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\externaldocument{KASW}

\title{Radicaux, r\'esolubilit\'e, calculs explicites et cyclotomie}
 
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents
\else
\chapter{Radicaux, résolubilité, calculs explicites et cyclotomie}
\fi

\newcommand{\resol}{^{\mathrm{r\acute{e}sol}}}

\section{Extensions résolubles}

\subsection{Clôture par radicaux}

\begin{convention2}
Si $k$ est un corps et $n$ un entier non multiple de la
caractéristique de $k$, on dit que $k$ \emph{contient les racines
  $n$-ièmes de l'unité} lorque le polynôme $X^n-1$, ou, de façon
équivalente, le polynôme cyclotomique $\Phi_n$, est scindé sur $k$.
Lorsque c'est le cas, on notera $\bimu_n(k)$, ou simplement $\bimu_n$,
le groupe multiplicatif des racines $n$-ièmes de l'unité dans $k$.
\end{convention2}

Remarquons que si $k$ contient les racines $n$-ièmes de l'unité, quel
pour tout $a \in k$, le polynôme $X^n - a$ admet une racine $\alpha$
dans $k$ si et seulement s'il est scindé (il s'écrit
$\prod_{i=0}^{n-1} (X - \zeta^i \alpha)$ où $\zeta$ est une racine
primitive $n$-ième).  On rappelle de même que, si $k$ est de
caractéristique $p>0$, le polynôme $X^p - X - a$ admet une racine
$\alpha$ dans $k$ si et seulement si il est scindé (il s'écrit
$\prod_{i=0}^{p-1} (X - \alpha - i)$).

\begin{definition2}\label{definition-corps-clos-par-radicaux}
Soit $k$ un corps.  On dit que $k$ est \emph{clos par radicaux}
lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
\begin{itemize}
\item si $m$ est un entier non multiple de la caractéristique de $k$
  et que $k$ contient les racines $m$-ièmes de l'unité, et si $a \in
  k$, alors le polynôme $X^m - a$ est scindé sur $k$,
\item dans le cas où $k$ est de caractéristique $p>0$, si $a \in k$,
  alors le polynôme $X^p - X - a$ est scindé sur $k$.
\end{itemize}

Si $k$ est un corps dont on fixe une clôture séparable $k\sep$, il est
évident que $k\sep$ est clos par radicaux au sens ci-dessus et que
l'intersection de toute famille de corps intermédiaires entre $k$ et
$k\sep$ qui sont clos par radicaux est encore un corps clos par
radicaux : ceci permet de définir la \emph{clôture par radicaux} de
$k$, dite encore \emph{corps des expressions en radicaux} sur $k$, et
notée $k\resol$.
\end{definition2}

Autrement dit, on dit qu'un corps est clos par radicaux lorsqu'il
contient les racines $m$-ièmes de tous ses éléments, pour les $m$ pour
lesquels il contient les racines $m$-ièmes de l'unité, ainsi que les
« racines $\wp$-ièmes » en caractéristique $p>0$, en notant comme
d'habitude $\wp(x) = x^p - x$.

Il existe différentes variations sur cette définition : la plupart des
auteurs demandent plutôt \emph{a priori} que $k$ contienne toutes les
racines de l'unité, ou au moins qu'on puisse extraire une racine
$m$-ième de tout élément sans demander spécialement que les racines
$m$-ièmes de l'unité soient déjà dans $k$ ; on verra que cela ne
change rien car, avec la définition ci-dessus, $k$ contiendra
forcément toutes les racines de l'unité.  La définition ci-dessus nous
a paru meilleure car elle permet d'affirmer de façon non-triviale que
les racines $n$-ièmes de l'unité s'expriment elles-mêmes par
radicaux !

\begin{remarque2}\label{remarque-cloture-par-radicaux-est-galoisienne}
Soit $k$ un corps et $\sigma$ un automorphisme d'une clôture séparable
$k\sep$ de $k$.  Alors $k\resol$ est stable par $\sigma$ : en effet,
$\sigma(k\resol)$ est clos par radicaux et par minimalité on doit donc
avoir $\sigma(k\resol) = k\resol$.
\end{remarque2}

\begin{definition2}
Soit $k$ un corps.  On appelle \emph{tour d'extensions par radicaux}
sur $k$ une suite $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq
k_r$ de corps tels que, pour chaque $i$, le corps $k_{i+1}$ soit
engendré sur $k_i$ par un unique élément $\alpha_i$ vérifiant l'une
des propriétés suivantes :
\begin{itemize}
\item il existe $m_i \geq 1$ entier, non multiple de la
  caractéristique de $k$, tel que $k_i$ contienne les racines
  $m_i$-ièmes de l'unité et que $\alpha_i^{m_i} \in k_i$, \emph{ou
    bien}
\item $k$ est de caractéristique $p>0$, et $\wp(\alpha_i) \in k_i$.
\end{itemize}
\end{definition2}

\begin{proposition2}\label{composition-tours-extensions-par-radicaux}
Soient $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ et $k \subseteq \cdots
\subseteq k''$ deux tours d'extensions par radicaux d'un même
corps $k$.  Alors il existe une tour d'extensions $k \subseteq \cdots
\subseteq k' k''$ (la composée étant prise dans une extension commune
quelconque).
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r = k'$ est la
tour dans laquelle s'inscrit $k'$, on en déduit une tour $k'' = k_0
k'' \subseteq k_1 k'' \subseteq \cdots \subseteq k_r k'' = k' k''$
(toutes ces compositions étant entendues dans une extension commune
fixée) où toutes les étapes sont soit triviales soit une étape de tour
d'extensions par radicaux ; en mettant bout à bout cette tour $k''
\subseteq \cdots \subseteq k' k''$ avec celle $k \subseteq \cdots
\subseteq k''$ dans laquelle s'inscrit $k''$, on a inscrit $k'k''$
dans une tour d'extensions par radicaux comme souhaité.
\end{proof}

\begin{proposition2}\label{trivialite-cloture-par-radicaux}
Soit $k$ un corps, dont on fixe une clôture séparable $k\sep$.  Alors
la clôture par radicaux $k\resol$ de $k$ (à l'intérieur de $k\sep$)
est précisément la réunion de tous les corps intervenant dans une tour
d'extensions par radicaux sur $k$ et incluse dans $k\sep$.
\end{proposition2}
\begin{proof}
Si $k = k_0 \subseteq k_1 \subseteq \cdots \subseteq k_r$ est une tour
d'extensions par radicaux incluse dans $k\sep$, on veut prouver que
chaque $k_i$ est inclus dans $k\resol$.  Par récurrence sur $i$, on
peut supposer que $k_i$ l'est, et on veut prouver que $k_{i+1} =
k_i(\alpha_i)$ l'est, où $\alpha_i$ est soit la racine $m_i$-ième d'un
élément de $k_i$ où $k_i$ contient les raciens $m_i$-ièmes de l'unité
soit la « racine $\wp$-ième » d'un élément de $k_i$ si la
caractéristique est positive.  Dans les deux cas, les propriétés de
clôture par radicaux de $k\resol$ montrent que $\alpha_i \in k\resol$
donc $k_{i+1} \subseteq k\resol$.

Réciproquement, considérons la réunion $E$ de tous les corps
intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ : on veut
vérifier que $E$ est un corps, qui sera alors évidemment clos par
radicaux donc contenu dans $k\resol$.  Pour montrer que $E$ est un
corps, il suffit de montrer que si $k'$ et $k''$ sont deux corps
intervenant dans une tour d'extensions par radicaux sur $k$ incluse
dans $k\sep$, on peut trouver une tour d'extensions par radicaux
faisant intervenir une extension commune à $k'$ et $k''$ (cette
extension commune permettant alors de faire la somme ou le produit
d'un élément de $k'$ et d'un élément de $k''$).  Or on a prouvé
ci-dessus que si $k \subseteq \cdots \subseteq k'$ est la tour dans
laquelle s'inscrit $k'$ (on peut évidemment l'arrêter là), et $k
\subseteq \cdots \subseteq k''$ de même pour $k''$, on dispose d'une
tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots \subseteq k' k''$.
\end{proof}

\subsection{Rappels sur les groupes résolubles}

\begin{definition2}
On dit qu'un groupe fini $G$ est \emph{résoluble} lorsqu'il vérifie
les conditions équivalentes suivantes :
\begin{itemize}
\item il existe une chaîne $G = G_0 \geq G_1 \geq \cdots \geq G_r =
  \{1\}$ de sous-groupes de $G$ telle que pour chaque $i$ le
  sous-groupe $G_{i+1}$ soit distingué dans $G_i$ (mais non
  nécessairement dans $G$) et que le quotient $G_i / G_{i+1}$ soit
  \emph{cyclique d'ordre premier},
\item (la même condition, en omettant les mots « d'ordre premier »),
\item (la même condition, en remplaçant « cyclique d'ordre premier »
  par « abélien »),
\item si on note $G'$ le sous-groupe, dit \emph{groupe dérivé}
  engendré par les commutateurs (éléments de la forme
  $xyx^{-1}y^{-1}$) des éléments de $G$, qui est également le plus
  grand sous-groupe distingué de $G$ tel que le quotient soit abélien,
  alors la suite $G \geq G' \geq G'' \geq G''' \geq \cdots$ termine
  en $1$ (i.e., elle ne stationne pas avant).
\end{itemize}
\end{definition2}

\begin{proposition2}\label{enonces-standards-groupes-resolubles}
Un sous-groupe et un quotient d'un groupe résoluble sont résolubles.
Un groupe dont un quotient par un sous-groupe distingué résoluble est
résoluble est lui-même résoluble.
\end{proposition2}

On renvoie par exemple à \cite[théorèmes 5.15 à 5.23]{Rotman} pour une
démonstration ces différentes affirmations.

\subsection{Extensions par radicaux et groupes de Galois résolubles}

\begin{proposition2}
Soit $K\bo k$ une extension de corps finie séparable.  Il y a
équivalence entre :
\begin{itemize}
\item il existe une tour d'extensions par radicaux $k \subseteq \cdots
  \subseteq k'$ telle que $K \subseteq k'$,
\item le corps $K$ est inclus dans $k\resol$ (pour une clôture
  séparable $k\sep$ de $K$),
\item le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$ sur $k$ est
  résoluble.
\end{itemize}
\end{proposition2}
\begin{proof}
L'équivalence entre les deux premières affirmations a déjà été prouvée
en \ref{trivialite-cloture-par-radicaux}.

Supposons maintenant la première propriété vérifiée, et on veut
montrer que le groupe de Galois de la clôture galoisienne de $K$
sur $k$ est résoluble.  On peut agrandir $K$ (sachant que si on prouve
que le groupe de Galois de la clôture galoisienne est résoluble après
agrandissement, il l'était à plus forte raison avant
d'après \ref{enonces-standards-groupes-resolubles} et spécifiquement
la stabilité de « résoluble » par quotient) : on peut donc supposer
qu'on a une tour $k \subseteq \cdots \subseteq K$ d'extensions par
radicaux.  Quitte à remplacer $K$ par sa clôture galoisienne,
c'est-à-dire la composée de ses conjuguées par les différents
automorphismes de $k\sep$ sur $k$,
d'après \ref{composition-tours-extensions-par-radicaux}, on peut
supposer que $K \bo k$ est galoisienne et toujours qu'on a une tour $k
= k_0 \subseteq \cdots \subseteq k_r = K$ d'extensions par radicaux.
En appelant $G = \Gal(K/k)$ et $G_i = \Gal(K\bo k_i)$, on a $G = G_0
\geq G_1 \geq \cdots \geq G_r = \{1\}$ et les suppositions faites sur
l'extension $k_{i+1}\bo k_i$ garantissent que $G_i/G_{i+1}$ est
cyclique d'après \refext{KASW}{extension Kummerienne est de groupe
  cyclique} et \refext{KASW}{extension AS est de groupe Z sur p}.

\XXX
\end{proof}



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\end{document}
\fi