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\title{Corps locaux, corps globaux}

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Corps locaux, corps globaux
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\chapter{corps locaux, corps globaux}
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\section{Corps locaux}

\subsection{PremiÚres définitions, notations}
\label{definition corps locaux}

\subsubsection{}
\label{corps topologique, corps local premier}
Un \textbf{corps topologique} \index{corps topologique} est un corps $K$
muni d'une topologie telle que les applications envoyant $(x,y) ∈ KÂČ$
sur $x+y$ (resp. $xy$) et $x ∈ K$ sur $-x$ (resp.
$x ∈ K^×$ sur $x^{-1}$) soient continues.
Une extension de corps topologiques
est un morphisme \emph{continu} $K → L$ de corps topologiques.
Par exemple, si $p$ est un nombre premier
ou le symbole $∞$, le corps $𝐐_p$ — avec la convention
\commentaire{Noter $𝐐_{\chap{p}}$, $𝐐_{\chap{∞}}$ ?}
que $𝐐_∞=𝐑$ — muni de la topologie associĂ© Ă  la norme
$|⋅|_p$ est un corps topologique. De mĂȘme, pour
chaque $p$ premier, le corps $𝐅_p((t))$ des sĂ©ries de Laurent
formelles est naturellement un corps topologique (cf.
\refext{AVD-D}{}). Nous appellerons \textbf{corps local premier} \index{corps local premier}
un corps topologique isomorphe Ă  l'un des corps
topologiques précédents.

\begin{théorÚme2}
\label{corps locaux conditions équivalentes}
Soit $K$ un corps topologique. Les conditions suivantes sont
équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $K$ est \emph{localement compact} non discret ;
\item $K$ est isomorphe (en tant que corps topologique) à $𝐑$, $𝐂$ ou bien au corps
des fractions d'un anneau de valuation discrĂšte $đ’Ș$ complet
à corps résiduel fini, équipé de la topologie déduite
de la valuation.
\item $K$ est une extension finie (en tant que corps
topologique) d'un corps local premier $K₀$.
\end{enumerate}
De plus :
\begin{itemize}
\item L'anneau $đ’Ș$ du (ii) est le plus grand sous-anneau
compact de $K$ et son idéal maximal est l'ensemble des
éléments $x$ de $K$ tels que $x^n$ tende vers $0$ lorsque $n$
tend vers $+∞$.
\item Le corps local premier $K₀$ du (iii) est \emph{fermĂ©}
dans $K$. Si $K$ est de caractéristique nulle (resp.
de caractĂ©ristique positive) il est unique : c'est l'adhĂ©rence de $𝐐$
(resp. il n'est pas unique).
\end{itemize}
\end{théorÚme2}

Ce théorÚme est démontré en \ref{CL conditions équivalentes
dĂ©mo}, oĂč l'on fait usage des rĂ©sultats des paragraphes qui
vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats établis
dans le chapitre précédent, la principale difficulté
est de munir un corps localement compact d'une valeur absolue.
Celle-ci sera construire via la théorie de l'intégration
(mesure de Haar).

\subsubsection{}On appelle \textbf{corps local}
un corps topologique satisfaisant les conditions
équivalentes précédentes. Il est dit archimédien
s'il est isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$ et
\textbf{ultramétrique}, ou \textbf{non archimédien},
dans le cas contraire.

\subsubsection{}Lorsque $K$ est un corps local
ultramĂ©trique, on notera en gĂ©nĂ©ral $đ’Ș$ son
sous-anneau compact maximal, appelé \textbf{anneau des
entiers}, $đ”Ș$ l'idĂ©al maximal de $đ’Ș$, $ϖ$ une uniformisante ($đ”Ș=(ϖ)$), $k$ le corps rĂ©siduel $đ’Ș/đ”Ș$
et enfin $q$ le cardinal de $k$. L'uniformisante est bien dĂ©finie Ă  multiplication par une unitĂ© $u ∈ đ’Ș^×$ prĂšs.
On appelle \textbf{valeur absolue normalisĂ©e}, notĂ©e $|⋅|_K$ l'unique valeur
absolue $K → 𝐑_{+}$ telle que $|ϖ|_K=\frac{1}{q}$.
Lorsque $K=𝐑$ (resp. $𝐂$), la valeur absolue normalisĂ©e $|⋅|_K$ est la valeur absolue usuelle
(resp. $z ↩ z \sur{z}$, c'est-Ă -dire le carrĂ© de la norme usuelle).
On note Ă©galement $|⋅|_p$ la valeur absolue normalisĂ©e $|⋅|_{𝐐_p}$ ;
cette convention est Ă©tendue au cas oĂč $p=∞$. (On rappelle que $𝐐_∞=𝐑$.)

\subsection{Mesures}
\label{généralités sur mesures}

\subsubsection{}On procÚde dans un premier temps à quelques rappels et compléments
de théorie de l'intégration. Le niveau de généralité de ces
rappels est justifié par l'usage qui en sera fait dans la
théorie des corps globaux (analyse sur les adÚles).
Le lecteur est invité à consulter par exemple \BourbakiINT{chap. VII},
ou \cite{Integral@Nachbin} qui en reprend
les points essentiels, pour plus de détails.

\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique localement
compact : $X$ est séparé et que tout point possÚde un voisinage compact.
Cette hypothÚse permet de démontrer des variantes du
théorÚme de séparation d'Urysohn\footnote{Notons qu'un espace topologique
localement compact n'est pas nĂ©cessairement « normal » ($T₄$) ; il est cependant
« complĂštement rĂ©gulier » ($T_{3+œ}$).}.
Soit $𝐊$ le corps $𝐑$ ou $𝐂$. Pour tout
compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C;𝐊)$ l'ensemble des fonctions continues
sur $X$ à valeurs dans $𝐊$ et à support contenu dans $C$. C'est un
espace topologique normĂ© par $‖ f ‖_C =\sup_{x ∈ C} |f(x)|$.
L'ensemble $𝒞_c(X;𝐊)=⋃_C 𝒞_c(X,C;𝐊)$ — oĂč l'union
est prise dans l'ensemble des fonctions continues Ă 
valeurs dans $𝐊$ sur $X$ — des fonctions à support compact
est donc naturellement muni de la topologie colimite (ou
union). Explicitement : $f_n → f$ si et seulement si il existe un compact $C$
et un entier $N>0$ tel que les fonctions $f$ et $f_n$ pour $n ≄ N$ appartiennent à $𝒞_c(X,C;𝐊)$
et que la suite $(f_n)_{n ≄ N}$ tende vers $f$ dans $𝒞_c(X,C;𝐊)$.
Observons que l'espace $𝒞_c(X;𝐊)$ muni de la norme
$‖f‖=\sup_{x ∈ X} |f(x)|$ n'est \emph{pas} complet en
gĂ©nĂ©ral. (Si $X=𝐑$, son adhĂ©rence dans l'ensemble des
fonctions continues bornées est l'ensemble des fonctions
tendant vers zéro à l'infini.)

\subsubsection{}
\label{mesure de Radon}
On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
une forme linĂ©aire continue $ÎŒ:𝒞_c(X;𝐂) → 𝐂$. La continuitĂ©
de $ÎŒ$ revient Ă  supposer l'existence, pour chaque
compact $C$ de $X$ d'une constante $M_C$ telle que pour
chaque $f ∈𝒞_c(X;𝐂)$ Ă  support dans $C$ on ait : $|ÎŒ(f)| ≀ M_C ‖f ‖_C$.
Le nombre $ÎŒ(f)$ est appelĂ© « intĂ©grale de $f$ par rapport à $ÎŒ$ »
et est Ă©galement notĂ© $∫f   dÎŒ$, $∫_X f(x)  dÎŒ(x)$, etc.
Une telle mesure est dite \textbf{positive}, si $ÎŒ(f)$ est rĂ©el dĂšs lors que $f$ est Ă  valeurs
rĂ©elles et si ce nombre est positif ou nul lorsqu'il en est de mĂȘme
des valeurs de $f$ ; cette derniĂšre condition Ă©tant notĂ©e : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.
(On peut montrer qu'une forme linĂ©aire positive sur $𝒞_c(X;𝐑)$
est automatiquement continue.)
Suivant le procédé usuel, on étend une telle mesure :
\begin{itemize}
\item Ă  l'ensemble $ℐ_+(X)$ des fonctions rĂ©elles positives,
finies ou non, semi-continues infĂ©rieurement, sur $X$ en posant $ÎŒ^*(f)=\sup_{g ≀ f}
ÎŒ(g) ∈ \sur{𝐑}$, oĂč $g ∈ 𝒞_c(X)_+$ et $\sur{𝐑}$
est la droite achevĂ©e $𝐑 âˆȘ \{+∞\}$ ; puis
\item à l'ensemble des fonctions positives (finies ou non) sur $X$
en posant $ÎŒ^*(f)=\inf_{f ≀ g } ÎŒ^*(g) ∈ \sur{𝐑}$, oĂč $g ∈ ℐ_+(X)$.
Cette derniĂšre quantitĂ© est Ă©galement notĂ©e $∫^* f d ÎŒ$.
\end{itemize}
Cette \emph{intégrale supérieure} de fonctions positives
satisfait le thĂ©orĂšme de convergence monotone — c'est-Ă -dire
l'Ă©galitĂ© $ÎŒ^*(\sup_n f_n)=\sup_n ÎŒ^*(f_n)$ si
les fonctions $f_n$ sont positives croissantes — et ses
corollaires, dont le lemme de Fatou : $ÎŒ^*(\liminf_n f_n) ≀ \liminf_n ÎŒ^*(f_n)$
pour une suite non nécessairement croissante de fonctions.
Enfin pour une fonction numĂ©rique quelconque $f$ et $s ≄ 1$ un rĂ©el,
on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d ÎŒ$. Il rĂ©sulte de l'inĂ©galitĂ©
de Minkowski que l'on obtient ainsi une semi-norme
— donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne
d'ordre $s$) — sur l'espace des fonctions $f:X → 𝐂$ telles que $|f|_s<+∞$.
L'adhĂ©rence de $𝒞_c(X;𝐂)$ dans cet espace est notĂ©e $ℒ^s(X)$.
On note $L^s(X)$ l'espace séparé (normé) associé ; c'est un
\emph{espace de Banach} (théorÚme de Riesz-Fischer).
L'inĂ©galitĂ© $|ÎŒ(f)| ≀ |f|₁$, valable pour $f ∈ 𝒞_c(X)$,
permet d'Ă©tendre $ÎŒ$ par continuitĂ© en une forme linĂ©aire continue,
Ă©galement notĂ©e $ÎŒ$ ou $∫_X d ÎŒ$, sur $ℒÂč(X)$. Pour les fonctions
intĂ©grables, c'est-Ă -dire dans $ℒÂč(X)$, cette extension coĂŻncide
bien sĂ»r avec $ÎŒ^*$.

\subsubsection{Mesure produit}
\label{Radon produit}
\paragraph{Produit fini}Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques localement compacts
munis de mesures de Radon $Ό_X$ et $Ό_Y$.
On vĂ©rifie sans difficultĂ© (\BourbakiINT{III.§4.1}) que le sous-espace $𝒞_c(X,𝐂) ⊠ 𝒞_c(Y,𝐂)$ des fonctions
de la forme $f ⊠ g:(x,y)↩ f(x)g(y)$ est dense
dans $𝒞_c(X×Y,𝐂)$ et que la forme linĂ©aire
$f ⊠ g↩ ÎŒ_X(f)ÎŒ_Y(g)$ s'Ă©tend en une mesure de Radon,
notĂ©e $ÎŒ_X ⊠ ÎŒ_Y$ sur $X×Y$. Plus gĂ©nĂ©ralement,
on définit le produit d'un nombre fini de mesures de Radon.

\paragraph{Produit infini de compacts}
Soient $(X_s)_{s ∈ Σ}$ une collection d'espaces topologiques compacts
munis de mesures de Radon positives $Ό_s$. On suppose la famille
de rĂ©els $ÎŒ_s(𝟭_{X_s})$ \emph{multipliable}, oĂč $𝟭_{X_s}$ dĂ©signe
la fonction caractéristique de $X_s$.
Pour chaque sous-ensemble fini $S$ de $Σ$ et chaque fonction
continue $f_S$ sur $∏_{s ∈ S} X_s$, notons $f_S ⊠ 𝟭$
la fonction « ne dépendant que d'un nombre fini de variables »
\[
f_S ∘ \big(∏_{s ∈ Σ} X_s \dessusdessous{\pr_S}{↠} ∏_{s ∈ S} X_s\big),
\]
oĂč $\pr_S$ dĂ©signe la projection Ă©vidente. Il rĂ©sulte
du thĂ©orĂšme de Stone-Weierstraß que ces fonctions forment
un sous-$𝐂$-espace vectoriel dense de $𝒞_c(∏_{s ∈ Σ} X_s,𝐂)$.
On vĂ©rifie par rĂ©duction au cas oĂč $ÎŒ_s(𝟭_{X_s})=1$
(cf. \BourbakiINT{III.§4.6}) qu'il existe une unique mesure de
Radon $ÎŒ$ sur $∏_{s ∈ ÎŁ} X_s$ telle que
\[
ÎŒ(f_S ⊠ 𝟭)=(\bigboxtimes_{s ∈ S} ÎŒ_s) (f_S) × ∏_{s ∉ S} ÎŒ_s(𝟭_{X_s}).
\]

\subsubsection{Mesure des ensembles}
\label{mesure des ensembles}
On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
de la mesure en posant, pour toute partie $E ⊆ X$ : $ÎŒ^*(E)=ÎŒ^*(𝟭_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
oĂč $𝟭_E$ dĂ©signe la fonction caractĂ©ristique de $E$. C'est la \textbf{mesure extĂ©rieure}
de l'ensemble $E$. Elle coïncide avec la borne inférieure
des mesures extérieures des ouverts contenant $E$. (Noter
que la fonction caractéristique d'un ouvert est
semi-continue inférieurement, c'est-à-dire appartient
à $ℐ_+(X)$.) On vĂ©rifie que les ensembles compacts, et plus gĂ©nĂ©ralement
les ensembles relativement compacts sont de mesure extérieure finie.
Prendre garde au fait que l'intégrabilité de la fonction
caractĂ©ristique $𝟭_E$ d'un ensemble $E$ est \emph{a priori}
plus forte que la seule finitude de sa mesure extérieure :
on dĂ©montre que $E$ est intĂ©grable — c'est-Ă -dire $𝟭_E ∈ ℒÂč(X)$ —
si et seulement si il existe pour tout $Δ>0$ un compact
$C_Δ ⊆ E$ tel que $ÎŒ^*(E-C_Δ) ≀ Δ$. On note $ÎŒ(E)=∫ 𝟭_E d ÎŒ$
la mesure d'un tel ensemble. On dit qu'un sous-ensemble $E$
de $X$ est \textbf{mesurable} (sous-entendu : relativement à $ÎŒ$) si pour tout compact $C$ de $X$,
l'intersection $E ∩ C$ est intégrable.

\subsubsection{}Considérons maintenant un \textbf{groupe topologique} $G$,
localement compact. (Groupe topologique : $GÂČ â†’ G$, $(x,y) ↩ x y^{-1}$
est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
sur $G$ une mesure (de Radon) $Ό$ non nulle et positive telle que pour tout
$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$ et tout $h ∈ G$, on ait l'Ă©galité :
\[
∫_G f   dÎŒ= ∫_G f_h   dÎŒ,
\]
oĂč $f_h(g)=f(h^{-1}g)$.
On peut montrer montrer que la continuité d'une telle forme
linĂ©aire est automatique. On prĂ©cise parfois que la mesure $ÎŒ$
est « \emph{invariante à gauche} ».

\subsubsection{}Tout groupe topologique localement
compact $G$ peut ĂȘtre muni d'une mesure de Haar,
unique Ă  un facteur multiplicatif non nul prĂšs. L'existence
est due Ă  Haar AlfrĂ©d — sous une hypothĂšse
restrictive dont s'est affranchi AndrĂ© Weil — et l'unicitĂ©
à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
invariante à droite, en un sens évident.
Nous présentons dans le paragraphe suivant une esquisse de preuve de ces
résultats.

\subsubsection{Existence et unicité à un facteur prÚs d'une mesure de Haar : esquisse de démonstration}
\label{Haar existence et unicité}
Le lecteur pressé peut omettre la lecture de ce paragraphe sans préjudice
\commentaire{À vĂ©rifier}
notable : dans les applications que nous en ferons, les énoncés
peuvent se ramener par passage à la limite à des énoncés
explicites sur un nombre fini de mesures locales décrites de maniÚre
\emph{ad hoc} en \ref{mesures Tamagawa locales}.
%Cf. Weil, commentaire sur [1967c] dans ses ƒuvres, tome III.
%l'idée est que, sauf erreur, on intÚgre des fonctions
%dans $𝒼(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes
%dans $đ’Ș_{K,x}$ [utile pour formule du produit] et que
%$ÎŒ_{ψ_x}(đ’Ș_{K,x})=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramĂšne au cas
%d'un produit fini.

Soit $G$ un groupe topologique localement compact et soit $φ$ une fonction
réelle sur $G$, continue à support compact.
Si $ψ$ appartient à $𝒞_c(G)_+$ et n'est pas
identiquement nulle,
il existe des rĂ©els positifs $c₁,
,c_n$ et des Ă©lĂ©ments
$h₁,
,h_n$ de $G$ tels que l'on ait l'inĂ©galitĂ©
\[
φ ≀ ∑_{i=1}^n c_i ψ_{h_i}.
\]
En effet, quitte Ă  remplacer $ψ$ par une fonction $c ψ_h$, on peut
supposer — par locale compacité — qu'il existe une voisinage ouvert $U$ de l'identitĂ©
de $G$ tel que $ψ ≄ 1$ sur $U$. Le support (compact) de $φ$ Ă©tant
recouvert par un nombre fini de translatĂ©s de $U$ et $φ$
étant bornée, la conclusion en résulte aussitÎt.
Notons $(φ : ψ)$ la borne infĂ©rieure des sommes
$∑_i c_i$, oĂč les $c_i$ et les $h_i$ sont comme
ci-dessus. Observons que si $Ό$ est une mesure
de Radon (invariante à gauche) sur $G$, on
a $ÎŒ(c_i ψ_{h_i})=c_i ÎŒ(ψ)$ d'oĂč $ÎŒ(φ)/ÎŒ(ψ) ≀ ∑_i c_i$.
Pour chaque $φ,φâ€Č ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, $ψ,ψâ€Č ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$, $h ∈ G$ et $λ ≄ 0$,
on a :
\begin{enumerate}
\item $(φ_h : ψ)=( φ : ψ)$
\item $(λ φ : ψ)=λ ( φ : ψ)$
\item $(φ + φ â€Č : ψ) ≀ (φ : ψ) + (φ â€Č : ψ)$
\item $(φ : ψ) ≀ (φ â€Č : ψ)$ si $φ ≀ φ â€Č$
\item $(φ : ψ â€Č) ≀ (φ : ψ)(ψ : ψ â€Č)$
\item $(φ : ψ) ≄ \sup(φ)/\sup(ψ)$
\end{enumerate}
Les quatre premiÚres propriétés sont évidentes. (v) résulte
du fait que si $φ ≀ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ et $ψ ≀ ∑_j d_j ψâ€Č_{k_j}$,
on a $φ ≀ ∑_{i,j} c_i d_j ψâ€Č_{h_i k_j}$ d'oĂč
$(φ : ψ) ≀ ∑_{i,j} c_i d_j = (∑_i c_i)(∑_j d_j)$.
Pour vĂ©rifier (vi), on constate que si $φ ≀ ∑_i c_i ψ_{h_i}$
et que le $\sup$ de $φ$ est atteint en $g ∈ G$,
on a $\sup(f) ≀ ∑_i c_i ψ(h_i^{-1}g) ≀ (∑_i c_i)\sup(ψ)$.
Notons que (vi) entraĂźne que $(φ: ψ)$ est $>0$
si $φ$ est positive non identiquement nulle.
Fixons une fois pour toutes une fonction $φ₀ ∈ 𝒞_c(G)_+
-\{0\}$ ; son intégrale pour la mesure que nous allons construire sera égale à $1$.
Pour chaque $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$ et chaque $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$, posons
\[
I_ψ(φ)=\frac{( φ : ψ)}{(φ₀ : ψ)}.
\]
Il résulte immédiatement des propriétés précédentes que
$φ ↩ I_ψ(φ)$ est invariante par translation Ă  gauche, commute Ă 
la multiplication par un scalaire positif, sous-additive,
et croissante. D'autre part, si $φ$ est non nulle, on a les inĂ©galitĂ©s
\[
0<1/(φ₀: φ) ≀ I_ψ(φ) ≀ (φ : φ₀),
\]
qui résultent de (v) ci-dessus.
Nous allons voir maintenant que $I_ψ$ est d'autant plus proche d'ĂȘtre
\emph{additive} que le support de $ψ$ est concentrĂ© en l'identitĂ© de $G$.
PrĂ©cisĂ©ment : pour chaque paire $φ, φ â€Č ∈ 𝒞_c(G)_+$ et chaque $Δ>0$
il existe un voisinage \emph{compact} $V_Δ$ de l'identité de $G$
tel que si $ψ$ est de plus Ă  support dans $V_Δ$ on ait :
\[
I_ψ(φ+φ â€Č) ≀ I_ψ(φ) + I_ψ(φ â€Č) ≀ I_ψ(φ + φ â€Č)+ Δ.
\]
(La premiÚre inégalité n'est mise que pour mémoire.)
Soit $H ∈ 𝒞_c(G)_+$ Ă©gale à $1$ sur le support de $φ + φ â€Č$
et posons $F=φ + φ â€Č + Δ H$. ConsidĂ©rons les fonctions $f$
et $f â€Č$ respectivement Ă©gales à $φ/F$ et $φ â€Č /F$ sur
le support de $φ+φ â€Č$ et zĂ©ro ailleurs. Elles sont continues
à supports compacts et positives. Soit $η>0$. Par continuité
des fonctions et compacité de leurs supports on a le résultat
d'uniforme continuité suivant : il existe un voisinage compact $V$ de l'identité
tel que $|f(x)-f(y)| ≀ η$ et $|f â€Č(x)-f â€Č(y)| ≀ η$ dĂšs
que $x^{-1}y ∈ V$. Soit $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ non nulle Ă  support dans $V$
et supposons qu'une inĂ©galitĂ© $F ≀ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ soit satisfaite.
On a donc la majoration $φ= f ⋅ F ≀ ∑_i c_i f⋅ψ_{h_i}$. Or,
$f ⋅ ψ_h ≀ (f(h)+η) ⋅ ψ_h$ : en un point hors de $hV$ c'est Ă©vident
car $ψ_h$ y est nulle ; en un point de $hV$, on a $f ≀ f(h) + η$ par hypothĂšse
sur $η$ et $V$. En sommant les deux majorations ainsi obtenues pour $φ$ et $φ â€Č$,
on obtient :
\[
(φ : ψ) + (φ â€Č : ψ) ≀ ∑_i c_i (φ(h_i)+φ â€Č(h_i)+2 η) ≀ (1+2 η) ∑_i c_i
\]
car $φ + φ â€Č ≀ 1$.
On en tire la majoration $(φ : ψ) + (φ â€Č : ψ) ≀ (1+2 η)(F: ψ)$ et, par
division par $(φ₀: ψ)$ :
\[
I_ψ(φ)+I_ψ(φ â€Č) ≀ (1+2 η)I_ψ(F) ≀ (1+2 η)\big(I_ψ(φ+φ â€Č)+ÎŽ I_ψ(H)\big)
\]
oĂč la seconde inĂ©galitĂ© rĂ©sulte de la sous-additivitĂ© de $I_ψ$.
Finalement, on a
\[
I_ψ(φ)+I_ψ(φ â€Č) ≀ I_ψ(φ)+I_ψ(φ â€Č) + \Big(2 η (φ + φ â€Č : φ₀)+ ÎŽ(1+2 η)(H : φ₀)\Big).
\]
Quitte à choisir $Ύ$ et $η$ suffisamment petits, le second terme peut
ĂȘtre rendu infĂ©rieur à $Δ$.

Voyons maintenant comment en déduire l'existence d'une mesure
de Haar. Pour $V$ un voisinage compact variable de l'identité,
les ensembles $𝒞_c(G,V)_+-\{0\}$ forment une base d'un filtre sur l'ensemble $𝒞_c(G)_+-\{0\}$
des fonctions $ψ$ considĂ©rĂ©es. Soit $𝔉$ un ultrafiltre plus fin que ce dernier
filtre. Par compacitĂ© de l'ensemble $[(φ₀: φ)^{-1},(φ : φ₀)]$,
auquel appartiennent les $I_ψ(φ)$, la limite $\lim_{ψ,𝔉} I_ψ(φ)$ existe ; notons la $I(φ)$.
(Le lecteur peu versé dans la théorie des filtres et ultrafiltres
pourra avantageusement consulter \BourbakiTG{I.§6.nÂș4} ou bien
\cite[chap. II, §8]{Integral@Nachbin} pour une variante de cet
argument reposant sur le théorÚme de Tikhonov.)
Il résulte de ce qui précÚde et du passage à la limite que l'on a
\[
I(φ+φ â€Č)=I(φ)+I(φ â€Č)
\]
pour toute paire de fonctions dans $𝒞_c(G)_+$.
Si $φ ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, il existe des fonctions
$φ₁,φ₂ ∈ 𝒞_c(G)_+$ telles que $φ = φ₁ -φ₂$, par exemple $φ₁=\sup(φ,0)$
et $φ₂=-\inf(f,0)$. On vĂ©rifie immĂ©diatement que la
quantitĂ© $I(φ):=I(φ₁)-I(φ₂)$ ne dĂ©pend pas de la dĂ©composition choisie.
La forme $φ ↩ I(φ)$ est une mesure de Haar. Remarquons qu'il
rĂ©sulte de ce qui prĂ©cĂšde que si $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$ est une fonction non nulle,
$I(φ)$ est strictement positif : $I(φ) ≄ (φ₀: φ)^{-1}$.
(On peut aussi remarquer que l'on a
l'inĂ©galitĂ© $I(ψ) ≀ (∑_i c_i) I(φ)$ si $ψ ≀ ∑_i c_i φ_{h_i}$
si bien que $I(φ)=0$ ⇒ $I=0$.)

ConsidĂ©rons l'unicitĂ©. Soient $ÎŒ$ et $Μ$ deux mesures de Haar
invariantes Ă  gauche et soit $φ₀ ∈ 𝒞_c(G)_+$ une fonction non nulle.
D'aprĂšs la remarque prĂ©cĂ©dente, $ÎŒ(φ₀)>0$ et $Μ(φ₀)>0$. On peut
donc supposer que l'on a l'Ă©galitĂ© $ÎŒ(φ₀)=Μ(φ₀)=1$.
Pour toute paire de fonctions $φ,ψ ∈ 𝒞_c(G)$, considĂ©rons
le produit de convolution $φ ⋆_ÎŒ ψ$ :
\[
g ↩ ∫ φ(h) ψ (h^{-1}g)   dÎŒ(h)= ∫ φ(gh)ψ(h^{-1})  dÎŒ(h),
\]
oĂč l'Ă©galitĂ© rĂ©sulte de l'invariance Ă  gauche de $ÎŒ$.
Cette intégrale a un sens car, comme on le vérifie sans peine,
l'intégrande est une fonction (continue) à support compact ;
il en est de mĂȘme de la fonction $φ ⋆_ÎŒ ψ$.
En intĂ©grant pour la mesure $Μ$ on obtient
la formule classique :
\[
∫ φ ⋆_ÎŒ ψ   d Μ=∫ φ   dÎŒ ⋅ ∫ ψ   dΜ,
\]
que l'on peut réécrire $Μ(φ ⋆_ÎŒ ψ)=ÎŒ(φ)Μ(ψ)$.
Elle se démontre en intervertissant l'ordre d'intégration (Fubini) et en utilisant
l'Ă©galité $∫ ψ(h^{-1}g)   dΜ(g)=∫ ψ    dΜ$ (invariance Ă  gauche).
Fixons $φ$ et montrons que $ÎŒ(φ)=Μ(φ)$.
Pour tout $Δ>0$, il existe un voisinage compact $V_{φ,Δ}$ de l'identitĂ©
tel que pour toute fonction $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ de support dans $V_{φ,Δ}$
et d'intĂ©grale $ÎŒ(ψ)=1$, on ait $‖ φ ⋆_ÎŒ ψ - φ ‖_∞ ≀ Δ$. (Un tel
énoncé est souvent utilisé pour régulariser des fonctions ; nous
n'en rappelons pas la démonstration.)
Pour un tel $ψ$, on a $|Μ(φ ⋆_ÎŒ ψ) -Μ(φ)| ≀ Δ ⋅  Μ\big( \mathrm{Supp}(φ) V_{φ,Δ}^{-1}\big)$.
En particulier, il existe des fonctions $ψ$ positives de $ÎŒ$-intĂ©grale unitĂ© telles que $Μ(φ ⋆_ÎŒ ψ)$ soit
arbitrairement proche de $Μ(φ)$. En appliquant ceci à $φ=φ₀$, et en utilisant
les Ă©galitĂ©s $Μ(φ ⋆_ÎŒ ψ)=ÎŒ(φ)Μ(ψ)$ et $ÎŒ(φ₀)=Μ(φ₀)$, on en dĂ©duit
qu'il existe des fonctions $ψ$ de $Μ$-intĂ©grale arbitrairement proche de l'unitĂ©
et de support contenu dans des $V_{φ,Δ}$. Ainsi, quitte Ă  bien choisir $ψ$,
on peut avoir $Μ(φ ⋆_ÎŒ ψ)=ÎŒ(φ)Μ(ψ)$ arbitrairement proche de $Μ(φ)$ et
$Μ(ψ)$ arbitrairement proche de $1$. NĂ©cessairement, $ÎŒ(φ)=Μ(φ)$ ; CQFD.

\subsubsection{}
\label{définition module et cas compact ou commutatif}
Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $ÎŒ$ une mesure de Haar
invariante Ă  gauche, la mesure de Radon $φ^*ÎŒ:f ↩ ∫_G f ∘ φ^{-1}   d ÎŒ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
rĂ©el $\mod(φ)>0$, appelĂ© \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*ÎŒ=\mod(φ) ÎŒ$ ; il
ne dĂ©pend pas du choix de $ÎŒ$. Par construction,
pour toute partie $ÎŒ$-mesurable $E$ de $G$, on a $ÎŒ(φ(E))=\mod(φ)ÎŒ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
unité : en effet, $ÎŒ(G)<+∞$ (fait gĂ©nĂ©ral aux mesures de Radon) et on a $ÎŒ(G)=ÎŒ(φ(G))$
— car $φ(G)=G$ — donc $ÎŒ(G)=\mod(φ)ÎŒ(G)$, d'oĂč le rĂ©sultat.
Appliquant cette observation au cas des automorphismes
intĂ©rieurs, on en dĂ©duit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable,
on a $Ό(E)=Ό(gEg^{-1})=Ό(Eg^{-1})$ : la mesure $Ό$
est Ă©galement invariante \emph{Ă  droite} lorsque $G$ est compact. Le mĂȘme argument
montre que toute mesure de Haar invariante à gauche est également
invariante à droite lorsque $G$ est
\emph{commutatif} mais non nécessairement compact.

\subsubsection{}
\label{caractérisation compacité par mesure}
Si $G$ est compact et $Ό$ une mesure de Haar, on a vu que sa mesure $Ό(G)$ est finie.
(On appelle \textbf{mesure de Haar normalisée} l'unique mesure de Haar telle que
$Ό(G)=1$.)
Réciproquement, si $G$ est seulement supposé \emph{localement} compact
mais de mesure extĂ©rieure $ÎŒ^*(G)$ finie, alors $G$ est compact.
En effet, soit $V$ un voisinage compact de l'unité de $G$.
Le nombre de translatés de $V$ disjoints deux à deux est borné par
le quotient fini $Ό^*(G)/Ό(V)$ ; il existe donc un ensemble de cardinal
maximal $g₁V,
,g_nV$ de tels translatĂ©s. Si $g ∈ G$,
il existe donc un indice $i$ tel que $gV ∩ g_iV ≠ ∅$,
c'est-à-dire $g ∈ g_iV V^{-1}$. Le groupe $G$
est donc recouvert par les compacts $g_i V V^{-1}$, en nombre fini ; il est
compact. CQFD.

\subsubsection{}
\label{module et mesure quotients}
Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abĂ©lien topologique localement compact $G$.
Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact ; on dit que $Γ$ est
\textbf{cocompact} dans $G$.
Fixons des mesures de Haar $ÎŒ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $ÎŒ_X$
sur $Γ$ et $X$ respectivement.
À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer
la fonction « moyenne sur les $Γ$-orbites » :
\[
m_Γ(f): g↩ ÎŒ_Γ([+g]^*f)= ∫_Γ f(g+Îł) dÎŒ_Γ(Îł).
\]
Cette fonction est $Γ$-invariante et induit
une fonction continue (à support compact) sur $X$,
Ă©galement notĂ©e $m_Γ(f)$.
La forme linĂ©aire $f↩ ÎŒ_X( m_Γ(f))$ est positive et $G$-invariante ;
c'est donc une mesure de Haar sur $G$, que nous noterons $Ό_G$.
Par construction,
\[
∫_G f(g) dÎŒ_G(g)=∫_X \Big( ∫_Γ f(g+Îł) dÎŒ_Γ(Îł)\Big) dÎŒ_X(\sur{g}).
\]
On peut montrer l'existence d'un triplet de telles mesures de Haar
dĂšs que $Γ$ est un sous-groupe fermĂ© de $G$ (non nĂ©cessairement
discret ou cocompact).
% Nachbin, p. 86.
Il résulte immédiatement de la formule ci-dessus que pour tout
automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$,
on a
\[
\mod_G(φ)=\mod_{G/Γ}(φ)\mod_Γ(φ).
\]
Dans le cas particulier considéré ici,
on a $\mod_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
et $\mod_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
d'oĂč $\mod_G(φ)=1$.

Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$,
et imposant à $ÎŒ_Γ$ d'ĂȘtre — par exemple — la mesure de comptage,
il existe une unique mesure de Haar sur $X=G/Γ$
telle que la formule d'intégration ci-dessus
soit satisfaite.

\subsubsection{Domaine fondamental}
\label{domaine fondamental}
Une autre approche pour intégrer sur le quotient
consister à définir un \textbf{domaine fondamental}
dans $G$ et intégrer dessus.
Esquissons une construction en conservant les notations du paragraphe précédent.
Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
que $U^{-1} U ∩ Γ = \{e\}$ (notation multiplicative).
Pour chaque $Îł ∈ Γ$, notons $U_Îł$ le translaté $U Îł$.
Il résulte de la compacité de $X$ qu'il existe
un nombre fini d'Ă©lĂ©ments $g₁,
,g_n$ de $G$ tels
que $⋃_{i,Îł} g_i U_Îł=G$. (En effet, la rĂ©union $⋃_{g,Îł} g U_Îł$ est
ouverte, $Γ$-saturĂ©e et se surjecte sur $X$.)
Supposons de plus $Γ$ \emph{dĂ©nombrable}. Sous cette hypothĂšse,
il existe donc une famille dĂ©nombrable d'ouverts $U₀,U₁,
$ de $G$ tels
que la projection $π:G ↠ X$ restreinte aux $U_i$ induise une \emph{injection}.
Alors,
\[
F= ⋃_i \Big( U_i - (⋃_{j<i} U_i Γ)\Big)
\]
est un \emph{domaine fondamental} : $π$ induit une \emph{bijection}
$F â„Č X$. Cet ensemble est mesurable par construction, de mesure finie
et induit une mesure sur l'espace topologique $X$.
En effet, on peut considĂ©rer la forme linĂ©aire envoyant $f ∈ 𝒞(X,𝐂)$ ($X$ est
compact) sur $\dot{ÎŒ}(f)=∫_F (f ∘ π) d ÎŒ$, la fonction $(f ∘ π) ⋅ 𝟭_F$ appartenant à $LÂč(G,ÎŒ)$.
On vérifie immédiatement la formule d'intégration
du paragraphe précédent.

\subsection{Corps localement compacts : généralités et classification}
\label{corps localement compacts}

\subsubsection{}Soit $K$ un corps topologique localement
compact, non discret. Fixons une mesure de Haar $Ό$ sur le
groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\mod_K(x)$
le module de l'automorphisme $[×a]:x ↩ ax$ du groupe additif
de $K$ : $Ό(aX)=\mod_K(a)Ό(X)$ pour toute partie
mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\mod_K(0)=0$.
Dans cette section nous allons montrer comment
construire une valeur absolue sur $K$
à partir de $\mod_K$ et démontrer un analogue
du théorÚme \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet}
dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}).
Nous terminons par une démonstration du
théorÚme \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
%en déduirons qu'une extension finie d'un corps local est un corps local.
%Tout d'abord quelques résultats préparatoires.

\begin{proposition2}
\label{continuité de modK}
La fonction $\mod_K:K → 𝐑_+$ est continue et
satisfaisant l'égalité $\mod_K(ab)=\mod_K(a)\mod_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
\end{proposition2}

Ce résultat est également vrai lorsque $K$ est discret.

\begin{démo}
L'égalité est un cas particulier de la formule générale évidente :
$\mod(φ ∘ ψ)=\mod(φ) \mod(ψ)$ oĂč $φ$ et $ψ$
sont deux automorphismes d'un groupe localement compact.
Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact
de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $Δ>0$
il existe un voisinage ouvert $U_{a,Δ}$ du compact $aC$
tel $ÎŒ(U_{a,Δ}) ≀ ÎŒ(aC)+Δ$ (cf. \ref{mesure des ensembles}).
Soit $A$ un voisinage compact de $a$ tel que $AC ⊆ U_{a,Δ}$,
dont l'existence est assurée par la continuité du produit.
Pour chaque $x ∈ A$, on a :
\[
\frac{ÎŒ(xC)}{ÎŒ(C)}=\mod_K(x) ≀ \mod_K(a)+ Δ ÎŒ(C)^{-1}.
\]
Il en résulte que la fonction $\mod_K$ est \emph{semi-continue
supĂ©rieurement}. En particulier, elle est continue en $0$ (oĂč
elle atteint son minimum.) L'égalité $\mod_K(x)=\mod_K(x^{-1})^{-1}$
pour chaque $x ≠ 0$ montre qu'elle est aussi semi-continue
infĂ©rieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue.
\end{démo}

\begin{exercice2}
En déduire que $K$ n'est pas compact.
%cf. AVD-D, EVT localement compact est de dimension finie
\end{exercice2}

\subsubsection{}
\label{compacité des Br}
Soit $r>0$ un réel. Il résulte de la
proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\mod_K(x)
≀ r\}$ est un voisinage fermĂ© de $0$ dans $K$. Montrons
qu'il est \emph{compact}. Soit $V$ un voisinage compact
de $0$ et $W$ un voisinage ouvert de $0$ tel que $WV ⊆ V$.
L'existence de $V$ résulte de la locale compacité de $K$ ;
celle de $W$ de la continuitĂ© du produit $K×K → K$.
Le corps $K$ étant non discret et $\mod_K$ étant
continue, il existe $x ∈ W ∩ V$ tel que
$0<\mod_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
pour tout $n ≄ 1$. Nous allons montrer que $B_r$ est contenu
dans une rĂ©union finie d'ensembles $x^{-n}V$, $n ≄ 0$.
Soit $y$ une valeur d'adhérence de la suite $(x^n)$.
Le réel $\mod_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
suite $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
est nul. Comme la suite $(x^n)$ appartient au \emph{compact} $V$,
elle tend donc vers $0$. Ainsi, pour chaque $a ∈ K$, il
existe $n ≄ 0$ — que l'on peut supposer minimal —
tel que $x^n a$ appartienne à $V$.
Nous allons vérifier que si $a ∈ B_r$, on peut majorer $n$
indépendamment de $a$ ; ceci suffit pour conclure.
Si $n>0$, $x^n a ∈ V-xV$. Soit $X$
l'adhérence de $V-xV$ ; c'est un compact, car fermé
dans $V$, ne contenant pas $0$, car $xV$ en est un
voisinage. Il en résulte qu'il existe $m_r>0$
tel que $\mod_K(y) ≄ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
En particulier, $\mod_K(x^n a)=\mod_K(a) \mod_K(x)^n ≄ m_r$.
Comme $\mod_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\mod_K(x)<1$,
l'entier $n$ est majoré indépendamment de $a$. CQFD.

\subsubsection{}
\label{Br systĂšme fondamental de voisinages}
Les $B_r$ forment un systÚme fondamental de
voisinage de $0$ dans $K$ : pour tout voisinage $V$ de $0$,
il existe $r>0$ tel que $B_r ⊆ V$. Pour le montrer, on peut
supposer $V$ compact (par locale compacitĂ© de $K$). Soit $ρ$
un réel strictement supérieur à la borne supérieure
de $\mod_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhĂ©rence
de $B_ρ-V$. C'est un compact ne contenant pas $0$. Soit $σ$
la borne infĂ©rieure de $\mod_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≀ ρ$.
ConsidĂ©rons enfin $0<r<σ$ ; par construction, $B_r ∩ X= ∅$
et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.

\subsubsection{}
\label{module est valeur absolue}
Soit
\[
A_K=\sup_{\mod_K(x) ≀ 1} \mod_K(1+x) ,
\]
le rĂ©el $ ≄ 1$ dont l'existence est assurĂ©e par la continuitĂ©
de la fonction $\mod_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
de $B_1$ (\ref{compacité des Br}).
Pour toute paire  $(x,y) ∈ KÂČ$, on a l'inĂ©galitĂ©
\[
\mod_K(x+y) ≀ A_K \max\{\mod_K(x),\mod_K(y)\}
\]
et $A_K$ est le plus petit réel pour lequel ceci soit vrai.
Pour vérifier l'inégalité, on peut supposer
$x ≠ 0$ et $\mod_K(y) ≀ \mod_K(x)$, auquel
cas on a $\mod_K(x+y)=\mod_K(1+yx^{-1}) \mod_K(x) ≀ A_K \mod_K(x)$ car
$\mod_K(yx^{-1})≀ 1.$

\subsubsection{}Soit $f_K$ la fonction $𝐍 → 𝐑_+$, $n ↩
\mod_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f_K ≀ 1$
\item $A_K=1$.
\end{enumerate}
Si elles sont satisfaites, on dit que $K$ est
\textbf{ultramétrique} ; dans le cas contraire,
on dit que $K$ est \textbf{archimédien}, auquel
cas il existe un réel $c>0$ tel que $f_K(n)=n^c$
(\refext{AVD-D}{lemme clef va sur Q}).
Vérifions l'équivalence ci-dessus. Une récurrence immédiate montre que (ii) entraßne (i).
Considérons la réciproque. Soient $r$ un entier et $n=2^r$.
Par récurrence sur $r$, on a
\[
\mod_K(∑_{i=1}^n x_i) ≀ A_K^r \max_i \mod_K(x_i)
\]
pour tout choix d'Ă©lĂ©ments $x₁,
,x_n ∈ K$.
Quitte à considérer des éléments nuls, cette inégalité
est Ă©galement valable pour $n ≀ 2^r$.
Appliquant cette observation Ă  la somme
\[
(x+y)^{2^r}=∑_{i=0}^{2^r} \binom{2^r}{i} x^i y^{2^r-i},
\]
oĂč $x$ et $y$ sont des Ă©lĂ©ments quelconques de $K$
et la somme de gauche contient $2^r+1 ≀ 2^{r+1}$ termes, on
obtient, grùce à l'hypothÚse faite sur $f_K$,
\[
\mod_K(x+y)^{2^r} ≀ A_K^{r+1} \max_i \{\mod_K(x)^i  \mod_K(y)^{2^r-i}\}.
\]
Si $\mod_K(y) ≀ \mod_K(x)$, on en tire
\[
\mod_K(x+y) ≀ A_K^{(r+1)/2^r} \mod_K(x),
\]
et l'inégalité ultramétrique par passage à la limite.

\subsubsection{}
\label{corps localement compacts archimédiens}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{archimédien}.
La restriction du module $\mod_K$ au sous-corps premier $𝐐$
est $|⋅|_∞^c$, oĂč $|⋅|_∞$ dĂ©signe la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un rĂ©el.
D'autre part, la topologie induite sur $𝐐$ est celle donnĂ©e
par la valeur absolue : cela résulte de \ref{Br systÚme
fondamental de voisinages}. L'adhĂ©rence $K₀$ de $𝐐$
dans $K$ est localement compacte donc complÚte : c'est donc
le complĂ©tĂ© de $𝐐$ pour la valeur absolue $|⋅|_∞$.
Le sous-corps fermé $K₀$ est donc isomorphe
(en tant que corps topologique) au corps
local premier $𝐑=𝐐_∞$. D'aprùs \refext{AVD-D}{EVT localement
compact sur corps valué est de dimension finie}
l'extension $K \bo 𝐐_∞$ est nĂ©cessairement finie.
AlgĂ©briquement, $K$ est donc isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$.
Topologiquement, il en est de mĂȘme car $K$
est homĂ©omorphe Ă  $𝐑^d$ oĂč $d=[K:𝐑]$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT
sur corps valué complet}).

\subsubsection{}
\label{corps localement compacts ultramétriques}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{ultramétrique}.
Posons $đ’Ș=\{x ∈ K: \mod_K(x) ≀ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
nous notions $B₁$ prĂ©cĂ©demment. Il est donc compact. D'autre
part, on a $đ’Ș+đ’Ș=đ’Ș$ car $K$ est ultramĂ©trique. Ainsi, $đ’Ș$
est un sous-anneau compact de $K$ ; il est maximal
car — comme il rĂ©sulte de la continuitĂ© de $\mod_K$
et de la formule $\mod_K(x^n)=\mod_K(x)^n$ —
tout sous-ensemble relativement compact de $K$
est contenu dans $đ’Ș$. Le sous-ensemble $đ”Ș=\{x ∈ K:\mod_K(x)<1\}$
de $đ’Ș$ est un idĂ©al ; il est maximal car tout Ă©lĂ©ment de $x ∈ đ’Ș-𝔭$
est de module $1$ donc d'inverse $x^{-1}$ dans $đ’Ș$.
Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
de $đ’Ș$ modulo $𝔭$. L'ensemble $đ’Ș$ est recouvert par les ouverts
disjoints $\{x ∈ K:\mod_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
fini ; le corps rĂ©siduel $k=đ’Ș/𝔭$ aussi. Le quotient $k$ Ă©tant
fini donc sĂ©parĂ©, l'idĂ©al $𝔭$ est fermĂ© dans $đ’Ș$ donc
compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
$\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$, $n ≄ 1$, il existe $n$
tel que $𝔭=\{x:\mod_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
absolue $\mod_K$ est donc discrÚte : son
image est un sous-groupe discret de $𝐑_+$.
Ainsi, $K$ est le corps des fractions d'un anneau de
valuation discrÚte de corps résiduel fini.
Il résulte des théorÚmes de structure
\refext{AVD-D}{structure corps discrÚtement valué complet fini inégale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrÚtement valué complet parfait égale caractéristique}
que $K$ est une extension finie d'un corps local premier.

\begin{remarque2}On pourrait également étudier la structure
des corps localement compacts ultramétriques
suivant la méthode de \ref{corps localement compacts archimédiens}.
Esquissons briÚvement comment procéder.
En caractéristique nulle, on peut à nouveau considérer
l'adhĂ©rence du corps $𝐐$ et utiliser \refext{AVD-D}{Ostrowki}).
En caractĂ©ristique $p>0$, on peut remplacer $𝐐$
par le corps $ℚ=𝐅_p(ϖ)$ engendrĂ© par un Ă©lĂ©ment $ϖ ∈ K$ tel
que $\mod_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
sur $𝐅_p$ sans quoi il serait une racine de l'unitĂ©,
de module $1$. Utilisant \refext{AVD-D}{k-valuations de k(X)},
il en rĂ©sulte que l'adhĂ©rence de $ℚ$ dans $K$
coïncide avec son complété une \emph{valuation}
discrÚte à corps résiduel fini.
D'aprÚs \refext{AVD-D}{structure corps discrÚtement valué complet
parfait égale caractéristique}) un tel corps
topologique est isomorphe à un corps de séries formelles
$𝐅_q((u))$. Ce dernier est lui-mĂȘme fini sur son sous-corps
fermĂ© $𝐅_p((u))$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}
\label{CL conditions équivalentes démo}
Nous pouvons maintenant vérifier les équivalences
annoncées en \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
\begin{itemize}
\item[(i) ⇒ (ii)] Soit $K$ un corps localement compact non
discret. Si $K$ est archimĂ©dien, il est isomorphe à $𝐑$
ou $𝐂$, cf. \ref{corps localement compacts archimĂ©diens}.
Si $K$ est ultramétrique, c'est le corps des fractions d'un
anneau de valuation discrÚte à corps résiduel fini, muni
de sa topologie naturelle, cf. \ref{corps localement
compacts ultramétriques}.
\item[(ii) ⇒ (iii)] Soit $K$ un corps topologique
comme en (ii), ultramétrique. Il résulte des
théorÚmes de structure
\refext{AVD-D}{structure corps discrÚtement valué complet parfait égale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrÚtement valué complet fini inégale caractéristique}
que $K$ est fini sur un sous-corps local premier $K₀$.
Celui-ci est fermé dans $K$ car isomorphe à une droite
dans $K$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué complet}).
\item[(iii) ⇒ (i)] Les corps $𝐑$ et $𝐂$
étant localement compacts, il suffit de considérer
le corps des fractions $K$ d'un anneau de valuation
discrĂšte complet $đ’Ș$ Ă  corps rĂ©siduel fini.
Pour montrer que $K$, muni de la topologie déduite
de la valuation, est localement compact,
il suffit de vĂ©rifier que $đ’Ș$ est compact. (C'est
un voisinage de $0 ∈ K$.) Notons $đ”Ș$ l'idĂ©al maximal
de $đ’Ș$. Cet anneau Ă©tant sĂ©parĂ© et complet
pour la topologie $đ”Ș$-adique, c'est naturellement
un fermĂ© du produit $∏_{n ≄ 1} đ’Ș/đ”Ș^n$, oĂč chaque anneau
quotient $đ’Ș/đ”Ș^n$ est muni de la topologie discrĂšte.
Ces anneaux sont finis donc compacts ; il en est de mĂȘme
de leur produit.
\end{itemize}
Parmi les précisions figurant dans l'énoncé
du théorÚme \ref{corps locaux conditions équivalentes},
seule la non-unicitĂ© de $K₀$ dans le cas de la
caractéristique positive est à vérifier.
Or, si $K₀$ est un sous-corps local premier fermĂ©
dans $K$, le sous-corps $K₁=K₀^p=𝐅_p((t^p))$ de $K$
satisfait les mĂȘmes conditions. (Que $𝐅_p((t^p))$ soit fermĂ© dans $𝐅_p((t))$
résulte par exemple du fait que la dérivation par rapport à $t$
est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)

\subsubsection{}
\label{extension finie corps local est local}
Soit $L\bo K$ une extension finie de corps.
Si $K$ est un corps local, $L$ peut ĂȘtre muni d'une
topologie qui en fait un corps local ; elle est unique
et $K$ est fermé dans $L$.
Cela résulte de \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué
complet}. (Notons que $L$ est non discret
car son sous-corps $K$ ne l'est pas.)

De plus, le corps $L$ est isomorphe comme $K$-espace
vectoriel topologique à $K^d$ oĂč $d=[L:K]$.
Il en résulte que la restriction à $K$ du
module $| ⋅ |_L$ est $| ⋅|_K^d$.

\subsection{Mesure de Tamagawa locales}
\label{mesures Tamagawa locales}

\subsubsection{}
Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc}
et une description explicite des mesures de Haar
sur le groupe additif d'un corps local.

\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont}

\begin{enumerate}
\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intĂ©grale usuelle (au sens
de Riemann ou Lebesgue) $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
mesure de Haar. Elle satisfait : $Ό^{\mbox{\minus $+$}}_{1}([0,1])=1$.
L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
topologique $K=𝐑$.
\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≀ 1\})=2 π$}.
(Si $z=a+ib$, c'est la mesure $2 dadb$.)
\item[ultram.] Soit $K$ un corps local ultramétrique et
soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ est localement
constante : l'anneau des entiers $đ’Ș$ de $K$ Ă©tant
un voisinage de l'origine, on se ramĂšne par translation
Ă  montrer que toute fonction continue $đ’Ș → 𝐂$ est localement constante.
Cela rĂ©sulte de la dĂ©finition de la topologie sur $đ’Ș=\lim_n đ’Ș/ đ”Ș^n$
d'aprĂšs laquelle $\Hom_\cont(đ’Ș,𝐂)=\colim_n \Hom(đ’Ș/đ”Ș^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
f=∑_{i=1}^r c_i 𝟭_{x_i+đ”Ș^e}.
\]
On dĂ©finit alors $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linĂ©aritĂ©
Ă  partir des Ă©galitĂ©s : $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}₁(𝟭_{x_i+đ”Ș^e})=q^{-e}$.
On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
Ă  multiplication par une constante non nulle prĂšs.
(Cette constatation, élémentaire est également utile lorsque l'on
suit une approche dyadique pour définir l'intégration des fonctions
numériques ; cf. \cite{Elements@Colmez}.)
Par construction, on a $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(đ’Ș)=1$.
\end{enumerate}

La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
précédents.

\begin{proposition2}
\label{module=module}
Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↩ ax$, du
groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
termes, $[×a]^*ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}=|a|_K ÎŒ^{\mbox{\minus$+$}}$,
c'est-Ă -dire
\[
|a|_K ∫ f(ax) dÎŒ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x)  dÎŒ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
\]
pour toute mesure de Haar $Ό^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
\end{proposition2}

Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
voir \cite[II. §1, prop. 2]{CL@Serre}.

\subsection{CaractĂšres additifs d'un corps local}

\begin{définition2}
On appelle \textbf{caractÚre additif} d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ψ:K → 𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
\end{définition2}

Si $K$ est ultramétrique, l'hypothÚse de continuité
revient Ă  supposer le noyau de $ψ$ \emph{ouvert}.
% [Bushnell-Henniart] p. 10.
On note $\chap{K}$ l'ensemble des caractÚres additif d'un
corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.

\begin{définition2}
\label{niveau caractĂšre}
Soit $ψ$ un caractĂšre d'un corps local ultramĂ©trique $K$.
On appelle \textbf{niveau} \index{niveau} de $ψ$, notĂ© $n(ψ)$, le plus grand
entier $n$ tel que $ψ(đ”Ș^{-n})=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
et $+∞$ sinon.
\end{définition2}

Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.

\subsubsection{}On suppose choisie une fois pour toute une orientation
sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 i π x)=e^{2 i π x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
De mĂȘme, \mbox{$p>0$} Ă©tant implicitement fixĂ©, on note $ψ_{𝐅_p}$
le caractĂšre additif du corps fini $𝐅_p$ dĂ©fini par $x ↩
𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, oĂč $\tilde{x}$ est un
relùvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.

\subsubsection{Exemples de caractĂšres additifs des corps locaux}
\label{exemples caractĂšres additifs locaux}
Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
L'application \[𝐞_p:x ↩ 𝐞(\{ x\}_p),\] oĂč $\{x\}_p$ dĂ©signe
l'unique rationnel $r$ (nĂ©cessairement dans $𝐙[1/p]$) tel que $0 ≀ r < 1$ et
$x-r ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↩ 𝐞(-x),\] resp.
\[𝐞_{p,t}:x ↩ ψ_{𝐅_p}(\Res_t(x dt)),\]
oĂč $\Res_t(∑_{-n}^{+∞} a_i t^i dt)=a_{-1}$) est un caractĂšre
additif du corps $K$, de niveau nul.

\begin{proposition2}
\label{caractĂšre corps local}
Soit $K$ un corps local.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est de caractĂ©ristique nulle et $𝐐_p$ ($p$
premier ou $p=∞$) est l'adhĂ©rence de $𝐐$ dans $K$, le
caractùre additif $𝐞_{K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
rĂ©siduel $k$ et $ω ∈ ℩Âč_K$ est une forme diffĂ©rentielle non nulle,
le caractĂšre additif $𝐞_{K,ω}: x ↩ ψ_{𝐅_p}(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
— oĂč $\Res$ est le rĂ©sidu dĂ©fini en \refext{AVD-D}{rĂ©sidu
forme diffĂ©rentielle formelle} — est non trivial.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i). L'extension $K\bo 𝐐_p$ Ă©tant sĂ©parable, la
trace $\Tr_{K\bo 𝐐_p}$ est surjective. Le caractùre $𝐞_p$
Ă©tant non trivial, il en est de mĂȘme de $𝐞_{K}$.
(ii). MĂȘme argument, joint au fait (\refext{AVD-D}{non nullitĂ© du rĂ©sidu}) que
l'application $k$-linĂ©aire $\Res:℩Âč_K → k$ est surjective.
\end{démo}

On observe ici une différence fondamentale entre la caractéristique
nulle et la caractéristique positive : dans ce dernier cas,
il ne semble pas y avoir de caractÚre privilégié.

\begin{proposition2}
\label{dual corps local}
Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractĂšre additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
\[x ↩ \big([×x]^*ψ: y ↩ ψ(xy)\big)\]
est un isomorphisme de groupes. De plus, si $ψ$ est
de niveau nul, l'image de $đ’Ș$ est l'ensemble des caractĂšres triviaux
sur $đ’Ș$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
L'Ă©galitĂ© $[×(x + x â€Č)]^*ψ=[×x]^*ψ × [×x â€Č]^* ψ$ rĂ©sulte immĂ©diatement
du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivitĂ© est alors
Ă©vidente car $ψ$ est supposĂ© non trivial ; si l'on suppose $ψ$ de
niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
si $x,x â€Č ∈ đ’Ș$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
de $[×x]^* ψ$ et $[× x â€Č]^*ψ$ Ă  $đ”Ș^{-r}đ’Ș$
coĂŻncident si et seulement si $x ≡ x â€Č \mod đ”Ș^r$.
Observons que pour chaque $n ≄ 0$ et chaque $x_n ∈ đ’Ș$,
l'ensemble des relĂšvements de $x_n \mod đ”Ș^n$ Ă  $đ’Ș/đ”Ș^{n+1}$
peut ĂȘtre muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
corps rĂ©siduel $k=đ’Ș/đ”Ș$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
et $y ∈ đ’Ș/đ”Ș^{n+1}$ un relĂšvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
par $λ ⋅ y = y + Îč(λ)$, oĂč $Îč : k â„Č đ”Ș^{n+1}/đ”Ș^n$
est l'isomorphisme dĂ©fini par le choix de $ϖ$.
De mĂȘme, pour chaque $n ≄ 0$ et chaque
caractĂšre additif $Ξ_n$ de $đ”Ș^{-n}$,
l'ensemble des prolongements de $Ξ_n$ en un
caractĂšre de $đ”Ș^{-(n+1)}$ est naturellement
un torseur sous le groupe $\chap{k}$ :
on fait agir $χ ∈ \chap{k}$ sur $Ξ$
par $χ ⋅ Ξ = Ξ × \chap{Îč}(χ)$ oĂč $\chap{Îč}: \chap{k} â„Č
\chap{đ”Ș^{-(n+1)}/ đ”Ș^{-n}}$ est un isomorphisme.
Soit maintenant $ψ â€Č$ un caractĂšre additif de $k$
et montrons qu'il appartient Ă  l'image du morphisme
considéré dans l'énoncé. On peut le supposer de niveau nul.
D'aprÚs ce qui précÚde, et le fait que $k$ et $\chap{k}$
ait mĂȘme cardinal (fini), il existe pour chaque $n ≄ 0$
un Ă©lĂ©ment $x_n ∈ đ’Ș$, unique modulo $đ”Ș^n$,
tel que $[× x_n]^* ψ$ et $ψ â€Č$ coĂŻncident sur $đ”Ș^{-n}$.
La suite $(x_n)$ converge dans $đ’Ș$ vers un Ă©lĂ©ment $x$ pour lequel $[× x]^* ψ = ψ â€Č$,
comme on le voit immédiatement par restriction aux sous-groupes
$đ”Ș^{-n}$ ($n ≄ 1$), qui recouvrent $K$.
% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
% voir aussi \jap{äș•草}, « An introduction to the theory of
% local zeta functions », chap. 8.
\end{démo}

\begin{remarque2}
L'existence d'un caractÚre non trivial a été établie
ci-dessus ; pour une autre démonstration de ce fait,
cf. \cite[8.1.1]{introduction@Igusa}.
Signalons que la non-trivialité de $\chap{K}$ est également
un corollaire de la dualité de Pontrùgin.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}
\label{niveau et différente}
Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
et de caractéristique résiduelle $p>0$.
On a l'égalité
\[
n(e_{K})=v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
\]
entre le niveau du caractĂšre additif non trivial
$e_{K}$ défini en \ref{caractÚre corps local}
et la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ đ’Ș_K$
si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y đ’Ș_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-Ă -dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
La conclusion en résulte aussitÎt.
\end{démo}

En caractéristique, l'interprétation du niveau
de $e_{K,ω}$ est plus subtile.
Voir le théorÚme de Riemann-Roch pour un énoncé global.

\begin{proposition2}
\label{niveau reste nul si extension nette}
Soit $L\bo K$ une extension séparable nette
de corps locaux et soit $ψ$ un caractĂšre de $K$.
Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de mĂȘme
du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. %Plus gĂ©nĂ©ralement, [
]
\end{proposition2}

Pour un extension au cas global et non nécessairement
net, cf. \ref{Riemann-Hurwitz}.

\begin{démo}
Trivial : cf. \refext{AVD-D}{}.
\end{démo}

\subsection{Transformation de Fourier locale}

\subsubsection{Espace de Schwartz}
\label{BS-local}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒼(K)$ l'ensemble des
fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont les conditions
suivantes de régularité et de décroissance à l'infini. Lorsque $K$ est
archimĂ©dien, on demande que $f$ soit une fonction $𝒞^∞$
de $d=[K:𝐑]$ variables rĂ©elles et que chacune de ses
dĂ©rivĂ©es partielles $g$ soit Ă  dĂ©croissante rapide : pour tout $n ∈ 𝐍$,
la fonction $x ↩ |x|^n g(x)$ est bornĂ©e.
Lorsque $K$ est ultramétrique, on
pose $𝒼(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \textbf{espace de Schwartz} ou
de \textbf{Bruhat-Schwartz}.

\subsubsection{}Fixons un caractĂšre additif non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter Ă©galement, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$
le caractĂšre $[×x]^*ψ:y ↩ ψ(xy)$.
Dans le cas global, cette notation aura un autre sens ; cela ne devrait pas
prĂȘter Ă  confusion. Pour toute mesure de Haar $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒼(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↩ ∫_K f ψ_x dÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}
\[
∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}\big( (f ψ_x)^{-1}(λ)\big),\]
oĂč $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
localement constante Ă  support compact $f ψ_x$.
Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,Ό₁^{\mbox{\minus $+$}}}$ est la
transformation de Fourier usuelle, que nous noterons
aussi $ℱ_𝐑$, % notation XXX
\[
f↩ \big(x ↩ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2i π tx) dt\big).
\]
\item D'aprĂšs la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractĂšre
additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considĂ©rer la transformĂ©e de Fourier $ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
\end{enumerate}
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒼(K)$ dans $𝒼(K)$.
\item Si $K$ est ultramĂ©trique et $r ∈ 𝐙$, on a
\[
ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{đ”Ș^r})=\frac{ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș)}{q^r} 𝟭_{đ”Ș^{-(r+n(ψ))}}.
\]
En particulier, $ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_đ’Ș)=ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_đ’Ș$.
\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒼(K)$,
\begin{enumerate}
\item $ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
\item $ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}([+a]^*f)=ψ_{-a} ℱ_{ψ, ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$,
oĂč $[+a]^*f$ dĂ©signe la fonction $y ↩ f(y+a)$ ;
\item $ψ_a f$ appartient à $𝒼(K)$ et $ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}(ψ_a f)=[+a]^* ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$.
\end{enumerate}
\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [×(-1)]^*,
\]
oĂč $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \textbf{auto-duale}
(relativement à $ψ$), $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
$ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{-œn(ψ)} ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $|a|^{œ} ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramĂ©trique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimĂ©dien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $ÎŒ_{ψ_a}=√{|a|} ÎŒ_ψ$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\subsubsection{}
\label{dépendance Fourier local en caractÚre}
On note $ℱ_ψ$ la transformation de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. Il rĂ©sulte immĂ©diatement de (vi)
que l'on a
\[
ℱ_{ψ_a}(f) = |a|^{œ}[×a]^*\big(ℱ_ψ(f)\big).
\]

\begin{démo}
Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
par exemple \cite[chap. VII, §6]{distributions@Schwartz}
ou \cite[chap. VII, §1]{analysisI@Hormander}. La détermination
des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une
gaussienne\footnote{On veut montrer que $∫_𝐑 e^{-2 i π xy}e^{-πxÂČ}dx=e^{-πyÂČ}$.
Or, le terme de gauche est une fonction $g$ de $y$ satisfaisant
l'Ă©quation diffĂ©rentielle $gâ€Č(y)=-2πyg(y)$. On a donc $g(y)=C e^{- π yÂČ}$,
oĂč $C=∫_𝐑 e^{-π xÂČ}dx>0$. Enfin, par Fubini et changement de variables, on a
$CÂČ=∫_{𝐑ÂČ} e^{-π (xÂČ+yÂČ)}dxdy= 2π ∫_{𝐑^+} e^{-π ρÂČ}ρdρ=1$.}.
Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
\[
ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{đ”Ș^r})(x)=∫_{đ”Ș^r} ψ(xy) d
Ό^{\mbox{\minus $+$}}(y).
\]
Si $x đ”Ș^r$ est contenu dans $đ”Ș^{n(ψ)}$, l'intĂ©grande
est constante égale à $1$ de sorte que l'intégrale
vaut $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ”Ș^r)=ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș)/q^r$.
(Voir p. ex. \ref{module=module} pour cette derniÚre égalité.)
Dans le cas contraire, l'intégrale est nulle. En effet,
on a la généralisation suivante de
\refext{Fin}{variante-orthogonalite-caracteres} :
pour tout caractĂšre continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
groupe compact $G$ (notĂ© multiplicativement) et toute mesure de Haar $ÎŒ$ sur $G$,
l'intĂ©grale $I= ∫_G χ d ÎŒ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d ÎŒ(h)$ pour
tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce rĂ©sultat Ă  $G=đ”Ș^r$, $χ$ la restriction à $đ”Ș^r$
de $ψ_x$, et $ÎŒ=ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalĂ©
ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
sus-mentionné.)
(iii) La premiÚre formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
et la troisiĂšme sont immĂ©diates. Le fait que $𝒼(K)$
soit stable par multiplication par les caractĂšres $ψ_a$ est
un cas particulier du fait général suivant : le produit
d'une fonction localement constante par une fonction localement
constante Ă  support compact est localement constante Ă  support
compact.
(i) On a vu en \ref{mesures Tamagawa locales} que l'espace vectoriel $𝒼(K)$
est engendrĂ© par les fonctions caractĂ©ristiques $𝟭_{a + đ”Ș^r}=[+a]^*[× ϖ^r] 𝟭_{đ’Ș}$, $a ∈ K, r ∈ 𝐙$.
La stabilité de l'espace de Bruhat-Schwartz par la transformation de
Fourier résulte immédiatement du calcul explicite (ii), de la formule (iii.b)
et du fait que $𝒼(K)$ est stable par multiplication $ψ_{-a}$ (iii.c).
(iv). Notons $ℱ$ pour $ℱ_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}$. D'aprĂšs ce qui
précÚde on a les égalités :
\[
\begin{array}{rcl}
ℱ ℱ(𝟭_{a+đ”Ș^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{đ”Ș^r}))	& = & [-a]^*ℱℱ(𝟭_{đ”Ș^r}) \\
					& = & [-a]^*ℱ(\frac{ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș)}{q^r} 𝟭_{đ”Ș^{-n(ψ)-r}}) \\
					& = & \frac{ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș)ÂČ}{q^{-n(ψ)}}[-a]^* 𝟭_{đ”Ș^r} \\
					& = & c_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+đ”Ș^r},
\end{array}
\]
oĂč $c_{ψ,ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș)ÂČ}{q^{-n(ψ)}}$ est une constante indĂ©pendante de $a$ et $r$.
La conclusion en rĂ©sulte par linĂ©aritĂ© des endomorphismes $ℱÂČ$ et $[×(-1)]^*$.
(v) D'aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde, un mesure $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
auto-duale relativement Ă  un caractĂšre additif non trivial $ψ$
si et seulement si $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș)=q^{\frac{-n(ψ)}{2}}$.
L'existence et l'unicité en découle.
(vi) RĂ©sulte de l'Ă©galitĂ© $n(ψ_a)=n(ψ)+v(a)$ et de (v).
\end{démo}

Contrairement à $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est Ă  valeurs
dans $𝐙[1/q]$, $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est Ă  valeurs
dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.

\begin{exemple2}
\label{exemple Fourier et Gauss}
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractĂšre $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ Ă  support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, oĂč l'on identifie naturellement le quotient
$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙=𝐅_p$
et on Ă©tend $χ$ Ă  $𝐅_p$ en la prolongeant par zĂ©ro.
On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'Ă©galitĂ©
\[
ℱ_{𝐞_p}(f_χ)=\frac{G(χ)}{p} [×p]^* f_{\sur{χ}},
\]
oĂč $G(χ)$ est la somme de Gauß
\[
∑_{x ∈ 𝐅_p} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
\]
Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez} et \ref{facteur epsilon ultramétrique},
\emph{infra}.
\end{exemple2}

%Cas gĂ©omĂ©trique : il rĂ©sulte du thĂ©orĂšme qu'il existe $ψ$ tel que $ÎŒ_ψ(đ’Ș)=1$
%(caractĂšre de niveau nul) et que $ψ$ est bien dĂ©fini Ă  multiplication
%prÚs par une unité.

Abordons maintenant la théorie multiplicative.

\subsection{Quasi-caractĂšres multiplicatifs d'un corps local}

\subsubsection{Structure de $K^×$}
\label{structure de Kétoile}
Soit $K$ un corps local.
S'il est ultramĂ©trique, on fixe une uniformisante $ϖ$.
Tout Ă©lĂ©ment $x ∈ K^×$ peut s'Ă©crire de façon unique
\[
x=x₁ ρ,
\]
oĂč $x₁$ appartient au groupe \emph{compact} $𝒰=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$,
et $ρ>0$ si $K$ est archimĂ©dien ou $ρ ∈ ϖ^𝐙$ si $K$ est ultramĂ©trique.
De plus, $x ↩ x₁$ est un Ă©pimorphisme continu, qui coĂŻncide avec l'identitĂ©
sur $𝒰$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
est isomorphe au produit direct $𝒰 × K^×_{>0}$,
oĂč l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$
(resp $ϖ^𝐙$) de $K^×$. (Notons que dans le cas
ultramĂ©trique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$ et $𝒰$
Ă©gal à $đ’Ș^×$.)

\begin{définition2}
\label{quasi-caractĂšre}
On appelle \textbf{quasi-caractÚre} (resp. caractÚre) multiplicatif d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractùre est dit \textbf{non
ramifié} ou \textbf{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
compact $𝒰=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}

Un caractĂšre multiplicatif est un quasi-caractĂšre \emph{bornĂ©}. (Si $K^×$ Ă©tait compact, tout quasi-caractĂšre serait un caractĂšre.)

\subsubsection{}
\label{définition conducteur}
Supposons $K$ ultramĂ©trique. Les sous-groupes $1+đ”Ș^n$ de $𝒰$ forment un systĂšme fondamental
de voisinages (compacts ouverts) de l'unité.
Tout quasi-caractĂšre multiplicatif $χ$ de $K$
est donc trivial sur l'un d'entre eux.
On appelle \textbf{conducteur} de $χ$,
noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≄ 0$ tel
que $χ(1+đ”Ș^n)=\{1\}$, oĂč l'on fait la convention d'Ă©criture que $1+đ”Ș⁰=đ’Ș^×$.
En particulier, un quasi-caractĂšre multiplicatif
d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
si il est de conducteur nul. Traditionnellement, on note
aussi $𝔣_χ$ l'\textbf{idĂ©al conducteur} $đ”Ș^{a(χ)}$ d'un
quasi-caractĂšre $χ$.

\subsubsection{}
\label{notation omega-s et remarque sur caractĂšres}
Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↩ |x|^s$ est un quasi-caractĂšre
multiplicatif net. On a $ω_s=ω₁^{s}$, oĂč $ω₁:x ↩ |x|$ est Ă 
valeurs dans $𝐑^×_+$. Le quasi-caractĂšre $ω_s$ est un \emph{caractĂšre}
si et seulement si $s ∈ 𝐑$.

\begin{proposition2}
\label{description quasi-caractĂšres}
Tout quasi-caractĂšre multiplicatif $χ$ d'un corps local
est de la forme $χ₁ ω_s : x ↩ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
oĂč $χ₁$ est un caractĂšre de $𝒰$ et $s$ est un nombre complexe bien dĂ©fini
modulo $2πi /\!\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramĂ©trique
(resp. archimédien).
Si $K$ est archimĂ©dien, le caractĂšre $χ₁$ est de la forme $u ↩ u^{-a}$,
pour un unique entier $a$ appartenant à $𝐙$ si $K=𝐂$ et à $\{0,1\}$ si $K=𝐑$.
Si $K$ est ultramĂ©trique, le caractĂšre $χ₁$ se factorise de façon unique Ă  travers
un caractĂšre du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, oĂč $𝔣_χ$ est l'idĂ©al conducteur de $χ$.
\end{proposition2}

Si $K$ est archimĂ©dien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↩ u^{-a})$ est appelĂ© \emph{conducteur} de $χ$.
Les quasi-caractĂšres $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
bien dans le cas ultramĂ©trique qu'archimĂ©dien. Si $K$ est rĂ©el, le quasi-caractĂšre $x↩ x^{-1}$ n'est autre
que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, oĂč $\mathrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du rĂ©el non nul $x$.

\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'Ă©noncĂ©. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
caractùre de $𝒰$ et, par construction, le quasi-caractùre
multiplicatif $x ↩ χ(x) χ₁(x₁)^{-1}$ est net. Il suffit
donc de dĂ©montrer que tout quasi-caractĂšre net $χ$ est de la
forme $ω_s$. Par dĂ©finition, $χ$ se factorise
à travers le quotient $K^× ↠ K^×_{>0}$.
Si $K$ est ultramétrique, ce dernier groupe
est isomorphe à $𝐙$ et $χ=ω_s$ dĂšs lors
que le nombre complexe non nul $χ(ϖ)$
est Ă©gal Ă  $|ϖ|^s=q^{-s}$.
Si $K$ est archimédien, il faut vérifier que tout morphisme
continu $f:𝐑^×_{>0} → 𝐂^×$ est de la forme $ρ ↩ ρ^s$ pour un
unique $s ∈ 𝐂$. Si $f$ est Ă  valeurs rĂ©elles positives
(resp. de module unité) cela résulte par passage au logarithme du fait que
toute fonction additive continue $𝐑 → 𝐑$
(resp. $𝐑 → 𝐑/𝐙$) est une homothĂ©tie (resp. se relĂšve en une
homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage
immédiat. % références ?
\end{démo}

\begin{lemme2}
\label{quasi-caractÚres Rplusétoile}
Les quasi-caractùres de $𝐑_{>0}$ sont de la forme $t↩ t^s$,
pour un unique $s ∈ 𝐂$.
\end{lemme2}

\begin{lemme2}
\label{quasi-caractĂšres Z}
Soit $r>0$. Les quasi-caractùres de $r^𝐙$ sont de la forme
$t↩ t^s$, oĂč $s ∈ 𝐂$ est bien dĂ©fini modulo $2 π i / \log(r)$.
\end{lemme2}

\begin{définition2}
\label{partie réelle quasi-caractÚre local}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ un quasi-caractĂšre multiplicatif d'un corps
local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \textbf{partie
rĂ©elle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}

\subsubsection{}
\label{notation quasi-caractĂšre dual}
À tout quasi-caractĂšre $χ$, on associe
le quasi-caractĂšre $\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$. On a $\Re(\chap{χ})=1-\Re(χ)$.

\subsection{Transformation de Mellin}\footnote{Nous conseillons au lecteur
d'omettre cette section en premiĂšre lecture. Elle n'est pas utile
avant la démonstration des résultats
Ă©noncĂ©s en \ref{Ă©noncĂ© Ă©quation fonctionnelle zĂȘta}.}

\subsubsection{Transformation de Mellin réelle : généralités}
\label{transformation Mellin réelle}
Afin de motiver les considérations qui vont suivre, nous
esquissons ci-dessous la définition de la transformation
de Mellin usuelle et son application à l'étude de la
fonction zĂȘta. Pour de plus amples dĂ©veloppements,
incluant la formule d'inversion, voir par exemple
\cite[§1.5]{Fourier@Titchmarsh}.
Soit $f : ]0,+∞[ → 𝐑$ une fonction, disons continue.
Si $f$ n'est pas trop singuliÚre en $0$,
par exemple si c'est un $O(t^{A})$, la fonction
\[
ζ_{≀1}(f,s)=∫₀Âč f(t)t^{s} \frac{dt}{t}
\]
est holomorphe sur $\Re(s)>-A$.
Lorsque $f(t) ∌ ∑_{k ≄ 0} a_k t^{α_k}$
en $0$\footnote{Cette notation signifie que
pour chaque entier $n ≄ 1$, on a
$f(t)-∑^{n-1}_{k ≄ 0} a_k t^{α_k} = O(t^{α_n})$.}
— oĂč la suite $(α_k)$ des exposants est strictement croissante et tend vers $+∞$ —
on peut pour chaque $n$ écrire
\[
ζ_{≀ 1}(f,s)=
∫₀Âč(f(t)-∑^{n-1}_{k ≄ 0} a_k t^{α_k}) t^{s} \frac{dt}{t}
+ ∑_{k=0}^{n-1} \frac{a_k}{α_k + s},
\]
oĂč le premier terme est, d'aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde,
holomorphe sur $\Re(s)>-α_n$.
Il en rĂ©sulte que $ζ_{≀ 1}(f)$ se prolonge en une fonction mĂ©romorphe sur $𝐂$
à pÎles simples en chaque $-α_k$, de résidu $a_k$.
On peut bien entendu procĂ©der en mĂȘme en l'infini
et poser
\[
ζ_{ ≄ 1}(f,s)= ∫₁^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}.
\]
Lorsque les deux fonctions $ζ_{≀ 1}(f)$ et $ζ_{≄1}(f)$
se prolongent en des fonctions méromorphes sur un domaine
commun, on définit la \textbf{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
de $f$ comme la fonction
\[
ζ(f,s)=ζ_{≀ 1}(f,s) + ζ_{ ≄ 1}(f,s) = \text{« } ∫₀^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t} \text{ »}.
\]

\begin{remarque2}
Comme on l'a vu en \ref{notation omega-s et remarque sur caractĂšres},
les caractùres du groupe topologique localement compact $G=𝐑^×_+$
ne sont autres que les $t↩ t^{s}$ pour $s$ imaginaire
pur. D'autre part, la mesure $\frac{dt}{t}$ est une mesure de Haar
sur $G$ (voir \ref{sorites mesures multiplicatives locales}).
Ainsi, la transformation de Mellin, du moins restreinte Ă  des
droites verticales de $𝐂$, peut ĂȘtre vue comme un cas particulier
de transformation de Fourier gĂ©nĂ©rale (cf. p. ex., \BourbakiTS{II.§1.nÂș2}
ou \cite[chap. VII]{introduction@Katznelson}.
Notons également que ce lien est également visible en faisant le changement de variable
$t=e^x$, qui échange transformation de Mellin et transformation de Fourier
sur $𝐑$. %Dym, McKean, « Fourier  », § 2.6 p. 103
\end{remarque2}

\subsubsection{Exemple}
\label{exemple Mellin réel}
Si $λ$ est un réel strictement positif,
on a $ζ(t↩  e^{-λt},s)=Γ(s) λ^{-s}$, fonction mĂ©romorphe
sur $𝐂$, oĂč
\[
Γ(s)= ∫_0^{+∞} e^{-t} t^{s-1} dt\]
est la fonction Gamma usuelle.
Cette formule est également valable lorsque $λ=0$ :
on a $ζ(𝟭)=0$, oĂč $𝟭$ dĂ©signe ici la fonction constante
Ă©gale à $1$. En effet, on a $ζ_{≀ 1}(𝟭,s)=\frac{1}{s}$
et $ζ_{≄1}(𝟭,s)=-\frac{1}{s}$. (Notons cependant
que l'intĂ©grale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge
pour aucune valeur de $s$.)
On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de
\[
ÎČ(t)=∑_{k ≄ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≄ 1} \frac{B_k}{k!}
t^{k-1},
\]
oĂč la seconde Ă©galitĂ© n'est autre que la dĂ©finition
des nombres de Bernoulli, est la fonction $Γζ$
et celle de
\[
ψ(t)=∑_{k ≄ 1} e^{-π kÂČ t}
\]
la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$.
(Les notations $ÎČ$ et $ψ$ ne sont pas standards.) %% standard ?

\subsubsection{}
\label{Ă©quation-fonctionnelle-thĂȘta}
Notons que la fonction $Γ ζ$  n'est \emph{a priori} dĂ©finie
que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'aprÚs
ce qui précÚde en une fonction méromorphe
sur $𝐂$, ayant des pĂŽles simples de rĂ©sidus explicites.
Observons que la fonction Gamma a pour uniques pĂŽles (simples) les entiers
négatifs, comme il résulte immédiatement de l'identité
$Γ(s+1)=s Γ(s)$ ($\Re(s)>0$) et que $Γ(1)=1$. Ceci permet de
calculer le résidu en $s=1$ de $ζ$ et la valeur de cette
fonction en les entiers négatifs ou nuls
(cf. \ref{propriĂ©tĂ©s zĂȘta Euler-Riemann} \emph{infra}).
D'autre part, il résulte de la formule de Poisson
\[
∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n)
\]
appliquĂ©e Ă  $f(x)=e^{- π t xÂČ}$ que
$Ξ(t)=\frac{1}{√{t}} Ξ(\frac{1}{t})$ oĂč
$Ξ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π nÂČ t}$.
En appliquant la transformation de Mellin Ă  cette
équation fonctionnelle (due à Jacobi),
on trouve immĂ©diatement $ζ(Ξ,s)=ζ(Ξ,œ-s)$ et de mĂȘme pour $ψ$
car $ζ(𝟭)=0$. On a donc dĂ©montrĂ© le thĂ©orĂšme suivant,
dont l'énoncé et la démonstration forment un prototype des
résultats que nous souhaitons démontrer dans ce chapitre.

% TrÚs classique.  Référence utilisée : Zagier, « The Mellin
%   ».

\begin{théorÚme2}
\label{propriĂ©tĂ©s zĂȘta Euler-Riemann}
La fonction zĂȘta
\[
ζ(s)=∑_{n} n^{-s}
\]
s'Ă©tend en une fonction mĂ©romorphe sur $𝐂$
ayant un unique pÎle, simple de résidu $1$, en $s=1$
et pour chaque $n ≄ 0$, on a
\[
ζ(-n) = (-1)^n \frac{B_{n+1}}{n+1}.
\]
De plus, la fonction $\sur{ζ}(s)=ζ(s) π^{-s/2} Γ(s/2)$
satisfait l'équation fonctionnelle
\[
\sur{ζ}(s)=\sur{ζ}(1-s).
\]
\end{théorÚme2}

En particulier $ζ(-1)=\text{« }1+2+3+4+5+\cdots\text{»}=-\frac{1}{12}$ car
$B₂=⅙$.

\begin{remarque2}
Certains auteurs considĂšrent plutĂŽt $M(f,s)=Γ(s)^{-1}ζ(f,s)$ (cf. \cite[VII.2]{Elements@Colmez}).
Supposons que $f$ n'a pas de singularités :
elle est $𝒞^∞$ sur $𝐑_+$ (c'est-à-dire restriction d'une fonction $𝒞^∞$ sur un
ouvert $]-Δ,+∞[$, pour un $Δ>0$) et Ă  dĂ©croissance rapide Ă  l'infini, ainsi que toutes ses dĂ©rivĂ©es.
Dans ce cas, la fonction holomorphe $M(f,s)$, définie \emph{a priori} sur le
demi-plan $\Re(s)>0$, se prolonge en une fonction holomorphe
sur $𝐂$ en vertu de l'Ă©galitĂ©
\[
M(f,s)=- M(fâ€Č,s+1),
\]
obtenue par intégration par partie.
On en dĂ©duit que $M(f,0)=-M(fâ€Č,1)=-∫₀^{+∞} fâ€Č=fâ€Č(0)$ et, plus gĂ©nĂ©ralement,
les égalités
\[
M(f,-k)=(-1)^k f^{(k)}(0)
\]
pour chaque $k ∈ 𝐍$. Hormis l'Ă©quation fonctionnelle, on retrouve les rĂ©sultats
du thĂ©orĂšme prĂ©cĂ©dent en constatant que $ÎČ(t)=\frac{1}{t}f(t)$, oĂč
$f(t)=\frac{t}{e^t-1}=∑_n \frac{B_n}{n!}t^n$,
si  bien que la fonction zĂȘta de Riemann $ζ(s)=ζ(ÎČ,s)=ζ(f,s-1)$ coĂŻncide avec
le produit $Γ(s-1)M(f,s-1)$.
\end{remarque2}


\begin{remarque2}
Signalons un argument élémentaire conduisant
à l'existence d'un pÎle simple en $s=1$ de
la fonction zĂȘta.
Soit en effet,
\[
ζ^⋆(s):=(1-2 ⋅ 2^{-s})ζ(s),
\]
aussi notée parfois $η(s)$ (« fonction éta de Dirichlet »).
Pour chaque réel $s>1$, on a l'égalité
\[
ζ^⋆(s)=∑_n n^{-s} -2 ∑_n 2^{-s} n^{-s}=-∑_n (-1)^n n^{-s} :
\]
c'est la \emph{fonction zĂȘta alternĂ©e}.
Le terme de droite étant convergeant dÚs que $s>0$
(sĂ©rie alternĂ©e), on peut Ă©tendre $ζ^⋆$ Ă  $𝐑_{>0}$ et l'on a
$ζ^⋆(1)=\log(2)$. On en dĂ©duit que la fonction zĂȘta
de Riemann a un pÎle simple en $s=1$ et se prolonge à $\{s:s>0\}$.
\end{remarque2}

\begin{exercice2}
Montrer, Ă  la maniĂšre d'Euler, que
$ζ^⋆(0)=\frac{1}{1+x}|_{x=1}$ (resp. $ζ^⋆(-1)=\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+x})|_{x=1}$)
et en déduire une autre démonstration des formules
\[
ζ(0)=-œ
\]
et
\[
ζ(-1)=-\frac{1}{12}.
\]
Pour une présentation moderne de la « démonstration »
d'Euler de l'équation fonctionnelle,
cf. \cite[II.2.3]{Divergent@Hardy}.
\end{exercice2}
% cf. aussi exposé de Gross à Orsay (SAGA).

\subsubsection{Mesures multiplicatives}
\label{sorites mesures multiplicatives locales}
Soit $Ό^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive sur
un corps local $K$. Rappelons que l'on note $q$ le cardinal du corps résiduel
lorsque $K$ est ultramĂ©trique ; convenons ici de poser $q=∞$
si $K$ est archimédien.
La mesure sur $K^×$ dĂ©finie par
\[
ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅
ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
oĂč l'on convient que $∞^{-1}=0$, est une mesure de Haar (cf.
§\ref{gĂ©nĂ©ralitĂ©s sur mesures}) : si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
la fonction $f ω_{-1}$, ou plutĂŽt son prolongement
$\gtilde{f ω_{-1}}$ par $0$ en zĂ©ro,
appartient à $𝒞_c(K,𝐂)$ et la forme linĂ©aire
\[
f ↩  \frac{1}{1-q^{-1}} ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(\gtilde{f ω_{-1}})=
\frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}} f(x)|x|^{-1} d ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
\]
est une mesure de Radon positive, invariante par
multiplication (cf. \ref{module=module}).
On note $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ la mesure de Haar
multiplicative associĂ©e Ă  la mesure de Tamagawa $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{mesures Tamagawa locales}).

\begin{proposition2}
Si $K$ est ultramétrique, on a l'égalité
\[
ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}(đ’Ș^×)= ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș).
\]
En particulier, $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}₁(đ’Ș^×)=1$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
En effet, le terme de gauche est, par construction, égal à
$\frac{1}{1-q^{-1}} ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș^×)$.
Or, $đ’Ș^×$ est extension du groupe $k^×$ (de
cardinal $q-1$) par le groupe $1+đ”Ș=1+ϖ đ’Ș$. On a donc
$ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș^×)=(q-1) ÎŒ^{\mbox{\minus
$+$}}(1+đ”Ș)$. D'autre part, $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(1+đ”Ș)=ÎŒ^{\mbox{\minus
$+$}}(đ”Ș)=q^{-1} ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(đ’Ș)$, oĂč
la derniÚre égalité résulte de \ref{module=module}.
\end{démo}

\subsubsection{Fonction zĂȘta locale : dĂ©finition}
\label{fonction zĂȘta locale}
Soit $χ$ un quasi-caractĂšre multiplicatif d'un corps local $K$ et soit $ψ$ un caractĂšre additif de $K$.
Pour toute fonction $f$ sur $K$ telle que $f_{|K^×} ⋅ χ$ soit
intégrable, on pose :
\[
ζ_ψ(f,χ)= ∫_{K^×} f χ  dÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
\]
oĂč l'on rappelle que la mesure $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$
n'est autre que la mesure de Haar associée (selon
le procédé expliqué en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
$ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
La dĂ©pendance en $ψ$ est triviale : si $ψ â€Č$ est un autre
caractĂšre additif non trivial, il existe une constante non
nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ â€Č}= c ζ_ψ$ ; si les
niveaux $n(ψ)$ et $n(ψ â€Č)$ sont Ă©gaux, $c=1$ (cf. \emph{loc. cit.}).
Si $ψ$ est de niveau nul, c'est-Ă -dire si $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=ÎŒ^{\mbox{\minus$×$}}₁$,
nous nous autorisons Ă  l'omettre des notations.
Pour Ă©tudier la dĂ©pendance en $χ$ dans les familles $χ ω_s$
de ces transformĂ©es de Mellin, appelĂ©es fonctions zĂȘta, on introduit la notation :
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s).
\]
(On a alors $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(f,χ,0)$.)

\begin{remarque2}
\label{quasi-caractÚres=variété}
PlutĂŽt que de fixer $χ$ et introduire la variable complexe $s$
on pourrait — à l'aide de la proposition \ref{description quasi-caractùres} —
munir l'espace des quasi-caractĂšres d'une structure
de variété analytique (cf. p. ex. \cite[§2.1]{Weil2@Deligne}, \cite[VII.§3]{BNT@Weil}).
\end{remarque2}

\subsubsection{Cas archimédien réel : interprétation}
\label{fonction zĂȘta archimĂ©dienne}
Si $K=𝐑$ et $ψ=𝐞_∞$ (\ref{exemples caractĂšres additifs locaux}),
la mesure $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$ est la mesure
de Lebesgue usuelle (cf. \ref{Fourier et mesure locaux}) et l'on a :
\[
ζ_{𝐞_∞}(f,1,s)=ζ(f,s),
\]
oĂč le terme de droite est la transformĂ©e de Mellin rĂ©elle de $f$
considérée en \ref{transformation Mellin réelle}
et $1$ désigne le caractÚre multiplicatif trivial.

\subsubsection{Cas archimédien : calculs}
\label{Mellin local archimédien}
Supposons maintenant le corps local $K$ archimédien quelconque.
Les gaussiennes
\[
g_𝐑(x)=\exp(- π xx) ∈ 𝒼(𝐑)
\]
et
\[
g_𝐂(z)=\frac{1}{π} \exp(- 2 π z \sur{z}) ∈ 𝒼(𝐂),
\]
jouent un rĂŽle semblable Ă  celui de la fonction $𝟭_đ’Ș$ dans le cas ultramĂ©trique.
Pour chaque nombre complexe $s$ de partie réelle strictement
positive, on a
\[
ζ_𝐑(s):=ζ(g_𝐑,1,s)=π^{-œs}Γ(œs)
\]
et
\[
ζ_𝐂(s):=ζ(g_𝐂,1,s)=2(2 π)^{-s} Γ(s).
\]
Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
$x=√r$ dans le cas rĂ©el\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π xÂČ} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}.
\]} ou $x=√r e^{i ξ}$ dans le cas
complexe\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐂(s)
:=\frac{1}{π}∫_{𝐂^×} e^{-2 π z \sur{z}} |z|_𝐂^s \frac{2dxdy}{|z|_𝐂}
=\frac{1}{π} ∫_{𝐑^× × [0, 2 π[} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dΞ
=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑^×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}.
\]}.
À une constante multiplicative prĂšs dĂ©pendant des auteurs, ces fonctions
zĂȘta locales sont appelĂ©es « facteurs Gamma » et classiquement notĂ©s $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
On suit ici le choix de P. Deligne (\cite[§3.2]{constantes@Deligne}) ;
voir aussi \cite[§3.1]{NTB@Tate}.
Pour une variante, voir par exemple \cite{Facteurs@Serre}.
Notons qu'avec notre convention, on a la \emph{formule de duplication} :
\[
ζ_𝐂(s)=ζ_𝐑(s)ζ_𝐑(s+1).
\]
(Cf. P. Deligne, \emph{op. cit.}, prop. 3.8 pour une interprétation.)
% attribuée à Legendre par Neukirch.

\subsubsection{Cas ultramétrique : réécriture}
\label{Mellin et Z}
Supposons maintenant $K$ ultramĂ©trique et considĂ©rons pour chaque $n ∈ 𝐙$ le
translaté $𝒰_n$ du groupe des unitĂ©s $𝒰=đ’Ș^×$ par $ϖ^n$ :
\[
𝒰_n=\{x ∈ K^×:|x|=q^{-n}\}=\{x ∈ K^×:v(x)=n\}.
\]
La restriction de $f$ au \emph{compact} $𝒰_n$ est
localement constante donc intégrable et l'on pose
\[
z_ψ(f,χ)_n=∫_{𝒰_n} f χ  dÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ
\]
Pour $n â‰Ș 0$, $𝒰_n$ ne rencontre par le support de $f ∈ 𝒞_c(K)$ ; ce coefficient est alors nul.
On peut donc définir la série de Laurent formelle
\[
Z_ψ(f,χ,X)=∑_{n ∈ 𝐙} z_ψ(f,χ)_n X^n ∈ 𝐂((X)).
\]
Soit $ρ_{f,χ} ≄ 0$ le rayon de convergence de la sĂ©rie
$Z_ψ(f,χ,X)$. Le quasi-caractĂšre $ω_s$ Ă©tant constant de
valeur $q^{-ns}$ sur $𝒰_n$, l'intĂ©grale $ζ_ψ(f,χ,s)$
est absolument convergente et holomorphe sur le
domaine $\Re(s)> -\log_q(ρ_{f,χ})$ et l'on a
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s}).
\]

\subsubsection{Cas ultramétrique : calculs}
\label{calcul explicite intégrale quasi-caractÚre}
Toute fonction dans $𝒼(K)$, oĂč $K$ est local ultramĂ©trique, Ă©tant combinaison linĂ©aire de
fonctions caractĂ©ristiques $f=𝟭_{x+đ”Ș^e}$ ($x ∈ K, e ∈ 𝐙$),
le calcul de fonctions zĂȘta locales ultramĂ©triques se ramĂšne
au calcul des sĂ©ries $Z(𝟭_{x+đ”Ș^e},χ,X)$, relativement
Ă  un caractĂšre additif que l'on peut supposer de niveau nul. Nous allons
distinguer les deux cas $x ∈ đ”Ș^e$, c'est-Ă -dire $x+đ”Ș^e=đ”Ș^e$, et $x ∉ đ”Ș^e$,
c'est-Ă -dire $f(0)=0$.

Il est immĂ©diat que $z(𝟭_{đ”Ș^e},χ)_n$ vaut $χ(ϖ)^n ⋅ ∫_𝒰 χ₁  dÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}₁$
si $n ≄ e$ et est nul sinon. (On rappelle que $χ₁$ est la restriction
à $𝒰$ de $χ$.) D'autre part, il rĂ©sulte de l'orthogonalitĂ© des caractĂšres
et de l'Ă©galitĂ© $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒰)=1$ que l'intĂ©grale
$∫_𝒰 χ₁  dÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ vaut $1$ si $χ₁$ est trivial, c'est-Ă -dire
si $χ$ est net, et $0$ sinon. Ainsi,
\[
Z(𝟭_{đ”Ș^e},χ,X)=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)X} & \text{si $χ$ est net}\\
\displaystyle 0  & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Dans le premier cas, le rayon de convergence de $Z(𝟭_{đ”Ș^e},χ,X)$
est $|χ(ϖ)|^{-1}=q^{-\Re(χ)}$.

Considérons maintenant le second cas : l'élément $x$ de $K$ n'appartenant pas
à $đ”Ș^e$, c'est-Ă -dire tel que $r=v(x)<e$. Tout Ă©lĂ©ment de $x +
đ”Ș^e$ est de valuation $r$. D'autre part, un Ă©lĂ©ment
de $x+đ”Ș^e$ s'Ă©crit de maniĂšre unique sous la forme
$x(1+y)$ oĂč $y ∈ đ”Ș^{e-r}$. Il en rĂ©sulte immĂ©diatement
que $z(𝟭_{x+đ”Ș^e},χ)_n=χ(x) ⋅ ∫_{1+đ”Ș^{e-r}} χ₁  dÎŒ^{\mbox{\minus
$×$}}₁$ si $n =r$ et $0$ sinon. Il rĂ©sulte Ă  nouveau de
l'orthogonalité des caractÚres et de
l'Ă©galitĂ© $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}₁(1+đ”Ș^i)=
\frac{q^i}{1-q^{-1}}$ ($i ≄ 1$) que
$Z(𝟭_{x+đ”Ș^e},χ,X)$ vaut $\frac{χ(x) q^e }{1-q^{-1}} (\frac{X}{q})^{r}$
si ${χ₁}_{| 1+đ”Ș^{e-r}}=1$ et $0$ sinon.

\begin{remarque2}
\label{Matchett}
La formule
\[
ζ(𝟭_đ’Ș,χ \text{ net},s)=\frac{1}{1-χ(ϖ)|ϖ|^s}
\]
rappelle sans équivoque un facteur eulérien, analogue
des facteurs Gamma considérés ci-dessus.
(Rappelons que la notation sous-entend que
la caractĂšre additif $ψ$ utilisĂ© est de niveau nul.)
Généralement attribuée à Margaret \textsc{Matchett} (thÚse « On the Zeta Function for
Ideles », 1946), cette formule est un des points de départ de la méthode
— due indĂ©pendamment Ă  \textsc{Iwasawa} Kenkiti et John \textsc{Tate} — pour
dĂ©montrer l'Ă©quation fonctionnelle des fonctions zĂȘta \emph{globales}.
\end{remarque2}

\begin{théorÚme2}
\label{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractĂšre additif non
trivial et $χ$ un quasi-caractĂšre multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒼(K)$, l'intĂ©grale
$∫_{K^×} f χω_s  d ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ$ est absolument
convergente et dĂ©finit une fonction holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$.
Si de plus $f$ est nulle au voisinage de $0$, l'intégrale est
absolument convergente et holomorphe sur $𝐂$.
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒼(K)$, la fonction
$ζ_ψ(f,χ,s)$ admet un prolongement mĂ©romorphe à $𝐂$.
\item Il existe une fonction mĂ©romorphe non nulle $s ↩ Îł_ψ(χ,s)$ telle que,
pour toute fonction $f ∈ 𝒼(K)$, l'Ă©quation fonctionnelle
suivante soit satisfaite :
\[
Îł_ψ(χ,s)ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
\end{enumerate}
\end{théorÚme2}

Rappelons (\ref{notation quasi-caractĂšre dual}) que
$\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$ est de partie rĂ©elle $1-\Re(χ)$.
On a a trivialement
\[
ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),χ^{-1},1-s).
\]

La démonstration du théorÚme occupe les trois paragraphes suivants.
Pour l'analogue global, cf. \ref{pÎles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
\subsubsection{}
Si $K$ est ultramétrique, il résulte des
calculs effectués en \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractÚre}
que $ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s})$ oĂč $Z_ψ(f,χ,X)$ est
une fraction rationnelle dont l'ensemble des pĂŽles
est inclus dans $\{0,χ(ϖ)^{-1}\}$.
Les résultats (i) et (ii) sont alors évidents.
(L'holomorphie sur $𝐂$ lorsque $f(0)=0$ a dĂ©jĂ  Ă©tĂ©
constatée.) Démontrons (i) dans le cas archimédien.
L'intégrabilité de la fonction sur l'ouvert $|x|>1$ résulte
immédiatement du fait que $f$ est à décroissance rapide en
l'infini. Pour dĂ©montrer l'intĂ©grabilitĂ© sur le fermĂ© $|x| ≀ 1$,
on se ramÚne à la convergence de l'intégrale
\[
∫_{|x|<1} ω_σ  dÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}
\]
pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. Si $K=𝐑$, cette convergence
est classique ; le cas $K=𝐂$ s'y ramùne en utilisant
des coordonnées polaires. (Si $f$ est nulle
au voisinage de l'origine, on a convergence pour tout $s$.)
L'holomorphie résulte d'un théorÚme classique de dérivation
sous le signe somme (cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}).
Nous verrons ci-aprÚs que l'équation fonctionnelle et (i)
entraĂźnent formellement l'existence d'un prolongement
mĂ©romorphe des fonctions zĂȘta.
%Il résulte de (i) que l'équation fonctionnelle
%entraßne l'existence d'un prolongement méromorphe.
%En effet, la fonction $ζ_ψ(χ,f,s)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$
%et Ă©gale sur la bande $-\Re(χ)<\Re(s)<1-\Re(χ)$ Ă  la
%restriction de la fonction $Îł_ψ(χ,s)^{-1}ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$,
%mĂ©romorphe sur le demi-plan $\{s:\Re(-s)>-\Re(\chap{χ})\}=
%\{s:\Re(s)<1-\Re(χ)\}$ d'aprĂšs (i) et la non nullitĂ© du
%facteur $γ$.

\subsubsection{}Pour démontrer l'équation fonctionnelle,
nous allons commencer par établir une formule de « $ζ$-Plancherel ».
Supposons $0<\Re(χ)<1$ et considĂ©rons deux fonctions $f,g ∈ 𝒼(K)$.
Alors, on a l'égalité :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ),
\]
oĂč l'on note pour simplifier— et ce jusqu'Ă  la fin de la dĂ©monstration — $ζ$
(resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ℱ_ψ(f)$, etc.).
En effet, le terme de gauche se réécrit
\[
∫_{K^× × K^×} f(x)\chap{g}(y)χ(x y^{-1}) |y|  d
{ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}.
\]
On peut voir cette égalité comme un cas particulier,
mais crucial, du théorÚme de Fubini appliqué
à une fonction de deux variables séparées,
c'est-Ă -dire de la forme $(x,y)↩ (φ₁ ⊠ φ₂)(x,y)=φ₁(x)φ₂(y)$.
On effectue le changement de variables $(x,y) ↩
(x,xy)$ ; il préserve la mesure de Haar produit
${ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}$. Il rĂ©sulte
alors du théorÚme de Fubini que l'on a :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=∫_{K^×}h_{f,g}(y)χ(y^{-1})|y| d ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}(y)
\]
oĂč
\[
h_{f,g}(y)= ∫_{K^×} f(x)\chap{g}(xy)|x| d ÎŒ^{\mbox{\minus
$×$}}(x)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K} f(x)\Big(∫_K g(z) ψ(xyz)  d
ÎŒ^{\mbox{\minus$+$}}(z)\Big)  d ÎŒ^{\mbox{\minus$+$}}(x).
\]
La seconde égalité résulte de la définition de la transformation de
Fourier et \ref{sorites mesures multiplicatives locales}.
Enfin, une seconde application du théorÚme de Fubini donne
\[
h_{f,g}(y)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K^× × K^×} f(x) g(z) ψ(xyz) dÎŒ^{\mbox{\minus$+$}}(x) d ÎŒ^{\mbox{\minus$+$}}(z)
= h_{g,f}(y).
\]
L'expression $ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})$ Ă©tant symĂ©trique
en $f$ et $g$, elle est nĂ©cessairement Ă©gale à $ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ)$.

\subsubsection{}Supposons dorĂ©navant $\Re(χ)=œ$, comme il
est loisible de le faire. Il existe une fonction $g ∈ 𝒼(K)$
à support contenu dans une boule fermé centrée en $1$
ne contenant pas l'origine telle que $ζ(g,χ) ≠ 0$.
En effet, l'Ă©galité $χ(1)=1$ entraĂźne l'existence d'un
voisinage $V$ de $1 ∈ K^×$ sur lequel la partie
rĂ©elle des nombres complexes $χ(x)$, $x ∈ V$, est strictement
positive ; la conclusion en résulte aussitÎt.
La fonction $ζ(g,χ,s)$ est donc holomorphe, non identiquement
nulle. ConsidĂ©rons la fonction mĂ©romorphe sur $\{s:\Re(s)<œ\}$ :
\[
Îł(χ,s)=\frac{ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)}{ζ(g,χ,s)}.
\]
D'aprÚs la formule de $ζ$-Plancherel, on a l'égalité
\[
ζ(f,χ,s)= Îł(χ,s)^{-1} ζ(\chap{f},\chap{χ},-s),
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒼(K)$ et tout nombre complexe $s$
tel que $|s|<œ$. (Cette Ă©galitĂ© est Ă  considĂ©rer
dans le corps des fonctions méromorphes sur cet ouvert.)
Le terme de gauche est holomorphe sur
$\Re(s)>-œ$ ; celui de droite est mĂ©romorphe pour $\Re(s)<œ$.
La fonction $ζ(f,χ,s)$ a un prolongement mĂ©romorphe à $𝐂$.
En particulier, $ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)$
donc $Îł(χ,s)$ admettent un prolongement mĂ©romorphe à $𝐂$. CQFD.


\subsubsection{}Esquissons une seconde démonstration
de l'équation fonctionnelle du théorÚme précédent dans le cas ultramétrique.
(Comme nous l'avons vu, l'existence d'un prolongement
méromorphe en résulte immédiatement.) Montrons que
pour tout quasi-caractĂšre multiplicatif $χ$, il existe une fraction
rationnelle $c_ψ(χ,X) ∈ 𝐂(X)$ telle que
\[
c_ψ(χ,X)Z_ψ(f,χ,X)=Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒼(K)$. L'Ă©quation fonctionnelle
\ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.(iii)
en rĂ©sulte en posant $Îł_ψ(χ,s)=c_ψ(χ,q^{-s})$.
ConsidĂ©rons Ă  cette fin l'ensemble $𝒟_χ$ des formes
$𝐂$-linĂ©aires $Δ: 𝒼(K) → 𝐂(X)$ telles que \[Δ([×a]^* f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)\]
pour chaque fonction $f$ et chaque $a ∈ K^×$.
Il est formel que $f ↩ Z(f,χ,X)$ appartient à $𝒟_χ$ : en
effet, $z_n([×a]^*f)=χ^{-1}(a)z_{n-v(a)}$ pour tout $n$,
comme il rĂ©sulte immĂ©diatement des Ă©galitĂ©s $[×a]^*
ÎŒ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}=ÎŒ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}$ et
$a 𝒰_n=𝒰_{n-v(a)}$. De mĂȘme, il rĂ©sulte
de l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux}.(iii).(a)
et du calcul prĂ©cĂ©dent que la forme linĂ©aire $f ↩ Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)$
appartient Ă©galement à $𝒟_χ$. Or, et c'est lĂ  le point clef,
l'espace $𝒟_χ$ est de dimension un sur $𝐂(X)$. Il suffit
pour cela de montrer que l'évaluation
$𝒟_χ → 𝐂(X)$, $Δ ↩ Δ(𝟭_{1+đ”Ș^{a(χ)}})$ est \emph{injective},
oĂč $a(χ)$ est le conducteur du caractĂšre multiplicatif $χ$.
Posons $n=a(χ)$ et supposons $Δ(𝟭_{1+đ”Ș^n})=0$. Pour tout $r ≄ n$, considĂ©rons des reprĂ©sentants $(a_i)$
dans $1 + đ”Ș^n$ du groupe quotient $1+đ”Ș^n ∕ 1+đ”Ș^r$, fini (de cardinal $q^{r-n}$). On a d'une part
$𝟭_{1+đ”Ș^n}=∑_i [×a_i]^* 𝟭_{1+đ”Ș^r}$ par hypothĂšse sur
les $a_i$ et d'autre part $Δ([×a_i]^*
𝟭_{1+đ”Ș^r})=Δ(𝟭_{1+đ”Ș^r})$ par hypothĂšse sur $φ$ et $n$ :
$χ(a_i)=1$ et $v(a_i)=0$.
En consĂ©quence, $Δ(𝟭_{1+đ”Ș^r})=0$. Toute fonction $f
∈ 𝒼(K)$ Ă  support dans $K^×$ Ă©tant combinaison linĂ©aire
de translatés (multiplicatifs) de fonctions caractéristiques
$𝟭_{1+đ”Ș^r}$ pour $r ≄ n$, on a $Δ(f)=0$ pour de telles
fonctions. Il en rĂ©sulte que $Δ(f)$ ne dĂ©pend que de
la valeur de $f$ en $0$, si bien que $Δ([×a]f)=Δ(f)$ pour
tout $a ∈ K^×$ et tout $f ∈ 𝒼(K)$. Compte tenu
de l'Ă©galitĂ© $Δ([×a]^*f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)$, on
a $Δ(f)=0$. CQFD.
Pour une discussion du cas archimédien, voir \cite[§1]{Fonction@Weil}.

\subsection{Facteurs $Δ$}

\subsubsection{}
\label{définition fonction L locale}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ comme en \ref{description quasi-caractĂšres}.
Posons 
\[L(χ)=
\begin{cases}
\displaystyle ζ_K(s) &           \text{si } K \text{ est archimédien}\\
\displaystyle \frac{1}{1-χ(ϖ)} & \text{si } K \text{ est ultramĂ©trique et }χ \text{ net}\\
\displaystyle 1 &                \text{sinon}.
\end{cases}
\]
% Deligne, §3.2
Il résulte des calculs effectués en \ref{Mellin local archimédien} et \ref{Matchett}
que l'on a $L(χ)=ζ_ψ(g,χ)$, oĂč $ψ$ est de niveau nul
et $g$ est une gaussienne ou bien la fonction caractéristique
de l'anneau des entiers. Sauf si $K$ est ultramĂ©trique et $χ$
ramifié : remplacer $ζ_ψ(g,χ)=0$ par $1$.
(Voir \cite[§23.2]{Bushnell-Henniart} pour une interprétation
plus conceptuelle dans le cas ultramétrique.)
Il est naturel de considĂ©rer pour chaque fonction $f ∈ 𝒼(K)$,
le quotient $ζ_ψ(f,χ)/L(χ)$.

\subsubsection{}
\label{définition facteur epsilon local}
D'aprÚs \ref{prolongement méromorphe et équation
fonctionnelle cas local}, il existe un « \textbf{facteur epsilon} »\index{facteur epsilon},
indépendant de $f$, tel que l'on ait :
\[
Δ_ψ(χ)×\frac{ζ_ψ(f,χ)}{L(χ)}=\frac{ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ})}{L(\chap{χ})}.
\]
D'aprĂšs \emph{loc. cit.}, on a $Δ_ψ(χ)=Îł_ψ(χ)×\frac{L(χ)}{L(\chap{χ})}
∈ 𝐂^×$. Les deux formules suivantes rĂ©sultent respectivement
de \ref{dépendance Fourier local en caractÚre}
et \ref{Fourier et mesure locaux} (formule d'inversion).
% détailler ? \XXX

\begin{proposition2}
\label{epsilon par translation et produit}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractĂšre additif non trivial et $χ$ un caractĂšre multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $a ∈ K^×$, $Δ_{ψ_a}(χ)=χ(a)|a|^{-œ}Δ_ψ(χ)$.
\item \label{epsilonepsilon} $Δ_ψ(χ) Δ_ψ(\chap{χ})=χ(-1)$. 
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Notons que les mĂȘmes formules sont valables pour le facteur $Îł$.
D'aprĂšs (i), la dĂ©termination de ces facteurs se ramĂšne au cas particulier oĂč le caractĂšre
additif $ψ$ est de niveau fixĂ©.

\subsubsection{Formulaire archimédien}

Si $K$ est rĂ©el ou complexe, et $χ=χ₁ ω_s$
comme ci-dessus oĂč $χ₁:x↩ x^{-a}$, on a :
\[
Δ_{𝐞_K}(χ)=i^a.
\]
Vérifions-le briÚvement dans le cas réel.
Le cas complexe est laissé en exercice au lecteur
(cf. \cite[§2.5]{Fourier@Tate}).
Pour $a=0$, c'est une trivialité : on applique
la définition \ref{définition facteur epsilon local}
lorsque $f$ est la gaussienne $g_𝐑$ (invariante par Fourier).
Le cas $a=1$ se ramÚne au cas précédent : considérer la dérivée
de $g_𝐑$ et utiliser le fait que la transformation de Fourier Ă©change
dérivation et multiplication par $i$.

\subsubsection{Formulaire ultramétrique}
\label{facteur epsilon ultramétrique}
Lorsque $χ$ est net et $ψ$ de niveau nul, on a :
\[
Δ_ψ(χ)=1.
\]
En effet, $ℱ_ψ(𝟭_đ’Ș)=𝟭_đ’Ș$ donc $ζ_ψ(ℱ_ψ(𝟭_đ’Ș),\chap{χ})=L(\chap{χ})$
et, plus trivialement encore, $ζ_ψ(𝟭_đ’Ș,χ)=L(χ)$.
ConsidĂ©rons maintenant le cas gĂ©nĂ©ral : $χ$ est Ă©ventuellement ramifiĂ©,
de conducteur $a=a(χ) ≄ 0$ (\ref{dĂ©finition conducteur})
et $ψ$ de niveau $n=n(ψ)$. ConsidĂ©rons la fonction $f=χ^{-1} 𝟭_{đ’Ș^×}$,
oĂč $χ^{-1}$ dĂ©signe abusivement le prolongement par zĂ©ro de la
fonction $χ^{-1}:K^× → 𝐂$ à $K$. Elle appartient à $𝒼(K)$ et
est constante sur les classes modulo $đ”Ș^a$ : si $x ∈ đ’Ș^×$
et $y ∈ đ’Ș$, on a $χ(x)=χ(x+y ϖ^a)$ car $χ(1+x^{-1}y ϖ^a)=1$.
En conséquence (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii) et (iii).b),
sa transformĂ©e de Fourier $ℱ_ψ(f)$ est Ă  support contenu dans $đ”Ș^{-(n+a)}$.
Pour simplifier les calculs, supposons dorénavant que $n+a=0$,
comme il est loisible d'aprĂšs \ref{epsilon par translation et produit}, (ii).
Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est Ă  support dans $đ’Ș$. D'autre part, par dĂ©finition,
c'est la fonction $x↩ ∫_{đ’Ș^×} χ^{-1}(y) ψ(xy)   dÎŒ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$.
À moins que $χ_{|đ’Ș^×}$ ne soit trivial (c'est-Ă -dire $χ$ net, ou encore $a=0$).
on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant Ă©tĂ© traitĂ©, supposons maintenant $a>0$.
Pour $x ∈ đ’Ș-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$
et la formule \ref{module=module} entraßne :
$ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} đ’Ș^×} χ^{-1}(z) ψ(z)   dÎŒ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$.
Pour la mĂȘme raison que prĂ©cĂ©demment, cette intĂ©grale est nulle
si $x$ n'appartient pas à $đ’Ș^×$. (Si $x ∈ đ”Ș$, la fonction $χ^{-1} 𝟭_{x^{-1}đ’Ș}$
est constante modulo $đ”Ș^{a-1}$ et la valeur en $1$ de sa transformĂ©e
de Fourier est nulle.)
Finalement,
\[
ℱ_ψ(χ^{-1} ⋅ 𝟭_{đ’Ș^×})=đ”€(χ,ψ) ⋅ \big( \chap{χ}^{-1} ⋅ 𝟭_{đ’Ș^×} \big),
\]
oĂč la constante multiplicative est la \textbf{somme de Gauß} \index{somme de Gauß}
\[
đ”€(χ,ψ)=∫_{đ’Ș^×} χ^{-1} ⋅ ψ   dÎŒ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
Ceci est une généralisation du calcul \ref{exemple Fourier et Gauss}.
Enfin, par construction, $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(𝟭_{đ’Ș^×},1)(=ÎŒ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}(đ’Ș^×))$
et, d'aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde, $ζ_ψ(\chap{f},\chap{χ})=đ”€(χ,ψ) ζ_ψ(𝟭_{đ’Ș^×},1)$.
En résumé, on a a démontré la proposition suivante :

\begin{proposition2}
Sous l'hypothĂšse que $a(χ)+n(ψ)=0$, on a :
\[
Δ_ψ(χ)=đ”€(χ,ψ).
\]
\end{proposition2}
Notons que cette formule est Ă©galement valable lorsque $χ$ est net.

%\subsection{Fonctorialité}
%$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
%[À dĂ©placer ? \XXX]

\section{Corps globaux}

\subsection{PremiÚres définitions, notations}

\subsubsection{}
Un corps $k$ est un \textbf{corps global} s'il est de
caractĂ©ristique nulle, fini sur $𝐐$ ou bien
s'il est de caractéristique \mbox{$p>0$}, de type fini
sur le corps fini $𝐅_p$ et de degrĂ© de transcendance $1$ sur
ce corps. Dans le premier cas, on dit que $K$ est un
\textbf{corps de nombres} ; dans le second, on dit que $K$
est un \textbf{corps de fonctions algébriques} sur le corps
fini $𝐅_p$.

\subsubsection{}
\label{notation places infinies}
On appelle \textbf{point} de $K$ une classe d'équivalence de
valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
traditionnelles $ÎŁ_f(K)$ et $ÎŁ_∞(K)$, afin d'Ă©viter la possible
confusion entre les places archimédiennes et les places « à l'infini »
en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation
$P↩ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$
cette place (ultramétrique).

\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
\commentaire{Noter $K_{\chap{x}}$ ? et réserver $K_x$ pour le corps valué
$(K,||_x)$ ?}
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
classe $x$ ; c'est un corps local
au sens de \ref{definition corps locaux}, cf. \ref{Kx sont locaux}
\emph{infra}. (Réciproquement, il n'est pas difficile
de montrer que tout corps local s'obtient de cette maniĂšre.)
% Si $G$ est un
%groupe sous-groupe d'un $𝔖_n$ tel $𝐀^n/G$ soit rationnel,
%on peut mĂȘme relever un nombre fini d'extensions locales
%galoisiennes de groupe $G$. Serre, Topics, th. 2 p. xiv. \XXX
On dispose donc d'une valeur absolue
privilégiée sur $K_x$, la valeur absolue normalisée,
que l'on note $|⋅|_x$, ainsi que sa restriction à $K$, qui
appartient à la classe $x$. Si $x$ est ultramétrique,
on note Ă©galement $đ’Ș_{K,x}=\{f ∈ K_x : |f|_x ≀ 1\}$
l'anneau de valuation de $K_x$, $đ”Ș_x$ son idĂ©al maximal,
$k_x=đ’Ș_{K,x}/đ”Ș_x$ le corps rĂ©siduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — appelĂ©
\emph{norme} de $x$ — et enfin $v_x$ la valuation $K_x ↠ 𝐙 âˆȘ \{+∞\}$.
Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $đ’Ș_{K,x}$,
on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$.
Il est parfois utile de faire la convention suivante :
lorsque $x ∈ ÎŁ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $đ’Ș_{K,x}=K_x$.
% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
% d'Ă©crire « $S ⊆ ÎŁ(K)$ fini contenant $ÎŁ^{\mathrm{arch}}(K)$ »


\subsubsection{}
\label{U-entiers}
Pour toute partie cofinie $U ⊆ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $đ’Ș_K(U)$ l'ensemble des Ă©lĂ©ments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-Ă -dire appartenant à $đ’Ș_{K,x}$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon Ă©quivalente : $|f|_x ≀ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $đ’Ș_K$
l'anneau $đ’Ș_K(ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.

\subsubsection{}
\label{notation OLU}
Lorsqu'une extension $L\bo K$ est fixée
et que l'on considÚre un ouvert dense $U$ de $K$,
il est parfois commode de noter $đ’Ș_L(U)$
l'anneau $đ’Ș_L(V)$, oĂč $V$ est l'image inverse de $U$ dans $ÎŁ(L)$.
(On fait de mĂȘme pour les \emph{adĂšles} dĂ©finis plus bas,
cf. \ref{définition adÚles}.)

\subsubsection{Exemples}
\label{sections globales droite projective}
Notons pour simplifier $Σ$ l'ensemble des places du corps global $𝐅_p(t)$.
On a alors $đ’Ș_{𝐅_p(t)}(ÎŁ)=𝐅_p$ : une fraction rationnelle
sans pĂŽle est une constante. Plus prĂ©cisĂ©ment, si l'on a $|f|_P ≀ 1$ pour chaque $P ∈ 𝐅_p[t]$
irrĂ©ductible et que l'on Ă©crit $f=a/b$ avec $a,b ∈ 𝐅_p[t]$ premiers entre eux,
alors $P$ ne divise pas $b$. Ceci étant vrai pour tout $P$, le polynÎme $b$
est nĂ©cessairement une constante. Comme $|a|_∞=p^{\deg(a)}$, on a $\deg(a)=0$
(absence de pĂŽle Ă  l'infini).
« Calculons » maintenant $đ’Ș_{𝐅_p(t)}(U)$ pour un ouvert quelconque $U ≠ ÎŁ$.
Supposons pour commencer que la place $|⋅|_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce cas, les places
appartenant à $ÎŁ-U$ sont de la forme $|⋅|_{P_i}$ oĂč les $P_i$ sont des polynĂŽmes
irrĂ©ductibles, que l'on peut supposer unitaires, de $𝐅_p[t]$. Ils sont en nombre
fini par hypothĂšse et l'on peut considĂ©rer leur produit $P=∏_i P_i$. On
a alors l'Ă©galitĂ© $đ’Ș_{𝐅_p(t)}(U)=k[t][1/P]=\{f ∈ 𝐅_p(t): ∃n ≄ 1, ∃a ∈ 𝐅_p[t],
f=\frac{a}{P^n}\}$. Si l'on suppose maintenant que la place Ă  l'infini
appartient à $U$, l'anneau $đ’Ș_{𝐅_p(t)}(U)$ est l'intersection d'un anneau
du type précédent avec l'ensemble des fractions rationnelles de degré négatif ou
nul. Ce n'est autre que le sous-anneau $k[t^i/P, 0 ≀ i ≀ d]$ de $𝐅_p(t)$,
oĂč $d=\deg(P)$. Notons que dans un cas comme dans l'autre, ces anneaux sont des
$k$-algùbres de type fini et de corps des fractions $𝐅_p(t)$.

Par contre, si $K=𝐐$ et $ÎŁ=ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $đ’Ș_𝐐=đ’Ș_K(ÎŁ)=𝐙$.

\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
la clĂŽture algĂ©brique de $𝐅_p$ dans $K$ est appelĂ©e
\textbf{corps des constantes} de $K$. C'est le plus grand
sous-corps fini de $K$ (\refext{RT}{finitude clÎture algébrique dans tf}).

\subsection{Points de $𝐐$ et $𝐅_p(t)$ ; applications}

\subsubsection{}On a vu en \refext{AVD-Dedekind}{Ostrowski sur Q}
que toute valeur absolue de $𝐐$ est Ă©quivalente
Ă  une unique valeur absolue $| ⋅ |_p$, oĂč $p ∈ đ’«  âˆȘ \{∞\}$,
$đ’«$ dĂ©signe l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, oĂč $v_p(f) ∈ 𝐙 âˆȘ\{+∞\}$ est la
valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier,
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
Ainsi, $đ’« → ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↩ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse notĂ© $x ↩ p_x$, et
$\{∞\} → ÎŁ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↩ \text{classe de }|⋅|_∞$ Ă©galement.
Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
par les bijections précédentes. Cette identification
est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
Par exemple, si $p$ est un nombre premier, $đ’Ș_{x_p}=𝐙_p$, etc.
Notons que $đ’«$ est naturellement en bijection avec $\Specmax(𝐙)$.

\subsubsection{}Soit $p$ un nombre premier. Il résulte
de \refext{AVD-Dedekind}{k-valuations de k(X)}
%et [...] ? \XXX
que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
sont toutes ultramĂ©triques et que l'ensemble $ÎŁ(𝐅_p(t))$
est naturellement en bijection avec l'union $đ’«_p âˆȘ \{∞\}$, oĂč
$đ’«_p$ dĂ©signe l'ensemble des polynĂŽmes irrĂ©ductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$. Notons que $đ’«_p$ est naturellement en bijection avec
$\Specmax(𝐅_p[t])$. (Pour des renseignements quantitatifs sur $đ’«_p$, voir
\refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.)
%\XXX

\subsubsection{}
\label{Kx sont locaux}
Soient $L\bo K$ une extension finie de corps globaux
et $y ∈ Σ(L)$. Toute valeur absolue $| ⋅ |_L$ dans la classe $y$
induit par restriction une valeur absolue $| ⋅|_K$
sur $K$ dont la classe d'équivalence ne dépend
que de $y$ et que nous noterons $x$.
D'aprÚs \refext{AVD-Dedekind}{finitude préservée par complétion},
l'injection $K â†Ș L$ induit une injection $K_x â†Ș L_y$,
faisant de $L_y$ une \emph{extension finie} de $K_x$.
Si $K_x$ est un corps local, il en est de mĂȘme de $L_y$
(cf. \ref{extension finie corps local est local}).
Or, on a vu ci-dessus que si $K=𝐐$ ou $K=𝐅_p(t)$,
chaque $K_x$ est un corps local ; tout corps global $L$
étant extension finie d'un tel corps global « premier » $K$,
les $L_y$ sont locaux.
Rappelons (\ref{extension finie corps local est local})
que la restriction à $K_x$ de la valeur
absolue normalisĂ©e $|⋅|_y$ n'est en gĂ©nĂ©ral pas Ă©gale à $|⋅|_x$
(mais plutĂŽt Ă  la puissance $[L_y:K_x]$-iĂšme
de celle-ci). Voir aussi \refext{AVD-D}{définition indice de ramification}.

\begin{proposition2}
\label{toute courbe est revĂȘtement ramifiĂ© de P1}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
Il existe un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
$K\bo 𝐅_p(t)$ soit Ă©tale.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le corps $𝐅_p$ Ă©tant parfait, cela rĂ©sulte de
\refext{RT}{extension corps parfait est séparable}.
Voici une seconde démonstration. Nous allons montrer plus généralement que
si $K=𝐅_p(a₁,
,a_n)$, il existe un indice $i$ tel que $K$ soit sĂ©parable
sur $𝐅_p(a_i)$. On procĂšde par rĂ©currence, le cas $n=1$ Ă©tant trivial
(extension transcendante pure). L'hypothÚse de récurrence, jointe
au fait qu'une extension composée d'extension étale est étale
(\refext{Alg}{compose-etale}), nous ramÚne au cas particulier $n=2$ :
$K=𝐅_p(x,y)$. Soit $f ∈ 𝐅_p[X,Y]$ un polynĂŽme irrĂ©ductible
tel que $f(x,y)=0$. Il existe un monĂŽme $x^i y^j$ apparaissant
avec un coefficient non nul dans $f$
dont les exposants ne sont pas simultanément divisibles par $p$.
Dans le cas contraire, comme les coefficients sont des puissances $p$-iĂšmes
($𝐅_p$ est parfait), il en serait de mĂȘme de $f$, ce qui est absurde.
Supposons que $j$ ne soit pas divisible par $p$. Alors $y$ est
racine du polynîme $g(Y)=f(x,Y) ∈ 𝐅_p(x)[Y]$
qui n'appartient pas à $𝐅_p(x)[Y^p]$.
D'autre part, ce polynÎme est \emph{irréductible}
car $f$ l'est et $ x$ est transcendant sur $𝐅_p$.
Ainsi, $y$ sĂ©parable sur $𝐅_p(x)$
et l'extension $K \bo 𝐅_p(x)$ est Ă©tale.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\label{p-rang-corps-global-égal-1}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
Alors, le degré de $K$ sur son sous-corps $K^p$
des puissances $p$-iÚme est égal à $p$.
En d'autres termes, le \emph{$p$-rang} (\refext{RT}{définition-p-rang})
de $K$ est égal à $1$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Il est clair que $𝐅_p(t)^p=𝐅_p(t^p)$ et que l'on a l'Ă©galitĂ©
$[𝐅_p(t):𝐅_p(t)^p]=p$. D'autre part, on a vu en
\refext{RT}{p-rang-invariant-par-extension-finie}
que cette égalité passe aux extensions finies (non nécessairement
étales).
Pour une démonstration \emph{ad. hoc.}, cf.
\cite[VIII.§6, lemme 1]{BNT@Weil}.
\end{démo}


\subsubsection{}Un corps global est donc une extension finie
étale d'un \textbf{corps global premier}, un tel corps
Ă©tant par convention Ă©gal à $𝐐$ ou isomorphe Ă  un corps
de fractions rationnelles $𝐅_p(t)$. L'Ă©tude des corps
globaux procÚde souvent par réduction au cas des corps
globaux premiers. (Voir par exemple
l'observation \ref{Kx sont locaux} \emph{supra}
et le théorÚme \ref{cocompacité} \emph{infra}.)

\begin{proposition2}
\label{finitude-infinitude-places}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$, son sous-ensemble
$\{x ∈ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K): N(x) ≀ c\}$ est \emph{fini}.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}
et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
(resp. ultramétrique) est archimédienne (resp. ultramétrique),
qu'il suffit de traiter le cas particulier oĂč $K$ est un corps global premier.
Dans ce cas, (i) rĂ©sulte du fait que $ÎŁ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$
est un singleton et $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
Quant au premier point de (ii), il suffit de montrer que l'ensemble des idéaux maximaux
$(P)$ de $𝐙$ (resp. $𝐅_p[t]$) est infini. Ceci est bien connu
et en substance dû à Euclide : considérer un diviseur irréductible
d'une expression $P₁ \cdots P_n +1$.
Enfin, $N(P)$ est la valeur absolue usuelle
de $P$ dans le cas des nombres et $p^{\deg(P)}$ dans le cas des fonctions.
Le complément en résulte aussitÎt.
\end{démo}

\begin{proposition2}
\label{normes fonction presque toutes petites}
Soit $K$ un corps global et soit $f ∈ K$.
Pour presque tout $x ∈ ÎŁ(K)$, $|f|_x ≀ 1$. 
De façon Ă©quivalente, $K=\colim_U đ’Ș_K(U)$, oĂč $U$ parcourt
les ouverts denses de $K$.
\end{proposition2}

Si $f ∈ K^×$, on a $|f|_x^{-1}=|f^{-1}|_x$
de sorte qu'il résulte de la proposition précédente
que $|f|_x=1$ pour presque tout $x$.

Pour une variante différentielle, cf. \ref{niveaux forme différentielle presque tous nuls}.

\begin{démo}
Si $K$ est un corps global \emph{premier} cela résulte
de la description explicite de ses valeurs absolues (cf. \refext{}{}).
Il nous suffit donc de montrer que si $L \bo K$ est une extension
finie de corps globaux, la conclusion est valide pour $L$ si elle
l'est pour $K$. Soit $f ∈ L$. Il existe des éléments $a_i ∈ K$ et un entier $n$
tels que $f^n=a₁ f^{n-1} + \cdots + a_n$. Par hypothùse,
les $a_i$ sont \emph{$U$-entiers} pour un ouvert dense
convenable de $K$. (On rappelle
que cela signifie que pour chaque $i$ et chaque $x ∈ U$, on a l'inĂ©galitĂ© $|a_i|_x ≀ 1$.)
Utilisant la finitude (des fibres) de l'application $π:ÎŁ(L) → ÎŁ(K)$
(\refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}),
il existe donc un ouvert dense $V$ de $L$
(que l'on peut prendre Ă©gal Ă  $π^{-1}(U)$)
telle que les $a_i$, vus dans $L$, soient $V$-entiers.
Il en est alors de mĂȘme de $f$.
En effet, on peut réécrire la relation de dépendance algébrique
$1=a₁ f^{-1} + \cdots + a_n f^{-n}$ ; si $|f|_y > 1$,
le terme de droite est de valeur absolue strictement inférieure à $1$.
Absurde.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration dans le cas d'un corps de fonctions]
Si l'Ă©lĂ©ment $f ∈ K$ est algĂ©brique sur $𝐅_p$, et non nul,
il est multiplicativement d'ordre fini donc $|f|=1$ pour toute
valeur absolue. Dans le cas contraire, l'extension $K \bo 𝐅_p(f)$ est finie
et, comme indiqué ci-dessus, le résultat est connu
pour le corps de fonctions transcendant pur $K₀=𝐅_p(f)$.
Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un entier $n$
(dĂ©pendant de $y$). En particulier, $|f|_y ≀ 1$ s'il en est ainsi de $|f|_x$.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{normalité triviale}
Si $U$ est un ouvert dense de $K$,
l'anneau $đ’Ș_K(U)$ est \emph{normal} car c'est l'intersection
$⋂_{u ∈ U} K_u^+$ des sous-anneaux normaux $K_u^+=\{f ∈ K: |f|_u ≀ 1\}$
de $K$. Disons que l'ouvert $U$ est \textbf{affine}
si $K$ est un corps de nombres ou bien si $K$ est un corps de fonctions et $U ≠
ÎŁ(K)$. 

\begin{proposition2}
\label{OKU Dedekind}
%\label{fonctorialité et clÎture intégrale}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert \emph{affine} dense de $K$.
Alors, l'anneau $đ’Ș_K(U)$ un \emph{anneau de Dedekind} de corps des fractions $K$
et l'application naturelle $U → \Specmax đ’Ș_K(U)$ envoyant $u$ sur
la trace de $K_u^{++}=\{f ∈ K: |f|_u < 1\}$ est une \emph{bijection}.
\end{proposition2}

\XXX Question : si $Uâ€Č ⊆ U$, $đ’Ș_K(Uâ€Č)$ est-il un localisĂ© de $đ’Ș_K(U)$ ?

\begin{démo}
Montrons le premier énoncé, en distinguant deux cas.
Si $K$ est un corps de nombres, $đ’Ș_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clĂŽture intĂ©grale $đ’Ș_K$
de $𝐙$ dans $K$. En consĂ©quence $\Frac đ’Ș_K(U)=K$ (et mĂȘme
$đ’Ș_K(U)𝐐=K$ ; cf. \refext{AC}{clĂŽture intĂ©grale commute Ă  localisation}).
Pour vĂ©rifier que l'anneau normal $đ’Ș_K(U)$ est de Dedekind,
il suffit de montrer qu'il est nƓthĂ©rien de dimension $1$ ;
cela résulte du théorÚme de Krull-Akiduki (\refext{AVD-D}{Krull-Akiduki}).
Si $K$ est un corps de fonctions, voir \ref{RR implique Dedekind de type fini}.
% voir aussi Fried-Jarden, p. 32
Vérifions maintenant le dernier point. 
L'application $U → \Specmax(A)$ de l'Ă©noncĂ©
\commentaire{J'utilise de nouvelles notations...}
envoie $u$ sur l'image  dans $\Spec(A)$ du point fermé de $\Spec(K_u^+)$
dĂ©duit de l'inclusion $A â†Ș K_u^+$. C'est un idĂ©al \emph{maximal} car $A/(A
⋂ K_u^{++})$ s'injecte dans le corps fini $K_u^+ / K_u^{++}$.
(On utilise le fait qu'un anneau fini intĂšgre est un corps.)
Rappelons que $\Specmax(A)$ s'injecte naturellement dans
\commentaire{mettre ces sorites ailleurs ?}
$ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$ car chaque idĂ©al maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
induit une valuation ultramĂ©trique $|⋅|_𝔭$ sur son corps des fractions
telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composĂ©e $U → \Specmax(A) → ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$
est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
En effet, si $u ∈ U$ et $𝔭_u=A ∩ K_u^{++}$ est l'idĂ©al
premier de $A$ correspondant, inclusion $A ⊆ K_u^+$ s'Ă©tend en une inclusion
du localisĂ© $A_{𝔭_u}$ dans l'anneau $K_u^+$ (car pour tout Ă©lĂ©ment $b$ de $A∖ 𝔭_u$,
on a $|b|_u=1$), d'oĂč l'Ă©galitĂ© $A_{𝔭_u}=K_u^+$
(\refext{AVD-D}{conditions équivalentes anneau valuation}).
L'application $U → \Specmax(A)$, injective d'aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde,
est surjective car si $v ∉ U$, il existe d'aprùs \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind}
un élément de $K$ qui est $U$-entier, donc dans $A$, mais pas $v$-entier.
\end{démo}

Considérons maintenant un résultat de finitude.

\begin{proposition2}
\label{fonctorialité anneau des Uentiers}
Soient $K$ un corps global, $L\bo K$ une extension finie
et $U$ un ouvert dense de $K$.
\begin{enumerate}
\item Pour toute extension finie $L \bo K$,
l'anneau $đ’Ș_L(U)$ est la clĂŽture intĂ©grale de $đ’Ș_K(U)$ dans $L$.
C'est un $đ’Ș_K(U)$-module de type fini.
\item Sous les hypothÚses précédentes, et si de plus $U$ est suffisamment petit,
$đ’Ș_L(U)$ est un $đ’Ș_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Pour la notation $đ’Ș_L(U)$, cf. \ref{notation OLU}.
Pour la définition de la clÎture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.

\begin{démo}
(i) Notons $A=đ’Ș_K(U)$, $V$ l'image inverse de $U$ dans $ÎŁ(L)$, et
$B=đ’Ș_L(U):=đ’Ș_L(V)$. ConsidĂ©rons Ă©galement la clĂŽture intĂ©grale $Bâ€Č$ de $A$ dans $L$.
L'anneau $B$ est l'ensemble des éléments de $L$
appartenant Ă  chacun des anneaux de valuation discrĂšte
complets $đ’Ș_{L,v}=\{f ∈ L_v: |f|_v ≀ 1\}$, pour $v ∈ V$.
Or, si $f ∈ L$ est entier sur $A$, il est entier sur chaque sur-anneau $đ’Ș_{K,u}$, $u ∈ U$,
donc contenu pour chaque $v↩ u$ dans l'anneau normal $đ’Ș_{L,v}$ de corps des
fractions $L_v$ contenant $L$. Ainsi $Bâ€Č$ est contenu dans $B$.
RĂ©ciproquement si $℩$ est une clĂŽture algĂ©brique de $L$
et $G=\Aut(℩ \bo K)$, un Ă©lĂ©ment $b ∈ B$
est racine d'un polynĂŽme $P=(∏_{ÎČ âˆˆ G ⋅ b} (X-ÎČ))^{p^e}$
Ă   coefficients dans $K$, oĂč $p$ dĂ©signe une puissance
de l'exposant caractéristique de $K$, et $e$ un entier
suffisamment grand (cf. \refext{CG}{polynÎme minimal et conjugués dans cas général}).
Soient $u ∈ U$ et $v ∈ V$ au-dessus (\refext{AVD-D}{finitude préservée par
complĂ©tion}). Pour chaque $g ∈ G$, l'application $λ ↩ |g(λ)|_v$, $L → 𝐑$,
est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
donc dans $V$ (par hypothÚse). Il en résulte que les coefficients
de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$.
Ainsi $b$ est entier sur $A$ et, finalement, $B=Bâ€Č$.
Si l'extension $L\bo K$ est étale, il résulte de \refext{AC}{normalisation dans extension séparable}
que l'anneau $đ’Ș_L(V)$ est un $đ’Ș_K(U)$-module de type fini.
Dans le cas non nĂ©cessairement Ă©tale — qui ne se produit que si $K$ est un
corps de fonctions — cela rĂ©sulte du fait que $đ’Ș_K(U)$ est une algĂšbre de type fini sur un corps
(\ref{RR implique Dedekind de type fini}, \emph{infra}) et de
\refext{AC}{k-algĂšbre-tf-est-japonaise}.


(ii) Soient $d=[L:K]$ et $α₁,
,α_d$ une base de $L$ sur $K$.
Pour $U$ suffisamment petit, les $α_i$ appartiennent à $đ’Ș_L(V)$.
L'injection $đ’Ș_K(U)^d → đ’Ș_L(V)$ dĂ©duite des $α_i$ devient
un isomorphisme sur $K$, donc — puisque c'est un morphisme
entre modules de type fini sur $đ’Ș_K(U)$ — aprĂšs inversion d'un Ă©lĂ©ment $a$
de $đ’Ș_K(U)∖ \{0\}$. Quitte Ă  rĂ©trĂ©cir encore $U$, on peut supposer que $a ∈ đ’Ș_K(U)^×$.
\end{démo}

\section{AdĂšles, idĂšles}

\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}

\commentaire{Supposer aux bons endroits les groupes abéliens}

\commentaire{Vérifier droite/gauche}

\subsubsection{Topologie quotient}
\label{topologie quotient}
Soient $X$ un espace topologique et $∌$ une relation d'Ă©quivalence
sur $X$. La topologie la plus fine sur le quotient ensembliste $X /\hspace{-.3em}∌$
rendant la surjection canonique $π:X ↠ X/\hspace{-.3em}∌$ est appelĂ©e \textbf{topologie
quotient} : sous-ensemble $V$ de $X/\hspace{-.3em}∌$ est ouvert si et seulement si son image
rĂ©ciproque $π^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$.
On dit que la relation d'Ă©quivalence $∌$ est \emph{fermĂ©e} si $π$ est une application fermĂ©e
ce qui revient ici à dire que le saturé de toute partie fermée est fermé.
Dans ce cas, pour tout fermé $F$ de $X$, l'application $F/\hspace{-.3em}∌_F → π(F)$ est un
homĂ©omorphisme, oĂč $∌_F$ dĂ©signe la relation d'Ă©quivalence induite.

\subsubsection{}Soit $G$ un groupe topologique et soit $H$ un sous-groupe, muni
de la topologie induite.
Comme à notre habitude, on note $G/H$ le quotient de $G$ par la relation d'équivalence
$x ∌ y$ si et seulement si $x^{-1}y ∈ H$ ; sauf mention du contraire,
il est équipé de la topologie quotient. On vérifie immédiatement que l'action de $G$
sur $G/H$ par translation est continue ; elle est bien sûr transitive.
Lorsque $H$ est distingué dans $G$, l'espace homogÚne $G/H$
est naturellement un groupe et sa topologie est compatible
avec cette structure : on obtient un groupe topologique.

\subsubsection{}Un morphisme \textbf{propre} est, par définition,
un morphisme $f:X → Y$ d'espaces topologiques
« universellement fermé » au sens suivant : pour tout
espace topologique $Z$, le morphisme $f× \Id_Z: X × Z → Y × Z$ est fermĂ©
(c'est-à-dire : l'image d'un fermé est fermé).
On vérifie (\BourbakiTG{I.§10}) que cette condition est équivalente
à : $f$ est fermé et chaque fibre $f^{-1}(y)$, $y ∈ Y$, est
quasi-compacte. En particulier, si $X$ est un espace topologique
quasi-compact, le morphisme $X → ⋆$ est propre, oĂč $⋆$
désigne un espace topologique ponctuel.

\subsubsection{}Si $H$ est un sous-groupe \emph{compact}
— c'est-Ă -dire quasi-compact et sĂ©paré — de $G$,
la relation d'Ă©quivalence $∌$ est \emph{fermĂ©e}.
En effet, le saturé $HF$ d'un fermé $F$ de $G$
est l'image du morphisme propre — donc fermé —
composĂ© de l'isomorphisme $H×G â„Č H×G$, $(h,g) → hg$, et
du morphisme propre $\mathrm{pr}₂:H×G → G$, $(h,g)↩ g$.

\begin{proposition2}
\label{discrétion et séparation quotient}
Soit $G$ un groupe topologique.
\begin{enumerate}
\item Si $G$ est quasi-compact et discret, il est \emph{fini}.
\item Le quotient $G/H$ de $G$ par un sous-groupe $H$ est discret (resp. séparé)
si et seulement si $H$ est ouvert (resp. fermé).
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) Cette implication est vraie pour tout espace topologique $X$.
Si $X$ est discret, les singletons $\{x\}$, pour $x ∈ X$, sont ouverts et
recouvrent $X$. Si $X$ est de plus quasi-compact, il en existe un
sous-recouvrement fini, CQFD. (Notons qu'un espace topologique fini
est quasi-compact mais pas nécessairement discret.) % cf. topologie discrÚte par exemple.

(ii) Le quotient $G/H$ est discret si et seulement si chaque singleton est ouvert,
ou encore — l'action transitive de $G$ Ă©tant continue —,
si et seulement si le singleton $\{\sur{e}\}$ correspondant à la classe de l'élément neutre
de $G$ est ouvert. Or, par définition, l'image inverse de ce singleton
par la surjection canonique $G ↠ G/H$ est le sous-groupe $H$ ; il est donc
ouvert dans $G$. Considérons maintenant la question de la séparation du quotient.
Si $G/H$ est séparé, le singleton $\{\sur{e}\}$ est fermé,
ainsi donc que son image inverse $H$.
Afin d'établir la réciproque, supposons maintenant $H$ fermé. Soient $x,y
∈ G$ tels que $xH ≠ yH$, ce qui correspond Ă  l'inĂ©galitĂ© des points $\sur{x} ≠ \sur{y}$ dans le quotient.
L'application $ÎŒ:(g,gâ€Č)↩ g^{-1} gâ€Č$, $G×G → G$ est continue et le complĂ©mentaire
$G-H$ est ouvert. L'image rĂ©ciproque de $G-H$ dans le produit $G×G$ est donc un
ouvert, contenant la paire $(x,y)$. Il existe donc deux voisinages ouverts $V_x$
et $V_y$ de $x$ et $y$ respectivement tels que $ÎŒ(V_x × V_y) ⊆ G-H$. On a $V_x H
∩ V_y H =∅$ : les voisinages ouverts de $\sur{x}$ et $\sur{y}$ dans $G/H$ sont
donc disjoints.
\end{démo}

Par soucis d'économie, et comme expliqué en \refext{Cat}{exemples-basiques-categories},
nous appellerons « \emph{morphisme} de groupes topologiques » une
application \emph{continue} $f:G₁ → G₂$ respectant la structure de groupes.

\begin{définition2}
Soit $f:G → Gâ€Č$ un morphisme de groupes topologiques.
On dit que $f$ est \textbf{strict}, si le morphisme canonique $\sur{f}:G/\Ker(f) → \Im(f)$
associé est un isomorphisme de groupes topologiques.
\end{définition2}

\begin{remarques2}
\begin{itemize}
\item Dans (i), on demande que l'isomorphisme de \emph{groupes} $\sur{f}$
soit bicontinu c'est-Ă -dire, ici, d'inverse continu. Cette condition
n'est pas automatique : considĂ©rer le morphisme $G^{\mathrm{disc}} → G$,
oĂč $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathrm{disc}}$ le
mĂȘme groupe, muni de la topologie discrĂšte.
\item Le composé de deux morphismes stricts n'est pas nécessairement strict.
\end{itemize}
\end{remarques2}

\subsubsection{}
\label{sorites sur stricts}
Il résulte immédiatement des définitions
qu'un morphisme $f:G → Gâ€Č$ est strict si et seulement
si pour tout sous-groupe ouvert $H$ de $G$,
le sous-groupe $f(H)$ est ouvert \emph{dans $f(G)$}.
À l'aide de cette caractĂ©risation, ou bien directement Ă  partir
de la définition, on vérifie immédiatement les
faits suivants :
\begin{enumerate}
\item le composé $g ∘ f$ de deux morphismes stricts $f$ et $g$
est également strict lorsque $f$ est surjectif ou lorsque $g$ est injectif ;
\item si $f:G → Gâ€Č$ est strict et $Hâ€Č$ est un sous-groupe de $Gâ€Č$, la
« restriction » $f×_{Gâ€Č} Hâ€Č : f^{-1}(Hâ€Č) → Hâ€Č$ est Ă©galement stricte.
\item Si $G₁$ est compact et $G₂$ sĂ©parĂ©, tout morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict.
\end{enumerate}

VĂ©rifions briĂšvement (ii) et notons $H=f^{-1}(Hâ€Č)$.
Si $U$ est un ouvert de $G$ et $V=U∩H$ est un ouvert de $H$, on a $f(U) ∩ f(H) =
f(V)$ (car $H$ est $f$-saturé) et $f(U)$ est, par hypothÚse, ouvert dans $f(G)$.
VĂ©rifions briĂšvement (iii). En effet, $\Ker(f)=f^{-1}(\{e_{G₂}\})$ est fermĂ©, car le singleton l'est,
donc $G₁/\Ker(f)$ est \emph{sĂ©parĂ©}, et $\Im(f)$ est l'image continue d'un quasi-compact donc quasi-compacte
de sorte que $\sur{f}$ est une bijection continue entre espaces topologiques
compacts ; c'est un homéomorphisme.
%(Notons que l'on utilise seulement le fait que le sous-groupe $\Im(f)$ de $G₂$
%est séparé.)

\subsection{Isomorphismes modulo les compacts}

\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est
un \textbf{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict,
Ă  noyau compact et Ă  conoyau cocompact.
\end{définition2}

Rappelons (\ref{module et mesure quotients}) que $H ≀ G$ est \emph{cocompact} si $G/H$ est compact.

\begin{proposition2}
\label{restriction isomorphisme modulo compacts}
La restriction d'un isomorphisme modulo les compacts Ă  un sous-groupe
\emph{fermé} du but est également un isomorphisme modulo les compacts.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Notons $f:G → Gâ€Č$ le morphisme, $Hâ€Č$ le sous-groupe fermĂ© de $Gâ€Č$
et $H=f^{-1}(Hâ€Č)$ son image inverse, qui est un fermĂ© de $G$.
Le noyau de $f×_{Gâ€Č} Hâ€Č$ est $H ∩ \Ker(f)$ ; c'est
un compact. Le morphisme $Hâ€Č â†Ș G â€Č$ induit une injection
continue $\Coker(f×_{Gâ€Č} Hâ€Č) â†Ș \Coker(f)$ dont l'image coĂŻncide
avec celle de $Hâ€Č$ dans $\Coker(f)$. Elle donc fermĂ©e et
par conséquent compacte car $\Coker(f)$ l'est.
\end{démo}

\begin{proposition2}
\label{composé isomorphismes modulo compacts}
Le composé de deux isomorphismes modulo les compacts est
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Vérifions que le composé de deux isomorphismes
modulo les compacts est un morphisme strict.
En particulier, si $H$ est un sous-groupe cocompact d'un groupe topologique $G$
et $K$ un compact de $G$, alors $f:H → G/K$ — composĂ© de
$H â†Ș G$ avec $G ↠ G/K$ — est strict :
le morphisme $H/(H ∩ K) → HK/K$ est un isomorphisme.
On a vu ci-dessus que la relation d'équivalence
$x^{-1}y ∈ K$ est \emph{fermée} ; d'autre part,
le sous-groupe $H$ est fermé car le quotient $G/H$ est séparé.
Ceci suffit pour conclure (cf \ref{topologie quotient}).
Le cas d'un composé général se ramÚne à ce cas particulier
par un dévissage élémentaire s'appuyant sur \ref{sorites sur stricts} (i).
%Soit $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux tels morphismes.
%Le morphisme $G₀  → \Im(f)$ dĂ©duit de $f$ est strict et surjectif.
%Pour montrer que $g ∘ f$ est strict, il suffit
%donc de vĂ©rifier que le morphisme $\Im(f) → G₂$ dĂ©duit de $G$
%est Ă©galement strict, ou encore que $\Im(f) → G₁/\Ker(g)$ l'est.
Soient $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux isomorphismes
modulo les compacts. Montrons que $\Ker(g ∘ f)=f^{-1}(\Ker(g)$
est compact. Il suffit de montrer que si $φ:G → Gâ€Č$ est un
isomorphisme modulo les compacts et $Kâ€Č$ un compact de $Gâ€Č$,
$φ^{-1}(Kâ€Č)$ est Ă©galement compact. D'aprĂšs la proposition
prĂ©cĂ©dente, on peut supposer $Kâ€Č=Gâ€Č$ auquel cas la
compacité résulte du lemme ci-dessous.
Enfin, le conoyau de $g ∘ f$ est extension du conoyau compact de $g$
par $\Im(g)/g(\Im(f)$, compact car quotient (via $g)$ du conoyau de $f$.
%Le noyau de $f$ est $H ∩ K$ est compact : c'est un fermé
%du compact $K$. Enfin, le conoyau $(G/K)/(HK/K)$ est canoniquement
%isomorphe à $G/HK$, qui est un quotient du groupe compact $G/H$ ;
%il est donc compact.
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soient $G$ un groupe topologique et $K$ un sous-groupe compact
et cocompact. Alors $G$ est compact.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $ℱ$ une collection de fermĂ©s de $G$ telle
que toute intersection \emph{finie} d'Ă©lĂ©ments de $ℱ$ soit
non vide. On veut montrer que $⋂_{F ∈ ℱ} F ≠ ∅$.
Soit $π:G → G/K$ la surjection canonique ; elle est fermĂ©e par compacitĂ©
de $K$. Ainsi, $π(ℱ)=\{π(F)\}$ est une collection de fermĂ©s du quotient ;
elle satisfaisait également la propriété de l'intersection finie. Par compacité
de $G/K$, on a donc $⋂_F π(F) ≠ ∅$ et, \emph{a fortiori},
$⋂_F F ≠ ∅$.
\end{démo}

% Références :
% The three space problem in topological groups
% uniform structures on topological groups and their quotients
% Hewitt et Ross


\subsection{Produits restreints}
\label{généralités produits restreints}

\subsubsection{DĂ©finition}Soient $ÎŁ$ un ensemble d'indices, $(𝒳_s)_{s ∈ ÎŁ}$
une collection d'espaces topologiques et, pour chaque $s ∈ Σ$,
un ouvert $đ’±_s ⊆ 𝒳_s$. Pour chaque sous-ensemble cofini $U$ de $ÎŁ$, on
note $(𝒳;\!đ’±)_𝐀(U)$, ou simplement $𝒳_𝐀(U)$ lorsqu'aucune confusion n'est Ă 
craindre, le produit
\[
∏_{s ∉ U} 𝒳_s × ∏_{s ∈ U} đ’±_s
\]
d'espaces topologiques. Toute inclusion $Uâ€Č ⊆ U$ induit une immersion
ouverte (continue) $(𝒳;\!đ’±)_𝐀(U) â†Ș (𝒳;\!đ’±)_𝐀(Uâ€Č)$.  Le produit restreint $(𝒳;\!đ’±)_𝐀$ (ou
simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $đ’±_s$ — aussi notĂ©
$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ ÎŁ} (𝒳_s ;đ’±_s)$, ou simplement
$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
\[(𝒳;\! đ’±)_𝐀=\colim_{U ⊆ ÎŁ} (𝒳;\!đ’±)_𝐀(U),\]
oĂč $U$ parcourt les sous-ensembles cofinis de $ÎŁ$.  Ensemblistement,
$(𝒳;\!đ’±)_𝐀$ est l'ensemble des $(x_s)_{s ∈ ÎŁ} ∈ ∏_{s ∈ ÎŁ} 𝒳_s$ tels que pour presque
tout $s$, l'Ă©lĂ©ment $x_s$ appartient à $đ’±_s$.  Topologiquement, les
ouverts de $(𝒳;\!đ’±)_𝐀$ sont les sous-ensembles dont les intersections
avec chaque $(𝒳;\!đ’±)_𝐀(U)$, $U ⊆ ÎŁ$ cofini, sont ouvertes dans $(𝒳;\!đ’±)_𝐀(U)$.
En particulier, les $(𝒳;\!đ’±)_𝐀(U)$ sont ouverts dans $(𝒳;\!đ’±)_𝐀$.

\begin{remarque2}
Cette construction s'Ă©tend immĂ©diatement au cas oĂč
les $đ’±_s$ sont dĂ©finis pour presque tout $s$,
c'est-Ă -dire pour $s ∉ F$, oĂč $F$ est une partie finie
de $Σ$, en considérant la colimite sur les parties cofinies $U$
ne rencontrant pas $F$.
\end{remarque2}

\begin{remarque2}
Bien que cela ne soit pas nécessaire,
explicitons briĂšvement la notion de convergence
lorsque les $𝒳_s$ sont des groupes topologiques
métrisables, comme ce sera le cas ci-aprÚs.
Par dĂ©finition de la topologie, une suite $(a_n)_n=((a_{s,n})_{s ∈ ÎŁ})_n$ de $(𝒳;\!đ’±)_𝐀$
converge vers $b=(b_s)_{s ∈ Σ}$ si et seulement si pour
tout $Δ>0$ et tout ensemble cofini $U ⊆ ÎŁ$, il
existe un entier $N$ tel que pour chaque $n ≄ N$
on ait $a_{s,n}-b_s ∈ đ’±_s$ lorsque $s ∈ U$
et $d_s(a_{s,n},b_s)< Δ$ sinon.
On vérifie sans peine que si on suppose de plus $Σ$ dénombrable,
le produit restreint $(𝒳;đ’±)_𝐀$ est Ă©galement mĂ©trisable.
\commentaire{à vérifier\\quoiqu'inutile}
\end{remarque2}


\subsubsection{Locale compacité}
\label{locale compacité produit restreint}
Il résulte de la définition
et du thĂ©orĂšme de Tikhonov que si chaque $𝒳_s$ (resp. $đ’±_s$)
est localement compact (resp. compact),
chaque $(𝒳;\!đ’±)_𝐀(U)$ est un ouvert compact du produit
restreint $(𝒳;\!đ’±)_𝐀$ qui est lui-aussi localement compact.
De plus, sous ces hypothĂšses, un sous-ensemble de $(𝒳;\!đ’±)_𝐀$
est \emph{relativement compact} — c'est-Ă -dire d'adhĂ©rence compacte —
si et seulement si il est inclus dans un produit
$∏_{s ∉ U} 𝒞_s × ∏_{s ∈ U} đ’±_s ⊆ (𝒳;\!đ’±)_𝐀(U)$, oĂč $U⊆Σ$ est une partie cofinie
et chaque $𝒞_s$ est un compact de $𝒳_s$.
% Tate, 3.1.2

\subsubsection{Mesures}
\label{mesure produit-colimite}
On suppose les $𝒳_s$ localement compacts
et les $đ’±_s$ compacts. D'aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde
le produit restreint des $𝒳_s$ relativement aux $đ’±_s$
est localement compact ; on veut construire
une mesure de Radon (\ref{mesure de Radon})
« produit restreint » sur cet espace, définie à partir
de mesures de Radon (dites « locales ») sur les facteurs. Soit $(ÎŒ_s)_{s ∈ ÎŁ}$
une famille de telles mesures sur les $𝒳_s$,
telle que $ÎŒ_s(𝟭_{đ’±_s})=1$ pour presque tout $s$,
oĂč $𝟭_{đ’±_s}$ dĂ©signe la fonction caractĂ©ristique de l'ouvert compact $đ’±_s$.
Il résulte de \ref{Radon produit} qu'il existe
pour chaque ensemble cofini $U$ de $Σ$
une unique mesure de Radon $ÎŒ_U$ sur $(𝒳;\!đ’±)_𝐀(U)$
telle que
\[
ÎŒ_U(f_U)=∏_{s ∈ ÎŁ} ÎŒ_s(f_s),
\]
lorsque $f_U=\mathop{\bigboxtimes}\lim_s f_s:(x_s)↩ ∏_s f_s(x_s)$,
oĂč les fonctions $f_s$ appartiennent Ă  $𝒞_c(𝒳_s,𝐂)$
lorsque $s ∉ U$, et sont dans $𝒞_c(đ’±_s,𝐂)=𝒞(đ’±_s,𝐂)$
et presque toutes Ă©gales à $𝟭_{đ’±_s}$ lorsque $s ∈ U$.
(L'expression $ÎŒ_s(f_s)$ ci-dessus dĂ©signe abusivement, lorsque $s ∈ U$,
l'intĂ©grale $ÎŒ_s({j^{U ÎŁ}_s}_! f_s)$ oĂč ${j^{U ÎŁ}_s}_! f_s$ est le prolongement
par zĂ©ro de $f_s$ à $𝒳_s$.)
Si $Uâ€Č ⊆ U$ est une autre partie cofinie et que l'on
dĂ©signe par ${j^{U Uâ€Č}}_{\! !} f_U$ le prolongement par zĂ©ro
de $f_U=\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} f_s$ à $(𝒳;\!đ’±)_𝐀(Uâ€Č)$, on a
$ÎŒ_{Uâ€Č}( {j^{U Uâ€Č}}_{\! !} f_U)=ÎŒ_U(f_U)$. Cela rĂ©sulte
de l'unicitĂ© de $ÎŒ_{U}$ et du fait
que ${j^{U Uâ€Č}}_{\! !} (\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} f_s) =\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} ({j^{U Uâ€Č}_s}_!f_s)$, avec des notations
Ă©videntes. Soit maintenant $f ∈ 𝒞_c((𝒳;\!đ’±)_𝐀,𝐂)$.
D'aprÚs l'observation du paragraphe précédent,
il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ$ tel que $f$
soit le prolongement par zéro d'une fonction
$f_U ∈ 𝒞_c((𝒳;\!đ’±)_𝐀(U),𝐂)$. Le nombre complexe $ÎŒ_U(f_U)$
est indépendant du choix de $U$ d'aprÚs ce qui précÚde.
On le note $ÎŒ(f)$ ; la forme linĂ©aire $f↩ ÎŒ(f)$ est une mesure de Radon
\emph{produit restreint} des mesures $Ό_s$.

\subsection{AdĂšles}

\subsubsection{}
\label{définition adÚles}
Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$
l'ensemble des places et $ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des places ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $đ’Ș_{K,x}$ pour $x ∈ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} đ’Ș_{K,x}$
pour $U ⊆ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelĂ©e
\textbf{anneau des adÚles sur $K$}.
Un Ă©lĂ©ment de $K_𝐀$ est souvent notĂ© $a=(a_x)$, ou parfois $a_𝐀$
pour éviter toute confusion avec un élément de $K$.

\subsubsection{}
\label{définition adÚles ultramétriques}
On note aussi $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$) le produit restreint des
corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $đ’Ș_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x
∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adÚles ultramétriques}
ou \textbf{finis} (resp. \textbf{archimédiens} ou \textbf{infinis}).

\subsubsection{}
\label{adĂšles principaux}
Pour chaque $x ∈ Σ(K)$, le corps $K$ se plonge
naturellement dans $K_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K â†Ș ∏_{x ∈ ÎŁ} K_x$
se factorise Ă  travers l'inclusion $K â†Ș K_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
avec son image dans les adÚles sur $K$, constituée des
\textbf{adÚles principaux}. (Voir \ref{cocompacité}
pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)

\subsubsection{}
\label{notation KAU}
On prendra garde de ne pas confondre
l'anneau $đ’Ș_K(U)$ des Ă©lĂ©ments $U$-entiers de $K$,
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adĂšles. Ils sont liĂ©s par la relation : $đ’Ș_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
Lorsque cela ne semble pas prĂȘter Ă  confusion,
le sous-anneau $K_𝐀(ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adĂšles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $đ’Ș_{K_𝐀}$ ;
il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $đ’Ș_{K_𝐀} ∩ K =đ’Ș_K$ (\ref{U-entiers}).

%Description alternative des adÚles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
%de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
%\XXX À inclure ?

\subsubsection{}On note $Ό^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
la mesure de Radon sur $K_𝐀$ produit restreint des mesures
de Tamagawa locales (\ref{mesures Tamagawa locales}).
C'est une mesure de Haar sur le groupe additif localement compact $K_𝐀$.
La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du produit restreint de mesures
(\ref{mesure produit-colimite}) et de la proposition \ref{module=module}.

\begin{proposition2}
Pour tout $a_𝐀=(a_x) ∈ K_𝐀$, on a l'Ă©galitĂ©
$[×a_𝐀]^*ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a_𝐀| Ό^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, oĂč
$|a_𝐀|=∏_{x ∈ Σ}|a_x|_{K_x}$.
\end{proposition2}

Notons que pour presque tout $x$, on a $a_x ∈ đ’Ș_{K,x}$
c'est-Ă -dire $|a_x|_x ≀ 1$ de sorte que la convergence du produit
est \emph{a priori} évidente.

\begin{théorÚme2}
\label{adĂšles et cb}
Soit $L\bo K$ une extension finie de corps globaux.
Le morphisme $Îč:K_𝐀 → L_𝐀$ envoyant
$(a_x)_{x ∈ Σ(K)}$ sur $(b_{y})_{y ∈ Σ(L)}$
avec $b_{y}=a_x$ lorsque $y↩ x$, induit un
isomorphisme d'anneaux topologiques $K_𝐀 ⊗_K L â„Č L_𝐀$
compatible avec les inclusions canoniques $K â†Ș K_𝐀$
et $L â†Ș L_𝐀$.
De plus, si $L\bo K$ est Ă©tale, toute forme $K_𝐀$-linĂ©aire
$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a_𝐀]$
pour un unique $a_𝐀 ∈ L_𝐀$. En particulier, l'application
trace $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}:L_𝐀 → K_𝐀$ est \emph{surjective}.
\end{théorÚme2}

Notons que la trace considérée est bien définie car
$L_𝐀$ est un $K_𝐀$-module libre de rang fini (Ă©gal Ă  $[L:K]$) ;
cf. \refext{Alg}{trace-et-norme}.

\begin{démo}
D'aprÚs \ref{fonctorialité anneau des Uentiers},
il existe un ouvert dense $U$ de $K$, et des Ă©lĂ©ments $α₁,
,α_d ∈ đ’Ș_L(U)$,
oĂč $d=[L:K]$, tels que $đ’Ș_L(U)=đ’Ș_K(U) α₁ ⊕ \cdots ⊕ đ’Ș_K(U) α_d$,
le terme de gauche étant comme expliqué en \ref{notation OLU}.
Cette décomposition en somme directe reste valable lorsque l'on rétrécit $U$.
Nous allons montrer que le morphisme $K_𝐀^d → L_𝐀$, $(λ_i)_{1,
,d}↩ ∑_{i=1}^d Îč(λ_i)α_i$,
est un isomorphisme. C'est la colimite des morphismes
$K_𝐀(Uâ€Č)^d → L_𝐀(Uâ€Č)$ pour $Uâ€Č ⊆ U$. Montrons que chacun d'eux
est un isomorphisme, ce dont découle le résultat souhaité. Quitte à rétrécir $U$, on peut
supposer $Uâ€Č=U$. Il suffit de montrer les deux faits suivants.
\begin{enumerate}
\item Pour chaque pour place $x ∉ U$, le morphisme $K_x^d → L_x:=∏_{y↩x} L_t$,
$(λ_i)↩ ∑_i Îč_x(λ_i) α_i$, oĂč $Îč_x$ est le plongement diagonal $K_x â†Ș L_x$,
est un isomorphisme.
\item Pour chaque place $u ∈ U$, le morphisme $đ’Ș_{K,u}^d → đ’Ș_{L,u}:=∏_{v↩u} đ’Ș_{L,v}$,
$(λ_i)↩  ∑_i Îč_u(λ_i) α_i$ est un isomorphisme.
\end{enumerate}
Le (i) résulte de \refext{AVD-D}{finitude préservée par complétion}.
Le (ii) résulte de l'hypothÚse faite sur les $(α_i)$ ci-dessus.

Supposons $L\bo K$ étale et montrons que l'accouplement
$⟹ ,⟩_𝐀:L_𝐀 ⊗_{K_𝐀} L_𝐀→ L_𝐀$, $a ⊗ b↩ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(a b)$, met
$L_𝐀$ en dualitĂ© avec lui-mĂȘme (sur $K_𝐀$).
Soit $a ∈ L_𝐀$ tel que $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]=0$,
c'est-à-dire dans l'orthogonal de $L_𝐀$.
Pour chaque place $x$ de $K$ cet accouplement induit par
changement de base $K_𝐀 → K_x$ l'accouplement
$⟹ ,⟩_x:L_x ⊗_{K_x} L_x → L_x$ donnĂ© par la trace de $L_x$ à $K_x$, parfait
d'aprĂšs \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}
et le fait que $L_x ≃ L ⊗_K K_x$ est une $K_x$-algĂšbre Ă©tale.
Ainsi chaque $a_x ∈ L_x$ est nul et finalement $a=0$, comme attendu.
Soient $U$ et les $(α_i)$ comme ci-dessus. Il nous faut montrer
qu'il existe des Ă©lĂ©ments $α_j^√ ∈ L_𝐀$ tels que
$⟚α_i,α_j^√⟩=ÎŽ_{i,j}$, c'est-Ă -dire $1$ si $i=j$ et $0$ sinon.
D'aprÚs ce qui précÚde, il existe des $α_j^√$ dans le produit (non
restreint) $∏_{x ∈ Σ(K)} L_x=∏_{y ∈ Σ(L)} L_y$ tel que pour chaque $x$
on ait $⟚α_{i,x},α_{j,x}^√⟩_x=ÎŽ_{i,j}$. Pour conclure, il faut montrer
que chaque $α_j^√$ appartient Ă  l'anneau des adĂšles $L_𝐀$.
Or, l'accouplement parfait $⟹ ,⟩_∅: L ⊗_K L → L$
déduit de la trace est la colimite des accouplements
$⟹ ,⟩_{Uâ€Č}: đ’Ș_L(Uâ€Č) ⊗_{đ’Ș_K(U â€Č)} đ’Ș_L(Uâ€Č) → đ’Ș_L(Uâ€Č)$ pour $Uâ€Č ⊆ U$.
Ainsi, quitte Ă  rĂ©trĂ©cir $U$, on peut supposer $⟹ ,⟩_U$ parfait.
Pour un tel $U$, chaque $α_j^√$ appartient Ă  $L_𝐀(U) ⊆ L_𝐀$. CQFD.
\end{démo}

\begin{théorÚme2}
\label{cocompacité}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, oĂč $K$ est muni de la topologie
discrÚte, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrùte et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
Cependant, si $U$ est \emph{affine} (\ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}), le morphisme diagonal
$K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
\commentaire{notations non homogĂšnes, cf. $\chap{u}$...}
\item L'inclusion $đ’Ș_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, oĂč $đ’Ș_K(U)$ est muni de la topologie discrĂšte, est
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{enumerate}
\end{théorÚme2}

Ici et ci-dessous, « isomorphisme modulo les compacts » est synonyme de
« morphisme \emph{continu} et isomorphisme modulo les compacts ».

\begin{démo}
(i). On procÚde, grùce au théorÚme précédent, par réduction à deux cas
particuliers, que nous traitons d'abord et de façon identique.

\begin{itemize}
\item Cas des nombres rationnels.
Soient $C=[-œ,œ]× ∏_p 𝐙_p$ le sous-ensemble compact de $𝐐_𝐀$,
oĂč le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$, et $C^∘$ le voisinage ouvert $]-œ,œ[× ∏_p 𝐙_p$ de l'origine dans $𝐐_𝐀$.
Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel dont l'image dans chaque $𝐐_p$
appartient à $𝐙_p$ est entier, c'est-à-dire dans $𝐙$.
D'autre part, le seul entier dans $]-œ,œ[$ est l'entier nul.
Ceci prouve que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est Ă©galement
fermĂ© — car discret dans un espace sĂ©paré — de sorte que le groupe
topologique quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐$ est sĂ©parĂ© (\ref{discrĂ©tion et sĂ©paration quotient}).
Pour montrer la compacité du quotient,
il suffit de vĂ©rifier l'Ă©galitĂ© $C + 𝐐 =𝐐_𝐀$.
Par translation par un entier, il suffit
de montrer que l'on a $\big(𝐑 × ∏_p 𝐙_p\big) + 𝐐 = 𝐐_𝐀$,
ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr.}}(𝐐))$
est engendrĂ© par (l'image de) $𝐐$.
Or, ce quotient est canoniquement isomorphe Ă  la \emph{somme}
directe $⹁_p 𝐐_p / 𝐙_p$, car l'anneau des adùles est un produit \emph{restreint}. Comme le morphisme
Ă©vident $𝐐/𝐙 → ⚁_p 𝐐_p / 𝐙_p $ est un isomorphisme, on a le rĂ©sultat.
(Notons que le morphisme précédent correspond
à la décomposition primaire suivant la $p$-torsion
et que chaque facteur $𝐐_p/𝐙_p$ reçoit isomorphiquement
le quotient $𝐙[1/p]/𝐙$.)

\item Cas des fractions rationnelles sur $𝐅_p$, $p$ premier.
Soient $C=𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P đ’Ș_{𝐅_p(t),P}$
— oĂč $P$ parcourt l'ensemble des polynĂŽmes irrĂ©ductibles unitaires de $𝐅_p[t]$,
identifiĂ©s aux places de $𝐅_p(t)$ diffĂ©rentes de la place infinie — le sous-ensemble
compact de $𝐅_p(t)_𝐀$ et $C^∘$ le voisinage ouvert $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P đ’Ș_{K,P}$
de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\}$ : toute
fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$
appartient à $đ’Ș_{𝐅_p(t),P}$ est un polynĂŽme, c'est-Ă -dire dans $𝐅_p[t]$.
D'autre part, le seul polynîme dans $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))$ est le polynîme nul.
Ceci prouve que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$.
Pour montrer que le quotient (sĂ©parĂ©) $𝐅_p(t)_𝐀/𝐅_p(t)$ est compact,
il suffit de vĂ©rifier l'Ă©galitĂ© $C+𝐅_p(t)=𝐅_p(t)_𝐀$,
c'est-à-dire que le groupe additif quotient $𝐅_p(t)_𝐀 / 𝐅_p(t)_𝐀(Σ-\{∞\})$
est engendrĂ© par (l'image de) $𝐅_p(t)$. Or, ce quotient est canoniquement
isomorphe Ă  la somme directe $⚁_P 𝐅_p(t)_{P}/đ’Ș_{𝐅_p(t),P}$
et chaque facteur reçoit isomorphiquement $𝐅_p[t][1/P] / 𝐅_p[t]$.
Comme le morphisme Ă©vident $𝐅_p(t)/𝐅_p[t] → ⚁_P 𝐅_p[t][1/P] / 𝐅_p[t]$
est un isomorphisme, on a le résultat.

\item Cas général. Soit $L\bo K$ une extension finie de degré $d$ de corps
globaux. Il rĂ©sulte du thĂ©orĂšme \ref{adĂšles et cb} que le quotient $L_𝐀/L$ est
isomorphe, comme groupe topologique, à $(K_𝐀/K)^d$ ; c'est un produit
de compacts donc compact. De mĂȘme l'image
de $L$ dans $L_𝐀$ est isomorphe à l'image de $K^d$ dans $K_𝐀^d$ ;
elle est donc discrĂšte.
\end{itemize}

Le résultat de densité $K$, lorsque $U$ est un ouvert affine,
est un cas particulier de \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind} (cf. \ref{OKU Dedekind}.
(Il est également possible de donner une démonstration adélique
de ce résultat, en utilisant la dualité de Pontrùgin ; cf.
\cite[6.79]{suuron1@kato-kurokawa-saito}.)

(ii) Soit $U$ comme dans l'énoncé ; en particulier, $U$ ne contient pas
de place archimĂ©dienne. On a vu que le morphisme $K → K_𝐀$ est un isomorphisme
modulo les compacts. Or, $đ’Ș_K(U)$ est l'image inverse du fermĂ©
$K_𝐀(U)$ par ce morphisme. D'aprùs \ref{restriction isomorphisme modulo
compacts}, le morphisme $đ’Ș_K(U) → K_𝐀(U)$ est donc un isomorphisme
modulo les compacts. D'autre part, la projection $K_𝐀(U) ↠ ∏_{x ∉ U} K_x$
est également un isomorphisme modulo les compacts car son noyau
est le produit $∏_{u ∈ U} đ’Ș_{K,u}$ de groupes compacts.
D'aprÚs \ref{composé isomorphismes modulo compacts},
le morphisme composĂ© $đ’Ș_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$ est donc
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{démo}


\begin{corollaire2}
\label{finitude K inter O sur a}
Soit $K$ un \emph{corps de fonctions}.
Pour tout $a_𝐀 ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a_𝐀^{-1}đ’Ș_{K_𝐀}$ est \emph{fini}.
\end{corollaire2}

Rappelons (\ref{notation KAU}) que $đ’Ș_{K_𝐀}$ est
le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
đ’Ș_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps
de fonctions.

\begin{démo}
D'aprĂšs le thĂ©orĂšme prĂ©cĂ©dent, $K$ est discret dans $K_𝐀$.
D'autre part, $đ’Ș_{K_𝐀}$ est compact. L'intersection est donc finie.
\end{démo}

\begin{théorÚme2}[Formule du produit]
\label{formule du produit}
Soit $K$ un corps global.
Pour tout $a ∈ K^×$, le produit $|a|:=∏_{x ∈ Σ(K)} |a|_x$ des valeurs
absolues normalisées est égal à $1$.
\end{théorÚme2}

Notons que ce produit est bien défini d'aprÚs \ref{normes fonction presque
toutes petites}, et l'observation lui faisant immédiatement suite.

\begin{démo}
Il résulte du théorÚme de cocompacité précédent et
de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module et mesure quotients})
que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est Ă©gal à $1$.
D'autre part, il résulte immédiatement de la construction
de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite})
que $\mod_K([×a])= ∏_x \mod_{K_x}([×a])$.
Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration (esquisse)]
On commence par vérifier la formule pour les rationnels
et les fractions rationnelles.
Si $a = ±∏_p p^{n_p} ∈ 𝐐$, on a $|a|_p=p^{-n_p}$ et $|a|_∞= ∏_p p^{n_p}$
de sorte que le résultat est évident.
Si $f = λ ∏_P P^{n_p} ∈ 𝐅_p(t)$, oĂč les $P ∈ 𝐅_p[t]$ sont irrĂ©ductibles
unitaires et $λ ∈ 𝐅_p^×$, on a $|f|_P=p^{-n_p \deg(P)}$ et $|f|_{∞}=p^{\deg(f)}$,
de sorte que le rĂ©sultat vient de l'Ă©galitĂ© tautologique $\deg(f)=∑_P n_P
\deg(P)$. (Rappelons que $\deg(f)$ est l'ordre du pîle en $∞$.)
Le cas général se ramÚne aux cas particulier précédents
car il résulte de la proposition \refext{AVD-D}{extensions valuations et norme}
que si $L\bo K$ est une extension de corps globaux
et $x$ une place de $K$, on a pour chaque $λ ∈ L$
la formule $|\N_{L\bo K}(λ)|_x = ∏_{y↩ x} |λ|_y$
et, par consĂ©quent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$.
\end{démo}

\subsection{IdĂšles}

\subsubsection{}
\label{définition idÚles}
Comme précédemment, on considÚre un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$
l'ensemble des places et $ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des places ultramétriques. La construction
générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir
le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $đ’Ș_{K,x}^×$ (pour $x ∈ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} đ’Ș^×_{K,x}$
pour $U ⊆ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelĂ©e
\textbf{groupe des idĂšles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 â†Ș K_𝐀$ est
\emph{continue} \XXX et son image est le groupe des éléments inversibles de
l'anneau $K_𝐀$ des adùles.

\begin{remarques2}
\label{discontinuité adélique}
Prendre cependant garde au fait que la topologie de $K^×_𝐀$ est n'est \emph{pas}
la topologie induite par l'inclusion ensembliste \mbox{$K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$} :
si pour chaque nombre premier $p$, $x_p$ dĂ©signe l'idĂšle de $𝐐$
dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$, la suite $x_p$ converge
vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais pas dans $𝐐^×_𝐀$

Notons Ă©galement que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≄0}$, $a↩ \mod_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
n'est \emph{pas} continue pour la topologie adĂšlique, alors que sa restriction
en $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ l'est — essentiellement par dĂ©finition — pour la topologie
idĂ©lique : si pour chaque entier $n$, $x_n$ dĂ©signe l'adĂšle de $𝐐$ tel que $x_{n,∞}=1$ et
$x_{n,p}=n!+1$ pour tout premier $p$, on a $|x_n|=(n!+1)^{-1}$, qui tend vers $0$
avec $n$, tandis que $x_n → 1$ dans $𝐐_𝐀$.
\end{remarques2}

On a cependant le résultat positif suivant, dont nous ferons usage ci-aprÚs.

\begin{proposition2}
\label{topologies induites coĂŻncident}
Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀: |f|=1\}$
par les inclusions $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident.
De plus, pour chaque paire $b ≄ c >0$ de rĂ©els, l'ensemble
${K^×_𝐀}^{≀b \atop ≄c}$ est un \emph{fermĂ©} de $K_𝐀$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Commençons par montrer que pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$,
le sous-ensemble $K^{×, ≄ c}_𝐀=\{g ∈ K^×_𝐀:|g| ≄ c\}$ est fermĂ©
dans $K_𝐀$ ou, de façon Ă©quivalente, que son complĂ©mentaire
$K^{×, < c}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$ est ouvert. Fixons $c$ et considĂ©rons
un élément $f$ de ce complémentaire. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$
tel que $f ∈ K_𝐀(U)$. Quitte Ă  rĂ©trĂ©cir $U$, on peut
supposer de plus que l'on a l'inĂ©galitĂ© $∏_{s ∉ U} |f_s|_s <c$.
Le complémentaire de l'ensemble $U$ dans $Σ(K)$ étant cofini,
l'application $g↩ ∏_{s ∉ U} |g_s|_s$ est \emph{continue}.
Il existe donc un voisinage $đ’± ⊆ K_𝐀(U)$ de $f$ dans $K_𝐀$
tel que pour chaque $g ∈ đ’±$ on ait $∏_{s ∉ U} |g_s|_s < c$.
Pour un tel $g$, on a $|g| ≀ ∏_{s ∉ U} |g_s|_s <c$, car $|g_u| ≀ 1$ pour
chaque $u ∈ U$, de sorte que l'ouvert $đ’±$ de $K_𝐀$ est contenu dans $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$.

Montrons maintenant que l'inclusion $K_𝐀^{×, ≄ c} â†Ș K_𝐀$ induit un
homĂ©omorphisme sur son image, c'est-Ă -dire que les deux topologies sur $K_𝐀^{×, ≄ c}$
dĂ©duites des inclusions dans $K^×_𝐀$ et $K_𝐀$ coĂŻncident.
Pour chaque ouvert $U$ de $K$ les deux topologies sur $K^×_𝐀(U)$ coïncident
avec la topologie produit ; d'autre part, l'inclusion $K^×_𝐀 â†Ș K_𝐀$ est
continue. Il résulte de ces deux observations qu'il suffit \XXX
de vĂ©rifier que pour chaque $f ∈ K^{×, ≄ c}_A$ il existe
un voisinage $đ’±$ de $f$ dans $K_𝐀$ et un ouvert $U$ de $K$
tels que l'on ait l'inclusion
\[
K^{ ≄ c}_𝐀 ∩ đ’± ⊆ K^×_𝐀(U).
\]
Soit $U$ un ouvert suffisamment petit de $K$ tel que $f ∈ K_𝐀(U)$
et soit $ρ$ un rĂ©el strictement supĂ©rieur au produit (fini) $∏_{s ∉ U} |f_s|_s$.
Comme prĂ©cĂ©demment, il existe un voisinage ouvert $đ’±$ de $f$ dans $K_𝐀$
contenu dans
\[K_𝐀(U) ∩ \{g ∈ K_𝐀 :  ∏_{s ∉ U} |g_s|_s < ρ\}.\]
Quitte à rétrécir davantage $U$, on peut supposer
d'aprĂšs \ref{finitude-infinitude-places} que pour chaque
place $u ∈ U$, on a $N(u) ≄ ρ c^{-1}$.
VĂ©rifions que $U$ et $đ’±$ conviennent ; considĂ©rons pour cela
$g ∈  K^{ ≄ c}_𝐀 ∩ đ’±$. Comme $g$ appartient Ă 
$K_𝐀(U)=∏_{s ∉ U} K_s × ∏_{u ∈ U} đ’Ș_{K,u}$,
et que chaque $g_x$ est non nul, il nous faut montrer
que pour tout $u ∈ U$, $g_u ∈ đ’Ș_{K,u}^×$.
Fixons un tel $u$. Par hypothÚse, on a donc
\[
c ≀ |g|=∏_x |g_x|_x ≀ |g_u|_u × ∏_{s ∉ U} |g_s|_s < ρ |g_u|_u
\]
et par conséquent
\[
|g_u|_u=N(u)^{-v_u(g_u)} > c ρ^{-1}.
\]
Compte tenu du l'hypothÚse faite sur le norme $N(u)$
de la place $u$, on a $v_u(g_u)<1$ d'oĂč — par positivitĂ©
et intégrit頗 $v_u(g_u)=0$.

Les résultats établis permettent de conclure.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{idĂšles principaux}
Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, le groupe $K^×$ se plonge
naturellement dans $K^×_x$. De plus chaque Ă©lĂ©ment $λ ∈ K^×$
est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K^× â†Ș ∏_{x ∈ ÎŁ(K)} K^×_x$
se factorise Ă  travers l'inclusion $K^× â†Ș K^×_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$
avec son image dans les idÚles sur $K$, constituée des
\textbf{idÚles principaux}. On note $C_K$ le groupe topologique
quotient $K^×_𝐀/K^×$ des \textbf{classes d'idùles} et
$C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀 /K^×$ son sous-groupe des classes
d'idÚles de norme $1$. Prendre garde au fait que $C_K$ n'est
\emph{pas} compact. Cependant on a le résultat suivant.

\begin{théorÚme2}
\label{theoreme-unites-abstrait}
L'inclusion canonique $K^× → K^{×,=1}_𝐀$, oĂč $K^×$ est muni de la
topologie discrĂšte, est un isomorphisme modulo les compacts.
En particulier, $C_K^{=1}$ est \emph{compact}.
\end{théorÚme2}

\begin{démo}
La discrĂ©tion de $K^×$ dans $K^{×,=1}_𝐀$ ou,
de façon Ă©quivalente dans $K^×_𝐀$, rĂ©sulte
de celle de $K$ dans $K_𝐀$ et de la continuitĂ©
de l'injection $K^×_𝐀 â†Ș K_𝐀$.
Montrons maintenant que le quotient $K^{×,=1}_𝐀/K^×$
est compact en utilisant la compacitĂ© du quotient $K_𝐀/K$
et le résultat de comparaison \ref{topologies induites coïncident}.
Soit $Ό^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar sur le groupe
(localement compact) $K_𝐀$ des adĂšles et notons $\sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $+$}}$
la mesure induite (\ref{module et mesure quotients}) sur le quotient $K_𝐀/K$ des adùles par le groupe
discret cocompact $K$. Le groupe des adÚles n'étant \emph{pas} compact \XXX,
il existe d'aprÚs \ref{caractérisation compacité par mesure}
un compact $C₀$ de $K_𝐀$ tel que
$ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}(C₀)>\sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$.
Soit $C$ l'ensemble des diffĂ©rences $\{g-h:g,h ∈ C₀\} ⊆ K_𝐀$ ;
c'est un compact de $K_𝐀$ par continuitĂ© de la soustraction,
sĂ©paration de $K_𝐀$ et compacitĂ© de $C₀$.
Notons $C^{=1}$ l'intersection $C ∩ K_𝐀^{=1} =C ∩ K_𝐀^{×,=1}$.
C'est un compact de $K_𝐀$, Ă©tant intersection du compact $C$
avec le fermĂ© $K_𝐀^{=1}$ de $K_𝐀$ (\ref{topologies induites coĂŻncident}).
Les deux topologies induites sur $K_𝐀^{=1}=K_𝐀^{×,=1}$ coïncidant,
$C^{=1}$ est donc un compact du groupe des idÚles de norme $1$.
Montrons maintenant que $C^{=1}K^×=K_𝐀^{×,=1}$, ce qui suffit
pour montrer la compacitĂ© du quotient $K_𝐀^{×,=1}/K^×$.
Soit $f ∈ K_𝐀^{×,=1}$. Comme $ÎŒ^{\mbox{\minus
$+$}}(f^{-1}C₀)>\sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$,
il existe deux Ă©lĂ©ments distincts $g,h ∈ C₀$ tels que
$f^{-1}g-f^{-1}h = λ ∈ K$. En conséquence, $f = λ^{-1}(g-h)$ appartient
Ă  $K^× C$, et mĂȘme Ă  $K^× C^{=1}$ car $|f|=1$. CQFD.
\end{démo}


Le théorÚme précédent a pour corollaire le fameux
théorÚme de Dirichlet suivant.

\begin{théorÚme2}[ThéorÚme des unités de Dirichlet]
\label{theoreme-unites-Dirichlet}
Soit $U$ un ouvert de $K$. L'application « logarithme »
$\log_𝐀:f ↩ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $đ’Ș_K(U)^×$
vers l'hyperplan $(⚁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des Ă©lĂ©ments de somme nulle
est un isomorphisme modulo les compacts et
le groupe $đ’Ș_K(U)^×$ est isomorphe Ă  la somme directe de $𝐙^r$, oĂč $r =
\max\{\mathrm{card}( ÎŁ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abĂ©lien fini.
En particulier, si $K$ un corps de nombres, $r_{\RR},r_{\CC}$ sont les entiers tels que
la $𝐑$-algĂšbre $K_𝐑=K\otimes_{\QQ} \RR$ se dĂ©compose en
$\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $đ’Ș_K^{\times}$ des unitĂ©s de l'anneau des entiers $đ’Ș_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorÚme2}

\begin{corollaire2}
\label{finitude-racines-unite}
Soit $K$ un corps global.
L'ensemble des racines de l'unité de $K$ est fini.
\end{corollaire2}

\begin{remarque2}
Lorsque $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes $k$,
il rĂ©sulte de ce qui prĂ©cĂšde que le quotient $đ’Ș_K(U)^×/k^×$ est
libre de rang $r$. Sous cette forme, c'est un résultat initialement
dû à F. K. Schmidt (1931) ; cf. \cite[14.2]{Number@Rosen} ou
\cite[chap. 29]{Zahlen@Hasse} pour des démonstrations non adéliques.
\end{remarque2}

\begin{remarque2}
Lorsque $K$ est un corps de nombres, on peut montrer
(théorie du corps de classe) que le groupe $C_K$
se surjecte naturellement (mais non trivialement) sur
l'abélianisé du groupe de Galois de $K$ ; le noyau
de ce morphisme est la composante neutre de $C_K$. \XXX
\end{remarque2}

\begin{démo}
Soit $U$ comme dans l'énoncé.
Montrons le premier point.
Le groupe $đ’Ș_K(U)^×$ n'est autre que l'image inverse du sous-groupe
$K^{×,=1}_𝐀(U)=\big(∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{u ∈ U} đ’Ș_u^×\big)^{=1}$ de $K^{×,=1}_𝐀$
par le plongement diagonal $K^× → K^{×,=1}_𝐀$. D'aprĂšs le thĂ©orĂšme
\ref{theoreme-unites-abstrait} précédent et \ref{restriction isomorphisme modulo
compacts}, le morphisme $đ’Ș_K(U)^× → K^{×,=1}_𝐀(U)$ est donc un isomorphisme modulo les compacts.
Il en est de mĂȘme de la projection $K^{×,=1}_𝐀(U)↠ \big(∏_{x ∉ U} K^×_x \big)^{=1}$,
par compacitĂ© du produit $∏_{u ∈ U} đ’Ș_u^×$.
Enfin, chaque logarithme $K_x^× → 𝐑$, $f↩ \log(|f|_x)$ Ă©tant Ă©galement un isomorphisme
modulo les compacts (que $x$ soit archimédienne ou ultramétrique),
il en est de mĂȘme du produit $ ∏_{x ∉ U} K^×_x → ∏_{x ∉ U} 𝐑$ et de sa restriction Ă  l'hyperplan de somme nulle.
Par composition (\ref{composé isomorphismes modulo compacts}), on en déduit
que $đ’Ș_K(U)^× → \big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ est un isomorphisme modulo les compacts.
Si $U=Σ(K)$, de sorte que $Σ(K)-U$ est vide — cas qui ne peut se produire que si $K$ est un corps
de fonctions —, le groupe $đ’Ș_K^×(U)$ est un sous-groupe \emph{compact} du
groupe \emph{discret} $K^×$ : c'est un groupe abĂ©lien fini
(\ref{discrétion et séparation quotient}, (i)).
Si $U ≠ Σ(K)$, notons $V$ le $𝐑$-espace vectoriel $\big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ ;
il est de dimension $r$. D'aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde, $đ’Ș_K(U)^×$
est extension de son image $Γ$ par le logarithme, qui est
un sous-groupe \emph{discret} et \emph{cocompact} de $V$,
par un sous-groupe fini de $K^×$. La conclusion rĂ©sulte alors du lemme
(\ref{reseau-discret-cocompact}) ci-dessous.
\end{démo}

\begin{lemme2}
\label{reseau-discret-cocompact}
Soient $V$ un $𝐑$-espace vectoriel de dimension finie $r$
et $Γ$ un sous-groupe discret de $V$ tel que le quotient $V/Γ$
soit compact. Alors $Γ$ est isomorphe à $𝐙^r$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $𝐑 Γ$ le $𝐑$-espace vectoriel engendrĂ© par $Γ$ dans $V$.
Le quotient $V/𝐑 Γ$ est sĂ©parĂ© et est l'image continue du compact
$V/Γ$ ; c'est donc un compact. Comme c'est un $𝐑$-espace vectoriel,
on a nĂ©cessairement $V=𝐑 Γ$ : le groupe discret $Γ$ contient
une base de $V$. Soit $Γâ€Č$ un sous-groupe engendrĂ© par une telle
base ; on a $Γâ€Č ⊆ Γ$. Le quotient $Γ/Γâ€Č$ est discret, car $Γ$ l'est,
et compact, car fermĂ© dans $V/Γâ€Č$ isomorphe au tore $(𝐑/𝐙)^r$.
Ainsi, $Γ/Γâ€Č$ est un groupe abĂ©lien fini et, en particulier,
il existe un entier non nul $n$ tel que $n(Γ/Γâ€Č)=0$,
c'est-Ă -dire $Γâ€Č ⊆  Γ ⊆ \frac{1}{n} Γâ€Č$.
La conclusion résulte aussitÎt de la théorie
(élémentaire) des groupes abéliens de type fini.
Cf. \cite{} \XXX.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{définition-régulateur}
Soient $K$ un corps de nombres, $X$ l'ensemble de ses places ultramétriques
et $A$ l'ensemble des places archimĂ©diennes, de cardinal $r_𝐑 + r_𝐂 = r +1$.
D'aprÚs ce qui précÚde, le \emph{covolume} de
$\log_𝐀 đ’Ș_K^×$ dans l'hyperplan $H$ des vecteurs de somme nulle de $𝐑^A$
(muni de la mesure de Lebesgue usuelle) est fini.
On l'appelle \textbf{régulateur} de $K$.
De façon (superficiellement) plus explicite, on peut l'exprimer comme un
dĂ©terminant. Soient $u₁,
,u_{r}$ des Ă©lĂ©ments constituant une base de $đ’Ș_K^×$ modulo torsion
et considĂ©rons la matrice $r×(r+1)$ dont la $i$-iĂšme ligne
est $(\log |u_i|_{K_a})$, pour $a ∈ A$.
Par la formule du produit, la somme des colonnes est nulle :
chaque ligne appartient à l'hyperplan $H$.
Le régulateur est le déterminant
de la matrice précédente à laquelle on retire une colonne (quelconque).

Exemples. [...] Lien avec la formule des classes. \XXX

\subsection{Quasi-caractĂšres multiplicatifs d'un corps global}
\label{quasi-caractĂšres globaux}

\subsubsection{}
Soit $K$ un corps global. Le morphisme « norme »
$K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$, $(f_x)↩ ∏_x |f_x|_x$, se factorise par
la formule du produit en un morphisme $C_K → 𝐑_{>0}$,
dont le noyau est le groupe compact $C_K^{=1}$.
Si $K$ est un corps de nombres, le morphisme $C_K → 𝐑_{>0}$
est \emph{surjectif} et possĂšde une section canonique
envoyant un réel $t$ strictement positif sur la classe
de l'idĂšle $(f_x)$, oĂč $f_x=t^{1/[K:𝐐]}$ si $x$ est archimĂ©dien
et $f_x=1$ sinon. Si $K$ est un corps de fonctions,
l'image de la norme est trivialement un sous-groupe de la forme
$q^{d 𝐙}$, oĂč $q$ est le cardinal du corps des constantes de $K$
et $d$ est un entier strictement positif. (En fait, on peut montrer,
cf. \ref{} \emph{infra}, que l'on a $d=1$.) Dans ce cas, il n'y a en général pas
de section canonique.

\begin{remarque2}
Le fait que l'entier $d$ ci-dessus soit égal à $1$
revient Ă  dire, dans le langage qui sera introduit ci-dessous,
qu'il existe sur $K$ un « diviseur de degré $1$ ».
%Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zĂȘta.)
\end{remarque2}

D'aprÚs \ref{quasi-caractÚres Rplusétoile} et
\ref{quasi-caractÚres Z}, on a :

\begin{proposition2}
Le groupe des quasi-caractÚres des classes d'idÚles $C_K$ est un groupe de Lie
complexe dont la composante connexe est isomorphe à $𝐂$ dans
le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙$ dans le cas
d'un corps de fonctions. Le groupe de composantes connexes
est isomorphe au dual de Pontrùgin de $C_K^{=1}$.
Pour tout quasi-caractĂšre $χ$ de $C_K$, il existe un
\emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(Îč)|=|Îč|^σ$ pour toute classe $Îč ∈ C_K$.
\end{proposition2}

\subsubsection{}Le groupe topologique $𝐂/𝐙$ est bien entendu
isomorphe, par l'exponentielle, au plan complexe Ă©pointé $𝐂^×$.
Comme dans le cas local (\ref{notation quasi-caractÚre dual}), l'ensemble des quasi-caractÚres est équipé
d'une involution $χ↊  \chap{χ}=χ^{-1} ω₁$, oĂč $ω_σ=|⋅|^σ$.

\subsubsection{}
\label{décomposition et partie réelle quasi-caractÚre global}
On note $σ=\Re(χ)$ le rĂ©el dĂ©fini ci-dessus, appelĂ©
\textbf{partie rĂ©elle} du quasi-caractĂšre $χ$ (cf. \ref{partie rĂ©elle quasi-caractĂšre local}).
Voyons son rapport avec la dĂ©finition locale. La donnĂ©e du quasi-caractĂšre $χ$ est Ă©quivalente Ă  celle d'une
famille $χ_x : K_x^× → 𝐂^×$ de quasi-caractĂšres locaux satisfaisant les
conditions suivantes :

— $χ_x$ est \emph{net} pour presque tout $x$ ;

— $∏_x χ_x(λ_x)=1$ pour chaque $λ ∈ K^×$.

Pour chaque place $x$, le quasi-caractĂšre local $χ_x$
n'est autre que le morphisme envoyant $a_x ∈ K_x^×$
sur $χ(\gtilde{a_x})$, oĂč l'idĂšle $\gtilde{a_x}$
a toutes ses composantes égales à $1$ sauf celle en $x$,
qui est $a_x$.
Comme $|\gtilde{a_x}|=|a_x|_x$ et $|χ(a)|=|a|^σ$
(par définition), on en déduite que les parties
rĂ©elles $\Re(χ_x)$ sont toutes Ă©gales à $σ$.


\subsubsection{CaractĂšres de Hecke} \XXX

\subsection{Groupes de Picard}
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits}

\subsubsection{}
\label{définition diviseur}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert
dense de $K$, c'est-à-dire une partie cofinie
de l'ensemble $X$ des places ultramétriques de $K$.
Notons $\Div(U)$ le groupe abĂ©lien $⚁_{u ∈ U} 𝐙$ des
\textbf{diviseurs} sur $U$.
Tout idÚle $(f_x)$ de $K$ définit naturellement un diviseur
\[
\div_U((f_x))=∑_{u ∈ U} v_u(f_u) ⋅ u ∈ \Div(U),
\]
oĂč $v_u:K_u^× ↠ 𝐙$ est la valuation normalisĂ©e.
On note également $\div$ le morphisme $\div_X$.

\subsubsection{}
L'application $\div_U:K^×_𝐀 → \Div(U)$ est surjective,
de noyau $K^×_𝐀(U)= ∏_{u ∈ U} đ’Ș_{K_u}^× × ∏_{y ∈ ÎŁ(K)-U} K_y^×$.
(Si $U=X$, on note aussi $đ’Ș_{K_𝐀}^×$ ce sous-groupe de $K^×_𝐀$.)
Les diviseurs dans le sous-groupe $\div_U(K^×)$ de $\Div(U)$
sont appelés \textbf{diviseurs principaux} (sur $U$).
On appelle \textbf{groupe de Picard} de $U$, le quotient
\[
\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathrm{coker}(K^× → ⹁_u 𝐙).
\]
D'aprÚs ce qui précÚde, on a un isomorphisme naturel, induit par $\div_U$,
\[
K^× \backslash K^×_𝐀∕K^×_𝐀(U) â„Č \Pic(U),
\]
ou encore
\[
C_K/C_K(U) â„Č \Pic(U),
\]
oĂč l'on note
$C_K(U)$ l'image de $K^×_𝐀(U)$ dans le groupe $C_K$ des classes d'idùles.

\begin{remarque2}
\XXX On a une classification des fibrés de rang $n$ comme
un double quotient $\GL_n(K) ∖ \GL_n(K_𝐀) ∕ \GL_n(đ’Ș_{K_𝐀})$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}
\label{formule du produit additive}
Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$} de corps des
constantes $k$, il est intéressant de considérer l'application \textbf{degré}
\[
\deg:\Div(X) → 𝐙
\]
\[
∑_x n_x ⋅ x ↩ ∑_x n_x [Îș(x):k].
\]
En d'autres termes, on Ă©tend la fonction $\deg(x)=[Îș(x):k]$
à $\Div(X)$ par additivité. La formule du produit
(\ref{formule du produit}) se traduit en la « formule des résidus » suivante :
\[\deg ∘ \div =0.\]
Le morphisme degrĂ© se factorise donc en un morphisme $\Pic(X) → 𝐙$,
on note $\Pic⁰(X)$ le noyau, constitué des \textbf{classes de diviseurs de degré nul}.
La description adélique précédente devient
\[
K^× \backslash K^{×,=1}_𝐀∕đ’Ș^×_{K_𝐀} â„Č \Pic⁰(X),
\]
ou encore
\[
C^{=1}_K/C^{=1}_K(X) â„Č \Pic⁰(X),
\]
oĂč l'on note
$C^{=1}_K(X)$ l'image de $K^×_𝐀(X)$ dans le groupe $C^{=1}_K$ des classes d'idùles.

\begin{théorÚme2}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est un corps de fonctions, $\Pic⁰(X)$ est fini.
\item Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic(X)$ est fini.
\end{enumerate}
\end{théorÚme2}

\begin{démo}
(i) On a vu en \ref{theoreme-unites-abstrait} que le groupe $C^{=1}_K$ est
compact. Le sous-groupe $K_𝐀^×(X)$ de $K^{×,=1}_𝐀$ Ă©tant ouvert,
il en est de mĂȘme de $C^{=1}_K(X)$ dans $C^{=1}_K$. Le quotient $C^{=1}_K ∕
C^{=1}_K(X)$ est donc à la fois compact et discret donc fini (\ref{discrétion et
sĂ©paration quotient}). (ii) Pour la mĂȘme raison que prĂ©cĂ©demment, le quotient $C_K ∕ C_K(X)$
est discret. Pour montrer qu'il est fini, il suffit de montrer que le morphisme
continu $C^{=1}_K → C_K ∕ C_K(X)$ est \emph{surjectif}. Montrons
plus prĂ©cisĂ©ment que le morphisme $K^{×,=1}_𝐀 → K^×_𝐀 / K^×_𝐀(X)$ est surjectif,
c'est-Ă -dire que l'on a l'Ă©galitĂ© $K^×_𝐀 = K^{×,=1}_𝐀 K^×_𝐀(X)$,
ou encore, par translation multiplicative, qu'il existe des idùles dans $ K^×_𝐀(X)$ de norme
arbitraire. Cela résulte de l'existence
d'une place archimĂ©dienne $∞ ∈ ÎŁ^{\mathrm{arch}}(K)$
et de la surjectivitĂ© de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
[détailler \XXX]
\end{démo}


\subsubsection{}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense \emph{affine} de $K$
de sorte que $đ’Ș_K(U)$ est un anneau de Dedekind de corps
des fractions $K$ (cf. \ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}).
L'application $U â„Č \Specmax(đ’Ș_K(U))$ (cf. \emph{loc. cit.}), s'Ă©tend par linĂ©aritĂ©
en une application surjective $\Div(U) → \Pic(đ’Ș_K(U))$, oĂč le terme de droite
est le groupe de Picard défini en \refext{AVD-D}{définition groupe Picard
Dedekind}, quotient du groupe des idĂ©aux fractionnaires inversibles de $đ’Ș_K(U)$
par le sous-groupe de ses idĂ©aux fractionnaires principaux. Le noyau de $\Div(U) → \Pic(đ’Ș_K(U))$
Ă©tant $\div_U(K^×)$ [dĂ©tailler \XXX], on a :

\begin{proposition2}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense affine de $K$.
Le morphisme naturel $\Pic(U) → \Pic(đ’Ș_K(U))$ est un
\emph{isomorphisme}.
\end{proposition2}

\begin{corollaire2}
Soit $K$ un corps de nombres.
Le groupe $\Pic(đ’Ș_K)$ est fini.
\end{corollaire2}

\begin{démo}[Seconde démonstration]
Rappelons (\XXX) que la norme d'un idĂ©al non nul $𝔞$ de $đ’Ș_K$
est le cardinal $N(𝔞)$ du quotient $đ’Ș_K/𝔞$. Commençons par Ă©tablir
un premier résultat de finitude : \emph{pour tout entier $n$ il existe
un nombre fini d'idĂ©aux $𝔞$ de norme $n$}. En effet, si $𝔞$ est un tel
idĂ©al, on a $(n) ⊆ 𝔞$, car $n ⋅ 1_{đ’Ș_K}$ est d'image nulle dans le quotient
$đ’Ș_K/𝔞$. Comme le quotient $đ’Ș_K/(n)$ de l'anneau de Dedekind $đ’Ș_K$ est fini,
le nombre de possibilitĂ©s pour $𝔞$ est Ă©galement fini.
Soit maintenant $ℬ=\{x₁,
,x_d\}$ une base de $đ’Ș_K$ sur $𝐙$.
Posons
\[
ÎŒ_ℬ = ∏_{σ ∈ \Hom_𝐐(K,𝐂)} ∑_{x ∈ ℬ} |σ(x)|.
\]
VĂ©rifions que pour chaque idĂ©al non nul $𝔞$ de $đ’Ș_K$,
il existe un Ă©lĂ©ment $a ≠ 0$ tel que
\[
|N_{K \bo 𝐐}(a) ≀ N(𝔞) × ÎŒ_ℬ.
\]
Soit $r$ un entier tel que $r^d ≀ N(𝔞) < (r+1)^d$.
Comme $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $đ’Ș_K/𝔞$,
il existe par le principe des tiroirs deux éléments
$b=∑_{x ∈ ℬ} n_x x$ et $bâ€Č=∑_{x ∈ ℬ} m_x x$, oĂč $0 ≀ n_x,m_x ≀ r$,
tels que $a=b-bâ€Č=∑_x a_x x$ appartienne à  l'idĂ©al $𝔞$. Par construction, on a
$N_{K \bo 𝐐}(a)=∏_σ |σ(a)| ≀ r^d ÎŒ_ℬ$ car chaque coefficient $|a_x|$ est majorĂ©
par $r$ et $\# \Hom_{𝐐}(K,𝐂)=d$.
Pour achever la démonstration du corollaire, il suffit de vérifier
que tout idĂ©al non nul $𝔞$ de $đ’Ș_K$ est dans la classe d'un idĂ©al
de norme infĂ©rieure ou Ă©gale à $ÎŒ_ℬ$.
Soit $𝔞$ un tel idĂ©al non nul et $𝔟$ un idĂ©al de $đ’Ș_K$ 
dans la classe de $𝔞^{-1}$. D'aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde,
il existe $b ∈ 𝔟$ non nul tel que $N_{K \bo 𝐐}(b)=N((b))$ soit
infĂ©rieur ou Ă©gal Ă  $N(𝔟) ÎŒ_ℬ$. Comme $(b) ⊆ 𝔟$, on a $(b)=𝔟 𝔠$ pour un
idĂ©al $𝔠$, nĂ©cessairement dans la classe de $𝔞$.
D'autre part, on a $N((b))=N(𝔟)N(𝔠)$ d'oĂč $N(𝔠) ≀ ÎŒ_ℬ$.
CQFD.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{définition diviseur effectif}
On appelle \textbf{diviseur effectif}\footnote{On évite la terminologie
« diviseur positif » qui peut prĂȘter Ă  confusion dans un contexte plus
général.} sur $U$ tout élément du sous-monoïde $\Div_+(U)$ de $\Div(U)$
des diviseurs à coordonnées toutes positives ou nulles.
À ce sous-monoĂŻde est associĂ© une relation d'ordre :
on dit que $D=∑_u n_u ⋅ u$ est supĂ©rieur ou Ă©gal Ă  $Dâ€Č = ∑_u n_uâ€Č ⋅ u$
si et seulement si $D - Dâ€Č ∈ \Div_+(U)$, c'est-Ă -dire si et seulement si
$n_u ≄ n_uâ€Č$ pour chaque $u ∈ U$.

\section{Formule de Poisson et théorÚme de Riemann-Roch}
Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.

\subsection{CaractÚres et transformation de Fourier adéliques}

\subsubsection{Notations}
\label{produit externe restreint}
À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
$f_x(đ’Ș_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
$\mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č}\limits_{x ∈ ÎŁ(K)} f_x$
de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$,
c'est-à-dire envoyant un adùle $(a_x)$ sur le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} f_x(a_x)$.
C'est une fonction continue, que l'on notera aussi simplement
$f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant Ă  l'esprit que la donnĂ©e de la fonction produit
externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien Ă©videmment pas de retrouver
les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractÚres additifs QA}
ci-dessous dans le cas de caractÚres.) Il est parfois commode de considérer la partie
archimĂ©dienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}:K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$,
et son analogue ultramĂ©trique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathrm{ultr}}  → 𝐂$.
Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$.

\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\commentaire{Bonne définition ? Kudla [Tate]/Weil [1964b]}
\label{Bruhat-Schwartz adélique}
On note $𝒼(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linĂ©aires Ă  coefficients
complexes de produits externes restreints $f_𝐀=(f_x)$
oĂč chaque $f_x$ appartient Ă  l'espace de Schwartz $𝒼(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}), et $f_x = 𝟭_{đ’Ș_{K,x}}$ pour
presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
% cf. Kudla, « Tate's thesis »
%p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
%\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
%L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
%des corps de nombres diffĂ©rents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
%p. 178 et p. 189. \XXX
Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linĂ©aire de fonctions
$\mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č}\limits_{x ∈ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)}
𝟭_{a_x + đ”Ș_x^{n_x} đ’Ș_{K,x}}$ oĂč $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i)
qu'il existe un Ă©lĂ©ment $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $đ’Ș_{K,x}$
pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Dans ce cas, toute fonction $f_𝐀 ∈ 𝒼(K_𝐀)$ est combinaison
linĂ©aire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, oĂč $f^{\mathrm{ultr}}$
est de la forme $𝟭_{a+đ”«đ’Ș_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $đ”«=∏_{x ∈ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)}  đ”Ș_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).

\subsubsection{Caractùres additifs $𝐐_𝐀$}
\label{caractĂšres additifs QA}
Notons $ψ_𝐐$ le produit externe restreint des caractĂšres $𝐞_{p}$
définis en \ref{caractÚre corps local} et satisfaisant
la condition $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$ pour tout nombre premier $p$.
Explicitement : $ψ_𝐐$ envoie $a_𝐀=(a_p)$
sur le produit (à support fini) $∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{a_p\}_p
-a_∞)$, oĂč $𝐞(λ)=\exp(2πiλ)$ pour chaque $λ ∈ 𝐑$.
C'est un caractùre additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
du produit (\ref{formule du produit}).
Pour chaque $p ∈ Σ(𝐐)$, notons $a_p↩ a_p^𝐀$ la section additive
Ă©vidente du morphisme $𝐐_𝐀 ↠ 𝐐_p$ : $a_p^𝐀=(a_ℓ)_{ℓ ∈ ÎŁ(𝐐)} ∈ 𝐐_𝐀$, oĂč $a_ℓ$
vaut $0$ si $ℓ ≠ p$ et $a_p$ sinon ; par construction, $(a_p b_p)^𝐀=a_p^𝐀
b_p^𝐀$ et $ψ_𝐐(a_p^𝐀)=𝐞_p(a_p)$.

Montrons que le morphisme $a_𝐀↩ [×a_𝐀]^*ψ_𝐐$, $𝐐_𝐀 →  \chap{𝐐_𝐀}$
est un \emph{isomorphisme}, oĂč $\chap{𝐐_𝐀}$ dĂ©signe le groupe
additif des caractùres \emph{continus} de $𝐐_𝐀$
à valeurs dans $𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
L'injectivitĂ© de $𝐐_𝐀 →  \chap{𝐐_𝐀}$ rĂ©sulte de \ref{dual corps local}
et de l'Ă©galitĂ© $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐(a_𝐀 b_p^𝐀)$ pour tout $p ∈ ÎŁ(𝐐)$
et tout $b_p ∈ 𝐐_p$. Pour dĂ©montrer la surjectivitĂ©,
il suffit d'aprÚs \emph{loc. cit.} de vérifier que tout
caractĂšre $ψ ∈ \chap{𝐐_𝐀}$ est un produit restreint
de caractĂšres $ψ_p$, triviaux sur $𝐙_p$ pour presque tout $p$.
Or, $ψ$ induit un caractĂšre \emph{continu} $Κ$ du produit
$G=∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$, c'est-Ă -dire du complĂ©tĂ©
profini $\lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
C'est un groupe \emph{profini} (cf. \refext{Krull}{}).
\commentaire{déplacer dans [Krull] ?}
(Le groupe $G$ est habituellement noté $\chap{𝐙}$.) Soit $V ⊆ 𝐔$
un voisinage ouvert de $1$ ne contenant pas de sous-groupe non trivial,
par exemple $V=\{z ∈ 𝐂: |z-1|<1\} ∩ 𝐔$.
Alors $Κ^{-1}(V)$ est ouvert, contient un \emph{sous-groupe} ouvert compact $C=nG$ de $G$
— car ceux-ci forment une base de la topologie de $G$ —
et $\Ker(ι) ⊆ C$. Le caractùre $ι$ est donc trivial sur les $𝐙_p$
pour chaque $p$ ne divisant pas $n$. CQFD.

Montrons maintenant que $𝐐$ est orthogonal Ă  lui-mĂȘme, c'est-Ă -dire qu'un
Ă©lĂ©ment $a_𝐀$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
$ψ_𝐐(a_𝐀  b)=1$ pour tout $b∈𝐐 ⊆ 𝐐_𝐀$, ou encore si et seulement si
la restriction de $[×a_𝐀]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
Soit $a_𝐀 ∈ 𝐐^⊄$ ; on peut le dĂ©composer en une somme
$a_𝐀=λ + c_𝐀$ oĂč $λ$ appartient à $𝐐$ (plongĂ©
diagonalement) et $c_𝐀=(c_p)_p ∈ C=[-œ,œ]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
(voir \ref{cocompacité} (i), démonstration). Naturellement,
$c_𝐀$ appartient Ă©galement Ă  $𝐐^⊄$ car l'orthogonal $𝐐^⊄$ est un sous-$𝐐$-espace
vectoriel des adĂšles. En particulier, $1=ψ_𝐐(c_𝐀)$. Comme
$ψ_𝐀(c_𝐀)=𝐞_{∞}(-c_∞)$, on a $c_∞=0$. Ainsi,
$[×c_𝐀]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
(\emph{loc. cit.}) sur $𝐐_𝐀$ tout entier. Ainsi, $c_𝐀=0$. CQFD\footnote{En utilisant un peu la thĂ©orie
de la dualité, on pourrait montrer que le quotient
$𝐐^⊄ \bo 𝐐$ est discret. Comme il est compact,
car $𝐐_𝐀 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]

\begin{remarque2}
On peut montrer que tout caractĂšre continu d'un produit
de groupes compacts a presque tous ses facteurs triviaux.
\end{remarque2}


\subsubsection{CaractĂšres additifs de $đ€_𝐀$, oĂč $đ€=𝐅_p(t)$, $p>0$ premier}
\label{caractĂšres additifs kA}
Notons $∞$ la place correspondant Ă  l'idĂ©al
premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $đ€$
et $ψ_∞$ le caractĂšre additif du corps local $đ€_∞$,
construit en \ref{exemples caractÚres additifs locaux} :
si $f ∈ đ€_∞$ s'Ă©crit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$, avec $c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$,
\[
ψ_∞(f)=𝐞_{đ€_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
Notons $đ”Ș_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idĂ©al maximal de l'anneau
$đ’Ș_{đ€_∞}$ des entiers de $đ€_∞$. On a $ψ_∞(đ”Ș_∞ÂČ)=\{1\}$ mais $ψ_∞(đ”Ș_∞) ≠ \{1\}$ :
le niveau  (\ref{niveau caractĂšre}) de $ψ_∞$ est Ă©gal à $-2$.
Rappelons (\ref{cocompacité}, démonstration) que
le morphisme canonique du compact $C=∏_x đ’Ș_{đ€,x}$ vers le quotient
$đ€_𝐀 \bo đ€$ est une surjection. Comme le caractĂšre $ψ_∞$
est trivial sur $đ€ ∩ đ’Ș_{đ€,∞}$, le caractĂšre composĂ©
$∏_x đ’Ș_{đ€,x} ↠ đ’Ș_{đ€,∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
induit un caractĂšre additif (continu) $ψ_đ€=(ψ_{đ€,x})_x$
des adĂšles, trivial sur $đ€$. Pour chaque $x ≠ ∞$, le caractĂšre
local $ψ_{đ€,x}$ est par construction trivial
sur $đ’Ș_{đ€,x}$. Montrons qu'il est de niveau nul.
Notons $ϖ_x$ le gĂ©nĂ©rateur unitaire de l'idĂ©al maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant
à $x$, que l'on peut Ă©crire sous la forme $ϖ_x=t^{ÎŽ_x}u$,
oĂč $ÎŽ_x=\deg(ϖ)$ et $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ est de degrĂ© infĂ©rieur ou Ă©gal à $ÎŽ_x$
en $t^{-1}$.
Tout Ă©lĂ©ment $f$ du complĂ©tĂ© $ϖ_x$-adique $đ€_x$ s'Ă©crit
de maniĂšre unique $∑_{i ≄ -r} c_i(t) ϖ_x^i$, oĂč $r ∈ 𝐙$
et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynĂŽme de degrĂ© strictement
infĂ©rieur à $ÎŽ_x=\deg(ϖ_x)$. On peut dĂ©composer $f$ en
la somme d'un Ă©lĂ©ment $f_+$ de $đ’Ș_{đ€,x}$ et d'un Ă©lĂ©ment
\[
f_-=\frac{λ_{\max }t^{r ÎŽ_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{ÎŽ_x}u)^r}
\]
pour un entier $r>0$ et des $λ_i$ dans $𝐅_p$.
Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{\max})$ et
$1=ψ_đ€(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{đ€,x}(f_-)$ car $f_-$ appartient Ă  $đ’Ș_{đ€,y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
Ainsi le nombre $ψ_{đ€,x}(f)$, qui coĂŻncide avec $ψ_{đ€,x}(f_-)$,
est Ă©gal Ă  $ψ_{𝐅_p}(-λ_{\max})$.
% itou pour 𝐞_{đ€_x,dt} — car $dt ∈ đ’Ș_{đ€_x}d ϖ_x$ —,
En particulier, $ψ_{đ€,x}(t^{ÎŽ_x-1}/ϖ_x)$, Ă©gal
Ă  $ψ_{đ€,x}(ϖ_x^{-1})$ car $t^{ÎŽ_x-1}$ est une unitĂ© en
$x ≠ ∞$, vaut $ψ_{𝐅_p}(-1) ≠ 0$.
Ceci montre bien que le niveau de $ψ_{đ€,x}$ est nul.

Montrons maintenant que le morphisme $đ€_𝐀 → \chap{đ€_𝐀}$, $a↩ [×a]^* ψ_đ€$ est un
isomorphisme. 
L'injectivité résulte, comme dans le cas du corps
des rationnels, de la dualité locale \ref{dual corps local}
et du fait que les $ψ_{đ€,x}$ sont non triviaux.
La surjectivité se démontre comme ci-dessus,
le groupe profini $G$ remplacĂ© par le produit $∏_x đ’Ș_{đ€,x}$,
en utilisant le fait que les $ψ_{đ€,x}$ sont de niveau
nul pour $x ≠ ∞$. (Qu'ils le soient presque tous suffirait.)
 
VĂ©rifions enfin que $đ€$ est orthogonal Ă  lui-mĂȘme pour cet accouplement.
Soit $a_𝐀 ∈ đ€^⊄ =\{b_𝐀 ∈ đ€_𝐀 : ψ_đ€(b_𝐀 đ€)=\{1\}\}$.
On peut Ă©crire $a_𝐀=f + c_𝐀$ oĂč $f$ appartient à $đ€$ (plongĂ©
diagonalement) et $c_𝐀=(c_x)_x ∈ C=∏_x đ’Ș_{đ€,x}$ (\ref{cocompacitĂ©}). Quitte
à translater par une constante dans $𝐅_p$, on peut
supposer que $c_∞$ appartient à $đ”Ș_∞$.
Naturellement, $c_𝐀 ∈ k^⊄$ et $1=ψ_đ€(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
si bien que $c_∞ ∈ đ”Ș_∞ÂČ$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_đ€$ est trivial sur $C$ et $đ€$ donc
(\emph{loc. cit.}) sur $đ€_𝐀$ tout entier. Finalement,
$c_𝐀=0$ et $a_𝐀 ∈ đ€$. CQFD.

\begin{exercice2}
Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{đ€,x}=[×±1]^*𝐞_{đ€_x,dt}$. \XXX
\end{exercice2}

\begin{théorÚme2}[Dualité de Pontrùgin pour les adÚles]
\label{PontrĂągin pour adĂšles}
Soit $K$ un corps global.
Il existe un caractĂšre (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$
% dire que OPS ψ_x tous non triviaux ?
et (pour chaque tel $ψ$) le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↩ [×a]^*ψ$
est un isomorphisme. De plus, $K$ est orthogonal Ă  lui-mĂȘme :
si $a_𝐀  ∈ K_𝐀$ et $ψ(λ a_𝐀)=1$ pour tout $λ ∈ K$, on a $a_𝐀 ∈ K$.
\end{théorÚme2}

Un mot sur la terminologie : le caractĂšre $ψ$
induit une application linĂ©aire de $𝐙$-modules
$K_𝐀 ⊗_𝐙 K_𝐀 → 𝐂^×$, $x ⊗ y↩ ψ(xy)$. L'ensemble
orthogonal considéré dans l'énoncé n'est autre
que l'ensemble $K^⊄$ relativement Ă  cet
accouplement.

\begin{démo}
Si $K$ est $𝐐$ ou un corps $đ€=𝐅_p(t)$ ($p>0$), cela rĂ©sulte
de ce qui prĂ©cĂšde. D'aprĂšs \ref{toute courbe est revĂȘtement ramifiĂ© de P1},
il suffit donc de vérifier que si le théorÚme est vrai pour un corps global $K$,
il l'est également pour une extension étale $L$ de $K$.
Fixons une telle extension et un caractĂšre additif non trivial $ψ_{K}$
de $K_𝐀$, trivial sur $K$. On peut Ă©galement supposer
que ses composantes locales sont toutes non triviales
car c'est le cas pour $K=𝐐$ ou $đ€$.

\emph{Existence d'un caractÚre adélique non trivial.}
Il résulte de la surjectivité de la trace adélique (\ref{adÚles et cb})
que le caractĂšre $ψ_L:=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$
est Ă©galement non trivial. Comme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(L)=K$,
ce caractÚre est trivial sur $L$.

\emph{InjectivitĂ© du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$.}
Soient $a_𝐀 ∈ L_𝐀$ un adùle de $L$ et $x$ une place
de $K$. Si  $ψ_L(a_𝐀 L_𝐀)=\{1\}$, on a en particulier
$ψ_{K,x}(\Tr_{L_x \bo K_x}(a_x L_x))=\{1\}$, oĂč
$a_x=(a_y)_{y↩ x}$. Comme $ψ_{K,x}$ est supposĂ© non trivial
et que $\Tr_{L_x \bo K_x}(a_xL_x)=K_x$ sauf si $a_x=0$.
Ceci permet de conclure.

\emph{SurjectivitĂ© du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$.}
Soit $ψ ∈ \chap{L_𝐀}$ et fixons un isomorphisme
de $K_𝐀$-algĂšbres $Îč:L_𝐀 â„Č K_𝐀^n$ comme en \ref{adĂšles et cb}.
Il rĂ©sulte de la dualitĂ© pour $K_𝐀$ qu'il existe un vecteur
adĂ©lique $v_𝐀 ∈ K_𝐀^n$ tel que $ψ(b_𝐀)=ψ_K(⟹v_𝐀, Îč(b_𝐀)⟩)$ pour chaque $b_𝐀 ∈ L_𝐀$.
\commentaire{un peu moche...}
D'aprĂšs \emph{loc. cit.}, il existe un Ă©lĂ©ment $a_𝐀$
tel que la forme linĂ©aire $b_𝐀↩ ⟹v_𝐀, Îč(b_𝐀)⟩$ soit
$\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a_𝐀]$. CQFD.

\emph{OrthogonalitĂ©.} Si $Îč(a_𝐀)=({a₁}_𝐀,
,{a_n}_𝐀) ∈ K_𝐀^n$,
$\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(a_𝐀 L)=∑_i {a_i}_𝐀 K$.
En consĂ©quence, $ψ_L(a_𝐀 L)=\{1\}$ si et seulement
on a $ψ_K({a_i}_𝐀 K)=\{1\}$ pour chaque $i$.
Ceci ne se produit que si chaque ${a_i}_𝐀$ est dans $K$.
\commentaire{mini-doute}
L'isomorphisme $Îč$ envoyant $L$ sur $K^n$, on a le rĂ©sultat.
\end{démo}

Question : si non trivial et trivial sur $K$,
non trivialité partout n'est-elle pas automatique
(par approximation) ? \XXX

\begin{corollaire2}
\label{dual des classes de adĂšles}
Soient $K$ un corps global et $ψ=(ψ_x)$ un caractĂšre non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
Le morphisme canonique $K â„Č \chap{K_𝐀/K}$, $λ↊ [× λ]^* ψ$
est un \emph{isomorphisme}. De plus, le niveau des caractĂšres locaux $ψ_x$
est nul pour presque tout $x$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
VĂ©rifions la premiĂšre assertion. Si $ψâ€Č$ est un caractĂšre de $K_𝐀$, il existe
un unique $a_𝐀 ∈ K_𝐀$ tel que $ψâ€Č=[×a_𝐀]^* ψ$.
Si $ψâ€Č_{|K}$ est trivial, on a $a_𝐀 ∈ K^⊄=K$. CQFD.
Vérifions maintenant que le niveau des composantes locales est presque toujours nul.
D'aprÚs l'isomorphisme précédent et le fait qu'un élément
de $K^×$ est une unitĂ© en presque toute place, il suffit
de vĂ©rifier l'Ă©noncĂ© pour un seul caractĂšre non trivial $ψ$ des classes
d'adĂšles. Soit $L\bo K$ une extension
sĂ©parable, $x$ une place de $K$ nette dans $L$, et $ψ_x$ un caractĂšre additif
de $K_x$ de niveau nul. Pour chaque $y↩ x$, le caractĂšre $ψ_y =ψ_x ∘  \Tr_{L_y \bo
K_x}$ de $L_y$ est de niveau nul (\ref{niveau reste nul si extension nette}).
Comme presque toutes les places sont nettes (\refext{AVD-D}{extension est presque partout nette}
[résulte aussi de \ref{adÚles et cb} \XXX]),
on constate que si le rĂ©sultat Ă  dĂ©montrer est vrai pour un caractĂšre $ψ$
sur $K$, il l'est Ă©galement pour $ψ ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$.
D'aprĂšs \ref{caractĂšres additifs QA} et \ref{caractĂšres additifs kA},
il en est ainsi lorsque $K$ est $𝐐$ ou $đ€$. Ceci suffit pour conclure.
(Voir \cite[IV.§2, corollaire 1]{BNT@Weil} pour un argument topologique
n'utilisant pas cette rĂ©duction au cas particuliers des corps $𝐐$ et $đ€$.)
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\label{caractÚres séparent les points}
Soit $K$ un corps global. Les caractÚres
du groupe abĂ©lien compact $K_𝐀∕K$ \emph{sĂ©parent les points} :
pour toute paire $x,y ∈ K_𝐀∕K$ de points distincts,
il existe un caractĂšre $ψ_{x,y} ∈ \chap{K_𝐀∕K}$ tel que
$ψ_{x,y}(x) ≠ ψ_{x,y}(y)$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Par translation, on peut supposer $y=0$.
Soit $ψ$ un caractĂšre non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
D'aprÚs le corollaire précédent, il faut montrer
qu'il existe un $λ ∈ K$ tel que $ψ(λ x) ≠ 1$.
Ceci rĂ©sulte du fait que $x ∉ K$ et de l'Ă©galitĂ©
$K^⊄=K$ (\ref{PontrĂągin pour adĂšles}).
\end{démo}

\begin{remarque2} \XXX
\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
On peut montrer que si $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
et $ω$ une forme diffĂ©rentielle non nulle,
pour presque tout $x ∈ ÎŁ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(đ’Ș_{K,x})=\{1\}$.
De plus, on peut identifier $K^⊄$ à $℩Âč_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
% cf. Tate, cours Ă  Harvard.
\end{remarque2}

\subsubsection{Transformation de Fourier sur $K_𝐀$}
\label{définition Fourier adélique}
Soient $K$ un corps global et $ψ= (ψ_x)_x$ un caractĂšre non trivial de $K_𝐀$, trivial
sur $K$. Pour chaque place $x$ de $K$, considérons la transformée
de Fourier locale autoduale $ℱ_{ψ_x}$ (\ref{Fourier et mesure locaux}).
Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č}\limits_x f_x$
appartient à l'espace de Bruhat-Schwartz (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes Ă©gales à $𝟭_{đ’Ș_{K,x}}$ :
cela rĂ©sulte du fait que le niveau $n(ψ_x)$ sont presque tous nuls
(\ref{dual des classes de adÚles}) et de la dualité locale (\ref{Fourier et
mesure locaux}, (i) et (v)). La fonction $ℱ_ψ(f):=
\mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č}\limits_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient
donc Ă©galement Ă  $𝒼(K_𝐀)$ ; on Ă©tend cette dĂ©finition à $𝒼(K_𝐀)$ tout
entier par linéarité. On peut réécrire cette définition de la
transformation de Fourier $ℱ_ψ$ sous une forme globale.
Notons $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure de Radon
produit restreint des mesures $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ sur $K_x$
(\ref{mesure produit-colimite}),
de sorte que si $f$ est une fonction continue sur $K_𝐀$
prolongement par zĂ©ro d'une fonction $f_U$ sur l'ouvert $K_𝐀(U)$
(\ref{définition adÚles}), on a
\[
ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(f)= ∫_{K_𝐀(U)} f_U ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_U} =
∏_{u ∈ U} \Big( ∫_{K_u} f_u ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_u} \Big),
\]
oĂč le terme de droite est une dĂ©finition du terme central.
Avec ces notations, il est tautologique que pour chaque $f ∈ 𝒼(K_𝐀)$
et chaque adùle $a ∈ K_𝐀$, on a
\[
ℱ_ψ(f)(a_𝐀)=∫_{K_𝐀} f ψ_{a}   dÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ,
\]
oĂč $ψ_{a}=[× a]^* ψ$. Explicitons maintenant cette construction dans deux cas
particuliers.

— Transformation de Fourier sur $𝐐_𝐀$. ConsidĂ©rons une
fonction $f^{\mathrm{arch}} ∈ 𝒼(𝐑)=𝒼(𝐐_∞)$, un entier relatif
$N∈ 𝐙-\{0\}$ et un rationnel $o ∈ 𝐐$. Il rĂ©sulte
des Ă©galitĂ©s $𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
du formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii) et
de la formule du produit $∏_p |N|_p=1/|N|$ que l'on a l'Ă©galitĂ©
\[
ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathrm{arch}}) \big) ⊠
\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
\]
oĂč $ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ dĂ©signe le caractĂšre additif des adĂšles finis
dĂ©duit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
l'on note $\chap{𝐙}$ le complĂ©tĂ© profini $∏_p 𝐙_p = \lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
Il en rĂ©sulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
\chap{𝐙}}$ satisfait la \emph{formule de Poisson adĂ©lique}
\[
∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ), \tag{$⋆⋆$}
\]
En effet, compte tendu du calcul $(⋆)$ de la transformĂ©e de Fourier,
la formule de Poisson à établir se réécrit :
\[
∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
\chap{f^{\mathrm{arch}}}(λ).
\]
Cette derniÚre résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
appliquĂ©e Ă  la fonction $φ(λ)=f^{\mathrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformĂ©e
de Fourier est $λ↊ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
Par linéarité et l'observation faite en (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
la formule de Poisson $(⋆⋆)$ est valable pour toute fonction $f ∈ 𝒼(𝐐_𝐀)$ ;
c'est aussi un cas particulier de la formule \ref{Fourier adélique} établie ci-dessous.

—- Transformation de Fourier sur $đ€_𝐀$. Notons $đ€$ le corps $𝐅_p(t)$, pour un
nombre premier $p$ fixé, et considérons maintenant une fonction
$f^∞ ∈ 𝒼(𝐅_p((t^{-1}))=𝒼(đ€_∞)$, un Ă©lĂ©ment $N ∈ 𝐅_p[t]-\{0\}$, et
un Ă©lĂ©ment $o$ de $đ€$. Comme ci-dessus, on Ă©tablit sans peine l'Ă©galitĂ©
\[
ℱ_{ψ_đ€}(f^∞ ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐅_p[t]}})=
\big( \frac{1}{p^{\deg(N)}} ℱ_{ψ_∞}(f^∞) \big) ⊠
\big( [×o]^* ψ_đ€^{ ≠ ∞} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
\]
oĂč $ψ_đ€^{ ≠ ∞}=(ψ_{đ€_x})_{x ≠ ∞}$ dĂ©signe le caractĂšre additif
du produit restreint des $đ€_x$, $x≠ ∞$, dĂ©duit de $ψ_đ€$ (\ref{caractĂšres additifs kA}),
et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P â„Č  ∏_{x ≠ ∞} đ’Ș_{đ€_x}$.
Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet
le calcul explicite de $ℱ_{ψ_∞}(f^∞)$ par dĂ©vissage ;
par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p𝟭_{t^{-2}𝐅_p[[t^{-1}]]}$.
\commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?}
On en tire en particulier que la valeur en zĂ©ro de $ℱ_{ψ_đ€}(𝟭_{đ’Ș_{đ€_𝐀}})$,
qui coĂŻncide par dĂ©finition avec la mesure $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_đ€}(đ’Ș_{đ€_𝐀})$ de $đ’Ș_{đ€_𝐀}$,
est égale à $p$.
D'autre part, on vérifie immédiatement la formule
$∑_{λ ∈ đ€} 𝟭_{đ’Ș_{đ€_𝐀}}(λ)= ∑_{λ ∈ đ€} ℱ_{ψ_đ€}\big(𝟭_{đ’Ș_{đ€_𝐀}}\big)(λ)$.
Le terme de gauche est le cardinal, Ă©gal à $p$, de $đ’Ș_{đ€_𝐀} ⋂ đ€=𝐅_p$ (fonctions
rationnelles sans pÎle) ;
le terme de droite est $p$ fois le nombre, Ă©gal à $1$, de fonctions rationnelles $f ∈ đ€$
sans pÎle hors de l'infini et ayant un zéro (au moins) double en l'infini.
Dans le cas d'une fonction gĂ©nĂ©rale $f ∈ 𝒼(đ€_𝐀)$, la formule
de Poisson adélique est moins immédiate : la méthode
esquissée ci-dessus dans le cas du corps des rationnels
nous ramÚne essentiellement à une forme théorÚme de Riemann-Roch (\ref{Riemann-Roch}).

\subsection{Formules d'inversion et de Poisson}

Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorÚme suivant.

\begin{théorÚme2}
\label{Fourier adélique}
Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractĂšre non trivial de $K_𝐀/K$ et soit
$ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associĂ©e
aux mesures auto-duales $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ (\ref{dĂ©finition Fourier
adélique}).
\begin{enumerate}
\item La mesure $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indĂ©pendante
du choix de $ψ$ et coĂŻncide l'unique mesure de Haar
$ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
telle que $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ soit le produit
(au sens de \ref{module et mesure quotients}) de la mesure de comptage sur le groupe discret $K$ par
la mesure de Haar normalisĂ©e sur le groupe \emph{compact} $K_𝐀/K$.

\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
\item  Pour $f ∈ 𝒼(K_𝐀)$,
\[
∑_{λ ∈ K} f(λ)=∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ).
\]
\item \label{Poisson-Riemann-Roch}
Pour tout idĂšle $Îč$ et toute fonction $f ∈ 𝒼(K_𝐀)$,
on a :
\[
∑_{λ ∈ K} f( λ Îč )=\frac{1}{|Îč|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /Îč).
\]
\end{enumerate}
\end{théorÚme2}

Prendre garde de ne pas confondre la mesure de Tamagawa
avec la mesure de Haar (globale) $Ό^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures Tamagawa locales}.

\subsubsection{}D'aprÚs la dualité de Pontrùgin (\ref{Pontrùgin pour adÚles}),
tout caractĂšre non trivial des classes d'adĂšles est de la
forme $[×a]^*ψ$ (notĂ© Ă©galement $ψ_a$) pour un unique $a ∈ K^×$. Il rĂ©sulte de la formule
\ref{Fourier et mesure locaux} (vi) appliquée aux composantes locales et de la formule du produit
(\ref{formule du produit}) que $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=ÎŒ^{\mbox{\minus
$+$}}_{ψ_a}$. (On montre Ă©galement, en utilisant la formule
$ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$ que le terme de droite de l'Ă©galité (iii)
ne dĂ©pend pas de $ψ$, comme attendu.) Le fait que la mesure induite
par $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
soit \emph{normalisée} sera établi à la fin de la démonstration.

\subsubsection{Formule d'inversion}
Rappelons que $ℱ_ψ(\mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č} f_x):=
\mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č} ℱ_{ψ_x}(f_x)$, lorsque
les fonctions $f_x$ sont dans $𝒼(K_x)$ et presque toutes
Ă©gales à $𝟭_{đ’Ș_{K,x}}$.
La formule d'inversion globale résulte donc, par linéarité,
des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).

\subsubsection{Formule de Poisson : convergence normale sur les compacts}
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒼(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
VĂ©rifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↩  ∑_{λ ∈ K} |f(a_𝐀+λ)|$ converge
uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit
restreint $f=(f_x)$. Nous traitons séparément corps de fonctions et corps de nombres.

❧ Cas des corps de fonctions.
Soit $U$ un ouvert dense de $K$ tel que le support de $f$ soit contenu dans
$K_𝐀(U)=∏_{u ∈ U} đ’Ș_{k,u} × ∏_{x ∉ U} K_x$.  ConsidĂ©rons le compact $D=∏_x D_x$
de $K_𝐀$, oĂč $D_x$ est le support $\Supp(f_x)$ de $f_x$ si $x ∉ U$, ou
bien $đ’Ș_{k,x}$ si $x ∈ U$.
(En présence de places archimédiennes, la compacité de $\Supp(f_x)$ et, \emph{a
fortiori}, celle de $D$ ne sont pas garanties.)
La fonction $f$ est nulle hors de $D$. Il en résulte
que chaque terme $f(a_𝐀+λ)$ de la somme est nul sauf peut-ĂȘtre
si $λ$ appartient à l'intersection de $K$ avec l'image
\emph{compacte} l'application $D×C → K_𝐀$, $(d,a)↩ d-a$.
L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie} (\ref{cocompacité}),
la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie.

❧ Cas des corps de nombres.
D'aprÚs \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, oĂč
$f^{\mathrm{ultr}}$ est la fonction caractĂ©ristique $𝟭_{o+đ”«đ’Ș_{K_𝐀}}$
de $o+đ”«đ’Ș_{K_𝐀}$, pour un $o ∈ K$ et un produit cartĂ©sien $đ”«=∏_x đ”Ș_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-ĂȘtre si
$λ ∈ K ∩ \big((o+đ”«đ’Ș_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
oĂč $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adĂšles ultramĂ©triques (\ref{dĂ©finition adĂšles ultramĂ©triques}).
(On note ici $(o+đ”«đ’Ș_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}$ l'image de l'application
soustraction, et non la différence ensembliste.)
L'application $λ↊ o+đ”« λ$ induisant une bijection de $K$
ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$,
on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{đ’Ș_{K_𝐀}}$.
Comme d'autre part cette fonction est majorée par $1$ en valeur
absolue, il nous suffit de montrer la convergence uniforme de
la somme
\[
a_𝐀^{\mathrm{arch}} ↩ ∑_{λ ∈ K ∩ (đ’Ș_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})}
|f^{\mathrm{arch}}(a_𝐀^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|
\]
sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{x ∈
ÎŁ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x$.
(On note ici $λ^{\mathrm{arch}}$ l'image de $λ$
dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
on rappelle que $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
$𝐑$-algĂšbre, Ă  $𝐑^N$ oĂč $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.)
Il existe une famille $n_x$ d'entiers négatifs presque tous nuls tels
que le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ de $đ’Ș_{K_𝐀}=∏_{x ∈ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)}
đ’Ș_{K,x}$ soit contenu dans le produit cartĂ©sien $∏_x đ”Ș_x^{n_x}$.
L'intersection $K ∩ (đ’Ș_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})$ est donc contenue
dans l'idĂ©al fractionnaire produit $I=∏_x đ”Ș_x^{n_x}$ de $K$.
On s'est donc ramenĂ© Ă  montrer que pour toute fonction $φ ∈ 𝒼(K_𝐑)$,
la sĂ©rie de fonctions $a ↩ ∑_{λ ∈ I} |φ(a+λ)|$ converge uniformĂ©ment
sur tout compact de $K_𝐑$. Puisqu'un multiple rationnel (non nul) de $I$ est contenu dans l'anneau
des entiers $đ’Ș_K$ on peut supposer, quitte Ă  changer $φ$,
que $I=đ’Ș_K$. L'anneau des entiers $đ’Ș_K$ Ă©tant un \emph{rĂ©seau}
dans $K_𝐑$ (\ref{cocompacitĂ©} (ii)) (c'est-Ă -dire : son image
(par le plongement diagonal) est isomorphe Ă  $𝐙^N$, oĂč $N=\dim_𝐑 K_𝐑$)
la conclusion résulte du fait élémentaire suivant :
pour tout entier $N$ et toute fonction $φ ∈ 𝒼(𝐑^N)$,
la sĂ©rie $a↩  ∑_{λ ∈ 𝐙^n} |φ(a+λ)|$ est uniformĂ©ment convergente
sur tout compact de $𝐑^N$. La dĂ©finition \ref{BS-local}
nous ramĂšne Ă  la convergence de la sĂ©rie $∑_{k ∈ 𝐙^N} \frac{1}{1+|k|^{s}}$ un
$s$ suffisamment grand ; chaque $s>N$ convient.

\subsubsection{Formule de Poisson : démonstration}
Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$
et $X$ le groupe abĂ©lien compact $G ∕ Γ$. Munissons $G$ d'une mesure
de Haar $ÎŒ_G$ et $X$ de la mesure quotient $ÎŒ_X$ associĂ©e (\ref{module et mesure quotients}).
Fixons $f ∈ 𝒼(K_𝐀)$ et considĂ©rons sa pĂ©riodisĂ©e $F : X → 𝐂$, dĂ©duite de la
fonction (continue)
\[
g ∈ G ↩ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
\]
par passage au quotient $G ↠ X=G ∕ Γ$. Notons $v_ÎŒ$ le volume $ÎŒ_{X}(X)$
de $X$ et $ÎŒâ€Č_X=v_ÎŒ^{-1} Ό_X$ la mesure de probabilitĂ© sur $X$ dĂ©duite de $ÎŒ_X$.
Les caractÚres continus de $X$ constituent une famille orthonormée
de l'espace de Hilbert $LÂČ(X,ÎŒâ€Č_X)$ (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii), dĂ©monstration).
Il résulte d'autre part de \ref{caractÚres séparent les points} et du
thĂ©orĂšme de densitĂ© de Stone-Weierstraß (\BourbakiTG{X.§4, th. 3})
que toute fonction continue sur $X$ Ă  valeurs complexes peut ĂȘtre uniformĂ©ment approchĂ©e
par des combinaisons linéaires de caractÚres (continus) de $X$.
La famille des caractÚres (continus) de $X$ est donc une
\emph{base hilbertienne} de $LÂČ(X,ÎŒâ€Č_X)$.
On peut donc écrire, dans cet espace,
\[
F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x},
\]
oĂč $\chap{X}$ dĂ©signe l'ensemble des caractĂšres continus $\chap{x}$ de $X$
(Ă  valeurs dans $𝐔$) et la famille des coefficients $c_{\chap{x}}(F)=⟹F,\chap{x}⟩_{LÂČ(X,ÎŒâ€Č_X)}$
appartient Ă  $ℓÂČ(\chap{X})$.
Nous allons montrer que cette famille appartient
à $ℓÂč(\chap{X})$, de sorte que la dĂ©composition prĂ©cĂ©dente
de $F$ est Ă©galement valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$
et que l'on a, en évaluant en l'identité $0$ de $X$,
l'égalité
\[
∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F),
\]
qui s'avĂšre ĂȘtre l'Ă©galitĂ© dĂ©sirĂ©e (\emph{a priori} Ă  une constante multiplicative prĂšs).
Calculons :
\[
c_{\chap{x}}(F) 
=∫_X F(x) \sur{\chap{x}(x)} d ÎŒâ€Č_X(x)
=v_ÎŒ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d ÎŒ_G(g)
=:v_ÎŒ ^{-1} ℱ_ÎŒ(f)(\chap{x}),
\]
oĂč la seconde Ă©galitĂ© est consĂ©quence
de \ref{module et mesure quotients} — car on a choisi la mesure de comptage
sur $Γ$ —, et la derniĂšre est une dĂ©finition du terme de droite.
Appliquons ce qui prĂ©cĂšde lorsque $ÎŒ$ est la mesure $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ associĂ©e
Ă  un caractĂšre non trivial $ψ$. D'aprĂšs \ref{dual des classes de adĂšles},
chaque caractĂšre $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour
un unique $λ ∈ K$ et, par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
$ℱ_{ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)$.
Comme on l'a vu précédemment (\ref{définition Fourier adélique} et
\ref{lemme de convergence normale sur compacts}), $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒼(K_𝐀)$
et $λ↊ ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓÂč(K)$.
On a donc montré l'égalité
\[
∑_{λ ∈ K} f(λ) =c ⋅ ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ)
\]
pour chaque fonction $f ∈ 𝒼(K_𝐀)$, oĂč $c$ %=v_{ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ} ^{-1}$
est une constante positive.
Il résulte immédiatement de la formule d'inversion (ii)
et de l'Ă©galitĂ© $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $cÂČ=1$, d'oĂč $c=1$.
CQFD.

\subsubsection{Formule de Poisson-Riemann-Roch}
La formule (iv) résulte de la formule de Poisson que l'on vient
d'Ă©tablir, appliquĂ©e Ă  la fonction $[×Îč]^*f$,
et de l'Ă©galitĂ© $ℱ_ψ([×Îč]^*f)=|Îč|^{-1}[× Îč^{-1}]^* ℱ_ψ(f)$,
elle-mĂȘme consĂ©quence immĂ©diate de \ref{Fourier et mesure locaux}, (iii.a).

\begin{remarque2}
Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II} ; cf.
notes Ă  la fin. \XXX
\end{remarque2}

\subsection{Le théorÚme de Riemann-Roch}

\subsubsection{}
\label{définition classe canonique}
Soient $K$ un corps global de
caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
de cardinal $q$, et $X$ l'ensemble des places.
Pour chaque caractĂšre $ψ=(ψ_x)_{x ∈ ÎŁ(K)}$ non trivial
de $K_𝐀\bo K$, considĂ©rons le diviseur $\div(ψ)=∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
oĂč $n(ψ_x)$ dĂ©signe le niveau du caractĂšre $ψ_x$ (\ref{niveau caractĂšre}).
Il résulte de la dualité de Pontrùgin (\ref{dual des classes de adÚles}),
de la formule triviale $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$, et de la formule des rĂ©sidus
(\ref{formule du produit additive}) que la classe de $\div(ψ)$
dans le groupe de Picard $\Pic(X)$ est bien définie ; on l'appelle
\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
notera $𝔠$.

\subsubsection{}
\label{Poisson implique RR}
Appliquons la formule de Poisson-Riemann-Roch (\ref{Fourier adélique},
\ref{Poisson-Riemann-Roch}) Ă  la fonction
caractĂ©ristique, notĂ©e ici $𝟭_đ’Ș$, du sous-anneau compact maximal $đ’Ș_{K_𝐀}$.
Fixons un caractĂšre additif non trivial $ψ$ de $K_𝐀 ∕ K$.
Il résulte des formules locales \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
ℱ_ψ(𝟭_đ’Ș)
= \mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č}\limits_x  q_x^{-œn(ψ_x)} 𝟭_{đ”Ș_x^{-n(ψ_x)}}
= q^{-œ\deg(𝔠)} \mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č}\limits_x 𝟭_{đ”Ș_x^{-n(ψ_x)}}.
\]
Fixons un idĂšle $Îč ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(Îč)$.
Le terme de droite de l'Ă©galitĂ© tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭_đ’Ș(f Îč)=\# \big( K ∩ Îč^{-1}đ’Ș_{K_𝐀}\big)$
(dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
a été observée en \ref{finitude K inter O sur a}),
n'est autre que l'ensemble
\[
L(𝔞):=\{f ∈ K: \div(f) ≄ - 𝔞\},
\]
oĂč $\div(f)=∑_x x(f)x$ est le diviseur d'une fonction $f ∈ K^×$ (\ref{dĂ©finition diviseur})
et, par convention, $\div(0) ≄ -𝔞$.
Notons
\[
l(𝔞)=\dim_k L(𝔞)
\]
la dimension (finie) sur $k$ de $L(𝔞)$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
Pour chaque $f ∈ K$, on a $\mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č}\limits_x  𝟭_{đ”Ș_x^{-n(ψ_x)}}(f/Îč)=1$
si et seulement si $f ∈ L(𝔠-𝔞)$. Compte tenu
de l'Ă©galitĂ© $|Îč|=q^{-\deg(Îč)}=q^{-\deg(𝔞)}$, la formule de Poisson-Riemann-Roch appliquĂ©e
à $𝟭_đ’Ș$ et $Îč$ se réécrit 
\[
q^{l(𝔞)}=q^{\deg(𝔞)}q^{-œ\deg(𝔠)}q^{l(𝔠-𝔞)}.
\]
Toute classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic(X)$ Ă©tant
de la forme $\div(Îč)$ pour un idĂšle $Îč ∈ K^×_𝐀$,
on en déduit le théorÚme fondamental suivant.

\begin{théorÚme2}[Riemann-Roch]
\label{Riemann-Roch}
Soient $K$ un corps global de caractéristique \mbox{$p>0$},
$k$ son corps des constantes, et $𝔠$ la classe canonique
définie en \ref{définition classe canonique}.
Pour tout classe de diviseur $𝔞$, on a l'Ă©galitĂ©
\[
l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-g+1,
\]
oĂč $g=œ\deg(𝔠)+1$ est un entier appelĂ© \emph{genre} \index{genre} de $K$
et
\[
l(𝔞)=\dim_k   \{f ∈ K: \div(f) ≄ -𝔞\}.
\]
\end{théorÚme2}


\begin{remarque2}
Le théorÚme précédent est valide sous des hypothÚses plus
gĂ©nĂ©rales. Voir \cite[I.§2]{AAF@Lang} et \cite[II.nÂș9]{GACC@Serre}
pour le cas des corps de fonctions sur un corps algébriquement clos,
et \cite[p. 101]{BNT@Weil} pour une remarque sur une approche
semblable Ă  celle suivie ici.
% Et peut-ĂȘtre mĂȘme que le cas des corps finis entraĂźne le
% cas général
 ? \XXX
\end{remarque2}

\begin{remarque2}
La principale application que nous ferons de ce théorÚme
est la démonstration de la rationalité de la fonction
zĂȘta d'une courbe algĂ©brique sur un corps fini, cf. \emph{infra}. \XXX
\end{remarque2}

\begin{exemple2}
\label{genre droite projective}
Soit $p$ un nombre premier. Le genre du corps $𝐅_p(t)$ des fractions
rationnelles est \emph{nul}.
En effet, le diviseur $𝔠=\div(ψ_{đ€_𝐀})$ du caractĂšre
additif construit en \ref{caractùres additifs kA} est $-2⋅∞$ ; en
particulier, son degrĂ© est $-2$ et le genre $g=œ\deg(𝔠)+1$ est nul.
\end{exemple2}

\begin{corollaire2}
\label{RR et existence de fonctions}
Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
D'aprÚs le théorÚme de Riemann-Roch (\ref{Riemann-Roch}),
il suffit de montrer que $l(𝔠-𝔞)=0$ si $\deg(𝔞)>\deg(𝔠)$ ou
encore, de façon Ă©quivalente, que $l(𝔞)=0$ si $\deg(𝔞)<0$.
Or, si $f ∈ L(𝔞)-\{0\}$ pour un tel idĂ©al, on a $\div(f) + 𝔞 ≄ 0$,
d'oĂč $\deg(𝔞)=\deg(\div(f)+𝔞)≄ 0$. Absurde.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\label{existence de fonctions ayant pÎles imposés}
Soient $K$ un corps global de fonctions et $Y ⊆ Σ(K)$ un sous-ensemble
\emph{fini}. Il existe une fonction $f ∈ K$ dont l'ensemble des pÎles est exactement $Y$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Supposons $Y$ non vide, sans quoi l'énoncé est trivial.
Pour chaque $y ∈ Y$, il résulte du théorÚme de Riemann-Roch qu'il
existe une fonction $f_y ∈  L((n+1)y)-L(n y)$, pour un entier positif $n$
suffisamment grand. Une telle fonction a un pÎle en $y$ et seulement
en ce point. La fonction $f = ∑_{y ∈ Y} f_y$ convient.
\end{démo}

%Cf. Mittag-Leffler, problĂšme de Cousin etc. \XXX

\begin{corollaire2}
\label{RR implique Dedekind de type fini}
Soient $K$ un corps global de fonctions, de corps des constantes $k$, et $U$ un ouvert dense.
Le sous-anneau $đ’Ș_K(U)$ de $K$ est un anneau de Dedekind de type fini sur $k$.
De plus, son corps des fractions est $K$ sauf si $U=Σ(K)$, auquel cas c'est le corps des constantes $k$ de $K$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Supposons $U ≠ ÎŁ(K)$. D'aprĂšs \ref{existence de fonctions ayant pĂŽles imposĂ©s},
il existe une fonction non constante $f ∈ K$ dont l'ensemble des pÎles est exactement $Σ(K)-U$.
Ainsi, notant $K₀$ le sous-corps $k(f)$ de $K$ des fractions rationnelles en $f$,
l'image $U₀$ de $U$ dans $Σ(K₀)$ n'est autre que $Σ(K₀)-\{∞₀\}$,
oĂč $∞₀$ est la « place Ă  l'infini » du corps $K₀$ (isomorphe à $k(t)$ par $t ↩ f$).
D'aprÚs \ref{fonctorialité anneau des Uentiers} (i),
l'anneau $đ’Ș_K(U)$ est le normalisĂ© dans $K$ de
$đ’Ș_{K₀}(U₀)=k[f]$, ce dernier anneau Ă©tant de type fini sur $k$.
Il résulte du théorÚme \refext{AC}{k-algÚbre-tf-est-japonaise}
(resp. du théorÚme de Krull-Akiduki, \refext{AVD-D}{Krull-Akiduki})
que l'anneau $đ’Ș_K(U)$ est de type fini sur $k$
(resp. nƓthĂ©rien, de dimension $1$).
Puisqu'il est normal, c'est un anneau de Dedekind.

Supposons maintenant $U=Σ(K)$. Soit $f ∈ K-k$ et $K₀=𝐅_p(f)$
un sous-corps global premier de $K$.
L'application $ÎŁ(K) → ÎŁ(K₀)$ Ă©tant surjective (\refext{AVD-D}{fonctorialitĂ©
valeurs absolues}), l'anneau $đ’Ș_K(ÎŁ)$ est
la clĂŽture intĂ©grale de $đ’Ș_{K₀}(Σ₀)$ dans $K$ (\ref{fonctorialitĂ© anneau des
Uentiers}, (i)).
Or, on a vu en \ref{sections globales droite projective} que $đ’Ș_{K₀}(Σ₀)=𝐅_p$ :
les fonctions rationnelles sans pĂŽles sont les constantes.
La conclusion en résulte.
\end{démo}

De plus, $\Spec(đ’Ș_K(U))=U âˆȘ \{(0)\}$.
Cf. [Rosen, p. 247] \XXX


\subsection{Calculs de volumes}

\subsubsection{IdÚle différentiel}
\label{idÚle différentiel}
Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractĂšre de $K_𝐀∕K$.
Il résulte des généralités sur la transformée de Fourier
locale (\ref{Fourier et mesure locaux})
que pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, il existe
un Ă©lĂ©ment (non canonique) $d_{ψ,x} ∈ K_x^×$
tel que
\[
ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{œ} ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1},
\]
oĂč $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ est la mesure de Haar auto-duale
associĂ©e Ă  $ψ_x$ sur le groupe additif du corps local $K_x$ et $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$ est la mesure
de Tamagawa locale dĂ©finie en \ref{mesures Tamagawa locales} sur ce mĂȘme corps.
Lorsque $x$ est ultramétrique, une condition nécessaire et suffisante
sur $d_{ψ,x}$ est que sa valuation $x(d_{ψ,x})$ soit Ă©gale au
niveau $n_x(ψ_x)$. En particulier (\ref{dual des classes de adĂšles}),
$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
idĂšle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelĂ© \textbf{idĂšle diffĂ©rentiel attachĂ© à $ψ$},
\index{idĂšle diffĂ©rentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.

\subsubsection{}Lorsque $x$ est une place ultramétrique,
on a vu au cours de la démonstration de \ref{Fourier et mesure locaux}
(orthogonalité des caractÚres) que la fonction
$ℱ_{ψ_x}(𝟭_{đ’Ș_{K,x}})$ est Ă©gale Ă  la fonction $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}(đ’Ș_{K,x})
𝟭_{đ’Ș_{K,x}^{⊄}}$, oĂč $đ’Ș_{K,x}^{⊄}$ est l'orthogonal $\{ f ∈ K_x: ψ_x(f
  đ’Ș_{K,x}) =\{1\}\}$
de $đ’Ș_{K,x}$ relativement Ă  l'accouplement dĂ©fini par $ψ_x$.
On en tire
\[
đ’Ș_{K,x}^{⊄}=d_{K,x}^{-1}đ’Ș_{K,x},
\]
car on a l'égalité (\emph{loc. cit.}, (ii))
\[
ℱ_{ψ_x}(𝟭_{đ’Ș_{K,x}})=|d_{K,x}|^{œ}[× d_{K,x}]^* 𝟭_{đ’Ș_{K,x}}. \tag{$†$}
\]

\subsubsection{}Lorsque la place $x$ est archimédienne,
il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} (v)
et que l'on peut prendre pour $d_{ψ,x}$ l'unique
Ă©lĂ©ment de $K_x^×$ tel que $ψ_x=[× d_{ψ,x}]^* 𝐞_{K_x}$,
oĂč le caractĂšre $𝐞_{K_x}$ est dĂ©fini en \ref{caractĂšre corps local}.
La formule $(†)$ admet l'analogue suivant :
$ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{œ}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$,
oĂč les fonctions gaussiennes $g_{K_x}$ sont comme
en \ref{Mellin local archimédien}.
D'aprÚs \ref{dépendance Fourier local en caractÚre},
elle est équivalente à la formule bien connue
\[
\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↩ ∫_𝐑 e^{-πtÂČ-2πitx}dt \Big)
=\Big( g_𝐑 : x↩ e^{-π xÂČ}\Big)
\]
et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↩ \frac{1}{π}e^{-2 π z \sur{z}}\big)$.

\subsubsection{}
\label{Tamagawa et idÚle différentiel}
L'Ă©galitĂ© locale $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{œ} ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$
entraßne l'égalité
\[
ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{œ} ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
Le module $|d_ψ|$ ne dĂ©pendant pas du choix de $ψ$, on
le note dorénavant $|d_K|$.
Il résulte des calculs effectués en \ref{Poisson implique RR}
et, en caractéristique nulle, de la proposition \ref{niveau et différente}
%— car on peut supposer $ψ=𝐞_K$ —
que l'on a :
\[
|d_K| =
\begin{cases}
\displaystyle |𝔡_K|^{-1}    & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
oĂč $𝔡_K$ est la diffĂ©rente (\refext{AVD-D}{diffĂ©rente}) du corps
de nombres $K$ sur $𝐐$ et $g$ est le genre (\ref{Riemann-Roch}) du corps de
fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$.

\subsubsection{}
\label{Fourier de 1}
Soit $K$ un corps global et posons
\[
𝟭_đ’Ș= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimitsâ€Č}\limits_{x ∈ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{đ’Ș_{K,x}}\big) ⊠
\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
g_{K_x}\big).
\]
Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on
a la formule (globale)
\[
ℱ_ψ(𝟭_đ’Ș)=|d_K|^{œ} [×d_K]^*𝟭_đ’Ș.
\]
Cette égalité est le pendant adélique de l'équation fonctionnelle
$Ξ(t)=\frac{1}{√{t}} Ξ(\frac{1}{t})$ considĂ©rĂ©e en \ref{Ă©quation-fonctionnelle-thĂȘta}.
Elle nous servira également à établir les équations fonctionnelles des
fonctions $ζ$ de corps globaux.

\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
Pour toute mesure de Haar $ÎŒ$ sur $K_𝐀$, notons ici
$\sur{ÎŒ}$ l'unique mesure de Haar sur $K_𝐀/K$
telle que $Ό$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients})
de $\sur{Ό}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$.
Compte tenu des Ă©galitĂ©s $\sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$
(\ref{Fourier adĂ©lique}, (i)), et $ÎŒ^{\mbox{\minus
$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{œ} ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{Tamagawa et idÚle différentiel}), on a :
\[
\sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
=
\begin{cases}
\displaystyle √{|𝔡_K|}    & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
oĂč l'on rappelle que $ÎŒ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
est la mesure de Haar sur $K_𝐀$ produit
restreint des mesures locales $Ό^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$.
(Lorsque $K$ est un corps de fonctions, c'est l'unique mesure de Haar pour laquelle
le compact $∏_x đ’Ș_{K,x}$ est de mesure $1$.)
Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
théorÚme de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.

\subsubsection{}DĂ©finissons de mĂȘme la mesure $\sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$
sur les classes d'idĂšles $C_K=K_𝐀^×/K^×$ comme Ă©tant l'unique mesure
dont $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ est le produit par
la mesure de comptage sur le sous-groupe discret
(non cocompact) $K^×$.

\begin{théorÚme2}
\label{calcul volume idélique}
Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines
de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de Picard. Alors,
\[
\sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)
= \frac{h}{w}×
\begin{cases}
\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R  & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
oĂč $C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀/K^×$ et $R$ est le \emph{rĂ©gulateur} dĂ©fini
en \ref{définition-régulateur}.
\end{théorÚme2}

\begin{remarque2}
On verra plus tard que, dans le langage des fonctions $ζ$,
ce thĂ©orĂšme devient — dans le cas des corps de nombres — :
$\Res_{s=0} \frac{ζ_K(s)}{s^{r_𝐑+r_𝐂}}=-\frac{hR}{w}$.
\XXX
\end{remarque2}

\begin{démo}
Le groupe de Picard étant isomorphe au quotient $C_K^{=1}/C_K^{=1}(X)$,
oĂč $X$ est l'ensemble des places ultramĂ©triques de $K$ et
$C_K^{=1}(X)=K^×K_𝐀^{×,=1}(X)/K^×$, il suffit de dĂ©montrer
l'Ă©galitĂ© $\sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C_K^{=1}(X))=1/w$ si
$K$ est un corps de fonctions et $2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R/w$ sinon.
Le noyau $K^× ∩ K_𝐀^{×,=1}(X)$ du morphisme
$K_𝐀^{×,=1}(X) ↠ C_K^{=1}(X)$ Ă©tant
l'ensemble $đ’Ș_K(X)^×$ des unitĂ©s de $K$
entiÚres en chaque place ultramétrique, on a
$K_𝐀^{×,=1}(X)/đ’Ș_K(X)^× â„Č C_K^{=1}(X)$.

Cas d'un corps de fonctions. La condition
sur la norme (globale) est automatiquement satisfaite,
$K^×_𝐀(X)=∏_x đ’Ș_{K,x}^×$ et $đ’Ș_K(X)^×= k^×$.
Le cardinal de $k^×$ Ă©tant $w$ et, par dĂ©finition,
$ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(∏_x đ’Ș_{K,x}^×)=1$,
la conclusion est acquise dans ce cas.

Cas d'un corps de nombres.
Pour calculer le volume du quotient $K^{×,=1}_𝐀/đ’Ș_K^×$, nous utilisons
maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑$
définie en \ref{theoreme-unites-Dirichlet} et
$ÎŒ^{\mathrm{arch}}$ la mesure image directe de $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$.
Le noyau de la restriction à $đ’Ș_K^×$ de $\log_𝐀$ Ă©tant l'ensemble des racines de
l'unité, de cardinal $w$, on a l'égalité
\[
w ⋅ \sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K_𝐀^{×,=1}(X)/đ’Ș_K^×\big)=
\sur{ÎŒ}^{\mathrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ ÎŁ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 đ’Ș_K^×\Big).
\]
(Raisonner par exemple en terme de domaines fondamentaux.)
Il résulte des définitions locales \ref{sorites mesures multiplicatives locales}
ainsi que d'un calcul élémentaire immédiat
\footnote{PrĂ©cisĂ©ment : $∫_{𝐑^×} f(\log(|x|))\frac{dx}{x}=2Ă—âˆ«_𝐑 f(y)dy$ et
$∫_{𝐂^×} f(\log(|z|ÂČ))\frac{2dxdy}{|z|ÂČ} = 2Ï€Ă—âˆ«_𝐑 f(r)dr$.}
que la mesure $ÎŒ^{\mathrm{arch}}$ est Ă©gale Ă  $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois
la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$.
Pour conclure, il nous faut vérifier que le covolume (usuel)
de $\log_𝐀(đ’Ș_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ ÎŁ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est Ă©gal
au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition.
\end{démo}

%Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53].

\section{Fonctions zĂȘta}

\subsection{Fonctions zĂȘta de Dedekind : dĂ©finitions}

\subsubsection{}
\label{dĂ©finition zĂȘta Dedekind}
Soit $K$ un corps global, dont on note $X$ l'ensemble des places
ultramĂ©triques. Pour chaque $x ∈ X$ notons $q_x$ — ou
parfois $N(x)$ — le cardinal du corps fini $k_x=đ’Ș_{K,x}/đ”Ș_x$.
La \textbf{fonction zĂȘta de Dedekind} \index{fonction zĂȘta de Dedekind}
de $K$ est la fonction
\[
ζ_K(s)= ∏_{x ∈ X} ζ_{K_x}(s)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-q_x^{-s}}.
\]
Ce produit converge absolument sur le demi-plan $\Re(s)>1$.
Comme c'est un cas particulier d'un énoncé démontré ci-dessous
(\ref{}), nous n'en donnons pas la démonstration ici. \XXX
% cf. Weil p. 102-103.

\subsubsection{}On rappelle (\ref{calcul explicite intégrale quasi-caractÚre},
\ref{Matchett}) que pour chaque $x$, le facteur local
$ζ_{K_x}(s) = \frac{1}{1-q_x^{-s}}$ est la transformée de Mellin
(locale) $ζ_{ψ_x}(𝟭_{đ’Ș_{K_x}},1,s)$ relativement Ă  un
caractĂšre additif $ψ_x$ de niveau nul de $K_x$. Cette observation
est cruciale.

\subsubsection{}
\label{zeta Dedekind via Hasse}
Si $U$ est un \emph{ouvert affine} de $K$,
c'est-Ă -dire un ensemble cofini $U ⊆ X$ tel que l'anneau $đ’Ș_K(U)$
des $U$-entiers soit de corps des fractions $K$ (\ref{normalité triviale},
\ref{OKU Dedekind}), on a l'égalité tautologique
\[
ζ_K(s) = ζ_{đ’Ș_K(U)}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s),
\]
oĂč l'on note $ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{đ”Ș ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# Îș(đ”Ș)^{-s}}$
est la fonction zĂȘta de Hasse d'un anneau $A$ et $Îș(đ”Ș)$
le corps rĂ©siduel $A/đ”Ș$ (\refext{AC}{dĂ©finition fonction zĂȘta Hasse}).
Cette égalité est conséquence formelle du fait
que l'application $x↩ đ”Ș_x$ induit une bijection
entre $U$ et le spectre maximal $\Specmax(đ’Ș_K(U))$ de $đ’Ș_K(U)$,
telle que $q_x = N(đ”Ș_x)$.

\subsubsection{Réécriture : corps de nombres}
Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
ζ_K(s)=ζ_{đ’Ș_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s},
\]
oĂč $𝔞$ parcourt l'ensemble des idĂ©aux non nuls de l'anneau
des entiers $đ’Ș_K$ et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient (fini) $đ’Ș_K ∕ 𝔞$.
La seconde égalité est l'analogue de la formule d'Euler
$∏_p \frac{1}{1-p^{-s}} = ∑_{n ≄ 1} n^{-s}$ (\cite[thĂ©orĂšme 8]{Variae@Euler}).
Elle rĂ©sulte des Ă©galitĂ©s $(1-N(đ”Ș)^{-s})^{-1}=∑_{r ≄ 1} N(đ”Ș^r)^{-s}$,
et du fait que chaque $𝔞$ s'Ă©crit de maniĂšre unique
(Ă  l'ordre des facteurs prĂšs) comme un produit $đ”Ș_{x₁} \cdots đ”Ș_{x_r}$,
dont la norme est $N(đ”Ș_{x₁} \cdots đ”Ș_{x_r})=N(x₁)\cdots N(x_r)$.

\subsubsection{Réécriture : corps de fonctions}
\label{réécriture ZĂȘta corps de fonctions}
Si $K$ est un corps de fonctions, notons $q$ le cardinal
de son corps des constantes. Pour chaque $x ∈ X$,
le cardinal $q_x$ est donc égal à $q^{\deg(x)}$,
oĂč $\deg(x)$ est le degrĂ© de l'extension $Îș(x) \bo k$
(\ref{formule du produit additive}).
Il en résulte que l'on a, du moins formellement,
\[
ζ_K(s) = Z_K(q^{-s}) \text{, oĂč }
\]
\[
Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} = ∏_{n ≄ 1} (1-T^n)^{-B_K(n)} ∈ 𝐙[[T]],
\]
oĂč $B_K(n)$ est ici le nombre de $x ∈ X$ de degré $n$.
L'Ă©galitĂ© $(1-T)^{-1}=∑_{n ≄ 0} T^n$ nous permet d'une part de calculer la dĂ©rivĂ©e logarithmique
\[
T \frac{Zâ€Č_K}{Z_K} = ∑_{n ≄ 1} N_K(n)  T^n,
\]
oĂč $N_K(n):= ∑_{r|n} B_K(r)r=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ — ce qui revient Ă  compter
les points de $X$ de degré $r$ avec une multiplicité $r$ —
et aussi d'exprimer la fonction ZĂȘta sous la forme
d'une série génératrice
\[
Z_K(T)= ∑_{n ≄ 0} E_K(n) T^n,
\]
oĂč $E_K(n)$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs}
(\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $n$\footnote{En termes plus
expressifs, $N_K(n)$ est le \emph{nombre de $𝐅_{q^n}$-points de la courbe projective
lisse sur $𝐅_q$ associĂ©e à $K$}.}.
Notons que l'expression de la dérivée logarithmique est équivalente
à la formule :
\[
Z_K(T)=\exp(∑_{n ≄ 1} N_K(n)\frac{T^n}{n}). \tag{††}
\]

\subsubsection{Extension du corps des constantes}
Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≄ 1$.
Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme
prùs), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k} k_e$ obtenu à partir de $K$
par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_d$ l'ensemble de ses places (ultramétriques).
Le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ \XXX et l'application
$X_d → X$ est surjective. Si $y↩x$, le corps rĂ©siduel $Îș(y)$ est extension
composĂ©e du corps fini $Îș(x)$ (de degrĂ© $\deg(x)$ sur $k$) et de $k_e$ : elle
est donc de degré $\frac{e}{(e,\deg(x))}$ sur $k_e$. 
L


Reprenons les notations de
\ref{réécriture ZĂȘta corps de fonctions}. Le lecteur se convaincra aisĂ©ment,
à partir de la formule $N_K(n)=∑_{r | n} r B_K(r)$, que l'on a
$N_{K_d}(n)=N_K(nd)$ si $d$ divise $n$ et $N_{K_d}(n)=0$ sinon.


C'est un
fait gĂ©nĂ©ral (indĂ©pendant de l'hypothĂšse faite sur $d$) \XXX que $Z_{K_d}(T^d)= ∏_{ÎŒ ∈ ÎŒ_d(𝐂)} Z_K(ÎŒT)$.




\subsubsection{Fonction zĂȘta complĂ©tĂ©e}
\label{fonction zĂȘta complĂ©tĂ©e}
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est commode
d'introduire la \textbf{fonction zĂȘta (de Dedekind) complĂ©tĂ©e}
\[
\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ ÎŁ^{\mathrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s),
\]
oĂč les fonctions zĂȘta archimĂ©diennes $ζ_𝐑$ et $ζ_𝐂$ sont
les \textbf{facteurs Gamma} modifiés considérés en \ref{Mellin local archimédien}.
Nous Ă©tendons cette dĂ©finition au cas oĂč $K$ est un corps de fonctions
en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $ÎŁ^{\mathrm{arch.}}(K)=∅$).
Nous verrons ci-dessous que cette fonction zĂȘta se prolonge analytiquement
en une fonction méromorphe satisfaisant l'équation fonctionnelle
\[
\sur{ζ}_K(s)=|d_K|^{s-œ} \sur{ζ}_K(1-s),
\]
oĂč $|d_K|$ dĂ©signe la norme d'un idĂšle diffĂ©rentiel (\ref{idĂšle diffĂ©rentiel}).

La fonction zĂȘta complĂ©tĂ©e est parfois notĂ©e $Ξ_K$ ou $\chap{ζ}_K$ dans la littĂ©rature.
Prendre également garde au fait que certains auteurs (comme \cite{Neukirch}) incluent le facteur
correctif supplémentaire $|d_K|^{-s/2}$ dans la définition de $\sur{ζ}_K$ de
façon à avoir une parfaite invariance $s ↔ 1-s$.

\subsubsection{}Nous verrons dans d'autres chapitres des applications
arithmĂ©tique de l'Ă©tude analytique des fonctions zĂȘta
(au sens large). Voici une chronologie non exhaustive \XXX :
\begin{itemize}
\item 1737, Euler (\cite[théorÚme 19]{Variae@Euler})\footnote{Voir par exemple
\cite{Euler@Kurokawa} pour un panorama des rĂ©sultats d'Euler.} : $∑_{p \text{ premier}} \frac{1}{p} =
\log ζ(1) = +∞$.
\item 1838, Dirichlet : « Sur lâ€Čusage des sĂ©ries infinies dans la thĂ©orie des
nombres » [...].
\item 1859, Riemann : utilisation de la variable complexe, lien fin entre $π(x)$
et les zéros de $ζ$.
\item 1896, Hadamard et de la VallĂ©e-Poussin : $ζ_{|\Re =1} ≠ 0 ↔ π(x) ∌
\frac{x}{\log(x)}$.
% Frobenius \XXX
\item 1925, ČebotarĂ«v : thĂ©orĂšme d'Ă©quidistribution
\end{itemize}

\subsection{Exemples}

\subsubsection{Corps des rationnels}
\label{exemple zĂȘta rationnels}
La fonction zĂȘta $ζ_𝐐$ du corps $𝐐$ est la fonction
zĂȘta de Riemann\index{fonction zĂȘta de Riemann}
\[
ζ(s)=∑_{n ≄ 1} n^{-s}=∏_p (1-p^{-s})^{-1},
\]
et, par définition,
\[
\sur{ζ}_𝐐=ζ ⋅ ζ_𝐑 \text{, oĂč } ζ_𝐑(s)=π^{-œs}Γ(œs).
\]
Comme on l'a vu en \ref{exemple Mellin réel},
la fonction $\sur{ζ}_𝐐(s)$ est la transformĂ©e de Mellin (\ref{transformation Mellin rĂ©elle})
$ζ(ψ,\frac{s}{2})$ de la fonction $ψ(t)=∑_{n ≄ 1} e^{-π nÂČ t}$,
oĂč l'on suppose par exemple $s>1$.
Cette égalité, jointe à la formule de Poisson, est le point clef
de la démonstration classique de l'équation fonctionnelle
de la fonction zĂȘta de Riemann (\ref{propriĂ©tĂ©s zĂȘta Euler-Riemann}).
(Rappelons que le norme d'un idĂšle diffĂ©rentiel de $𝐐$ est  $1$.)
Nous verrons ci-aprÚs des généralisations, pour un corps global quelconque,
de ce fait, démontrées par voie adélique.

\begin{exercice2}[DĂ©monstration de $ζ(2k) ∈ π^k 𝐐$ par rĂ©currence]
Soit $k ≄ 4$ un nombre pair. ConsidĂ©rons
la fraction rationnelle
\[
f_k(X,Y)=\frac{2}{X Y^{k-1}}+\frac{1}{XÂČ Y^{k-2}} + \cdots +
\frac{1}{X^{k-2}YÂČ} + \frac{2}{X^{k-1} Y}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[
f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y)
=2 ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} \frac{1}{X^j Y^{k-j}}
\]
\item En déduire que
\[
\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j).
\]
\item En dĂ©duire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ oĂč $P=√{6 ζ(2)}$.
\item Montrer que
\[
∫_{[0,1]ÂČ} (1-xÂČyÂČ)^{-1} dxdy= (1-ÂŒ)ζ(2).
\]
Vérifier que la substitution
$(x,y)=(\frac{\sin(u)}{\cos(v)},\frac{\sin(v)}{\cos(u)})$
a pour jacobien $(1-xÂČyÂČ)$ et envoie le triangle
\[T=\{u,v ∈ 𝐑_{>0}: u + v < π/2\}\]
bijectivement sur l'intérieur du carré de sorte que
$∫_{[0,1]ÂČ} (1-xÂČyÂČ)^{-1} dxdy= \mathrm{Aire}(T)$.
En dĂ©duire que $ζ(2)=\frac{πÂČ}{6}$, c'est-Ă -dire $P=π$.
\end{enumerate}
%Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la
%cohomologie de $\mathrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposĂ© au CEM.
%Calcul de $ζ(2)$ du à Calabi : cf. « Sums of generalized
%harmonic series and volumes », 1993.
\nocite{Sums@BCK}
\end{exercice2}

\subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles}
\label{exemple zĂȘta fonctions}
Par dĂ©finition et description des places de $𝐅_p(t)$, on a
\[
ζ_{𝐅_p(t)}(s)= \Big(∏_{P ∈ đ’«_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}\Big) ⋅ (1-p^{-s})^{-1},
\]
oĂč $đ’«_p$ est l'ensemble des polynĂŽmes irrĂ©ductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$ et $|f|=p^{-\deg(f)}$.
Notons que le premier facteur s'identifie Ă  la fonction
zĂȘta de Hasse de l'anneau $𝐅_p[t]$ des fractions rationnelles
entiùres hors de la place à l'infini $∞$. (Rappelons
que la valuation correspondante est définie par
le degré (en $t$) des fractions rationnelles.)
Ce facteur se réécrit
\[
∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}=
∑_{d ≄ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}
\]
car il y a exactement $p^{d}$ polynÎmes unitaires de degré $d$
dans $𝐅_p$. Ainsi,
\[
ζ_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})} \text{\quad et \quad}
Z_{𝐅_p(t)}(T)=\frac{1}{(1-T)(1-pT)}.
\]
Comme d'autre part le genre $g_{𝐅_p(t)}$ de $𝐅_p(t)$ est nul (\ref{genre droite projective}),
on a $|d_{𝐅_p(t)}|=pÂČ$ (\ref{Tamagawa et idĂšle diffĂ©rentiel})
de sorte que, notant $K=𝐅_p(t)$, on a
$|d_K|^{-s/2} ⋅ ζ_{K}(s)=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}$.
Cette fonction est visiblement invariante par la substitution $s ↔ 1-s$,
s'Ă©tend en une fonction mĂ©romorphe sur $𝐂$ — c'est mĂȘme une fonction rationnelle
en $p^{-s}$ — à pîles simples en $0$ et $1$ uniquement,
et ayant un résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
% colle bien avec le $-h_K/(1-q)$.

\begin{exercice2}
Déduire de l'égalité
\[
(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}=∏_{P ∈ đ’«_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}
\]
la formule $p^n=∑_{d|n} d ⋅ \#đ’«_{p,d}$, oĂč $đ’«_{p,d}=\{P ∈ đ’«_p:\deg(P)=d\}$.
(Indication : on pourra poser $T=p^{-s}$ et considérer la dérivée
logarithmique relativement à $X$ des deux termes.)
Cette formule a été précédemment démontrée
en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
\end{exercice2}

\subsection{Prolongement analytique et Ă©quation fonctionnelle des fonctions zĂȘta
de Dedekind}

\begin{théorÚme2}
\label{Ă©quation fonctionnelle zĂȘta}
Soit $K$ un corps global. On note $q$ le cardinal du corps des constantes
si $K$ est un corps de fonctions et $1$ sinon.
\begin{enumerate}
\item La fonction zĂȘta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ (\ref{dĂ©finition zĂȘta Dedekind})
converge absolument pour pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction mĂ©romorphe sur $𝐂$ Ă  pĂŽles
simples uniquement en les complexes congrus à $0$ ou $1$,
\emph{modulo $2πi/\!\log(q)$} (en faisant la convention que $2πi/\!\log(1)=0$).
\item Soit $|d_K|$ la norme d'un idÚle différentiel de $K$,
Ă©gale Ă  $|𝔡_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombres
de discriminant $𝔡_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$.
Alors, la fonction zĂȘta complĂ©tĂ©e $\sur{ζ}_K$
(\ref{fonction zĂȘta complĂ©tĂ©e})
satisfait l'équation fonctionnelle
\[
\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-œ}\sur{ζ}(1-s)
\]
et l'on a
\[
\Res₀ \sur{ζ}_K =
\begin{cases}
\displaystyle -Îș/\!\log(q)& \text{si $K$ est un corps de fonctions}\\
\displaystyle -Îș/π^{r_𝐂} & \text{si $K$ est un corps de nombres},
\end{cases}
\]
oĂč $Îș$ est la constante calculĂ©e en \ref{calcul volume idĂ©lique}
et $r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$.
\item Si $K$ est un corps de fonctions, on a de plus
\[
ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{oĂč} \quad Z_X(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}
\]
et $P_K(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynĂŽme de degrĂ© $2g_K$.
La fonction ZĂȘta $Z_X$ satisfait les propriĂ©tĂ©s suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pÎles des pÎles simples en $1$ et $q^{-1}$ ;
\item $Z_K(T)=q^{-χ_K/2}T^{-χ_K}Z_K(1/qT)$, oĂč $χ_K=2-2g_K$ et $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
\item $P_K(0)=1$ et $P_K(1)=h_K$, oĂč $h_K$ est le nombre de classes de diviseurs de degré $0$ de $K$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{théorÚme2}

\begin{remarque2}
Les Ă©noncĂ©s (a)—(c) sur la fonction ZĂȘta $Z_X$ sont consĂ©quence immĂ©diate
des Ă©noncĂ©s (i)—(ii) sur la fonction zĂȘta $ζ_K$.
L'entier $χ_K$ est appelĂ© « caractĂ©ristique d'Euler-Poincaré »
du corps $K$ (ou plutÎt, de la courbe projective lisse correspondante).
\end{remarque2}

\subsubsection{}La démonstration de ce théorÚme occupe la suite de cette
section. Suivant une méthode globale (adélique) due indépendamment à
\textsc{Iwasawa} K. et J. \textsc{Tate}\footnote{Voir \cite{note@Iwasawa}, \cite{Lettre@Iwasawa}, \cite{Collected@Iwasawa},
\cite{Fourier@Tate}.}, on interprÚte le produit eulérien (qui est aussi
\emph{grosso modo} une somme sur les idéaux) comme une intégrale sur les idÚles, plus précisément comme une
transformée de Mellin adélique, puis on utilise le lien
avec la transformation de Fourier pour établir l'équation fonctionnelle.
Procédant ainsi, il est plus naturel d'établir
d'abord l'énoncé général \ref{pÎles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
puis de vĂ©rifier que le thĂ©orĂšme \ref{Ă©quation fonctionnelle zĂȘta} en est
conséquence.

\subsubsection{}
On fixe dorĂ©navant un caractĂšre additif non trivial $ψ=(ψ_x)$ de $K_𝐀/K$,
auquel est associée la transformation de Fourier (autoduale)
$ℱ_ψ$ (\ref{dĂ©finition Fourier adĂ©lique}, \ref{Fourier adĂ©lique}).
Comme dans le cas additif, il résulte de la formule du produit
que la mesure de Haar multiplicative globale
produit restreint des mesures $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$
est indĂ©pendante de $ψ$ ; elle est Ă©gale Ă  $|d_K|^{œ} ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}₁$.

\subsubsection{Transformation de Mellin adĂ©liques}Soient $f ∈ 𝒼(K_𝐀)$ et $χ$ un quasi-caractĂšre de $K^×_𝐀/K^×$
(\ref{quasi-caractĂšres globaux}). Pour chaque signe de
comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idĂšles $Îč$ tels que
$|Îč| ? 1$ et $c$ la fonction continue $K^×_𝐀 → 𝐑$ valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$,
$0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$ et $œ$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≀1}_𝐀 ∩ K^{×, ≄1}_𝐀$.
Sous réserve de convergence ou d'existence d'un prolongement méromorphe
(cf. \emph{infra}), dĂ©finissons les fonctions zĂȘta suivantes, obtenues par
transformation de Mellin :
\[
\begin{array}{rcl}
ζ_{≀ 1}(f,χ,s) &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} ; \\
ζ_{≄ 1}(f,χ,s) &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} ; \\
ζ(f,χ,s)       &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} =  ζ_{≄ 1}(f,χ,s)+ζ_{≀ 1}(f,χ,s).
\end{array}
\]
%Quitte Ă  remplacer $χ$ par un « translaté » $χ ω_s$, on peut
%supposer que $\Re(χ)=0$, c'est-Ă -dire que $χ$ est un \emph{caractĂšre}.
Dans les deux premiers cas, on peut restreindre le domaine d'intégration à
$K^{×, ≄1}_𝐀$ et $K^{×, ≀1}_𝐀$ respectivement.
Notons également que lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres},
l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile :
la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
de fonctions, le groupe des idĂšles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dĂ©nombrable} de translatĂ©s
de $K^{×, =1}_𝐀$.

\begin{remarque2}
Comme dans le cas local (\ref{quasi-caractÚres=variété}),
l'introduction de la variable $s$ est essentiellement inutile : si l'on pose
$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$.
Moyennant une légÚre abstraction/géométrisation, il serait possible
(et loisible) de considĂ©rer $χ$ comme une \emph{variable} (analytique), parcourant
la « surface de Riemann » des quasi-caractĂšres de $K^×_𝐀/K^×$.
\end{remarque2}

\subsubsection{Convergence}
VĂ©rifions que la transformĂ©e de Mellin $ζ(f,χ,s)$ d'une fonction $f ∈ 𝒼(K_𝐀)$ est holomorphe (en la variable $s$)
sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$.
(\emph{A fortiori}, il en sera ainsi des deux transformées de Mellin tronquées.)
Par dĂ©finition de la mesure idĂ©lique, on a — sous rĂ©serve de convergence
du terme de droite — $ζ(f,χ,s)=|d_K|^{-œ}∏_x ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$.
Or, quitte à décomposer $f$ en une somme finie, il existe un ouvert dense $U$ tel que, pour chaque $x ∈ U$, on ait :
\begin{enumerate}
\item $f_x=𝟭_{đ’Ș_{K,x}}$ (cf. \ref{Bruhat-Schwartz adĂ©lique}) ;
\item $ψ_x$ est de niveau nul (cf. \ref{dual des classes de adĂšles}) ;
\item $χ_x$ est net (cf. \ref{dĂ©composition et partie rĂ©elle quasi-caractĂšre global}).
\end{enumerate}
Pour un tel $x$, la transformĂ©e de Mellin locale $ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$
(dĂ©finie en \ref{fonction zĂȘta locale}) est Ă©gale Ă 
${(1-χ_x(ϖ_x)|ϖ_x|_x^s)^{-1}}$ (\ref{Matchett}), oĂč $ϖ_x$ est une uniformisante
de $K_x$. (On rappelle que $|ϖ_x|_x=1/q_x$ oĂč $q_x$ est le cardinal du corps rĂ©siduel.)
Pour $x ∉ U$, les autres facteurs locaux sont homolomorphes
pour $\Re(s)>-\Re(χ)$ (cf. \ref{prolongement mĂ©romorphe et Ă©quation fonctionnelle cas local}, (i)
et \ref{décomposition et partie réelle quasi-caractÚre global}).
Comme d'autre part $|χ_x(ϖ_x)|=q_x^{-\Re(χ)}$, il suffit finalement
de montrer la convergence absolue pour $σ>1$ du produit ${∏_{x ∈ U}(1-q_x^{-σ})^{-1}}$,
ce qui revient Ă  montrer la convergence
absolue du produit eulérien définissant $ζ_K(s)$ dans ce domaine.
À nouveau, nous procĂ©dons par rĂ©duction au cas d'un corps global premier.
Choisissons un plongement de $𝐐$ ou $đ€=𝐅_p(t)$ dans $K$ ;
le morphisme induit sur l'ensemble des places est Ă  fibres
de cardinaux majorés par le degré $d$ de l'extension et,
si une place $x$ de $K$ s'envoie sur $y$, on a $q_x ≄ q_y$.
Il en résulte que $ζ_K(s)$ est majorée respectivement
par $ζ_𝐐(s)^d$ ou $ζ_đ€(s)^d$. On a vu prĂ©cĂ©demment
(\ref{exemple zĂȘta rationnels}, \ref{exemple zĂȘta fonctions})
que les produits eulĂ©riens dĂ©finissant $ζ_𝐐$ et $ζ_đ€$ convergent
absolument si $\Re(s)>1$. Ceci dĂ©montre la convergence et l'holomorphie de $ζ(f,χ,s)$.

Il en rĂ©sulte formellement que la transformĂ©e de Mellin \emph{tronquĂ©e} $ζ_{≄
1}(f,χ,s)$ est convergente et \emph{entiĂšre} (c'est-Ă -dire holomorphe
sur $𝐂$ entier). En effet, sur $K^{×, ≄ 1}_𝐀$, plus $\Re(s)$ est petit,
$ω_s$ est petit.

\subsubsection{}
Notons $\dot{f}$ la fonction $Îč↩ ∑_{λ ∈ K} f(λ Îč)=f(0)+∑_{λ ∈ K^×} f(λ Îč)$ sur
les classes d'idĂšles $C_K=K^×_𝐀/K^×$ et $\dot{ÎŒ}^{\mbox{\minus
$×$}}_{1}$ l'unique mesure de Haar sur les classes d'idĂšles pour laquelle $∫_{K^×_𝐀} φ d{ÎŒ}^{\mbox{\minus
$×$}}_{1}=∫_{C_K} \big(∑_{λ ∈ K^×} [× λ]^*φ\big)d\dot{ÎŒ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ (cf. \ref{module et
mesure quotients}). Les fonctions $χ,ω_s$ et $c$ Ă©tant invariantes par
multiplication par $λ ∈ K^×$, on a l'Ă©galitĂ©
\[
ζ_{≀1}(f,χ,s) = \dot{ζ}_{≀ 1}(\dot{f},χ,s) - f(0) \dot{ζ}_{≀ 1}(1,χ,s),
\]
oĂč $\dot{ζ}_{≀ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≀1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{ÎŒ}^{\mbox{\minus
$×$}}_{1}$, etc.
Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier
adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule
$\mathrm{inv}^* c=1-c$, oĂč $\mathrm{inv}(Îč)=Îč^{-1}$,
que l'on a :
\[
ζ_{≀ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≀ 1}(1,χ,s) =
ζ_{≄ 1}(\chap{f},\chap{χ},-s) + \chap{f}(0)\dot{ζ}_{≄ 1}(1,\chap{χ},-s),
\]
oĂč $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$ (transformĂ©e de Fourier autoduale).

Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≄ 1}(\chap{f},\chap{χ},-s)$ est une fonction
entiĂšre. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que $\dot{ζ}_{≄
1}(1,\chap{χ},-s)$ est holomorphe sur $\Re(s)>0$ et s'Ă©tend en une fonction
méromorphe. Il en résulte le fait remarquable que
$ζ_{≀1}(f,χ,s)$ \emph{a priori} holomorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$,
s'Ă©tend en une fonction mĂ©romorphe sur $𝐂$.

\subsubsection{Calcul de $\dot{ζ}_{? 1}(1,χ,s)$, $? ∈ \{≀, ≄ \}$}
\label{calcul zeta1khis}
Le changement de variable $Îčâ€Č=Îč^{-1}$ entraĂźne la formule
\[
\dot{ζ}_{ ≄ 1}(1,χ,s)=\dot{ζ}_{≀1}(1,χ^{-1},-s)=\dot{ζ}_{≀1}(1,\chap{χ},1-s),
\]
qui nous ramĂšne Ă  calculer $\dot{ζ}_{≀ 1}(1,χ,s)$.

Lorsque $χ$ est le quasi-caractĂšre trivial (notĂ© ici également $1$),
on a convergence pour ${\Re(s)>0}$ et égalité :
\[
\begin{array}{rcll}
\dot{ζ}_{≀ 1}(1,1,s) & = & \frac{Îș}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
& = & \frac{Îș}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}}  & \text{si $K$ est un corps de fonctions,} 
\end{array}
\]
oĂč $Îș=\sur{ÎŒ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)$ est la constante calculĂ©e en \ref{calcul volume idĂ©lique},
et, dans le second cas, $d$ est l'unique entier naturel tel que $|K^×_𝐀|=q^{d 𝐙}$
c'est-à-dire le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$ (cf. \ref{quasi-caractÚres globaux}).
En effet, par définition de la transformation de Mellin et des mesures, il résulte du
théorÚme de Fubini que le terme de gauche
est égal à l'intégrale
\[
Îș ∫₀Âč t^s \frac{dt}{t}
\]
ou la somme
\[
Îș \big( œ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big).
\]
Lorsque, plus gĂ©nĂ©ralement, $χ$ est supposĂ© trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$,
il est de la forme $ω_σ$ si bien que le calcul se dĂ©duit du prĂ©cĂ©dent par
translation (en $s$).
 
Lorsque $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $\dot{ζ}_{≀ 1}(1,χ,s)=0$.
C'est une incarnation de l'orthogonalité des caractÚres que l'on démontre
en effectuant le changement de variable $Îčâ€Č= xÎč$, pour un $x$ dans  $K^{×,=1}_𝐀$
tel que $χ(x) ≠ 1$. 

Il rĂ©sulte de l'Ă©galitĂ© $\dot{ζ}_{ ≀ 1}(1,1,s)=-\dot{ζ}_{ ≀ 1}(1,1,-s)$ et
des rĂ©sultats prĂ©cĂ©dent que pour chaque $χ$, on a
\[
\dot{ζ}_{≀1}(1,χ,s)+\dot{ζ}_{≄1}(1,χ,s)=0.
\]

\commentaire{Détailler ?}

\subsubsection{}Ainsi, la fonction $ζ(f,χ)$
est égale à
\[
\big( ζ_{ ≄ 1}(f,χ) + ζ_{ ≄ 1}(\chap{f},\chap{χ})\big)-
\big(f(0)\dot{ζ}_{≀ 1}(1,χ) + \chap{f}(0)\dot{ζ}_{≀ 1}(1,\chap{χ})\big)
\]
oĂč le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_σ$.
Notons que les deuxiĂšme et quatriĂšme termes de la somme ci-dessus ne dĂ©pendent pas de $ψ$.
En effet, d'une part $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$ est changĂ©e en une translatĂ©e multiplicative lorsque l'on change $ψ$
et, d'autre part, on a l'égalité
\[
ζ([× Îč]^*g,χ)=χ(Îč)^{-1}ζ(g,χ) \tag{†}
\]
(ainsi que pour les variantes tronquĂ©es) pour chaque fonction $g$ et $Îč ∈ K^×_𝐀$,
car $ÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ est une mesure de Haar multiplicative.
Lorsque $Îč ∈ K^×$, on a donc invariance $ζ([× Îč]^*g,χ)=ζ(g,χ)$ car 
$χ$ est supposĂ© trivial sur $K^×$.
Il résulte également de cette formule que
$ζ(ℱ_ψÂČ(f),χ)=ζ(f,χ)$ car $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ =[×-1]^*$.
Enfin, le caractĂšre involutif de $χ ↩ \chap{χ}$
nous permet de déduire de ce qui précÚde le théorÚme suivant,
qui est un analogue global du théorÚme local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.

\begin{théorÚme2}
\label{pÎles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractĂšre non trivial des classes d'adĂšles $K_𝐀/K$
et $χ$ un quasi-caractĂšre multiplicatif des idĂšles $K^×_𝐀$.
Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒼(K_𝐀)$.
\begin{enumerate}
\item L'intĂ©grale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dÎŒ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est absolument convergente et dĂ©finit une fonction
holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
ζ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ ÎŁ(K)} ζ_{x}(f_x,χ_x,s) = |d_K|^{-œ} ∏_{x ∈ ÎŁ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s),
\]
oĂč $ζ_x(f_x,χ_x,s):= ∫_{K^×_x} f_x χ_x |⋅|_x^s d ÎŒ^×_{1,x}$.
\item La fonction $s↩ ζ(f,χ,s)$ admet un prolongement mĂ©romorphe à $𝐂$.
\item Elle satisfait l'équation fonctionnelle
\[
ζ(f,χ,s)=ζ(\chap{f},\chap{χ},-s),
\]
oĂč $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$.
\item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entiĂšre.

\item Les pÎles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et
Ă©gaux (resp. congrus) Ă  $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\!\log(q)𝐙$},
oĂč $q$ est cardinal du corps des constantes de $K$)
selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
Les rĂ©sidus sont $-f(0)Îșâ€Č$ si $s$ est Ă©gal (resp. congru) à $0$
et $\chap{f}(0)Îșâ€Č$ si $s$ est Ă©gal (resp. congru) à $1$,
oĂč $Îșâ€Č = Îș$ (resp. $Îșâ€Č = Îș /\!\log(q)$)
selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
La constante $Îș$ est le volume calculĂ© en \ref{calcul volume idĂ©lique}.
\end{enumerate}
\end{théorÚme2}

\begin{démo}
Ces énoncés sont conséquences des calculs précédents,
à ceci prÚs que, lorsque $K$ est un corps de fonctions,
il faut \emph{a priori} remplacer $q$ par $q^d$
dans (v) (localisation des pÎles et le calcul des résidus),
oĂč l'on rappelle que $d$ est le plus petit degrĂ© $>0$
d'un diviseur de $K$. Nous verrons en \ref{existence diviseur degré 1} que l'on a $d=1$. 
\end{démo}

\begin{remarque2}
Lorsque $χ=ω_σ$, la formule
$ζ(f,ω_σ,s)=ζ(f,1,s+σ)$ ramĂšne l'Ă©tude des pĂŽles
de cette fonction zĂȘta Ă  celle faite en (v).
\end{remarque2}

\subsubsection{Fonction zĂȘta de Dedekind (suite)}
DĂ©duisons maintenant le thĂ©orĂšme \ref{Ă©quation fonctionnelle zĂȘta}
du théorÚme \ref{pÎles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
Comme en \ref{Fourier de 1}, considérons la fonction
\[
𝟭_đ’Ș= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ ÎŁ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{đ’Ș_{K,x}}\big) ⊠
\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
On a d'une part $ζ(𝟭_đ’Ș,ω_s)=\sur{ζ}_K(s)$ et, d'autre part,
${\chap{𝟭_đ’Ș}=|d_K|^{œ} [×d_K]^* 𝟭_đ’Ș}$ (« formule de Riemann-Roch »).
Par changement de variable ($†$), l'Ă©galitĂ© $ζ(𝟭_đ’Ș,ω_s)=ζ(\chap{𝟭_đ’Ș},\chap{ω_s})$ se réécrit
$\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-œ}\sur{ζ}(1-s)$.
L'énoncé sur le résidu en $0$ de $\sur{ζ}_K$ est conséquence
de la formule (v) du thĂ©orĂšme prĂ©cĂ©dent et des Ă©galitĂ©s $g_𝐑(0)=1$ et $g_𝐂(0)=1/π$.
Il reste Ă  dĂ©montrer \ref{Ă©quation fonctionnelle zĂȘta}, (iii).
Si $K$ est un corps de fonctions, il résulte
de la dĂ©finition \ref{dĂ©finition zĂȘta Dedekind}
qu'il existe une fonction $Z_X$ définie sur voisinage
Ă©pointĂ© de $0$ dans $𝐂$ telle que $ζ_K(s)=Z_X(q^{-s})$,
pour $\Re(s)$ grand. D'aprĂšs ce qui prĂ©cĂšde, cette fonction ZĂȘta
est en fait une fonction mĂ©romorphe sur $𝐂^×$ satisfaisant
les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pÎles des pÎles simples en $0$ et $q^{-1}$ ;
\item $Z_K$ a une limite, égale à $1$, en $0$.
\item $Z_K(T)=q^{g_K-1}T^{2g_K-2}Z_K(1/qT)$, oĂč $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
\end{enumerate}
(Le fait (ii) est consĂ©quence de l'Ă©galitĂ© $\lim_{\Re(s) → +∞} ζ_K(s)=1$.)
Il rĂ©sulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$, oĂč $P_K$
est une fonction \emph{entiÚre} telle que $P_K(0)=1$.
Compte tenu du fait que la fraction rationnelle $\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$
satisfait (iii) avec $g=0$, le polynÎme $P_K$ satisfait l'équation
$P_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}P_K(1/qT)$ ; c'est donc un \emph{polynÎme} de degré $2g_K$.
Enfin, on a dĂ©jĂ  Ă©tabli que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h_K}{(q-1)\log(q)}$.
Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P_K(1)=h_K$.

\subsubsection{Existence d'un diviseur de degré $1$}
\label{existence diviseur degré 1}
Pour achever la démonstration du théorÚme \ref{pÎles et équation
fonctionnelle Iwasawa-Tate} (et par conséquent, du théorÚme
\ref{Ă©quation fonctionnelle zĂȘta}), il nous faut vĂ©rifier que, pour tout
corps de fonctions $K$, il existe un diviseur de degré $1$. Nous avons
vu ci-dessus que si $d$ est le degré $>0$ minimal d'un diviseur de $K$,
la fonction $Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$,
oĂč $Q$ a un pĂŽle simple en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). Il en rĂ©sulte que pour tout
corps de fonctions $L$ et tout entier $n ≄ 1$,
la fonction rationnelle $Z_L(T^n)$ un pÎle simple en $1$.
Appliquons cette remarque au corps $K_d=K ⊗_{𝐅_q} 𝐅_{q^d}$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires
de $𝐅_q$ à $𝐅_{q^d}$ et à l'entier $n=d$.
[...]

Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, cette formule se réécrit
$Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$.  Le terme de gauche a un
pĂŽle simple en $T=1$ et le terme de droite un pĂŽle de
multiplicité $d$.  On a donc $d=1$. CQFD.

			\[⁂\]

\begin{corollaire2}[PÎle simple en $1$]
\label{pĂŽle simple en 1 cdn}
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(đ’Ș_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\got{a}\subset đ’Ș_K, \text{tel que } \got{a}\in
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, Ă©quivalent Ă  $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}

Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorÚme de Frobenius \ref{} du chapitre [...].


\subsubsection{Exemple : $𝐐(i)$}
$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus gĂ©nĂ©ralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. KatĂŽ-SaitĂŽ, chap. 7

\section{Fonctions $L$}

Cf. Tate ou Swinnerton-Dyer. [...]

\section{ThéorÚmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}

\subsection{Le théorÚme de Minkowski}
Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃  𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la
$𝐑$-algùbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.

\begin{théorÚme2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
√{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorÚme2}

\begin{corollaire2}
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algÚbre finie étale
connexe alors $\ZZâ„Č A$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
%groupe de Picard.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
Soit
$$
A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
$$
le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d  \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
 \geq 2^n \mathrm{covol}(đ’Ș_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un Ă©lĂ©ment non nul de $tA\cap đ’Ș_K$, nĂ©cessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.

Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n  f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
oĂč $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
$$
on trouve :
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
& = 2\pi g_{r-1}(1)
\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
& = ... \\
& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
\end{array}
$$
Finalement,
$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
comme annoncé.
\end{démo}

\subsection{Le théorÚme de Riemann-Hurwitz}

\begin{théorÚme2}
\label{Riemann-Hurwitz}
Riemann-Hurwitz.
\end{théorÚme2}

(Cf. Lang ; Weil, VIII.§4.)

\begin{corollaire2}
\XXX
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiĂ©e.
\end{corollaire2}

\subsection{Un théorÚme de Selmer}

\begin{proposition2}[Selmer]
\XXX
Soit $n ≄ 1$. Le polynĂŽme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irrĂ©ductible dans $𝐐[X]$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
$$
S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
$$
et de mĂȘme pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.

Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
qui n'est pas le cas.
Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
CQFD.
\end{démo}

\begin{théorÚme2}
\XXX Le groupe de Galois du polynÎme $f_n$
est $𝔖_n$ tout entier.
\end{théorÚme2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
des entiers. Supposons que le nombre premier
$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'aprÚs [sorites] il est alors
ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
est le composé de tels corps.
Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
modulo $p$ ; il en est de mĂȘme de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
que la racine est congrue Ă  $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$
est soit trivial soit engendré par une transposition.
Ainsi, le  groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif
de $𝔖_n$, engendrĂ© par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
[facile].
\end{démo}

\section{HypothĂšse de Riemann pour les courbes}
\label{HR courbes}

\subsection{Applications du théorÚme de Riemann-Roch}

Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
\XXX

Cf. Katz, « Lectures on Deligne's proof of the RH for
varieties over finite fields » (1973-74) et
\cite{Counting@Bombieri}.

\subsubsection{}[Blabla à déplacer]
$g$ mesure la complexité de la courbe :
$Z(K)$ est connu dÚs que l'on connaßt les $g$ premiÚres
valeurs.

\subsubsection{}Extension des scalaires. Si $K\bo k$,
on note $k_d$ l'unique extension de degré $d$ de $k$
dans une clÎture algébrique fixée et $K_{k_d}$ le \emph{corps}
$K ⊗_k k_d$ \XXX.

\begin{lemme2}
\[
Z(K_{k_d}\bo k_d,T)= ∏_{ζ ∈ ÎŒ_d(𝐂)} Z(K\bo k, ζT).
\]
\end{lemme2}

Il suffit donc de démontrer le théorÚme aprÚs extension
des scalaires.

\begin{lemme2}
Il suffit de démontrer l'existence de $A,B,N$
tels que
\[
|X(k_d)-(1+q^d)| ≀ A + B q^{d/2}.
\]
pour $d ≫ 0$ divisible par $N$.
\end{lemme2}

\subsubsection{}RĂ©duction au cas oĂč il existe un sous-corps $k(t)$
au-dessus duquel $K$ est galoisien.

[ÉlĂ©mentaire ; n'utilise *pas* astuce $σ ∘ \Frob = \Frob â€Č$,
oĂč $\Frob â€Č$ l'est pour une nouvelle structure. Voir
cependant Katz, pp. 31--34.]

\begin{théorÚme2}[Bombieri]
Soit $g ∈ \Aut(K\bo k)$, $φ=g^{-1} ∘ \Frob_q$.
Si $q=p^α$, $α$ paire et $q>(g+1)⁎$, alors
\[
♯ \Fix(φ) ≀ 1+q+(2g+1) √{q}.
\]
\end{théorÚme2}

\begin{démo}
Cf. [Katz]. Trois petites pages manuscrites de Riemann-Roch
[pour la courbe sur $\sur{𝐅_q}$] (un peu) + calculs + cas courbe = $𝐏Âč$ + sorites sur $X → Y$ galoisien de groupe $G$.
Idée clef : produire une fonction qui va s'annuler à un ordre élevé (explicite) sur les racines (=points fixes
ici) et dont le degré sera borné explicitement. On utilise
pour cela de façon cruciale le Frobenius. La construction
d'une telle fonction repose sur le théorÚme de Riemann-Roch.
\end{démo}

\section{Fonction zĂȘta de Hasse de l'Ă©quation homogĂšne $XÂł+YÂł+ZÂł=0$}

\begin{théorÚme2}
\XXX
Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$.
Alors :
\[
\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s).
\]
\end{théorÚme2}

\begin{remarque2}
\XXX
Courbe elliptique Ă  multiplication complexe.
\end{remarque2}

Cf. cours Ă  HyĂšres (2008).

Utilise :

— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;

— construction ad hoc caractùre de Hecke via sommes de Jacobi ;

— transformĂ©e de Mellin + formule de Poisson pour dĂ©montrer Ă©quation fonctionnelle.



\section{Courbes algébriques}Si l'on munit l'ensemble $Σ$ des places d'un corps global
de caractéristique positive la topologie
de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}),
en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou
vide, le foncteur $đ’Ș_K:U↩ đ’Ș_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
$(ÎŁ,đ’Ș_K)$ est \textbf{espace annelĂ©} d'un type particulier, appelĂ© \textbf{schĂ©ma}.
Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$. \XXX

Les résultats de la proposition précédente ont
été établis en \ref{sections globales droite projective}
lorsque $K=𝐅_p(t)$.
\XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.)
%(Cf. Joël Riou, forum 2007.)

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynÎme
géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
intĂšgre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
\begin{enumerate}
\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
\item $ÎŁ(K_f) ∌ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection Ă  ensemble fini prĂšs).
Plus précisément, il existe un ouvert dense $U$ de $K$ et
un Ă©lĂ©ment non nul $a ∈ X_f$ tels que $đ’Ș_K(U)$ soit
$k$-isomorphe Ă  $X_f[a^{-1}]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) Le corps $K_f$ est de type fini et de degré de transcendance $1$ sur $k$.
(Le polynÎme $f$ est irréductible donc non constant.) C'est donc un corps
global. L'anneau $K_f ⊗_k k\alg$ est isomorphe Ă  un localisĂ© de l'anneau $X_f ⊗_k k\alg$.
Le polynÎme $f$ étant \emph{géométriquement} irréductible), l'anneau
$X_f ⊗_k k\alg$ est intĂšgre (et rĂ©ciproquement), et par consĂ©quent $K_f ⊗_k
k\alg$ aussi.
D'aprÚs \refext{AC}{}, le corps $k$ est intégralement clos dans $K_f$ : c'est
son corps des constantes.
(ii) Soit $U$ un ouvert arbitraire strict de $Σ(K)$. Les $k$-algÚbres $A=X_f$
et $B=đ’Ș_{K_f}(U)$ sont de type fini et ont mĂȘme corps des fractions. Il en rĂ©sulte (\XXX)
qu'il existe $a ∈ A-\{0\}$ et $b ∈ B-\{0\}$ tels que $A[a^{-1}]$ et $B[b^{-1}]$ soient
$k$-isomorphes. Soit $S$ le support (fini) de $\div₀(b)$. Le sous-anneau $B[b^{-1}]$
de $K_f$ est inclus dans $đ’Ș_{K_f}(U - S)$. Cette inclusion est une Ă©galitĂ© car si $g ∈ đ’Ș_{K_f}(U
- S)$, il existe un entier $n$ tel que la fonction $b^n g$ n'ait pas de pÎle en les points
de $S$ et, partant, appartienne à $đ’Ș_{K_f}(U)$.
\end{démo}


\section{Notes}

Pour la transformation de Fourier :
\cite{Bushnell-Henniart} (d'oĂč on a tirĂ©
la seconde démonstration de l'équation fonctionnelle locale),
\cite{Bernstein-Zelevinski}, \cite[appendice F]{Elements@Colmez}
(notamment pour la formule de Poisson adélique). Pour
l'analyse harmonique, on trouvera de beaux survols
historiques dans \cite{scope@Mackey}.
Pontrùgin : \cite[§6]{Pontryagin@Morris} et \cite[§12]{representations@Kirillov}.
Analyse harmonique : \cite{harmonic@Loomis}.

\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi