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\title{Corps locaux, corps globaux}

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Corps locaux, corps globaux
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\section{Corps locaux}

\subsection{Premières définitions, notations}
\label{définition corps locaux}

\subsubsection{}
\label{corps topologique, corps local premier}
Un \textbf{corps topologique} \index{corps topologique} est un corps $K$
muni d'une topologie telle que les applications envoyant $(x,y) ∈ K²$
sur $x+y$ (resp. $xy$) et $x ∈ K$ sur $-x$ (resp.
$x ∈ K^×$ sur $x^{-1}$) soient continues.
Une extension de corps topologiques
est un morphisme \emph{continu} $K → L$ de corps topologiques.
Par exemple, si $p$ est un nombre premier
ou le symbole $∞$, le corps $𝐐_p$ — avec la convention
que $𝐐_∞=𝐑$ — muni de la topologie associé à la norme
$|⋅|_p$ est un corps topologique. De même, pour
chaque $p$ premier, le corps $𝐅_p((t))$ des séries de Laurent
formelles est naturellement un corps topologique (cf.
\refext{AVD-D}{}). Nous appellerons \textbf{corps local premier} \index{corps local premier}
un corps topologique isomorphe à l'un des corps
topologiques précédents.

\begin{théorème2}
\label{corps locaux conditions équivalentes}
Soit $K$ un corps topologique. Les conditions suivantes sont
équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $K$ est \emph{localement compact} non discret ;
\item $K$ est isomorphe (en tant que corps topologique) à $𝐑$, $𝐂$ ou bien au corps
des fractions d'un anneau de valuation discrète $𝒪$ complet
à corps résiduel fini, équipé de la topologie déduite
de la valuation.
\item $K$ est une extension finie (en tant que corps
topologique) d'un corps local premier $K₀$.
\end{enumerate}
De plus :
\begin{itemize}
\item L'anneau $𝒪$ du (ii) est le plus grand sous-anneau
compact de $K$ et son idéal maximal est l'ensemble des
éléments $x$ de $K$ tels que $x^n$ tende vers $0$ lorsque $n$
tend vers $+∞$.
\item Le corps local premier $K₀$ du (iii) est \emph{fermé}
dans $K$. Si $K$ est de caractéristique nulle (resp.
de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$
(resp. il n'est pas unique).
\end{itemize}
\end{théorème2}

Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes
démo}, où l'on fait usage des résultats des paragraphes qui
vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats déjà établis
dans le chapitre précédent, la principale difficulté
est de munir un corps localement compact d'une valeur absolue.
Celle-ci sera construire via la théorie de l'intégration
(mesure de Haar).

\subsubsection{}On appelle \textbf{corps local}
un corps topologique satisfaisant les conditions
équivalentes précédentes. Il est dit archimédien
s'il est isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$ et
\textbf{ultramétrique}, ou \textbf{non archimédien},
dans le cas contraire.

\subsubsection{}Lorsque $K$ est un corps local
ultramétrique, on notera en général $𝒪$ son
sous-anneau compact maximal, appelé \textbf{anneau des
entiers}, $𝔪$ l'idéal maximal de $𝒪$, $ϖ$ une uniformisante ($𝔪=(ϖ)$), $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$
et enfin $q$ le cardinal de $k$. L'uniformisante est bien définie à multiplication par une unité $u ∈ 𝒪^×$ près.
On appelle \emph{valeur absolue normalisée}, notée $|⋅|_K$ l'unique valeur
absolue $K → 𝐑_{+}$ telle que $|ϖ|_K=\frac{1}{q}$.
Lorsque $K=𝐑$ (resp. $𝐂$), la valeur absolue normalisée $|⋅|_K$ est la valeur absolue usuelle
(resp. $z ↦ z \sur{z}$, c'est-à-dire le carré de la norme usuelle).
On note également $|⋅|_p$ la valeur absolue normalisée $|⋅|_{𝐐_p}$ ;
cette convention est étendue au cas où $p=∞$. (On rappelle que $𝐐_∞=𝐑$.)

\subsection{Mesures}
\label{généralités sur mesures}

\subsubsection{}On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
de théorie de l'intégration. Le niveau de généralité de ces
rappels est justifié par l'usage qui en sera fait dans la
théorie des corps globaux (analyse sur les adèles).
Le lecteur est invité à consulter par exemple \BourbakiINT{chap. VII},
ou \cite{Integral@Nachbin} qui en reprend
les points essentiels, pour plus de détails.

\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique localement
compact : $X$ est séparé et que tout point possède un voisinage compact.
Cette hypothèse permet de démontrer des variantes du
théorème de séparation d'Urysohn\footnote{Notons qu'un espace topologique
localement compact n'est pas nécessairement « normal » ($T₄$) ; il est cependant
« complètement régulier » ($T_{3+½}$).}
Soit $𝐊$ le corps $𝐑$ ou $𝐂$. Pour tout
compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C;𝐊)$ l'ensemble des fonctions continues
sur $X$ à valeurs dans $𝐊$ et à support contenu dans $C$. C'est un
espace topologique normé par $‖ f ‖_C =\sup_{x ∈ C} |f(x)|$.
L'ensemble $𝒞_c(X;𝐊)=⋃_C 𝒞_c(X,C;𝐊)$ — où l'union
est prise dans l'ensemble des fonctions continues à
valeurs dans $𝐊$ sur $X$ — des fonctions à support compact
est donc naturellement muni de la topologie colimite (ou
union). Explicitement : $f_n → f$ si et seulement si il existe un compact $C$
et un entier $N>0$ tel que les fonctions $f$ et $f_n$ pour $n ≥ N$ appartiennent à $𝒞_c(X,C;𝐊)$
et que la suite $(f_n)_{n ≥ N}$ tende vers $f$ dans $𝒞_c(X,C;𝐊)$.
Observons que l'espace $𝒞_c(X;𝐊)$ muni de la norme
$‖f‖=\sup_{x ∈ X} |f(x)|$ n'est \emph{pas} complet en
général. (Si $X=𝐑$, son adhérence dans l'ensemble des
fonctions continues bornées est l'ensemble des fonctions
tendant vers zéro à l'infini.)

\subsubsection{}On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
une forme linéaire continue $μ:𝒞_c(X;𝐂) → 𝐂$. La continuité
de $μ$ revient à supposer l'existence, pour chaque
compact $C$ de $X$ d'une constante $M_C$ telle que pour
chaque $f ∈𝒞_c(X;𝐂)$ à support dans $C$ on ait : $|μ(f)| ≤ M_C ‖f ‖_C$.
Le nombre $μ(f)$ est appelé « intégrale de $f$ par rapport à $μ$ »
et est également noté $∫f   dμ$, $∫_X f(x)  dμ(x)$, etc.
Une telle mesure est dite \textbf{positive}, si $μ(f)$ est réel dès lors que $f$ est à valeurs
réelles et si ce nombre est positif ou nul lorsqu'il en est de même
des valeurs de $f$ ; cette dernière condition étant notée : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.
(On peut montrer qu'une forme linéaire positive sur $𝒞_c(X;𝐑)$
est automatiquement continue.)
Suivant le procédé usuel, on étend une telle mesure :
\begin{itemize}
\item à l'ensemble $ℐ_+(X)$ des fonctions réelles positives,
finies ou non, semi-continues inférieurement, sur $X$ en posant $μ^*(f)=\sup_{g ≤ f}
μ(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ 𝒞_c(X)_+$ et $\sur{𝐑}$
est la droite achevée $𝐑 ∪ \{+∞\}$ ; puis
\item à l'ensemble des fonctions positives (finies ou non) sur $X$
en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ ℐ_+(X)$.
Cette dernière quantité est également notée $∫^* f d μ$.
\end{itemize}
Cette \emph{intégrale supérieure} de fonctions positives
satisfait le théorème de convergence monotone — c'est-à-dire
l'égalité $μ^*(\sup_n f_n)=\sup_n μ^*(f_n)$ si
les fonctions $f_n$ sont positives croissantes — et ses
corollaires, dont le lemme de Fatou : $μ^*(\liminf_n f_n) ≤ \liminf_n μ^*(f_n)$
pour une suite non nécessairement croissante de fonctions.
Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$,
on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d μ$. Il résulte de l'inégalité
de Minkowski que l'on obtient ainsi une semi-norme
— donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne
d'ordre $s$) — sur l'espace des fonctions $f:X → 𝐂$ telles que $|f|_s<+∞$.
L'adhérence de $𝒞_c(X;𝐂)$ dans cet espace est notée $ℒ^s(X)$.
On note $L^s(X)$ l'espace séparé (normé) associé ; c'est un
\emph{espace de Banach} (théorème de Riesz-Fischer).
L'inégalité $|μ(f)| ≤ |f|₁$, valable pour $f ∈ 𝒞_c(X)$,
permet d'étendre $μ$ par continuité en une forme linéaire continue,
également notée $μ$ ou $∫_X d μ$, sur $ℒ¹(X)$. Pour les fonctions
intégrables, c'est-à-dire dans $ℒ¹(X)$, cette extension coïncide
bien sûr avec $μ^*$.

\subsubsection{Mesure des ensembles}
\label{mesure des ensembles}
On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
de la mesure en posant, pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(𝟭_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
où $\mathbf{1}_E$ désigne la fonction caractéristique de $E$. C'est la \emph{mesure extérieure}
de l'ensemble $E$. Elle coïncide avec la borne inférieure
des mesures extérieures des ouverts contenant $E$. (Noter
que la fonction caractéristique d'un ouvert est
semi-continue inférieurement, c'est-à-dire appartient
à $ℐ_+(X)$.) On vérifie que les ensembles compacts, et plus généralement
les ensembles relativement compacts sont de mesure extérieure finie.
Prendre garde au fait que l'intégrabilité de la fonction
caractéristique $𝟭_E$ d'un ensemble $E$ est \emph{a priori}
plus forte que la seule finitude de sa mesure extérieure :
on démontre que $E$ est intégrable ($𝟭_E ∈ ℒ¹(X)$)
si et seulement si il existe pour tout $ε>0$ un compact
$C_ε ⊆ E$ tel que $μ^*(E-C_ε) ≤ ε$. On note $μ(E)=∫ 𝟭_E d μ$
la mesure d'un tel ensemble. On dit qu'un sous-ensemble $E$
de $X$ est \textbf{mesurable} (sous-entendu : relativement à $μ$) si pour tout compact $C$ de $X$,
l'intersection $E ∩ C$ est intégrable.

\subsubsection{}Considérons maintenant un \emph{groupe topologique} $G$,
localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$
est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout
$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$, et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
\[
∫_G f   dμ= ∫_G f_h   dμ,
\]
où $f_h(g)=f(hg)$.
Une mesure de Haar sur $G$ est donc une forme linéaire non
nulle sur $𝒞_c(G;𝐂)$, positive sur les fonctions positives ;
réciproquement toute telle forme linéaire est une mesure
de Haar.

\subsubsection{}Tout groupe topologique localement
compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar ; elle est
unique à un facteur multiplicatif non nul près ; l'existence
est un théorème dû à Haar Alfréd — sous une hypothèse
restrictive dont s'est affranchi André Weil — et l'unicité
est due à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
invariante à droite, en un sens évident.

\subsubsection{Existence et unicité à un facteur près d'une mesure de Haar : esquisse de démonstration}
\label{Haar existence et unicité}
Le lecteur pressé peut omettre la lecture de ce paragraphe sans préjudice
notable : dans les applications que nous en ferons, les énoncés
peuvent se ramener par passage à la limite à des énoncés
explicites sur un nombre fini de mesures locales décrites de manière
\emph{ad hoc} en \ref{mesures Tamagawa locales}.
%\XXX Il faudrait vérifier.
%Cf. Weil, commentaire sur [1967c] dans ses Œuvres, tome III.
%l'idée est que, sauf erreur, on intègre des fonctions
%dans $𝒮(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes
%dans $𝒪_x$ [utile pour formule du produit] et que
%$μ_{ψ_x}(𝒪_x)=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramène au cas
%d'un produit fini.
Soit $G$ un tel groupe et soit $φ$ une fonction
réelle sur $G$, continue à support compact.
Si $ψ$ appartient à $𝒞_c(G)_+$ et n'est pas
identiquement nulle,
il existe des réels positifs $c₁,…,c_n$ et des éléments
$h₁,…,h_n$ de $G$ tels que l'on ait l'inégalité
\[
φ ≤ ∑_{i=1}^n c_i ⋅ h_i  ψ,
\]
où $h   ψ$ désigne la fonction $g ↦ ψ(h^{-1}g)$.
En effet, quitte à remplacer $ψ$ par une fonction $c ⋅ h ψ$, on peut
supposer — par locale compacité — qu'il existe une voisinage ouvert $U$ de l'identité
de $G$ tel que $ψ ≥ 1$ sur $U$. Le support (compact) de $φ$ étant
recouvert par un nombre fini de translatés de $U$ et $φ$
étant bornée, la conclusion en résulte aussitôt.
Notons $(φ : ψ)$ la borne inférieure des sommes
$∑_i c_i$, où les $c_i$ et les $h_i$ sont comme
ci-dessus. (Notons que si $μ$ est une mesure
de Radon invariante à gauche sur $G$, on
a $μ(c_i ⋅ h_i  ψ)=c_i μ(ψ)$ d'où $μ(φ)/μ(ψ) ≤ ∑_i c_i$.)
Pour chaque $φ,φ′ ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, $ψ,ψ′ ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$, $h ∈ G$ et $λ ≥ 0$,
on a :
\begin{enumerate}
\item $(h   φ : ψ)=( φ : ψ)$
\item $(λ φ : ψ)=λ ( φ : ψ)$
\item $(φ + φ ′ : ψ) ≤ (φ : ψ) + (φ ′ : ψ)$
\item $(φ : ψ) ≤ (φ ′ : ψ)$ si $φ ≤ φ ′$
\item $(φ : ψ ′) ≤ (φ : ψ)(ψ : ψ ′)$
\item $(φ : ψ) ≥ \sup(φ)/\sup(ψ)$
\end{enumerate}
Les quatre premières propriétés sont évidentes. (v) résulte
du fait que si $φ ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i   ψ$ et $ψ ≤ ∑_j d_j ⋅ k_j  ψ ′$,
on a $φ ≤ ∑_{i,j} c_i d_j ⋅ (h_i k_j)   ψ ′$ d'où
$(φ : ψ) ≤ ∑_{i,j} c_i d_j = (∑_i c_i)(∑_j d_j)$.
Pour vérifier (vi), on constate que si $φ ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i ψ$
et que le $\sup$ de $f$ est atteint en $g ∈ G$,
on a $\sup(f) ≤ ∑_i c_i ψ(h_i^{-1}g) ≤ (∑_i c_i)\sup(ψ)$.
Notons que (vi) entraîne que $(φ: ψ)$ est $>0$
si $φ$ est positive non identiquement nulle.
Fixons une fois pour toutes une fonction $φ₀ ∈ 𝒞_c(G)_+
-\{0\}$ ; son intégrale pour la mesure que nous allons construire sera égale à $1$.
Pour chaque $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$ et chaque $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$, posons
\[
I_ψ(φ)=\frac{( φ : ψ)}{(φ₀ : ψ)}.
\]
Il résulte immédiatement des propriétés précédentes que
$φ ↦ I_ψ(φ)$ est invariante par translation à gauche, commute à
la multiplication par un scalaire positif, sous-additive,
et croissante. D'autre part, si $φ$ est non nulle, on a les inégalités
\[
0<1/(φ₀: φ) ≤ I_ψ(φ) ≤ (φ : φ₀),
\]
qui résultent de (v) ci-dessus.
Nous allons voir maintenant que $I_ψ$ est d'autant plus proche d'être
\emph{additive} que le support de $ψ$ est concentré en l'identité de $G$.
Précisément : pour chaque paire $φ, φ ′ ∈ 𝒞_c(G)_+$ et chaque $ε>0$
il existe un voisinage \emph{compact} $V_ε$ de l'identité de $G$
tel que si $ψ$ est de plus à support dans $V_ε$ on ait :
\[
I_ψ(φ+φ ′) ≤ I_ψ(φ) + I_ψ(φ ′) ≤ I_ψ(φ + φ ′)+ ε.
\]
(La première inégalité n'est mise que pour mémoire.)
Soit $H ∈ 𝒞_c(G)_+$ égale à $1$ sur le support de $φ + φ ′$
et posons $F=φ + φ ′ + ε H$. Considérons les fonctions $f$
et $f ′$ respectivement égales à $φ/F$ et $φ ′ /F$ sur
le support de $φ+φ ′$ et zéro ailleurs. Elles sont continues
à support compact et positives. Soit $η>0$. Par continuité
des fonctions et compacité de leurs supports on a le résultat
d'uniforme continuité suivant : il existe un voisinage compact $V$ de l'identité
tel que $|f(x)-f(y)| ≤ η$ et $|f ′(x)-f ′(y)| ≤ η$ dès
que $x^{-1}y ∈ V$. Soit $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ non nulle à support dans $V$
et supposons qu'une inégalité $F ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i   ψ$ soit satisfaite.
On a donc la majoration $φ= f F ≤ ∑_i c_i ⋅ f(h_i   ψ)$. Or,
$f(h   ψ) ≤ (f(h)+η) ⋅ h   ψ$ : en un point hors de $hV$ c'est évident
car $h  ψ$ y est nulle ; en un point de $hV$, on a $f ≤ f(h) + η$ par hypothèse
sur $η$ et $V$. En sommant les deux majorations ainsi obtenues pour $φ$ et $φ ′$,
on obtient :
\[
(φ : ψ) + (φ ′ : ψ) ≤ ∑_i c_i (φ(h_i)+φ ′(h_i)+2 η) ≤ (1+2 η) ∑_i c_i
\]
car $φ + φ ′ ≤ 1$.
On en tire la majoration $(φ : ψ) + (φ ′ : ψ) ≤ (1+2 η)(F: ψ)$ et, par
division par $(φ₀: ψ)$ :
\[
I_ψ(φ)+I_ψ(φ ′) ≤ (1+2 η)I_ψ(F) ≤ (1+2 η)\big(I_ψ(φ+φ ′)+δ I_ψ(H)\big)
\]
où la seconde inégalité résulte de la sous-additivité de $I_ψ$.
Finalement, on a
\[
I_ψ(φ)+I_ψ(φ ′) ≤ I_ψ(φ)+I_ψ(φ ′) + \Big(2 η (φ + φ ′ : φ₀)+ δ(1+2 η)(H : φ₀)\Big).
\]
Quitte à choisir $δ$ et $η$ suffisamment petits, le second terme peut
être rendu inférieur à $ε$.

Voyons maintenant comment en déduire l'existence d'une mesure
de Haar. Pour $V$ un voisinage compact variable de l'identité,
les ensembles $𝒞_c(G,V)_+-\{0\}$ forment une base d'un filtre sur l'ensemble $𝒞_c(G)_+-\{0\}$
des fonctions $ψ$ considérées. Soit $𝔉$ un ultrafiltre plus fin que ce dernier
filtre. Par compacité de l'ensemble $[(φ₀: φ)^{-1},(φ : φ₀)]$,
auquel appartiennent les $I_ψ(φ)$, la limite $\lim_{ψ,𝔉} I_ψ(φ)$ existe ; notons la $I(φ)$.
(Le lecteur peu versé dans la théorie des filtres et ultrafiltres
pourra avantageusement consulter \BourbakiTG{I.§6.nº4} ou bien
\cite[chap. II, §8]{Integral@Nachbin} pour une variante de cet
argument reposant sur le théorème de Tychonoff.)
Il résulte de ce qui précède et du passage à la limite que l'on a
\[
I(φ+φ ′)=I(φ)+I(φ ′)
\]
pour toute paire de fonctions dans $𝒞_c(G)_+$.
Si $φ ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, il existe des fonctions
$φ₁,φ₂ ∈ 𝒞_c(G)_+$ telles que $φ = φ₁ -φ₂$, par exemple $φ₁=\sup(φ,0)$
et $φ₂=-\inf(f,0)$. On vérifie immédiatement que la
quantité $I(φ):=I(φ₁)-I(φ₂)$ ne dépend pas de la décomposition choisie.
La forme $φ ↦ I(φ)$ est une mesure de Haar. Remarquons qu'il
résulte de ce qui précède que si $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$ une fonction non nulle,
$I(φ)$ est strictement positif : $I(φ) ≥ (φ₀: φ)^{-1}$.
(On peut aussi remarquer que l'on a
l'inégalité $I(ψ) ≤ (∑_i c_i) I(φ)$ si $ψ ≤ ∑_i c_i ⋅ h_i   φ$
si bien que $I(φ)=0$ ⇒ $I=0$.)

Considérons l'unicité. Soient $μ$ et $ν$ deux mesures de Haar
invariantes à gauche et soit $φ₀ ∈ 𝒞_c(G)_+$ une fonction non nulle.
D'après la remarque précédente, $μ(φ₀)>0$ et $ν(φ₀)>0$. On peut
donc supposer que l'on a l'égalité $μ(φ₀)=ν(φ₀)=1$.
Pour toute paire de fonctions $φ,ψ ∈ 𝒞_c(G)$, considérons
le produit de convolution $φ ⋆_μ ψ$ :
\[
g ↦ ∫ φ(h) ψ (h^{-1}g)   dμ(h)= ∫ φ(gh)ψ(h^{-1})  dμ(h),
\]
où l'égalité résulte de l'invariance à gauche de $μ$.
Cette intégrale a un sens car, comme on le vérifie sans peine,
l'intégrande est une fonction (continue) à support compact ;
il en est de même de la fonction $φ ⋆_μ ψ$.
En intégrant pour la mesure $ν$ on obtient
la formule classique :
\[
∫ φ ⋆_μ ψ   d ν=∫ φ   dμ ⋅ ∫ ψ   dν,
\]
que l'on peut réécrire $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$.
Elle se démontre en intervertissant l'ordre d'intégration (Fubini) et en utilisant
l'égalité $∫ ψ(h^{-1}g)   dν(g)=∫ ψ    dν$ (invariance à gauche).
Fixons $φ$ et montrons que $μ(φ)=ν(φ)$.
Pour tout $ε>0$, il existe un voisinage compact $V_{φ,ε}$ de l'identité
tel que pour toute fonction $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ de support dans $V_{φ,ε}$
et d'intégrale $μ(ψ)=1$, on ait $‖ φ ⋆_μ ψ - φ ‖_∞ ≤ ε$. (Un tel
énoncé est souvent utilisé pour régulariser des fonctions ; nous
n'en rappelons pas la démonstration.)
Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅  ν\big( \mathrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$.
En particulier, il existe des fonctions $ψ$ positives de $μ$-intégrale unité telles que $ν(φ ⋆_μ ψ)$ soit
arbitrairement proche de $ν(φ)$. En appliquant ceci à $φ=φ₀$, et en utilisant
les égalités $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ et $μ(φ₀)=ν(φ₀)$, on en déduit
qu'il existe des fonctions $ψ$ de $ν$-intégrale arbitrairement proche de l'unité
et de support contenu dans des $V_{φ,ε}$. Ainsi, quitte à bien choisir $ψ$,
on peut avoir $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ arbitrairement proche de $ν(φ)$ et
$ν(ψ)$ arbitrairement proche de $1$. Nécessairement, $μ(φ)=ν(φ)$ ; CQFD.

\subsubsection{}
\label{définition module et cas compact ou commutatif}
Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_G f ∘ φ^{-1}   d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
réel $\mod(φ)>0$, appelé \emph{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$ ; il
ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction,
pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$
— car $gG=G$ — donc $μ(G)=\mod(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
Appliquant cette observation au cas des automorphismes
intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable,
on a $μ(E)=μ(gEg^{-1})=μ(Eg^{-1})$ : la mesure $μ$
est également invariante \emph{à droite}. Le même argument
montre que toute mesure de Haar invariante à gauche est également
invariante à droite lorsque $G$ est
\emph{commutatif} mais non nécessairement compact.

\subsubsection{}
\label{module quotient}
Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abélien topologique localement compact $G$.
Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact ; on dit que $Γ$ est
\emph{cocompact} dans $G$.
Fixons des mesures de Haar $μ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $μ_X$
sur $Γ$ et $X$ respectivement.
À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer
la fonction « moyenne sur les $Γ$-orbites » :
\[
m_Γ(f): g↦ μ_Γ([×g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ).
\]
Cette fonction est $Γ$-invariante et induit
une fonction continue (à support compact) sur $X$,
également notée $m_Γ(f)$.
La forme linéaire $f↦ μ_X( m_Γ(f))$ est positive et $G$-invariante ;
c'est donc une mesure de Haar sur $G$, que nous noterons $μ_G$.
Par construction,
\[
∫_G f(g) dμ_G(g)=∫_X \Big( ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ)\Big) dμ_X(\sur{g}).
\]
On peut montrer l'existence d'un triplet de telles mesures de Haar
dès que $Γ$ est un sous-groupe fermé de $G$ (non nécessairement
discret ou cocompact).
% Nachbin, p. 86.
Il résulte immédiatement de cette formule que pour tout
automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$,
on a
\[
\mod_G(φ)=\mod_{G/Γ}(φ)\mod_Γ(φ).
\]
Dans le cas particulier considéré ici,
on a $\mod_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
et $\mod_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
d'où $\mod_G(φ)=1$.

Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$,
et imposant à $μ_Γ$ d'être — par exemple — la mesure de comptage,
il existe une unique mesure de Haar sur $X=G/Γ$
telle que la formule d'intégration ci-dessus
soit satisfaite.

\subsubsection{Domaine fondamental}
\label{domaine fondamental}
Une autre approche pour intégrer sur le quotient
consister à définir un \emph{domaine fondamental}
dans $G$ et intégrer dessus.
Esquissons une construction. Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
que $U^{-1} U ∩ Γ = \{e\}$ (notation multiplicative).
Pour chaque $γ ∈ Γ$, notons $U_γ$ le translaté $U γ$.
Il résulte de la compacité de $X$ qu'il existe
un nombre fini d'éléments $g₁,…,g_n$ de $G$ tels
que $⋃_{i,γ} g_i U_γ=G$. (En effet, la réunion $⋃_{g,γ} g U_γ$ est
ouverte, $Γ$-saturée et se surjecte sur $X$.)
Ainsi, il existe un nombre dénombrable d'ouverts $U₀,U₁,…$ de $G$ tels
que la projection $π:G ↠ X$ restreinte aux $U_i$ induise une \emph{injection}.
Alors,
\[
F= ⋃_i \Big( U_i - (⋃_{j<i} U_i Γ)\Big)
\]
est un \emph{domaine fondamental} : $π$ induit une \emph{bijection}
$F ⥲ X$. Cet ensemble est mesurable par construction, de mesure finie
et induit une mesure sur l'espace topologique $X$.
En effet, on peut considérer la forme linéaire envoyant $f ∈ 𝒞(X,𝐂)$ ($X$ est
compact) sur $\dot{μ}(f)=∫_F (f ∘ π) d μ$, la fonction $(f ∘ π) ⋅ 𝟭_F$ appartenant à $L¹(G,μ)$.
On vérifie immédiatement la formule d'intégration
du paragraphe précédent.

\subsection{Corps localement compacts : généralités et classification}
\label{corps localement compacts}

\subsubsection{}Soit $K$ un corps topologique localement
compact, non discret. Fixons une mesure de Haar $μ$ sur le
groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\mod_K(x)$
le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif
de $K$ : $μ(aX)=\mod_K(a)μ(X)$ pour toute partie
mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$.
Dans cette section nous allons montrer comment
construire une valeur absolue sur un corps topologique localement compact $K$
à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue
du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet}
dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}).
Nous terminerons ce paragraphe par une démonstration du
théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
%en déduirons qu'une extension finie d'un corps local est un corps local.
%Tout d'abord quelques résultats préparatoires.

\begin{proposition2}
\label{continuité de modK}
La fonction $\mod_K:K → 𝐑_+$ est continue et
satisfaisant l'égalité $\mod_K(ab)=\mod_K(a)\mod_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
\end{proposition2}

Ce résultat est également vrai lorsque $K$ est discret.

\begin{démo}
L'égalité est un cas particulier de la formule générale évidente :
$\mod(φ ∘ ψ)=\mod(φ) \mod(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
sont deux automorphismes d'un groupe localement compact.
Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact
de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$
il existe un voisinage ouvert $U_{a,ε}$ du compact $aC$
tel $μ(U_{a,ε}) ≤ μ(aC)+ε$ (cf. \ref{mesure des ensembles}).
Soit $A$ un voisinage compact de $A$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$,
dont l'existence est assurée par la continuité du produit.
Pour chaque $x ∈ A$, on a :
\[
\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\mod_K(x) ≤ \mod_K(a)+ ε μ(C)^{-1}.
\]
Il en résulte que la fonction $\mod_K$ est \emph{semi-continue
supérieurement}. En particulier, elle est continue en $0$ (où
elle atteint son minimum.) L'égalité $\mod_K(x)=\mod_K(x^{-1})^{-1}$
pour chaque $x ≠ 0$ montre qu'elle est aussi semi-continue
inférieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue.
\end{démo}

\begin{exercice2}
En déduire que $K$ n'est pas compact.
%cf. AVD-D, EVT localement compact est de dimension finie
\end{exercice2}

\subsubsection{}
\label{compacité des Br}
Soit $r>0$ un réel. Il résulte de la
proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\mod_K(x)
≤ r\}$ est un voisinage fermé de $0$ dans $K$. Montrons
qu'il est \emph{compact}. Soit $V$ un voisinage compact
de $0$ et $W$ un voisinage ouvert de $0$ tel que $WV ⊆ V$.
L'existence de $V$ résulte de la locale compacité de $K$ ;
celle de $W$ de la continuité du produit $K×K → K$.
Le corps $K$ étant non discret et $\mod_K$ étant
continue, il existe $x ∈ W ∩ V$ tel que
$0<\mod_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
pour tout $n ≥ 1$. Nous allons montrer que $B_r$ est contenu
dans une réunion finie d'ensembles $x^{-n}V$, $n ≥ 0$.
Soit $y$ une valeur d'adhérence de la suite $(x^n)$.
Le réel $\mod_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
suite $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
est nul. Comme la suite $(x^n)$ appartient au \emph{compact} $V$,
elle tend donc vers $0$. Ainsi, pour chaque $a ∈ K$, il
existe $n ≥ 0$ — que l'on peut supposer minimal —
tel que $x^n a$ appartienne à $V$.
Nous allons vérifier que si $a ∈ B_r$, on peut majorer $n$
indépendamment de $a$ ; ceci suffit pour conclure.
Si $n>0$, $x^n a ∈ V-xV$. Soit $X$
l'adhérence de $V-xV$ ; c'est un compact, car fermé
dans $V$, ne contenant pas $0$, car $xV$ en est un
voisinage. Il en résulte qu'il existe $m_r>0$
tel que $\mod_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
En particulier, $\mod_K(x^n a)=\mod_K(a) \mod_K(x)^n ≥ m_r$.
Comme $\mod_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\mod_K(x)<1$,
l'entier $n$ est majoré indépendamment de $a$. CQFD.

\subsubsection{}
\label{Br système fondamental de voisinages}
Les $B_r$ forment un système fondamental de
voisinage de $0$ dans $K$ : pour tout voisinage $V$ de $0$,
il existe $r>0$ tel que $B_r ⊆ V$. Pour le montrer, on peut
supposer $V$ compact (par locale compacité de $K$). Soit $ρ$
un réel strictement supérieur à la borne supérieure
de $\mod_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence
de $B_ρ-V$. C'est un compact ne contenant pas $0$. Soit $σ$
la borne inférieure de $\mod_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$.
Considérons enfin $0<r<σ$ ; par construction, $B_r ∩ X= ∅$
et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.

\subsubsection{}
\label{module est valeur absolue}
Soit
\[
A_K=\sup_{\mod_K(x) ≤ 1} \mod_K(1+x) ,
\]
le réel $ ≥ 1$ dont l'existence est assurée par la continuité
de la fonction $\mod_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
de $B_1$ (\ref{compacité des Br}).
Pour toute paire  $(x,y) ∈ K²$, on a l'inégalité
\[
\mod_K(x+y) ≤ A_K \max\{\mod_K(x),\mod_K(y)\}
\]
et $A_K$ est le plus petit réel pour lequel ceci soit vrai.
Pour vérifier l'inégalité, on peut supposer
$x ≠ 0$ et $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, auquel
cas on a $\mod_K(x+y)=\mod_K(1+yx^{-1}) \mod_K(x) ≤ A_K \mod_K(x)$ car
$\mod_K(yx^{-1})≤ 1.$

\subsubsection{}Soit $f_K$ la fonction $𝐍 → 𝐑_+$, $n ↦
\mod_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f_K ≤ 1$
\item $A_K=1$.
\end{enumerate}
Si elles sont satisfaites, on dit que $K$ est
\textbf{ultramétrique} ; dans le cas contraire,
on dit que $K$ est \textbf{archimédien}, auquel
cas il existe un réel $c>0$ tel que $f_K(n)=n^c$
(\refext{AVD-D}{lemme clef va sur Q}).
Vérifions l'équivalence ci-dessus. Une récurrence immédiate montre que (ii) entraîne (i).
Considérons la réciproque. Soient $r$ un entier et $n=2^r$.
Par récurrence sur $r$, on a
\[
\mod_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \mod_K(x_i)
\]
pour tout choix d'éléments $x₁,…,x_n ∈ K$.
Quitte à considérer des éléments nuls, cette inégalité
est également valable pour $n ≤ 2^r$.
Appliquant cette observation à la somme
\[
(x+y)^{2^r}=∑_{i=0}^{2^r} \binom{2^r}{i} x^i y^{2^r-i},
\]
où $x$ et $y$ sont des éléments quelconques de $K$
et la somme de gauche contient $2^r+1 ≤ 2^{r+1}$ termes, on
obtient, grâce à l'hypothèse faite sur $f_K$,
\[
\mod_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\mod_K(x)^i  \mod_K(y)^{2^r-i}\}.
\]
Si $\mod_K(y) ≤ \mod_K(x)$, on en tire
\[
\mod_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \mod_K(x),
\]
et l'inégalité ultramétrique par passage à la limite.

\subsubsection{}
\label{corps localement compacts archimédiens}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{archimédien}.
La restriction du module $\mod_K$ au sous-corps premier $𝐐$
est $|⋅|_∞^c$, où $|⋅|_∞$ désigne la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un réel.
D'autre part, la topologie induite sur $𝐐$ est celle donnée
par la valeur absolue : cela résulte de \ref{Br système
fondamental de voisinages}. L'adhérence $K₀$ de $𝐐$
dans $K$ est localement compacte donc complète : c'est donc
le complété de $𝐐$ pour la valeur absolue $|⋅|_∞$.
Le sous-corps fermé $K₀$ est donc isomorphe
(en tant que corps topologique) au corps
local premier $𝐑=𝐐_∞$. D'après \refext{AVD-D}{EVT localement
compact sur corps valué est de dimension finie}
l'extension $K \bo 𝐐_∞$ est nécessairement finie.
Algébriquement, $K$ est donc isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$.
Topologiquement, il en est de même car $K$
est homéomorphe à $𝐑^d$ où $d=[K:𝐑]$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT
sur corps valué complet}).

\subsubsection{}
\label{corps localement compacts ultramétriques}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{ultramétrique}.
Posons $𝒪=\{x ∈ K: \mod_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
nous notions $B₁$ précédemment. Il est donc compact. D'autre
part, on a $𝒪+𝒪=𝒪$ car $K$ est ultramétrique. Ainsi, $𝒪$
est un sous-anneau compact de $K$ ; il est maximal
car — comme il résulte de la continuité de $\mod_K$
et de la formule $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ —
tout sous-ensemble relativement compact de $K$
est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\mod_K(x)<1\}$
de $𝒪$ est un idéal ; il est maximal car tout élément de $x ∈ 𝒪-𝔭$
est de module $1$ donc d'inverse $x^{-1}$ dans $𝒪$.
Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
de $𝒪$ modulo $𝔭$. L'ensemble $𝒪$ est recouvert par les ouverts
disjoints $\{x ∈ K:\mod_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
fini ; le corps résiduel $k=𝒪/𝔭$ aussi. Le quotient $k$ étant
fini donc séparé, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝒪$ donc
compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
$\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
tel que $𝔭=\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
absolue $\mod_K$ est donc discrète : son
image est un sous-groupe discret de $𝐑_+$.
Ainsi, $K$ est le corps des fractions d'un anneau de
valuation discrète de corps résiduel fini.
Il résulte des théorèmes de structure
\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
que $K$ est une extension finie d'un corps local premier.

\begin{remarque2}On pourrait également étudier la structure
des corps localement compacts ultramétriques
suivant la méthode de \ref{corps localement compacts archimédiens}.
Esquissons brièvement comment procéder.
En caractéristique nulle, on peut à nouveau considérer
l'adhérence du corps $𝐐$ et utiliser \refext{AVD-D}{Ostrowki}).
En caractéristique $p>0$, on peut remplacer $𝐐$
par le corps $ℚ=𝐅_p(ϖ)$ engendré par un élément $ϖ ∈ K$ tel
que $\mod_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
sur $𝐅_p$ sans quoi il serait une racine de l'unité,
de module $1$. Utilisant \refext{AVD-D}{k-valuations de k(X)},
il en résulte que l'adhérence de $ℚ$ dans $K$
coïncide avec son complété une \emph{valuation}
discrète à corps résiduel fini.
D'après \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet
parfait égale caractéristique}) un tel corps
topologique est isomorphe à un corps de séries formelles
$𝐅_q((u))$. Ce dernier est lui-même fini sur son sous-corps
fermé $𝐅_p((u))$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}
\label{CL conditions équivalentes démo}
Nous pouvons maintenant vérifier les équivalences
annoncées en \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
\begin{itemize}
\item[(i) ⇒ (ii)] Soit $K$ un corps localement compact non
discret. Si $K$ est archimédien, il est isomorphe à $𝐑$
ou $𝐂$, cf. \ref{corps localement compacts archimédiens}.
Si $K$ est ultramétrique, c'est le corps des fractions d'un
anneau de valuation discrète à corps résiduel fini, muni
de sa topologie naturelle, cf. \ref{corps localement
compacts ultramétriques}.
\item[(ii) ⇒ (iii)] Soit $K$ un corps topologique
comme en (ii), ultramétrique. Il résulte des
théorèmes de structure
\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
que $K$ est fini sur un sous-corps local premier $K₀$.
Celui-ci est fermé dans $K$ car isomorphe à une droite
dans $K$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué complet}).
\item[(iii) ⇒ (i)] Les corps $𝐑$ et $𝐂$
étant localement compacts, il suffit de considérer
le corps des fractions $K$ d'un anneau de valuation
discrète complet $𝒪$ à corps résiduel fini.
Pour montrer que $K$, muni de la topologie déduite
de la valuation, est localement compact,
il suffit de vérifier que $𝒪$ est compact. (C'est
un voisinage de $0 ∈ K$.) Notons $𝔪$ l'idéal maximal
de $𝒪$. Cet anneau étant séparé et complet
pour la topologie $𝔪$-adique, c'est naturellement
un fermé du produit $∏_{n ≥ 1} 𝒪/𝔪^n$, où chaque anneau
quotient $𝒪/𝔪^n$ est muni de la topologie discrète.
Ces anneaux sont finis donc compacts ; il en est de même
de leur produit.
\end{itemize}
Parmi les précisions figurant dans l'énoncé
du théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes},
seule la non-unicité de $K₀$ dans le cas de la
caractéristique positive est à vérifier.
Or, si $K₀$ est un sous-corps local premier fermé
dans $K$, le sous-corps $K₁=K₀^p=𝐅_p((t^p))$ de $K$
satisfait les mêmes conditions. (Que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p((t))$
résulte par exemple du fait que la dérivation par rapport à $t$
est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)

\subsubsection{}
\label{extension finie corps local est local}
Soit $L\bo K$ une extension finie de corps.
Si $K$ est un corps local, $L$ peut être muni d'une
topologie qui en fait un corps local ; elle est unique
et $K$ est fermé dans $L$.
Cela résulte de \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué
complet}. (Notons que $L$ est non discret
car son sous-corps $K$ ne l'est pas.)

De plus, le corps $L$ est isomorphe comme $K$-espace
vectoriel topologique à $K^d$ où $d=[L:K]$.
Il en résulte que la restriction à $K$ du
module $| ⋅ |_L$ est $| ⋅|_K^d$.

\subsection{Mesure de Tamagawa locales}
\label{mesures Tamagawa locales}

\subsubsection{}
Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc}
et une description explicite des mesures de Haar
sur le groupe additif d'un corps local.

\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont}

\begin{enumerate}
\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle (au sens
de Riemann ou Lebesgue) $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}([0,1])=1$.
L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
topologique $K=𝐑$.
\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[ultram.] Soit $K$ un corps local ultramétrique et
soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ est localement
constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
d'après laquelle $\Hom_\cont(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^e}.
\]
On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$.
On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
à multiplication par une constante non nulle près.
(Cette constatation, élémentaire est également utile lorsque l'on
suit une approche dyadique pour définir l'intégration des fonctions
numériques ; cf. \cite{Elements@Colmez}.)
Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
\end{enumerate}

La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
précédents.

\begin{proposition2}
\label{module=module}
Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
termes, $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a|_K μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
c'est-à-dire
\[
|a|_K ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x)  dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
\]
pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
\end{proposition2}

Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
voir \cite[II. §1, prop. 2]{CL@Serre}.

\subsection{Caractères additifs d'un corps local}

\begin{définition2}
On appelle \emph{caractère additif} d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ψ:K → 𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
\end{définition2}

Si $K$ est ultramétrique, l'hypothèse de continuité
revient à supposer le noyau de $ψ$ \emph{ouvert}.
% [Bushnell-Henniart] p. 10.
On note $\chap{K}$ l'ensemble des caractères additif d'un
corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.

\begin{définition2}
\label{niveau caractère}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus grand
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
et $+∞$ sinon.
\end{définition2}

Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.

\subsubsection{}On suppose choisie une fois pour toute une orientation
sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 i π x)=e^{2 i π x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
De même, \mbox{$p>0$} étant implicitement fixé, on note $ψ_{𝐅_p}$
le caractère additif du corps fini $𝐅_p$ défini par $x ↦
𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.

\subsubsection{Exemples de caractères additifs des corps locaux}
\label{exemples caractères additifs locaux}
Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}_p),\] où $\{x\}_p$ désigne
l'unique rationnel $r$ (nécessairement dans $𝐙[1/p]$) tel que $0 ≤ r < 1$ et
$x-r ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x),\] resp.
\[𝐞_{p,t}:x ↦ ψ_{𝐅_p}(\Res_t(x dt)),\]
où $\Res_t(∑_{-n}^{+∞} a_i t^i dt)=a_{-1}$) est un caractère
additif du corps $K$, de niveau nul.

\begin{proposition2}
\label{caractère corps local}
Soit $K$ un corps local.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $𝐐_p$ ($p$
premier ou $p=∞$) est l'adhérence de $𝐐$ dans $K$, le
caractère additif $𝐞_{K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
le caractère additif $𝐞_{K,ω}: x ↦ ψ_{𝐅_p}(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
— où $\Res$ est le résidu défini en \refext{AVD-D}{résidu
forme différentielle formelle} — est non trivial.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i). L'extension $K\bo 𝐐_p$ étant séparable, la
trace $\Tr_{K\bo 𝐐_p}$ est surjective. Le caractère $𝐞_p$
étant non trivial, il en est de même de $𝐞_{K}$.
(ii). Même argument, joint au fait (\refext{AVD-D}{non nullité du résidu}) que
l'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
\end{démo}

On observe ici une différence fondamentale entre la caractéristique
nulle et la caractéristique positive : dans ce dernier cas,
il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.

\begin{proposition2}
\label{dual corps local}
Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
\[x ↦ \big([×x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
est un isomorphisme de groupes. De plus, si $ψ$ est
de niveau nul, l'image de $𝒪$ est l'ensemble des caractères triviaux
sur $𝒪$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
L'égalité $[×(x + x ′)]^*ψ=[×x]^*ψ × [×x ′]^* ψ$ résulte immédiatement
du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
évidente car $ψ$ est supposé non trivial ; si l'on suppose $ψ$ de
niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
par $λ ⋅ y = y + ι(λ)$, où $ι : k ⥲ 𝔪^{n+1}/𝔪^n$
est l'isomorphisme défini par le choix de $ϖ$.
De même, pour chaque $n ≥ 0$ et chaque
caractère additif $θ_n$ de $𝔪^{-n}$,
l'ensemble des prolongements de $θ_n$ en un
caractère de $𝔪^{-(n+1)}$ est naturellement
un torseur sous le groupe $\chap{k}$ :
on fait agir $χ ∈ \chap{k}$ sur $θ$
par $χ ⋅ θ = θ × \chap{ι}(χ)$ où $\chap{ι}: \chap{k} ⥲
\chap{𝔪^{-(n+1)}/ 𝔪^{-n}}$ est un isomorphisme.
Soit maintenant $ψ ′$ un caractère additif de $k$
et montrons qu'il appartient à l'image du morphisme
considéré dans l'énoncé. On peut le supposer de niveau nul.
D'après ce qui précède, et le fait que $k$ et $\chap{k}$
ait même cardinal (fini), il existe pour chaque $n ≥ 0$
un élément $x_n ∈ 𝒪$, unique modulo $𝔪^n$,
tel que $[× x_n]^* ψ$ et $ψ ′$ coïncident sur $𝔪^{-n}$.
La suite $(x_n)$ converge dans $𝒪$ vers un élément $x$ pour lequel $[× x]^* ψ = ψ ′$,
comme on le voit immédiatement par restriction aux sous-groupes
$𝔪^{-n}$ ($n ≥ 1$), qui recouvrent $K$.
% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
% voir aussi \jap{井草}, « An introduction to the theory of
% local zeta functions », chap. 8.
\end{démo}

\begin{remarque2}
L'existence d'un caractère non trivial a été établie
ci-dessus ; pour une autre démonstration de ce fait,
cf. \cite[8.1.1]{introduction@Igusa}.
Signalons que la non-trivialité de $\chap{K}$ est également
un corollaire de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}
\label{niveau et différente}
Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
et de caractéristique résiduelle $p>0$.
On a l'égalité
\[
n(e_{K})=v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
\]
entre le niveau du caractère additif non trivial
$e_{K}$ défini en \ref{caractère corps local}
et la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}

En caractéristique, l'interprétation du niveau
de $e_{K,ω}$ est plus subtile.
Voir le théorème de Riemann-Roch pour un énoncé global.

\begin{proposition2}
\label{niveau reste nul si extension nette}
Soit $L\bo K$ une extension séparable nette
de corps locaux et soit $ψ$ un caractère de $K$.
Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de même
du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. %Plus généralement, […]
\end{proposition2}

Pour un extension au cas global et non nécessairement
net, cf. \ref{Riemann-Hurwitz}.

\begin{démo}
Trivial : cf. \refext{AVD-D}{}.
\end{démo}

\subsection{Transformation de Fourier locale}

\subsubsection{Espace de Schwartz}
\label{BS-local}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble des
fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont les conditions
suivantes de régularité et de décroissance à l'infini. Lorsque $K$ est
archimédien, on demande que $f$ soit une fonction $𝒞^∞$
de $d=[K:𝐑]$ variables réelles et que chacune de ses
dérivées partielles $g$ soit à décroissante rapide : pour tout $n ∈ 𝐍$,
la fonction $x ↦ |x|^n g(x)$ est bornée.
Lorsque $K$ est ultramétrique, on
pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
de \emph{Bruhat-Schwartz}.

\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$
le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Dans le cas global, cette notation aura un autre sens ; cela ne devrait pas
prêter à confusion. Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}
\[
∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}( (f ψ_x)^{-1}(λ)),\]
où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
localement constante à support compact $f ψ_x$.
Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}$ est la
transformation de Fourier usuelle, que nous noterons
aussi $ℱ_𝐑$, % notation XXX
\[
f↦ (x ↦ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2i π tx) dt\big).
\]
\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
\end{enumerate}
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-(r+n(ψ))}}.
\]
En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{-n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([+a]^*f)=ψ_{-a} ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$,
où $[+a]^*f$ désigne la fonction $y ↦ f(y+a)$ ;
\item $ψ_a f$ appartient à $𝒮(K)$ et $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(ψ_a f)=[+a]^* ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$.
\end{enumerate}
\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [×(-1)]^*,
\]
où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \emph{auto-duale}
(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{-n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $√{|a|} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $μ_{ψ_a}=√{|a|} μ_ψ$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\subsubsection{}
\label{dépendance Fourier local en caractère}
On note $ℱ_ψ$ la transformation de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. Il résulte immédiatement de (vi)
que l'on a
\[
ℱ_{ψ_a}(f) = |a|^{½}[×a]^*\big(ℱ_ψ(f)\big).
\]

\begin{démo}
Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
par exemple \cite[chap. VII, §6]{distributions@Schwartz}
ou \cite[chap. VII, §1]{analysisI@Hormander}. La détermination
des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une gaussienne.
Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})(x)=∫_{𝔪^r} ψ(xy) d
μ^{\mbox{\minus $+$}}(y).
\]
Si $x 𝔪^r$ est contenu dans $𝔪^{n(ψ)}$, l'intégrande
est constante égale à $1$ de sorte que l'intégrale
vaut $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝔪^r)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)/q^r$.
(Voir p. ex. \ref{module=module} pour cette dernière égalité.)
Dans le cas contraire, l'intégrale est nulle. En effet,
on a la généralisation suivante de
\refext{Fin}{variante-orthogonalite-caracteres} :
pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
sus-mentionné.)
(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
soit stable par multiplication par les caractères $ψ_a$ est
un cas particulier du fait général suivant : le produit
d'une fonction localement constante par une fonction localement
constante à support compact est localement constante à support
compact.
(i) On a vu en \ref{mesures Tamagawa locales} que l'espace vectoriel $𝒮(K)$
est engendré par les fonctions caractéristiques $𝟭_{a + 𝔪^r}=[+a]^*[× ϖ^r] 𝟭_{𝒪}$, $a ∈ K, r ∈ 𝐙$.
La stabilité de l'espace de Bruhat-Schwartz par la transformation de
Fourier résulte immédiatement du calcul explicite (ii), de la formule (iii.b)
et du fait que $𝒮(K)$ est stable par multiplication $ψ_{-a}$ (iii.c).
(iv). Notons $ℱ$ pour $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$. D'après ce qui
précède on a les égalités :
\[
\begin{array}{rcl}
ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r}))	& = & [-a]^*ℱℱ(𝟭_{𝔪^r}) \\
					& = & [-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-n(ψ)-r}}) \\
					& = & \frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}[-a]^* 𝟭_{𝔪^r} \\
					& = & c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
\end{array}
\]
où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
La conclusion en résulte par linéarité des endomorphismes $ℱ²$ et $[×(-1)]^*$.
(v) D'après ce qui précède, un mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
auto-duale relativement à un caractère additif non trivial $ψ$
si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{-n(ψ)}{2}}$.
L'existence et l'unicité en découle.
(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=n(ψ)+v(a)$ et de (v).
\end{démo}

Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.

\begin{exemple2}
\label{exemple Fourier et Gauss}
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙=𝐅_p$
et on étend $χ$ à $𝐅_p$ en la prolongeant par zéro.
On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
\[
ℱ_{𝐞_p}(f_χ)=\frac{G(χ)}{p} [×p]^* f_{\sur{χ}},
\]
où $G(χ)$ est la somme de Gauß
\[
∑_{x ∈ 𝐅_p} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
\]
Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez} et \ref{facteur epsilon ultramétrique},
\emph{infra}.
\end{exemple2}

%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
%près par une unité.

Abordons maintenant la théorie multiplicative.

\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps local}

\subsubsection{Structure de $K^×$}
\label{structure de Kétoile}
Soit $K$ un corps local.
S'il est ultramétrique, on fixe une uniformisante $ϖ$.
Tout élément $x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
\[
x=x₁ ρ,
\]
où $x₁$ appartient au groupe \emph{compact} $𝒰=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$,
et $ρ>0$ si $K$ est archimédien ou $ρ ∈ ϖ^𝐙$ si $K$ est ultramétrique.
De plus, $x ↦ x₁$ est un épimorphisme continu, qui coïncide avec l'identité
sur $𝒰$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
est isomorphe au produit direct $𝒰 × K^×_{>0}$,
où l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$
(resp $ϖ^𝐙$) de $K^×$. (Notons que dans le cas
ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$ et $𝒰$
égal à $𝒪^×$.)

\begin{définition2}
\label{quasi-caractère}
On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \emph{non
ramifié} ou \emph{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
compact $𝒰=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}

Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}. (Si $K^×$ était compact, tout quasi-caractère serait un caractère.)

\subsubsection{}
\label{définition conducteur}
Supposons $K$ ultramétrique. Les sous-groupes $1+𝔪^n$ de $𝒰$ forment un système fondamental
de voisinages (compacts ouverts) de l'unité.
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ de $K$
est donc trivial sur l'un d'entre eux.
On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention d'écriture que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
si il est de conducteur nul. Traditionnellement, on note
aussi $𝔣_χ$ l'\emph{idéal conducteur} $𝔪^{a(χ)}$ d'un
quasi-caractère $χ$.

\subsubsection{}
\label{notation omega-s et remarque sur caractères}
Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
multiplicatif net. On a $ω_s=ω₁^{s}$, où $ω₁:x ↦ |x|$ est à
valeurs dans $𝐑^×_+$. Le quasi-caractère $ω_s$ est un \emph{caractère}
si et seulement si $s ∈ 𝐑$.

\begin{proposition2}
\label{description quasi-caractères}
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local
est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
où $χ₁$ est un caractère de $𝒰$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
(resp. archimédien).
Si $K$ est archimédien, le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^{-a}$,
pour un unique entier $a$ appartenant à $𝐙$ si $K=𝐂$ et à $\{0,1\}$ si $K=𝐑$.
Si $K$ est ultramétrique, le caractère $χ₁$ se factorise de façon unique à travers
un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal conducteur de $χ$.
\end{proposition2}

Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^{-a})$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$.
Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien. Si $K$ est réel, le quasi-caractère $x↦ x^{-1}$ n'est autre
que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.

\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
caractère de $𝒰$ et, par construction, le quasi-caractère
multiplicatif $x ↦ χ(x) χ₁(x₁)^{-1}$ est net. Il suffit
donc de démontrer que tout quasi-caractère net $χ$ est de la
forme $ω_s$. Par définition, $χ$ se factorise
à travers le quotient $K^× ↠ K^×_{>0}$.
Si $K$ est ultramétrique, ce dernier groupe
est isomorphe à $𝐙$ et $χ=ω_s$ dès lors
que le nombre complexe non nul $χ(ϖ)$
est égal à $|ϖ|^s=q^{-s}$.
Si $K$ est archimédien, il faut vérifier que tout morphisme
continu $f:𝐑^×_{>0} → 𝐂^×$ est de la forme $ρ ↦ ρ^s$ pour un
unique $s ∈ 𝐂$. Si $f$ est à valeurs réelles positives
(resp. de module unité) cela résulte par passage au logarithme du fait que
toute fonction additive continue $𝐑 → 𝐑$
(resp. $𝐑 → 𝐑/𝐙$) est une homothétie (resp. se relève en une
homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage
immédiat. % références ?
\end{démo}

\begin{lemme2}
\label{quasi-caractères Rplusétoile}
Les quasi-caractères de $𝐑_{>0}$ sont de la forme $t↦ t^s$,
pour un unique $s ∈ 𝐂$.
\end{lemme2}

\begin{lemme2}
\label{quasi-caractères Z}
Soit $r>0$. Les quasi-caractères de $r^𝐙$ sont de la forme
$t↦ t^s$, où $s ∈ 𝐂$ est bien défini modulo $2 π i / \log(r)$.
\end{lemme2}

\begin{définition2}
\label{partie réelle quasi-caractère local}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \emph{partie
réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}

\subsubsection{}
\label{notation quasi-caractère dual}
À tout quasi-caractère $χ$, on associe
le quasi-caractère $\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$. On a $\Re(\chap{χ})=1-\Re(χ)$.

\subsection{Transformation de Mellin}\footnote{Nous conseillons au lecteur
d'omettre cette section en première lecture. Elle n'est pas utile
avant la démonstration des résultats
énoncés en \ref{énoncé équation fonctionnelle zêta}.}

\subsubsection{Transformation de Mellin réelle : généralités}
\label{transformation Mellin réelle}
Afin de motiver les considérations qui vont suivre, nous
esquissons ci-dessous la définition de la transformation
de Mellin usuelle et son application à l'étude de la
fonction zêta. Pour de plus amples développements,
incluant la formule d'inversion, voir par exemple
\cite[§1.5]{Fourier@Titchmarsh}.
Soit $f : ]0,+∞[ → 𝐑$ une fonction, disons continue.
Si $f$ n'est pas trop singulière en $0$,
par exemple si c'est un $O(t^{A})$, la fonction
\[
ζ_{≤1}(f,s)=∫₀¹ f(t)t^{s} \frac{dt}{t}
\]
est holomorphe sur $\Re(s)>-A$.
Lorsque $f(t) ∼ ∑_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}$
en $0$\footnote{Cette notation signifie que
pour chaque entier $n ≥ 1$, on a
$f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k} = O(t^{α_n})$.}
— où la suite $(α_k)$ des exposants est strictement croissante et tend vers $+∞$ —
on peut pour chaque $n$ écrire
\[
ζ_{≤ 1}(f,s)=
∫₀¹(f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}) t^{s} \frac{dt}{t}
+ ∑_{k=0}^{n-1} \frac{a_k}{α_k + s},
\]
où le premier terme est, d'après ce qui précède,
holomorphe sur $\Re(s)>-α_n$.
Il en résulte que $ζ_{≤ 1}(f)$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$
à pôles simples en chaque $-α_k$, de résidu $a_k$.
On peut bien entendu procéder en même en l'infini
et poser
\[
ζ_{ ≥ 1}(f,s)= ∫₁^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}.
\]
Lorsque les deux fonctions $ζ_{≤ 1}(f)$ et $ζ_{≥1}(f)$
se prolongent en des fonctions méromorphes sur un domaine
commun, on définit la \emph{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
de $f$ comme la fonction
\[
ζ(f,s)=ζ_{≤ 1}(f,s) + ζ_{ ≥ 1}(f,s) = \text{« } ∫₀^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t} \text{ »}.
\]

\begin{remarque2}
Comme on l'a vu en \ref{notation omega-s et remarque sur caractères},
les caractères du groupe topologique localement compact $G=𝐑^×_+$
ne sont autres que les $t↦ t^{s}$ pour $s$ imaginaire
pur. D'autre part, la mesure $\frac{dt}{t}$ est une mesure de Haar
sur $G$ (voir \ref{sorites mesures multiplicatives locales}).
Ainsi, la transformation de Mellin, du moins restreinte à des
droites verticales de $𝐂$, peut être vue comme un cas particulier
de transformation de Fourier générale (cf. p. ex., \BourbakiTS{II.§1.nº2}
ou \cite[chap. VII]{introduction@Katznelson}.
Notons également que ce lien est également visible en faisant le changement de variable
$t=e^x$, qui échange transformation de Mellin et transformation de Fourier
sur $𝐑$. %Dym, McKean, « Fourier… », § 2.6 p. 103
\end{remarque2}

\subsubsection{Exemple}
\label{exemple Mellin réel}
Si $λ$ est un réel strictement positif,
on a $ζ(t↦  e^{-λt},s)=Γ(s) λ^{-s}$, fonction méromorphe
sur $𝐂$, où
\[
Γ(s)= ∫_0^{+∞} e^{-t} t^{s-1} dt\]
est la fonction Gamma usuelle.
Cette formule est également valable lorsque $λ=0$ :
on a $ζ(𝟭)=0$, où $𝟭$ désigne ici la fonction constante
égale à $1$. En effet, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,s)=\frac{1}{s}$
et $ζ_{≥1}(𝟭,s)=-\frac{1}{s}$. (Notons cependant
que l'intégrale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge
pour aucune valeur de $s$.)
On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de
\[
∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
t^{k-1},
\]
où la seconde égalité n'est autre que la définition
des nombres de Bernoulli, est la fonction $Γζ$
et celle de
\[
ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}
\]
la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$.
\subsubsection{}
Notons que la fonction $Γ ζ$  n'est \emph{a priori} définie
que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après
ce qui précède en une fonction méromorphe
sur $𝐂$, ayant des pôles simples de résidus explicites.
Observons que la fonction Gamma a pour uniques pôles (simples) les entiers
négatifs, comme il résulte immédiatement de l'identité
$Γ(s+1)=s Γ(s)$ ($\Re(s)>0$) et que $Γ(1)=1$. Ceci permet de
calculer le résidu en $s=1$ de $ζ$ et la valeur de cette
fonction en les entiers négatifs ou nuls
(cf. \ref{propriétés zêta Euler-Riemann} \emph{infra}).
D'autre part, il résulte de la formule de Poisson
\[
∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n)
\]
appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que
$θ(t)=\frac{1}{√{t}} ψ(\frac{1}{t})$ où
$θ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$.
En appliquant la transformation de Mellin à cette
équation fonctionnelle (due à Jacobi),
on trouve immédiatement $ζ(θ,s)=ζ(θ,½-s)$ et de même pour $ψ$
car $ζ(𝟭)=0$. On a donc démontré le théorème suivant,
dont l'énoncé et la démonstration forment un prototype des
résultats que nous souhaitons démontrer dans ce chapitre.

% Très classique.  Référence utilisée : Zagier, « The Mellin
% … ».

\begin{théorème2}
\label{propriétés zêta Euler-Riemann}
La fonction zêta
\[
ζ(s)=∑_{n} n^{-s}
\]
s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$
ayant un unique pôle, simple de résidu $1$, en $s=1$
et pour chaque $n ≥ 0$, on a
\[
ζ(-n) = (-1)^n \frac{B_{n+1}}{n+1}.
\]
De plus, la fonction $\chap{ζ}(s)=ζ(s) π^{-s/2} Γ(s/2)$
satisfait l'équation fonctionnelle
\[
\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s).
\]
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
Signalons un argument élémentaire conduisant
à l'existence d'un pôle simple en $s=1$ de
la fonction zêta.
Soit en effet,
\[
ζ^⋆(s):=(1-2 ⋅ 2^{-s})ζ(s),
\]
aussi notée parfois $η(s)$ (« fonction éta de Dirichlet »).
Pour chaque réel $s>1$, on a l'égalité
\[
ζ^⋆(s)=∑_n n^{-s} -2 ∑_n 2^{-s} n^{-s}=-∑_n (-1)^n n^{-s} :
\]
c'est la \emph{fonction zêta alternée}.
Le terme de droite étant convergeant dès que $s>0$
(série alternée), on peut étendre $ζ^⋆$ à $𝐑_{>0}$ et l'on a
$ζ^⋆(1)=\log(2)$. On en déduit que la fonction zêta
de Riemann a un pôle simple en $s=1$ et se prolonge à $\{s:s>0\}$.
\end{remarque2}

\begin{exercice2}
Montrer, à la manière d'Euler, que
$ζ^⋆(0)=\frac{1}{1+x}|_{x=1}$ (resp. $ζ^⋆(-1)=\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+x})|_{x=1}$)
et en déduire une autre démonstration des formules
\[
ζ(0)=-½
\]
et
\[
ζ(-1)=-\frac{1}{12}.
\]
Pour une présentation moderne de la « démonstration »
d'Euler de l'équation fonctionnelle,
cf. \cite[II.2.3]{Divergent@Hardy}.
\end{exercice2}
% cf. aussi exposé de Gross à Orsay (SAGA).

\subsubsection{Mesures multiplicatives}
\label{sorites mesures multiplicatives locales}
Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive sur
un corps local $K$. Rappelons que l'on note $q$ le cardinal du corps résiduel
lorsque $K$ est ultramétrique ; convenons ici de poser $q=∞$
si $K$ est archimédien.
La mesure sur $K^×$ définie par
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
où l'on convient que $∞^{-1}=0$, est une mesure de Haar (cf.
§\ref{généralités sur mesures}) : si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
la fonction $f ω_{-1}$, ou plutôt son prolongement
$\gtilde{f ω_{-1}}$ par $0$ en zéro,
appartient à $𝒞_c(K,𝐂)$ et la forme linéaire
\[
f ↦  \frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(\gtilde{f ω_{-1}})=
\frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}} f(x)|x|^{-1} d μ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
\]
est une mesure de Radon positive, invariante par
multiplication (cf. \ref{module=module}).
On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ la mesure de Haar
multiplicative associée à la mesure de Tamagawa $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{mesures Tamagawa locales}).

\begin{proposition2}
Si $K$ est ultramétrique, on a l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒪^×)=1$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
En effet, le terme de gauche est, par construction, égal à
$\frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)$.
Or, $𝒪^×$ est extension du groupe $k^×$ (de
cardinal $q-1$) par le groupe $1+𝔪=1+ϖ 𝒪$. On a donc
$μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)=(q-1) μ^{\mbox{\minus
$+$}}(1+𝔪)$. D'autre part, $μ^{\mbox{\minus $+$}}(1+𝔪)=μ^{\mbox{\minus
$+$}}(𝔪)=q^{-1} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)$, où
la dernière égalité résulte de \ref{module=module}.
\end{démo}

\subsubsection{Fonction zêta locale : définition}
\label{fonction zêta locale}
Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et soit $ψ$ un caractère additif de $K$.
Pour toute fonction $f$ sur $K$ telle que $f_{|K^×} ⋅ χ$ soit
intégrable, on pose :
\[
ζ_ψ(f,χ)= ∫_{K^×} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
\]
où l'on rappelle que la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$
n'est autre que la mesure de Haar associée (selon
le procédé expliqué en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
La dépendance en $ψ$ est triviale : si $ψ ′$ est un autre
caractère additif non trivial, il existe une constante non
nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ ; si les
niveaux $n(ψ)$ et $n(ψ ′)$ sont égaux, $c=1$ (cf. \emph{loc. cit.}).
Si $ψ$ est de niveau nul, c'est-à-dire si $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus$×$}}₁$,
nous nous autorisons à l'omettre des notations.
Pour étudier la dépendance en $χ$ dans les familles $χ ω_s$
de ces transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s).
\]
(On a alors $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(f,χ,0)$.)

\begin{remarque2}
\label{quasi-caractères=variété}
Plutôt que de fixer $χ$ et introduire la variable complexe $s$
on pourrait — à l'aide de la proposition \ref{description quasi-caractères} —
munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
de variété analytique (cf. p. ex. \cite[§2.1]{Weil2@Deligne}, \cite[VII.§3]{BNT@Weil}).
\end{remarque2}

\subsubsection{Cas archimédien réel : interprétation}
\label{fonction zêta archimédienne}
Si $K=𝐑$ et $ψ=𝐞_∞$ (\ref{exemples caractères additifs locaux}),
la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$ est la mesure
de Lebesgue usuelle (cf. \ref{Fourier et mesure locaux}) et l'on a :
\[
ζ_{𝐞_∞}(f,1,s)=ζ(f,s),
\]
où le terme de droite est la transformée de Mellin réelle de $f$
considérée en \ref{transformation Mellin réelle}
et $1$ désigne le caractère multiplicatif trivial.

\subsubsection{Cas archimédien : calculs}
\label{Mellin local archimédien}
Supposons maintenant le corps local $K$ archimédien quelconque.
Les gaussiennes
\[
g_𝐑(x)=\exp(- π xx) ∈ 𝒮(𝐑)
\]
et
\[
g_𝐂(z)=\frac{1}{π} \exp(- 2 π z \sur{z}) ∈ 𝒮(𝐂),
\]
jouent un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ dans le cas ultramétrique.
Pour chaque nombre complexe $s$ de partie réelle strictement
positive, on a
\[
ζ_𝐑(s):=ζ(g_𝐑,1,s)=π^{-½s}Γ(½s)
\]
et
\[
ζ_𝐂(s):=ζ(g_𝐂,1,s)=2(2 π)^{-s} Γ(s).
\]
Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
$x=√r$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π x²} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}.
\]} ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas
complexe\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐂(s)
:=\frac{1}{π}∫_{𝐂^×} e^{-2 π z \sur{z}} |z|_𝐂^s \frac{dxdy}{|z|_𝐂}
=\frac{1}{π} ∫_{𝐑_× × [0, 2 π]} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ
=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑_×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}.
\]}.
À une constante multiplicative près dépendant des auteurs, ces fonctions
zêta locales sont appelées « facteurs Gamma » et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
On suit ici le choix de P. Deligne (\cite[§3.2]{constantes@Deligne}) ;
voir aussi \cite[§3.1]{NTB@Tate}.
Pour une variante, voir par exemple \cite{Facteurs@Serre}.
Notons qu'avec notre convention, on a la \emph{formule de duplication} :
\[
ζ_𝐂(s)=ζ_𝐑(s)ζ_𝐑(s+1).
\]
(Cf. P. Deligne, \emph{op. cit.}, prop. 3.8 pour une interprétation.)
% attribuée à Legendre par Neukirch.

\subsubsection{Cas ultramétrique : réécriture}
\label{Mellin et Z}
Supposons maintenant $K$ ultramétrique et considérons pour chaque $n ∈ 𝐙$ le
translaté $𝒰_n$ du groupe des unités $𝒰=𝒪^×$ par $ϖ^n$ :
\[
𝒰_n=\{x ∈ K^×:|x|=q^{-n}\}=\{x ∈ K^×:v(x)=n\}.
\]
La restriction de $f$ au \emph{compact} $𝒰_n$ est
localement constante donc intégrable et l'on pose
\[
z_ψ(f,χ)_n=∫_{𝒰_n} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ
\]
Pour $n ≪ 0$, $𝒰_n$ ne rencontre par le support de $f ∈ 𝒞_c(K)$ ; ce coefficient est alors nul.
On peut donc définir la série de Laurent formelle
\[
Z_ψ(f,χ,X)=∑_{n ∈ 𝐙} z_ψ(f,χ)_n X^n ∈ 𝐂((X)).
\]
Soit $ρ_{f,χ} ≥ 0$ le rayon de convergence de la série
$Z_ψ(f,χ,X)$. Le quasi-caractère $ω_s$ étant constant de
valeur $q^{-ns}$ sur $𝒰_n$, l'intégrale $ζ_ψ(f,χ,s)$
est absolument convergente et holomorphe sur le
domaine $\Re(s)> -\log_q(ρ_{f,χ})$ et l'on a
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s}).
\]

\subsubsection{Cas ultramétrique : calculs}
\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
Toute fonction dans $𝒮(K)$, où $K$ est local ultramétrique, étant combinaison linéaire de
fonctions caractéristiques $f=𝟭_{x+𝔪^e}$ ($x ∈ K, e ∈ 𝐙$),
le calcul de fonctions zêta locales ultramétriques se ramène
au calcul des séries $Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$, relativement
à un caractère additif que l'on peut supposer de niveau nul. Nous allons
distinguer les deux cas $x ∈ 𝔪^e$, c'est-à-dire $x+𝔪^e=𝔪^e$, et $x ∉ 𝔪^e$,
c'est-à-dire $f(0)=0$.

Il est immédiat que $z(𝟭_{𝔪^e},χ)_n$ vaut $χ(ϖ)^n ⋅ ∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁$
si $n ≥ e$ et est nul sinon. (On rappelle que $χ₁$ est la restriction
à $𝒰$ de $χ$.) D'autre part, il résulte de l'orthogonalité des caractères
et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒰)=1$ que l'intégrale
$∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ vaut $1$ si $χ₁$ est trivial, c'est-à-dire
si $χ$ est net, et $0$ sinon. Ainsi,
\[
Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)X} & \text{si $χ$ est net}\\
\displaystyle 0  & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Dans le premier cas, le rayon de convergence de $Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)$
est $|χ(ϖ)|^{-1}=q^{-\Re(χ)}$.

Considérons maintenant le second cas : l'élément $x$ de $K$ n'appartenant pas
à $𝔪^e$, c'est-à-dire tel que $r=v(x)<e$. Tout élément de $x +
𝔪^e$ est de valuation $r$. D'autre part, un élément
de $x+𝔪^e$ s'écrit de manière unique sous la forme
$x(1+y)$ où $y ∈ 𝔪^{e-r}$. Il en résulte immédiatement
que $z(𝟭_{x+𝔪^e},χ)_n=χ(x) ⋅ ∫_{1+𝔪^{e-r}} χ₁  dμ^{\mbox{\minus
$×$}}₁$ si $n =r$ et $0$ sinon. Il résulte à nouveau de
l'orthogonalité des caractères et de
l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(1+𝔪^i)=
\frac{q^i}{1-q^{-1}}$ ($i ≥ 1$) que
$Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$ vaut $\frac{χ(x) q^e }{1-q^{-1}} (\frac{X}{q})^{r}$
si ${χ₁}_{| 1+𝔪^{e-r}}=1$ et $0$ sinon.

\begin{remarque2}
\label{Matchett}
La formule
\[
ζ(𝟭_𝒪,χ \text{ net},s)=\frac{1}{1-χ(ϖ)|ϖ|^s}
\]
rappelle sans équivoque un facteur eulérien, analogue
des facteurs Gamma considérés ci-dessus.
(Rappelons que la notation sous-entend que
la caractère additif $ψ$ utilisé est de niveau nul.)
Généralement attribuée à Margaret \textsc{Matchett} (thèse « On the Zeta Function for
Ideles », 1946), cette formule est un des points de départ de la méthode
— due indépendamment à \textsc{Iwasawa} Kenkiti et John \textsc{Tate} — pour
démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
\end{remarque2}

\begin{théorème2}
\label{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non
trivial et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'intégrale
$∫_{K^×} f χω_s  d μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ$ est absolument
convergente et définit une fonction holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$.
Si de plus $f$ est nulle au voisinage de $0$, l'intégrale est
absolument convergente et holomorphe sur $𝐂$.
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, la fonction
$ζ_ψ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Il existe une fonction méromorphe non nulle $s ↦ γ_ψ(χ,s)$ telle que,
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'équation fonctionnelle
suivante soit satisfaite :
\[
γ_ψ(χ,s)ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Rappelons (\ref{notation quasi-caractère dual}) que
$\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$ est de partie réelle $1-\Re(χ)$.
On a a trivialement
\[
ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),χ^{-1},1-s).
\]

La démonstration du théorème occupe les trois paragraphes suivants.
Pour l'analogue global, cf. \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
\subsubsection{}
Si $K$ est ultramétrique, il résulte des
calculs effectués en \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
que $ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s})$ où $Z_ψ(f,χ,X)$ est
une fraction rationnelle dont l'ensemble des pôles
est inclus dans $\{0,χ(ϖ)^{-1}\}$.
Les résultats (i) et (ii) sont alors évidents.
(L'holomorphie sur $𝐂$ lorsque $f(0)=0$ a déjà été
constatée.) Démontrons (i) dans le cas archimédien.
L'intégrabilité de la fonction sur l'ouvert $|x|>1$ résulte
immédiatement du fait que $f$ est à décroissance rapide en
l'infini. Pour démontrer l'intégrabilité sur le fermé $|x| ≤ 1$,
on se ramène à la convergence de l'intégrale
\[
∫_{|x|<1} ω_σ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}
\]
pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. Si $K=𝐑$, cette convergence
est classique ; le cas $K=𝐂$ s'y ramène en utilisant
des coordonnées polaires. (Si $f$ est nulle
au voisinage de l'origine, on a convergence pour tout $s$.)
L'holomorphie résulte d'un théorème classique de dérivation
sous le signe somme (cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}).
Nous verrons ci-après que l'équation fonctionnelle et (i)
entraînent formellement l'existence d'un prolongement
méromorphe des fonctions zêta.
%Il résulte de (i) que l'équation fonctionnelle
%entraîne l'existence d'un prolongement méromorphe.
%En effet, la fonction $ζ_ψ(χ,f,s)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$
%et égale sur la bande $-\Re(χ)<\Re(s)<1-\Re(χ)$ à la
%restriction de la fonction $γ_ψ(χ,s)^{-1}ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$,
%méromorphe sur le demi-plan $\{s:\Re(-s)>-\Re(\chap{χ})\}=
%\{s:\Re(s)<1-\Re(χ)\}$ d'après (i) et la non nullité du
%facteur $γ$.

\subsubsection{}Pour démontrer l'équation fonctionnelle,
nous allons commencer par établir une formule de « $ζ$-Plancherel ».
Supposons $0<\Re(χ)<1$ et considérons deux fonctions $f,g ∈ 𝒮(K)$.
Alors, on a l'égalité :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ),
\]
où l'on note pour simplifier— et ce jusqu'à la fin de la démonstration — $ζ$
(resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ℱ_ψ(f)$, etc.).
En effet, le terme de gauche se réécrit
\[
∫_{K^× × K^×} f(x)\chap{g}(y)χ(x y^{-1}) |y|  d
{μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}.
\]
On peut voir cette égalité comme un cas particulier,
mais crucial, du théorème de Fubini appliqué
à une fonction de deux variables séparées,
c'est-à-dire de la forme $(x,y)↦ (φ₁ ⊠ φ₂)(x,y)=φ₁(x)φ₂(y)$.
On effectue le changement de variables $(x,y) ↦
(x,xy)$ ; il préserve la mesure de Haar produit
${μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}$. Il résulte
alors du théorème de Fubini que l'on a :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=∫_{K^×}h_{f,g}(y)χ(y^{-1})|y| d μ^{\mbox{\minus $×$}}(y)
\]
où
\[
h_{f,g}(y)= ∫_{K^×} f(x)\chap{g}(xy)|x| d μ^{\mbox{\minus
$×$}}(x)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K} f(x)\Big(∫_K g(z) ψ(xyz)  d
μ^{\mbox{\minus$+$}}(z)\Big)  d μ^{\mbox{\minus$+$}}(x).
\]
La seconde égalité résulte de la définition de la transformation de
Fourier et \ref{sorites mesures multiplicatives locales}.
Enfin, une seconde application du théorème de Fubini donne
\[
h_{f,g}(y)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K^× × K^×} f(x) g(z) ψ(xyz) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x) d μ^{\mbox{\minus$+$}}(z)
= h_{g,f}(y).
\]
L'expression $ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})$ étant symétrique
en $f$ et $g$, elle est nécessairement égale à $ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ)$.

\subsubsection{}Supposons dorénavant $\Re(χ)=½$, comme il
est loisible de le faire. Il existe une fonction $g ∈ 𝒮(K)$
à support contenu dans une boule fermé centrée en $1$
ne contenant pas l'origine telle que $ζ(g,χ) ≠ 0$.
En effet, l'égalité $χ(1)=1$ entraîne l'existence d'un
voisinage $V$ de $1 ∈ K^×$ sur lequel la partie
réelle des nombres complexes $χ(x)$, $x ∈ V$, est strictement
positive ; la conclusion en résulte aussitôt.
La fonction $ζ(g,χ,s)$ est donc holomorphe, non identiquement
nulle. Considérons la fonction méromorphe sur $\{s:\Re(s)<½\}$ :
\[
γ(χ,s)=\frac{ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)}{ζ(g,χ,s)}.
\]
D'après la formule de $ζ$-Plancherel, on a l'égalité
\[
ζ(f,χ,s)= γ(χ,s)^{-1} ζ(\chap{f},\chap{χ},-s),
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$ et tout nombre complexe $s$
tel que $|s|<½$. (Cette égalité est à considérer
dans le corps des fonctions méromorphes sur cet ouvert.)
Le terme de gauche est holomorphe sur
$\Re(s)>-½$ ; celui de droite est méromorphe pour $\Re(s)<½$.
La fonction $ζ(f,χ,s)$ a un prolongement méromorphe à $𝐂$.
En particulier, $ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)$
donc $γ(χ,s)$ admettent un prolongement méromorphe à $𝐂$. CQFD.


\subsubsection{}Esquissons une seconde démonstration
de l'équation fonctionnelle du théorème précédent dans le cas ultramétrique.
(Comme nous l'avons vu, l'existence d'un prolongement
méromorphe en résulte immédiatement.) Montrons que
pour tout quasi-caractère multiplicatif $χ$, il existe une fraction
rationnelle $c_ψ(χ,X) ∈ 𝐂(X)$ telle que
\[
c_ψ(χ,X)Z_ψ(f,χ,X)=Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$. L'équation fonctionnelle
\ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.(iii)
en résulte en posant $γ_ψ(χ,s)=c_ψ(χ,q^{-s})$.
Considérons à cette fin l'ensemble $𝒟_χ$ des formes
$𝐂$-linéaires $Δ: 𝒮(K) → 𝐂(X)$ telles que \[Δ([×a]^* f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)\]
pour chaque fonction $f$ et chaque $a ∈ K^×$.
Il est formel que $f ↦ Z(f,χ,X)$ appartient à $𝒟_χ$ : en
effet, $z_n([×a]^*f)=χ^{-1}(a)z_{n-v(a)}$ pour tout $n$,
comme il résulte immédiatement des égalités $[×a]^*
μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}$ et
$a 𝒰_n=𝒰_{n-v(a)}$. De même, il résulte
de l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux}.(iii).(a)
et du calcul précédent que la forme linéaire $f ↦ Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)$
appartient également à $𝒟_χ$. Or, et c'est là le point clef,
l'espace $𝒟_χ$ est de dimension un sur $𝐂(X)$. Il suffit
pour cela de montrer que l'évaluation
$𝒟_χ → 𝐂(X)$, $Δ ↦ Δ(𝟭_{1+𝔪^{a(χ)}})$ est \emph{injective},
où $a(χ)$ est le conducteur du caractère multiplicatif $χ$.
Posons $n=a(χ)$ et supposons $Δ(𝟭_{1+𝔪^n})=0$. Pour tout $r ≥ n$, considérons des représentants $(a_i)$
dans $1 + 𝔪^n$ du groupe quotient $1+𝔪^n ∕ 1+𝔪^r$, fini (de cardinal $q^{r-n}$). On a d'une part
$𝟭_{1+𝔪^n}=∑_i [×a_i]^* 𝟭_{1+𝔪^r}$ par hypothèse sur
les $a_i$ et d'autre part $Δ([×a_i]^*
𝟭_{1+𝔪^r})=Δ(𝟭_{1+𝔪^r})$ par hypothèse sur $φ$ et $n$ :
$χ(a_i)=1$ et $v(a_i)=0$.
En conséquence, $Δ(𝟭_{1+𝔪^r})=0$. Toute fonction $f
∈ 𝒮(K)$ à support dans $K^×$ étant combinaison linéaire
de translatés (multiplicatifs) de fonctions caractéristiques
$𝟭_{1+𝔪^r}$ pour $r ≥ n$, on a $Δ(f)=0$ pour de telles
fonctions. Il en résulte que $Δ(f)$ ne dépend que de
la valeur de $f$ en $0$, si bien que $Δ([×a]f)=Δ(f)$ pour
tout $a ∈ K^×$ et tout $f ∈ 𝒮(K)$. Compte tenu
de l'égalité $Δ([×a]^*f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)$, on
a $Δ(f)=0$. CQFD.
Pour une discussion du cas archimédien, voir \cite[§1]{Fonction@Weil}.

\subsection{Facteurs $ε$}

\subsubsection{}
\label{définition fonction L locale}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ comme en \ref{description quasi-caractères}.
Posons 
\[L(χ)=
\begin{cases}
\displaystyle ζ_K(s) &           \text{si } K \text{ est archimédien}\\
\displaystyle \frac{1}{1-χ(ϖ)} & \text{si } K \text{ est ultramétrique et }χ \text{ net}\\
\displaystyle 1 &                \text{sinon}.
\end{cases}
\]
% Deligne, §3.2
Il résulte des calculs effectués en \ref{Mellin local archimédien} et \ref{Matchett}
que l'on a $L(χ)=ζ_ψ(g,χ)$, où $ψ$ est de niveau nul
et $g$ est une gaussienne ou bien la fonction caractéristique
de l'anneau des entiers. Sauf si $K$ est ultramétrique et $χ$
ramifié : remplacer $ζ_ψ(g,χ)=0$ par $1$.
(Voir \cite[§23.2]{Bushnell-Henniart} pour une interprétation
plus conceptuelle dans le cas ultramétrique.)
Il est naturel de considérer pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
le quotient $ζ_ψ(f,χ)/L(χ)$.

\subsubsection{}
\label{définition facteur epsilon local}
D'après \ref{prolongement méromorphe et équation
fonctionnelle cas local}, il existe un « \emph{facteur epsilon} »\index{facteur epsilon},
indépendant de $f$, tel que l'on ait :
\[
ε_ψ(χ)×\frac{ζ_ψ(f,χ)}{L(χ)}=\frac{ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ})}{L(\chap{χ})}.
\]
D'après \emph{loc. cit.}, on a $ε_ψ(χ)=γ_ψ(χ)×\frac{L(χ)}{L(\chap{χ})}
∈ 𝐂^×$. Les deux formules suivantes résultent respectivement
de \ref{dépendance Fourier local en caractère}
et \ref{Fourier et mesure locaux} (formule d'inversion).
% détailler ? \XXX

\begin{proposition2}
\label{epsilon par translation et produit}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non trivial et $χ$ un caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $a ∈ K^×$, $ε_{ψ_a}(χ)=χ(a)|a|^{-½}ε_ψ(χ)$.
\item \label{epsilonepsilon} $ε_ψ(χ) ε_ψ(\chap{χ})=χ(-1)$. 
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Notons que les mêmes formules sont valables pour le facteur $γ$.
D'après (i), la détermination de ces facteurs se ramène au cas particulier où le caractère
additif $ψ$ est de niveau fixé.

\subsubsection{Formulaire archimédien}

Si $K$ est réel ou complexe, et $χ=χ₁ ω_s$
comme ci-dessus où $χ₁:x↦ x^{-a}$, on a :
\[
ε_{𝐞_K}(χ)=i^a.
\]
Vérifions-le brièvement dans le cas réel.
Le cas complexe est laissé en exercice au lecteur
(cf. \cite[§2.5]{Fourier@Tate}).
Pour $a=0$, c'est une trivialité : on applique
la définition \ref{définition facteur epsilon local}
lorsque $f$ est la gaussienne $g_𝐑$ (invariante par Fourier).
Le cas $a=1$ se ramène au cas précédent : considérer la dérivée
de $g_𝐑$ et utiliser le fait que la transformation de Fourier échange
dérivation et multiplication par $i$.

\subsubsection{Formulaire ultramétrique}
\label{facteur epsilon ultramétrique}
Lorsque $χ$ est net et $ψ$ de niveau nul, on a :
\[
ε_ψ(χ)=1.
\]
En effet, $ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=𝟭_𝒪$ donc $ζ_ψ(ℱ_ψ(𝟭_𝒪),\chap{χ})=L(\chap{χ})$
et, plus trivialement encore, $ζ_ψ(𝟭_𝒪,χ)=L(χ)$.
Considérons maintenant le cas général : $χ$ est éventuellement ramifié,
de conducteur $a=a(χ) ≥ 0$ (\ref{définition conducteur})
et $ψ$ de niveau $n=n(ψ)$. Considérons la fonction $f=χ^{-1} 𝟭_{𝒪^×}$,
où $χ^{-1}$ désigne abusivement le prolongement par zéro de la
fonction $χ^{-1}:K^× → 𝐂$ à $K$. Elle appartient à $𝒮(K)$ et
est constante sur les classes modulo $𝔪^a$ : si $x ∈ 𝒪^×$
et $y ∈ 𝒪$, on a $χ(x)=χ(x+y ϖ^a)$ car $χ(1+x^{-1}y ϖ^a)=1$.
En conséquence (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii) et (iii).b),
sa transformée de Fourier $ℱ_ψ(f)$ est à support contenu dans $𝔪^{-(n+a)}$.
Pour simplifier les calculs, supposons dorénavant que $n+a=0$,
comme il est loisible d'après \ref{epsilon par translation et produit}, (ii).
Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est à support dans $𝒪$. D'autre part, par définition,
c'est la fonction $x↦ ∫_{𝒪^×} χ^{-1}(y) ψ(xy)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$.
À moins que $χ_{|𝒪^×}$ ne soit trivial (c'est-à-dire $χ$ net, ou encore $a=0$).
on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant déjà été traité, supposons maintenant $a>0$.
Pour $x ∈ 𝒪-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$
et la formule \ref{module=module} entraîne :
$ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} 𝒪^×} χ^{-1}(z) ψ(z)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$.
Pour la même raison que précédemment, cette intégrale est nulle
si $x$ n'appartient pas à $𝒪^×$. (Si $x ∈ 𝔪$, la fonction $χ^{-1} 𝟭_{x^{-1}𝒪}$
est constante modulo $𝔪^{a-1}$ et la valeur en $1$ de sa transformée
de Fourier est nulle.)
Finalement,
\[
ℱ_ψ(χ^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×})=𝔤(χ,ψ) ⋅ \big( \chap{χ}^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×} \big),
\]
où la constante multiplicative est la \emph{somme de Gauß} \index{somme de Gauß}
\[
𝔤(χ,ψ)=∫_{𝒪^×} χ^{-1} ⋅ ψ   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
Ceci est une généralisation du calcul \ref{exemple Fourier et Gauss}.
Enfin, par construction, $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)(=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×))$
et, d'après ce qui précède, $ζ_ψ(\chap{f},\chap{χ})=𝔤(χ,ψ) ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)$.
En résumé, on a a démontré la proposition suivante :

\begin{proposition2}
Sous l'hypothèse que $a(χ)+n(ψ)=0$, on a :
\[
ε_ψ(χ)=𝔤(χ,ψ).
\]
\end{proposition2}
Notons que cette formule est également valable lorsque $χ$ est net.

%\subsection{Fonctorialité}
%$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
%[À déplacer ? \XXX]

\section{Corps globaux}

\subsection{Premières définitions, notations}

\subsubsection{}
Un corps $k$ est un \textbf{corps global} s'il est de
caractéristique nulle, fini sur $𝐐$ ou bien
s'il est de caractéristique \mbox{$p>0$}, de type fini
sur le corps fini $𝐅_p$ et de degré de transcendance $1$ sur
ce corps. Dans le premier cas, on dit que $K$ est un
\textbf{corps de nombres} ; dans le second, on dit que $K$
est un \textbf{corps de fonctions algébriques} sur le corps
fini $𝐅_p$.

\subsubsection{}
\label{notation places infinies}
On appelle \textbf{point} de $K$ une classe d'équivalence de
valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
confusion entre les places archimédiennes et les places « à l'infini »
en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation
$P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$
cette place (ultramétrique).

\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
classe $x$ ; c'est un corps local
au sens de \ref{définition corps locaux}, cf. \ref{Kx sont locaux}
\emph{infra}. (Réciproquement, il n'est pas difficile
de montrer que tout corps local s'obtient de cette manière.)
% Si $G$ est un
%groupe sous-groupe d'un $𝔖_n$ tel $𝐀^n/G$ soit rationnel,
%on peut même relever un nombre fini d'extensions locales
%galoisiennes de groupe $G$. Serre, Topics, th. 2 p. xiv. \XXX
On dispose donc d'une valeur absolue
privilégiée sur $K_x$, la valeur absolue normalisée,
que l'on note $|⋅|_x$, ainsi que sa restriction à $K$, qui
appartient à la classe $x$. Si $x$ est ultramétrique,
on note également $𝒪_x=\{f ∈ K_x : |f|_x ≤ 1\}$
l'anneau de valuation de $K_x$, $𝔪_x$ son idéal maximal,
$k_x=𝒪_x/𝔪_x$ le corps résiduel et $v_x$ la valuation $K_x ↠
𝐙 ∪ \{+∞\}$.
Il est parfois utile de faire la convention suivante :
lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$.
% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »

\subsubsection{}
\label{U-entiers}
Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
% choix terminologique discutable \XXX

\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
la clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$ est appelée
\textbf{corps des constantes} de $K$. C'est le plus grand
sous-corps fini de $K$ (\refext{RT}{finitude clôture algébrique dans tf}).

\subsection{Points de $𝐐$ et $𝐅_p(t)$ ; applications}

\subsubsection{}On a vu en \refext{AVD-Dedekind}{Ostrowski sur Q}
que toute valeur absolue de $𝐐$ est équivalente
à une unique valeur absolue $| ⋅ |_p$, où $p ∈ 𝒫  ∪ \{∞\}$,
$𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, où $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ est la
valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier,
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
$\{∞\} → Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
par les bijections précédentes. Cette identification
est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
Par exemple, si $p$ est un nombre premier, $𝒪_{x_p}=𝐙_p$, etc.
Notons que $𝒫$ est naturellement en bijection avec $\Specmax(𝐙)$.

\subsubsection{}Soit $p$ un nombre premier. Il résulte
de \refext{AVD-Dedekind}{k-valuations de k(X)}
%et [...] ? \XXX
que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
sont toutes ultramétriques et que l'ensemble $Σ(𝐅_p(t))$
est naturellement en bijection avec l'union $𝒫_p ∪ \{∞\}$, où
$𝒫_p$ désigne l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$. Notons que $𝒫_p$ est naturellement en bijection avec
$\Specmax(𝐅_p[t])$. (Pour des renseignements quantitatifs sur $𝒫_p$, voir
\refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.)
%\XXX

\subsubsection{}
\label{Kx sont locaux}
Soient $L\bo K$ une extension finie de corps globaux
et $y ∈ Σ(L)$. Toute valeur absolue $| ⋅ |_L$ dans la classe $y$
induit par restriction une valeur absolue $| ⋅|_K$
sur $K$ dont la classe d'équivalence ne dépend
que de $y$ et que nous noterons $x$.
D'après \refext{AVD-Dedekind}{finitude préservée par complétion},
l'injection $K ↪ L$ induit une injection $K_x ↪ L_y$,
faisant de $L_y$ une \emph{extension finie} de $K_x$.
Si $K_x$ est un corps local, il en est de même de $L_y$
(cf. \ref{extension finie corps local est local}).
Or, on a vu ci-dessus que si $K=𝐐$ ou $K=𝐅_p(t)$,
chaque $K_x$ est un corps local ; tout corps global $L$
étant extension finie d'un tel corps global « premier » $K$,
les $L_y$ sont locaux.
Rappelons (\ref{extension finie corps local est local})
que la restriction à $K_x$ de la valeur
absolue normalisée $|⋅|_y$ n'est en général pas égale à $|⋅|_x$
(mais plutôt à la puissance $[L_y:K_x]$-ième
de celle-ci). Voir aussi \refext{AVD-D}{définition indice de ramification}.

\begin{proposition2}
\label{toute courbe est revêtement ramifié de P1}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
Il existe un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
$K\bo 𝐅_p(t)$ soit finie séparable.
\end{proposition2}

Le corps $𝐅_p$ étant parfait, cela résulte de
\refext{RT}{extension corps parfait est séparable}.
%Seconde démonstration, cf. Weil, p 48. ? \XXX

\subsubsection{}Un corps global est donc une extension finie
étale d'un \textbf{corps global premier}, un tel corps
étant par convention égal à $𝐐$ ou isomorphe à un corps
de fractions rationnelles $𝐅_p(t)$. L'étude des corps
globaux procède souvent par réduction au cas des corps
globaux premiers. (Voir par exemple
l'observation \ref{Kx sont locaux} \emph{supra}
et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)

\begin{proposition2}
Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est
\emph{fini}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues},
et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
est archimédienne, qu'il suffit de traiter le cas particulier
où $K$ est un corps global premier. Or,
$Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$ est un singleton et
$Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
\end{démo}

\begin{proposition2}
\label{normes fonction presque toutes petites}
Soit $K$ un corps global et soit $f ∈ K$.
Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$. 
De façon équivalente, $K=\colim_U 𝒪_K(U)$, où $U$ parcourt
les ouverts denses de $K$.
\end{proposition2}

Si $f ∈ K^×$, on a $|f|_x^{-1}=|f^{-1}|_x$
de sorte qu'il résulte de la proposition précédente
que $|f|_x=1$ pour presque tout $x$.

Pour une variante différentielle, cf. \ref{niveaux forme différentielle presque tous nuls}.

\begin{démo}
Si $K$ est un corps global \emph{premier} cela résulte
de la description explicite de ses valeurs absolues (cf. \refext{}{}).
Il nous suffit donc de montrer que si $L \bo K$ est une extension
finie de corps globaux, la conclusion est valide pour $L$ si elle
l'est pour $K$. Soit $f ∈ L$. Il existe des éléments $a_i ∈ K$ et un entier $n$
tels que $f^n=a₁ f^{n-1} + \cdots + a_n$. Par hypothèse,
les $a_i$ sont \emph{$U$-entiers} pour un ouvert dense
convenable de $K$. (On rappelle
que cela signifie que pour chaque $i$ et chaque $x ∈ U$, on a l'inégalité $|a_i|_x ≤ 1$.)
Utilisant la finitude (des fibres) de l'application $π:Σ(L) → Σ(K)$
(\refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}),
il existe donc un ouvert dense $V$ de $L$
(que l'on peut prendre égal à $π^{-1}(U)$)
telle que les $a_i$, vus dans $L$, soient $V$-entiers.
Il en est alors de même de $f$.
En effet, on peut réécrire la relation de dépendance algébrique
$1=a₁ f^{-1} + \cdots + a_n f^{-n}$ ; si $|f|_y > 1$,
le terme de droite est de valeur absolue strictement inférieure à $1$.
Absurde.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration dans le cas d'un corps de fonctions]
Si l'élément $f ∈ K$ est algébrique sur $𝐅_p$, et non nul,
il est multiplicativement d'ordre fini donc $|f|=1$ pour toute
valeur absolue. Dans le cas contraire, l'extension $K \bo 𝐅_p(f)$ est finie
et, comme indiqué ci-dessus, le résultat est connu
pour le corps de fonctions transcendant pur $K₀=𝐅_p(f)$.
Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un entier $n$
(dépendant de $y$). En particulier, $|f|_y ≤ 1$ s'il en est ainsi de $|f|_x$.
\end{démo}

\subsubsection{}Dans le langage de \refext{AC}{normalisation,normal}, on a montré
ci-dessus le résultat intermédiaire suivant : \emph{la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$ est contenue
dans $𝒪_L( π^{-1}(U))$}. (Il s'agit en fait d'une égalité.)
Le lien entre $𝒪_K(U)$ et $K$ est précisé par la proposition suivante.

\begin{proposition2}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense.
Le sous-ensemble $𝒪_K(U)$ est un sous-anneau intègre de $K$ et
\[
K=\Frac   𝒪_K(U).
\]
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le fait que $𝒪_K(U)$ soit un sous-anneau est trivial car les valeurs
absolues considérées sont ultramétriques. Il est donc intègre : c'est un
sous-anneau d'un corps.
Si $K$ est un corps global premier, l'égalité à démontrer
est immédiate. En effet, si $K=𝐐$, la donnée de $U$ est équivalente à celle
d'un ensemble fini $\{p₁,…,p_r\}$ de nombres premiers
(pour lesquels $| ⋅|_{p_i} ∉ U$) et
$𝒪_𝐐(U)=𝐙[1/n]$ où $n= p₁ \cdots p_r$.
Si $K=𝐅_p(X)$, on peut supposer la place $∞$
(cf. \ref{notation places infinies}) dans $U$
car $𝒪_K(U)$ décroît avec $U$.
Les éléments de $𝒪_K(U)$ sont alors les fractions
rationnelles de degré négatif dans $𝐅_p[X][1/P₁ \cdots P_r]$,
où les $P_i$ sont des polynômes irréductibles de $𝐅_p[X]$
(pour lesquels $| ⋅ |_{P_i} ∉ U-\{∞\}$).
Toute fraction rationnelle est quotient de telles
fractions rationnelles.
Montrons que l'on peut ramener le cas général
au cas particulier que nous venons de traiter.
Soient $L$ est une extension finie de $K$,
$V$ un ouvert dense de $L$, et $f ∈ L$. Cet élément est algébrique sur $K$ :
$f^n+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a₀=0$.
Soit $U$ l'ouvert dense de $K$ image de $V$.
Il existe $b ∈ 𝒪_K(U)$  tel que chaque $b a_i ∈ 𝒪_K(U)$.
En multipliant l'équation précédente par $b^n$, on constate
donc que $bf$ est entier sur $𝒪_K(U)$, c'est-à-dire racine
d'un polynôme unitaire à coefficients dans cet anneau.
Comme on l'a vu dans démonstration précédente, $bf$ appartient donc
à $𝒪_L(π^{-1}(U)) ⊆ 𝒪_L(V)$. L'inclusion est conséquence
de l'inclusion $V ⊆ π^{-1}(U)$.
Comme d'autre part $𝒪_K(U)$ est contenu dans $𝒪_L(V)$
on a bien $f ∈ \Frac   𝒪_L(V)$. \end{démo}


\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}

\subsubsection{}Blabla \XXX

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme
géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
\begin{enumerate}
\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
\item $Σ(K_f) ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble fini près).
Plus précisément, il existe un ouvert dense $U$ de $K$ et
un élément non nul $a ∈ X_f$ tels que $𝒪_K(U)$ soit
$k$-isomorphe à $X_f[a^{-1}]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\section{Adèles, idèles}

\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}

\begin{proposition2}
\begin{enumerate}
\item compact et discret implique fini.
\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé).
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est dit être un
quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes
compacts.
\end{définition2}
(Cf. [Katô-Saitô-...], à la terminologie près.)

\begin{proposition2}
Sorites.
\end{proposition2}

Soit $C$ un compact ; il existe un $U$ cofini tel que le support de $f$
soit contenu dans $K_𝐀(U)$.

\subsection{Mesures}
\label{mesure produit-colimite}

Fonctions continues à  support compact sur un produit restreint
$μ(f)= μ_U(f_U)$ ; indépendance de $U$.

Mesures produits/colimites : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minimum* ; cf.
[Saitô], pp. 239--240).

\subsection{Adèles}

\subsubsection{}Soit $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ un ensemble
\emph{cofini} de places ultramétriques.
On note $K_𝐀(U)$ l'anneau
\[
∏_{v ∉ U} k_v × ∏_{v ∈ U} 𝔬_v,
\]
muni de la topologie produit.


Prendre garde de ne pas le confondre avec
\[
𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U) ⊆ K.
\]

\[
K_𝐀=\colim_S K_𝐀(U).
\]
Description de la topologie. Une suite $(a_n)$
d'éléments $a_n=(a_{n,x})_{x ∈ Σ(K)}$ de $K_𝐀$ converge
vers $b=(b_x)_{x ∈ Σ(K)}$ si et seulement si pour
tout $ε>0$, et tout ensemble fini $S ⊆ Σ(K)$, il
existe un entier $N$ tel que pour chaque $n ≥ N$
on ait $a_{n,x}-b_x ∈ 𝒪_x$ lorsque $x ∉ S$
et $|a_{n,x}-b_x |_x < ε$ sinon.

Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.

\subsubsection{Mesure}

\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]

\begin{proposition2}
$[×a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Trivial. cf. p. ex Saïtô p. 239.
\end{démo}


\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
$L\bo K$ finie.
Alors $K_𝐀⊗_K L → L_𝐀$ est un isomorphisme,
envoyant $K$ sur $L$.
Le morphisme $K_𝐀 → L_𝐀$ correspondant
est $(a_x)↦ (b_y)$ où pour $y↦ x$, $b_y=a_x$
et $K_𝐀^n ⥲ L_𝐀$ étend $K^n ⥲ L$ etc. \XXX
Dans le cas étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
\end{proposition2}

(Pas d'hypothèse de séparabilité.)

\begin{théorème2}
\label{cocompacité}
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
\item Si $U ⊆ Σ(K)$ est cofini et contient $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, l'inclusion canonique
$𝒪_K(U) → ∏_{v ∉ U} K_v$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
continu et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236.
(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238)
ou Weil, p 65.
Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
$K ∩ a^{-1}𝒪$ est fini pour chaque idèle $a$.
\end{corollaire2}

\begin{proposition2}
\label{densité K dans AKS}
$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
\label{formule du produit}
Formule du produit.
\end{théorème2}

\begin{démo}[Première démonstration]
Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration]
Via module et compacité du quotient [Saitô], p.239--240 ou [Weil].
$|a|=\mod_K([×a])⋅ \mod_{K_𝐀/K}([×a])$. Or le premier terme
est égal à un car $K$ est \emph{discret} et le second est
égal à un par compacité (\ref{définition module et cas
compact ou commutatif}).
\end{démo}



\subsection{Idèles}

\subsubsection{}$K^{×,S}_𝐀$ ; $K^×_𝐀$ ; $K^{×,=1}_𝐀$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=K^{×,=1}_𝐀/K^×$.
$K^{×,∞}_𝐀=∏_{v ∤  ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
☡ $C_K$ n'est *pas* compact. \XXX Utiliser d'autres notations :
$K^×_𝐀$ etc.

☡ La topologie de $K^×_𝐀$ est n'est pas topologie induite par
l'inclusion $K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$. Par exemple ([Saitô]p241),
la suite d'éléments $x_n$ de $𝐐^×_𝐀$ dont les coordonnées
sont $1$ en la place réelle et $n!+1$ ailleurs tend
vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
Variante : considérer les idèles $x_p$ ($p$ variable) valant $p$ en $p$ et $1$ ailleurs.

\begin{proposition2}
\label{topologies induites coincident}
Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀$ par les inclusions
$K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident. Plus précisément, …
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. [Saitô], 6.106 (p. 241).
\end{démo}

\subsubsection{}Mesure.

\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K^× → K^{×,=1}_𝐀$, où $K^×$ est muni de la
topologie discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
\item Si $U ⊆ Σ(K)$ est cofini et contient les places infinies,
l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nulle], $x ↦
(\log(|x|_v))$ est continue et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). [Saitô] p. 236.
(i). $K^×$ est discret dans $K^{×,=1}_𝐀$ car $K$ est discret dans $K_𝐀$ et
la topologie de $K^{×,=1}_𝐀$ induite
$A^×_K ⊆ K_𝐀$ est continu. Il « suffit » de montrer
que $μ(K^×_𝐀/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
de $K_𝐀/K$ et le lemme \ref{topologies induites coincident}.
Voir aussi [Weil, BNT] IV.§4. Dans [Rosen] lemme 5.6, la démonstration
repose sur RR.
\end{démo}

corollaire :

\begin{théorème2}
Sous l'hypothèse de (ii),
\[
𝒪_K(U)^× ≃ 𝐙^r ⊕ (\text{groupe fini}),
\]
où $r=♯U-1$.
\end{théorème2}


\begin{démo}
Point clef : si $𝐑^n/Γ$ est compact et $Γ$ discret,
alors $Γ$ est un réseau.
\end{démo}

En particulier :

\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
Dans le cas des corps de fonctions, c'est un théorème de
F.K Schmidt : $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $♯S-1$.
Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non adéliques.
\end{remarque2}

\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps global.
La norme $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ se factorise à travers le
quotient $C_K$ et induit un isomorphisme
\[
C_K ∕ C¹_K ⥲ 𝐑_{>0} (\text{resp. } q^𝐙)
\]
si $K$ est un corps de nombres (resp. un corps de
fonctions).
Dans le premier cas, on dispose d'une section
\emph{canonique}.
\end{théorème2}

Le fait que l'on tombe sur $q^𝐙$ et pas $q^{n 𝐙}$,
c'est-à-dire qu'il existe un diviseur de degré $1$, est non
trivial. (Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.)

\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps global}
\label{quasi-caractères globaux}
D'après \ref{quasi-caractères Rplusétoile} et
\ref{quasi-caractères Z}, on a :

\begin{proposition2}
Le groupe des quasi-caractères de $C_K$ est un groupe de Lie
complexe dont la composante connexe est isomorphe à $𝐂$ dans
le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙 ≃ 𝐂^×$ dans le cas
d'un corps de fonctions. Le groupe de composantes connexes
est isomorphe au dual de Pontrâgin de $C¹_K$.
Pour tout quasi-caractère $χ$ de $C_K$, il existe un
\emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(ι)|=|ι|^σ$.
\end{proposition2}

On note $σ=\Re(χ)$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}).

Comme en \ref{notation quasi-caractère dual}, on note $\chap{χ}$
le quasi-caractère $χ^{-1} ω₁$.


\subsubsection{Caractères de Hecke}

\XXX


\subsection{Groupes de Picard}
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}

\subsubsection{}Soit $K$ un corps global. Notons
$\Div(K)$ le groupe abélien $⨁_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝐙$ des
\emph{diviseurs} de $K$.

\begin{lemme2}
Pour chaque fonction non nulle $f ∈ K^×$,
la famille des $x(f) ∈ 𝐙$, pour $x ∈  Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, est presque
partout nulle.
\end{lemme2}

\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}

On note
\[
\div(f)=∑_{x ∈ } x(f) ⋅ x ∈ ⨁_{x ∈ Σ(K)} 𝐙 ;
\]
l'image de $\div$ est constituée des \emph{diviseurs principaux} de $K$.
Plus généralement, on peut définir le diviseur d'un idèle \XXX.

Diviseurs effectifs $\Div_+(K)$ ; relation d'ordre.

Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$} de corps des
constantes $k$, considérons également l'application
\[
\deg:\Div(K) → 𝐙
\]
\[
∑_x n_x ⋅ x ↦ ∑_x n_x [κ(x):k].
\]

En d'autres termes, on étend la fonction $\deg(x)=[κ(x):k]$
à $\Div(K)$ par additivité.

On a la formule des résidus suivante.

\begin{lemme2}
\[\deg ∘ \div =0.\]
\end{lemme2}

C'est un cas particulier de la formule du produit d'Artin.

\subsubsection{}
\label{définition Pic}
On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$.
Comme $K^×_𝐀/K^{×,∞}_𝐀=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
isomorphisme canonique
\[
C_K/\sur{K}^{×,∞}_𝐀 ⥲ \Pic_K
\]
où $\sur{K}^{×,∞}_𝐀$ désigne l'image de $K^{×,∞}_𝐀$ dans $C_K$.
[notation : $K^×_{𝐀}(∞)$ ? \XXX]
Définir $\div(\text{idèle})$.

\begin{proposition2}
Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à $\Pic(𝒪_K)$.
\end{proposition2}

Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$.

\subsubsection{}Dans le cas des corps de fonctions,
on a $\Pic_K → 𝐙$ [qui se trouve être surjectif] (bien définie
par une variante de la formule des résidus), et on note $\Pic⁰_K$ le noyau.
Il est isomorphe à $C¹_K/\sur{K}^{×,∞}_𝐀= K^{×,∞}_𝐀∖K^{×,=1}_𝐀/K^×$.

Remarque. Dans le cas des corps de nombres, on peut définir
un groupe de Picard d'Arakelov, noté $\sur{\Pic}_K$, et muni
d'un morphisme vers $𝐑^×$. Cf. Neukirch, p. 190 environ.

Plus généralement, si $U$ est un ouvert non vide de $P_K$,
on note $𝒪_U$ l'anneau …, $\Pic(U)$ son groupe de Picard
et $\Pic⁰(U)$ (plus généralement $\Pic^n(U)$) …

\begin{théorème2}
\XXX
\[\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ K^{×,=1}_𝐀/K^×\]
et
\[\Pic⁰_K ≃ K^× ∖ K^{×,=1}_𝐀 / K^{×,∞}_𝐀.\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
Énoncé dans Weil 2.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
$\Pic⁰_K$ est fini.
\end{corollaire2}

\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.

\subsection{Transformation de Fourier}

\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\label{Bruhat-Schwartz adélique}
On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
externes restreints $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$, où chaque
fonction $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local})  % mettre des \bigboxtimes
et pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$,
$f_x=𝟭_{𝒪_x}$\footnote{D'après Kudla, « Tate's thesis »
p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
p. 178 et p. 189. \XXX}
On écrit aussi $f=(f_x)_{x ∈ Σ(K)}$.
Pour $f$ comme ci-dessus, on définit les fonctions
\[
f^{\mathrm{arch}} = ⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x : ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x → 𝐂
\]
et
\[
f^{\mathrm{ultr}} = ⊠′_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x : ∏'_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} K_x → 𝐂,
\]
où $∏′$ désigne le produit tensoriel restreint relativement
aux sous-anneaux compacts $𝒪_x$, $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Cette dernière envoie une famille $(a_x)$ sur le produit $∏_x f_x(a_x)$.
Par construction, on a $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$.
La fonction $f^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
$⊠′_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_x}$ où $(a_x) ∈ 𝐀^{\mathrm{ultr}}_K$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
D'après \ref{densité K dans AKS}, il existe $a ∈ K$
tel que $a-a_x ∈ 𝒪_x$ pour chaque $x ∈ Σ(K)$.
Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).

\subsubsection{Caractères additifs $𝐀_{𝐐}$}
Reprenons les notations de la proposition \ref{caractère corps local}.
Le produit externe restreint
\[
ψ_{𝐐}=⊠′_{p ∈ Σ(𝐐)} 𝐞_{p}
\]
\[
a=(a_p)↦ ∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{x_p\}_p -x_∞)
\]
est bien défini — car $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$, de sorte que pour chaque
adèle $a$ le produit ci-dessus est à support fini — et induit
un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
du produit (\ref{formule du produit}).

Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐐$, $𝐐_𝐀 →  \chap{𝐐_𝐀}$
est un \emph{isomorphisme} et $𝐐$ est orthogonal à lui-même :
un élément $a$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
$ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b∈𝐐$, c'est-à-dire si et seulement si la
restriction de $[×a]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.

En effet, on a :

— injectivité car si $ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b
∈ 𝐐_𝐀$, on a $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐((…,0,a_p b_p,0,…))=1$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$, tout $b_p ∈ 𝐐_p$
et, d'après \ref{dual corps local}, ceci entraîne $a_p=0$ ;

— surjectivité car tout caractère est de la forme
$⊠′ ψ_p$, où $ψ_p$ est la restriction de $ψ$ au facteur
$𝐐_p$, trivial sur $𝐙_p$ pour presque tout $p$\footnote{C'est un
fait général : tout caractère (continu) d'un produit
de groupes compacts est trivial sur presque tous les
facteurs. \XXX}, et chaque $ψ_p$ est, d'après \emph{loc. cit.},
de la forme $[× a_p]^* e_p$ ;

— si $a ∈ 𝐐^⊥ =\{b ∈ 𝐐_𝐀 : ψ_𝐐(b 𝐐)=\{1\}\}$,
on peut écrire $a=λ + c$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
diagonalement) et $c=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
(\ref{cocompacité}). Naturellement,
$c ∈ 𝐐^⊥$. (L'orthogonal $𝐐^⊥$ est un sous-$𝐐$-espace
vectoriel des adèles.). On a
$1=ψ_𝐐(c)=𝐞_{∞}(-c_∞)$ et finalement $c_∞=0$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐐_𝐀$ tout entier. Ainsi, $c=0$
et $a ∈ 𝐐$\footnote{En utilisant un peu la théorie
de la dualité, on pourrait montrer que le quotient
$𝐐^⊥ \bo 𝐐$ est discret. Comme il est compact,
car $𝐐_𝐀 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]
% ici : méthode de Weil, BNT p. 67.

\subsubsection{Caractères additifs de $𝐀_𝐤$, où $𝐤=𝐅_p(t)$, $p>0$ premier}
Notons $∞$ la place correspondant à l'idéal
premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$.
Notons enfin $ψ_∞$ le caractère additif du corps
local $𝐤_∞$, construit en \ref{exemples caractères additifs
locaux} : si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$,
$c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$, on pose
\[
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
Notons $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idéal maximal de l'anneau
$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$.% : le niveau de $ψ_∞$ est égal à $1$.
Le caractère composé $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝒪_{𝐤_∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
se factorise à travers la surjection $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝐀_𝐤 \bo 𝐤$ (\ref{cocompacité})
car \mbox{$ψ_∞(𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞})=\{1\}$}. On en déduit donc
un caractère additif (continu) des adèles, trivial sur $𝐤$, que l'on
note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x$. Par construction, $ψ_{𝐤,x}$ est trivial
sur $𝒪_{𝐤_x}$ pour chaque $x ≠ ∞$. Nous allons voir comment
calculer ce caractère et montrer qu'il est de \emph{niveau nul}.
Soit $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant.
Tout élément $f$ du complété $ϖ_x$-adique $𝐤_x$ s'écrit
de manière unique $∑_{i ≥ n} c_i(t) ϖ_x^i$, où $n ∈ 𝐙$
et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynôme de degré strictement
inférieur à $δ_x=\deg(ϖ_x)$. On peut écrire $f=f_-+f_+$,
où $f_+ ∈ 𝒪_{𝐤_x}$ et, en mettant au même dénominateur,
\[
f_-=\frac{λ_{\max }t^{r δ_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
\]
pour un entier $r>0$, des $λ_i$ dans $𝐅_p$, et
un polynôme $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ de degré inférieur ou égal à $δ_x$
tel que $ϖ_x = t^{ δ_x} u$.
Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{\max})$ et
$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_- ∈ 𝒪_{𝐤_y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
Ainsi, $ψ_{𝐤,x}(f)=ψ_{𝐤,x}(f_-)=ψ_{𝐅_p}(-λ_{\max})$,
la première égalité étant conséquence de la trivialité
de $ψ_{𝐤,x}$ sur $𝒪_{𝐤_x}$. % itou pour 𝐞_{𝐤_x,dt} — car $dt ∈ 𝒪_{𝐤_x}d ϖ_x$ —,
En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x) = ψ_{𝐅_p}(-1)≠ 1$. Ceci montre que
$n(ψ_{𝐤,x})=0$ compte tenu du fait que $t^{δ_x-1} ∈ 𝒪_{𝐤_x}^×$ ($x
≠ ∞$).
Montrons que $𝐀_𝐤 → \chap{𝐀_𝐤}$, $a↦ [×a]^* ψ_𝐤$ est un
isomorphisme et que $𝐤$ est orthogonal à lui-même.
La bijectivité résulte comme ci-dessus de \ref{dual corps local}
et du fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont de niveau nul pour $x ≠ ∞$. (Qu'ils
le soient presque tous suffirait.)
Soit $a ∈ 𝐤^⊥ =\{b ∈ 𝐀_𝐤 : ψ_𝐤(b 𝐤)=\{1\}\}$.
On peut écrire $a=f + c$ où $λ$ appartient à $𝐤$ (plongé
diagonalement) et $c=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤_x}$ (\ref{cocompacité}). Quitte
à translater par une constante dans $𝐅_p$, on peut
supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞$.
Naturellement, $c ∈ k^⊥$ et $1=ψ_𝐤(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
si bien que $c_∞ ∈ 𝔪_∞²$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐤$ est trivial sur $C$, et $𝐤$ donc
(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐀_k$ tout entier. Ainsi, $c=0$
et $a ∈ 𝐤$.

\begin{exercice2}
Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
\end{exercice2}

\begin{proposition2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}
Soit $K$ un corps global.
Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$.
Le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
est un isomorphisme. De plus, $K$ est orthogonal à lui-même :
si $x ∈ K_𝐀$ et $ψ(λ x)=1$ pour tout $λ ∈ K$, on a $x ∈ K$.
\end{proposition2}

Un mot sur la terminologie : le caractère $ψ$
induit une application linéaire de $𝐙$-modules
$K_𝐀 ⊗_𝐙 K_𝐀 → 𝐂^×$, $x ⊗ y↦ ψ(xy)$. L'ensemble
orthogonal considéré dans l'énoncé n'est autre
que l'ensemble $K^⊥$ relativement à cet
accouplement.

\begin{démo}
Si $K$ est $𝐐$ ou un corps $𝐤=𝐅_p(t)$ ($p>0$), cela résulte
de ce qui précède. Montrons que maintenant que le théorème
il est vrai pour tout corps $L$ étale sur un corps $K$
comme précédemment.
D'après \ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1},
cela permettra de conclure.
Si $ψ_{K}$ est un caractère additif non trivial de $𝐀_{K}$
(resp. et trivial sur $K$), il résulte de \ref{adèles et cb}
que le caractère $ψ_L=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo 𝐀_{K}}$ est également
non trivial (resp. et trivial sur $L$).
Si $ψ_L(a L_𝐀)=\{1\}$, et $a_x ≠ 0$ ($x$ place de $K$)
on a $ψ_{K,x}(K_x)=\{1\}$ (car $\Tr_{L_x \bo
K_x}(L_x)=K_x$), ce qui est absurde. (Cf. calculs
explicites ci-dessus : le niveau des $ψ_{K,x}$ est fini.)
Ainsi $a=0$ et $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$ est donc injective.
La surjectivité résulte formellement du fait
que $L_𝐀 = K_𝐀^n$ (car si l'on note $b↦ (b₁,…,b_n)$
cet isomorphisme, il existe des $a_i$ dans $K_𝐀$
tels que $ψ(b)=ψ_K(⟨a,(b₁,…,b_n⟩)$) et que toute forme $K_𝐀$-linéaire
$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
Orthogonalité : il existe pour chaque $i$, un $l_i
∈ L$ tel que $\Tr(a l_i K)=a_i K$. En conséquence,
si $ψ_K ∘ \Tr (aL)=\{1\}$, on a $ψ_K(a_iK)=\{1\}$
d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$.
\XXX détailler cette esquisse.
\end{démo}

Corollaire (?) : \XXX

\begin{proposition2}
\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
et $ω$ une forme différentielle non nulle.
Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_x)=\{1\}$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
\end{démo}

\begin{remarque2}
Dans le cas des corps de fonctions, on
peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
% cf. Tate, cours à Harvard.
\end{remarque2}

\subsubsection{}
Nous allons maintenant considérer le dual
du groupe abélien compact $K_𝐀 ∕ K$ des classes
d'adèles. La surjection $K_A ↠ K_𝐀 ∕ K$ induit
une injection $\chap{K_𝐀 ∕ K} ↪ \chap{K_𝐀}$ dont l'image
est constituée des caractères de $K_𝐀$ triviaux sur $K$.
Dorénavant, nous identifierons souvent (et sans commentaire) $\chap{K_𝐀 ∕ K}$ à son image
par cette injection. Soit $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀$,
trivial sur $K$. On en déduit un morphisme $K → \chap{K_𝐀 ∕ K}$.
Il résulte formellement du l'égalité $K^⊥=K$
que ce morphisme est un isomorphisme.
% injectivité triviale.
% surjectivité : écrire un tout petit truc.
Ainsi :

\begin{corollaire2}
\label{dual des classes de adèles}
Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
Le morphisme canonique $K ⥲ \chap{K_𝐀/K}$, $λ↦ [× λ]^* ψ$
est un \emph{isomorphisme}.
\end{corollaire2}

\begin{corollaire2}
\label{caractères séparent les points}
Soit $K$ un corps global. Les caractères
du groupe abélien compact $K_𝐀∕K$ \emph{séparent les points} :
pour toute paire $x,y ∈ K_𝐀∕K$ de points distincts,
il existe un caractère $ψ_{x,y} ∈ \chap{K_𝐀∕K}$ tel que
$ψ_{x,y}(x) ≠ ψ_{x,y}(y)$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Par translation, on peut supposer $y=0$.
Soit $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
D'après le corollaire précédent, il faut montrer
qu'il existe un $λ ∈ K$ tel que $ψ(λ x) ≠ 0$.
Ceci résulte du fait que $x ∉ K$ et de l'égalité
$K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}).
\end{démo}

\subsubsection{Transformation de Fourier sur $K_𝐀$}
\label{définition Fourier adélique}
Soit $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
sur $K$. Il résulte de ce qui précède
que les niveaux $n(ψ_x)$ sont nuls pour presque tout $x$.
Notons $ℱ_{ψ_x}$ les transformées de Fourier
locales auto-duales (\ref{Fourier et mesure locaux}).
Pour chaque fonction $f=⊠′_x f_x$ produit externe restreint
comme en \ref{Bruhat-Schwartz adélique},
il résulte de \emph{loc. cit.} que les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$
sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_x}$
et induisent donc une fonction $ℱ_ψ(f)=⊠′_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sur $K_𝐀$.
De plus, chaque $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient à $𝒮(K_x)$
(\emph{loc. cit.}, (i)) si bien que $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$.

\XXX Si l'on note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=\colim μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ la mesure de Radon sur $K_𝐀$ déduite
des $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$, définie par
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}(f)= ∫_{K_𝐀(U)} f_U μ^{\mbox{\minus $+$}}_U,
\]
où [...] (cf. \ref{mesure produit-colimite}).

On a bien sûr l'égalité
\[
ℱ_ψ(f)(t)=∫_{K_𝐀} f ψ_t   dμ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où
$ψ_t=[× t]^* ψ$.

\begin{exemple2}[Cas du corps des nombres rationnels]
Considérons :

— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$ ;

— un élément $N∈ 𝐙-\{0\}$ ;

— un élément $o$ un élément de $𝐐$.

Alors,
\[
ℱ_{ψ_𝐐}(f^∞ ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^∞) \big) ⊠
\big( [×o]^* ψ_𝐐^{≠ ∞} 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big),
\]
où $ψ_𝐐^{ ≠ ∞}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
$\chap{𝐙}=\lim_P 𝐙/P ⥲ ∏_p 𝐙_p$.
Cela résulte immédiatement de l'égalité
$𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
de \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii), et de la formule du produit
$∏_p |N|_p=1/|N|$.

On peut déduire de cette expression une \emph{formule
de Poisson adélique}
\[
∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ)
\]
qui sera généralisée ci-dessous (\ref{Fourier adélique} (iii)).
Par linéarité, on peut supposer $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ comme
ci-dessus. Compte tenu de ce qui précède, il nous faut
vérifier l'égalité
\[
∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^∞(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o) \chap{f^∞}(λ)
\]
qui résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
appliquée à la fonction $φ(λ)=f^∞(N λ + o)$, dont la transformée
de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^∞}(\frac{λ}{N})$.
\end{exemple2}


\begin{exemple2}[Cas du corps des fonctions rationnelles]
Considérons :

— une fonction $f^∞ ∈ 𝒮(𝐅_p((t^{-1}))=𝒮(𝐤_∞)$ ;

— un élément $N ∈ 𝐅_p[t]-\{0\}$ ;

— un élément $x$ un élément de $𝐤$.

On a alors comme ci-dessus l'égalité
\[
ℱ_{ψ_𝐤}(f^∞ ⊠ 𝟭_{x+N \chap{𝐅_p[t]}})=
\big( \frac{1}{p^{\deg(N)}} ℱ_{ψ_∞}(f^∞) \big) ⊠
\big( [×x]^* ψ_𝐤^{ ≠ ∞} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
\]
où $ψ_𝐤^{ ≠ ∞}=(ψ_{𝐤_x})_{x ≠ ∞}$ désigne le caractère additif
du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$,
et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲  ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$.
Bien entendu les formules de \emph{op. cit.}
permettent également le calcul, par dévissage,
de $ψ_{ψ_∞}(f^∞)$. On a notamment
$ψ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= q^½ [× ϖ_∞]^* 𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]}$
On en tire en particulier que $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_𝐤})(0)=μ_{ψ_𝐤}(𝒪_𝐤)$
est égal à $q^½$. Ce résultat sera généralisé
en \ref{mesure quotient adélique}. [\XXX rapport pas si clair.]


Dans ce cas, la formule de Poisson adélique est moins immédiate.
La méthode esquissé ci-dessus dans le cas du corps des
rationnels nous ramène en effet au théorème
de Riemann-Roch énoncé ci-après. [à vérifier/détailler] \XXX
\end{exemple2}

\subsection{Formules d'inversion et de Poisson}

Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorème suivant.

\begin{théorème2}
\label{Fourier adélique}
\XXX
Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$.
\begin{enumerate}
\item Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associées
aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$. Elle est indépendante
de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus
$+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀/K)=1$.

\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
\item  Pour $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
\[
∑_{λ ∈ K} f(λ)=∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ).
\]
\item \label{Poisson-Riemann-Roch}
Pour tout idèle $ι$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
on a :
\[
∑_{λ ∈ K} f( λ ι )=\frac{1}{|ι|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /ι).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item
Le fait que la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
de $ψ$, qui est un corollaire du théorème précédent, résulte
immédiatement des calculs locaux (\ref{Fourier et mesure locaux}),
de la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}) et
la formule du produit (\ref{formule du produit}).
Prendre garde de ne pas confondre la mesure de Tamagawa
avec la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures Tamagawa locales}.
\item
Notons que le terme de droite de (iii) dépend \emph{a priori} du
choix de $ψ$ (car il en est ainsi de $ℱ_ψ(f)$), contrairement au terme de gauche.
Or, il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} et de la formule
du produit que si $a ∈ K^×$, on a $ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$.
L'indépendance du terme de droite en résulte aussitôt.
\end{enumerate}
\end{remarques2}

\subsubsection{Démonstration du (ii)}

Résulte immédiatement de la définition \ref{définition Fourier adélique}
 et de la proposition \ref{Fourier et mesure locaux} (iv)-(v).

\subsubsection{Démonstration du (iii) : préliminaires}
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
Vérifions le fait suivant :
\begin{quote}
La somme de fonctions $a ∈ K_𝐀 ↦  ∑_{λ ∈ Γ} f(a+λ)$ converge uniformément
sur $C$.
\end{quote}

❧ Cas de la caractéristique $p>1$.
Quitte à agrandir $C$, on peut supposer que $C$ contient
le support de $f$ et est de la forme
$∏_{v ∈ S} K_v × ∏_{v ∉ S} 𝒪_v$, où $S$ est un ensemble fini
contenant les places archimédiennes (cf. \ref{} \XXX).
Pour chaque $v ∈ Σ(K)$, notons $C_v$ la projection de $C$
sur $K_v$ et $C_v^{\Supp} ⊆ K_v$ le support de $f_v$
si $v ∈ S$ et $𝒪_v$ sinon. Enfin, posons $C^{\Supp}=∏_v C_v^{\Supp}$ ;
c'est un compact contenu dans $C$. (On utilise ici l'hypothèse
faite sur $K$.) La fonction $f$ est nulle hors de $C^{\Supp}$. Il en résulte
que chaque terme $f(a+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être
si $λ ∈ K ∩ (C + {\traitdunion}C^{\Supp})$, où $C+ {\traitdunion}C^{\Supp}$ désigne
l'image (compacte) de l'application $C×C → K_𝐀$, $(a,b)↦ a-b$.
L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie},
la somme considérée est, restreinte au compact $C$, également finie
et le résultat en découle aussitôt.

❧ Cas ultramétrique.
D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
$f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{o+n𝒪}$, avec $o ∈ K$ et $n=∏_x ϖ_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
Lorsque $a$ appartient à $C$, les termes $f(a+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-être si
$λ ∈ K ∩ \big((o+n 𝒪) +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans
$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}=K_𝐀(Σ^{\mathrm{arch}})$.
L'application $λ↦ o+n λ$ (resp. $C^{\mathrm{ultr}}↦ o+n C^{\mathrm{ultr}}$)
étant une bijection de $K$ dans $K$ (resp.
de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$),
on peut supposer que $o=0$ et $n=1$.
Comme $|f^{\mathrm{ultr}}| ≤ 1$,
il suffit donc majorer la somme :
\[
a^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}})} |f^{\mathrm{arch}}(a^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|,
\]
où $λ^{\mathrm{ultr}}$ désigne l'image de $λ$
dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{v ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_v ≃ 𝐑^{r_𝐑+2 r_𝐂}$.
Tout compact de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ étant contenu dans
l'image de $𝒪$ par une homothétie de rapport dans $K$,
on peut de même supposer le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ contenu dans $𝒪$
de sorte que $𝒪 +{\traitdunion}C^{\mathrm{ultr}}$ est contenu dans $𝒪$.
Or, on a vu en \ref{cocompacité} (ii) que le sous-groupe
$K ∩ 𝒪 = 𝒪_K(…)$ est naturellement un réseau dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$.
Il suffit donc de démontrer le fait suivant :
\begin{quote}
Soient $N$ un entier, $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$ et $Λ ≃ 𝐙^N$ un réseau
de $𝐑^N$. La somme $∑_{λ ∈ Λ} φ(x+λ)$ est uniformément convergente
sur tout compact.
\end{quote}
La démonstration de ce fait, bien connu, est laissée
en exercice au lecteur.

% références : Weil [BNT, p. 111], Bump. p. 278.

\subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin}
Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$
et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$. Munissons $G$ d'une mesure
de Haar et $X$ de la mesure quotient $\dot{μ}$ associée (\ref{mesure quotient}, \ref{domaine fondamental}).
Soient $f$ comme dans l'énoncé et $F : X → 𝐂$ la fonction continue
déduite de
\[
g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
\]
par passage au quotient. Posons $v_μ=\dot{μ}(X)$
Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée (\ref{} \XXX)
de l'espace de Hilbert $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
Il résulte d'autre part de \ref{caractères séparent les points} et du
théorème de densité de Stone-Weierstraß (\BourbakiTG{X.§4, th. 3})
que toute fonction de $𝒞(X,𝐂)$ peut être uniformément approchée
par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$ :
la famille des caractères (continus) de $X$ est donc une
\emph{base hilbertienne} de $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
On peut donc écrire, dans cet espace,
\[
F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x},
\]
où $(c_∙(F)) ∈ ℓ²(\chap{X})$.
Nous allons montrer que cette famille de coefficients appartient
à $ℓ¹(\chap{X})$, de sorte que la décomposition précédente
est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$
et, en évaluant en l'identité $0$ de $X$,
\[
∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F).
\]
Calculons.
\[
c_{\chap{x}}(F)
=v_μ ^{-1} ∫_X F(\dot{g}) \sur{\chap{x}(\dot{g})} d \dot{μ}(\dot{g})
=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ(g)
=v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}),
\]
où la dernière égalité est une définition du terme de droite.

Considérons maintenant le cas où $μ=μ_ψ$ et reprenons les notations de l'énoncé.
Rappelons que d'après \ref{dual des classes de adèles},
chaque caractère $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour
un unique $λ ∈ K$. Par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
\[
ℱ_μ(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)
\]
Comme on l'a vu \emph{loc. cit.}, $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$ 
de sorte que, d'après \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
$λ↦   ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$.
On a donc montré l'égalité
\[
∑_λ f(λ) = v_μ ^{-1} ℱ_ψ(f)(λ)
\]
pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
Il résulte immédiatement de la formule d'inversion (ii)
et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $v_μ ^{-2} =1$ d'où $v_μ=1$
car $v_μ$ est positif. Ceci démontre la formule de Poisson et (i).

(iv) Résulte immédiatement de (iii) et des formules
$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX


\begin{remarque2}
Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II}.
\XXX
\end{remarque2}

\subsection{Le théorème de Riemann-Roch pour les corps de fonctions algébriques}

\subsubsection{}
\label{définition classe canonique}
Soient $K$ un corps global de
caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}).
Il résulte de \ref{dual des classes de adèles},
de la formule $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$
et de \ref{définition Pic} que la classe
de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle
\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
notera $𝔠$.

\subsubsection{}
\label{Poisson implique RR}
Considérons la fonction caractéristique $\mathbf{1}=⊠′ _x \mathbf{1}_{𝒪_x}$
(cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) du sous-anneau compact maximal $𝒪_𝐀=∏_x 𝒪_x$ de $K_𝐀$.
Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
ℱ_ψ(\mathbf{1})
= ⊠′_x \big( q_x^{½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big)
= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}.
\]
Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
\[
∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀\big).
\]
Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur
$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$.
(Noter le signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$
sa dimension sur $k$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.

De même,
\[
∑_{λ ∈ K} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(λ/i)= \# \{ λ ∈ K:
\div(λ) ≥ 𝔞-𝔠\}=\# L(𝔠-𝔞).
\]

Appliquant la formule \ref{Poisson-Riemann-Roch} du théorème \ref{Fourier adélique}
à la fonction $𝟭$ et à l'idèle $ι$ et constatant que
$|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, on obtient
l'égalité
\[
q^{l(𝔞)}=q^{\deg(𝔞)}q^{-½\deg(𝔠)}q^{l(𝔠-𝔞)}.
\]

Toute classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$ étant
de la forme $\div(ι)$ pour un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$,
on en déduit le théorème fondamental suivant.

\begin{théorème2}[Riemann-Roch]
\label{Riemann-Roch}
Soient $K$ un corps global de caractéristique \mbox{$p>0$},
$k$ son corps des constantes, et $𝔠 ∈ \Pic_K$
la classe canonique. Pour tout classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$,
on a l'égalité
\[
l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-g+1,
\]
où $g=½\deg(𝔠)+1$ est un entier appelé \emph{genre} \index{genre} de $K$
et
\[
l(𝔞)=\dim_k \{f ∈ K: \div(f) ≥ -𝔞\}.
\]
\end{théorème2}

La principale application que nous ferons de ce théorème
est la démonstration de la rationalité de la fonction
zêta d'une courbe algébrique sur un corps fini, cf.
\emph{infra}.

\begin{remarque2}
Le théorème précédent est valide sous des hypothèses plus
générales. Voir \cite[I.§2]{AAF@Lang} et \cite[II.nº9]{GACC@Serre}
pour le cas des corps de fonctions sur un corps algébriquement clos,
et \cite[p. 101]{BNT@Weil} pour une remarque sur une approche
semblable à celle suivie ici.
% Et peut-être même que le cas des corps finis entraîne le
% cas général… ? \XXX
\end{remarque2}

\begin{exemple2}
\label{genre droite affine}
$g_{𝐅_p(t)}=0$. \XXX
% cf. p. ex Rosen, p. 49
% via forme différentielle ou bien calcul fonction zêta ;)
\end{exemple2}

\subsection{Calculs de volumes}

\subsubsection{Idèle différentiel}
\label{idèle différentiel}
Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère de $K_𝐀∕K$.
Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux}
que pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, il existe
un élément (non canonique) $d_{ψ,x} ∈ K_x^×$
tel que
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}.
\]
Lorsque $x$ est ultramétrique,
ceci se produit si et seulement si
la valuation $x(d_{ψ,x})$ est égale au niveau $n_x(ψ_x)$.
Dans ce cas, on a la formule
\[
ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* 𝟭_{𝒪_x},
\]
ou encore
\[
𝒪_x^{⊥}= d_{ψ,x}^{-1} 𝒪_x,
\]
où $𝒪_x^{⊥}=\{ f ∈ K_x: ψ_x(f 𝒪_x) =\{1\}\}$
est l'orthogonal relativement à l'accouplement défini
par $ψ_x$.
En particulier, $|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x
∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \emph{idèle différentiel attaché à $ψ$},
\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.

\subsubsection{}Lorsque la place $x$ est archimédienne,
il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} (v)
et que l'on peut prendre pour $d_{ψ,x}$ l'unique
élément de $K_x^×$ tel que $ψ_x=[× d_{ψ,x}]^* 𝐞_{K_x}$.
(Le caractère $𝐞_{K_x}$ est défini en \ref{caractère corps local}.)

\subsubsection{}
\label{Tamagawa et idèle différentiel}
Par construction, on a l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
En particulier, le module $|d_ψ|$ ne dépend pas du choix de $ψ$ ;
on le notera dorénavant $|d_K|$.
Il résulte des calculs effectués en \ref{Poisson implique RR}
et, en caractéristique nulle, de la proposition \ref{niveau et différente}
— car on peut supposer $ψ=𝐞_K$ — que l'on a :
\[
|d_K| =
\begin{cases}
\displaystyle |𝔡_K|^{-1}    & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0.
\end{cases}
\]

\subsubsection{}
\label{Fourier de 1}
Lorsque $K$ est un corps de fonctions, on a
\[
ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭,
\]
où $𝟭$ est la fonction introduite en \ref{Poisson implique RR}.
Elle s'obtient à partir de son analogue local par produit.
Cette formule est également valable dans le cas des corps de nombres
si l'on considère la fonction
\[
𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
Il suffit pour cela d'établir l'égalité, pour chaque place
archimédienne $x$ de $K$ : $ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$.
D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère},
on peut supposer $ψ_x=𝐞_{K_x}$, de sorte qu'il faut montrer
l'égalité
\[
\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big)
=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big)
\]
et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=g_𝐂$.

\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
Compte tenu de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$,
il résulte \ref{Tamagawa et idèle différentiel} que l'on a :
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
=
\begin{cases}
\displaystyle √{|𝔡_K|}    & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0.
\end{cases}
\]

Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.

\subsubsection{Analogue multiplicatif}

[...]

\begin{théorème2}
Si $K$ est un corps de nombres,
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(K^{×,=1}_𝐀 /K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
\]
sinon
\[
\frac{h}{w=q-1}
\]
\end{théorème2}

Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé) ou
[Tate, cours à Harvard 2006]. (Il manque peut-être une
puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)

\section{Fonctions zêta}

\subsection{Fonctions zêta de Dedekind : définitions}

\subsubsection{}
\label{définition zêta Dedekind}
Soit $K$ un corps global. Notons $|d_K|$ la norme d'un idèle
différentielle (\ref{idèle différentiel}) et, le cas
échéant, $q$ le cardinal du corps des constantes.
Les fonctions zêta suivantes jouent un rôle essentiel
dans l'étude de l'arithmétique de $K$.
La plus célèbre est la \emph{fonction zêta de Dedekind}
\index{fonction zêta de Dedekind}
\[
ζ_K(s)= ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} \frac{1}{1-q_x^{-s}}
\]
où $x$ parcourt les places \emph{ultramétriques} de $K$
et $q_x$ — aussi noté $N(x)$ — désigne le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_x/𝔪_x$.
% vérifier notations ci-dessus \XXX
Notons que $ζ_K(s)=∏_{x ∈Σ^{\mathrm{ultr}(K)}} ζ_{K_x}(s)$
où $ζ_{K_s}=…$. [choisir un caractère ?] cf. \ref{calcul
explicite intégrale quasi-caractère I} \XXX

\subsubsection{}Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s},
\]
où $𝔞$ parcourt les idéaux non nuls de l'anneau des entiers $𝒪_K$,
et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K ∕ 𝔞$.
(Pour une définition générale de la fonction zêta de Hasse,
cf. \refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}.)

En effet \XXX.

Dans ce cas, il est également naturel de considérer la
fonction zêta étendue aux places archimédiennes :
\[
\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s) × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
ζ_{K_x}(s) = ζ_K(s) ζ_𝐑(s)^{r_𝐑} ζ_𝐂(s)^{r_𝐂},
\]
où $K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe à $𝐑^{r_𝐂}× 𝐂^{r_𝐂}$ et les fonctions
zêta archimédiennes sont comme en \ref{fonction zêta
archimédienne}. On étend cette notation au
cas de la caractéristique positive en posant
$\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$, ou encore : $r_𝐑=r_𝐂=0$.

\subsubsection{}Si $K$ est un corps de fonctions, extension finie
de $𝐅_p(t)$, on a également
\[
ζ_K(s)=ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x | ∞} ζ_{K_x}.
\]
À titre d'exemple, considérons le cas où $A=𝐅_p[t]$.
On a
\[
ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}
=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}},
\]
où $|f|=p^{-\deg(f)}$ et $𝒫_p$ est l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$. Comme expliqué plus haut (dans un cas plus général),
l'égalité entre la somme et le produit eulérien
est une conséquence immédiate du fait que tout polynôme unitaire se
décompose de façon unique (à l'ordre des facteurs près) en produit
de polynômes unitaire irréductibles.
Puisqu'il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$
dans $𝐅_p$, on a $ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_d
\frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$.
Comme $ζ_{K_∞}(s)=(1-p^{-s})$, on en déduit :
\[
ζ_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
\]

\begin{exercice2}
Déduire de l'égalité
\[
(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}
\]
la formule $p^n=∑_{d|n} d ⋅ \#𝒫_{p,d}$, où $𝒫_{p,d}=\{P ∈ 𝒫_p:\deg(P)=d\}$.
(Indication : on pourra poser $X=p^{-s}$ et considérer la dérivée
logarithmique relativement à $X$ des deux termes.)
Cette formule a été précédemment démontrée
en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
\end{exercice2}


\XXX

\subsubsection{}
\label{fonction zêta étendue}
Enfin, on pose :
\[
\chap{ζ}_K(s)=|d_K|^{½s} ⋅ \sur{ζ}_K(s).
\]
C'est cette fonction qui satisfait une équation
fonctionnelle (cf. \ref{} \emph{infra}).

\subsection{Exemples}

\subsubsection{Corps des rationnels}
La fonction zêta $ζ_𝐐$ du corps $𝐐$ est la fonction
zêta de Riemann\index{fonction zêta de Riemann}\footnote{Rappelons que cette
série a été considérée, du moins évaluée en les entiers
positifs, par Euler dès les années \oldstylenums{1730}
environ. Voir \cite{Euler@Kurokawa} pour un panorama
des résultats d'Euler. Domaine complexe ($\Re(s)>1$) : Čebyšev ; référence ? \XXX.}
\[
ζ(s)=∑_{n ≥ 1} n^{-s}=∏_p (1-p^{-s})^{-1}.
\]
% « Variae observationes circa series infinitas , théorème 8
% pour la formule du produit.
On a, par définition,
\[
\chap{ζ}_𝐐=ζ ⋅ Γ_𝐑
\]
et, comme on l'a vu en \ref{exemple Mellin réel},
\[
ζ(ψ,s)=ζ(2s) Γ(s) π^{-s}
\]
— le terme de gauche désignant la transformée de
Mellin définie en \ref{transformée Mellin réelle} —,
soit encore $\chap{ζ}_𝐐(s)=ζ(ψ,\frac{s}{2})$,
où $ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}$ et l'on suppose par exemple $s>1$.
Dans le paragraphe susmentionné, cette égalité est le point de départ
d'une démonstration classique de l'équation fonctionnelle
de la fonction zêta de Riemann (\ref{propriétés zêta Euler-Riemann}),
obtenue en appliquant la formule de Poisson réelle à $ψ$ (ou plutôt $θ=1+2 ψ$).
Nous verrons ci-après des généralisations (corps global quelconque)
de ce fait, démontrées par voie adélique.

L'intérêt de ces fonctions pour l'étude de la théorie des nombres
est connue depuis longtemps\footnote{Cf. Dirichlet,
« Sur l′usage des séries infinies dans la théorie des nombres », 1838
et Hadamard, « Sur la distribution des zéros de la fonction $ζ(s)$ et
ses conséquences arithmétiques » (1896). [Gallica].}.
Par exemple, l'existence d'un pôle
simple en $s=1$ de $ζ$ et l'existence du produit eulérien
entraîne l'égalité
\[
\text{« }∑_{p \text{ premier}} \frac{1}{p} = \log(∞) \text{ »}
\]
découverte par Euler, précisant ainsi le théorème d'Euclide sur
l'infinité des nombres premiers.
Nous en verrons de nombreux autres exemples dans les chapitres suivants.

\begin{exercice2}[Démonstration de $ζ(2k) ∈ π^k 𝐐$ par récurrence]
Soit $k ≥ 4$ un nombre pair. Considérons
la fraction rationnelle
\[
f_k(X,Y)=\frac{2}{X Y^{k-1}}+\frac{1}{X² Y^{k-2}} + \cdots +
\frac{1}{X^{k-2}Y²} + \frac{2}{X^{k-1} Y}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[
f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y)
=2 ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} \frac{1}{X^j Y^{k-j}}
\]
\item En déduire que
\[
\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j).
\]
\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=√{6 ζ(2)}$.
\item Montrer que
\[
∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= (1-¼)ζ(2).
\]
Vérifier que la substitution
$(x,y)=(\frac{\sin(u)}{\cos(v)},\frac{\sin(v)}{\cos(u)})$
a pour jacobien $(1-x²y²)$ et envoie le triangle
\[T=\{u,v ∈ 𝐑_{>0}: u + v < π/2\}\]
bijectivement sur l'intérieur du carré de sorte que
$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathrm{Aire}(T)$.
En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
\end{enumerate}
%Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la
%cohomologie de $\mathrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
%Calcul de $ζ(2)$ du à Calabi : cf. « Sums of generalized
%harmonic series and volumes », 1993.
\nocite{Sums@BCK}
\end{exercice2}

\subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles}
Il résulte de la factorialité de l'anneau $𝐅_p[t]$
que l'on a l'égalité :
\[
ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} N(f)^{-s}
\]
où $N(f)=p^{\deg(f)}$. Il en résulte que
\[
ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{d ≥ 1} p^d ⋅ p^{-ds}=(1-p^{1-s})^{-1}
\]
et finalement que
\[
ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})^{-1}ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}.
\]
Comme d'autre part $g_{𝐅_p(t)}=0$ d'où $|d_{𝐅_p(t)}|^½=p^{-1}$,
si bien que
\[
\chap{ζ}_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{p^{-s}}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})}=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}.
\]
Cette fonction est visiblement invariante par le changement
la transformation $s ↔ 1-s$, s'étend en une fonction
méromorphe sur $𝐂$ — c'est même une fonction rationnelle
en $p^{-s}$ — à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement
et ayant un résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
% colle bien avec le $-h_K/(1-q)$.

\subsubsection{$𝐐(i)$}
$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7

\subsection{L'équation fonctionnelle de la fonction zêta : énoncé}
\label{énoncé équation fonctionnelle zêta}
Objectif : démontrer le théorème suivant.

\begin{théorème2}
La fonction $ζ_K$ converge absolument pour $\Re(s)>1$.
Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$
et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction,
$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$
égal à … ou $-h_K/(1-q)$.
\end{théorème2}

Nous allons commencer par démontrer un énoncé de nature plus générale
(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}).
Méthode \textsc{Iwasawa-Tate} (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to
algebraic number theory », Colmez  (F.2.15),
et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.

\subsubsection{Mesures}
Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère additif non trivial de $K_𝐀/K$.
Rappelons que l'on note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar additives locales
(auto-duales) et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar multiplicatives locales
associées comme en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}.
La mesure de Haar additive globale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$
est indépendante de $ψ$ et est notée $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
(cf. \ref{Fourier adélique}). De même, la mesure de Haar multiplicative globale
$μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$
est indépendante de $ψ$. On la note naturellement $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$.
Notons que la décomposition en produit d'une mesure de Haar globale
n'est pas canonique, contrairement à la décomposition
de $ψ$ en $⊠_x ψ_x$, qui est unique.

\subsubsection{Esquisse}
Pour chaque signe de comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$
tels que $|ι| ? 1$. Soient $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$,
$ψ$ un caractère de $K_𝐀/K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$
la fonction valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$
et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
Considérons les fonctions zêta suivantes, obtenues par
transformation de Mellin :
\[
\begin{array}{rcl}
ζ_{≥ 1}(f,χ,s) &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}},  \\
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}, \text{ et enfin} \\
ζ(f,χ,s)       &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} =  ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s).
\end{array}
\]
%Quitte à remplacer $χ$ par un « translaté » $χ ω_s$, on peut
%supposer que $\Re(χ)=0$, c'est-à-dire que $χ$ est un \emph{caractère}.
Dans les deux premiers cas, on peut restreindre le domaine d'intégration à
$K^{×, ≥1}_𝐀$ et $K^{×, ≤1}_𝐀$ respectivement.

Lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres},
l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile car
la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
de $K^{×, =1}_𝐀$.

\subsubsection{}Ces intégrales définissent des fonctions holomorphe
sur $\Re(s)>1-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. Il suffit de considérer la transformée
de Mellin $ζ(f,χ,s)$ et de la comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via
Fubini [...] \XXX % p. ex., BNT, p. 119, prop. 10.
La transformée de Mellin tronquée $ζ_{≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe
sur $𝐂$ entier car plus $\Re(s)$ est petit, plus la fonction intégrée l'est.

\subsubsection{Exemple: la fonction constante $𝟭$}
\label{calcul zeta1khis}
Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où
$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈  K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des
caractères). Si par contre $χ$ est trivial
sur $K^{×,=1}_𝐀$, il provient d'un caractère de
$K^×_𝐀/K^{×,=1}_𝐀$ et est donc (\ref{quasi-caractères globaux}) de la forme
$ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$
on a :
\[
\begin{array}{rcll}
ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}}  & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
En effet, on trouve respectivement l'intégrale
\[
κ ∫_{𝐑>0} t^{s+σ} \frac{dt}{t}
\]
et la somme
\[
κ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big).
\]
(On utilise ici la surjectivité de $||: K^×_𝐀 → q^{𝐙}$.)
Notons que dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le
choix de $σ$ ; elle disparaît en évaluant $q^{-σ}$.
Le même calcul s'applique à $ζ_{ ≥1}(𝟭,χ,s)$.

\subsubsection{}La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$.
D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$.
Comme $c(λ ι)=c(ι)$ pour chaque idèle $ι$, la transformée de Mellin tronquée $ζ_{≤1}(f,χ,s)$ est égale à la somme
sur $λ ∈ K^×$ des intégrales de $f(λ ι) c(ι)χ(ι) |ι|^s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι)$
sur un domaine fondamental pour l'action de $k^×$ sur $K^{×, ≤1}_𝐀$
(\ref{mesure quotient par groupe discret}).
En ajoutant puis retranchant la contribution de $λ=0$, on trouve donc
\[
\begin{array}{rcl}
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = &  \displaystyle ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} \big( ∑_{λ ∈ K} f(λ ι) \big) cχω_s (ι)  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(ι) \\
 & & \displaystyle - f(0) ∫_{K^{×, ≤1}_𝐀 / K^×} cχω_s  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}.
\end{array}
\]
D'après la formule de Poisson \ref{Fourier adélique}-\ref{Poisson-Riemann-Roch},
on a donc, suite à un changement de variable $ι ↔ ι^{-1}$,
\[
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) =
ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s).
\]
Le terme de droite étant une fonction méromorphe,
il résulte de cette égalité que le terme de gauche,
\emph{a priori} méromorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$,
s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$.
Ces extensions sont notées de la même façon.

\subsubsection{}Il résulte de ce qui précède que la fonction méromorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$
est égale à
\[
\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)+
\big(ℱ_ψ(f,0)ζ_{≥ 1}(𝟭,\chap{χ},-s)-f(0)ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)\big)
\]
où le second terme, explicité en \ref{calcul zeta1khis} ci-dessus,
apparaît seulement si $χ$ est de la forme $ω_σ$, $σ ∈ i 𝐑$.
Il résulte de la formule d'inversion de Fourier, et du caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$,
que l'on a démontré le théorème suivant, analogue global du théorème
local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.

\subsubsection{}
Notons qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$.
En effet, $ℱ_ψ(f)(0)$ ne dépend pas de $ψ$ et $ℱ_ψ(f)$ est transformé
en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$. Or,
$ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$
et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative.

\begin{théorème2}
\label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d'adèles $K_𝐀/K$
et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
Soit $f$ une fonction dans $𝒮(K)$.
\begin{enumerate}
\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et définit une fonction
holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
ζ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s).
\]
\item La fonction $s↦ ζ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Elle satisfait l'équation fonctionnelle
\[
ζ(f,χ,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
\item Leurs résidus respectifs sont
\[
\begin{array}{rcll}
\mathrm{R\acute{e}s}_{- σ} ζ(f,ω_σ,s)	& = & κf(0)			& \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
					& = & κf(0)/\log(q)	& \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
et
\[
\begin{array}{rcll}
\mathrm{R\acute{e}s}_{1-σ} ζ(f,ω_σ,s)	& = & κℱ_ψ(f)(0) 			& \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
					& = & κℱ_ψ(f)(0)/\log(q)	& \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
\end{array}
\]
et ces pôles, simples, sont les seuls.
[$ω_{1-σ}$ \XXX]
En particulier, si ni $χ$ ni $\chap{χ}$ n'appartiennent
à $\{ω_{σ}: σ ∈ i 𝐑\}$, la fonction zêta $ζ(f,χ,s)$ est \emph{entière}.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item Rappelons que si $K$ est un corps de fonctions
(resp. un corps de nombres) l'ensemble des $σ$
comme en (iv) est un torseur sous $\frac{2 π i}{\log(q)}𝐙$
(resp. un singleton).
\item Notons également que la variable $s$ est en grande partie superflue : si l'on pose
$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$
et l'équation fonctionnelle prend la forme équivalente plus agréable
\[
ζ(f,χ)=ζ(\chap{f},\chap{χ}),
\]
où $\chap{f}$ désigne la transformée de Fourier relativement
au caractère $ψ$. Comme signalé en \ref{quasi-caractères=variété},
on pourrait considérer $χ$ comme variable, parcourant
la surface de Riemann des quasi-caractères de $K^×_𝐀/K^×$.
Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$.
\end{enumerate}
\end{remarques2}

\subsubsection{Fonctions $L$ (Hecke) ; fonctions zêta}
Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}  à
la fonction
\[
𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations
lorsque cela ne prête pas à confusion.
D'une part on a « formule de Riemann-Roch »
\[
ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭,
\]
où $ψ$ est un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ quelconque,
et d'autre part l'équation fonctionnelle
\[
ζ(𝟭,1,s)=ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s).
\]
Utilisant le fait que $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}= c_K μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$,
on a également :
\[
ζ(𝟭,1,s)= c_K^{±1} ∫ 𝟭 ... μ^{\mbox{\minus $×$}}₁=c_K^{±1} ∏_x ζ_x(𝟭_x,1,s)
\]
On applique alors \ref{Matchett}
pour obtenir :
\[
ζ(𝟭,1,s)=c_K^{±1} \sur{ζ}_K
\]
Enfin, $ζ([×d]^*f,χ)=χ(d)^{-1}ζ(f)$, d'où
$ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s)=|d_K|^{½-s} [...]ζ(𝟭,s)$
L'équation fonctionnelle pour $\chap{ζ}_K$ en résulte aussitôt.

\begin{lemme2}
\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\]
\end{lemme2}

\subsubsection{Cas des corps de fonctions}
Il résulte de la définition \ref{définition zêta Dedekind}, ou bien
du fait que $s↦ ω_s$ ne dépend que de $q^{-s}$,
que la fonction zêta d'un corps de fonctions $K$
s'écrit $ζ_K(s)=Z_K(q^{-s})$ où $Z_K$ est une fonction méromorphe sur $𝐂^×$.
Cette fonction satisfait les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $0$ et $q^{-1}$ ;
\item $Z_K$ a une limite, égale à $1$, en $0$.
\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
\end{enumerate}

Il résulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$ où $P$
est une fonction \emph{entière} telle que $P(0)=1$.
Elle satisfait la même équation fonctionnelle qu'en (iii). Il en résulte
aussitôt que $P_K$ est un \emph{polynôme}, de degré $2g_K$.
Vérifions les propriétés (i)--(iii). La première est une reformulation
de \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} (iv). La seconde
est conséquence du fait que $ζ_K(s) → 1$ lorsque $\Re(s) → + ∞$.
(iii) [...]

Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.

\begin{corollaire2}[Pôle simple en $1$]
\label{pôle simple en 1 cdn}
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}

Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].

\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}

\subsection{Le théorème de Minkowski}
Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃  𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la
$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.

\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
√{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}

\begin{corollaire2}
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
connexe alors $\ZZ⥲ A$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
%groupe de Picard.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
Soit
$$
A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
$$
le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d  \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
 \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.

Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n  f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
$$
on trouve :
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
& = 2\pi g_{r-1}(1)
\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
& = ... \\
& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
\end{array}
$$
Finalement,
$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
comme annoncé.
\end{démo}

\subsection{Le théorème de Riemann-Hurwitz}

\begin{théorème2}
\label{Riemann-Hurwitz}
Riemann-Hurwitz.
\end{théorème2}

(Cf. Lang ; Weil, VIII.§4.)

\begin{corollaire2}
\XXX
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée.
\end{corollaire2}

\subsection{Un théorème de Selmer}

\begin{proposition2}[Selmer]
\XXX
Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
$$
S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
$$
et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.

Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
qui n'est pas le cas.
Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$
est $𝔖_n$ tout entier.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
des entiers. Supposons que le nombre premier
$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors
ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
est le composé de tels corps.
Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$
est soit trivial soit engendré par une transposition.
Ainsi, le  groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif
de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
[facile].
\end{démo}

\section{Hypothèse de Riemann pour les courbes}
\label{HR courbes}

\subsection{Applications du théorème de Riemann-Roch}

Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
\XXX

Cf. Katz, « Lectures on Deligne's pfoof of the RH for
varieties over finite fields » (1973-74) et
\cite{Counting@Bombieri}.

\subsubsection{}[Blabla à déplacer]
$g$ mesure la complexité de la courbe :
$Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les $g$ premières
valeurs.

\subsubsection{}Extension des scalaires. Si $K\bo k$,
on note $k_d$ l'unique extension de degré $d$ de $k$
dans une clôture algébrique fixée et $K_{k_d}$ le \emph{corps}
$K ⊗_k k_d$ \XXX.

\begin{lemme2}
\[
Z(K_{k_d}\bo k_d,T)= ∏_{ζ ∈ μ_d(𝐂)} Z(K\bo k, ζT).
\]
\end{lemme2}

Il suffit donc de démontrer le théorème après extension
des scalaires.

\begin{lemme2}
Il suffit de démontrer l'existence de $A,B,N$
tels que
\[
|X(k_d)-(1+q^d)| ≤ A + B q^{d/2}.
\]
pour $d ≫ 0$ divisible par $N$.
\end{lemme2}

\subsubsection{}Réduction au cas où il existe un sous-corps $k(t)$
au-dessus duquel $K$ est galoisien.

[Élémentaire ; n'utilise *pas* astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$,
où $\Frob ′$ l'est pour une nouvelle structure. Voir
cependant Katz, pp. 31--34.]

\begin{théorème2}[Bombieri]
Soit $g ∈ \Aut(K\bo k)$, $φ=g^{-1} ∘ \Frob_q$.
Si $q=p^α$, $α$ paire et $q>(g+1)⁴$, alors
\[
♯ \Fix(φ) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}.
\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
Cf. [Katz]. Trois petites pages manuscrites de Riemann-Roch
[pour la courbe sur $\sur{𝐅_q}$] (un peu) + calculs + cas courbe = $𝐏¹$ + sorites sur $X → Y$ galoisien de groupe $G$.
Idée clef : produire une fonction qui va s'annuler à un ordre élevé (explicite) sur les racines (=points fixes
ici) et dont le degré sera borné explicitement. On utilise
pour cela de façon cruciale le Frobenius. La construction
d'une telle fonction repose sur le théorème de Riemann-Roch.
\end{démo}

\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}

\begin{théorème2}
\XXX
Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$.
Alors :
\[
\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s).
\]
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
\XXX
Courbe elliptique à multiplication complexe.
\end{remarque2}

Cf. cours à Hyères (2008).

Utilise :

— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;

— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;

— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle.

\section{Notes}

Pour la transformation de Fourier :
\cite{Bushnell-Henniart} (d'où on a tiré
la seconde démonstration de l'équation fonctionnelle locale), \cite{Bernstein-Zelevinski}, [Colmez, appendice F]
(notamment pour la formule de Poisson adélique). Pour
l'analyse harmonique, on trouvera de beaux survols
historiques dans \cite{scope@Mackey}.


\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi