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\title{Corps locaux, corps globaux}

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Corps locaux, corps globaux
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\chapter{corps locaux, corps globaux}
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\section{Corps locaux}

\subsection{Définitions}

On note $𝐐_{∞}=𝐑$.

\begin{définition2}
On appelle \emph{corps local} un corps contenant
un sous-corps isomorphe un corps $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de
séries de Laurent $𝐅_p((t))$, et fini sur celui-ci.
\end{définition2}

\begin{remarque2}
On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}) est localement compact
si et seulement si il peut être muni d'une topologie
non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
\end{remarque2}

Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local.
Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$
son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪$,
et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
le cardinal.

\begin{définition2}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble
des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
décroissante à l'infini suivante :
\begin{itemize}
\item[$K$ non-archimédien :] $f$ est à support compact.
\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction
à une ou deux variables réelles et pour toute paire de
polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction
réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX]
\end{itemize}
Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou
\emph{Bruhat-Schwartz}.
\end{définition2}

\subsection{Analyse harmonique : théorie additive}

\subsubsection{}
Caractères : ils sont continus.

\begin{définition2}
Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
non-archimédien.
On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes.
Plus précisément :
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K\bo k}-\{0\}$,
et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$,
\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\]
est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$
est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour
un unique élément $λ ∈ k$.
\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$,
$K → \chap{K}$,
\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\]
est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$
est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément
$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\}
∈ 𝐙_p$.
\end{enumerate}
\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme
\[
y ↦ \exp(2 i π λ y),
\]
pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application
précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$.

\end{enumerate}
\end{proposition2}

\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]

L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
topologique $K$.

\begin{remarques2}
Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}.

D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*,
\]
où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique
mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit
de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$.
[signe devant $n$ ? \XXX]
\end{enumerate}
\end{proposition2}

On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.

\begin{démo}
Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
\end{démo}

\begin{exemple2}
\XXX
Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
Lien avec sommes de Gauß.
\end{exemple2}

\subsection{Analyse harmonique : théorie multiplicative}

\subsubsection{Quasi-caractères}

\begin{définition2}
Conducteur.
\end{définition2}

$ω_s=| ⋅ |^s$.

\begin{proposition2}
Structure des quasi-caractères.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. ex. Tate.
\end{démo}

\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure
de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que
le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un.

\begin{lemme2}
Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
\end{lemme2}

Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$
dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
\[
ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}
\]

\begin{proposition2}
Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que,
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ;
\item l'équation fonctionnelle
\[
γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
\]
est satisfaite.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration
plus jolie.
\end{démo}

\begin{exemples2}
Exemples de $γ$.
\end{exemples2}


\section{Adèles, idèles}




\subsection{Corps globaux : définitions}

\begin{définition2}
\XXX
Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$.
\end{définition2}

On note $P_K$ l'ensemble des places et $P_K^∞$ l'ensemble des places
infinies.


\subsection{Préliminaires topologiques et autres tribulations}
[à omettre en première lecture]

\begin{proposition2}
\begin{enumerate}
\item compact et discret implique fini.
\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé).
\end{proposition2}

\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est dit être un
quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes
compacts.
\end{définition2}
(Cf. [Katô-Saitô-...], à la terminologie près.)

\begin{proposition2}
Sorites.
\end{proposition2}

Mesures produits.

\subsection{Adèles}

\subsubsection{}Soit $S ⊆ P_K$ un ensemble fini de places contenant $P_K^∞$.
On note $A_{S,K}$ l'anneau
\[
∏_{v ∈ S} k_v × ∏_{v ∉ S} 𝔬_v,
\]
muni de la topologie produit.

\[
A_K=\colim_S A_{S,K}.
\]
Description de la topologie.

\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
$L\bo K$ finie.
Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
\item Si $S ⊆ P_K$ est fini et contient $P_K^∞$, $𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$ est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236.
(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238).
Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
\end{démo}

\begin{proposition2}
$K$ est dense dans $A_{S,K}$ [ou variante \XXX].
\end{proposition2}

Volume de $A_K \bo K$ [trop tôt ?]

\subsection{Idèles}

\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$.

\subsubsection{}$I_K¹$.


\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}

\subsection{Transformée de Fourier}

\subsubsection{$𝒮(A_K)$}

\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke}



\section{Fonctions zêta}

\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}

			\[⁂\]


\begin{corollaire2}
\XXX
Formule du produit.
\end{corollaire2}

\begin{proposition2}
$k^×$ est discret dans $I_k$ et
$I¹_k \bo k^×$ est compact ; de mesure
$…$ en caractéristique nulle.
\end{proposition2}

Description $Cl(K)$ dans cas corps de fonctions
(\cite[6.94]{suuron1@kato-kurokawa-saito}).

\begin{lemme2}
\XXX
Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
Le morphisme
$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
est de la forme
$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
Passer de la matrice ayant ces colonnes à
$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
La formule en résulte.
\end{démo}

variantes en caractéristique $p>0$ : cf. Hasse, chap. 25, différentielles (p. 467).

Généralités sur discriminant/différente : cf. Serre [CL], [Rosen, chap. 7]

Diviseur inessentiel : Hasse 25.6, Koch §3.6.

\begin{théorème2}
\XXX
Riemann-Hurwitz : lien entre genre et degré différente.
\end{théorème2}

☡ [probablement à déplacer]

\section{Théorèmes de finitude}

\subsection{Finitude du groupe de Picard}

\begin{theoreme2}
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Le groupe de Picard de l'anneau
des entiers $\mc{O}_K$ de $K$ est fini.
\end{theoreme2}

\begin{démo}
\XXX
Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.

Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
du lemme \ref{déterminant-norme} ci-dessous.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
\end{quote}
Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que
$$
m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX
$\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ k^1_A/k^×$.
\end{théorème2}

\begin{démo}
Énoncé dans Weil 2.
\end{démo}

\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps de fonctions.
Le groupe des classes d'idéaux de degré $0$ est \emph{fini}.
\end{théorème2}

\begin{démo}
Cf. p. ex. [Rosen, lemme 5.6] ou [Katô-Saitô], VI.6.4(f)
ou Weil [BNT] IV. th. 7.
\end{démo}

\subsection{Genre}

\begin{théorème2}
$𝐀/𝐀(D)+K$ est de dimension finie.
\end{théorème2}

Remarque : ce quotient est $𝖧¹(C,𝒪(D))$.

\begin{définition2}
$g=\dim_k(𝐀/𝐀(0)+K)$.
\end{définition2}

Via différentielles de Weil ; dimension du conoyau
de $K → ⨁_v K_v/O_v$.

[À voir]

\subsection{Fonction zêta de Dedekind}

\begin{définition2}
\XXX

Corps de nombres :
\[ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}.\]
\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
(fonction zêta complétée) où
$Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.

Corps de fonctions :
\[
ζ_K= ∏_{v} \frac{1}{1-N(v)^{-s}},
\]
où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$.
\[
\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s)
\]
\end{définition2}

\begin{proposition2}
$ζ_K(s)=∑_𝔞 N(𝔞)^{-s}$.
\end{proposition2}

\begin{exemple2}
$ζ_{𝐐(√-1)}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√ m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7


$ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.

\end{exemple2}

\begin{proposition2}
Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle.
\end{proposition2}

\begin{démo}
On se ramène au cas du corps de base.
\end{démo}

Mieux :

\begin{théorème2}
Prolongement méromorphe. Équation fonctionnelle.
\end{théorème2}

Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}).


\begin{théorème2}[Pôle simple en $1$]
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
La correspondance
$$
\got{a} \mapsto  (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
$$
établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
$$
\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
$$
Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
la norme  $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
se factorise.
Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
$$
\{ x \in  P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
$$
Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
$$
\xymatrix{
\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] &  P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] &  K_{\RR}
}
$$
Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
arbitraire.
On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
de  domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.

\begin{quote}
Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
Alors, si $\vol(Y)>0$,
$$
\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
$$
\end{quote}


Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod
\{\infty\}$
et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
Ainsi, le logarithme induit une injection :
$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.

Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
[FIGURE]
Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul.
\end{démo}

\begin{théorème2}
Cas d'un corps de fonctions :
\[
ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}
\]
pôle simple en $1$ (et $0$).
\end{théorème2}

\begin{démo}
Cf. [Rosen] chap. 5. Utilise Riemann-Roch.
Voir aussi [Katô-Saitô], chap. 7.
\end{démo}

\subsection{Théorème des unités}

Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude)
de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin
Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.

\begin{lemme2}
\XXX
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
\end{lemme2}

\begin{proof}
\XXX
On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
\end{proof}

\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}

\begin{proof}
\XXX
\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃  \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
$$
\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
$$
Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.


Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
$$
\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
$$
Cela résulte de l'égalité
$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.

Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
de toute partie bornée est \emph{finie}.
Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
est bornée.
Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
pour $e\in 𝒪_K$.

Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.

Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.

Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.

\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
\end{quote}

Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.

\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$
telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
$$\left\{ \begin{array}{l}
\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
\end{array}\right.$$
\end{quote}

Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs
satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
\CC^{r_\CC},\
\left\{ \begin{array}{l}
|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
\end{array}\right.\}
$$
(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)

On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
le produit est muni de la mesure produit.
L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
à l'origine et convexe. Son volume est
$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
conditions du lemme.

Démontrons le «~lemme chinois~».
Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.

\begin{quote}
Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
sur une ligne soit nulle.
Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
\end{quote}
\end{proof}

\begin{théorème2}[F.K. Schmidt]
Structure des $S$-unités dans le cas des corps de fonctions :

$𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $≤ ♯S-1$.
\end{théorème2}

\begin{démo}
Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14]
\end{démo}

\section{Théorème de Minkowski et une application}

Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃  𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la
$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.

\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}

\begin{corollaire2}
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
connexe alors $\ZZ⥲ A$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
%groupe de Picard.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
Soit
$$
A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
$$
le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d  \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
 \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.

Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n  f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
$$
on trouve :
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
& = 2\pi g_{r-1}(1)
\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
& = ... \\
& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
\end{array}
$$
Finalement,
$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
comme annoncé.
\end{démo}

\subsection{Caractéristique $p>0$}

\begin{théorème2}
\XXX
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée.
\end{théorème2}

\subsection{Un théorème de Selmer}

\begin{proposition2}[Selmer]
\XXX
Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
$$
S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
$$
et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.

Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
qui n'est pas le cas.
Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$
est $𝔖_n$ tout entier.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
des entiers. Supposons que le nombre premier
$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors
ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
est le composé de tels corps.
Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$
est soit trivial soit engendré par une transposition.
Ainsi, le  groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif
de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
[facile].
\end{démo}

\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}

\begin{théorème2}
\XXX
Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$.
Alors :
\[
\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s).
\]
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
\XXX
Courbe elliptique à multiplication complexe.
\end{remarque2}

Cf. cours à Hyères (2008).

Utilise :

— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;

— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;

— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle.

\section{Notes}

Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ;
[Colmez, appendice F].


\ifx\danslelivre\undefined
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\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi