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\title{Notions sur les groupes de permutations}
 
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\chapter{Notions sur les groupes de permutations}
\fi


\section{Étude des sous-groupes primitifs de $\mathfrak{S}_n$}

\subsection{Généralités}

\begin{definition2}
On appelle \emph{groupe de permutations} sur $n$ objets (ou \emph{de
  degré $n$}) un sous-groupe du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ sur
$n$ objets, considéré à conjugaison près dans $\mathfrak{S}_n$.  De
façon équivalente, un groupe de permutations sur $n$ objets est un
groupe muni d'une action fidèle sur un ensemble de $n$ objets
(généralement identifiés à $\{1,\ldots,n\}$), la notion d'isomorphisme
considéré étant celle des ensembles munis d'une action de groupe.
\end{definition2}

\begin{definition2}\label{definitions-groupes-de-permutations}
Un groupe de permutation $G$ de degré $n$ est dit :
\begin{itemize}
\item\emph{transitif} lorsque l'action sur les $n$ objets est
  transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
  existe $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$) ;
\item\emph{régulier} lorsque les $n$ objets forment un espace
  principal homogène, c'est-à-dire lorsque l'action est simplement
  transitive (c'est-à-dire que si $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ alors il
  existe un unique $\sigma \in G$ tel que $\sigma(i)=j$, ou de façon
  équivalente, lorsque $G$ est transitif et que le stabilisateur d'un
  point est trivial) ;
\item\emph{primitif} lorsque $G$ est transitif et que les seules
  partitions $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservées par $G$ (au
  sens que si $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma \in G$ alors
  $\sigma(B) \in \mathscr{B}$) sont $\mathscr{B} = \{\{1,\ldots,n\}\}$
  et $\mathscr{B} = \{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ ;
\item\emph{$k$-transitif} (pour $1 \leq k \leq n$) lorsque l'action
  sur les $k$-uplets d'éléments deux-à-deux distincts de
  $\{1,\ldots,n\}$ est transitive, autrement dit si $(i_1,\ldots,i_k)$
  sont deux-à-deux distincts et $(j_1,\ldots,j_k)$ de même, alors il
  existe $\sigma\in G$ tel que $j_t = \sigma(i_t)$ pour tout $t$.
\end{itemize}
Une partition $\mathscr{B}$ de $\{1,\ldots,n\}$ préservée par $G$
(dans le sens précisé après la définition de « primitif » ci-dessus)
s'appelle un \emph{système de blocs} pour $G$, et il est dit trivial
lorsque $\mathscr{B}$ est $ \{\{1,\ldots,n\}\}$ ou
$\{\{1\},\ldots,\{n\}\}$ : ainsi, un groupe de permutations transitif
est dit primitif lorsqu'il n'admet pas de système de blocs
non-trivial.
\end{definition2}

Toutes ces définitions sont faites pour un groupe de permutations,
mais on se permettra, bien sûr, de les appliquer à une action de
groupe (au moins une action fidèle, et parfois même quand elle ne
l'est pas) pour dire que le groupe de permutations que cette action
définit a la propriété correspondante : par exemple, on dit qu'un
groupe $G$ opère primitivement sur un ensemble fini $X$ lorsque le
sous-groupe de $\mathfrak{S}(X)$ image de $G$ par l'action en question
est primitif, autrement dit lorsque $X$ n'admet pas de système de
blocs non-trivial pour cette action.

\begin{remarques2}\label{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}
\begin{itemize}
\item Un groupe de permutations $k$-transitif est $\ell$-transitif
  pour tout $\ell\leq k$ (et « transitif » signifie
  « $1$-transitif »).
\item Un groupe de permutations ne préservant aucune partition de
  $\{1,\ldots,n\}$ est nécessairement transitif, donc primitif (car la
  décomposition en orbites forme un système de blocs, qui n'est
  trivial que pour une action transitive ou bien une action triviale),
  à la seule exception de l'action triviale sur $n=2$ éléments, qui ne
  préserve aucune partition non triviale mais n'est néanmoins pas
  primitive par convention.
\item Les blocs (c'est-à-dire les éléments de $\mathscr{B}$) d'un
  système de blocs pour un groupe de permutations $G$ forment
  eux-mêmes un $G$-ensemble sous l'action de $G$ (en définissant pour
  $B \in \mathscr{B}$ et $\sigma\in G$ l'action $\sigma B$ comme
  l'image $\sigma(B)$ de $B$ par $\sigma$).  Lorsque $G$ opère
  transitivement sur les objets, il opère aussi transitivement sur les
  blocs, qui sont donc tous de même cardinal.
\item Si $n$ est premier, tout groupe de permutations transitif de
  degré $n$ est primitif (puisqu'on vient d'expliquer que les blocs
  d'un système de blocs sont tous de même cardinal).  C'est-à-dire
  que, dans ce cas, « transitif » et « primitif » sont équivalents.
\item On rappelle que si $G$ est un groupe de permutations transitif,
  alors les stabilisateurs des éléments de $\{1,\ldots,n\}$ sont
  conjugués dans $G$.  Si $U$ est le stabilisateur d'un point $i$,
  alors le $G$-ensemble $\{1,\ldots,n\}$ est isomorphe au $G$-ensemble
  $G/U$ des classes à gauche de $U$ dans $G$ (sur lequel $G$ opère par
  multiplication à gauche), en particulier $U$ est d'indice $n$
  dans $G$.  Par ailleurs, $G$ est $k$-transitif (pour $k\geq 2$)
  lorsque $U$ est $(k-1)$-transitif sur les $n-1$ points restants
  $\{1,\ldots,n\}\setminus\{i\}$.
\item En particulier, dire qu'un groupe de permutations $G$ est
  régulier signifie que l'action de $G$ sur les objets est isomorphe à
  l'action de $G$ sur lui-même par multiplication à gauche.  En
  particulier, dans ce cas, le degré $n$ (le nombre d'objets) est égal
  à l'ordre $\#G$ du groupe.
\end{itemize}
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
Un groupe de permutations $2$-transitif est primitif.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Supposons par l'absurde qu'il existe un système de blocs $\mathscr{B}$
non-trivial pour $G$.  Alors il existe dans $\mathscr{B}$ deux blocs
$B,B' \in \mathscr{B}$ distincts, et les blocs (qui ont tous le même
cardinal) ne peuvent pas être des singletons donc il existe $x,x''\in
B$.  Si $x' \in B'$, l'action de $G$ ne peut pas envoyer le couple
$(x,x'')$ sur $(x,x')$ (car $x,x''$ appartiennent au même bloc $B$, ce
qui n'est pas le cas de $x,x'$).
\end{proof}

\begin{exemples2}\label{exemples-groupes-de-permutations}
\begin{itemize}
\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$
  tout entier est un groupe de permutations de degré $n$ : il est
  $n$-transitif (et c'est manifestement le seul groupe de permutations
  $n$-transitif de degré $n$) et, en particulier, primitif.  Il n'est
  pas régulier (dès que $n \geq 3$).
\item Pour chaque $n\geq 1$, le groupe alterné $\mathfrak{A}_n$ est un
  groupe de permutations de degré $n$ : il est $(n-2)$-transitif
  si $n\geq 3$ et, en particulier, primitif si $n\geq 4$.  Il n'est
  pas régulier (dès que $n \geq 4$).
\item L'action à gauche d'un groupe fini $G$ sur lui-même définit un
  groupe de permutations régulier (de degré $\#G$, donc).  Dès que $G$
  admet un sous-groupe $U$ non-trivial (autrement dit, dès que $G$
  n'est pas cyclique d'ordre premier), le système de blocs
  $\mathscr{B} = \{gU : g\in G\}$ montre que ce groupe de permutations
  n'est pas primitif (et réciproquement, si $G$ est cyclique d'ordre
  premier, il est clair que l'action régulière est primitive).
\item Si $U$ est un sous-groupe d'un groupe fini $G$, l'ensemble des
  classes à gauche de $U$ dans $G$, sous l'action de $G$ par
  multiplication à gauche, définit un groupe de permutations transitif
  dont le degré est l'indice de $U$ dans $G$, dès lors que le cœur
  normal de $U$, c'est-à-dire l'intersection $N = \bigcap_{\sigma\in
    G} \sigma U \sigma^{-1}$ des conjugués de $U$, est trivial
  (lorsque ce n'est pas le cas, $N$ est le noyau de l'action sur les
  clases à gauche, et alors $G/N$ sera un groupe de permutations
  transitif en opérant sur les classes à gauche de $U/N$).  Autrement
  dit, la donnée d'un groupe de permutations transitif équivaut à
  celle de la donnée d'un groupe fini $G$ et d'une classe de
  conjugaison de sous-groupes ne contenant aucun sous-groupe
  distingué de $G$.
\item Si $\FF$ est un corps fini, l'action du groupe $\PGL_2(\FF)$ sur
  $\PP^1(\FF)$ est $3$-transitive (et, en particulier, primitive), car
  trois points distincts quelconques de $\PP^1(\FF)$ peuvent être
  envoyés sur $0,\infty,1$ par l'action d'un élément de $\PGL_2(\FF)$
  (qui est alors uniquement déterminé).  Par ailleurs, pour tout $n
  \geq 2$, l'action de $\PGL_n(\FF)$ sur $\PP^{n-1}(\FF)$ est
  $2$-transitive (car deux points distincts quelconques de
  $\PP^{n-1}(\FF)$ peuvent être complétés en une base projective de ce
  dernier, et $\PGL_n(\FF)$ opère de façon simplement transitive sur
  ces dernières). \XXX donner une référence pour les définitions.
\end{itemize}
\end{exemples2}

\begin{definition2}
Si $\mathscr{B}$ est un système de blocs pour un groupe de
permutations transitif $G$, l'action de $G$ sur $\mathscr{B}$ donnée
par $\sigma B = \sigma(B)$
(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations}) est appelée
l'\emph{action sur les blocs}, le noyau $N = \bigcap_{\sigma\in G}
\sigma U \sigma^{-1}$, où $U = \Stab_G(B)$ est le stabilisateur d'un
bloc quelconque, est appelé le \emph{groupe de base} de $G$ pour le
système de blocs $\mathscr{B}$, et si $N = \{1\}$, on dit que le
groupe de permutations $G$ est une \emph{inflation} du groupe de
permutations (isomorphe à $G$ comme groupe abstrait) défini par
l'action sur les blocs (l'hypothèse $N=\{1\}$ signifiant justement que
cette action est fidèle).
\end{definition2}

\begin{proposition2}
Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $U$ le stabilisateur
d'un point.  Si $V$ est un sous-groupe quelconque de $U$, alors
l'action de $G$ par multiplication à gauche sur les classes à gauche
de $V$ est fidèle et transitive, et admet le système de blocs
$\mathscr{B} = \{\{guV : u\in U\} : g\in G\}$ ; le groupe de
permutations ainsi défini est une inflation de $G$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Le fait que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ soit
transitive est trivial, et le fait qu'elle soit fidèle résulte du fait
qu'elle l'est déjà pour $U$ (on a $\bigcap_{\sigma\in G} \sigma V
\sigma^{-1} \subseteq \bigcap_{\sigma\in G} \sigma U \sigma^{-1}$).
Si les ensembles $\{guV : u\in U\}$ et $\{g'uV : u\in U\}$
s'intersectent, alors $guV = g'u'V$ pour certains $u,u'\in U$, auquel
cas $gU = g'U$, et réciproquement lorsque $gU = g'U$ alors $\{guV :
u\in U\} = \{g'uV : u\in U\}$ : l'ensemble $\mathscr{B}$ forme donc
bien une partition de $G/V$, qui est visiblement un système de blocs,
et le stabilisateur du bloc $\{uV : u\in U\}$ est $U$, ce qui montre
tout ce qui était annoncé.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
Soit $G$ un groupe de permutations transitif et $V$ le stabilisateur
d'un point.  Alors $G$ est primitif si et seulement si $V$ est un
sous-groupe maximal de $G$ (c'est-à-dire, qu'il n'existe pas de
sous-groupe strictement compris entre $V$ et $G$ pour l'inclusion).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour simplifier les notations, on peut supposer qu'on a affaire à
l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$.  Si $V$ n'est pas
maximal et si $U$ est un sous-groupe strictement compris entre $V$
et $G$, alors $\mathscr{B} = \{\{guV : u \in U\} : g\in G\}$ définit
un système de blocs non-trivial (cf. la proposition précédente) qui
montre que l'action de $G$ sur les classes à gauche de $V$ n'est pas
primitive.  Réciproquement, si $V$ est maximal et si $\mathscr{B}$ est
un système de blocs, en appelant $U$ le stabilisateur du bloc
contenant $V$, le sous-groupe $U$ contient $V$, donc doit être égal
soit à $G$ soit à $V$, ce qui montre que le système de blocs est
trivial (dans le premier cas $\#\mathscr{B} = 1$ et dans le second le
bloc contenant $V$ ne contient que $V$).
\end{proof}

\begin{remarques2}
Le groupe de Galois $\Gal(f)$ d'un polynôme séparable irréductible $f$
(sur un corps $K$) opère transitivement sur les racines de $f$
(\refext{CG}{action transitive de Galois si poly irréductible}), donc
définit un groupe de permutations transitif de degré $\deg f$.

Dans cette situation, la
proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}
montre que $\Gal(f)$ est primitif (comme groupe de permutation des
racines de $f$) si et seulement si l'extension de rupture $K(x) \bo K$
définie par une racine $x$ quelconque de $f$ ne contient aucun corps
intermédiaire entre $K$ et $K(x)$ (puisque la correspondance de Galois
fait correspondre ce corps $K(x)$ au stabilisateur d'un point
dans $\Gal(f)$).  Dans le cas contraire, si $E$ est un corps
intermédiaire entre $K$ et $K(x)$, le système de blocs défini par $E$
est tel que le bloc contenant $x$ est $\{\sigma(x) : \sigma \in
\Gal(\dec(f)/E)\}$.
\end{remarques2}

\begin{proposition2}\label{critere-primitivite-par-connexite}
Soit $G$ un groupe de permutations transitif de degré $n$ et $X$
l'ensemble des $n$ objets sur lesquels il opère.  Alors $G$ est
primitif si et seulement si pour chaque orbite $R$ de $G$ agissant sur
l'ensemble $\mathscr{P}_2(X)$ des parties à deux éléments de $X$, le
graphe $(X,R)$ (dont l'ensemble des sommets est $X$, deux sommets
$x,y$ étant adjacents lorsque $\{x,y\} \in R$) est connexe.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $R$ est une orbite de $\mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$,
considérons l'ensemble $\mathscr{B}$ des composantes connexes de $X$.
Tout élément $\sigma \in G$ définit un automorphisme du graphe $(X,R)$
(c'est-à-dire une permutation de $X$ préservant la relation
d'adjacence) puisque si $\{x,y\} \in R$ on a $\{\sigma(x),\sigma(y)\}
\in R$ vu que $R$ est une orbite : par conséquent, l'image par
$\sigma$ d'une composante connexe de $(X,R)$ est encore une composante
connexe de $(X,R)$ : ceci montre que $\mathscr{B}$ est un système de
blocs pour $G$ (opérant sur $X$).  Comme $R$ contient au moins une
paire $\{x,y\}$, les blocs ne sont pas des singletons : ainsi, si
$(X,R)$ a au moins deux composantes connexes, $G$ admet un système de
blocs non trivial, et n'est donc pas primitif.

Réciproquement, supposons maintenant qu'il existe un système de blocs
$\mathscr{B}$ non trivial pour $G$.  Soient $x,y \in X$ appartenant à
un même bloc $B$ pour $\mathscr{B}$, et soit $R$ l'orbite de $\{x,y\}
\in \mathscr{P}_2(X)$ sous l'action de $G$.  Alors $R$ ne contient
aucune paire $\{x,z\}$ avec $x\in B$ et $z\not\in B$ : c'est-à-dire
que dans le graphe $(X,R)$, les sommets appartenant à $B$ ne sont
jamais reliés aux autres sommets (et il en existe, vu que $B$ n'est
pas le seul bloc) : ce graphe n'est donc pas trivial.
\end{proof}

Ce critère de primitivité est pratique car il s'avère souvent plus
simple à appliquer que la définition ou la
proposition \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}.

\begin{exemple2}
Le groupe $\mathfrak{S}_m$ opère primitivement sur les parties à $k$
éléments de $\{1,\ldots,m\}$, sauf si $m=2k$ auquel cas il admet le
système de blocs non trivial formé de toutes les façons de
partitionner $m$ éléments en deux ensembles de $k$, mais il opère
primitivement sur ces objets (blocs).

En revanche, l'action de $\mathfrak{S}_m$ sur les $k$-uplets
d'éléments distincts de $\{1,\ldots,m\}$, bien que transitive, n'est
pas primitive : elle admet pour système de blocs non trivial la
partition de $\{1,\ldots,m\}^k$ définie par la relation d'équivalence
qui identifie deux $k$-uplets lorsque les ensembles à $k$ éléments
qu'ils définissent sont les mêmes.  (Cette action de $\mathfrak{S}_m$
est donc une inflation de son action sur les parties à $k$ éléments.)
\end{exemple2}
\begin{proof}
Si $x,y,x',y'$ sont des parties à $k$ éléments de $\{1,\ldots,m\}$, la
condition pour qu'il existe $\sigma\in\mathfrak{S}_m$ tel que
$\sigma(x)=x'$ et $\sigma(y)=y'$ est simplement que $\#(x\cap y) =
\#(x'\cap y')$ (condition évidemment nécessaire, et suffisante car
lorsque c'est le cas on peut choisir arbitrairement l'image des
éléments de $x\cap y$, de $x\setminus y$, de $y\setminus x$ et de
$\{1,\ldots,m\}\setminus(x\cup y)$ pour construire $\sigma$).  Ainsi,
les différents graphes considérés dans la
proposition \ref{critere-primitivite-par-connexite} sont les graphes
sur l'ensemble $\mathscr{P}_k(\{1,\ldots,m\})$ des parties à $k$
éléments de $\{1,\ldots,m\}$ dans lesquels on a relié deux parties
lorsque leur intersection est de cardinal $\ell$ (un paramètre du
graphe, prenant les valeurs entre $0$ et $k-1$ incluses).  On veut
donc prouver que pour $k<\frac{1}{2}m$ (le cas $k>\frac{1}{2}m$ s'en
déduisant par passage au complémentaire des parties considérées), ce
graphe est connexe.

Si $x \subset \{1,\ldots,m\}$ est une partie à $k$ éléments, et $i \in
x$ et $j \not\in x$, on montre que $x$ est reliée à $x' := (x\setminus
\{i\}) \cup \{j\}$ : en effet, en choisissant $\ell$ des $k-1$
éléments de $x\setminus\{i\}$ et en les complétant arbitrairement avec
$k-\ell$ éléments de l'ensemble $\{1,\ldots,m\} \setminus
(x\cup\{j\})$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car $m-2k-1
\geq 0$, on obtient une partie $y$ de $\{1,\ldots,m\}$ qui est
d'intersection $\ell$ avec $x$ aussi bien qu'avec $x'$, ce qui montre
que $x$ et $x'$ sont reliés dans le graphe considéré.  Il est alors
évident qu'en remplaçant un par un tous les éléments de $x$ souhaités
par d'autres, on peut relier deux parties quelconques.

Pour $m=2k$, un raisonnement analogue amène à considérer les graphes
dont les sommets sont l'ensemble des manières de partitionner
$\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de cardinal $k$, deux telles
partitions $\{u,\hat u\}$ et $\{v,\hat v\}$ étant reliées par une
arête lorsque $\#(u\cap v) \in \{\ell,k-\ell\}$ (où $\ell$ est, de
nouveau, un paramètre du graphe, prenant les valeurs entre $1$ et
$k-1$ incluses).  Si $\{u,\hat u\}$ est une telle partition et $i \in
u$ et $j \in \hat u$, on veut montrer que $\{u,\hat u\}$ est relié à
$\{u',\hat u'\}$ où $u' = (u\setminus\{i\})\cup\{j\}$ et $\hat u' =
(\hat u\setminus\{j\})\cup\{i\}$ est son complémentaire ; en
choisissant $\ell$ des $k-1$ éléments de $u\setminus\{i\}$ et en les
complétant arbitrairement avec $k-\ell$ éléments de l'ensemble $\hat
u\setminus\{j\}$ (de cardinal $m-k-1$), ce qui est possible car
$m-2k+\ell-1 = \ell-1 \geq 0$, on obtient une partie $v$ de
$\{1,\ldots,m\}$ qui est d'intersection $\ell$ avec $u$ aussi bien
qu'avec $u'$, ce qui montre que $\{u,\hat u\}$ et $\{u',\hat u'\}$
sont reliés dans le graphe considéré, et de nouveau il est alors clair
que le graphe est connexe.
\end{proof}

\begin{remarques2}
Ceci signifie (compte tenu
de \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal})
que pour tout $k$, le stabilisateur d'une partie à $k$ éléments de
$\{1,\ldots,m\}$ est un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_m$, sauf
lorsque $k = \frac{1}{2}m$ auquel cas il faut le remplacer par le
stabilisateur d'une partition de $\{1,\ldots,m\}$ en deux parties de
$k$ éléments.  Il faut se garder de croire qu'on a ainsi construit
tous les sous-groupes maximaux de $\mathfrak{S}_m$ (autres que
$\mathfrak{A}_m$) : par exemple, pour $m=5$, les sous-groupes maximaux
de $\mathfrak{S}_5$ sont, outre $\mathfrak{A}_5$, le stabilisateur
d'un point (définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$
naturelle sur cinq objets) et celui d'une partie à deux éléments
(définissant l'action primitive de $\mathfrak{S}_5$ les parties à deux
éléments des cinq objets naturels), mais aussi les conjugués du
sous-groupe à $20$ éléments donné par toutes les applications affines
$t \mapsto at+b$ (pour $a \in (\ZZ/5\ZZ)^\times$ et $b \in \ZZ/5\ZZ$)
de $\{1,\ldots,5\}$ vu comme $\ZZ/5\ZZ$ --- ceci définissant l'action
de $\mathfrak{S}_5$ sur les $6$ façons de considérer $\{1,\ldots,5\}$
comme une droite affine sur $\FF_5$.
\end{remarques2}

\subsection{Groupes de permutations primitifs}

Dans cette section, $G$ désignera généralement un groupe de
permutations primitif (cf. \ref{definitions-groupes-de-permutations}),
et $U$ le stabilisateur d'un point
(d'après \ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal},
il s'agit donc d'un sous-groupe maximal de $G$ ne contenant aucun
sous-groupe distingué de $G$).

Commençons par éclaircir certaines propriétés générales des groupes de
permutations :

\begin{proposition2}\label{sous-groupe-distingue-d-un-primitif-est-transitif}
Si $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, alors $N$ est transitif
(comme groupe de permutations), et $NU = G$ où on a noté $U$ le
stabilisateur d'un point dans $G$ (et $NU = \{nu : n \in N, u\in
U\}$).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Notons $U$ le stabilisateur d'un point dans $G$ : comme $G$ est
primitif, il s'agit d'un sous-groupe maximal.

Il s'agit de montrer que pour tout $g$, la classe à gauche $gU$ peut
aussi s'écrire $nU$ avec $n \in N$.  Remarquons que $NU = UN$ (en
effet, si $n \in N$ et $u \in U$ alors $un \in uN = Nu$ peut aussi
s'écrire $un'$ pour un certain $n'\in N$, ce qui montre $NU = UN$), et
ceci est donc un sous-groupe de $G$ (le sous-groupe engendré par $U$
et $N$).  Par maximalité de $U$, on a donc soit $NU \leq U$ soit $NU =
G$.  Le premier cas signifie $N \leq U$, ce qui ne peut pas se
produire car $U$ ne contient aucun sous-groupe distingué (puisqu'il
s'agit du stabilisateur d'un point dans une action fidèle).  Le second
cas permet d'écrire tout $g \in G$ comme $g = nu$ avec $n \in N$ et
$u \in U$, auquel cas $gU = nuU = nU$, comme on le voulait.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
Soit $G$ est un groupe de permutations primitif et $N \unlhd G$ un
sous-groupe distingué autre que $\{1\}$ : alors son centralisateur
$C_G(N) := \{g\in G : (\forall n\in N) gng^{-1} = n\}$ vérifie soit
$C_G(N) = \{1\}$ soit $C_G(N)$ est régulier (comme groupe de
permutations).

En particulier, $\#C_G(N)$ est égal au nombre de points sur lesquels
$G$ opère (c'est-à-dire $(G:U)$ si $U$ est le stabilisateur d'un
point).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Le sous-groupe $C_G(N)$ est lui-même distingué.  Supposons
$C_G(N) \neq \{1\}$.  Alors la proposition précédente montre que $N$
et $C_G(N)$ sont transitifs.  L'ensemble des points fixes d'un élément
de $C_G(N)$ est stable par $N$ : mais comme $N$ est transitif, ceci ne
peut se produire que si cet ensemble est vide ou plein.  On a donc
prouvé que $C_G(N)$ opère transitivement et sans point fixe
non-trivial, c'est-à-dire qu'il est régulier.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif}
Soit $G$ un groupe de permutations primitif, et soient $N_1,N_2 \unlhd
G$ deux sous-groupes distingués de $G$ autres que $\{1\}$ tels que
tout élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$ (soit
$N_2 \leq C_G(N_1)$).  Alors $N_2$ est exactement le centralisateur
$C_G(N_1)$ de $N_1$ (et vice versa).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Les deux propositions précédentes montrent que $N_2$ est transitif et
que $C_G(N_1)$ est régulier.  Mais $N_2 \leq C_G(N_1)$, et le seul
d'un groupe de permutations régulier qui soit transitif est le groupe
tout entier, donc $N_2 = C_G(N_1)$.
\end{proof}

Pour aller plus loin dans l'analyse, on va examiner certaines des
propriétés des sous-groupes distingués minimaux d'un groupe fini $G$ :
autrement dit, les sous-groupes distingués autres que $\{1\}$ et qui
ne contiennent pas d'autre sous-groupe distingué (du groupe $G$ tout
entier) que $\{1\}$ et eux-mêmes.  Dans les quelques énoncés suivants,
$G$ n'est plus nécessairement un groupe de permutations.

\begin{proposition2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent}
Soit $G$ un groupe fini et $N_1$ et $N_2$ deux sous-groupes distingués
minimaux distincts de $G$.  Alors $N_1 \cap N_2 = \{1\}$ et tout
élément de $N_1$ commute avec tout élément de $N_2$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Le sous-groupe $N_1 \cap N_2$ est distingué dans $G$, et par
minimalité de $N_1$ ou de $N_2$ il doit donc être égal à $\{1\}$.
Mais tout commutateur $n_1 n_2 n_1^{-1} n_2^{-1}$ d'un élément $n_1$
de $N_1$ et d'un élément $n_2$ de $N_2$ appartient à $N_1 \cap N_2$,
donc vaut $1$, ce qu'on voulait prouver.
\end{proof}

En particulier, dans le contexte de cette proposition, on a $N_1 N_2 =
N_1 \times N_2$.  Plus généralement :

\begin{lemme2}\label{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct}
Soient $N_1,\ldots,N_\ell$ des sous-groupes distingués minimaux d'un
groupe fini $G$.  Alors il existe
$i_1,\ldots,i_r \in \{1,\ldots,\ell\}$ (et on peut choisir $i_1$
arbitrairement et $i_2$ arbitrairement dès que $N_{i_2} \neq N_{i_1}$)
tels que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct dans $G$
(c'est-à-dire que le groupe qu'ils engendrent soit le produit direct)
et que chacun des $N_i$ soit inclus dans ce produit direct.
\end{lemme2}
\begin{proof}
On construit par récurrence une suite $i_1, i_2, \ldots, i_r$, de
sorte que $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$ soient en produit direct de la
façon suivante.  On peut choisir $i_1$ arbitrairement, et $i_2$ de
sorte que $N_{i_1}$ et $N_{i_2}$ soient distincts.

Supposant les $n_j$ pour $j<t$ déjà connus, s'il existe $i$ tel que
$N_i$ ne soit pas contenu dans $N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ (qui est
un produit direct), on définit $i_t$ comme ce $i$, sinon on arrête la
récurrence.  Comme tout élément de $N_{i_t}$ commute à tous les
éléments de $N_{i_j}$ pour $j<i$ (d'après la proposition précédente),
il commute à tous les éléments du produit $N_{i_1} \cdots
N_{i_{t-1}}$ ; comme de plus $N_{i_t}$ n'est pas inclus dans
$N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}}$ et qu'il est minimal, on a $N_{i_i} \cap
N_{i_1} \cdots N_{i_{t-1}} = \{1\}$ (car c'est un sous-groupe
distingué de $G$ strictement inclus dans $N_{i_t}$).  Donc
$N_{i_1} \cdots N_{i_t}$ sont encore en produit direct, ce qui
justifie de continuer la récurrence.

Une fois construits $N_{i_1},\ldots,N_{i_r}$, on voit que leur produit
(qui est direct par la récurrence faite) contient chacun des $N_i$,
sans quoi on aurait continué la récurrence.
\end{proof}

On rappelle qu'un sous-groupe $K$ d'un groupe $G$ est
dit \emph{caractéristique} lorsque $K$ est laissé stable par tout
automorphisme de $G$ (en particulier, $K$ est laissé stable par les
automorphismes intérieurs, c'est-à-dire qu'il est distingué dans $G$).

\begin{proposition2}\label{caracteristique-dans-normal-est-normal}
Si $K$ est un sous-groupe caractéristique de $N$ qui est lui-même un
sous-groupe distingué d'un groupe $G$, alors $K$ est un sous-groupe
distingué de $G$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Pour tout $g \in G$, l'automorphisme intérieur $x \mapsto gxg^{-1}$
défini par $g$ laisse $N$ stable, donc définit un automorphisme
de $N$, qui n'est plus nécessairement intérieur mais qui doit
néanmoins laisser $K$ stable, c'est-à-dire $gKg^{-1} = K$, ce qui
montre que $K \unlhd G$.
\end{proof}

On dit qu'un groupe $G$ est \emph{caractéristiquement simple} lorsque
tout sous-groupe caractéristique de $G$ est égal à $\{1\}$ ou $G$.

\begin{proposition2}\label{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
Si $G$ est un groupe fini caractéristiquement simple, alors $G$ est
isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe simple $H$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $H$ un sous-groupe distingué minimal de $G$.  Pour tout
automorphisme $\varphi$ de $H$, le sous-groupe $\varphi(H)$ est lui
aussi distingué minimal.  Appliquant le
lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct} à
l'ensemble de tous les $\varphi(H)$ pour $\varphi$ un automorphisme
de $G$, on en déduit qu'il existe $\varphi_1,\ldots,\varphi_r$ de tels
automorphismes (et on peut prendre $\varphi_1 = \Id_G$, ce qu'on fera)
de sorte que $\varphi_1(H),\ldots,\varphi_r(H)$ soient en produit
direct et que ce produit direct contienne $\varphi(H)$ pour tout
automorphisme $\varphi$ de $G$.  Par conséquent, ce produit est stable
par tout automorphisme de $G$, et comme $G$ a été supposé
caractéristiquement simple, on a $\varphi_1(H)\cdots\varphi_r(H) = G$,
c'est-à-dire $G \cong H^r$.

Enfin, $H$ est simple : en effet, si $N$ en est un sous-groupe
distingué, $N$ est encore un sous-groupe distingué de $H^r \cong G$,
et par minimalité de $H$, on a $N=\{1\}$ ou $N=H$.
\end{proof}

\begin{corollaire2}\label{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}
Si $N$ est un sous-groupe distingué minimal d'un groupe fini $G$,
alors $N$ est isomorphe à un produit $H^r$ de copies d'un groupe
simple $H$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
La proposition \ref{caracteristique-dans-normal-est-normal} montre que
$N$ est caractéristiquement simple, et la
proposition \ref{structure-groupes-caracteristiquement-simples}
s'applique alors.
\end{proof}

\begin{definition2}
Le \emph{socle} d'un groupe fini $G$ est le produit de ses
sous-groupes distingués minimaux (il est évidemment distingué
dans $G$ ; d'après le
lemme \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-sont-en-produit-direct},
il s'agit du produit direct de certains d'entre eux ; et d'après la
proposition \ref{structure-sous-groupes-distingues-minimaux}, il
s'agit d'un produit direct de sous-groupes simples de $G$).
\end{definition2}

En revenant au cas d'un groupe de permutations primitif, on peut
affirmer :
\begin{proposition2}\label{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}
Soit $G \neq \{1\}$ un groupe de permutations primitif.  Alors soit
$G$ a un unique sous-groupe distingué minimal (qui est alors le socle
de $G$), soit $G$ a exactement deux sous-groupes distingués minimaux,
chacun égal au centralisateur de l'autre, et ils sont isomorphes et
non-abéliens (et le socle de $G$ est alors leur produit direct).
\end{proposition2}
\begin{proof}
D'après la
proposition \ref{sous-groupes-distingues-minimaux-commutent} et la
proposition \ref{sous-groupes-distingues-commutant-dans-un-groupe-primitif},
si $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts $N_1,N_2$,
chacun est le centralisateur de l'autre, et il y en a donc exactement
deux.  Comme ces sous-groupes ne contiennent pas leur centralisateur,
ils ne sont pas abéliens.

Reste à montrer que $N_1 \cong N_2$.  On sait
d'après \ref{centralisateur-d-un-sous-groupe-distingue-dans-un-groupe-primitif}
que $N_1,N_2$ sont tous deux réguliers.  On définit alors un morphisme
$\varphi\colon N_1 \to N_2$ de la façon suivante : une fois fixé
arbitrairement un point $x_0$ (de l'ensemble sur lequel $G$ opère
naturellement), si $n_1 \in N_1$, comme $N_2$ est régulier, il existe
un unique $n_2 \in N_2$ tel que $n_2 x_0 = n_1 x_0$, et on pose
$\varphi(n_1) = n_2$.  Il est facile de vérifier que $\varphi$ est
bien un morphisme, et même un isomorphisme.
\end{proof}

\subsection{Construction de quelques actions primitives}

Nous allons définir et décrire quelques actions de groupes importantes
qui, dans certains cas, seront primitives, et qui constitueront les
classes énumérées par le théorème de O'Nan-Scott.

\subsubsection{Groupes de permutations de type affine}\label{groupe-de-permutations-type-affine} Soit $V
= \FF_p^d$ un espace vectoriel de dimension finie $d\geq 1$ sur un
corps fini premier $\mathbb{F}_p$, et notons $\AGL(V) = \AGL_d(\FF_p)$
le groupe affine $V$, c'est-à-dire le produit semi-direct
$V \rtimes \GL(V)$ du groupe linéaire $\GL(V) = \GL_d(\FF_p)$ de cet
espace vectoriel par $V$ lui-même vu comme groupe des translations (et
sur lequel $\GL(V)$ opère naturellement).  Plus généralement, si
$G_0 \leq \GL(V)$ est un sous-groupe quelconque de $\GL(V)$
(c'est-à-dire un groupe opérant linéairement sur $V$), on peut
construire le produit semi-direct $G = V \rtimes G_0$, et tout
sous-groupe $G$ tel que $V \leq G \leq \AGL(V)$ peut s'écrire sous
cette forme avec $G_0$ le stabilisateur de $0 \in V$.  Un groupe de
permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
un tel $G$ opérant sur $V$ s'appelle \emph{groupe de permutations de
type affine}.  Le groupe $G$ (opérant sur $V$) est toujours transitif,
et il est primitif précisément lorsque $V$ est irréductible sous
l'action de $G_0$, c'est-à-dire lorsque $V$ ne possède pas de
sous-espace stable par $G_0$ autre que $\{0\}$ et $V$ (en effet, si
$G$ admet un système de blocs, le bloc contenant $0$ est un
sous-espace vectoriel de $V$ puisque toute translation doit l'envoyer
sur un autre bloc, et il est alors stable par $G_0$ ; et
réciproquement, si $W$ est un sous-espace vectoriel de $V$ stable
par $G_0$, l'ensemble des translatés de $W$ constitue un sytème de
blocs) ; ceci équivaut encore au fait que le sous-groupe distingué $V$
de $G$ soit un sous-groupe distingué minimal (puisqu'un sous-groupe de
$V$ est distingué dans $G$ précisément à condition qu'il soit stable
par $G_0$).

Dans cette situation (où $V$ est suppposé irréductible sous $G_0$,
c'est-à-dire $G$ primitif), d'après la
proposition \ref{dichotomie-socle-d-un-groupe-primitif}, on peut alors
affirmer que $V$ est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$, et
il est donc son socle.  On verra dans le cadre du théorème de
O'Nan-Scott que cette situation est la seule pour laquelle un groupe
de permutations primitif possède un socle abélien (i.e., il est
automatiquement de type affine).  Par ailleurs, dans cette situation,
le socle est régulier ($V$ opère sur lui-même par translation).

\subsubsection{Groupes de permutations de type diagonal}\label{groupe-de-permutations-type-diagonal} La
construction qui va suivre, plus délicate que la précédente, possède
néanmoins quelques similarités.  On peut l'imaginer intuitivement en
pensant que l'ensemble $\Omega$ ci-dessous est une sorte d'analogue de
l'espace projectif de dimension $r-1$ sur un groupe $T$ non-abélien :
il s'agit de $T^r$ quotienté par l'action à droite de $T$ (sur toutes
les composantes), qu'on va munir d'une action à gauche de $T^r \cdot
(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$.

Soit $T$ un groupe simple non-abélien, et $r\geq 2$.  On considère
l'action sur $\Xi := T^r$ des trois groupes suivants : (a) $T^r$
lui-même, par multiplication à gauche (donc régulièrement), (b) le
groupe symétrique $\mathfrak{S}_r$, opérant par permutation sur les
coordonnées, et (c) le groupe $\Aut(T)$ des automorphismes de $T$,
opérant de la même façon sur toutes les coordonnées.  Notons que les
actions de $\mathfrak{S}_r$ et $\Aut(T)$ sur $T^r$ commutent.  Les
trois actions en question engendrent (en tant que sous-groupes de
$\mathfrak{S}(\Xi)$) une action sur $\Xi$ de $T^r \rtimes
(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$.

Cette action n'est pas primitive : elle possède au moins le système de
blocs $\Omega$ constitué des ensembles $\{(v_1 t, \ldots, v_r t) : t
\in T\}$ (pour $v_1,\ldots,v_r \in T$), c'est-à-dire que $\Omega$ est
l'ensemble des classes à gauche $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la
diagonale $\Delta := \{(t, \ldots, t) : t \in T\}$ dans $T^r$.
L'action de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ sur les
blocs n'est plus fidèle : si $\upsilon \in \Aut(T)$ est
l'automorphisme intérieur $x \mapsto u x u^{-1}$, alors $\upsilon$
agit sur le bloc $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ de la même manière que
$(u,\ldots,u)$.  Autrement dit, le sous-groupe de $T^r \rtimes
(\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$ formé des $(u^{-1},\ldots,u^{-1})
\upsilon$ pour $\upsilon\colon x\mapsto uxu^{-1} \in \Int(T)$, opère
trivialement sur $\Omega$.  Notons $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
\Out(T))$ le quotient de $T^r \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
par ce sous-groupe (la notation rappelle que ce groupe a un
sous-groupe distingué qu'on identifiera à $T^r$, le quotient par lequel est
$\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$, où $\Out(T) = \Aut(T) / \Int(T)$ est
le groupe des automorphismes modulo les automorphismes intérieurs).
L'action de $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ sur $\Omega$
est maintenant fidèle (on voit facilement qu'un élément qui opèrerait
trivialement devrait avoir une composante triviale dans
$\mathfrak{S}_r$ en la faisant agir sur $(1,\ldots,1,v,1,\ldots,1)$,
puis dans $\Out(T)$, et enfin devrait être l'élément neutre) : ceci
permet de considérer $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ comme
le groupe des permutations de $\Omega$ engendré par (a) l'action de
$T^r$ par translation à gauche, (b) l'action de $\mathfrak{S}_r$ par
permutation des coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ (sachant que
celle de $\Int(T)$ est déjà incluse grâce à (a)) opérant de la même
façon sur toutes les coordonnées.

Si $G$ est n'importe quel sous-groupe tel que $T^r \leq G \leq T^r
\cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$, alors l'action de $G$ est
transitive (puisque déjà celle de $T^r$ l'est, par définition même
de $\Omega$).  Remarquons que la donnée de $G$ est équivalente à celle
de son image $G_0$ dans $\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$.  Un groupe de
permutations isomorphe (en tant que groupe opérant sur un ensemble) à
un tel $G$ opérant sur $\Omega$ s'appelle \emph{groupe de permutations
  de type diagonal}.

Le stabilisateur dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de
$\Delta$ en tant que point de $\Omega$ est l'image dans $T^r \cdot
(\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ de son stabilisateur en tant que
partie de $\Xi$, qui vaut $T \rtimes (\mathfrak{S}_r \times \Aut(T))$
avec l'action triviale de $\mathfrak{S}_r$ sur $T$, c'est-à-dire
$\mathfrak{S}_r \times (T\rtimes\Aut(T))$ ; l'image de ce sous-groupe
dans $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times \Out(T))$ est donc
$\mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$.  Par conséquent, le stabilisateur de
$\Delta \in \Omega$ sous l'action de $G$ est l'image réciproque
$\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq
\mathfrak{S}_r \times \Out(T)$ de $G$.

\begin{proposition2}
Avec les notations qui précèdent (i.e., $T$ est un groupe simple
non-abélien, $T^r \leq G \leq T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
\Out(T))$ opérant sur l'ensemble $\Omega$ des classes à gauche de la
diagonale dans $T^r$), le groupe de permutations $G$ est primitif si
et seulement si $r=2$ \emph{ou} l'image de $G$ (c'est-à-dire, de
$G_0$) dans $\mathfrak{S}_r$ est primitive.

Dans les deux cas (où $G$ est primitif), le socle de $G$ est $T^r$ (et
en particulier, il n'est pas régulier).  Plus précisément si l'image
de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$ n'est pas primitive, $T^r$ est l'unique
sous-groupe distingué minimal de $G$ (c'est donc le socle de $G$) ;
dans le cas contraire ($r=2$ et l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$
est triviale), $G$ a deux sous-groupes distingués minimaux distincts,
à savoir $T \times 1$ et $1 \times T$ (et le socle de $G$ vaut donc de
nouveau $T^r$).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Soit $S$ l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_r$.  Montrons dans un
premier temps que $r > 2$ et que $S$ n'est pas primitif
sur $\{1,\ldots,r\}$, alors $G$ ne l'est pas sur $\Omega$.  Soit
$\mathscr{S}$ un système de blocs non-trivial pour $S$, qu'on
considérera comme une relation d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$
sur $\{1,\ldots,r\}$.  Considérons la relation d'équivalence
$\equiv_{\mathscr{B}}$ sur $\Omega$ définie par
$(v_1,\ldots,v_r)\Delta \mathrel{\equiv_{\mathscr{B}}}
(v'_1,\ldots,v'_r)\Delta$ si et seulement si $v_i v_j^{-1} = v'_i
{v'_j}^{-1}$ pour tous $i,j$ tels que $i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}}
j$ (il est clair que cette relation est bien définie, c'est-à-dire que
$v_i v_j^{-1}$ ne dépend que de $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$).  Cette
relation d'équivalence est préservée par (a) l'action de $T^r$ par
translation à gauche, (b) l'action de $S$ par permutation des
coordonnées, et (c) l'action de $\Aut(T)$ opérant de la même façon sur
toutes les coordonnées : elle est donc préservée par $G$.  Il est
clair que $\equiv_{\mathscr{B}}$ est non-triviale car
$\equiv_{\mathscr{S}}$ l'est.  L'ensemble $\mathscr{B}$ des classes
d'équivalences définit un système de blocs pour $G$ (dans $\Omega$),
ce qui montre que $G$ n'est pas primitif.

Supposons réciproquement que $G$ n'est pas primitif, et soit
$\mathscr{B}$ un système de blocs non-trivial pour $G$ agissant
sur $\Omega$.  Considérons l'ensemble des $r$-uplets
$(v_1,\ldots,v_r)$ tels que $(v_1,\ldots,v_r)\Delta$ appartienne au
même bloc de $\mathscr{B}$ que $\Delta$ (autrement dit, le
stabilisateur du bloc de $\Delta$ pour l'action de $T^r$) : il s'agit
d'un sous-groupe $M$ de $T^r$, contenant la diagonale.  Pour chaque
$i$, soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments
$(v_1,\ldots,v_r)$ de $M$ tels que $v_i = 1$.  On définit une relation
d'équivalence $\equiv_{\mathscr{S}}$ sur $\{1,\ldots,r\}$ par
$i \mathrel{\equiv_{\mathscr{S}}} j$ lorsque $M_i = M_j$ (en tant que
sous-groupes de $M$).

Montrons que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$.  Si $\sigma
\in S$, il existe $\lambda \in \Aut(T)$ tel que $(\sigma,\lambda)$
appartienne à l'image réciproque $\tilde G_0 \leq \mathfrak{S}_r
\times \Aut(T)$ de l'image $G_0 \leq \mathfrak{S}_r \times \Out(T)$
de $G$ ; c'est encore dire que la permutation $(v_1,\ldots,v_r)\Delta
\mapsto (\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots,
\lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))\Delta$ de $\Omega$ appartient à $G$.
Supposons $M_i = M_j$.  Si $(v_1,\ldots,v_r) \in M$ appartient à
$M_{\sigma^{-1}(i)}$, c'est-à-dire $v_{\sigma^{-1}(i)} = 1$, alors
$(\lambda(v_{\sigma^{-1}(1)}), \ldots, \lambda(v_{\sigma^{-1}(r)}))$
appartient à $M_i$, c'est-à-dire à $M_j$, donc $v_{\sigma^{-1}(j)} =
1$, autrement dit $(v_1,\ldots,v_r) \in M_{\sigma^{-1}(j)}$.  On a
donc prouvé $M_{\sigma^{-1}(i)} = M_{\sigma^{-1}(j)}$ : ceci montre
bien que $\equiv_{\mathscr{S}}$ est préservée par $S$.

Reste à vérifier que $\equiv_{\mathscr{S}}$ n'est pas triviale.  Si
tous les $M_i$ sont égaux, cela signifie que lorsque $(v_1,\ldots,v_r)
\in M$ on a $v_i = 1$ pour un $i$ exactement lorsque $v_i = 1$ pour
tout $i$ : mais quitte à diviser à droite par l'élément diagonal
$(v_i,\ldots,v_i)$ (on rappelle que $M$ contient la diagonale), on
voit que cela implique que $M$ est réduit à la diagonale, et les blocs
de $\mathscr{B}$ sont des singletons.  À l'inverse, si tous les $M_i$
sont distincts, le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
permet de conclure que $M = T^r$ et l'unique bloc de $\mathscr{B}$ est
$\Omega$ tout entier.

Reste la dernière affirmation.  Si $N$ est un sous-groupe distingué
minimal de $G$, alors en particulier $N$ est distingué dans $T^r$, et
le lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
montre qu'on peut l'écrire $N_1\times \cdots \times N_r$, où chaque
$N_i$ vaut soit $1$ soit $T$ : si $S$ est transitif (notamment si $S$
est primitif), on doit avoir $N_1=\ldots=N_r$, ce qui montre que $T^r$
est l'unique sous-groupe distingué minimal de $G$ ; si $S$ est
trivial, en revanche (et automatiquement $r=2$), $T\times 1$ et
$1\times T$ sont les sous-groupes distingués minimaux de $G$.
\end{proof}

\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
Soit $T$ un groupe simple fini non abélien.  Alors tout sous-groupe
distingué $N$ de $T^r$ est de la forme $N_1\times \cdots \times N_r$,
où chaque $N_i$ vaut soit $1$ soit $T$.  En particulier, les
sous-groupes distingués minimaux de $T^r$ sont les $T_i :=
1\times\cdots\times 1 \times T \times 1 \times \cdots \times 1$, et
les seuls sous-groupes distingués maximaux sont les
$T\times\cdots\times T \times 1 \times T \times\cdots\times T$.
\end{lemme2}
\begin{proof}
On procède par récurrence sur $r$.  Considérons l'image $\pi_r(N)$ de
$N$ par la projection $\pi_r$ sur la dernière coordonnée : si
$\pi_r(N) = 1$, on peut identifier $N$ à son image dans $T^{r-1}$ (par
la projection sur les $r-1$ premières coordonnées) et l'hypothèse
récurrence permet immédiatement de conclure.  Dans le second cas, il
existe $(t_1,\ldots,t_r) \in N$ tel que $t_r \neq 1$.  On a alors
aussi $(t_1,\ldots,xt_r x^{-1}) \in N$ pour tout $x \in T$ puisque $N$
est distingué, donc $(1,\ldots,1, xt_r x^{-1}t_r^{-1}) \in N$.  Comme
$T$ n'est pas abélien, ceci prouve qu'il existe $z\in T$ différent
de $1$ tel que $(1,\ldots,1,z) \in N$.  L'ensemble des $z \in T$ tels
que $(1,\ldots,1,z) \in N$ est un sous-groupe de $T$, manifestement
distingué, dont on vient de voir qu'il n'est pas réduit à $1$ : c'est
donc $T$ tout entier, et on vient de prouver que $(1,\ldots,1,z) \in
N$ pour tout $z \in T$.  Ceci prouve que le morphisme $\pi_r \colon N
\to T$ a une section ; et si on note $N' = \{(t_1,\ldots,t_r)\in N :
t_r = 1\}$ le noyau de $\pi_r$, qui est manifestement distingué
dans $T^r$ et peut s'identifier à un sous-groupe distingué de
$T^{r-1}$, l'hypothèse de récurrence montre que $N'$ s'écrit sous la
forme $N_1\times \cdots \times N_{r-1}$ avec chaque $N_i$ valant $1$
ou $T$.  Comme la suite exacte courte $1\to N' \to N
\buildrel\pi_r\over\to T \to 1$ est scindée d'après ce qu'on a dit, on
a $N = N_1\times \cdots \times N_{r-1} \times T$, ce qui conclut.
\end{proof}

\begin{lemme2}\label{lemme-a-la-con-sous-groupes-de-produits}
Soit $T$ un groupe simple fini non abélien, et $M$ un sous-groupe de
$T^r$, contenant le sous-groupe diagonal $\{(t,\ldots,t) : t\in T\}$.
Soit $M_i$ le sous-groupe de $M$ formé des éléments $(t_1,\ldots,t_r)$
de $M$ tels que $t_i = 1$.  Si les $M_i$ sont deux à deux distincts,
alors $M = T^r$.
\end{lemme2}
\begin{proof}
On procède par récurrence sur $r$.  Considérons l'image $M^*$ de $M$
par la projection sur les $r-1$ premières coordonnées (identifiée à un
sous-groupe de $T^{r-1}$) : manifestement, $M^*$ contient le
sous-groupe diagonal de $T^{r-1}$, et si $M_i^*$ (pour $1\leq i\leq
r-1$) désigne le sous-groupe de $M^*$ formé des éléments
$(t_1,\ldots,t_{r-1})$ de $M^*$ tels que $t_i = 1$, il s'agit bien de
l'image de $M_i$ sur $T^{r-1}$ par les premières coordonnées.  De
plus, si on avait $M_i^* = M_j^*$ alors on aurait $M_i = M_j$ (car
tout $(t_1,\ldots,t_r) \in M$ tel que $t_i = 1$ vérifierait
$(t_1,\ldots,t_{r-1}) \in M_i^* = M_j^*$ donc $t_j = 1$).  L'hypothèse
de récurrence s'applique donc et assure $M^* = T^{r-1}$.  Par
ailleurs, la projection $M \to M^* = T^{r-1}$ sur les $r-1$ premières
coordonnées ne peut pas être un isomorphisme car le
lemme \ref{lemme-a-la-con-sous-groupes-distingues-de-produits}
ci-dessus appliqué à l'image de $M_r$ (sous-groupe distingué de $M$)
par cet isomorphisme aboutirait à une contradiction.  Il existe donc
un élément non trivial de $M$ dans le noyau $K$ de $M \to M^*$,
c'est-à-dire de la forme $(1,\ldots,1,z)$ avec $z\neq 1$.  Puisque $M$
contient la diagonale, on a $(x,\ldots,x,xz) \in M$ pour tout $x \in
T$, donc $(1,\ldots,1,xzx^{-1}) \in K$, et comme $T$ est simple, les
$xzx^{-1}$ pour $x\in T$ engendrent $T$.  Ainsi, en fait,
$(1,\ldots,1,z) \in M$ pour tout $z\in T$, et comme on sait déjà que
l'image $M^*$ de $M$ sur les $r-1$ premières coordonnées
vaut $T^{r-1}$, il est désormais clair que $M = T^r$.
\end{proof}

\begin{remarque2}\label{holomorphe-d-un-groupe-simple}
Le cas particulier des groupes de permutation de type diagonal où
$r=2$ et où il n'y a pas de permutation des composantes (avec les
notations précédentes, l'image de $G$ dans $\mathfrak{S}_2$ est
triviale) est assez spécifique, puisque c'est le seul cas de ce type
où il y a deux sous-groupes distingués minimaux distincts : expliquons
comment on peut le présenter différemment.

Si $T$ est un groupe fini, on appelle parfois \emph{holomorphe} de $T$
le produit semi-direct $H$ de $T$ par $\Aut(T)$ opérant naturellement
sur $T$, et on voit ce produit semidirect comme opérant lui-même sur
$\Omega := T$ (où $\Aut(T)$ opère naturellement et $T$ opère par
translation à gauche) : cette action est fidèle, et on peut encore
définir l'holomorphe comme le sous-groupe du groupe $\mathscr{S}(T)$
des permutations qui est engendré par les translations à gauche et les
automorphismes de $T$.

Lorsque $T$ est un groupe simple fini, en identifiant $\Omega=T$ à
l'ensemble des classes à gauche de la diagonale dans $T^2$, par
$(v_1,v_2) \mapsto v_1 v_2^{-1}$, on voit que l'holomorphe $H$ de $T$
est un cas particulier (en tant que groupe de permutation) de la
construction des actions diagonales où $r=2$, où il n'y a pas de
permutation des coordonnées et où on a inclus tous les automorphismes
de $T$.  Les deux sous-groupes distingués minimaux de $H$ sont
l'ensemble des translations à gauche sur $T$ (vu naturellement comme
$T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$), et l'ensemble des translations à droite
sur $T$ (vu comme l'ensemble des $(t, (x\mapsto t^{-1}xt))$ pour $t\in
T$ dans $T \rtimes \Aut(T)$).  Comme on l'a expliqué, le socle de $H$
est le produit $T^2$ de ces deux sous-groupes (et $H = T^2 \cdot
\Out(T)$).

Plus généralement, un groupe de permutation de type diagonal avec
$r=2$ et action triviale sur les composantes se décrit comme un
sous-groupe $G$ de l'holomorphe $H$ de $T$ contenant $T^2$
(c'est-à-dire, contenant les translations à gauche et les translations
à droite).
\end{remarque2}

\subsubsection{Groupes de permutation de type presque simple}\label{groupe-de-permutations-type-presque-simple} Soit $T$
un groupe simple.  Un groupe $G$ tel que $T = \Int(T) \leq G \leq
\Aut(T)$ est dit \emph{presque simple}.  La donnée d'un sous-groupe
maximal $U$ de $G$ permet
(cf. \ref{remarques-idiotes-groupes-de-permutations} et
\ref{groupe-de-permutations-primitif-ssi-stabilisateur-maximal}) de
considérer $G$ comme un groupe de permutations primitif (en opérant
sur les classes à gauche de $U$) : un tel groupe de permutations est
dit \emph{presque simple}.  Son socle est alors $T$, et il n'est pas
régulier.

\subsubsection{Produits en couronne}\label{produit-couronne} Si $K$ est un groupe fini, et $S$ un
groupe de permutations dont on notera $\Gamma$ l'ensemble sur lequel
il opère, on définit le \emph{produit en couronne} $K \wr_\Gamma S$
(ou parfois $K \wr S$ lorsque $\Gamma$ est évident) de la façon
suivante : il s'agit du produit semi-direct $K^\Gamma \rtimes S$, où
$K^\Gamma$ désigne le groupe des fonctions $\Gamma \to K$ (muni de la
multiplication point par point) et $S$ opère sur $K^\Gamma$ par
$(\sigma \cdot f)(i) = f(\sigma^{-1}(i))$ pour $\sigma \in S$, $f\in
K^\Gamma$ et $i \in \Gamma$.

La définition précédente construit $K \wr_\Gamma S$ comme un groupe
abstrait.  Si $K$ est lui-même un groupe de permutation sur un
ensemble $\Delta$, on peut considérer l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur
$\Delta \times \Gamma$ définie par $(f,\sigma)\cdot (x,i) = (f(i)(x),
\sigma(i))$ lorsque $f\in K^\Gamma$ et $\sigma \in S$ : cette action
possède un système de blocs évident donné par $\{\{(x,i) : x \in
\Delta\} : i \in \Gamma\}$, qui s'identifie à $\Gamma$, l'action de $K
\wr_\Gamma S$ étant alors celle de $S$ : on dit qu'il s'agit de
l'\emph{action imprimitive} (ou parfois de l'\emph{action standard})
du produit en couronne.

On va définir maintenant une autre action de $K \wr_\Gamma S$ qui sera
souvent primitive.  Pour cela, soit $\Omega = \Delta^\Gamma$
l'ensemble des fonctions $\Gamma \to \Delta$.  On construit une action
de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega$ en définissant $(f,\sigma)\cdot w$
comme la fonction $i \mapsto f(\sigma^{-1}(i)) (w(\sigma^{-1}(i)))$.
Cette action est appelée l'\emph{action produit} du produit en
couronne.

\begin{proposition2}
Soit $K$ un groupe de permutations sur un ensemble $\Delta$ et $S$ un
groupe de permutations sur un ensemble $\Gamma$.  Alors le produit en
couronne $K \wr_\Gamma S$, muni de son action produit sur $\Omega =
\Delta^\Gamma$ (définie plus haut) est primitif si et seulement si :
\begin{itemize}
\item $S$ est transitif (sur $\Gamma$),
\item $K$ est primitif (sur $\Delta$), et
\item $K$ n'est pas régulier (sur $\Delta$).
\end{itemize}
\end{proposition2}
\begin{proof}
Montrons que les trois conditions énumérées sont nécessaires pour que
l'action produit du produit en couronne soit primitive.  Si $S$ n'est
pas transitif sur $\Gamma$, soit $\Gamma_0 \subsetneq \Gamma$ une
orbite de $S$ : on considère la relation d'équivalence $\equiv$ sur
$\Omega = \Delta^\Gamma$ définie par $w \equiv w'$ lorsque $w(i) =
w'(i)$ pour tout $i \in \Gamma_0$ : lorsque c'est le cas, on a
manifestement $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$, ce qui montre que l'ensemble
$\mathscr{B}$ des classes d'équivalence pour $\equiv$ constitue un
système de blocs pour $K \wr_\Gamma S$, qui est non-trivial car
$\Gamma_0$ n'est ni $\varnothing$ ni $\Gamma$.  Si $K$ n'est pas
primitif sur $\Delta$, soit $\mathscr{K}$ un système de blocs
non-trivial pour celui-ci (ou la décomposition en orbites si $K$ n'est
même pas transitif) : on définit une relation d'équivalence $\equiv$
sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant $w \equiv w'$ lorsque $w(i)
\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} w'(i)$ pour tout $i$ (où $x
\mathrel{\equiv_{\mathscr{K}}} x'$ signifie que $x,x' \in \Delta$
appartiennent au même $\mathscr{K}$-bloc) ; de nouveau, on a
$(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout $(f,\sigma)
\in K \wr_\Gamma S$.  Enfin, si $K$ est régulier sur $\Delta$ (de
sorte qu'une fois fixé $x_0 \in \Delta$, tout $x\in \Delta$ peut
s'écrire $k\cdot x_0$ pour un unique $k\in K$), on définit une
relation d'équivalence $\equiv$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ en posant
$w \equiv w'$ lorsqu'il existe $x_0,x'_0 \in \Delta$ et $g\in
K^\Gamma$ tels que $w(i) = g(i)\cdot x_0$ et $w'(i) = g(i)\cdot x'_0$
pour tout $i\in\Gamma$ (autrement dit, $w'$ se déduit de $w$ par une
« translation à droite »\footnote{Si $\Delta$ est un espace principal
  homogène sous $K$, on appelle \emph{translation à droite} envoyant
  $x_0 \in\Delta$ sur $x_1 \in\Delta$ l'application $k\cdot x_0
  \mapsto k\cdot x_1$.  Le groupe des translations à droite de
  $\Delta$ est isomorphe à $K$ mais de façon non canonique (le choix
  d'une origine $x_0$ dans $\Delta$ permet d'identifier la translation
  envoyant $x_0$ sur $x_1$ à la multiplication à droite par $x_0^{-1}
  x_1$, mais le changement de choix de $x_0$ change cette
  identification par un automorphisme intérieur de $K$).}) : de
nouveau, on a $(f,\sigma)\cdot w \equiv (f,\sigma)\cdot w'$ pour tout
$(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma S$.

Réciproquement, supposons vérifiées ces trois conditions, et montrons
que l'action de $K \wr_\Gamma S$ sur $\Omega = \Delta^\Gamma$ est
primitive.  La transitivité ne faisant aucun doute (puisque déjà
$K^\Gamma$ est transitif sur $\Delta^\Gamma$), on veut montrer que le
stabilisateur $U$ dans $K \wr_\Gamma S$ d'un élément (quelconque) de
$\Omega$ est un sous-groupe maximal de $K \wr_\Gamma S$.  Choisissons
l'élément constant de valeur $x_0$, où $x_0 \in\Delta$.  Le
stabilisateur $U$ est donc l'ensemble des $(f,\sigma) \in K \wr_\Gamma
S$ tels que $f(i) \in V$ pour tout $i$, où $V$ est le (sous-groupe
maximal de $K$) stabilisateur de $x_0$ dans $\Delta$.  Soit $H$ un
sous-groupe de $K \wr_\Gamma S$ contenant strictement $U$ : on veut
montrer que $H = K \wr_\Gamma S$.

Tout d'abord, $H$ contient un élément $(f,\sigma)$ non contenu dans
$U$, et, comme $\sigma$ (c'est-à-dire $(1,\sigma)$) appartient à $U$,
l'élément $f \in K^\Gamma$ lui-même (c'est-à-dire $(f,\sigma)$)
appartient à $H$ et non à $V^\Gamma$.  Il existe donc $i_0$ tel que
$f(i_0) \not\in V$.

Le sous-groupe $V$ de $K$ est égal à son normalisateur $N_K(V)$ : en
effet, $V \trianglelefteq N_K(V)$, et comme $V$ est maximal on doit
avoir $N_K(V) = V$ ou $N_K(V) = K$.  Or la seconde possibilité
impliquerait $V \trianglelefteq K$, mais on
sait (\ref{exemples-groupes-de-permutations}) que $V$ ne peut pas
contenir de sous-groupe distingué autre que $\{1\}$, donc on aurait
$V=\{1\}$, c'est-à-dire que $K$ serait régulier, ce qu'on a exclu.
Reste donc $N_K(V) = V$.

On a donc $f(i_0) \not\in N_K(V)$, c'est-à-dire qu'il existe $v \in V$
tel que $f(i_0)\, v\, f(i_0)^{-1} \not\in V$.  Définissons $g \colon
\Gamma \to K$ par $g(i_0) = v$ et $g(i) = 1$ pour tout $i\neq i_0$ :
ainsi, $g \in V^\Gamma \leq U \leq H$.  Le commutateur $h = f g f^{-1}
g^{-1}$ appartient à $H$ et vaut $1$ en tout $i \neq i_0$ tandis qu'en
$i_0$ on a $h(i_0) \not\in V$.  Comme $V$ est maximal, $h(i_0)$ et $V$
engendrent $K$, donc $H$ contient toute fonction $h\colon \Gamma \to
K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_0$.  Comme $S$ est (qui est
contenu dans $U$ donc dans $H$) est transitif sur $\Gamma$, pour tout
$i_1 \in \Gamma$, il est encore vrai que $H$ contient toute fonction
$h\colon \Gamma \to K$ telle que $h(i) = 1$ pour $i \neq i_1$.  Or ces
fonctions engendrent manifestement $K^\Gamma$, et comme $H$ contient
aussi $S$, on a prouvé $H = K \wr_\Gamma S$.
\end{proof}

\subsubsection{Produits en couronne tordus}\label{produit-couronne-tordu} Considérons
maintenant la situation suivante : soit $U$ un sous-groupe d'un groupe
fini $S$, et soit $K$ un groupe fini ; on suppose de plus donné un
morphisme $\varphi\colon U \to \Aut(K)$ du groupe $U$ vers les
automorphismes du groupe $K$, permettant de considérer que $U$ opère
sur $K$ : on notera $u \mathbin{\bullet_{\varphi}} k := \varphi(u)(k)$
l'action en question.  On considère l'ensemble $\mathscr{F}$ des
applications $f\colon S \to K$ vérifiant la condition suivante : pour
tout $s\in S$ et tout $u\in U$ on a $f(su) = u^{-1}
\mathbin{\bullet_{\varphi}} f(s)$ ; il s'agit d'un sous-groupe de
$K^S$ pour la multiplication point par point.  Remarquons que si
$\Gamma$ est une section ensembliste de l'ensemble des classes à
gauche de $U$ dans $S$, c'est-à-dire un choix d'un élément de chaque
$sU \in K/U$, alors on peut considérer $\mathscr{F}$ comme le groupe
$K^\Gamma$, puisque la valeur de $f\in \mathscr{F}$ sur toute la
classe $sU$ est déterminée par sa valeur sur l'unique élément $s$.
Néanmoins, la description de $\mathscr{F}$ comme sous-ensemble de
$K^S$ permet de rendre plus claire l'action de $S$ sur $\mathscr{F}$
définie comme suit : si $f\in \mathscr{F}$ et $\sigma\in S$, on
définit $\sigma\cdot f$ par $(\sigma\cdot f)(s) = f(\sigma^{-1}s)$
(pour tout $s\in S$).  Le produit semi-direct $\mathscr{F} \rtimes S$
défini par cette action s'appelle \emph{produit en couronne tordu}
défini par les données de $K$ de $U \leq S$, et du morphisme
$\varphi\colon U \to \Aut(K)$ ; on le notera $G$ dans la fin de cette
section.

La terminologie de produit en couronne tordu se justifie par le fait
que le produit en couronne usuel (défini en \ref{produit-couronne})
s'obtient comme le cas particulier où $\varphi$ est le morphisme
trivial (tout élément de $U$ s'envoyant sur l'identité de $K$) et $U$
est le stabilisateur d'un point dans le $S$-ensemble $\Gamma$, lequel
peut alors être identifié à l'ensemble des classes à gauche de $U$
dans $S$, où à un choix arbitraire d'une section pour cet ensemble.
Notons par ailleurs que si $U=S$, alors le produit en couronne tordu
que nous avons défini n'est autre que le produit semi-direct $K \rtimes
S$ pour l'action donnée par $\varphi$ (en effet, si on identifie
$f\in\mathscr{F}$ avec $f(1)\in K$, alors $(\sigma\cdot f)(1) =
f(\sigma^{-1}) = \varphi(\sigma)(f(1))$).

Revenant à la situation plus générale, on fera agir $G$ sur
$\mathscr{F}$ en décrétant que $S$ opère sur $\mathscr{F}$ comme on
l'a déjà dit et que $\mathscr{F}$ opère sur lui-même par translation à
gauche.  (Dans le cas d'un produit en couronne non-tordu, ceci
correspond à l'action produit où $K$ est vu comme opérant sur lui-même
par translation à gauche ; il y aurait sans doute moyen de définir une
action généralisant l'action produit dans tous les cas, mais ceci ne
nous intéressera pas.)  Le stabilisateur pour cette action de la
fonction constante $1 \in \mathscr{F}$ est le sous-groupe $S$ de $G$,
ce qui permet de considérer qu'on a affaire à l'action de $G$ sur les
classes à gauche de $S$ dans $G$.  Cette action peut très bien ne pas
être fidèle : penser au cas où $U=S$ et $\varphi$ est trivial, par
exemple (auquel cas $G$ est le produit direct $K \times S$) ; il ne
semble pas facile de trouver des conditions nécessaires et suffisantes
sur les données pour que l'action qu'on vient de décrire soit fidèle
et primitive : on peut néanmoins montrer que c'est le cas si $K$ est
simple fini non-abélien et que $\Im\varphi$ contient les
automorphismes intérieurs de $K$ et n'est pas l'image de $S$ par un
morphisme.

\begin{remarque2}\label{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe}
Si on a choisi une section ensembliste $\Gamma$ des classes à gauche
de $U$ dans $S$, et si on note $\varpi\colon S\to\Gamma$ la fonction
associant à $s\in S$ le représentant $\varpi(s)$ de la classe $sU$,
alors en identifiant $\mathscr{F}$ à $K^\Gamma$, l'action de $S$ sur
$\mathscr{F}$ est donnée par : $(\sigma\cdot f)(x) = (x^{-1}\sigma
\varpi(\sigma^{-1}x)) \mathbin{\bullet_\varphi}
f(\varpi(\sigma^{-1}x))$ (pour $\sigma\in S$ et $x\in \Gamma$).

Si $H = K \rtimes\Aut(K)$ désigne l'holomorphe du groupe $K$
(cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), cette formule conduit à
définir un morphisme $S \to H^\Gamma \rtimes \mathfrak{S}(\Gamma)$ qui
à $\sigma \in S$ asssocie $((\dot\varphi(x^{-1}\sigma
\varpi(\sigma^{-1}x)))_{x\in\Gamma}, \penalty-100 (x \mapsto
\varpi(\sigma^{-1}x)))$ (où $\dot\varphi$ est la composée de $S
\to\Aut(K)$ avec le morphisme évident $\Aut(K) \to H$).  En combinant
ce morphisme avec le morphisme $\mathscr{F} \to H^\Gamma$ obtenu à
partir de l'application de $K \to H$ (correspondant à la translation à
gauche, i.e., la première composante de $H = K \rtimes\Aut(K)$) sur
chaque composante de $\mathscr{F} = K^\Gamma$, on obtient un morphisme
de $G = \mathscr{F} \rtimes S$ vers $H^\Gamma \rtimes
\mathfrak{S}(\Gamma) = H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$ compatible
avec l'action de ces deux groupes sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$ (dans
le cas de $H \wr_\Gamma \mathfrak{S}(\Gamma)$, il s'agit de l'action
produit du produit en couronne).  Notamment, si $G$ opère fidèlement
sur $\mathscr{F} = K^\Gamma$, le morphisme $G \to H \wr_\Gamma
\mathfrak{S}(\Gamma)$ que nous venons de définir est injectif.
\end{remarque2}

\subsection{Le théorème de O'Nan-Scott}

Cette section fait suite à la précédente.

Le théorème de O'Nan-Scott établit une sorte de classification des
groupes de permutations primitifs.  Nous nous contenterons dans cet
ouvrage d'énoncer et de discuter ce théorème, pour la démonstration
duquel nous renvoyons le lecteur à \cite[chap. 4]{Dixon-Mortimer}.

\begin{theoreme2}\label{o-nan-scott}
Soit $G$ un groupe de permutations primitif dont on note $\Omega$
l'ensemble sur lequel il opère.  Alors l'une des affirmations
suivantes est vraie :
\begin{itemize}
\item $G$ est un groupe de permutations de type affine, tel que décrit
  à la section \ref{groupe-de-permutations-type-affine}.  Ceci se
  produit si et seulement si le socle de $G$ est abélien, et dans ce
  cas le socle est régulier.
\item $G$ est presque simple
  (cf. \ref{groupe-de-permutations-type-presque-simple}), c'est-à-dire
  qu'on a $T \leq G \leq \Aut(T)$ pour un certain groupe simple fini
  non-abélien $T$ (sans affirmation particulière sur la façon dont $G$
  opère).  Dans ce cas, le socle de $G$ est $T$, et il n'est pas
  régulier.
\item $G$ est un groupe de permutation de type diagonal, tel que
  décrit à la section \ref{groupe-de-permutations-type-diagonal} (avec
  $r\geq 2$ dans les notations de cette section).  Dans ce cas, le
  socle de $G$ est $T^r$ (avec les notations en question) où $T$ est
  un groupe simple fini non-abélien et $r\geq 2$, et le degré
  $\#\Omega$ de $G$ est $(\#T)^{r-1}$.  Si $r\geq 3$ alors $G$ a un
  unique sous-groupe distingué minimal qui est son socle.
\item $G$ est un sous-groupe d'un produit en couronne $K \wr_\Gamma
  \mathfrak{S}(\Gamma)$ muni de son action produit (\ref{produit-couronne}) sur
  $\Delta^\Gamma$, où $K$ est un groupe de permutation primitif
  sur $\Delta$ d'un des deux types précédents, et le socle de $G$ est
  $H^\Gamma$ où $H$ est le socle de $K$.  Dans ce cas, le socle en
  question n'est pas régulier.
\item $G$ est un produit en couronne tordu
  (\ref{produit-couronne-tordu}) défini par la donnée d'un groupe fini
  $S$, d'un sous-groupe $U$ de celui-ci, d'un groupe \emph{simple}
  non-abélien $K$, et d'un morphisme $\varphi \colon U \to \Aut(K)$
  dont l'image contient le sous-groupe $\Int(K)$ des automorphismes
  intérieurs de $K$ ; le groupe $G$ est alors isomorphe, comme groupe
  de permutations
  (cf. \ref{remarque-produit-couronne-tordu-sous-groupe-de-produit-de-holomorphe})
  à un sous-groupe du produit en couronne $H \wr_\Gamma
  \mathfrak{S}(\Gamma)$, où $H$ est l'holomorphe de $K$
  (cf. \ref{holomorphe-d-un-groupe-simple}), et où $\Gamma$ est
  l'ensemble des classes à gauche de $U$ dans $S$.  Dans ce cas, le
  socle de $G$ est isomorphe à $K^{\#\Gamma}$ (soit à $\mathscr{F}$
  avec la notation de \ref{produit-couronne-tordu}), et il est
  régulier.  Ce cas se produit si et seulement si le socle de $G$ est
  régulier mais non abélien.
\end{itemize}
\end{theoreme2}

\XXX --- Il est tout pourri mon énoncé, et probablement faux...

\begin{corollaire2}\label{o-nan-scott-sous-groupes-maximaux-de-s-n}
Un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$ est d'un des types
suivants :
\begin{itemize}
\item un sous-groupe intransitif de la forme $\mathfrak{S}_{n_1}
  \times \mathfrak{S}_{n_2}$ avec $n_1 + n_2 = n$ (et $n_1,n_2 > 1$),
  muni de l'action donnée par l'union disjointe,
\item un sous-groupe transitif mais non primitif $\mathfrak{S}_k
  \wr_{\{1,\ldots,r\}} \mathfrak{S}_r$ avec $kr = n$ (et $k,r > 1$),
  muni de l'action imprimitive du produit en couronne,
\item un groupe primitif, qui est alors d'un des types suivants :
\begin{itemize}
\item un produit en couronne $\mathfrak{S}_k \wr_{\{1,\ldots,r\}}
  \mathfrak{S}_r$ avec $k^r = n$ (et $k,r > 1$), muni de l'action
  produit du produit en couronne,
\item un groupe affine $\AGL(\FF_p^r)$ avec $p^r = n$,
\item un groupe de type diagonal $T^r \cdot (\mathfrak{S}_r \times
  \Out(T))$ où $T$ est simple fini non-abélien et son ordre vérifie
  $(\#T)^{r-1} = n$,
\item un groupe presque simple.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{corollaire2}

Ceci découle immédiatement du théorème précédent.  Soulignons qu'il
n'est pas affirmé que chacun des types décrits ci-dessus construit
effectivement un sous-groupe maximal de $\mathfrak{S}_n$.

\subsection{Un théorème de Jordan}

On veut démontrer :

\begin{theoreme2}\label{Jordan}
Soit $G$ un sous-groupe transitif de $𝔖_n$ qui contient un $p$-cycle
pour un nombre premier $p$ strictement compris entre  $\frac{n}{2}$ et $n-2$.
Alors $G$ contient $𝔄_n$.
\end{theoreme2}

Nous ferons usage de la terminologie suivante :

\begin{dfn2}
Soit $X$ un ensemble fini. Un sous-groupe $G$ de $𝔖_X$ agissant
transitivement sur $X$ est dit \emph{primitif} si les seuls sous-ensembles
$Y\subset X$ tels que pour tout $g\in G$, $g(Y)\cap Y\in\{\vide,Y\}$ 
sont $\vide,X$, et les singletons.
\end{dfn2}
De façon équivalente, on demande qu'il n'y ait pas de 
partition\footnote{En particulier, par définition, 
chaque constituant est non vide.}
$\{Y_1,\dots,Y_s\}$ de $X$ avec $\#X>s>1$, stable
sous l'action de $G$ (au sens où, pour tout $i$, il existe
un indice $j$ tel que $g(Y_i)=Y_j$).

Établissons quelques lemmes généraux.

\begin{lemme2}
Un groupe transitif agissant sur un ensemble d'ordre premier est primitif.
\end{lemme2}

\begin{lemme2}
Soient $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble fini $X$,
$H$ un sous-groupe de $G$ et $P$ une orbite de $H$. Supposons que $H$ 
agit transitivement sur $P$ et que $\# X < 2 \# P$. Alors,
$G$ agit également transitivement sur $X$.
\end{lemme2}

Ainsi, sous l'hypothèse du théorème de Jordan ci-dessus, $G$ est un sous-groupe
primitif de $𝔖_n$ contenant un $p$-cycle.

\begin{lemme2}
Soient $G$ un sous-groupe $f$-transitif de $𝔖_X$, $C$ un sous-groupe
de $G$ tel que le cardinal de $F=\mathrm{Fix}(C)\subset X$ soit égal à $f$.
Alors, si $C$ est conjugué and $G_F$ à tout sous-groupe de $G_F$ conjugué
\emph{dans $G$} à $C$, le normalisateur de $C$ dans $G$ agit $f$-transitivement
sur $F$.
\end{lemme2}

\begin{lemme2}
Soit $X=F\cup P$ une partition de $X$ telle que $\# P>1$ et $2\#P>\#X$.
Supposons que $G$ soit un sous-groupe primitif de $𝔖_X$ tel que $G_F$ agisse
transitivement sur $P$. Alors, l'action de $G$ est doublement transitive.
(C'est-à-dire : $G$ est transitif et pour chaque $x$, $G_x$ agit
transitivement sur $X-x$.)
\end{lemme2}
\begin{proof}
Faisons le par récurrence sur $f$. Le cas $f=1$ est tautologique.
\begin{itemize}
\item Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux éléments distincts de $F$,
il existe un $g\in G$ tel que $\alpha\in g(F)$ mais $\beta\notin g(F)$.
En effet, considérons $\displaystyle E=\cap_{g\in G: \alpha \in g(F)} g(F)$ et
remarquons que si $g'(E)\cap E\neq \vide$, alors $g'(E)=E$.
(Commencer par le voir dans le cas $\alpha\in g'(E)$.)

\item  Le sous-groupe $H=\langle G_F, gG_F g^{-1}\rangle$  agit transitivement
sur $P\cup g(P)$. (Rappel :  $2\#P>\#X$.)

\item  Soit $F'=F\cap g(F)$, \cad l'ensemble des éléments qui
sont fixes par tout élément de $H$. On conclut en utilisant l'hypothèse de récurrence.
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{theoreme2}[Camille Jordan, 1870]
Soit $G$ un sous-groupe primitif de $𝔖_X$, où $\#X=n=p+f$, $p$ est premier
et $f\geq 3$. Si $G$ contient un cycle de longueur $p$ alors $G$
contient $𝔄_n$.
\end{theoreme2}

\begin{proof}[Démonstration dans le cas où $2p>n$.]
La démonstration du théorème est divisée en quelques étapes :
$G$ est primitif, doublement transitif, $f$-transitif, puis contient $𝔄_n$.
Nous n'utiliserons que le cas $2p>n$ (cf. \ref{Jordan}), hypothèse que
nous supposons satisfaite.
En particulier, $G$ est primitif. Notons $c$ un cycle de longueur $p$
dans $G$, et $F$ (resp. $P=X-F$) l'ensemble des points fixes de $c$ ;
on a donc $\#F=f$ (resp. $\#P=p$).
Notons $G_F=G\cap 𝔖_F\subset 𝔖_X$ le sous-groupe de $G$ agissant trivialement
sur $F$, et de même pour divers sous-groupes et sous-ensembles.\\
Par récurrence sur $f$, on voit que $G$ est $f$-transitif.\\
Soient $C=\langle c \rangle$ le sous-groupe d'ordre $p$ et $N$ son
normalisateur dans $G$. On démontre les faits suivants :
\begin{itemize}
\item  Le sous-groupe $N$ est $f$-transitif sur $F$ (rappelons
que $C$ est un $p$-Sylow) et donc $N ↠ 𝔖_F$, via le morphisme
de restriction, bien défini ici.
\item pour tout $\pi\in P$, $N_{\pi}:=\mathrm{Stab}_N(\pi)$ satisfait
$N_{\pi}↠ 𝔖_F$. En effet, $N=N_{\pi} G_F$ car $G_F$ agit
transitivement sur $P$ et $N$ agit sur $P$. 
\item Pour tout $\pi\in P$, l'image de $N_{\pi}$ dans $𝔖_{P}$
est isomorphe à un sous-groupe de $\Aut(C)$ et est donc abélienne.
\item Soit $D$ le groupe dérivé de $N_{\pi}$ ; on a vu que l'image
de $D→ 𝔖_P$  est le groupe trivial $\{1\}$. Il en résulte que $D↠ A_F$.
\end{itemize}
\end{proof}

\section{Groupe de Galois d'un polynôme de degré quatre}

Soient $k$ un corps et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$ un polynôme
irréductible séparable.  Soient $Ω$ une clôture séparable et
$R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$. Le groupe de Galois
$G$ correspondant est naturellement un sous-groupe transitif de
$𝔖_R$. Il est donc naturel d'étudier ces sous-groupes.  D'autre part,
il est évident que l'inclusion $G⊆𝔖_R$ est une égalité \ssi $G$ n'est
contenu dans aucun sous-groupe maximal (strict) de $𝔖_R$.

\begin{proposition}\label{sous-groupes maximaux et transitifs de S4}
\begin{enumerate}
\item Les sous-groupes maximaux de $𝔖₄$ sont $𝔄₄$, les stabilisateurs
des points (isomorphes au groupe $𝔖₃$) et les $2$-Sylow de $𝔖₄$
(isomorphes au groupe diédral $D₄$). 
\item Les sous-groupes transitifs de $𝔖₄$ sont $𝔖₄$, $𝔄₄$,
les $2$-Sylow, et ses sous-groupes d'ordre $4$, isomorphes
à $C₄$ ou $V₄=𝐙/2×𝐙/2$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{démo}
\begin{enumerate}
\item Le cardinal $d$ d'un sous-groupe strict $H$ de $𝔖₄$ appartient à l'ensemble
$\{12,8,6,4,3,2,1\}$. Étudions les différentes possibilités.
\begin{itemize}
\item [$d=12$.] $H$ est d'indice deux, donc distingué
dans $𝔖₄$ ; $H=𝔄₄$.
\item [$d=8$.] $H$ est un $2$-Sylow. Pour chaque énumération des côtés d'un
carré, le groupe des isométries du carré, plongé dans $𝔖₄$, est un sous-groupe
d'ordre huit, maximal car non contenu dans $𝔄₄$. 
Tous les $2$-Sylow étant conjugués, $H$ est l'un de ces groupes.
\item [$d=6$.] Un groupe d'ordre $6$ n'agit pas transitivement.
Ses orbites ne peuvent être de cardinal $2$ (sans quoi $H$ serait
contenu dans un sous-groupe isomorphe à $𝔖₂×𝔖₂$ de $𝔖₄$, de cardinal $4$).
Il existe donc une orbite ponctuelle : $H$ est le stabilisateur d'un
point.
\item [$d∈\{4,3,2,1\}$.] Un sous-groupe d'ordre deux ou quatre est contenu dans
un $2$-Sylow donc non maximal. Un sous-groupe cyclique d'ordre trois est
engendré par un $3$-cycle, contenu dans $𝔄₄$, donc non maximal également.
\end{itemize}
\item Un sous-groupe transitif $H$ de $𝔖₄$ est de cardinal $d$ divisible par
$4$ ; on a donc $d∈\{24,12,8,4\}$. On vérifie immédiatement que les différentes
possibilités sont celles de l'énoncé.
\end{enumerate}
\end{démo}

Le théorème suivant est une généralisation de la proposition 
\ref{Gal(deg 3)=cyclique}.

\begin{théorème}
Soient $k$ un corps, $Ω$ une clôture séparable et $f=X⁴-c₁X³+c₂X²-c₃X+c₄∈k[X]$
un polynôme séparable. Soient $R=\{x₁,x₂,x₃,x₄\}$ les racines de $f$ dans $Ω$ et
$G⊆𝔖_R$ le groupe de Galois de $f$ correspondant.
\begin{enumerate}
\item $G⊆𝔄_R$ \ssi $\car(k)≠2$ et $Δ(f)$ est de la forme $x²$ ou $\car(k)=2$ et
$Δ₂(f)$ est de la forme $x²+x$ ;
\item $G$ est contenu dans le stabilisateur d'une racine \ssi 
$f$ a une racine dans $k$ ;
\item $G$ est contenu dans un $2$-Sylow de $𝔖_R$ \ssi la \emph{résolvante
cubique}
\[
g=\big(Y-(x₁x₃+x₂x₄)\big)\big(Y-(x₁x₂+x₃x₄)\big)\big(Y-(x₁x₄+x₂x₃)\big)=
Y³-c₂Y²+(c₁c₃-4c₄)Y-(c₃²-4c₂c₄+c₁²c₄)
\]
a une racine dans $k$. Le discriminant du polynôme $g$ est égal
au discriminant, non nul, de $f$. En caractéristique deux, les
pseudo-discriminants coïncident également.
\end{enumerate}
\end{théorème}


\begin{démo}
(i) Mis que pour mémoire (cf. \refext{CG}{caracterisation groupe Gal alterne}).
(ii) Évident. 
(iii) L'égalité des discriminants résulte de la formule
\[
(x_ix_j+x_k x_l)-(x_ix_k+x_j x_l)=(x_i-x_l)(x_j-x_k).
\]
L'égalité des pseudo-discriminants en caractéristique deux
résulte immédiatement de \refext{CG}{exemples discriminants} ou bien
d'un calcul direct comme dans le cas du discriminant.

Les expressions $X₁X₃+X₂X₄$, $X₁X₂+X₃X₄$ et $X₁X₄+X₂X₃$
forment une orbite sous l'action de $𝔖₄$ sur $𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ dont les
stabilisateurs sont précisément les $2$-Sylow (diédraux) de $𝔖₄$.
Considérons le $2$-Sylow $D=⟨(1234),(12)(34)⟩$,
correspondant à la numérotation $(1,2,3,4)$ des côtés d'un carré.
Si $G⊆D$ (où l'on identifie $𝔖_R$ et $𝔖₄$), il agit trivialement sur $x₁x₃+x₂x₄$ qui appartient
donc à $k$ et est une racine de $g$.
Réciproquement, si $G$ n'est contenu
dans aucun $2$-Sylow, il agit sans point fixe donc transitivement sur le
sous-ensemble à trois éléments
$\{X₁X₃+X₂X₄,X₁X₂+X₃X₄,X₁X₄+X₂X₃\}$ de 
$𝐙[X₁,X₂,X₃,X₄]$ et, \emph{a fortiori},
sur le sous-ensemble (à trois éléments
par séparabilité de $g$) $\{x₁x₃+x₂x₄,x₁x₂+x₃x₄,x₁x₄+x₂x₃\}$ 
de $Ω$. Le polynôme $g$ n'a donc pas de racine dans $k$. 
\end{démo}

Pour un complément, cf. \cite{Generic@JLY}, th. 2.2.3.

\subsection{Exercices}
\begin{exercice2}
Soient $L=k(R)$ le corps de décomposition de $f$ et
$K$ le corps de décomposition de $g$ contenu dans $L$.
Montrer que
\[
G≃\left\{
\begin{array}{ll}
𝔖₄ & \textrm{si } [K:k]=6 \\
𝔄₄ & \textrm{si } [K:k]=3 \\
D₄ \textrm{ ou } 𝐙/4  & \textrm{si } [K:k]=2\\
V₄ & \textrm{si } [K:k]=1 \\
\end{array}
\right.
\]
\end{exercice2}


\begin{exercice2}
Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tel que 
le polynôme $f_n=X⁴-nX-1$ soit irréductible et que 
le corps $𝐐_{f_n}=𝐐[X]/(f_n)$ n'ait pas de sous-extension
non-triviale.
(Indication : il suffit de vérifier que $G_f≃𝔖₄$.)
\end{exercice2}

\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi