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\title{Corps locaux, corps globaux}

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\begin{document}
\begin{center}
Corps locaux, corps globaux
\end{center}
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\chapter{corps locaux, corps globaux}
\fi

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\section{Corps locaux}

\subsection{Premières définitions, notations}
\label{definition corps locaux}

\subsubsection{}
\label{corps topologique, corps local premier}
Un \textbf{corps topologique} \index{corps topologique} est un corps $K$
muni d'une topologie telle que les applications envoyant $(x,y) ∈ K²$
sur $x+y$ (resp. $xy$) et $x ∈ K$ sur $-x$ (resp.
$x ∈ K^×$ sur $x^{-1}$) soient continues.
Une extension de corps topologiques
est un morphisme \emph{continu} $K → L$ de corps topologiques.
Par exemple, si $p$ est un nombre premier
ou le symbole $∞$, le corps $𝐐_p$ — avec la convention
\commentaire{Noter $𝐐_{\chap{p}}$, $𝐐_{\chap{∞}}$ ?}
que $𝐐_∞=𝐑$ — muni de la topologie associé à la norme
$|⋅|_p$ est un corps topologique. De même, pour
chaque $p$ premier, le corps $𝐅_p((t))$ des séries de Laurent
formelles est naturellement un corps topologique (cf.
\refext{AVD-D}{}). Nous appellerons \textbf{corps local premier} \index{corps local premier}
un corps topologique isomorphe à l'un des corps
topologiques précédents.

\begin{théorème2}
\label{corps locaux conditions équivalentes}
Soit $K$ un corps topologique. Les conditions suivantes sont
équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $K$ est \emph{localement compact} non discret ;
\item $K$ est isomorphe (en tant que corps topologique) à $𝐑$, $𝐂$ ou bien au corps
des fractions d'un anneau de valuation discrète $𝒪$ complet
à corps résiduel fini, équipé de la topologie déduite
de la valuation.
\item $K$ est une extension finie (en tant que corps
topologique) d'un corps local premier $K₀$.
\end{enumerate}
De plus :
\begin{itemize}
\item L'anneau $𝒪$ du (ii) est le plus grand sous-anneau
compact de $K$ et son idéal maximal est l'ensemble des
éléments $x$ de $K$ tels que $x^n$ tende vers $0$ lorsque $n$
tend vers $+∞$.
\item Le corps local premier $K₀$ du (iii) est \emph{fermé}
dans $K$. Si $K$ est de caractéristique nulle (resp.
de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$
(resp. il n'est pas unique).
\end{itemize}
\end{théorème2}

Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes
démo}, où l'on fait usage des résultats des paragraphes qui
vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats déjà établis
dans le chapitre précédent, la principale difficulté
est de munir un corps localement compact d'une valeur absolue.
Celle-ci sera construire via la théorie de l'intégration
(mesure de Haar).

\subsubsection{}On appelle \textbf{corps local}
un corps topologique satisfaisant les conditions
équivalentes précédentes. Il est dit archimédien
s'il est isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$ et
\textbf{ultramétrique}, ou \textbf{non archimédien},
dans le cas contraire.

\subsubsection{}Lorsque $K$ est un corps local
ultramétrique, on notera en général $𝒪$ son
sous-anneau compact maximal, appelé \textbf{anneau des
entiers}, $𝔪$ l'idéal maximal de $𝒪$, $ϖ$ une uniformisante ($𝔪=(ϖ)$), $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$
et enfin $q$ le cardinal de $k$. L'uniformisante est bien définie à multiplication par une unité $u ∈ 𝒪^×$ près.
On appelle \textbf{valeur absolue normalisée}, notée $|⋅|_K$ l'unique valeur
absolue $K → 𝐑_{+}$ telle que $|ϖ|_K=\frac{1}{q}$.
Lorsque $K=𝐑$ (resp. $𝐂$), la valeur absolue normalisée $|⋅|_K$ est la valeur absolue usuelle
(resp. $z ↦ z \sur{z}$, c'est-à-dire le carré de la norme usuelle).
On note également $|⋅|_p$ la valeur absolue normalisée $|⋅|_{𝐐_p}$ ;
cette convention est étendue au cas où $p=∞$. (On rappelle que $𝐐_∞=𝐑$.)

\subsection{Mesures}
\label{généralités sur mesures}

\subsubsection{}On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
de théorie de l'intégration. Le niveau de généralité de ces
rappels est justifié par l'usage qui en sera fait dans la
théorie des corps globaux (analyse sur les adèles).
Le lecteur est invité à consulter par exemple \BourbakiINT{chap. VII},
ou \cite{Integral@Nachbin} qui en reprend
les points essentiels, pour plus de détails.

\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique localement
compact : $X$ est séparé et que tout point possède un voisinage compact.
Cette hypothèse permet de démontrer des variantes du
théorème de séparation d'Urysohn\footnote{Notons qu'un espace topologique
localement compact n'est pas nécessairement « normal » ($T₄$) ; il est cependant
« complètement régulier » ($T_{3+½}$).}.
Soit $𝐊$ le corps $𝐑$ ou $𝐂$. Pour tout
compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C;𝐊)$ l'ensemble des fonctions continues
sur $X$ à valeurs dans $𝐊$ et à support contenu dans $C$. C'est un
espace topologique normé par $‖ f ‖_C =\sup_{x ∈ C} |f(x)|$.
L'ensemble $𝒞_c(X;𝐊)=⋃_C 𝒞_c(X,C;𝐊)$ — où l'union
est prise dans l'ensemble des fonctions continues à
valeurs dans $𝐊$ sur $X$ — des fonctions à support compact
est donc naturellement muni de la topologie colimite (ou
union). Explicitement : $f_n → f$ si et seulement si il existe un compact $C$
et un entier $N>0$ tel que les fonctions $f$ et $f_n$ pour $n ≥ N$ appartiennent à $𝒞_c(X,C;𝐊)$
et que la suite $(f_n)_{n ≥ N}$ tende vers $f$ dans $𝒞_c(X,C;𝐊)$.
Observons que l'espace $𝒞_c(X;𝐊)$ muni de la norme
$‖f‖=\sup_{x ∈ X} |f(x)|$ n'est \emph{pas} complet en
général. (Si $X=𝐑$, son adhérence dans l'ensemble des
fonctions continues bornées est l'ensemble des fonctions
tendant vers zéro à l'infini.)

\subsubsection{}
\label{mesure de Radon}
On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
une forme linéaire continue $μ:𝒞_c(X;𝐂) → 𝐂$. La continuité
de $μ$ revient à supposer l'existence, pour chaque
compact $C$ de $X$ d'une constante $M_C$ telle que pour
chaque $f ∈𝒞_c(X;𝐂)$ à support dans $C$ on ait : $|μ(f)| ≤ M_C ‖f ‖_C$.
Le nombre $μ(f)$ est appelé « intégrale de $f$ par rapport à $μ$ »
et est également noté $∫f   dμ$, $∫_X f(x)  dμ(x)$, etc.
Une telle mesure est dite \textbf{positive}, si $μ(f)$ est réel dès lors que $f$ est à valeurs
réelles et si ce nombre est positif ou nul lorsqu'il en est de même
des valeurs de $f$ ; cette dernière condition étant notée : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.
(On peut montrer qu'une forme linéaire positive sur $𝒞_c(X;𝐑)$
est automatiquement continue.)
Suivant le procédé usuel, on étend une telle mesure :
\begin{itemize}
\item à l'ensemble $ℐ_+(X)$ des fonctions réelles positives,
finies ou non, semi-continues inférieurement, sur $X$ en posant $μ^*(f)=\sup_{g ≤ f}
μ(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ 𝒞_c(X)_+$ et $\sur{𝐑}$
est la droite achevée $𝐑 ∪ \{+∞\}$ ; puis
\item à l'ensemble des fonctions positives (finies ou non) sur $X$
en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ^*(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ ℐ_+(X)$.
Cette dernière quantité est également notée $∫^* f d μ$.
\end{itemize}
Cette \emph{intégrale supérieure} de fonctions positives
satisfait le théorème de convergence monotone — c'est-à-dire
l'égalité $μ^*(\sup_n f_n)=\sup_n μ^*(f_n)$ si
les fonctions $f_n$ sont positives croissantes — et ses
corollaires, dont le lemme de Fatou : $μ^*(\liminf_n f_n) ≤ \liminf_n μ^*(f_n)$
pour une suite non nécessairement croissante de fonctions.
Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$ un réel,
on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d μ$. Il résulte de l'inégalité
de Minkowski que l'on obtient ainsi une semi-norme
— donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne
d'ordre $s$) — sur l'espace des fonctions $f:X → 𝐂$ telles que $|f|_s<+∞$.
L'adhérence de $𝒞_c(X;𝐂)$ dans cet espace est notée $ℒ^s(X)$.
On note $L^s(X)$ l'espace séparé (normé) associé ; c'est un
\emph{espace de Banach} (théorème de Riesz-Fischer).
L'inégalité $|μ(f)| ≤ |f|₁$, valable pour $f ∈ 𝒞_c(X)$,
permet d'étendre $μ$ par continuité en une forme linéaire continue,
également notée $μ$ ou $∫_X d μ$, sur $ℒ¹(X)$. Pour les fonctions
intégrables, c'est-à-dire dans $ℒ¹(X)$, cette extension coïncide
bien sûr avec $μ^*$.

\subsubsection{Mesure produit}
\label{Radon produit}
\paragraph{Produit fini}Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques localement compacts
munis de mesures de Radon $μ_X$ et $μ_Y$.
On vérifie sans difficulté (\BourbakiINT{III.§4.1}) que le sous-espace $𝒞_c(X,𝐂) ⊠ 𝒞_c(Y,𝐂)$ des fonctions
de la forme $f ⊠ g:(x,y)↦ f(x)g(y)$ est dense
dans $𝒞_c(X×Y,𝐂)$ et que la forme linéaire
$f ⊠ g↦ μ_X(f)μ_Y(g)$ s'étend en une mesure de Radon,
notée $μ_X ⊠ μ_Y$ sur $X×Y$. Plus généralement,
on définit le produit d'un nombre fini de mesures de Radon.

\paragraph{Produit infini de compacts}
Soient $(X_s)_{s ∈ Σ}$ une collection d'espaces topologiques compacts
munis de mesures de Radon positives $μ_s$. On suppose la famille
de réels $μ_s(𝟭_{X_s})$ \emph{multipliable}, où $𝟭_{X_s}$ désigne
la fonction caractéristique de $X_s$.
Pour chaque sous-ensemble fini $S$ de $Σ$ et chaque fonction
continue $f_S$ sur $∏_{s ∈ S} X_s$, notons $f_S ⊠ 𝟭$
la fonction « ne dépendant que d'un nombre fini de variables »
\[
f_S ∘ \big(∏_{s ∈ Σ} X_s \dessusdessous{\pr_S}{↠} ∏_{s ∈ S} X_s\big),
\]
où $\pr_S$ désigne la projection évidente. Il résulte
du théorème de Stone-Weierstraß que ces fonctions forment
un sous-$𝐂$-espace vectoriel dense de $𝒞_c(∏_{s ∈ Σ} X_s,𝐂)$.
On vérifie par réduction au cas où $μ_s(𝟭_{X_s})=1$
(cf. \BourbakiINT{III.§4.6}) qu'il existe une unique mesure de
Radon $μ$ sur $∏_{s ∈ Σ} X_s$ telle que
\[
μ(f_S ⊠ 𝟭)=(\bigboxtimes_{s ∈ S} μ_s) (f_S) × ∏_{s ∉ S} μ_s(𝟭_{X_s}).
\]




\subsubsection{Mesure des ensembles}
\label{mesure des ensembles}
On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
de la mesure en posant, pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(𝟭_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
où $\mathbf{1}_E$ désigne la fonction caractéristique de $E$. C'est la \textbf{mesure extérieure}
de l'ensemble $E$. Elle coïncide avec la borne inférieure
des mesures extérieures des ouverts contenant $E$. (Noter
que la fonction caractéristique d'un ouvert est
semi-continue inférieurement, c'est-à-dire appartient
à $ℐ_+(X)$.) On vérifie que les ensembles compacts, et plus généralement
les ensembles relativement compacts sont de mesure extérieure finie.
Prendre garde au fait que l'intégrabilité de la fonction
caractéristique $𝟭_E$ d'un ensemble $E$ est \emph{a priori}
plus forte que la seule finitude de sa mesure extérieure :
on démontre que $E$ est intégrable — c'est-à-dire $𝟭_E ∈ ℒ¹(X)$ —
si et seulement si il existe pour tout $ε>0$ un compact
$C_ε ⊆ E$ tel que $μ^*(E-C_ε) ≤ ε$. On note $μ(E)=∫ 𝟭_E d μ$
la mesure d'un tel ensemble. On dit qu'un sous-ensemble $E$
de $X$ est \textbf{mesurable} (sous-entendu : relativement à $μ$) si pour tout compact $C$ de $X$,
l'intersection $E ∩ C$ est intégrable.

\subsubsection{}Considérons maintenant un \textbf{groupe topologique} $G$,
localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$
est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout
$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$ et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
\[
∫_G f   dμ= ∫_G f_h   dμ,
\]
où $f_h(g)=f(h^{-1}g)$.
On peut montrer montrer que la continuité d'une telle forme
linéaire est automatique. On précise parfois que la mesure $μ$
est « \emph{invariante à gauche} ».

\subsubsection{}Tout groupe topologique localement
compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar,
unique à un facteur multiplicatif non nul près. L'existence
est due à Haar Alfréd — sous une hypothèse
restrictive dont s'est affranchi André Weil — et l'unicité
à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
invariante à droite, en un sens évident.
Nous présentons dans le paragraphe suivant une esquisse de preuve de ces
résultats.

\subsubsection{Existence et unicité à un facteur près d'une mesure de Haar : esquisse de démonstration}
\label{Haar existence et unicité}
Le lecteur pressé peut omettre la lecture de ce paragraphe sans préjudice
\commentaire{À vérifier}
notable : dans les applications que nous en ferons, les énoncés
peuvent se ramener par passage à la limite à des énoncés
explicites sur un nombre fini de mesures locales décrites de manière
\emph{ad hoc} en \ref{mesures Tamagawa locales}.
%Cf. Weil, commentaire sur [1967c] dans ses Œuvres, tome III.
%l'idée est que, sauf erreur, on intègre des fonctions
%dans $𝒮(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes
%dans $𝒪_x$ [utile pour formule du produit] et que
%$μ_{ψ_x}(𝒪_x)=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramène au cas
%d'un produit fini.

Soit $G$ un groupe topologique localement compact et soit $φ$ une fonction
réelle sur $G$, continue à support compact.
Si $ψ$ appartient à $𝒞_c(G)_+$ et n'est pas
identiquement nulle,
il existe des réels positifs $c₁,…,c_n$ et des éléments
$h₁,…,h_n$ de $G$ tels que l'on ait l'inégalité
\[
φ ≤ ∑_{i=1}^n c_i ψ_{h_i}.
\]
En effet, quitte à remplacer $ψ$ par une fonction $c ψ_h$, on peut
supposer — par locale compacité — qu'il existe une voisinage ouvert $U$ de l'identité
de $G$ tel que $ψ ≥ 1$ sur $U$. Le support (compact) de $φ$ étant
recouvert par un nombre fini de translatés de $U$ et $φ$
étant bornée, la conclusion en résulte aussitôt.
Notons $(φ : ψ)$ la borne inférieure des sommes
$∑_i c_i$, où les $c_i$ et les $h_i$ sont comme
ci-dessus. Observons que si $μ$ est une mesure
de Radon (invariante à gauche) sur $G$, on
a $μ(c_i ψ_{h_i})=c_i μ(ψ)$ d'où $μ(φ)/μ(ψ) ≤ ∑_i c_i$.
Pour chaque $φ,φ′ ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, $ψ,ψ′ ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$, $h ∈ G$ et $λ ≥ 0$,
on a :
\begin{enumerate}
\item $(φ_h : ψ)=( φ : ψ)$
\item $(λ φ : ψ)=λ ( φ : ψ)$
\item $(φ + φ ′ : ψ) ≤ (φ : ψ) + (φ ′ : ψ)$
\item $(φ : ψ) ≤ (φ ′ : ψ)$ si $φ ≤ φ ′$
\item $(φ : ψ ′) ≤ (φ : ψ)(ψ : ψ ′)$
\item $(φ : ψ) ≥ \sup(φ)/\sup(ψ)$
\end{enumerate}
Les quatre premières propriétés sont évidentes. (v) résulte
du fait que si $φ ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ et $ψ ≤ ∑_j d_j ψ′_{k_j}$,
on a $φ ≤ ∑_{i,j} c_i d_j ψ′_{h_i k_j}$ d'où
$(φ : ψ) ≤ ∑_{i,j} c_i d_j = (∑_i c_i)(∑_j d_j)$.
Pour vérifier (vi), on constate que si $φ ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$
et que le $\sup$ de $φ$ est atteint en $g ∈ G$,
on a $\sup(f) ≤ ∑_i c_i ψ(h_i^{-1}g) ≤ (∑_i c_i)\sup(ψ)$.
Notons que (vi) entraîne que $(φ: ψ)$ est $>0$
si $φ$ est positive non identiquement nulle.
Fixons une fois pour toutes une fonction $φ₀ ∈ 𝒞_c(G)_+
-\{0\}$ ; son intégrale pour la mesure que nous allons construire sera égale à $1$.
Pour chaque $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$ et chaque $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$, posons
\[
I_ψ(φ)=\frac{( φ : ψ)}{(φ₀ : ψ)}.
\]
Il résulte immédiatement des propriétés précédentes que
$φ ↦ I_ψ(φ)$ est invariante par translation à gauche, commute à
la multiplication par un scalaire positif, sous-additive,
et croissante. D'autre part, si $φ$ est non nulle, on a les inégalités
\[
0<1/(φ₀: φ) ≤ I_ψ(φ) ≤ (φ : φ₀),
\]
qui résultent de (v) ci-dessus.
Nous allons voir maintenant que $I_ψ$ est d'autant plus proche d'être
\emph{additive} que le support de $ψ$ est concentré en l'identité de $G$.
Précisément : pour chaque paire $φ, φ ′ ∈ 𝒞_c(G)_+$ et chaque $ε>0$
il existe un voisinage \emph{compact} $V_ε$ de l'identité de $G$
tel que si $ψ$ est de plus à support dans $V_ε$ on ait :
\[
I_ψ(φ+φ ′) ≤ I_ψ(φ) + I_ψ(φ ′) ≤ I_ψ(φ + φ ′)+ ε.
\]
(La première inégalité n'est mise que pour mémoire.)
Soit $H ∈ 𝒞_c(G)_+$ égale à $1$ sur le support de $φ + φ ′$
et posons $F=φ + φ ′ + ε H$. Considérons les fonctions $f$
et $f ′$ respectivement égales à $φ/F$ et $φ ′ /F$ sur
le support de $φ+φ ′$ et zéro ailleurs. Elles sont continues
à supports compacts et positives. Soit $η>0$. Par continuité
des fonctions et compacité de leurs supports on a le résultat
d'uniforme continuité suivant : il existe un voisinage compact $V$ de l'identité
tel que $|f(x)-f(y)| ≤ η$ et $|f ′(x)-f ′(y)| ≤ η$ dès
que $x^{-1}y ∈ V$. Soit $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ non nulle à support dans $V$
et supposons qu'une inégalité $F ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ soit satisfaite.
On a donc la majoration $φ= f ⋅ F ≤ ∑_i c_i f⋅ψ_{h_i}$. Or,
$f ⋅ ψ_h ≤ (f(h)+η) ⋅ ψ_h$ : en un point hors de $hV$ c'est évident
car $ψ_h$ y est nulle ; en un point de $hV$, on a $f ≤ f(h) + η$ par hypothèse
sur $η$ et $V$. En sommant les deux majorations ainsi obtenues pour $φ$ et $φ ′$,
on obtient :
\[
(φ : ψ) + (φ ′ : ψ) ≤ ∑_i c_i (φ(h_i)+φ ′(h_i)+2 η) ≤ (1+2 η) ∑_i c_i
\]
car $φ + φ ′ ≤ 1$.
On en tire la majoration $(φ : ψ) + (φ ′ : ψ) ≤ (1+2 η)(F: ψ)$ et, par
division par $(φ₀: ψ)$ :
\[
I_ψ(φ)+I_ψ(φ ′) ≤ (1+2 η)I_ψ(F) ≤ (1+2 η)\big(I_ψ(φ+φ ′)+δ I_ψ(H)\big)
\]
où la seconde inégalité résulte de la sous-additivité de $I_ψ$.
Finalement, on a
\[
I_ψ(φ)+I_ψ(φ ′) ≤ I_ψ(φ)+I_ψ(φ ′) + \Big(2 η (φ + φ ′ : φ₀)+ δ(1+2 η)(H : φ₀)\Big).
\]
Quitte à choisir $δ$ et $η$ suffisamment petits, le second terme peut
être rendu inférieur à $ε$.

Voyons maintenant comment en déduire l'existence d'une mesure
de Haar. Pour $V$ un voisinage compact variable de l'identité,
les ensembles $𝒞_c(G,V)_+-\{0\}$ forment une base d'un filtre sur l'ensemble $𝒞_c(G)_+-\{0\}$
des fonctions $ψ$ considérées. Soit $𝔉$ un ultrafiltre plus fin que ce dernier
filtre. Par compacité de l'ensemble $[(φ₀: φ)^{-1},(φ : φ₀)]$,
auquel appartiennent les $I_ψ(φ)$, la limite $\lim_{ψ,𝔉} I_ψ(φ)$ existe ; notons la $I(φ)$.
(Le lecteur peu versé dans la théorie des filtres et ultrafiltres
pourra avantageusement consulter \BourbakiTG{I.§6.nº4} ou bien
\cite[chap. II, §8]{Integral@Nachbin} pour une variante de cet
argument reposant sur le théorème de Tikhonov.)
Il résulte de ce qui précède et du passage à la limite que l'on a
\[
I(φ+φ ′)=I(φ)+I(φ ′)
\]
pour toute paire de fonctions dans $𝒞_c(G)_+$.
Si $φ ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, il existe des fonctions
$φ₁,φ₂ ∈ 𝒞_c(G)_+$ telles que $φ = φ₁ -φ₂$, par exemple $φ₁=\sup(φ,0)$
et $φ₂=-\inf(f,0)$. On vérifie immédiatement que la
quantité $I(φ):=I(φ₁)-I(φ₂)$ ne dépend pas de la décomposition choisie.
La forme $φ ↦ I(φ)$ est une mesure de Haar. Remarquons qu'il
résulte de ce qui précède que si $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$ est une fonction non nulle,
$I(φ)$ est strictement positif : $I(φ) ≥ (φ₀: φ)^{-1}$.
(On peut aussi remarquer que l'on a
l'inégalité $I(ψ) ≤ (∑_i c_i) I(φ)$ si $ψ ≤ ∑_i c_i φ_{h_i}$
si bien que $I(φ)=0$ ⇒ $I=0$.)

Considérons l'unicité. Soient $μ$ et $ν$ deux mesures de Haar
invariantes à gauche et soit $φ₀ ∈ 𝒞_c(G)_+$ une fonction non nulle.
D'après la remarque précédente, $μ(φ₀)>0$ et $ν(φ₀)>0$. On peut
donc supposer que l'on a l'égalité $μ(φ₀)=ν(φ₀)=1$.
Pour toute paire de fonctions $φ,ψ ∈ 𝒞_c(G)$, considérons
le produit de convolution $φ ⋆_μ ψ$ :
\[
g ↦ ∫ φ(h) ψ (h^{-1}g)   dμ(h)= ∫ φ(gh)ψ(h^{-1})  dμ(h),
\]
où l'égalité résulte de l'invariance à gauche de $μ$.
Cette intégrale a un sens car, comme on le vérifie sans peine,
l'intégrande est une fonction (continue) à support compact ;
il en est de même de la fonction $φ ⋆_μ ψ$.
En intégrant pour la mesure $ν$ on obtient
la formule classique :
\[
∫ φ ⋆_μ ψ   d ν=∫ φ   dμ ⋅ ∫ ψ   dν,
\]
que l'on peut réécrire $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$.
Elle se démontre en intervertissant l'ordre d'intégration (Fubini) et en utilisant
l'égalité $∫ ψ(h^{-1}g)   dν(g)=∫ ψ    dν$ (invariance à gauche).
Fixons $φ$ et montrons que $μ(φ)=ν(φ)$.
Pour tout $ε>0$, il existe un voisinage compact $V_{φ,ε}$ de l'identité
tel que pour toute fonction $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ de support dans $V_{φ,ε}$
et d'intégrale $μ(ψ)=1$, on ait $‖ φ ⋆_μ ψ - φ ‖_∞ ≤ ε$. (Un tel
énoncé est souvent utilisé pour régulariser des fonctions ; nous
n'en rappelons pas la démonstration.)
Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅  ν\big( \mathrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$.
En particulier, il existe des fonctions $ψ$ positives de $μ$-intégrale unité telles que $ν(φ ⋆_μ ψ)$ soit
arbitrairement proche de $ν(φ)$. En appliquant ceci à $φ=φ₀$, et en utilisant
les égalités $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ et $μ(φ₀)=ν(φ₀)$, on en déduit
qu'il existe des fonctions $ψ$ de $ν$-intégrale arbitrairement proche de l'unité
et de support contenu dans des $V_{φ,ε}$. Ainsi, quitte à bien choisir $ψ$,
on peut avoir $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ arbitrairement proche de $ν(φ)$ et
$ν(ψ)$ arbitrairement proche de $1$. Nécessairement, $μ(φ)=ν(φ)$ ; CQFD.

\subsubsection{}
\label{définition module et cas compact ou commutatif}
Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_G f ∘ φ^{-1}   d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
réel $\mod(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$ ; il
ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction,
pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$
— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
Appliquant cette observation au cas des automorphismes
intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable,
on a $μ(E)=μ(gEg^{-1})=μ(Eg^{-1})$ : la mesure $μ$
est également invariante \emph{à droite} lorsque $G$ est compact. Le même argument
montre que toute mesure de Haar invariante à gauche est également
invariante à droite lorsque $G$ est
\emph{commutatif} mais non nécessairement compact.

\subsubsection{}
\label{caractérisation compacité par mesure}
Si $G$ est compact et $μ$ une mesure de Haar, on a vu que sa mesure $μ(G)$ est finie.
(On appelle \textbf{mesure de Haar normalisée} l'unique mesure de Haar telle que
$μ(G)=1$.)
Réciproquement, si $G$ est seulement supposé \emph{localement} compact
mais de mesure extérieure $μ^*(G)$ finie, alors $G$ est compact.
En effet, soit $V$ un voisinage compact de l'unité de $G$.
Le nombre de translatés de $V$ disjoints deux à deux est borné par
le quotient fini $μ^*(G)/μ(V)$ ; il existe donc un ensemble de cardinal
maximal $g₁V,…,g_nV$ de tels translatés. Si $g ∈ G$,
il existe donc un indice $i$ tel que $gV ∩ g_iV ≠ ∅$,
c'est-à-dire $g ∈ g_iV V^{-1}$. Le groupe $G$
est donc recouvert par les compacts $g_i V V^{-1}$, en nombre fini ; il est
compact. CQFD.

\subsubsection{}
\label{module et mesure quotients}
Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abélien topologique localement compact $G$.
Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact ; on dit que $Γ$ est
\textbf{cocompact} dans $G$.
Fixons des mesures de Haar $μ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $μ_X$
sur $Γ$ et $X$ respectivement.
À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer
la fonction « moyenne sur les $Γ$-orbites » :
\[
m_Γ(f): g↦ μ_Γ([+g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ).
\]
Cette fonction est $Γ$-invariante et induit
une fonction continue (à support compact) sur $X$,
également notée $m_Γ(f)$.
La forme linéaire $f↦ μ_X( m_Γ(f))$ est positive et $G$-invariante ;
c'est donc une mesure de Haar sur $G$, que nous noterons $μ_G$.
Par construction,
\[
∫_G f(g) dμ_G(g)=∫_X \Big( ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ)\Big) dμ_X(\sur{g}).
\]
On peut montrer l'existence d'un triplet de telles mesures de Haar
dès que $Γ$ est un sous-groupe fermé de $G$ (non nécessairement
discret ou cocompact).
% Nachbin, p. 86.
Il résulte immédiatement de la formule ci-dessus que pour tout
automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$,
on a
\[
\mod_G(φ)=\mod_{G/Γ}(φ)\mod_Γ(φ).
\]
Dans le cas particulier considéré ici,
on a $\mod_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
et $\mod_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
d'où $\mod_G(φ)=1$.

Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$,
et imposant à $μ_Γ$ d'être — par exemple — la mesure de comptage,
il existe une unique mesure de Haar sur $X=G/Γ$
telle que la formule d'intégration ci-dessus
soit satisfaite.

\subsubsection{Domaine fondamental}
\label{domaine fondamental}
Une autre approche pour intégrer sur le quotient
consister à définir un \textbf{domaine fondamental}
dans $G$ et intégrer dessus.
Esquissons une construction en conservant les notations du paragraphe précédent.
Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
que $U^{-1} U ∩ Γ = \{e\}$ (notation multiplicative).
Pour chaque $γ ∈ Γ$, notons $U_γ$ le translaté $U γ$.
Il résulte de la compacité de $X$ qu'il existe
un nombre fini d'éléments $g₁,…,g_n$ de $G$ tels
que $⋃_{i,γ} g_i U_γ=G$. (En effet, la réunion $⋃_{g,γ} g U_γ$ est
ouverte, $Γ$-saturée et se surjecte sur $X$.)
Supposons de plus $Γ$ \emph{dénombrable}. Sous cette hypothèse,
il existe donc une famille dénombrable d'ouverts $U₀,U₁,…$ de $G$ tels
que la projection $π:G ↠ X$ restreinte aux $U_i$ induise une \emph{injection}.
Alors,
\[
F= ⋃_i \Big( U_i - (⋃_{j<i} U_i Γ)\Big)
\]
est un \emph{domaine fondamental} : $π$ induit une \emph{bijection}
$F ⥲ X$. Cet ensemble est mesurable par construction, de mesure finie
et induit une mesure sur l'espace topologique $X$.
En effet, on peut considérer la forme linéaire envoyant $f ∈ 𝒞(X,𝐂)$ ($X$ est
compact) sur $\dot{μ}(f)=∫_F (f ∘ π) d μ$, la fonction $(f ∘ π) ⋅ 𝟭_F$ appartenant à $L¹(G,μ)$.
On vérifie immédiatement la formule d'intégration
du paragraphe précédent.

\subsection{Corps localement compacts : généralités et classification}
\label{corps localement compacts}

\subsubsection{}Soit $K$ un corps topologique localement
compact, non discret. Fixons une mesure de Haar $μ$ sur le
groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\mod_K(x)$
le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif
de $K$ : $μ(aX)=\mod_K(a)μ(X)$ pour toute partie
mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$.
Dans cette section nous allons montrer comment
construire une valeur absolue sur $K$
à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue
du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet}
dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}).
Nous terminons par une démonstration du
théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
%en déduirons qu'une extension finie d'un corps local est un corps local.
%Tout d'abord quelques résultats préparatoires.

\begin{proposition2}
\label{continuité de modK}
La fonction $\mod_K:K → 𝐑_+$ est continue et
satisfaisant l'égalité $\mod_K(ab)=\mod_K(a)\mod_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
\end{proposition2}

Ce résultat est également vrai lorsque $K$ est discret.

\begin{démo}
L'égalité est un cas particulier de la formule générale évidente :
$\mod(φ ∘ ψ)=\mod(φ) \mod(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
sont deux automorphismes d'un groupe localement compact.
Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact
de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$
il existe un voisinage ouvert $U_{a,ε}$ du compact $aC$
tel $μ(U_{a,ε}) ≤ μ(aC)+ε$ (cf. \ref{mesure des ensembles}).
Soit $A$ un voisinage compact de $a$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$,
dont l'existence est assurée par la continuité du produit.
Pour chaque $x ∈ A$, on a :
\[
\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\mod_K(x) ≤ \mod_K(a)+ ε μ(C)^{-1}.
\]
Il en résulte que la fonction $\mod_K$ est \emph{semi-continue
supérieurement}. En particulier, elle est continue en $0$ (où
elle atteint son minimum.) L'égalité $\mod_K(x)=\mod_K(x^{-1})^{-1}$
pour chaque $x ≠ 0$ montre qu'elle est aussi semi-continue
inférieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue.
\end{démo}

\begin{exercice2}
En déduire que $K$ n'est pas compact.
%cf. AVD-D, EVT localement compact est de dimension finie
\end{exercice2}

\subsubsection{}
\label{compacité des Br}
Soit $r>0$ un réel. Il résulte de la
proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\mod_K(x)
≤ r\}$ est un voisinage fermé de $0$ dans $K$. Montrons
qu'il est \emph{compact}. Soit $V$ un voisinage compact
de $0$ et $W$ un voisinage ouvert de $0$ tel que $WV ⊆ V$.
L'existence de $V$ résulte de la locale compacité de $K$ ;
celle de $W$ de la continuité du produit $K×K → K$.
Le corps $K$ étant non discret et $\mod_K$ étant
continue, il existe $x ∈ W ∩ V$ tel que
$0<\mod_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
pour tout $n ≥ 1$. Nous allons montrer que $B_r$ est contenu
dans une réunion finie d'ensembles $x^{-n}V$, $n ≥ 0$.
Soit $y$ une valeur d'adhérence de la suite $(x^n)$.
Le réel $\mod_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
suite $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
est nul. Comme la suite $(x^n)$ appartient au \emph{compact} $V$,
elle tend donc vers $0$. Ainsi, pour chaque $a ∈ K$, il
existe $n ≥ 0$ — que l'on peut supposer minimal —
tel que $x^n a$ appartienne à $V$.
Nous allons vérifier que si $a ∈ B_r$, on peut majorer $n$
indépendamment de $a$ ; ceci suffit pour conclure.
Si $n>0$, $x^n a ∈ V-xV$. Soit $X$
l'adhérence de $V-xV$ ; c'est un compact, car fermé
dans $V$, ne contenant pas $0$, car $xV$ en est un
voisinage. Il en résulte qu'il existe $m_r>0$
tel que $\mod_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
En particulier, $\mod_K(x^n a)=\mod_K(a) \mod_K(x)^n ≥ m_r$.
Comme $\mod_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\mod_K(x)<1$,
l'entier $n$ est majoré indépendamment de $a$. CQFD.

\subsubsection{}
\label{Br système fondamental de voisinages}
Les $B_r$ forment un système fondamental de
voisinage de $0$ dans $K$ : pour tout voisinage $V$ de $0$,
il existe $r>0$ tel que $B_r ⊆ V$. Pour le montrer, on peut
supposer $V$ compact (par locale compacité de $K$). Soit $ρ$
un réel strictement supérieur à la borne supérieure
de $\mod_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence
de $B_ρ-V$. C'est un compact ne contenant pas $0$. Soit $σ$
la borne inférieure de $\mod_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$.
Considérons enfin $0<r<σ$ ; par construction, $B_r ∩ X= ∅$
et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.

\subsubsection{}
\label{module est valeur absolue}
Soit
\[
A_K=\sup_{\mod_K(x) ≤ 1} \mod_K(1+x) ,
\]
le réel $ ≥ 1$ dont l'existence est assurée par la continuité
de la fonction $\mod_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
de $B_1$ (\ref{compacité des Br}).
Pour toute paire  $(x,y) ∈ K²$, on a l'inégalité
\[
\mod_K(x+y) ≤ A_K \max\{\mod_K(x),\mod_K(y)\}
\]
et $A_K$ est le plus petit réel pour lequel ceci soit vrai.
Pour vérifier l'inégalité, on peut supposer
$x ≠ 0$ et $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, auquel
cas on a $\mod_K(x+y)=\mod_K(1+yx^{-1}) \mod_K(x) ≤ A_K \mod_K(x)$ car
$\mod_K(yx^{-1})≤ 1.$

\subsubsection{}Soit $f_K$ la fonction $𝐍 → 𝐑_+$, $n ↦
\mod_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f_K ≤ 1$
\item $A_K=1$.
\end{enumerate}
Si elles sont satisfaites, on dit que $K$ est
\textbf{ultramétrique} ; dans le cas contraire,
on dit que $K$ est \textbf{archimédien}, auquel
cas il existe un réel $c>0$ tel que $f_K(n)=n^c$
(\refext{AVD-D}{lemme clef va sur Q}).
Vérifions l'équivalence ci-dessus. Une récurrence immédiate montre que (ii) entraîne (i).
Considérons la réciproque. Soient $r$ un entier et $n=2^r$.
Par récurrence sur $r$, on a
\[
\mod_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \mod_K(x_i)
\]
pour tout choix d'éléments $x₁,…,x_n ∈ K$.
Quitte à considérer des éléments nuls, cette inégalité
est également valable pour $n ≤ 2^r$.
Appliquant cette observation à la somme
\[
(x+y)^{2^r}=∑_{i=0}^{2^r} \binom{2^r}{i} x^i y^{2^r-i},
\]
où $x$ et $y$ sont des éléments quelconques de $K$
et la somme de gauche contient $2^r+1 ≤ 2^{r+1}$ termes, on
obtient, grâce à l'hypothèse faite sur $f_K$,
\[
\mod_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\mod_K(x)^i  \mod_K(y)^{2^r-i}\}.
\]
Si $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, on en tire
\[
\mod_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \mod_K(x),
\]
et l'inégalité ultramétrique par passage à la limite.

\subsubsection{}
\label{corps localement compacts archimédiens}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{archimédien}.
La restriction du module $\mod_K$ au sous-corps premier $𝐐$
est $|⋅|_∞^c$, où $|⋅|_∞$ désigne la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un réel.
D'autre part, la topologie induite sur $𝐐$ est celle donnée
par la valeur absolue : cela résulte de \ref{Br système
fondamental de voisinages}. L'adhérence $K₀$ de $𝐐$
dans $K$ est localement compacte donc complète : c'est donc
le complété de $𝐐$ pour la valeur absolue $|⋅|_∞$.
Le sous-corps fermé $K₀$ est donc isomorphe
(en tant que corps topologique) au corps
local premier $𝐑=𝐐_∞$. D'après \refext{AVD-D}{EVT localement
compact sur corps valué est de dimension finie}
l'extension $K \bo 𝐐_∞$ est nécessairement finie.
Algébriquement, $K$ est donc isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$.
Topologiquement, il en est de même car $K$
est homéomorphe à $𝐑^d$ où $d=[K:𝐑]$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT
sur corps valué complet}).

\subsubsection{}
\label{corps localement compacts ultramétriques}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{ultramétrique}.
Posons $𝒪=\{x ∈ K: \mod_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
nous notions $B₁$ précédemment. Il est donc compact. D'autre
part, on a $𝒪+𝒪=𝒪$ car $K$ est ultramétrique. Ainsi, $𝒪$
est un sous-anneau compact de $K$ ; il est maximal
car — comme il résulte de la continuité de $\mod_K$
et de la formule $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ —
tout sous-ensemble relativement compact de $K$
est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\mod_K(x)<1\}$
de $𝒪$ est un idéal ; il est maximal car tout élément de $x ∈ 𝒪-𝔭$
est de module $1$ donc d'inverse $x^{-1}$ dans $𝒪$.
Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
de $𝒪$ modulo $𝔭$. L'ensemble $𝒪$ est recouvert par les ouverts
disjoints $\{x ∈ K:\mod_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
fini ; le corps résiduel $k=𝒪/𝔭$ aussi. Le quotient $k$ étant
fini donc séparé, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝒪$ donc
compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
$\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
tel que $𝔭=\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
absolue $\mod_K$ est donc discrète : son
image est un sous-groupe discret de $𝐑_+$.
Ainsi, $K$ est le corps des fractions d'un anneau de
valuation discrète de corps résiduel fini.
Il résulte des théorèmes de structure
\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
que $K$ est une extension finie d'un corps local premier.

\begin{remarque2}On pourrait également étudier la structure
des corps localement compacts ultramétriques
suivant la méthode de \ref{corps localement compacts archimédiens}.
Esquissons brièvement comment procéder.
En caractéristique nulle, on peut à nouveau considérer
l'adhérence du corps $𝐐$ et utiliser \refext{AVD-D}{Ostrowki}).
En caractéristique $p>0$, on peut remplacer $𝐐$
par le corps $ℚ=𝐅_p(ϖ)$ engendré par un élément $ϖ ∈ K$ tel
que $\mod_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
sur $𝐅_p$ sans quoi il serait une racine de l'unité,
de module $1$. Utilisant \refext{AVD-D}{k-valuations de k(X)},
il en résulte que l'adhérence de $ℚ$ dans $K$
coïncide avec son complété une \emph{valuation}
discrète à corps résiduel fini.
D'après \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet
parfait égale caractéristique}) un tel corps
topologique est isomorphe à un corps de séries formelles
$𝐅_q((u))$. Ce dernier est lui-même fini sur son sous-corps
fermé $𝐅_p((u))$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}
\label{CL conditions équivalentes démo}
Nous pouvons maintenant vérifier les équivalences
annoncées en \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
\begin{itemize}
\item[(i) ⇒ (ii)] Soit $K$ un corps localement compact non
discret. Si $K$ est archimédien, il est isomorphe à $𝐑$
ou $𝐂$, cf. \ref{corps localement compacts archimédiens}.
Si $K$ est ultramétrique, c'est le corps des fractions d'un
anneau de valuation discrète à corps résiduel fini, muni
de sa topologie naturelle, cf. \ref{corps localement
compacts ultramétriques}.
\item[(ii) ⇒ (iii)] Soit $K$ un corps topologique
comme en (ii), ultramétrique. Il résulte des
théorèmes de structure
\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
que $K$ est fini sur un sous-corps local premier $K₀$.
Celui-ci est fermé dans $K$ car isomorphe à une droite
dans $K$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué complet}).
\item[(iii) ⇒ (i)] Les corps $𝐑$ et $𝐂$
étant localement compacts, il suffit de considérer
le corps des fractions $K$ d'un anneau de valuation
discrète complet $𝒪$ à corps résiduel fini.
Pour montrer que $K$, muni de la topologie déduite
de la valuation, est localement compact,
il suffit de vérifier que $𝒪$ est compact. (C'est
un voisinage de $0 ∈ K$.) Notons $𝔪$ l'idéal maximal
de $𝒪$. Cet anneau étant séparé et complet
pour la topologie $𝔪$-adique, c'est naturellement
un fermé du produit $∏_{n ≥ 1} 𝒪/𝔪^n$, où chaque anneau
quotient $𝒪/𝔪^n$ est muni de la topologie discrète.
Ces anneaux sont finis donc compacts ; il en est de même
de leur produit.
\end{itemize}
Parmi les précisions figurant dans l'énoncé
du théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes},
seule la non-unicité de $K₀$ dans le cas de la
caractéristique positive est à vérifier.
Or, si $K₀$ est un sous-corps local premier fermé
dans $K$, le sous-corps $K₁=K₀^p=𝐅_p((t^p))$ de $K$
satisfait les mêmes conditions. (Que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p((t))$
résulte par exemple du fait que la dérivation par rapport à $t$
est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)

\subsubsection{}
\label{extension finie corps local est local}
Soit $L\bo K$ une extension finie de corps.
Si $K$ est un corps local, $L$ peut être muni d'une
topologie qui en fait un corps local ; elle est unique
et $K$ est fermé dans $L$.
Cela résulte de \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué
complet}. (Notons que $L$ est non discret
car son sous-corps $K$ ne l'est pas.)

De plus, le corps $L$ est isomorphe comme $K$-espace
vectoriel topologique à $K^d$ où $d=[L:K]$.
Il en résulte que la restriction à $K$ du
module $| ⋅ |_L$ est $| ⋅|_K^d$.

\subsection{Mesure de Tamagawa locales}
\label{mesures Tamagawa locales}

\subsubsection{}
Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc}
et une description explicite des mesures de Haar
sur le groupe additif d'un corps local.

\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont}

\begin{enumerate}
\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle (au sens
de Riemann ou Lebesgue) $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}([0,1])=1$.
L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
topologique $K=𝐑$.
\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[ultram.] Soit $K$ un corps local ultramétrique et
soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ est localement
constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
d'après laquelle $\Hom_\cont(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^e}.
\]
On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$.
On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
à multiplication par une constante non nulle près.
(Cette constatation, élémentaire est également utile lorsque l'on
suit une approche dyadique pour définir l'intégration des fonctions
numériques ; cf. \cite{Elements@Colmez}.)
Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
\end{enumerate}

La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
précédents.

\begin{proposition2}
\label{module=module}
Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
termes, $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a|_K μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
c'est-à-dire
\[
|a|_K ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x)  dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
\]
pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
\end{proposition2}

Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
voir \cite[II. §1, prop. 2]{CL@Serre}.

\subsection{Caractères additifs d'un corps local}

\begin{définition2}
On appelle \textbf{caractère additif} d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ψ:K → 𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
\end{définition2}

Si $K$ est ultramétrique, l'hypothèse de continuité
revient à supposer le noyau de $ψ$ \emph{ouvert}.
% [Bushnell-Henniart] p. 10.
On note $\chap{K}$ l'ensemble des caractères additif d'un
corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.

\begin{définition2}
\label{niveau caractère}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
On appelle \textbf{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus grand
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
et $+∞$ sinon.
\end{définition2}

Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.

\subsubsection{}On suppose choisie une fois pour toute une orientation
sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 i π x)=e^{2 i π x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
De même, \mbox{$p>0$} étant implicitement fixé, on note $ψ_{𝐅_p}$
le caractère additif du corps fini $𝐅_p$ défini par $x ↦
𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.

\subsubsection{Exemples de caractères additifs des corps locaux}
\label{exemples caractères additifs locaux}
Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}_p),\] où $\{x\}_p$ désigne
l'unique rationnel $r$ (nécessairement dans $𝐙[1/p]$) tel que $0 ≤ r < 1$ et
$x-r ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x),\] resp.
\[𝐞_{p,t}:x ↦ ψ_{𝐅_p}(\Res_t(x dt)),\]
où $\Res_t(∑_{-n}^{+∞} a_i t^i dt)=a_{-1}$) est un caractère
additif du corps $K$, de niveau nul.

\begin{proposition2}
\label{caractère corps local}
Soit $K$ un corps local.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $𝐐_p$ ($p$
premier ou $p=∞$) est l'adhérence de $𝐐$ dans $K$, le
caractère additif $𝐞_{K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
le caractère additif $𝐞_{K,ω}: x ↦ ψ_{𝐅_p}(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
— où $\Res$ est le résidu défini en \refext{AVD-D}{résidu
forme différentielle formelle} — est non trivial.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i). L'extension $K\bo 𝐐_p$ étant séparable, la
trace $\Tr_{K\bo 𝐐_p}$ est surjective. Le caractère $𝐞_p$
étant non trivial, il en est de même de $𝐞_{K}$.
(ii). Même argument, joint au fait (\refext{AVD-D}{non nullité du résidu}) que
l'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
\end{démo}

On observe ici une différence fondamentale entre la caractéristique
nulle et la caractéristique positive : dans ce dernier cas,
il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.

\begin{proposition2}
\label{dual corps local}
Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
\[x ↦ \big([×x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
est un isomorphisme de groupes. De plus, si $ψ$ est
de niveau nul, l'image de $𝒪$ est l'ensemble des caractères triviaux
sur $𝒪$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
L'égalité $[×(x + x ′)]^*ψ=[×x]^*ψ × [×x ′]^* ψ$ résulte immédiatement
du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
évidente car $ψ$ est supposé non trivial ; si l'on suppose $ψ$ de
niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
par $λ ⋅ y = y + ι(λ)$, où $ι : k ⥲ 𝔪^{n+1}/𝔪^n$
est l'isomorphisme défini par le choix de $ϖ$.
De même, pour chaque $n ≥ 0$ et chaque
caractère additif $θ_n$ de $𝔪^{-n}$,
l'ensemble des prolongements de $θ_n$ en un
caractère de $𝔪^{-(n+1)}$ est naturellement
un torseur sous le groupe $\chap{k}$ :
on fait agir $χ ∈ \chap{k}$ sur $θ$
par $χ ⋅ θ = θ × \chap{ι}(χ)$ où $\chap{ι}: \chap{k} ⥲
\chap{𝔪^{-(n+1)}/ 𝔪^{-n}}$ est un isomorphisme.
Soit maintenant $ψ ′$ un caractère additif de $k$
et montrons qu'il appartient à l'image du morphisme
considéré dans l'énoncé. On peut le supposer de niveau nul.
D'après ce qui précède, et le fait que $k$ et $\chap{k}$
ait même cardinal (fini), il existe pour chaque $n ≥ 0$
un élément $x_n ∈ 𝒪$, unique modulo $𝔪^n$,
tel que $[× x_n]^* ψ$ et $ψ ′$ coïncident sur $𝔪^{-n}$.
La suite $(x_n)$ converge dans $𝒪$ vers un élément $x$ pour lequel $[× x]^* ψ = ψ ′$,
comme on le voit immédiatement par restriction aux sous-groupes
$𝔪^{-n}$ ($n ≥ 1$), qui recouvrent $K$.
% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
% voir aussi \jap{井草}, « An introduction to the theory of
% local zeta functions », chap. 8.
\end{démo}

\begin{remarque2}
L'existence d'un caractère non trivial a été établie
ci-dessus ; pour une autre démonstration de ce fait,
cf. \cite[8.1.1]{introduction@Igusa}.
Signalons que la non-trivialité de $\chap{K}$ est également
un corollaire de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}
\label{niveau et différente}
Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
et de caractéristique résiduelle $p>0$.
On a l'égalité
\[
n(e_{K})=v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
\]
entre le niveau du caractère additif non trivial
$e_{K}$ défini en \ref{caractère corps local}
et la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}

En caractéristique, l'interprétation du niveau
de $e_{K,ω}$ est plus subtile.
Voir le théorème de Riemann-Roch pour un énoncé global.

\begin{proposition2}
\label{niveau reste nul si extension nette}
Soit $L\bo K$ une extension séparable nette
de corps locaux et soit $ψ$ un caractère de $K$.
Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de même
du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. %Plus généralement, […]
\end{proposition2}

Pour un extension au cas global et non nécessairement
net, cf. \ref{Riemann-Hurwitz}.

\begin{démo}
Trivial : cf. \refext{AVD-D}{}.
\end{démo}

\subsection{Transformation de Fourier locale}

\subsubsection{Espace de Schwartz}
\label{BS-local}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble des
fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont les conditions
suivantes de régularité et de décroissance à l'infini. Lorsque $K$ est
archimédien, on demande que $f$ soit une fonction $𝒞^∞$
de $d=[K:𝐑]$ variables réelles et que chacune de ses
dérivées partielles $g$ soit à décroissante rapide : pour tout $n ∈ 𝐍$,
la fonction $x ↦ |x|^n g(x)$ est bornée.
Lorsque $K$ est ultramétrique, on
pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \textbf{espace de Schwartz} ou
de \textbf{Bruhat-Schwartz}.

\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$
le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Dans le cas global, cette notation aura un autre sens ; cela ne devrait pas
prêter à confusion. Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}
\[
∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}\big( (f ψ_x)^{-1}(λ)\big),\]
où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
localement constante à support compact $f ψ_x$.
Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}$ est la
transformation de Fourier usuelle, que nous noterons
aussi $ℱ_𝐑$, % notation XXX
\[
f↦ \big(x ↦ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2i π tx) dt\big).
\]
\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
\end{enumerate}
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-(r+n(ψ))}}.
\]
En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{-n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([+a]^*f)=ψ_{-a} ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$,
où $[+a]^*f$ désigne la fonction $y ↦ f(y+a)$ ;
\item $ψ_a f$ appartient à $𝒮(K)$ et $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(ψ_a f)=[+a]^* ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$.
\end{enumerate}
\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [×(-1)]^*,
\]
où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \textbf{auto-duale}
(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{-½n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $μ_{ψ_a}=√{|a|} μ_ψ$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\subsubsection{}
\label{dépendance Fourier local en caractère}
On note $ℱ_ψ$ la transformation de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. Il résulte immédiatement de (vi)
que l'on a
\[
ℱ_{ψ_a}(f) = |a|^{½}[×a]^*\big(ℱ_ψ(f)\big).
\]

\begin{démo}
Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
par exemple \cite[chap. VII, §6]{distributions@Schwartz}
ou \cite[chap. VII, §1]{analysisI@Hormander}. La détermination
des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une
gaussienne\footnote{On veut montrer que $∫_𝐑 e^{-2 i π xy}e^{-πx²}dx=e^{-πy²}$.
Or, le terme de gauche est une fonction $g$ de $y$ satisfaisant
l'équation différentielle $g′(y)=-2πyg(y)$. On a donc $g(y)=C e^{- π y²}$,
où $C=∫_𝐑 e^{-π x²}dx>0$. Enfin, par Fubini et changement de variable, on a
$C²=∫_{𝐑²} e^{-π (x²+y²)}dxdy= 2π ∫_{𝐑^+} e^{-π ρ²}ρdρ=1$.}.
Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})(x)=∫_{𝔪^r} ψ(xy) d
μ^{\mbox{\minus $+$}}(y).
\]
Si $x 𝔪^r$ est contenu dans $𝔪^{n(ψ)}$, l'intégrande
est constante égale à $1$ de sorte que l'intégrale
vaut $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝔪^r)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)/q^r$.
(Voir p. ex. \ref{module=module} pour cette dernière égalité.)
Dans le cas contraire, l'intégrale est nulle. En effet,
on a la généralisation suivante de
\refext{Fin}{variante-orthogonalite-caracteres} :
pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
sus-mentionné.)
(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
soit stable par multiplication par les caractères $ψ_a$ est
un cas particulier du fait général suivant : le produit
d'une fonction localement constante par une fonction localement
constante à support compact est localement constante à support
compact.
(i) On a vu en \ref{mesures Tamagawa locales} que l'espace vectoriel $𝒮(K)$
est engendré par les fonctions caractéristiques $𝟭_{a + 𝔪^r}=[+a]^*[× ϖ^r] 𝟭_{𝒪}$, $a ∈ K, r ∈ 𝐙$.
La stabilité de l'espace de Bruhat-Schwartz par la transformation de
Fourier résulte immédiatement du calcul explicite (ii), de la formule (iii.b)
et du fait que $𝒮(K)$ est stable par multiplication $ψ_{-a}$ (iii.c).
(iv). Notons $ℱ$ pour $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$. D'après ce qui
précède on a les égalités :
\[
\begin{array}{rcl}
ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r}))	& = & [-a]^*ℱℱ(𝟭_{𝔪^r}) \\
					& = & [-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-n(ψ)-r}}) \\
					& = & \frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}[-a]^* 𝟭_{𝔪^r} \\
					& = & c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
\end{array}
\]
où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
La conclusion en résulte par linéarité des endomorphismes $ℱ²$ et $[×(-1)]^*$.
(v) D'après ce qui précède, un mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
auto-duale relativement à un caractère additif non trivial $ψ$
si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{-n(ψ)}{2}}$.
L'existence et l'unicité en découle.
(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=n(ψ)+v(a)$ et de (v).
\end{démo}

Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.

\begin{exemple2}
\label{exemple Fourier et Gauss}
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙=𝐅_p$
et on étend $χ$ à $𝐅_p$ en la prolongeant par zéro.
On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
\[
ℱ_{𝐞_p}(f_χ)=\frac{G(χ)}{p} [×p]^* f_{\sur{χ}},
\]
où $G(χ)$ est la somme de Gauß
\[
∑_{x ∈ 𝐅_p} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
\]
Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez} et \ref{facteur epsilon ultramétrique},
\emph{infra}.
\end{exemple2}

%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
%près par une unité.

Abordons maintenant la théorie multiplicative.

\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps local}

\subsubsection{Structure de $K^×$}
\label{structure de Kétoile}
Soit $K$ un corps local.
S'il est ultramétrique, on fixe une uniformisante $ϖ$.
Tout élément $x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
\[
x=x₁ ρ,
\]
où $x₁$ appartient au groupe \emph{compact} $𝒰=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$,
et $ρ>0$ si $K$ est archimédien ou $ρ ∈ ϖ^𝐙$ si $K$ est ultramétrique.
De plus, $x ↦ x₁$ est un épimorphisme continu, qui coïncide avec l'identité
sur $𝒰$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
est isomorphe au produit direct $𝒰 × K^×_{>0}$,
où l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$
(resp $ϖ^𝐙$) de $K^×$. (Notons que dans le cas
ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$ et $𝒰$
égal à $𝒪^×$.)

\begin{définition2}
\label{quasi-caractère}
On appelle \textbf{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \textbf{non
ramifié} ou \textbf{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
compact $𝒰=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}

Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}. (Si $K^×$ était compact, tout quasi-caractère serait un caractère.)

\subsubsection{}
\label{définition conducteur}
Supposons $K$ ultramétrique. Les sous-groupes $1+𝔪^n$ de $𝒰$ forment un système fondamental
de voisinages (compacts ouverts) de l'unité.
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ de $K$
est donc trivial sur l'un d'entre eux.
On appelle \textbf{conducteur} de $χ$,
noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention d'écriture que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
si il est de conducteur nul. Traditionnellement, on note
aussi $𝔣_χ$ l'\textbf{idéal conducteur} $𝔪^{a(χ)}$ d'un
quasi-caractère $χ$.

\subsubsection{}
\label{notation omega-s et remarque sur caractères}
Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
multiplicatif net. On a $ω_s=ω₁^{s}$, où $ω₁:x ↦ |x|$ est à
valeurs dans $𝐑^×_+$. Le quasi-caractère $ω_s$ est un \emph{caractère}
si et seulement si $s ∈ 𝐑$.

\begin{proposition2}
\label{description quasi-caractères}
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local
est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
où $χ₁$ est un caractère de $𝒰$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
(resp. archimédien).
Si $K$ est archimédien, le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^{-a}$,
pour un unique entier $a$ appartenant à $𝐙$ si $K=𝐂$ et à $\{0,1\}$ si $K=𝐑$.
Si $K$ est ultramétrique, le caractère $χ₁$ se factorise de façon unique à travers
un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal conducteur de $χ$.
\end{proposition2}

Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^{-a})$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$.
Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien. Si $K$ est réel, le quasi-caractère $x↦ x^{-1}$ n'est autre
que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.

\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
caractère de $𝒰$ et, par construction, le quasi-caractère
multiplicatif $x ↦ χ(x) χ₁(x₁)^{-1}$ est net. Il suffit
donc de démontrer que tout quasi-caractère net $χ$ est de la
forme $ω_s$. Par définition, $χ$ se factorise
à travers le quotient $K^× ↠ K^×_{>0}$.
Si $K$ est ultramétrique, ce dernier groupe
est isomorphe à $𝐙$ et $χ=ω_s$ dès lors
que le nombre complexe non nul $χ(ϖ)$
est égal à $|ϖ|^s=q^{-s}$.
Si $K$ est archimédien, il faut vérifier que tout morphisme
continu $f:𝐑^×_{>0} → 𝐂^×$ est de la forme $ρ ↦ ρ^s$ pour un
unique $s ∈ 𝐂$. Si $f$ est à valeurs réelles positives
(resp. de module unité) cela résulte par passage au logarithme du fait que
toute fonction additive continue $𝐑 → 𝐑$
(resp. $𝐑 → 𝐑/𝐙$) est une homothétie (resp. se relève en une
homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage
immédiat. % références ?
\end{démo}

\begin{lemme2}
\label{quasi-caractères Rplusétoile}
Les quasi-caractères de $𝐑_{>0}$ sont de la forme $t↦ t^s$,
pour un unique $s ∈ 𝐂$.
\end{lemme2}

\begin{lemme2}
\label{quasi-caractères Z}
Soit $r>0$. Les quasi-caractères de $r^𝐙$ sont de la forme
$t↦ t^s$, où $s ∈ 𝐂$ est bien défini modulo $2 π i / \log(r)$.
\end{lemme2}

\begin{définition2}
\label{partie réelle quasi-caractère local}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \textbf{partie
réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}

\subsubsection{}
\label{notation quasi-caractère dual}
À tout quasi-caractère $χ$, on associe
le quasi-caractère $\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$. On a $\Re(\chap{χ})=1-\Re(χ)$.

\subsection{Transformation de Mellin}\footnote{Nous conseillons au lecteur
d'omettre cette section en première lecture. Elle n'est pas utile
avant la démonstration des résultats
énoncés en \ref{énoncé équation fonctionnelle zêta}.}

\subsubsection{Transformation de Mellin réelle : généralités}
\label{transformation Mellin réelle}
Afin de motiver les considérations qui vont suivre, nous
esquissons ci-dessous la définition de la transformation
de Mellin usuelle et son application à l'étude de la
fonction zêta. Pour de plus amples développements,
incluant la formule d'inversion, voir par exemple
\cite[§1.5]{Fourier@Titchmarsh}.
Soit $f : ]0,+∞[ → 𝐑$ une fonction, disons continue.
Si $f$ n'est pas trop singulière en $0$,
par exemple si c'est un $O(t^{A})$, la fonction
\[
ζ_{≤1}(f,s)=∫₀¹ f(t)t^{s} \frac{dt}{t}
\]
est holomorphe sur $\Re(s)>-A$.
Lorsque $f(t) ∼ ∑_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}$
en $0$\footnote{Cette notation signifie que
pour chaque entier $n ≥ 1$, on a
$f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k} = O(t^{α_n})$.}
— où la suite $(α_k)$ des exposants est strictement croissante et tend vers $+∞$ —
on peut pour chaque $n$ écrire
\[
ζ_{≤ 1}(f,s)=
∫₀¹(f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}) t^{s} \frac{dt}{t}
+ ∑_{k=0}^{n-1} \frac{a_k}{α_k + s},
\]
où le premier terme est, d'après ce qui précède,
holomorphe sur $\Re(s)>-α_n$.
Il en résulte que $ζ_{≤ 1}(f)$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$
à pôles simples en chaque $-α_k$, de résidu $a_k$.
On peut bien entendu procéder en même en l'infini
et poser
\[
ζ_{ ≥ 1}(f,s)= ∫₁^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}.
\]
Lorsque les deux fonctions $ζ_{≤ 1}(f)$ et $ζ_{≥1}(f)$
se prolongent en des fonctions méromorphes sur un domaine
commun, on définit la \textbf{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
de $f$ comme la fonction
\[
ζ(f,s)=ζ_{≤ 1}(f,s) + ζ_{ ≥ 1}(f,s) = \text{« } ∫₀^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t} \text{ »}.
\]

\begin{remarque2}
Comme on l'a vu en \ref{notation omega-s et remarque sur caractères},
les caractères du groupe topologique localement compact $G=𝐑^×_+$
ne sont autres que les $t↦ t^{s}$ pour $s$ imaginaire
pur. D'autre part, la mesure $\frac{dt}{t}$ est une mesure de Haar
sur $G$ (voir \ref{sorites mesures multiplicatives locales}).
Ainsi, la transformation de Mellin, du moins restreinte à des
droites verticales de $𝐂$, peut être vue comme un cas particulier
de transformation de Fourier générale (cf. p. ex., \BourbakiTS{II.§1.nº2}
ou \cite[chap. VII]{introduction@Katznelson}.
Notons également que ce lien est également visible en faisant le changement de variable
$t=e^x$, qui échange transformation de Mellin et transformation de Fourier
sur $𝐑$. %Dym, McKean, « Fourier… », § 2.6 p. 103
\end{remarque2}

\subsubsection{Exemple}
\label{exemple Mellin réel}
Si $λ$ est un réel strictement positif,
on a $ζ(t↦  e^{-λt},s)=Γ(s) λ^{-s}$, fonction méromorphe
sur $𝐂$, où
\[
Γ(s)= ∫_0^{+∞} e^{-t} t^{s-1} dt\]
est la fonction Gamma usuelle.
Cette formule est également valable lorsque $λ=0$ :
on a $ζ(𝟭)=0$, où $𝟭$ désigne ici la fonction constante
égale à $1$. En effet, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,s)=\frac{1}{s}$
et $ζ_{≥1}(𝟭,s)=-\frac{1}{s}$. (Notons cependant
que l'intégrale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge
pour aucune valeur de $s$.)
On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de
\[
∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
t^{k-1},
\]
où la seconde égalité n'est autre que la définition
des nombres de Bernoulli, est la fonction $Γζ$
et celle de
\[
ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}
\]
la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$.
\subsubsection{}
Notons que la fonction $Γ ζ$  n'est \emph{a priori} définie
que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après
ce qui précède en une fonction méromorphe
sur $𝐂$, ayant des pôles simples de résidus explicites.
Observons que la fonction Gamma a pour uniques pôles (simples) les entiers
négatifs, comme il résulte immédiatement de l'identité
$Γ(s+1)=s Γ(s)$ ($\Re(s)>0$) et que $Γ(1)=1$. Ceci permet de
calculer le résidu en $s=1$ de $ζ$ et la valeur de cette
fonction en les entiers négatifs ou nuls
(cf. \ref{propriétés zêta Euler-Riemann} \emph{infra}).
D'autre part, il résulte de la formule de Poisson
\[
∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n)
\]
appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que
$θ(t)=\frac{1}{√{t}} ψ(\frac{1}{t})$ où
$θ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$.
En appliquant la transformation de Mellin à cette
équation fonctionnelle (due à Jacobi),
on trouve immédiatement $ζ(θ,s)=ζ(θ,½-s)$ et de même pour $ψ$
car $ζ(𝟭)=0$. On a donc démontré le théorème suivant,
dont l'énoncé et la démonstration forment un prototype des
résultats que nous souhaitons démontrer dans ce chapitre.

% Très classique.  Référence utilisée : Zagier, « The Mellin
% … ».

\begin{théorème2}
\label{propriétés zêta Euler-Riemann}
La fonction zêta
\[
ζ(s)=∑_{n} n^{-s}
\]
s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$
ayant un unique pôle, simple de résidu $1$, en $s=1$
et pour chaque $n ≥ 0$, on a
\[
ζ(-n) = (-1)^n \frac{B_{n+1}}{n+1}.
\]
De plus, la fonction $\chap{ζ}(s)=ζ(s) π^{-s/2} Γ(s/2)$
satisfait l'équation fonctionnelle
\[
\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s).
\]
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
Signalons un argument élémentaire conduisant
à l'existence d'un pôle simple en $s=1$ de
la fonction zêta.
Soit en effet,
\[
ζ^⋆(s):=(1-2 ⋅ 2^{-s})ζ(s),
\]
aussi notée parfois $η(s)$ (« fonction éta de Dirichlet »).
Pour chaque réel $s>1$, on a l'égalité
\[
ζ^⋆(s)=∑_n n^{-s} -2 ∑_n 2^{-s} n^{-s}=-∑_n (-1)^n n^{-s} :
\]
c'est la \emph{fonction zêta alternée}.
Le terme de droite étant convergeant dès que $s>0$
(série alternée), on peut étendre $ζ^⋆$ à $𝐑_{>0}$ et l'on a
$ζ^⋆(1)=\log(2)$. On en déduit que la fonction zêta
de Riemann a un pôle simple en $s=1$ et se prolonge à $\{s:s>0\}$.
\end{remarque2}

\begin{exercice2}
Montrer, à la manière d'Euler, que
$ζ^⋆(0)=\frac{1}{1+x}|_{x=1}$ (resp. $ζ^⋆(-1)=\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+x})|_{x=1}$)
et en déduire une autre démonstration des formules
\[
ζ(0)=-½
\]
et
\[
ζ(-1)=-\frac{1}{12}.
\]
Pour une présentation moderne de la « démonstration »
d'Euler de l'équation fonctionnelle,
cf. \cite[II.2.3]{Divergent@Hardy}.
\end{exercice2}
% cf. aussi exposé de Gross à Orsay (SAGA).

\subsubsection{Mesures multiplicatives}
\label{sorites mesures multiplicatives locales}
Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive sur
un corps local $K$. Rappelons que l'on note $q$ le cardinal du corps résiduel
lorsque $K$ est ultramétrique ; convenons ici de poser $q=∞$
si $K$ est archimédien.
La mesure sur $K^×$ définie par
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
où l'on convient que $∞^{-1}=0$, est une mesure de Haar (cf.
§\ref{généralités sur mesures}) : si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
la fonction $f ω_{-1}$, ou plutôt son prolongement
$\gtilde{f ω_{-1}}$ par $0$ en zéro,
appartient à $𝒞_c(K,𝐂)$ et la forme linéaire
\[
f ↦  \frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(\gtilde{f ω_{-1}})=
\frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}} f(x)|x|^{-1} d μ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
\]
est une mesure de Radon positive, invariante par
multiplication (cf. \ref{module=module}).
On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ la mesure de Haar
multiplicative associée à la mesure de Tamagawa $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{mesures Tamagawa locales}).

\begin{proposition2}
Si $K$ est ultramétrique, on a l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒪^×)=1$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
En effet, le terme de gauche est, par construction, égal à
$\frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)$.
Or, $𝒪^×$ est extension du groupe $k^×$ (de
cardinal $q-1$) par le groupe $1+𝔪=1+ϖ 𝒪$. On a donc
$μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)=(q-1) μ^{\mbox{\minus
$+$}}(1+𝔪)$. D'autre part, $μ^{\mbox{\minus $+$}}(1+𝔪)=μ^{\mbox{\minus
$+$}}(𝔪)=q^{-1} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)$, où
la dernière égalité résulte de \ref{module=module}.
\end{démo}

\subsubsection{Fonction zêta locale : définition}
\label{fonction zêta locale}
Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et soit $ψ$ un caractère additif de $K$.
Pour toute fonction $f$ sur $K$ telle que $f_{|K^×} ⋅ χ$ soit
intégrable, on pose :
\[
ζ_ψ(f,χ)= ∫_{K^×} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
\]
où l'on rappelle que la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$
n'est autre que la mesure de Haar associée (selon
le procédé expliqué en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
La dépendance en $ψ$ est triviale : si $ψ ′$ est un autre
caractère additif non trivial, il existe une constante non
nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ ; si les
niveaux $n(ψ)$ et $n(ψ ′)$ sont égaux, $c=1$ (cf. \emph{loc. cit.}).
Si $ψ$ est de niveau nul, c'est-à-dire si $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus$×$}}₁$,
nous nous autorisons à l'omettre des notations.
Pour étudier la dépendance en $χ$ dans les familles $χ ω_s$
de ces transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s).
\]
(On a alors $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(f,χ,0)$.)

\begin{remarque2}
\label{quasi-caractères=variété}
Plutôt que de fixer $χ$ et introduire la variable complexe $s$
on pourrait — à l'aide de la proposition \ref{description quasi-caractères} —
munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
de variété analytique (cf. p. ex. \cite[§2.1]{Weil2@Deligne}, \cite[VII.§3]{BNT@Weil}).
\end{remarque2}

\subsubsection{Cas archimédien réel : interprétation}
\label{fonction zêta archimédienne}
Si $K=𝐑$ et $ψ=𝐞_∞$ (\ref{exemples caractères additifs locaux}),
la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$ est la mesure
de Lebesgue usuelle (cf. \ref{Fourier et mesure locaux}) et l'on a :
\[
ζ_{𝐞_∞}(f,1,s)=ζ(f,s),
\]
où le terme de droite est la transformée de Mellin réelle de $f$
considérée en \ref{transformation Mellin réelle}
et $1$ désigne le caractère multiplicatif trivial.

\subsubsection{Cas archimédien : calculs}
\label{Mellin local archimédien}
Supposons maintenant le corps local $K$ archimédien quelconque.
Les gaussiennes
\[
g_𝐑(x)=\exp(- π xx) ∈ 𝒮(𝐑)
\]
et
\[
g_𝐂(z)=\frac{1}{π} \exp(- 2 π z \sur{z}) ∈ 𝒮(𝐂),
\]
jouent un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ dans le cas ultramétrique.
Pour chaque nombre complexe $s$ de partie réelle strictement
positive, on a
\[
ζ_𝐑(s):=ζ(g_𝐑,1,s)=π^{-½s}Γ(½s)
\]
et
\[
ζ_𝐂(s):=ζ(g_𝐂,1,s)=2(2 π)^{-s} Γ(s).
\]
Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
$x=√r$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π x²} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}.
\]} ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas
complexe\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐂(s)
:=\frac{1}{π}∫_{𝐂^×} e^{-2 π z \sur{z}} |z|_𝐂^s \frac{dxdy}{|z|_𝐂}
=\frac{1}{π} ∫_{𝐑_× × [0, 2 π]} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ
=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑_×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}.
\]}.
À une constante multiplicative près dépendant des auteurs, ces fonctions
zêta locales sont appelées « facteurs Gamma » et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
On suit ici le choix de P. Deligne (\cite[§3.2]{constantes@Deligne}) ;
voir aussi \cite[§3.1]{NTB@Tate}.
Pour une variante, voir par exemple \cite{Facteurs@Serre}.
Notons qu'avec notre convention, on a la \emph{formule de duplication} :
\[
ζ_𝐂(s)=ζ_𝐑(s)ζ_𝐑(s+1).
\]
(Cf. P. Deligne, \emph{op. cit.}, prop. 3.8 pour une interprétation.)
% attribuée à Legendre par Neukirch.

\subsubsection{Cas ultramétrique : réécriture}
\label{Mellin et Z}
Supposons maintenant $K$ ultramétrique et considérons pour chaque $n ∈ 𝐙$ le
translaté $𝒰_n$ du groupe des unités $𝒰=𝒪^×$ par $ϖ^n$ :
\[
𝒰_n=\{x ∈ K^×:|x|=q^{-n}\}=\{x ∈ K^×:v(x)=n\}.
\]
La restriction de $f$ au \emph{compact} $𝒰_n$ est
localement constante donc intégrable et l'on pose
\[
z_ψ(f,χ)_n=∫_{𝒰_n} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ
\]
Pour $n ≪ 0$, $𝒰_n$ ne rencontre par le support de $f ∈ 𝒞_c(K)$ ; ce coefficient est alors nul.
On peut donc définir la série de Laurent formelle
\[
Z_ψ(f,χ,X)=∑_{n ∈ 𝐙} z_ψ(f,χ)_n X^n ∈ 𝐂((X)).
\]
Soit $ρ_{f,χ} ≥ 0$ le rayon de convergence de la série
$Z_ψ(f,χ,X)$. Le quasi-caractère $ω_s$ étant constant de
valeur $q^{-ns}$ sur $𝒰_n$, l'intégrale $ζ_ψ(f,χ,s)$
est absolument convergente et holomorphe sur le
domaine $\Re(s)> -\log_q(ρ_{f,χ})$ et l'on a
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s}).
\]

\subsubsection{Cas ultramétrique : calculs}
\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
Toute fonction dans $𝒮(K)$, où $K$ est local ultramétrique, étant combinaison linéaire de
fonctions caractéristiques $f=𝟭_{x+𝔪^e}$ ($x ∈ K, e ∈ 𝐙$),
le calcul de fonctions zêta locales ultramétriques se ramène
au calcul des séries $Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$, relativement
à un caractère additif que l'on peut supposer de niveau nul. Nous allons
distinguer les deux cas $x ∈ 𝔪^e$, c'est-à-dire $x+𝔪^e=𝔪^e$, et $x ∉ 𝔪^e$,
c'est-à-dire $f(0)=0$.

Il est immédiat que $z(𝟭_{𝔪^e},χ)_n$ vaut $χ(ϖ)^n ⋅ ∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁$
si $n ≥ e$ et est nul sinon. (On rappelle que $χ₁$ est la restriction
à $𝒰$ de $χ$.) D'autre part, il résulte de l'orthogonalité des caractères
et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒰)=1$ que l'intégrale
$∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ vaut $1$ si $χ₁$ est trivial, c'est-à-dire
si $χ$ est net, et $0$ sinon. Ainsi,
\[
Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)X} & \text{si $χ$ est net}\\
\displaystyle 0  & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Dans le premier cas, le rayon de convergence de $Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)$
est $|χ(ϖ)|^{-1}=q^{-\Re(χ)}$.

Considérons maintenant le second cas : l'élément $x$ de $K$ n'appartenant pas
à $𝔪^e$, c'est-à-dire tel que $r=v(x)<e$. Tout élément de $x +
𝔪^e$ est de valuation $r$. D'autre part, un élément
de $x+𝔪^e$ s'écrit de manière unique sous la forme
$x(1+y)$ où $y ∈ 𝔪^{e-r}$. Il en résulte immédiatement
que $z(𝟭_{x+𝔪^e},χ)_n=χ(x) ⋅ ∫_{1+𝔪^{e-r}} χ₁  dμ^{\mbox{\minus
$×$}}₁$ si $n =r$ et $0$ sinon. Il résulte à nouveau de
l'orthogonalité des caractères et de
l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(1+𝔪^i)=
\frac{q^i}{1-q^{-1}}$ ($i ≥ 1$) que
$Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$ vaut $\frac{χ(x) q^e }{1-q^{-1}} (\frac{X}{q})^{r}$
si ${χ₁}_{| 1+𝔪^{e-r}}=1$ et $0$ sinon.

\begin{remarque2}
\label{Matchett}
La formule
\[
ζ(𝟭_𝒪,χ \text{ net},s)=\frac{1}{1-χ(ϖ)|ϖ|^s}
\]
rappelle sans équivoque un facteur eulérien, analogue
des facteurs Gamma considérés ci-dessus.
(Rappelons que la notation sous-entend que
la caractère additif $ψ$ utilisé est de niveau nul.)
Généralement attribuée à Margaret \textsc{Matchett} (thèse « On the Zeta Function for
Ideles », 1946), cette formule est un des points de départ de la méthode
— due indépendamment à \textsc{Iwasawa} Kenkiti et John \textsc{Tate} — pour
démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
\end{remarque2}

\begin{théorème2}
\label{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non
trivial et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'intégrale
$∫_{K^×} f χω_s  d μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ$ est absolument
convergente et définit une fonction holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$.
Si de plus $f$ est nulle au voisinage de $0$, l'intégrale est
absolument convergente et holomorphe sur $𝐂$.
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, la fonction
$ζ_ψ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Il existe une fonction méromorphe non nulle $s ↦ γ_ψ(χ,s)$ telle que,
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'équation fonctionnelle
suivante soit satisfaite :
\[
γ_ψ(χ,s)ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Rappelons (\ref{notation quasi-caractère dual}) que
$\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$ est de partie réelle $1-\Re(χ)$.
On a a trivialement
\[
ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),χ^{-1},1-s).
\]

La démonstration du théorème occupe les trois paragraphes suivants.
Pour l'analogue global, cf. \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
\subsubsection{}
Si $K$ est ultramétrique, il résulte des
calculs effectués en \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
que $ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s})$ où $Z_ψ(f,χ,X)$ est
une fraction rationnelle dont l'ensemble des pôles
est inclus dans $\{0,χ(ϖ)^{-1}\}$.
Les résultats (i) et (ii) sont alors évidents.
(L'holomorphie sur $𝐂$ lorsque $f(0)=0$ a déjà été
constatée.) Démontrons (i) dans le cas archimédien.
L'intégrabilité de la fonction sur l'ouvert $|x|>1$ résulte
immédiatement du fait que $f$ est à décroissance rapide en
l'infini. Pour démontrer l'intégrabilité sur le fermé $|x| ≤ 1$,
on se ramène à la convergence de l'intégrale
\[
∫_{|x|<1} ω_σ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}
\]
pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. Si $K=𝐑$, cette convergence
est classique ; le cas $K=𝐂$ s'y ramène en utilisant
des coordonnées polaires. (Si $f$ est nulle
au voisinage de l'origine, on a convergence pour tout $s$.)
L'holomorphie résulte d'un théorème classique de dérivation
sous le signe somme (cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}).
Nous verrons ci-après que l'équation fonctionnelle et (i)
entraînent formellement l'existence d'un prolongement
méromorphe des fonctions zêta.
%Il résulte de (i) que l'équation fonctionnelle
%entraîne l'existence d'un prolongement méromorphe.
%En effet, la fonction $ζ_ψ(χ,f,s)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$
%et égale sur la bande $-\Re(χ)<\Re(s)<1-\Re(χ)$ à la
%restriction de la fonction $γ_ψ(χ,s)^{-1}ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$,
%méromorphe sur le demi-plan $\{s:\Re(-s)>-\Re(\chap{χ})\}=
%\{s:\Re(s)<1-\Re(χ)\}$ d'après (i) et la non nullité du
%facteur $γ$.

\subsubsection{}Pour démontrer l'équation fonctionnelle,
nous allons commencer par établir une formule de « $ζ$-Plancherel ».
Supposons $0<\Re(χ)<1$ et considérons deux fonctions $f,g ∈ 𝒮(K)$.
Alors, on a l'égalité :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ),
\]
où l'on note pour simplifier— et ce jusqu'à la fin de la démonstration — $ζ$
(resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ℱ_ψ(f)$, etc.).
En effet, le terme de gauche se réécrit
\[
∫_{K^× × K^×} f(x)\chap{g}(y)χ(x y^{-1}) |y|  d
{μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}.
\]
On peut voir cette égalité comme un cas particulier,
mais crucial, du théorème de Fubini appliqué
à une fonction de deux variables séparées,
c'est-à-dire de la forme $(x,y)↦ (φ₁ ⊠ φ₂)(x,y)=φ₁(x)φ₂(y)$.
On effectue le changement de variables $(x,y) ↦
(x,xy)$ ; il préserve la mesure de Haar produit
${μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}$. Il résulte
alors du théorème de Fubini que l'on a :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=∫_{K^×}h_{f,g}(y)χ(y^{-1})|y| d μ^{\mbox{\minus $×$}}(y)
\]
où
\[
h_{f,g}(y)= ∫_{K^×} f(x)\chap{g}(xy)|x| d μ^{\mbox{\minus
$×$}}(x)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K} f(x)\Big(∫_K g(z) ψ(xyz)  d
μ^{\mbox{\minus$+$}}(z)\Big)  d μ^{\mbox{\minus$+$}}(x).
\]
La seconde égalité résulte de la définition de la transformation de
Fourier et \ref{sorites mesures multiplicatives locales}.
Enfin, une seconde application du théorème de Fubini donne
\[
h_{f,g}(y)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K^× × K^×} f(x) g(z) ψ(xyz) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x) d μ^{\mbox{\minus$+$}}(z)
= h_{g,f}(y).
\]
L'expression $ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})$ étant symétrique
en $f$ et $g$, elle est nécessairement égale à $ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ)$.

\subsubsection{}Supposons dorénavant $\Re(χ)=½$, comme il
est loisible de le faire. Il existe une fonction $g ∈ 𝒮(K)$
à support contenu dans une boule fermé centrée en $1$
ne contenant pas l'origine telle que $ζ(g,χ) ≠ 0$.
En effet, l'égalité $χ(1)=1$ entraîne l'existence d'un
voisinage $V$ de $1 ∈ K^×$ sur lequel la partie
réelle des nombres complexes $χ(x)$, $x ∈ V$, est strictement
positive ; la conclusion en résulte aussitôt.
La fonction $ζ(g,χ,s)$ est donc holomorphe, non identiquement
nulle. Considérons la fonction méromorphe sur $\{s:\Re(s)<½\}$ :
\[
γ(χ,s)=\frac{ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)}{ζ(g,χ,s)}.
\]
D'après la formule de $ζ$-Plancherel, on a l'égalité
\[
ζ(f,χ,s)= γ(χ,s)^{-1} ζ(\chap{f},\chap{χ},-s),
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$ et tout nombre complexe $s$
tel que $|s|<½$. (Cette égalité est à considérer
dans le corps des fonctions méromorphes sur cet ouvert.)
Le terme de gauche est holomorphe sur
$\Re(s)>-½$ ; celui de droite est méromorphe pour $\Re(s)<½$.
La fonction $ζ(f,χ,s)$ a un prolongement méromorphe à $𝐂$.
En particulier, $ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)$
donc $γ(χ,s)$ admettent un prolongement méromorphe à $𝐂$. CQFD.


\subsubsection{}Esquissons une seconde démonstration
de l'équation fonctionnelle du théorème précédent dans le cas ultramétrique.
(Comme nous l'avons vu, l'existence d'un prolongement
méromorphe en résulte immédiatement.) Montrons que
pour tout quasi-caractère multiplicatif $χ$, il existe une fraction
rationnelle $c_ψ(χ,X) ∈ 𝐂(X)$ telle que
\[
c_ψ(χ,X)Z_ψ(f,χ,X)=Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$. L'équation fonctionnelle
\ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.(iii)
en résulte en posant $γ_ψ(χ,s)=c_ψ(χ,q^{-s})$.
Considérons à cette fin l'ensemble $𝒟_χ$ des formes
$𝐂$-linéaires $Δ: 𝒮(K) → 𝐂(X)$ telles que \[Δ([×a]^* f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)\]
pour chaque fonction $f$ et chaque $a ∈ K^×$.
Il est formel que $f ↦ Z(f,χ,X)$ appartient à $𝒟_χ$ : en
effet, $z_n([×a]^*f)=χ^{-1}(a)z_{n-v(a)}$ pour tout $n$,
comme il résulte immédiatement des égalités $[×a]^*
μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}$ et
$a 𝒰_n=𝒰_{n-v(a)}$. De même, il résulte
de l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux}.(iii).(a)
et du calcul précédent que la forme linéaire $f ↦ Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)$
appartient également à $𝒟_χ$. Or, et c'est là le point clef,
l'espace $𝒟_χ$ est de dimension un sur $𝐂(X)$. Il suffit
pour cela de montrer que l'évaluation
$𝒟_χ → 𝐂(X)$, $Δ ↦ Δ(𝟭_{1+𝔪^{a(χ)}})$ est \emph{injective},
où $a(χ)$ est le conducteur du caractère multiplicatif $χ$.
Posons $n=a(χ)$ et supposons $Δ(𝟭_{1+𝔪^n})=0$. Pour tout $r ≥ n$, considérons des représentants $(a_i)$
dans $1 + 𝔪^n$ du groupe quotient $1+𝔪^n ∕ 1+𝔪^r$, fini (de cardinal $q^{r-n}$). On a d'une part
$𝟭_{1+𝔪^n}=∑_i [×a_i]^* 𝟭_{1+𝔪^r}$ par hypothèse sur
les $a_i$ et d'autre part $Δ([×a_i]^*
𝟭_{1+𝔪^r})=Δ(𝟭_{1+𝔪^r})$ par hypothèse sur $φ$ et $n$ :
$χ(a_i)=1$ et $v(a_i)=0$.
En conséquence, $Δ(𝟭_{1+𝔪^r})=0$. Toute fonction $f
∈ 𝒮(K)$ à support dans $K^×$ étant combinaison linéaire
de translatés (multiplicatifs) de fonctions caractéristiques
$𝟭_{1+𝔪^r}$ pour $r ≥ n$, on a $Δ(f)=0$ pour de telles
fonctions. Il en résulte que $Δ(f)$ ne dépend que de
la valeur de $f$ en $0$, si bien que $Δ([×a]f)=Δ(f)$ pour
tout $a ∈ K^×$ et tout $f ∈ 𝒮(K)$. Compte tenu
de l'égalité $Δ([×a]^*f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)$, on
a $Δ(f)=0$. CQFD.
Pour une discussion du cas archimédien, voir \cite[§1]{Fonction@Weil}.

\subsection{Facteurs $ε$}

\subsubsection{}
\label{définition fonction L locale}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ comme en \ref{description quasi-caractères}.
Posons 
\[L(χ)=
\begin{cases}
\displaystyle ζ_K(s) &           \text{si } K \text{ est archimédien}\\
\displaystyle \frac{1}{1-χ(ϖ)} & \text{si } K \text{ est ultramétrique et }χ \text{ net}\\
\displaystyle 1 &                \text{sinon}.
\end{cases}
\]
% Deligne, §3.2
Il résulte des calculs effectués en \ref{Mellin local archimédien} et \ref{Matchett}
que l'on a $L(χ)=ζ_ψ(g,χ)$, où $ψ$ est de niveau nul
et $g$ est une gaussienne ou bien la fonction caractéristique
de l'anneau des entiers. Sauf si $K$ est ultramétrique et $χ$
ramifié : remplacer $ζ_ψ(g,χ)=0$ par $1$.
(Voir \cite[§23.2]{Bushnell-Henniart} pour une interprétation
plus conceptuelle dans le cas ultramétrique.)
Il est naturel de considérer pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
le quotient $ζ_ψ(f,χ)/L(χ)$.

\subsubsection{}
\label{définition facteur epsilon local}
D'après \ref{prolongement méromorphe et équation
fonctionnelle cas local}, il existe un « \textbf{facteur epsilon} »\index{facteur epsilon},
indépendant de $f$, tel que l'on ait :
\[
ε_ψ(χ)×\frac{ζ_ψ(f,χ)}{L(χ)}=\frac{ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ})}{L(\chap{χ})}.
\]
D'après \emph{loc. cit.}, on a $ε_ψ(χ)=γ_ψ(χ)×\frac{L(χ)}{L(\chap{χ})}
∈ 𝐂^×$. Les deux formules suivantes résultent respectivement
de \ref{dépendance Fourier local en caractère}
et \ref{Fourier et mesure locaux} (formule d'inversion).
% détailler ? \XXX

\begin{proposition2}
\label{epsilon par translation et produit}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non trivial et $χ$ un caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $a ∈ K^×$, $ε_{ψ_a}(χ)=χ(a)|a|^{-½}ε_ψ(χ)$.
\item \label{epsilonepsilon} $ε_ψ(χ) ε_ψ(\chap{χ})=χ(-1)$. 
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Notons que les mêmes formules sont valables pour le facteur $γ$.
D'après (i), la détermination de ces facteurs se ramène au cas particulier où le caractère
additif $ψ$ est de niveau fixé.

\subsubsection{Formulaire archimédien}

Si $K$ est réel ou complexe, et $χ=χ₁ ω_s$
comme ci-dessus où $χ₁:x↦ x^{-a}$, on a :
\[
ε_{𝐞_K}(χ)=i^a.
\]
Vérifions-le brièvement dans le cas réel.
Le cas complexe est laissé en exercice au lecteur
(cf. \cite[§2.5]{Fourier@Tate}).
Pour $a=0$, c'est une trivialité : on applique
la définition \ref{définition facteur epsilon local}
lorsque $f$ est la gaussienne $g_𝐑$ (invariante par Fourier).
Le cas $a=1$ se ramène au cas précédent : considérer la dérivée
de $g_𝐑$ et utiliser le fait que la transformation de Fourier échange
dérivation et multiplication par $i$.

\subsubsection{Formulaire ultramétrique}
\label{facteur epsilon ultramétrique}
Lorsque $χ$ est net et $ψ$ de niveau nul, on a :
\[
ε_ψ(χ)=1.
\]
En effet, $ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=𝟭_𝒪$ donc $ζ_ψ(ℱ_ψ(𝟭_𝒪),\chap{χ})=L(\chap{χ})$
et, plus trivialement encore, $ζ_ψ(𝟭_𝒪,χ)=L(χ)$.
Considérons maintenant le cas général : $χ$ est éventuellement ramifié,
de conducteur $a=a(χ) ≥ 0$ (\ref{définition conducteur})
et $ψ$ de niveau $n=n(ψ)$. Considérons la fonction $f=χ^{-1} 𝟭_{𝒪^×}$,
où $χ^{-1}$ désigne abusivement le prolongement par zéro de la
fonction $χ^{-1}:K^× → 𝐂$ à $K$. Elle appartient à $𝒮(K)$ et
est constante sur les classes modulo $𝔪^a$ : si $x ∈ 𝒪^×$
et $y ∈ 𝒪$, on a $χ(x)=χ(x+y ϖ^a)$ car $χ(1+x^{-1}y ϖ^a)=1$.
En conséquence (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii) et (iii).b),
sa transformée de Fourier $ℱ_ψ(f)$ est à support contenu dans $𝔪^{-(n+a)}$.
Pour simplifier les calculs, supposons dorénavant que $n+a=0$,
comme il est loisible d'après \ref{epsilon par translation et produit}, (ii).
Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est à support dans $𝒪$. D'autre part, par définition,
c'est la fonction $x↦ ∫_{𝒪^×} χ^{-1}(y) ψ(xy)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$.
À moins que $χ_{|𝒪^×}$ ne soit trivial (c'est-à-dire $χ$ net, ou encore $a=0$).
on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant déjà été traité, supposons maintenant $a>0$.
Pour $x ∈ 𝒪-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$
et la formule \ref{module=module} entraîne :
$ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} 𝒪^×} χ^{-1}(z) ψ(z)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$.
Pour la même raison que précédemment, cette intégrale est nulle
si $x$ n'appartient pas à $𝒪^×$. (Si $x ∈ 𝔪$, la fonction $χ^{-1} 𝟭_{x^{-1}𝒪}$
est constante modulo $𝔪^{a-1}$ et la valeur en $1$ de sa transformée
de Fourier est nulle.)
Finalement,
\[
ℱ_ψ(χ^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×})=𝔤(χ,ψ) ⋅ \big( \chap{χ}^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×} \big),
\]
où la constante multiplicative est la \textbf{somme de Gauß} \index{somme de Gauß}
\[
𝔤(χ,ψ)=∫_{𝒪^×} χ^{-1} ⋅ ψ   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
Ceci est une généralisation du calcul \ref{exemple Fourier et Gauss}.
Enfin, par construction, $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)(=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×))$
et, d'après ce qui précède, $ζ_ψ(\chap{f},\chap{χ})=𝔤(χ,ψ) ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)$.
En résumé, on a a démontré la proposition suivante :

\begin{proposition2}
Sous l'hypothèse que $a(χ)+n(ψ)=0$, on a :
\[
ε_ψ(χ)=𝔤(χ,ψ).
\]
\end{proposition2}
Notons que cette formule est également valable lorsque $χ$ est net.

%\subsection{Fonctorialité}
%$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
%[À déplacer ? \XXX]

\section{Corps globaux}

\subsection{Premières définitions, notations}

\subsubsection{}
Un corps $k$ est un \textbf{corps global} s'il est de
caractéristique nulle, fini sur $𝐐$ ou bien
s'il est de caractéristique \mbox{$p>0$}, de type fini
sur le corps fini $𝐅_p$ et de degré de transcendance $1$ sur
ce corps. Dans le premier cas, on dit que $K$ est un
\textbf{corps de nombres} ; dans le second, on dit que $K$
est un \textbf{corps de fonctions algébriques} sur le corps
fini $𝐅_p$.

\subsubsection{}
\label{notation places infinies}
On appelle \textbf{point} de $K$ une classe d'équivalence de
valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
confusion entre les places archimédiennes et les places « à l'infini »
en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation
$P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$
cette place (ultramétrique).

\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
\commentaire{Noter $K_{\chap{x}}$ ? et réserver $K_x$ pour le corps valué
$(K,||_x)$ ?}
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
classe $x$ ; c'est un corps local
au sens de \ref{definition corps locaux}, cf. \ref{Kx sont locaux}
\emph{infra}. (Réciproquement, il n'est pas difficile
de montrer que tout corps local s'obtient de cette manière.)
% Si $G$ est un
%groupe sous-groupe d'un $𝔖_n$ tel $𝐀^n/G$ soit rationnel,
%on peut même relever un nombre fini d'extensions locales
%galoisiennes de groupe $G$. Serre, Topics, th. 2 p. xiv. \XXX
On dispose donc d'une valeur absolue
privilégiée sur $K_x$, la valeur absolue normalisée,
que l'on note $|⋅|_x$, ainsi que sa restriction à $K$, qui
appartient à la classe $x$. Si $x$ est ultramétrique,
on note également $𝒪_x=\{f ∈ K_x : |f|_x ≤ 1\}$
l'anneau de valuation de $K_x$, $𝔪_x$ son idéal maximal,
$k_x=𝒪_x/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — appelé
\emph{norme} de $x$ — et enfin $v_x$ la valuation $K_x ↠ 𝐙 ∪ \{+∞\}$.
Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_x$,
on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$.
Il est parfois utile de faire la convention suivante :
lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$.
% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »


\subsubsection{}
\label{U-entiers}
Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $𝒪_K$
l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.

\subsubsection{}
\label{notation OLU}
Lorsqu'une extension $L\bo K$ est fixée
et que l'on considère un ouvert dense $U$ de $K$,
il est parfois commode de noter $𝒪_L(U)$
l'anneau $𝒪_L(V)$, où $V$ est l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$.
(On fait de même pour les \emph{adèles} définis plus bas,
cf. \ref{définition adèles}.)

\subsubsection{Exemples}
\label{sections globales droite projective}
Notons pour simplifier $Σ$ l'ensemble des places du corps global $𝐅_p(t)$.
On a alors $𝒪_{𝐅_p(t)}(Σ)=𝐅_p$ : une fraction rationnelle
sans pôle est une constante. Plus précisément, si l'on a $|f|_P ≤ 1$ pour chaque $P ∈ 𝐅_p[t]$
irréductible et que l'on écrit $f=a/b$ avec $a,b ∈ 𝐅_p[t]$ premiers entre eux,
alors $P$ ne divise pas $b$. Ceci étant vrai pour tout $P$, le polynôme $b$
est nécessairement une constante. Comme $|a|_∞=p^{\deg(a)}$, on a $\deg(a)=0$
(absence de pôle à l'infini).
« Calculons » maintenant $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)$ pour un ouvert quelconque $U ≠ Σ$.
Supposons pour commencer que la place $|⋅|_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce cas, les places
appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $|⋅|_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes
irréductibles, que l'on peut supposer unitaires, de $𝐅_p[t]$. Ils sont en nombre
fini par hypothèse et l'on peut considérer leur produit $P=∏_i P_i$. On
a alors l'égalité $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)=k[t][1/P]=\{f ∈ 𝐅_p(t): ∃n ≥ 1, ∃a ∈ 𝐅_p[t],
f=\frac{a}{P^n}\}$. Si l'on suppose maintenant que la place à l'infini
appartient à $U$, l'anneau $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)$ est l'intersection d'un anneau
du type précédent avec l'ensemble des fractions rationnelles de degré négatif ou
nul. Ce n'est autre que le sous-anneau $k[t^i/P, 0 ≤ i ≤ d]$ de $𝐅_p(t)$,
où $d=\deg(P)$. Notons que dans un cas comme dans l'autre, ces anneaux sont des
$k$-algèbres de type fini et de corps des fractions $𝐅_p(t)$.

Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$.

\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
la clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$ est appelée
\textbf{corps des constantes} de $K$. C'est le plus grand
sous-corps fini de $K$ (\refext{RT}{finitude clôture algébrique dans tf}).

\subsection{Points de $𝐐$ et $𝐅_p(t)$ ; applications}

\subsubsection{}On a vu en \refext{AVD-Dedekind}{Ostrowski sur Q}
que toute valeur absolue de $𝐐$ est équivalente
à une unique valeur absolue $| ⋅ |_p$, où $p ∈ 𝒫  ∪ \{∞\}$,
$𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, où $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ est la
valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier,
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
$\{∞\} → Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
par les bijections précédentes. Cette identification
est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
Par exemple, si $p$ est un nombre premier, $𝒪_{x_p}=𝐙_p$, etc.
Notons que $𝒫$ est naturellement en bijection avec $\Specmax(𝐙)$.

\subsubsection{}Soit $p$ un nombre premier. Il résulte
de \refext{AVD-Dedekind}{k-valuations de k(X)}
%et [...] ? \XXX
que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
sont toutes ultramétriques et que l'ensemble $Σ(𝐅_p(t))$
est naturellement en bijection avec l'union $𝒫_p ∪ \{∞\}$, où
$𝒫_p$ désigne l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$. Notons que $𝒫_p$ est naturellement en bijection avec
$\Specmax(𝐅_p[t])$. (Pour des renseignements quantitatifs sur $𝒫_p$, voir
\refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.)
%\XXX

\subsubsection{}
\label{Kx sont locaux}
Soient $L\bo K$ une extension finie de corps globaux
et $y ∈ Σ(L)$. Toute valeur absolue $| ⋅ |_L$ dans la classe $y$
induit par restriction une valeur absolue $| ⋅|_K$
sur $K$ dont la classe d'équivalence ne dépend
que de $y$ et que nous noterons $x$.
D'après \refext{AVD-Dedekind}{finitude préservée par complétion},
l'injection $K ↪ L$ induit une injection $K_x ↪ L_y$,
faisant de $L_y$ une \emph{extension finie} de $K_x$.
Si $K_x$ est un corps local, il en est de même de $L_y$
(cf. \ref{extension finie corps local est local}).
Or, on a vu ci-dessus que si $K=𝐐$ ou $K=𝐅_p(t)$,
chaque $K_x$ est un corps local ; tout corps global $L$
étant extension finie d'un tel corps global « premier » $K$,
les $L_y$ sont locaux.
Rappelons (\ref{extension finie corps local est local})
que la restriction à $K_x$ de la valeur
absolue normalisée $|⋅|_y$ n'est en général pas égale à $|⋅|_x$
(mais plutôt à la puissance $[L_y:K_x]$-ième
de celle-ci). Voir aussi \refext{AVD-D}{définition indice de ramification}.

\begin{proposition2}
\label{toute courbe est revêtement ramifié de P1}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
Il existe un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
$K\bo 𝐅_p(t)$ soit étale.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le corps $𝐅_p$ étant parfait, cela résulte de
\refext{RT}{extension corps parfait est séparable}.
Voici une seconde démonstration. Nous allons montrer plus généralement que
si $K=𝐅_p(a₁,…,a_n)$, il existe un indice $i$ tel que $K$ soit séparable
sur $𝐅_p(a_i)$. On procède par récurrence, le cas $n=1$ étant trivial
(extension transcendante pure). L'hypothèse de récurrence, jointe
au fait qu'une extension composée d'extension étale est étale
(\refext{Alg}{compose-etale}), nous ramène au cas particulier $n=2$ :
$K=𝐅_p(x,y)$. Soit $f ∈ 𝐅_p[X,Y]$ un polynôme irréductible
tel que $f(x,y)=0$. Il existe un monôme $x^i y^j$ apparaissant
avec un coefficient non nul dans $f$
dont les exposants ne sont pas simultanément divisibles par $p$.
Dans le cas contraire, comme les coefficients sont des puissances $p$-ièmes
($𝐅_p$ est parfait), il en serait de même de $f$, ce qui est absurde.
Supposons que $j$ ne soit pas divisible par $p$. Alors $y$ est
racine du polynôme $g(Y)=f(x,Y) ∈ 𝐅_p(x)[Y]$
qui n'appartient pas à $𝐅_p(x)[Y^p]$.
D'autre part, ce polynôme est \emph{irréductible}
car $f$ l'est et $ x$ est transcendant sur $𝐅_p$.
Ainsi, $y$ séparable sur $𝐅_p(x)$
et l'extension $K \bo 𝐅_p(x)$ est étale.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\label{p-rang-corps-global-égal-1}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
Alors, le degré de $K$ sur son sous-corps $K^p$
des puissances $p$-ième est égal à $p$.
En d'autres termes, le \emph{$p$-rang} (\refext{RT}{définition-p-rang})
de $K$ est égal à $1$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Il est clair que $𝐅_p(t)^p=𝐅_p(t^p)$ et que l'on a l'égalité
$[𝐅_p(t):𝐅_p(t)^p]=p$. D'autre part, on a vu en
\refext{RT}{p-rang-invariant-par-extension-finie}
que cette égalité passe aux extensions finies (non nécessairement
étales).
Pour une démonstration \emph{ad. hoc.}, cf.
\cite[VIII.§6, lemme 1]{BNT@Weil}.
\end{démo}


\subsubsection{}Un corps global est donc une extension finie
étale d'un \textbf{corps global premier}, un tel corps
étant par convention égal à $𝐐$ ou isomorphe à un corps
de fractions rationnelles $𝐅_p(t)$. L'étude des corps
globaux procède souvent par réduction au cas des corps
globaux premiers. (Voir par exemple
l'observation \ref{Kx sont locaux} \emph{supra}
et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)

\begin{proposition2}
\label{finitude-infinitude-places}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$, son sous-ensemble
$\{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}
et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
(resp. ultramétrique) est archimédienne (resp. ultramétrique),
qu'il suffit de traiter le cas particulier où $K$ est un corps global premier.
Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$
est un singleton et $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
Quant au premier point de (ii), il suffit de montrer que l'ensemble des idéaux maximaux
$(P)$ de $𝐙$ (resp. $𝐅_p[t]$) est infini. Ceci est bien connu
et en substance dû à Euclide : considérer un diviseur irréductible
d'une expression $P₁ \cdots P_n +1$.
Enfin, $N(P)$ est la valeur absolue usuelle
de $P$ dans le cas des nombres et $p^{\deg(P)}$ dans le cas des fonctions.
Le complément en résulte aussitôt.
\end{démo}

\begin{proposition2}
\label{normes fonction presque toutes petites}
Soit $K$ un corps global et soit $f ∈ K$.
Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$. 
De façon équivalente, $K=\colim_U 𝒪_K(U)$, où $U$ parcourt
les ouverts denses de $K$.
\end{proposition2}

Si $f ∈ K^×$, on a $|f|_x^{-1}=|f^{-1}|_x$
de sorte qu'il résulte de la proposition précédente
que $|f|_x=1$ pour presque tout $x$.

Pour une variante différentielle, cf. \ref{niveaux forme différentielle presque tous nuls}.

\begin{démo}
Si $K$ est un corps global \emph{premier} cela résulte
de la description explicite de ses valeurs absolues (cf. \refext{}{}).
Il nous suffit donc de montrer que si $L \bo K$ est une extension
finie de corps globaux, la conclusion est valide pour $L$ si elle
l'est pour $K$. Soit $f ∈ L$. Il existe des éléments $a_i ∈ K$ et un entier $n$
tels que $f^n=a₁ f^{n-1} + \cdots + a_n$. Par hypothèse,
les $a_i$ sont \emph{$U$-entiers} pour un ouvert dense
convenable de $K$. (On rappelle
que cela signifie que pour chaque $i$ et chaque $x ∈ U$, on a l'inégalité $|a_i|_x ≤ 1$.)
Utilisant la finitude (des fibres) de l'application $π:Σ(L) → Σ(K)$
(\refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}),
il existe donc un ouvert dense $V$ de $L$
(que l'on peut prendre égal à $π^{-1}(U)$)
telle que les $a_i$, vus dans $L$, soient $V$-entiers.
Il en est alors de même de $f$.
En effet, on peut réécrire la relation de dépendance algébrique
$1=a₁ f^{-1} + \cdots + a_n f^{-n}$ ; si $|f|_y > 1$,
le terme de droite est de valeur absolue strictement inférieure à $1$.
Absurde.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration dans le cas d'un corps de fonctions]
Si l'élément $f ∈ K$ est algébrique sur $𝐅_p$, et non nul,
il est multiplicativement d'ordre fini donc $|f|=1$ pour toute
valeur absolue. Dans le cas contraire, l'extension $K \bo 𝐅_p(f)$ est finie
et, comme indiqué ci-dessus, le résultat est connu
pour le corps de fonctions transcendant pur $K₀=𝐅_p(f)$.
Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un entier $n$
(dépendant de $y$). En particulier, $|f|_y ≤ 1$ s'il en est ainsi de $|f|_x$.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{normalité triviale}
Si $U$ est un ouvert dense de $K$,
l'anneau $𝒪_K(U)$ est \emph{normal} car c'est l'intersection
$⋂_{u ∈ U} K_u^+$ des sous-anneaux normaux $K_u^+=\{f ∈ K: |f|_u ≤ 1\}$
de $K$. Disons que l'ouvert $U$ est \textbf{affine}
si $K$ est un corps de nombres ou bien si $K$ est un corps de fonctions et $U ≠
Σ(K)$. 

\begin{proposition2}
\label{OKU Dedekind}
%\label{fonctorialité et clôture intégrale}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert \emph{affine} dense de $K$.
Alors, l'anneau $𝒪_K(U)$ un \emph{anneau de Dedekind} de corps des fractions $K$
et l'application naturelle $U → \Specmax 𝒪_K(U)$ envoyant $u$ sur
la trace de $K_u^{++}=\{f ∈ K: |f|_u < 1\}$ est une \emph{bijection}.
\end{proposition2}

\XXX Question : si $U′ ⊆ U$, $𝒪_K(U′)$ est-il un localisé de $𝒪_K(U)$ ?

\begin{démo}
Montrons le premier énoncé, en distinguant deux cas.
Si $K$ est un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$
de $𝐙$ dans $K$. En conséquence $\Frac 𝒪_K(U)=K$ (et même
$𝒪_K(U)𝐐=K$ ; cf. \refext{AC}{clôture intégrale commute à localisation}).
Pour vérifier que l'anneau normal $𝒪_K(U)$ est de Dedekind,
il suffit de montrer qu'il est nœthérien de dimension $1$ ;
cela résulte du théorème de Krull-Akiduki (\refext{AVD-D}{Krull-Akiduki}).
Si $K$ est un corps de fonctions, voir \ref{RR implique Dedekind de type fini}.
% voir aussi Fried-Jarden, p. 32
Vérifions maintenant le dernier point. 
L'application $U → \Specmax(A)$ de l'énoncé
\commentaire{J'utilise de nouvelles notations...}
envoie $u$ sur l'image  dans $\Spec(A)$ du point fermé de $\Spec(K_u^+)$
déduit de l'inclusion $A ↪ K_u^+$. C'est un idéal \emph{maximal} car $A/(A
⋂ K_u^{++})$ s'injecte dans le corps fini $K_u^+ / K_u^{++}$.
(On utilise le fait qu'un anneau fini intègre est un corps.)
Rappelons que $\Specmax(A)$ s'injecte naturellement dans
\commentaire{mettre ces sorites ailleurs ?}
$Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
induit une valuation ultramétrique $|⋅|_𝔭$ sur son corps des fractions
telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$
est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
En effet, si $u ∈ U$ et $𝔭_u=A ∩ K_u^{++}$ est l'idéal
premier de $A$ correspondant, inclusion $A ⊆ K_u^+$ s'étend en une inclusion
du localisé $A_{𝔭_u}$ dans l'anneau $K_u^+$ (car pour tout élément $b$ de $A∖ 𝔭_u$,
on a $|b|_u=1$), d'où l'égalité $A_{𝔭_u}=K_u^+$
(\refext{AVD-D}{conditions équivalentes anneau valuation}).
L'application $U → \Specmax(A)$, injective d'après ce qui précède,
est surjective car si $v ∉ U$, il existe d'après \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind}
un élément de $K$ qui est $U$-entier, donc dans $A$, mais pas $v$-entier.
\end{démo}

Considérons maintenant un résultat de finitude.

\begin{proposition2}
\label{fonctorialité anneau des Uentiers}
Soient $K$ un corps global, $L\bo K$ une extension finie
et $U$ un ouvert dense de $K$.
\begin{enumerate}
\item Pour toute extension finie $L \bo K$,
l'anneau $𝒪_L(U)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
C'est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
\item Sous les hypothèses précédentes, et si de plus $U$ est suffisamment petit,
$𝒪_L(U)$ est un $𝒪_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Pour la notation $𝒪_L(U)$, cf. \ref{notation OLU}.
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.

\begin{démo}
(i) Notons $A=𝒪_K(U)$, $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$, et
$B=𝒪_L(U):=𝒪_L(V)$. Considérons également la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
L'anneau $B$ est l'ensemble des éléments de $L$
appartenant à chacun des anneaux de valuation discrète
complets $𝒪_{L,v}=\{f ∈ L_v: |f|_v ≤ 1\}$, pour $v ∈ V$.
Or, si $f ∈ L$ est entier sur $A$, il est entier sur chaque sur-anneau $𝒪_{K,u}$, $u ∈ U$,
donc contenu pour chaque $v↦ u$ dans l'anneau normal $𝒪_{L,v}$ de corps des
fractions $L_v$ contenant $L$. Ainsi $B′$ est contenu dans $B$.
Réciproquement si $Ω$ est une clôture algébrique de $L$
et $G=\Aut(Ω \bo K)$, un élément $b ∈ B$
est racine d'un polynôme $P=(∏_{β ∈ G ⋅ b} (X-β))^{p^e}$
à  coefficients dans $K$, où $p$ désigne une puissance
de l'exposant caractéristique de $K$, et $e$ un entier
suffisamment grand (cf. \refext{CG}{polynôme minimal et conjugués dans cas général}).
Soient $u ∈ U$ et $v ∈ V$ au-dessus (\refext{AVD-D}{finitude préservée par
complétion}). Pour chaque $g ∈ G$, l'application $λ ↦ |g(λ)|_v$, $L → 𝐑$,
est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
donc dans $V$ (par hypothèse). Il en résulte que les coefficients
de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$.
Ainsi $b$ est entier sur $A$ et, finalement, $B=B′$.
Si l'extension $L\bo K$ est étale, il résulte de \refext{AC}{normalisation dans extension séparable}
que l'anneau $𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
Dans le cas non nécessairement étale — qui ne se produit que si $K$ est un
corps de fonctions — cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps
(\ref{RR implique Dedekind de type fini}, \emph{infra}) et de
\refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}.


(ii) Soient $d=[L:K]$ et $α₁,…,α_d$ une base de $L$ sur $K$.
Pour $U$ suffisamment petit, les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(V)$.
L'injection $𝒪_K(U)^d → 𝒪_L(V)$ déduite des $α_i$ devient
un isomorphisme sur $K$, donc — puisque c'est un morphisme
entre modules de type fini sur $𝒪_K(U)$ — après inversion d'un élément $a$
de $𝒪_K(U)∖ \{0\}$. Quitte à rétrécir encore $U$, on peut supposer que $a ∈ 𝒪_K(U)^×$.
\end{démo}

\section{Adèles, idèles}

\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}

\commentaire{Supposer aux bons endroits les groupes abéliens}

\commentaire{Vérifier droite/gauche}

\subsubsection{Topologie quotient}
\label{topologie quotient}
Soient $X$ un espace topologique et $∼$ une relation d'équivalence
sur $X$. La topologie la plus fine sur le quotient ensembliste $X /\hspace{-.3em}∼$
rendant la surjection canonique $π:X ↠ X/\hspace{-.3em}∼$ est appelée \textbf{topologie
quotient} : sous-ensemble $V$ de $X/\hspace{-.3em}∼$ est ouvert si et seulement si son image
réciproque $π^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$.
On dit que la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée} si $π$ est une application fermée
ce qui revient ici à dire que le saturé de toute partie fermée est fermé.
Dans ce cas, pour tout fermé $F$ de $X$, l'application $F/\hspace{-.3em}∼_F → π(F)$ est un
homéomorphisme, où $∼_F$ désigne la relation d'équivalence induite.

\subsubsection{}Soit $G$ un groupe topologique et soit $H$ un sous-groupe, muni
de la topologie induite.
Comme à notre habitude, on note $G/H$ le quotient de $G$ par la relation d'équivalence
$x ∼ y$ si et seulement si $x^{-1}y ∈ H$ ; sauf mention du contraire,
il est équipé de la topologie quotient. On vérifie immédiatement que l'action de $G$
sur $G/H$ par translation est continue ; elle est bien sûr transitive.
Lorsque $H$ est distingué dans $G$, l'espace homogène $G/H$
est naturellement un groupe et sa topologie est compatible
avec cette structure : on obtient un groupe topologique.

\subsubsection{}Un morphisme \textbf{propre} est, par définition,
un morphisme $f:X → Y$ d'espaces topologiques
« universellement fermé » au sens suivant : pour tout
espace topologique $Z$, le morphisme $f× \Id_Z: X × Z → Y × Z$ est fermé
(c'est-à-dire : l'image d'un fermé est fermé).
On vérifie (\BourbakiTG{I.§10}) que cette condition est équivalente
à : $f$ est fermé et chaque fibre $f^{-1}(y)$, $y ∈ Y$, est
quasi-compacte. En particulier, si $X$ est un espace topologique
quasi-compact, le morphisme $X → ⋆$ est propre, où $⋆$
désigne un espace topologique ponctuel.

\subsubsection{}Si $H$ est un sous-groupe \emph{compact}
— c'est-à-dire quasi-compact et séparé — de $G$,
la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée}.
En effet, le saturé $HF$ d'un fermé $F$ de $G$
est l'image du morphisme propre — donc fermé —
composé de l'isomorphisme $H×G ⥲ H×G$, $(h,g) → hg$, et
du morphisme propre $\mathrm{pr}₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.

\begin{proposition2}
\label{discrétion et séparation quotient}
Soit $G$ un groupe topologique.
\begin{enumerate}
\item Si $G$ est quasi-compact et discret, il est \emph{fini}.
\item Le quotient $G/H$ de $G$ par un sous-groupe $H$ est discret (resp. séparé)
si et seulement si $H$ est ouvert (resp. fermé).
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) Cette implication est vraie pour tout espace topologique $X$.
Si $X$ est discret, les singletons $\{x\}$, pour $x ∈ X$, sont ouverts et
recouvrent $X$. Si $X$ est de plus quasi-compact, il en existe un
sous-recouvrement fini, CQFD. (Notons qu'un espace topologique fini
est quasi-compact mais pas nécessairement discret.) % cf. topologie discrète par exemple.

(ii) Le quotient $G/H$ est discret si et seulement si chaque singleton est ouvert,
ou encore — l'action transitive de $G$ étant continue —,
si et seulement si le singleton $\{\sur{e}\}$ correspondant à la classe de l'élément neutre
de $G$ est ouvert. Or, par définition, l'image inverse de ce singleton
par la surjection canonique $G ↠ G/H$ est le sous-groupe $H$ ; il est donc
ouvert dans $G$. Considérons maintenant la question de la séparation du quotient.
Si $G/H$ est séparé, le singleton $\{\sur{e}\}$ est fermé,
ainsi donc que son image inverse $H$.
Afin d'établir la réciproque, supposons maintenant $H$ fermé. Soient $x,y
∈ G$ tels que $xH ≠ yH$, ce qui correspond à l'inégalité des points $\sur{x} ≠ \sur{y}$ dans le quotient.
L'application $μ:(g,g′)↦ g^{-1} g′$, $G×G → G$ est continue et le complémentaire
$G-H$ est ouvert. L'image réciproque de $G-H$ dans le produit $G×G$ est donc un
ouvert, contenant la paire $(x,y)$. Il existe donc deux voisinages ouverts $V_x$
et $V_y$ de $x$ et $y$ respectivement tels que $μ(V_x × V_y) ⊆ G-H$. On a $V_x H
∩ V_y H =∅$ : les voisinages ouverts de $\sur{x}$ et $\sur{y}$ dans $G/H$ sont
donc disjoints.
\end{démo}

Par soucis d'économie, et comme expliqué en \refext{Cat}{exemples-basiques-categories},
nous appellerons « \emph{morphisme} de groupes topologiques » une
application \emph{continue} $f:G₁ → G₂$ respectant la structure de groupes.

\begin{définition2}
Soit $f:G → G′$ un morphisme de groupes topologiques.
On dit que $f$ est \textbf{strict}, si le morphisme canonique $\sur{f}:G/\Ker(f) → \Im(f)$
associé est un isomorphisme de groupes topologiques.
\end{définition2}

\begin{remarques2}
\begin{itemize}
\item Dans (i), on demande que l'isomorphisme de \emph{groupes} $\sur{f}$
soit bicontinu c'est-à-dire, ici, d'inverse continu. Cette condition
n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathrm{disc}} → G$,
où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathrm{disc}}$ le
même groupe, muni de la topologie discrète.
\item Le composé de deux morphismes stricts n'est pas nécessairement strict.
\end{itemize}
\end{remarques2}

\subsubsection{}
\label{sorites sur stricts}
Il résulte immédiatement des définitions
qu'un morphisme $f:G → G′$ est strict si et seulement
si pour tout sous-groupe ouvert $H$ de $G$,
le sous-groupe $f(H)$ est ouvert \emph{dans $f(G)$}.
À l'aide de cette caractérisation, ou bien directement à partir
de la définition, on vérifie immédiatement les
faits suivants :
\begin{enumerate}
\item le composé $g ∘ f$ de deux morphismes stricts $f$ et $g$
est également strict lorsque $f$ est surjectif ou lorsque $g$ est injectif ;
\item si $f:G → G′$ est strict et $H′$ est un sous-groupe de $G′$, la
« restriction » $f×_{G′} H′ : f^{-1}(H′) → H′$ est également stricte.
\item Si $G₁$ est compact et $G₂$ séparé, tout morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict.
\end{enumerate}

Vérifions brièvement (ii) et notons $H=f^{-1}(H′)$.
Si $U$ est un ouvert de $G$ et $V=U∩H$ est un ouvert de $H$, on a $f(U) ∩ f(H) =
f(V)$ (car $H$ est $f$-saturé) et $f(U)$ est, par hypothèse, ouvert dans $f(G)$.
Vérifions brièvement (iii). En effet, $\Ker(f)=f^{-1}(\{e_{G₂}\})$ est fermé, car le singleton l'est,
donc $G₁/\Ker(f)$ est \emph{séparé}, et $\Im(f)$ est l'image continue d'un quasi-compact donc quasi-compacte
de sorte que $\sur{f}$ est une bijection continue entre espaces topologiques
compacts ; c'est un homéomorphisme.
%(Notons que l'on utilise seulement le fait que le sous-groupe $\Im(f)$ de $G₂$
%est séparé.)

\subsection{Isomorphismes modulo les compacts}

\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est
un \textbf{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict,
à noyau compact et à conoyau cocompact.
\end{définition2}

Rappelons (\ref{module et mesure quotients}) que $H ≤ G$ est \emph{cocompact} si $G/H$ est compact.

\begin{proposition2}
\label{restriction isomorphisme modulo compacts}
La restriction d'un isomorphisme modulo les compacts à un sous-groupe
\emph{fermé} du but est également un isomorphisme modulo les compacts.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Notons $f:G → G′$ le morphisme, $H′$ le sous-groupe fermé de $G′$
et $H=f^{-1}(H′)$ son image inverse, qui est un fermé de $G$.
Le noyau de $f×_{G′} H′$ est $H ∩ \Ker(f)$ ; c'est
un compact. Le morphisme $H′ ↪ G ′$ induit une injection
continue $\Coker(f×_{G′} H′) ↪ \Coker(f)$ dont l'image coïncide
avec celle de $H′$ dans $\Coker(f)$. Elle donc fermée et
par conséquent compacte car $\Coker(f)$ l'est.
\end{démo}

\begin{proposition2}
\label{composé isomorphismes modulo compacts}
Le composé de deux isomorphismes modulo les compacts est
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Vérifions que le composé de deux isomorphismes
modulo les compacts est un morphisme strict.
En particulier, si $H$ est un sous-groupe cocompact d'un groupe topologique $G$
et $K$ un compact de $G$, alors $f:H → G/K$ — composé de
$H ↪ G$ avec $G ↠ G/K$ — est strict :
le morphisme $H/(H ∩ K) → HK/K$ est un isomorphisme.
On a vu ci-dessus que la relation d'équivalence
$x^{-1}y ∈ K$ est \emph{fermée} ; d'autre part,
le sous-groupe $H$ est fermé car le quotient $G/H$ est séparé.
Ceci suffit pour conclure (cf \ref{topologie quotient}).
Le cas d'un composé général se ramène à ce cas particulier
par un dévissage élémentaire s'appuyant sur \ref{sorites sur stricts} (i).
%Soit $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux tels morphismes.
%Le morphisme $G₀  → \Im(f)$ déduit de $f$ est strict et surjectif.
%Pour montrer que $g ∘ f$ est strict, il suffit
%donc de vérifier que le morphisme $\Im(f) → G₂$ déduit de $G$
%est également strict, ou encore que $\Im(f) → G₁/\Ker(g)$ l'est.
Soient $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux isomorphismes
modulo les compacts. Montrons que $\Ker(g ∘ f)=f^{-1}(\Ker(g)$
est compact. Il suffit de montrer que si $φ:G → G′$ est un
isomorphisme modulo les compacts et $K′$ un compact de $G′$,
$φ^{-1}(K′)$ est également compact. D'après la proposition
précédente, on peut supposer $K′=G′$ auquel cas la
compacité résulte du lemme ci-dessous.
Enfin, le conoyau de $g ∘ f$ est extension du conoyau compact de $g$
par $\Im(g)/g(\Im(f)$, compact car quotient (via $g)$ du conoyau de $f$.
%Le noyau de $f$ est $H ∩ K$ est compact : c'est un fermé
%du compact $K$. Enfin, le conoyau $(G/K)/(HK/K)$ est canoniquement
%isomorphe à $G/HK$, qui est un quotient du groupe compact $G/H$ ;
%il est donc compact.
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soient $G$ un groupe topologique et $K$ un sous-groupe compact
et cocompact. Alors $G$ est compact.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $ℱ$ une collection de fermés de $G$ telle
que toute intersection \emph{finie} d'éléments de $ℱ$ soit
non vide. On veut montrer que $⋂_{F ∈ ℱ} F ≠ ∅$.
Soit $π:G → G/K$ la surjection canonique ; elle est fermée par compacité
de $K$. Ainsi, $π(ℱ)=\{π(F)\}$ est une collection de fermés du quotient ;
elle satisfaisait également la propriété de l'intersection finie. Par compacité
de $G/K$, on a donc $⋂_F π(F) ≠ ∅$ et, \emph{a fortiori},
$⋂_F F ≠ ∅$.
\end{démo}

% Références :
% The three space problem in topological groups
% uniform structures on topological groups and their quotients
% Hewitt et Ross


\subsection{Produits restreints}
\label{généralités produits restreints}

\subsubsection{Définition}Soient $Σ$ un ensemble d'indices, $(𝒳_s)_{s ∈ Σ}$
une collection d'espaces topologiques et, pour chaque $s ∈ Σ$,
un ouvert $𝒱_s ⊆ 𝒳_s$. Pour chaque sous-ensemble cofini $U$ de $Σ$, on
note $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, ou simplement $𝒳_𝐀(U)$ lorsqu'aucune confusion n'est à
craindre, le produit
\[
∏_{s ∉ U} 𝒳_s × ∏_{s ∈ U} 𝒱_s
\]
d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une immersion
ouverte (continue) $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$.  Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou
simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$ — aussi noté
$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
\[(𝒳;\! 𝒱)_𝐀=\colim_{U ⊆ Σ} (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),\]
où $U$ parcourt les sous-ensembles cofinis de $Σ$.  Ensemblistement,
$(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ est l'ensemble des $(x_s)_{s ∈ Σ} ∈ ∏_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ tels que pour presque
tout $s$, l'élément $x_s$ appartient à $𝒱_s$.  Topologiquement, les
ouverts de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ sont les sous-ensembles dont les intersections
avec chaque $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, $U ⊆ Σ$ cofini, sont ouvertes dans $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$.
En particulier, les $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$ sont ouverts dans $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$.

\begin{remarque2}
Cette construction s'étend immédiatement au cas où
les $𝒱_s$ sont définis pour presque tout $s$,
c'est-à-dire pour $s ∉ F$, où $F$ est une partie finie
de $Σ$, en considérant la colimite sur les parties cofinies $U$
ne rencontrant pas $F$.
\end{remarque2}

\begin{remarque2}
Bien que cela ne soit pas nécessaire,
explicitons brièvement la notion de convergence
lorsque les $𝒳_s$ sont des groupes topologiques
métrisables, comme ce sera le cas ci-après.
Par définition de la topologie, une suite $(a_n)_n=((a_{s,n})_{s ∈ Σ})_n$ de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$
converge vers $b=(b_s)_{s ∈ Σ}$ si et seulement si pour
tout $ε>0$ et tout ensemble cofini $U ⊆ Σ$, il
existe un entier $N$ tel que pour chaque $n ≥ N$
on ait $a_{s,n}-b_s ∈ 𝒱_s$ lorsque $s ∈ U$
et $d_s(a_{s,n},b_s)< ε$ sinon.
On vérifie sans peine que si on suppose de plus $Σ$ dénombrable,
le produit restreint $(𝒳;𝒱)_𝐀$ est également métrisable.
\commentaire{à vérifier\\quoiqu'inutile}
\end{remarque2}


\subsubsection{Locale compacité}
\label{locale compacité produit restreint}
Il résulte de la définition
et du théorème de Tikhonov que si chaque $𝒳_s$ (resp. $𝒱_s$)
est localement compact (resp. compact),
chaque $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$ est un ouvert compact du produit
restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ qui est lui-aussi localement compact.
De plus, sous ces hypothèses, un sous-ensemble de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$
est \emph{relativement compact} — c'est-à-dire d'adhérence compacte —
si et seulement si il est inclus dans un produit
$∏_{s ∉ U} 𝒞_s × ∏_{s ∈ U} 𝒱_s ⊆ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, où $U⊆Σ$ est une partie cofinie
et chaque $𝒞_s$ est un compact de $𝒳_s$.
% Tate, 3.1.2

\subsubsection{Mesures}
\label{mesure produit-colimite}
On suppose les $𝒳_s$ localement compacts
et les $𝒱_s$ compacts. D'après ce qui précède
le produit restreint des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$
est localement compact ; on veut construire
une mesure de Radon (\ref{mesure de Radon})
« produit restreint » sur cet espace, définie à partir
de mesures de Radon (dites « locales ») sur les facteurs. Soit $(μ_s)_{s ∈ Σ}$
une famille de telles mesures sur les $𝒳_s$,
telle que $μ_s(𝟭_{𝒱_s})=1$ pour presque tout $s$,
où $𝟭_{𝒱_s}$ désigne la fonction caractéristique de l'ouvert compact $𝒱_s$.
Il résulte de \ref{Radon produit} qu'il existe
pour chaque ensemble cofini $U$ de $Σ$
une unique mesure de Radon $μ_U$ sur $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$
telle que
\[
μ_U(f_U)=∏_{s ∈ Σ} μ_s(f_s),
\]
lorsque $f_U=\mathop{\bigboxtimes}\lim_s f_s:(x_s)↦ ∏_s f_s(x_s)$,
où les fonctions $f_s$ appartiennent à $𝒞_c(𝒳_s,𝐂)$
lorsque $s ∉ U$, et sont dans $𝒞_c(𝒱_s,𝐂)=𝒞(𝒱_s,𝐂)$
et presque toutes égales à $𝟭_{𝒱_s}$ lorsque $s ∈ U$.
(L'expression $μ_s(f_s)$ ci-dessus désigne abusivement, lorsque $s ∈ U$,
l'intégrale $μ_s({j^{U Σ}_s}_! f_s)$ où ${j^{U Σ}_s}_! f_s$ est le prolongement
par zéro de $f_s$ à $𝒳_s$.)
Si $U′ ⊆ U$ est une autre partie cofinie et que l'on
désigne par ${j^{U U′}}_{\! !} f_U$ le prolongement par zéro
de $f_U=⊠_s f_s$ à $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$, on a
$μ_{U′}( {j^{U U′}}_{\! !} f_U)=μ_U(f_U)$. Cela résulte
de l'unicité de $μ_{U}$ et du fait
que ${j^{U U′}}_{\! !} (⊠_s f_s) =⊠_s ({j^{U U′}_s}_!f_s)$, avec des notations
évidentes. Soit maintenant $f ∈ 𝒞_c((𝒳;\!𝒱)_𝐀,𝐂)$.
D'après l'observation du paragraphe précédent,
il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ$ tel que $f$
soit le prolongement par zéro d'une fonction
$f_U ∈ 𝒞_c((𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),𝐂)$. Le nombre complexe $μ_U(f_U)$
est indépendant du choix de $U$ d'après ce qui précède.
On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon
\emph{produit restreint} des mesures $μ_s$.

\subsection{Adèles}

\subsubsection{}
\label{définition adèles}
Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$
l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des places ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪_{K,x}$
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{anneau des adèles sur $K$}.
Un élément de $K_𝐀$ est souvent noté $a=(a_x)$, ou parfois $a_𝐀$
pour éviter toute confusion avec un élément de $K$.

\subsubsection{}
\label{définition adèles ultramétriques}
On note aussi $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$) le produit restreint des
corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x
∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques}
ou \textbf{finis} (resp. \textbf{archimédiens} ou \textbf{infinis}).

\subsubsection{}
\label{adèles principaux}
Pour chaque $x ∈ Σ(K)$, le corps $K$ se plonge
naturellement dans $K_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{x ∈ Σ} K_x$
se factorise à travers l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
avec son image dans les adèles sur $K$, constituée des
\textbf{adèles principaux}. (Voir \ref{cocompacité}
pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)

\subsubsection{}
\label{notation KAU}
On prendra garde de ne pas confondre
l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion,
le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}).

%Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
%de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
%\XXX À inclure ?

\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
la mesure de Radon sur $K_𝐀$ produit restreint des mesures
de Tamagawa locales (\ref{mesures Tamagawa locales}).
C'est une mesure de Haar sur le groupe additif localement compact $K_𝐀$.
La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du produit restreint de mesures
(\ref{mesure produit-colimite}) et de la proposition \ref{module=module}.

\begin{proposition2}
Pour tout $a_𝐀=(a_x) ∈ K_𝐀$, on a l'égalité
$[×a_𝐀]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a_𝐀| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où
$|a_𝐀|=∏_{x ∈ Σ}|a_x|_{K_x}$.
\end{proposition2}

Notons que pour presque tout $x$, on a $a_x ∈ 𝒪_{K,x}$
c'est-à-dire $|a_x|_x ≤ 1$ de sorte que la convergence du produit
est \emph{a priori} évidente.

\begin{théorème2}
\label{adèles et cb}
Soit $L\bo K$ une extension finie de corps globaux.
Le morphisme $ι:K_𝐀 → L_𝐀$ envoyant
$(a_x)_{x ∈ Σ(K)}$ sur $(b_{y})_{y ∈ Σ(L)}$
avec $b_{y}=a_x$ lorsque $y↦ x$, induit un
isomorphisme d'anneaux topologiques $K_𝐀 ⊗_K L ⥲ L_𝐀$
compatible avec les inclusions canoniques $K ↪ K_𝐀$
et $L ↪ L_𝐀$.
De plus, si $L\bo K$ est étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a_𝐀]$
pour un unique $a_𝐀 ∈ L_𝐀$. En particulier, l'application
trace $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}:L_𝐀 → K_𝐀$ est \emph{surjective}.
\end{théorème2}

Notons que la trace considérée est bien définie car
$L_𝐀$ est un $K_𝐀$-module libre de rang fini (égal à $[L:K]$) ;
cf. \refext{Alg}{trace-et-norme}.

\begin{démo}
D'après \ref{fonctorialité anneau des Uentiers},
il existe un ouvert dense $U$ de $K$, et des éléments $α₁,…,α_d ∈ 𝒪_L(U)$,
où $d=[L:K]$, tels que $𝒪_L(U)=𝒪_K(U) α₁ ⊕ \cdots ⊕ 𝒪_K(U) α_d$,
le terme de gauche étant comme expliqué en \ref{notation OLU}.
Cette décomposition en somme directe reste valable lorsque l'on rétrécit $U$.
Nous allons montrer que le morphisme $K_𝐀^d → L_𝐀$, $(λ_i)_{1,…,d}↦ ∑_{i=1}^d ι(λ_i)α_i$,
est un isomorphisme. C'est la colimite des morphismes
$K_𝐀(U′)^d → L_𝐀(U′)$ pour $U′ ⊆ U$. Montrons que chacun d'eux
est un isomorphisme, ce dont découle le résultat souhaité. Quitte à rétrécir $U$, on peut
supposer $U′=U$. Il suffit de montrer les deux faits suivants.
\begin{enumerate}
\item Pour chaque pour place $x ∉ U$, le morphisme $K_x^d → L_x:=∏_{y↦x} L_t$,
$(λ_i)↦ ∑_i ι_x(λ_i) α_i$, où $ι_x$ est le plongement diagonal $K_x ↪ L_x$,
est un isomorphisme.
\item Pour chaque place $u ∈ U$, le morphisme $𝒪_{K,u}^d → 𝒪_{L,u}:=∏_{v↦u} 𝒪_{L,v}$,
$(λ_i)↦  ∑_i ι_u(λ_i) α_i$ est un isomorphisme.
\end{enumerate}
Le (i) résulte de \refext{AVD-D}{finitude préservée par complétion}.
Le (ii) résulte de l'hypothèse faite sur les $(α_i)$ ci-dessus.

Supposons $L\bo K$ étale et montrons que l'accouplement
$⟨ ,⟩_𝐀:L_𝐀 ⊗_{K_𝐀} L_𝐀→ L_𝐀$, $a ⊗ b↦ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(a b)$, met
$L_𝐀$ en dualité avec lui-même (sur $K_𝐀$).
Soit $a ∈ L_𝐀$ tel que $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]=0$,
c'est-à-dire dans l'orthogonal de $L_𝐀$.
Pour chaque place $x$ de $K$ cet accouplement induit par
changement de base $K_𝐀 → K_x$ l'accouplement
$⟨ ,⟩_x:L_x ⊗_{K_x} L_x → L_x$ donné par la trace de $L_x$ à $K_x$, parfait
d'après \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}
et le fait que $L_x ≃ L ⊗_K K_x$ est une $K_x$-algèbre étale.
Ainsi chaque $a_x ∈ L_x$ est nul et finalement $a=0$, comme attendu.
Soient $U$ et les $(α_i)$ comme ci-dessus. Il nous faut montrer
qu'il existe des éléments $α_j^∨ ∈ L_𝐀$ tels que
$⟨α_i,α_j^∨⟩=δ_{i,j}$, c'est-à-dire $1$ si $i=j$ et $0$ sinon.
D'après ce qui précède, il existe des $α_j^∨$ dans le produit (non
restreint) $∏_{x ∈ Σ(K)} L_x=∏_{y ∈ Σ(L)} L_y$ tel que pour chaque $x$
on ait $⟨α_{i,x},α_{j,x}^∨⟩_x=δ_{i,j}$. Pour conclure, il faut montrer
que chaque $α_j^∨$ appartient à l'anneau des adèles $L_𝐀$.
Or, l'accouplement parfait $⟨ ,⟩_∅: L ⊗_K L → L$
déduit de la trace est la colimite des accouplements
$⟨ ,⟩_{U′}: 𝒪_L(U′) ⊗_{𝒪_K(U ′)} 𝒪_L(U′) → 𝒪_L(U′)$ pour $U′ ⊆ U$.
Ainsi, quitte à rétrécir $U$, on peut supposer $⟨ ,⟩_U$ parfait.
Pour un tel $U$, chaque $α_j^∨$ appartient à $L_𝐀(U) ⊆ L_𝐀$. CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\label{cocompacité}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
Cependant, si $U$ est \emph{affine}, le morphisme diagonal
$K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
\commentaire{notations non homogènes, cf. $\chap{u}$...}
\item L'inclusion $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Ici et ci-dessous, « isomorphisme modulo les compacts » est synonyme de
« morphisme \emph{continu} et isomorphisme modulo les compacts ».

\begin{démo}
(i). On procède, grâce au théorème précédent, par réduction à deux cas
particuliers, que nous traitons d'abord et de façon identique.

\begin{itemize}
\item Cas des nombres rationnels.
Soient $C=[-½,½]× ∏_p 𝐙_p$ le sous-ensemble compact de $𝐐_𝐀$,
où le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$, et $C^∘$ le voisinage ouvert $]-½,½[× ∏_p 𝐙_p$ de l'origine dans $𝐐_𝐀$.
Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel dont l'image dans chaque $𝐐_p$
appartient à $𝐙_p$ est entier, c'est-à-dire dans $𝐙$.
D'autre part, le seul entier dans $]-½,½[$ est l'entier nul.
Ceci prouve déjà que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également
fermé — car discret dans un espace séparé — de sorte que le groupe
topologique quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐$ est séparé (\ref{discrétion et séparation quotient}).
Pour montrer la compacité du quotient,
il suffit de vérifier l'égalité $C + 𝐐 =𝐐_𝐀$.
Par translation par un entier, il suffit
de montrer que l'on a $\big(𝐑 × ∏_p 𝐙_p\big) + 𝐐 = 𝐐_𝐀$,
ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr.}}(𝐐))$
est engendré par (l'image de) $𝐐$.
Or, ce quotient est canoniquement isomorphe à la \emph{somme}
directe $⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p$, car l'anneau des adèles est un produit \emph{restreint}. Comme le morphisme
évident $𝐐/𝐙 → ⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p $ est un isomorphisme, on a le résultat.
(Notons que le morphisme précédent correspond
à la décomposition primaire suivant la $p$-torsion
et que chaque facteur $𝐐_p/𝐙_p$ reçoit isomorphiquement
le quotient $𝐙[1/p]/𝐙$.)

\item Cas des fractions rationnelles sur $𝐅_p$, $p$ premier.
Soient $C=𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{𝐅_p(t),P}$
— où $P$ parcourt l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de $𝐅_p[t]$,
identifiés aux places de $𝐅_p(t)$ différentes de la place infinie — le sous-ensemble
compact de $𝐅_p(t)_𝐀$ et $C^∘$ le voisinage ouvert $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{K,P}$
de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\}$ : toute
fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$
appartient à $𝒪_{𝐅_p(t),P}$ est un polynôme, c'est-à-dire dans $𝐅_p[t]$.
D'autre part, le seul polynôme dans $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))$ est le polynôme nul.
Ceci prouve déjà que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$.
Pour montrer que le quotient (séparé) $𝐅_p(t)_𝐀/𝐅_p(t)$ est compact,
il suffit de vérifier l'égalité $C+𝐅_p(t)=𝐅_p(t)_𝐀$,
c'est-à-dire que le groupe additif quotient $𝐅_p(t)_𝐀 / 𝐅_p(t)_𝐀(Σ-\{∞\})$
est engendré par (l'image de) $𝐅_p(t)$. Or, ce quotient est canoniquement
isomorphe à la somme directe $⨁_P 𝐅_p(t)_{P}/𝒪_{𝐅_p(t),P}$
et chaque facteur reçoit isomorphiquement $𝐅_p[t][1/P] / 𝐅_p[t]$.
Comme le morphisme évident $𝐅_p(t)/𝐅_p[t] → ⨁_P 𝐅_p[t][1/P] / 𝐅_p[t]$
est un isomorphisme, on a le résultat.

\item Cas général. Soit $L\bo K$ une extension finie de degré $d$ de corps
globaux. Il résulte du théorème \ref{adèles et cb} que le quotient $L_𝐀/L$ est
isomorphe, comme groupe topologique, à $(K_𝐀/K)^d$ ; c'est un produit
de compacts donc compact. De même l'image
de $L$ dans $L_𝐀$ est isomorphe à l'image de $K^d$ dans $K_𝐀^d$ ;
elle est donc discrète.
\end{itemize}

Le résultat de densité $K$, lorsque $U$ est un ouvert affine,
est un cas particulier de \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind} (cf. \ref{OKU Dedekind}.
(Il est également possible de donner une démonstration adélique
de ce résultat, en utilisant la dualité de Pontrâgin ; cf.
\cite[6.79]{suuron1@kato-kurokawa-saito}.)

(ii) Soit $U$ comme dans l'énoncé ; en particulier, $U$ ne contient pas
de place archimédienne. On a vu que le morphisme $K → K_𝐀$ est un isomorphisme
modulo les compacts. Or, $𝒪_K(U)$ est l'image inverse du fermé
$K_𝐀(U)$ par ce morphisme. D'après \ref{restriction isomorphisme modulo
compacts}, le morphisme $𝒪_K(U) → K_𝐀(U)$ est donc un isomorphisme
modulo les compacts. D'autre part, la projection $K_𝐀(U) ↠ ∏_{x ∉ U} K_x$
est également un isomorphisme modulo les compacts car son noyau
est le produit $∏_{u ∈ U} 𝒪_{K,u}$ de groupes compacts.
D'après \ref{composé isomorphismes modulo compacts},
le morphisme composé $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$ est donc
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{démo}


\begin{corollaire2}
\label{finitude K inter O sur a}
Soit $K$ un \emph{corps de fonctions}.
Pour tout $a_𝐀 ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a_𝐀^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ est \emph{fini}.
\end{corollaire2}

Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est
le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
𝒪_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps
de fonctions.

\begin{démo}
D'après le théorème précédent, $K$ est discret dans $K_𝐀$.
D'autre part, $𝒪_{K_𝐀}$ est compact. L'intersection est donc finie.
\end{démo}

\begin{théorème2}[Formule du produit]
\label{formule du produit}
Soit $K$ un corps global.
Pour tout $a ∈ K^×$, le produit $|a|:=∏_{x ∈ Σ(K)} |a|_x$ des valeurs
absolues normalisées est égal à $1$.
\end{théorème2}

Notons que ce produit est bien défini d'après \ref{normes fonction presque
toutes petites}, et l'observation lui faisant immédiatement suite.

\begin{démo}
Il résulte du théorème de cocompacité précédent et
de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module et mesure quotients})
que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$.
D'autre part, il résulte immédiatement de la construction
de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite})
que $\mod_K([×a])= ∏_x \mod_{K_x}([×a])$.
Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration (esquisse)]
On commence par vérifier la formule pour les rationnels
et les fractions rationnelles.
Si $a = ±∏_p p^{n_p} ∈ 𝐐$, on a $|a|_p=p^{-n_p}$ et $|a|_∞= ∏_p p^{n_p}$
de sorte que le résultat est évident.
Si $f = λ ∏_P P^{n_p} ∈ 𝐅_p(t)$, où les $P ∈ 𝐅_p[t]$ sont irréductibles
unitaires et $λ ∈ 𝐅_p^×$, on a $|f|_P=p^{-n_p \deg(P)}$ et $|f|_{∞}=p^{\deg(f)}$,
de sorte que le résultat vient de l'égalité tautologique $\deg(f)=∑_P n_P
\deg(P)$. (Rappelons que $\deg(f)$ est l'ordre du pôle en $∞$.)
Le cas général se ramène aux cas particulier précédents
car il résulte de la proposition \refext{AVD-D}{extensions valuations et norme}
que si $L\bo K$ est une extension de corps globaux
et $x$ une place de $K$, on a pour chaque $λ ∈ L$
la formule $|\N_{L\bo K}(λ)|_x = ∏_{y↦ x} |λ|_y$
et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$.
\end{démo}

\subsection{Idèles}

\subsubsection{}
\label{définition idèles}
Comme précédemment, on considère un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$
l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des places ultramétriques. La construction
générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir
le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪^×_{K,x}$
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{groupe des idèles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
\emph{continue} \XXX et son image est le groupe des éléments inversibles de
l'anneau $K_𝐀$ des adèles.

\begin{remarques2}
\label{discontinuité adélique}
Prendre cependant garde au fait que la topologie de $K^×_𝐀$ est n'est \emph{pas}
la topologie induite par l'inclusion ensembliste \mbox{$K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$} :
si pour chaque nombre premier $p$, $x_p$ désigne l'idèle de $𝐐$
dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$, la suite $x_p$ converge
vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais pas dans $𝐐^×_𝐀$

Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \mod_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
n'est \emph{pas} continue pour la topologie adèlique, alors que sa restriction
en $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ l'est — essentiellement par définition — pour la topologie
idélique : si pour chaque entier $n$, $x_n$ désigne l'adèle de $𝐐$ tel que $x_{n,∞}=1$ et
$x_{n,p}=n!+1$ pour tout premier $p$, on a $|x_n|=(n!+1)^{-1}$, qui tend vers $0$
avec $n$, tandis que $x_n → 1$ dans $𝐐_𝐀$.
\end{remarques2}

On a cependant le résultat positif suivant, dont nous ferons usage ci-après.

\begin{proposition2}
\label{topologies induites coïncident}
Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀: |f|=1\}$
par les inclusions $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident.
De plus, pour chaque paire $b ≥ c >0$ de réels, l'ensemble
${K^×_𝐀}^{≤b \atop ≥c}$ est un \emph{fermé} de $K_𝐀$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Commençons par montrer que pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$,
le sous-ensemble $K^{×, ≥ c}_𝐀=\{g ∈ K^×_𝐀:|g| ≥ c\}$ est fermé
dans $K_𝐀$ ou, de façon équivalente, que son complémentaire
$K^{×, < c}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$ est ouvert. Fixons $c$ et considérons
un élément $f$ de ce complémentaire. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$
tel que $f ∈ K_𝐀(U)$. Quitte à rétrécir $U$, on peut
supposer de plus que l'on a l'inégalité $∏_{s ∉ U} |f_s|_s <c$.
Le complémentaire de l'ensemble $U$ dans $Σ(K)$ étant cofini,
l'application $g↦ ∏_{s ∉ U} |g_s|_s$ est \emph{continue}.
Il existe donc un voisinage $𝒱 ⊆ K_𝐀(U)$ de $f$ dans $K_𝐀$
tel que pour chaque $g ∈ 𝒱$ on ait $∏_{s ∉ U} |g_s|_s < c$.
Pour un tel $g$, on a $|g| ≤ ∏_{s ∉ U} |g_s|_s <c$, car $|g_u| ≤ 1$ pour
chaque $u ∈ U$, de sorte que l'ouvert $𝒱$ de $K_𝐀$ est contenu dans $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$.

Montrons maintenant que l'inclusion $K_𝐀^{×, ≥ c} ↪ K_𝐀$ induit un
homéomorphisme sur son image, c'est-à-dire que les deux topologies sur $K_𝐀^{×, ≥ c}$
déduites des inclusions dans $K^×_𝐀$ et $K_𝐀$ coïncident.
Pour chaque ouvert $U$ de $K$ les deux topologies sur $K^×_𝐀(U)$ coïncident
avec la topologie produit ; d'autre part, l'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
continue. Il résulte de ces deux observations qu'il suffit \XXX
de vérifier que pour chaque $f ∈ K^{×, ≥ c}_A$ il existe
un voisinage $𝒱$ de $f$ dans $K_𝐀$ et un ouvert $U$ de $K$
tels que l'on ait l'inclusion
\[
K^{ ≥ c}_𝐀 ∩ 𝒱 ⊆ K^×_𝐀(U).
\]
Soit $U$ un ouvert suffisamment petit de $K$ tel que $f ∈ K_𝐀(U)$
et soit $ρ$ un réel strictement supérieur au produit (fini) $∏_{s ∉ U} |f_s|_s$.
Comme précédemment, il existe un voisinage ouvert $𝒱$ de $f$ dans $K_𝐀$
contenu dans
\[K_𝐀(U) ∩ \{g ∈ K_𝐀 :  ∏_{s ∉ U} |g_s|_s < ρ\}.\]
Quitte à rétrécir davantage $U$, on peut supposer
d'après \ref{finitude-infinitude-places} que pour chaque
place $u ∈ U$, on a $N(u) ≥ ρ c^{-1}$.
Vérifions que $U$ et $𝒱$ conviennent ; considérons pour cela
$g ∈  K^{ ≥ c}_𝐀 ∩ 𝒱$. Comme $g$ appartient à
$K_𝐀(U)=∏_{s ∉ U} K_s × ∏_{u ∈ U} 𝒪_{K,u}$,
et que chaque $g_x$ est non nul, il nous faut montrer
que pour tout $u ∈ U$, $g_u ∈ 𝒪_{K,u}^×$.
Fixons un tel $u$. Par hypothèse, on a donc
\[
c ≤ |g|=∏_x |g_x|_x ≤ |g_u|_u × ∏_{s ∉ U} |g_s|_s < ρ |g_u|_u
\]
et par conséquent
\[
|g_u|_u=N(u)^{-v_u(g_u)} > c ρ^{-1}.
\]
Compte tenu du l'hypothèse faite sur le norme $N(u)$
de la place $u$, on a $v_u(g_u)<1$ d'où — par positivité
et intégrité — $v_u(g_u)=0$.

Les résultats établis permettent de conclure.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{idèles principaux}
Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, le groupe $K^×$ se plonge
naturellement dans $K^×_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K^×$
est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K^× ↪ ∏_{x ∈ Σ(K)} K^×_x$
se factorise à travers l'inclusion $K^× ↪ K^×_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$
avec son image dans les idèles sur $K$, constituée des
\textbf{idèles principaux}. On note $C_K$ le groupe topologique
quotient $K^×_𝐀/K^×$ des \textbf{classes d'idèles} et
$C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀 /K^×$ son sous-groupe des classes
d'idèles de norme $1$. Prendre garde au fait que $C_K$ n'est
\emph{pas} compact. Cependant on a le résultat suivant.

\begin{théorème2}
\label{theoreme-unites-abstrait}
L'inclusion canonique $K^× → K^{×,=1}_𝐀$, où $K^×$ est muni de la
topologie discrète, est un isomorphisme modulo les compacts.
En particulier, $C_K^{=1}$ est \emph{compact}.
\end{théorème2}

\begin{démo}
La discrétion de $K^×$ dans $K^{×,=1}_𝐀$ ou,
de façon équivalente dans $K^×_𝐀$, résulte
de celle de $K$ dans $K_𝐀$ et de la continuité
de l'injection $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$.
Montrons maintenant que le quotient $K^{×,=1}_𝐀/K^×$
est compact en utilisant la compacité du quotient $K_𝐀/K$
et le résultat de comparaison \ref{topologies induites coïncident}.
Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar sur le groupe
(localement compact) $K_𝐀$ des adèles et notons $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}$
la mesure induite (\ref{module et mesure quotients}) sur le quotient $K_𝐀/K$ des adèles par le groupe
discret cocompact $K$. Le groupe des adèles n'étant \emph{pas} compact \XXX,
il existe d'après \ref{caractérisation compacité par mesure}
un compact $C₀$ de $K_𝐀$ tel que
$μ^{\mbox{\minus $+$}}(C₀)>\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$.
Soit $C$ l'ensemble des différences $\{g-h:g,h ∈ C₀\} ⊆ K_𝐀$ ;
c'est un compact de $K_𝐀$ par continuité de la soustraction,
séparation de $K_𝐀$ et compacité de $C₀$.
Notons $C^{=1}$ l'intersection $C ∩ K_𝐀^{=1} =C ∩ K_𝐀^{×,=1}$.
C'est un compact de $K_𝐀$, étant intersection du compact $C$
avec le fermé $K_𝐀^{=1}$ de $K_𝐀$ (\ref{topologies induites coïncident}).
Les deux topologies induites sur $K_𝐀^{=1}=K_𝐀^{×,=1}$ coïncidant,
$C^{=1}$ est donc un compact du groupe des idèles de norme $1$.
Montrons maintenant que $C^{=1}K^×=K_𝐀^{×,=1}$, ce qui suffit
pour montrer la compacité du quotient $K_𝐀^{×,=1}/K^×$.
Soit $f ∈ K_𝐀^{×,=1}$. Comme $μ^{\mbox{\minus
$+$}}(f^{-1}C₀)>\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$,
il existe deux éléments distincts $g,h ∈ C₀$ tels que
$f^{-1}g-f^{-1}h = λ ∈ K$. En conséquence, $f = λ^{-1}(g-h)$ appartient
à $K^× C$, et même à $K^× C^{=1}$ car $|f|=1$. CQFD.
\end{démo}

Le théorème précédent a pour corollaire le fameux
théorème de Dirichlet suivant.

\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
\label{theoreme-unites-Dirichlet}
Soit $U$ un ouvert de $K$. L'application « logarithme »
$f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$
vers l'hyperplan $(⨁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des éléments de somme nulle
est un isomorphisme modulo les compacts et
le groupe $𝒪_K(U)^×$ est isomorphe à la somme directe de $𝐙^r$, où $r =
\max\{\mathrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini.
En particulier, si $K$ un corps de nombres, $r_{\RR},r_{\CC}$ sont les entiers tels que
la $𝐑$-algèbre $K_𝐑=K\otimes_{\QQ} \RR$ se décompose en
$\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entiers $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
Lorsque $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes $K$,
il résulte de ce qui précède que le quotient $𝒪_K(U)^×/k^×$ est
libre de rang $r$. Sous cette forme, c'est un résultat initialement
dû à F. K. Schmidt (1931) ; cf. \cite[14.2]{Number@Rosen} ou
\cite[chap. 29]{Zahlen@Hasse} pour des démonstrations non adéliques.
\end{remarque2}

\begin{remarque2}
Lorsque $K$ est un corps de nombre, on peut montrer
(théorie du corps de classe) que le groupe $C_K$
se surjecte naturellement (mais non trivialement) sur
l'abélianisé du groupe de Galois de $K$ ; le noyau
de ce morphisme est la composante neutre de $C_K$. \XXX
\end{remarque2}

\begin{démo}
Soit $U$ comme dans l'énoncé.
Montrons le premier point.
Le groupe $𝒪_K(U)^×$ n'est autre que l'image inverse du sous-groupe
$G=\big(∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×\big)^{=1}$ de $K^{×,=1}_𝐀$
par le plongement diagonal $K^× → K^{×,=1}_𝐀$. D'après le théorème
\ref{theoreme-unites-abstrait} précédent et \ref{restriction isomorphisme modulo
compacts}, le morphisme $𝒪_K(U)^× → G$ est donc un isomorphisme modulo les compacts.
Il en est de même de la projection $G ↠ \big(∏_{x ∉ U} K^×_x \big)^{=1}$,
par compacité du produit $∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×$.
Enfin, chaque logarithme $K_x^× → 𝐑$, $f↦ \log(|f|_x)$ étant également un isomorphisme
modulo les compacts (que $x$ soit archimédienne ou ultramétrique),
il en est de même du produit $ ∏_{x ∉ U} K^×_x → ∏_{x ∉ U} 𝐑$ et de sa restriction à l'hyperplan de somme nulle.
Par composition (\ref{composé isomorphismes modulo compacts}), on en déduit
que $𝒪_K(U)^× → \big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ est un isomorphisme modulo les compacts.
Si $U=Σ(U)$ est vide — cas qui ne peut se produire que si $K$ est un corps
de fonctions —, le groupe $𝒪_K^×(U)$ est un sous-groupe \emph{compact} du
groupe \emph{discret} $K^×$ : c'est un groupe abélien fini
(\ref{discrétion et séparation quotient}, (i)).
Si $U ≠ Σ(U)$, notons $V$ le $𝐑$-espace vectoriel $\big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ ;
il est de dimension $r$. D'après ce qui précède, $𝒪_K(U)^×$
est extension de son image $Γ$ par le logarithme, qui est
un sous-groupe \emph{discret} et \emph{cocompact} de $V$,
par un sous-groupe fini de $K^×$. La conclusion résulte alors du lemme
(\ref{reseau-discret-cocompact}) ci-dessous.
\end{démo}

\begin{lemme2}
\label{reseau-discret-cocompact}
Soient $V$ un $𝐑$-espace vectoriel de dimension finie $r$
et $Γ$ un sous-groupe discret de $V$ tel que le quotient $V/Γ$
soit compact. Alors $Γ$ est isomorphe à $𝐙^r$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $𝐑 Γ$ le $𝐑$-espace vectoriel engendré par $Γ$ dans $V$.
Le quotient $V/𝐑 Γ$ est séparé et est l'image continue du compact
$V/Γ$ ; c'est donc un compact. Comme c'est un $𝐑$-espace vectoriel,
on a nécessairement $V=𝐑 Γ$ : le groupe discret $Γ$ contient
une base de $V$. Soit $Γ′$ un sous-groupe engendré par une telle
base ; on a $Γ′ ⊆ Γ$. Le quotient $Γ/Γ′$ est discret, car $Γ$ l'est,
et compact, car fermé dans $V/Γ′$ isomorphe au tore $(𝐑/𝐙)^r$.
Ainsi, $Γ/Γ′$ est un groupe abélien fini et, en particulier,
il existe un entier non nul $n$ tel que $n(Γ/Γ′)=0$,
c'est-à-dire $Γ′ ⊆  Γ ⊆ \frac{1}{n} Γ′$.
La conclusion résulte aussitôt de la théorie
(élémentaire) des groupes abéliens de type fini.
Cf. \cite{} \XXX.
\end{démo}


\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps global}
\label{quasi-caractères globaux}

\subsubsection{}
Soit $K$ un corps global. Le morphisme « norme »
$K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$, $(f_x)↦ ∏_x |f_x|_x$, se factorise par
la formule du produit en un morphisme $C_K → 𝐑_{>0}$,
dont le noyau est le groupe compact $C_K^{=1}$.
Si $K$ est un corps de nombres, le morphisme $C_K → 𝐑_{>0}$
est \emph{surjectif} et possède une section canonique
envoyant un réel $t$ strictement positif sur la classe
de l'idèle $(f_x)$, où $f_x=t^{1/[K:𝐐]}$ si $x$ est archimédien
et $f_x=1$ sinon. Si $K$ est un corps de fonctions,
l'image de la norme est trivialement un sous-groupe de la forme
$q^{n 𝐙}$, où $q$ est le cardinal du corps des constantes de $K$
et $n$ est un entier strictement positif. (En fait, on peut montrer,
cf. \ref{} \emph{infra}, que l'on a $n=1$.) Dans ce cas, il n'y a en général pas
de section canonique.

\begin{remarque2}
Le fait que l'entier $n$ ci-dessus soit égal à $1$
revient à dire, dans le langage qui sera introduit ci-dessous,
qu'il existe sur $K$ un « diviseur de degré $1$ ».
%Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.)
\end{remarque2}

D'après \ref{quasi-caractères Rplusétoile} et
\ref{quasi-caractères Z}, on a :

\begin{proposition2}
Le groupe des quasi-caractères des classes d'idèles $C_K$ est un groupe de Lie
complexe dont la composante connexe est isomorphe à $𝐂$ dans
le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙 ≃ 𝐂^×$ dans le cas
d'un corps de fonctions. Le groupe de composantes connexes
est isomorphe au dual de Pontrâgin de $C_K^{=1}$.
Pour tout quasi-caractère $χ$ de $C_K$, il existe un
\emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(ι)|=|ι|^σ$ pour toute classe $ι ∈ C_K$.
\end{proposition2}

On note $σ=\Re(χ)$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}).
Comme en \ref{notation quasi-caractère dual}, on note $\chap{χ}$
le quasi-caractère $χ^{-1} ω₁$.


\subsubsection{Caractères de Hecke} \XXX

\subsection{Groupes de Picard}
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits}

\subsubsection{}Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert
dense de $K$, c'est-à-dire une partie cofinie
de l'ensemble $X$ des places ultramétriques de $K$.
Notons $\Div(U)$ le groupe abélien $⨁_{u ∈ U} 𝐙$ des
\textbf{diviseurs} sur $U$.
Tout idèle $(f_x)$ de $K$ définit naturellement un diviseur
\[
\div_U((f_x))=∑_{u ∈ U} v_u(f_u) ⋅ u ∈ \Div(U),
\]
où $v_u:K_u^× ↠ 𝐙$ est la valuation normalisée.
On note également $\div$ le morphisme $\div_X$.

\subsubsection{}
L'application $\div_U:K^×_𝐀 → \Div(U)$ est surjective,
de noyau $K^×_𝐀(U)= ∏_{u ∈ U} 𝒪_{K_u}^× × ∏_{y ∈ Σ(K)-U} K_y^×$.
(Si $U=X$, on note aussi $𝒪_{K_𝐀}^×$ ce sous-groupe de $K^×_𝐀$.)
Les diviseurs dans le sous-groupe $\div_U(K^×)$ de $\Div(U)$
sont appelés \textbf{diviseurs principaux} (sur $U$).
On appelle \textbf{groupe de Picard} de $U$, le quotient
\[
\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙).
\]
D'après ce qui précède, on a un isomorphisme naturel, induit par $\div_U$,
\[
K^× \backslash K^×_𝐀∕K^×_𝐀(U) ⥲ \Pic(U),
\]
ou encore
\[
C_K/C_K(U) ⥲ \Pic(U),
\]
où l'on note
$C_K(U)$ l'image de $K^×_𝐀(U)$ dans le groupe $C_K$ des classes d'idèles.

\begin{remarque2}
\XXX On a une classification des fibrés de rang $n$ comme
un double quotient $\GL_n(K) ∖ \GL_n(K_𝐀) ∕ \GL_n(𝒪_{K_𝐀})$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}
\label{formule du produit additive}
Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$} de corps des
constantes $k$, il est intéressant de considérer l'application \textbf{degré}
\[
\deg:\Div(X) → 𝐙
\]
\[
∑_x n_x ⋅ x ↦ ∑_x n_x [κ(x):k].
\]
En d'autres termes, on étend la fonction $\deg(x)=[κ(x):k]$
à $\Div(X)$ par additivité. La formule du produit
(\ref{formule du produit}) se traduit en la « formule des résidus » suivante :
\[\deg ∘ \div =0.\]
Le morphisme degré se factorise donc en un morphisme $\Pic(X) → 𝐙$,
on note $\Pic⁰(X)$ le noyau, constitué des \textbf{classes de diviseurs de degré nul}.
La description adélique précédente devient
\[
K^× \backslash K^{×,=1}_𝐀∕𝒪^×_{K_𝐀} ⥲ \Pic⁰(X),
\]
ou encore
\[
C^{=1}_K/C^{=1}_K(X) ⥲ \Pic⁰(X),
\]
où l'on note
$C^{=1}_K(X)$ l'image de $K^×_𝐀(X)$ dans le groupe $C^{=1}_K$ des classes d'idèles.

\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est un corps de fonctions, $\Pic⁰(X)$ est fini.
\item Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic(X)$ est fini.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
(i) On a vu en \ref{theoreme-unites-abstrait} que le groupe $C^{=1}_K$ est
compact. Le sous-groupe $K_𝐀^×(X)$ de $K^{×,=1}_𝐀$ étant ouvert,
il en est de même de $C^{=1}_K(X)$ dans $C^{=1}_K$. Le quotient $C^{=1}_K ∕
C^{=1}_K(X)$ est donc à la fois compact et discret donc fini (\ref{discrétion et
séparation quotient}). (ii) Pour la même raison que précédemment, le quotient $C_K ∕ C_K(X)$
est discret. Pour montrer qu'il est fini, il suffit de montrer que le morphisme
continu $C^{=1}_K → C_K ∕ C_K(X)$ est \emph{surjectif}. Montrons
plus précisément que le morphisme $K^{×,=1}_𝐀 → K^×_𝐀 / K^×_𝐀(X)$ est surjectif,
c'est-à-dire que l'on a l'égalité $K^×_𝐀 = K^{×,=1}_𝐀 K^×_𝐀(X)$,
ou encore, par translation multiplicative, qu'il existe des idèles dans $ K^×_𝐀(X)$ de norme
arbitraire. Cela résulte de l'existence
d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$
et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
[détailler \XXX]
\end{démo}


\subsubsection{}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense \emph{affine} de $K$
de sorte que $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de corps
des fractions $K$ (cf. \ref{OKU Dedekind}).
L'application $U ⥲ \Specmax(𝒪_K(U))$ (cf. \emph{loc. cit.}), s'étend par linéarité
en une application surjective $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$, où le terme de droite
est le groupe de Picard défini en \refext{AVD-D}{définition groupe Picard
Dedekind}, quotient du groupe des idéaux fractionnaires inversibles de $𝒪_K(U)$
par le sous-groupe de ses idéaux fractionnaires principaux. Le noyau de $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$
étant $\div_U(K^×)$ [détailler \XXX], on a :

\begin{proposition2}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense affine de $K$.
Le morphisme naturel $\Pic(U) → \Pic(𝒪_K(U))$ est un
\emph{isomorphisme}.
\end{proposition2}

\begin{corollaire2}
Soit $K$ un corps de nombres.
Le groupe $\Pic(𝒪_K)$ est fini.
\end{corollaire2}

\begin{démo}[Seconde démonstration]
Rappelons (\XXX) que la norme d'un idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$
est le cardinal $N(𝔞)$ du quotient $𝒪_K/𝔞$. Commençons par établir
un premier résultat de finitude : \emph{pour tout entier $n$ il existe
un nombre fini d'idéaux $𝔞$ de norme $n$}. En effet, si $𝔞$ est un tel
idéal, on a $(n) ⊆ 𝔞$, car $n ⋅ 1_{𝒪_K}$ est d'image nulle dans le quotient
$𝒪_K/𝔞$. Comme le quotient $𝒪_K/(n)$ de l'anneau de Dedekind $𝒪_K$ est fini,
le nombre de possibilités pour $𝔞$ est également fini.
Soit maintenant $ℬ=\{x₁,…,x_d\}$ une base de $𝒪_K$ sur $𝐙$.
Posons
\[
μ_ℬ = ∏_{σ ∈ \Hom_𝐐(K,𝐂)} ∑_{x ∈ ℬ} |σ(x)|.
\]
Vérifions que pour chaque idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$,
il existe un élément $a ≠ 0$ tel que
\[
|N_{K \bo 𝐐}(a) ≤ N(𝔞) × μ_ℬ.
\]
Soit $r$ un entier tel que $r^d ≤ N(𝔞) < (r+1)^d$.
Comme $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K/𝔞$,
il existe par le principe des tiroirs deux éléments
$b=∑_{x ∈ ℬ} n_x x$ et $b′=∑_{x ∈ ℬ} m_x x$, où $0 ≤ n_x,m_x ≤ r$,
tels que $a=b-b′=∑_x a_x x$ appartienne à  l'idéal $𝔞$. Par construction, on a
$N_{K \bo 𝐐}(a)=∏_σ |σ(a)| ≤ r^d μ_ℬ$ car chaque coefficient $|a_x|$ est majoré
par $r$ et $\# \Hom_{𝐐}(K,𝐂)=d$.
Pour achever la démonstration du corollaire, il suffit de vérifier
que tout idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$ est dans la classe d'un idéal
de norme inférieure ou égale à $μ_ℬ$.
Soit $𝔞$ un tel idéal non nul et $𝔟$ un idéal de $𝒪_K$ 
dans la classe de $𝔞^{-1}$. D'après ce qui précède,
il existe $b ∈ 𝔟$ non nul tel que $N_{K \bo 𝐐}(b)=N((b))$ soit
inférieur ou égal à $N(𝔟) μ_ℬ$. Comme $(b) ⊆ 𝔟$, on a $(b)=𝔟 𝔠$ pour un
idéal $𝔠$, nécessairement dans la classe de $𝔞$.
D'autre part, on a $N((b))=N(𝔟)N(𝔠)$ d'où $N(𝔠) ≤ μ_ℬ$.
CQFD.
\end{démo}

\subsubsection{}
On appelle \textbf{diviseur effectif}\footnote{On évite la terminologie
« diviseur positif » qui peut prêter à confusion dans un contexte plus
général.} sur $U$ tout élément du sous-monoïde $\Div_+(U)$ de $\Div(U)$
des diviseurs à coordonnées toutes positives ou nulles.
À ce sous-monoïde est associé une relation d'ordre :
on dit que $D=∑_u n_u ⋅ u$ est supérieur ou égal à $D′ = ∑_u n_u′ ⋅ u$
si et seulement si $D - D′ ∈ \Div_+(U)$, c'est-à-dire si et seulement si
$n_u ≥ n_u′$ pour chaque $u ∈ U$.

\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.

\subsection{Caractères et transformation de Fourier adéliques}

\subsubsection{Notations}
\label{produit externe restreint}
À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
$f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$
de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$,
c'est-à-dire envoyant un adèle $(a_x)$ sur le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} f_x(a_x)$.
C'est une fonction continue, que l'on notera aussi simplement
$f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant à l'esprit que la donnée de la fonction produit
externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver
les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA}
ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de considérer la partie
archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}:K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$,
et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathrm{ultr}}  → 𝐂$.
Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$.

\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\commentaire{Bonne définition ? Kudla [Tate]/Weil [1964b]}
\label{Bruhat-Schwartz adélique}
On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients
complexes de produits externes restreints $f_𝐀=(f_x)$
où chaque $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}), et $f_x = 𝟭_{𝒪_{K,x}}$ pour
presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
% cf. Kudla, « Tate's thesis »
%p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
%\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
%L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
%des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
%p. 178 et p. 189. \XXX
Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i)
qu'il existe un élément $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $𝒪_{K,x}$
pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Dans ce cas, toute fonction $f_𝐀 ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}  𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).

\subsubsection{Caractères additifs $𝐐_𝐀$}
\label{caractères additifs QA}
Notons $ψ_𝐐$ le produit externe restreint des caractères $𝐞_{p}$
définis en \ref{caractère corps local} et satisfaisant
la condition $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$ pour tout nombre premier $p$.
Explicitement : $ψ_𝐐$ envoie $a_𝐀=(a_p)$
sur le produit (à support fini) $∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{a_p\}_p
-a_∞)$, où $𝐞(λ)=\exp(2iπλ)$ pour chaque $λ ∈ 𝐑$.
C'est un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
du produit (\ref{formule du produit}).
Pour chaque $p ∈ Σ(𝐐)$, notons $a_p↦ a_p^𝐀$ la section additive
évidente du morphisme $𝐐_𝐀 ↠ 𝐐_p$ : $a_p^𝐀=(a_ℓ)_{ℓ ∈ Σ(𝐐)} ∈ 𝐐_𝐀$, où $a_ℓ$
vaut $0$ si $ℓ ≠ p$ et $a_p$ sinon ; par construction, $(a_p b_p)^𝐀=a_p^𝐀
b_p^𝐀$ et $ψ_𝐐(a_p^𝐀)=𝐞_p(a_p)$.

Montrons que le morphisme $a_𝐀↦ [×a_𝐀]^*ψ_𝐐$, $𝐐_𝐀 →  \chap{𝐐_𝐀}$
est un \emph{isomorphisme}, où $\chap{𝐐_𝐀}$ désigne le groupe
additif des caractères \emph{continus} de $𝐐_𝐀$
à valeurs dans $𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
L'injectivité de $𝐐_𝐀 →  \chap{𝐐_𝐀}$ résulte de \ref{dual corps local}
et de l'égalité $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐(a_𝐀 b_p^𝐀)$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$
et tout $b_p ∈ 𝐐_p$. Pour démontrer la surjectivité,
il suffit d'après \emph{loc. cit.} de vérifier que tout
caractère $ψ ∈ \chap{𝐐_𝐀}$ est un produit restreint
de caractères $ψ_p$, triviaux sur $𝐙_p$ pour presque tout $p$.
Or, $ψ$ induit un caractère \emph{continu} $Ψ$ du produit
$G=∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$, c'est-à-dire du complété
profini $\lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
C'est un groupe \emph{profini} (cf. \refext{Krull}{}).
\commentaire{déplacer dans [Krull] ?}
(Le groupe $G$ est habituellement noté $\chap{𝐙}$.) Soit $V ⊆ 𝐔$
un voisinage ouvert de $1$ ne contenant pas de sous-groupe non trivial,
par exemple $V=\{z ∈ 𝐂: |z-1|<1\} ∩ 𝐔$.
Alors $Ψ^{-1}(V)$ est ouvert, contient un \emph{sous-groupe} ouvert compact $C=nG$ de $G$
— car ceux-ci forment une base de la topologie de $G$ —
et $\Ker(Ψ) ⊆ C$. Le caractère $Ψ$ est donc trivial sur les $𝐙_p$
pour chaque $p$ ne divisant pas $n$. CQFD.

Montrons maintenant que $𝐐$ est orthogonal à lui-même, c'est-à-dire qu'un
élément $a_𝐀$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
$ψ_𝐐(a_𝐀  b)=1$ pour tout $b∈𝐐 ⊆ 𝐐_𝐀$, ou encore si et seulement si
la restriction de $[×a_𝐀]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
Soit $a_𝐀 ∈ 𝐐^⊥$ ; on peut le décomposer en une somme
$a_𝐀=λ + c_𝐀$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
diagonalement) et $c_𝐀=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
(voir \ref{cocompacité} (i), démonstration). Naturellement,
$c_𝐀$ appartient également à $𝐐^⊥$ car l'orthogonal $𝐐^⊥$ est un sous-$𝐐$-espace
vectoriel des adèles. En particulier, $1=ψ_𝐐(c_𝐀)$. Comme
$ψ_𝐀(c_𝐀)=𝐞_{∞}(-c_∞)$, on a $c_∞=0$. Ainsi,
$[×c_𝐀]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
(\emph{loc. cit.}) sur $𝐐_𝐀$ tout entier. Ainsi, $c_𝐀=0$. CQFD\footnote{En utilisant un peu la théorie
de la dualité, on pourrait montrer que le quotient
$𝐐^⊥ \bo 𝐐$ est discret. Comme il est compact,
car $𝐐_𝐀 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]

\begin{remarque2}
On peut montrer que tout caractère continu d'un produit
de groupes compacts a presque tous ses facteurs triviaux.
\end{remarque2}


\subsubsection{Caractères additifs de $𝐤_𝐀$, où $𝐤=𝐅_p(t)$, $p>0$ premier}
\label{caractères additifs kA}
Notons $∞$ la place correspondant à l'idéal
premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$
et $ψ_∞$ le caractère additif du corps local $𝐤_∞$,
construit en \ref{exemples caractères additifs locaux} :
si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$, avec $c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$,
\[
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
Notons $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idéal maximal de l'anneau
$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ :
le niveau  (\ref{niveau caractère}) de $ψ_∞$ est égal à $-2$.
Rappelons (\ref{cocompacité}, démonstration) que
le morphisme canonique du compact $C=∏_x 𝒪_{𝐤,x}$ vers le quotient
$𝐤_𝐀 \bo 𝐤$ est une surjection. Comme le caractère $ψ_∞$
est trivial sur $𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤,∞}$, le caractère composé
$∏_x 𝒪_{𝐤,x} ↠ 𝒪_{𝐤,∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
induit un caractère additif (continu) $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x$
des adèles, trivial sur $𝐤$. Pour chaque $x ≠ ∞$, le caractère
local $ψ_{𝐤,x}$ est par construction trivial
sur $𝒪_{𝐤,x}$. Montrons qu'il est de niveau nul.
Notons $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant
à $x$, que l'on peut écrire sous la forme $ϖ_x=t^{δ_x}u$,
où $δ_x=\deg(ϖ)$ et $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ est de degré inférieur ou égal à $δ_x$
en $t^{-1}$.
Tout élément $f$ du complété $ϖ_x$-adique $𝐤_x$ s'écrit
de manière unique $∑_{i ≥ -r} c_i(t) ϖ_x^i$, où $r ∈ 𝐙$
et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynôme de degré strictement
inférieur à $δ_x=\deg(ϖ_x)$. On peut décomposer $f$ en
la somme d'un élément $f_+$ de $𝒪_{𝐤,x}$ et d'un élément
\[
f_-=\frac{λ_{\max }t^{r δ_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
\]
pour un entier $r>0$ et des $λ_i$ dans $𝐅_p$.
Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{\max})$ et
$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_-$ appartient à $𝒪_{𝐤,y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
Ainsi le nombre $ψ_{𝐤,x}(f)$, qui coïncide avec $ψ_{𝐤,x}(f_-)$,
est égal à $ψ_{𝐅_p}(-λ_{\max})$.
% itou pour 𝐞_{𝐤_x,dt} — car $dt ∈ 𝒪_{𝐤_x}d ϖ_x$ —,
En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x)$, égal
à $ψ_{𝐤,x}(ϖ_x^{-1})$ car $t^{δ_x-1}$ est une unité en
$x ≠ ∞$, vaut $ψ_{𝐅_p}(-1) ≠ 0$.
Ceci montre bien que le niveau de $ψ_{𝐤,x}$ est nul.

Montrons maintenant que le morphisme $𝐤_𝐀 → \chap{𝐤_𝐀}$, $a↦ [×a]^* ψ_𝐤$ est un
isomorphisme. 
L'injectivité résulte, comme dans le cas du corps
des rationnels, de la dualité locale \ref{dual corps local}
et du fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont non triviaux.
La surjectivité se démontre comme ci-dessus,
le groupe profini $G$ remplacé par le produit $∏_x 𝒪_{𝐤,x}$,
en utilisant le fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont de niveau
nul pour $x ≠ ∞$. (Qu'ils le soient presque tous suffirait.)
 
Vérifions enfin que $𝐤$ est orthogonal à lui-même pour cet accouplement.
Soit $a_𝐀 ∈ 𝐤^⊥ =\{b_𝐀 ∈ 𝐤_𝐀 : ψ_𝐤(b_𝐀 𝐤)=\{1\}\}$.
On peut écrire $a_𝐀=f + c_𝐀$ où $f$ appartient à $𝐤$ (plongé
diagonalement) et $c_𝐀=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤,x}$ (\ref{cocompacité}). Quitte
à translater par une constante dans $𝐅_p$, on peut
supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞$.
Naturellement, $c_𝐀 ∈ k^⊥$ et $1=ψ_𝐤(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
si bien que $c_∞ ∈ 𝔪_∞²$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐤$ est trivial sur $C$ et $𝐤$ donc
(\emph{loc. cit.}) sur $𝐤_𝐀$ tout entier. Finalement,
$c_𝐀=0$ et $a_𝐀 ∈ 𝐤$. CQFD.

\begin{exercice2}
Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=[×±1]^*𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
\end{exercice2}

\begin{théorème2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}
Soit $K$ un corps global.
Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$
% dire que OPS ψ_x tous non triviaux ?
et (pour chaque tel $ψ$) le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
est un isomorphisme. De plus, $K$ est orthogonal à lui-même :
si $a_𝐀  ∈ K_𝐀$ et $ψ(λ a_𝐀)=1$ pour tout $λ ∈ K$, on a $a_𝐀 ∈ K$.
\end{théorème2}

Un mot sur la terminologie : le caractère $ψ$
induit une application linéaire de $𝐙$-modules
$K_𝐀 ⊗_𝐙 K_𝐀 → 𝐂^×$, $x ⊗ y↦ ψ(xy)$. L'ensemble
orthogonal considéré dans l'énoncé n'est autre
que l'ensemble $K^⊥$ relativement à cet
accouplement.

\begin{démo}
Si $K$ est $𝐐$ ou un corps $𝐤=𝐅_p(t)$ ($p>0$), cela résulte
de ce qui précède. D'après \ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1},
il suffit donc de vérifier que si le théorème est vrai pour un corps global $K$,
il l'est également pour une extension étale $L$ de $K$.
Fixons une telle extension et un caractère additif non trivial $ψ_{K}$
de $K_𝐀$, trivial sur $K$. On peut également supposer
que ses composantes locales sont toutes non triviales
car c'est le cas pour $K=𝐐$ ou $𝐤$.

\emph{Existence d'un caractère adélique non trivial.}
Il résulte de la surjectivité de la trace adélique (\ref{adèles et cb})
que le caractère $ψ_L:=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$
est également non trivial. Comme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(L)=K$,
ce caractère est trivial sur $L$.

\emph{Injectivité du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$.}
Soient $a_𝐀 ∈ L_𝐀$ un adèle de $L$ et $x$ une place
de $K$. Si  $ψ_L(a_𝐀 L_𝐀)=\{1\}$, on a en particulier
$ψ_{K,x}(\Tr_{L_x \bo K_x}(a_x L_x))=\{1\}$, où
$a_x=(a_y)_{y↦ x}$. Comme $ψ_{K,x}$ est supposé non trivial
et que $\Tr_{L_x \bo K_x}(a_xL_x)=K_x$ sauf si $a_x=0$.
Ceci permet de conclure.

\emph{Surjectivité du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$.}
Soit $ψ ∈ \chap{L_𝐀}$ et fixons un isomorphisme
de $K_𝐀$-algèbres $ι:L_𝐀 ⥲ K_𝐀^n$ comme en \ref{adèles et cb}.
Il résulte de la dualité pour $K_𝐀$ qu'il existe un vecteur
adélique $v_𝐀 ∈ K_𝐀^n$ tel que $ψ(b_𝐀)=ψ_K(⟨v_𝐀, ι(b_𝐀)⟩)$ pour chaque $b_𝐀 ∈ L_𝐀$.
\commentaire{un peu moche...}
D'après \emph{loc. cit.}, il existe un élément $a_𝐀$
tel que la forme linéaire $b_𝐀↦ ⟨v_𝐀, ι(b_𝐀)⟩$ soit
$\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a_𝐀]$. CQFD.

\emph{Orthogonalité.} Si $ι(a_𝐀)=({a₁}_𝐀,…,{a_n}_𝐀) ∈ K_𝐀^n$,
$\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(a_𝐀 L)=∑_i {a_i}_𝐀 K$.
En conséquence, $ψ_L(a_𝐀 L)=\{1\}$ si et seulement
on a $ψ_K({a_i}_𝐀 K)=\{1\}$ pour chaque $i$.
Ceci ne se produit que si chaque ${a_i}_𝐀$ est dans $K$.
\commentaire{mini-doute}
L'isomorphisme $ι$ envoyant $L$ sur $K^n$, on a le résultat.
\end{démo}

Question : si non trivial et trivial sur $K$,
non trivialité partout n'est-elle pas automatique
(par approximation) ? \XXX

\begin{corollaire2}
\label{dual des classes de adèles}
Soient $K$ un corps global et $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
Le morphisme canonique $K ⥲ \chap{K_𝐀/K}$, $λ↦ [× λ]^* ψ$
est un \emph{isomorphisme}. De plus, le niveau des caractères locaux $ψ_x$
est nul pour presque tout $x$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Vérifions la première assertion. Si $ψ′$ est un caractère de $K_𝐀$, il existe
un unique $a_𝐀 ∈ K_𝐀$ tel que $ψ′=[×a_𝐀]^* ψ$.
Si $ψ′_{|K}$ est trivial, on a $a_𝐀 ∈ K^⊥=K$. CQFD.
Vérifions maintenant que le niveau des composantes locales est presque toujours nul.
D'après l'isomorphisme précédent et le fait qu'un élément
de $K^×$ est une unité en presque toute place, il suffit
de vérifier l'énoncé pour un seul caractère non trivial $ψ$ des classes
d'adèles. Soit $L\bo K$ une extension
séparable, $x$ une place de $K$ nette dans $L$, et $ψ_x$ un caractère additif
de $K_x$ de niveau nul. Pour chaque $y↦ x$, le caractère $ψ_y =ψ_x ∘  \Tr_{L_y \bo
K_x}$ de $L_y$ est de niveau nul (\ref{niveau reste nul si extension nette}).
Comme presque toutes les places sont nettes (\refext{AVD-D}{extension est presque partout nette}
[résulte aussi de \ref{adèles et cb} \XXX]),
on constate que si le résultat à démontrer est vrai pour un caractère $ψ$
sur $K$, il l'est également pour $ψ ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$.
D'après \ref{caractères additifs QA} et \ref{caractères additifs kA},
il en est ainsi lorsque $K$ est $𝐐$ ou $𝐤$. Ceci suffit pour conclure.
(Voir \cite[IV.§2, corollaire 1]{BNT@Weil} pour un argument topologique
n'utilisant pas cette réduction au cas particuliers des corps $𝐐$ et $𝐤$.)
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\label{caractères séparent les points}
Soit $K$ un corps global. Les caractères
du groupe abélien compact $K_𝐀∕K$ \emph{séparent les points} :
pour toute paire $x,y ∈ K_𝐀∕K$ de points distincts,
il existe un caractère $ψ_{x,y} ∈ \chap{K_𝐀∕K}$ tel que
$ψ_{x,y}(x) ≠ ψ_{x,y}(y)$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Par translation, on peut supposer $y=0$.
Soit $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
D'après le corollaire précédent, il faut montrer
qu'il existe un $λ ∈ K$ tel que $ψ(λ x) ≠ 1$.
Ceci résulte du fait que $x ∉ K$ et de l'égalité
$K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}).
\end{démo}

\begin{remarque2} \XXX
\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
On peut montrer que si $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
et $ω$ une forme différentielle non nulle,
pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_x)=\{1\}$.
De plus, on peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
% cf. Tate, cours à Harvard.
\end{remarque2}

\subsubsection{Transformation de Fourier sur $K_𝐀$}
\label{définition Fourier adélique}
Soient $K$ un corps global et $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
sur $K$. Pour chaque place $x$ de $K$, considérons la transformée
de Fourier locale autoduale $ℱ_{ψ_x}$ (\ref{Fourier et mesure locaux}).
Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x f_x$
appartient à l'espace de Bruhat-Schwartz (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$ :
cela résulte du fait que le niveau $n(ψ_x)$ sont presque tous nuls
(\ref{dual des classes de adèles}) et de la dualité locale (\ref{Fourier et
mesure locaux}, (i) et (v)). La fonction $ℱ_ψ(f):=
\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient
donc également à $𝒮(K_𝐀)$ ; on étend cette définition à $𝒮(K_𝐀)$ tout
entier par linéarité. On peut réécrire cette définition de la
transformation de Fourier $ℱ_ψ$ sous une forme globale.
Notons $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure de Radon
produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ sur $K_x$
(\ref{mesure produit-colimite}),
de sorte que si $f$ est une fonction continue sur $K_𝐀$
prolongement par zéro d'une fonction $f_U$ sur l'ouvert $K_𝐀(U)$
(\ref{définition adèles}), on a
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(f)= ∫_{K_𝐀(U)} f_U μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_U} =
∏_{u ∈ U} \Big( ∫_{K_u} f_u μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_u} \Big),
\]
où le terme de droite est une définition du terme central.
Avec ces notations, il est tautologique que pour chaque $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$
et chaque adèle $a ∈ K_𝐀$, on a
\[
ℱ_ψ(f)(a_𝐀)=∫_{K_𝐀} f ψ_{a}   dμ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ,
\]
où $ψ_{a}=[× a]^* ψ$. Explicitons maintenant cette construction dans deux cas
particuliers.

— Transformation de Fourier sur $𝐐_𝐀$. Considérons une
fonction $f^{\mathrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif
$N∈ 𝐙-\{0\}$ et un rationnel $o ∈ 𝐐$. Il résulte
des égalités $𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
du formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii) et
de la formule du produit $∏_p |N|_p=1/|N|$ que l'on a l'égalité
\[
ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathrm{arch}}) \big) ⊠
\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
\]
où $ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
l'on note $\chap{𝐙}$ le complété profini $∏_p 𝐙_p = \lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
\chap{𝐙}}$ satisfait la \emph{formule de Poisson adélique}
\[
∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ), \tag{$⋆⋆$}
\]
En effet, compte tendu du calcul $(⋆)$ de la transformée de Fourier,
la formule de Poisson à établir se réécrit :
\[
∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
\chap{f^{\mathrm{arch}}}(λ).
\]
Cette dernière résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée
de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
Par linéarité et l'observation faite en (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
la formule de Poisson $(⋆⋆)$ est valable pour toute fonction $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ ;
c'est aussi un cas particulier de la formule \ref{Fourier adélique} établie ci-dessous.

—- Transformation de Fourier sur $𝐤_𝐀$. Notons $𝐤$ le corps $𝐅_p(t)$, pour un
nombre premier $p$ fixé, et considérons maintenant une fonction
$f^∞ ∈ 𝒮(𝐅_p((t^{-1}))=𝒮(𝐤_∞)$, un élément $N ∈ 𝐅_p[t]-\{0\}$, et
un élément $o$ de $𝐤$. Comme ci-dessus, on établit sans peine l'égalité
\[
ℱ_{ψ_𝐤}(f^∞ ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐅_p[t]}})=
\big( \frac{1}{p^{\deg(N)}} ℱ_{ψ_∞}(f^∞) \big) ⊠
\big( [×o]^* ψ_𝐤^{ ≠ ∞} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
\]
où $ψ_𝐤^{ ≠ ∞}=(ψ_{𝐤_x})_{x ≠ ∞}$ désigne le caractère additif
du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$ (\ref{caractères additifs kA}),
et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲  ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$.
Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet
le calcul explicite de $ℱ_{ψ_∞}(f^∞)$ par dévissage ;
par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p𝟭_{t^{-2}𝐅_p[[t^{-1}]]}$.
\commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?}
On en tire en particulier que la valeur en zéro de $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}})$,
qui coïncide par définition avec la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_𝐤}(𝒪_{𝐤_𝐀})$ de $𝒪_{𝐤_𝐀}$,
est égale à $p$.
D'autre part, on vérifie immédiatement la formule
$∑_{λ ∈ 𝐤} 𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}(λ)= ∑_{λ ∈ 𝐤} ℱ_{ψ_𝐤}\big(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}\big)(λ)$.
Le terme de gauche est le cardinal, égal à $p$, de $𝒪_{𝐤_𝐀} ⋂ 𝐤=𝐅_p$ (fonctions
rationnelles sans pôle) ;
le terme de droite est $p$ fois le nombre, égal à $1$, de fonctions rationnelles $f ∈ 𝐤$
sans pôle hors de l'infini et ayant un zéro (au moins) double en l'infini.
Dans le cas d'une fonction générale $f ∈ 𝒮(𝐤_𝐀)$, la formule
de Poisson adélique est moins immédiate : la méthode
esquissée ci-dessus dans le cas du corps des rationnels
nous ramène essentiellement à une forme théorème de Riemann-Roch (\ref{Riemann-Roch}).

\subsection{Formules d'inversion et de Poisson}

Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorème suivant.

\begin{théorème2}
\label{Fourier adélique}
Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$ et soit
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associée
aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ (\ref{définition Fourier
adélique}).
\begin{enumerate}
\item La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
du choix de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ soit le produit
(au sens de \ref{module et mesure quotients}) de la mesure de comptage sur le groupe discret $K$ par
la mesure de Haar normalisée sur le groupe \emph{compact} $K_𝐀/K$.

\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
\item  Pour $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
\[
∑_{λ ∈ K} f(λ)=∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ).
\]
\item \label{Poisson-Riemann-Roch}
Pour tout idèle $ι$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
on a :
\[
∑_{λ ∈ K} f( λ ι )=\frac{1}{|ι|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /ι).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Prendre garde de ne pas confondre la mesure de Tamagawa
avec la mesure de Haar (globale) $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures Tamagawa locales}.

\subsubsection{}D'après la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}),
tout caractère non trivial des classes d'adèles est de la
forme $[×a]^*ψ$ (noté également $ψ_a$) pour un unique $a ∈ K^×$. Il résulte de la formule
\ref{Fourier et mesure locaux} (vi) appliquée aux composantes locales et de la formule du produit
(\ref{formule du produit}) que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus
$+$}}_{ψ_a}$. (On montre également, en utilisant la formule
$ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$ que le terme de droite de l'égalité (iii)
ne dépend pas de $ψ$, comme attendu.) Le fait que la mesure induite
par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
soit \emph{normalisée} sera établi à la fin de la démonstration.

\subsubsection{Formule d'inversion}
Rappelons que $ℱ_ψ(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′} f_x):=
\mathop{\bigboxtimes\nolimits′} ℱ_{ψ_x}(f_x)$, lorsque
les fonctions $f_x$ sont dans $𝒮(K_x)$ et presque toutes
égales à $𝟭_{𝒪_{K,x}}$.
La formule d'inversion globale résulte donc, par linéarité,
des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).

\subsubsection{Formule de Poisson : convergence}
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦  ∑_{λ ∈ K} f(a_𝐀+λ)$ converge
uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit
restreint $f=(f_x)$. Nous traitons séparément corps de fonctions et corps de nombres.

❧ Cas des corps de fonctions.
Soit $U$ un ouvert dense de $K$ tel que le support de $f$ soit contenu dans
$K_𝐀(U)=∏_{u ∈ U} 𝒪_{k,u} × ∏_{x ∉ U} K_x$.  Considérons le compact $D=∏_x D_x$
de $K_𝐀$, où $D_x$ est le support $\Supp(f_x)$ de $f_x$ si $x ∉ U$, ou
bien $𝒪_{k,x}$ si $x ∈ U$.
(En présence de places archimédiennes, la compacité de $\Supp(f_x)$ et, \emph{a
fortiori}, celle de $D$ ne sont pas garanties.)
La fonction $f$ est nulle hors de $D$. Il en résulte
que chaque terme $f(a_𝐀+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être
si $λ$ appartient à l'intersection de $K$ avec l'image
\emph{compacte} l'application $D×C → K_𝐀$, $(d,a)↦ d-a$.
L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie} (\ref{cocompacité}),
la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie.

❧ Cas des corps de nombres.
D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $o ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-être si
$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
\commentaire{notation merdique : c'est $+(-C)$ et non la soustraction ensembliste}
où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$
ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$,
on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
Comme d'autre part cette fonction est majorée par $1$ en valeur
absolue, il nous suffit de montrer la convergence uniforme de
la somme
\[
a_𝐀^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})}
|f^{\mathrm{arch}}(a_𝐀^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|
\]
sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{x ∈
Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x$.
(On note ici $λ^{\mathrm{arch}}$ l'image de $λ$
dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
on rappelle que $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
$𝐑$-algèbre, à $𝐑^N$ où $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.)


			\[⁂\]
Tout compact de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ étant contenu dans
l'image de $𝒪_{K_𝐀}$ par une homothétie de rapport dans $K$,
on peut de même supposer [pas clair \XXX ; dire que $K ∩ (...)$ contenue dans
idéal fractionnaire ?] le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$
de sorte que $𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}$ est contenu dans $𝒪$.
Or, on a vu en \ref{cocompacité} (ii) que le sous-groupe
$K ∩ 𝒪 = 𝒪_K(…)$ est naturellement un réseau dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$.
Il suffit donc de démontrer le fait suivant :
\begin{quote}
Soient $N$ un entier, $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$ et $Λ ≃ 𝐙^N$ un réseau
de $𝐑^N$. La somme $∑_{λ ∈ Λ} φ(x+λ)$ est uniformément convergente
sur tout compact.
\end{quote}
La démonstration de ce fait, bien connu, est laissée
en exercice au lecteur.

% références : Weil [BNT, p. 111], Bump. p. 278.

\subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin}
Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$
et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$. Munissons $G$ d'une mesure
de Haar et $X$ de la mesure quotient $\dot{μ}$ associée (\ref{mesure quotient}, \ref{domaine fondamental}).
Soient $f$ comme dans l'énoncé et $F : X → 𝐂$ la fonction continue
déduite de
\[
g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
\]
par passage au quotient. Posons $v_μ=\dot{μ}(X)$
Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée (\ref{} \XXX)
de l'espace de Hilbert $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
Il résulte d'autre part de \ref{caractères séparent les points} et du
théorème de densité de Stone-Weierstraß (\BourbakiTG{X.§4, th. 3})
que toute fonction de $𝒞(X,𝐂)$ peut être uniformément approchée
par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$ :
la famille des caractères (continus) de $X$ est donc une
\emph{base hilbertienne} de $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
On peut donc écrire, dans cet espace,
\[
F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x},
\]
où $(c_∙(F)) ∈ ℓ²(\chap{X})$.
Nous allons montrer que cette famille de coefficients appartient
à $ℓ¹(\chap{X})$, de sorte que la décomposition précédente
est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$
et, en évaluant en l'identité $0$ de $X$,
\[
∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F).
\]
Calculons.
\[
c_{\chap{x}}(F)
=v_μ ^{-1} ∫_X F(\dot{g}) \sur{\chap{x}(\dot{g})} d \dot{μ}(\dot{g})
=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ(g)
=v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}),
\]
où la dernière égalité est une définition du terme de droite.

Considérons maintenant le cas où $μ=μ_ψ$ et reprenons les notations de l'énoncé.
Rappelons que d'après \ref{dual des classes de adèles},
chaque caractère $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour
un unique $λ ∈ K$. Par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
\[
ℱ_μ(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)
\]
Comme on l'a vu \emph{loc. cit.}, $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$ 
de sorte que, d'après \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
$λ↦   ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$.
On a donc montré l'égalité
\[
∑_λ f(λ) = v_μ ^{-1} ℱ_ψ(f)(λ)
\]
pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
Il résulte immédiatement de la formule d'inversion (ii)
et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $v_μ ^{-2} =1$ d'où $v_μ=1$
car $v_μ$ est positif. Ceci démontre la formule de Poisson et (i).

(iv) Résulte immédiatement de (iii) et des formules
$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX


\begin{remarque2}
Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II}.
\XXX
\end{remarque2}

\subsection{Le théorème de Riemann-Roch}

\subsubsection{}
\label{définition classe canonique}
Soient $K$ un corps global de
caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}).
Il résulte de \ref{dual des classes de adèles},
de la formule $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$
et de \ref{définition Pic} que la classe
de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle
\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
notera $𝔠$.

\subsubsection{}
\label{Poisson implique RR}
Considérons la fonction caractéristique $\mathbf{1}=⊠′ _x \mathbf{1}_{𝒪_x}$
(cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}=∏_x
𝒪_x$ des adèles entiers de $K_𝐀$.
Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
ℱ_ψ(\mathbf{1})
= ⊠′_x \big( q_x^{-½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big)
= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}.
\]
Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
\[
∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big),
\]
la finitude du terme de droite ayant été déjà observée en \ref{finitude K inter O sur a}.
Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ n'est autre que l'ensemble
des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur
$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$.
(Prendre garde au signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$
sa dimension sur $k$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.

De même,
\[
∑_{λ ∈ K} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(λ/i)= \# \{ λ ∈ K:
\div(λ) ≥ 𝔞-𝔠\}=\# L(𝔠-𝔞).
\]

Appliquant la formule \ref{Poisson-Riemann-Roch} du théorème \ref{Fourier adélique}
à la fonction $𝟭$ et à l'idèle $ι$ et constatant que
$|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, on obtient
l'égalité
\[
q^{l(𝔞)}=q^{\deg(𝔞)}q^{-½\deg(𝔠)}q^{l(𝔠-𝔞)}.
\]

Toute classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$ étant
de la forme $\div(ι)$ pour un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$,
on en déduit le théorème fondamental suivant.

\begin{théorème2}[Riemann-Roch]
\label{Riemann-Roch}
Soient $K$ un corps global de caractéristique \mbox{$p>0$},
$k$ son corps des constantes, et $𝔠 ∈ \Pic_K$
la classe canonique. Pour tout classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$,
on a l'égalité
\[
l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-g+1,
\]
où $g=½\deg(𝔠)+1$ est un entier appelé \emph{genre} \index{genre} de $K$
et
\[
l(𝔞)=\dim_k   \{f ∈ K: \div(f) ≥ -𝔞\}.
\]
\end{théorème2}

La principale application que nous ferons de ce théorème
est la démonstration de la rationalité de la fonction
zêta d'une courbe algébrique sur un corps fini, cf.
\emph{infra}.

\begin{remarque2}
Le théorème précédent est valide sous des hypothèses plus
générales. Voir \cite[I.§2]{AAF@Lang} et \cite[II.nº9]{GACC@Serre}
pour le cas des corps de fonctions sur un corps algébriquement clos,
et \cite[p. 101]{BNT@Weil} pour une remarque sur une approche
semblable à celle suivie ici.
% Et peut-être même que le cas des corps finis entraîne le
% cas général… ? \XXX
\end{remarque2}

\begin{exemple2}
\label{genre droite affine}
$g_{𝐅_p(t)}=0$. On a vu que $\div(ψ_{𝐤_𝐀})=-2⋅∞$.\XXX
% cf. p. ex Rosen, p. 49
% via forme différentielle ou bien calcul fonction zêta ;)
\end{exemple2}

\begin{corollaire2}
\label{RR et existence de fonctions}
Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$.
\end{corollaire2}

\begin{corollaire2}
\label{existence de fonctions ayant pôles imposés}
Soient $K$ un corps global de fonctions et $Y ⊆ Σ(K)$ un sous-ensemble
\emph{fini}. Il existe une fonction $f ∈ K$, dont l'ensemble des pôles est exactement $Y$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Si $Y$ est vide, c'est trivial.
Si $Y=\{y\}$, cela résulte du fait que $l((n+1)Y)>l(nY)$ pour $n ≫ 0$ :
il existe une fonction $f_y ∈ K$ ayant un pôle en $y$ et seulement en $y$.
Enfin, si $Y=\{y₁,…,y_r\}$, il suffit de considérer une somme
de fonctions $f_{y₁}+\cdots+f_{y_r}$ ayant chacune un pôle l'un des $y_i$
(et pas ailleurs).
\end{démo}

Cf. Mittag-Leffler, problème de Cousin etc. \XXX

\subsection{❡ Corps de fonctions et courbes algébriques}

 Commençons par la conséquence suivante du théorème
de Riemann-Roch.

\begin{proposition2}
\label{RR implique Dedekind de type fini}
Soient $K$ un corps de fonctions, de corps des constantes $k$, et $U$ un ouvert dense.
Alors $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de type fini sur $k$.
De plus, son corps des fractions est $K$ sauf si $U=Σ(K)$, auquel cas c'est le corps des constantes $k$ de $K$.
\end{proposition2}

De plus, $\Spec(𝒪_K(U))=U ∪ \{(0)\}$.
Cf. [Rosen, p. 247] \XXX

\begin{démo}
Supposons $U ≠ Σ(K)$. D'après \ref{existence de fonctions ayant pôles imposés},
il existe une fonction non constante $f ∈ K$ dont l'ensemble des pôles est exactement $Σ(K)-U$.
Ainsi, posant $K₀=𝐅_p(f)$, l'image $U₀$ de $U$ dans $Σ(K₀)$
n'est autre que $Σ(K₀)-\{∞₀\}$ et l'anneau $𝒪_K(U)$ est le normalisé dans $K$ de
$𝒪_{K₀}(U₀)=𝐅_p[f]$, ce dernier anneau étant de type fini sur $k$.
Il résulte du théorème \refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}
(resp. du théorème de Krull-Akiduki, \refext{AVD-D}{Krull-Akiduki})
que l'anneau $𝒪_K(U)$ est de type fini sur $k$
(resp. nœthérien, de dimension $1$).
On sait de plus qu'il est normal (cf. \ref{}) ; c'est donc un anneau de Dedekind.
Enfin, lorsque $U=Σ(K)$, on considère un
sous-corps global premier arbitraire $K₀$ de $K$.
Il résulte de \ref{fonctorialité anneau des Uentiers} que $𝒪_K(Σ)$ est la clôture
intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ₀)$ dans $K$. On a vu
en \ref{sections globales droite projective} que $𝒪_{K₀}(Σ₀)=𝐅_p$.
La conclusion en résulte.
\end{démo}

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item Munissons l'ensemble $Σ$ de la topologie suivante,
dite de Zariski (cf. \refext{AC}{}) : un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou vide.
Le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
$(Σ,𝒪_K)$ (« espace annelé ») est un \emph{schéma}. C'est une courbe projective lisse
sur $𝐅_p$.
\XXX
\item Observons que les résultats de la proposition précédente ont
déjà été obtenus en \ref{sections globales droite projective}
dans le cas particulier d'un corps de fonctions rationnelles $𝐅_p(t)$.
\item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.)
%(Cf. Joël Riou, forum 2007.)
\end{enumerate}
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme
géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
\begin{enumerate}
\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
\item $Σ(K_f) ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble fini près).
Plus précisément, il existe un ouvert dense $U$ de $K$ et
un élément non nul $a ∈ X_f$ tels que $𝒪_K(U)$ soit
$k$-isomorphe à $X_f[a^{-1}]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) Le corps $K_f$ est de type fini et de degré de transcendance $1$ sur $k$.
(Le polynôme $f$ est irréductible donc non constant.) C'est donc un corps
global. L'anneau $K_f ⊗_k k\alg$ est isomorphe à un localisé de l'anneau $X_f ⊗_k k\alg$.
Le polynôme $f$ étant \emph{géométriquement} irréductible), l'anneau
$X_f ⊗_k k\alg$ est intègre (et réciproquement), et par conséquent $K_f ⊗_k
k\alg$ aussi.
D'après \refext{AC}{}, le corps $k$ est intégralement clos dans $K_f$ : c'est
son corps des constantes.
(ii) Soit $U$ un ouvert arbitraire strict de $Σ(K)$. Les $k$-algèbres $A=X_f$
et $B=𝒪_{K_f}(U)$ sont de type fini et ont même corps des fractions. Il en résulte (\XXX)
qu'il existe $a ∈ A-\{0\}$ et $b ∈ B-\{0\}$ tels que $A[a^{-1}]$ et $B[b^{-1}]$ soient
$k$-isomorphes. Soit $S$ le support (fini) de $\div₀(b)$. Le sous-anneau $B[b^{-1}]$
de $K_f$ est inclus dans $𝒪_{K_f}(U - S)$. Cette inclusion est une égalité car si $g ∈ 𝒪_{K_f}(U
- S)$, il existe un entier $n$ tel que la fonction $b^n g$ n'ait pas de pôle en les points
de $S$ et, partant, appartienne à $𝒪_{K_f}(U)$.
\end{démo}



\subsection{Calculs de volumes}

\subsubsection{Idèle différentiel}
\label{idèle différentiel}
Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère de $K_𝐀∕K$.
Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux}
que pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, il existe
un élément (non canonique) $d_{ψ,x} ∈ K_x^×$
tel que
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}.
\]
Lorsque $x$ est ultramétrique,
ceci se produit si et seulement si
la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale au niveau $n_x(ψ_x)$.
Dans ce cas, on a la formule
\[
ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* 𝟭_{𝒪_x},
\]
ou encore
\[
𝒪_x^{⊥}= d_{ψ,x}^{-1} 𝒪_x,
\]
où $𝒪_x^{⊥}=\{ f ∈ K_x: ψ_x(f 𝒪_x) =\{1\}\}$
est l'orthogonal relativement à l'accouplement défini
par $ψ_x$.
En particulier, $|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x
∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \emph{idèle différentiel attaché à $ψ$},
\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.

\subsubsection{}Lorsque la place $x$ est archimédienne,
il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} (v)
et que l'on peut prendre pour $d_{ψ,x}$ l'unique
élément de $K_x^×$ tel que $ψ_x=[× d_{ψ,x}]^* 𝐞_{K_x}$.
(Le caractère $𝐞_{K_x}$ est défini en \ref{caractère corps local}.)

\subsubsection{}
\label{Tamagawa et idèle différentiel}
Par construction, on a l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
En particulier, le module $|d_ψ|$ ne dépend pas du choix de $ψ$ ;
on le notera dorénavant $|d_K|$.
Il résulte des calculs effectués en \ref{Poisson implique RR}
et, en caractéristique nulle, de la proposition \ref{niveau et différente}
— car on peut supposer $ψ=𝐞_K$ — que l'on a :
\[
|d_K| =
\begin{cases}
\displaystyle |𝔡_K|^{-1}    & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0.
\end{cases}
\]

\subsubsection{}
\label{Fourier de 1}
Lorsque $K$ est un corps de fonctions, on a
\[
ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭,
\]
où $𝟭$ est la fonction introduite en \ref{Poisson implique RR}.
Elle s'obtient à partir de son analogue local par produit.
Cette formule est également valable dans le cas des corps de nombres
si l'on considère la fonction
\[
𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
Il suffit pour cela d'établir l'égalité, pour chaque place
archimédienne $x$ de $K$ : $ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$.
D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère},
on peut supposer $ψ_x=𝐞_{K_x}$, de sorte qu'il faut montrer
l'égalité
\[
\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big)
=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big)
\]
et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=g_𝐂$.

\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
Compte tenu de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$,
il résulte \ref{Tamagawa et idèle différentiel} que l'on a :
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
=
\begin{cases}
\displaystyle √{|𝔡_K|}    & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0.
\end{cases}
\]

Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.

\subsubsection{Analogue multiplicatif}

[...]

\begin{théorème2}
Si $K$ est un corps de nombres,
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
\]
sinon
\[
\frac{h}{w=q-1}
\]
\end{théorème2}

Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé) ou
[Tate, cours à Harvard 2006]. (Il manque peut-être une
puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)

\section{Fonctions zêta}

\subsection{Fonctions zêta de Dedekind : définitions}

\subsubsection{}
\label{définition zêta Dedekind}
Soit $K$ un corps global. Notons $|d_K|$ la norme d'un idèle
différentielle (\ref{idèle différentiel}) et, le cas
échéant, $q$ le cardinal du corps des constantes.
Les fonctions zêta suivantes jouent un rôle essentiel
dans l'étude de l'arithmétique de $K$.
La plus célèbre est la \emph{fonction zêta de Dedekind}
\index{fonction zêta de Dedekind}
\[
ζ_K(s)= ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} \frac{1}{1-q_x^{-s}}
\]
où $x$ parcourt les places \emph{ultramétriques} de $K$
et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_x/𝔪_x$.
% vérifier notations ci-dessus \XXX
Notons que $ζ_K(s)=∏_{x ∈Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} ζ_{K_x}(s)$
où $ζ_{K_s}=…$. [choisir un caractère ?] cf. \ref{calcul
explicite intégrale quasi-caractère I} \XXX

\subsubsection{}Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s},
\]
où $𝔞$ parcourt les idéaux non nuls de l'anneau des entiers $𝒪_K$,
et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K ∕ 𝔞$.
(Pour une définition générale de la fonction zêta de Hasse,
cf. \refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}.)

En effet \XXX.

Dans ce cas, il est également naturel de considérer la
fonction zêta étendue aux places archimédiennes :
\[
\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s) × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
ζ_{K_x}(s) = ζ_K(s) ζ_𝐑(s)^{r_𝐑} ζ_𝐂(s)^{r_𝐂},
\]
où $K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe à $𝐑^{r_𝐂}× 𝐂^{r_𝐂}$ et les fonctions
zêta archimédiennes sont comme en \ref{fonction zêta
archimédienne}. On étend cette notation au
cas de la caractéristique positive en posant
$\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$, ou encore : $r_𝐑=r_𝐂=0$.

\subsubsection{}Si $K$ est un corps de fonctions, extension finie
de $𝐅_p(t)$, on a également
\[
ζ_K(s)=ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x | ∞} ζ_{K_x}.
\]
À titre d'exemple, considérons le cas où $A=𝐅_p[t]$.
On a
\[
ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}
=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}},
\]
où $|f|=p^{-\deg(f)}$ et $𝒫_p$ est l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$. Comme expliqué plus haut (dans un cas plus général),
l'égalité entre la somme et le produit eulérien
est une conséquence immédiate du fait que tout polynôme unitaire se
décompose de façon unique (à l'ordre des facteurs près) en produit
de polynômes unitaire irréductibles.
Puisqu'il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$
dans $𝐅_p$, on a $ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_d
\frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$.
Comme $ζ_{K_∞}(s)=(1-p^{-s})$, on en déduit :
\[
ζ_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
\]

\begin{exercice2}
Déduire de l'égalité
\[
(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}
\]
la formule $p^n=∑_{d|n} d ⋅ \#𝒫_{p,d}$, où $𝒫_{p,d}=\{P ∈ 𝒫_p:\deg(P)=d\}$.
(Indication : on pourra poser $X=p^{-s}$ et considérer la dérivée
logarithmique relativement à $X$ des deux termes.)
Cette formule a été précédemment démontrée
en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
\end{exercice2}


\XXX

\subsubsection{}
\label{fonction zêta étendue}
Enfin, on pose :
\[
\chap{ζ}_K(s)=|d_K|^{½s} ⋅ \sur{ζ}_K(s).
\]
C'est cette fonction qui satisfait une équation
fonctionnelle (cf. \ref{} \emph{infra}).

\subsection{Exemples}

\subsubsection{Corps des rationnels}
La fonction zêta $ζ_𝐐$ du corps $𝐐$ est la fonction
zêta de Riemann\index{fonction zêta de Riemann}\footnote{Rappelons que cette
série a été considérée, du moins évaluée en les entiers
positifs, par Euler dès les années \oldstylenums{1730}
environ. Voir \cite{Euler@Kurokawa} pour un panorama
des résultats d'Euler. Domaine complexe ($\Re(s)>1$) : Čebyšev ; référence ? \XXX.}
\[
ζ(s)=∑_{n ≥ 1} n^{-s}=∏_p (1-p^{-s})^{-1}.
\]
% « Variae observationes circa series infinitas , théorème 8
% pour la formule du produit.
On a, par définition,
\[
\chap{ζ}_𝐐=ζ ⋅ Γ_𝐑
\]
et, comme on l'a vu en \ref{exemple Mellin réel},
\[
ζ(ψ,s)=ζ(2s) Γ(s) π^{-s}
\]
— le terme de gauche désignant la transformée de
Mellin définie en \ref{transformée Mellin réelle} —,
soit encore $\chap{ζ}_𝐐(s)=ζ(ψ,\frac{s}{2})$,
où $ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}$ et l'on suppose par exemple $s>1$.
Dans le paragraphe susmentionné, cette égalité est le point de départ
d'une démonstration classique de l'équation fonctionnelle
de la fonction zêta de Riemann (\ref{propriétés zêta Euler-Riemann}),
obtenue en appliquant la formule de Poisson réelle à $ψ$ (ou plutôt $θ=1+2 ψ$).
Nous verrons ci-après des généralisations (corps global quelconque)
de ce fait, démontrées par voie adélique.

L'intérêt de ces fonctions pour l'étude de la théorie des nombres
est connue depuis longtemps\footnote{Cf. Dirichlet,
« Sur l′usage des séries infinies dans la théorie des nombres », 1838
et Hadamard, « Sur la distribution des zéros de la fonction $ζ(s)$ et
ses conséquences arithmétiques » (1896). [Gallica].}.
Par exemple, l'existence d'un pôle
simple en $s=1$ de $ζ$ et l'existence du produit eulérien
entraîne l'égalité
\[
\text{« }∑_{p \text{ premier}} \frac{1}{p} = \log(∞) \text{ »}
\]
découverte par Euler, précisant ainsi le théorème d'Euclide sur
l'infinité des nombres premiers.
Nous en verrons de nombreux autres exemples dans les chapitres suivants.

\begin{exercice2}[Démonstration de $ζ(2k) ∈ π^k 𝐐$ par récurrence]
Soit $k ≥ 4$ un nombre pair. Considérons
la fraction rationnelle
\[
f_k(X,Y)=\frac{2}{X Y^{k-1}}+\frac{1}{X² Y^{k-2}} + \cdots +
\frac{1}{X^{k-2}Y²} + \frac{2}{X^{k-1} Y}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[
f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y)
=2 ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} \frac{1}{X^j Y^{k-j}}
\]
\item En déduire que
\[
\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j).
\]
\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=√{6 ζ(2)}$.
\item Montrer que
\[
∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= (1-¼)ζ(2).
\]
Vérifier que la substitution
$(x,y)=(\frac{\sin(u)}{\cos(v)},\frac{\sin(v)}{\cos(u)})$
a pour jacobien $(1-x²y²)$ et envoie le triangle
\[T=\{u,v ∈ 𝐑_{>0}: u + v < π/2\}\]
bijectivement sur l'intérieur du carré de sorte que
$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathrm{Aire}(T)$.
En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
\end{enumerate}
%Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la
%cohomologie de $\mathrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
%Calcul de $ζ(2)$ du à Calabi : cf. « Sums of generalized
%harmonic series and volumes », 1993.
\nocite{Sums@BCK}
\end{exercice2}

\subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles}
Il résulte de la factorialité de l'anneau $𝐅_p[t]$
que l'on a l'égalité :
\[
ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} N(f)^{-s}
\]
où $N(f)=p^{\deg(f)}$. Il en résulte que
\[
ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{d ≥ 1} p^d ⋅ p^{-ds}=(1-p^{1-s})^{-1}
\]
et finalement que
\[
ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})^{-1}ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
\]
Comme d'autre part $g_{𝐅_p(t)}=0$ d'où $|d_{𝐅_p(t)}|^½=p^{-1}$,
si bien que
\[
\chap{ζ}_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{p^{-s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}.
\]
Cette fonction est visiblement invariante par le changement
la transformation $s ↔ 1-s$, s'étend en une fonction
méromorphe sur $𝐂$ — c'est même une fonction rationnelle
en $p^{-s}$ — à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement
et ayant un résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
% colle bien avec le $-h_K/(1-q)$.

\subsubsection{$𝐐(i)$}
$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7

\subsection{L'équation fonctionnelle de la fonction zêta : énoncé}
\label{énoncé équation fonctionnelle zêta}
Objectif : démontrer le théorème suivant.

\begin{théorème2}
La fonction $ζ_K$ converge absolument pour $\Re(s)>1$.
Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$
et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction,
$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$
égal à … ou $-h_K/(1-q)$.
\end{théorème2}

Nous allons commencer par démontrer un énoncé de nature plus générale
(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}).
Méthode \textsc{Iwasawa-Tate} (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to
algebraic number theory », Colmez  (F.2.15),
et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.

\subsubsection{Mesures}
Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère additif non trivial de $K_𝐀/K$.
Rappelons que l'on note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar additives locales
(auto-duales) et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar multiplicatives locales
associées comme en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}.
La mesure de Haar additive globale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$
est indépendante de $ψ$ et est notée $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
(cf. \ref{Fourier adélique}). De même, la mesure de Haar multiplicative globale
$μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$
est indépendante de $ψ$. On la note naturellement $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$.
Notons que la décomposition en produit d'une mesure de Haar globale
n'est pas canonique, contrairement à la décomposition
de $ψ$ en $⊠_x ψ_x$, qui est unique.

\subsubsection{Esquisse}
Pour chaque signe de comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$
tels que $|ι| ? 1$. Soient $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$,
$ψ$ un caractère de $K_𝐀/K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$
la fonction valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$
et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
Considérons les fonctions zêta suivantes, obtenues par
transformation de Mellin :
\[
\begin{array}{rcl}
ζ_{≥ 1}(f,χ,s) &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}},  \\
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}, \text{ et enfin} \\
ζ(f,χ,s)       &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} =  ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s).
\end{array}
\]
%Quitte à remplacer $χ$ par un « translaté » $χ ω_s$, on peut
%supposer que $\Re(χ)=0$, c'est-à-dire que $χ$ est un \emph{caractère}.
Dans les deux premiers cas, on peut restreindre le domaine d'intégration à
$K^{×, ≥1}_𝐀$ et $K^{×, ≤1}_𝐀$ respectivement.

Lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres},
l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile car
la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
de $K^{×, =1}_𝐀$.

\subsubsection{}Ces intégrales définissent des fonctions holomorphe
sur $\Re(s)>1-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. Il suffit de considérer la transformée
de Mellin $ζ(f,χ,s)$ et de la comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via
Fubini [...] \XXX % p. ex., BNT, p. 119, prop. 10.
La transformée de Mellin tronquée $ζ_{≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe
sur $𝐂$ entier car plus $\Re(s)$ est petit, plus la fonction intégrée l'est.

\subsubsection{Exemple: la fonction constante $𝟭$}
\label{calcul zeta1khis}
Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où
$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈  K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des
caractères). Si par contre $χ$ est trivial
sur $K^{×,=1}_𝐀$, il provient d'un caractère de
$K^×_𝐀/K^{×,=1}_𝐀$ et est donc (\ref{quasi-caractères globaux}) de la forme
$ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$
on a :
\[
\begin{array}{rcll}
ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}}  & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
En effet, on trouve respectivement l'intégrale
\[
κ ∫_{𝐑>0} t^{s+σ} \frac{dt}{t}
\]
et la somme
\[
κ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big).
\]
(On utilise ici la surjectivité de $||: K^×_𝐀 → q^{𝐙}$.)
Notons que dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le
choix de $σ$ ; elle disparaît en évaluant $q^{-σ}$.
Le même calcul s'applique à $ζ_{ ≥1}(𝟭,χ,s)$.

\subsubsection{}La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$.
D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$.
Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme
sur $λ ∈ K^×$ des intégrales de $f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι)$
sur un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
(\ref{mesure quotient par groupe discret}).
En ajoutant puis retranchant la contribution de $λ=0$, on trouve donc
\[
\begin{array}{rcl}
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = &  \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ ι) \big) cχω_s (ι)  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι) \\
 & & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}.
\end{array}
\]
D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch},
on a donc, suite à un changement de variable $ι ↔ ι^{-1}$,
\[
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) =
ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s).
\]
Le terme de droite étant une fonction méromorphe,
il résulte de cette égalité que le terme de gauche,
\emph{a priori} méromorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$,
s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$.
Ces extensions sont notées de la même façon.

\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction méromorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$
est égale à
\[
\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+
\big(ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s)-f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)\big)
\]
où le second terme, explicité en \ref{calcul zeta1khis} ci-dessus,
apparaît seulement si $χ$ est de la forme $ω_σ$, $σ ∈ i 𝐑$.
Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$,
que l'on a démontré le théorème suivant, analogue global du théorème
local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.

\subsubsection{}
Notons qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$.
En effet, $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$ et $ℱ_ψ(f)$ est transformé
en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$. Or,
$ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$
et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative.

\begin{théorème2}
\label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d'adèles $K_𝐀/K$
et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
Soit $f$ une fonction dans $𝒮(K)$.
\begin{enumerate}
\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et définit une fonction
holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
ζ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s).
\]
\item La fonction $s↦ ζ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Elle satisfait l'équation fonctionnelle
\[
ζ(f,χ,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
\item Leurs résidus respectifs sont
\[
\begin{array}{rcll}
\mathrm{R\acute{e}s}_{- σ} ζ(f,ω_σ,s)	& = & κf(0)			& \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
					& = & κf(0)/\log(q)	& \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
et
\[
\begin{array}{rcll}
\mathrm{R\acute{e}s}_{1-σ} ζ(f,ω_σ,s)	& = & κℱ_ψ(f)(0) 			& \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
					& = & κℱ_ψ(f)(0)/\log(q)	& \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
et ces pôles, simples, sont les seuls.
[$ω_{1-σ}$ \XXX]
En particulier, si ni $χ$ ni $\chap{χ}$ n'appartiennent
à $\{ω_{σ}: σ ∈ i 𝐑\}$, la fonction zêta $ζ(f,χ,s)$ est \emph{entière}.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item Rappelons que si $K$ est un corps de fonctions
(resp. un corps de nombres) l'ensemble des $σ$
comme en (iv) est un torseur sous $\frac{2 π i}{\log(q)}𝐙$
(resp. un singleton).
\item Notons également que la variable $s$ est en grande partie superflue : si l'on pose
$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$
et l'équation fonctionnelle prend la forme équivalente plus agréable
\[
ζ(f,χ)=ζ(\chap{f},\chap{χ}),
\]
où $\chap{f}$ désigne la transformée de Fourier relativement
au caractère $ψ$. Comme signalé en \ref{quasi-caractères=variété},
on pourrait considérer $χ$ comme variable, parcourant
la surface de Riemann des quasi-caractères de $K^×_𝐀/K^×$.
Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$.
\end{enumerate}
\end{remarques2}

\subsubsection{Fonctions $L$ (Hecke) ; fonctions zêta}
Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}  à
la fonction
\[
𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations
lorsque cela ne prête pas à confusion.
D'une part on a « formule de Riemann-Roch »
\[
ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭,
\]
où $ψ$ est un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ quelconque,
et d'autre part l'équation fonctionnelle
\[
ζ(𝟭,1,s)=ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s).
\]
Utilisant le fait que $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}= c_K μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$,
on a également :
\[
ζ(𝟭,1,s)= c_K^{±1} ∫ 𝟭 ... μ^{\mbox{\minus $×$}}₁=c_K^{±1} ∏_x ζ_x(𝟭_x,1,s)
\]
On applique alors \ref{Matchett}
pour obtenir :
\[
ζ(𝟭,1,s)=c_K^{±1} \sur{ζ}_K
\]
Enfin, $ζ([×d]^*f,χ)=χ(d)^{-1}ζ(f)$, d'où
$ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s)=|d_K|^{½-s} [...]ζ(𝟭,s)$
L'équation fonctionnelle pour $\chap{ζ}_K$ en résulte aussitôt.

\begin{lemme2}
\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\]
\end{lemme2}

\subsubsection{Cas des corps de fonctions}
Il résulte de la définition \ref{définition zêta Dedekind}, ou bien
du fait que $s↦ ω_s$ ne dépend que de $q^{-s}$,
que la fonction zêta d'un corps de fonctions $K$
s'écrit $ζ_K(s)=Z_K(q^{-s})$ où $Z_K$ est une fonction méromorphe sur $𝐂^×$.
Cette fonction satisfait les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $0$ et $q^{-1}$ ;
\item $Z_K$ a une limite, égale à $1$, en $0$.
\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
\end{enumerate}

Il résulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$ où $P$
est une fonction \emph{entière} telle que $P(0)=1$.
Elle satisfait la même équation fonctionnelle qu'en (iii). Il en résulte
aussitôt que $P_K$ est un \emph{polynôme}, de degré $2g_K$.
Vérifions les propriétés (i)--(iii). La première est une reformulation
de \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} (iv). La seconde
est conséquence du fait que $ζ_K(s) → 1$ lorsque $\Re(s) → + ∞$.
(iii) [...]

Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.

\begin{corollaire2}[Pôle simple en $1$]
\label{pôle simple en 1 cdn}
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}

Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].

\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}

\subsection{Le théorème de Minkowski}
Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃  𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la
$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.

\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
√{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}

\begin{corollaire2}
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
connexe alors $\ZZ⥲ A$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
%groupe de Picard.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
Soit
$$
A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
$$
le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d  \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
 \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.

Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n  f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
$$
on trouve :
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
& = 2\pi g_{r-1}(1)
\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
& = ... \\
& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
\end{array}
$$
Finalement,
$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
comme annoncé.
\end{démo}

\subsection{Le théorème de Riemann-Hurwitz}

\begin{théorème2}
\label{Riemann-Hurwitz}
Riemann-Hurwitz.
\end{théorème2}

(Cf. Lang ; Weil, VIII.§4.)

\begin{corollaire2}
\XXX
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée.
\end{corollaire2}

\subsection{Un théorème de Selmer}

\begin{proposition2}[Selmer]
\XXX
Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
$$
S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
$$
et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.

Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
qui n'est pas le cas.
Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$
est $𝔖_n$ tout entier.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
des entiers. Supposons que le nombre premier
$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors
ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
est le composé de tels corps.
Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$
est soit trivial soit engendré par une transposition.
Ainsi, le  groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif
de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
[facile].
\end{démo}

\section{Hypothèse de Riemann pour les courbes}
\label{HR courbes}

\subsection{Applications du théorème de Riemann-Roch}

Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
\XXX

Cf. Katz, « Lectures on Deligne's pfoof of the RH for
varieties over finite fields » (1973-74) et
\cite{Counting@Bombieri}.

\subsubsection{}[Blabla à déplacer]
$g$ mesure la complexité de la courbe :
$Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les $g$ premières
valeurs.

\subsubsection{}Extension des scalaires. Si $K\bo k$,
on note $k_d$ l'unique extension de degré $d$ de $k$
dans une clôture algébrique fixée et $K_{k_d}$ le \emph{corps}
$K ⊗_k k_d$ \XXX.

\begin{lemme2}
\[
Z(K_{k_d}\bo k_d,T)= ∏_{ζ ∈ μ_d(𝐂)} Z(K\bo k, ζT).
\]
\end{lemme2}

Il suffit donc de démontrer le théorème après extension
des scalaires.

\begin{lemme2}
Il suffit de démontrer l'existence de $A,B,N$
tels que
\[
|X(k_d)-(1+q^d)| ≤ A + B q^{d/2}.
\]
pour $d ≫ 0$ divisible par $N$.
\end{lemme2}

\subsubsection{}Réduction au cas où il existe un sous-corps $k(t)$
au-dessus duquel $K$ est galoisien.

[Élémentaire ; n'utilise *pas* astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$,
où $\Frob ′$ l'est pour une nouvelle structure. Voir
cependant Katz, pp. 31--34.]

\begin{théorème2}[Bombieri]
Soit $g ∈ \Aut(K\bo k)$, $φ=g^{-1} ∘ \Frob_q$.
Si $q=p^α$, $α$ paire et $q>(g+1)⁴$, alors
\[
♯ \Fix(φ) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}.
\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
Cf. [Katz]. Trois petites pages manuscrites de Riemann-Roch
[pour la courbe sur $\sur{𝐅_q}$] (un peu) + calculs + cas courbe = $𝐏¹$ + sorites sur $X → Y$ galoisien de groupe $G$.
Idée clef : produire une fonction qui va s'annuler à un ordre élevé (explicite) sur les racines (=points fixes
ici) et dont le degré sera borné explicitement. On utilise
pour cela de façon cruciale le Frobenius. La construction
d'une telle fonction repose sur le théorème de Riemann-Roch.
\end{démo}

\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}

\begin{théorème2}
\XXX
Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$.
Alors :
\[
\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s).
\]
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
\XXX
Courbe elliptique à multiplication complexe.
\end{remarque2}

Cf. cours à Hyères (2008).

Utilise :

— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;

— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;

— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle.

\section{Notes}

Pour la transformation de Fourier :
\cite{Bushnell-Henniart} (d'où on a tiré
la seconde démonstration de l'équation fonctionnelle locale),
\cite{Bernstein-Zelevinski}, \cite[appendice F]{Elements@Colmez}
(notamment pour la formule de Poisson adélique). Pour
l'analyse harmonique, on trouvera de beaux survols
historiques dans \cite{scope@Mackey}.
Pontrâgin : \cite[§6]{Pontryagin@Morris} et \cite[§12]{representations@Kirillov}.
Analyse harmonique : \cite{harmonic@Loomis}.

\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi