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\externaldocument{KASW}

\title{Radicaux, r\'esolubilit\'e, calculs explicites et cyclotomie}
 
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
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\chapter{Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie}
\fi

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\newcommand{\resol}[1][\@empty]{\ifx#1\@empty^{\mathrm{r\acute{e}sol}}\else^{\mathrm{r\acute{e}sol}\,#1}\fi}
\makeatother

\section{Extensions résolubles}

\subsection{Clôture par radicaux}

\begin{convention2}
Si $k$ est un corps et $m$ un entier non multiple de la
caractéristique de $k$, on dit que $k$ \emph{contient les racines
  $m$-ièmes de l'unité} lorque le polynôme $X^m-1$, ou, de façon
équivalente, le polynôme cyclotomique $\Phi_m$, est scindé sur $k$.
Lorsque c'est le cas, on notera $\bimu_m(k)$, ou simplement $\bimu_m$,
le groupe multiplicatif des racines $m$-ièmes de l'unité dans $k$.
\end{convention2}

Remarquons que si $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité, quel
pour tout $a \in k$, le polynôme $X^m - a$ admet une racine $\alpha$
dans $k$ si et seulement s'il est scindé (il s'écrit
$\prod_{i=0}^{m-1} (X - \zeta^i \alpha)$ où $\zeta$ est une racine
primitive $m$-ième de l'unité).  On rappelle de même que, si $k$ est
de caractéristique $p>0$, le polynôme $X^p - X - a$ admet une racine
$\alpha$ dans $k$ si et seulement si il est scindé (il s'écrit
$\prod_{i=0}^{p-1} (X - \alpha - i)$).

\begin{proposition2}\label{groupe-de-galois-cyclotomique}
Soit $k$ un corps et $m$ un entier non multiplie de la caractéristique
de $k$.  Soit $F = k(\zeta)$ le corps extension de $k$ par l'ajout
d'une racine primitive $m$-ième de l'unité $\zeta$ (c'est-à-dire le
corps de décomposition de $\Phi_m$ sur $k$) : alors $F$ est
galoisienne sur $k$ et son groupe de Galois est un sous-groupe du
groupe $(\ZZ/m\ZZ)^\times$ des éléments inversibles de $\ZZ/m\ZZ$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Le fait que $F$ soit galoisienne sur $k$ est clair puisque c'est le
corps de décomposition du polynôme séparable $\Phi_m$.  Si $\sigma \in
\Gal(F\bo k)$, alors $\sigma(\zeta)$ est une racine $m$-ième de
l'unité, donc s'écrit $\zeta^i$ pour un certain $i \in \ZZ/m\ZZ$,
lequel est inversible puisque $\zeta^i$ est aussi racine de $\Phi_m$.
Ceci définit un morphisme $\Gal(F\bo k) \to (\ZZ/m\ZZ)^\times$, qui
est injectif puisque $F = k(\zeta)$ (ce qui assure qu'un élément
$\sigma \in \Gal(F\bo k)$ est déterminé par son image sur $\zeta$).
\end{proof}

\XXX --- Elle n'était pas déjà quelque part, cette proposition ?
Sinon, il faut peut-être la déplacer ailleurs.

\begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux}
Soit $k$ un corps.  On dit que $k$ est \emph{clos par radicaux},
resp. \emph{clos par radicaux $\leq N$-ièmes}, lorsque les deux
conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item si $m$ (resp. $m \leq N$) est un entier non multiple de la
  caractéristique de $k$ et que $k$ contient les racines $m$-ièmes de
  l'unité, et si $a \in k$, alors le polynôme $X^m - a$ est scindé
  sur $k$,
\item dans le cas où $k$ est de caractéristique $p>0$ (resp. et que $p
  \leq N$), si $a \in k$, alors le polynôme $X^p - X - a$ est scindé
  sur $k$.
\end{itemize}

Si $k$ est un corps dont on fixe une clôture séparable $k\sep$, il est
évident que $k\sep$ est clos par radicaux au sens ci-dessus et que
l'intersection de toute famille de corps intermédiaires entre $k$ et
$k\sep$ qui sont clos par radicaux (resp. clos par radicaux $\leq
N$-ièmes) est encore un corps clos par radicaux (resp. clos par
radicaux $\leq N$-ièmes) : ceci permet de définir la \emph{clôture par
  radicaux} (resp. clôture par radicaux $\leq N$-ièmes) de $k$, dite
encore \emph{corps des expressions en radicaux} (resp. corps des
expressions en radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$, et notée $k\resol$
(resp. $k\resol[\leq N]$).
\end{definition2}

Autrement dit, on dit qu'un corps est clos par radicaux lorsqu'il
contient les racines $m$-ièmes de tous ses éléments, pour les $m$ pour
lesquels il contient les racines $m$-ièmes de l'unité, ainsi que les
« racines $\wp$-ièmes » en caractéristique $p>0$, en notant comme
d'habitude $\wp(x) = x^p - x$.

Il existe différentes variations sur cette définition : la plupart des
auteurs demandent plutôt \emph{a priori} que $k$ contienne toutes les
racines de l'unité, ou au moins qu'on puisse extraire une racine
$m$-ième de tout élément sans demander spécialement que les racines
$m$-ièmes de l'unité soient déjà dans $k$ ; on verra que cela ne
change rien car, avec la définition ci-dessus, $k\resol$ contiendra
forcément toutes les racines de l'unité.  La définition ci-dessus nous
a paru meilleure car elle permet d'affirmer de façon non-triviale
(en \ref{racines-de-l-unite-sont-exprimables-par-radicaux}) que les
racines $m$-ièmes de l'unité s'expriment elles-mêmes par radicaux !

\begin{remarque2}\label{remarque-cloture-par-radicaux-est-galoisienne}
Soit $k$ un corps et $\sigma$ un automorphisme d'une clôture séparable
$k\sep$ de $k$.  Alors $k\resol$ est stable par $\sigma$ : en effet,
$\sigma(k\resol)$ est clos par radicaux et par minimalité on doit donc
avoir $\sigma(k\resol) = k\resol$ ; la même remarque vaut
pour $k\resol[\leq N]$.
\end{remarque2}

\begin{definition2}
Soit $k$ un corps.  On appelle \emph{tour d'extensions par radicaux}
(resp. tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes) sur $k$ une
suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ de corps
tels que, pour chaque $i$, le corps $k_{i+1}$ soit engendré sur $k_i$
par un unique élément $\alpha_i$ vérifiant l'une des propriétés
suivantes :
\begin{itemize}
\item il existe $m_i \geq 1$ entier (resp. avec $m_i \leq N$), non
  multiple de la caractéristique de $k$, tel que $k_i$ contienne les
  racines $m_i$-ièmes de l'unité et que $\alpha_i^{m_i} \in k_i$,
  \emph{ou bien}
\item $k$ est de caractéristique $p>0$ (resp. et $p \leq N$), et
  $\wp(\alpha_i) \in k_i$.
\end{itemize}
\end{definition2}

\begin{proposition2}\label{composition-tours-extensions-par-radicaux}
Soient $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ et $k \subseteq \cdots
\subseteq k''$ deux tours d'extensions par radicaux d'un même
corps $k$.  Alors il existe une tour d'extensions $k \subseteq \cdots
\subseteq k' k''$ aboutissant à la composée $k' k''$ (cette composée
étant prise dans une extension commune quelconque).

Le même résultat vaut pour les tours d'extensions par radicaux $\leq
N$-ièmes.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r = k'$ est la
tour dans laquelle s'inscrit $k'$, on en déduit une tour $k'' = k_0
k'' \subseteq k_1 k'' \subseteq \cdots \subseteq k_r k'' = k' k''$
(toutes ces compositions étant entendues dans une extension commune
fixée) où toutes les étapes sont soit triviales soit une étape de tour
d'extensions par radicaux ; en mettant bout à bout cette tour $k''
\subseteq \cdots \subseteq k' k''$ avec celle $k \subseteq \cdots
\subseteq k''$ dans laquelle s'inscrit $k''$, on a inscrit $k'k''$
dans une tour d'extensions par radicaux comme souhaité.

La démonstration pour les tours d'extensions par radicaux $\leq
N$-ièmes est analogue.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{trivialite-cloture-par-radicaux}
Soit $k$ un corps, dont on fixe une clôture séparable $k\sep$.  Alors
la clôture par radicaux $k\resol$ de $k$ (à l'intérieur de $k\sep$)
est précisément la réunion de tous les corps intervenant dans une tour
d'extensions par radicaux sur $k$ et incluse dans $k\sep$.

La clôture par radicaux $\leq N$-ièmes, $k\resol[\leq N]$, est de même
la réunion de tous les corps intervenant dans une tour d'extensions
par radicaux $\leq N$-ièmes sur $k$ et incluse dans $k\sep$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ est une tour
d'extensions par radicaux incluse dans $k\sep$, on veut prouver que
chaque $k_i$ est inclus dans $k\resol$.  Par récurrence sur $i$, on
peut supposer que $k_i$ l'est, et on veut prouver que $k_{i+1} =
k_i(\alpha_i)$ l'est, où $\alpha_i$ est soit la racine $m_i$-ième d'un
élément de $k_i$ où $k_i$ contient les raciens $m_i$-ièmes de l'unité
soit la « racine $\wp$-ième » d'un élément de $k_i$ si la
caractéristique est positive.  Dans les deux cas, les propriétés de
clôture par radicaux de $k\resol$ montrent que $\alpha_i \in k\resol$
donc $k_{i+1} \subseteq k\resol$.

Réciproquement, considérons la réunion $E$ de tous les corps
intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ : on veut
vérifier que $E$ est un corps, qui sera alors évidemment clos par
radicaux donc contenu dans $k\resol$.  Pour montrer que $E$ est un
corps, il suffit de montrer que si $k'$ et $k''$ sont deux corps
intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ incluse
dans $k\sep$, on peut trouver une tour d'extensions par radicaux
faisant intervenir une extension commune à $k'$ et $k''$ (cette
extension commune permettant alors de faire la somme ou le produit
d'un élément de $k'$ et d'un élément de $k''$).  Or on a prouvé
ci-dessus que si $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ est la tour dans
laquelle s'inscrit $k'$ (on peut évidemment l'arrêter là), et $k
\subseteq \cdots \subseteq k''$ de même pour $k''$, on dispose d'une
tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots \subseteq k' k''$.

La démonstration pour les radicaux $\leq N$-ièmes est analogue.
\end{proof}

\subsection{Rappels sur les groupes résolubles}

\begin{definition2}
On dit qu'un groupe fini $G$ est \emph{résoluble} lorsqu'il vérifie
les conditions équivalentes suivantes :
\begin{itemize}
\item il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r =
  \{1\}$ de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le
  sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ (mais non
  nécessairement dans $G$) et que le quotient $G_i / G_{i+1}$ soit
  \emph{cyclique d'ordre premier},
\item (la même condition, en omettant les mots « d'ordre premier »),
\item (la même condition, en remplaçant « cyclique d'ordre premier »
  par « abélien »),
\item si on note $G'$ le sous-groupe, dit \emph{groupe dérivé}
  engendré par les commutateurs (éléments de la forme
  $xyx^{-1}y^{-1}$) des éléments de $G$, qui est également le plus
  grand sous-groupe distingué de $G$ tel que le quotient soit abélien,
  alors la suite $G \geq G' \geq G'' \geq G''' \geq \cdots$ termine
  en $1$ (i.e., elle ne stationne pas avant).
\end{itemize}
\end{definition2}

\begin{proposition2}\label{enonces-standards-groupes-resolubles}
Un sous-groupe et un quotient d'un groupe résoluble sont résolubles.
Un groupe dont un quotient par un sous-groupe distingué résoluble est
résoluble est lui-même résoluble.
\end{proposition2}

On renvoie par exemple à \cite[théorèmes 5.15 à 5.23]{Rotman} pour une
démonstration ces différentes affirmations (y compris de l'équivalence
entre les différents énoncés de la définition).

On aura également besoin, pour traiter les extensions par
racines $\leq N$-ièmes, de la proposition suivante :

\begin{proposition2}\label{trivialite-groupes-resolubles-facteurs-bornes}
Si $N$ est un entier naturel, les conditions suivantes sur un groupe
fini $G$ sont équivalentes :
\begin{itemize}
\item $G$ est résoluble et tous les facteurs premiers de son
  ordre $\#G$ sont $\leq N$,
\item il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r =
  \{1\}$ de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le
  sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient
  $G_i / G_{i+1}$ soit cyclique d'ordre premier $\leq N$.
\end{itemize}
\end{proposition2}
\begin{proof}
On a expliqué que $G$ est résoluble si et seulement si il existe une
chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ telle que pour
chaque $i$ le sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que
le quotient $G_i / G_{i+1}$ soit cyclique d'ordre premier.  Or $\#G$
est alors le produit des $\#(G_i/G_{i+1})$, de sorte que ceux-ci sont
précisément les facteurs premiers de $\#G$, ce qui prouve
l'équivalence annoncée.
\end{proof}

\subsection{Extensions par radicaux et groupes de Galois résolubles}

\begin{proposition2}\label{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux}
Soit $K\bo k$ une extension de corps finie séparable, et $N$ un entier
naturel.  Il y a équivalence entre :
\begin{itemize}
\item il existe une tour d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes $k
  \subseteq \cdots \subseteq k'$ telle que $K \subseteq k'$,
\item le corps $K$ est inclus dans $k\resol[\leq N]$ (à l'intérieur
  d'une clôture séparable $k\sep$ de $K$),
\item le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ sur $k$ est
  résoluble et tous les facteurs premiers de son ordre sont $\leq N$.
\end{itemize}

En particulier, il y a équivalence entre :
\begin{itemize}
\item il existe une tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots
  \subseteq k'$ telle que $K \subseteq k'$,
\item le corps $K$ est inclus dans $k\resol$ (à l'intérieur d'une
  clôture séparable $k\sep$ de $K$),
\item le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ sur $k$ est
  résoluble.
\end{itemize}
\end{proposition2}
\begin{proof}
L'équivalence entre les deux premières affirmations a déjà été prouvée
en \ref{trivialite-cloture-par-radicaux}.

Supposons maintenant la première propriété vérifiée, et on veut
montrer la troisième.  L'hypothèse garantit qu'il existe une tour $k
\subseteq \cdots \subseteq k'$ d'extensions par radicaux $\leq
N$-ièmes telle que $K \subseteq k'$.  Pour chacun des conjugués
$\sigma(k')$ de $k'$, avec $\sigma$ parcourant les différents
automorphismes de $k\sep$ sur $k$, on a une tour $k \subseteq \cdots
\subseteq \sigma(k')$ d'extensions par radicaux $\leq N$-ièmes, et en
composant ces différentes tours
d'après \ref{composition-tours-extensions-par-radicaux} (notons que
les $\sigma(k')$ sont en nombre fini), on peut supposer qu'on a une
unique tour $k = k_0 \subseteq \cdots \subseteq k_r = k'$ d'extensions
par radicaux $\leq N$-ièmes, avec $k'$ galoisien sur $k$ et
contenant $K$, donc contenant aussi la clôture galoisienne de $K$.  Il
nous suffira de montrer que le groupe de Galois de $k'\bo k$ est
résoluble et que tous les facteurs premiers de son ordre sont $\leq N$
(puisque le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ en est
un quotient, cf. \ref{enonces-standards-groupes-resolubles}).

Appelons maintenant $G = \Gal(k'\bo k)$ et $G_i = \Gal(k'\bo k_i)$.
On a ainsi $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ et les
suppositions faites sur l'extension $k_{i+1}\bo k_i$ garantissent que
$G_i/G_{i+1}$ est cyclique d'après \refext{KASW}{extension Kummerienne
  est de groupe cyclique} et \refext{KASW}{extension AS est de groupe
  Z sur p}.  Ceci montre que $G$ est résoluble.  Par ailleurs, chacun
des $\#(G_i/G_{i+1})$ est $\leq N$, donc en particulier tous ses
facteurs premiers le sont, donc tous les facteurs premiers de $\#G$ le
sont.

On va maintenant montrer que la troisième propriété implique la
première, et pour cela, on va procéder par récurrence sur $N$.  Le cas
$N=1$ est trivial.  Supposons par récurrence l'énoncé connu pour $N-1$
(pour toute extension $K\bo k$) afin de le démontrer pour $N$.  On
peut évidemment supposer que $K$ est galoisienne sur $k$.

Soit $M$ le produit de tous les nombres premiers $\leq N$ et distincts
de la caractéristique $p$ de $k$ si celle-ci est non nulle, et soit
$F$ le corps obtenu en ajoutant une racine primitive $M$-ième de
l'unité à $k$ si elle n'y est pas déjà.
D'après \ref{groupe-de-galois-cyclotomique}, $\Gal(F\bo k)$ est inclus
dans $(\ZZ/M\ZZ)^\times$.  Ce groupe $(\ZZ/M\ZZ)^\times$ est abélien,
donc résoluble, et il est d'ordre $\varphi(M)$ avec $\varphi$ la
fonction indicatrice d'Euler, c'est-à-dire $\prod_{\ell \leq N}
(\ell-1)$ où $\ell$ parcourt les nombres premiers $\leq N$, et tous
les facteurs premiers de chaque $\ell-1$, donc de $\varphi(M)$,
sont $\leq N-1$.  L'hypothèse de récurrence garantit donc qu'il existe
une tour d'extensions par radicaux $\leq (N-1)$-ièmes $k \subseteq
\cdots \subseteq k^\sharp$ telle que $F \subseteq k^\sharp$.
L'extension $K^\sharp = k^\sharp K$ de $k^\sharp$ est galoisienne sur
$k^\sharp$ et son groupe de Galois $G^\sharp = \Gal(K^\sharp\bo
k^\sharp)$ est un sous-groupe de celui $\Gal(K\bo k)$ de $K$ sur $k$,
donc il est lui aussi résoluble et tous les facteurs premiers de son
ordre sont $\leq N$.  Bref, on est ramené au cas où le corps de base
(qui s'appelle maintenant $k^\sharp$) contient les racines
$\ell$-ièmes de l'unité pour tout nombre premier $\leq N$.

Soit $G^\sharp = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ une chaîne
de sous-groupes de $G^\sharp$ telle que pour chaque $i$ le sous-groupe
$G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ et que le quotient $G_i / G_{i+1}$
soit cyclique d'ordre premier $\leq N$.  Appelons $k^\sharp_i$ le
corps fixe de $G_i$ dans $K^\sharp$.  L'extension $k^\sharp_{i+1} \bo
k^\sharp_i$ est ainsi galoisienne de groupe de Galois cyclique d'ordre
premier $\ell \leq N$ où $k^\sharp_i$ contient les racines
$\ell$-ièmes de l'unité : d'après \refext{KASW}{extension
  cyclique=Kummer} et \refext{KASW}{extension Z sur p-AS}, on a bien
affaire à l'adjonction d'une racine $\ell$-ième ou d'une « racine
  $\wp$-ième », c'est-à-dire que $k^\sharp = k^\sharp_0 \subseteq
\cdots \subseteq k_r^\sharp = K^\sharp$ est une tour d'extensions par
radicaux $\leq N$-ièmes.  En mettant cette tour bout à bout avec la
tour $k \subseteq \cdots \subseteq k^\sharp$, on obtient bien la
conclusion souhaitée.
\end{proof}

\begin{corollaire2}\label{racines-de-l-unite-sont-exprimables-par-radicaux}
Pour tout $m$ non multiple de la caractéristique de $k$, les racines
$m$-ièmes de l'unité sont dans $k\resol$.  Plus précisément, elles
sont dans $k\resol[\leq \ell]$ où $\ell$ est le plus grand facteur
premier de $\varphi(m)$.
\end{corollaire2}
\begin{proof}
Ceci découle immédiatement de
\ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux}
et \ref{groupe-de-galois-cyclotomique} (mais en fait, on a déjà dû
démontrer ce résultat dans le cours de la démonstration précédente).
\end{proof}

\begin{remarque2}
Comme on l'a déjà signalé, la définition que nous avons prise
en \ref{definition-corps-clos-par-radicaux} fait que cet énoncé
n'était pas trivial : on n'autorise pas une « expression par
  radicaux » telle que $\root m\of 1$ puisqu'on ne peut, avec nos
règles, prendre les racines $n$-ièmes qu'à condition d'avoir déjà les
racines $n$-ièmes de l'unité.  Mais une fois cette observation faite,
la définition d'expression par radicaux que nous avons donnée est
heureusement la même que toutes les autres trouvées dans la
littérature (au moins en caractéristique $0$, des petites variantes
pouvant se trouver selon qu'on admet ou non les racines $\wp$-ièmes,
ou parfois chez certains auteurs des racines $p$-ièmes inséparables).
\end{remarque2}

\section{Expression explicite des racines de l'unité}

\subsection{Généralités}

\subsubsection{} Même si ce n'est pas immédiatement apparement, la
proposition \ref{extension-resoluble-egale-extension-par-radicaux} est
constructive, au sens où elle permet (en principe) de calculer une
expression par radicaux explicite pour un élément d'une extension de
corps dont la clôture galoisienne a un groupe de Galois résoluble.  La
clé provient du théorème \refext{KASW}{extension cyclique=Kummer}.  De
façon sommaire, l'algorithme ressemble à ceci (en se plaçant en
caractéristique $0$ pour simplifier) :
\begin{itemize}
\item Si $\gamma \in K$ avec $K \bo k$ galoisienne de groupe de Galois
  cyclique d'ordre $m$ engendré par un élément $\sigma$ et que $k$
  contient les racines $m$-ièmes de l'unité dont on note $\zeta$ une
  racine primitive, alors $\alpha_j := \sum_{i=0}^{m-1} \zeta^{ij}
  \sigma^i(\gamma)$ vérifie $\sigma(\alpha_j) = \zeta^j \alpha_j$ donc
  $a_j := \alpha_j^m$ appartient à $k$.  On peut calculer $a_j$ (pour
  $0\leq j \leq m-1$), puis exprimer $\alpha_j$ comme $\root m \of
  a_j$ (ou peut-être comme $\zeta^{t_j} \root m\of a_j$ avec un $t_j$
  à déterminer selon le choix de convention qui aurait été fait de la
  détermination de $\root m\of a_j$), et enfin retrouver $\gamma$ en
  inversant la matrice de Vandermonde $\zeta^{ij}$, c'est-à-dire
  $\gamma = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j$).  Les calculs des
  $a_j$ (puis des $\alpha_j$) pour différents $j$ peuvent souvent se
  mener de façon commune lorsque le groupe de Galois des racines
  $m$-ièmes de l'unité opère de façon agréable sur la situation.
\item Si le groupe de Galois de $K \bo k$ est résoluble mais non
  cyclique, on commence par en trouver une suite de chaîne $G = G_0
  \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$, on appelle $k_i$ le corps
  fixe de $G_i$ dans $K$, et on exprime un générateur de chaque
  extension $k_{i+1}\bo k_i$ au moyen de la méthode précédente.
\item Si toutes les racines de l'unité pertinentes ne sont pas
  dans $k$, on commence par les y ajouter, c'est-à-dire par les
  exprimer elles-mêmes avec des radicaux, en utilisant la même méthode
  (sachant que pour exprimer les racines $m$-ièmes on n'aura besoin
  que de racines $\ell$-ièmes avec $\ell$ parcourant les facteurs
  premiers de $\varphi(m)$).
\end{itemize}

Comme on le voit, l'expression des racines de l'unité en radicaux est
un point crucial pour l'écriture par radicaux de n'importe quelle
autre quantité.

\subsubsection{} En réalité, le problème de l'écriture en radicaux des racines
$n$-ièmes de l'unité ne se pose réellement que pour $n$ premier
impair.  En effet, si $n = n_1 n_2$, et si on sait déjà exprimer les
racines $n_1$-ièmes et $n_2$-ièmes de l'unité par radicaux, alors les
racines $n$-ièmes de l'unité s'écrivent comme racines $n_1$-ièmes des
racines $n_2$-ièmes de l'unité (fois une éventuelle racine $n_1$-ième
de l'unité) ; en fait, si $n_1$ et $n_2$ sont premiers entre eux, le
théorème chinois permet d'obtenir quelque chose de plus agréable
puisqu'il garantit que toute racine primitive $n$-ième de l'unité est
produit d'une racine primitive $n_1$-ième et d'une racine primitive
$n_2$-ième.

Supposons maintenant $n$ premier impair.  On a alors $\varphi(n) =
n-1$ ; soit $g$ un élément primitif modulo $n$, c'est-à-dire un
générateur du groupe cyclique $(\ZZ/n\ZZ)^\times$.  Pour calculer
l'expression en radicaux d'une racine $n$-ième de l'unité $\omega$, on
peut décrire l'algorithme précédent de la manière suivante, en
supposant déjà connue une racine $(n-1)$-ième de l'unité $\zeta$ :
poser $\alpha_j := \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{g^i}$ (on a
alors $\omega = \frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{n-2} \alpha_j$) et calculer
$a_j := (\alpha_j)^{n-1}$, qui s'exprime en fonction de $\zeta$
uniquement.  Pour justifier ce fait, on peut invoquer le fait que
$\QQ(\zeta,\omega)$ est galoisienne sur $\QQ(\zeta)$ de groupe de
Galois $(\ZZ/n\ZZ)^\times = \ZZ/(n-1)\ZZ$ (\XXX --- référence ?), mais
en fait on peut aussi simplement affirmer qu'on fait les calculs dans
$\QQ(\zeta)[X]/(\Phi_n)$ (pour lequel il est évident que $\omega
\mapsto \omega^g$ constitue un automorphisme en notant $\omega$ la
classe de $X$), ce qui est le cas en pratique.  En fait, on n'est pas
obligé de monter jusqu'à $(\alpha_j)^{n-1}$ pour chaque $j$ : si $d$
désigne le pgcd de $n-1$ et $j$, alors déjà $(\alpha_j)^{(n-1)/d}$
s'exprime en fonction de $\zeta$, et même de $\zeta^d$, uniquement.

Dans le cadre qu'on vient de décrire, on s'intéresse souvent à
l'expression $\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$
(c'est-à-dire $\cos\frac{2\pi}{n}$ pour le bon choix de $\omega$,
cf. ci-dessous).  Remarquons que $\omega^{-1} = \omega^{g^{(n-1)/2}}$,
de sorte que $\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} \omega^{-g^i}$ vaut $(-1)^j
\alpha_j$ (toujours avec $\alpha_j = \sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij}
\omega^{g^i}$ défini plus haut).  La somme $\frac{1}{2}
\sum_{i=0}^{n-2} \zeta^{ij} (\omega^j + \omega^{-j})$ qui sert, dans
l'algorithme considéré ici, à calculer $\gamma$, vaut donc $\alpha_j$
ou $0$ selon que $j$ est pair ou impair ; ou pour dire les choses
différemment, le calcul de $\gamma$ passe par le calcul des $\alpha_j$
avec $j$ pair uniquement (c'est-à-dire qu'on peut se contenter des
racines $\frac{n-1}{2}$-ièmes de l'unité) : on a $\gamma =
\frac{1}{n-1} \sum_{j=0}^{(n-3)/2} \alpha_{2j}$.

Une fois calculé $\gamma = \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1})$ (en
radicaux), on peut éventuellement en déduire une expression (toujours
en radicaux) de $\omega$ de la façon suivante : si on pose $\delta :=
\frac{1}{2} \sqrt{-1} (-\omega + \omega^{-1})$ en notant $\sqrt{-1}$
une racine carrée de $-1$ (disons $\zeta^{(n-1)/4}$ si $n\equiv
1\pmod{4}$), c'est-à-dire en fait $\delta = \sin\frac{2\pi}{n}$ pour
le bon choix de $\omega$, alors on vérifie facilement que $\gamma^2 +
\delta^2 = 1$, ce qui permet de calculer $\delta$ connaissant $\gamma$
(il n'y a qu'à retrouver son signe), et du coup $\omega = \gamma +
\sqrt{-1} \delta$.  Cette remarque revient en fait à calculer $\omega$
comme élément de degré $2$ au-dessus de l'extension engendrée
par $\gamma$ et appliquer la technique générale.

\subsection{Expressions en radicaux de quelques $\cos\frac{2\pi}{n}$ et $\sin\frac{2\pi}{n}$}

\subsubsection{} Nous nous proposons dans cette section de calculer
les expressions en radicaux de $e^{2 i \pi/n}$ ou au moins
$\cos\frac{2\pi}{n}$ pour quelques valeurs de $n$.  Pour rendre cette
idée plus précise, on considère la clôture par radicaux $\QQ\resol$ de
$\QQ$ dans $\CC$, en utilisant la notation $\root n \of x$ pour la
« détermination principale » de la racine $n$-ième de $x$,
c'est-à-dire celle dont la partie réelle est la plus grande et, en cas
d'égalité (qui se produit uniquement si $n$ est pair et $x$ réel
négatif), celle qui a la partie imaginaire positive ; et on cherche à
exprimer, avec cette notation, le nombre $\cos\frac{2\pi}{n}$ qui est
défini comme $\frac{1}{2}(\omega_n + \omega_n^{-1})$, voire le nombre
$e^{2 i \pi/n} = \omega_n = \cos\frac{2\pi}{n} +
\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{n}$, où $\omega_n$ est la racine primitive
$n$-ième de l'unité de partie réelle la plus grande et de partie
imaginaire positive.

\XXX --- Ce texte est tout pourri.  Le réécrire.

\subsubsection{$n=3$} Si $\omega$ désigne une racine cubique
primitive de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_3 = X^2 + X +
1$, alors on a $\omega^2 = -1-\omega = \omega^{-1}$, et la quantité
$\alpha := (\omega - \omega^{-1})$ vérifie $\alpha^2 = \omega^2 - 2 +
\omega^{-1} = -3$.  Eu égard aux conventions que nous avons faites sur
la détermination principale des racines, on peut écrire $\alpha =
\sqrt{-3}$, de sorte que $\omega = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ :
\[
e^{2i\pi/3} = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})
\]

\subsubsection{$n=4$} Si $\omega$ désigne une racine
primitive $4$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_4 =
X^2 + 1$, alors on a $\omega^2 = -1$.  Eu égard aux conventions que
nous avons faites sur la détermination principale des racines, on peut
écrire $\omega = \sqrt{-1}$ :
\[
e^{i\pi/2} = \sqrt{-1}
\]

\subsubsection{$n=5$} Si $\omega$ désigne une racine
primitive $5$-ième de l'unité, c'est-à-dire une racine de $\Phi_5 =
X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$, alors on considère les quantités $\alpha_j
:= \sum_{i=0}^3 (\sqrt{-1})^{ij} \omega^{2^i}$, c'est-à-dire :
$\alpha_0 = \omega + \omega^2 + \omega^4 + \omega^3$ et $\alpha_1 =
\omega + \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 - \sqrt{-1}\, \omega^3$ et
$\alpha_2 = \omega - \omega^2 + \omega^4 - \omega^3$ et $\alpha_3 =
\omega - \sqrt{-1}\, \omega^2 - \omega^4 + \sqrt{-1}\, \omega^3$.  Il
est clair que $\alpha_0 = -1$.  D'autre part, $(\alpha_2)^2 = 5$ comme
on le calcule en développant, et compte tenus des choix de
déterminations, $\alpha_2 = \sqrt{5}$.  Ceci permet déjà d'exprimer
$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{5}$,
puisque $\gamma = \frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_2)$, on a donc $\gamma
= \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})$ :
\[
\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}(-1+\sqrt{5})
\]

Pour obtenir l'expression de $\omega$ lui-même, on peut bien sûr
calculer $\sin\frac{2\pi}{5} = \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{5}} =
\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$ et en déduire
\[
e^{2i\pi/5} = \frac{1}{4}\Big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\Big)
\]
Ou bien on peut, de façon plus systématique mais moins commode,
calculer $(\alpha_1)^4 = -15 + 20\sqrt{-1}$, d'où on déduit $\alpha_1
= \sqrt{-1}\, \root4\of{-15 + 20\sqrt{-1}}$, et de même $\alpha_3 =
\sqrt{-1}\, \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}}$.  On a alors $\omega =
\frac{1}{4}(\alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3)$.  Dans ce cas,
on trouve $\sin\frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4} \big( \root4\of{-15 +
  20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} \big)$.

\XXX --- Il faudrait « expliquer » le fait que $\root4\of{-15 +
  20\sqrt{-1}} + \root4\of{-15 - 20\sqrt{-1}} = \sqrt{10 +
  2\sqrt{5}}$.

\subsubsection{$n=6$} Si $1,\zeta,\zeta^2$ désignent les racines
cubiques de l'unité, alors les racines sixièmes de l'unité sont
$1,-\zeta^2, \zeta,-1, -\zeta,\zeta^2$.  (Citées dans cet ordre car
avec nos conventions sur le fait que la racine principale est celle
qui a la partie réelle la plus grande et la partie imaginaire
positive, si $\zeta$ est la racine cubique principale, la racine
sixième principale est $-\zeta^2$.)

\subsubsection{$n=7$} Si $\omega$ désigne une racine
primitive $7$-ième de l'unité, alors on considère les quantités
$\alpha_j := \sum_{i=0}^5 (-\zeta^2)^{ij} \omega^{3^i}$ où $\zeta$ est
une racine cubique primitive de l'unité (et donc $-\zeta^2$ une racine
primitive $6$-ième de l'unité).  On a bien sûr $\alpha_0 = -1$.

Commençons par nous intéresser à $\gamma := \frac{1}{2}(\omega +
\omega^{-1})$.  Comme on l'a expliqué, pour ce faire, on va calculer
$\alpha_2$ et $\alpha_4$.  On a $(\alpha_2)^3 = -7 - 21\zeta$, et
d'après l'expression $\zeta = \frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})$ calculée plus
haut avec nos conventions sur les déterminations principales, on peut
écrire $\alpha_2 = \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$.
De même (ou en appliquant la conjugaison complexe), on a $\alpha_4 =
\root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}$.  Ceci conduit déjà à
l'expression suivante pour $\gamma = \frac{1}{6}(\alpha_0 + \alpha_2 +
\alpha_4)$ :
\[
\cos\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
-1 + \root3\of{\frac{7}{2} + \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
+ \root3\of{\frac{7}{2} - \frac{21}{2}\sqrt{-3}}
\Big)
\]

On a par ailleurs $(\alpha_3)^2 = -7$, et avec nos déterminations, on
a $\alpha_3 = \sqrt{-7}$.  Restent à déterminer $\alpha_1$ et
$\alpha_5$.  On peut calculer $(\alpha_1)^6 = -385 - 273\zeta =
-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}$ d'où $\alpha_1 =
-\root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$ ; et de même,
$\alpha_5 = \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}$.  Au
final, on obtient l'expression de $\omega = \frac{1}{6}(\alpha_0 +
\cdots + \alpha_5)$ sous la forme $\cos\frac{2\pi}{7} + \sqrt{-1} \,
\sin\frac{2\pi}{7}$ où :
\[
\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{7} = \frac{1}{6}\Big(
\sqrt{-7} + \root6\of{-\frac{497}{2} + \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
- \root6\of{-\frac{497}{2} - \frac{273}{2}\sqrt{-3}}
\Big)
\]

Comme pour le cas $n=5$ on pouvait aussi calculer $\sin\frac{2\pi}{7}
= \sqrt{1 - \cos^2\frac{2\pi}{7}}$, mais l'expression ainsi obtenue ne
semble pas plus agréable que celle obtenue ci-dessus.

\subsubsection{$n=11$} Maintenant $\omega$ désigne une racine
primitive $11$-ième de l'unité.  On considère les quantités $\alpha_j
:= \sum_{i=0}^9 (-\zeta^3)^{ij} \omega^{2^i}$ où $\zeta$ est une
racine primitive $5$-ième de l'unité (et donc $-\zeta^3$ une racine
primitive $10$-ième de l'unité, et précisément $e^{i \pi/5}$ si $\zeta
= e^{2 i \pi/5}$), qu'on a vu ci-dessus qu'on pouvait écrire
$\frac{1}{4}\big(-1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}}\big)$.  On a bien
sûr $\alpha_0 = -1$.

Pour calculer $\cos\frac{2\pi}{11}$, on calculera d'abord
$(\alpha_2)^5 = -286 - 220 \zeta + 165 \zeta^2 - 110 \zeta^3$ : on
voudra surtout réexprimer cette quantité sur la $\QQ$-base de
$\QQ(\zeta)$ donnée par $1, \sqrt{5}, \penalty-100
\sqrt{-10+2\sqrt{5}}, \penalty-100 \sqrt{-10-2\sqrt{5}}$ (soit $1,
-1-2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2\zeta^2-2\zeta^3, \penalty-100 2 +
4\zeta + 2\zeta^2 + 2\zeta^3$) : on trouve $(\alpha_2)^5 =
\frac{11}{4}(-89 - 25\sqrt{5} + \penalty-100 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
\penalty-100 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$.  En ajoutant la bonne puissance
de $\zeta$ pour trouver la valuation principale choisie, on peut alors
écrire : $\alpha_2 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0
\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}}
\penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
  20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$.  Des calculs analogues donnent : $\alpha_4
= \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} + \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big)
\penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 +
  25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$,
$\alpha_6 = \frac{1}{4} \big( -1+\sqrt{5} - \penalty0
\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root 5\of{\frac{11}{4}}
\penalty-100 \root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} +
  25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$, et $\alpha_8 = \frac{1}{4} \big(
-1+\sqrt{5} - \penalty0 \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root
5\of{\frac{11}{4}} \penalty-100 \root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} -
  25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}$.  Finalement, pour
$\gamma := \frac{1}{2}(\omega + \omega^{-1}) = \cos\frac{2\pi}{11} =
\frac{1}{10}(\alpha_0 + \alpha_2 + \alpha_4 + \alpha_6 + \alpha_8)$,
on trouve :
\[
\begin{array}{rl}
\rlap{$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; -\frac{1}{10} \;\;\;
+ \;\;\; \frac{1}{40} \, \root5\of{\frac{11}{4}} \;\; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
&\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} + 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
\root 5\of{-89 - 25\sqrt{5} - 25\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 20\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} - 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} - \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
\root 5\of{-89 + 25\sqrt{5} + 20\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 25\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}
\rlap{\;\;\Bigg)}
\end{array}
\]

Le calcul de $\omega = e^{2i\pi/11}$ peut se faire de façon analogue :
on calcule par exemple $(\alpha_1)^{10} = \frac{11}{4}(51\,061 +
2\,725\sqrt{5} + \penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} -
\penalty-100 6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}})$, ce qui permet d'écrire
$\alpha_1 = \frac{1}{4} \big( 1-\sqrt{5} + \penalty0
\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \big) \penalty-100 \root {10}\of{\frac{11}{4}}
\penalty-100 \root{10}\of{\Big(} 51\,061 + 2\,725\sqrt{5} +
\penalty-100 5\,635\,\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - \penalty-100
6\,840\,\sqrt{-10-2\sqrt{5}} \overline{\Big)}$.  Les cas de
$\alpha_3,\alpha_7,\alpha_9$ sont analogues.  Quant à $\alpha_5$, il
vaut $\sqrt{-11}$.  On obtient finalement :
\[\footnotesize
\begin{array}{rl}
\rlap{$\displaystyle\sqrt{-1}\,\sin\frac{2\pi}{11} \;\;\; = \;\;\; \frac{\sqrt{-11}}{10} \;\;\;
+\;\; \frac{1}{40}\, \root{10}\of{\frac{11}{4}} \; \times$}\hphantom{\cos\frac{2\pi}{11}}&\\
&\displaystyle \llap{\Bigg(\;\;} \hphantom{-}\Big( 1-\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} + 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1+\sqrt{5} + \sqrt{-10-2\sqrt{5}} \Big)
\root{10}\of{51\,061 + 2\,725\sqrt{5} - 5\,635\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 6\,840\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \hphantom{-}\Big( 1+\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big)
\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} - 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} - 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}\\
+ &\displaystyle \Big( -1-\sqrt{5} - \sqrt{-10+2\sqrt{5}} \Big)
\root{10}\of{51\,061 - 2\,725\sqrt{5} + 6\,840\sqrt{-10+2\sqrt{5}} + 5\,635\sqrt{-10-2\sqrt{5}}}
\rlap{\;\;\Bigg)}\\
\end{array}
\]



\ifx\danslelivre\undefined
\bibliography{../configuration/bibliographie-livre}
\bibliographystyle{../configuration/style-bib-livre}
\end{document}
\fi