B\bo k}(b)=∏_{(i,j)} b_{jj}^{(i)}=∏_i\big( ∏_j b_{jj}\big)^{(i)}=∏_i
\N_{B\bo A}(b)^{(i)}=\N_{A\bo k}\big(\N_{B\bo A}(b)\big).
\]

Ceci démontre les deux premières formules.
La troisième se ramène à la seconde par \ref{Norme=pol-car}.
\end{démo}

\subsection{Trace et norme d'éléments nilpotents}

\begin{proposition2}\label{Nilp-dans-Ker-trace}
Soient $k$ un anneau et $A$ une $k$-algèbre ayant une base finie.
Si un élément $a$ de $A$ nilpotent, les éléments $\Tr_{A\bo k}(a)$ et $\N_{A\bo k}(a)$
de $k$ sont également nilpotents. 
\end{proposition2}

Il en résulte que si $k$ est \emph{réduit} (c'est-à-dire $\Nilp(k)=\{0\}$), 
l'application $k$-linéaire $\Tr_{A\bo k}:A→k$ se factorise
à travers le quotient $A_{\red}=A/\Nilp(A)$
où, rappelons-le, $\Nilp(A)=\{a∈A:∃n∈𝐍,a^n=0\}$.

\begin{démo}
Soit $a∈\Nilp(A)$. L'élément $t=aX$ de $A[X]$ est également nilpotent
de sorte que $1+t=1+aX$ est inversible dans $A[X]$ (cf. par
exemple \refext{Spec}{caracterisation-polynomiale-nilpotents}).
Par multiplicativité de la norme, l'image d'un inversible est un inversible donc
\[
\N_{A[X]\bo k[X]}(1+aX)∈k[X]^×.
\]
D'autre part il résulte de la proposition \ref{cb-trace}
— commutation de la trace avec la réduction modulo $X$ — que cet élément appartient à $1+Xk[X]$.
La généralisation suivante de \refext{Spec}{caracterisation-polynomiale-nilpotents}
montre qu'un tel polynôme est de la forme $1+XP(X)$ où $P(X)$ est un polynôme à coefficients nilpotents.
En particulier, le coefficient de $X$, qui coïncide avec la trace
(cf. \ref{Norme=pol-car}) est nilpotent. Le fait que la norme
d'un nilpotent soit nilpotent résulte immédiatement de la
formule $\N(a^n)=\N(a)^n$ et de l'égalité $\N(0)=0$.
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soient $k$ un anneau et $Q ∈ k[X]$ un polynôme.
Le polynôme $1+XQ(X)$ est inversible dans $k[X]$ si et seulement si
les coefficients de $Q$ sont nilpotents.
\end{lemme2}

\begin{démo}
On procède par récurrence sur le degré $n ≥ 1$ de $P=1+XQ(X)=1+a₁X + \cdots + a_n X^n$.
Supposons également que l'on ait dans $k[X]$ une identité :
\[
(1+a₁X+a₂X²+\cdots+a_nX^n)(1+b₁X+b₂X²+\cdots+b_rX^r)=1.
\]
On en déduit les égalités : 
$a_nb_r=0$, $a_n b_{r-1}+a_{n-1} b_r=0$,
..., $a_n+a_{n-1}b₁+\cdots=0$. On pose $a₀=b₀=1$.
Multipliant la seconde égalité par $a_n$ et utilisant la relation
$a_nb_r=0$, on en tire : $a_n²b_{r-1}=0$ (avec la convention $b₀=1$). 
Plus généralement, on montre par récurrence que $a_n^{i+1}b_{r-i}=0$.
Finalement, pour $i=r$, on obtient $a_n^{r+1}=0$.
Ainsi, le coefficient de plus haut degré de $P$ est nilpotent.
Puisque $P-a_nX^n$ est une unité moins un nilpotent, ce polynôme
est également inversible de sorte que d'après
l'hypothèse de récurrence, ses coefficients non constants
sont nilpotents.
\end{démo}

\section{Algèbres étales sur un corps, extensions algébriques séparables}

Jusqu'à la fin de ce chapitre, sauf mention du contraire, $k$ désigne
à nouveau un \emph{corps} commutatif.

Avant d'introduire la notion fondamentale d'algèbre étale sur $k$,
nous allons considérer quelques classes de $k$-algèbres. 
Nous établirons enfin l'équivalence d'une grande part des conditions introduites 
(cf. \ref{pot-diag=geom-red=f-net}).

\subsection{$k$-algèbres potentiellement diagonalisables}

\begin{définition2}\label{algèbre trivialisée}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{potentiellement diagonalisable} s'il
existe une extension \emph{finie} $k'\bo k$ telle que $A_{k'}=A⊗_k k'$
soit diagonalisable. On dit dans ce cas que $A$ est \emph{diagonalisée},
ou \emph{trivialisée}, par l'extension $k'\bo k$ ou encore que $k'\bo k$
\emph{diagonalise}, ou \emph{trivialise}, $A$.
\end{définition2}

En particulier, une $k$-algèbre potentiellement diagonalisable est finie sur $k$.

\begin{remarque2}\label{diagonalisable implique sous-truc}
Lorsque $A$ est un corps $K$, l'existence d'une extension $k ′ \bo k$
trivialisant $A$ entraîne l'existence d'un $k$-plongement — en général non
unique — de $K$ dans $k ′$.
En effet, la $k′$-algèbre $K⊗_k k ′$, étant isomorphe
à ${k ′}^[K:k]$, elle se surjecte sur $k ′$ et le morphisme composé $k→K⊗_k
k ′↠k ′$ est un $k$-plongement. Si $A$ n'est pas un corps, on obtient seulement
par cette méthode l'existence d'un $k ′$-point de $A\bo k$.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}\label{critere-numerique-diagonalisable}
Soient $A$ une $k$-algèbre et $K\bo k$ une extension.
\begin{enumerate}
\item L'application $k$-linéaire canonique $A→A⊗_k K=A_K$,
$a↦a⊗1$, induit une bijection
\[
\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)⥲\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K).
\]
\item
Le cardinal de l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$
est majoré par $[A:k]$, avec égalité si et seulement si $A$ est diagonalisée par $K\bo k$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) Montrons que plus généralement, pour toute $K$-algèbre $B$,
l'application canonique $r:\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)$,
envoyant chaque morphisme de $K$-algèbres $φ:A_K→B$
sur sa restriction $k$-linéaire $r(φ):a↦φ(a⊗1)$ est une bijection.
Il suffit de vérifier que l'application $e:\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,B)→\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,B)$,
envoyant $ψ:A→B$ sur $e(ψ):A_K→B$, caractérisé par $a⊗λ↦λψ(a)$, satisfait
$re=\Id$ et $er=\Id$.
Cela résulte de la définition. (Ce résultat est un cas particulier
de la propriété universelle du produit tensoriel d'algèbres, cf.
\refext{Tens}{}.)
(ii) résulte de (i), l'égalité $[A_K:K]=[A:k]$ et du critère \ref{critere diagonalisabilite} (iii).
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{sorites-pot-diagonalisable}
Soient $A$ une $k$-algèbre et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item il existe une extension $K$ de $k$ telle que $A_K$ soit
diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
\item la $Ω$-algèbre $A_Ω$ est diagonalisable ;
\item $\#\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$ ;
\item $\# π₀(A_Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
De plus, on peut remplacer $Ω$ dans les critères (iii)—(v)
par une sous-extension $K$ de $Ω$ telle que pour tout $k$-morphisme $u:A → Ω$ on ait
$u(A) ⊆ K$.
\end{proposition2}

Remarquons que dans (i), on ne suppose pas l'extension $K\bo k$ algébrique.

\begin{démo}
(i)⇒(ii).
D'après la proposition précédente, $\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)$
est de cardinal $[A_K:K]=[A:k]=:d$. D'autre part, 
l'application de restriction $\Hom_{K\traitdunion\Alg}(A_K,K)→\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$
est une bijection. Soit $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$. Puisque $A$ est de dimension finie sur $k$,
il en est de même de l'image $φ(A)⊆K$ de $φ$. D'autre part,
puisque $φ$ est un morphisme de $k$-algèbres, $φ(A)$ est une sous-$k$-algèbre
de $K$. Étant finie sur $k$ et intègre, c'est un sous-corps $k_φ$ de $K$ (cf.
\ref{fini integre=corps}). Soit $k_A$ le sous-corps de $K$ engendré
par les $k_φ$ pour $φ∈\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ ; c'est une sous-$k$-extension \emph{finie}
de $K$ car l'ensemble des $φ$ est fini. Par construction, l'inclusion
\emph{a priori} $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)↪\Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,K)$ est une bijection.
Ainsi, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,k_A)=[A:k]=[A_{k_A}:k_A]$ et
$A$ est diagonalisable sur $k_A$. 
(ii)⇒(iii).
Cela résulte du fait que toute extension finie de $k$ s'envoie dans $Ω$
et du fait que si $K→Ω$ est un morphisme de corps et $B$ une $K$-algèbre
diagonalisable, la $Ω$-algèbre $B⊗_K Ω$ est également diagonalisable,
comme il résulte de l'existence d'un l'isomorphisme $K^r ⊗_K Ω ⥲ Ω^r$.
%En effet, si $\# \Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)=[B:K]$, $\# \Hom_{Ω\traitdunion\Alg}(B_Ω,Ω)=\#\Hom_{K\traitdunion\Alg}(B,K)$
%est égal à $[B:K]=[B_Ω:Ω]$ (\ref{cb-trace}).
%On utilise alors \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii)⇒(i) : évident.
(iii) ⇔ (iv) : résulte de \ref{critere-numerique-diagonalisable} (ii).
(iii) ⇔ (v) : résulte de \ref{critere diagonalisabilite} (iii).
\end{démo}

\subsection{Algèbres monogènes ; polynômes et extensions algébriques séparables}

%[Vérifier si des conditions $f$ non nul/constant n'ont pas été
%oubliées. \XXX]

\begin{definition2}\label{algebre-monogene}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{monogène}
s'il existe une surjection de $k[X]$ sur $A$. L'image de $X$ par un tel
morphisme est appelé un \emph{générateur} de l'algèbre $A$ sur $k$.
\end{definition2}

Rappelons (cf. \ref{polynome-minimal} et \ref{k-f})
la conséquence suivante de la principalité de l'anneau $k[X]$.

\begin{lemme2}
Toute $k$-algèbre monogène finie
est isomorphe à une $k$-algèbre $k_f=k[X]/(f(x))$,
où $f$ est un polynôme unitaire à coefficient dans $k$.
\end{lemme2}

Le polynôme $f$ n'est bien sûr pas uniquement déterminé par l'algèbre :
il dépend du choix d'un générateur, dont il est le polynôme
minimal (\ref{polynome-minimal}).

\subsubsection{}Écrivons $f=∏_{i=1}^r f_i$ où les polynômes $f_i∈k[X]$ sont 
\emph{premiers entre eux}. Il résulte du lemme chinois
(\refext{Spec}{lemme chinois}) que l'application canonique $k_f → ∏_1^r k_{f_i}$
est un \emph{isomorphisme}.
Appliquant ceci à une décomposition en puissances
de facteurs irréductibles $f_i=P_i^{n_i}$ ($n_i>0$), où les
$P_i$ sont irréductibles dans $k[X]$ et premiers entre eux deux à deux,
on obtient une décomposition :
\[
k_f ⥲  ∏_{i=1}^r k_{P_i^{n_i}},
\]
qui est un cas particulier explicite de \ref{k-algebres-finies} (iii).

\begin{lemme2}\label{structure k-f}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme unitaire. La $k$-algèbre $k_f$ est :
\begin{enumerate}
\item \emph{connexe} si et seulement si $f$ est une puissance d'un polynôme irréductible ;
\item \emph{intègre} si et seulement si $f$ est \emph{irréductible} ;
\item \emph{réduite} si et seulement si $f$ est \emph{sans facteur carré} ;
\item \emph{diagonalisable} si et seulement si $f$ est \emph{scindé à racines simples sur $k$}.
\end{enumerate}
\end{lemme2}

\begin{démo}
(i) Si $f$ n'est pas une puissance d'un polynôme irréductible,
l'anneau $k_f$ n'est pas connexe car il se décompose en un produit non trivial d'anneaux.
Réciproquement, si $f=P^n$, $k_f$ est local, car $(P)$ est maximal
(\refext{Spec}{exemple anneau local}),
donc connexe (\refext{Spec}{local implique connexe}).
Le second point est évident ; il n'est mis que pour mémoire.
Vérifions (iii). D'après la décomposition précédente et compte tenu
du fait qu'un produit fini d'anneaux est réduit si et seulement si chaque facteur l'est,
il suffit de vérifier que si $P$ est un polynôme irréductible,
l'anneau $k_{P^n}$ est réduit si et seulement si $n=1$. Cela résulte du fait que si $n>1$,
la classe de $P$ dans $k_{P^n}$ est un nilpotent non trivial. (L'implication
réciproque est un corollaire de (ii).)
Vérifions (iv). D'après \ref{critere-numerique-diagonalisable},
et \ref{points k-f}, $k_f$ est diagonalisable
si et seulement si $\{a∈k:f(a)=0\}$ est de cardinal $\deg(f)$. CQFD.
\end{démo}

\begin{lemme2}\label{changement-base-k-f}
Soient $f∈k[X]$ et $k'\bo k$ une extension.
Le morphisme $k_f⊗_k k'→ k'_f$ envoyant
$(X^i\mod f)⊗λ$ sur $(λX^i\mod f)$ est un isomorphisme.
\end{lemme2}

\begin{démo}
En effet, on vérifie sans peine que l'application $(λ X^i\mod f)↦(X^i \mod f)⊗λ$ 
en est un inverse.
Alternativement, on pourrait utiliser l'isomorphisme
$A/I⊗_A M ⥲ M/I$ de \refext{Tens}{}, où $I$ est un idéal d'un anneau $A$
et $M$ un $A$-module.
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{pot-diag-reduit}
Soit $f∈k[X]$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item la $k$-algèbre $k_f$ est potentiellement diagonalisable ;
\item l'anneau $(k_f)_{k'}$ est réduit pour toute extension finie $k'\bo k$ ;
\item le polynôme $f$ est scindé à racines \emph{simples} dans une clôture algébrique
de $k$.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

\begin{démo}
(i)⇒(ii). Puisqu'une $k$-algèbre potentiellement diagonalisable
le reste après extension des scalaires, il suffit de démontrer
que $k_f$ est réduit. Or, si $K\bo k$ diagonalise $k_f$,
le morphisme canonique $k_f→(k_f)_K$ étant injectif,
l'algèbre $k_f$ est réduite car $(k_f)_K$, étant diagonalisable,
l'est. (ii)⇒(iii) Supposons que $f$ ait une racine multiple dans une
clôture algébrique $Ω$ de $k$ et considérons $k'$ le corps de
décomposition de $f$ dans $Ω$. Le polynôme $f$ a un facteur
carré dans $k'$, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse,
d'après le lemme précédent et \ref{structure k-f} (ii).
(iii)⇒(i). Si $f$ est scindé à racines simples sur un corps $k'$,
$(k_f)_{k'}$ est diagonalisable d'après le
lemme précédent et \ref{structure k-f} (iii). 
\end{démo}

\begin{définition2}\label{polynome-separable}
Soit $k$ un corps. Un polynôme $f∈k[X]$ est dit \emph{séparable}
s'il satisfait les conditions équivalentes (i)--(iii) de l'énoncé précédent.
\end{définition2}

\begin{définitionrestreinte2}\label{element-extension-separable}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre.
On dit qu'un élément $a∈A$ est \emph{séparable sur $k$}
si son polynôme minimal (\ref{polynome-minimal}) est séparable.
Une extension \emph{algébrique} $k'\bo k$ est dite \emph{séparable} si
tout élément de $k'$ est séparable sur $k$.
\end{définitionrestreinte2}

On verra plus bas qu'une extension algébrique engendrée par des éléments
séparables est séparable.

Il est clair qu'une extension algébrique $k'\bo k$ est séparable
si et seulement si toute sous-$k$-extension \emph{finie} de $k$ est séparable.

\begin{proposition2}\label{critère différentiel de séparabilité polynôme}
Soit $f∈k[X]$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f$ est séparable ;
\item $(f,f')=1$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le cas où $k$ est algébriquement clos est clair. Vérifions
que l'on peut se ramener à ce cas. Soient $k$ comme dans l'énoncé
et $Ω$ une clôture algébrique de $k$. D'après \ref{pot-diag-reduit} (iii),
le polynôme $f$ est séparable si et seulement si son image dans $Ω[X]$
l'est. D'autre part, la condition (ii) est également invariante
par extension des scalaires. En effet, l'algorithme d'Euclide
montre que l'idéal engendré par $f$ et $f'$ dans
$Ω[X]$ est engendré par un polynôme à coefficients dans $k$, qui
n'est autre que le pgcd, calculé dans $k[X]$. (Ceci
est un fait général valable pour toute $k$-algèbre et toute
paire de polynômes.)
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{separable-irreductible}
Soit $f∈k[X]$ un polynôme \emph{irréductible}. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f$ est séparable ;
\item $f'≠0$ ;
\item $f∉k[X^p]$, où $p≥0$ est la \emph{caractéristique} du corps $k$.
\end{enumerate}
\end{corollaire2}

(Observons que la dernière condition est automatiquement satisfaite
si $p=0$.)

\begin{exercice2}
\commentaire{À mettre dans le corps du texte : Hasse-Schmidt}
Soit $k$ un corps.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe une  famille d'applications
$k$-linéaires $D_i$, $i ∈ 𝐍$, telle
que pour chaque $λ ∈ k$ et $P ∈ k[T]$, on ait
\[
P(T)=∑_i D_iP(λ)⋅(T - λ)^i.
\]
\item Montrer que $P$ a un zéro d'ordre $≥m$ en $λ$ si et
seulement si $D_iP(λ)=0$ pour chaque $i<m$. 
\end{enumerate}
\end{exercice2}


\subsection{Algèbres géométriquement réduites}

\begin{proposition2}
Soit $A$ une $k$-algèbre et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est réduit ;
\item l'anneau $A_Ω$ est réduit ;
%\item $A_K$ est réduite où $K⊆ Ω$ est telle que $u(A) ⊆K$ pour tout $u:A → Ω$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
(ii) ⇒ (i). Soit $k ′ \bo k$ une extension finie et soit $σ: k ′ ↪ Ω$ un
$k$-plongement. Le morphisme $A_{k ′} → A_Ω$ déduit de $σ$ est une
injection (cf. \ref{changement de base k-algèbre}). On utilise alors
le fait qu'un sous-anneau d'un anneau réduit est réduit.
(i) ⇒ (ii). Soit $x ∈ A_Ω$. Décomposant $x$ en somme de tenseurs
purs, $x=∑_1^n a_i ⊗ λ_i$, on constate que cet élément
appartient à l'image de $A_{k ′}$ dans $A_Ω$, où
$k ′=k(λ₁,…,λ_n)$ est une sous-extension de $Ω$,
finie sur $k$ (\ref{multiplicativité degré}). Si $x$ est nilpotent dans $A_Ω$,
il l'est dans $A_{k ′}$. Ceci suffit pour conclure.
% cf. Grothendieck projet pour Bourbaki, p. 18.
\end{démo}

\begin{définition2}\label{geometriquement-reduit}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre $A$ est dite \emph{géométriquement réduite}
si pour toute extension finie $k'$ de $k$, l'anneau $A_{k'}$ est \emph{réduit}.
\end{définition2}

On dit également que le \emph{morphisme} $k → A$, aussi noté $A\bo k$, est \emph{géométriquement réduit}.

\begin{exemple2}\label{geom-red-separable}
Une algèbre monogène $k_f$ est géométriquement réduite si et seulement si $f$ est séparable.
(cf. \ref{pot-diag-reduit}).
\end{exemple2}

\begin{lemme2}\label{sous algebre geometriquement reduite}
Soient $B$ une $k$-algèbre géométriquement réduite
et $A$ une sous-$k$-algèbre de $B$. Alors,
$A\bo k$ est géométriquement réduite.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Un sous-anneau d'un anneau réduit étant réduit, il suffit
de démontrer que si $ι:A↪B$ est une injection entre deux $k$-algèbres,
le morphisme canonique $A_{k'}→B_{k'}$, caractérisé par le fait
d'envoyer $a⊗λ$ sur $ι(a)⊗λ$, est injectif pour toute extension $k'\bo k$.
C'est une question d'algèbre linéaire,
qui résulte de la définition. (Considérer une $k$-base de $A$,
complétée en une $k$-base de $B$.)
\end{démo}

(Voir \refext{Tens}{} pour une généralisation.)

\subsubsection{}\label{géométriquement réduite implique séparable}Observons que si $A$ est une $k$-algèbre entière
géométriquement réduite, ses éléments sont séparables
sur $k$. En effet la sous-$k$-algèbre $k[a]$ de $A$ engendrée par un élément
$a$ de $A$ est isomorphe à $k_{μ_a}$ où $μ_a$ est le polynôme minimal de $a$.
La $k$-algèbre $k[a]$ étant géométriquement réduite d'après le lemme
précédent, le polynôme $μ_a$  est donc séparable. Ceci signifie que
l'élément $a$ est séparable sur $k$. Réciproquement,
on peut montrer (\ref{pot-diag=geom-red=f-net} ci-dessous)
qu'une algèbre dont les éléments sont algébriques séparables
sur $k$ est géométriquement réduite.

\subsection{Algèbres formellement nettes}

\begin{définition2}
Soient $k$ un \emph{anneau}, $A$ une $k$-algèbre et $M$ un $A$-module.
On appelle \emph{$k$-dérivation}\index{dérivation} de $A$ dans $M$ toute application
\emph{$k$-linéaire} $d:A→M$ satisfaisant la règle de Leibniz :
$$
d(ab)=ad(b)+bd(a),
$$
pour tous $a,b∈A$.
Les $k$-dérivations forment un groupe abélien que l'on note $\Der_k(A,M)$.
\end{définition2}

La $k$-linéarité entraîne que $d(λ)=0$ pour tout $λ∈k$.

\begin{définition2}
Soit $k$ un \emph{anneau}. Une $k$-algèbre $A$ est dite
\emph{formellement nette}\index{formellement nette, algèbre} si pour tout
$A$-module $M$, l'ensemble $\Der_k(A,M)=0$.
\end{définition2}

On dit aussi que le morphisme $k → A$, également noté $A\bo k$, est
\emph{formellement net}.

On verra en \refext{Om}{} une reformulation
de cette propriété dans le langage des \emph{formes différentielles}.

\subsubsection{}Soient $φ:A→B$ un morphisme de $k$-algèbres, $M$ un $B$-module.
Notons $M_{[A]}$ désigne le $A$-module déduit de $M$ par $φ$ :
$a ⋅ m=φ(a)m$. Si $d:B → M$ est une $k$-dérivation,
le morphisme composé $d∘φ$ est une $k$-dérivation de $A$ dans $M_{[A]}$.
Si $φ$ est surjectif, l'égalité $d ∘ φ=0$ entraîne l'égalité
$d=0$. En d'autres termes, nous avons démontré le lemme suivant.

\begin{lemme2}
\label{injectivité Dér si surjectivité morphismes}
Soient $A → B$ un morphisme surjectif de $k$-algèbres
et $M$ un $B$-module.
Le morphisme $\Der_k(B,M)→\Der_k(A,M_{[A]})$ est \emph{injectif}.
\end{lemme2}

\begin{corollaire2}
\label{quotient formellement net=formellement net}
Si $A$ est une $k$-algèbre formellement nette, il
en est de même de ses quotients.
\end{corollaire2}

En particulier, tout morphisme surjectif $k ↠ A$ est formellement net.

\begin{exemple2}%[Algèbre des nombres « duaux »]
\label{nombres duaux pas nets}
Soit $k$ un anneau. La $k$-algèbre $k[ε]:=k[X]/(X²)$ des « nombres duaux »
n'est \emph{pas} formellement nette : l'application $k[ε]→k$, $a+bε\mapsto b$
est une $k$-dérivation non triviale.
\end{exemple2}

\begin{lemme2}%[Extension des scalaires]
\label{cb-nets}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre formellement nette.
Pour toute $k$-algèbre $k'$, l'algèbre $A_{k'}=A ⊗_k k ′$ est formellement
nette sur $k'$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soient $M'$ un $A_{k'}$-module et $d':A_{k'}→M'$ une $k'$-dérivation.
Notons $d$ la $k$-dérivation $A→M'_{[A]}$ déduite du morphisme canonique
$A→A_{k'}$ ; elle est nulle par hypothèse sur $A\bo k$. L'anneau $A_{k'}$ étant engendré
en tant que $k'$-module par $A$ et $d'$ étant $k'$-linéaire, on a
également $d'=0$.
\end{démo}

L'hypothèse que $k$ est un corps n'est là que pour
nous permettre de faire référence à la définition élémentaire 
du produit tensoriel donnée dans ce chapitre (\ref{définition
restreinte produit tensoriel}).
La démonstration ci-dessus est valable pour $k$ un anneau
quelconque, si $A_{k'}=A⊗_k k'$ est pris au sens
de \refext{Tens}{}.

\begin{lemme2}%[Transitivité]
\label{composes-nets}
Soient $k$ un \emph{anneau} et $k → A$, $A → B$ deux morphismes
formellement nets. Le morphisme composé $k → B$ est formellement net.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soient $M$ un $B$-module et $d∈\Der_k(B,M)$. On veut montrer que
$d=0$. La restriction de $d$ à $A$ appartient à $\Der_k(A,M_{[A]})$, qui
est nul par hypothèse. Ainsi $d(A)=\{0\}$ : la dérivation est $A$-linéaire.
Par hypothèse, $\Der_A(B,M)=\{0\}$ donc $d=0$.
\end{démo}

\begin{lemme2}%[Passage à la limite]
\label{colim-nettes}
Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre.
Supposons que $A$ soit la réunion de sous-$k$-algèbres $A_i$ formellement
nettes. Alors, $A$ est formellement net sur $k$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Si les restrictions aux $A_i$ d'une $k$-dérivation $d$ de $A$ 
sont toutes nulles, il en est de même de $d$.
\end{démo}

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps et $f∈k[X]$.
La $k$-algèbre $k_f$ est formellement nette si et seulement si le polynôme $f$ est séparable.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Supposons $f$ séparable et considérons une $k$-dérivation $d:k_f→M$.
Puisque $f(x)=0$ dans $k_f$, on a $d(f(x))=0$ dans $M$. Il résulte
de la formule de Leibniz que $d(f(x))=f'(x)d(x)$. Par hypothèse $f'(x)$ est
une unité de $k_f$ (cf. \ref{critère différentiel de séparabilité polynôme})
de sorte que l'égalité $f'(x)d(x)=0$ entraîne $d(x)=0$.
Ainsi, pour tout $g∈k[X]$, $d(g(x))=g'(x)d(x)=0$ de sorte que $d=0$. CQFD.
Réciproquement, supposons $k_f$ formellement net sur $k$ ; il
en est donc de même de $Ω_f$ où $Ω$ est une clôture algébrique
de $k$. Supposons par l'absurde que $f$ ne soit pas à racines simples dans $Ω$,
de sorte que $Ω_f$ se surjecte (non canoniquement) sur la $Ω$-algèbre $Ω[ε]=Ω[X]/(X²)$.
Or, d'après \ref{quotient formellement net=formellement net}, $Ω[ε]$ serait
alors formellement nette sur $Ω$. Contradiction (cf. \ref{nombres duaux pas nets}).
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{mono geom red ssi f-nette}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre finie monogène est géométriquement réduite
si et seulement si elle est formellement nette.
\end{corollaire2}

\begin{proposition2}\label{net-implique-reduit}
Soient $k$ un corps algébriquement clos et $A$ une $k$-algèbre finie formellement
nette. Alors, $A$ est réduite.
\end{proposition2}

Cela résulte des deux lemmes ci-dessous. (Rappelons que
les idéaux premiers $A$ sont tous maximaux, cf.
\ref{Spec=Specmax-cas-part}.)

\begin{lemme2}
Soient $k$ un corps algébriquement clos, $A$ une $k$-algèbre finie et $𝔪$ un
idéal maximal. Le morphisme canonique $k→A/𝔪$ est un isomorphisme et si l'on
note $s_𝔪:A→k1_A⊂A$ l'unique application telle que pour tout $a∈A$, on
ait $a-s_𝔪(a)∈𝔪$, l'application $d_𝔪:A→𝔪/𝔪²$, $a\mapsto a-s_𝔪(a)
\mod 𝔪²$ est une $k$-dérivation et est surjective.
\end{lemme2}

\begin{démo}
La $k$-linéarité de $d_𝔪$ est manifeste, de même que 
la surjectivité (car $s_𝔪(m)=0$ pour $m∈𝔪$). Calculons $d_𝔪(aa')$
pour $a$ et $a'$ dans $A$. Puisque 
$$
\big(a-s_𝔪(a)\big)\big(a'-s_𝔪(a')\big)=aa'-\big(as_𝔪(a')+a's_𝔪(a)\big)+s_𝔪(a)s_𝔪(a')
$$
appartient à $𝔪²$, on a
$d_𝔪\Big(aa'-\big(as_𝔪(a')+a's_𝔪(a)\big)+s_𝔪(a)s_𝔪(a')\Big)=0$.
Utilisant le fait que $d_𝔪(k)=0$ et ,
on en tire 
$$
d_𝔪(aa')=d_𝔪\big(as_𝔪(a')\big)+d_𝔪\big(a's_𝔪(a)\big)=s_𝔪(a')d_𝔪(a)+s_𝔪(a)d_𝔪(a').
$$
Ceci est équivalent à la formule de Leibniz car si $x∈𝔪/𝔪²$,
$ax=s_𝔪(a)x$.
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre finie telle que pour tout idéal premier $𝔭∈\Spec(A)$
on ait $𝔭²=𝔭$. Alors, $A$ est réduit.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $B$ un quotient de $A$. Tout idéal premier $𝔮$ de $B$
satisfait l'égalité $𝔮²=𝔮$ : cela résulte du fait que l'idéal
premier $𝔮$ se relève dans $A$ (\refext{Spec}{ideaux-quotients}).
D'après \ref{k-algebres-finies} (iii), l'algèbre $A$ est isomorphe
à un produit d'anneaux locaux, qui en sont des quotients.
Un produit d'anneaux réduit étant réduit, on peut donc
supposer $A$ \emph{local}. Or, d'après \emph{loc. cit.}
l'idéal maximal d'une $k$-algèbre finie locale est nilpotent.
S'il est de plus idempotent, comme on le suppose ici,
il est donc nul ; une telle algèbre est donc un corps, réduit.
\end{démo}

%Regarder démonstration du théorème de l'élément primitif dans Raynaud, Anneaux locaux
%hensélien, p.38 dans le cas d'un corps infini.

\subsection{Algèbres étales}

Dans ce paragraphe, on note $k$ un corps.

\begin{théorème2}\label{pot-diag=geom-red=f-net}
Soit $A$ une $k$-algèbre \emph{finie}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item la $k$-algèbre $A$ est potentiellement diagonalisable ;
\item la $k$-algèbre $A$ est géométriquement réduite ;
\item la $k$-algèbre $A$ est formellement nette ;
\item tout élément de $A$ est séparable sur $k$ ;
\item la trace $\Tr_{A\bo k}:A→k$ induit un isomorphisme
$A ⥲ A^{\vee}$ ;
\item si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$, $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)=[A:k]$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

On remarquera que les trois premières conditions sont très semblables
aux conditions du corollaire \ref{pot-diag-reduit},
dont elles sont une extension au cas non monogène.

\begin{définition2}\label{etale}
Soit $k$ un corps. Une $k$-algèbre finie $A$ satisfaisant les conditions
du théorème précédent est dite \emph{étale}.
\end{définition2}

On dit également que le morphisme $k → A$ est fini étale.

\begin{définition2}\label{degre separable}
On appelle \emph{degré séparable} \index{degré séparable} d'une $k$-algèbre
finie $A$ l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$, où $Ω$ est
une clôture algébrique quelconque de $k$. On le note $[A:k]_s$.
\end{définition2}

Le fait que l'entier $\# \Hom_{k\traitdunion\Alg}(A,Ω)$ soit indépendant
du choix de la clôture algébrique $Ω$ est un corollaire au théorème
de Steinitz. D'après le théorème ci-dessus, une $k$-algèbre finie $A$
est étale si et seulement si $[A:k]=[A:k]_s$ (critère (vi)).

\begin{remarque2}[terminologique]
Il résulte du théorème précédent qu'une extension $k'\bo k$
qui est étale est séparable au sens de la définition \ref{element-extension-separable}. 
La réciproque est fausse car une extension algébrique séparable n'est pas
nécessairement finie. Ceci, joint au fait que
nous étendrons dans un chapitre ultérieur la notion
d'extension séparable au cas d'extensions non algébriques,
explique en partie pourquoi, contrairement à l'usage
le plus courant, nous préférons parler d'extension
étale plutôt que d'extension finie séparable.
\end{remarque2}


\begin{démo}
(i)⇒(ii) : évident. (ii)⇒(i). D'après \ref{sorites-pot-diagonalisable}, on peut supposer $k$ algébriquement
clos. Or, sur un tel corps, une algèbre finie réduite est diagonalisable (\ref{k-algebres-finies}).
(ii) ⇒ (iv) : cf. \ref{géométriquement réduite implique séparable}.
(iv)⇒(iii) : toute sous-algèbre monogène de $A$ est géométriquement
réduite donc (\ref{mono geom red ssi f-nette}) formellement nette.
On conclut par \ref{colim-nettes}. (iii)⇒(ii) :
cf. \ref{cb-nets} (réduction au cas d'un corps algébriquement clos) et \ref{net-implique-reduit}.
Démontrons enfin l'équivalence de (v) avec (i)-(iv). La condition (v) est invariante par extension
des scalaires : l'application $k$-linéaire $A→A^{\vee}$ déduite
de la trace $\Tr_{A\bo k}$ induit, par extension des scalaires de $k$ à $Ω$,
l'application $Ω$-linéaire $A_Ω→A_Ω^{\vee}$ déduit de la trace $\Tr_{A_Ω/Ω}$ (cf.
\ref{cb-trace}) ; cette correspondance préserve les isomorphismes
de sorte que l'on peut supposer $k$ algébriquement clos. Faisons dorénavant
cette hypothèse.
(i)⇒(v) : puisque $A$ est isomorphe à $k^n$, où $n=[A:k]$, la trace induit un isomorphisme
(cf. aussi \ref{trace-produit}). (v)⇒(i), puisque
la trace d'un endomorphisme nilpotent est nulle, on a
l'inclusion $\Nilp(A)⊆\Ker(A→A^\vee)$ de sorte que $A$ est réduite si
$A→A^{\vee}$ est un isomorphisme.
(vi) ⇔ (i) : mis pour mémoire (cf. \ref{sorites-pot-diagonalisable}).
\end{démo}

\begin{remarque2}
À titre d'illustration de l'intérêt d'un tel théorème,
signalons le fait suivant — qui sera généralisé en \ref{k(sep)=sep} —, qui n'est 
pas évident à partir de la définition d'un élément séparable : 
\begin{quote}
Soit $K\bo k$ une extension et soit $x∈K$ un élément algébrique, séparable sur $k$.
Alors l'\emph{extension} $k(x)$ est séparable : tout élément $y∈k(x)$ — c'est-à-dire
tout polynôme en $x$ à coefficients dans $k$ — est racine d'un polynôme séparable
à coefficients dans $k$.
\end{quote}
En effet, par définition, la $k$-algèbre $k(x)≅k_{μ_{x,k}}$ est géométriquement
réduite, de sorte que d'après (ii)⇒(iv), tout élément de $k(x)$ est 
séparable sur $k$. (Le point clef est qu'une sous-$k$-algèbre
d'une $k$-algèbre géométriquement réduite est géométriquement 
réduite.)
\end{remarque2}

\begin{proposition2}\label{etale stable par sous-quotient etc.}
La propriété pour une $k$-algèbre sur un corps 
d'être étale est transitive et stable par quotient, 
sous-algèbre, produit tensoriel et extension des scalaires.
\end{proposition2}

On dit parfois que la propriété d'être une algèbre étale
est stable par « passage au \emph{sous-quotient} ». Cette expression,
bien commode, signifie que l'énoncé est vrai si l'on remplace 
« sous-quotient » par « sous-objet » ou « quotient ».

\begin{démo}
Transitivité : si $k$ un corps, $K\bo k$ une extension étale et $A\bo K$ une
algèbre étale, il résulte de \ref{composes-nets} et du théorème précédent
(critère (iii)) que $A\bo k$ est étale.

Stabilité par :
\begin{enumerate}
\item quotient : si une $B$ est un quotient
d'une $k$-algèbre $A$, le morphisme induit $A_Ω → B_Ω$ 
est également surjectif, comme il résulte immédiatement
de la définition \ref{définition restreinte produit tensoriel}.
La stabilité résulte de \ref{quotient diagonalisable}
et du critère (i) du théorème ci-dessus.
\item extension des scalaires : cf. \ref{cb-nets} et critère (iii).
\item sous-objet : cf. \ref{sous algebre geometriquement reduite} et
critère (ii) ou bien \ref{sous-quotient-diag=diag} (ii) et critère (i).
\item produit tensoriel : si $A$ et $B$ sont deux $k$-algèbres,
la $Ω$-algèbre $(A⊗_k B)⊗_k Ω$ est isomorphe à $A_Ω⊗_Ω B_Ω$.
(Ceci peut se voir par exemple sur les constantes de structure
de ces algèbres, relativement aux bases introduites
en \ref{constantes structure produit tensoriel} et
\ref{changement de base k-algèbre}, ou bien comme un cas
particulier de la distributivité du produit tensoriel,
cf. \refext{Tens}{distributivite-produit-tensoriel}).
On peut donc appliquer \ref{pdt tens diag=diag} et le critère (i)
du théorème précédent.
\end{enumerate}
\end{démo}

Enfin, par passage à la limite, la proposition précédente
a des conséquences en terme d'extensions algébriques (non
nécessairement finies) séparables.

\subsection{Sorites sur les extensions algébriques séparables}

\begin{proposition2}\label{sous-extension-etale}
Soient $k'\bo k$ et $k''\bo k'$ des extensions telles que
$k''\bo k$ soit algébrique séparable.
Alors $k''\bo k'$ et $k'\bo k$ sont algébriques séparables.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le fait que $k'\bo k$ soit séparable est trivial : tout élément
de $k'$ appartient à $k''$ donc est séparable sur $k$.
Soit $x∈k''$. Il est séparable sur $k$ donc sur $k'$
car si le polynôme minimal $μ_{x,k}$ de $x$ sur $k$ est sans facteur carré, le polynôme
$μ_{x,k'}$ — qui le divise — est également sans facteur carré.
\end{démo}

Réciproquement.

\begin{proposition2}
Si $k'\bo k$ et $k'' \bo k'$ sont deux extensions algébriques séparables.
l'extension $k''\bo k$ est également algébrique séparable.
\end{proposition2}

\begin{démo}
D'après \ref{algébrique sur algébrique=algébrique}, l'extension $k''\bo k$ est
algébrique. Il s'agit de vérifier que tout $x''∈k''$ est séparable sur $k$.
Soit $k'₀$ le sous-corps de $k ″$ engendrée sur $k ′$ par les coefficients
du polynôme séparable $f=μ_{x'',k'}∈k'[X]$.
Le polynôme $f$ est séparable de sorte que le corps $k'₀(x'')$,
isomorphe à ${k'₀}_{f}$, est étale sur $k'₀$.
D'autre part, $k'₀\bo k$ est également étale car elle est finie
et séparable d'après la proposition précédente. (Toute sous-extension d'une extension séparable
est séparable). D'après la proposition \ref{etale stable par sous-quotient etc.},
$k'₀(x'')\bo k$ est étale. En particulier, $x''$ est séparable sur $k$.
\end{démo}

À titre de curiosité, le lecteur pourra essayer de donner
une démonstration de ce fait directement à partir
de la définition \ref{element-extension-separable}.

Une extension composée étant un quotient du produit tensoriel,
la proposition \ref{etale stable par sous-quotient etc.}
a pour corollaire, dans le cas étale, le résultat suivant.

\begin{corollaire2}\label{compose-etale}
Soient $K₁\bo k$ et $K₂\bo k$ deux extensions étales (resp.
algébriques séparables).
Toute extension composée $K₁K₂\bo k$ est étale (resp. algébrique séparable). 
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Le cas algébrique séparable (non nécessairement fini)
résulte du cas général en observant que $K₁K₂$ est la réunion
des sous-corps $k₁k₂⊂K₁K₂$ où $k₁$ (resp. $k₂$) parcourt l'ensemble
des sous-$k$-extensions finies de $K₁$ (cf. \ref{extension-composee=colimite}).
\end{démo}

\begin{corollaire2}\label{k(sep)=sep}
Soit $K\bo k$ une extension engendrée par des éléments algébriques séparables sur
$k$. Alors $K\bo k$ est algébrique séparable sur $k$ : tout élément $x$ de $K$
est séparable sur $k$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
On peut supposer $K=k(y₁,…,y_n)$ où les éléments $y_i$ sont algébriques
séparables sur $k$. L'extension $K\bo k$ est alors une extension composée
de ses sous-$k$-extensions monogènes étales $k(y_i)$. 
La conclusion découle d'une récurrence immédiate s'appuyant sur le corollaire
précédent.
\end{démo}

Dans le langage des corps de décomposition, cela se traduit ainsi :

\begin{corollaire2}\label{dec-poly-sep=sep}
Soient $k$ un corps et $(f_i)_{i∈I}$ une famille de polynômes séparables.
Alors $\dec_k\big((f_i)_{i∈I})\big)\bo k$ est algébrique séparable.
\end{corollaire2}

Signalons la réciproque partielle :

\begin{lemme2}\label{dec(f)-sep=>f-red-separable}
Soient $k$ un corps et $f∈k[X]$ un polynôme sans facteur carré.
Si $\dec(f)\bo k$ est séparable, le polynôme $f$ est séparable.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Il faut montrer que chaque facteur irréductible $g$ de $f$ est séparable.
Comme $\dec(f)\bo k$ contient un corps de décomposition de $g$
et qu'une sous-extension d'une extension séparable est séparable,
on peut supposer $f$ irréductible.
La $k$-algèbre $k_f=k[X]/f$ est alors un corps, $k$-isomorphe à
un sous-corps de $\dec(f)$ (de façon non unique). Il en résulte que $k_f\bo k$
est étale (\ref{etale stable par sous-quotient etc.}) donc potentiellement diagonalisable.
Par définition (\ref{pot-diag-reduit}), $f$ est donc séparable.
\end{démo}

\subsection{Clôture séparable}

\begin{proposition2}\label{extension-algebrique-separable-maximale}
Soit $K\bo k$ une extension algébrique de corps.  L'ensemble $K_0$ des
éléments de $K$ séparables sur $k$ est une extension algébrique
séparable de $k$ : c'est la plus grande extension séparable de $k$
contenue dans $K$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soient $x,y∈K$ séparables sur $k$. L'extension composée $k(x,y)$ de
$k(x)$ et $k(y)$ dans $K$ est algébrique séparable sur $k$ d'après
\ref{compose-etale} de sorte que $x+y$, $xy$, et $x^{-1}$ si $x≠0$,
sont également séparables sur $k$. L'ensemble $K_0$ est donc un corps,
contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$, et toute extension
algébrique séparable de $k$ contenue dans $K$ est par définition
contenue dans $K_0$, de sorte que c'est bien la plus grande.
\end{proof}

\begin{définition2}
Un corps $K$ est dit \emph{séparablement clos} 
si toute extension étale de $K$ est triviale.
\end{définition2}

De façon équivalente, cela revient à supposer que tout polynôme 
\emph{séparable} à coefficient dans $K$ est scindé.

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps et $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
L'ensemble $Ω₀$ des éléments de $Ω$ séparables sur $k$ est 
un corps séparablement clos. De plus, c'est le seul 
sous-corps séparablement clos de $Ω$ contenant $k$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
D'après \ref{extension-algebrique-separable-maximale}, on sait que
$Ω₀$ est un corps contenant $k$ et algébrique séparable sur $k$.
Si $z∈Ω$ est séparable sur $Ω₀$, il est séparable sur une sous-$k$-extension
\emph{étale} $k'$ de $Ω₀$, par exemple le corps
engendré sur $k$ par les coefficients du polynôme
$μ_{z,Ω₀}$. Les extensions $k'\bo k$ et $k'(z)\bo k'$
étant étales, il en est de même de l'extension
$k'(z)\bo k$ (\ref{etale stable par sous-quotient etc.}, transitivité).
Ainsi, $z∈k'(z)$ est séparable sur $k$ donc $z∈Ω₀$.
Ceci achève la démonstration du premier point.
Enfin, si $Ω₀'$ est un sous-corps séparablement clos
de $Ω$ contenant $k$, il contient tous les éléments séparables
sur $k$, donc $Ω₀$. L'extension $Ω₀'\bo Ω₀$ étant algébrique
séparable (\ref{sous-extension-etale}), 
on a donc $Ω₀'=Ω₀$. 
\end{démo}

\begin{definition2}
On appelle \emph{clôture séparable} d'un corps $k$
toute extension algébrique séparable $K\bo k$ 
telle que $K$ soit séparablement clos.
\end{definition2}

\begin{corollaire2}
Tout corps a une clôture séparable. Deux clôtures
séparables d'un corps $k$ sont $k$-isomorphes.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Existence. Elle résulte de la proposition précédente
et du théorème de Steinitz.
Unicité. Soient $K$ et $K'$ deux clôtures 
séparables d'un corps $k$. Si $Ω$ est une clôture
algébrique de $k$, il existe des $k$-plongements
$u$ et $v$ de $K$ et $K'$ dans $Ω$ car ces extensions
sont algébriques (lemme de prolongement
des plongements, \ref{plongement-dans-cloture-algebrique}). 
D'autre part, leurs images dans $Ω$ sont séparablement closes et contiennent $k$ :
elles coïncident donc avec l'unique clôture séparable
$Ω₀$ de $k$ dans $Ω$. L'existence de $k$-isomorphismes
$u:K ⥲  Ω₀$ et $v:K' ⥲ Ω₀$ permet de conclure.
\end{démo}

\begin{remarque2}
On aurait également pu observer qu'une clôture séparable
est un corps de décomposition de l'ensemble
des polynômes séparables — ce qui démontre
l'existence d'une clôture séparable —
et utiliser l'unicité à $k$-isomorphisme
près de tels corps de décomposition 
(\ref{unicite-extension-decomposition}).
\end{remarque2}

\begin{convention2}
Étant donné un corps $k$, nous noterons
parfois $k\alg$ une clôture algébrique
et $k\sep$ une clôture séparable.
Cette notation, quoique commode, tend à faire
oublier qu'un \emph{choix} qui a été fait.
Pour cette raison, nous noterons aussi souvent
$Ω$ l'un ou l'autre de tels sur-corps, en précisant
à chaque fois l'hypothèse faite sur $Ω$.
\end{convention2}

\subsection{Corps parfait}

\begin{définition2}\label{corps-parfait}
Un corps $k$ est dit \emph{parfait} si toute extension
finie de $k$ est étale.
\end{définition2}

Comme on l'a vu, cela revient à supposer que tout polynôme
irréductible de $k[X]$ est séparable.

On rappelle que l'\emph{exposant caractéristique} d'un corps $k$
est l'entier supérieur ou égal à un, valant $1$ si $\car k= 0$
et $\car k$ sinon.

\begin{proposition2}\label{sorite-parfait}
Soit $k$ un corps d'exposant caractéristique $p$. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $k$ est parfait ;
\item $k=k^p$.
\end{enumerate}
En particulier, les corps de caractéristique nulle et les corps finis
sont parfaits.
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i)⇒(ii). On peut supposer $p>1$, c'est-à-dire $k$ de caractéristique non nulle
sans quoi il n'y a rien à démontrer. Supposons par l'absurde qu'il existe un élément $a∈k-k^p$.
Le polynôme $f=X^p-a$ est alors irréductible sur $k$ :
si $Ω$ est une clôture algébrique de $k$ et $α$ une racine $p$-ième de $a$ dans $Ω$,
on a $f=(X-α)^p$ dans $Ω[X]$. Ses diviseurs unitaires dans $k[X]$ sont donc de la forme
$(X-α)^i$ pour un entier $i$ convenable. Le coefficient sous-dominant,
c'est-à-dire le coefficient de $X^{i-1}$, d'un tel polynôme est égal à $-iα$,
qui n'appartient à $k$ que pour $i=0$ et $i=p$. Ce démontre que $f$ est
irréductible. D'autre part, puisque $f'=0$, $f$ n'est pas séparable et
le corps $k_f=k[α]$ n'est pas étale sur $k$. Contradiction.
(ii)⇒(i). On a déjà vu en \ref{separable-irreductible} que
tout polynôme irréductible est séparable lorsque $k$ est de caractéristique
nulle, c'est-à-dire lorsque $p=1$. Supposons donc $p>1$ premier, c'est-à-dire
$k$ de caractéristique strictement positive.
La condition $k=k^p$ entraîne l'égalité $k[X^p]=(k[X])^p$
de sorte que la condition $f∉k[X^p]$ de \ref{separable-irreductible}
est satisfaite pour tout polynôme irréductible de $k[X]$.

Il résulte du critère (ii) que tout corps fini est parfait : le morphisme
de Frobenius $x\mapsto x^p$ d'un corps de caractéristique $p$ étant injectif,
il est bijectif si ce corps est fini.
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{caractérisation extension radicielle}
Soient $k$ un corps d'exposant caractéristique $p$ et $K\bo k$
une extension algébrique. Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item toute sous-extension séparable $k'\bo k$ de $K\bo k$ est triviale.
\item pour tout $x∈K$, il existe un entier $e≥1$ tel que $x^{p^e}∈k$.
\item pour toute clôture algébrique $Ω$ de $k$, l'ensemble $\Hom_k(K,Ω)$
est un singleton.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

On dit alors que l'extension $K \bo k$ est \emph{radicielle}\index{radicielle}
ou bien \emph{purement inséparable}. Ces extensions seront étudiées plus en
détail dans le chapitre \refext{RT}{}.

Lorsque $K\bo k$ est finie, la condition (iii) signifie que
le degré séparable $[K:k]_s$ est égal à un.

\begin{démo}
Nous avons vu ci-dessus qu'en caractéristique nulle toute extension
algébrique est séparable. La proposition est donc triviale dans ce cas.
Supposons donc $k$ de caractéristique non nulle, c'est-à-dire $p=\car k>1$.

(i) ⇒ (ii). Soit $x$ un élément de $K$ et soit $μ$ son polynôme minimal
sur $k$. Il existe un plus grand entier $e ≥ 0$ tel que $μ$ appartienne
à $k[X^{p^e}]$. En d'autres termes, $μ=f(X^{p^e})$ où $f$ n'appartient
pas à $k[X^p]$. Le polynôme $μ$ étant irréductible, il en est de même de $f$.
D'après \ref{separable-irreductible}, le polynôme $f$ est même séparable.
L'élément $x^{p^e}$ de $K$, en étant une racine, est donc séparable sur $k$.
L'hypothèse montre que $x^{p^e}$ appartient alors à $k$. CQFD.

(ii) ⇒ (i). Soit $x ∈ K$ un élément séparable sur $k$. On souhaite montrer qu'il
appartient à $k$. Par hypothèse, il existe un entier $e$
tel que $x^{p^e}$ appartienne à $k$ ou, de façon équivalente,
le polynôme $f_e=X^{p^e}-x^{p^e}$ appartienne à $k$. Le polynôme minimal
$μ$ de $x$ sur $k$ divise donc le polynôme $f_e$. La décomposition $f_e=(X-x)^{p^e}$ dans
$K[X]$ montre que $μ$ est une puissance $X-x$ appartenant à $k[X]$. En
conséquence, le polynôme $μ$ n'est à racines simples dans $K$ — condition qui est nécessaire
à sa séparabilité — que s'il est égal à $X-x$, c'est-à-dire si $x$ appartient
à $k$. CQFD.
(ii) ⇒ (iii). On sait qu'il existe au moins un $k$-morphisme de $K$ dans $Ω$.
Montrons qu'il est unique. Soit $x$ un élément de $K$ et soit $ι:K ↪ Ω$ un $k$-plongement.
L'image de $x$ par $ι$ est l'unique racine $p^e$-ième de l'élément $x^{p^e}$
de $k$ dans $Ω$. L'unicité en résulte.
(iii) ⇒ (i). Supposons par l'absurde qu'il existe une sous-extension étale $k ′\bo k$ de $K\bo k$
et fixons une clôture algébrique $Ω$ de $k$. L'égalité entre le cardinal
de $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ et la dimension $[k ′ : k]$ montre
que l'ensemble $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$ n'est pas réduit à un
singleton. D'après le lemme de prolongement des plongements,
l'application de restriction $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω) → \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k ′,Ω)$
est surjective. En particulier $\Hom_{k\traitdunion\Alg}(K,Ω)$ n'est pas un
singleton. Contradiction.
\end{démo}

\begin{proposition2}\label{extension-finie-parfait}
Soit $k$ un corps parfait. Toute extension finie de $k$ est
un corps parfait.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cela résulte immédiatement de \ref{sous-extension-etale}.
(Voir \refext{RT}{invariance-p-rang} pour 
une généralisation de cet énoncé.)
\end{démo}

\begin{remarque2}
Dans un chapitre ultérieur, nous verrons que tout corps est contenu
dans un corps parfait algébrique sur $k$ minimal 
pour cette propriété et que deux tels corps sont $k$-isomorphes
(existence et unicité de la « clôture parfaite »).
\end{remarque2}

\commentaire{Dire qu'une extension algébrique est toujours une extension
radicielle d'une extension étale mais que la réciproque est fausse.}

\section{Le théorème de l'élément primitif}

\subsection{Un résultat de finitude}

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre étale. L'ensemble
des sous-$k$-algèbres de $A$ est \emph{fini}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Il résulte du lemme ci-dessous, appliqué à une clôture algébrique
$Ω$ de $k$, que si $B$ et $B'$ sont deux sous-$k$-algèbres
de $A$ dont les images respectives $B_Ω$ et $B'_Ω$ dans $A_Ω$ coïncident, alors $B=B'$.
(Rappelons que les applications $B_Ω→A_Ω$ et $B'_Ω→A_Ω$ sont injectives, cf.
\ref{changement de base k-algèbre}.)
On peut alors utiliser \ref{sous-quotient-diag=diag} (ii).
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soient $V$ un $k$-espace vectoriel et $K\bo k$ une extension.
Pour tout sous-$k$-espace vectoriel $W$ de $V$, l'inclusion
\emph{a priori} $W⊆W_K∩(V⊗1)$ dans $V_K$ est une égalité.
\end{lemme2}

Il est d'usage de noter $V$ plutôt que $V⊗1$ l'image de $V$
dans $V_K=V⊗_k K$ par l'application $k$-linéaire $v↦v⊗1$.

\begin{démo}
Soient $(e_i)_{i∈I}$ une $k$-base de $V$ telle que $(e_j)_{j∈J}$,
où $J$ est une partie de $I$, soit une $k$-base de $W$.
Notons $e'_i=e_i⊗1$ la $K$-base de $V$ qui s'en déduit
(\ref{changement de base k-algèbre}).
Tout élément $w'$ de $W_K$ s'écrit de façon unique
comme une combinaison linéaire $∑_{j∈J} λ'_j e'_j$, où les $λ'_j$ appartiennent à $k'$,
et tout élément $v$ de $V⊗1$ s'écrit de façon unique
comme une combinaison linéaire $∑_{i∈I} λ_i e'_i$, où les $λ_i$ appartiennent à $k$.
Si $w'=v$, il résulte du fait que $(e'_i)_i$ soit une $k'$-base
que :

(1) $λ_i=0$ pour $i∉I$

(2) $λ'_j=λ_i∈k$ pour $j∈J$.

En d'autres termes, $w'$ appartient à $W$. CQFD.
\end{démo}

%\begin{facultatif}
\begin{remarque2}On peut obtenir une seconde
démonstration de l'implication « $B_Ω=B'_Ω$ entraîne $B=B'$ »
utilisée ci-dessus de la façon suivante.
Quitte à considérer la sous-$k$-algèbre de $A$ engendrée par $B$ et $B'$,
on peut supposer que l'on a une inclusion $B⊆B'$. (On suppose
bien entendu également que l'on a l'égalité $B_Ω=B'_Ω$.) Il résulte
immédiatement de la définition donnée en \ref{section définition restreinte
produit tensoriel} que le $Ω$-espace vectoriel quotient $B'_Ω/B_Ω$
est isomorphe au produit tensoriel $(B'/B)⊗_k Ω$ (voir aussi \refext{Tens}{suite exacte}).
Il est donc nul si et seulement si $B'/B$ l'est, c'est-à-dire si $B=B'$.
\end{remarque2}
%\end{facultatif}

En particulier, si $K\bo k$ est une étale,
elle n'a qu'un nombre fini de sous-extensions.

\subsection{Énoncé et démonstration du théorème}

\begin{theoreme2}\label{element-primitif}
Soit $K\bo k$ une extension de corps. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item le corps $K$ est une $k$-algèbre monogène ;
\item il n'existe qu'un nombre fini de sous-extensions de $K\bo k$.
\end{enumerate}
Ces conditions sont satisfaites si $K\bo k$ est étale, donc en particulier si $K\bo k$
est finie et $k$ parfait.
\end{theoreme2}

Remarquons que dans l'énoncé ne suppose pas l'extension $K\bo k$ finie \emph{a priori}.
Cependant, si $K$ est monogène sur $k$, c'est-à-dire $K=k[x]$ pour un $x∈K$,
$x$ est nécessairement algébrique sur $k$ car dans le cas contraire $K$ serait
isomorphe à l'anneau de polynômes $k[X]$ qui n'est pas un corps.

\begin{démo}
(ii) entraîne (i).
Remarquons que l'extension $K\bo k$ est nécessairement algébrique : si $t$ était
un élément transcendant sur $k$, c'est-à-dire non algébrique sur $k$,
les sous-extensions $k(t^n)$, $n∈𝐍$ seraient toutes distinctes.

Si $k$ est infini, l'ensemble \emph{fini} des sous-$k$-extensions strictes
de $K$ ne recouvre pas $K$, d'après un lemme général
d'algèbre linéaire : un espace vectoriel sur un corps infini
n'est pas réunion finie de sous-espaces vectoriels stricts (cf. p. ex. \ref{} \XXX). 
Il existe donc un élément $x$ de $K$ n'appartenant
à aucune sous-$k$-extension stricte : on a donc $k[x]=K$.

Si $k$ est fini, $K$ est également fini sans quoi on pourrait produire une suite 
strictement croissante de sous-extensions. Dans ce cas, $K^×$ est
cyclique (\refext{Fin}{cyclicite-groupe-multiplicatif-corps}) ce qui 
force $K$ à être monogène sur le corps premier donc \emph{a fortiori} sur $k$.

(i) entraîne (ii)
Soit $x∈K$ tel que $k(x)=K$ et notons $f$ son polynôme minimal sur $k$.
Considérons une sous-$k$-extension $k'$ de $K$. On a donc l'égalité $k'(x)=K$.
Notons $g=μ_{x,k'}$ le polynôme minimal de $x$ sur $k'$ ;
c'est un diviseur de $f$ dans $k'[X]$ donc dans $K[X]$.
Soit $c$ le sous-corps engendré par les coefficients de $g$ ; il
est contenu dans $k'$. Comme $g(x)=0$ et
$K=c[x]$, on a l'inégalité $[K:c]≤\deg g$. Comme d'autre part
on a l'égalité $[K:k']=\deg g$, on a nécessairement $k'=c$. En particulier,
le corps $k ′$ est caractérisé par le polynôme $g$ : c'est le corps
engendré sur $k$ par ses coefficients. Les polynômes unitaires
diviseurs de $f∈K[X]$ étant en nombre fini, le résultat en découle.
\end{démo}

\begin{remarques2}
Dans l'esprit de ce chapitre, il est tentant d'essayer de donner une
démonstration du théorème par « extension des scalaires », c'est-à-dire par tensorisation avec une
clôture algébrique de $k$.
On observera cependant que la $k$-algèbre \emph{monogène} $k[X]/X^4$ possède
de nombreuses sous-$k$-algèbres ; par exemple les $k+k(X²+α X³)$ pour
$α∈k$.

Enfin, si $p$ est un nombre premier, on vérifie dans difficulté
que l'extension $\FF_p(X^{\frac{1}{p}},Y^{\frac{1}{p}})$ de $\FF_p(X,Y)$
n'est pas monogène : elle est de degré $p²$ (exercice)
mais pour tout élément $f∈\FF_p(X^{\frac{1}{p}},Y^{\frac{1}{p}})$, $f^p∈\FF_p(X,Y)$
de sorte que toute sous-extension monogène est de degré divisant $p$.
\end{remarques2}

\begin{remarque2}\label{element-primitif-corps-infini}
Si $k$ est infini, on peut être plus précis dans la démonstration
de (ii)⇒(i) : si $K=k(x,y)$ est une extension algébrique de $k$ satisfaisant
à l'hypothèse (ii) ci-dessus, il existe deux scalaires $λ≠μ$ dans $k$ tels que l'on ait l'égalité
des sous-corps $k(x+λ y)$ et $k(x+μ y)$. Notons $k ′ $ ce corps. Par
construction l'élément $(λ-μ)y$ ainsi donc que $y$ et
$x$, que l'on peut écrire sous la forme $(x+λ y)-λ y$.
Ainsi on a l'égalité $k'=K$ et $K$ est monogène.
Par récurrence on en tire que si $k$ est infini, et que
$x₀,\dots,x_n$ engendrent une extension $K$ \emph{étale} sur $k$,
il existe des éléments $α₁,\cdots,α_n∈ k$ tels que $K=k(x₀+α₁ x₁+\cdots+α_n x_n)$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}Seconde démonstration du théorème par la méthode de Kronecker
dans le cas d'un corps infini. (Zariski-Samuel, vol. I, p. 84). [peut-être intéressant d'un point
de vue algorithmique] \XXX

\section{Notes}
Si l'usage systématique du produit tensoriel dans l'étude des extensions de corps
s'est avéré extrêmement fécond depuis le début du XXe siècle, seuls Bourbaki []
et Douady-Douady [] l'exposent dans un ouvrage didactique. S'il est vrai
que cette approche suppose du lecteur un plus grand effort initial, elle est
d'une grande souplesse et s'avère être un guide utile pour l'étude générale
des anneaux commutatifs. Depuis Alexandre Grothendieck, la propriété « $A\bo k$ est
étale » est vue comme un analogue algébrique de la propriété
topologique d'être un \emph{revêtement} :
dans un cas une algèbre $A$ contenant $k$ devient, en tensorisant avec $Ω$, une somme directe
de copies de $Ω$ ; dans l'autre, un espace topologique $X$ au-dessus de $Y$ 
devient, en se restreignant à un ouvert $V$ de $Y$ suffisamment petit,
une union disjointe de copies de $V$. 

C'est dans le cadre des \emph{topos} que Grothendieck,
élargissant considérablement la notion de topologie, fait 
de cette analogie formelle les deux facettes d'un procédé
général dit de \emph{localisation}. 

%Géo diff aussi (jacobienne etc.) : cf. (f,f')

\section{Exercices}

\subsection{\XXX}

\begin{exercice2}[\cite{Isomorphism@Poonen}]
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $3$ classes d'isomorphisme
de $𝐑$-algèbres de rang $2$.
\item Montrer qu'il existe $5$ classes d'isomorphisme
de $𝐑$-algèbres de rang $2$
\item Montrer qu'il existe exactement deux classes d'isomorphisme de $𝐂$-algèbres de
dimension trois et exactement quatre classes d'isomorphisme en
dimension quatre.
\end{enumerate}
\end{exercice2}

% esquisse solution en rang $3$ sur $𝐑$.
%Comme une telle algèbre·$A$ est un produit d'algèbres locales,
%OPS·$A$ locale. Si le corps résiduel est·$𝐂$, $A=𝐂$ car
%elle contient un sous-corps isomorphe à son corps résiduel
%(Bourbaki, AC·Ⅸ). Si le corps résiduel est·$𝐑$ et·$𝔪$ est l'idéal
%maximal (supposé non nul sans quoi $A=𝐑$),
%on a soit $\dim(A)=2$ soit $\dim(A)=3$. 
%Le premier cas est trivial·: $A=𝐑[X]/(X²)$ (par
%exemple parce que·$A$ est monogène). Dans le second
%cas on a $𝔪 ∕ 𝔪²$ de dimension·$2$ ou·$1$. Dans le premier
%cas, $𝔪²=0$ et si $x,y$ engendrent·$𝔪$ modulo·$𝔪²$,
%on a $A=𝐑 ⊕ 𝐑x ⊕ 𝐑y$ avec $xy=x²=y²=0$ d'où 
%$A=𝐑[X,Y]/(X,Y)²$. Dans le second cas, si·$x$
%engendre·$𝔪$ modulo $𝔪²$, tout·$y$ est de
%la forme $a + bx + (𝔪²)$ et finalement
%$A=𝐑 ⊕ 𝐑x ⊕ 𝐑x²$ d'où $A=𝐑[X]/(X³)$.
%Les cinq classes d'isomorphisme
%sont donc
%\[𝐑³,𝐑[X]/X² × 𝐑, 𝐑× 𝐂, 𝐑[X]/X³, 𝐑[X,Y]/(X,Y)².\]

\begin{exercice2}
Soient $k$ un corps \emph{infini} et $n≥7$ un entier. Il existe une
infinité de classes d'isomorphismes de $k$-algèbres de dimension $n$.
\end{exercice2}

\begin{démo}
Cf. Poonen \XXX
\end{démo}

\begin{exercice2}%\label{structure-algebres-finies}
Soit $k$ un corps. Dans cet exercice, on démontre
sans faire appel à la notion d'anneau connexe que
toute $k$-algèbre finie est un produit fini de $k$-algèbres \emph{locales},
dont l'idéal maximal est nilpotent. Soit $A$ une $k$-algèbre finie.
\begin{enumerate}
\item Soient $𝔪₁,\dots,𝔪_n$ les idéaux maximaux de $A$.
Montrer que le nilradical $\Nilp(A)=𝔪₁∩\dots∩𝔪_n$ de $A$
coïncide avec l'idéal produit $𝔪₁\cdots 𝔪_n$.
\item Montrer qu'il existe $N ∈ 𝐍$ tel que $𝔪₁^N\cdots 𝔪_n^N=0$.
\item En déduire que le morphisme canonique $A→∏_i A/𝔪_i^N$ est un isomorphisme.
\item Vérifier que chaque anneau $A/𝔪_i^N$ est local.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice2}

\begin{exercice2}\label{algebres finies via idempotents}
Soit $A$ une $k$-algèbre finie \emph{réduite}.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'application qui à un idempotent indécomposable
(\refext{Spec}{idempotent indécomposable}) $e$ de $A$
associe l'idéal annulateur $𝔭_e=\Ann(e)$ induit une bijection
entre l'ensemble des idempotents indécomposables et $\Spec(A)$.
(On rappelle que $\Ann(e)=\Ker([×e]:A→A)$.)
\item Montrer que le morphisme canonique $κ(𝔭_e)=A/𝔭_e→Ae$,
$a \mod{} 𝔭_e ↦ ae$, est un isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{exercice2}

\begin{exercice2}
Montrer que si $λ$ est une matrice $n×n$ et
$μ$ une matrice $m×m$, $\det(λ⊗μ)=\det(λ)^m\det(μ)^n$.
\end{exercice2}

\begin{exercice2}\label{utilisation matrices compagnons}
Donner une démonstration de \ref{entiers sur corps=sous-corps}
inspirée des calculs de \ref{exemple somme algébriques=algébrique}.
On pourra introduire les matrices compagnons de polynômes minimaux
adéquats.
\end{exercice2}

\begin{exercice2}
Soit $P(X)=X^3-X-1\in \QQ[X]$. 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P$ est irréductible sur $𝐐$.
\item Soit $L=\QQ[X]/(P)$ l'extension de degré $3$ de $𝐐$ correspondante.
Montrer que si $x$ désigne la classe de $X$ dans $L$, on a l'égalité $𝐐(x)=𝐐(x²)$
dans $L$ et exprimer $x$ comme un polynôme en $x²$.
\item Montrer que $P$ possède une unique racine réelle,
qui est un \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
\footnote{On appelle \emph{nombre de Pisot-Vijayaraghavan} \index{nombre de Pisot-Vijayaraghavan}
toute racine réelle positive d'un polynôme unitaire à coefficients entiers
dont les autres racines sont des nombres complexes de module
strictement inférieur à un. On peut montrer (cf. \cite{Pisot@Siegel}) que la racine réelle
\[
\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+
\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}≃1,324717957244746025960
\]
(cf. \refext{Calculs}{} pour la formule) du polynôme $X³-X-1$ est le plus petit
nombre de Pisot.}.
\end{enumerate}
\end{exercice2}

\begin{exercice2}
Soit $K\bo k$ une extension de corps. Montrer que
l'anneau $K⊗_k K$ est un corps si et seulement si $k=K$.
\end{exercice2}

\begin{exercice2}\label{non unicite composition}
Soient $k$ un corps et $K=k[X]/f(X)$ où $f$ est un polynôme
irréductible. À quelle condition sur $f$
les extensions composées de $K$ avec lui-même sont-elles
toutes $k$-isomorphes ?
(On verra plus tard une caractérisation des extensions finies $K\bo k$
pour lesquelles toute $k$-extension composée de $K$ par $K$ est 
$k$-isomorphe à $K$ (cf. \refext{CG}{caracterisation-extension-normale},
(v)).)
\end{exercice2}

\begin{exercice2}
Soit $f$ comme ci-dessus et soit $K$ un corps de décomposition sur $k$. La relation
de divisibilité $[K:k]|n!$ est-elle satisfaite ? 
\end{exercice2}

\begin{exercice2}%Difficile à ce niveau là.
Soit $K$ une extension algébrique de $k$ telle que
tout polynôme non constant de $k$ ait au moins une racine dans $K$. Montrer que $K$
est algébriquement clos. (En d'autres termes, $K$ est une clôture algébrique de
$k$.)
% OPS $k$ parfait. Soit $f$ polynôme à coefficients dans $k$, $R$ ses racines
% dans une clôture algébrique $Ω$ contenant $K$. Il existe $α$ tel que
% $k(R)=k(α)$. Par hypothèse, $K$ contient un élément $β$ conjugué à $α$.
% Pour un tel $β$, on a $k(β)=k(α)=k(R)$, donc $k(R)⊂K$.
\end{exercice2}

\begin{exercice2}[Théorème de d'Alembert-Gauß]
\begin{enumerate}
\item Soient $f∈𝐂[X]$ un polynôme non constant tel que $f(0)=1$.
Montrer qu'il existe des nombres complexes $z$ arbitrairement proches de $0$
tels que $|f(z)|<1$.
\item Montrer que $|f(z)|→+∞$ quand $|z|→+∞$.
\item En déduire que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet
un zéro. (On pourra commencer par montrer que $\min_{z∈𝐂}\,|f(z)|$ existe puis qu'il est 
nul.)
\end{enumerate}
\end{exercice2}

\begin{exercice2}
Soit $k$ un corps et soit $Ω$ une clôture algébrique de $k$.
À quelle condition a-t-on l'égalité $\Aut_k(Ω)=\{1\}$ ?
% Essayer de deviner que les extensions doivent être radicielles.
\end{exercice2}

\begin{exercice2}[Analogue algébrique de la notion d'immersion]
\begin{enumerate}
\item Soient $k$ un \emph{anneau} et $A$ une $k$-algèbre. Montrer que
$A\bo k$ est formellement net si et seulement si pour toute $k$-algèbre $T$, tout idéal de carré nul $I$
de $T$ et tout $k$-morphisme $A→T₀=T/I$, il existe au plus un $k$-relèvement
$A→T$.

\item Soient $k$ un anneau et $f∈k[X₁,\dots,X_n]$. Posons
$k_f=k[X₁,\dots,X_n]/f$.
Montrer que le carré

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[auto]
\matrix(diag)[matrix of math nodes,column sep=4em,row sep=5ex]{
\overline{φ} & φ \\
\Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k)& \Hom_{k\traitdunion\Alg}(k_f,k[ε])\\
\{x=(x₁,\dots,x_n)∈k^n:f(x)=0\} & \{(x,v)∈k^n×k^n:f(x+vε)=f(x)+⟨v,∇_x f⟩=0\}\\
x & (x,v)
 \\};
\draw[<-|] (diag-1-1) --  (diag-1-2);
\draw[<-] (diag-2-1) --  (diag-2-2);
\draw[->] (diag-2-1) -- node{∼} (diag-3-1);
\draw[->] (diag-2-2) -- node{∼} (diag-3-2);
\draw[<-] (diag-3-1) --  (diag-3-2);
\draw[<-|] (diag-4-1) --  (diag-4-2);
%\draw[draw=none] (elem-2-1) to node [isin] {$\in$} (diag-2-1);
\end{tikzpicture}
\end{center}
où $∇_x f={\frac{∂}{∂_{X₁}}f}_{x}+\cdots+{\frac{∂}{∂_{X_n}}f}_{x}$, est commutatif.
\item En déduire que si $k_f$ est formellement nette
sur $k$, alors $n=1$ et pour tout $x∈k$ tel que $f(x)=0$, 
nécessairement $f'(x)∈k^×$.
\end{enumerate}
\end{exercice2}

\begin{exercice2}
Soient $k$ un anneau, $A$ une $k$-algèbre, et $M$ un $A$-module.
Posons $M[ε]=A⊕M$, muni de la structure de $k$-algèbre 
suivante : $(a⊕m)(a'⊕m')=aa'⊕(am'+a'm)$, et $λ(a⊕m)=λa⊕λm$.
L'unité de $M[ε]$ est $1_A⊕0_M$. On a un morphisme
naturel, dit d'\emph{augmentation}, $M[ε]→A$
de sorte que $M[ε]$ est une $k$-algèbre au-dessus de $A$.
\begin{enumerate}
\item Définir la notion de morphisme entre $k$-algèbres augmentées
vers $A$, noté $\Hom_{k\traitdunion\Alg \bo A}(A,M[ε])$.
\item Construire un isomorphisme $k$-linéaire
$\Der_k(A,M) ⥲ \Hom_{k-\mathtextrm{alg}\bo A}(A,M[ε])$.
\end{enumerate}
\end{exercice2}





\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../biblio/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../biblio/style-bib-livre}
Git: \showgitstatus
\end{document}
\else
\endgroup
\fi