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\title{Résolubilité par radicaux, calculs explicites en petits degrés et cyclotomie}
\setcounter{tocdepth}{3}
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%\newtheorem*{propsansnum}{Proposition}
 
\begin{document}
\maketitle

\else
\chapter{Résolubilité par radicaux et cyclotomie}
\fi

\section{Cyclotomie}

\subsection{Nombre de solutions de l'équation $∑_i a_i X_i^{n_i}=0$ dans un
corps fini et sommes de Gauß-Jacobi}

\subsubsection{Brefs rappels sur la dualité dans les groupes abéliens finis}

Soit $G$ un groupe. Un morphisme $χ∈\Hom(G,\mathbf{U})$, 
où $\mathbf{U}=\{z∈ℂ, |z|=1\}≅ℝ/ℤ$, est appelé un \emph{caractère} du groupe $G$ ; 
on note $\chap{G}$ leur ensemble, qui est naturellement un groupe \emph{abélien} : $(χχ')(g)=χ(g)χ'(g)$. 
C'est le \emph{dual} de $G$.

\begin{remarque3}
Le lecteur trouvera dans la littérature des variantes : on
aurait pu considérer $\Hom(G,ℂ^×)$ (on parle alors parfois de
\emph{quasi-caractères} ou caractères généralisés), $\Hom(G,E^×)$ (où $E$ est un corps contenant
les racines $\# G$-ème de l'unité, ou bien encore l'ensemble $\Hom(G,ℚ/ℤ)$.
Enfin, si $G$ est un groupe
topologique localement compact, %donc séparé
on pourrait considérer plutôt l'ensemble des caractères \emph{continus}. Muni de la topologie dite \emph{compacte ouverte}
c'est à nouveau un groupe topologique localement compact (dualité
de Pontryagin). Dans le cas des groupes finis, ces notions sont toutes équivalentes. 
Par commodité nous préférons voir nos caractères comme à valeurs dans le cercle
unité complexe.
\end{remarque3}

Par composition des fonctions, tout morphisme $H→G$ de groupes
induit un morphisme de groupes abéliens $\chap{G}→\chap{H}$.

\begin{lemme3}\label{lemme-Q-sur-Z-est-injectif}
Soit $K→G$ une \emph{injection} de groupes abéliens finis.
Le morphisme dual $\chap{G}→\chap{K}$ est une \emph{surjection}. 
\end{lemme3}

On note $K^{\perp}$ son noyau ; en symboles, $K^{\perp}=\{χ∈\chap{G}, χ(K)=\{1\}\}$.
Le morphisme $K^\perp→\chap{G/K}$ est une bijection :
tout caractère de $G$ trivial sur $K$ induit un caractère de $G/K$ et 
réciproquement.

\begin{démo}[Démonstration du lemme]
Soit $χ:K→\mathbf{U}$ un caractère de $K$ ; il faut montrer qu'il s'étend
à $G$, \cad qu'il existe un caractère $χ':G→\mathbf{U}$ dont la restriction
à $K$ soit $χ$. Supposons $K≠G$ sans quoi le résultat est trivial et
considérons $x∈G-K$. Soient $r$ le plus petit entier non nul tel que
$x^r∈K$ et $z$ une racine $r$-ème de $χ(x^r)$ dans $ℂ$. On
a donc $χ(x^{rα})=z^{rα}$ pour tout $α∈ℕ$.
Il en résulte immédiatement que l'application $χ':⟨K,x⟩→\mathbf{U}$, $kx^i\mapsto χ(k)z^i$
est bien définie ; c'est un caractère du groupe $⟨K,x⟩$.
De proche en proche, on peut donc étendre le caractère initial à $G$ tout entier.
(De façon précise : procéder par récurrence sur l'indice $(G:K)$.)
\end{démo}

L'énoncé dual est trivial : si $G→H$ est une \emph{surjection},
le morphisme induit $\chap{H}→\chap{G}$ est une injection. (Cet
énoncé, de nature ensembliste, est vrai sans hypothèse sur $G$ ou $H$.)

Il en résulte que pour toute suite \emph{exacte} de groupes abéliens finis $1→K→G→H→1$,
la suite $1→\chap{H}→\chap{G}→\chap{K}→1$ est également exacte. En effet,
$K^\perp:=\mathrm{Ker}(\chap{G}→\chap{K})$ est naturellement
en bijection avec $\chap{G/K}$.

\begin{lemme3}
Soit $G$ un groupe fini abélien. Le morphisme d'évaluation 
$G→\chap{\chap{G}}$, $g\mapsto \big(\mathrm{\acute{e}v}_g:χ\mapsto χ(g)\big)$ est un isomorphisme.
\end{lemme3}

\begin{démo}
On procède à nouveau par récurrence sur $\# G$, en remarquant
que l'énoncé est trivial pour un groupe cyclique (exercice).
Dans le cas général, on considère comme précédemment le diagramme 
de suites exactes :
$$
\xymatrix{
1 \ar[d] \ar[r] & K \ar[d] \ar[r] & G \ar[d] \ar[r] & H \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d] \\
1 \ar[r] & \chap{\chap{K}}  \ar[r] & \chap{\chap{G}} \ar[r] & \chap{\chap{H}} \ar[r] & 1 
}
$$
Par hypothèse de récurrence, $K→\chap{\chap{K}}$ et $H→\chap{\chap{H}}$ sont 
des isomorphismes ; il en est donc de même de $G→\chap{\chap{G}}$
(chasse au diagramme).
\end{démo}

\begin{proposition3}
Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit
de groupes cycliques.
\end{proposition3}

\begin{démo}
Soit $ω=∏ p_i^{r_i}$ le p.g.c.d des ordres d'éléments de $G$.
Pour tout $i$, il existe un élément $g_i$ d'ordre un multiple de $p_i^{r_i}$ ;
quitte à l'élever à une puissance convenable, on peut le supposer d'ordre
exactement $p_i^{r_i}$. Le produit $g=∏g_i$ est alors d'ordre exactement $ω$.
Soient $ζ_ω$ une racine primitive $ω$-ème de l'unité dans $ℂ$ et $χ:⟨g⟩→\mathbf{U}$ 
le caractère défini par $χ(g)=ζ_ω$. Il s'étend en un caractère $χ'$ de $G$.
Son noyau $\Ker(χ')$ est d'indice $ω$ (le cardinal de son image) et $\Ker(χ')⋂⟨g⟩=\{e\}$
de sorte que $G≅⟨g⟩×\Ker(χ')$. On peut donc démontrer la proposition par
récurrence sur l'ordre du groupe.
\end{démo}

\begin{corollaire3}
Si $G$ un groupe abélien fini il existe un isomorphisme
entre $G$ et $\chap{G}$.
\end{corollaire3}

\begin{démo}
Le résultat étant évident pour un groupe cyclique, il suffit de vérifier
que le dual d'un produit $K×K'$ est isomorphe au produit $\chap{K}×\chap{K'}$
des duaux. C'est immédiat. (Pour les groupes abéliens, le produit cartésien est 
la somme directe (comme $ℤ$-module).)
\end{démo}

\begin{lemme3}\label{lemme-orthogonalite-caracteres}
Soient $G$ un groupe abélien fini et $g∈G$.
Alors, $∑_{χ∈\chap{G}} χ(g)$ est égal à $0$ si $g≠e$ et $|G|$ sinon.
\end{lemme3}

\begin{démo}
Le résultat est trivial si $g=e$. Supposons 
$g≠e$. Puisque le morphisme $G→\chap{\chap{G}}$ est un 
isomorphisme, il est donc injectif : $\mathrm{\acute{e}v}_g≠e$.
En d'autres termes, il existe un caractère $χ'∈\chap{G}$
tel que $χ'(g)≠1$. Soit $S=∑_χ χ(g)$. On a $χ'(g)S=∑_χ (χ'χ)(g)=S$.
Puisque $χ'(g)≠1$, on a bien $S=0$.
\end{démo}

\begin{corollaire3}
Soit $G$ un groupe abélien fini et $χ∈\chap{G}$.
Alors, $∑_{g∈G} χ(g)$ est égal à $0$ si $χ=1$ 
et $|G|$ sinon. 
\end{corollaire3}

\begin{démo}
Cela résulte de l'égalité $∑_g χ(g)=∑_g \mathrm{\acute{e}v}_g(χ)$,
du lemme précédent, et du fait que tout caractère de $\chap{G}$ est
de la forme $\mathrm{\acute{e}v}_g$ pour un unique $g∈G$.
\end{démo}

\subsubsection{Équation $X^n=g$ dans un groupe abélien fini}

Pour tout groupe abélien $G$ (en notation multiplicative) et
tout entier $n$, notons $G[n]:=\{g∈G, g^n=1\}$ et $nG=\{g^n, g∈G\}$.
La surjection $G→G/nG$ induit une \emph{injection}
$\chap{G/nG}↪\chap{G}[n]$ : un caractère composé $G→G/nG→\mathbf{U}$
est tué par $n$. Le premier groupe a pour cardinal $(G:nG)$ ; celui de droite
$(\chap{G}:n\chap{G})$. D'après la proposition ci-dessus, $G≅\chap{G}$,
de sorte que $(\chap{G}:n\chap{G})=(G:nG)$ et, finalement,
$$
\chap{G/nG}\iso \chap{G}[n].
$$

Soit $g∈G$ et notons $\sur{g}$ son image dans $G/nG$. 
Cette image est nulle \ssi pour tout $\sur{χ}∈\chap{G/nG}$, $\sur{χ}(\sur{g})=1$.
Soit $χ$ l'image de $\sur{χ}$ par l'isomorphisme précédent ; on 
a par définition $χ(g)=\sur{χ}(\sur{g})$. 

\begin{corollaire3}
Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier.
Les conditions suivantes sont équivalentes.
\begin{enumerate}
\item  $g∈nG$ ;
\item $\chap{G}[n](g)=\{1\}$.
\end{enumerate}
\end{corollaire3}

\begin{corollaire3}
Soient $G$ un groupe abélien fini, $g∈G$ et $n$ un entier. Alors,
$$
N(X^n=g)=∑_{χ∈\chap{G}[n]} χ(g),
$$
où $N(X^n=g)$ désigne le nombre de solution de l'équation $X^n=g$ dans $G$.
\end{corollaire3}

\begin{démo}
Le terme de gauche est égal à $0$ si $g∉nG$ ;
il est égal à $\#G[n]$ dans le cas contraire car deux solutions
diffèrent d'un élément de $G[n]$. 
Notons $\sur{g}$ l'image de $g$ dans $G/nG$. 
Le terme de droite se réécrit 
$$
∑_{\sur{χ}∈\chap{G/nG}} \sur{χ}(\sur{g}).
$$
D'après \ref{lemme-orthogonalite-caracteres}, cette somme vaut $0$ si $\sur{g}≠e$
(\cad $g∉nG$) et $\#\chap{G/nG}$ sinon. Puisque $\chap{G/nG}≅\chap{G}[n]≅G[n]$,
l'égalité avec le terme de gauche en résulte.
\end{démo}

\subsubsection{Une expression du nombre de solutions d'une équation $∑_i a_i X_i^{n_i}=b$
dans un corps fini}

\paragraph{Notations}Dans tout ce paragraphe, $F$ désigne un corps \emph{fini}.
Rappelons que le groupe multiplicatif $F^×$ est \emph{cyclique} (\ref{}).
%Si $n$ est un entier, la condition $n|d$
%du paragraphe précédent est équivalente à l'égalité $\#μ_n(F)=n$ ou encore à l'inclusion
%$μ_n(\sur{F})⊂F$.
Fixons un entier $d≥0$, des coefficients $c₀,\dots,c_d,b∈F^×$ et des exposants
$n=(n₀,\dots,n_d)$ tous nons nuls. On s'intéresse au nombre $N=N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_d X_d^{n_d}=b)$
de solution de cette équation dans $F$. On note $A$ la $F$-algèbre $F^{d+1}$.
Soit $L$ la forme linéaire sur $A$ définie par $L(a)=∑_i c_i a_i$, où 
$a=(a₀,\dots,a_d)∈F^{d+1}$. 
\paragraph{}L'égalité suivante est tautologique :
$$N=∑_{a∈A\atop L(a)=b} N(X₀^{n₀}=a₀)\cdots N(X_d^{n_d}=a_d).$$
D'après les résultats des paragraphes précédents, chaque 
entier $N(X_i^{n_i}=a_i)$ est égal à la somme
$∑_{χ∈\chap{F^×}[n_i]} χ(a_i)$. 

\begin{quote}
\emph{A priori}, cette formule n'a 
de sens que pour $a_i≠0$, elle reste pourtant vrai si l'on décrète que $χ(0)$
est nul si $χ≠1$ et égal à un sinon.
\end{quote}

Ainsi, en développant l'expression $\big(∑_{χ₀^{n₀}=1} χ(a₀)\big)\cdots
\big(∑_{χ_d^{n_d}=1} χ(a_d)\big)$ et en sommant sur les $a∈A$ tels que $L(a)=b$,
on trouve :
$$
(\star)\ N=(\# F)^d+∑_{χ=(χ₀,\dots,χ_d)≠1} \big(∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)\big),
$$
où la première somme porte sur les caractères comme ci-dessus, supposés
non tous triviaux. En effet, la contribution de $χ₀=\cdots=χ_d=1$
est égale au cardinal de l'hyperplan affine $L^{-1}(b)$.

Par commodité, on notera par la suite $χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)=:χ(a)$.

\begin{lemme3}
Si certains des $χ_i$ sont triviaux, mais pas tous, la somme
$$∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ₀(a₀)\cdots χ_d(a_d)$$ est \emph{nulle}.
\end{lemme3}

\begin{démo}
Soit $χ=(χ₀,\dots,χ_d)$ comme dans l'énoncé et considérons 
l'algèbre quotient $A↠A'$ de $A$ correspondant aux facteurs non triviaux.
Tautologiquement, $χ(a)=χ'(a')$ où $a'$ est l'image de $a$ dans $A'$ et $χ'$
est la famille de caractères (tous) non triviaux correspondante.
La somme à évaluer est donc égale à $∑_{a∈A\atop L(a)=b} χ'(a')$.
Elle est égale à $∑_{a'∈A'} \big(χ'(a')\cdot \#\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}\big)$.
Puisque pour tout $a'$, $\{a∈A,a\mapsto a', L(a)=b\}$ est un espace
affine non vide (car $A'≠A$) de dimension donc de cardinal indépendants de $a'$,
il suffit de montrer que $∑_{a'∈A'} χ'(a')=0$.
Puisque les constituants de $χ'$ sont tous non triviaux, elle
est égale à $∑_{a'∈{A'}^×} χ'(a')$. D'après le lemme \ref{},
cette somme est nulle.
\end{démo}

\paragraph{Nouveaux caractères}Soit $A↠A'$ comme dans la démonstration. En passant aux unités,
on obtient un morphisme induit $A^×↠{A'}^×$ d'où une injection
$\chap{{A'}^×}↪\chap{A^×}$. La proposition précédente affirme
que la contribution d'un caractère de l'image est nulle.
En d'autres termes, seuls contribuent les caractères qui ne sont pas induits
par une sous-algèbre quotient \emph{stricte}.
(On a vu en \ref{algebre-diagonalisable} que tous ces quotients sont du type
envisagé dans la démonstration.)

On note $\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ l'\emph{ensemble} de ces caractères (par oppositions
aux \emph{anciens}, provenant d'une plus petite algèbre).
Généralisant quelque peu la notation habituelle, 
on pose $\chap{A^×}[n]:=\{χ=(χ₀,\dots,χ_d)∈\chap{A^×}, χ_i^{n_i}=1\}$.
(Si $n₀=\dots=n_d$, on retombe sur la définition précédente.)
Enfin, si $E⊂\chap{A^×}$, on note $E[n]$ (resp. $E^{\mathrm{nouv}}$ resp.
$E^{\mathrm{nouv}}[n]$) son intersection avec le sous-ensemble correspondant
de $\chap{A^×}$. 
Remarquons que si $d+1=\dim_F(A)>1$, tout nouveau caractère de $A^×$ est non
trivial.

\paragraph{Réécriture de l'égalité ($\star$)}
Si l'on pose $a'=ca$ (\cad $a'_i=c_i a_i$ pour $0≤i≤d$), on a bien sûr 
$χ(a)=χ(c)^{-1}χ(a')$, ce qui complique un peu les choses, 
mais la condition $L(a)=b$ s'écrit $∑_i a'_i=b$, \cad $\Tr_{A/F}(a')=b$.

Utilisant cette remarque et le lemme précédent, on peut donc
écrire :

$$
N=(\# F)^d+∑_{χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}[n]\atop χ≠1} χ^{-1}(c)\big( ∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b}
χ(a)\big).
$$

Rappelons que le terme $(\# F)^d$ correspond au caractère $χ=1$.

Notons $χ_{|F^×}$ la restriction d'un caractère $χ$ de $A^×$ au sous-groupe $F^×$
plongé diagonalement, de sorte que $χ_{|F^×}(x)=∏_i χ_i(x)$.
En écrivant $a_i=a₀a'_i$ ($0<i≤d$), on trouve immédiatement,
pour tout caractère $χ$ de $A^×$ :
$$
∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=b} χ(a)=∑_{x∈F^×} \Big(χ_{|F^×}(x) \big(∑_{a'∈{A'}^×\atop
\Tr(a')=\frac{b}{x}-1} χ'(a')\big)\Big),
$$
où $χ'=(χ₁,\dots,χ_d)$. 

Supposons $b=0$. La somme sur $a'$ ne dépend pas de $x$ et
$∑_{a∈A^×\atop \Tr(a)=0} χ(a)$ est un multiple de $∑_{x∈F^×} χ_{|F^×}(x)$,
nul si $χ_{|F^×}$ est non trivial. On peut donc se restreindre pour le calcul de $N$
aux caractères de $A^×$ \emph{diagonalement triviaux}, \cad
aux caractères de $A^×/F^×$.

La condition $\Tr(a)=0$ ($a∈A^×$) étant invariante par multiplication
par un scalaire $λ∈F^×$, il est licite de considérer la condition
$\Tr(x)=0$ dans $A^×/F^×$.

Nous avons établi la proposition suivante.

\begin{proposition3}
Soient $F$ un corps fini de cardinal $q$, $d≥0$ un entier, $c₀,\dots,c_d∈F^×$, et $n₀,\dots,n_d≥1$.
Alors,
$$
N(∑_i c_i X_i^{n_i}=0)=q^d+(q-1)∑_{x∈A^×/F^×,\Tr(a)=0 \atop
χ∈\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n], χ≠1} χ(c)χ^{-1}(x).
$$
\end{proposition3}

Le facteur $(q-1)$ provient du fait que chaque $x∈A^×/F^×$,
a exactement $(q-1)$ antécédents dans $A^×$.


\subsubsection{Sommes de Jacobi, sommes de Gauß ; estimation du nombre de
solutions}

Dans tout ce paragraphe, $F$ désigne un corps fini, de cardinal $q$.

\begin{définition3}\label{definition-somme-Jacobi}
Soit $A$ une $F$-algèbre \emph{étale} de rang $d+1$.
Pour tout caractère non trivial $χ∈\chap{A^×/F^×}$, on pose 
$$
J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x).
$$
\end{définition3}

Une telle somme est appelée \emph{somme de Jacobi}.

Le cas qui nous intéresse particulièrement ici est le cas où $A=F^{d+1}$.
À $χ$ correspondent $d+1$ caractères $(χ₀,\dots,χ_d)$ de $F^×$, non tous triviaux,
de produit trivial. Dans ce cas, 
$$
J(χ)=(-1)^{d-1}∑_{x₁,\dots,x_d∈F^×\atop ∑_i x_i=-1} χ₁^{-1}(x₁)\cdots
χ_d^{-1}(x_d).
$$

Dans ce language, la proposition précédente (où l'on suppose $b=0$) se
reformule :
$$
N=q^d+(-1)^{d-1}(q-1)∑_χ χ(c)J(χ), 
$$
où $χ$ parcourt le sous-ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.

\paragraph{Le cas $b$ quelconque}\label{formule-b-quelconque}
Comme pour $x∈F^×$, on a $x^{q-1}=1$, il vient :
$$
N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}-bX_{d+1}^{q-1}=0)=
(q-1)N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=b)+N(c₀X₀^{n₀}+\cdots+c_{d}X_d^{n_d}=0).
$$

D'où (pour $b$ non nul)
$$
N=q^d+(-1)^d\big(∑_{χ'} χ'(c,-b)J(χ')-∑_χ χ(c)J(χ)\big),
$$
où la première somme se fait relativement à l'algèbre $A'=A×F$, 
$χ'$ parcourt l'ensemble $\chap{{A'}^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[(n,q-1)]$
et $χ$ parcourt l'ensemble $\chap{A^×/F^×}^{\mathrm{nouv}}[n]$.

(Remarquer que $q^{d+1}-q^d=(q-1)q^d$.)

\begin{lemme3}
Soit $ζ_p$ une racine primitive $p$-ème de l'unité.
Pour tout caractère \emph{additif} $ψ$ de $F$, il existe
un unique $a∈F$ tel que $ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(ax)}$.
\end{lemme3}

\begin{démo}
On se ramène immédiatement à montrer que toute forme linéaire $f:F→\FF_p$ est
de la forme $x\mapsto \mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)$. Cela résulte du fait que 
la trace est non-dégénérée (l'extension $F/\FF_p$ est étale ; cf. \ref{}).
% si $\mathrm{Tr}_{F/\FF_p}(ax)=0$ pour tout $x∈F$, alors, $a=0$. 
%Ce dernier point résulte à son tour du fait que la trace est surjective
%et, de façon équivalente, non nulle : le polynôme $X+X^p+\cdots+X^{p^{r-1}}$,
%qui a au plus $p^{r-1}$ racines dans $F$ (supposé de degré $r$ sur $\FF_p$), 
%ne peut donc s'annuler identiquement sur $F$. (C'est vrai plus généralement pour
%toute extension finie séparable de corps.)
\end{démo}


\begin{définition3}\label{definition-somme-Gauss}
Soit $A$ une $F$-algèbre étale de rang $d$, $ψ$ un caractère
(\emph{additif}) non trivial de $F$ et $χ$ un caractère de $A^×$.
On pose 
$$
g(χ,ψ)=(-1)^{d}∑_{a∈A^×} ψ\big(\Tr_{A/F}(a)\big)χ^{-1}(a).
$$
\end{définition3}

Une telle somme est appelée \emph{somme de Gauß}. Elles semblent
avoir été introduites par Cauchy.
Par la suite, nous noterons $ψ_A$ le caractère (additif) $ψ\circ \Tr_{A/F}$.

Remarquons que $g(χ,ψ)∈ℚ(ζ_p,ζ_{q-1})$.

\paragraph{}\label{factorisation-somme-Gauss}Si $A$ est un produit de corps $K_i$, de degré $d_i$ sur $F$, on montre immédiatement l'égalité
$$
g(χ,ψ)=ε(A)∏_i g(χ_i,ψ_{K_i}),
$$
où $ε(A)=(-1)^{∑_i (d_i+1)}$.

Le lien entre sommes de Jacobi et sommes de Gauß est donné par la formule
suivante, qui nous permettra bientôt de calculer le module
des sommes de Jacobi. Rappelons que si $A$ est une $F$-algèbre, tout caractère
de $A^×/F^×$ peut-être vu comme un caractère de $A^×$.

\begin{proposition3}\label{proposition-Gauss-Jacobi}
Soient $A$ une $F$-algèbre étale 
Pour tout un caractère non trivial $χ$ de $A^×/F^×$, 
et tout caractère (additif) non trivial $ψ$ de $F$,
on a l'égalité suivante :
$$
qJ(χ)=g(χ,ψ).
$$
\end{proposition3}

\begin{démo}
On a :
$$
g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}∑_{x∈A^×/F^×} \big(χ^{-1}(x)∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)\big),
$$
où $a$ parcourt l'ensemble des relèvements de $x$ à $A^×$.
Si $\Tr(x)=0$, $∑_{a\mapsto x} ψ_A(a)=(q-1)$ ; dans le
cas contraire, elle vaut $∑_{t∈F^×} ψ(t)=-1$ (car $∑_{t∈F} ψ(t)=0$).
Ainsi, 
$$
g(χ,ψ)=(-1)^{\dim_F(A)}\big(q ∑_{x∈A^×/F^×\atop \Tr(x)=0} χ^{-1}(x) -
\underbrace{∑_{x∈A^×/F^×} χ^{-1}(x)}_{0}\big).
$$
\end{démo}

\begin{proposition3}
Soient $A$ une $F$-algèbre étale, $ψ$ un caractère (additif) non trivial
de $F$ et $χ∈\chap{A^×}^{\mathrm{nouv}}$ non trivial.
Alors, 
$$
|g(χ,ψ)|=\sqrt{\# A}.
$$
\end{proposition3}

\begin{démo}
En faisant le changement de variable $y=xz$ dans la 
formule
$$
|g(χ,ψ)|²=g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=∑_{x,y∈{A'}^×}χ(\frac{y}{x})ψ\big(\mathrm{Tr}_{A'/F}(x-y)\big),
$$
on trouve immédiatement
$$
|g(χ,ψ)|^2=∑_{x,z∈{A'}^×} χ(z)ψ(x(1-z))=∑_z χ(z)\Big(∑_x ψ\big(x(1-z)\big)\Big).
$$
Si $z=1$, la somme $∑_x ψ\big(x(1-z)\big)=∑_x 1$ vaut $\# {A'}^×$.
Si $A'$ est un \emph{corps} et $z≠1$, elle vaut $∑_{y∈{A'}^×}
ψ(y)=\big(∑_{y∈A'}ψ(y)\big)-1=-1$. Finalement, si $A'$ est un corps,
$$
|g|²=\# {A'}^× - ∑_{z≠1\atop z∈{A'}^×} χ(z)=\# {A'}^×+1=\# A'.
$$
Le cas général se ramène à ce cas particulier grâce à la formule
\ref{factorisation-somme-Gauss}.
\end{démo}

\begin{corollaire3}
$$
|N(a₀X₀^{n₀}+\cdots+a_d X_d^{n_d}=0)-q^d|≤C_n q^{\frac{d+1}{2}},
$$
où $C_n$ est une constante explicite ne dépendant que de $n$.
De plus, $C_n≤∏_i n_i$.
\end{corollaire3}

\begin{démo}
Les deux propositions précédentes montrent que pour $A$ de dimension $d+1$ sur $F$,
et tout nouveau caractère non trivial, $|qJ(χ)|=q^{\frac{d+1}{2}}$.
La constante $C_n$ n'est autre que le cardinal des nouveaux
caractères de ${F^{d+1}}^×/F^×$ tués par $n$ et non triviaux.
C'est aussi le nombre de $(d+1)$-uplets de rationnels $0<α_i<1$
tels que $n_i α_i∈ℤ$ et $∑_i α_i∈ℤ$.
\end{démo}

Le lecteur exhibera sans peine une majoration semblable dans 
le cas $b≠0$.

\subsubsection{Exercices}

\begin{exercice3}
1) Lien Gauß ↔ transformée de Fourier discrète. Parseval.
2) Montrer que transformé de Gauß puissance $n$ = somme de Kloosterman
\end{exercice3}

\begin{exercice3}
Hasse-Davenport [...]
\end{exercice3}

\subsection{Applications : cardinal des sphères, polygones réguliers et
réciprocité quadratique}

\subsubsection{Notations}

Soit $F$ un corps fini cardinal $q$ et de caractéristique $p≠2$. Le groupe $F^×$ a donc un unique
sous-groupe d'indice deux ; on note $χ_{\mathrm{quad}}$ le caractère
correspondant. On a donc $χ_{\mathrm{quad}}(x)=1$ si $x∈{F^×}²$ et $-1$ sinon.

C'est le seul caractère non trivial de $2$-torsion, de sorte que l'ensemble
des nouveaux caractères de $2$-torsion de $F^d$ est soit vide soit réduit à un seul
élément, suivant la parité de $d$.

Dans tout ce paragraphe, nous fixons une racine primitive $p$-ème 
de l'unité $ζ_p$ et considérons le caractère additif non trivial associé :
$ψ(x)=ζ_p^{\Tr_{F/\FF_p}(x)}$. Nous notons $g_{\mathrm{quad}}$ la 
somme de Gauß associée à ce caractère additif et au caractère (multiplicatif) quadratique.

\begin{proposition3}[Cardinal des sphères sur les corps
finis]\label{proposition-cardinal-spheres}
Soient $d≥0$ un entier et $N$ le nombre de solutions de l'équation 
$X₀²+\cdots+X_d²=1$.
\begin{enumerate}
\item $g_{\mathrm{quad}}²=qχ_{\mathrm{quad}}(-1)$ ;
\item $χ_{\mathrm{quad}}(-1)=(-1)^{\frac{q-1}{2}}$ ;
\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}} q^{\frac{d}{2}}$ si $d$ est
pair ;
\item $N=q^d+χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d+1}{2}} q^{\frac{d-1}{2}}$ si $d$ est
impair. 
\end{enumerate}
\end{proposition3}

Rappelons que $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^n=χ_{\mathrm{quad}}\big((-1)^n\big)$ vaut
$1$ si $(-1)^n$ est un carré dans $F$, $-1$ sinon.

\begin{démo}
(i) résulte de la formule générale : 
$$g(χ,ψ)g(\sur{χ},ψ)=χ(-1)^{-1}g(χ,ψ)\sur{g(χ,ψ)}=χ(-1)q.$$
(ii) Si $x∈{F^×}²$, $x^{\frac{q-1}{2}}=1$ et vice-versa pour des raisons
de cardinalité. Ainsi, $χ_{\mathrm{quad}}(x)=x^{\frac{q-1}{2}})$,
égalité ayant lieu dans $\{±1\}$, plongé dans $\mathbf{U}$ (terme
de gauche) et $F^×$ (terme de droite).
(iii) et (iv) résultent de la formule générale exprimant $N$ comme
une somme, de l'égalité $qJ=g$.
Pour (iii), on utilise également l'égalité
$χ_{\mathrm{quad}}(-1)\frac{g_{\mathrm{quad}}^{d+2}}{p}=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^{\frac{d}{2}}q^{\frac{d}{2}}$,
qui découle de (i). L'égalité (iv) est semblable et laissée au lecteur.
\end{démo}

\begin{remarque3}
Insistons sur le caractère élémentaire de ces formules. 
Puisque $N(X²=a)=1+χ_{\mathrm{quad}}(a)$, en tire
$N=q^d+∑_{a₀+\cdots+a_d=1} ∏_i χ_{\mathrm{quad}}(a_i)$. Le second
terme est, au signe près, une somme de Jacobi.
Ce calcul a été fait bien avant le cas d'une hypersurface diagonale
générale, dû à Weil.
\end{remarque3}

\subsubsection{Constructiblités des polygones réguliers}

Dans ce court paragraphe, on donne une démonstration élémentaire
de la constructiblité à la règle et au compas des polygones réguliers
à $p$ côtés si $p-1$ est une puissance de deux. 

Comme on l'a vu, cela revient à prouver l'existence d'une 
suite d'extensions $ℚ=K₀⊂\cdots ⊂K_i ⊂ K_{i+1} ⊂\cdots ⊂K_n=ℚ(ζ_p)$,
avec $[K_{i+1}:K_i]=2$. 

Posons $S=∑_χ g(χ,ψ)$, où $χ$ parcourt $\chap{F^×}$.
Par définition, $S=-∑_{x∈F^×} \big( ∑_χ χ(x)\big) ψ(x)$. 
Puisque $∑_χ χ(x)=0$ pour $x≠1$, $p-1$ sinon, et $ψ(1)=ζ_p$, on a donc
l'égalité 
$$
S=(1-p)ζ_p,
$$
de sorte que $ℚ(ζ_p)=ℚ(S)$.

Une somme de nombres constructibles étant constructible, il suffit donc de démontrer 
que chaque $g(χ,ψ)$ est constructible, si $p-1$ est une puissance de deux, ce que nous supposerons dorénavant.

Observons que pour tout entier $m≥1$, un nombre $g$ est constructible \ssi $g^{2^m}$ l'est.
Or, tout caractère de $F^×$ est d'ordre divisant $p-1$ donc de la forme $2^m$,
$m≥0$, si bien que l'égalité $g(χ,ψ)^{2^m}=pJ((χ,\dots,χ))$ (cf. \ref{proposition-Gauss-Jacobi})
ramène le problème à la constructilibilité des sommes de Jacobi.
Ces dernières appartiennent à $ℚ(μ_{p-1})$ ; elles sont donc constructibles.
(Le cas $m=0$, \cad $χ=1$, est à traiter séparément. Il est trivial.)

\begin{remarque3}[Remarque historique]
Selon la légende, c'est cette découverte --- sentationnelle à l'époque ---
qui aurait décidé Gauß (alors âgé d'un peu moins de 19 ans) à devenir mathématicien, et non linguiste.
Sa démonstration est exposée en détail dans ses \emph{disquisitiones arithmeticæ} (recherches
arithmétiques) \cite{Disquisitiones@Gauss}, §7. La découverte elle-même 
semble dater du 30 mars 1796. C'est la première entrée dans son
fameux \emph{tagebuch} :
\begin{quote}
Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitas eiusdem
geometrica in septemdecim partes etc.
\end{quote}
\end{remarque3}

\paragraph{Calcul explicite}

[$p=17$ ?]

\subsubsection{Réciprocité quadratique}

Soit $ℓ≠p$ un nombre premier impair.
Notons $χ=(χ_{\mathrm{quad}},\dots,χ_{\mathrm{quad}})$ 
le caractère de ${F^{ℓ+1}}^×$, où $F=\FF_p$. Il est nouveau, non trivial
mais diagonalement trivial car $χ_{\mathrm{quad}}^{ℓ+1}=1$.

Il résulte de la formule $pJ=g$ (\ref{proposition-Gauss-Jacobi}) et 
du calcul de $g²$ (\ref{proposition-cardinal-spheres}, (i-ii)) que l'on a
l'égalité :
  
$$p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ+1}{2})}=J(χ)=χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ∑_{∑x_i=1}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
$$ 

L'égalité de droite est une traduction immédiate de la définition
des sommes de Jacobi. (On utilise le fait que
$χ_{\mathrm{quad}}=χ_{\mathrm{quad}}^{-1}$.)
En faisant passer le terme $χ_{\mathrm{quad}}(-1)^ℓ$ à gauche, on trouve :
$$
p^{\frac{ℓ-1}{2}}(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}=∑_{∑x_i=1\atop x_i∈F^×}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ).
$$

La somme de droite est une somme d'entiers égaux à $±1$. 

\begin{lemme3}
$$∑_{∑x_i=1\atop x_i∈\FF_p}χ_{\mathrm{quad}}(x₁)\cdots
χ_{\mathrm{quad}}(x_ℓ)\equiv χ_{\mathrm{quad}}(ℓ) \ \mod ℓ.$$
\end{lemme3}

\begin{démo}
L'ensemble de sommation est naturellement un $ℤ/ℓ$-ensemble (action
par permutation cyclique des coordonnées) et la fonction
sommée est invariante par cette action. Il en résulte que,
modulo $ℓ$, seuls les points fixes contribuent. L'unique point
fixe est donné par $x₁=\cdots=x_ℓ=\frac{1}{ℓ}∈F^×$. Sa
contribution est $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)∈\{±1\}$.
\end{démo}

Puisque $χ_{\mathrm{quad}}(ℓ)=(\frac{ℓ}{p})$ et que d'autre part,
modulo $ℓ$, $p^{\frac{ℓ-1}{2}}\equiv (\frac{p}{ℓ})$, on en tire :

$$
(\frac{ℓ}{p})(\frac{p}{ℓ})=(-1)^{(\frac{p-1}{2})(\frac{ℓ-1}{2})}.
$$

C'est la fameuse \emph{loi de réciprocité quadratique}.

\section{(facultatif) fonction $ζ$ d'une hypersurface diagonale}

[...]

\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi