summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/radicaux.tex
blob: 8f22dfa855938e376faa4f45b7442681a9cb38c1 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
\ifx\danslelivre\undefined
\documentclass[9pt]{../configuration/smfart}
\input{../configuration/commun}
\input{../configuration/smf}
\input{../configuration/adresse}
\input{../configuration/gadgets}
\input{../configuration/francais}
\input{../configuration/numerotation}
\input{../configuration/formules}
\input{../configuration/encoredesmacros}

\usepackage{stmaryrd}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}

\synctex=1

\title{Radicaux, r\'esolubilit\'e, calculs explicites et cyclotomie}
 
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie}
\fi

\newcommand{\resol}{^{\mathrm{r\acute{e}sol}}}

\section{Extensions résolubles}

\begin{convention2}
Si $k$ est un corps et $n$ un entier non multiple de la
caractéristique de $k$, on dit que $k$ \emph{contient les racines
  $n$-ièmes de l'unité} lorque le polynôme $X^n-1$, ou, de façon
équivalente, le polynôme cyclotomique $\Phi_n$, est scindé sur $k$.
Lorsque c'est le cas, on notera $\bimu_n(k)$, ou simplement $\bimu_n$,
le groupe multiplicatif des racines $n$-ièmes de l'unité dans $k$.
\end{convention2}

Remarquons que si $k$ contient les racines $n$-ièmes de l'unité, quel
pour tout $a \in k$, le polynôme $X^n - a$ admet une racine $\alpha$
dans $k$ si et seulement s'il est scindé (il s'écrit
$\prod_{i=0}^{n-1} (X - \zeta^i \alpha)$ où $\zeta$ est une racine
primitive $n$-ième).  On rappelle de même que, si $k$ est de
caractéristique $p>0$, le polynôme $X^p - X - a$ admet une racine
$\alpha$ dans $k$ si et seulement si il est scindé (il s'écrit
$\prod_{i=0}^{p-1} (X - \alpha - i)$).

\begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux}
Soit $k$ un corps.  On dit que $k$ est \emph{clos par radicaux}
lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item si $m$ est un entier non multiple de la caractéristique de $k$
  et que $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité, et si $a \in
  k$, alors le polynôme $X^m - a$ est scindé sur $k$,
\item dans le cas où $k$ est de caractéristique $p>0$, si $a \in k$,
  alors le polynôme $X^p - X - a$ est scindé sur $k$.
\end{itemize}

Si $k$ est un corps dont on fixe une clôture séparable $k\sep$, il est
évident que $k\sep$ est clos par radicaux au sens ci-dessus et que
l'intersection de toute famille de corps intermédiaires entre $k$ et
$k\sep$ qui sont clos par radicaux est encore un corps clos par
radicaux : ceci permet de définir la \emph{clôture par radicaux} de
$k$, dite encore \emph{corps des expressions en radicaux} sur $k$, et
notée $k\resol$.
\end{definition2}

Autrement dit, on dit qu'un corps est clos par radicaux lorsqu'il
contient les racines $m$-ièmes de tous ses éléments, pour les $m$ pour
lesquels il contient les racines $m$-ièmes de l'unité, ainsi que les
« racines $\wp$-ièmes » en caractéristique $p>0$, en notant comme
d'habitude $\wp(x) = x^p - x$.

Il existe différentes variations sur cette définition : la plupart des
auteurs demandent plutôt \emph{a priori} que $k$ contienne toutes les
racines de l'unité, ou au moins qu'on puisse extraire une racine
$m$-ième de tout élément sans demander spécialement que les racines
$m$-ièmes de l'unité soient déjà dans $k$ ; on verra que cela ne
change rien car, avec la définition ci-dessus, $k$ contiendra
forcément toutes les racines de l'unité.  La définition ci-dessus nous
a paru meilleure car elle permet d'affirmer de façon non-triviale que
les racines $n$-ièmes de l'unité s'expriment elles-mêmes par
radicaux !

\begin{definition2}
Soit $k$ un corps.  On appelle \emph{tour d'extensions par radicaux}
sur $k$ une suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq
k_r$ de corps tels que, pour chaque $i$, le corps $k_{i+1}$ soit
engendré sur $k_i$ par un unique élément $\alpha_i$ vérifiant l'une
des propriétés suivantes :
\begin{itemize}
\item il existe $m_i \geq 1$ entier, non multiple de la
  caractéristique de $k$, tel que $k_i$ contienne les racines
  $m_i$-ièmes de l'unité et que $\alpha_i^{m_i} \in k_i$, \emph{ou
    bien}
\item $k$ est de caractéristique $p>0$, et $\wp(\alpha_i) \in k_i$.
\end{itemize}
\end{definition2}

Le résultat suivant est essentiellement trivial :

\begin{proposition2}
Soit $k$ un corps, dont on fixe une clôture séparable $k\sep$.  Alors
la clôture par radicaux $k\resol$ de $k$ (à l'intérieur de $k\sep$)
est précisément la réunion de tous les corps intervenant dans une tour
d'extensions par radicaux sur $k$ et incluse dans $k\sep$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ est une tour
d'extensions par radicaux incluse dans $k\sep$, on veut prouver que
chaque $k_i$ est inclus dans $k\resol$.  Par récurrence sur $i$, on
peut supposer que $k_i$ l'est, et on veut prouver que $k_{i+1} =
k_i(\alpha_i)$ l'est, où $\alpha_i$ est soit la racine $m_i$-ième d'un
élément de $k_i$ où $k_i$ contient les raciens $m_i$-ièmes de l'unité
soit la « racine $\wp$-ième » d'un élément de $k_i$ si la
caractéristique est positive.  Dans les deux cas, les propriétés de
clôture par radicaux de $k\resol$ montrent que $\alpha_i \in k\resol$
donc $k_{i+1} \subseteq k\resol$.

Réciproquement, considérons la réunion $E$ de tous les corps
intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ : on veut
vérifier que $E$ est un corps, qui sera alors évidemment clos par
radicaux donc contenu dans $k\resol$.  Pour montrer que $E$ est un
corps, il suffit de montrer que si $k'$ et $k''$ sont deux corps
intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ incluse
dans $k\sep$, on peut trouver une tour d'extensions faisant intervenir
une extension commune à $k'$ et $k''$ (cette extension commune
permettant alors de faire la somme ou le produit d'un élément de $k'$
et d'un élément de $k''$).  Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots
\subseteq k_r = k'$ est la tour dans laquelle s'inscrit $k'$ (on peut
évidemment l'arrêter là), on en déduit une tour $k'' = k_0 k''
\subseteq k_1 k'' \subseteq \cdots \subseteq k_r k'' = k' k''$ (toutes
ces compositions étant entendues dans $k\sep$) où toutes les étapes
sont soit triviales soit une étape de tour d'extensions par radicaux ;
en mettant bout à bout cette tour $k'' \subseteq \cdots \subseteq k'
k''$ avec celle $k \subseteq \cdots \subseteq k''$ dans laquelle
s'inscrit $k''$, on a inscrit $k'k''$ dans une tour d'extensions par
radicaux comme souhaité.
\end{proof}



\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi