summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
blob: 234e1bb22919bb84d00fb0c37eaf1b60838c5e3b (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
1129
1130
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
1144
1145
1146
1147
1148
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
1221
1222
1223
1224
1225
1226
1227
1228
1229
1230
1231
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1240
1241
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1249
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
1397
1398
1399
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
1412
1413
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450
1451
1452
1453
1454
1455
1456
1457
1458
1459
1460
1461
1462
1463
1464
1465
1466
1467
1468
1469
1470
1471
1472
1473
1474
1475
1476
1477
1478
1479
1480
1481
1482
1483
1484
1485
1486
1487
1488
1489
1490
1491
1492
1493
1494
1495
1496
1497
1498
1499
1500
1501
1502
1503
1504
1505
1506
1507
1508
1509
1510
1511
1512
1513
1514
1515
1516
1517
1518
1519
1520
1521
1522
1523
1524
1525
1526
1527
1528
1529
1530
1531
1532
1533
1534
1535
1536
1537
1538
1539
1540
1541
1542
1543
1544
1545
1546
1547
1548
1549
1550
1551
1552
1553
1554
1555
1556
1557
1558
1559
1560
1561
1562
1563
1564
1565
1566
1567
1568
1569
1570
1571
1572
1573
1574
1575
1576
1577
1578
1579
1580
1581
1582
1583
1584
1585
1586
1587
1588
1589
1590
1591
1592
1593
1594
1595
1596
1597
1598
1599
1600
1601
1602
1603
1604
1605
1606
1607
1608
1609
1610
1611
1612
1613
1614
1615
1616
1617
1618
1619
1620
1621
1622
1623
1624
1625
1626
1627
1628
1629
1630
1631
1632
1633
1634
1635
1636
1637
1638
1639
1640
1641
1642
1643
1644
1645
1646
1647
1648
1649
1650
1651
1652
1653
1654
1655
1656
1657
1658
1659
1660
1661
1662
1663
1664
1665
1666
1667
1668
1669
1670
1671
1672
1673
1674
1675
1676
1677
1678
1679
1680
1681
1682
1683
1684
1685
1686
1687
1688
1689
1690
1691
1692
1693
1694
1695
1696
1697
1698
1699
1700
1701
1702
1703
1704
1705
1706
1707
1708
1709
1710
1711
1712
1713
1714
1715
1716
1717
1718
1719
1720
1721
1722
1723
1724
1725
1726
1727
1728
1729
1730
1731
1732
1733
1734
1735
1736
1737
1738
1739
1740
1741
1742
1743
1744
1745
1746
1747
1748
1749
1750
1751
1752
1753
1754
1755
1756
1757
1758
1759
1760
1761
1762
1763
1764
1765
1766
1767
1768
1769
1770
1771
1772
1773
1774
1775
1776
1777
1778
1779
1780
1781
1782
1783
1784
1785
1786
1787
1788
1789
1790
1791
1792
1793
1794
1795
1796
1797
1798
1799
1800
1801
1802
1803
1804
1805
1806
1807
1808
1809
1810
1811
1812
1813
1814
1815
1816
1817
1818
1819
1820
1821
1822
1823
1824
1825
1826
1827
1828
1829
1830
1831
1832
1833
1834
1835
1836
1837
1838
1839
1840
1841
1842
1843
1844
1845
1846
1847
1848
1849
1850
1851
1852
1853
1854
1855
1856
1857
1858
1859
1860
1861
1862
1863
1864
1865
1866
1867
1868
1869
1870
1871
1872
1873
1874
1875
1876
1877
1878
1879
1880
1881
1882
1883
1884
1885
1886
1887
1888
1889
1890
1891
1892
1893
1894
1895
1896
1897
1898
1899
1900
1901
1902
1903
1904
1905
1906
1907
1908
1909
1910
1911
1912
1913
1914
1915
1916
1917
1918
1919
1920
1921
1922
1923
1924
1925
1926
1927
1928
1929
1930
1931
1932
1933
1934
1935
1936
1937
1938
1939
1940
1941
1942
1943
1944
1945
1946
1947
1948
1949
1950
1951
1952
1953
1954
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
2026
2027
2028
2029
2030
2031
2032
2033
2034
2035
2036
2037
2038
2039
2040
2041
2042
2043
2044
2045
2046
2047
2048
2049
2050
2051
2052
2053
2054
2055
2056
2057
2058
2059
2060
2061
2062
2063
2064
2065
2066
2067
2068
2069
2070
2071
2072
2073
2074
2075
2076
2077
2078
2079
2080
2081
2082
2083
2084
2085
2086
2087
2088
2089
2090
2091
2092
2093
2094
2095
2096
2097
2098
2099
2100
2101
2102
2103
2104
2105
2106
2107
2108
2109
2110
2111
2112
2113
2114
2115
2116
2117
2118
2119
2120
2121
2122
2123
2124
2125
2126
2127
2128
2129
2130
2131
2132
2133
2134
2135
2136
2137
2138
2139
2140
2141
2142
2143
2144
2145
2146
2147
2148
2149
2150
2151
2152
2153
2154
2155
2156
2157
2158
2159
2160
2161
2162
2163
2164
2165
2166
2167
2168
2169
2170
2171
2172
2173
2174
2175
2176
2177
2178
2179
2180
2181
2182
2183
2184
2185
2186
2187
2188
2189
2190
2191
2192
2193
2194
2195
2196
2197
2198
2199
2200
2201
2202
2203
2204
2205
2206
2207
2208
2209
2210
2211
2212
2213
2214
2215
2216
2217
2218
2219
2220
2221
2222
2223
2224
2225
2226
2227
2228
2229
2230
2231
2232
2233
2234
2235
2236
2237
2238
2239
2240
2241
2242
2243
2244
2245
2246
2247
2248
2249
2250
2251
2252
2253
2254
2255
2256
2257
2258
2259
2260
2261
2262
2263
2264
2265
2266
2267
2268
2269
2270
2271
2272
2273
2274
2275
2276
2277
2278
2279
2280
2281
2282
2283
2284
2285
2286
2287
2288
2289
2290
2291
2292
2293
2294
2295
2296
2297
2298
2299
2300
2301
2302
2303
2304
2305
2306
2307
2308
2309
2310
2311
2312
2313
2314
2315
2316
2317
2318
2319
2320
2321
2322
2323
2324
2325
2326
2327
2328
2329
2330
2331
2332
2333
2334
2335
2336
2337
2338
2339
2340
2341
2342
2343
2344
2345
2346
2347
2348
2349
2350
2351
2352
2353
2354
2355
2356
2357
2358
2359
2360
2361
2362
2363
2364
2365
2366
2367
2368
2369
2370
2371
2372
2373
2374
2375
2376
2377
2378
2379
2380
2381
2382
2383
2384
2385
2386
2387
2388
2389
2390
2391
2392
2393
2394
2395
2396
2397
2398
2399
2400
2401
2402
2403
2404
2405
2406
2407
2408
2409
2410
2411
2412
2413
2414
2415
2416
2417
2418
2419
2420
2421
2422
2423
2424
2425
2426
2427
2428
2429
2430
2431
2432
2433
2434
2435
2436
2437
2438
2439
2440
2441
2442
2443
2444
2445
2446
2447
2448
2449
2450
2451
2452
2453
2454
2455
2456
2457
2458
2459
2460
2461
2462
2463
2464
2465
2466
2467
2468
2469
2470
2471
2472
2473
2474
2475
2476
2477
2478
2479
2480
2481
2482
2483
2484
2485
2486
2487
2488
2489
2490
2491
2492
2493
2494
2495
2496
2497
2498
2499
2500
2501
2502
2503
2504
2505
2506
2507
2508
2509
2510
2511
2512
2513
2514
2515
2516
2517
2518
2519
2520
2521
2522
2523
2524
2525
2526
2527
2528
2529
2530
2531
2532
2533
2534
2535
2536
2537
2538
2539
2540
2541
2542
2543
2544
2545
2546
2547
2548
2549
2550
2551
2552
2553
2554
2555
2556
2557
2558
2559
2560
2561
2562
2563
2564
2565
2566
2567
2568
2569
2570
2571
2572
2573
2574
2575
2576
2577
2578
2579
2580
2581
2582
2583
2584
2585
2586
2587
2588
2589
2590
2591
2592
2593
2594
2595
2596
2597
2598
2599
2600
2601
2602
2603
2604
2605
2606
2607
2608
2609
2610
2611
2612
2613
2614
2615
2616
2617
2618
2619
2620
2621
2622
2623
2624
2625
2626
2627
2628
2629
2630
2631
2632
2633
2634
2635
2636
2637
2638
2639
2640
2641
2642
2643
2644
2645
2646
2647
2648
2649
2650
2651
2652
2653
2654
2655
2656
2657
2658
2659
2660
2661
2662
2663
2664
2665
2666
2667
2668
2669
2670
2671
2672
2673
2674
2675
2676
2677
2678
2679
2680
2681
2682
2683
2684
2685
2686
2687
2688
2689
2690
2691
2692
2693
2694
2695
2696
2697
2698
2699
2700
2701
2702
2703
2704
2705
2706
2707
2708
2709
2710
2711
2712
2713
2714
2715
2716
2717
2718
2719
2720
2721
2722
2723
2724
2725
2726
2727
2728
2729
2730
2731
2732
2733
2734
2735
2736
2737
2738
2739
2740
2741
2742
2743
2744
2745
2746
2747
2748
2749
2750
2751
2752
2753
2754
2755
2756
2757
2758
2759
2760
2761
2762
2763
2764
2765
2766
2767
2768
2769
2770
2771
2772
2773
2774
2775
2776
2777
2778
2779
2780
2781
2782
2783
2784
2785
2786
2787
2788
2789
2790
2791
2792
2793
2794
2795
2796
2797
2798
2799
2800
2801
2802
2803
2804
2805
2806
2807
2808
2809
2810
2811
2812
2813
2814
2815
2816
2817
2818
2819
2820
2821
2822
2823
2824
2825
2826
2827
2828
2829
2830
2831
2832
2833
2834
2835
2836
2837
2838
2839
2840
2841
2842
2843
2844
2845
2846
2847
2848
2849
2850
2851
2852
2853
2854
2855
2856
2857
2858
2859
2860
2861
2862
2863
2864
2865
2866
2867
2868
2869
2870
2871
2872
2873
2874
2875
2876
2877
2878
2879
2880
2881
2882
2883
2884
2885
2886
2887
2888
2889
2890
2891
2892
2893
2894
2895
2896
2897
2898
2899
2900
2901
2902
2903
2904
2905
2906
2907
2908
2909
2910
2911
2912
2913
2914
2915
2916
2917
2918
2919
2920
2921
2922
2923
2924
2925
2926
2927
2928
2929
2930
2931
2932
2933
2934
2935
2936
2937
2938
2939
2940
2941
2942
2943
2944
2945
2946
2947
2948
2949
2950
2951
2952
2953
2954
2955
2956
2957
2958
2959
2960
2961
2962
2963
2964
2965
2966
2967
2968
2969
2970
2971
2972
2973
2974
2975
2976
2977
2978
2979
2980
2981
2982
2983
2984
2985
2986
2987
2988
2989
2990
2991
2992
2993
2994
2995
2996
2997
2998
2999
3000
3001
3002
3003
3004
3005
3006
3007
3008
3009
3010
3011
3012
3013
3014
3015
3016
3017
3018
3019
3020
3021
3022
3023
3024
3025
3026
3027
3028
3029
3030
3031
3032
3033
3034
3035
3036
3037
3038
3039
3040
3041
3042
3043
3044
3045
3046
3047
3048
3049
3050
3051
3052
3053
3054
3055
3056
3057
3058
3059
3060
3061
3062
3063
3064
3065
3066
3067
3068
3069
3070
3071
3072
3073
3074
3075
3076
3077
3078
3079
3080
3081
3082
3083
3084
3085
3086
3087
3088
3089
3090
3091
3092
3093
3094
3095
3096
3097
3098
3099
3100
3101
3102
3103
3104
3105
3106
3107
3108
3109
3110
3111
3112
3113
3114
3115
3116
3117
3118
3119
3120
3121
3122
3123
3124
3125
3126
3127
3128
3129
3130
3131
3132
3133
3134
3135
3136
3137
3138
3139
3140
3141
3142
3143
3144
3145
3146
3147
3148
3149
3150
3151
3152
3153
3154
3155
3156
3157
3158
3159
3160
3161
3162
3163
3164
3165
3166
3167
3168
3169
3170
3171
3172
3173
3174
3175
3176
3177
3178
3179
3180
3181
3182
3183
3184
3185
3186
3187
3188
3189
3190
3191
3192
3193
3194
3195
3196
3197
3198
3199
3200
3201
3202
3203
3204
3205
3206
3207
3208
3209
3210
3211
3212
3213
3214
3215
3216
3217
3218
3219
3220
3221
3222
3223
3224
3225
3226
3227
3228
3229
3230
3231
3232
3233
3234
3235
3236
3237
3238
3239
3240
3241
3242
3243
3244
3245
3246
3247
3248
3249
3250
3251
3252
3253
3254
3255
3256
3257
3258
3259
3260
3261
3262
3263
3264
3265
3266
3267
3268
3269
3270
3271
3272
3273
3274
3275
3276
3277
3278
3279
3280
3281
3282
3283
3284
3285
3286
3287
3288
3289
3290
3291
3292
3293
3294
3295
3296
3297
3298
3299
3300
3301
3302
3303
3304
3305
3306
3307
3308
3309
3310
3311
3312
3313
3314
3315
3316
3317
3318
3319
3320
3321
3322
3323
3324
3325
3326
3327
3328
3329
3330
3331
3332
3333
3334
3335
3336
3337
3338
3339
3340
3341
3342
3343
3344
3345
3346
3347
3348
3349
3350
3351
3352
3353
3354
3355
3356
3357
3358
3359
3360
3361
3362
3363
3364
3365
3366
3367
3368
3369
3370
3371
3372
3373
3374
3375
3376
3377
3378
3379
3380
3381
3382
3383
3384
3385
3386
3387
3388
3389
3390
3391
3392
3393
3394
3395
3396
3397
3398
3399
3400
3401
3402
3403
3404
3405
3406
3407
3408
3409
3410
3411
3412
3413
3414
3415
3416
3417
3418
3419
3420
3421
3422
3423
3424
3425
3426
3427
3428
3429
3430
3431
3432
3433
3434
3435
3436
3437
3438
3439
3440
3441
3442
3443
3444
3445
3446
3447
3448
3449
3450
3451
3452
3453
3454
3455
3456
3457
3458
3459
3460
3461
3462
3463
3464
3465
3466
3467
3468
3469
3470
3471
3472
3473
3474
3475
3476
3477
3478
3479
3480
3481
3482
3483
3484
3485
3486
3487
3488
3489
3490
3491
3492
3493
3494
3495
3496
3497
3498
3499
3500
3501
3502
3503
3504
3505
3506
3507
3508
3509
3510
3511
3512
3513
3514
3515
3516
3517
3518
3519
3520
3521
3522
3523
3524
3525
3526
3527
3528
3529
3530
3531
3532
3533
3534
3535
3536
3537
3538
3539
3540
3541
3542
3543
3544
3545
3546
3547
3548
3549
3550
3551
3552
3553
3554
3555
3556
3557
3558
3559
3560
3561
3562
3563
3564
3565
3566
3567
3568
3569
3570
3571
3572
3573
3574
3575
3576
3577
3578
3579
3580
3581
3582
3583
3584
3585
3586
3587
3588
3589
3590
3591
3592
3593
3594
3595
3596
3597
3598
3599
3600
3601
3602
3603
3604
3605
3606
3607
3608
3609
3610
3611
3612
3613
3614
3615
3616
3617
3618
3619
3620
3621
3622
3623
3624
3625
3626
3627
3628
3629
3630
3631
3632
3633
3634
3635
3636
3637
3638
3639
3640
3641
3642
3643
3644
3645
3646
3647
3648
3649
3650
3651
3652
3653
3654
3655
3656
3657
3658
3659
3660
3661
3662
3663
3664
3665
3666
3667
3668
3669
3670
3671
3672
3673
3674
3675
3676
3677
3678
3679
3680
3681
3682
3683
3684
3685
3686
3687
3688
3689
3690
3691
3692
3693
3694
3695
3696
3697
3698
3699
3700
3701
3702
3703
3704
3705
3706
3707
3708
3709
3710
3711
3712
3713
3714
3715
3716
3717
3718
3719
3720
3721
3722
3723
3724
3725
3726
3727
3728
3729
3730
3731
3732
3733
3734
3735
3736
3737
3738
3739
3740
3741
3742
3743
3744
3745
3746
3747
3748
3749
3750
3751
3752
3753
3754
3755
3756
3757
3758
3759
3760
3761
3762
3763
3764
3765
3766
3767
3768
3769
3770
3771
3772
3773
3774
3775
3776
3777
3778
3779
3780
3781
3782
3783
3784
3785
3786
3787
3788
3789
3790
3791
3792
3793
3794
3795
3796
3797
3798
3799
3800
3801
3802
3803
3804
3805
3806
3807
3808
3809
3810
3811
3812
3813
3814
3815
3816
3817
3818
3819
3820
3821
3822
3823
3824
3825
3826
3827
3828
3829
3830
3831
3832
3833
3834
3835
3836
3837
3838
3839
3840
3841
3842
3843
3844
3845
3846
3847
3848
3849
3850
3851
3852
3853
3854
3855
3856
3857
3858
3859
3860
3861
3862
3863
3864
3865
3866
3867
3868
3869
3870
3871
3872
3873
3874
3875
3876
3877
3878
3879
3880
3881
3882
3883
3884
3885
3886
3887
3888
3889
3890
3891
3892
3893
3894
3895
3896
3897
3898
3899
3900
3901
3902
3903
3904
3905
3906
3907
3908
3909
3910
3911
3912
3913
3914
3915
3916
3917
3918
3919
3920
3921
3922
3923
3924
3925
3926
3927
3928
3929
3930
3931
3932
3933
3934
3935
3936
3937
3938
3939
3940
3941
3942
3943
3944
3945
3946
3947
3948
3949
3950
3951
3952
3953
3954
3955
3956
3957
3958
3959
3960
3961
3962
3963
3964
3965
3966
3967
3968
3969
3970
3971
3972
3973
3974
3975
3976
3977
3978
3979
3980
3981
3982
3983
3984
3985
3986
3987
3988
3989
3990
3991
3992
3993
3994
3995
3996
3997
3998
3999
4000
4001
4002
4003
4004
4005
4006
4007
4008
4009
4010
4011
4012
4013
4014
4015
4016
4017
4018
4019
4020
4021
4022
4023
4024
4025
4026
4027
4028
4029
4030
4031
4032
4033
4034
4035
4036
4037
4038
4039
4040
4041
4042
4043
4044
4045
4046
4047
4048
4049
4050
4051
4052
4053
4054
4055
4056
4057
4058
4059
4060
4061
4062
4063
4064
4065
4066
4067
4068
4069
4070
4071
4072
4073
4074
4075
4076
4077
4078
4079
4080
4081
4082
4083
4084
4085
4086
4087
4088
4089
4090
4091
4092
4093
4094
4095
4096
4097
4098
4099
4100
4101
4102
4103
4104
4105
4106
4107
4108
4109
4110
4111
4112
4113
4114
4115
4116
4117
4118
4119
4120
4121
4122
4123
4124
4125
4126
4127
4128
4129
4130
4131
4132
4133
4134
4135
4136
4137
4138
4139
4140
4141
4142
4143
4144
4145
4146
4147
4148
4149
4150
4151
4152
4153
4154
4155
4156
4157
4158
4159
4160
4161
4162
4163
4164
4165
4166
4167
4168
4169
4170
4171
4172
4173
4174
4175
4176
4177
4178
4179
4180
4181
4182
4183
4184
4185
4186
4187
4188
4189
4190
4191
4192
4193
4194
4195
4196
4197
4198
4199
4200
4201
4202
4203
4204
4205
4206
4207
4208
4209
4210
4211
4212
4213
4214
4215
4216
4217
4218
4219
4220
4221
4222
4223
4224
4225
4226
4227
4228
4229
4230
4231
4232
4233
4234
4235
4236
4237
4238
4239
4240
4241
4242
4243
4244
4245
4246
4247
4248
4249
4250
4251
4252
4253
4254
4255
4256
4257
4258
4259
4260
4261
4262
4263
4264
4265
4266
4267
4268
4269
4270
4271
4272
4273
4274
4275
4276
4277
4278
4279
4280
4281
4282
4283
4284
4285
4286
4287
4288
4289
4290
4291
4292
4293
4294
4295
4296
4297
4298
4299
4300
4301
4302
4303
4304
4305
4306
4307
4308
4309
4310
4311
4312
4313
4314
4315
4316
4317
4318
4319
4320
4321
4322
4323
4324
4325
4326
4327
4328
4329
4330
4331
4332
4333
4334
4335
4336
4337
4338
4339
4340
4341
4342
4343
4344
4345
4346
4347
4348
4349
4350
4351
4352
4353
4354
4355
4356
4357
4358
4359
4360
4361
4362
4363
4364
4365
4366
4367
4368
4369
4370
4371
4372
4373
4374
4375
4376
4377
4378
4379
4380
4381
4382
4383
4384
4385
4386
4387
4388
4389
4390
4391
4392
4393
4394
4395
4396
4397
4398
4399
4400
4401
4402
4403
4404
4405
4406
4407
4408
4409
4410
4411
4412
4413
4414
4415
4416
4417
4418
4419
4420
4421
4422
4423
4424
4425
4426
4427
4428
4429
4430
4431
4432
4433
4434
4435
4436
4437
4438
4439
4440
4441
4442
4443
4444
4445
4446
4447
4448
4449
4450
4451
4452
4453
4454
4455
4456
4457
4458
4459
4460
4461
4462
4463
4464
4465
4466
4467
4468
4469
4470
4471
4472
4473
4474
4475
4476
4477
4478
4479
4480
4481
4482
4483
4484
4485
4486
4487
4488
4489
4490
4491
4492
4493
4494
4495
4496
4497
4498
4499
4500
4501
4502
4503
4504
4505
4506
4507
4508
4509
4510
4511
4512
4513
4514
4515
4516
4517
4518
4519
4520
4521
4522
4523
4524
4525
4526
4527
4528
4529
4530
4531
4532
4533
4534
4535
4536
4537
4538
4539
4540
4541
4542
4543
4544
4545
4546
4547
4548
4549
4550
4551
4552
4553
4554
4555
4556
4557
4558
4559
4560
4561
4562
4563
4564
4565
4566
4567
4568
4569
4570
4571
4572
4573
4574
4575
4576
4577
4578
4579
4580
4581
4582
4583
4584
4585
4586
4587
4588
4589
4590
4591
4592
4593
4594
4595
4596
4597
4598
4599
4600
4601
4602
4603
4604
4605
4606
4607
4608
4609
4610
4611
4612
4613
4614
4615
4616
4617
4618
4619
4620
4621
4622
4623
4624
4625
4626
4627
4628
4629
4630
4631
4632
4633
4634
4635
4636
4637
4638
4639
4640
4641
4642
4643
4644
4645
4646
4647
4648
4649
4650
4651
4652
4653
4654
4655
4656
4657
4658
4659
4660
4661
4662
4663
4664
4665
4666
4667
4668
4669
4670
4671
4672
4673
4674
4675
4676
4677
4678
4679
4680
4681
4682
4683
4684
4685
4686
4687
4688
4689
4690
4691
4692
4693
4694
4695
4696
4697
4698
4699
4700
4701
4702
4703
4704
4705
4706
4707
4708
4709
4710
4711
4712
4713
4714
4715
4716
4717
4718
4719
4720
4721
4722
4723
4724
4725
4726
4727
4728
4729
4730
4731
4732
4733
4734
4735
4736
4737
4738
4739
4740
4741
4742
4743
4744
4745
4746
4747
4748
4749
4750
4751
4752
4753
4754
4755
4756
4757
4758
4759
4760
4761
4762
4763
4764
4765
4766
4767
4768
4769
4770
4771
4772
4773
4774
4775
4776
4777
4778
4779
4780
4781
4782
4783
4784
4785
4786
4787
4788
4789
4790
4791
4792
4793
4794
4795
4796
4797
4798
4799
4800
4801
4802
4803
4804
4805
4806
4807
4808
4809
4810
4811
4812
4813
4814
4815
4816
4817
4818
4819
4820
4821
4822
4823
4824
4825
4826
4827
4828
4829
4830
4831
4832
4833
4834
4835
4836
4837
4838
4839
4840
4841
4842
4843
4844
4845
4846
4847
4848
4849
4850
4851
4852
4853
4854
4855
4856
4857
4858
4859
4860
4861
4862
4863
4864
4865
4866
4867
4868
4869
4870
4871
4872
4873
4874
4875
4876
4877
4878
4879
4880
4881
4882
4883
4884
4885
4886
4887
4888
4889
4890
4891
4892
4893
4894
4895
4896
4897
4898
4899
4900
4901
4902
4903
4904
4905
4906
4907
4908
4909
4910
4911
4912
4913
4914
4915
4916
4917
4918
4919
4920
4921
4922
4923
4924
4925
4926
4927
4928
4929
4930
4931
4932
4933
4934
4935
4936
4937
4938
4939
4940
4941
4942
4943
4944
4945
4946
4947
4948
4949
4950
4951
4952
4953
4954
4955
4956
4957
4958
4959
4960
4961
4962
4963
4964
4965
4966
4967
4968
4969
4970
4971
4972
4973
4974
4975
4976
4977
4978
4979
4980
4981
4982
4983
4984
4985
4986
4987
4988
4989
4990
4991
4992
4993
4994
4995
4996
4997
4998
4999
5000
5001
5002
5003
5004
5005
5006
5007
5008
5009
5010
5011
5012
5013
5014
5015
5016
5017
5018
5019
5020
5021
5022
5023
5024
5025
5026
5027
5028
5029
5030
5031
5032
5033
5034
5035
5036
5037
5038
5039
5040
5041
5042
5043
5044
5045
5046
5047
5048
5049
5050
5051
5052
5053
5054
5055
5056
5057
5058
5059
5060
5061
5062
5063
5064
5065
5066
5067
5068
5069
5070
5071
5072
5073
5074
5075
5076
5077
5078
5079
5080
5081
5082
5083
5084
5085
5086
5087
5088
5089
5090
5091
5092
5093
5094
5095
5096
5097
5098
5099
5100
5101
5102
5103
5104
5105
5106
5107
5108
5109
5110
5111
5112
5113
5114
5115
5116
5117
5118
5119
5120
5121
5122
5123
5124
5125
5126
5127
5128
5129
5130
5131
5132
5133
5134
5135
5136
5137
5138
5139
5140
5141
5142
5143
5144
5145
5146
5147
5148
5149
5150
5151
5152
5153
5154
5155
5156
5157
5158
5159
5160
5161
5162
5163
5164
5165
5166
5167
5168
5169
5170
5171
5172
5173
5174
5175
5176
5177
5178
5179
5180
5181
5182
5183
5184
5185
5186
5187
5188
5189
5190
5191
5192
5193
5194
5195
5196
5197
5198
5199
5200
5201
5202
5203
5204
5205
5206
5207
5208
5209
5210
5211
5212
5213
5214
5215
5216
5217
5218
5219
5220
5221
5222
5223
5224
5225
5226
5227
5228
5229
5230
5231
5232
5233
5234
5235
5236
5237
5238
5239
5240
5241
5242
5243
5244
5245
5246
5247
5248
5249
5250
5251
5252
5253
5254
5255
5256
5257
5258
5259
5260
5261
5262
5263
5264
5265
5266
5267
5268
5269
5270
5271
5272
5273
5274
5275
5276
5277
5278
5279
5280
5281
5282
5283
5284
5285
5286
5287
5288
5289
5290
5291
5292
5293
5294
5295
5296
5297
5298
5299
5300
5301
5302
5303
5304
5305
5306
5307
5308
5309
5310
5311
5312
5313
5314
5315
5316
5317
5318
5319
5320
5321
5322
5323
5324
5325
5326
5327
5328
5329
5330
5331
5332
5333
5334
5335
5336
5337
5338
5339
5340
5341
5342
5343
5344
5345
5346
5347
5348
5349
5350
5351
5352
5353
5354
5355
5356
5357
5358
5359
5360
5361
5362
5363
5364
5365
5366
5367
5368
5369
5370
5371
5372
5373
5374
5375
5376
5377
5378
5379
5380
5381
5382
5383
5384
5385
5386
5387
5388
5389
5390
5391
5392
5393
5394
5395
5396
5397
5398
5399
5400
5401
5402
5403
5404
5405
5406
5407
5408
5409
5410
5411
5412
5413
5414
5415
5416
5417
5418
5419
5420
5421
5422
5423
5424
5425
5426
5427
5428
5429
5430
5431
5432
5433
5434
5435
5436
5437
5438
5439
5440
5441
5442
5443
5444
5445
5446
5447
5448
5449
5450
5451
5452
5453
5454
5455
5456
5457
5458
5459
5460
5461
5462
5463
5464
5465
5466
5467
5468
5469
5470
5471
5472
5473
5474
5475
5476
5477
5478
5479
5480
5481
5482
5483
5484
5485
5486
5487
5488
5489
5490
5491
5492
5493
5494
5495
5496
5497
5498
5499
5500
5501
5502
5503
5504
5505
5506
5507
5508
5509
5510
5511
5512
5513
5514
5515
5516
5517
5518
5519
5520
5521
5522
5523
5524
5525
5526
5527
5528
5529
5530
5531
5532
5533
5534
5535
5536
5537
5538
5539
5540
5541
5542
5543
5544
5545
5546
5547
5548
5549
5550
5551
5552
5553
5554
5555
5556
5557
5558
5559
5560
5561
5562
5563
5564
5565
5566
5567
5568
5569
5570
5571
5572
5573
5574
5575
5576
5577
5578
5579
5580
5581
5582
5583
5584
5585
5586
5587
5588
5589
5590
5591
5592
5593
5594
5595
5596
5597
5598
5599
5600
5601
5602
5603
5604
5605
5606
5607
5608
5609
5610
5611
5612
5613
5614
5615
5616
5617
5618
5619
5620
5621
5622
5623
5624
5625
5626
5627
5628
5629
5630
5631
5632
5633
5634
5635
5636
5637
5638
5639
5640
5641
5642
5643
5644
5645
5646
5647
5648
5649
5650
5651
5652
5653
5654
5655
5656
5657
5658
5659
5660
5661
5662
5663
5664
5665
5666
5667
5668
5669
5670
5671
5672
5673
5674
5675
5676
5677
5678
5679
5680
5681
5682
5683
5684
5685
5686
5687
5688
5689
5690
5691
5692
5693
5694
5695
5696
5697
5698
5699
5700
5701
5702
5703
5704
5705
5706
5707
5708
5709
5710
5711
5712
5713
5714
5715
5716
5717
5718
5719
5720
5721
5722
5723
5724
5725
5726
5727
5728
5729
%%% vim: set textwidth=80: %%% Emacs: -*- mode:latex; coding:utf-8; -*-
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[a4paper,9pt]{amsart}
\input{../config/preambule}
\input{../config/macros}
\title{Corps locaux, corps globaux}
\externaldocument{AC}
\externaldocument{extensions-algebriques}
\externaldocument{correspondance-galois}
\externaldocument{formes-tordues}
\externaldocument{RT}
\externaldocument{spectre}
\externaldocument{verselles}
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
\externaldocument{AVD-Dedekind}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\else
\chapter{Corps locaux, corps globaux}
\fi

\DeclareMathOperatorWithFont{\module}{\mathrm}{mod}

\section{Corps locaux}

\subsection{Premières définitions, notations}
\label{definition corps locaux}

\subsubsection{}
\label{corps topologique, corps local premier}
Un \textbf{corps topologique} \index{corps topologique} est un corps $K$
muni d'une topologie telle que les applications envoyant $(x,y) ∈ K²$
sur $x+y$ (resp. $xy$) et $x ∈ K$ sur $-x$ (resp.
$x ∈ K^×$ sur $x^{-1}$) soient continues.
Une extension de corps topologiques
est un morphisme \emph{continu} $K → L$ de corps topologiques.
Par exemple, si $p$ est un nombre premier
ou le symbole $∞$, le corps $𝐐_p$ — avec la convention
\commentaire{Noter $𝐐_{\chap{p}}$, $𝐐_{\chap{∞}}$ ?}
que $𝐐_∞=𝐑$ — muni de la topologie associé à la norme
$|⋅|_p$ est un corps topologique. De même, pour
chaque $p$ premier, le corps $𝐅_p((t))$ des séries de Laurent
formelles est naturellement un corps topologique (cf.
\refext{AVD-D}{}). Nous appellerons \textbf{corps local premier} \index{corps local premier}
un corps topologique isomorphe à l'un des corps
topologiques précédents.

\begin{théorème2}
\label{corps locaux conditions équivalentes}
Soit $K$ un corps topologique. Les conditions suivantes sont
équivalentes.
\begin{enumerate}
\item $K$ est \emph{localement compact} non discret ;
\item $K$ est isomorphe (en tant que corps topologique) à $𝐑$, $𝐂$ ou bien au corps
des fractions d'un anneau de valuation discrète $𝒪$ complet
à corps résiduel fini, équipé de la topologie déduite
de la valuation.
\item $K$ est une extension finie (en tant que corps
topologique) d'un corps local premier $K₀$.
\end{enumerate}
De plus :
\begin{itemize}
\item L'anneau $𝒪$ du (ii) est le plus grand sous-anneau
compact de $K$ et son idéal maximal est l'ensemble des
éléments $x$ de $K$ tels que $x^n$ tende vers $0$ lorsque $n$
tend vers $+∞$.
\item Le corps local premier $K₀$ du (iii) est \emph{fermé}
dans $K$. Si $K$ est de caractéristique nulle (resp.
de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$
(resp. il n'est pas unique).
\end{itemize}
\end{théorème2}

Ce théorème est démontré en \ref{CL conditions équivalentes
démo}, où l'on fait usage des résultats des paragraphes qui
vont suivre. Notons que, compte tenu des résultats établis
dans le chapitre précédent, la principale difficulté
est de munir un corps localement compact d'une valeur absolue.
Celle-ci sera construire via la théorie de l'intégration
(mesure de Haar).

\subsubsection{}On appelle \textbf{corps local}
un corps topologique satisfaisant les conditions
équivalentes précédentes. Il est dit archimédien
s'il est isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$ et
\textbf{ultramétrique}, ou \textbf{non archimédien},
dans le cas contraire.

\subsubsection{}Lorsque $K$ est un corps local
ultramétrique, on notera en général $𝒪$ son
sous-anneau compact maximal, appelé \textbf{anneau des
entiers}, $𝔪$ l'idéal maximal de $𝒪$, $ϖ$ une uniformisante ($𝔪=(ϖ)$), $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$
et enfin $q$ le cardinal de $k$. L'uniformisante est bien définie à multiplication par une unité $u ∈ 𝒪^×$ près.
On appelle \textbf{valeur absolue normalisée}, notée $|⋅|_K$ l'unique valeur
absolue $K → 𝐑_{+}$ telle que $|ϖ|_K=\frac{1}{q}$.
Lorsque $K=𝐑$ (resp. $𝐂$), la valeur absolue normalisée $|⋅|_K$ est la valeur absolue usuelle
(resp. $z ↦ z \sur{z}$, c'est-à-dire le carré de la norme usuelle).
On note également $|⋅|_p$ la valeur absolue normalisée $|⋅|_{𝐐_p}$ ;
cette convention est étendue au cas où $p=∞$. (On rappelle que $𝐐_∞=𝐑$.)

\subsection{Mesures}
\label{généralités sur mesures}

\subsubsection{}On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
de théorie de l'intégration. Le niveau de généralité de ces
rappels est justifié par l'usage qui en sera fait dans la
théorie des corps globaux (analyse sur les adèles).
Le lecteur est invité à consulter par exemple \BourbakiINT{chap. VII},
ou \cite{Integral@Nachbin} qui en reprend
les points essentiels, pour plus de détails.

\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique localement
compact : $X$ est séparé et que tout point possède un voisinage compact.
Cette hypothèse permet de démontrer des variantes du
théorème de séparation d'Urysohn\footnote{Notons qu'un espace topologique
localement compact n'est pas nécessairement « normal » ($T₄$) ; il est cependant
« complètement régulier » ($T_{3+½}$).}.
Soit $𝐊$ le corps $𝐑$ ou $𝐂$. Pour tout
compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C;𝐊)$ l'ensemble des fonctions continues
sur $X$ à valeurs dans $𝐊$ et à support contenu dans $C$. C'est un
espace topologique normé par $‖ f ‖_C =\sup_{x ∈ C} |f(x)|$.
L'ensemble $𝒞_c(X;𝐊)=⋃_C 𝒞_c(X,C;𝐊)$ — où l'union
est prise dans l'ensemble des fonctions continues à
valeurs dans $𝐊$ sur $X$ — des fonctions à support compact
est donc naturellement muni de la topologie colimite (ou
union). Explicitement : $f_n → f$ si et seulement si il existe un compact $C$
et un entier $N>0$ tel que les fonctions $f$ et $f_n$ pour $n ≥ N$ appartiennent à $𝒞_c(X,C;𝐊)$
et que la suite $(f_n)_{n ≥ N}$ tende vers $f$ dans $𝒞_c(X,C;𝐊)$.
Observons que l'espace $𝒞_c(X;𝐊)$ muni de la norme
$‖f‖=\sup_{x ∈ X} |f(x)|$ n'est \emph{pas} complet en
général. (Si $X=𝐑$, son adhérence dans l'ensemble des
fonctions continues bornées est l'ensemble des fonctions
tendant vers zéro à l'infini.)

\subsubsection{}
\label{mesure de Radon}
On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
une forme linéaire continue $μ:𝒞_c(X;𝐂) → 𝐂$. La continuité
de $μ$ revient à supposer l'existence, pour chaque
compact $C$ de $X$ d'une constante $M_C$ telle que pour
chaque $f ∈𝒞_c(X;𝐂)$ à support dans $C$ on ait : $|μ(f)| ≤ M_C ‖f ‖_C$.
Le nombre $μ(f)$ est appelé « intégrale de $f$ par rapport à $μ$ »
et est également noté $∫f   dμ$, $∫_X f(x)  dμ(x)$, etc.
Une telle mesure est dite \textbf{positive}, si $μ(f)$ est réel dès lors que $f$ est à valeurs
réelles et si ce nombre est positif ou nul lorsqu'il en est de même
des valeurs de $f$ ; cette dernière condition étant notée : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.
(On peut montrer qu'une forme linéaire positive sur $𝒞_c(X;𝐑)$
est automatiquement continue.)
Suivant le procédé usuel, on étend une telle mesure :
\begin{itemize}
\item à l'ensemble $ℐ_+(X)$ des fonctions réelles positives,
finies ou non, semi-continues inférieurement, sur $X$ en posant $μ^*(f)=\sup_{g ≤ f}
μ(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ 𝒞_c(X)_+$ et $\sur{𝐑}$
est la droite achevée $𝐑 ∪ \{+∞\}$ ; puis
\item à l'ensemble des fonctions positives (finies ou non) sur $X$
en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ^*(g) ∈ \sur{𝐑}$, où $g ∈ ℐ_+(X)$.
Cette dernière quantité est également notée $∫^* f d μ$.
\end{itemize}
Cette \emph{intégrale supérieure} de fonctions positives
satisfait le théorème de convergence monotone — c'est-à-dire
l'égalité $μ^*(\sup_n f_n)=\sup_n μ^*(f_n)$ si
les fonctions $f_n$ sont positives croissantes — et ses
corollaires, dont le lemme de Fatou : $μ^*(\liminf_n f_n) ≤ \liminf_n μ^*(f_n)$
pour une suite non nécessairement croissante de fonctions.
Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$ un réel,
on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d μ$. Il résulte de l'inégalité
de Minkowski que l'on obtient ainsi une semi-norme
— donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne
d'ordre $s$) — sur l'espace des fonctions $f:X → 𝐂$ telles que $|f|_s<+∞$.
L'adhérence de $𝒞_c(X;𝐂)$ dans cet espace est notée $ℒ^s(X)$.
On note $L^s(X)$ l'espace séparé (normé) associé ; c'est un
\emph{espace de Banach} (théorème de Riesz-Fischer).
L'inégalité $|μ(f)| ≤ |f|₁$, valable pour $f ∈ 𝒞_c(X)$,
permet d'étendre $μ$ par continuité en une forme linéaire continue,
également notée $μ$ ou $∫_X d μ$, sur $ℒ¹(X)$. Pour les fonctions
intégrables, c'est-à-dire dans $ℒ¹(X)$, cette extension coïncide
bien sûr avec $μ^*$.

\subsubsection{Mesure produit}
\label{Radon produit}
\paragraph{Produit fini}Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques localement compacts
munis de mesures de Radon $μ_X$ et $μ_Y$.
On vérifie sans difficulté (\BourbakiINT{III.§4.1}) que le sous-espace $𝒞_c(X,𝐂) ⊠ 𝒞_c(Y,𝐂)$ des fonctions
de la forme $f ⊠ g:(x,y)↦ f(x)g(y)$ est dense
dans $𝒞_c(X×Y,𝐂)$ et que la forme linéaire
$f ⊠ g↦ μ_X(f)μ_Y(g)$ s'étend en une mesure de Radon,
notée $μ_X ⊠ μ_Y$ sur $X×Y$. Plus généralement,
on définit le produit d'un nombre fini de mesures de Radon.

\paragraph{Produit infini de compacts}
Soient $(X_s)_{s ∈ Σ}$ une collection d'espaces topologiques compacts
munis de mesures de Radon positives $μ_s$. On suppose la famille
de réels $μ_s(𝟭_{X_s})$ \emph{multipliable}, où $𝟭_{X_s}$ désigne
la fonction caractéristique de $X_s$.
Pour chaque sous-ensemble fini $S$ de $Σ$ et chaque fonction
continue $f_S$ sur $∏_{s ∈ S} X_s$, notons $f_S ⊠ 𝟭$
la fonction « ne dépendant que d'un nombre fini de variables »
\[
f_S ∘ \big(∏_{s ∈ Σ} X_s \dessusdessous{\pr_S}{↠} ∏_{s ∈ S} X_s\big),
\]
où $\pr_S$ désigne la projection évidente. Il résulte
du théorème de Stone-Weierstraß que ces fonctions forment
un sous-$𝐂$-espace vectoriel dense de $𝒞_c(∏_{s ∈ Σ} X_s,𝐂)$.
On vérifie par réduction au cas où $μ_s(𝟭_{X_s})=1$
(cf. \BourbakiINT{III.§4.6}) qu'il existe une unique mesure de
Radon $μ$ sur $∏_{s ∈ Σ} X_s$ telle que
\[
μ(f_S ⊠ 𝟭)=(\bigboxtimes_{s ∈ S} μ_s) (f_S) × ∏_{s ∉ S} μ_s(𝟭_{X_s}).
\]

\subsubsection{Mesure des ensembles}
\label{mesure des ensembles}
On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
de la mesure en posant, pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(𝟭_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
où $𝟭_E$ désigne la fonction caractéristique de $E$. C'est la \textbf{mesure extérieure}
de l'ensemble $E$. Elle coïncide avec la borne inférieure
des mesures extérieures des ouverts contenant $E$. (Noter
que la fonction caractéristique d'un ouvert est
semi-continue inférieurement, c'est-à-dire appartient
à $ℐ_+(X)$.) On vérifie que les ensembles compacts, et plus généralement
les ensembles relativement compacts sont de mesure extérieure finie.
Prendre garde au fait que l'intégrabilité de la fonction
caractéristique $𝟭_E$ d'un ensemble $E$ est \emph{a priori}
plus forte que la seule finitude de sa mesure extérieure :
on démontre que $E$ est intégrable — c'est-à-dire $𝟭_E ∈ ℒ¹(X)$ —
si et seulement si il existe pour tout $ε>0$ un compact
$C_ε ⊆ E$ tel que $μ^*(E-C_ε) ≤ ε$. On note $μ(E)=∫ 𝟭_E d μ$
la mesure d'un tel ensemble. On dit qu'un sous-ensemble $E$
de $X$ est \textbf{mesurable} (sous-entendu : relativement à $μ$) si pour tout compact $C$ de $X$,
l'intersection $E ∩ C$ est intégrable.

\subsubsection{}Considérons maintenant un \textbf{groupe topologique} $G$,
localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$
est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout
$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$ et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
\[
∫_G f   dμ= ∫_G f_h   dμ,
\]
où $f_h(g)=f(h^{-1}g)$.
On peut montrer montrer que la continuité d'une telle forme
linéaire est automatique. On précise parfois que la mesure $μ$
est « \emph{invariante à gauche} ».

\subsubsection{}Tout groupe topologique localement
compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar,
unique à un facteur multiplicatif non nul près. L'existence
est due à Haar Alfréd — sous une hypothèse
restrictive dont s'est affranchi André Weil — et l'unicité
à John von Neuman. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
invariante à droite, en un sens évident.
Nous présentons dans le paragraphe suivant une esquisse de preuve de ces
résultats.

\subsubsection{Existence et unicité à un facteur près d'une mesure de Haar : esquisse de démonstration}
\label{Haar existence et unicité}
Le lecteur pressé peut omettre la lecture de ce paragraphe sans préjudice
\commentaire{À vérifier}
notable : dans les applications que nous en ferons, les énoncés
peuvent se ramener par passage à la limite à des énoncés
explicites sur un nombre fini de mesures locales décrites de manière
\emph{ad hoc} en \ref{mesures Tamagawa locales}.
%Cf. Weil, commentaire sur [1967c] dans ses Œuvres, tome III.
%l'idée est que, sauf erreur, on intègre des fonctions
%dans $𝒮(K_𝐀)$, que chaque $a ∈ K$ est à composantes presque toutes
%dans $𝒪_{K,x}$ [utile pour formule du produit] et que
%$μ_{ψ_x}(𝒪_{K,x})=1$ pp $x$, si bien que finalement, tout se ramène au cas
%d'un produit fini.

Soit $G$ un groupe topologique localement compact et soit $φ$ une fonction
réelle sur $G$, continue à support compact.
Si $ψ$ appartient à $𝒞_c(G)_+$ et n'est pas
identiquement nulle,
il existe des réels positifs $c₁,…,c_n$ et des éléments
$h₁,…,h_n$ de $G$ tels que l'on ait l'inégalité
\[
φ ≤ ∑_{i=1}^n c_i ψ_{h_i}.
\]
En effet, quitte à remplacer $ψ$ par une fonction $c ψ_h$, on peut
supposer — par locale compacité — qu'il existe une voisinage ouvert $U$ de l'identité
de $G$ tel que $ψ ≥ 1$ sur $U$. Le support (compact) de $φ$ étant
recouvert par un nombre fini de translatés de $U$ et $φ$
étant bornée, la conclusion en résulte aussitôt.
Notons $(φ : ψ)$ la borne inférieure des sommes
$∑_i c_i$, où les $c_i$ et les $h_i$ sont comme
ci-dessus. Observons que si $μ$ est une mesure
de Radon (invariante à gauche) sur $G$, on
a $μ(c_i ψ_{h_i})=c_i μ(ψ)$ d'où $μ(φ)/μ(ψ) ≤ ∑_i c_i$.
Pour chaque $φ,φ′ ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, $ψ,ψ′ ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$, $h ∈ G$ et $λ ≥ 0$,
on a :
\begin{enumerate}
\item $(φ_h : ψ)=( φ : ψ)$
\item $(λ φ : ψ)=λ ( φ : ψ)$
\item $(φ + φ ′ : ψ) ≤ (φ : ψ) + (φ ′ : ψ)$
\item $(φ : ψ) ≤ (φ ′ : ψ)$ si $φ ≤ φ ′$
\item $(φ : ψ ′) ≤ (φ : ψ)(ψ : ψ ′)$
\item $(φ : ψ) ≥ \sup(φ)/\sup(ψ)$
\end{enumerate}
Les quatre premières propriétés sont évidentes. (v) résulte
du fait que si $φ ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ et $ψ ≤ ∑_j d_j ψ′_{k_j}$,
on a $φ ≤ ∑_{i,j} c_i d_j ψ′_{h_i k_j}$ d'où
$(φ : ψ) ≤ ∑_{i,j} c_i d_j = (∑_i c_i)(∑_j d_j)$.
Pour vérifier (vi), on constate que si $φ ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$
et que le $\sup$ de $φ$ est atteint en $g ∈ G$,
on a $\sup(f) ≤ ∑_i c_i ψ(h_i^{-1}g) ≤ (∑_i c_i)\sup(ψ)$.
Notons que (vi) entraîne que $(φ: ψ)$ est $>0$
si $φ$ est positive non identiquement nulle.
Fixons une fois pour toutes une fonction $φ₀ ∈ 𝒞_c(G)_+
-\{0\}$ ; son intégrale pour la mesure que nous allons construire sera égale à $1$.
Pour chaque $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+ -\{0\}$ et chaque $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$, posons
\[
I_ψ(φ)=\frac{( φ : ψ)}{(φ₀ : ψ)}.
\]
Il résulte immédiatement des propriétés précédentes que
$φ ↦ I_ψ(φ)$ est invariante par translation à gauche, commute à
la multiplication par un scalaire positif, sous-additive,
et croissante. D'autre part, si $φ$ est non nulle, on a les inégalités
\[
0<1/(φ₀: φ) ≤ I_ψ(φ) ≤ (φ : φ₀),
\]
qui résultent de (v) ci-dessus.
Nous allons voir maintenant que $I_ψ$ est d'autant plus proche d'être
\emph{additive} que le support de $ψ$ est concentré en l'identité de $G$.
Précisément : pour chaque paire $φ, φ ′ ∈ 𝒞_c(G)_+$ et chaque $ε>0$
il existe un voisinage \emph{compact} $V_ε$ de l'identité de $G$
tel que si $ψ$ est de plus à support dans $V_ε$ on ait :
\[
I_ψ(φ+φ ′) ≤ I_ψ(φ) + I_ψ(φ ′) ≤ I_ψ(φ + φ ′)+ ε.
\]
(La première inégalité n'est mise que pour mémoire.)
Soit $H ∈ 𝒞_c(G)_+$ égale à $1$ sur le support de $φ + φ ′$
et posons $F=φ + φ ′ + ε H$. Considérons les fonctions $f$
et $f ′$ respectivement égales à $φ/F$ et $φ ′ /F$ sur
le support de $φ+φ ′$ et zéro ailleurs. Elles sont continues
à supports compacts et positives. Soit $η>0$. Par continuité
des fonctions et compacité de leurs supports on a le résultat
d'uniforme continuité suivant : il existe un voisinage compact $V$ de l'identité
tel que $|f(x)-f(y)| ≤ η$ et $|f ′(x)-f ′(y)| ≤ η$ dès
que $x^{-1}y ∈ V$. Soit $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ non nulle à support dans $V$
et supposons qu'une inégalité $F ≤ ∑_i c_i ψ_{h_i}$ soit satisfaite.
On a donc la majoration $φ= f ⋅ F ≤ ∑_i c_i f⋅ψ_{h_i}$. Or,
$f ⋅ ψ_h ≤ (f(h)+η) ⋅ ψ_h$ : en un point hors de $hV$ c'est évident
car $ψ_h$ y est nulle ; en un point de $hV$, on a $f ≤ f(h) + η$ par hypothèse
sur $η$ et $V$. En sommant les deux majorations ainsi obtenues pour $φ$ et $φ ′$,
on obtient :
\[
(φ : ψ) + (φ ′ : ψ) ≤ ∑_i c_i (φ(h_i)+φ ′(h_i)+2 η) ≤ (1+2 η) ∑_i c_i
\]
car $φ + φ ′ ≤ 1$.
On en tire la majoration $(φ : ψ) + (φ ′ : ψ) ≤ (1+2 η)(F: ψ)$ et, par
division par $(φ₀: ψ)$ :
\[
I_ψ(φ)+I_ψ(φ ′) ≤ (1+2 η)I_ψ(F) ≤ (1+2 η)\big(I_ψ(φ+φ ′)+δ I_ψ(H)\big)
\]
où la seconde inégalité résulte de la sous-additivité de $I_ψ$.
Finalement, on a
\[
I_ψ(φ)+I_ψ(φ ′) ≤ I_ψ(φ)+I_ψ(φ ′) + \Big(2 η (φ + φ ′ : φ₀)+ δ(1+2 η)(H : φ₀)\Big).
\]
Quitte à choisir $δ$ et $η$ suffisamment petits, le second terme peut
être rendu inférieur à $ε$.

Voyons maintenant comment en déduire l'existence d'une mesure
de Haar. Pour $V$ un voisinage compact variable de l'identité,
les ensembles $𝒞_c(G,V)_+-\{0\}$ forment une base d'un filtre sur l'ensemble $𝒞_c(G)_+-\{0\}$
des fonctions $ψ$ considérées. Soit $𝔉$ un ultrafiltre plus fin que ce dernier
filtre. Par compacité de l'ensemble $[(φ₀: φ)^{-1},(φ : φ₀)]$,
auquel appartiennent les $I_ψ(φ)$, la limite $\lim_{ψ,𝔉} I_ψ(φ)$ existe ; notons la $I(φ)$.
(Le lecteur peu versé dans la théorie des filtres et ultrafiltres
pourra avantageusement consulter \BourbakiTG{I.§6.nº4} ou bien
\cite[chap. II, §8]{Integral@Nachbin} pour une variante de cet
argument reposant sur le théorème de Tikhonov.)
Il résulte de ce qui précède et du passage à la limite que l'on a
\[
I(φ+φ ′)=I(φ)+I(φ ′)
\]
pour toute paire de fonctions dans $𝒞_c(G)_+$.
Si $φ ∈ 𝒞_c(G,𝐑)$, il existe des fonctions
$φ₁,φ₂ ∈ 𝒞_c(G)_+$ telles que $φ = φ₁ -φ₂$, par exemple $φ₁=\sup(φ,0)$
et $φ₂=-\inf(f,0)$. On vérifie immédiatement que la
quantité $I(φ):=I(φ₁)-I(φ₂)$ ne dépend pas de la décomposition choisie.
La forme $φ ↦ I(φ)$ est une mesure de Haar. Remarquons qu'il
résulte de ce qui précède que si $φ ∈ 𝒞_c(G)_+$ est une fonction non nulle,
$I(φ)$ est strictement positif : $I(φ) ≥ (φ₀: φ)^{-1}$.
(On peut aussi remarquer que l'on a
l'inégalité $I(ψ) ≤ (∑_i c_i) I(φ)$ si $ψ ≤ ∑_i c_i φ_{h_i}$
si bien que $I(φ)=0$ ⇒ $I=0$.)

Considérons l'unicité. Soient $μ$ et $ν$ deux mesures de Haar
invariantes à gauche et soit $φ₀ ∈ 𝒞_c(G)_+$ une fonction non nulle.
D'après la remarque précédente, $μ(φ₀)>0$ et $ν(φ₀)>0$. On peut
donc supposer que l'on a l'égalité $μ(φ₀)=ν(φ₀)=1$.
Pour toute paire de fonctions $φ,ψ ∈ 𝒞_c(G)$, considérons
le produit de convolution $φ ⋆_μ ψ$ :
\[
g ↦ ∫ φ(h) ψ (h^{-1}g)   dμ(h)= ∫ φ(gh)ψ(h^{-1})  dμ(h),
\]
où l'égalité résulte de l'invariance à gauche de $μ$.
Cette intégrale a un sens car, comme on le vérifie sans peine,
l'intégrande est une fonction (continue) à support compact ;
il en est de même de la fonction $φ ⋆_μ ψ$.
En intégrant pour la mesure $ν$ on obtient
la formule classique :
\[
∫ φ ⋆_μ ψ   d ν=∫ φ   dμ ⋅ ∫ ψ   dν,
\]
que l'on peut réécrire $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$.
Elle se démontre en intervertissant l'ordre d'intégration (Fubini) et en utilisant
l'égalité $∫ ψ(h^{-1}g)   dν(g)=∫ ψ    dν$ (invariance à gauche).
Fixons $φ$ et montrons que $μ(φ)=ν(φ)$.
Pour tout $ε>0$, il existe un voisinage compact $V_{φ,ε}$ de l'identité
tel que pour toute fonction $ψ ∈ 𝒞_c(G)_+$ de support dans $V_{φ,ε}$
et d'intégrale $μ(ψ)=1$, on ait $‖ φ ⋆_μ ψ - φ ‖_∞ ≤ ε$. (Un tel
énoncé est souvent utilisé pour régulariser des fonctions ; nous
n'en rappelons pas la démonstration.)
Pour un tel $ψ$, on a $|ν(φ ⋆_μ ψ) -ν(φ)| ≤ ε ⋅  ν\big( \mathrm{Supp}(φ) V_{φ,ε}^{-1}\big)$.
En particulier, il existe des fonctions $ψ$ positives de $μ$-intégrale unité telles que $ν(φ ⋆_μ ψ)$ soit
arbitrairement proche de $ν(φ)$. En appliquant ceci à $φ=φ₀$, et en utilisant
les égalités $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ et $μ(φ₀)=ν(φ₀)$, on en déduit
qu'il existe des fonctions $ψ$ de $ν$-intégrale arbitrairement proche de l'unité
et de support contenu dans des $V_{φ,ε}$. Ainsi, quitte à bien choisir $ψ$,
on peut avoir $ν(φ ⋆_μ ψ)=μ(φ)ν(ψ)$ arbitrairement proche de $ν(φ)$ et
$ν(ψ)$ arbitrairement proche de $1$. Nécessairement, $μ(φ)=ν(φ)$ ; CQFD.

\subsubsection{}
\label{définition module et cas compact ou commutatif}
Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_G f ∘ φ^{-1}   d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
réel $\module(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\module(φ) μ$ ; il
ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction,
pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\module(φ)μ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
unité : en effet, $μ(G)<+∞$ (fait général aux mesures de Radon) et on a $μ(G)=μ(φ(G))$
— car $φ(G)=G$ — donc $μ(G)=\module(φ)μ(G)$, d'où le résultat.
Appliquant cette observation au cas des automorphismes
intérieurs, on en déduit dans ce cas que si $E ⊆ G$ est mesurable,
on a $μ(E)=μ(gEg^{-1})=μ(Eg^{-1})$ : la mesure $μ$
est également invariante \emph{à droite} lorsque $G$ est compact. Le même argument
montre que toute mesure de Haar invariante à gauche est également
invariante à droite lorsque $G$ est
\emph{commutatif} mais non nécessairement compact.

\subsubsection{}
\label{caractérisation compacité par mesure}
Si $G$ est compact et $μ$ une mesure de Haar, on a vu que sa mesure $μ(G)$ est finie.
(On appelle \textbf{mesure de Haar normalisée} l'unique mesure de Haar telle que
$μ(G)=1$.)
Réciproquement, si $G$ est seulement supposé \emph{localement} compact
mais de mesure extérieure $μ^*(G)$ finie, alors $G$ est compact.
En effet, soit $V$ un voisinage compact de l'unité de $G$.
Le nombre de translatés de $V$ disjoints deux à deux est borné par
le quotient fini $μ^*(G)/μ(V)$ ; il existe donc un ensemble de cardinal
maximal $g₁V,…,g_nV$ de tels translatés. Si $g ∈ G$,
il existe donc un indice $i$ tel que $gV ∩ g_iV ≠ ∅$,
c'est-à-dire $g ∈ g_iV V^{-1}$. Le groupe $G$
est donc recouvert par les compacts $g_i V V^{-1}$, en nombre fini ; il est
compact. CQFD.

\subsubsection{}
\label{module et mesure quotients}
Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abélien topologique localement compact $G$.
Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact ; on dit que $Γ$ est
\textbf{cocompact} dans $G$.
Fixons des mesures de Haar $μ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $μ_X$
sur $Γ$ et $X$ respectivement.
À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer
la fonction « moyenne sur les $Γ$-orbites » :
\[
m_Γ(f): g↦ μ_Γ([+g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ).
\]
Cette fonction est $Γ$-invariante et induit
une fonction continue (à support compact) sur $X$,
également notée $m_Γ(f)$.
La forme linéaire $f↦ μ_X( m_Γ(f))$ est positive et $G$-invariante ;
c'est donc une mesure de Haar sur $G$, que nous noterons $μ_G$.
Par construction,
\[
∫_G f(g) dμ_G(g)=∫_X \Big( ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ)\Big) dμ_X(\sur{g}).
\]
On peut montrer l'existence d'un triplet de telles mesures de Haar
dès que $Γ$ est un sous-groupe fermé de $G$ (non nécessairement
discret ou cocompact).
% Nachbin, p. 86.
Il résulte immédiatement de la formule ci-dessus que pour tout
automorphisme de $G$ induisant un automorphisme de $Γ$,
on a
\[
\module_G(φ)=\module_{G/Γ}(φ)\module_Γ(φ).
\]
Dans le cas particulier considéré ici,
on a $\module_Γ(φ)=1$ car $Γ$ est discret,
et $\module_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
d'où $\module_G(φ)=1$.

Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$,
et imposant à $μ_Γ$ d'être — par exemple — la mesure de comptage,
il existe une unique mesure de Haar sur $X=G/Γ$
telle que la formule d'intégration ci-dessus
soit satisfaite.

\subsubsection{Domaine fondamental}
\label{domaine fondamental}
Une autre approche pour intégrer sur le quotient
consister à définir un \textbf{domaine fondamental}
dans $G$ et intégrer dessus.
Esquissons une construction en conservant les notations du paragraphe précédent.
Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
que $U^{-1} U ∩ Γ = \{e\}$ (notation multiplicative).
Pour chaque $γ ∈ Γ$, notons $U_γ$ le translaté $U γ$.
Il résulte de la compacité de $X$ qu'il existe
un nombre fini d'éléments $g₁,…,g_n$ de $G$ tels
que $⋃_{i,γ} g_i U_γ=G$. (En effet, la réunion $⋃_{g,γ} g U_γ$ est
ouverte, $Γ$-saturée et se surjecte sur $X$.)
Supposons de plus $Γ$ \emph{dénombrable}. Sous cette hypothèse,
il existe donc une famille dénombrable d'ouverts $U₀,U₁,…$ de $G$ tels
que la projection $π:G ↠ X$ restreinte aux $U_i$ induise une \emph{injection}.
Alors,
\[
F= ⋃_i \Big( U_i - (⋃_{j<i} U_i Γ)\Big)
\]
est un \emph{domaine fondamental} : $π$ induit une \emph{bijection}
$F ⥲ X$. Cet ensemble est mesurable par construction, de mesure finie
et induit une mesure sur l'espace topologique $X$.
En effet, on peut considérer la forme linéaire envoyant $f ∈ 𝒞(X,𝐂)$ ($X$ est
compact) sur $\dot{μ}(f)=∫_F (f ∘ π) d μ$, la fonction $(f ∘ π) ⋅ 𝟭_F$ appartenant à $L¹(G,μ)$.
On vérifie immédiatement la formule d'intégration
du paragraphe précédent.

\subsection{Corps localement compacts : généralités et classification}
\label{corps localement compacts}

\subsubsection{}Soit $K$ un corps topologique localement
compact, non discret. Fixons une mesure de Haar $μ$ sur le
groupe additif de $K$. Pour chaque $a ∈ K^×$, notons $\module_K(x)$
le module de l'automorphisme $[×a]:x ↦ ax$ du groupe additif
de $K$ : $μ(aX)=\module_K(a)μ(X)$ pour toute partie
mesurable $X$ de $K$ de mesure finie. On étend cette définition en posant $\module_K(0)=0$.
Dans cette section nous allons montrer comment
construire une valeur absolue sur $K$
à partir de $\module_K$ et démontrer un analogue
du théorème \refext{AVD-Dedekind}{EVT sur corps valué complet}
dans le cas d'un corps localement compact (cf. \ref{EVT sur corps localement compact} \emph{infra}).
Nous terminons par une démonstration du
théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
%en déduirons qu'une extension finie d'un corps local est un corps local.
%Tout d'abord quelques résultats préparatoires.

\begin{proposition2}
\label{continuité de modK}
La fonction $\module_K:K → 𝐑_+$ est continue et
satisfaisant l'égalité $\module_K(ab)=\module_K(a)\module_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$.
\end{proposition2}

Ce résultat est également vrai lorsque $K$ est discret.

\begin{démo}
L'égalité est un cas particulier de la formule générale évidente :
$\module(φ ∘ ψ)=\module(φ) \module(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
sont deux automorphismes d'un groupe localement compact.
Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact
de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$
il existe un voisinage ouvert $U_{a,ε}$ du compact $aC$
tel $μ(U_{a,ε}) ≤ μ(aC)+ε$ (cf. \ref{mesure des ensembles}).
Soit $A$ un voisinage compact de $a$ tel que $AC ⊆ U_{a,ε}$,
dont l'existence est assurée par la continuité du produit.
Pour chaque $x ∈ A$, on a :
\[
\frac{μ(xC)}{μ(C)}=\module_K(x) ≤ \module_K(a)+ ε μ(C)^{-1}.
\]
Il en résulte que la fonction $\module_K$ est \emph{semi-continue
supérieurement}. En particulier, elle est continue en $0$ (où
elle atteint son minimum.) L'égalité $\module_K(x)=\module_K(x^{-1})^{-1}$
pour chaque $x ≠ 0$ montre qu'elle est aussi semi-continue
inférieurement sur $K^×$ donc, finalement, continue.
\end{démo}

\begin{exercice2}
En déduire que $K$ n'est pas compact.
%cf. AVD-D, EVT localement compact est de dimension finie
\end{exercice2}

\subsubsection{}
\label{compacité des Br}
Soit $r>0$ un réel. Il résulte de la
proposition précédente que l'ensemble $B_r=\{x ∈ K:\module_K(x)
≤ r\}$ est un voisinage fermé de $0$ dans $K$. Montrons
qu'il est \emph{compact}. Soit $V$ un voisinage compact
de $0$ et $W$ un voisinage ouvert de $0$ tel que $WV ⊆ V$.
L'existence de $V$ résulte de la locale compacité de $K$ ;
celle de $W$ de la continuité du produit $K×K → K$.
Le corps $K$ étant non discret et $\module_K$ étant
continue, il existe $x ∈ W ∩ V$ tel que
$0<\module_K(x)<1$. Par récurrence, $x^n$ appartient à $V$
pour tout $n ≥ 1$. Nous allons montrer que $B_r$ est contenu
dans une réunion finie d'ensembles $x^{-n}V$, $n ≥ 0$.
Soit $y$ une valeur d'adhérence de la suite $(x^n)$.
Le réel $\module_K(y)$ est valeur d'adhérence de la
suite $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ donc nul. Finalement, $y$
est nul. Comme la suite $(x^n)$ appartient au \emph{compact} $V$,
elle tend donc vers $0$. Ainsi, pour chaque $a ∈ K$, il
existe $n ≥ 0$ — que l'on peut supposer minimal —
tel que $x^n a$ appartienne à $V$.
Nous allons vérifier que si $a ∈ B_r$, on peut majorer $n$
indépendamment de $a$ ; ceci suffit pour conclure.
Si $n>0$, $x^n a ∈ V-xV$. Soit $X$
l'adhérence de $V-xV$ ; c'est un compact, car fermé
dans $V$, ne contenant pas $0$, car $xV$ en est un
voisinage. Il en résulte qu'il existe $m_r>0$
tel que $\module_K(y) ≥ m_r$ pour tout $y ∈ X$.
En particulier, $\module_K(x^n a)=\module_K(a) \module_K(x)^n ≥ m_r$.
Comme $\module_K(a)$ est inférieur à $r$ et $\module_K(x)<1$,
l'entier $n$ est majoré indépendamment de $a$. CQFD.

\subsubsection{}
\label{Br système fondamental de voisinages}
Les $B_r$ forment un système fondamental de
voisinage de $0$ dans $K$ : pour tout voisinage $V$ de $0$,
il existe $r>0$ tel que $B_r ⊆ V$. Pour le montrer, on peut
supposer $V$ compact (par locale compacité de $K$). Soit $ρ$
un réel strictement supérieur à la borne supérieure
de $\module_K$ sur $V$ ; on a $V ⊆ B_ρ$. Soit $X$ l'adhérence
de $B_ρ-V$. C'est un compact ne contenant pas $0$. Soit $σ$
la borne inférieure de $\module_K$ sur $X$ ; on a $0<σ ≤ ρ$.
Considérons enfin $0<r<σ$ ; par construction, $B_r ∩ X= ∅$
et $B_r ⊆ V_ρ$ donc $B_r ⊆ V$.

\subsubsection{}
\label{module est valeur absolue}
Soit
\[
A_K=\sup_{\module_K(x) ≤ 1} \module_K(1+x) ,
\]
le réel $ ≥ 1$ dont l'existence est assurée par la continuité
de la fonction $\module_K$ (\ref{continuité de modK}) et la compacité
de $B_1$ (\ref{compacité des Br}).
Pour toute paire  $(x,y) ∈ K²$, on a l'inégalité
\[
\module_K(x+y) ≤ A_K \max\{\module_K(x),\module_K(y)\}
\]
et $A_K$ est le plus petit réel pour lequel ceci soit vrai.
Pour vérifier l'inégalité, on peut supposer
$x ≠ 0$ et $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, auquel
cas on a $\module_K(x+y)=\module_K(1+yx^{-1}) \module_K(x) ≤ A_K \module_K(x)$ car
$\module_K(yx^{-1})≤ 1.$

\subsubsection{}Soit $f_K$ la fonction $𝐍 → 𝐑_+$, $n ↦
\module_K(n)$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $f_K ≤ 1$
\item $A_K=1$.
\end{enumerate}
Si elles sont satisfaites, on dit que $K$ est
\textbf{ultramétrique} ; dans le cas contraire,
on dit que $K$ est \textbf{archimédien}, auquel
cas il existe un réel $c>0$ tel que $f_K(n)=n^c$
(\refext{AVD-D}{lemme clef va sur Q}).
Vérifions l'équivalence ci-dessus. Une récurrence immédiate montre que (ii) entraîne (i).
Considérons la réciproque. Soient $r$ un entier et $n=2^r$.
Par récurrence sur $r$, on a
\[
\module_K(∑_{i=1}^n x_i) ≤ A_K^r \max_i \module_K(x_i)
\]
pour tout choix d'éléments $x₁,…,x_n ∈ K$.
Quitte à considérer des éléments nuls, cette inégalité
est également valable pour $n ≤ 2^r$.
Appliquant cette observation à la somme
\[
(x+y)^{2^r}=∑_{i=0}^{2^r} \binom{2^r}{i} x^i y^{2^r-i},
\]
où $x$ et $y$ sont des éléments quelconques de $K$
et la somme de gauche contient $2^r+1 ≤ 2^{r+1}$ termes, on
obtient, grâce à l'hypothèse faite sur $f_K$,
\[
\module_K(x+y)^{2^r} ≤ A_K^{r+1} \max_i \{\module_K(x)^i  \module_K(y)^{2^r-i}\}.
\]
Si $\module_K(y) ≤ \module_K(x)$, on en tire
\[
\module_K(x+y) ≤ A_K^{(r+1)/2^r} \module_K(x),
\]
et l'inégalité ultramétrique par passage à la limite.

\subsubsection{}
\label{corps localement compacts archimédiens}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{archimédien}.
La restriction du module $\module_K$ au sous-corps premier $𝐐$
est $|⋅|_∞^c$, où $|⋅|_∞$ désigne la valeur absolue usuelle et $c>0$ est un réel.
D'autre part, la topologie induite sur $𝐐$ est celle donnée
par la valeur absolue : cela résulte de \ref{Br système
fondamental de voisinages}. L'adhérence $K₀$ de $𝐐$
dans $K$ est localement compacte donc complète : c'est donc
le complété de $𝐐$ pour la valeur absolue $|⋅|_∞$.
Le sous-corps fermé $K₀$ est donc isomorphe
(en tant que corps topologique) au corps
local premier $𝐑=𝐐_∞$. D'après \refext{AVD-D}{EVT localement
compact sur corps valué est de dimension finie}
l'extension $K \bo 𝐐_∞$ est nécessairement finie.
Algébriquement, $K$ est donc isomorphe à $𝐑$ ou $𝐂$.
Topologiquement, il en est de même car $K$
est homéomorphe à $𝐑^d$ où $d=[K:𝐑]$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT
sur corps valué complet}).

\subsubsection{}
\label{corps localement compacts ultramétriques}
Soit $K$ un corps localement compact \emph{ultramétrique}.
Posons $𝒪=\{x ∈ K: \module_K(x) ≤ 1\}$ ; c'est l'ensemble que
nous notions $B₁$ précédemment. Il est donc compact. D'autre
part, on a $𝒪+𝒪=𝒪$ car $K$ est ultramétrique. Ainsi, $𝒪$
est un sous-anneau compact de $K$ ; il est maximal
car — comme il résulte de la continuité de $\module_K$
et de la formule $\module_K(x^n)=\module_K(x)^n$ —
tout sous-ensemble relativement compact de $K$
est contenu dans $𝒪$. Le sous-ensemble $𝔪=\{x ∈ K:\module_K(x)<1\}$
de $𝒪$ est un idéal ; il est maximal car tout élément de $x ∈ 𝒪-𝔭$
est de module $1$ donc d'inverse $x^{-1}$ dans $𝒪$.
Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
de $𝒪$ modulo $𝔭$. L'ensemble $𝒪$ est recouvert par les ouverts
disjoints $\{x ∈ K:\module_K(x-x_i)<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
fini ; le corps résiduel $k=𝒪/𝔭$ aussi. Le quotient $k$ étant
fini donc séparé, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝒪$ donc
compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
$\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
tel que $𝔭=\{x:\module_K(x)<1-1/n\}$. La valeur
absolue $\module_K$ est donc discrète : son
image est un sous-groupe discret de $𝐑_+$.
Ainsi, $K$ est le corps des fractions d'un anneau de
valuation discrète de corps résiduel fini.
Il résulte des théorèmes de structure
\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
que $K$ est une extension finie d'un corps local premier.

\begin{remarque2}On pourrait également étudier la structure
des corps localement compacts ultramétriques
suivant la méthode de \ref{corps localement compacts archimédiens}.
Esquissons brièvement comment procéder.
En caractéristique nulle, on peut à nouveau considérer
l'adhérence du corps $𝐐$ et utiliser \refext{AVD-D}{Ostrowki}).
En caractéristique $p>0$, on peut remplacer $𝐐$
par le corps $ℚ=𝐅_p(ϖ)$ engendré par un élément $ϖ ∈ K$ tel
que $\module_K(x)<1$. Un tel élément est nécessairement transcendant
sur $𝐅_p$ sans quoi il serait une racine de l'unité,
de module $1$. Utilisant \refext{AVD-D}{k-valuations de k(X)},
il en résulte que l'adhérence de $ℚ$ dans $K$
coïncide avec son complété une \emph{valuation}
discrète à corps résiduel fini.
D'après \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet
parfait égale caractéristique}) un tel corps
topologique est isomorphe à un corps de séries formelles
$𝐅_q((u))$. Ce dernier est lui-même fini sur son sous-corps
fermé $𝐅_p((u))$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}
\label{CL conditions équivalentes démo}
Nous pouvons maintenant vérifier les équivalences
annoncées en \ref{corps locaux conditions équivalentes}.
\begin{itemize}
\item[(i) ⇒ (ii)] Soit $K$ un corps localement compact non
discret. Si $K$ est archimédien, il est isomorphe à $𝐑$
ou $𝐂$, cf. \ref{corps localement compacts archimédiens}.
Si $K$ est ultramétrique, c'est le corps des fractions d'un
anneau de valuation discrète à corps résiduel fini, muni
de sa topologie naturelle, cf. \ref{corps localement
compacts ultramétriques}.
\item[(ii) ⇒ (iii)] Soit $K$ un corps topologique
comme en (ii), ultramétrique. Il résulte des
théorèmes de structure
\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
que $K$ est fini sur un sous-corps local premier $K₀$.
Celui-ci est fermé dans $K$ car isomorphe à une droite
dans $K$ (cf. \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué complet}).
\item[(iii) ⇒ (i)] Les corps $𝐑$ et $𝐂$
étant localement compacts, il suffit de considérer
le corps des fractions $K$ d'un anneau de valuation
discrète complet $𝒪$ à corps résiduel fini.
Pour montrer que $K$, muni de la topologie déduite
de la valuation, est localement compact,
il suffit de vérifier que $𝒪$ est compact. (C'est
un voisinage de $0 ∈ K$.) Notons $𝔪$ l'idéal maximal
de $𝒪$. Cet anneau étant séparé et complet
pour la topologie $𝔪$-adique, c'est naturellement
un fermé du produit $∏_{n ≥ 1} 𝒪/𝔪^n$, où chaque anneau
quotient $𝒪/𝔪^n$ est muni de la topologie discrète.
Ces anneaux sont finis donc compacts ; il en est de même
de leur produit.
\end{itemize}
Parmi les précisions figurant dans l'énoncé
du théorème \ref{corps locaux conditions équivalentes},
seule la non-unicité de $K₀$ dans le cas de la
caractéristique positive est à vérifier.
Or, si $K₀$ est un sous-corps local premier fermé
dans $K$, le sous-corps $K₁=K₀^p=𝐅_p((t^p))$ de $K$
satisfait les mêmes conditions. (Que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p((t))$
résulte par exemple du fait que la dérivation par rapport à $t$
est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)

\subsubsection{}
\label{extension finie corps local est local}
Soit $L\bo K$ une extension finie de corps.
Si $K$ est un corps local, $L$ peut être muni d'une
topologie qui en fait un corps local ; elle est unique
et $K$ est fermé dans $L$.
Cela résulte de \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué
complet}. (Notons que $L$ est non discret
car son sous-corps $K$ ne l'est pas.)

De plus, le corps $L$ est isomorphe comme $K$-espace
vectoriel topologique à $K^d$ où $d=[L:K]$.
Il en résulte que la restriction à $K$ du
module $| ⋅ |_L$ est $| ⋅|_K^d$.

\subsection{Mesure de Tamagawa locales}
\label{mesures Tamagawa locales}

\subsubsection{}
Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc}
et une description explicite des mesures de Haar
sur le groupe additif d'un corps local.

\def\minus{\fontsize{5pt}{5pt}\selectfont}

\begin{enumerate}
\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle (au sens
de Riemann ou Lebesgue) $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}([0,1])=1$.
L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
topologique $K=𝐑$.
\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
(Si $z=a+ib$, c'est la mesure $2 dadb$.)
\item[ultram.] Soit $K$ un corps local ultramétrique et
soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ est localement
constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
d'après laquelle $\Hom_{\mathrm{cont}}(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
f=∑_{i=1}^r c_i 𝟭_{x_i+𝔪^e}.
\]
On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(𝟭_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$.
On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
à multiplication par une constante non nulle près.
(Cette constatation, élémentaire est également utile lorsque l'on
suit une approche dyadique pour définir l'intégration des fonctions
numériques ; cf. \cite{Elements@Colmez}.)
Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
\end{enumerate}

La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
précédents.

\begin{proposition2}
\label{module=module}
Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
termes, $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a|_K μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
c'est-à-dire
\[
|a|_K ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x)  dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
∀ f ∈ 𝒞_c(K,𝐂)
\]
pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
\end{proposition2}

Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
voir \cite[II. §1, prop. 2]{CL@Serre}.

\subsection{Caractères additifs d'un corps local}

\begin{définition2}
On appelle \textbf{caractère additif} d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ψ:K → 𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
\end{définition2}

Si $K$ est ultramétrique, l'hypothèse de continuité
revient à supposer le noyau de $ψ$ \emph{ouvert}.
% [Bushnell-Henniart] p. 10.
On note $\chap{K}$ l'ensemble des caractères additif d'un
corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.

\begin{définition2}
\label{niveau caractère}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
On appelle \textbf{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus grand
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
et $+∞$ sinon.
\end{définition2}

Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.

\subsubsection{}On suppose choisie une fois pour toute une orientation
sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=\sqrt{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 π i x)=e^{2 π i x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
De même, \mbox{$p>0$} étant implicitement fixé, on note $ψ_{𝐅_p}$
le caractère additif du corps fini $𝐅_p$ défini par $x ↦
𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.

\subsubsection{Exemples de caractères additifs des corps locaux}
\label{exemples caractères additifs locaux}
Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}_p),\] où $\{x\}_p$ désigne
l'unique rationnel $r$ (nécessairement dans $𝐙[1/p]$) tel que $0 ≤ r < 1$ et
$x-r ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x),\] resp.
\[𝐞_{p,t}:x ↦ ψ_{𝐅_p}(\Res_t(x dt)),\]
où $\Res_t(∑_{-n}^{+∞} a_i t^i dt)=a_{-1}$) est un caractère
additif du corps $K$, de niveau nul.

\begin{proposition2}
\label{caractère corps local}
Soit $K$ un corps local.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $𝐐_p$ ($p$
premier ou $p=∞$) est l'adhérence de $𝐐$ dans $K$, le
caractère additif $𝐞_{K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
le caractère additif $𝐞_{K,ω}: x ↦ ψ_{𝐅_p}(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
— où $\Res$ est le résidu défini en \refext{AVD-D}{résidu
forme différentielle formelle} — est non trivial.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i). L'extension $K\bo 𝐐_p$ étant séparable, la
trace $\Tr_{K\bo 𝐐_p}$ est surjective. Le caractère $𝐞_p$
étant non trivial, il en est de même de $𝐞_{K}$.
(ii). Même argument, joint au fait (\refext{AVD-D}{non nullité du résidu}) que
l'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
\end{démo}

On observe ici une différence fondamentale entre la caractéristique
nulle et la caractéristique positive : dans ce dernier cas,
il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.

\begin{proposition2}
\label{dual corps local}
Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
\[x ↦ \big([×x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
est un isomorphisme de groupes. De plus, si $ψ$ est
de niveau nul, l'image de $𝒪$ est l'ensemble des caractères triviaux
sur $𝒪$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
L'égalité $[×(x + x ′)]^*ψ=[×x]^*ψ × [×x ′]^* ψ$ résulte immédiatement
du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
évidente car $ψ$ est supposé non trivial ; si l'on suppose $ψ$ de
niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \module 𝔪^r$.
Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
l'ensemble des relèvements de $x_n \module 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
par $λ ⋅ y = y + ι(λ)$, où $ι : k ⥲ 𝔪^{n+1}/𝔪^n$
est l'isomorphisme défini par le choix de $ϖ$.
De même, pour chaque $n ≥ 0$ et chaque
caractère additif $θ_n$ de $𝔪^{-n}$,
l'ensemble des prolongements de $θ_n$ en un
caractère de $𝔪^{-(n+1)}$ est naturellement
un torseur sous le groupe $\chap{k}$ :
on fait agir $χ ∈ \chap{k}$ sur $θ$
par $χ ⋅ θ = θ × \chap{ι}(χ)$ où $\chap{ι}: \chap{k} ⥲
\chap{𝔪^{-(n+1)}/ 𝔪^{-n}}$ est un isomorphisme.
Soit maintenant $ψ ′$ un caractère additif de $k$
et montrons qu'il appartient à l'image du morphisme
considéré dans l'énoncé. On peut le supposer de niveau nul.
D'après ce qui précède, et le fait que $k$ et $\chap{k}$
ait même cardinal (fini), il existe pour chaque $n ≥ 0$
un élément $x_n ∈ 𝒪$, unique modulo $𝔪^n$,
tel que $[× x_n]^* ψ$ et $ψ ′$ coïncident sur $𝔪^{-n}$.
La suite $(x_n)$ converge dans $𝒪$ vers un élément $x$ pour lequel $[× x]^* ψ = ψ ′$,
comme on le voit immédiatement par restriction aux sous-groupes
$𝔪^{-n}$ ($n ≥ 1$), qui recouvrent $K$.
% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
% voir aussi \jap{井草}, « An introduction to the theory of
% local zeta functions », chap. 8.
\end{démo}

\begin{remarque2}
L'existence d'un caractère non trivial a été établie
ci-dessus ; pour une autre démonstration de ce fait,
cf. \cite[8.1.1]{introduction@Igusa}.
Signalons que la non-trivialité de $\chap{K}$ est également
un corollaire de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}

\begin{proposition2}
\label{niveau et différente}
Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
et de caractéristique résiduelle $p>0$.
On a l'égalité
\[
n(e_{K})=v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
\]
entre le niveau du caractère additif non trivial
$e_{K}$ défini en \ref{caractère corps local}
et la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}

En caractéristique, l'interprétation du niveau
de $e_{K,ω}$ est plus subtile.
Voir le théorème de Riemann-Roch pour un énoncé global.

\begin{proposition2}
\label{niveau reste nul si extension nette}
Soit $L\bo K$ une extension séparable nette
de corps locaux et soit $ψ$ un caractère de $K$.
Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de même
du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. %Plus généralement, […]
\end{proposition2}

Pour un extension au cas global et non nécessairement
net, cf. \ref{Riemann-Hurwitz}.

\begin{démo}
Trivial : cf. \refext{AVD-D}{}.
\end{démo}

\subsection{Transformation de Fourier locale}

\subsubsection{Espace de Schwartz}
\label{BS-local}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble des
fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont les conditions
suivantes de régularité et de décroissance à l'infini. Lorsque $K$ est
archimédien, on demande que $f$ soit une fonction $𝒞^∞$
de $d=[K:𝐑]$ variables réelles et que chacune de ses
dérivées partielles $g$ soit à décroissante rapide : pour tout $n ∈ 𝐍$,
la fonction $x ↦ |x|^n g(x)$ est bornée.
Lorsque $K$ est ultramétrique, on
pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \textbf{espace de Schwartz} ou
de \textbf{Bruhat-Schwartz}.

\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$
le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Dans le cas global, cette notation aura un autre sens ; cela ne devrait pas
prêter à confusion. Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]

\begin{remarques2}
\begin{enumerate}
\item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}
\[
∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}\big( (f ψ_x)^{-1}(λ)\big),\]
où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
localement constante à support compact $f ψ_x$.
Si \mbox{$K=𝐑$}, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}$ est la
transformation de Fourier usuelle, que nous noterons
aussi $ℱ_𝐑$, % notation XXX
\[
f↦ \big(x ↦ ∫_𝐑 f(t)\exp(-2 π i tx) dt\big).
\]
\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
\end{enumerate}
\end{remarques2}

\begin{proposition2}
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-(r+n(ψ))}}.
\]
En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([+a]^*f)=ψ_{-a} ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$,
où $[+a]^*f$ désigne la fonction $y ↦ f(y+a)$ ;
\item $ψ_a f$ appartient à $𝒮(K)$ et $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(ψ_a f)=[+a]^* ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$.
\end{enumerate}
\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [×(-1)]^*,
\]
où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \textbf{auto-duale}
(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{-½n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $μ_{ψ_a}=\sqrt{|a|} μ_ψ$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\subsubsection{}
\label{dépendance Fourier local en caractère}
On note $ℱ_ψ$ la transformation de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$. Il résulte immédiatement de (vi)
que l'on a
\[
ℱ_{ψ_a}(f) = |a|^{½}[×a]^*\big(ℱ_ψ(f)\big).
\]

\begin{démo}
Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
par exemple \cite[chap. VII, §6]{distributions@Schwartz}
ou \cite[chap. VII, §1]{analysisI@Hormander}. La détermination
des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une
gaussienne\footnote{On veut montrer que $∫_𝐑 e^{-2 π i xy}e^{-πx²}dx=e^{-πy²}$.
Or, le terme de gauche est une fonction $g$ de $y$ satisfaisant
l'équation différentielle $g′(y)=-2πyg(y)$. On a donc $g(y)=C e^{- π y²}$,
où $C=∫_𝐑 e^{-π x²}dx>0$. Enfin, par Fubini et changement de variables, on a
$C²=∫_{𝐑²} e^{-π (x²+y²)}dxdy= 2π ∫_{𝐑^+} e^{-π ρ²}ρdρ=1$.}.
Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})(x)=∫_{𝔪^r} ψ(xy) d
μ^{\mbox{\minus $+$}}(y).
\]
Si $x 𝔪^r$ est contenu dans $𝔪^{n(ψ)}$, l'intégrande
est constante égale à $1$ de sorte que l'intégrale
vaut $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝔪^r)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)/q^r$.
(Voir p. ex. \ref{module=module} pour cette dernière égalité.)
Dans le cas contraire, l'intégrale est nulle. En effet,
on a la généralisation suivante de
\refext{Fin}{variante-orthogonalite-caracteres} :
pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
tout $g ∈ G$ (car $\module(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$. (Notons que, comme signalé
ci-dessus, l'intégrale considérée ici est une somme finie : on peut
donc ramener le calcul du lemme d'orthogonalité pour les groupes finis
sus-mentionné.)
(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
soit stable par multiplication par les caractères $ψ_a$ est
un cas particulier du fait général suivant : le produit
d'une fonction localement constante par une fonction localement
constante à support compact est localement constante à support
compact.
(i) On a vu en \ref{mesures Tamagawa locales} que l'espace vectoriel $𝒮(K)$
est engendré par les fonctions caractéristiques $𝟭_{a + 𝔪^r}=[+a]^*[× ϖ^r] 𝟭_{𝒪}$, $a ∈ K, r ∈ 𝐙$.
La stabilité de l'espace de Bruhat-Schwartz par la transformation de
Fourier résulte immédiatement du calcul explicite (ii), de la formule (iii.b)
et du fait que $𝒮(K)$ est stable par multiplication $ψ_{-a}$ (iii.c).
(iv). Notons $ℱ$ pour $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$. D'après ce qui
précède on a les égalités :
\[
\begin{array}{rcl}
ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r}))	& = & [-a]^*ℱℱ(𝟭_{𝔪^r}) \\
					& = & [-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{-n(ψ)-r}}) \\
					& = & \frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}[-a]^* 𝟭_{𝔪^r} \\
					& = & c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
\end{array}
\]
où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{-n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
La conclusion en résulte par linéarité des endomorphismes $ℱ²$ et $[×(-1)]^*$.
(v) D'après ce qui précède, un mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
auto-duale relativement à un caractère additif non trivial $ψ$
si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{-n(ψ)}{2}}$.
L'existence et l'unicité en découle.
(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=n(ψ)+v(a)$ et de (v).
\end{démo}

Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
dans $𝐙[1/ \sqrt{q}]$ si le niveau de $ψ$ est impair.

\begin{exemple2}
\label{exemple Fourier et Gauss}
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
$f_χ(x)=χ(x \module p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙=𝐅_p$
et on étend $χ$ à $𝐅_p$ en la prolongeant par zéro.
On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
\[
ℱ_{𝐞_p}(f_χ)=\frac{G(χ)}{p} [×p]^* f_{\sur{χ}},
\]
où $G(χ)$ est la somme de Gauß
\[
∑_{x ∈ 𝐅_p} χ(x) \exp(2 π i \frac{x}{p}).
\]
Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez} et \ref{facteur epsilon ultramétrique},
\emph{infra}.
\end{exemple2}

%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
%près par une unité.

Abordons maintenant la théorie multiplicative.

\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps local}

\subsubsection{Structure de $K^×$}
\label{structure de Kétoile}
Soit $K$ un corps local.
S'il est ultramétrique, on fixe une uniformisante $ϖ$.
Tout élément $x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
\[
x=x₁ ρ,
\]
où $x₁$ appartient au groupe \emph{compact} $𝒰=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$,
et $ρ>0$ si $K$ est archimédien ou $ρ ∈ ϖ^𝐙$ si $K$ est ultramétrique.
De plus, $x ↦ x₁$ est un épimorphisme continu, qui coïncide avec l'identité
sur $𝒰$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
est isomorphe au produit direct $𝒰 × K^×_{>0}$,
où l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$
(resp $ϖ^𝐙$) de $K^×$. (Notons que dans le cas
ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$ et $𝒰$
égal à $𝒪^×$.)

\begin{définition2}
\label{quasi-caractère}
On appelle \textbf{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \textbf{non
ramifié} ou \textbf{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
compact $𝒰=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}

Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}. (Si $K^×$ était compact, tout quasi-caractère serait un caractère.)

\subsubsection{}
\label{définition conducteur}
Supposons $K$ ultramétrique. Les sous-groupes $1+𝔪^n$ de $𝒰$ forment un système fondamental
de voisinages (compacts ouverts) de l'unité.
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ de $K$
est donc trivial sur l'un d'entre eux.
On appelle \textbf{conducteur} de $χ$,
noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention d'écriture que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
si il est de conducteur nul. Traditionnellement, on note
aussi $𝔣_χ$ l'\textbf{idéal conducteur} $𝔪^{a(χ)}$ d'un
quasi-caractère $χ$.

\subsubsection{}
\label{notation omega-s et remarque sur caractères}
Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
multiplicatif net. On a $ω_s=ω₁^{s}$, où $ω₁:x ↦ |x|$ est à
valeurs dans $𝐑^×_+$. Le quasi-caractère $ω_s$ est un \emph{caractère}
si et seulement si $s ∈ 𝐑$.

\begin{proposition2}
\label{description quasi-caractères}
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local
est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
où $χ₁$ est un caractère de $𝒰$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
modulo $2πi /\!\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
(resp. archimédien).
Si $K$ est archimédien, le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^{-a}$,
pour un unique entier $a$ appartenant à $𝐙$ si $K=𝐂$ et à $\{0,1\}$ si $K=𝐑$.
Si $K$ est ultramétrique, le caractère $χ₁$ se factorise de façon unique à travers
un caractère du groupe fini $𝒰/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal conducteur de $χ$.
\end{proposition2}

Si $K$ est archimédien, l'entier $a$ tel que $χ₁=(u ↦ u^{-a})$ est appelé \emph{conducteur} de $χ$.
Les quasi-caractères $ω_s$ sont de conducteur nul, aussi
bien dans le cas ultramétrique qu'archimédien. Si $K$ est réel, le quasi-caractère $x↦ x^{-1}$ n'est autre
que $\mathrm{sgn} ⋅ ω_{-1}$, où $\mathrm{sgn}(x) ∈ \{±1\}$ est le signe du réel non nul $x$.

\begin{démo}
Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|𝒰}$ ; c'est un
caractère de $𝒰$ et, par construction, le quasi-caractère
multiplicatif $x ↦ χ(x) χ₁(x₁)^{-1}$ est net. Il suffit
donc de démontrer que tout quasi-caractère net $χ$ est de la
forme $ω_s$. Par définition, $χ$ se factorise
à travers le quotient $K^× ↠ K^×_{>0}$.
Si $K$ est ultramétrique, ce dernier groupe
est isomorphe à $𝐙$ et $χ=ω_s$ dès lors
que le nombre complexe non nul $χ(ϖ)$
est égal à $|ϖ|^s=q^{-s}$.
Si $K$ est archimédien, il faut vérifier que tout morphisme
continu $f:𝐑^×_{>0} → 𝐂^×$ est de la forme $ρ ↦ ρ^s$ pour un
unique $s ∈ 𝐂$. Si $f$ est à valeurs réelles positives
(resp. de module unité) cela résulte par passage au logarithme du fait que
toute fonction additive continue $𝐑 → 𝐑$
(resp. $𝐑 → 𝐑/𝐙$) est une homothétie (resp. se relève en une
homothétie). Le cas général en résulte par un dévissage
immédiat. % références ?
\end{démo}

\begin{lemme2}
\label{quasi-caractères Rplusétoile}
Les quasi-caractères de $𝐑_{>0}$ sont de la forme $t↦ t^s$,
pour un unique $s ∈ 𝐂$.
\end{lemme2}

\begin{lemme2}
\label{quasi-caractères Z}
Soit $r>0$. Les quasi-caractères de $r^𝐙$ sont de la forme
$t↦ t^s$, où $s ∈ 𝐂$ est bien défini modulo $2 π i / \log(r)$.
\end{lemme2}

\begin{définition2}
\label{partie réelle quasi-caractère local}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \textbf{partie
réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}

\subsubsection{}
\label{notation quasi-caractère dual}
À tout quasi-caractère $χ$, on associe
le quasi-caractère $\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$. On a $\Re(\chap{χ})=1-\Re(χ)$.

\subsection{Transformation de Mellin}\footnote{Nous conseillons au lecteur
d'omettre cette section en première lecture. Elle n'est pas utile
avant la démonstration des résultats
énoncés en \ref{énoncé équation fonctionnelle zêta}.}

\subsubsection{Transformation de Mellin réelle : généralités}
\label{transformation Mellin réelle}
Afin de motiver les considérations qui vont suivre, nous
esquissons ci-dessous la définition de la transformation
de Mellin usuelle et son application à l'étude de la
fonction zêta. Pour de plus amples développements,
incluant la formule d'inversion, voir par exemple
\cite[§1.5]{Fourier@Titchmarsh}.
Soit $f : ]0,+∞[ → 𝐑$ une fonction, disons continue.
Si $f$ n'est pas trop singulière en $0$,
par exemple si c'est un $O(t^{A})$, la fonction
\[
ζ_{≤1}(f,s)=∫₀¹ f(t)t^{s} \frac{dt}{t}
\]
est holomorphe sur $\Re(s)>-A$.
Lorsque $f(t) ∼ ∑_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}$
en $0$\footnote{Cette notation signifie que
pour chaque entier $n ≥ 1$, on a
$f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k} = O(t^{α_n})$.}
— où la suite $(α_k)$ des exposants est strictement croissante et tend vers $+∞$ —
on peut pour chaque $n$ écrire
\[
ζ_{≤ 1}(f,s)=
∫₀¹(f(t)-∑^{n-1}_{k ≥ 0} a_k t^{α_k}) t^{s} \frac{dt}{t}
+ ∑_{k=0}^{n-1} \frac{a_k}{α_k + s},
\]
où le premier terme est, d'après ce qui précède,
holomorphe sur $\Re(s)>-α_n$.
Il en résulte que $ζ_{≤ 1}(f)$ se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$
à pôles simples en chaque $-α_k$, de résidu $a_k$.
On peut bien entendu procéder en même en l'infini
et poser
\[
ζ_{ ≥ 1}(f,s)= ∫₁^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t}.
\]
Lorsque les deux fonctions $ζ_{≤ 1}(f)$ et $ζ_{≥1}(f)$
se prolongent en des fonctions méromorphes sur un domaine
commun, on définit la \textbf{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
de $f$ comme la fonction
\[
ζ(f,s)=ζ_{≤ 1}(f,s) + ζ_{ ≥ 1}(f,s) = \text{« } ∫₀^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t} \text{ »}.
\]

\begin{remarque2}
Comme on l'a vu en \ref{notation omega-s et remarque sur caractères},
les caractères du groupe topologique localement compact $G=𝐑^×_+$
ne sont autres que les $t↦ t^{s}$ pour $s$ imaginaire
pur. D'autre part, la mesure $\frac{dt}{t}$ est une mesure de Haar
sur $G$ (voir \ref{sorites mesures multiplicatives locales}).
Ainsi, la transformation de Mellin, du moins restreinte à des
droites verticales de $𝐂$, peut être vue comme un cas particulier
de transformation de Fourier générale (cf. p. ex., \BourbakiTS{II.§1.nº2}
ou \cite[chap. VII]{introduction@Katznelson}.
Notons également que ce lien est également visible en faisant le changement de variable
$t=e^x$, qui échange transformation de Mellin et transformation de Fourier
sur $𝐑$. %Dym, McKean, « Fourier… », § 2.6 p. 103
\end{remarque2}

\subsubsection{Exemple}
\label{exemple Mellin réel}
Si $λ$ est un réel strictement positif,
on a $ζ(t↦  e^{-λt},s)=Γ(s) λ^{-s}$, fonction méromorphe
sur $𝐂$, où
\[
Γ(s)= ∫_0^{+∞} e^{-t} t^{s-1} dt\]
est la fonction Gamma usuelle.
Cette formule est également valable lorsque $λ=0$ :
on a $ζ(𝟭)=0$, où $𝟭$ désigne ici la fonction constante
égale à $1$. En effet, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,s)=\frac{1}{s}$
et $ζ_{≥1}(𝟭,s)=-\frac{1}{s}$. (Notons cependant
que l'intégrale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge
pour aucune valeur de $s$.)
On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de
\[
β(t)=∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
t^{k-1},
\]
où la seconde égalité n'est autre que la définition
des nombres de Bernoulli, est la fonction $Γζ$
et celle de
\[
ψ(t)=∑_{k ≥ 1} e^{-π k² t}
\]
la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$.
(Les notations $β$ et $ψ$ ne sont pas standards.) %% standard ?

\subsubsection{}
\label{équation-fonctionnelle-thêta}
Notons que la fonction $Γ ζ$  n'est \emph{a priori} définie
que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après
ce qui précède en une fonction méromorphe
sur $𝐂$, ayant des pôles simples de résidus explicites.
Observons que la fonction Gamma a pour uniques pôles (simples) les entiers
négatifs, comme il résulte immédiatement de l'identité
$Γ(s+1)=s Γ(s)$ ($\Re(s)>0$) et que $Γ(1)=1$. Ceci permet de
calculer le résidu en $s=1$ de $ζ$ et la valeur de cette
fonction en les entiers négatifs ou nuls
(cf. \ref{propriétés zêta Euler-Riemann} \emph{infra}).
D'autre part, il résulte de la formule de Poisson
\[
∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n)
\]
appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que
$θ(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} θ(\frac{1}{t})$ où
$θ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$.
En appliquant la transformation de Mellin à cette
équation fonctionnelle (due à Jacobi),
on trouve immédiatement $ζ(θ,s)=ζ(θ,½-s)$ et de même pour $ψ$
car $ζ(𝟭)=0$. On a donc démontré le théorème suivant,
dont l'énoncé et la démonstration forment un prototype des
résultats que nous souhaitons démontrer dans ce chapitre.

% Très classique.  Référence utilisée : Zagier, « The Mellin
% … ».

\begin{théorème2}
\label{propriétés zêta Euler-Riemann}
La fonction zêta
\[
ζ(s)=∑_{n} n^{-s}
\]
s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$
ayant un unique pôle, simple de résidu $1$, en $s=1$
et pour chaque $n ≥ 0$, on a
\[
ζ(-n) = (-1)^n \frac{B_{n+1}}{n+1}.
\]
De plus, la fonction $\sur{ζ}(s)=ζ(s) π^{-s/2} Γ(s/2)$
satisfait l'équation fonctionnelle
\[
\sur{ζ}(s)=\sur{ζ}(1-s).
\]
\end{théorème2}

En particulier $ζ(-1)=\text{« }1+2+3+4+5+\cdots\text{»}=-\frac{1}{12}$ car
$B₂=⅙$.

\begin{remarque2}
Certains auteurs considèrent plutôt $M(f,s)=Γ(s)^{-1}ζ(f,s)$ (cf. \cite[VII.2]{Elements@Colmez}).
Supposons que $f$ n'a pas de singularités :
elle est $𝒞^∞$ sur $𝐑_+$ (c'est-à-dire restriction d'une fonction $𝒞^∞$ sur un
ouvert $]-ε,+∞[$, pour un $ε>0$) et à décroissance rapide à l'infini, ainsi que toutes ses dérivées.
Dans ce cas, la fonction holomorphe $M(f,s)$, définie \emph{a priori} sur le
demi-plan $\Re(s)>0$, se prolonge en une fonction holomorphe
sur $𝐂$ en vertu de l'égalité
\[
M(f,s)=- M(f′,s+1),
\]
obtenue par intégration par partie.
On en déduit que $M(f,0)=-M(f′,1)=-∫₀^{+∞} f′=f′(0)$ et, plus généralement,
les égalités
\[
M(f,-k)=(-1)^k f^{(k)}(0)
\]
pour chaque $k ∈ 𝐍$. Hormis l'équation fonctionnelle, on retrouve les résultats
du théorème précédent en constatant que $β(t)=\frac{1}{t}f(t)$, où
$f(t)=\frac{t}{e^t-1}=∑_n \frac{B_n}{n!}t^n$,
si  bien que la fonction zêta de Riemann $ζ(s)=ζ(β,s)=ζ(f,s-1)$ coïncide avec
le produit $Γ(s-1)M(f,s-1)$.
\end{remarque2}


\begin{remarque2}
Signalons un argument élémentaire conduisant
à l'existence d'un pôle simple en $s=1$ de
la fonction zêta.
Soit en effet,
\[
ζ^⋆(s):=(1-2 ⋅ 2^{-s})ζ(s),
\]
aussi notée parfois $η(s)$ (« fonction éta de Dirichlet »).
Pour chaque réel $s>1$, on a l'égalité
\[
ζ^⋆(s)=∑_n n^{-s} -2 ∑_n 2^{-s} n^{-s}=-∑_n (-1)^n n^{-s} :
\]
c'est la \emph{fonction zêta alternée}.
Le terme de droite étant convergeant dès que $s>0$
(série alternée), on peut étendre $ζ^⋆$ à $𝐑_{>0}$ et l'on a
$ζ^⋆(1)=\log(2)$. On en déduit que la fonction zêta
de Riemann a un pôle simple en $s=1$ et se prolonge à $\{s:s>0\}$.
\end{remarque2}

\begin{exercice2}
Montrer, à la manière d'Euler, que
$ζ^⋆(0)=\frac{1}{1+x}|_{x=1}$ (resp. $ζ^⋆(-1)=\frac{d}{dx}(\frac{x}{1+x})|_{x=1}$)
et en déduire une autre démonstration des formules
\[
ζ(0)=-½
\]
et
\[
ζ(-1)=-\frac{1}{12}.
\]
Pour une présentation moderne de la « démonstration »
d'Euler de l'équation fonctionnelle,
cf. \cite[II.2.3]{Divergent@Hardy}.
\end{exercice2}
% cf. aussi exposé de Gross à Orsay (SAGA).

\subsubsection{Mesures multiplicatives}
\label{sorites mesures multiplicatives locales}
Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive sur
un corps local $K$. Rappelons que l'on note $q$ le cardinal du corps résiduel
lorsque $K$ est ultramétrique ; convenons ici de poser $q=∞$
si $K$ est archimédien.
La mesure sur $K^×$ définie par
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
où l'on convient que $∞^{-1}=0$, est une mesure de Haar (cf.
§\ref{généralités sur mesures}) : si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
la fonction $f ω_{-1}$, ou plutôt son prolongement
$\gtilde{f ω_{-1}}$ par $0$ en zéro,
appartient à $𝒞_c(K,𝐂)$ et la forme linéaire
\[
f ↦  \frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(\gtilde{f ω_{-1}})=
\frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}} f(x)|x|^{-1} d μ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
\]
est une mesure de Radon positive, invariante par
multiplication (cf. \ref{module=module}).
On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ la mesure de Haar
multiplicative associée à la mesure de Tamagawa $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{mesures Tamagawa locales}).

\begin{proposition2}
Si $K$ est ultramétrique, on a l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒪^×)=1$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
En effet, le terme de gauche est, par construction, égal à
$\frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)$.
Or, $𝒪^×$ est extension du groupe $k^×$ (de
cardinal $q-1$) par le groupe $1+𝔪=1+ϖ 𝒪$. On a donc
$μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)=(q-1) μ^{\mbox{\minus
$+$}}(1+𝔪)$. D'autre part, $μ^{\mbox{\minus $+$}}(1+𝔪)=μ^{\mbox{\minus
$+$}}(𝔪)=q^{-1} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)$, où
la dernière égalité résulte de \ref{module=module}.
\end{démo}

\subsubsection{Fonction zêta locale : définition}
\label{fonction zêta locale}
Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et soit $ψ$ un caractère additif de $K$.
Pour toute fonction $f$ sur $K$ telle que $f_{|K^×} ⋅ χ$ soit
intégrable, on pose :
\[
ζ_ψ(f,χ)= ∫_{K^×} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
\]
où l'on rappelle que la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$
n'est autre que la mesure de Haar associée (selon
le procédé expliqué en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
La dépendance en $ψ$ est triviale : si $ψ ′$ est un autre
caractère additif non trivial, il existe une constante non
nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ ; si les
niveaux $n(ψ)$ et $n(ψ ′)$ sont égaux, $c=1$ (cf. \emph{loc. cit.}).
Si $ψ$ est de niveau nul, c'est-à-dire si $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus$×$}}₁$,
nous nous autorisons à l'omettre des notations.
Pour étudier la dépendance en $χ$ dans les familles $χ ω_s$
de ces transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s).
\]
(On a alors $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(f,χ,0)$.)

\begin{remarque2}
\label{quasi-caractères=variété}
Plutôt que de fixer $χ$ et introduire la variable complexe $s$
on pourrait — à l'aide de la proposition \ref{description quasi-caractères} —
munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
de variété analytique (cf. p. ex. \cite[§2.1]{Weil2@Deligne}, \cite[VII.§3]{BNT@Weil}).
\end{remarque2}

\subsubsection{Cas archimédien réel : interprétation}
\label{fonction zêta archimédienne}
Si $K=𝐑$ et $ψ=𝐞_∞$ (\ref{exemples caractères additifs locaux}),
la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$ est la mesure
de Lebesgue usuelle (cf. \ref{Fourier et mesure locaux}) et l'on a :
\[
ζ_{𝐞_∞}(f,1,s)=ζ(f,s),
\]
où le terme de droite est la transformée de Mellin réelle de $f$
considérée en \ref{transformation Mellin réelle}
et $1$ désigne le caractère multiplicatif trivial.

\subsubsection{Cas archimédien : calculs}
\label{Mellin local archimédien}
Supposons maintenant le corps local $K$ archimédien quelconque.
Les gaussiennes
\[
g_𝐑(x)=\exp(- π xx) ∈ 𝒮(𝐑)
\]
et
\[
g_𝐂(z)=\frac{1}{π} \exp(- 2 π z \sur{z}) ∈ 𝒮(𝐂),
\]
jouent un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ dans le cas ultramétrique.
Pour chaque nombre complexe $s$ de partie réelle strictement
positive, on a
\[
ζ_𝐑(s):=ζ(g_𝐑,1,s)=π^{-½s}Γ(½s)
\]
et
\[
ζ_𝐂(s):=ζ(g_𝐂,1,s)=2(2 π)^{-s} Γ(s).
\]
Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
$x=\sqrt{r}$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π x²} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}.
\]} ou $x=\sqrt{r} e^{i θ}$ dans le cas
complexe\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐂(s)
:=\frac{1}{π}∫_{𝐂^×} e^{-2 π z \sur{z}} |z|_𝐂^s \frac{2dxdy}{|z|_𝐂}
=\frac{1}{π} ∫_{𝐑^× × [0, 2 π[} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ
=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑^×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}.
\]}.
À une constante multiplicative près dépendant des auteurs, ces fonctions
zêta locales sont appelées « facteurs Gamma » et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
On suit ici le choix de P. Deligne (\cite[§3.2]{constantes@Deligne}) ;
voir aussi \cite[§3.1]{NTB@Tate}.
Pour une variante, voir par exemple \cite{Facteurs@Serre}.
Notons qu'avec notre convention, on a la \emph{formule de duplication} :
\[
ζ_𝐂(s)=ζ_𝐑(s)ζ_𝐑(s+1).
\]
(Cf. P. Deligne, \emph{op. cit.}, prop. 3.8 pour une interprétation.)
% attribuée à Legendre par Neukirch.

\subsubsection{Cas ultramétrique : réécriture}
\label{Mellin et Z}
Supposons maintenant $K$ ultramétrique et considérons pour chaque $n ∈ 𝐙$ le
translaté $𝒰_n$ du groupe des unités $𝒰=𝒪^×$ par $ϖ^n$ :
\[
𝒰_n=\{x ∈ K^×:|x|=q^{-n}\}=\{x ∈ K^×:v(x)=n\}.
\]
La restriction de $f$ au \emph{compact} $𝒰_n$ est
localement constante donc intégrable et l'on pose
\[
z_ψ(f,χ)_n=∫_{𝒰_n} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ
\]
Pour $n ≪ 0$, $𝒰_n$ ne rencontre par le support de $f ∈ 𝒞_c(K)$ ; ce coefficient est alors nul.
On peut donc définir la série de Laurent formelle
\[
Z_ψ(f,χ,X)=∑_{n ∈ 𝐙} z_ψ(f,χ)_n X^n ∈ 𝐂((X)).
\]
Soit $ρ_{f,χ} ≥ 0$ le rayon de convergence de la série
$Z_ψ(f,χ,X)$. Le quasi-caractère $ω_s$ étant constant de
valeur $q^{-ns}$ sur $𝒰_n$, l'intégrale $ζ_ψ(f,χ,s)$
est absolument convergente et holomorphe sur le
domaine $\Re(s)> -\log_q(ρ_{f,χ})$ et l'on a
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s}).
\]

\subsubsection{Cas ultramétrique : calculs}
\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
Toute fonction dans $𝒮(K)$, où $K$ est local ultramétrique, étant combinaison linéaire de
fonctions caractéristiques $f=𝟭_{x+𝔪^e}$ ($x ∈ K, e ∈ 𝐙$),
le calcul de fonctions zêta locales ultramétriques se ramène
au calcul des séries $Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$, relativement
à un caractère additif que l'on peut supposer de niveau nul. Nous allons
distinguer les deux cas $x ∈ 𝔪^e$, c'est-à-dire $x+𝔪^e=𝔪^e$, et $x ∉ 𝔪^e$,
c'est-à-dire $f(0)=0$.

Il est immédiat que $z(𝟭_{𝔪^e},χ)_n$ vaut $χ(ϖ)^n ⋅ ∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁$
si $n ≥ e$ et est nul sinon. (On rappelle que $χ₁$ est la restriction
à $𝒰$ de $χ$.) D'autre part, il résulte de l'orthogonalité des caractères
et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒰)=1$ que l'intégrale
$∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ vaut $1$ si $χ₁$ est trivial, c'est-à-dire
si $χ$ est net, et $0$ sinon. Ainsi,
\[
Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)X} & \text{si $χ$ est net}\\
\displaystyle 0  & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
Dans le premier cas, le rayon de convergence de $Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)$
est $|χ(ϖ)|^{-1}=q^{-\Re(χ)}$.

Considérons maintenant le second cas : l'élément $x$ de $K$ n'appartenant pas
à $𝔪^e$, c'est-à-dire tel que $r=v(x)<e$. Tout élément de $x +
𝔪^e$ est de valuation $r$. D'autre part, un élément
de $x+𝔪^e$ s'écrit de manière unique sous la forme
$x(1+y)$ où $y ∈ 𝔪^{e-r}$. Il en résulte immédiatement
que $z(𝟭_{x+𝔪^e},χ)_n=χ(x) ⋅ ∫_{1+𝔪^{e-r}} χ₁  dμ^{\mbox{\minus
$×$}}₁$ si $n =r$ et $0$ sinon. Il résulte à nouveau de
l'orthogonalité des caractères et de
l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(1+𝔪^i)=
\frac{q^i}{1-q^{-1}}$ ($i ≥ 1$) que
$Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$ vaut $\frac{χ(x) q^e }{1-q^{-1}} (\frac{X}{q})^{r}$
si ${χ₁}_{| 1+𝔪^{e-r}}=1$ et $0$ sinon.

\begin{remarque2}
\label{Matchett}
La formule
\[
ζ(𝟭_𝒪,χ \text{ net},s)=\frac{1}{1-χ(ϖ)|ϖ|^s}
\]
rappelle sans équivoque un facteur eulérien, analogue
des facteurs Gamma considérés ci-dessus.
(Rappelons que la notation sous-entend que
la caractère additif $ψ$ utilisé est de niveau nul.)
Généralement attribuée à Margaret \textsc{Matchett} (thèse « On the Zeta Function for
Ideles », 1946), cette formule est un des points de départ de la méthode
— due indépendamment à \textsc{Iwasawa} Kenkiti et John \textsc{Tate} — pour
démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
\end{remarque2}

\begin{théorème2}
\label{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non
trivial et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'intégrale
$∫_{K^×} f χω_s  d μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ$ est absolument
convergente et définit une fonction holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$.
Si de plus $f$ est nulle au voisinage de $0$, l'intégrale est
absolument convergente et holomorphe sur $𝐂$.
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, la fonction
$ζ_ψ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Il existe une fonction méromorphe non nulle $s ↦ γ_ψ(χ,s)$ telle que,
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'équation fonctionnelle
suivante soit satisfaite :
\[
γ_ψ(χ,s)ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Rappelons (\ref{notation quasi-caractère dual}) que
$\chap{χ}=χ^{-1} ω₁$ est de partie réelle $1-\Re(χ)$.
On a a trivialement
\[
ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},s)=ζ_ψ(ℱ_ψ(f),χ^{-1},1-s).
\]

La démonstration du théorème occupe les trois paragraphes suivants.
Pour l'analogue global, cf. \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
\subsubsection{}
Si $K$ est ultramétrique, il résulte des
calculs effectués en \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
que $ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s})$ où $Z_ψ(f,χ,X)$ est
une fraction rationnelle dont l'ensemble des pôles
est inclus dans $\{0,χ(ϖ)^{-1}\}$.
Les résultats (i) et (ii) sont alors évidents.
(L'holomorphie sur $𝐂$ lorsque $f(0)=0$ a déjà été
constatée.) Démontrons (i) dans le cas archimédien.
L'intégrabilité de la fonction sur l'ouvert $|x|>1$ résulte
immédiatement du fait que $f$ est à décroissance rapide en
l'infini. Pour démontrer l'intégrabilité sur le fermé $|x| ≤ 1$,
on se ramène à la convergence de l'intégrale
\[
∫_{|x|<1} ω_σ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}
\]
pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. Si $K=𝐑$, cette convergence
est classique ; le cas $K=𝐂$ s'y ramène en utilisant
des coordonnées polaires. (Si $f$ est nulle
au voisinage de l'origine, on a convergence pour tout $s$.)
L'holomorphie résulte d'un théorème classique de dérivation
sous le signe somme (cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}).
Nous verrons ci-après que l'équation fonctionnelle et (i)
entraînent formellement l'existence d'un prolongement
méromorphe des fonctions zêta.
%Il résulte de (i) que l'équation fonctionnelle
%entraîne l'existence d'un prolongement méromorphe.
%En effet, la fonction $ζ_ψ(χ,f,s)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$
%et égale sur la bande $-\Re(χ)<\Re(s)<1-\Re(χ)$ à la
%restriction de la fonction $γ_ψ(χ,s)^{-1}ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$,
%méromorphe sur le demi-plan $\{s:\Re(-s)>-\Re(\chap{χ})\}=
%\{s:\Re(s)<1-\Re(χ)\}$ d'après (i) et la non nullité du
%facteur $γ$.

\subsubsection{}Pour démontrer l'équation fonctionnelle,
nous allons commencer par établir une formule de « $ζ$-Plancherel ».
Supposons $0<\Re(χ)<1$ et considérons deux fonctions $f,g ∈ 𝒮(K)$.
Alors, on a l'égalité :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ),
\]
où l'on note pour simplifier— et ce jusqu'à la fin de la démonstration — $ζ$
(resp. $\chap{f}$, etc.) pour $ζ_ψ$ (resp. $ℱ_ψ(f)$, etc.).
En effet, le terme de gauche se réécrit
\[
∫_{K^× × K^×} f(x)\chap{g}(y)χ(x y^{-1}) |y|  d
{μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}.
\]
On peut voir cette égalité comme un cas particulier,
mais crucial, du théorème de Fubini appliqué
à une fonction de deux variables séparées,
c'est-à-dire de la forme $(x,y)↦ (φ₁ ⊠ φ₂)(x,y)=φ₁(x)φ₂(y)$.
On effectue le changement de variables $(x,y) ↦
(x,xy)$ ; il préserve la mesure de Haar produit
${μ^{\mbox{\minus $×$}}}^{⊠2}$. Il résulte
alors du théorème de Fubini que l'on a :
\[
ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})=∫_{K^×}h_{f,g}(y)χ(y^{-1})|y| d μ^{\mbox{\minus $×$}}(y)
\]
où
\[
h_{f,g}(y)= ∫_{K^×} f(x)\chap{g}(xy)|x| d μ^{\mbox{\minus
$×$}}(x)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K} f(x)\Big(∫_K g(z) ψ(xyz)  d
μ^{\mbox{\minus$+$}}(z)\Big)  d μ^{\mbox{\minus$+$}}(x).
\]
La seconde égalité résulte de la définition de la transformation de
Fourier et \ref{sorites mesures multiplicatives locales}.
Enfin, une seconde application du théorème de Fubini donne
\[
h_{f,g}(y)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K^× × K^×} f(x) g(z) ψ(xyz) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x) d μ^{\mbox{\minus$+$}}(z)
= h_{g,f}(y).
\]
L'expression $ζ(f,χ)ζ(\chap{g},\chap{χ})$ étant symétrique
en $f$ et $g$, elle est nécessairement égale à $ζ(\chap{f},\chap{χ})ζ(g,χ)$.

\subsubsection{}Supposons dorénavant $\Re(χ)=½$, comme il
est loisible de le faire. Il existe une fonction $g ∈ 𝒮(K)$
à support contenu dans une boule fermé centrée en $1$
ne contenant pas l'origine telle que $ζ(g,χ) ≠ 0$.
En effet, l'égalité $χ(1)=1$ entraîne l'existence d'un
voisinage $V$ de $1 ∈ K^×$ sur lequel la partie
réelle des nombres complexes $χ(x)$, $x ∈ V$, est strictement
positive ; la conclusion en résulte aussitôt.
La fonction $ζ(g,χ,s)$ est donc holomorphe, non identiquement
nulle. Considérons la fonction méromorphe sur $\{s:\Re(s)<½\}$ :
\[
γ(χ,s)=\frac{ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)}{ζ(g,χ,s)}.
\]
D'après la formule de $ζ$-Plancherel, on a l'égalité
\[
ζ(f,χ,s)= γ(χ,s)^{-1} ζ(\chap{f},\chap{χ},-s),
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$ et tout nombre complexe $s$
tel que $|s|<½$. (Cette égalité est à considérer
dans le corps des fonctions méromorphes sur cet ouvert.)
Le terme de gauche est holomorphe sur
$\Re(s)>-½$ ; celui de droite est méromorphe pour $\Re(s)<½$.
La fonction $ζ(f,χ,s)$ a un prolongement méromorphe à $𝐂$.
En particulier, $ζ(\chap{g},\chap{χ},-s)$
donc $γ(χ,s)$ admettent un prolongement méromorphe à $𝐂$. CQFD.


\subsubsection{}Esquissons une seconde démonstration
de l'équation fonctionnelle du théorème précédent dans le cas ultramétrique.
(Comme nous l'avons vu, l'existence d'un prolongement
méromorphe en résulte immédiatement.) Montrons que
pour tout quasi-caractère multiplicatif $χ$, il existe une fraction
rationnelle $c_ψ(χ,X) ∈ 𝐂(X)$ telle que
\[
c_ψ(χ,X)Z_ψ(f,χ,X)=Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)
\]
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$. L'équation fonctionnelle
\ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.(iii)
en résulte en posant $γ_ψ(χ,s)=c_ψ(χ,q^{-s})$.
Considérons à cette fin l'ensemble $𝒟_χ$ des formes
$𝐂$-linéaires $Δ: 𝒮(K) → 𝐂(X)$ telles que \[Δ([×a]^* f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)\]
pour chaque fonction $f$ et chaque $a ∈ K^×$.
Il est formel que $f ↦ Z(f,χ,X)$ appartient à $𝒟_χ$ : en
effet, $z_n([×a]^*f)=χ^{-1}(a)z_{n-v(a)}$ pour tout $n$,
comme il résulte immédiatement des égalités $[×a]^*
μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}$ et
$a 𝒰_n=𝒰_{n-v(a)}$. De même, il résulte
de l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux}.(iii).(a)
et du calcul précédent que la forme linéaire $f ↦ Z_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},1/X)$
appartient également à $𝒟_χ$. Or, et c'est là le point clef,
l'espace $𝒟_χ$ est de dimension un sur $𝐂(X)$. Il suffit
pour cela de montrer que l'évaluation
$𝒟_χ → 𝐂(X)$, $Δ ↦ Δ(𝟭_{1+𝔪^{a(χ)}})$ est \emph{injective},
où $a(χ)$ est le conducteur du caractère multiplicatif $χ$.
Posons $n=a(χ)$ et supposons $Δ(𝟭_{1+𝔪^n})=0$. Pour tout $r ≥ n$, considérons des représentants $(a_i)$
dans $1 + 𝔪^n$ du groupe quotient $1+𝔪^n ∕ 1+𝔪^r$, fini (de cardinal $q^{r-n}$). On a d'une part
$𝟭_{1+𝔪^n}=∑_i [×a_i]^* 𝟭_{1+𝔪^r}$ par hypothèse sur
les $a_i$ et d'autre part $Δ([×a_i]^*
𝟭_{1+𝔪^r})=Δ(𝟭_{1+𝔪^r})$ par hypothèse sur $φ$ et $n$ :
$χ(a_i)=1$ et $v(a_i)=0$.
En conséquence, $Δ(𝟭_{1+𝔪^r})=0$. Toute fonction $f
∈ 𝒮(K)$ à support dans $K^×$ étant combinaison linéaire
de translatés (multiplicatifs) de fonctions caractéristiques
$𝟭_{1+𝔪^r}$ pour $r ≥ n$, on a $Δ(f)=0$ pour de telles
fonctions. Il en résulte que $Δ(f)$ ne dépend que de
la valeur de $f$ en $0$, si bien que $Δ([×a]f)=Δ(f)$ pour
tout $a ∈ K^×$ et tout $f ∈ 𝒮(K)$. Compte tenu
de l'égalité $Δ([×a]^*f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)$, on
a $Δ(f)=0$. CQFD.
Pour une discussion du cas archimédien, voir \cite[§1]{Fonction@Weil}.

\subsection{Facteurs $ε$}

\subsubsection{}
\label{définition fonction L locale}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ comme en \ref{description quasi-caractères}.
Posons 
\[L(χ)=
\begin{cases}
\displaystyle ζ_K(s) &           \text{si } K \text{ est archimédien}\\
\displaystyle \frac{1}{1-χ(ϖ)} & \text{si } K \text{ est ultramétrique et }χ \text{ net}\\
\displaystyle 1 &                \text{sinon}.
\end{cases}
\]
% Deligne, §3.2
Il résulte des calculs effectués en \ref{Mellin local archimédien} et \ref{Matchett}
que l'on a $L(χ)=ζ_ψ(g,χ)$, où $ψ$ est de niveau nul
et $g$ est une gaussienne ou bien la fonction caractéristique
de l'anneau des entiers. Sauf si $K$ est ultramétrique et $χ$
ramifié : remplacer $ζ_ψ(g,χ)=0$ par $1$.
(Voir \cite[§23.2]{Bushnell-Henniart} pour une interprétation
plus conceptuelle dans le cas ultramétrique.)
Il est naturel de considérer pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
le quotient $ζ_ψ(f,χ)/L(χ)$.

\subsubsection{}
\label{définition facteur epsilon local}
D'après \ref{prolongement méromorphe et équation
fonctionnelle cas local}, il existe un « \textbf{facteur epsilon} »\index{facteur epsilon},
indépendant de $f$, tel que l'on ait :
\[
ε_ψ(χ)×\frac{ζ_ψ(f,χ)}{L(χ)}=\frac{ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ})}{L(\chap{χ})}.
\]
D'après \emph{loc. cit.}, on a $ε_ψ(χ)=γ_ψ(χ)×\frac{L(χ)}{L(\chap{χ})}
∈ 𝐂^×$. Les deux formules suivantes résultent respectivement
de \ref{dépendance Fourier local en caractère}
et \ref{Fourier et mesure locaux} (formule d'inversion).
% détailler ? \XXX

\begin{proposition2}
\label{epsilon par translation et produit}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non trivial et $χ$ un caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $a ∈ K^×$, $ε_{ψ_a}(χ)=χ(a)|a|^{-½}ε_ψ(χ)$.
\item \label{epsilonepsilon} $ε_ψ(χ) ε_ψ(\chap{χ})=χ(-1)$. 
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Notons que les mêmes formules sont valables pour le facteur $γ$.
D'après (i), la détermination de ces facteurs se ramène au cas particulier où le caractère
additif $ψ$ est de niveau fixé.

\subsubsection{Formulaire archimédien}

Si $K$ est réel ou complexe, et $χ=χ₁ ω_s$
comme ci-dessus où $χ₁:x↦ x^{-a}$, on a :
\[
ε_{𝐞_K}(χ)=i^a.
\]
Vérifions-le brièvement dans le cas réel.
Le cas complexe est laissé en exercice au lecteur
(cf. \cite[§2.5]{Fourier@Tate}).
Pour $a=0$, c'est une trivialité : on applique
la définition \ref{définition facteur epsilon local}
lorsque $f$ est la gaussienne $g_𝐑$ (invariante par Fourier).
Le cas $a=1$ se ramène au cas précédent : considérer la dérivée
de $g_𝐑$ et utiliser le fait que la transformation de Fourier échange
dérivation et multiplication par $i$.

\subsubsection{Formulaire ultramétrique}
\label{facteur epsilon ultramétrique}
Lorsque $χ$ est net et $ψ$ de niveau nul, on a :
\[
ε_ψ(χ)=1.
\]
En effet, $ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=𝟭_𝒪$ donc $ζ_ψ(ℱ_ψ(𝟭_𝒪),\chap{χ})=L(\chap{χ})$
et, plus trivialement encore, $ζ_ψ(𝟭_𝒪,χ)=L(χ)$.
Considérons maintenant le cas général : $χ$ est éventuellement ramifié,
de conducteur $a=a(χ) ≥ 0$ (\ref{définition conducteur})
et $ψ$ de niveau $n=n(ψ)$. Considérons la fonction $f=χ^{-1} 𝟭_{𝒪^×}$,
où $χ^{-1}$ désigne abusivement le prolongement par zéro de la
fonction $χ^{-1}:K^× → 𝐂$ à $K$. Elle appartient à $𝒮(K)$ et
est constante sur les classes modulo $𝔪^a$ : si $x ∈ 𝒪^×$
et $y ∈ 𝒪$, on a $χ(x)=χ(x+y ϖ^a)$ car $χ(1+x^{-1}y ϖ^a)=1$.
En conséquence (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii) et (iii).b),
sa transformée de Fourier $ℱ_ψ(f)$ est à support contenu dans $𝔪^{-(n+a)}$.
Pour simplifier les calculs, supposons dorénavant que $n+a=0$,
comme il est loisible d'après \ref{epsilon par translation et produit}, (ii).
Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est à support dans $𝒪$. D'autre part, par définition,
c'est la fonction $x↦ ∫_{𝒪^×} χ^{-1}(y) ψ(xy)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$.
À moins que $χ_{|𝒪^×}$ ne soit trivial (c'est-à-dire $χ$ net, ou encore $a=0$).
on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant été traité, supposons maintenant $a>0$.
Pour $x ∈ 𝒪-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$
et la formule \ref{module=module} entraîne :
$ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} 𝒪^×} χ^{-1}(z) ψ(z)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$.
Pour la même raison que précédemment, cette intégrale est nulle
si $x$ n'appartient pas à $𝒪^×$. (Si $x ∈ 𝔪$, la fonction $χ^{-1} 𝟭_{x^{-1}𝒪}$
est constante modulo $𝔪^{a-1}$ et la valeur en $1$ de sa transformée
de Fourier est nulle.)
Finalement,
\[
ℱ_ψ(χ^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×})=𝔤(χ,ψ) ⋅ \big( \chap{χ}^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×} \big),
\]
où la constante multiplicative est la \textbf{somme de Gauß} \index{somme de Gauß}
\[
𝔤(χ,ψ)=∫_{𝒪^×} χ^{-1} ⋅ ψ   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
Ceci est une généralisation du calcul \ref{exemple Fourier et Gauss}.
Enfin, par construction, $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)(=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×))$
et, d'après ce qui précède, $ζ_ψ(\chap{f},\chap{χ})=𝔤(χ,ψ) ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)$.
En résumé, on a a démontré la proposition suivante :

\begin{proposition2}
Sous l'hypothèse que $a(χ)+n(ψ)=0$, on a :
\[
ε_ψ(χ)=𝔤(χ,ψ).
\]
\end{proposition2}
Notons que cette formule est également valable lorsque $χ$ est net.

%\subsection{Fonctorialité}
%$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
%[À déplacer ? \XXX]

\section{Corps globaux}

\subsection{Premières définitions, notations}

\subsubsection{}
Un corps $K$ est un \textbf{corps global} s'il est de
caractéristique nulle, fini sur $𝐐$ ou bien
s'il est de caractéristique \mbox{$p>0$}, de type fini
sur le corps fini $𝐅_p$ et de degré de transcendance $1$ sur
ce corps. Dans le premier cas, on dit que $K$ est un
\textbf{corps de nombres} ; dans le second, on dit que $K$
est un \textbf{corps de fonctions algébriques} sur le corps
fini $𝐅_p$.

\begin{exercice2}
Montrer qu'un corps $K$ est un corps global si et seulement
si il existe un anneau intègre $A$ de corps des fractions $K$
satisfaisant les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item pour tout $a ∈ A-\{0\}$, le quotient $A/(a)$ est \emph{fini} ;
\item $A$ est engendré, sur $𝐙$, par un nombre fini d'éléments ;
\item $A$ est \emph{normal} ;
\item $A$ est infini.
\end{enumerate}
\end{exercice2}

\subsubsection{}
\label{notation places infinies}
On appelle \textbf{point} de $K$ une classe d'équivalence de
valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
\textbf{archimédien}) si les valuations correspondantes
sont ultramétriques (resp. archimédiennes) ; leurs ensembles
respectifs sont notés $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ et $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
confusion entre les valeurs absolues archimédiennes et les valeurs absolues « à l'infini »
en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation
$P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$
cette place (ultramétrique).

\begin{remarque2}
Le choix du mot « point » est justifié par le fait suivant :
un corps global $K$ de caractéristique $p>0$ de corps des constantes $k$
est le « corps des fonctions » d'une courbe projective lisse sur $k$
dont l'ensemble des points fermés est naturellement en
bijection avec $Σ(K)$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
\commentaire{Noter $K_{\chap{x}}$ ? et réserver $K_x$ pour le corps valué
$(K,||_x)$ ?}
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
classe $x$ ; c'est un corps local
au sens de \ref{definition corps locaux}, cf. \ref{Kx sont locaux}
\emph{infra}. (Réciproquement, il n'est pas difficile
de montrer que tout corps local s'obtient de cette manière.)
% Si $G$ est un
%groupe sous-groupe d'un $𝔖_n$ tel $𝐀^n/G$ soit rationnel,
%on peut même relever un nombre fini d'extensions locales
%galoisiennes de groupe $G$. Serre, Topics, th. 2 p. xiv. \XXX
On dispose donc d'une valeur absolue
privilégiée sur $K_x$, la valeur absolue normalisée,
que l'on note $|⋅|_x$, ainsi que sa restriction à $K$, qui
appartient à la classe $x$. Si $x$ est ultramétrique,
on note également $𝒪_{K,x}=\{f ∈ K_x : |f|_x ≤ 1\}$
l'anneau de valuation de $K_x$, $𝔪_x$ son idéal maximal,
$k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — appelé
\emph{norme} de $x$ — et enfin $v_x$ la valuation $K_x ↠ 𝐙 ∪ \{+∞\}$.
Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_{K,x}$,
on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$.
Il est parfois utile de faire la convention suivante :
lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_{K,x}=K_x$.
% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »


\subsubsection{}
\label{U-entiers}
Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $𝒪_K$
l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.

\subsubsection{}
\label{notation OLU}
Lorsqu'une extension $L\bo K$ est fixée
et que l'on considère un ouvert dense $U$ de $K$,
il est parfois commode de noter $𝒪_L(U)$
l'anneau $𝒪_L(V)$, où $V$ est l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$.
(On fait de même pour les \emph{adèles} définis plus bas,
cf. \ref{définition adèles}.)

\subsubsection{Exemples}
\label{sections globales droite projective}
Notons pour simplifier $Σ$ l'ensemble des points du corps global $𝐅_p(t)$.
On a alors $𝒪_{𝐅_p(t)}(Σ)=𝐅_p$ : une fraction rationnelle
sans pôle est une constante. Plus précisément, si l'on a $|f|_P ≤ 1$ pour chaque $P ∈ 𝐅_p[t]$
irréductible et que l'on écrit $f=a/b$ avec $a,b ∈ 𝐅_p[t]$ premiers entre eux,
alors $P$ ne divise pas $b$. Ceci étant vrai pour tout $P$, le polynôme $b$
est nécessairement une constante. Comme $|a|_∞=p^{\deg(a)}$, on a $\deg(a)=0$
(absence de pôle à l'infini).
« Calculons » maintenant $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)$ pour un ouvert quelconque $U ≠ Σ$.
Supposons pour commencer que la place $|⋅|_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce
cas, les points appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $|⋅|_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes
irréductibles, que l'on peut supposer unitaires, de $𝐅_p[t]$. Ils sont en nombre
fini par hypothèse et l'on peut considérer leur produit $P=∏_i P_i$. On
a alors l'égalité $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)=k[t][1/P]=\{f ∈ 𝐅_p(t): ∃n ≥ 1, ∃a ∈ 𝐅_p[t],
f=\frac{a}{P^n}\}$. Si l'on suppose maintenant que la place à l'infini
appartient à $U$, l'anneau $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)$ est l'intersection d'un anneau
du type précédent avec l'ensemble des fractions rationnelles de degré négatif ou
nul. Ce n'est autre que le sous-anneau $k[t^i/P, 0 ≤ i ≤ d]$ de $𝐅_p(t)$,
où $d=\deg(P)$. Notons que dans un cas comme dans l'autre, ces anneaux sont des
$k$-algèbres de type fini et de corps des fractions $𝐅_p(t)$.

Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_𝐐=𝒪_K(Σ)=𝐙$.

\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
la clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$ est appelée
\textbf{corps des constantes} de $K$. C'est le plus grand
sous-corps fini de $K$ (\refext{RT}{finitude clôture algébrique dans tf}).

\subsection{Points de $𝐐$ et $𝐅_p(t)$ ; applications}

\subsubsection{}On a vu en \refext{AVD-Dedekind}{Ostrowski sur Q}
que toute valeur absolue de $𝐐$ est équivalente
à une unique valeur absolue $| ⋅ |_p$, où $p ∈ 𝒫  ∪ \{∞\}$,
$𝒫$ désigne l'ensemble des nombres premiers et $| ⋅ |_p$
envoie $f ∈ 𝐐$ sur $p^{-v_p(f)}$, où $v_p(f) ∈ 𝐙 ∪\{+∞\}$ est la
valuation $p$-adique de $f$ si $p$ est premier,
ou sur la valeur absolue usuelle $|f|_∞$ de $f$ si $p=∞$.
Ainsi, $𝒫 → Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐)$, $p ↦ (\text{classe de }|⋅|_p$)
est une bijection, d'inverse noté $x ↦ p_x$, et
$\{∞\} → Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$, $∞ ↦ \text{classe de }|⋅|_∞$ également.
Par la suite, on identifiera souvent ces ensembles
par les bijections précédentes. Cette identification
est compatible avec les notations introduites ci-dessus.
Par exemple, si $p$ est un nombre premier, $𝒪_{x_p}=𝐙_p$, etc.
Notons que $𝒫$ est naturellement en bijection avec $\Specmax(𝐙)$.

\subsubsection{}Soit $p$ un nombre premier. Il résulte
de \refext{AVD-Dedekind}{k-valuations de k(X)}
%et [...] ? \XXX
que les valuations non triviales de $𝐅_p(t)$
sont toutes ultramétriques et que l'ensemble $Σ(𝐅_p(t))$
est naturellement en bijection avec l'union $𝒫_p ∪ \{∞\}$, où
$𝒫_p$ désigne l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$. Notons que $𝒫_p$ est naturellement en bijection avec
$\Specmax(𝐅_p[t])$. (Pour des renseignements quantitatifs sur $𝒫_p$, voir
\refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.)
%\XXX

\subsubsection{}
\label{Kx sont locaux}
Soient $L\bo K$ une extension finie de corps globaux
et $y ∈ Σ(L)$. Toute valeur absolue $| ⋅ |_L$ dans la classe $y$
induit par restriction une valeur absolue $| ⋅|_K$
sur $K$ dont la classe d'équivalence ne dépend
que de $y$ et que nous noterons $x$.
D'après \refext{AVD-Dedekind}{finitude préservée par complétion},
l'injection $K ↪ L$ induit une injection $K_x ↪ L_y$,
faisant de $L_y$ une \emph{extension finie} de $K_x$.
Si $K_x$ est un corps local, il en est de même de $L_y$
(cf. \ref{extension finie corps local est local}).
Or, on a vu ci-dessus que si $K=𝐐$ ou $K=𝐅_p(t)$,
chaque $K_x$ est un corps local ; tout corps global $L$
étant extension finie d'un tel corps global « premier » $K$,
les $L_y$ sont locaux.
Rappelons (\ref{extension finie corps local est local})
que la restriction à $K_x$ de la valeur
absolue normalisée $|⋅|_y$ n'est en général pas égale à $|⋅|_x$
(mais plutôt à la puissance $[L_y:K_x]$-ième
de celle-ci). Voir aussi \refext{AVD-D}{définition indice de ramification}.

\begin{proposition2}
\label{toute courbe est revêtement ramifié de P1}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
Il existe un élément $t ∈ K$ tel que l'extension
$K\bo 𝐅_p(t)$ soit étale.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Le corps $𝐅_p$ étant parfait, cela résulte de
\refext{RT}{extension corps parfait est séparable}.
Voici une seconde démonstration. Nous allons montrer plus généralement que
si $K=𝐅_p(a₁,…,a_n)$, il existe un indice $i$ tel que $K$ soit séparable
sur $𝐅_p(a_i)$. On procède par récurrence, le cas $n=1$ étant trivial
(extension transcendante pure). L'hypothèse de récurrence, jointe
au fait qu'une extension composée d'extension étale est étale
(\refext{Alg}{compose-etale}), nous ramène au cas particulier $n=2$ :
$K=𝐅_p(x,y)$. Soit $f ∈ 𝐅_p[X,Y]$ un polynôme irréductible
tel que $f(x,y)=0$. Il existe un monôme $x^i y^j$ apparaissant
avec un coefficient non nul dans $f$
dont les exposants ne sont pas simultanément divisibles par $p$.
Dans le cas contraire, comme les coefficients sont des puissances $p$-ièmes
($𝐅_p$ est parfait), il en serait de même de $f$, ce qui est absurde.
Supposons que $j$ ne soit pas divisible par $p$. Alors $y$ est
racine du polynôme $g(Y)=f(x,Y) ∈ 𝐅_p(x)[Y]$
qui n'appartient pas à $𝐅_p(x)[Y^p]$.
D'autre part, ce polynôme est \emph{irréductible}
car $f$ l'est et $ x$ est transcendant sur $𝐅_p$.
Ainsi, $y$ séparable sur $𝐅_p(x)$
et l'extension $K \bo 𝐅_p(x)$ est étale.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\label{p-rang-corps-global-égal-1}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$.
Alors, le degré de $K$ sur son sous-corps $K^p$
des puissances $p$-ième est égal à $p$.
En d'autres termes, le \emph{$p$-rang} (\refext{RT}{définition-p-rang})
de $K$ est égal à $1$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Il est clair que $𝐅_p(t)^p=𝐅_p(t^p)$ et que l'on a l'égalité
$[𝐅_p(t):𝐅_p(t)^p]=p$. D'autre part, on a vu en
\refext{RT}{p-rang-invariant-par-extension-finie}
que cette égalité passe aux extensions finies (non nécessairement
étales).
Pour une démonstration \emph{ad. hoc.}, cf.
\cite[VIII.§6, lemme 1]{BNT@Weil}.
\end{démo}


\subsubsection{}Un corps global est donc une extension finie
étale d'un \textbf{corps global premier}, un tel corps
étant par convention égal à $𝐐$ ou isomorphe à un corps
de fractions rationnelles $𝐅_p(t)$. L'étude des corps
globaux procède souvent par réduction au cas des corps
globaux premiers. (Voir par exemple
l'observation \ref{Kx sont locaux} \emph{supra}
et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)

\begin{proposition2}
\label{finitude-infinitude-places}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$, son sous-ensemble
$\{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}
et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
(resp. ultramétrique) est archimédienne (resp. ultramétrique),
qu'il suffit de traiter le cas particulier où $K$ est un corps global premier.
Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$
est un singleton et $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
Quant au premier point de (ii), il suffit de montrer que l'ensemble des idéaux maximaux
$(P)$ de $𝐙$ (resp. $𝐅_p[t]$) est infini. Ceci est bien connu
et en substance dû à Euclide : considérer un diviseur irréductible
d'une expression $P₁ \cdots P_n +1$.
Enfin, $N(P)$ est la valeur absolue usuelle
de $P$ dans le cas des nombres et $p^{\deg(P)}$ dans le cas des fonctions.
Le complément en résulte aussitôt.
\end{démo}

\begin{proposition2}
\label{normes fonction presque toutes petites}
Soit $K$ un corps global et soit $f ∈ K$.
Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$. 
De façon équivalente, $K=\colim_U 𝒪_K(U)$, où $U$ parcourt
les ouverts denses de $K$.
\end{proposition2}

Si $f ∈ K^×$, on a $|f|_x^{-1}=|f^{-1}|_x$
de sorte qu'il résulte de la proposition précédente
que $|f|_x=1$ pour presque tout $x$.

Pour une variante différentielle, cf. \ref{niveaux forme différentielle presque tous nuls}.

\begin{démo}
Si $K$ est un corps global \emph{premier} cela résulte
de la description explicite de ses valeurs absolues (cf. \refext{}{}).
Il nous suffit donc de montrer que si $L \bo K$ est une extension
finie de corps globaux, la conclusion est valide pour $L$ si elle
l'est pour $K$. Soit $f ∈ L$. Il existe des éléments $a_i ∈ K$ et un entier $n$
tels que $f^n=a₁ f^{n-1} + \cdots + a_n$. Par hypothèse,
les $a_i$ sont \emph{$U$-entiers} pour un ouvert dense
convenable de $K$. (On rappelle
que cela signifie que pour chaque $i$ et chaque $x ∈ U$, on a l'inégalité $|a_i|_x ≤ 1$.)
Utilisant la finitude (des fibres) de l'application $π:Σ(L) → Σ(K)$
(\refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}),
il existe donc un ouvert dense $V$ de $L$
(que l'on peut prendre égal à $π^{-1}(U)$)
telle que les $a_i$, vus dans $L$, soient $V$-entiers.
Il en est alors de même de $f$.
En effet, on peut réécrire la relation de dépendance algébrique
$1=a₁ f^{-1} + \cdots + a_n f^{-n}$ ; si $|f|_y > 1$,
le terme de droite est de valeur absolue strictement inférieure à $1$.
Absurde.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration dans le cas d'un corps de fonctions]
Si l'élément $f ∈ K$ est algébrique sur $𝐅_p$, et non nul,
il est multiplicativement d'ordre fini donc $|f|=1$ pour toute
valeur absolue. Dans le cas contraire, l'extension $K \bo 𝐅_p(f)$ est finie
et, comme indiqué ci-dessus, le résultat est connu
pour le corps de fonctions transcendant pur $K₀=𝐅_p(f)$.
Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un entier $n$
(dépendant de $y$). En particulier, $|f|_y ≤ 1$ s'il en est ainsi de $|f|_x$.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{normalité triviale}
Si $U$ est un ouvert dense de $K$,
l'anneau $𝒪_K(U)$ est \emph{normal} car c'est l'intersection
$⋂_{u ∈ U} K_u^+$ des sous-anneaux normaux $K_u^+=\{f ∈ K: |f|_u ≤ 1\}$
de $K$. Disons que l'ouvert $U$ est \textbf{affine}
si $K$ est un corps de nombres ou bien si $K$ est un corps de fonctions et $U ≠
Σ(K)$. 

\begin{proposition2}
\label{OKU Dedekind}
%\label{fonctorialité et clôture intégrale}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert \emph{affine} dense de $K$.
Alors, l'anneau $𝒪_K(U)$ un \emph{anneau de Dedekind} de corps des fractions $K$
et l'application naturelle $U → \Specmax 𝒪_K(U)$ envoyant $u$ sur
la trace de $K_u^{++}=\{f ∈ K: |f|_u < 1\}$ est une \emph{bijection}.
\end{proposition2}

\XXX Question : si $U′ ⊆ U$, $𝒪_K(U′)$ est-il un localisé de $𝒪_K(U)$ ?

\begin{démo}
Montrons le premier énoncé, en distinguant deux cas.
Si $K$ est un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$
de $𝐙$ dans $K$. En conséquence $\Frac 𝒪_K(U)=K$ (et même
$𝒪_K(U)𝐐=K$ ; cf. \refext{AC}{clôture intégrale commute à localisation}).
Pour vérifier que l'anneau normal $𝒪_K(U)$ est de Dedekind,
il suffit de montrer qu'il est nœthérien de dimension $1$ ;
cela résulte du théorème de Krull-Akiduki (\refext{AVD-D}{Krull-Akiduki}).
Si $K$ est un corps de fonctions, voir \ref{RR implique Dedekind de type fini}.
% voir aussi Fried-Jarden, p. 32
Vérifions maintenant le dernier point. 
L'application $U → \Specmax(A)$ de l'énoncé
\commentaire{J'utilise de nouvelles notations...}
envoie $u$ sur l'image  dans $\Spec(A)$ du point fermé de $\Spec(K_u^+)$
déduit de l'inclusion $A ↪ K_u^+$. C'est un idéal \emph{maximal} car $A/(A
⋂ K_u^{++})$ s'injecte dans le corps fini $K_u^+ / K_u^{++}$.
(On utilise le fait qu'un anneau fini intègre est un corps.)
Rappelons que $\Specmax(A)$ s'injecte naturellement dans
\commentaire{mettre ces sorites ailleurs ?}
$Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ car chaque idéal maximal $𝔭$ de l'anneau $A$
induit une valuation ultramétrique $|⋅|_𝔭$ sur son corps des fractions
telle que $𝔭 = A ∩ K_{|⋅|_𝔭}^{++}$. L'application composée $U → \Specmax(A) → Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$
est l'injection de $U$ dans $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
En effet, si $u ∈ U$ et $𝔭_u=A ∩ K_u^{++}$ est l'idéal
premier de $A$ correspondant, inclusion $A ⊆ K_u^+$ s'étend en une inclusion
du localisé $A_{𝔭_u}$ dans l'anneau $K_u^+$ (car pour tout élément $b$ de $A∖ 𝔭_u$,
on a $|b|_u=1$), d'où l'égalité $A_{𝔭_u}=K_u^+$
(\refext{AVD-D}{conditions équivalentes anneau valuation}).
L'application $U → \Specmax(A)$, injective d'après ce qui précède,
est surjective car si $v ∉ U$, il existe d'après \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind}
un élément de $K$ qui est $U$-entier, donc dans $A$, mais pas $v$-entier.
\end{démo}

Considérons maintenant un résultat de finitude.

\begin{proposition2}
\label{fonctorialité anneau des Uentiers}
Soient $K$ un corps global, $L\bo K$ une extension finie
et $U$ un ouvert dense de $K$.
\begin{enumerate}
\item Pour toute extension finie $L \bo K$,
l'anneau $𝒪_L(U)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
C'est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
\item Sous les hypothèses précédentes, et si de plus $U$ est suffisamment petit,
$𝒪_L(U)$ est un $𝒪_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

Pour la notation $𝒪_L(U)$, cf. \ref{notation OLU}.
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.

\begin{démo}
(i) Notons $A=𝒪_K(U)$, $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$, et
$B=𝒪_L(U):=𝒪_L(V)$. Considérons également la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
L'anneau $B$ est l'ensemble des éléments de $L$
appartenant à chacun des anneaux de valuation discrète
complets $𝒪_{L,v}=\{f ∈ L_v: |f|_v ≤ 1\}$, pour $v ∈ V$.
Or, si $f ∈ L$ est entier sur $A$, il est entier sur chaque sur-anneau $𝒪_{K,u}$, $u ∈ U$,
donc contenu pour chaque $v↦ u$ dans l'anneau normal $𝒪_{L,v}$ de corps des
fractions $L_v$ contenant $L$. Ainsi $B′$ est contenu dans $B$.
Réciproquement si $Ω$ est une clôture algébrique de $L$
et $G=\Aut(Ω \bo K)$, un élément $b ∈ B$
est racine d'un polynôme $P=(∏_{β ∈ G ⋅ b} (X-β))^{p^e}$
à  coefficients dans $K$, où $p$ désigne une puissance
de l'exposant caractéristique de $K$, et $e$ un entier
suffisamment grand (cf. \refext{CG}{polynôme minimal et conjugués dans cas général}).
Soient $u ∈ U$ et $v ∈ V$ au-dessus (\refext{AVD-D}{finitude préservée par
complétion}). Pour chaque $g ∈ G$, l'application $λ ↦ |g(λ)|_v$, $L → 𝐑$,
est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
donc dans $V$ (par hypothèse). Il en résulte que les coefficients
de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$.
Ainsi $b$ est entier sur $A$ et, finalement, $B=B′$.
Si l'extension $L\bo K$ est étale, il résulte de \refext{AC}{normalisation dans extension séparable}
que l'anneau $𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
Dans le cas non nécessairement étale — qui ne se produit que si $K$ est un
corps de fonctions — cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps
(\ref{RR implique Dedekind de type fini}, \emph{infra}) et de
\refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}.


(ii) Soient $d=[L:K]$ et $α₁,…,α_d$ une base de $L$ sur $K$.
Pour $U$ suffisamment petit, les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(V)$.
L'injection $𝒪_K(U)^d → 𝒪_L(V)$ déduite des $α_i$ devient
un isomorphisme sur $K$, donc — puisque c'est un morphisme
entre modules de type fini sur $𝒪_K(U)$ — après inversion d'un élément $a$
de $𝒪_K(U)∖ \{0\}$. Quitte à rétrécir encore $U$, on peut supposer que $a ∈ 𝒪_K(U)^×$.
\end{démo}

\section{Adèles, idèles}

\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}

\commentaire{Supposer aux bons endroits les groupes abéliens}

\commentaire{Vérifier droite/gauche}

\subsubsection{Topologie quotient}
\label{topologie quotient}
Soient $X$ un espace topologique et $∼$ une relation d'équivalence
sur $X$. La topologie la plus fine sur le quotient ensembliste $X /\hspace{-.3em}∼$
rendant la surjection canonique $π:X ↠ X/\hspace{-.3em}∼$ est appelée \textbf{topologie
quotient} : sous-ensemble $V$ de $X/\hspace{-.3em}∼$ est ouvert si et seulement si son image
réciproque $π^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$.
On dit que la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée} si $π$ est une application fermée
ce qui revient ici à dire que le saturé de toute partie fermée est fermé.
Dans ce cas, pour tout fermé $F$ de $X$, l'application $F/\hspace{-.3em}∼_F → π(F)$ est un
homéomorphisme, où $∼_F$ désigne la relation d'équivalence induite.

\subsubsection{}Soit $G$ un groupe topologique et soit $H$ un sous-groupe, muni
de la topologie induite.
Comme à notre habitude, on note $G/H$ le quotient de $G$ par la relation d'équivalence
$x ∼ y$ si et seulement si $x^{-1}y ∈ H$ ; sauf mention du contraire,
il est équipé de la topologie quotient. On vérifie immédiatement que l'action de $G$
sur $G/H$ par translation est continue ; elle est bien sûr transitive.
Lorsque $H$ est distingué dans $G$, l'espace homogène $G/H$
est naturellement un groupe et sa topologie est compatible
avec cette structure : on obtient un groupe topologique.

\subsubsection{}Un morphisme \textbf{propre} est, par définition,
un morphisme $f:X → Y$ d'espaces topologiques
« universellement fermé » au sens suivant : pour tout
espace topologique $Z$, le morphisme $f× \Id_Z: X × Z → Y × Z$ est fermé
(c'est-à-dire : l'image d'un fermé est fermé).
On vérifie (\BourbakiTG{I.§10}) que cette condition est équivalente
à : $f$ est fermé et chaque fibre $f^{-1}(y)$, $y ∈ Y$, est
quasi-compacte. En particulier, si $X$ est un espace topologique
quasi-compact, le morphisme $X → ⋆$ est propre, où $⋆$
désigne un espace topologique ponctuel.

\subsubsection{}Si $H$ est un sous-groupe \emph{compact}
— c'est-à-dire quasi-compact et séparé — de $G$,
la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée}.
En effet, le saturé $HF$ d'un fermé $F$ de $G$
est l'image du morphisme propre — donc fermé —
composé de l'isomorphisme $H×G ⥲ H×G$, $(h,g) → hg$, et
du morphisme propre $\pr₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.

\begin{proposition2}
\label{discrétion et séparation quotient}
Soit $G$ un groupe topologique.
\begin{enumerate}
\item Si $G$ est quasi-compact et discret, il est \emph{fini}.
\item Le quotient $G/H$ de $G$ par un sous-groupe $H$ est discret (resp. séparé)
si et seulement si $H$ est ouvert (resp. fermé).
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) Cette implication est vraie pour tout espace topologique $X$.
Si $X$ est discret, les singletons $\{x\}$, pour $x ∈ X$, sont ouverts et
recouvrent $X$. Si $X$ est de plus quasi-compact, il en existe un
sous-recouvrement fini, CQFD. (Notons qu'un espace topologique fini
est quasi-compact mais pas nécessairement discret.) % cf. topologie discrète par exemple.

(ii) Le quotient $G/H$ est discret si et seulement si chaque singleton est ouvert,
ou encore — l'action transitive de $G$ étant continue —,
si et seulement si le singleton $\{\sur{e}\}$ correspondant à la classe de l'élément neutre
de $G$ est ouvert. Or, par définition, l'image inverse de ce singleton
par la surjection canonique $G ↠ G/H$ est le sous-groupe $H$ ; il est donc
ouvert dans $G$. Considérons maintenant la question de la séparation du quotient.
Si $G/H$ est séparé, le singleton $\{\sur{e}\}$ est fermé,
ainsi donc que son image inverse $H$.
Afin d'établir la réciproque, supposons maintenant $H$ fermé. Soient $x,y
∈ G$ tels que $xH ≠ yH$, ce qui correspond à l'inégalité des points $\sur{x} ≠ \sur{y}$ dans le quotient.
L'application $μ:(g,g′)↦ g^{-1} g′$, $G×G → G$ est continue et le complémentaire
$G-H$ est ouvert. L'image réciproque de $G-H$ dans le produit $G×G$ est donc un
ouvert, contenant la paire $(x,y)$. Il existe donc deux voisinages ouverts $V_x$
et $V_y$ de $x$ et $y$ respectivement tels que $μ(V_x × V_y) ⊆ G-H$. On a $V_x H
∩ V_y H =∅$ : les voisinages ouverts de $\sur{x}$ et $\sur{y}$ dans $G/H$ sont
donc disjoints.
\end{démo}

Par soucis d'économie, et comme expliqué en \refext{Cat}{exemples-basiques-categories},
nous appellerons « \emph{morphisme} de groupes topologiques » une
application \emph{continue} $f:G₁ → G₂$ respectant la structure de groupes.

\begin{définition2}
Soit $f:G → G′$ un morphisme de groupes topologiques.
On dit que $f$ est \textbf{strict}, si le morphisme canonique $\sur{f}:G/\Ker(f) → \Im(f)$
associé est un isomorphisme de groupes topologiques.
\end{définition2}

\begin{remarques2}
\begin{itemize}
\item Dans (i), on demande que l'isomorphisme de \emph{groupes} $\sur{f}$
soit bicontinu c'est-à-dire, ici, d'inverse continu. Cette condition
n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathrm{disc}} → G$,
où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathrm{disc}}$ le
même groupe, muni de la topologie discrète.
\item Le composé de deux morphismes stricts n'est pas nécessairement strict.
\end{itemize}
\end{remarques2}

\subsubsection{}
\label{sorites sur stricts}
Il résulte immédiatement des définitions
qu'un morphisme $f:G → G′$ est strict si et seulement
si pour tout sous-groupe ouvert $H$ de $G$,
le sous-groupe $f(H)$ est ouvert \emph{dans $f(G)$}.
À l'aide de cette caractérisation, ou bien directement à partir
de la définition, on vérifie immédiatement les
faits suivants :
\begin{enumerate}
\item le composé $g ∘ f$ de deux morphismes stricts $f$ et $g$
est également strict lorsque $f$ est surjectif ou lorsque $g$ est injectif ;
\item si $f:G → G′$ est strict et $H′$ est un sous-groupe de $G′$, la
« restriction » $f×_{G′} H′ : f^{-1}(H′) → H′$ est également stricte.
\item Si $G₁$ est compact et $G₂$ séparé, tout morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict.
\end{enumerate}

Vérifions brièvement (ii) et notons $H=f^{-1}(H′)$.
Si $U$ est un ouvert de $G$ et $V=U∩H$ est un ouvert de $H$, on a $f(U) ∩ f(H) =
f(V)$ (car $H$ est $f$-saturé) et $f(U)$ est, par hypothèse, ouvert dans $f(G)$.
Vérifions brièvement (iii). En effet, $\Ker(f)=f^{-1}(\{e_{G₂}\})$ est fermé, car le singleton l'est,
donc $G₁/\Ker(f)$ est \emph{séparé}, et $\Im(f)$ est l'image continue d'un quasi-compact donc quasi-compacte
de sorte que $\sur{f}$ est une bijection continue entre espaces topologiques
compacts ; c'est un homéomorphisme.
%(Notons que l'on utilise seulement le fait que le sous-groupe $\Im(f)$ de $G₂$
%est séparé.)

\subsection{Isomorphismes modulo les compacts}

\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est
un \textbf{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict,
à noyau compact et à conoyau cocompact.
\end{définition2}

Rappelons (\ref{module et mesure quotients}) que $H ≤ G$ est \emph{cocompact} si $G/H$ est compact.

\begin{proposition2}
\label{restriction isomorphisme modulo compacts}
La restriction d'un isomorphisme modulo les compacts à un sous-groupe
\emph{fermé} du but est également un isomorphisme modulo les compacts.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Notons $f:G → G′$ le morphisme, $H′$ le sous-groupe fermé de $G′$
et $H=f^{-1}(H′)$ son image inverse, qui est un fermé de $G$.
Le noyau de $f×_{G′} H′$ est $H ∩ \Ker(f)$ ; c'est
un compact. Le morphisme $H′ ↪ G ′$ induit une injection
continue $\Coker(f×_{G′} H′) ↪ \Coker(f)$ dont l'image coïncide
avec celle de $H′$ dans $\Coker(f)$. Elle donc fermée et
par conséquent compacte car $\Coker(f)$ l'est.
\end{démo}

\begin{proposition2}
\label{composé isomorphismes modulo compacts}
Le composé de deux isomorphismes modulo les compacts est
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Vérifions que le composé de deux isomorphismes
modulo les compacts est un morphisme strict.
En particulier, si $H$ est un sous-groupe cocompact d'un groupe topologique $G$
et $K$ un compact de $G$, alors $f:H → G/K$ — composé de
$H ↪ G$ avec $G ↠ G/K$ — est strict :
le morphisme $H/(H ∩ K) → HK/K$ est un isomorphisme.
On a vu ci-dessus que la relation d'équivalence
$x^{-1}y ∈ K$ est \emph{fermée} ; d'autre part,
le sous-groupe $H$ est fermé car le quotient $G/H$ est séparé.
Ceci suffit pour conclure (cf \ref{topologie quotient}).
Le cas d'un composé général se ramène à ce cas particulier
par un dévissage élémentaire s'appuyant sur \ref{sorites sur stricts} (i).
%Soit $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux tels morphismes.
%Le morphisme $G₀  → \Im(f)$ déduit de $f$ est strict et surjectif.
%Pour montrer que $g ∘ f$ est strict, il suffit
%donc de vérifier que le morphisme $\Im(f) → G₂$ déduit de $G$
%est également strict, ou encore que $\Im(f) → G₁/\Ker(g)$ l'est.
Soient $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux isomorphismes
modulo les compacts. Montrons que $\Ker(g ∘ f)=f^{-1}(\Ker(g)$
est compact. Il suffit de montrer que si $φ:G → G′$ est un
isomorphisme modulo les compacts et $K′$ un compact de $G′$,
$φ^{-1}(K′)$ est également compact. D'après la proposition
précédente, on peut supposer $K′=G′$ auquel cas la
compacité résulte du lemme ci-dessous.
Enfin, le conoyau de $g ∘ f$ est extension du conoyau compact de $g$
par $\Im(g)/g(\Im(f)$, compact car quotient (via $g)$ du conoyau de $f$.
%Le noyau de $f$ est $H ∩ K$ est compact : c'est un fermé
%du compact $K$. Enfin, le conoyau $(G/K)/(HK/K)$ est canoniquement
%isomorphe à $G/HK$, qui est un quotient du groupe compact $G/H$ ;
%il est donc compact.
\end{démo}

\begin{lemme2}
Soient $G$ un groupe topologique et $K$ un sous-groupe compact
et cocompact. Alors $G$ est compact.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $ℱ$ une collection de fermés de $G$ telle
que toute intersection \emph{finie} d'éléments de $ℱ$ soit
non vide. On veut montrer que $⋂_{F ∈ ℱ} F ≠ ∅$.
Soit $π:G → G/K$ la surjection canonique ; elle est fermée par compacité
de $K$. Ainsi, $π(ℱ)=\{π(F)\}$ est une collection de fermés du quotient ;
elle satisfaisait également la propriété de l'intersection finie. Par compacité
de $G/K$, on a donc $⋂_F π(F) ≠ ∅$ et, \emph{a fortiori},
$⋂_F F ≠ ∅$.
\end{démo}

% Références :
% The three space problem in topological groups
% uniform structures on topological groups and their quotients
% Hewitt et Ross


\subsection{Produits restreints}
\label{généralités produits restreints}

\subsubsection{Définition}Soient $Σ$ un ensemble d'indices, $(𝒳_s)_{s ∈ Σ}$
une collection d'espaces topologiques et, pour chaque $s ∈ Σ$,
un ouvert $𝒱_s ⊆ 𝒳_s$. Pour chaque sous-ensemble cofini $U$ de $Σ$, on
note $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, ou simplement $𝒳_𝐀(U)$ lorsqu'aucune confusion n'est à
craindre, le produit
\[
∏_{s ∉ U} 𝒳_s × ∏_{s ∈ U} 𝒱_s
\]
d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une immersion
ouverte (continue) $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$.  Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou
simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$ — aussi noté
$\resprod_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
$\resprod_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
\[(𝒳;\! 𝒱)_𝐀=\colim_{U ⊆ Σ} (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),\]
où $U$ parcourt les sous-ensembles cofinis de $Σ$.  Ensemblistement,
$(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ est l'ensemble des $(x_s)_{s ∈ Σ} ∈ ∏_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ tels que pour presque
tout $s$, l'élément $x_s$ appartient à $𝒱_s$.  Topologiquement, les
ouverts de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ sont les sous-ensembles dont les intersections
avec chaque $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, $U ⊆ Σ$ cofini, sont ouvertes dans $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$.
En particulier, les $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$ sont ouverts dans $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$.

\begin{remarque2}
Cette construction s'étend immédiatement au cas où
les $𝒱_s$ sont définis pour presque tout $s$,
c'est-à-dire pour $s ∉ F$, où $F$ est une partie finie
de $Σ$, en considérant la colimite sur les parties cofinies $U$
ne rencontrant pas $F$.
\end{remarque2}

\begin{remarque2}
Bien que cela ne soit pas nécessaire,
explicitons brièvement la notion de convergence
lorsque les $𝒳_s$ sont des groupes topologiques
métrisables, comme ce sera le cas ci-après.
Par définition de la topologie, une suite $(a_n)_n=((a_{s,n})_{s ∈ Σ})_n$ de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$
converge vers $b=(b_s)_{s ∈ Σ}$ si et seulement si pour
tout $ε>0$ et tout ensemble cofini $U ⊆ Σ$, il
existe un entier $N$ tel que pour chaque $n ≥ N$
on ait $a_{s,n}-b_s ∈ 𝒱_s$ lorsque $s ∈ U$
et $d_s(a_{s,n},b_s)< ε$ sinon.
On vérifie sans peine que si on suppose de plus $Σ$ dénombrable,
le produit restreint $(𝒳;𝒱)_𝐀$ est également métrisable.
\commentaire{à vérifier\\quoiqu'inutile}
\end{remarque2}


\subsubsection{Locale compacité}
\label{locale compacité produit restreint}
Il résulte de la définition
et du théorème de Tikhonov que si chaque $𝒳_s$ (resp. $𝒱_s$)
est localement compact (resp. compact),
chaque $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$ est un ouvert compact du produit
restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ qui est lui-aussi localement compact.
De plus, sous ces hypothèses, un sous-ensemble de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$
est \emph{relativement compact} — c'est-à-dire d'adhérence compacte —
si et seulement si il est inclus dans un produit
$∏_{s ∉ U} 𝒞_s × ∏_{s ∈ U} 𝒱_s ⊆ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, où $U⊆Σ$ est une partie cofinie
et chaque $𝒞_s$ est un compact de $𝒳_s$.
% Tate, 3.1.2

\subsubsection{Mesures}
\label{mesure produit-colimite}
On suppose les $𝒳_s$ localement compacts
et les $𝒱_s$ compacts. D'après ce qui précède
le produit restreint des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$
est localement compact ; on veut construire
une mesure de Radon (\ref{mesure de Radon})
« produit restreint » sur cet espace, définie à partir
de mesures de Radon (dites « locales ») sur les facteurs. Soit $(μ_s)_{s ∈ Σ}$
une famille de telles mesures sur les $𝒳_s$,
telle que $μ_s(𝟭_{𝒱_s})=1$ pour presque tout $s$,
où $𝟭_{𝒱_s}$ désigne la fonction caractéristique de l'ouvert compact $𝒱_s$.
Il résulte de \ref{Radon produit} qu'il existe
pour chaque ensemble cofini $U$ de $Σ$
une unique mesure de Radon $μ_U$ sur $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$
telle que
\[
μ_U(f_U)=∏_{s ∈ Σ} μ_s(f_s),
\]
lorsque $f_U=\mathop{\bigboxtimes}\lim_s f_s:(x_s)↦ ∏_s f_s(x_s)$,
où les fonctions $f_s$ appartiennent à $𝒞_c(𝒳_s,𝐂)$
lorsque $s ∉ U$, et sont dans $𝒞_c(𝒱_s,𝐂)=𝒞(𝒱_s,𝐂)$
et presque toutes égales à $𝟭_{𝒱_s}$ lorsque $s ∈ U$.
(L'expression $μ_s(f_s)$ ci-dessus désigne abusivement, lorsque $s ∈ U$,
l'intégrale $μ_s({j^{U Σ}_s}_! f_s)$ où ${j^{U Σ}_s}_! f_s$ est le prolongement
par zéro de $f_s$ à $𝒳_s$.)
Si $U′ ⊆ U$ est une autre partie cofinie et que l'on
désigne par ${j^{U U′}}_{\! !} f_U$ le prolongement par zéro
de $f_U=\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} f_s$ à $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$, on a
$μ_{U′}( {j^{U U′}}_{\! !} f_U)=μ_U(f_U)$. Cela résulte
de l'unicité de $μ_{U}$ et du fait
que ${j^{U U′}}_{\! !} (\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} f_s) =\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} ({j^{U U′}_s}_!f_s)$, avec des notations
évidentes. Soit maintenant $f ∈ 𝒞_c((𝒳;\!𝒱)_𝐀,𝐂)$.
D'après l'observation du paragraphe précédent,
il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ$ tel que $f$
soit le prolongement par zéro d'une fonction
$f_U ∈ 𝒞_c((𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),𝐂)$. Le nombre complexe $μ_U(f_U)$
est indépendant du choix de $U$ d'après ce qui précède.
On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon
\emph{produit restreint} des mesures $μ_s$.

\subsection{Adèles}

\subsubsection{}
\label{définition adèles}
Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$
l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des points ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪_{K,x}$
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{anneau des adèles sur $K$}.
Un élément de $K_𝐀$ est souvent noté $a=(a_x)$, ou parfois $a_𝐀$
pour éviter toute confusion avec un élément de $K$.

\subsubsection{}
\label{définition adèles ultramétriques}
On note aussi $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$) le produit restreint des
corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x
∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques}
ou \textbf{finis} (resp. \textbf{archimédiens} ou \textbf{infinis}).

\subsubsection{}
\label{adèles principaux}
Pour chaque $x ∈ Σ(K)$, le corps $K$ se plonge
naturellement dans $K_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{x ∈ Σ} K_x$
se factorise à travers l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
avec son image dans les adèles sur $K$, constituée des
\textbf{adèles principaux}. (Voir \ref{cocompacité}
pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)

\subsubsection{}
\label{notation KAU}
On prendra garde de ne pas confondre
l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion,
le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}).

%Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
%de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
%\XXX À inclure ?

\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
la mesure de Radon sur $K_𝐀$ produit restreint des mesures
de Tamagawa locales (\ref{mesures Tamagawa locales}).
C'est une mesure de Haar sur le groupe additif localement compact $K_𝐀$.
La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du produit restreint de mesures
(\ref{mesure produit-colimite}) et de la proposition \ref{module=module}.

\begin{proposition2}
Pour tout $a_𝐀=(a_x) ∈ K_𝐀$, on a l'égalité
$[×a_𝐀]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a_𝐀| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où
$|a_𝐀|=∏_{x ∈ Σ}|a_x|_{K_x}$.
\end{proposition2}

Notons que pour presque tout $x$, on a $a_x ∈ 𝒪_{K,x}$
c'est-à-dire $|a_x|_x ≤ 1$ de sorte que la convergence du produit
est \emph{a priori} évidente.

\begin{théorème2}
\label{adèles et cb}
Soit $L\bo K$ une extension finie de corps globaux.
Le morphisme $ι:K_𝐀 → L_𝐀$ envoyant
$(a_x)_{x ∈ Σ(K)}$ sur $(b_{y})_{y ∈ Σ(L)}$
avec $b_{y}=a_x$ lorsque $y↦ x$, induit un
isomorphisme d'anneaux topologiques $K_𝐀 ⊗_K L ⥲ L_𝐀$
compatible avec les inclusions canoniques $K ↪ K_𝐀$
et $L ↪ L_𝐀$.
De plus, si $L\bo K$ est étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a_𝐀]$
pour un unique $a_𝐀 ∈ L_𝐀$. En particulier, l'application
trace $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}:L_𝐀 → K_𝐀$ est \emph{surjective}.
\end{théorème2}

Notons que la trace considérée est bien définie car
$L_𝐀$ est un $K_𝐀$-module libre de rang fini (égal à $[L:K]$) ;
cf. \refext{Alg}{trace-et-norme}.

\begin{démo}
D'après \ref{fonctorialité anneau des Uentiers},
il existe un ouvert dense $U$ de $K$, et des éléments $α₁,…,α_d ∈ 𝒪_L(U)$,
où $d=[L:K]$, tels que $𝒪_L(U)=𝒪_K(U) α₁ ⊕ \cdots ⊕ 𝒪_K(U) α_d$,
le terme de gauche étant comme expliqué en \ref{notation OLU}.
Cette décomposition en somme directe reste valable lorsque l'on rétrécit $U$.
Nous allons montrer que le morphisme $K_𝐀^d → L_𝐀$, $(λ_i)_{1,…,d}↦ ∑_{i=1}^d ι(λ_i)α_i$,
est un isomorphisme. C'est la colimite des morphismes
$K_𝐀(U′)^d → L_𝐀(U′)$ pour $U′ ⊆ U$. Montrons que chacun d'eux
est un isomorphisme, ce dont découle le résultat souhaité. Quitte à rétrécir $U$, on peut
supposer $U′=U$. Il suffit de montrer les deux faits suivants.
\begin{enumerate}
\item Pour chaque pour place $x ∉ U$, le morphisme $K_x^d → L_x:=∏_{y↦x} L_t$,
$(λ_i)↦ ∑_i ι_x(λ_i) α_i$, où $ι_x$ est le plongement diagonal $K_x ↪ L_x$,
est un isomorphisme.
\item Pour chaque place $u ∈ U$, le morphisme $𝒪_{K,u}^d → 𝒪_{L,u}:=∏_{v↦u} 𝒪_{L,v}$,
$(λ_i)↦  ∑_i ι_u(λ_i) α_i$ est un isomorphisme.
\end{enumerate}
Le (i) résulte de \refext{AVD-D}{finitude préservée par complétion}.
Le (ii) résulte de l'hypothèse faite sur les $(α_i)$ ci-dessus.

Supposons $L\bo K$ étale et montrons que l'accouplement
$⟨ ,⟩_𝐀:L_𝐀 ⊗_{K_𝐀} L_𝐀→ L_𝐀$, $a ⊗ b↦ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(a b)$, met
$L_𝐀$ en dualité avec lui-même (sur $K_𝐀$).
Soit $a ∈ L_𝐀$ tel que $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]=0$,
c'est-à-dire dans l'orthogonal de $L_𝐀$.
Pour chaque place $x$ de $K$ cet accouplement induit par
changement de base $K_𝐀 → K_x$ l'accouplement
$⟨ ,⟩_x:L_x ⊗_{K_x} L_x → L_x$ donné par la trace de $L_x$ à $K_x$, parfait
d'après \refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}
et le fait que $L_x ≃ L ⊗_K K_x$ est une $K_x$-algèbre étale.
Ainsi chaque $a_x ∈ L_x$ est nul et finalement $a=0$, comme attendu.
Soient $U$ et les $(α_i)$ comme ci-dessus. Il nous faut montrer
qu'il existe des éléments $α_j^∨ ∈ L_𝐀$ tels que
$⟨α_i,α_j^∨⟩=δ_{i,j}$, c'est-à-dire $1$ si $i=j$ et $0$ sinon.
D'après ce qui précède, il existe des $α_j^∨$ dans le produit (non
restreint) $∏_{x ∈ Σ(K)} L_x=∏_{y ∈ Σ(L)} L_y$ tel que pour chaque $x$
on ait $⟨α_{i,x},α_{j,x}^∨⟩_x=δ_{i,j}$. Pour conclure, il faut montrer
que chaque $α_j^∨$ appartient à l'anneau des adèles $L_𝐀$.
Or, l'accouplement parfait $⟨ ,⟩_∅: L ⊗_K L → L$
déduit de la trace est la colimite des accouplements
$⟨ ,⟩_{U′}: 𝒪_L(U′) ⊗_{𝒪_K(U ′)} 𝒪_L(U′) → 𝒪_L(U′)$ pour $U′ ⊆ U$.
Ainsi, quitte à rétrécir $U$, on peut supposer $⟨ ,⟩_U$ parfait.
Pour un tel $U$, chaque $α_j^∨$ appartient à $L_𝐀(U) ⊆ L_𝐀$. CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\label{cocompacité}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
Cependant, si $U$ est \emph{affine} (\ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}), le morphisme diagonal
$K → \resprod_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
\commentaire{notations non homogènes, cf. $\chap{u}$...}
\item L'inclusion $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Ici et ci-dessous, « isomorphisme modulo les compacts » est synonyme de
« morphisme \emph{continu} et isomorphisme modulo les compacts ».

\begin{démo}
(i). On procède, grâce au théorème précédent, par réduction à deux cas
particuliers, que nous traitons d'abord et de façon identique.

\begin{itemize}
\item Cas des nombres rationnels.
Soient $C=[-½,½]× ∏_p 𝐙_p$ le sous-ensemble compact de $𝐐_𝐀$,
où le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$, et $C^∘$ le voisinage ouvert $]-½,½[× ∏_p 𝐙_p$ de l'origine dans $𝐐_𝐀$.
Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel dont l'image dans chaque $𝐐_p$
appartient à $𝐙_p$ est entier, c'est-à-dire dans $𝐙$.
D'autre part, le seul entier dans $]-½,½[$ est l'entier nul.
Ceci prouve que $𝐐$ est discret dans $𝐐_𝐀$. Il est également
fermé — car discret dans un espace séparé — de sorte que le groupe
topologique quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐$ est séparé (\ref{discrétion et séparation quotient}).
Pour montrer la compacité du quotient,
il suffit de vérifier l'égalité $C + 𝐐 =𝐐_𝐀$.
Par translation par un entier, il suffit
de montrer que l'on a $\big(𝐑 × ∏_p 𝐙_p\big) + 𝐐 = 𝐐_𝐀$,
ou encore que le groupe additif quotient $𝐐_𝐀 / 𝐐_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr.}}(𝐐))$
est engendré par (l'image de) $𝐐$.
Or, ce quotient est canoniquement isomorphe à la \emph{somme}
directe $⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p$, car l'anneau des adèles est un produit \emph{restreint}. Comme le morphisme
évident $𝐐/𝐙 → ⨁_p 𝐐_p / 𝐙_p $ est un isomorphisme, on a le résultat.
(Notons que le morphisme précédent correspond
à la décomposition primaire suivant la $p$-torsion
et que chaque facteur $𝐐_p/𝐙_p$ reçoit isomorphiquement
le quotient $𝐙[1/p]/𝐙$.)

\item Cas des fractions rationnelles sur $𝐅_p$, $p$ premier.
Soient $C=𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{𝐅_p(t),P}$
— où $P$ parcourt l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de $𝐅_p[t]$,
identifiés aux points de $𝐅_p(t)$ différents du point à l'infini — le sous-ensemble
compact de $𝐅_p(t)_𝐀$ et $C^∘$ le voisinage ouvert $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))× ∏_P 𝒪_{K,P}$
de l'origine dans $𝐅_p(t)_𝐀$. Il est clair que $C^∘ ∩ 𝐅_p(t)=\{0\}$ : toute
fraction rationnelle dont l'image dans chaque $𝐅_p(t)_P$
appartient à $𝒪_{𝐅_p(t),P}$ est un polynôme, c'est-à-dire dans $𝐅_p[t]$.
D'autre part, le seul polynôme dans $t^{-1}𝐅_p((t^{-1}))$ est le polynôme nul.
Ceci prouve que $𝐅_p(t)$ est discret dans $𝐅_p(t)_𝐀$.
Pour montrer que le quotient (séparé) $𝐅_p(t)_𝐀/𝐅_p(t)$ est compact,
il suffit de vérifier l'égalité $C+𝐅_p(t)=𝐅_p(t)_𝐀$,
c'est-à-dire que le groupe additif quotient $𝐅_p(t)_𝐀 / 𝐅_p(t)_𝐀(Σ-\{∞\})$
est engendré par (l'image de) $𝐅_p(t)$. Or, ce quotient est canoniquement
isomorphe à la somme directe $⨁_P 𝐅_p(t)_{P}/𝒪_{𝐅_p(t),P}$
et chaque facteur reçoit isomorphiquement $𝐅_p[t][1/P] / 𝐅_p[t]$.
Comme le morphisme évident $𝐅_p(t)/𝐅_p[t] → ⨁_P 𝐅_p[t][1/P] / 𝐅_p[t]$
est un isomorphisme, on a le résultat.

\item Cas général. Soit $L\bo K$ une extension finie de degré $d$ de corps
globaux. Il résulte du théorème \ref{adèles et cb} que le quotient $L_𝐀/L$ est
isomorphe, comme groupe topologique, à $(K_𝐀/K)^d$ ; c'est un produit
de compacts donc compact. De même l'image
de $L$ dans $L_𝐀$ est isomorphe à l'image de $K^d$ dans $K_𝐀^d$ ;
elle est donc discrète.
\end{itemize}

Le résultat de densité $K$, lorsque $U$ est un ouvert affine,
est un cas particulier de \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind} (cf. \ref{OKU Dedekind}.
(Il est également possible de donner une démonstration adélique
de ce résultat, en utilisant la dualité de Pontrâgin ; cf.
\cite[6.79]{suuron1@kato-kurokawa-saito}.)

(ii) Soit $U$ comme dans l'énoncé ; en particulier, $U$ ne contient pas
de place archimédienne. On a vu que le morphisme $K → K_𝐀$ est un isomorphisme
modulo les compacts. Or, $𝒪_K(U)$ est l'image inverse du fermé
$K_𝐀(U)$ par ce morphisme. D'après \ref{restriction isomorphisme modulo
compacts}, le morphisme $𝒪_K(U) → K_𝐀(U)$ est donc un isomorphisme
modulo les compacts. D'autre part, la projection $K_𝐀(U) ↠ ∏_{x ∉ U} K_x$
est également un isomorphisme modulo les compacts car son noyau
est le produit $∏_{u ∈ U} 𝒪_{K,u}$ de groupes compacts.
D'après \ref{composé isomorphismes modulo compacts},
le morphisme composé $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$ est donc
un isomorphisme modulo les compacts.
\end{démo}


\begin{corollaire2}
\label{finitude K inter O sur a}
Soit $K$ un \emph{corps de fonctions}.
Pour tout $a_𝐀 ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a_𝐀^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ est \emph{fini}.
\end{corollaire2}

Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est
le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
𝒪_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps
de fonctions.

\begin{démo}
D'après le théorème précédent, $K$ est discret dans $K_𝐀$.
D'autre part, $𝒪_{K_𝐀}$ est compact. L'intersection est donc finie.
\end{démo}

\begin{théorème2}[Formule du produit]
\label{formule du produit}
Soit $K$ un corps global.
Pour tout $a ∈ K^×$, le produit $|a|:=∏_{x ∈ Σ(K)} |a|_x$ des valeurs
absolues normalisées est égal à $1$.
\end{théorème2}

Notons que ce produit est bien défini d'après \ref{normes fonction presque
toutes petites}, et l'observation lui faisant immédiatement suite.

\begin{démo}
Il résulte du théorème de cocompacité précédent et
de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module et mesure quotients})
que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$.
D'autre part, il résulte immédiatement de la construction
de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite})
que $\module_K([×a])= ∏_x \module_{K_x}([×a])$.
Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD.
\end{démo}

\begin{démo}[Seconde démonstration (esquisse)]
On commence par vérifier la formule pour les rationnels
et les fractions rationnelles.
Si $a = ±∏_p p^{n_p} ∈ 𝐐$, on a $|a|_p=p^{-n_p}$ et $|a|_∞= ∏_p p^{n_p}$
de sorte que le résultat est évident.
Si $f = λ ∏_P P^{n_p} ∈ 𝐅_p(t)$, où les $P ∈ 𝐅_p[t]$ sont irréductibles
unitaires et $λ ∈ 𝐅_p^×$, on a $|f|_P=p^{-n_p \deg(P)}$ et $|f|_{∞}=p^{\deg(f)}$,
de sorte que le résultat vient de l'égalité tautologique $\deg(f)=∑_P n_P
\deg(P)$. (Rappelons que $\deg(f)$ est l'ordre du pôle en $∞$.)
Le cas général se ramène aux cas particulier précédents
car il résulte de la proposition \refext{AVD-D}{extensions valuations et norme}
que si $L\bo K$ est une extension de corps globaux
et $x$ une place de $K$, on a pour chaque $λ ∈ L$
la formule $|\N_{L\bo K}(λ)|_x = ∏_{y↦ x} |λ|_y$
et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$.
\end{démo}

\subsection{Idèles}

\subsubsection{}
\label{définition idèles}
Comme précédemment, on considère un corps global $K$, dont on note $Σ(K)$
l'ensemble des points et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des points ultramétriques. La construction
générale du §\ref{généralités produits restreints} nous permet de définir
le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪^×_{K,x}$
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\textbf{groupe des idèles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
\emph{continue} \XXX et son image est le groupe des éléments inversibles de
l'anneau $K_𝐀$ des adèles.

\begin{remarques2}
\label{discontinuité adélique}
Prendre cependant garde au fait que la topologie de $K^×_𝐀$ est n'est \emph{pas}
la topologie induite par l'inclusion ensembliste \mbox{$K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$} :
si pour chaque nombre premier $p$, $x_p$ désigne l'idèle de $𝐐$
dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$, la suite $x_p$ converge
vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais pas dans $𝐐^×_𝐀$

Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \module_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
n'est \emph{pas} continue pour la topologie adèlique, alors que sa restriction
en $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ l'est — essentiellement par définition — pour la topologie
idélique : si pour chaque entier $n$, $x_n$ désigne l'adèle de $𝐐$ tel que $x_{n,∞}=1$ et
$x_{n,p}=n!+1$ pour tout premier $p$, on a $|x_n|=(n!+1)^{-1}$, qui tend vers $0$
avec $n$, tandis que $x_n → 1$ dans $𝐐_𝐀$.
\end{remarques2}

On a cependant le résultat positif suivant, dont nous ferons usage ci-après.

\begin{proposition2}
\label{topologies induites coïncident}
Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀: |f|=1\}$
par les inclusions $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident.
De plus, pour chaque paire $b ≥ c >0$ de réels, l'ensemble
${K^×_𝐀}^{≤b \atop ≥c}$ est un \emph{fermé} de $K_𝐀$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Commençons par montrer que pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$,
le sous-ensemble $K^{×, ≥ c}_𝐀=\{g ∈ K^×_𝐀:|g| ≥ c\}$ est fermé
dans $K_𝐀$ ou, de façon équivalente, que son complémentaire
$K^{×, < c}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$ est ouvert. Fixons $c$ et considérons
un élément $f$ de ce complémentaire. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$
tel que $f ∈ K_𝐀(U)$. Quitte à rétrécir $U$, on peut
supposer de plus que l'on a l'inégalité $∏_{s ∉ U} |f_s|_s <c$.
Le complémentaire de l'ensemble $U$ dans $Σ(K)$ étant cofini,
l'application $g↦ ∏_{s ∉ U} |g_s|_s$ est \emph{continue}.
Il existe donc un voisinage $𝒱 ⊆ K_𝐀(U)$ de $f$ dans $K_𝐀$
tel que pour chaque $g ∈ 𝒱$ on ait $∏_{s ∉ U} |g_s|_s < c$.
Pour un tel $g$, on a $|g| ≤ ∏_{s ∉ U} |g_s|_s <c$, car $|g_u| ≤ 1$ pour
chaque $u ∈ U$, de sorte que l'ouvert $𝒱$ de $K_𝐀$ est contenu dans $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$.

Montrons maintenant que l'inclusion $K_𝐀^{×, ≥ c} ↪ K_𝐀$ induit un
homéomorphisme sur son image, c'est-à-dire que les deux topologies sur $K_𝐀^{×, ≥ c}$
déduites des inclusions dans $K^×_𝐀$ et $K_𝐀$ coïncident.
Pour chaque ouvert $U$ de $K$ les deux topologies sur $K^×_𝐀(U)$ coïncident
avec la topologie produit ; d'autre part, l'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
continue. Il résulte de ces deux observations qu'il suffit \XXX
de vérifier que pour chaque $f ∈ K^{×, ≥ c}_A$ il existe
un voisinage $𝒱$ de $f$ dans $K_𝐀$ et un ouvert $U$ de $K$
tels que l'on ait l'inclusion
\[
K^{ ≥ c}_𝐀 ∩ 𝒱 ⊆ K^×_𝐀(U).
\]
Soit $U$ un ouvert suffisamment petit de $K$ tel que $f ∈ K_𝐀(U)$
et soit $ρ$ un réel strictement supérieur au produit (fini) $∏_{s ∉ U} |f_s|_s$.
Comme précédemment, il existe un voisinage ouvert $𝒱$ de $f$ dans $K_𝐀$
contenu dans
\[K_𝐀(U) ∩ \{g ∈ K_𝐀 :  ∏_{s ∉ U} |g_s|_s < ρ\}.\]
Quitte à rétrécir davantage $U$, on peut supposer
d'après \ref{finitude-infinitude-places} que pour chaque
place $u ∈ U$, on a $N(u) ≥ ρ c^{-1}$.
Vérifions que $U$ et $𝒱$ conviennent ; considérons pour cela
$g ∈  K^{ ≥ c}_𝐀 ∩ 𝒱$. Comme $g$ appartient à
$K_𝐀(U)=∏_{s ∉ U} K_s × ∏_{u ∈ U} 𝒪_{K,u}$,
et que chaque $g_x$ est non nul, il nous faut montrer
que pour tout $u ∈ U$, $g_u ∈ 𝒪_{K,u}^×$.
Fixons un tel $u$. Par hypothèse, on a donc
\[
c ≤ |g|=∏_x |g_x|_x ≤ |g_u|_u × ∏_{s ∉ U} |g_s|_s < ρ |g_u|_u
\]
et par conséquent
\[
|g_u|_u=N(u)^{-v_u(g_u)} > c ρ^{-1}.
\]
Compte tenu du l'hypothèse faite sur le norme $N(u)$
de la place $u$, on a $v_u(g_u)<1$ d'où — par positivité
et intégrité — $v_u(g_u)=0$.

Les résultats établis permettent de conclure.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{idèles principaux}
Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, le groupe $K^×$ se plonge
naturellement dans $K^×_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K^×$
est une unité en $x$ pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Ainsi l'inclusion diagonale $K^× ↪ ∏_{x ∈ Σ(K)} K^×_x$
se factorise à travers l'inclusion $K^× ↪ K^×_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$
avec son image dans les idèles sur $K$, constituée des
\textbf{idèles principaux}. On note $C_K$ le groupe topologique
quotient $K^×_𝐀/K^×$ des \textbf{classes d'idèles} et
$C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀 /K^×$ son sous-groupe des classes
d'idèles de norme $1$. Prendre garde au fait que $C_K$ n'est
\emph{pas} compact. Cependant on a le résultat suivant.

\begin{théorème2}
\label{theoreme-unites-abstrait}
L'inclusion canonique $K^× → K^{×,=1}_𝐀$, où $K^×$ est muni de la
topologie discrète, est un isomorphisme modulo les compacts.
En particulier, $C_K^{=1}$ est \emph{compact}.
\end{théorème2}

\begin{démo}
La discrétion de $K^×$ dans $K^{×,=1}_𝐀$ ou,
de façon équivalente dans $K^×_𝐀$, résulte
de celle de $K$ dans $K_𝐀$ et de la continuité
de l'injection $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$.
Montrons maintenant que le quotient $K^{×,=1}_𝐀/K^×$
est compact en utilisant la compacité du quotient $K_𝐀/K$
et le résultat de comparaison \ref{topologies induites coïncident}.
Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar sur le groupe
(localement compact) $K_𝐀$ des adèles et notons $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}$
la mesure induite (\ref{module et mesure quotients}) sur le quotient $K_𝐀/K$ des adèles par le groupe
discret cocompact $K$. Le groupe des adèles n'étant \emph{pas} compact \XXX,
il existe d'après \ref{caractérisation compacité par mesure}
un compact $C₀$ de $K_𝐀$ tel que
$μ^{\mbox{\minus $+$}}(C₀)>\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$.
Soit $C$ l'ensemble des différences $\{g-h:g,h ∈ C₀\} ⊆ K_𝐀$ ;
c'est un compact de $K_𝐀$ par continuité de la soustraction,
séparation de $K_𝐀$ et compacité de $C₀$.
Notons $C^{=1}$ l'intersection $C ∩ K_𝐀^{=1} =C ∩ K_𝐀^{×,=1}$.
C'est un compact de $K_𝐀$, étant intersection du compact $C$
avec le fermé $K_𝐀^{=1}$ de $K_𝐀$ (\ref{topologies induites coïncident}).
Les deux topologies induites sur $K_𝐀^{=1}=K_𝐀^{×,=1}$ coïncidant,
$C^{=1}$ est donc un compact du groupe des idèles de norme $1$.
Montrons maintenant que $C^{=1}K^×=K_𝐀^{×,=1}$, ce qui suffit
pour montrer la compacité du quotient $K_𝐀^{×,=1}/K^×$.
Soit $f ∈ K_𝐀^{×,=1}$. Comme $μ^{\mbox{\minus
$+$}}(f^{-1}C₀)>\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}(K_𝐀/K)$,
il existe deux éléments distincts $g,h ∈ C₀$ tels que
$f^{-1}g-f^{-1}h = λ ∈ K$. En conséquence, $f = λ^{-1}(g-h)$ appartient
à $K^× C$, et même à $K^× C^{=1}$ car $|f|=1$. CQFD.
\end{démo}


Le théorème précédent a pour corollaire le fameux
théorème de Dirichlet suivant.

\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
\label{theoreme-unites-Dirichlet}
Soit $U$ un ouvert de $K$. L'application « logarithme »
$\log_𝐀:f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$
vers l'hyperplan $(⨁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des éléments de somme nulle
est un isomorphisme modulo les compacts et
le groupe $𝒪_K(U)^×$ est isomorphe à la somme directe de $𝐙^r$, où $r =
\max\{\mathrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini.
En particulier, si $K$ un corps de nombres, $r_{\RR},r_{\CC}$ sont les entiers tels que
la $𝐑$-algèbre $K_𝐑=K\otimes_{\QQ} \RR$ se décompose en
$\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entiers $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}

\begin{corollaire2}
\label{finitude-racines-unite}
Soit $K$ un corps global.
L'ensemble des racines de l'unité de $K$ est fini.
\end{corollaire2}

\begin{remarque2}
Lorsque $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes $k$,
il résulte de ce qui précède que le quotient $𝒪_K(U)^×/k^×$ est
libre de rang $r$. Sous cette forme, c'est un résultat initialement
dû à F. K. Schmidt (1931) ; cf. \cite[14.2]{Number@Rosen} ou
\cite[chap. 29]{Zahlen@Hasse} pour des démonstrations non adéliques.
\end{remarque2}

\begin{remarque2}
Lorsque $K$ est un corps de nombres, on peut montrer
(théorie du corps de classe) que le groupe $C_K$
se surjecte naturellement (mais non trivialement) sur
l'abélianisé du groupe de Galois de $K$ ; le noyau
de ce morphisme est la composante neutre de $C_K$. \XXX
\end{remarque2}

\begin{démo}
Soit $U$ comme dans l'énoncé.
Montrons le premier point.
Le groupe $𝒪_K(U)^×$ n'est autre que l'image inverse du sous-groupe
$K^{×,=1}_𝐀(U)=\big(∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×\big)^{=1}$ de $K^{×,=1}_𝐀$
par le plongement diagonal $K^× → K^{×,=1}_𝐀$. D'après le théorème
\ref{theoreme-unites-abstrait} précédent et \ref{restriction isomorphisme modulo
compacts}, le morphisme $𝒪_K(U)^× → K^{×,=1}_𝐀(U)$ est donc un isomorphisme modulo les compacts.
Il en est de même de la projection $K^{×,=1}_𝐀(U)↠ \big(∏_{x ∉ U} K^×_x \big)^{=1}$,
par compacité du produit $∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×$.
Enfin, chaque logarithme $K_x^× → 𝐑$, $f↦ \log(|f|_x)$ étant également un isomorphisme
modulo les compacts (que $x$ soit archimédienne ou ultramétrique),
il en est de même du produit $ ∏_{x ∉ U} K^×_x → ∏_{x ∉ U} 𝐑$ et de sa restriction à l'hyperplan de somme nulle.
Par composition (\ref{composé isomorphismes modulo compacts}), on en déduit
que $𝒪_K(U)^× → \big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ est un isomorphisme modulo les compacts.
Si $U=Σ(K)$, de sorte que $Σ(K)-U$ est vide — cas qui ne peut se produire que si $K$ est un corps
de fonctions —, le groupe $𝒪_K^×(U)$ est un sous-groupe \emph{compact} du
groupe \emph{discret} $K^×$ : c'est un groupe abélien fini
(\ref{discrétion et séparation quotient}, (i)).
Si $U ≠ Σ(K)$, notons $V$ le $𝐑$-espace vectoriel $\big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ ;
il est de dimension $r$. D'après ce qui précède, $𝒪_K(U)^×$
est extension de son image $Γ$ par le logarithme, qui est
un sous-groupe \emph{discret} et \emph{cocompact} de $V$,
par un sous-groupe fini de $K^×$. La conclusion résulte alors du lemme
(\ref{reseau-discret-cocompact}) ci-dessous.
\end{démo}

\begin{lemme2}
\label{reseau-discret-cocompact}
Soient $V$ un $𝐑$-espace vectoriel de dimension finie $r$
et $Γ$ un sous-groupe discret de $V$ tel que le quotient $V/Γ$
soit compact. Alors $Γ$ est isomorphe à $𝐙^r$.
\end{lemme2}

\begin{démo}
Soit $𝐑 Γ$ le $𝐑$-espace vectoriel engendré par $Γ$ dans $V$.
Le quotient $V/𝐑 Γ$ est séparé et est l'image continue du compact
$V/Γ$ ; c'est donc un compact. Comme c'est un $𝐑$-espace vectoriel,
on a nécessairement $V=𝐑 Γ$ : le groupe discret $Γ$ contient
une base de $V$. Soit $Γ′$ un sous-groupe engendré par une telle
base ; on a $Γ′ ⊆ Γ$. Le quotient $Γ/Γ′$ est discret, car $Γ$ l'est,
et compact, car fermé dans $V/Γ′$ isomorphe au tore $(𝐑/𝐙)^r$.
Ainsi, $Γ/Γ′$ est un groupe abélien fini et, en particulier,
il existe un entier non nul $n$ tel que $n(Γ/Γ′)=0$,
c'est-à-dire $Γ′ ⊆  Γ ⊆ \frac{1}{n} Γ′$.
La conclusion résulte aussitôt de la théorie
(élémentaire) des groupes abéliens de type fini.
Cf. \cite{} \XXX.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{définition-régulateur}
Soient $K$ un corps de nombres, $X$ l'ensemble de ses points ultramétriques
et $A$ l'ensemble des points archimédiens, de cardinal $r_𝐑 + r_𝐂 = r +1$.
D'après ce qui précède, le \emph{covolume} de
$\log_𝐀 𝒪_K^×$ dans l'hyperplan $H$ des vecteurs de somme nulle de $𝐑^A$
(muni de la mesure de Lebesgue usuelle) est fini.
On l'appelle \textbf{régulateur} de $K$.
De façon (superficiellement) plus explicite, on peut l'exprimer comme un
déterminant. Soient $u₁,…,u_{r}$ des éléments constituant une base de $𝒪_K^×$ modulo torsion
et considérons la matrice $r×(r+1)$ dont la $i$-ième ligne
est $(\log |u_i|_{K_a})$, pour $a ∈ A$.
Par la formule du produit, la somme des colonnes est nulle :
chaque ligne appartient à l'hyperplan $H$.
Le régulateur est le déterminant
de la matrice précédente à laquelle on retire une colonne (quelconque).

Exemples. [...] Lien avec la formule des classes. \XXX

\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps global}
\label{quasi-caractères globaux}

\subsubsection{}
Soit $K$ un corps global. Le morphisme « norme »
$K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$, $(f_x)↦ ∏_x |f_x|_x$, se factorise par
la formule du produit en un morphisme $C_K → 𝐑_{>0}$,
dont le noyau est le groupe compact $C_K^{=1}$.
Si $K$ est un corps de nombres, le morphisme $C_K → 𝐑_{>0}$
est \emph{surjectif} et possède une section canonique
envoyant un réel $t$ strictement positif sur la classe
de l'idèle $(f_x)$, où $f_x=t^{1/[K:𝐐]}$ si $x$ est archimédien
et $f_x=1$ sinon. Si $K$ est un corps de fonctions,
l'image de la norme est trivialement un sous-groupe de la forme
$q^{d 𝐙}$, où $q$ est le cardinal du corps des constantes de $K$
et $d$ est un entier strictement positif. (En fait, on peut montrer,
cf. \ref{} \emph{infra}, que l'on a $d=1$.) Dans ce cas, il n'y a en général pas
de section canonique.

\begin{remarque2}
Le fait que l'entier $d$ ci-dessus soit égal à $1$
revient à dire, dans le langage qui sera introduit ci-dessous,
qu'il existe sur $K$ un « diviseur de degré $1$ ».
%Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.)
\end{remarque2}

D'après \ref{quasi-caractères Rplusétoile} et
\ref{quasi-caractères Z}, on a :

\begin{proposition2}
Le groupe des quasi-caractères des classes d'idèles $C_K$ est un groupe de Lie
complexe dont la composante connexe est isomorphe à $𝐂$ dans
le cas d'un corps de nombres et à $𝐂/𝐙$ dans le cas
d'un corps de fonctions. Le groupe de composantes connexes
est isomorphe au dual de Pontrâgin de $C_K^{=1}$.
Pour tout quasi-caractère $χ$ de $C_K$, il existe un
\emph{unique} $σ ∈ 𝐑$ tel que $|χ(ι)|=|ι|^σ$ pour toute classe $ι ∈ C_K$.
\end{proposition2}

\subsubsection{}Le groupe topologique $𝐂/𝐙$ est bien entendu
isomorphe, par l'exponentielle, au plan complexe épointé $𝐂^×$.
Comme dans le cas local (\ref{notation quasi-caractère dual}), l'ensemble des quasi-caractères est équipé
d'une involution $χ↦  \chap{χ}=χ^{-1} ω₁$, où $ω_σ=|⋅|^σ$.

\subsubsection{}
\label{décomposition et partie réelle quasi-caractère global}
On note $σ=\Re(χ)$ le réel défini ci-dessus, appelé
\textbf{partie réelle} du quasi-caractère $χ$ (cf. \ref{partie réelle quasi-caractère local}).
Voyons son rapport avec la définition locale. La donnée du quasi-caractère $χ$ est équivalente à celle d'une
famille $χ_x : K_x^× → 𝐂^×$ de quasi-caractères locaux satisfaisant les
conditions suivantes :

— $χ_x$ est \emph{net} pour presque tout $x$ ;

— $∏_x χ_x(λ_x)=1$ pour chaque $λ ∈ K^×$.

Pour chaque place $x$, le quasi-caractère local $χ_x$
n'est autre que le morphisme envoyant $a_x ∈ K_x^×$
sur $χ(\gtilde{a_x})$, où l'idèle $\gtilde{a_x}$
a toutes ses composantes égales à $1$ sauf celle en $x$,
qui est $a_x$.
Comme $|\gtilde{a_x}|=|a_x|_x$ et $|χ(a)|=|a|^σ$
(par définition), on en déduite que les parties
réelles $\Re(χ_x)$ sont toutes égales à $σ$.


\subsubsection{Caractères de Hecke} \XXX

\subsection{Groupes de Picard}
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits}

\subsubsection{}
\label{définition diviseur}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert
dense de $K$, c'est-à-dire une partie cofinie
de l'ensemble $X$ des places ultramétriques de $K$.
Notons $\Div(U)$ le groupe abélien $⨁_{u ∈ U} 𝐙$ des
\textbf{diviseurs} sur $U$.
Tout idèle $(f_x)$ de $K$ définit naturellement un diviseur
\[
\div_U((f_x))=∑_{u ∈ U} v_u(f_u) ⋅ u ∈ \Div(U),
\]
où $v_u:K_u^× ↠ 𝐙$ est la valuation normalisée.
On note également $\div$ le morphisme $\div_X$.

\subsubsection{}
L'application $\div_U:K^×_𝐀 → \Div(U)$ est surjective,
de noyau $K^×_𝐀(U)= ∏_{u ∈ U} 𝒪_{K_u}^× × ∏_{y ∈ Σ(K)-U} K_y^×$.
(Si $U=X$, on note aussi $𝒪_{K_𝐀}^×$ ce sous-groupe de $K^×_𝐀$.)
Les diviseurs dans le sous-groupe $\div_U(K^×)$ de $\Div(U)$
sont appelés \textbf{diviseurs principaux} (sur $U$).
On appelle \textbf{groupe de Picard} de $U$, le quotient
\[
\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙).
\]
D'après ce qui précède, on a un isomorphisme naturel, induit par $\div_U$,
\[
K^× \backslash K^×_𝐀∕K^×_𝐀(U) ⥲ \Pic(U),
\]
ou encore
\[
C_K/C_K(U) ⥲ \Pic(U),
\]
où l'on note
$C_K(U)$ l'image de $K^×_𝐀(U)$ dans le groupe $C_K$ des classes d'idèles.

\begin{remarque2}
\XXX On a une classification des fibrés de rang $n$ comme
un double quotient $\GL_n(K) ∖ \GL_n(K_𝐀) ∕ \GL_n(𝒪_{K_𝐀})$.
\end{remarque2}

\subsubsection{}
\label{formule du produit additive}
Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$} de corps des
constantes $k$, il est intéressant de considérer l'application \textbf{degré}
\[
\deg:\Div(X) → 𝐙
\]
\[
∑_x n_x ⋅ x ↦ ∑_x n_x [κ(x):k].
\]
En d'autres termes, on étend la fonction $\deg(x)=[κ(x):k]$
à $\Div(X)$ par additivité. La formule du produit
(\ref{formule du produit}) se traduit en la « formule des résidus » suivante :
\[\deg ∘ \div =0.\]
Le morphisme degré se factorise donc en un morphisme $\Pic(X) → 𝐙$,
on note $\Pic⁰(X)$ le noyau, constitué des \textbf{classes de diviseurs de degré nul}.
La description adélique précédente devient
\[
K^× \backslash K^{×,=1}_𝐀∕𝒪^×_{K_𝐀} ⥲ \Pic⁰(X),
\]
ou encore
\[
C^{=1}_K/C^{=1}_K(X) ⥲ \Pic⁰(X),
\]
où l'on note
$C^{=1}_K(X)$ l'image de $K^×_𝐀(X)$ dans le groupe $C^{=1}_K$ des classes d'idèles.

\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
\item Si $K$ est un corps de fonctions, $\Pic⁰(X)$ est fini.
\item Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic(X)$ est fini.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
(i) On a vu en \ref{theoreme-unites-abstrait} que le groupe $C^{=1}_K$ est
compact. Le sous-groupe $K_𝐀^×(X)$ de $K^{×,=1}_𝐀$ étant ouvert,
il en est de même de $C^{=1}_K(X)$ dans $C^{=1}_K$. Le quotient $C^{=1}_K ∕
C^{=1}_K(X)$ est donc à la fois compact et discret donc fini (\ref{discrétion et
séparation quotient}). (ii) Pour la même raison que précédemment, le quotient $C_K ∕ C_K(X)$
est discret. Pour montrer qu'il est fini, il suffit de montrer que le morphisme
continu $C^{=1}_K → C_K ∕ C_K(X)$ est \emph{surjectif}. Montrons
plus précisément que le morphisme $K^{×,=1}_𝐀 → K^×_𝐀 / K^×_𝐀(X)$ est surjectif,
c'est-à-dire que l'on a l'égalité $K^×_𝐀 = K^{×,=1}_𝐀 K^×_𝐀(X)$,
ou encore, par translation multiplicative, qu'il existe des idèles dans $ K^×_𝐀(X)$ de norme
arbitraire. Cela résulte de l'existence
d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$
et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
[détailler \XXX]
\end{démo}


\subsubsection{}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense \emph{affine} de $K$
de sorte que $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de corps
des fractions $K$ (cf. \ref{normalité triviale}, \ref{OKU Dedekind}).
L'application $U ⥲ \Specmax(𝒪_K(U))$ (cf. \emph{loc. cit.}), s'étend par linéarité
en une application surjective $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$, où le terme de droite
est le groupe de Picard défini en \refext{AVD-D}{définition groupe Picard
Dedekind}, quotient du groupe des idéaux fractionnaires inversibles de $𝒪_K(U)$
par le sous-groupe de ses idéaux fractionnaires principaux. Le noyau de $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$
étant $\div_U(K^×)$ [détailler \XXX], on a :

\begin{proposition2}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense affine de $K$.
Le morphisme naturel $\Pic(U) → \Pic(𝒪_K(U))$ est un
\emph{isomorphisme}.
\end{proposition2}

\begin{corollaire2}
Soit $K$ un corps de nombres.
Le groupe $\Pic(𝒪_K)$ est fini.
\end{corollaire2}

\begin{démo}[Seconde démonstration]
Rappelons (\XXX) que la norme d'un idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$
est le cardinal $N(𝔞)$ du quotient $𝒪_K/𝔞$. Commençons par établir
un premier résultat de finitude : \emph{pour tout entier $n$ il existe
un nombre fini d'idéaux $𝔞$ de norme $n$}. En effet, si $𝔞$ est un tel
idéal, on a $(n) ⊆ 𝔞$, car $n ⋅ 1_{𝒪_K}$ est d'image nulle dans le quotient
$𝒪_K/𝔞$. Comme le quotient $𝒪_K/(n)$ de l'anneau de Dedekind $𝒪_K$ est fini,
le nombre de possibilités pour $𝔞$ est également fini.
Soit maintenant $ℬ=\{x₁,…,x_d\}$ une base de $𝒪_K$ sur $𝐙$.
Posons
\[
μ_ℬ = ∏_{σ ∈ \Hom_𝐐(K,𝐂)} ∑_{x ∈ ℬ} |σ(x)|.
\]
Vérifions que pour chaque idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$,
il existe un élément $a ≠ 0$ tel que
\[
|N_{K \bo 𝐐}(a) ≤ N(𝔞) × μ_ℬ.
\]
Soit $r$ un entier tel que $r^d ≤ N(𝔞) < (r+1)^d$.
Comme $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient $𝒪_K/𝔞$,
il existe par le principe des tiroirs deux éléments
$b=∑_{x ∈ ℬ} n_x x$ et $b′=∑_{x ∈ ℬ} m_x x$, où $0 ≤ n_x,m_x ≤ r$,
tels que $a=b-b′=∑_x a_x x$ appartienne à  l'idéal $𝔞$. Par construction, on a
$N_{K \bo 𝐐}(a)=∏_σ |σ(a)| ≤ r^d μ_ℬ$ car chaque coefficient $|a_x|$ est majoré
par $r$ et $\# \Hom_{𝐐}(K,𝐂)=d$.
Pour achever la démonstration du corollaire, il suffit de vérifier
que tout idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$ est dans la classe d'un idéal
de norme inférieure ou égale à $μ_ℬ$.
Soit $𝔞$ un tel idéal non nul et $𝔟$ un idéal de $𝒪_K$ 
dans la classe de $𝔞^{-1}$. D'après ce qui précède,
il existe $b ∈ 𝔟$ non nul tel que $N_{K \bo 𝐐}(b)=N((b))$ soit
inférieur ou égal à $N(𝔟) μ_ℬ$. Comme $(b) ⊆ 𝔟$, on a $(b)=𝔟 𝔠$ pour un
idéal $𝔠$, nécessairement dans la classe de $𝔞$.
D'autre part, on a $N((b))=N(𝔟)N(𝔠)$ d'où $N(𝔠) ≤ μ_ℬ$.
CQFD.
\end{démo}

\subsubsection{}
\label{définition diviseur effectif}
On appelle \textbf{diviseur effectif}\footnote{On évite la terminologie
« diviseur positif » qui peut prêter à confusion dans un contexte plus
général.} sur $U$ tout élément du sous-monoïde $\Div_+(U)$ de $\Div(U)$
des diviseurs à coordonnées toutes positives ou nulles.
À ce sous-monoïde est associé une relation d'ordre :
on dit que $D=∑_u n_u ⋅ u$ est supérieur ou égal à $D′ = ∑_u n_u′ ⋅ u$
si et seulement si $D - D′ ∈ \Div_+(U)$, c'est-à-dire si et seulement si
$n_u ≥ n_u′$ pour chaque $u ∈ U$.

\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.

\subsection{Caractères et transformation de Fourier adéliques}

\subsubsection{Notations}
\label{produit externe restreint}
À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
$f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$
de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$,
c'est-à-dire envoyant un adèle $(a_x)$ sur le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} f_x(a_x)$.
C'est une fonction continue, que l'on notera aussi simplement
$f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant à l'esprit que la donnée de la fonction produit
externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver
les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA}
ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de considérer la partie
archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}:K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$,
et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathrm{ultr}}  → 𝐂$.
Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$.

\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\commentaire{Bonne définition ? Kudla [Tate]/Weil [1964b]}
\label{Bruhat-Schwartz adélique}
On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients
complexes de produits externes restreints $f_𝐀=(f_x)$
où chaque $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}), et $f_x = 𝟭_{𝒪_{K,x}}$ pour
presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
% cf. Kudla, « Tate's thesis »
%p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
%\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
%L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
%des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
%p. 178 et p. 189. \XXX
Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i)
qu'il existe un élément $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $𝒪_{K,x}$
pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Dans ce cas, toute fonction $f_𝐀 ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}  𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).

\subsubsection{Caractères additifs $𝐐_𝐀$}
\label{caractères additifs QA}
Notons $ψ_𝐐$ le produit externe restreint des caractères $𝐞_{p}$
définis en \ref{caractère corps local} et satisfaisant
la condition $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$ pour tout nombre premier $p$.
Explicitement : $ψ_𝐐$ envoie $a_𝐀=(a_p)$
sur le produit (à support fini) $∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{a_p\}_p
-a_∞)$, où $𝐞(λ)=\exp(2πiλ)$ pour chaque $λ ∈ 𝐑$.
C'est un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
du produit (\ref{formule du produit}).
Pour chaque $p ∈ Σ(𝐐)$, notons $a_p↦ a_p^𝐀$ la section additive
évidente du morphisme $𝐐_𝐀 ↠ 𝐐_p$ : $a_p^𝐀=(a_ℓ)_{ℓ ∈ Σ(𝐐)} ∈ 𝐐_𝐀$, où $a_ℓ$
vaut $0$ si $ℓ ≠ p$ et $a_p$ sinon ; par construction, $(a_p b_p)^𝐀=a_p^𝐀
b_p^𝐀$ et $ψ_𝐐(a_p^𝐀)=𝐞_p(a_p)$.

Montrons que le morphisme $a_𝐀↦ [×a_𝐀]^*ψ_𝐐$, $𝐐_𝐀 →  \chap{𝐐_𝐀}$
est un \emph{isomorphisme}, où $\chap{𝐐_𝐀}$ désigne le groupe
additif des caractères \emph{continus} de $𝐐_𝐀$
à valeurs dans $𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
L'injectivité de $𝐐_𝐀 →  \chap{𝐐_𝐀}$ résulte de \ref{dual corps local}
et de l'égalité $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐(a_𝐀 b_p^𝐀)$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$
et tout $b_p ∈ 𝐐_p$. Pour démontrer la surjectivité,
il suffit d'après \emph{loc. cit.} de vérifier que tout
caractère $ψ ∈ \chap{𝐐_𝐀}$ est un produit restreint
de caractères $ψ_p$, triviaux sur $𝐙_p$ pour presque tout $p$.
Or, $ψ$ induit un caractère \emph{continu} $Ψ$ du produit
$G=∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$, c'est-à-dire du complété
profini $\lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
C'est un groupe \emph{profini} (cf. \refext{Krull}{}).
\commentaire{déplacer dans [Krull] ?}
(Le groupe $G$ est habituellement noté $\chap{𝐙}$.) Soit $V ⊆ 𝐔$
un voisinage ouvert de $1$ ne contenant pas de sous-groupe non trivial,
par exemple $V=\{z ∈ 𝐂: |z-1|<1\} ∩ 𝐔$.
Alors $Ψ^{-1}(V)$ est ouvert, contient un \emph{sous-groupe} ouvert compact $C=nG$ de $G$
— car ceux-ci forment une base de la topologie de $G$ —
et $\Ker(Ψ) ⊆ C$. Le caractère $Ψ$ est donc trivial sur les $𝐙_p$
pour chaque $p$ ne divisant pas $n$. CQFD.

Montrons maintenant que $𝐐$ est orthogonal à lui-même, c'est-à-dire qu'un
élément $a_𝐀$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
$ψ_𝐐(a_𝐀  b)=1$ pour tout $b∈𝐐 ⊆ 𝐐_𝐀$, ou encore si et seulement si
la restriction de $[×a_𝐀]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
Soit $a_𝐀 ∈ 𝐐^⊥$ ; on peut le décomposer en une somme
$a_𝐀=λ + c_𝐀$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
diagonalement) et $c_𝐀=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
(voir \ref{cocompacité} (i), démonstration). Naturellement,
$c_𝐀$ appartient également à $𝐐^⊥$ car l'orthogonal $𝐐^⊥$ est un sous-$𝐐$-espace
vectoriel des adèles. En particulier, $1=ψ_𝐐(c_𝐀)$. Comme
$ψ_𝐀(c_𝐀)=𝐞_{∞}(-c_∞)$, on a $c_∞=0$. Ainsi,
$[×c_𝐀]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
(\emph{loc. cit.}) sur $𝐐_𝐀$ tout entier. Ainsi, $c_𝐀=0$. CQFD\footnote{En utilisant un peu la théorie
de la dualité, on pourrait montrer que le quotient
$𝐐^⊥ \bo 𝐐$ est discret. Comme il est compact,
car $𝐐_𝐀 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]

\begin{remarque2}
On peut montrer que tout caractère continu d'un produit
de groupes compacts a presque tous ses facteurs triviaux.
\end{remarque2}


\subsubsection{Caractères additifs de $𝐤_𝐀$, où $𝐤=𝐅_p(t)$, $p>0$ premier}
\label{caractères additifs kA}
Notons $∞$ la place correspondant à l'idéal
premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$
et $ψ_∞$ le caractère additif du corps local $𝐤_∞$,
construit en \ref{exemples caractères additifs locaux} :
si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$, avec $c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$,
\[
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
Notons $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idéal maximal de l'anneau
$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ :
le niveau  (\ref{niveau caractère}) de $ψ_∞$ est égal à $-2$.
Rappelons (\ref{cocompacité}, démonstration) que
le morphisme canonique du compact $C=∏_x 𝒪_{𝐤,x}$ vers le quotient
$𝐤_𝐀 \bo 𝐤$ est une surjection. Comme le caractère $ψ_∞$
est trivial sur $𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤,∞}$, le caractère composé
$∏_x 𝒪_{𝐤,x} ↠ 𝒪_{𝐤,∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
induit un caractère additif (continu) $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x$
des adèles, trivial sur $𝐤$. Pour chaque $x ≠ ∞$, le caractère
local $ψ_{𝐤,x}$ est par construction trivial
sur $𝒪_{𝐤,x}$. Montrons qu'il est de niveau nul.
Notons $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant
à $x$, que l'on peut écrire sous la forme $ϖ_x=t^{δ_x}u$,
où $δ_x=\deg(ϖ)$ et $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ est de degré inférieur ou égal à $δ_x$
en $t^{-1}$.
Tout élément $f$ du complété $ϖ_x$-adique $𝐤_x$ s'écrit
de manière unique $∑_{i ≥ -r} c_i(t) ϖ_x^i$, où $r ∈ 𝐙$
et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynôme de degré strictement
inférieur à $δ_x=\deg(ϖ_x)$. On peut décomposer $f$ en
la somme d'un élément $f_+$ de $𝒪_{𝐤,x}$ et d'un élément
\[
f_-=\frac{λ_{\max }t^{r δ_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
\]
pour un entier $r>0$ et des $λ_i$ dans $𝐅_p$.
Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{\max})$ et
$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_-$ appartient à $𝒪_{𝐤,y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
Ainsi le nombre $ψ_{𝐤,x}(f)$, qui coïncide avec $ψ_{𝐤,x}(f_-)$,
est égal à $ψ_{𝐅_p}(-λ_{\max})$.
% itou pour 𝐞_{𝐤_x,dt} — car $dt ∈ 𝒪_{𝐤_x}d ϖ_x$ —,
En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x)$, égal
à $ψ_{𝐤,x}(ϖ_x^{-1})$ car $t^{δ_x-1}$ est une unité en
$x ≠ ∞$, vaut $ψ_{𝐅_p}(-1) ≠ 0$.
Ceci montre bien que le niveau de $ψ_{𝐤,x}$ est nul.

Montrons maintenant que le morphisme $𝐤_𝐀 → \chap{𝐤_𝐀}$, $a↦ [×a]^* ψ_𝐤$ est un
isomorphisme. 
L'injectivité résulte, comme dans le cas du corps
des rationnels, de la dualité locale \ref{dual corps local}
et du fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont non triviaux.
La surjectivité se démontre comme ci-dessus,
le groupe profini $G$ remplacé par le produit $∏_x 𝒪_{𝐤,x}$,
en utilisant le fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont de niveau
nul pour $x ≠ ∞$. (Qu'ils le soient presque tous suffirait.)
 
Vérifions enfin que $𝐤$ est orthogonal à lui-même pour cet accouplement.
Soit $a_𝐀 ∈ 𝐤^⊥ =\{b_𝐀 ∈ 𝐤_𝐀 : ψ_𝐤(b_𝐀 𝐤)=\{1\}\}$.
On peut écrire $a_𝐀=f + c_𝐀$ où $f$ appartient à $𝐤$ (plongé
diagonalement) et $c_𝐀=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤,x}$ (\ref{cocompacité}). Quitte
à translater par une constante dans $𝐅_p$, on peut
supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞$.
Naturellement, $c_𝐀 ∈ k^⊥$ et $1=ψ_𝐤(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
si bien que $c_∞ ∈ 𝔪_∞²$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐤$ est trivial sur $C$ et $𝐤$ donc
(\emph{loc. cit.}) sur $𝐤_𝐀$ tout entier. Finalement,
$c_𝐀=0$ et $a_𝐀 ∈ 𝐤$. CQFD.

\begin{exercice2}
Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=[×±1]^*𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
\end{exercice2}

\begin{théorème2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}
Soit $K$ un corps global.
Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$
% dire que OPS ψ_x tous non triviaux ?
et (pour chaque tel $ψ$) le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
est un isomorphisme. De plus, $K$ est orthogonal à lui-même :
si $a_𝐀  ∈ K_𝐀$ et $ψ(λ a_𝐀)=1$ pour tout $λ ∈ K$, on a $a_𝐀 ∈ K$.
\end{théorème2}

Un mot sur la terminologie : le caractère $ψ$
induit une application linéaire de $𝐙$-modules
$K_𝐀 ⊗_𝐙 K_𝐀 → 𝐂^×$, $x ⊗ y↦ ψ(xy)$. L'ensemble
orthogonal considéré dans l'énoncé n'est autre
que l'ensemble $K^⊥$ relativement à cet
accouplement.

\begin{démo}
Si $K$ est $𝐐$ ou un corps $𝐤=𝐅_p(t)$ ($p>0$), cela résulte
de ce qui précède. D'après \ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1},
il suffit donc de vérifier que si le théorème est vrai pour un corps global $K$,
il l'est également pour une extension étale $L$ de $K$.
Fixons une telle extension et un caractère additif non trivial $ψ_{K}$
de $K_𝐀$, trivial sur $K$. On peut également supposer
que ses composantes locales sont toutes non triviales
car c'est le cas pour $K=𝐐$ ou $𝐤$.

\emph{Existence d'un caractère adélique non trivial.}
Il résulte de la surjectivité de la trace adélique (\ref{adèles et cb})
que le caractère $ψ_L:=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$
est également non trivial. Comme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(L)=K$,
ce caractère est trivial sur $L$.

\emph{Injectivité du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$.}
Soient $a_𝐀 ∈ L_𝐀$ un adèle de $L$ et $x$ une place
de $K$. Si  $ψ_L(a_𝐀 L_𝐀)=\{1\}$, on a en particulier
$ψ_{K,x}(\Tr_{L_x \bo K_x}(a_x L_x))=\{1\}$, où
$a_x=(a_y)_{y↦ x}$. Comme $ψ_{K,x}$ est supposé non trivial
et que $\Tr_{L_x \bo K_x}(a_xL_x)=K_x$ sauf si $a_x=0$.
Ceci permet de conclure.

\emph{Surjectivité du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$.}
Soit $ψ ∈ \chap{L_𝐀}$ et fixons un isomorphisme
de $K_𝐀$-algèbres $ι:L_𝐀 ⥲ K_𝐀^n$ comme en \ref{adèles et cb}.
Il résulte de la dualité pour $K_𝐀$ qu'il existe un vecteur
adélique $v_𝐀 ∈ K_𝐀^n$ tel que $ψ(b_𝐀)=ψ_K(⟨v_𝐀, ι(b_𝐀)⟩)$ pour chaque $b_𝐀 ∈ L_𝐀$.
\commentaire{un peu moche...}
D'après \emph{loc. cit.}, il existe un élément $a_𝐀$
tel que la forme linéaire $b_𝐀↦ ⟨v_𝐀, ι(b_𝐀)⟩$ soit
$\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a_𝐀]$. CQFD.

\emph{Orthogonalité.} Si $ι(a_𝐀)=({a₁}_𝐀,…,{a_n}_𝐀) ∈ K_𝐀^n$,
$\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(a_𝐀 L)=∑_i {a_i}_𝐀 K$.
En conséquence, $ψ_L(a_𝐀 L)=\{1\}$ si et seulement
on a $ψ_K({a_i}_𝐀 K)=\{1\}$ pour chaque $i$.
Ceci ne se produit que si chaque ${a_i}_𝐀$ est dans $K$.
\commentaire{mini-doute}
L'isomorphisme $ι$ envoyant $L$ sur $K^n$, on a le résultat.
\end{démo}

Question : si non trivial et trivial sur $K$,
non trivialité partout n'est-elle pas automatique
(par approximation) ? \XXX

\begin{corollaire2}
\label{dual des classes de adèles}
Soient $K$ un corps global et $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
Le morphisme canonique $K ⥲ \chap{K_𝐀/K}$, $λ↦ [× λ]^* ψ$
est un \emph{isomorphisme}. De plus, le niveau des caractères locaux $ψ_x$
est nul pour presque tout $x$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Vérifions la première assertion. Si $ψ′$ est un caractère de $K_𝐀$, il existe
un unique $a_𝐀 ∈ K_𝐀$ tel que $ψ′=[×a_𝐀]^* ψ$.
Si $ψ′_{|K}$ est trivial, on a $a_𝐀 ∈ K^⊥=K$. CQFD.
Vérifions maintenant que le niveau des composantes locales est presque toujours nul.
D'après l'isomorphisme précédent et le fait qu'un élément
de $K^×$ est une unité en presque toute place, il suffit
de vérifier l'énoncé pour un seul caractère non trivial $ψ$ des classes
d'adèles. Soit $L\bo K$ une extension
séparable, $x$ une place de $K$ nette dans $L$, et $ψ_x$ un caractère additif
de $K_x$ de niveau nul. Pour chaque $y↦ x$, le caractère $ψ_y =ψ_x ∘  \Tr_{L_y \bo
K_x}$ de $L_y$ est de niveau nul (\ref{niveau reste nul si extension nette}).
Comme presque tous les points sont nets (\refext{AVD-D}{extension est presque partout nette}
[résulte aussi de \ref{adèles et cb} \XXX]),
on constate que si le résultat à démontrer est vrai pour un caractère $ψ$
sur $K$, il l'est également pour $ψ ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$.
D'après \ref{caractères additifs QA} et \ref{caractères additifs kA},
il en est ainsi lorsque $K$ est $𝐐$ ou $𝐤$. Ceci suffit pour conclure.
(Voir \cite[IV.§2, corollaire 1]{BNT@Weil} pour un argument topologique
n'utilisant pas cette réduction au cas particuliers des corps $𝐐$ et $𝐤$.)
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\label{caractères séparent les points}
Soit $K$ un corps global. Les caractères
du groupe abélien compact $K_𝐀∕K$ \emph{séparent les points} :
pour toute paire $x,y ∈ K_𝐀∕K$ de points distincts,
il existe un caractère $ψ_{x,y} ∈ \chap{K_𝐀∕K}$ tel que
$ψ_{x,y}(x) ≠ ψ_{x,y}(y)$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Par translation, on peut supposer $y=0$.
Soit $ψ$ un caractère non trivial de $K_𝐀 ∕ K$.
D'après le corollaire précédent, il faut montrer
qu'il existe un $λ ∈ K$ tel que $ψ(λ x) ≠ 1$.
Ceci résulte du fait que $x ∉ K$ et de l'égalité
$K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}).
\end{démo}

\begin{remarque2} \XXX
\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
On peut montrer que si $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
et $ω$ une forme différentielle non nulle,
pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_{K,x})=\{1\}$.
De plus, on peut identifier $K^⊥$ à $Ω¹_{K \bo 𝐅_p}$. \XXX
% cf. Tate, cours à Harvard.
\end{remarque2}

\subsubsection{Transformation de Fourier sur $K_𝐀$}
\label{définition Fourier adélique}
Soient $K$ un corps global et $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
sur $K$. Pour chaque place $x$ de $K$, considérons la transformée
de Fourier locale autoduale $ℱ_{ψ_x}$ (\ref{Fourier et mesure locaux}).
Si $f=\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x f_x$
appartient à l'espace de Bruhat-Schwartz (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
les fonctions $ℱ_{ψ_x}(f_x)$ sont presque toutes égales à $𝟭_{𝒪_{K,x}}$ :
cela résulte du fait que le niveau $n(ψ_x)$ sont presque tous nuls
(\ref{dual des classes de adèles}) et de la dualité locale (\ref{Fourier et
mesure locaux}, (i) et (v)). La fonction $ℱ_ψ(f):=
\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x ℱ_{ψ_x}(f_x)$ appartient
donc également à $𝒮(K_𝐀)$ ; on étend cette définition à $𝒮(K_𝐀)$ tout
entier par linéarité. On peut réécrire cette définition de la
transformation de Fourier $ℱ_ψ$ sous une forme globale.
Notons $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure de Radon
produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ sur $K_x$
(\ref{mesure produit-colimite}),
de sorte que si $f$ est une fonction continue sur $K_𝐀$
prolongement par zéro d'une fonction $f_U$ sur l'ouvert $K_𝐀(U)$
(\ref{définition adèles}), on a
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ(f)= ∫_{K_𝐀(U)} f_U μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_U} =
∏_{u ∈ U} \Big( ∫_{K_u} f_u μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_u} \Big),
\]
où le terme de droite est une définition du terme central.
Avec ces notations, il est tautologique que pour chaque $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$
et chaque adèle $a ∈ K_𝐀$, on a
\[
ℱ_ψ(f)(a_𝐀)=∫_{K_𝐀} f ψ_{a}   dμ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ,
\]
où $ψ_{a}=[× a]^* ψ$. Explicitons maintenant cette construction dans deux cas
particuliers.

— Transformation de Fourier sur $𝐐_𝐀$. Considérons une
fonction $f^{\mathrm{arch}} ∈ 𝒮(𝐑)=𝒮(𝐐_∞)$, un entier relatif
$N∈ 𝐙-\{0\}$ et un rationnel $o ∈ 𝐐$. Il résulte
des égalités $𝟭_{o_p+ N 𝐙_p}=[-o_p]^* [×\frac{1}{N}]^* 𝟭_{𝐙_p}$,
du formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} (ii--iii) et
de la formule du produit $∏_p |N|_p=1/|N|$ que l'on a l'égalité
\[
ℱ_{ψ_𝐐}(f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐙}})=
\big( \frac{1}{|N|} ℱ_{𝐑}(f^{\mathrm{arch}}) \big) ⊠
\big( [×o]^* ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐙}}\big) \tag{$⋆$},
\]
où $ψ_𝐐^{\mathrm{ultr}}=(𝐞_p)_p$ désigne le caractère additif des adèles finis
déduit de $ψ_𝐐$ et l'on rappelle que
l'on note $\chap{𝐙}$ le complété profini $∏_p 𝐙_p = \lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
Il en résulte qu'une telle fonction $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ 𝟭_{o+N
\chap{𝐙}}$ satisfait la \emph{formule de Poisson adélique}
\[
∑_{λ ∈ 𝐐} f(λ)=∑_{λ ∈ 𝐐} ℱ_{ψ_𝐐}(f)(λ), \tag{$⋆⋆$}
\]
En effet, compte tendu du calcul $(⋆)$ de la transformée de Fourier,
la formule de Poisson à établir se réécrit :
\[
∑_{λ ∈ o+N 𝐙} f^{\mathrm{arch}}(λ)=\frac{1}{|N|} ∑_{λ ∈ N^{-1} 𝐙} 𝐞_∞(-λ o)
\chap{f^{\mathrm{arch}}}(λ).
\]
Cette dernière résulte de la formule de Poisson archimédienne classique
appliquée à la fonction $φ(λ)=f^{\mathrm{arch}}(N λ + o)$, dont la transformée
de Fourier est $λ↦ \frac{1}{|N|} 𝐞_∞(-λ o/N)\chap{f^{\mathrm{arch}}}(\frac{λ}{N})$.
Par linéarité et l'observation faite en (\ref{Bruhat-Schwartz adélique}),
la formule de Poisson $(⋆⋆)$ est valable pour toute fonction $f ∈ 𝒮(𝐐_𝐀)$ ;
c'est aussi un cas particulier de la formule \ref{Fourier adélique} établie ci-dessous.

—- Transformation de Fourier sur $𝐤_𝐀$. Notons $𝐤$ le corps $𝐅_p(t)$, pour un
nombre premier $p$ fixé, et considérons maintenant une fonction
$f^∞ ∈ 𝒮(𝐅_p((t^{-1}))=𝒮(𝐤_∞)$, un élément $N ∈ 𝐅_p[t]-\{0\}$, et
un élément $o$ de $𝐤$. Comme ci-dessus, on établit sans peine l'égalité
\[
ℱ_{ψ_𝐤}(f^∞ ⊠ 𝟭_{o+N \chap{𝐅_p[t]}})=
\big( \frac{1}{p^{\deg(N)}} ℱ_{ψ_∞}(f^∞) \big) ⊠
\big( [×o]^* ψ_𝐤^{ ≠ ∞} ⋅ 𝟭_{N^{-1} \chap{𝐅_p[t]}}\big),
\]
où $ψ_𝐤^{ ≠ ∞}=(ψ_{𝐤_x})_{x ≠ ∞}$ désigne le caractère additif
du produit restreint des $𝐤_x$, $x≠ ∞$, déduit de $ψ_𝐤$ (\ref{caractères additifs kA}),
et $\chap{𝐅_p[t]}=\lim_P 𝐅_p[t]/P ⥲  ∏_{x ≠ ∞} 𝒪_{𝐤_x}$.
Le formulaire \ref{Fourier et mesure locaux} permet
le calcul explicite de $ℱ_{ψ_∞}(f^∞)$ par dévissage ;
par exemple, $ℱ_{ψ_∞}(𝟭_{𝐅_p[[t^{-1}]]})= p𝟭_{t^{-2}𝐅_p[[t^{-1}]]}$.
\commentaire{Rapport avec \ref{mesure quotient adélique} ?}
On en tire en particulier que la valeur en zéro de $ℱ_{ψ_𝐤}(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}})$,
qui coïncide par définition avec la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_𝐤}(𝒪_{𝐤_𝐀})$ de $𝒪_{𝐤_𝐀}$,
est égale à $p$.
D'autre part, on vérifie immédiatement la formule
$∑_{λ ∈ 𝐤} 𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}(λ)= ∑_{λ ∈ 𝐤} ℱ_{ψ_𝐤}\big(𝟭_{𝒪_{𝐤_𝐀}}\big)(λ)$.
Le terme de gauche est le cardinal, égal à $p$, de $𝒪_{𝐤_𝐀} ⋂ 𝐤=𝐅_p$ (fonctions
rationnelles sans pôle) ;
le terme de droite est $p$ fois le nombre, égal à $1$, de fonctions rationnelles $f ∈ 𝐤$
sans pôle hors de l'infini et ayant un zéro (au moins) double en l'infini.
Dans le cas d'une fonction générale $f ∈ 𝒮(𝐤_𝐀)$, la formule
de Poisson adélique est moins immédiate : la méthode
esquissée ci-dessus dans le cas du corps des rationnels
nous ramène essentiellement à une forme théorème de Riemann-Roch (\ref{Riemann-Roch}).

\subsection{Formules d'inversion et de Poisson}

Ce paragraphe est consacré à la démonstration du théorème suivant.

\begin{théorème2}
\label{Fourier adélique}
Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial de $K_𝐀/K$ et soit
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ la mesure sur $K_𝐀$ associée
aux mesures auto-duales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ (\ref{définition Fourier
adélique}).
\begin{enumerate}
\item La mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
du choix de $ψ$ et coïncide l'unique mesure de Haar
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$, dite \emph{mesure de Tamagawa},
telle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ soit le produit
(au sens de \ref{module et mesure quotients}) de la mesure de comptage sur le groupe discret $K$ par
la mesure de Haar normalisée sur le groupe \emph{compact} $K_𝐀/K$.

\item $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ = [-1]^*$.
\item  Pour $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
\[
∑_{λ ∈ K} f(λ)=∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ).
\]
\item \label{Poisson-Riemann-Roch}
Pour tout idèle $ι$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$,
on a :
\[
∑_{λ ∈ K} f( λ ι )=\frac{1}{|ι|} ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ /ι).
\]
\end{enumerate}
\end{théorème2}

Prendre garde de ne pas confondre la mesure de Tamagawa
avec la mesure de Haar (globale) $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$ produit
des mesures de Haar locales définies en \ref{mesures Tamagawa locales}.

\subsubsection{}D'après la dualité de Pontrâgin (\ref{Pontrâgin pour adèles}),
tout caractère non trivial des classes d'adèles est de la
forme $[×a]^*ψ$ (noté également $ψ_a$) pour un unique $a ∈ K^×$. Il résulte de la formule
\ref{Fourier et mesure locaux} (vi) appliquée aux composantes locales et de la formule du produit
(\ref{formule du produit}) que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus
$+$}}_{ψ_a}$. (On montre également, en utilisant la formule
$ℱ_{ψ_a}(f)=[× a^{-1}]^* ℱ_{ψ}(f)$ que le terme de droite de l'égalité (iii)
ne dépend pas de $ψ$, comme attendu.) Le fait que la mesure induite
par $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}$ sur le quotient $K_𝐀/K$
soit \emph{normalisée} sera établi à la fin de la démonstration.

\subsubsection{Formule d'inversion}
Rappelons que $ℱ_ψ(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′} f_x):=
\mathop{\bigboxtimes\nolimits′} ℱ_{ψ_x}(f_x)$, lorsque
les fonctions $f_x$ sont dans $𝒮(K_x)$ et presque toutes
égales à $𝟭_{𝒪_{K,x}}$.
La formule d'inversion globale résulte donc, par linéarité,
des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).

\subsubsection{Formule de Poisson : convergence normale sur les compacts}
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
Vérifions que la somme de fonctions $a_𝐀 ∈ K_𝐀 ↦  ∑_{λ ∈ K} |f(a_𝐀+λ)|$ converge
uniformément sur $C$. On peut supposer que la fonction est un produit
restreint $f=(f_x)$. Nous traitons séparément corps de fonctions et corps de nombres.

❧ Cas des corps de fonctions.
Soit $U$ un ouvert dense de $K$ tel que le support de $f$ soit contenu dans
$K_𝐀(U)=∏_{u ∈ U} 𝒪_{k,u} × ∏_{x ∉ U} K_x$.  Considérons le compact $D=∏_x D_x$
de $K_𝐀$, où $D_x$ est le support $\Supp(f_x)$ de $f_x$ si $x ∉ U$, ou
bien $𝒪_{k,x}$ si $x ∈ U$.
(En présence de points archimédiens, la compacité de $\Supp(f_x)$ et, \emph{a
fortiori}, celle de $D$ ne sont pas garanties.)
La fonction $f$ est nulle hors de $D$. Il en résulte
que chaque terme $f(a_𝐀+λ)$ de la somme est nul sauf peut-être
si $λ$ appartient à l'intersection de $K$ avec l'image
\emph{compacte} l'application $D×C → K_𝐀$, $(d,a)↦ d-a$.
L'intersection de $K$ avec tout compact étant \emph{finie} (\ref{cocompacité}),
la somme considérée, restreinte au compact $C$, est une somme finie.

❧ Cas des corps de nombres.
D'après \ref{Bruhat-Schwartz adélique}, on peut supposer $f$
de la forme $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où
$f^{\mathrm{ultr}}$ est la fonction caractéristique $𝟭_{o+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$
de $o+𝔫𝒪_{K_𝐀}$, pour un $o ∈ K$ et un produit cartésien $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
Lorsque $a_𝐀$ appartient à $C$, les termes $f(a_𝐀+λ)$
de la somme sont nuls sauf peut-être si
$λ ∈ K ∩ \big((o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}\big)$,
où $C^{\mathrm{ultr}}$ est la projection (compacte) de $C$ dans l'ensemble
$K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ des adèles ultramétriques (\ref{définition adèles ultramétriques}).
(On note ici $(o+𝔫𝒪_{K_𝐀}) - C^{\mathrm{ultr}}$ l'image de l'application
soustraction, et non la différence ensembliste.)
L'application $λ↦ o+𝔫 λ$ induisant une bijection de $K$
ainsi que de l'ensemble des compacts de $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$,
on peut supposer que $f^{\mathrm{ultr}}=𝟭_{𝒪_{K_𝐀}}$.
Comme d'autre part cette fonction est majorée par $1$ en valeur
absolue, il nous suffit de montrer la convergence uniforme de
la somme
\[
a_𝐀^{\mathrm{arch}} ↦ ∑_{λ ∈ K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})}
|f^{\mathrm{arch}}(a_𝐀^{\mathrm{arch}}+λ^{\mathrm{arch}})|
\]
sur le compact $C^{\mathrm{arch}}$ image de $C$ dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=∏_{x ∈
Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x$.
(On note ici $λ^{\mathrm{arch}}$ l'image de $λ$
dans $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$ par le plongement diagonal et
on rappelle que $K_𝐀^{\mathrm{arch}}=K ⊗_𝐐 𝐑$ est isomorphe, en tant que
$𝐑$-algèbre, à $𝐑^N$ où $N=r_𝐂 + 2 r_𝐂$.)
Il existe une famille $n_x$ d'entiers négatifs presque tous nuls tels
que le compact $C^{\mathrm{ultr}}$ de $𝒪_{K_𝐀}=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
𝒪_{K,x}$ soit contenu dans le produit cartésien $∏_x 𝔪_x^{n_x}$.
L'intersection $K ∩ (𝒪_{K_𝐀}-C^{\mathrm{ultr}})$ est donc contenue
dans l'idéal fractionnaire produit $I=∏_x 𝔪_x^{n_x}$ de $K$.
On s'est donc ramené à montrer que pour toute fonction $φ ∈ 𝒮(K_𝐑)$,
la série de fonctions $a ↦ ∑_{λ ∈ I} |φ(a+λ)|$ converge uniformément
sur tout compact de $K_𝐑$. Puisqu'un multiple rationnel (non nul) de $I$ est contenu dans l'anneau
des entiers $𝒪_K$ on peut supposer, quitte à changer $φ$,
que $I=𝒪_K$. L'anneau des entiers $𝒪_K$ étant un \emph{réseau}
dans $K_𝐑$ (\ref{cocompacité} (ii)) (c'est-à-dire : son image
(par le plongement diagonal) est isomorphe à $𝐙^N$, où $N=\dim_𝐑 K_𝐑$)
la conclusion résulte du fait élémentaire suivant :
pour tout entier $N$ et toute fonction $φ ∈ 𝒮(𝐑^N)$,
la série $a↦  ∑_{λ ∈ 𝐙^n} |φ(a+λ)|$ est uniformément convergente
sur tout compact de $𝐑^N$. La définition \ref{BS-local}
nous ramène à la convergence de la série $∑_{k ∈ 𝐙^N} \frac{1}{1+|k|^{s}}$ un
$s$ suffisamment grand ; chaque $s>N$ convient.

\subsubsection{Formule de Poisson : démonstration}
Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$
et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$. Munissons $G$ d'une mesure
de Haar $μ_G$ et $X$ de la mesure quotient $μ_X$ associée (\ref{module et mesure quotients}).
Fixons $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et considérons sa périodisée $F : X → 𝐂$, déduite de la
fonction (continue)
\[
g ∈ G ↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
\]
par passage au quotient $G ↠ X=G ∕ Γ$. Notons $v_μ$ le volume $μ_{X}(X)$
de $X$ et $μ′_X=v_μ^{-1} μ_X$ la mesure de probabilité sur $X$ déduite de $μ_X$.
Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée
de l'espace de Hilbert $L²(X,μ′_X)$ (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii), démonstration).
Il résulte d'autre part de \ref{caractères séparent les points} et du
théorème de densité de Stone-Weierstraß (\BourbakiTG{X.§4, th. 3})
que toute fonction continue sur $X$ à valeurs complexes peut être uniformément approchée
par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$.
La famille des caractères (continus) de $X$ est donc une
\emph{base hilbertienne} de $L²(X,μ′_X)$.
On peut donc écrire, dans cet espace,
\[
F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x},
\]
où $\chap{X}$ désigne l'ensemble des caractères continus $\chap{x}$ de $X$
(à valeurs dans $𝐔$) et la famille des coefficients $c_{\chap{x}}(F)=⟨F,\chap{x}⟩_{L²(X,μ′_X)}$
appartient à $ℓ²(\chap{X})$.
Nous allons montrer que cette famille appartient
à $ℓ¹(\chap{X})$, de sorte que la décomposition précédente
de $F$ est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$
et que l'on a, en évaluant en l'identité $0$ de $X$,
l'égalité
\[
∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F),
\]
qui s'avère être l'égalité désirée (\emph{a priori} à une constante multiplicative près).
Calculons :
\[
c_{\chap{x}}(F) 
=∫_X F(x) \sur{\chap{x}(x)} d μ′_X(x)
=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ_G(g)
=:v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}),
\]
où la seconde égalité est conséquence
de \ref{module et mesure quotients} — car on a choisi la mesure de comptage
sur $Γ$ —, et la dernière est une définition du terme de droite.
Appliquons ce qui précède lorsque $μ$ est la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ associée
à un caractère non trivial $ψ$. D'après \ref{dual des classes de adèles},
chaque caractère $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour
un unique $λ ∈ K$ et, par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
$ℱ_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)$.
Comme on l'a vu précédemment (\ref{définition Fourier adélique} et
\ref{lemme de convergence normale sur compacts}), $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$
et $λ↦ ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$.
On a donc montré l'égalité
\[
∑_{λ ∈ K} f(λ) =c ⋅ ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ)
\]
pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où $c$ %=v_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ} ^{-1}$
est une constante positive.
Il résulte immédiatement de la formule d'inversion (ii)
et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $c²=1$, d'où $c=1$.
CQFD.

\subsubsection{Formule de Poisson-Riemann-Roch}
La formule (iv) résulte de la formule de Poisson que l'on vient
d'établir, appliquée à la fonction $[×ι]^*f$,
et de l'égalité $ℱ_ψ([×ι]^*f)=|ι|^{-1}[× ι^{-1}]^* ℱ_ψ(f)$,
elle-même conséquence immédiate de \ref{Fourier et mesure locaux}, (iii.a).

\begin{remarque2}
Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II} ; cf.
notes à la fin. \XXX
\end{remarque2}

\subsection{Le théorème de Riemann-Roch}

\subsubsection{}
\label{définition classe canonique}
Soient $K$ un corps global de
caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
de cardinal $q$, et $X$ l'ensemble des points.
Pour chaque caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
de $K_𝐀\bo K$, considérons le diviseur $\div(ψ)=∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}).
Il résulte de la dualité de Pontrâgin (\ref{dual des classes de adèles}),
de la formule triviale $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$, et de la formule des résidus
(\ref{formule du produit additive}) que la classe de $\div(ψ)$
dans le groupe de Picard $\Pic(X)$ est bien définie ; on l'appelle
\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
notera $𝔠$.

\subsubsection{}
\label{Poisson implique RR}
Appliquons la formule de Poisson-Riemann-Roch (\ref{Fourier adélique},
\ref{Poisson-Riemann-Roch}) à la fonction
caractéristique, notée ici $𝟭_𝒪$, du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}$.
Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K_𝐀 ∕ K$.
Il résulte des formules locales \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
ℱ_ψ(𝟭_𝒪)
= \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x  q_x^{-½n(ψ_x)} 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}
= q^{-½\deg(𝔠)} \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}.
\]
Fixons un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(ι)$.
Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭_𝒪(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$
(dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
a été observée en \ref{finitude K inter O sur a}),
n'est autre que l'ensemble
\[
L(𝔞):=\{f ∈ K: \div(f) ≥ - 𝔞\},
\]
où $\div(f)=∑_x x(f)x$ est le diviseur d'une fonction $f ∈ K^×$ (\ref{définition diviseur})
et, par convention, $\div(0) ≥ -𝔞$.
Notons
\[
l(𝔞)=\dim_k L(𝔞)
\]
la dimension (finie) sur $k$ de $L(𝔞)$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
Pour chaque $f ∈ K$, on a $\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x  𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(f/ι)=1$
si et seulement si $f ∈ L(𝔠-𝔞)$. Compte tenu
de l'égalité $|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, la formule de Poisson-Riemann-Roch appliquée
à $𝟭_𝒪$ et $ι$ se réécrit 
\[
q^{l(𝔞)}=q^{\deg(𝔞)}q^{-½\deg(𝔠)}q^{l(𝔠-𝔞)}.
\]
Toute classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic(X)$ étant
de la forme $\div(ι)$ pour un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$,
on en déduit le théorème fondamental suivant.

\begin{théorème2}[Riemann-Roch]
\label{Riemann-Roch}
Soient $K$ un corps global de caractéristique \mbox{$p>0$},
$k$ son corps des constantes, et $𝔠$ la classe canonique
définie en \ref{définition classe canonique}.
Pour tout classe de diviseur $𝔞$, on a l'égalité
\[
l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-g+1,
\]
où $g=½\deg(𝔠)+1$ est un entier appelé \emph{genre} \index{genre} de $K$
et
\[
l(𝔞)=\dim_k   \{f ∈ K: \div(f) ≥ -𝔞\}.
\]
\end{théorème2}


\begin{remarque2}
Le théorème précédent est valide sous des hypothèses plus
générales. Voir \cite[I.§2]{AAF@Lang} et \cite[II.nº9]{GACC@Serre}
pour le cas des corps de fonctions sur un corps algébriquement clos,
et \cite[p. 101]{BNT@Weil} pour une remarque sur une approche
semblable à celle suivie ici.
% Et peut-être même que le cas des corps finis entraîne le
% cas général… ? \XXX
\end{remarque2}

\begin{remarque2}
La principale application que nous ferons de ce théorème
est la démonstration de la rationalité de la fonction
zêta d'une courbe algébrique sur un corps fini, cf. \emph{infra}. \XXX
\end{remarque2}

\begin{exemple2}
\label{genre droite projective}
Soit $p$ un nombre premier. Le genre du corps $𝐅_p(t)$ des fractions
rationnelles est \emph{nul}.
En effet, le diviseur $𝔠=\div(ψ_{𝐤_𝐀})$ du caractère
additif construit en \ref{caractères additifs kA} est $-2⋅∞$ ; en
particulier, son degré est $-2$ et le genre $g=½\deg(𝔠)+1$ est nul.
\end{exemple2}

\begin{corollaire2}
\label{RR et existence de fonctions}
Si $\deg(𝔞) > 2g-2$,
\[l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1.\]
\end{corollaire2}

\begin{démo}
D'après le théorème de Riemann-Roch (\ref{Riemann-Roch}),
il suffit de montrer que $l(𝔠-𝔞)=0$ si $\deg(𝔞)>\deg(𝔠)$ ou
encore, de façon équivalente, que $l(𝔞)=0$ si $\deg(𝔞)<0$.
Or, si $f ∈ L(𝔞)-\{0\}$ pour un tel idéal, on a $\div(f) + 𝔞 ≥ 0$,
d'où $\deg(𝔞)=\deg(\div(f)+𝔞)≥ 0$. Absurde.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\label{RR et croissance l}
Si $\deg(𝔟) ≥ 0$
\[l(𝔞) ≤ l(𝔞+𝔟) ≤ l(𝔞)+\deg(𝔟).\]
\end{corollaire2}

\begin{démo}
La première inégalité — croissance de $l$ — résulte immédiatement
de la définition : si $𝔡 ≥ 𝔡′$ alors $L(𝔡′) ⊆ L(𝔡)$.
D'après le théorème de Riemann-Roch, on a également
l'égalité $l(𝔞+𝔟)=l(𝔞)+\deg(𝔟)+\big(l(𝔠-(𝔞+𝔟))-l(𝔠-𝔞)\big)$.
Le dernier terme est négatif d'après ce qui précède.
\end{démo}

\begin{corollaire2}
\label{existence de fonctions ayant pôles imposés}
Soient $K$ un corps global de fonctions et $Y ⊆ Σ(K)$ un sous-ensemble
\emph{fini}. Il existe une fonction $f ∈ K$ dont l'ensemble des pôles est exactement $Y$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Supposons $Y$ non vide, sans quoi l'énoncé est trivial.
Pour chaque $y ∈ Y$, il résulte du théorème de Riemann-Roch qu'il
existe une fonction $f_y ∈  L((n+1)y)-L(n y)$, pour un entier positif $n$
suffisamment grand. Une telle fonction a un pôle en $y$ et seulement
en ce point. La fonction $f = ∑_{y ∈ Y} f_y$ convient.
\end{démo}

%Cf. Mittag-Leffler, problème de Cousin etc. \XXX

\begin{corollaire2}
\label{RR implique Dedekind de type fini}
Soient $K$ un corps global de fonctions, de corps des constantes $k$, et $U$ un ouvert dense.
Le sous-anneau $𝒪_K(U)$ de $K$ est un anneau de Dedekind de type fini sur $k$.
De plus, son corps des fractions est $K$ sauf si $U=Σ(K)$, auquel cas c'est le corps des constantes $k$ de $K$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Supposons $U ≠ Σ(K)$. D'après \ref{existence de fonctions ayant pôles imposés},
il existe une fonction non constante $f ∈ K$ dont l'ensemble des pôles est exactement $Σ(K)-U$.
Ainsi, notant $K₀$ le sous-corps $k(f)$ de $K$ des fractions rationnelles en $f$,
l'image $U₀$ de $U$ dans $Σ(K₀)$ n'est autre que $Σ(K₀)-\{∞₀\}$,
où $∞₀$ est la « place à l'infini » du corps $K₀$ (isomorphe à $k(t)$ par $t ↦ f$).
D'après \ref{fonctorialité anneau des Uentiers} (i),
l'anneau $𝒪_K(U)$ est le normalisé dans $K$ de
$𝒪_{K₀}(U₀)=k[f]$, ce dernier anneau étant de type fini sur $k$.
Il résulte du théorème \refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}
(resp. du théorème de Krull-Akiduki, \refext{AVD-D}{Krull-Akiduki})
que l'anneau $𝒪_K(U)$ est de type fini sur $k$
(resp. nœthérien, de dimension $1$).
Puisqu'il est normal, c'est un anneau de Dedekind.

Supposons maintenant $U=Σ(K)$. Soit $f ∈ K-k$ et $K₀=𝐅_p(f)$
un sous-corps global premier de $K$.
L'application $Σ(K) → Σ(K₀)$ étant surjective (\refext{AVD-D}{fonctorialité
valeurs absolues}), l'anneau $𝒪_K(Σ)$ est
la clôture intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ₀)$ dans $K$ (\ref{fonctorialité anneau des
Uentiers}, (i)).
Or, on a vu en \ref{sections globales droite projective} que $𝒪_{K₀}(Σ₀)=𝐅_p$ :
les fonctions rationnelles sans pôles sont les constantes.
La conclusion en résulte.
\end{démo}

De plus, $\Spec(𝒪_K(U))=U ∪ \{(0)\}$.
Cf. [Rosen, p. 247] \XXX


\subsection{Calculs de volumes}

\subsubsection{Idèle différentiel}
\label{idèle différentiel}
Soient $K$ un corps global et $ψ$ un caractère de $K_𝐀∕K$.
Il résulte des généralités sur la transformée de Fourier
locale (\ref{Fourier et mesure locaux})
que pour chaque place $x ∈ Σ(K)$, il existe
un élément (non canonique) $d_{ψ,x} ∈ K_x^×$
tel que
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1},
\]
où $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ est la mesure de Haar auto-duale
associée à $ψ_x$ sur le groupe additif du corps local $K_x$ et $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$ est la mesure
de Tamagawa locale définie en \ref{mesures Tamagawa locales} sur ce même corps.
Lorsque $x$ est ultramétrique, une condition nécessaire et suffisante
sur $d_{ψ,x}$ est que sa valuation $x(d_{ψ,x})$ soit égale au
niveau $n_x(ψ_x)$. En particulier (\ref{dual des classes de adèles}),
$|d_{ψ,x}|=1$ pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ de sorte qu'il existe un
idèle $d_ψ ∈ K^×_𝐀$, appelé \textbf{idèle différentiel attaché à $ψ$},
\index{idèle différentiel} tel que $d_ψ=(d_{ψ,x})$.

\subsubsection{}Lorsque $x$ est une place ultramétrique,
on a vu au cours de la démonstration de \ref{Fourier et mesure locaux}
(orthogonalité des caractères) que la fonction
$ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_{K,x}})$ est égale à la fonction $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}(𝒪_{K,x})
𝟭_{𝒪_{K,x}^{⊥}}$, où $𝒪_{K,x}^{⊥}$ est l'orthogonal $\{ f ∈ K_x: ψ_x(f
  𝒪_{K,x}) =\{1\}\}$
de $𝒪_{K,x}$ relativement à l'accouplement défini par $ψ_x$.
On en tire
\[
𝒪_{K,x}^{⊥}=d_{K,x}^{-1}𝒪_{K,x},
\]
car on a l'égalité (\emph{loc. cit.}, (ii))
\[
ℱ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_{K,x}})=|d_{K,x}|^{½}[× d_{K,x}]^* 𝟭_{𝒪_{K,x}}. \tag{$†$}
\]

\subsubsection{}Lorsque la place $x$ est archimédienne,
il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} (v)
et que l'on peut prendre pour $d_{ψ,x}$ l'unique
élément de $K_x^×$ tel que $ψ_x=[× d_{ψ,x}]^* 𝐞_{K_x}$,
où le caractère $𝐞_{K_x}$ est défini en \ref{caractère corps local}.
La formule $(†)$ admet l'analogue suivant :
$ℱ_{ψ_x}(g_{K_x})=|d_{ψ,x}|^{½}[× d_{ψ,x}]^* g_{K_x}$,
où les fonctions gaussiennes $g_{K_x}$ sont comme
en \ref{Mellin local archimédien}.
D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère},
elle est équivalente à la formule bien connue
\[
\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2πitx}dt \Big)
=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big)
\]
et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 π z \sur{z}}\big)$.

\subsubsection{}
\label{Tamagawa et idèle différentiel}
L'égalité locale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}=|d_{ψ,x}|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$
entraîne l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁.
\]
Le module $|d_ψ|$ ne dépendant pas du choix de $ψ$, on
le note dorénavant $|d_K|$.
Il résulte des calculs effectués en \ref{Poisson implique RR}
et, en caractéristique nulle, de la proposition \ref{niveau et différente}
%— car on peut supposer $ψ=𝐞_K$ —
que l'on a :
\[
|d_K| =
\begin{cases}
\displaystyle |𝔡_K|^{-1}    & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle q^{2-2g} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
où $𝔡_K$ est la différente (\refext{AVD-D}{différente}) du corps
de nombres $K$ sur $𝐐$ et $g$ est le genre (\ref{Riemann-Roch}) du corps de
fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$.

\subsubsection{}
\label{Fourier de 1}
Soit $K$ un corps global et posons
\[
𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
g_{K_x}\big).
\]
Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on
a la formule (globale)
\[
ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭_𝒪.
\]
Cette égalité est le pendant adélique de l'équation fonctionnelle
$θ(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}.
Elle nous servira également à établir les équations fonctionnelles des
fonctions $ζ$ de corps globaux.

\subsubsection{}
\label{mesure quotient adélique}
Pour toute mesure de Haar $μ$ sur $K_𝐀$, notons ici
$\sur{μ}$ l'unique mesure de Haar sur $K_𝐀/K$
telle que $μ$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients})
de $\sur{μ}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$.
Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{玉}(K_𝐀 ∕ K)=1$
(\ref{Fourier adélique}, (i)), et $μ^{\mbox{\minus
$+$}}_{玉}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{Tamagawa et idèle différentiel}), on a :
\[
\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
=
\begin{cases}
\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|}    & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
est la mesure de Haar sur $K_𝐀$ produit
restreint des mesures locales $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{x,1}$.
(Lorsque $K$ est un corps de fonctions, c'est l'unique mesure de Haar pour laquelle
le compact $∏_x 𝒪_{K,x}$ est de mesure $1$.)
Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.

\subsubsection{}Définissons de même la mesure $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$
sur les classes d'idèles $C_K=K_𝐀^×/K^×$ comme étant l'unique mesure
dont $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ est le produit par
la mesure de comptage sur le sous-groupe discret
(non cocompact) $K^×$.

\begin{théorème2}
\label{calcul volume idélique}
Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines
de l'unité dans $K$ et $h$ le cardinal du groupe de Picard. Alors,
\[
\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)
= \frac{h}{w}×
\begin{cases}
\displaystyle 2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R  & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
\displaystyle 1 & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
où $C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀/K^×$ et $R$ est le \emph{régulateur} défini
en \ref{définition-régulateur}.
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
On verra plus tard que, dans le langage des fonctions $ζ$,
ce théorème devient — dans le cas des corps de nombres — :
$\Res_{s=0} \frac{ζ_K(s)}{s^{r_𝐑+r_𝐂}}=-\frac{hR}{w}$.
\XXX
\end{remarque2}

\begin{démo}
Le groupe de Picard étant isomorphe au quotient $C_K^{=1}/C_K^{=1}(X)$,
où $X$ est l'ensemble des points ultramétriques de $K$ et
$C_K^{=1}(X)=K^×K_𝐀^{×,=1}(X)/K^×$, il suffit de démontrer
l'égalité $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C_K^{=1}(X))=1/w$ si
$K$ est un corps de fonctions et $2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} R/w$ sinon.
Le noyau $K^× ∩ K_𝐀^{×,=1}(X)$ du morphisme
$K_𝐀^{×,=1}(X) ↠ C_K^{=1}(X)$ étant
l'ensemble $𝒪_K(X)^×$ des unités de $K$
entières en chaque place ultramétrique, on a
$K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K(X)^× ⥲ C_K^{=1}(X)$.

Cas d'un corps de fonctions. La condition
sur la norme (globale) est automatiquement satisfaite,
$K^×_𝐀(X)=∏_x 𝒪_{K,x}^×$ et $𝒪_K(X)^×= k^×$.
Le cardinal de $k^×$ étant $w$ et, par définition,
$μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(∏_x 𝒪_{K,x}^×)=1$,
la conclusion est acquise dans ce cas.

Cas d'un corps de nombres.
Pour calculer le volume du quotient $K^{×,=1}_𝐀/𝒪_K^×$, nous utilisons
maintenant l'application logarithme $\log_𝐀:K^×_𝐀 → ∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑$
définie en \ref{theoreme-unites-Dirichlet} et
$μ^{\mathrm{arch}}$ la mesure image directe de $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ par $\log_𝐀$.
Le noyau de la restriction à $𝒪_K^×$ de $\log_𝐀$ étant l'ensemble des racines de
l'unité, de cardinal $w$, on a l'égalité
\[
w ⋅ \sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}\big(K_𝐀^{×,=1}(X)/𝒪_K^×\big)=
\sur{μ}^{\mathrm{arch}}\Big(\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰)/\log_𝐀 𝒪_K^×\Big).
\]
(Raisonner par exemple en terme de domaines fondamentaux.)
Il résulte des définitions locales \ref{sorites mesures multiplicatives locales}
ainsi que d'un calcul élémentaire immédiat
\footnote{Précisément : $∫_{𝐑^×} f(\log(|x|))\frac{dx}{x}=2×∫_𝐑 f(y)dy$ et
$∫_{𝐂^×} f(\log(|z|²))\frac{2dxdy}{|z|²} = 2π×∫_𝐑 f(r)dr$.}
que la mesure $μ^{\mathrm{arch}}$ est égale à $2^{r_𝐑}(2π)^{r_𝐂}$ fois
la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace euclidien $𝐑^{Σ^{\mathrm{arch}}(K)}=𝐑^{r_𝐑 + r_𝐂}$.
Pour conclure, il nous faut vérifier que le covolume (usuel)
de $\log_𝐀(𝒪_K^×)$ dans $\big(∏_{y ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} 𝐑\big)⁰$ est égal
au régulateur $R$. C'est essentiellement la définition.
\end{démo}

%Cf. [Swinnerton-Dyer, p. 53].

\section{Fonctions zêta}

\subsection{Fonctions zêta de Dedekind : définitions}

\subsubsection{}
\label{définition zêta Dedekind}
Soit $K$ un corps global, dont on note $X$ l'ensemble des points
ultramétriques. Pour chaque $x ∈ X$ notons $q_x$ — ou
parfois $N(x)$ — le cardinal du corps fini $k_x=𝒪_{K,x}/𝔪_x$.
La \textbf{fonction zêta de Dedekind} \index{fonction zêta de Dedekind}
de $K$ est la fonction
\[
ζ_K(s)= ∏_{x ∈ X} ζ_{K_x}(s)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-q_x^{-s}}.
\]
Ce produit converge absolument sur le demi-plan $\Re(s)>1$.
Comme c'est un cas particulier d'un énoncé démontré ci-dessous
(\ref{}), nous n'en donnons pas la démonstration ici. \XXX
% cf. Weil p. 102-103.

\subsubsection{}On rappelle (\ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère},
\ref{Matchett}) que pour chaque $x$, le facteur local
$ζ_{K_x}(s) = \frac{1}{1-q_x^{-s}}$ est la transformée de Mellin
(locale) $ζ_{ψ_x}(𝟭_{𝒪_{K_x}},1,s)$ relativement à un
caractère additif $ψ_x$ de niveau nul de $K_x$. Cette observation
est cruciale.

\subsubsection{}
\label{zeta Dedekind via Hasse}
Si $U$ est un \emph{ouvert affine} de $K$,
c'est-à-dire un ensemble cofini $U ⊆ X$ tel que l'anneau $𝒪_K(U)$
des $U$-entiers soit de corps des fractions $K$ (\ref{normalité triviale},
\ref{OKU Dedekind}), on a l'égalité tautologique
\[
ζ_K(s) = ζ_{𝒪_K(U)}^{\mathrm{Hasse}}(s) × ∏_{x ∈ X-U} ζ_{K_x}(s),
\]
où l'on note $ζ_{A}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∏_{𝔪 ∈ \Specmax(A)} \frac{1}{1- \# κ(𝔪)^{-s}}$
est la fonction zêta de Hasse d'un anneau $A$ et $κ(𝔪)$
le corps résiduel $A/𝔪$ (\refext{AC}{définition fonction zêta Hasse}).
Cette égalité est conséquence formelle du fait
que l'application $x↦ 𝔪_x$ induit une bijection
entre $U$ et le spectre maximal $\Specmax(𝒪_K(U))$ de $𝒪_K(U)$,
telle que $q_x = N(𝔪_x)$.

\subsubsection{Réécriture : corps de nombres}
Si $K$ est un corps de nombres, on a l'égalité
\[
ζ_K(s)=ζ_{𝒪_K}^{\mathrm{Hasse}}(s)=∑_{𝔞} N(𝔞)^{-s},
\]
où $𝔞$ parcourt l'ensemble des idéaux non nuls de l'anneau
des entiers $𝒪_K$ et $N(𝔞)$ est le cardinal du quotient (fini) $𝒪_K ∕ 𝔞$.
La seconde égalité est l'analogue de la formule d'Euler
$∏_p \frac{1}{1-p^{-s}} = ∑_{n ≥ 1} n^{-s}$ (\cite[théorème 8]{Variae@Euler}).
Elle résulte des égalités $(1-N(𝔪)^{-s})^{-1}=∑_{r ≥ 1} N(𝔪^r)^{-s}$,
et du fait que chaque $𝔞$ s'écrit de manière unique
(à l'ordre des facteurs près) comme un produit $𝔪_{x₁} \cdots 𝔪_{x_r}$,
dont la norme est $N(𝔪_{x₁} \cdots 𝔪_{x_r})=N(x₁)\cdots N(x_r)$.

\subsubsection{Réécriture : corps de fonctions}
\label{réécriture Zêta corps de fonctions}
Si $K$ est un corps de fonctions, notons $q$ le cardinal
de son corps des constantes. Pour chaque $x ∈ X$,
le cardinal $q_x$ est donc égal à $q^{\deg(x)}$,
où $\deg(x)$ est le degré de l'extension $κ(x) \bo k$
(\ref{formule du produit additive}).
Il en résulte que l'on a, du moins formellement,
\[
ζ_K(s) = Z_K(q^{-s}) \text{, où }
\]
\[
Z_K(T)=∏_{x ∈ X} \frac{1}{1-T^{\deg(x)}} ∈ 𝐙[[T]].
\]
L'égalité $(1-T)^{-1}=∑_{n ≥ 0} T^n$ nous permet d'une part de calculer la dérivée logarithmique
\[
T \frac{Z′_K}{Z_K} = ∑_{n ≥ 1} N_K(n)  T^n,
\]
où $\displaystyle N_K(n)=∑_{x ∈ X \atop \deg(x)|n} \deg(x)$ et également d'exprimer la fonction Zêta sous la forme
d'une série génératrice
\[
Z_K(T)= ∑_{n ≥ 0} E_K(n) T^n,
\]
où $E_K(n)$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs}
(\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $n$\footnote{En termes plus
expressifs, $N_K(n)$ est le \emph{nombre de $𝐅_{q^n}$-points de la courbe projective
lisse sur $𝐅_q$ associée à $K$}.}.
Notons que l'expression de la dérivée logarithmique est équivalente
à la formule :
\[
Z_K(T)=\exp(∑_{n ≥ 1} N_K(n)\frac{T^n}{n}). \tag{††}
\]

\subsubsection{}
\label{notation-Xk}
Pour chaque extension $k′$ du corps des constantes $k$ de $K$,
notons $X(k′)$ l'ensemble des $k$-places de $K$ à valeurs dans $k′$
(\refext{AVD-D}{définition-place}). Comme expliqué dans \emph{loc. cit.},
on a une application naturelle $X(k′) → X$, envoyant
une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$,
correspondant à son tour à une classe de valuations $|⋅|_φ$ sur $K$ ;
on a \mbox{$\{f ∈ K: |f|_φ<1\}=φ^{-1}(0)$}.
Si l'extension $k′ \bo k$ est finie de degré $n$,
l'image cette application est l'ensemble $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ et la fibre
au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$.
Il en résulte que l'entier $N_K(n)$ ci-dessus n'est autre
que le cardinal de $X(k_n)$, où $k_n$ désigne une extension
de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près) et que
pour toute fonction $f ∈ K^×$, l'ensemble des places $φ ∈ X(\sur{k})$
telles que $φ(f)=0$ est de cardinal $\deg \div₀(f)=\displaystyle ∑_{x:|f|_x<1} \deg(x)$.

\subsubsection{}
\label{action-sur-Xk}
On conserve les notations précédentes.
Si $σ$ est un $k$-automorphisme de $K$, il agit (à gauche) sur $X$
en envoyant (la classe d')une valeur absolue $|⋅|$ sur (la classe de) la
valeur absolue $f↦ |σ^{-1}(f)|$. De même, pour toute extension $k′\bo k$,
$σ$ agit sur $X(k′)$ via $σ ⋅ φ = φ ∘ σ^{-1}$. Ces actions
sont compatibles : le morphisme $X( k′) → X$ est $\Aut_k(K)$-équivariant.   

Dualement, le groupe de Galois $G_k=\Gal(\sur{k}/k)$ agit sur $X(\sur{k})$ :
un élément $σ ∈ G_k$ agit sur $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ par la formule
$σ ⋅ φ = σ ∘ φ$. (On décide que $σ(∞)=∞$.) L'application naturelle
$X(\sur{k}) → X$ induit une bijection
\[
{}_{G_k ∖}X(\sur{k}) ⥲ X.
\] 

\begin{remarque2}
Dans le langage de la géométrie algébrique, l'ensemble
$X(\sur{k})$ peut s'interpréter de la façon suivante :
c'est l'ensemble des points fermés de la courbe algébrique projective
lisse sur $\sur{k}$ de corps des fonctions $K ⊗_k \sur{k}$.
\end{remarque2}

\subsubsection{Extension du corps des constantes}
\label{extension des scalaires pour Zêta}
Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$.
Notons $k_e$ l'extension (cyclique) de degré $e$ de $k$ (unique à isomorphisme
près), $K_e$ le corps produit tensoriel $K ⊗_k k_e$ obtenu à partir de $K$
par extension des scalaires de $k$ à $k_e$, et $X_e$ l'ensemble de ses points (ultramétriques).
Les faits suivant résultent des résultats exposés en \refext{AVD-D}{} \XXX :
\begin{enumerate}
\item le corps des constantes de $K_e$ est $k_e$ ;
\item l'application $X_e → X$ est surjective ;
\item si $x ∈ X$, tout $y ∈ X_e$ s'envoyant sur $x$ est
de corps résiduel $κ(y)$ un corps composé de $k_e$ et de $κ(x)$ et,
par conséquent, de degré $(e,\deg(x))$ sur $k$ ;
\item si $x ∈ X$, la fibre au-dessus de $x$ est de cardinal
$\frac{e}{(e,\deg(x))}$.
\end{enumerate}
Il résulte formellement de tout ceci que l'on a $N_{K_e}(n)=N_K(n)$ pour chaque
entier $n ≥ 1$. En termes de fonctions Zêta, cela se traduit par l'égalité
\[
Z_{K_e}(T^e)= ∏_{μ ∈ μ_e(𝐂)} Z_K(μT).
\] 
(Utiliser la formule $(††)$.)

\subsubsection{Fonction zêta complétée}
\label{fonction zêta complétée}
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est commode
d'introduire la \textbf{fonction zêta (de Dedekind) complétée}
\[
\sur{ζ}_K(s)=∏_{\clap {$\scriptstyle a ∈ Σ^{\mathrm{arch.}}(K)$}} ζ_{K_a} ⋅ ζ_K(s),
\]
où les fonctions zêta archimédiennes $ζ_𝐑$ et $ζ_𝐂$ sont
les \textbf{facteurs Gamma} modifiés considérés en \ref{Mellin local archimédien}.
Nous étendons cette définition au cas où $K$ est un corps de fonctions
en posant $\sur{ζ}_K(s)=ζ_K(s)$ (cf. $Σ^{\mathrm{arch.}}(K)=∅$).
Nous verrons ci-dessous que cette fonction zêta se prolonge analytiquement
en une fonction méromorphe satisfaisant l'équation fonctionnelle
\[
\sur{ζ}_K(s)=|d_K|^{s-½} \sur{ζ}_K(1-s),
\]
où $|d_K|$ désigne la norme d'un idèle différentiel (\ref{idèle différentiel}).

La fonction zêta complétée est parfois notée $Ξ_K$ ou $\chap{ζ}_K$ dans la littérature.
Prendre également garde au fait que certains auteurs (comme \cite{Neukirch}) incluent le facteur
correctif supplémentaire $|d_K|^{-s/2}$ dans la définition de $\sur{ζ}_K$ de
façon à avoir une parfaite invariance $s ↔ 1-s$.

\subsubsection{}Nous verrons dans d'autres chapitres des applications
arithmétique de l'étude analytique des fonctions zêta
(au sens large). Voici une chronologie non exhaustive \XXX :
\begin{itemize}
\item 1737, Euler (\cite[théorème 19]{Variae@Euler})\footnote{Voir par exemple
\cite{Euler@Kurokawa} pour un panorama des résultats d'Euler.} : $∑_{p \text{ premier}} \frac{1}{p} =
\log ζ(1) = +∞$.
\item 1838, Dirichlet : « Sur l′usage des séries infinies dans la théorie des
nombres » [...].
\item 1859, Riemann : utilisation de la variable complexe, lien fin entre $π(x)$
et les zéros de $ζ$.
\item 1896, Hadamard et de la Vallée-Poussin : $ζ_{|\Re =1} ≠ 0 ↔ π(x) ∼
\frac{x}{\log(x)}$.
% Frobenius \XXX
\item 1925, Čebotarëv : théorème d'équidistribution
\end{itemize}

\subsection{Exemples}

\subsubsection{Corps des rationnels}
\label{exemple zêta rationnels}
La fonction zêta $ζ_𝐐$ du corps $𝐐$ est la fonction
zêta de Riemann\index{fonction zêta de Riemann}
\[
ζ(s)=∑_{n ≥ 1} n^{-s}=∏_p (1-p^{-s})^{-1},
\]
et, par définition,
\[
\sur{ζ}_𝐐=ζ ⋅ ζ_𝐑 \text{, où } ζ_𝐑(s)=π^{-½s}Γ(½s).
\]
Comme on l'a vu en \ref{exemple Mellin réel},
la fonction $\sur{ζ}_𝐐(s)$ est la transformée de Mellin (\ref{transformation Mellin réelle})
$ζ(ψ,\frac{s}{2})$ de la fonction $ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}$,
où l'on suppose par exemple $s>1$.
Cette égalité, jointe à la formule de Poisson, est le point clef
de la démonstration classique de l'équation fonctionnelle
de la fonction zêta de Riemann (\ref{propriétés zêta Euler-Riemann}).
(Rappelons que le norme d'un idèle différentiel de $𝐐$ est  $1$.)
Nous verrons ci-après des généralisations, pour un corps global quelconque,
de ce fait, démontrées par voie adélique.

\begin{exercice2}[Démonstration de $ζ(2k) ∈ π^k 𝐐$ par récurrence]
Soit $k ≥ 4$ un nombre pair. Considérons
la fraction rationnelle
\[
f_k(X,Y)=\frac{2}{X Y^{k-1}}+\frac{1}{X² Y^{k-2}} + \cdots +
\frac{1}{X^{k-2}Y²} + \frac{2}{X^{k-1} Y}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[
f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y)
=2 ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} \frac{1}{X^j Y^{k-j}}
\]
\item En déduire que
\[
\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j).
\]
\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=\sqrt{6 ζ(2)}$.
\item Montrer que
\[
∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= (1-¼)ζ(2).
\]
Vérifier que la substitution
$(x,y)=(\frac{\sin(u)}{\cos(v)},\frac{\sin(v)}{\cos(u)})$
a pour jacobien $(1-x²y²)$ et envoie le triangle
\[T=\{u,v ∈ 𝐑_{>0}: u + v < π/2\}\]
bijectivement sur l'intérieur du carré de sorte que
$∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= \mathrm{Aire}(T)$.
En déduire que $ζ(2)=\frac{π²}{6}$, c'est-à-dire $P=π$.
\end{enumerate}
%Cf. Zagier, « Quelques conséquences surprenantes de la
%cohomologie de $\mathrm{SL}₂(𝐙)$ » et exposé au CEM.
%Calcul de $ζ(2)$ du à Calabi : cf. « Sums of generalized
%harmonic series and volumes », 1993.
\nocite{Sums@BCK}
\end{exercice2}

\subsubsection{Corps $𝐅_p(t)$ des fonctions rationnelles}
\label{exemple zêta fonctions}
Par définition et description des points de $𝐅_p(t)$, on a
\[
ζ_{𝐅_p(t)}(s)= \Big(∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}\Big) ⋅ (1-p^{-s})^{-1},
\]
où $𝒫_p$ est l'ensemble des polynômes irréductibles
unitaires de $𝐅_p[t]$ et $|f|=p^{-\deg(f)}$.
Notons que le premier facteur s'identifie à la fonction
zêta de Hasse de l'anneau $𝐅_p[t]$ des fractions rationnelles
entières hors de la place à l'infini $∞$. (Rappelons
que la valuation correspondante est définie par
le degré (en $t$) des fractions rationnelles.)
Ce facteur se réécrit
\[
∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}=
∑_{d ≥ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}
\]
car il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$
dans $𝐅_p$. Ainsi,
\[
ζ_{𝐅_p(t)}(s)=\frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{1-s})} \text{\quad et \quad}
Z_{𝐅_p(t)}(T)=\frac{1}{(1-T)(1-pT)}.
\]
Comme d'autre part le genre $g_{𝐅_p(t)}$ de $𝐅_p(t)$ est nul (\ref{genre droite projective}),
on a $|d_{𝐅_p(t)}|=p²$ (\ref{Tamagawa et idèle différentiel})
de sorte que, notant $K=𝐅_p(t)$, on a
$|d_K|^{-s/2} ⋅ ζ_{K}(s)=\frac{-1}{(1-p^s)(1-p^{1-s})}$.
Cette fonction est visiblement invariante par la substitution $s ↔ 1-s$,
s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$ — c'est même une fonction rationnelle
en $p^{-s}$ — à pôles simples en $0$ et $1$ uniquement,
et ayant un résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
% colle bien avec le $-h_K/(1-q)$.

\begin{exercice2}
Déduire de l'égalité
\[
(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}=∏_{P ∈ 𝒫_p} \frac{1}{1-|P|^{-s}}
\]
la formule $p^n=∑_{d|n} d ⋅ \#𝒫_{p,d}$, où $𝒫_{p,d}=\{P ∈ 𝒫_p:\deg(P)=d\}$.
(Indication : on pourra poser $T=p^{-s}$ et considérer la dérivée
logarithmique relativement à $X$ des deux termes.)
Cette formule a été précédemment démontrée
en \refext{Fin}{denombrement-polynomes-irreductibles-corps-finis}.
\end{exercice2}

\subsection{Prolongement analytique et équation fonctionnelle des fonctions zêta
de Dedekind}

\begin{théorème2}
\label{équation fonctionnelle zêta}
Soit $K$ un corps global. On note $q$ le cardinal du corps des constantes
si $K$ est un corps de fonctions et $1$ sinon.
\begin{enumerate}
\item La fonction zêta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ (\ref{définition zêta Dedekind})
converge absolument pour pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$ à pôles
simples uniquement en les complexes congrus à $0$ ou $1$,
\emph{modulo $2πi/\!\log(q)$} (en faisant la convention que $2πi/\!\log(1)=0$).
\item Soit $|d_K|$ la norme d'un idèle différentiel de $K$,
égale à $|𝔡_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombres
de discriminant $𝔡_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$.
Alors, la fonction zêta complétée $\sur{ζ}_K$
(\ref{fonction zêta complétée})
satisfait l'équation fonctionnelle
\[
\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)
\]
et l'on a
\[
\Res₀ \sur{ζ}_K =
\begin{cases}
\displaystyle -κ/\!\log(q)& \text{si $K$ est un corps de fonctions}\\
\displaystyle -κ/π^{r_𝐂} & \text{si $K$ est un corps de nombres},
\end{cases}
\]
où $κ$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique}
et $r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$.
\item Si $K$ est un corps de fonctions, on a de plus
\[
ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{où} \quad Z_X(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}
\]
et $P_K(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$.
La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $1$ et $q^{-1}$ ;
\item $Z_K(T)=q^{-χ_K/2}T^{-χ_K}Z_K(1/qT)$, où $χ_K=2-2g_K$ et $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
\item $P_K(0)=1$ et $P_K(1)=h_K$, où $h_K$ est le nombre de classes de diviseurs de degré $0$ de $K$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
Les énoncés (a)—(c) sur la fonction Zêta $Z_X$ sont conséquence immédiate
des énoncés (i)—(ii) sur la fonction zêta $ζ_K$.
L'entier $χ_K$ est appelé « caractéristique d'Euler-Poincaré »
du corps $K$ (ou plutôt, de la courbe projective lisse correspondante).
\end{remarque2}

\subsubsection{}La démonstration de ce théorème occupe la suite de cette
section. Suivant une méthode globale (adélique) due indépendamment à
\textsc{Iwasawa} K. et J. \textsc{Tate}\footnote{Voir \cite{note@Iwasawa}, \cite{Lettre@Iwasawa}, \cite{Collected@Iwasawa},
\cite{Fourier@Tate}.}, on interprète le produit eulérien (qui est aussi
\emph{grosso modo} une somme sur les idéaux) comme une intégrale sur les idèles, plus précisément comme une
transformée de Mellin adélique, puis on utilise le lien
avec la transformation de Fourier pour établir l'équation fonctionnelle.
Procédant ainsi, il est plus naturel d'établir
d'abord l'énoncé général \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
puis de vérifier que le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta} en est
conséquence.

\subsubsection{}
On fixe dorénavant un caractère additif non trivial $ψ=(ψ_x)$ de $K_𝐀/K$,
auquel est associée la transformation de Fourier (autoduale)
$ℱ_ψ$ (\ref{définition Fourier adélique}, \ref{Fourier adélique}).
Comme dans le cas additif, il résulte de la formule du produit
que la mesure de Haar multiplicative globale
produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$
est indépendante de $ψ$ ; elle est égale à $|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$.

\subsubsection{Transformation de Mellin adéliques}Soient $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$
(\ref{quasi-caractères globaux}). Pour chaque signe de
comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$ tels que
$|ι| ? 1$ et $c$ la fonction continue $K^×_𝐀 → 𝐑$ valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$,
$0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$ et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
Sous réserve de convergence ou d'existence d'un prolongement méromorphe
(cf. \emph{infra}), définissons les fonctions zêta suivantes, obtenues par
transformation de Mellin :
\[
\begin{array}{rcl}
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} ; \\
ζ_{≥ 1}(f,χ,s) &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} ; \\
ζ(f,χ,s)       &  = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} =  ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s).
\end{array}
\]
%Quitte à remplacer $χ$ par un « translaté » $χ ω_s$, on peut
%supposer que $\Re(χ)=0$, c'est-à-dire que $χ$ est un \emph{caractère}.
Dans les deux premiers cas, on peut restreindre le domaine d'intégration à
$K^{×, ≥1}_𝐀$ et $K^{×, ≤1}_𝐀$ respectivement.
Notons également que lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres},
l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile :
la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
de $K^{×, =1}_𝐀$.

\begin{remarque2}
Comme dans le cas local (\ref{quasi-caractères=variété}),
l'introduction de la variable $s$ est essentiellement inutile : si l'on pose
$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$.
Moyennant une légère abstraction/géométrisation, il serait possible
(et loisible) de considérer $χ$ comme une \emph{variable} (analytique), parcourant
la « surface de Riemann » des quasi-caractères de $K^×_𝐀/K^×$.
\end{remarque2}

\subsubsection{Convergence}
Vérifions que la transformée de Mellin $ζ(f,χ,s)$ d'une fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est holomorphe (en la variable $s$)
sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$.
(\emph{A fortiori}, il en sera ainsi des deux transformées de Mellin tronquées.)
Par définition de la mesure idélique, on a — sous réserve de convergence
du terme de droite — $ζ(f,χ,s)=|d_K|^{-½}∏_x ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$.
Or, quitte à décomposer $f$ en une somme finie, il existe un ouvert dense $U$ tel que, pour chaque $x ∈ U$, on ait :
\begin{enumerate}
\item $f_x=𝟭_{𝒪_{K,x}}$ (cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) ;
\item $ψ_x$ est de niveau nul (cf. \ref{dual des classes de adèles}) ;
\item $χ_x$ est net (cf. \ref{décomposition et partie réelle quasi-caractère global}).
\end{enumerate}
Pour un tel $x$, la transformée de Mellin locale $ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$
(définie en \ref{fonction zêta locale}) est égale à
${(1-χ_x(ϖ_x)|ϖ_x|_x^s)^{-1}}$ (\ref{Matchett}), où $ϖ_x$ est une uniformisante
de $K_x$. (On rappelle que $|ϖ_x|_x=1/q_x$ où $q_x$ est le cardinal du corps résiduel.)
Pour $x ∉ U$, les autres facteurs locaux sont homolomorphes
pour $\Re(s)>-\Re(χ)$ (cf. \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}, (i)
et \ref{décomposition et partie réelle quasi-caractère global}).
Comme d'autre part $|χ_x(ϖ_x)|=q_x^{-\Re(χ)}$, il suffit finalement
de montrer la convergence absolue pour $σ>1$ du produit ${∏_{x ∈ U}(1-q_x^{-σ})^{-1}}$,
ce qui revient à montrer la convergence
absolue du produit eulérien définissant $ζ_K(s)$ dans ce domaine.
À nouveau, nous procédons par réduction au cas d'un corps global premier.
Choisissons un plongement de $𝐐$ ou $𝐤=𝐅_p(t)$ dans $K$ ;
le morphisme induit sur l'ensemble des points est à fibres
de cardinaux majorés par le degré $d$ de l'extension et,
si une place $x$ de $K$ s'envoie sur $y$, on a $q_x ≥ q_y$.
Il en résulte que $ζ_K(s)$ est majorée respectivement
par $ζ_𝐐(s)^d$ ou $ζ_𝐤(s)^d$. On a vu précédemment
(\ref{exemple zêta rationnels}, \ref{exemple zêta fonctions})
que les produits eulériens définissant $ζ_𝐐$ et $ζ_𝐤$ convergent
absolument si $\Re(s)>1$. Ceci démontre la convergence et l'holomorphie de $ζ(f,χ,s)$.

Il en résulte formellement que la transformée de Mellin \emph{tronquée} $ζ_{≥
1}(f,χ,s)$ est convergente et \emph{entière} (c'est-à-dire holomorphe
sur $𝐂$ entier). En effet, sur $K^{×, ≥ 1}_𝐀$, plus $\Re(s)$ est petit,
$ω_s$ est petit.

\subsubsection{}
Notons $\dot{f}$ la fonction $ι↦ ∑_{λ ∈ K} f(λ ι)=f(0)+∑_{λ ∈ K^×} f(λ ι)$ sur
les classes d'idèles $C_K=K^×_𝐀/K^×$ et $\dot{μ}^{\mbox{\minus
$×$}}_{1}$ l'unique mesure de Haar sur les classes d'idèles pour laquelle $∫_{K^×_𝐀} φ d{μ}^{\mbox{\minus
$×$}}_{1}=∫_{C_K} \big(∑_{λ ∈ K^×} [× λ]^*φ\big)d\dot{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ (cf. \ref{module et
mesure quotients}). Les fonctions $χ,ω_s$ et $c$ étant invariantes par
multiplication par $λ ∈ K^×$, on a l'égalité
\[
ζ_{≤1}(f,χ,s) = \dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s) - f(0) \dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s),
\]
où $\dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≤1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{μ}^{\mbox{\minus
$×$}}_{1}$, etc.
Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier
adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule
$\mathrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathrm{inv}(ι)=ι^{-1}$,
que l'on a :
\[
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) =
ζ_{≥ 1}(\chap{f},\chap{χ},-s) + \chap{f}(0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s),
\]
où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$ (transformée de Fourier autoduale).

Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≥ 1}(\chap{f},\chap{χ},-s)$ est une fonction
entière. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que $\dot{ζ}_{≥
1}(1,\chap{χ},-s)$ est holomorphe sur $\Re(s)>0$ et s'étend en une fonction
méromorphe. Il en résulte le fait remarquable que
$ζ_{≤1}(f,χ,s)$ \emph{a priori} holomorphe sur le demi-espace $\{s:\Re(s)>1-\Re(χ)\}$,
s'étend en une fonction méromorphe sur $𝐂$.

\subsubsection{Calcul de $\dot{ζ}_{? 1}(1,χ,s)$, $? ∈ \{≤, ≥ \}$}
\label{calcul zeta1khis}
Le changement de variable $ι′=ι^{-1}$ entraîne la formule
\[
\dot{ζ}_{ ≥ 1}(1,χ,s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,χ^{-1},-s)=\dot{ζ}_{≤1}(1,\chap{χ},1-s),
\]
qui nous ramène à calculer $\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)$.

Lorsque $χ$ est le quasi-caractère trivial (noté ici également $1$),
on a convergence pour ${\Re(s)>0}$ et égalité :
\[
\begin{array}{rcll}
\dot{ζ}_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{κ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}}  & \text{si $K$ est un corps de fonctions,} 
\end{array}
\]
où $κ=\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique},
et, dans le second cas, $d$ est l'unique entier naturel tel que $|K^×_𝐀|=q^{d 𝐙}$
c'est-à-dire le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$ (cf. \ref{quasi-caractères globaux}).
En effet, par définition de la transformation de Mellin et des mesures, il résulte du
théorème de Fubini que le terme de gauche
est égal à l'intégrale
\[
κ ∫₀¹ t^s \frac{dt}{t}
\]
ou la somme
\[
κ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big).
\]
Lorsque, plus généralement, $χ$ est supposé trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$,
il est de la forme $ω_σ$ si bien que le calcul se déduit du précédent par
translation (en $s$).
 
Lorsque $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)=0$.
C'est une incarnation de l'orthogonalité des caractères que l'on démontre
en effectuant le changement de variable $ι′= xι$, pour un $x$ dans  $K^{×,=1}_𝐀$
tel que $χ(x) ≠ 1$. 

Il résulte de l'égalité $\dot{ζ}_{ ≤ 1}(1,1,s)=-\dot{ζ}_{ ≤ 1}(1,1,-s)$ et
des résultats précédent que pour chaque $χ$, on a
\[
\dot{ζ}_{≤1}(1,χ,s)+\dot{ζ}_{≥1}(1,χ,s)=0.
\]

\commentaire{Détailler ?}

\subsubsection{}Ainsi, la fonction $ζ(f,χ)$
est égale à
\[
\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ) + ζ_{ ≥ 1}(\chap{f},\chap{χ})\big)-
\big(f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ) + \chap{f}(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,\chap{χ})\big)
\]
où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_σ$.
Notons que les deuxième et quatrième termes de la somme ci-dessus ne dépendent pas de $ψ$.
En effet, d'une part $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$ est changée en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$
et, d'autre part, on a l'égalité
\[
ζ([× ι]^*g,χ)=χ(ι)^{-1}ζ(g,χ) \tag{†}
\]
(ainsi que pour les variantes tronquées) pour chaque fonction $g$ et $ι ∈ K^×_𝐀$,
car $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ est une mesure de Haar multiplicative.
Lorsque $ι ∈ K^×$, on a donc invariance $ζ([× ι]^*g,χ)=ζ(g,χ)$ car 
$χ$ est supposé trivial sur $K^×$.
Il résulte également de cette formule que
$ζ(ℱ_ψ²(f),χ)=ζ(f,χ)$ car $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ =[×-1]^*$.
Enfin, le caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$
nous permet de déduire de ce qui précède le théorème suivant,
qui est un analogue global du théorème local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.

\begin{théorème2}
\label{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
Soient $K$ un corps global, $ψ=(ψ_x)$ un caractère non trivial des classes d'adèles $K_𝐀/K$
et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif des idèles $K^×_𝐀$.
Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒮(K_𝐀)$.
\begin{enumerate}
\item L'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{玉}$ est absolument convergente et définit une fonction
holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
ζ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{x}(f_x,χ_x,s) = |d_K|^{-½} ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s),
\]
où $ζ_x(f_x,χ_x,s):= ∫_{K^×_x} f_x χ_x |⋅|_x^s d μ^×_{1,x}$.
\item La fonction $s↦ ζ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Elle satisfait l'équation fonctionnelle
\[
ζ(f,χ,s)=ζ(\chap{f},\chap{χ},-s),
\]
où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$.
\item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entière.

\item Les pôles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et
égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\!\log(q)𝐙$),
où $q$ est cardinal du corps des constantes de $K$)
selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
Les résidus sont $-f(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $0$
et $\chap{f}(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $1$,
où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ /\!\log(q)$)
selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
La constante $κ$ est le volume calculé en \ref{calcul volume idélique}.
\end{enumerate}
\end{théorème2}

\begin{démo}
Ces énoncés sont conséquences des calculs précédents,
à ceci près que, lorsque $K$ est un corps de fonctions,
il faut \emph{a priori} remplacer $q$ par $q^d$
dans (v) (localisation des pôles et le calcul des résidus),
où l'on rappelle que $d$ est le plus petit degré $>0$
d'un diviseur de $K$. Nous verrons en \ref{existence diviseur degré 1} que l'on a $d=1$. 
\end{démo}

\begin{remarque2}
Lorsque $χ=ω_σ$, la formule
$ζ(f,ω_σ,s)=ζ(f,1,s+σ)$ ramène l'étude des pôles
de cette fonction zêta à celle faite en (v).
\end{remarque2}

\subsubsection{Fonction zêta de Dedekind (suite)}
Déduisons maintenant le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta}
du théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
Comme en \ref{Fourier de 1}, considérons la fonction
\[
𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
On a d'une part $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=\sur{ζ}_K(s)$ et, d'autre part,
${\chap{𝟭_𝒪}=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭_𝒪}$ (« formule de Riemann-Roch »).
Par changement de variable ($†$), l'égalité $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=ζ(\chap{𝟭_𝒪},\chap{ω_s})$ se réécrit
$\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$.
L'énoncé sur le résidu en $0$ de $\sur{ζ}_K$ est conséquence
de la formule (v) du théorème précédent et des égalités $g_𝐑(0)=1$ et $g_𝐂(0)=1/π$.
Il reste à démontrer \ref{équation fonctionnelle zêta}, (iii).
Si $K$ est un corps de fonctions, il résulte
de la définition \ref{définition zêta Dedekind}
qu'il existe une fonction $Z_X$ définie sur voisinage
épointé de $0$ dans $𝐂$ telle que $ζ_K(s)=Z_X(q^{-s})$,
pour $\Re(s)$ grand. D'après ce qui précède, cette fonction Zêta
est en fait une fonction méromorphe sur $𝐂^×$ satisfaisant
les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $0$ et $q^{-1}$ ;
\item $Z_K$ a une limite, égale à $1$, en $0$.
\item $Z_K(T)=q^{g_K-1}T^{2g_K-2}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
\end{enumerate}
(Le fait (ii) est conséquence de l'égalité $\lim_{\Re(s) → +∞} ζ_K(s)=1$.)
Il résulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$, où $P_K$
est une fonction \emph{entière} telle que $P_K(0)=1$.
Compte tenu du fait que la fraction rationnelle $\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$
satisfait (iii) avec $g=0$, le polynôme $P_K$ satisfait l'équation
$P_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}P_K(1/qT)$ ; c'est donc un \emph{polynôme} de degré $2g_K$.
Enfin, on a déjà établi que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h_K}{(q-1)\log(q)}$.
Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P_K(1)=h_K$.

\subsubsection{Existence d'un diviseur de degré $1$}
\label{existence diviseur degré 1}
Pour achever la démonstration du théorème \ref{pôles et équation
fonctionnelle Iwasawa-Tate} (et par conséquent, du théorème
\ref{équation fonctionnelle zêta}), il nous faut vérifier que, pour tout
corps de fonctions $K$, il existe un diviseur de degré $1$. Nous avons
vu ci-dessus que si $d$ est le degré $>0$ minimal d'un diviseur de $K$,
la fonction $Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$,
où $Q$ a un pôle simple en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). Il en résulte que pour tout
corps de fonctions $L$ et tout entier $n ≥ 1$,
la fonction rationnelle $Z_L(T^n)$ un pôle simple en $1$.
Appliquons cette remarque au corps $K_d$ obtenu à partir de $K$ par extension
des scalaires de degré $d$ (cf. \ref{extension des scalaires pour Zêta})
Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, la formule établie en \emph{loc. cit.}
devient $Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un
pôle simple en $T=1$ et le terme de droite un pôle de
multiplicité $d$. On a donc $d=1$. CQFD.
Pour référence ultérieure, écrivons explicitement le résultat obtenu.

\begin{théorème2}[F. K. Schmidt]
\label{théorème FKSchmidt}
Tout corps de fonctions possède un diviseur de degré $1$.
Plus précisément, pour corps de fonctions $K$ et tout entier $n ≥ 1$, il existe
exactement $h_K>0$ diviseurs de degré $n$.
\end{théorème2}


			\[⁂\]

\begin{corollaire2}[Pôle simple en $1$]
\label{pôle simple en 1 cdn}
Soit $K$ un corps de nombres. Pour toute classe $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$, il existe une
constante $N_{\mathsf{C}}\neq 0$ telle que pour chaque $t\in \RR^+$, l'ensemble
$$
\{\mathfrak{a}\subset 𝒪_K, \text{tel que } \mathfrak{a}\in
\mathsf{C}\text{ et } \mathrm{N}(\mathfrak{a})\leq t\}
$$
soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty$.
\end{corollaire2}

Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].


\subsubsection{Exemple : $𝐐(i)$}
$ζ_{𝐐(\sqrt{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(\sqrt{m})}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7

\section{Fonctions $L$}

Cf. Tate ou Swinnerton-Dyer. [...]

\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}

\subsection{Le théorème de Minkowski}
Notation : $K ⊗_𝐐 𝐑 ≃  𝐑^{r_𝐑(K)}×𝐂^{r_𝐂(K)}$. On note $K_𝐑$ la
$𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.

\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}

\begin{corollaire2}
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $\QQ$ partout
non ramifiée. De façon équivalente, si $A$ est une $\ZZ$-algèbre finie étale
connexe alors $\ZZ⥲ A$.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
\XXX
%La démonstration consiste en un raffinement de la démonstration de la finitude du
%groupe de Picard.
Notons avec des $x$ (resp. $y$) les coordonnées réelles (resp. complexes) de $K_{\RR}$.
Soit
$$
A:=\{x\in K_{\RR}, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+2\big(|y_1|+\cdots+|y_{r_\CC}|\big)\leq n\}
$$
le sous-ensemble compact, convexe, symmétrique par rapport à l'origine, de $K_\RR$.
L'inégalité arithmético-géométrique montre que tout point
de $A$ a une norme inférieure à $1$.
Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d  \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
 \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n  2^{-r_{\CC}}\sqrt{\mathfrak{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.

Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n  f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=2\int_0^t f_{r_{\RR-1},r_\CC}(u)\mathrm{d} u= 2\int_0^t u^{n-1}
f_{r_{\RR-1},r_\CC}(1)\mathrm{d} u,
$$
on trouve :
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
g_{r}(1)& =\int_0^1 g_{r-1}(1-u)2\pi u \mathrm{d}u\\
& = 2\pi g_{r-1}(1)
\underbrace{\int_0^1 (1-u)^{2r-2}u \mathrm{d}u}_{\frac{1}{2r-1}-\frac{1}{2r}}\\
& = ... \\
& = \frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}.
\end{array}
$$
Finalement,
$$f_{r_{\RR},r_\CC}(n)=n^n\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}(\frac{1}{2})^{2r_\CC}
\frac{(2\pi)^{r_\CC}}{2r_\CC!}=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}},$$
comme annoncé.
\end{démo}

\subsection{Le théorème de Riemann-Hurwitz}

\begin{théorème2}
\label{Riemann-Hurwitz}
Riemann-Hurwitz.
\end{théorème2}

(Cf. Lang ; Weil, VIII.§4.)

\begin{corollaire2}
\XXX
Il n'existe pas d'extension finie non triviale de $𝐅_p(t)$ partout non ramifiée.
\end{corollaire2}

\subsection{Un théorème de Selmer}

\begin{proposition2}[Selmer]
\XXX
Soit $n ≥ 1$. Le polynôme $f_n(X)=X^n-X-1$ est irréductible dans $𝐐[X]$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
\XXX
Soit $n\geq 2$ un entier et $f_n=X^n-X-1\in \ZZ[X]$. Soient $x_1,\dots,x_n$
les racines, non nulles, de $f$. Considérons :
$$
S(f_n):=\sum_1^n(x_i-x_i^{-1}),
$$
et de même pour tout diviseur potentiel non trivial $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
Il est immédiat que si $f_n=g_1 g_2$, on
a $S(f_n)=S(g_1)+S(g_2)$. Comme $S(f_n)$ est symétrique en les
racines, et que $f_n$ est unitaire, on a $(x_1\dots x_n)S(f_n)\in \ZZ$ ; comme le
produit des racines est ici une unité, on a donc $S(f_n)\in \ZZ$ ;
il en est ansi de tout diviseur $g\in \ZZ[X]$ de $f_n$.
En fait, $S(f_n)=1$ : pour $n\geq 3$, $\sum x_i=\sigma_1=0$ tandis
que $\sum x_i^{-1}=\sigma_{n-1}/\sigma_n=-1$.

Remarquons maintenant que pour chaque $x_j$,
si l'on écrit $x_j=r e^{i\varphi}$,
on a
$\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)=(r-r^{-1})\cos(\varphi)=\frac{r^2-1}{r}\cos(\varphi)$.
Comme $r^n\cos(\varphi)=r\cos(\varphi)+1$ et $r^n\sin(\varphi)=r\sin(\varphi)$,
en sommant le carré des deux égalités on trouve :
$$\cos(\varphi)=\frac{r^{2n}-r^2-1}{2r}.$$
En particulier $r\neq 1$ car sinon $\cos(\varphi)=-\frac{1}{2}$ et
les racines primitives cubiques de l'unité seraient des racines de $f_n$, ce
qui n'est pas le cas.
Enfin, comme pour tout $1\neq a>0$,
$(a-1)(a^n-a-1)=1-a+(a-1)(a^n-1)> 1-a$,
on en déduit, en posant $a=r^2$ et en divisant par $a$ l'égalité ci-dessus,
$$
\mathrm{Re}\big(x_i - x_i^{-1}\big)> \frac{1}{2}\big(|x_i|^{-2}-1\big).
$$
Soient $g\in \ZZ[X]$ est un diviseur présumé non trivial de $f_n$,
et $(x_j)_{i\in J}$ ses racines. Comme $g(0)=\pm 1$, et $g$ est unitaire,
$\prod_{j\in J} |x_j|^{-2}=1$ donc,
la moyenne arithmétique est supérieure à $1$, c'est-à-dire $\sum |x_j|^{-2}\geq \#J$.
Il s'ensuit que $S(g)>0$ ; comme d'autre par $S(g)\in \ZZ$,
on a $S(g)\geq 1$. Cette inégalité appliquée au quotient $f_n/g$ contredit
l'additivité de $S$ et le fait que $S(f_n)=1$.
CQFD.
\end{démo}

\begin{théorème2}
\XXX Le groupe de Galois du polynôme $f_n$
est $𝔖_n$ tout entier.
\end{théorème2}

\begin{démo}
\XXX
Soient $K_n$ un corps de décomposition de $f_n$ et $A_n$ son anneau
des entiers. Supposons que le nombre premier
$p$ soit ramifié dans $K_n$ ; d'après [sorites] il est alors
ramifié dans le corps de rupture $\QQ[X]/f_n$ de $f_n$ puisque $K_n$
est le composé de tels corps.
Compte tenu de [calcul différente], $f_n$ et $f_n'$ ont une racine commune
modulo $p$ ; il en est de même de $nf_n=nX^n-nX-n$ et $Xf_n'=nX^n-X$.
Il en résulte que $p$ est premier à $n(n-1)$,
que la racine est congrue à $\frac{n}{n-1}$ modulo $p$
et enfin qu'elle est au plus double : $f_n''(\frac{n}{n-1})\neq 0$.
Il en résulte [sorites à dégager] que le groupe d'inertie en $p$
est soit trivial soit engendré par une transposition.
Ainsi, le  groupe de Galois de $f_n$ est un sous-groupe transitif
de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
[facile].
\end{démo}

\section{Hypothèse de Riemann pour les courbes}
\label{HR courbes}

Dans cette section, $K$ désigne un corps de fonctions de corps des
constantes $k$, de cardinal $q$ et de caractéristique $p$.
On note $g$ le genre de $K$.

\subsection{Énoncé}
D'après \ref{équation fonctionnelle zêta} (iii), la fonction Zêta de $K$ est une
fraction rationnelle de la forme $\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}$,
où $P$ est un polynôme à coefficients entiers de degré $2g$ satisfaisant $P(0)=1$.
Un tel polynôme se factorise de façon unique, à l'ordre des facteurs près,
en un produit $P(T)=∏_{i=0}^{2 g_K} (1-α_i T)$ : les $α_i$ sont les
inverses des racines de $P$ dans le corps $𝐂$ des nombres complexes.
En identifiant la dérivée logarithmique de la fraction rationnelle $Z$
avec l'expression établie en \ref{réécriture Zêta corps de fonctions},
on trouve immédiatement le fait suivant.

\begin{proposition2}
\label{formule-des-traces}
Il existe $2g$ nombres algébriques $α₁,…,α_{2g}$ tels que pour chaque entier $n ≥ 1$,
on ait
\[
N(n)=1-\big(∑₁^{2g} α_i^n\big)+q.
\]
De plus, l'ensemble des nombres $α$ est stable par $α↦ q/α$.
%et satisfait la relation $∏_1^{2g} α_i=q^g$.
\end{proposition2}

\begin{démo}
Seul le complément est à vérifier.
La stabilité par $α↦ q/α$ est conséquence de l'équation fonctionnelle
$P(q^{-1}T^{-1})=q^{-χ/2}T^{-χ_K}P(T)$ (\ref{équation fonctionnelle
zêta} (iii,b)), qui entraîne la stabilité de l'ensemble des zéros de $P$
par $z↦ q^{-1}z^{-1}$.
%Il en résulte également que $∏_i α_i = ∏_i q/α_i$ d'où
%$∏_i α_i = ± q^g$. On laisse le soin au lecteur de vérifier
%que l'égalité $∏_i α_i = -q^g$ contredit l'équation fonctionnelle (et l'égalité
%$P(0)=1$) \XXX. Nous n'utiliserons pas ce fait. 
\end{démo}

\begin{corollaire2}
La connaissance des entiers $N(1),…,N(g)$ détermine les valeurs de $N(n)$
pour $n$ arbitraire.
\end{corollaire2}

\begin{démo}
Commençons par observer que la connaissance de tous les $N(n)$
est équivalente à la connaissance de la fonction Zêta,
qui est égale à $\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})$ (cf. \ref{réécriture Zêta corps de fonctions}, ($††$)).
Écrivons $P(T)=∑₀^{2g} c_n T^n$. D'après l'équation fonctionnelle satisfaite
par $P$, on a $c_{2g-n}=q^{g-n}c_n$ pour chaque $0 ≤ n ≤ g$. Il en résulte que la fonction
Zêta $Z=P (1-T)^{-1}(1-qT)^{-1}$ est déterminée par $c₁,…,c_g$.
Or, l'égalité
$1+c₁T+c₂T²+\cdots+c_g T^g ≡ (1-T)(1-qT)\exp(∑_{n=1}^∞ N(n)\frac{T^n}{n})) \module (T^{g+1})$
montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1 ≤ n ≤ g$.
\end{démo}

L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant.

\begin{théorème2}[Weil]
Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, le module (usuel) du nombre complexe $α_i$ est $\sqrt{q}$.
De façon équivalente, on a
\[
|N(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2}
\]
pour chaque entier $n ≥ 1$.
\end{théorème2}

D'après \ref{formule-des-traces}, la majoration de la différence
$|N(n)-(1+q^n)|$ est conséquence immédiate des égalités $|α_i|=q^{½}$.
La réciproque est élémentaire (cf. \ref{} ci-dessous). \XXX

\subsection{Stratégie et majoration fondamentale}

\subsubsection{}Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et, 
pour chaque entier $n ≥ 1$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$
de degré $n$. On veut estimer la taille — notée $N(n)$ ci-dessus — des ensembles $X(k_n)$
définis en \ref{notation-Xk}.
Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble
$\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points
fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k ∈ \Gal(\sur{k}\bo k)$ agissant sur
$X(\sur{k})$ comme expliqué en \ref{action-sur-Xk}.

\subsubsection{}Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps
$k(t)$, corps dont on note $𝐏¹_k$ le foncteur des $k$-places ultramétriques (\ref{notation-Xk}).
Si $\sur{x} ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur un point $k$-rationnel $y ∈ 𝐏¹_k(k)$ et si le morphisme
correspondant est net, il existe un unique $σ ∈ G$ tel
que $\Frob_k(\sur{x})=σ(\sur{x})$. Il en résulte
que
\[
1+q=\# 𝐏¹_k(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{σ ∈ G} \#\Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1),
\]
où le terme supplémentaire est la contribution des points de ramification, en nombre fini.
En conséquence, si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
ensembles $ \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ pour $σ ≠ \Id$, on sait également
minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$.
Notons également qu'une $k$-place $φ:K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ est fixe
par $σ^{-1}\Frob_k$ si et seulement si $\Frob_k ∘ φ = φ ∘ σ$.
Il en résulte que si $φ,φ′$ ont même image dans $X$,
$φ$ est fixe si et seulement si $φ′$ l'est. (En effet,
$φ$ et $φ′$ diffèrent par l'action du Frobenius $\Frob_k$.) 

\begin{théorème2}[Bombieri]
Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$,
satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$.
Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
\[
\# \Fix \big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) \sqrt{q},
\]
où l'on note $\Frob^σ_k=σ^{-1}\Frob_k$.
En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)\sqrt{q}$.
\end{théorème2}

L'existence d'une $k$-place dans $X(k)$ est équivalente à l'existence
d'un diviseur \emph{effectif} de degré $1$ sur $X$ (\ref{définition diviseur
effectif}).
%(Un tel diviseur est également appelé \emph{diviseur premier de degré $1$}.)

\commentaire{introduire « échange tordu du $½$-Frobenius » pour motiver ?}

\begin{démo}
Notons $ℒ_n$ l'ensemble $L(nx)$ des fonctions $f ∈ K$ telles que $\div(f) ≥ - n
x$, et $l_n$ sa dimension sur $k$ (cf. \ref{Poisson implique RR}). D'après
\ref{RR et croissance l}, la suite $(l_n)_{n ≥ 0}$ est lentement croissante :
\mbox{$l_{n-1} ≤ l_n ≤ l_{n-1}+1$}.
Notons $S$ l'ensemble des indices $n ∈ 𝐍$ pour lesquels $l_n=l_{n-1}+1$
(« saut »), et choisissons pour chaque $s ∈ S$ une fonction $f_s ∈ ℒ_s - ℒ_{s-1}$.
On a donc $\div(f_s)=-sx$ et si $S_{≤ N}$ est l'ensemble des indices de sauts
inférieurs à un entier donné $N$, les fonctions $f_s$, pour $s ∈ S_{≤ N}$,
forment une \emph{base} de $ℒ_N$. Appliquons ce qui précède aux entiers $N=q′-1$
et $M=N+(2g+1)$. Vérifions le fait suivant :
\begin{quote}
\emph{les fonctions $f_s   {f_{t}}^{q′}$, pour $s ∈ S_{≤ N}$ et $t ∈ S_{≤ M}$, sont
$k$-linéairement indépendantes.}
\end{quote}
Il suffit de vérifier que les fonctions $f_s ∈ K$ sont linéairement
indépendantes sur $K′=K^{q′}$. Or, si $∑_s λ_s^{q′} f_s=0$, où les coefficients
$λ_s$ sont non nuls et dans $K$, il existe deux indices distincts $s₁,s₂$
dans $S_{≤ N}$ tels que $v_x( λ_{s₁}^{q′} f_{s₁})=v_x(λ_{s₂}^{q′}
f_{s₂})$. Or, une telle égalité entraîne la congruence $s₁ ≡ s₂ \module q′$, ce qui
est exclu car $s₁$ et $s₂$ sont majorés par $N=q′ -1$.

Il résulte de ce qui précède que le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{N,M}$ de $K$
image de $ℒ_N ⊗_k ℒ_M^{q′}$ par l'application produit est de dimension $l_{N,M}=l_N ⋅l_M$.
Par le théorème de Riemann-Roch, on a donc la minoration
\[
l_{N,M} ≥ (N-g+1)(M-g+1)=(q′-g)(q′+g+1)=q+q′-g(g+1) .  
\]
Considérons d'autre part le sous-$k$-espace vectoriel $ℒ_{M,N;σ}$ de $K$
image de $ℒ_M ⊗_k \big(σℒ_N\big)^{q′}$ par l'application produit. 
\commentaire{re-vérifier $σ ↔ σ^{-1}$…}
Il résulte de l'inclusion $ℒ_{M,N;g} ⊆ ℒ\big(Mx+Nq′σ(x)\big)$, de l'inégalité
$\deg(Mx+N q′ σ(x))=q+2g>2g-2$ et du théorème de Riemann-Roch que l'on a la majoration
\[
l_{M,N;σ}=\dim_k ℒ_{M,N;σ} ≤ (q+2g)-g+1=q+g+1.
\]
Comme $q′>(g+1)²$, on a $l_{N,M} > l_{M,N;σ}$ si bien que l'application  
$k$-linéaire $ℒ_{N,M} → ℒ_{M,N;σ}$, envoyant $f_s f_{t}^{q′}$ sur $f_t (σf_s)^{q′}$
— « échange tordu du demi-Frobenius » — est de noyau non trivial.  
Il existe donc des fonctions $h_s$ dans $ℒ_M$
telles
\[
f ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s^{q′}  f_s ≠ 0
\]
mais
\[
F ≔ ∑_{s ∈ S_{≤ N}} h_s (σf_s)^{q′}=0.
\]
Soit $φ$ une $k$-place dans $\Fix \big(\Frob^σ_k | X(\sur{k})\big)$
non localisée en $x$ de sorte que $φ$ est défini sur les espaces $ℒ_n$.
Comme $φ(f_s)=φ(σf_s)^{q}$, on a
$φ(f)=∑_s φ(h_s)^{q′} φ(σf_s)^q=φ(F)^{q′} =0$.
D'après \ref{notation-Xk}, le cardinal de $\Fix \big(\Frob^σ _k | X(\sur{k})\big)$
est donc majoré par $\deg(\div₀(f))$.
Comme $\deg(\div₀(f))=\deg(\div_∞(f))$ et $f ∈ ℒ_{N+q′ M}$,
le cardinal recherché est donc inférieur ou égal
à $1+(N+q′M)=(1+q)+(2g+1)q′-1$. CQFD. 
\end{démo}

\subsection{Minoration et fin de l'argument}

\begin{proposition2}
\label{formule de la moyenne}
Soit $L\bo K$ une extension finie galoisienne de groupe $G$
et utilisons la lettre $Y$ pour désigner les points du corps global $L$ et
le foncteur des $k$-places.
Si le corps des constantes de $L$ égal à $k$ alors, pour tout
$σ ∈ \Aut(L \bo k)$ stabilisant $K$, on a la formule de la moyenne :
\[
\# \\Fix\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)
=\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \Fix\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big).
\]
\end{proposition2}

L'énoncé de [Fried-Jarden] n'a pas de sens.
L'énoncé ci-dessus est peut-être bon... ? :( \XXX

\begin{démo}
Soit $\sur{x} ∈ X(\sur{k})$, d'image $x$ dans $X$, et considérons la fibre du morphisme
$Y(\sur{k}) → X(\sur{k})$ au-dessus de $\sur{x}$,
dont on note $r_x$ le cardinal. Il existe un entier $f_x$ tel que
chaque $y ∈ Y$ au-dessus de $x$ induise une extension résiduelle
de degré $f_x$. Enfin, notons $e_x$ l'indice de ramification de $x$
dans $L$. On a $\#G=e_x f_x r_x$.
\end{démo}

\subsubsection{}


		\[⁂\]

Utiliser astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$
pour simplifier ? (cas $σ=1$ ?).

\begin{corollaire2}
$B_K(n) = q^n/n + O(q^{n/2})$ [cf. Gauß].
\end{corollaire2}


\subsection{Dévissage}

Il suffit donc de démontrer le théorème après extension
des scalaires.

\begin{lemme2}
Il suffit de démontrer l'existence de $A,B,N$
tels que
\[
|X(k_d)-(1+q^d)| ≤ A + B q^{d/2}.
\]
pour $d ≫ 0$ divisible par $N$.
\end{lemme2}


\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}

\begin{théorème2}
\XXX
Soit $D=27$ et posons $\chap{L}(s)=D^{\frac{s}{2}} Γ_𝐂(s) L(E,s)$.
Alors :
\[
\chap{L}(E,s)=\chap{L}(E,2-s).
\]
\end{théorème2}

\begin{remarque2}
\XXX
Courbe elliptique à multiplication complexe.
\end{remarque2}

Cf. cours à Hyères (2008).

Utilise :

— $𝐐(j)=𝐐(\sqrt{3})$ est euclidien ;

— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;

— transformée de Mellin + formule de Poisson pour démontrer équation fonctionnelle.



\section{Courbes algébriques}Si l'on munit l'ensemble $Σ$ des places d'un corps global
de caractéristique positive la topologie
de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}),
en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou
vide, le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
$(Σ,𝒪_K)$ est \textbf{espace annelé} d'un type particulier, appelé \textbf{schéma}.
Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$. \XXX

Les résultats de la proposition précédente ont
été établis en \ref{sections globales droite projective}
lorsque $K=𝐅_p(t)$.
\XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.)
%(Cf. Joël Riou, forum 2007.)

\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme
géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
\begin{enumerate}
\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
\item $Σ(K_f) ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble fini près).
Plus précisément, il existe un ouvert dense $U$ de $K$ et
un élément non nul $a ∈ X_f$ tels que $𝒪_K(U)$ soit
$k$-isomorphe à $X_f[a^{-1}]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}

\begin{démo}
(i) Le corps $K_f$ est de type fini et de degré de transcendance $1$ sur $k$.
(Le polynôme $f$ est irréductible donc non constant.) C'est donc un corps
global. L'anneau $K_f ⊗_k k\alg$ est isomorphe à un localisé de l'anneau $X_f ⊗_k k\alg$.
Le polynôme $f$ étant \emph{géométriquement} irréductible), l'anneau
$X_f ⊗_k k\alg$ est intègre (et réciproquement), et par conséquent $K_f ⊗_k
k\alg$ aussi.
D'après \refext{AC}{}, le corps $k$ est intégralement clos dans $K_f$ : c'est
son corps des constantes.
(ii) Soit $U$ un ouvert arbitraire strict de $Σ(K)$. Les $k$-algèbres $A=X_f$
et $B=𝒪_{K_f}(U)$ sont de type fini et ont même corps des fractions. Il en résulte (\XXX)
qu'il existe $a ∈ A-\{0\}$ et $b ∈ B-\{0\}$ tels que $A[a^{-1}]$ et $B[b^{-1}]$ soient
$k$-isomorphes. Soit $S$ le support (fini) de $\div₀(b)$. Le sous-anneau $B[b^{-1}]$
de $K_f$ est inclus dans $𝒪_{K_f}(U - S)$. Cette inclusion est une égalité car si $g ∈ 𝒪_{K_f}(U
- S)$, il existe un entier $n$ tel que la fonction $b^n g$ n'ait pas de pôle en les points
de $S$ et, partant, appartienne à $𝒪_{K_f}(U)$.
\end{démo}


\section{Notes}

Pour la transformation de Fourier :
\cite{Bushnell-Henniart} (d'où on a tiré
la seconde démonstration de l'équation fonctionnelle locale),
\cite{Bernstein-Zelevinski}, \cite[appendice F]{Elements@Colmez}
(notamment pour la formule de Poisson adélique). Pour
l'analyse harmonique, on trouvera de beaux survols
historiques dans \cite{scope@Mackey}.
Pontrâgin : \cite[§6]{Pontryagin@Morris} et \cite[§12]{representations@Kirillov}.
Analyse harmonique : \cite{harmonic@Loomis}.
Hypothèse de Riemann : \cite{Fried-Jarden} (eux-même inspirés par Bombieri).


\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi