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\title{Corps locaux, corps globaux}

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\begin{document}
\begin{center}
Corps locaux, corps globaux
\end{center}
\tableofcontents
\else
\chapter{corps locaux, corps globaux}
\fi

\section{Corps locaux}

\subsection{Premières définitions, notations}

On note $𝐐_{∞}=𝐑$.

\begin{définition2}
On appelle \emph{corps local premier} un corps isomorphe
à $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de
séries de Laurent $𝐅_p((t))$. On appelle \emph{corps local}
un corps contenant un corps local premier et fini sur celui-ci.
\end{définition2}

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}, [Ramakrishnan]) est localement compact
si et seulement si il peut être muni d'une topologie
non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
\item Prendre garde au fait que si un corps local de caractéristique $p>0$
contient le sous-corps $𝐅_p((t))$, il contient également le sous-corps
\emph{isomorphe} $𝐅_p((t^p))$, etc. En particulier, et contrairement au cas
de la caractéristique nulle, il n'y a pas unicité du sous-corps local
premier d'un corps local.
\end{enumerate}
\end{remarques2}

Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local.
Lorsque $K$ est ultramétrique, on note $𝒪$
son anneau des entiers\footnote{On vérifie immédiatement
que $𝒪$ est le sous-anneau compact maximal de $K$.},
d'idéal maximal $𝔪=(ϖ)$, et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
le cardinal.

\begin{définition2}
valeur absolue normalisée : $|ϖ|=\frac{1}{q}$.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
Compatibilité avec la norme $N_{L\bo K}$.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Tout corps local de caractéristique $p>0$ est isomorphe
à un corps $k((t))$, où $k$ est un corps fini.
\end{proposition2}

BNT, p. 20.

\subsection{Mesures}

On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
de théorie de l'intégration.

\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique localement
compact. Pour tout compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C)$ l'ensemble des fonctions continues
sur $X$ à valeurs complexes et à support contenu dans $C$. C'est un
espace topologique normé par $‖ f ‖_C =\sup_{x ∈ C} |f(x)|$.
L'ensemble $𝒞_c(X)=⋃_C 𝒞_c(X,C)$ — où l'union
est prise dans l'ensemble des fonctions continues à
valeurs complexes sur $X$ — des fonctions à support compact
est donc naturellement muni de la topologie colimite/union.
Explicitement : $f_n → f$ si et seulement si il existe un compact $K$
etc.

\subsubsection{}On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
une forme linéaire continue $μ:𝒞_c(X) → 𝐂$. Si $f ∈ 𝒞_c(X)$,
le nombre $μ(f)$ est appelé « intégrale de $f$ par rapport à $μ$ »
et est également noté $∫ f d μ$, $∫_X f(x) d μ(x)$ etc.
Une telle mesure est dite \textbf{positive},
si $μ(f)$ est réel dès lors que $f$ est à valeurs
réelles et s'il est positif ou nul lorsqu'il en est de même
des valeurs de $f$ (cette dernière condition étant notée : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.)
Suivant le procédé usuel, on étend une telle mesure :
à l'ensemble $ℐ_+(X)$ des fonctions réelles positives,
semi-continues inférieurement, sur $X$ en posant $μ^*(f)=\sup_{g ≤ f}
μ(g) ∈ \sur{𝐑}_+$, où $g ∈ 𝒞_c(X)_+$ et $\sur{𝐑}_+=𝐑_+ ∪ \{+∞\}$ ; puis à l'ensemble des fonctions
positives sur $X$ en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ(g) ∈ \sur{𝐑}_+$, où $g ∈ ℐ_+(X)$.
Cette dernière quantité est également notée $∫^* f d μ$.
Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$,
on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d μ$. Il résulte de l'inégalité
de Minkowski qu'on obtient ainsi une semi-norme,
— donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne
d'ordre $s$) — sur l'espace des fonctions $f:X → 𝐂$ telles que $|f|_s<+∞$.
L'adhérence de $𝒞_c(X)$ dans cet espace est notée $ℒ^s(X)$.
On note $L^s(X)$ l'espace séparé (normé) associé.
L'inégalité $|μ(f)| ≤ |f|₁$, valable pour $f ∈ 𝒞_c(X)$,
permet d'étendre $μ$ par continuité en une forme linéaire continue,
également notée $μ$ ou $∫_X d μ$, sur $ℒ¹(X)$. Pour les fonctions
intégrables, c'est-à-dire dans $ℒ¹(X)$, cette extension coïncide
bien sûr avec $μ^*$.

\subsubsection{}On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
de la mesure ($σ$-algèbres, tribus etc.) en posant,
pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(\mathbf{1}_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
où $\mathbf{1}_E$ désigne
la fonction caractéristique de $E$. C'est la \emph{mesure extérieure}
de l'ensemble $E$. Tout ensemble relativement compact, c'est-à-dire
d'adhérence compacte, est de mesure extérieure finie.

\subsubsection{}Considérons maintenant un \emph{groupe topologique} $G$,
localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$
est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout
$f ∈ 𝒞_c(G)$, et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
\[
∫_G f d μ= ∫_G f_h d μ,
\]
où $f_h(g)=f(hg)$.

C'est un fait général (Bourbaki, INT, VII.§1.№2) qu'il existe
une mesure de Haar invariante à gauche et qu'elle est unique à un facteur multiplicatif
près. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
invariante à droite, en un sens évident. [La démonstration fait quatre petites pages.]

\subsubsection{Exemples : mesure de Tamagawa locales}
\begin{enumerate}
\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}([0,1])=1$.
L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
topologique $K=𝐑$.
\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[non arch.] $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
[+ construction].
\end{enumerate}

\begin{proposition2}
Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ mesure de Haar sur le groupe additif
d'un corps local $K$ et $a ∈ K^×$. Alors
$[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}$.
\end{proposition2}


\subsection{Espaces de fonctions}

\begin{définition2}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble
des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
décroissante à l'infini suivante :
\begin{itemize}
\item[$K$ ultramétrique :] $f$ est à support compact.
\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction
à une ou deux variables réelles et pour toute paire de
polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction
réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX]
\end{itemize}
Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou
\emph{Bruhat-Schwartz}.
\end{définition2}

Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
et variantes uniquement dans cas archimédien).

\subsection{Caractères additifs d'un corps local}

\begin{définition2}
Caractères : ils sont continus.
\end{définition2}


On suppose choisie une fois pour toute une orientation
sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 i π x)=e^{2 i π x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
De même, $p>0$ étant implicitement fixé, on note $ψ₀ ∈ \chap{𝐅_p}$
le caractère $x ↦ 𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.

\subsubsection{Exemple de caractères des corps locaux premiers}

\begin{enumerate}
\item[$𝐐_p$.] $𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\})$, où $\{x\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $x-\{x\} ∈ 𝐙_p$.

\item[$𝐑$.] $𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x)$.

\item[$𝐅_p((t))$.] $x ↦ 𝐞(\frac{1}{p} \Res(x dt))$.
\end{enumerate}

\begin{proposition2}
\label{caractère corps local}
Soit $K$ un corps local.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$)
son sous-corps local premier, le caractère $𝐞_{p,K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme
différentielle non nulle, le caractère $ψ_ω: x ↦ ψ₀(\Res(x ω))$ est non trivial.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

On observe ici une différence fondamental entre la caractéristique
nulle et la caractéristique positive : dans ce dernier cas,
il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.

\begin{proposition2}
\label{dual corps local}
Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
\[x ↦ \big([x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
est un isomorphisme.
\end{proposition2}

\begin{remarque2}
L'existence d'un caractère non trivial est un fait général,
qui résulte de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}

\begin{définition2}
Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
ultramétrique.
On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
\end{définition2}

\begin{proposition2}
Niveau de $𝐞_{p,K}$ et discriminant.
%Niveau de $ψ_ω$.
\end{proposition2}

Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème
de Riemann-Roch. \XXX

\begin{démo}
$𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$
c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝔡^{-1}$ (cf. \ref{}).
\end{démo}

\subsection{Transformation de Fourier}

\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]


\begin{remarques2}
Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}.
D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*,
\]
où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$.
\item $μ_{ψ_a}=|a|^{½} μ_ψ$.
\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $|a|^½ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$), si $K$ est ultramétrique et $n$ est le niveau
de $ψ$ (resp. si $ψ=[a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{n/2} ⋅  [ϖ^n]^*\mathbf{1}_𝒪$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}


On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.

\begin{démo}
Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
\end{démo}

\begin{exemples2}
\XXX
Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
Lien avec sommes de Gauß.
\end{exemples2}

%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
%près par une unité.

\subsection{Théorie multiplicative}

\subsubsection{Quasi-caractères}

\begin{définition2}
Conducteur.
\end{définition2}

$ω_s=| ⋅ |^s$.

\begin{proposition2}
Structure des quasi-caractères.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. ex. Tate.
\end{démo}

\subsubsection{}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive
sur $K$. On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ la mesure de Haar
multiplicative sur $K^×$ définie par
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
si $K$ est ultramétrique et
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{1}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×}
\]
sinon.
On vérifie immédiatement que, dans le cas ultramétrique,
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]

\begin{lemme2}
Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
\end{lemme2}

(Cette condition est bien indépendante du choix
de $μ^{\mbox{\minus $+$}})$.)

Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, chaque $ψ
∈ \chap{K}-\{0\}$, et chaque $s ∈ 𝐂$ dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
\[
ζ_ψ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}
\]

(Cette fonction zêta locale dépend de $ψ$ à une constante
multiplicative non nulle près.)

\begin{proposition2}
Si $f=1_{𝒪^×}$ et $χ$ non ramifié, $ψ$ de niveau nul.
$ζ(s,χ,f)=\frac{1}{1-χ(ϖ)q^{-s}}$.
\end{proposition2}

\begin{proposition2}
Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que,
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
\item la fonction $s ↦ ζ_ψ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ;
\item l'équation fonctionnelle
\[
γ(s,χ,ψ)ζ_ψ(s,χ,f)=ζ_ψ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
\]
est satisfaite.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration
plus jolie.
\end{démo}

\begin{exemples2}
Exemples de $γ$.
\end{exemples2}

\section{Corps globaux}

\subsection{Définitions}

\begin{définition2}
Corps global premier : $𝐅_q(t)$, $𝐐$, $𝐑$.
\end{définition2}

\begin{définition2}
\XXX
Corps global : extension finie d'un corps global premier.
\end{définition2}

On note $Σ(K)$, ou simplement $Σ$, l'ensemble des places
de $K$. On note $Σ_f(K)$ (resp. $Σ_∞(K)$) l'ensemble
des places finies, c'est-à-dire ultramétriques (resp.
infinies, c'est-à-dire archimédiennes). Pour toute partie
cofinie $U ⊆ Σ_f(U)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $x$
de $K$ tels que $v(x) ≥ 0$ pour tout $v ∈ U$. $\Frac 𝒪_K(U)=K$. [...]
$\colim_U 𝒪_K(U)=K$.

\begin{définition2}
Corps des constantes.
\end{définition2}

\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme
géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
\begin{enumerate}
\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
\item $Σ(K_f) ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble fini près).
Plus précisément, il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ(K)$ et
un élément non nul $a ∈ X_f$ tels que $𝒪_K(U)$ soit
$k$-isomorphe à $X_f[a^{-1}]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\section{Adèles, idèles}

\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}

\begin{proposition2}
\begin{enumerate}
\item compact et discret implique fini.
\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé).
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est dit être un
quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes
compacts.
\end{définition2}
(Cf. [Katô-Saitô-...], à la terminologie près.)

\begin{proposition2}
Sorites.
\end{proposition2}

\subsection{Mesures}

Mesures produits/colimites : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minimum* ; cf.
[Saitô], pp. 239--240).

\subsection{Adèles}

\subsubsection{}Soit $U ⊆ Σ_f(K)$ un ensemble \emph{cofini} de places finies.
On note $A_K(U)$ l'anneau
\[
∏_{v ∉ U} k_v × ∏_{v ∈ U} 𝔬_v,
\]
muni de la topologie produit.

\[
A_K=\colim_S A_K(U).
\]
Description de la topologie.

\subsubsection{Mesure}

\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]

\begin{proposition2}
$[a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
\end{proposition2}


\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
$L\bo K$ finie.
Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme.
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
dans $A_K$ est discrète et le quotient $A_K / K$ est compact.
\item Si $U ⊆ P_K$ est cofini et contient $P_K^∞$, l'inclusion canonique
$𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$, où $𝒪_S$ est muni de la topologie discrète, est
continu et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236.
(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238).
Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
\end{démo}

\begin{proposition2}
$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
\end{proposition2}

\begin{théorème2}
Formule du produit.
\end{théorème2}

\begin{démo}[Première démonstration]
Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration]
Via module et compacité du quotient [Saitô], p.239--240 ou [Weil].
\end{démo}



\subsection{Idèles}

\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$ ; $I_K¹$ ; $C_K=I_K/K^×$ ; $C¹_K=I¹_K/K^×$.
$I^∞_K=∏_{v ∤  ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
☡ $C_K$ n'est *pas* compact.

☡ La topologie de $I_K$ est n'est pas topologie induite par
l'inclusion $I_K ⊆ A_K$. Par exemple ([Saitô]p241),
la suite d'éléments $x_n$ de $I_𝐐$ dont les coordonnées
sont $1$ en la place réelle et $n!+1$ ailleurs tend
vers $1$ dans $A_𝐐$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
Variante : considérer les idèles $x_p$ ($p$ variable) valant $p$ en $p$ et $1$ ailleurs.

\begin{proposition2}
\label{topologies induites coïncident}
Les topologies induites sur $I¹_K$ par les inclusions
$I¹_K ⊆ I_K$ et $I¹_K ⊆ A_K$ coïncident. Plus précisément, …
\end{proposition2}

\begin{démo}
Cf. [Saitô], 6.106 (p. 241).
\end{démo}

\subsubsection{}Mesure.

\begin{théorème2}
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K^× → I¹_K$, où $K^×$ est muni de la
topologie discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
\item Si $U ⊆ Σ_f(K)$ est cofini et contient les places infinies,
l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nulle], $x ↦
(\log(|x|_v))$ est continue et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
(i) ⇒ (ii). [Saitô] p. 236.
(i). $K^×$ est discret dans $I¹_K$ car $K$ est discret dans $A_K$ et
la topologie de $I¹_K$ induite
$A^×_K ⊆ A_K$ est continu. Il « suffit » de montrer
que $μ(I_K/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
de $A_K/K$ et le lemme \ref{topologies induites coïncident}.
Voir aussi [Weil, BNT] IV.§4. Dans [Rosen] lemme 5.6, la démonstration
repose sur RR.
\end{démo}

corollaire :

\begin{théorème2}
Sous l'hypothèse de (ii),
\[
𝒪_U^× ≃ 𝐙^r ⊕ (\text{groupe fini}),
\]
où $r=♯U-1$.
\end{théorème2}


\begin{démo}
Point clef : si $𝐑^n/Γ$ est compact et $Γ$ discret,
alors $Γ$ est un réseau.
\end{démo}

En particulier :

\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
\XXX
Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}

\subsection{Théorème des unités de Dirichlet : démonstration directe}
\XXX

Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude)
de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin
Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.

Commençons par observer le fait suivant :

\begin{lemme2}
\XXX
Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
\end{lemme2}

\begin{démo}
On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
\end{démo}

\begin{lemme2}
\XXX
Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}}$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
Le morphisme
$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
est de la forme
$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
Passer de la matrice ayant ces colonnes à
$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
La formule en résulte.
\end{démo}

\subsubsection{}\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃  \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
$$
\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
$$
Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.


Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
$$
\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
$$
Cela résulte de l'égalité
$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
(de même avec un nombre arbitaire de facteurs) donc
l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.

Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
de toute partie bornée est \emph{finie}.
Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
est bornée.
Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
pour $e\in 𝒪_K$.

Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.

Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.

Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.

\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
\end{quote}

Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.

\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$
telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
$$\left\{ \begin{array}{l}
\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
\end{array}\right.$$
\end{quote}

Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Supposons donnés des nombres réels positifs
satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
\CC^{r_\CC},\
\left\{ \begin{array}{l}
|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
\end{array}\right.\}
$$
(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)

On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
le produit est muni de la mesure produit.
L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
à l'origine et convexe. Son volume est
$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
conditions du lemme.

Démontrons le «~lemme chinois~».
Chosissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.

\begin{quote}
Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
sur une ligne soit nulle.
Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
\end{quote}

\begin{remarque2}
Dans le cas des corps de fonctions, c'est un théorème de
F.K Schmidt : $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $♯S-1$.
Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non adéliques.
\end{remarque2}

\subsection{Groupes de Picard}

\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme
$\Coker(K^× → ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙)$, envoyant $a ∈ K^×$ sur $(v(a))_{v ∤ ∞})$.
Comme $I_K/I^∞_K=⨁_{v ∤ ∞} K_v^×/𝒪_v^× ⥲ ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙$, on a un
isomorphisme canonique
\[
C_K/\sur{I}^∞_K ⥲ \Pic_K
\]
où $\sur{I}^∞_K$ désigne l'image de ${I}^∞_K$ dans $C_K$. [notations à changer ? \XXX]

\begin{proposition2}
Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à
$\Pic(𝒪_K)$.
\end{proposition2}

Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$.

\subsubsection{}Dans le cas des corps de fonctions,
on a $\Pic_K → 𝐙$ [qui se trouve être surjectif] (bien définie
par une variante de la formule des résidus), et on note $\Pic⁰_K$ le noyau.
Il est isomorphe à $C¹_K/\sur{I}^∞_K= I^∞_K∖I¹_K/K^×$.

Remarque. Dans le cas des corps de nombres, on peut définir
un groupe de Picard d'Arakelov, noté $\sur{\Pic}_K$, et muni
d'un morphisme vers $𝐑^×$. Cf. Neukirch, p. 190 environ.

Plus généralement, si $U$ est un ouvert non vide de $P_K$,
on note $𝒪_U$ l'anneau …, $\Pic(U)$ son groupe de Picard
et $\Pic⁰(U)$ (plus généralement $\Pic^n(U)$) …

\begin{théorème2}
\XXX
\[\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ I^1_K/K^×\]
et
\[\Pic⁰_K ≃ K^× ∖ I¹_K / I^∞_K.\]
\end{théorème2}

\begin{démo}
Énoncé dans Weil 2.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
$\Pic⁰_K$ est fini.
\end{corollaire2}

\begin{démo}[Seconde démonstration directe dans le cas des corps de nombres]
\XXX
Chaque classe $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ est représentée par un idéal $\got{c}$ de $A$.
Pour borner les possibilités sur $\got{c}$, il suffit de borner $N(\got{c}):=\#(𝒪_K/\got{c})$.
Supposons en effet qu'il existe une constante $\mu_K$ telle que l'on puisse
supposer $N(\got{c})\leq \mu_K$, indépendamment de la classe de $\got{c}$.
Si $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$, $N(\got{c})=\prod N(𝔭)^{n_𝔭}$ si bien qu'à la fois
les $N(𝔭)$ et les $n_𝔭$ sont bornés. Comme $N(𝔭)$ est une puissance du nombre premier
$p=𝔭\cap \ZZ$, et qu'il existe au plus $[L:K]$ idéaux premiers au-dessus de $p$,
il n'y aura qu'un nombre fini de possibilités pour l'idéal $\got{c}=\prod 𝔭^{n_𝔭}$.
Si $\got{c}=(x)$ est principal, $N((x))$ n'est autre que $|N_{K/\QQ}(x)|$ : cela résulte
du lemme \ref{déterminant-norme}.
Admettons un instant le fait suivant :
\begin{quote}
Il existe une constante $\mu_K$ telle que pour tout idéal non nul $\got{a}$, il
existe $0\neq x\in \got{a}$ tel que $|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\leq \mu_K \mathrm{N}(\got{a})$.
\end{quote}
Soit $C\in \Pic(\mc{O}_K)$ comme plus haut. Soit $\got{a}\in C^{-1}$ un idéal de $\mc{O}_K$.
et $x$ comme dans le lemme. Comme $(x)\subset \got{a}$, il existe
un idéal $\got{c}$ de $\mc{O}_K$ tel que $(x)=\got{c}\got{a}$
(cela résulte de \ref{décomposition idéaux}). On a alors
$\mathrm{N}(\got{c})\leq \mu_K$.
Démontrons le fait admis. On a vu en \ref{normalisation finie} que $𝒪_K$ est un
$\ZZ$-module de type fini. Il est nécessairement de rang $d=[L:K]$
car $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ ⥲ K$ (cf. \ref{normalisation et localisation}).
Soit donc $x_1,\dots,x_d$ une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$ et notons
$\Sigma$ l'ensemble de cardinal $d$ des $\QQ$-plongements $K↪ \CC$.
Posons $$\mu_K:=\prod_{\sigma\in \Sigma} \big(\sum_{i=1}^d | \sigma(x_i) | \big).$$
Soit $\got{a}\neq (0)$ comme plus haut. Il existe un unique entier $m\in \NN$
tel que
$$
m^d\leq \mathrm{N}(\got{a}) < (m+1)^d.
$$
Il résulte alors du «~principe des tiroirs~» qu'il existe
deux éléments distincts de $[0,m]x_1+[0,m]x_2+\cdots [0,m]x_d$ dont la différence
appartient à $\got{a}$. On a fait ce qu'il fallait pour que
$N(x)\leq m^d\mu_K$. Finalement $N(x)\leq N(\got{a})\mu_K$. CQFD.
\end{démo}

\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}

\subsection{Transformée de Fourier}

\subsubsection{$𝒮(A_K)$}

\subsubsection{caractères additifs ; caractères de Hecke}

\begin{théorème2}
\label{Pontrâgin pour adèles}
\begin{enumerate}
\item $K ⥲ \chap{A_K / K}$.
\item $A_K ⥲ \chap{A_K}$.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Corollaire : dualité de Pontrâgin dans ce cas.
(Peut-être utiliser $A_K^∨$ pour dualité (cf. complétion). \XXX)

\begin{démo}
Cf. [Saitô] p. 245 ou [Weil, Adèles] II.2.1.1
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX
Soit $ψ=(ψ_v)$ un caractère non trivial de $A_K/K$.
\begin{enumerate}
\item Soit $μ_ψ$ la mesure sur $A_K$ associées
aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$.
\item  Pour $f ∈ 𝒮(A_K)$,
\[
∑_{x ∈ K} f(x)=∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

En particulier $μ_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ (par opposition
à $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$). C'est la mesure de Tamagawa.
Cela est lié à l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux},
\ref{Pontrâgin} (i) et la formule du produit.

Cf. Goldstein, p. 150.

\subsection{Théorème de Riemann-Roch}

\begin{théorème2}
\[
∑_{x ∈ K} f(λ x)=\frac{1}{|λ|} ∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x/λ).
\]
\end{théorème2}

\subsection{Premières applications}

\subsubsection{}

\begin{théorème2}
RR pour les courbes.
\end{théorème2}

\begin{théorème2}
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=|𝔡_K|^½ \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=q^{g-1} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
\end{théorème2}

Cf. p. ex. [Weil, Adèles] ; [BNT] pp. 90--92 et [BNT] pp. 100.

\begin{théorème2}
Si $K$ est un corps de nombres,
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(I¹_K/K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
\]
sinon [...]
\end{théorème2}

Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé).

\section{Fonctions zêta}

\subsection{Fonctions zêta de Dedekind}

\begin{définition2}
\[
ζ_K= ∏_{v ∤ ∞} \frac{1}{1-N(v)^{-s}},
\]
où $v$ parcourt les \emph{places} de $K$.
\end{définition2}

Si $K$ est un corps de nombre, $ζ_K=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}=∑_{𝔞 ⊆ 𝒪_K} N(𝔞)^{-s}$.

\begin{définition2}
\begin{itemize}
\item[nombres]
\[\chap{ζ}_K(s)=|D_K|^{\frac{s}{2}}Γ_𝐑(s)^{r_𝐑}Γ_𝐂(s)^{r_𝐂} ζ_K(s),\]
où $Γ_𝐑(s)=π^{-\frac{s}{s}} Γ(\frac{s}{2})$ et $Γ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s}Γ(s)$.
\item[fonctions]
\[\chap{ζ}_K(s)=q^{(g-1)s} ζ_K(s).\]
\end{itemize}
\end{définition2}

\begin{exemples2}
\begin{enumerate}
\item $ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
\item $ζ_{𝐅_p(t)}(s)=(1-p^{-s})ζ_{𝐅_p[t]}^{\mathrm{Hasse}}(s)$.
\end{enumerate}
\end{exemples2}

Objectif.


\begin{théorème2}
Converge absolument pour $\Re(s)>1$.
Prolongement méromorphe à $𝐂$ ayant un pôle simple en $1$
et $0$ uniquement. Si $K$ est un corps de fonction,
$ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$=….
\end{théorème2}

Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
[BNT], pp. 120--130.

Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.

\begin{corollaire2}[Pôle simple en $1$]
\label{pôle simple en 1 cdn}
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\got{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \got{a}\in
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\got{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}

Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
Le lecteur pourra être intéressé par la démonstration relativement
directe et élémentaire de ce fait, qui n'utilise aucune technique
adélique ni analyse harmonique.

\begin{démo}[Esquisse de démonstration directe du corollaire \ref{pôle simple en 1 cdn}]
Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
La correspondance
$$
\got{a} \mapsto  (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
$$
établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
$$
\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
$$
Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
la norme  $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
se factorise.
Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
$$
\{ x \in  P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
$$
Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
$$
\xymatrix{
\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] &  P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] &  K_{\RR}
}
$$
Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
arbitraire.
On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
de  domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.

\begin{quote}
Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
Alors, si $\vol(Y)>0$,
$$
\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
$$
\end{quote}


Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod
\{\infty\}$
et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
Ainsi, le logarithme induit une injection :
$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.

Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
[FIGURE]
Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul.
\end{démo}

\subsection{$ζ(s,χ,f)$}

\begin{théorème2}
Théorème de (Iwasawa?)-Tate.
\end{théorème2}

Cf. p. ex. [Bump], p. 267.

\subsection{Fonctions $L$ de Hecke}

\begin{théorème2}
Théorème de Hecke.
\end{théorème2}

Cf. p. ex. [Bump], p. 270.

\subsection{Fonction zêta de Hasse de l'équation projective $X³+Y³+Z³=0$}

\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}

\subsection{Le théorème de Minkowski}
Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃  𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la
$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.

\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
√{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}

\begin{corollaire2}
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
connexe alors $\ZZ⥲ A$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
%groupe de Picard.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
Soit
$$
A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
$$
le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d  \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
 \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.

Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n  f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
$$
on trouve :
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
& = 2\pi g_{r-1}(1)
\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
& = ... \\
& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
\end{array}
$$
Finalement,
$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
comme annoncé.
\end{démo}

\subsection{Le théorème de Riemann-Hurwitz}

\begin{théorème2}
Riemann-Hurwitz.
\end{théorème2}

(Cf. Lang.)

\begin{corollaire2}
\XXX
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée.
\end{corollaire2}

\subsection{Un théorème de Selmer}

\begin{proposition2}[Selmer]
\XXX
Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
$$
S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
$$
et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.

Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
qui n'est pas le cas.
Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, \cad $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$
est $𝔖_n$ tout entier.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
des entiers. Supposons que le nombre premier
$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors
ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
est le composé de tels corps.
Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$
est soit trivial soit engendré par une transposition.
Ainsi, le  groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif
de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
[facile].
\end{démo}

\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}

\begin{théorème2}
\XXX
Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$.
Alors :
\[
\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s).
\]
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
\XXX
Courbe elliptique à multiplication complexe.
\end{remarque2}

Cf. cours à Hyères (2008).

Utilise :

— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;

— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;

— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle.

\section{Notes}

Pour la transformation de Fourier : \cite{Bushnell-Henniart} ;
[Colmez, appendice F].


\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi