\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
\input{../configuration/commun}
\input{../configuration/smf}
\input{../configuration/adresse}
\input{../configuration/gadgets}
\input{../configuration/francais}
\input{../configuration/numerotation}
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
%\usepackage{makeidx}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
\usepackage{srcltx} % pour passer du dvi au tex en cliquant
%\usepackage{pxfonts}
\synctex=1
\textwidth13cm % pour pouvoir lire le nom des étiquettes si \usepackage{showkeys}
\externaldocument{extensions-algebriques} % là où regarder
\externaldocument{categories}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{KAS}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{spectre}
%\makeindex
\title{Formes tordues}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Formes tordues}
\fi
\section{Formes et cohomologie galoisienne, généralités}\label{formes}
Références : \cite{CG@Serre}, chap. I, §§2,5 et chap. III,
§1 ainsi que \cite{CL@Serre}, chap. X et \cite[§§18,28]{Involutions@KMRT}.
\subsection{Correspondance de Galois-Grothendieck}
Soit $K\bo k$ une extension galoisienne finie de groupe $Π$.
Dans ce paragraphe nous allons énoncer et démontrer
une généralisation de la correspondance de Galois
finie (\refext{CG}{correspondance Galois finie}),
sous la forme d'une description des $k$-\emph{algèbres}
étales trivialisée par $K\bo k$ (\refext{Alg}{algèbre
trivialisée}). En quittant le cadre quelque peu étriqué des corps pour celui des algèbres,
il nous faut passer du monde des groupes à celui des \emph{ensembles} avec action d'un groupe.
\subsubsection{}
\label{notations Galois-Grothendieck}
Rappelons que si $A$ est une $k$-algèbre, on note $π₀(A_K)$
l'ensemble des composantes connexes de la $K$-algèbre
$A_K=A ⊗_k K$. Tout automorphisme $σ ∈ Π$ induit
un $k$-automorphisme $A_σ:A_K → A_K$, $a ⊗ λ ↦ a ⊗ σ(λ)$, qui induit
à son tour une bijection $π₀(A_σ): π₀(A_K) → π₀(A_K)$
(\refext{Spec}{fonctorialité pi0}) que nous noterons également $π₀(σ)$.
Par contravariante du foncteur $π₀$, on a la formule : $π₀(σ τ)=π₀(τ) π₀(σ)$.
Ainsi, le groupe de Galois $Π=\Gal(K\bo k)$ agit-il naturellement à
droite sur l'ensemble $π₀(A_K)$ ; il agit à gauche
par $σ ↦ π₀(σ^{-1}) ∈ 𝔖(π₀(A_K))$. Si l'algèbre $A$ est finie sur $k$,
l'ensemble $π₀(A_K)$ est fini (\refext{Alg}{k-algebres-finies} (i)).
\subsubsection{}
Considérons maintenant un $Π$-ensemble à gauche $X$, fini.
La $k$-algèbre $K^X$ est étale, trivialisée par $K \bo k$.
Il en est donc de même de sa sous-algèbre $k_X
| 